Repaso de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas

Hay dos enfoques comunes para el estudio de la trigonometría. En uno, las funciones trigonométricas se definen como razones de dos lados de un triángulo rectángulo. En el otro, estas funciones se definen en términos de un punto en el rayo terminal de un ángulo en posición normal. Las seis funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante (abreviadas como sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente), se definen a continuación desde ambos puntos de vista.

Definición de las seis funciones trigonométricas

Definiciones en un triángulo rectángulo, con 0 < θ < π 2 (vea la figura P.38) sen θ = opuesto hipotenusa cos θ = adyacente hipotenusa tan θ = opuesto adyacente csc θ = hipotenusa opuesto sec θ = hipotenusa adyacente cot θ = adyacente opuesto

Definiciones de las funciones circulares, donde u es cualquier ángulo (vea la figura P.39) ángulo en posición estándar.

Las identidades trigonométricas que se enumeran a continuación son todas consecuencia directa de las definiciones. [Note que f es la letra griega minúscula phi y sen2 u se usa para representar (sen u)2.]

Evaluación de funciones trigonométricas

Hay dos maneras de evaluar funciones trigonométricas: (1) aproximaciones decimales con una calculadora y (2) evaluaciones exactas usando identidades trigonométricas y fórmulas de geometría. Cuando se utilice una calculadora para evaluar una función trigonométrica, es importante recordar configurar la calculadora en el modo apropiado: modo en grados DEG o modo en radianes RAD.

EJEMPLO 2 Valor exacto de las funciones trigonométricas

Evaluar el seno, el coseno y la tangente de p 3.

Solución Como 60° p 3 radianes, se puede dibujar un triángulo equilátero con lados de longitud 1 y u como uno de sus ángulos, como se muestra en la figura P.40. Porque la altura de este triángulo divide en dos partes iguales a su base se tiene x 1 2 . Por el teorema de Pitágoras, se obtiene

Ahora, conocidos los valores de x, y y r, se evalúa el seno, el coseno y la tangente de p 3.

Note que todos los ángulos en este texto se miden en radianes a menos que se indique lo contrario. Por ejemplo, cuando se escribe sen 3, significa el seno de 3 radianes y cuando se escribe sen 3°, se entiende el seno de 3 grados.

En la siguiente tabla se muestran las medidas en grados y en radianes de distintos ángulos comunes, junto con los valores correspondientes del seno, el coseno y la tangente (vea la figura P.41). Valores

Signos en los cuadrantes para las funciones trigonométricas. Fi

Los signos en los cuadrantes para las funciones seno, coseno y tangente se muestran en la figura P.42. Para extender el uso de la tabla en la página anterior para ángulos en otros cuadrantes diferentes del primero, se puede usar el concepto de ángulo de referencia (vea la figura P.43), con el signo del cuadrante apropiado. Por ejemplo, el ángulo de referencia para 3p 4 es p 4 y porque el seno es positivo en el cuadrante II, se puede escribir sen 3π 4 = sen π 4 = 2 2

Del mismo modo, porque el ángulo de referencia para 330° es 30° y la tangente es negativa en el cuadrante IV, se puede escribir tan 330°=− tan 30°=− 3 3

Ángulo de referencia:

Cuadrante III

Figura P.43

Cuadrante

Solución de ecuaciones trigonométricas

¿Cómo resolvería la ecuación sen u 0? Se sabe que u 0 es una solución, pero no es la única. Cualquiera de los siguientes valores de u también es una solución.

Se puede escribir este conjunto de soluciones infinitas como {np: n es un entero}.

EJEMPLO 4 Solución de una ecuación trigonométrica

Solución Para resolver la ecuación se debe considerar que la función seno es negativa en los cuadrantes III y IV y que sen p 3 = 3 2

Entonces, se están buscando valores de u en el tercer y cuarto cuadrantes que tienen un ángulo de referencia de p 3. En el intervalo [0, 2p], los dos ángulos que se ajustan a estos criterios son

Al agregar múltiplos enteros de 2p a cada una de estas soluciones, se obtiene la solución general n es un entero. (Vea la figura P.44.)

COMENTARIO Asegúrese de entender las convenciones matemáticas sobre los paréntesis y las funciones trigonométricas. Por ejemplo, en el ejemplo 5, cos 2u significa cos(2u).

EJEMPLO 5 Solución de una ecuación trigonométrica

Resolver la ecuación cos 2u 2 3 sen u, donde 0 ≤ u ≤ 2p.

Solución La ecuación contiene funciones seno y coseno. Con la identidad de ángulo doble cos 2u 1 sen2 u, la ecuación se puede reescribir en términos de funciones senos. Ahora se resuelve la ecuación como una ecuación cuadrática en la variable sen u.

cos 2θ = 2 3 sen θ Escriba la ecuación original.

1 2 sen 2 θ = 2 3 sen θ Fórmula de ángulo doble.

0 = 2 sen 2 θ 3 sen θ + 1 Ecuación cuadrática tipo ax2 + bx + c = 0. 0 = (2 sen θ 1)(sen θ 1) Factorice.

Si 2 sen u 1 0, entonces sen u 1 2 y u p 6 o u 5p 6. Si sen u 1 0, entonces sen u 1 y u p 2. De esta manera, para 0 u 2p, hay tres soluciones θ = p 6 , 5p 6 o p 2

Gráficas de las funciones trigonométricas

Una función f es periódica cuando existe un número real positivo p tal que f (x p) f (x) para toda x en el dominio de f . El menor valor positivo de p (si existe) es el periodo de f . Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen cada una un periodo de 2p y las otras dos funciones trigonométricas, tangente y cotangente, tienen un periodo de p como se muestra en la figura P.45.

Las gráficas de las seis funciones trigonométricas.