2 minute read
Capítulo P Preparación para el cálculo
¿CÓMO LO VE? El agua fluye a una vasija de 30 centímetros de altura a velocidad constante, llenándola en 5 segundos. Utilice esta información y la forma de la vasija que se muestra en la figura para responder a las siguientes preguntas, si d es la profundidad del agua en centímetros y t es el tiempo en segundos (vea la figura).
cm
(a) Explique por qué d es una función de t.
(b) Determine el dominio y el rango de dicha función.
(c) Trace una posible gráfica de la función.
(d) Use la gráfica del inciso (c) para calcular d(4). ¿Qué representa esto?
La potencia H, en caballos de fuerza, que requiere cierto automóvil para vencer la resistencia del viento está dada por
H(x) 0.00004636x3 donde x es la velocidad del automóvil en millas por hora.
(a) Use alguna utilidad para graficar la función.
(b) Reescriba la función de potencia de tal modo que x represente la velocidad en kilómetros por hora. [Encuentre H(x/1.6).]
102. Redacción Utilice una herramienta de graficación para representar las funciones polinomiales p1 x x3 x 1 y p2 x x3 x f x a2n 1 x 2n 1 a3 x 3 a1 x f x a2n x 2n a2n 2 x 2n 2 . . . a 2 x 2 a0
¿Cuántos ceros tiene cada una de estas funciones? ¿Existe algún polinomio cúbico que no tenga ceros? Explique su respuesta.
103. Demostración Demuestre que la función es impar.
104. Demostración Demuestre que la función es par.
105. Demostración Demuestre que el producto de dos funciones pares (o impares) es una función par.
106. Demostración Demuestre que el producto de una función impar y una par es una función impar.
107. Longitud Una recta que pasa por el punto (3, 2) forma con los ejes x y y un triángulo rectángulo en el primer cua- drante (vea la figura). Exprese la longitud L de la hipotenusa como función de x.
108. Volumen Se va a construir una caja abierta (sin tapa) de volumen máximo con una pieza cuadrada de material de 24 centímetros de lado, recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba (vea la figura).
(a) Exprese el volumen V como función de x, que es la longitud de las esquinas cuadradas. ¿Cuál es el dominio de la función?
(b) Utilice una herramienta de graficación para representar la función volumen y aproximar las dimensiones de la caja que producen el volumen máximo.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 109 a 114, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que demuestre que es falso.
109. Si f(a) = f(b), entonces a = b.
110. Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función a lo más una vez.
111. Si f x f x para toda x en el dominio de f, entonces la gráfica de f es simétrica respecto al eje y
112. Si f es una función, entonces f ax af x
113. La gráfica de una función de x no puede tener simetría respecto al eje x
114. Si el dominio de una función consta de un solo número, entonces su rango debe constar también de solamente un número.
Desaf Os Del Examen Putnam
115. Sea R la región constituida por los puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen tanto x y 1 como y 1. Trace la región R y calcule su área.
116. Considere un polinomio f(x) con coeficientes reales que tienen la propiedad f g x g f x para todo polinomio g(x) con coeficientes reales. Determine y demuestre la naturaleza de f (x).
Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
