Cálculo diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL

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The Pennsylvania State University

The Behrend College

University of Florida

Traducción

Javier León Cárdenas

Adaptación y Revisión técnica

Joel Ibarra Escutia

Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Toluca

Revisión técnica

Instituto Politécnico Nacional

CECyT 9 Juan de Dios Bátiz

Gilberto Gamaliel Díaz Monroy

Sergio Ramírez Espinosa

Instituto Tecnológico José Mario Molina

Pasquel y Henríquez, campus Chapala

María de la Cruz Gómez Torres

Instituto Tecnológico José Mario Molina

Pasquel y Henríquez, campus Tequila

Mario Eduardo Aguirre Talamantes

Instituto Tecnológico José Mario Molina

Pasquel y Henríquez, campus Zapopan

Edgar Ignacio Sánchez Rangel

Tecnológico Nacional de México, campus Celaya

David Gasca Figueroa

Tecnológico Nacional de México, campus Chihuahua

Juan Enrique Sepúlveda Contreras

Tecnológico Nacional de México, campus Durango

Ricardo Cabrera Martínez

Jaime Anuar Seleme Ocampo

Tecnológico Nacional de México, campus León

J. Felix López Rocha

Rubén Trujillo Corona

Tecnológico Nacional de México, campus Morelia

Nancy Cambrón Muñoz

Fabián Ortega Vargas

Gerardo Sepúlveda Valdés

Tecnológico Nacional de México, campus Pachuca

José Alejandro Monroy Gómez

Tecnológico Nacional de México, campus Puebla

América Guadalupe Analco Panohaya

Raymundo Mendoza Vázquez

Tecnológico Nacional de México, campus Tepic

Víctor Manuel Lamas Huízar

Jovita Romero Islas

Timoteo Talamantes Rosales

Tecnológico Nacional de México, campus Veracruz

Claudio Yépez Sosa

Universidad Politécnica de Pachuca

Armando Silva Castillo

Cálculo diferencial. Primera edición

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Gerente editorial Latinoamérica:

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Diseño de portada:

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Composición tipográfica:

Contenido detallado

Unidad 1

Números reales 1

1.1 Números reales y sus propiedades 2

1.2 Axiomas de los números reales 7

1.3 Desigualdades y valor absoluto 17

1.4 Introducción al álgebra 28

Ejercicios de repaso 34

Solución de problemas 36

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 37

Exámenes de práctica 38

Unidad 2

Funciones

2.1 Gráficas y modelos 40

2.2 Modelos lineales y razones de cambio 48

2.3 Funciones y sus gráficas 57

2.4 Funciones inversas 69

2.5 Repaso de funciones trigonométricas 76

Ejercicios de repaso 86

Solución de problemas 89

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 90

Exámenes de práctica 94

Unidad 3

39

Límites y sus propiedades 97

3.1 Introducción al cálculo a través del límite 98

3.2 Límite de una función 104

3.3 Cálculo analítico de límites y sus propiedades 115

3.4 Continuidad y límites laterales 126

3.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 139

Proyecto de trabajo: Gráficas y límites de funciones trigonométricas 146

3.6 Límites al infinito y asíntotas horizontales 147

Ejercicios de repaso 157

Solución de problemas 161

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 162

Exámenes de práctica 169

Unidad 4

La derivada 171

4.1 La derivada y su interpretación geométrica 172

4.2 Reglas básicas de derivación y razones de cambio 182

4.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas

trigonométricas 194

4.4 La regla de la cadena 205

4.5 Derivación implícita 216

Proyecto de trabajo: Ilusiones ópticas 223

4.6 Razones de cambio relacionadas 224

4.7 Derivada de la función inversa 233

4.8 Derivada de las funciones exponencial natural y logaritmo natural 236

4.9 Derivada de la función exponencial en base a y de la función logaritmo en base a 249

Proyecto de trabajo: Usar utilidades gráficas para estimar la pendiente 257

4.10 Derivada de las funciones trigonométricas inversas 258

4.11 Derivada de las funciones hiperbólicas 267

Ejercicios de repaso 276

Solución de problemas 281

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 283

Exámenes de práctica 292

Unidad 5

Aplicaciones de la derivada 293

5.1 Extremos en un intervalo 294

5.2 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio 302

5.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 309

Proyecto de trabajo: Funciones polinomiales pares de cuarto grado 318

5.4 Concavidad y criterio de la segunda derivada 319

5.5 Análisis de gráficas de funciones 327

5.6 Problemas de optimización 337

Proyecto de trabajo: Tiempo mínimo 346

5.7 Método de Newton 347

5.8 Diferenciales 353

5.9 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 360

Ejercicios de repaso 371

Solución de problemas 375

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad 376

Exámenes de práctica 384

Apéndices A1

Respuestas a ejercicios seleccionados R1

Índice analítico I1

Formularios básicos y tablas de integración T1

Prefacio

Bienvenidos a esta nueva edición de Cálculo diferencial. Nos enorgullece ofrecerle esta nueva edición revisada y mejorada de nuestro clásico y exitoso libro de texto.

Esta obra forma parte de una serie de libros elaborados para cubrir de manera específica planes y programas de estudio de los principales cursos a nivel superior.

Cálculo diferencial, de Ron Larson y Bruce Edwards, proporciona instrucciones claras, matemáticas precisas y la amplia cobertura que usted espera de su curso.

La obra le ofrece acceso gratuito a LarsonCalculus.com— Un sitio web complementario con recursos para apoyar la enseñanzaaprendizaje (disponible solo en inglés).

Usted tiene acceso a videos en los que se explican los conceptos o las pruebas del libro, explorar ejemplos, ver gráficas tridimensionales, descargar artículos de revistas especializadas y mucho más.

Este material está basado en la obra completa en inglés, pero cuenta con material disponible que le ayudará en sus clases.

LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN

NUEVO Las grandes ideas del cálculo

Hemos añadido una nueva característica para ayudarlo a descubrir y entender las Grandes ideas del cálculo. Esta característica, que se denota por el icono y , tiene cuatro partes.

Grandes ideas del cálculo ofrecen una visión general de los principales conceptos de la unidad y cómo se relacionan con los conceptos que ha estudiado previamente. Estas notas aparecen casi al principio y también en el repaso de la unidad.

Repaso de conceptos y los de Exploración de conceptos. Estos le ayudarán a desarrollar su conocimiento del cálculo con mayor profundidad y claridad. Trabaje en estos ejercicios para desarrollar y fortalecer su comprensión de los conceptos. Construcción de conceptos al terminar y repasar cada unidad. Estos ejercicios no solamente le ayudarán a expandir su conocimiento y uso del cálculo, sino que lo prepararán para aprender los conceptos de capítulos posteriores.

Repaso de conceptos

1. Mencione los diferentes conjuntos numéricos y cómo están contenidos entre ellos.

2. Enuncie algunas propiedades de los números enteros que no tienen los números naturales.

3. ¿Cuáles son las propiedades de los números racionales que no tienen los números enteros?

4. Mencione qué tipo de número real se puede escribir como la razón entre dos números enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero.

Construcción de conceptos

5. ¿Qué tipo de números tienen una expansión decimal infinita y no periódica?

6. Mencione cuál es el tipo de números que tienen una expansión decimal finita o bien infinita pero periódica.

75. Encuentre un ejemplo para el cual ∣ a b ∣∣ a∣∣ b ∣ y un ejemplo para el cual ∣ a b ∣∣ a∣∣ b ∣.

Posteriormente, demuestre que ∣ a b ∣∣ a∣∣ b ∣ para todos los valores de a y b.

Conjuntos de ejercicios ACTUALIZADOS

Grandes ideas del cálculo

Complicado entender el infinito Existe una cantidad infinita numerable de números naturales, dentro de este conjunto, ¿qué hay más, números pares, números impares o los propios naturales? ¡Es posible demostrar que existe la misma cantidad de números pares, impares o naturales! El estudio de los números reales involucra diferentes maneras de “comprender” el infinito.

Exploración de conceptos

59. ¿La suma de dos números irracionales es otro irracional? Explique su respuesta.

60. Demuestre que el producto de dos números pares es par.

61. Demuestre que el producto de dos impares es otro impar.

62. Demuestre que si n es par entonces n 2 es par.

63. Demuestre que si n es impar entonces n 2 es impar.

64. Demuestre que el producto de un racional y un irracional es un irracional.

76. Muestre que el máximo de dos números a y b está dado por la expresión máx(a, b) 1 2 (a b ∣ a b ∣)

Deduzca una forma similar para mín(a, b)

Los conjuntos de ejercicios han sido examinados de manera cuidadosa y extensa para asegurar que sean rigurosos, relevantes y que incluyan los tópicos que los lectores nos han sugerido. Los ejercicios han sido nombrados y organizados a fin de que usted vea las relaciones entre los ejemplos y los ejercicios. Los ejercicios de la vida real, desarrollados paso a paso, refuerzan las habilidades de solución de problemas y el dominio de conceptos al darle la oportunidad de aplicarlos en situaciones cotidianas.

Proyectos de trabajo

En secciones específicas aparecen proyectos que le ayudarán a explorar las aplicaciones relacionadas con los tópicos que se encuentre estudiando. Todos estos proyectos ofrecen características interesantes y atractivas para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera colaborativa.

Aperturas de unidad ACTUALIZADAS

Cada apertura de unidad destaca aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios.

Objetivos de sección

Las listas con viñetas al inicio de cada sección señalan los objetivos de aprendizaje para que usted sepa qué contenidos se presentarán a continuación.

Teoremas

Los teoremas proporcionan el marco conceptual para el cálculo. Estos se enuncian claramente y están separados del resto de la unidad mediante recuadros que contribuyen visualmente a una lectura más dinámica. Por lo general se acompañan de pruebas que también aparecen en el sitio LarsonCalculus.com (disponible solo en inglés).

Definiciones

Como en el caso de los teoremas, las definiciones se destacan mediante recuadros que contribuyen a una mejor referencia visual y están enunciadas claramente a través de una redacción precisa y formal.

Exploraciones

Las exploraciones proporcionan desafíos únicos para estudiar conceptos que no se han abordado formalmente en el libro y que le permiten aprender mediante el descubrimiento, así como introducir otros tópicos relacionados con los que se estudian en cada sección. Explorar los temas de esta manera lo alienta, como se dice comúnmente, a pensar fuera de la caja.

Comentarios ACTUALIZADOS

Estas pistas y consejos refuerzan o expanden los conceptos, le enseñan cómo estudiar matemáticas, lo previenen acerca de errores comunes, abordan casos especiales o muestran soluciones alternativas a un ejemplo. Hemos añadido algunos Comentarios para ayudar a los estudiantes que necesitan una tutoría más profunda en álgebra.

Notas históricas y biografías ACTUALIZADAS

Las notas históricas dan información acerca de los fundamentos del cálculo. Las biografías le presentan personajes que crearon e hicieron contribuciones a esta disciplina. En LarsonCalculus.com (solo en inglés) están disponibles muchas más.

PROYECTO DE TRABAJO

Gráficas y límites de funciones trigonométricas

Recuerde, del teorema 3.9, que el límite de f (x)= sen x x cuando x tiende a 0 es 1.

(a) Utilice una herramienta de graficación para representar la función f en el intervalo x , y explique cómo ayuda esta gráfica a confirmar dicho teorema.

(b) Explique cómo podría usar una tabla de valores para confirmar numéricamente el valor de este límite.

(c) Trace la gráfica de la función g(x) sen x. Trace una recta tangente en el punto (0, 0) y estime visualmente su pendiente.

(d) Sea (x, sen x) un punto en la gráfica de g cercano a (0, 0) Escriba una fórmula para la pendiente de la recta secante que une a (x, sen x) con (0, 0) Evalúe esta fórmula para x 0.1 y x 0.01. A continuación, encuentre la pendiente exacta de la recta tangente a g en el punto (0, 0)

(e) Dibuje la gráfica de la función coseno, h(x) cos x. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1)? Utilice límites para calcular analíticamente dicha pendiente.

(f) Calcule la pendiente de la recta tangente a k(x) tan x en el punto (0, 0)

1.1 Números reales y sus propiedades

Definir el conjunto de los números naturales.

Definir el conjunto de los números enteros.

Definir el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales y los números irracionales.

Grandes ideas del cálculo

Complicado entender el infinito Existe una cantidad infinita numerable de números naturales, dentro de este conjunto, ¿qué hay más, números pares, números impares o los propios naturales? ¡Es posible demostrar que existe la misma cantidad de números pares, impares o naturales! El estudio de los números reales involucra diferentes maneras de “comprender” el infinito.

COMENTARIO Ernst

Friedrich Ferdinand Zermelo estudió en las Universidades de Berlín, Halle y Freiburg. Las materias que estudió fueron matemáticas, física y filosofía. Recibió clases de Frobenius, Planck, Schmidt y Schwarz.

COMENTARIO La letra ℤ para denotar al conjunto de los números enteros se tomó en honor a Ernst Zermelo.

Hoy en día somos testigos del máximo desarrollo científico y tecnológico. Los aportes a las principales ciencias e ingenierías deben su considerable progreso a la aplicación directa del Cálculo Infinitesimal.

El estudio y solución de problemas clásicos como la velocidad de una partícula, la determinación de la recta tangente a una curva en un punto, la razón de cambio de una función, el área de una región y el volumen de un sólido han permitido el desarrollo del cálculo diferencial e integral.

En cualquier caso, el cálculo basa su desarrollo en el sistema de los números reales y por esta razón es necesario estudiar y conocer sus principales propiedades.

Iniciamos el estudio del conjunto de los números reales considerando sistemas numéricos más sencillos: los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales.

Los números naturales ℕ

Se define el conjunto de los números naturales como ℕ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Desde siempre, la necesidad de contar ha estado presente en todas las culturas, la comparación entre conjuntos permitió conocer el tamaño de alguno de ellos. Pero los números naturales proporcionaron la manera precisa y contundente de contar. Entre las propiedades de los números naturales debemos mencionar que todos los números naturales tienen un sucesor que también es un número natural y que todos excepto el 1 tienen un antecesor que también es un número natural. Es decir

1. El primer elemento de los naturales es el 1.

2. Si k ∊ℕ se define su sucesor como k 1 y además k 1 ∊ℕ

3. Si k ∊ℕ k 1, se define su antecesor como k 1 y además k 1 ∊ℕ

En el conjunto ℕ se definen dos operaciones básicas: la suma y el producto, las cuales son cerradas, conmutativas, asociativas y distributivas, además de existir el neutro de la multiplicación, sin embargo, los números naturales carecen de un elemento neutro aditivo y de inversos aditivos.

Un conjunto que contiene de manera estricta a los números naturales y que resuelve estos inconvenientes operativos es el conjunto de los números enteros, definidos a continuación.

Los números enteros ℤ

COMENTARIO Todo número natural es un número entero, ℕ⊂ℤ

Se define el conjunto de los números enteros como ℤ {...,

...}

2 Unidad 1 Números reales

Tecnología

A lo largo del libro se muestran recuadros sobre la tecnología que le enseñan cómo utilizarla para resolver problemas. Estos consejos también le advierten sobre las posibles trampas en el uso de la tecnología.

Ejercicios del tipo ¿Cómo lo ve?

Un ejercicio de este tipo en cada sección presenta un problema que deberá resolver mediante una inspección visual aplicando los conceptos aprendidos durante la lección.

Aplicaciones ACTUALIZADAS

Para responder la pregunta: “¿Cuándo podría aplicar este conocimiento?”, se han incluido en el libro ejercicios cuidadosamente seleccionados. Estas aplicaciones provienen de diversas fuentes, ya sea eventos de la actualidad, datos sobre el mundo, aplicaciones en la industria y más, todos ellos relacionados con un amplio abanico de intereses. Entender qué es o qué puede llegar a ser el cálculo favorece un entendimiento más completo del material.

Desafíos del Examen Putnam

Este tipo de preguntas aparecen en secciones muy específicas. Estas retarán su entendimiento y aumentarán los límites de su comprensión sobre el cálculo.

Otras características

En esta edición se encontrará:

Evaluación diagnóstica

Con el propósito de repasar los temas que serán de utilidad para el desarrollo satisfactorio del presente curso, se presenta a manera de evaluación diagnóstica la siguiente lista de ejercicios-actividades. Obsérvese que en la mayoría de los casos, los problemas se plantean de un modo general para que el lector realice un estudio profundo de los temas. Queda a libre elección plantear problemas particulares, si el estudiante lo considera necesario, para cubrir los temas propuestos. ¡Mucho trabajo y éxito!

Aritmética

1.Defina los diferentes conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos).

2.Escriba los números primos menores que 200.

3.Describa los criterios de divisibilidad.

4.Describa el proceso para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un conjunto de números.

5.Racionalice la expresión a b x c d x

Evaluación diagnóstica

Este material resulta una herramienta de vital importancia porque permite realizar una evaluación inicial de los conocimientos mínimos requeridos para iniciar el estudio del cálculo diferencial y tomar las acciones necesarias.

Álgebra

1.Escriba las leyes de los exponentes y los radicales.

2.Desarrolle los siguientes productos notables.

a)Binomio al cuadrado.

b)Producto de binomios conjugados.

c)Producto de dos binomios con un término común.

d)Binomio al cubo.

e)Trinomio al cuadrado.

3.Desarrolle el triángulo de Pascal.

4.Desarrolle el binomio de Newton.

5.Factorice en general un trinomio cuadrado perfecto, una diferencia de cuadrados, una suma de cubos y una diferencia de cubos.

6.Resuelva la ecuación ax2 bx c 0 por completación de cuadrados.

7.Resuelva un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables por los métodos de suma y resta, igualación, sustitución y determinantes.

8.Resuelva un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables de manera algebraica y por determinantes.

Trigonometría

1.Clasifique los diferentes tipos de ángulos.

2.Defina ángulos suplementarios y complementarios.

3.Clasifique los triángulos con base en sus lados.

4.Clasifique los triángulos con base en sus ángulos.

5.Para cada uno de los diferentes tipos de triángulos, trace el circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.

6.Enuncie el teorema de Pitágoras.

7.Trace la gráfica de las seis funciones trigonométricas.

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Al final de cada unidad se encuentran dos nuevas secciones llamadas:

SERIE DE EJERCICIOS SELECCIONADOS PARA PREPARAR EXAMEN DE UNIDAD UNIDAD 1

Serie de ejercicios seleccionados para preparar examen de unidad

Se ha realizado una selección especial de los problemas más representativos de cada sección para todas las unidades y se concentran en una serie final de ejercicios que puede utilizarse para reforzar las evaluaciones de los temas. Se puede disponer de este material de manera digital al escanear el código QR que se incluye al final de cada serie.

14. Enuncie las propiedades de orden.

Para visualizar estos ejercicios seleccionados de manera digital, ingresa al código QR

38 Unidad 1 Números reales

UNIDAD 1 EXÁMENES DE PRÁCTICA

Examen Resuelva los siguientes problemas.

1. Enuncie los diferentes subconjuntos numéricos y su correspondiente contención.

2. Escriba la expansión decimal infinita periódica 4.0231 como una fracción.

3. Determine un número racional que se aproxime a

4. Realice la operación de intervalos ((1, 8)∪( 3, 2))∩[0, 1)

5. Resuelva las siguientes desigualdades.

(a) x 2 1 18 x 1 80 $ 0(b) x 4 x 9 . 0

(c) x x 1 $ 1 x (d) ∣ 6 x 3 4 x 2 ∣ , 12

(e) 1 # ∣ 3 x 2 x 3 ∣

Examen 2 Resuelva los siguientes problemas.

1. Enuncie los axiomas de los números reales.

2. Escriba la expansión decimal infinita periódica 8.0345 como una fracción.

3. Determine un número racional que se aproxime a 5.

4. Realice la operación de intervalos (( 7, 3)∪( 5, 7))∩[3, 10)

5. Resuelva las siguientes desigualdades.

(a) 2 x 2 1 x 1 $ 0(b) x 6 x 6 , 0

(c) x 3 2 x $ x x 1 (d) ∣ x 3 2 x ∣ 10

(e) ∣ 4 7 2 x 1 ∣ $ 7

Exámenes de práctica

Al final de cada unidad se incluyen dos exámenes de práctica que tienen la finalidad de generar una situación de evaluación escrita de los temas estudiados a lo largo de la unidad. Al escanear el código QR que aparece al final de dicha sección se pueden visualizar otros más de manera digital.

visualizar estos exámenes y otros adicionales de manera digital, ingresa al código

En esta ocasión también se incluye la sección:

Respuestas a ejercicios seleccionados

Al final de la obra pueden consultarse las respuestas a los ejercicios seleccionados de cada sección de ejercicios, problemas de repaso y solución de problemas de todo el texto.

1.Propiedad conmutativa de la suma a 1 b b 1 a

Axioma 2.Propiedad asociativa de la suma a 1 (b 1 c) (a 1 b) 1 c

Axioma 3.Existencia del neutro aditivo

Existe el 0 ∊ R tal que a 1 0 a

Axioma 4.Existencia de inversos aditivos Para todo número real a existe a ∊ R, tal que a 1 ( a) 0

Axioma 5.Propiedad conmutativa del producto ab ba

Axioma 6.Propiedad asociativa del producto a(bc) 5 (ab)c

Axioma 7. Existencia del neutro multiplicativo Existe el 1 ∊ R tal que a 1 a Axioma 8. Existencia de inversos multiplicativos Para todo número real a ≠ 0 existe a 1 ∊ R, tal que a a 1 5 1

Axioma 9.Propiedad distributiva a(b 1 c) ab 1 ac

3. Axioma 14.Axioma de completitud

1. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por arriba tiene un supremo.

2. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por abajo tiene un ínfimo.

5. a b si y solo si b a 5 0

7. Entre dos números reales cualesquiera, existe una cantidad infinita de números reales.

9. Nueve tipos de intervalos.

7 2 5 2 5.2

11. 1234 1 3 4 0 5

13. 2.5 , 2 15. 8 ,24

Índice analítico

A Abel, Niels Henrik (1802-1829), 350 Aceleración, 200, 204, 232, 277, 308 de la gravedad, determinar la, 200 Agnesi, María Gaetana (1718-1799), 150 Álgebra, reglas básicas del, 29 Algunos límites básicos, 115 Amplitud de una función, 84, 93 Ángulo(s) agudo, 121 coterminal, 76 coterminales en grados, 83 coterminales en radianes, 83 de elevación, 231, 232 de elevación variable, 227 de referencia, 80 en posición normal (estándar), 76 maximizar un, 262, 266, 290 medida en radianes del, 77 obtuso, 76 rayo inicial, 76 rayo terminal, 76 valores trigonométricos, 79 vértice, 76 y medidas en grados, 76

Aproximación, 125, 282 cuadrática, 215, 245, 326 de ceros, método de bisección, 134 método de Newton, 347 teorema del valor intermedio, 137 de Padé, 282 de potencias de 10, 36 de Stirling, 245 del valor de e, 239

lineal, 192, 215, 245, 326, 353 por una recta tangente, 353, 358 por radicales, 352 recíproca, 352 Área de un rectángulo, 98, 100, 102 de una región plana, 102 problema del, 101, 102 superficial de revolución, 100 Asíntota(s) horizontal, 147, 148, 151, 155, 167

B

Índice analítico I1

oblicua, 153, 329, 335, 336 vertical, 139, 141, 166, 167, 335

Astroide, 221

Axioma de completitud, 11, 34 Axiomas de números reales, 7, 37

Axiomas de orden en ℝ, 10

Barrow, Isaac (1630-1677), 172, 220

Base(s) a, función exponencial de, 236, 249, 289

Base(s) a, función logaritmo en, 249, 250, 251, 289

Bifolio, 221, 286

Bruja de Agnesi, 150, 202, 221, 286

C Cambio de variables, 188

Cambio en x, 48, 173, 354

Cambio en y, 48, 173, 354

Capitalización continua, 255, 256, 280

Catenaria, 270, 274, 275

Cauchy, Augustin-Louis (17891857), 131

Centroide, 98

Cero, 64, 134, 137

absoluto, 130 propiedades del, 31

Cero de funciones, 64, 67, 88, 92

aproximación de, método de bisección, 134 método de Newton, 347 teorema del valor intermedio, 133

Ceros reales, 20 Charles, Jacques (1746-1823), 130

Círculo de curvatura, 281

Círculo unitario, 77

Circunferencia, 172, 287

Cisoide, 221

Cociente, 141 de diferencias, 173 de dos funciones, 194 de dos polinomios, 63, 151 de números enteros, 3 derivar con numeradores constantes, 208

regla del, 196 simplificar la derivada de un, 209 Coeficiente principal criterio del, 62 de una función polinomial, 62 Colineales, 55, 91 Combinaciones de funciones, 62 Completitud, 11, 133 Comportamiento asintótico, 153 Comportamiento de las funciones escalonadas, 128 Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda, 106 Comportamiento final, 147, 331 Comportamiento no acotado, 106 Comportamiento oscilante, 107 Comportamientos asociados con la no existencia de un límite, 107 Composición, 63

Cóncava hacia abajo, 319 hacia arriba, 319 Concavidad, 235, 319, 378 determinar la, 320, 321 prueba de, 320 Condiciones iniciales, 246 Constante(s), 28 derivar cocientes con numeradores, 208 fuerza, 100, 155 función, 182, 190, 236 razón, 226 regla de la, 182 regla del múltiplo, 185, 197 término, de la función polinomial, 62 Continua, 126 en c, 115, 126, 127, 131 en todas partes, 126 en un intervalo abierto (a b) 126 por la derecha y por la izquierda, 129 sobre el intervalo cerrado [a b]

129, 133

Continuidad de una función, 127, 138 de una función compuesta, 131 definición de, 126

Índice analítico

En esta edición se incluye un índice analítico para referir con mayor facilidad cualquier tema de interés.

Cengage

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FORMULARIOS BÁSICOS YTABLAS DE INTEGRACIÓN

ÁLGEBRA

Ceros y factores de un polinomio del es un entonces un polinomio. Si Sea polinomio y una solución de la ecuación Además,es un factor del polinomio.

x a p x 0. cero a p a 0, p x a x a 1x 1 a1x a0

Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene n ceros (no necesariamente distintos). Aunque todos estos ceros pueden ser imaginarios, un polinomio real de grado impar tendrá por lo menos un cero real.

Fórmula cuadrática Si y entonces los ceros reales de son Factores especiales

x b b2 4ac 2a p 0 b2 4ac p x ax 2 bx c

Formularios

x 3 a 3 x a x 2 ax a 2 x 2 a 2 x a x a

x 4 a 4 x a x 2 a 2 x a x 3 a3 x a x 2 ax a 2

x y 2 x 2 2 xy y 2 x y 2 x 2 2 xy y 2

x y 3 x 3 3x 2y 3xy 2 y 3 x y 3 x 3 3x 2y 3xy 2 y 3

x y 4 x 4 4x 3y 6x 2y 2 4 xy 3 y 4 x y 4 x 4 4x 3y 6x 2y 2 4 xy3 y 4

x y x nx 1y n n 1 2! x 2 y 2 nxy 1 y

x y n x n nx n 1y n n 1 2! x n 2 y 2 nxy n 1 y n

a0 r x r s, p p x an x n a n 1x n 1 a1x a0

Teorema del binomio Teorema del cero racional tiene coeficientes enteros, entonces todo Si cero racional de es de la forma donde es un factor de y s es un factor de a Factorización por agrupamiento

acx 3 adx 2 bcx bd ax 2 cx d b cx d ax 2 b cx d

a b d c ad a b c a c b c a b c d ad bc bd ab ac a b c

a b c d bc

a b c a bc

a b c

ac b

ab ac a b c a b c d b a d c a b c ab c

Operaciones aritméticas Exponentes y radicales n a b a n b ax y a xy n ab n a n b a x 1 a n am am n a b a b

MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Reconocimientos

Queremos agradecer a todas las personas que nos han ayudado en las diferentes etapas de la producción de nuestro libro Cálculo diferencial. Su aliento, críticas y sugerencias han sido muy valiosas.

Revisores

Stan Adamski, Owens Community College; Tilak de Alwis; Darry Andrews; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Denis Bell, University of Northern Florida; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Abraham Biggs, Broward Community College; Jesse Blosser, Eastern Mennonite School; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Mark Brittenham, University of Nebraska; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Fan Chen, El Paso Community College; Mingxiang Chen, North Carolina A&T State University; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; David French, Tidewater Community College; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Arran Hamm; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Dr. Enayat Kalantarian, El Paso Community College; Marcia Kleinz, Atlantic Cape Community College; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Maxine Lifshitz, Friends Academy; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Bill Meisel, Florida State College at Jacksonville; Shahrooz Moosavizadeh; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Martha Nega, Georgia Perimeter College; Francis Nkansah, Bunker Hill Community College; Sam Pearsall, Los Angeles Pierce College; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Laura Ritter, Southern Polytechnic State University; Carson Rogers, Boston College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; James K. Vallade, Monroe County Community College; Patrick Ward, Illinois Central College; Chia-Lin Wu, Richard Stockton College of New Jersey; Diane M. Zych, Erie Community College.

Nuestro agradecimiento especial a Robert Hostetler y David Heyd, compañeros profesores de The Behrend College y The Pennsylvania State University, por sus importantes contribuciones al libro.

También agradecemos al equipo de Larson Texts, Inc., quienes nos ayudaron en la producción, composición e ilustración del libro y sus complementos. Además, les agradecemos por su ayuda en el desarrollo y mantenimiento de los sitios CalcChat. com, CalcView.com, LarsonCalculus.com, MathArticles.com y MathGraphs.com

A nivel personal, agradecemos a nuestras esposas Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards por su amor, paciencia y apoyo. Asimismo, una nota especial de agradecimiento para R. Scott O’Neill.

Si usted tiene sugerencias para mejorar esta obra, siéntase libre de escribirnos. En nuestra labor académica hemos recibido numerosos comentarios tanto de profesores como de estudiantes y los valoramos muchísimo.

Ron Larson Bruce Edwards

Revisores de la edición en español

Agradecemos el apoyo y colaboración en la revisión de esta obra a los profesores:

Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas, A. C.

Rubén Alejandro Águeda Altúzar

Instituto Politécnico Nacional, CECyT 9 Juan de Dios Bátiz

Jonathan Reyes González

Instituto Tecnológico de Monterrey

Tecnológico Nacional de México, campus Nuevo León

Pedro Castillo Castañon

Tecnológico Nacional de México, campus Celaya

Ma. del Pilar Gómez Hidalgo

Leonardo Morales Cerda

María Magdalena Rivera Ramírez

Jafet Gassen Tula Maldonado

Tecnológico Nacional de México, campus Ciudad Juárez

José Jiménez Jiménez

Alejandra Herrera Chew

Tecnológico Nacional de México, campus Durango

Niltza Iracema González García

Tecnológico Nacional de México, campus León

Rogelio Infante Medina

Tecnológico Nacional de México, campus Nuevo León

Felipe Leal Macías

Tecnológico Nacional de México, campus Pachuca

Luis García González

Universidad de Monterrey

Escuela de Ingeniería y Tecnología

Ayax Santos Guevara

Evaluación diagnóstica

Con el propósito de repasar los temas que serán de utilidad para el desarrollo satisfactorio del presente curso, se presenta a manera de evaluación diagnóstica la siguiente lista de ejercicios-actividades. Obsérvese que en la mayoría de los casos, los problemas se plantean de un modo general para que el lector realice un estudio profundo de los temas. Queda a libre elección plantear problemas particulares, si el estudiante lo considera necesario, para cubrir los temas propuestos. ¡Mucho trabajo y éxito!

Aritmética

1. Defina los diferentes conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos).

2. Escriba los números primos menores que 200.

3. Describa los criterios de divisibilidad.

4. Describa el proceso para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un conjunto de números.

5. Racionalice la expresión a b x c d x .

Álgebra

1. Escriba las leyes de los exponentes y los radicales.

2. Desarrolle los siguientes productos notables.

a) Binomio al cuadrado.

b) Producto de binomios conjugados.

c) Producto de dos binomios con un término común.

d) Binomio al cubo.

e) Trinomio al cuadrado.

3. Desarrolle el triángulo de Pascal.

4. Desarrolle el binomio de Newton.

5. Factorice en general un trinomio cuadrado perfecto, una diferencia de cuadrados, una suma de cubos y una diferencia de cubos.

6. Resuelva la ecuación ax2 bx c 0 por completación de cuadrados.

7. Resuelva un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables por los métodos de suma y resta, igualación, sustitución y determinantes.

8. Resuelva un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables de manera algebraica y por determinantes.

Trigonometría

1. Clasifique los diferentes tipos de ángulos.

2. Defina ángulos suplementarios y complementarios.

3. Clasifique los triángulos con base en sus lados.

4. Clasifique los triángulos con base en sus ángulos.

5. Para cada uno de los diferentes tipos de triángulos, trace el circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.

6. Enuncie el teorema de Pitágoras.

7. Trace la gráfica de las seis funciones trigonométricas.

8. Escriba la definición de las seis funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal.

9. Escriba la definición de las seis funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo.

10. Determine los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos 0° , 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° y 360°

11. Determine los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

12. Resuelva un problema aplicando la ley de senos.

13. Resuelva un problema aplicando la ley de cosenos.

14. Enuncie las identidades fundamentales de recíprocos, de cociente y de cuadrados.

15. Enuncie las identidades de suma y diferencia de dos ángulos.

16. Enuncie las identidades de argumento doble.

17. Enuncie las identidades de argumento mitad.

18. Enuncie las propiedades de los logaritmos.

Geometría

1. Determine en general la distancia entre dos puntos.

2. Escriba la definición de pendiente de una recta.

3. Describa las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

4. Describa la ecuación de una recta en sus formas punto-pendiente, pendiente-ordenada, simétrica y general.

5. Determine la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

6. Dado un triángulo con vértices P(x1, y1), Q (x2, y2) y R(x3, y3), determine su área de tres maneras diferentes.

7. Determine de manera analítica el circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro de un triángulo con vértices dados P(x1, y1), Q (x2, y2) y R(x3, y3).

8. Escriba las ecuaciones de las cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) en forma canónica y en forma ordinaria. Grafique cada una de ellas.

9. Determine la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos fijos. P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3).

10. Describa las condiciones que deben cumplirse para que la ecuación general de segundo grado Ax 2 Cy 2 Dx 2 Ey 2 F 0 represente una recta, una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola.

1.1 Números reales y sus propiedades

Definir el conjunto de los números naturales. Definir el conjunto de los números enteros. Definir el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales y los números irracionales.

Grandes ideas del cálculo

Complicado entender el infinito Existe una cantidad infinita numerable de números naturales, dentro de este conjunto, ¿qué hay más, números pares, números impares o los propios naturales? ¡Es posible demostrar que existe la misma cantidad de números pares, impares o naturales! El estudio de los números reales involucra diferentes maneras de “comprender” el infinito.

Hoy en día somos testigos del máximo desarrollo científico y tecnológico. Los aportes a las principales ciencias e ingenierías deben su considerable progreso a la aplicación directa del Cálculo Infinitesimal.

El estudio y solución de problemas clásicos como la velocidad de una partícula, la determinación de la recta tangente a una curva en un punto, la razón de cambio de una función, el área de una región y el volumen de un sólido han permitido el desarrollo del cálculo diferencial e integral.

En cualquier caso, el cálculo basa su desarrollo en el sistema de los números reales y por esta razón es necesario estudiar y conocer sus principales propiedades.

Iniciamos el estudio del conjunto de los números reales considerando sistemas numéricos más sencillos: los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales.

Los números naturales ℕ

Se define el conjunto de los números naturales como

ℕ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

COMENTARIO Ernst

Friedrich Ferdinand Zermelo estudió en las Universidades de Berlín, Halle y Freiburg. Las materias que estudió fueron matemáticas, física y filosofía. Recibió clases de Frobenius, Planck, Schmidt y Schwarz.

Desde siempre, la necesidad de contar ha estado presente en todas las culturas, la comparación entre conjuntos permitió conocer el tamaño de alguno de ellos. Pero los números naturales proporcionaron la manera precisa y contundente de contar. Entre las propiedades de los números naturales debemos mencionar que todos los números naturales tienen un sucesor que también es un número natural y que todos excepto el 1 tienen un antecesor que también es un número natural. Es decir

1. El primer elemento de los naturales es el 1.

2. Si k ∊ℕ se define su sucesor como k 1 y además k 1 ∊ℕ

3. Si k ∊ℕ , k 1, se define su antecesor como k 1 y además k 1 ∊ℕ .

COMENTARIO La letra ℤ para denotar al conjunto de los números enteros se tomó en honor a Ernst Zermelo.

En el conjunto ℕ se definen dos operaciones básicas: la suma y el producto, las cuales son cerradas, conmutativas, asociativas y distributivas, además de existir el neutro de la multiplicación, sin embargo, los números naturales carecen de un elemento neutro aditivo y de inversos aditivos.

Un conjunto que contiene de manera estricta a los números naturales y que resuelve estos inconvenientes operativos es el conjunto de los números enteros, definidos a continuación.

Los números enteros ℤ

COMENTARIO Todo

número natural es un número entero, ℕ⊂ℤ .

Se define el conjunto de los números enteros como ℤ {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}

COMENTARIO Alguna vez, el metro se definió como una diezmillonésima parte de la longitud del meridiano terrestre a lo largo de un cuadrante; este número no es un número entero, es un racional (conocido también de manera común en la educación básica como fracción o quebrado).

COMENTARIO El símbolo ℚ se tomó originalmente de la palabra “Quotient”.

COMENTARIO Todo número entero a puede expresarse como el cociente a 1 de manera que todo número entero es un número racional,

COMENTARIO

COMENTARIO Notación de los números decimales El primero en utilizar una notación sistemática para expresar los números decimales fue el matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620). No obstante, la versión actual de esta notación se debe a Willbord Suellius, quien vivió en los Países Bajos en el siglo xvii.

COMENTARIO El papiro de Rhind Las fracciones ya eran conocidas por los antiguos egipcios. Así lo atestigua un papiro de 3700 años de antigüedad en el que se leía “AH, el total y su séptima parte hacen 19”. Este importante vestigio histórico fue adquirido en 1858 en una tienda de Luxor por el anticuario escocés Henry Rhind.

En el conjunto de los números enteros también se definen las operaciones de suma y producto, que son cerradas, conmutativas, asociativas, distributivas y con elemento neutro multiplicativo. La “ventaja” sobre los naturales es la existencia del neutro aditivo y de los inversos aditivos, esto nos permite definir al “cero” y dar paso a la existencia de “números negativos”. La resta de enteros se define como la suma de un número con el inverso de otro.

No obstante, los números enteros no se pueden utilizar para describir cómo se divide la unidad en dos partes, por ejemplo. Los números racionales hacen su aparición.

Los números racionales ℚ

Se define el conjunto de los números racionales como

EJEMPLO 1 Algunos números racionales

1. 3 4 , 4 3 , 1 2 , 0

2. Cualquier número natural.

3. Cualquier número entero.

4. Toda expansión decimal finita.

5. Toda expansión decimal infinita y periódica.

Los números racionales encuentran su origen como cocientes de números enteros. En ℚ, además de cumplirse todas las propiedades de los enteros, se agrega la existencia de inversos multiplicativos para todos los números excepto el cero. Esto da origen a la operación de división como resultado de multiplicar un número por el inverso de otro no cero.

Como el resultado de dividir un número entero por el neutro multiplicativo 1 es el mismo número, se verifica que todo número entero es un número racional. Se cumple la contención propia ℕ⊂ℤ⊂ℚ

Para todo número racional p q es posible realizar la división aritmética de p entre q, para obtener como resultado un número decimal. El siguiente teorema presentado sin demostración expresa lo anterior.

TEOREMA 1.1

Todo número racional puede expresarse como una expansión decimal finita o como una expansión decimal infinita y periódica.

EJEMPLO 2 Una expansión decimal finita es un número racional

Demuestre que la expansión decimal 0.234 es un número racional.

Solución Sea x 0.234, entonces

x 0.234

1000 x 234

x 234 1000

Multiplique por 103

Despeje.

Exploración

Los números irracionales

Dados dos números racionales cualesquiera, siempre es posible hallar un nuevo número racional comprendido entre los dos; por ejemplo, entre m y n está el número racional m n 2 . Sin embargo, los números racionales no llenan toda la recta numérica. ¿Cómo se entiende esto? Basta con imaginar algunos números que, como o la raíz cuadrada de 2, no pueden expresarse como fracciones. Los números de esta clase se llaman irracionales y se “intercalan” en la recta real en los huecos que existen entre los elementos del conjunto ℚ.

Observación

En general, dada la expansión decimal finita 0.a1 a2 a3 ... an se supone

x 0.a1 a2 a3 an Multiplique por 10 n

10 n x a1 a2 a3 ... an Despeje.

x a1 a2 a3 an 10 n

EJEMPLO 3 Una expansión decimal infinita pero periódica es un número racional

Demuestre que la expansión decimal 0.369369369... 0.369 es un número racional.

Solución Sea x 0.369 0.369369369369..., entonces

x 0.369369369369... Multiplique por 10 3 .

10 3 x 369.369369369... Reste expresiones.

10 3 x 369.369369369...

x 0.369369369369...

999 x 369 Despeje. x 369 999

Considere los siguientes problemas

1. ¿Cuál es la solución de la ecuación x 2 2 0?

2. ¿Cuál es la razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro?

3. ¿Qué valor toma la función (x 1)1 x para valores de x casi cero?

Se puede verificar que las respuestas son números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, porque no son números racionales.

La necesidad de los números irracionales se presentó en problemas de geometría de la antigua Grecia; sin embargo, fue hasta el siglo xix que se mostraron avances significativos a través de los estudios realizados por Karl Weierstrass, George Cantor y Richard Dedekin. La construcción total se dio a partir de los axiomas que estableció Giuseppe Peano en 1889.

A pesar de que entre dos números racionales siempre existe otro número racional, existen “huecos” entre dos números racionales que no pueden determinarse, estos son los números irracionales. Se puede definir que los números irracionales son todos aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos enteros, o bien como aquellos números que tienen una expansión decimal infinita y no periódica

Los números irracionales

Se define el conjunto de los números irracionales como el conjunto de todos los números que no son racionales.

EJEMPLO 4 Algunos números irracionales

1. e

2.

3. p , si p es un número primo.

COMENTARIO Un número primo solo es divisible entre él mismo y entre la unidad, los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

Números reales

Números irracionales Números racionales

Enteros Fracciones noenteras (positivas ynegativas)

Enteros negativos Enteros no negativos

Números naturales Cero

Subconjuntos de los números reales. Figura 1.1

1.1

Números reales y sus propiedades

4. p q , con p y q números primos.

5. a p , si a es un número racional y p un número primo.

Los números reales ℝ

La recta numérica se completa al unir los números racionales con los números irracionales, son conjuntos disjuntos y mutuamente excluyentes. Hemos llegado a la definición de número real.

Se define el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales y los números irracionales.

De manera inmediata, es posible verificar la validez de las contenciones propias ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ y también ��⊂ℝ.

En la figura 1.1 se presenta de manera gráfica la clasificación de los diferentes subconjuntos de los números reales.

En el siguiente ejemplo se muestra cómo clasificar diferentes tipos de números.

EJEMPLO 5 Clasificar números reales

Considere el siguiente conjunto de números

13, 5, 1, 1 3 , 0, 5 8 , 2, , 7

determine cuáles son (a) números naturales, (b) números enteros no negativos, (c) números enteros, (d) números racionales y (e) números irracionales.

Solución

a. Números naturales: { 7 }

b. Números enteros no negativos: { 0, 7 }

c. Números enteros: { 13, 1, 0, 7 }

d. Números racionales: 13, 1, 1 3 , 0, 5 8 , 7

e. Números irracionales: { 5, 2, }

Para ver la figura a color, acceda al código

1.1 Ejercicios

Repaso de conceptos

Las respuestas a los ejercicios seleccionados pueden consultarse al final del libro.

1. Mencione los diferentes conjuntos numéricos y cómo están contenidos entre ellos.

2. Enuncie algunas propiedades de los números enteros que no tienen los números naturales.

3. ¿Cuáles son las propiedades de los números racionales que no tienen los números enteros?

4. Mencione qué tipo de número real se puede escribir como la razón entre dos números enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero.

5. ¿Qué tipo de números tienen una expansión decimal infinita y no periódica?

6. Mencione cuál es el tipo de números que tienen una expansión decimal finita o bien infinita pero periódica.

Clasificar números En los ejercicios 7 a 14, determine cuáles números del conjunto son (a) números naturales, (b) números enteros, (c) números racionales y (d) números irracionales.

7. { 9, 7 2 , 5, 2 3 , 2, 0, 1, 4, 2, 11}

8. { 5, 7, 7 3 , 0, 3.12, 5 4 , 3, 12, 5}

9. { 2.01, 0.666 . . . , 13, 0.010110111 . . . , 1, 6 }

10. { 2.3030030003 . . . , 0.7575, 4.63, 10, 75, 4 }

11. { , 1 3 , 6 3 , 1 2 2, 7.5, 1, 8, 22 }

12. { 25, 17, 12 5 , 9, 3.12, 1 2 , 7, 11.1, 13 }

13. { , 2, 2 , 2 }

14. { 2 , 2 , 2 }

Utilizar tecnología para expresar un número racional en forma decimal En los ejercicios 15 a 22, use alguna herramienta para hallar la forma decimal del número racional. Si es un decimal no finito, escriba el patrón repetitivo o periódico.

15. 3917 12500

17. 2 7

19. 5 8

16. 157 50

18. 12 125

20. 1 3

21. 41 333 22. 6 11

Convertir un número racional a su forma decimal En los ejercicios 23 a 30, utilice la división larga para expresar los siguientes números racionales en forma decimal.

23. 13 8 24. 4 99

Convertir un número en forma decimal a su forma racional En los ejercicios 31 a 42, escriba los números decimales dados, si es posible, en forma de fracción.

31. 3.14161592 32. 0.1001001001001001…

33. 0.718888888… 34. 2.2181818181

35. 1.4717171… 36. 0.19999…

37. 0.003434343… 38. 12.12121212…

39. 0.321321321… 40. 0.12345678901234567890…

41. 4.044044044… 42. 0.246824682468…

Exploración de conceptos

43. Demuestre que es irracional.

44. Demuestre que 2 es irracional.

45. Demuestre que la raíz cuadrada de un número primo es irracional.

46. Determine un racional que aproxime a .

47. Demuestre que la suma de dos racionales es otro racional pero que la suma de dos irracionales no necesariamente es un irracional.

48. Demuestre que entre dos racionales diferentes cualesquiera siempre existe otro racional.

49. Demuestre que entre dos irracionales diferentes cualesquiera siempre existe otro irracional.

50. Demuestre que entre dos reales diferentes cualesquiera siempre existe otro real.

51. ¿El producto de dos irracionales es otro irracional? Explique su respuesta.

52. Determine el menor natural, el menor entero positivo, el menor racional positivo y el menor irracional positivo.

¿Racional o irracional? En los ejercicios 53 a 58, determine si el resultado es un número racional o irracional. 53.

)

Exploración de conceptos

59. ¿La suma de dos números irracionales es otro irracional? Explique su respuesta.

60. Demuestre que el producto de dos números pares es par.

61. Demuestre que el producto de dos impares es otro impar.

25. 32 91

26. 32 11 27. 5678 1000 28. 31 16 29. 11 29 30. 2 7

62. Demuestre que si n es par entonces n 2 es par.

63. Demuestre que si n es impar entonces n 2 es impar.

64. Demuestre que el producto de un racional y un irracional es un irracional.

1.2 Axiomas de los números reales

Conocer los axiomas de los números reales. Conocer los axiomas de orden. Conocer el axioma de completitud.

Exploración

Si existiera la división entre 0…

¿En dónde está el error del siguiente desarrollo?

Suponga que a es un número real NO cero.

Sea

a b 0

Entonces a 2 ab

Restando b 2 a 2 b 2 ab b 2

Factorizando

(a b)(a b) b(a b)

“Despejando”

a b b(a b) a b

“Cancelando”

a b b

Y por el axioma 3, se tiene a 0¿?

¿Por qué?

El sistema de los números reales es uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas a cualquier nivel. Un estudio más profundo de este conjunto numérico queda fuera de esta obra y simplemente nos limitaremos a mencionar el conjunto de axiomas a partir de los cuales pueden derivarse las propiedades más conocidas de los números reales.

Axiomas de los números reales

Se enuncian los siguientes axiomas a partir de los cuales se desarrolla toda la teoría de los números reales.

Axiomas de los números reales

Dados dos números reales cualesquiera a y b se definen las operaciones cerradas suma a b y producto ab, que satisfacen los siguientes axiomas

Axioma 1.Propiedad conmutativa de la suma

a b b a

Axioma 2.Propiedad asociativa de la suma

a (b c)(a b) c

Axioma 3.Existencia del neutro aditivo

Existe el 0 ∊ℝ tal que a 0 a

Axioma 4.Existencia de inversos aditivos

Para todo número real a existe a ∊ℝ, tal que a ( a) 0

Axioma 5.Propiedad conmutativa del producto ab ba

Axioma 6.Propiedad asociativa del producto

a(bc)(ab) c

Axioma 7.Existencia del neutro multiplicativo

COMENTARIO La suma y el producto de números reales es cerrada, es decir:

si a, b ∊ℝ entonces

a b ∊ℝ y ab ∊ℝ

Existe el 1 ∊ℝ tal que a 1 a

Axioma 8.Existencia de inversos multiplicativos

Para todo número real a 0 existe a 1 ∊ℝ, tal que a a 1 1

Axioma 9.Propiedad distributiva

a (b c) ab ac

Todas las propiedades conocidas de los números reales pueden demostrarse a partir de los axiomas anteriores, por esta razón se dice que la teoría de los números reales es una teoría axiomática.

Definición de resta y división de números reales

Se define la resta y la división de números reales como sigue

1. a b a ( b)

2. a b ab 1, siempre que b 0

Los números reales se representan gráficamente mediante un sistema coordenado llamado recta numérica (recta de números reales o eje x). Al trazar un punto sobre la recta numérica que corresponda a un número real, estamos graficando el número real. El número real correspondiente a un punto sobre la recta numérica es la coordenada del punto. Como se muestra en la figura 1.2, se acostumbra marcar en la recta numérica los puntos que tienen coordenadas enteras.

El punto sobre la recta numérica correspondiente al cero es el origen y se denota por 0. Los números a la derecha del 0 son positivos y los números a la izquierda son negativos. El término no negativo describe un número que es positivo o cero. El término no positivo describe a un número ya sea negativo o cero.

Origen

Dirección negativa Dirección positiva 4 3 2 101234

La recta numérica

Figura 1.2

Como se ilustra en la figura 1.3, hay una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos sobre la recta numérica, es decir, cada punto sobre la recta corresponde a uno y solo un número real, y recíprocamente cada número real corresponde a uno y solo un punto sobre la recta numérica.

Todo número real corresponde exactamente a un punto sobre la recta de números reales.

Figura 1.3

EJEMPLO

Todo punto sobre la recta de números reales corresponde exactamente a un número real.

Grafique los números reales sobre la recta numérica.

a. 7 4

b. 2.3

c. 2 3

d. 1.8

Solución Los cuatro puntos se muestran en la figura 1.4.

Figura 1.4

1 Graficar números reales

Para ver las figuras a color, acceda al código

COMENTARIO En la recta real, la desigualdad a b se representa como un número a a la izquierda de un número b.

b a

1012

a b si y solo si a está a la izquierda de b

Figura 1.5

COMENTARIO Ley de tricotomía. Dados números reales cualesquiera, uno es mayor que otro o son iguales entre sí.

a. El punto que representa al número real 7 4 1.75 se encuentra entre 2 y 1, pero más cercano a 2, en la recta de números reales.

b. El punto que representa al número real 2.3 se encuentra entre 2 y 3, pero más cercano a 2, en la recta de números reales.

c. El punto que representa al número real 2 3 0.666… se encuentra entre 0 y 1, pero más cercano a 1, en la recta de números reales.

d. El punto que representa al número real 1.8 se encuentra entre 2 y 1, pero más cercano a 2, en la recta de números reales. Observe que el punto que representa a 1.8 está ligeramente a la izquierda del punto que representa a 7 4 .

El orden en los números reales

Una propiedad importante de los números reales es que están ordenados Si a y b son dos números reales se dice que a es menor que b si y solo si la diferencia b a es un número real positivo, y se escribe

a b si y solo si 0 b a

Esta relación también se puede describir diciendo que b es mayor que a y se escribe b a

De la misma manera se dice que un número a es menor o igual que b si y solo si la diferencia b a es un número real no negativo, esto es

a b si y solo si 0 b a

Esta relación también se puede describir diciendo que b es mayor o igual que a y se escribe b a

Finalmente, se dice que los números a y b son iguales si la diferencia a b es cero, es decir

a b si y solo si b a 0

El orden natural en el conjunto de los números reales se basa en comparar a cada real con el cero y ubicarlo a la izquierda o derecha de él según corresponda. En la recta real, la desigualdad a b implica que el número a está a la izquierda del número b como se muestra en la figura 1.5. Por ejemplo, 1 2 porque 1 está a la izquierda del 2.

Definición de los símbolos de desigualdad estricta y Los símbolos y se conocen como símbolos de desigualdad estricta y se leen “menor que” y “mayor que”, respectivamente.

COMENTARIO Los números reales son un conjunto ordenado.

Definición de los símbolos “menor o igual que” y “mayor o igual que”

Los símbolos y se conocen como símbolos de desigualdad no estricta y se leen “menor o igual que” y “mayor o igual que” respectivamente.

La expresión a b abrevia los casos a b o a b

La expresión b a abrevia los casos b a o b a.

Para ver la figura a color, acceda al código

COMENTARIO El ínfimo y el supremo de un conjunto cuando existen son únicos.

En los números reales la relación de orden satisface los siguientes axiomas.

Axiomas de orden en ℝ

Sean a, b ∊ℝ

Axioma 10.Ley de tricotomía

Se cumple una y solo una de las siguientes condiciones

a b, a b, a b

Nota: a b significa b a

Axioma 11. Si a b, entonces a c b c para cualquier c ∊ℝ

Axioma 12. Si 0 a y 0 b entonces 0 ab

Axioma 13.Propiedad de transitividad

Si a b y b c entonces a c

Ínfimo y supremo

Antes de presentar el último axioma de los números reales consideremos las siguientes definiciones.

Definición de cota superior y cota inferior

Sea A un subconjunto de números reales, entonces

1. Si existe x ∊ℝ tal que a x para todo a ∊ A, entonces x se llama cota superior de A y que el conjunto A está acotado por arriba.

2. Si existe x ∊ℝ tal que x a para todo a ∊ A, entonces x se llama cota inferior de A y que el conjunto A está acotado por abajo.

Definición de supremo de un conjunto

Sea A un subconjunto de números reales acotado por arriba y suponga que existe a ∊ℝ que satisface las siguientes dos condiciones

1. a es una cota superior de A

2. Si b ∊ℝ es una cota superior de A entonces a b. Entonces a se dice el supremo de A y tiene la propiedad de ser “la menor cota superior ”.

Definición de ínfimo de un conjunto

Sea A ⊆ℝ acotado por abajo y suponga que existe a ∊ℝ que satisface las siguientes dos condiciones

1. a es una cota inferior de A.

2. Si c ∊ℝ es una cota inferior de A entonces c a Entonces a se dice el ínfimo de A y tiene la propiedad de ser “la mayor cota inferior ”.

Para ver las figuras a color, acceda al código

COMENTARIO Sin importar qué tan “cercanos” estén dos números reales, siempre será posible encontrar otro número real entre ellos.

Ahora sí, estamos en condiciones de enunciar un último axioma de los números reales, conocido como axioma de completitud

Axioma 14.Axioma de completitud

1. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por arriba tiene un supremo.

2. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por abajo tiene un ínfimo.

Como un conjunto de números reales puede estar formado por un solo número real, entonces del axioma anterior se deduce que los reales son densos.

La densidad de los números reales

COMENTARIO El conjunto de los números reales es un conjunto

Una propiedad importante de los números reales es que entre dos reales diferentes cualesquiera sin importar qué tan cercanos estén, siempre existe otro número real y, como consecuencia, entre dos reales cualesquiera siempre existe una infinidad de números reales. En términos matemáticos decimos que el conjunto de los números reales es un conjunto denso.

EJEMPLO 2 Orden de los números reales

Coloque el símbolo de desigualdad apropiado ( o ) entre el par de números reales. a.

Solución

a. Como 3 está a la izquierda de 0 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.6, se puede decir que 3 es menor que 0, y escribimos 3 0.

b. Como 2 está a la derecha de 4 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.7, se puede decir que 2 es mayor que 4, y escribimos 2 4.

c. Como 1 4 está a la izquierda de 1 3 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.8, se puede decir que 1 4 es menor que 1 3 , y escribimos 1 4 1 3

d. Como 1 5 está a la derecha de 1 2 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.9, se puede decir que 1 5 es mayor que 1 2 , y escribimos 1 5 1 2 .

EJEMPLO 3 Orden de los números reales

Describa el subconjunto de números reales representado por cada desigualdad.

a. x 2 b. 2 x 3

Solución

a. La desigualdad x 2 denota todos los números reales menores o iguales que 2, como se ve en la figura 1.10.

b. La desigualdad 2 x 3 significa que x 2 y x 3. Esta “doble desigualdad” denota todos los números reales entre 2 y 3, incluido 2 pero no 3, como se muestra en la figura 1.11.

COMENTARIO La razón por la que los cuatro tipos de intervalos se llaman acotados es que cada uno tiene una longitud finita. Un intervalo que no tiene longitud finita es no acotado (vea abajo).

Intervalos en ℝ

Un conjunto es una colección de elementos. Dos conjuntos comunes son el conjunto de números reales y el conjunto de puntos en la recta numérica. Muchos problemas en el cálculo involucran subconjuntos de uno de estos dos conjuntos. En tales casos, es conveniente usar la notación de conjuntos de la forma { x : condición sobre x}, que se lee como sigue

El conjunto de todas las x tales que se cumple la condición. { x : condición sobre x }

Por ejemplo, se puede describir al conjunto de los números reales positivos como { x : x 0 } Conjunto de los números reales positivos.

De manera similar, se puede describir al conjunto de los números reales no negativos como { x : x 0 } Conjunto de los números reales no negativos.

La unión de dos conjuntos A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto de elementos que son miembros de A o de B o de ambos. La intersección de dos conjuntos A y B denotada por A ∩ B, es el conjunto de elementos que son miembros de A y B simultáneamente. Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en común. Los subconjuntos más utilizados en la recta numérica son los intervalos. Por ejemplo, el intervalo abierto

(a, b){ x : a x b } Intervalo abierto.

es el conjunto de todos los números reales más grandes que a y menores que b, donde a y b son los extremos del intervalo. Note que los extremos no están incluidos en el intervalo abierto. Los intervalos que incluyen sus extremos son cerrados y se denotan por

[a, b]{ x : a x b } Intervalo cerrado.

Existen nueve tipos básicos de intervalos en la recta numérica y se muestran a continuación en la tabla. Los primeros cuatro son intervalos acotados y los cinco restantes son intervalos no acotados. Los intervalos no acotados también se clasifican como abiertos o cerrados. Los intervalos (∞, b) y (a, ∞) son abiertos, los intervalos (∞, b] y [a, ∞) son cerrados y el intervalo (∞, ∞) se considera abierto y cerrado.

Intervalos en la recta numérica

Intervalos en la recta numérica (continuación)

COMENTARIO Siempre que escribamos un intervalo que contenga ∞ o ∞ usamos invariablemente un paréntesis y nunca corchetes. Esto es porque ∞ y ∞ nunca son puntos extremos de un intervalo y, por tanto, no están incluidos en él.

Los símbolos ∞ , infinito positivo, y ∞ , infinito negativo, no representan números reales. Simplemente son símbolos que se utilizan para describir lo ilimitado de un intervalo y permiten describir condiciones no acotadas de manera más precisa.

EJEMPLO 4 Usar desigualdades para representar intervalos

Use notación de desigualdades para describir cada uno de lo siguiente.

a. c es como máximo 2. b. m es al menos 3. c. Toda x en el intervalo ( 3, 5 ].

Solución

a. El enunciado “c es como máximo 2” puede representarse con c 2.

b. El enunciado “m es al menos 3” puede representarse con m 3.

c. “Toda x en el intervalo ( 3, 5]” puede representarse con 3 x 5.

EJEMPLO 5 Interpretar intervalos

Dé una descripción verbal de cada uno de los intervalos siguientes.

a. ( 1, 0) b. [2, ∞) c. (∞, 0)

Solución

COMENTARIO Algunos autores denotan los extremos de un intervalo abierto con puntos “huecos” y los extremos de un intervalo cerrado con puntos “rellenos”.

a. Este intervalo está formado por todos los números reales que sean mayores a 1 y menores que 0.

b. Este intervalo está formado por todos los números reales que sean mayores o iguales a 2.

c. Este intervalo está formado por todos los números reales negativos.

Como conjuntos de números reales, los intervalos se pueden operar con el álgebra de conjuntos estándar. Esto es, es posible realizar operaciones de unión, intersección, complemento, diferencia, etcétera.

EJEMPLO 6 Operaciones con intervalos

Determine el conjunto de números reales definido por ( 1, 6]∩[2, 10) y por ( 1, 6)∪[2, 10]

Solución

Los intervalos son conjuntos, de manera que, utilizando operaciones de conjuntos se tiene

EJEMPLO 7 Estados líquido y gaseoso del agua

Describir los intervalos en la recta numérica que corresponden a las temperaturas x del agua (en grados Celsius) en

a. Un estado líquido. b. Un estado gaseoso.

Solución

a. El agua está en estado líquido a temperaturas mayores que 0 °C y menores que 100 °C, como se muestra en la figura 1.12(a).

(0, 100){ x :0 x 100 }

b. El agua está en estado gaseoso a temperaturas mayores o iguales que 100 °C, como se muestra en la figura 1.12(b).

[100, ∞){ x : x 100 }

x 0100200300400 x 0255075100

Rango de temperatura del agua (en grados Celsius).

(a)(b)

Figura 1.12

Rango de temperatura del vapor (en grados Celsius).

Para ver la figura a color, acceda al código

1.2 Ejercicios Las respuestas a los

Repaso de conceptos

1. Enuncie los axiomas de los números reales.

2. Enuncie los axiomas de orden de los números reales.

3. Enuncie el axioma de completitud de los números reales.

4. Defina las relaciones de orden “mayor que”, “menor que”, “mayor o igual que” y “menor o igual que”.

5. ¿Cómo se define que dos números reales sean iguales?

6. Defina ínfimo y supremo de un conjunto.

7. ¿Qué significa que los números reales sean un conjunto denso?

8. ¿Qué es un intervalo de números reales?

9. En general, ¿cuántos tipos de intervalos existen?

10. Grafique los diferentes tipos de intervalos de números reales.

Graficar números reales En los ejercicios 11 y 12, grafique los números reales en la recta de números reales.

11. (a)3 (b) 7 2 (c) 5 2 (d) 5.2

12. (a)8.5 (b) 4 3 (c) 4.75 (d) 8 3

Aproximar y ordenar números En los ejercicios 13 y 14, aproxime los números y ponga el símbolo correcto ( o ) entre ellos.

13. 3 2013 123

14. 7 6 5 4 3 210

Graficar y ordenar números reales En los ejercicios 15 a 20, localice los dos números reales en la recta de números reales. A continuación, ponga el símbolo apropiado de desigualdad ( o ) entre ellos.

15. 4, 8

17. 3 2 , 7

19. 5 6 , 2 3

16. 3.5, 1

18. 1, 16 3

20. 8 7 , 3 7

Intervalos reales En los ejercicios 21 a 32, (a) haga una descripción verbal del subconjunto de los números reales representados por la desigualdad o el intervalo, (b) trace el subconjunto en la recta de números reales, y (c) diga si el intervalo es acotado o no acotado.

21. x 5

22. x 2

23. x 0 24. x 3

25. [4, ∞) 26. (∞, 2) 27. 2 x 2

Conjuntos de números reales En los ejercicios 33 a 40, use notación de desigualdad y notación de intervalo para describir el conjunto.

33. y es no negativo.

34. y es no mayor que 25.

35. x es como máximo 2 y a lo más 4.

36. y es al menos 6 y menor que 0.

37. t es al menos 10 y a lo más 22.

38. k es menor que 5 pero no menor que 3.

39. El peso del perro W es mayor que 65 libras.

40. Se espera que la tasa anual de inflación, r, sea al menos 2.5% pero no mayor que 5%.

Exploración de conceptos

41. Dados x, y ∊ℝ, si x y ordene los números x, y, xy , x y 2

42. Demuestre que la división entre cero no existe.

Ínfimo y supremo En los ejercicios 43 a 50, determine si existen, el ínfimo y el supremo para cada uno de los conjuntos dados.

43. A { 0.2, 0.29, 0.299, … }

49. A

∣ x 1 n , n ∊ℤ}

50. A { x∣ x es un racional no negativo }

Graficar intervalos En los ejercicios 51 a 58, represente gráficamente cada uno de los intervalos dados. 51. (

ejercicios seleccionados pueden consultarse al final del libro.

Unidad 1 Números reales

Operaciones con intervalos En los ejercicios 59 a 70, realice las operaciones con intervalos indicadas.

59. (∞, 3] ∪( 4, 2]

60. (∞, 7] ∪( 5, ∞)

61. ( 6, 7] ∩( 2, 5)

62. [[0, 4] ∩( 2, 1]] c

63. (∞, 1] ∩( 3, 3)

64. ((1, 8] ∪( 3, 2))∩[0, 1)

65. ((1, 5] ∩( 2, 3))c

66. [ 5, ∞)(3, 10]

67. ℝ((2, 8)∪( 1, 5))

68. ℝ(∞, 5)

69. ((0, 5] ∪( 2, 3))[4, 6]

70. (( 7, 3] ∪( 5, 7))∩[3, 10]

1.3 Desigualdades y valor absoluto

Resolver desigualdades lineales. Resolver desigualdades cuadráticas. Estudiar la definición de valor absoluto y sus propiedades. Resolver desigualdades con valor absoluto.

En esta sección estudiaremos dos conceptos fundamentales en el cálculo infinitesimal, el concepto de desigualdad (o inecuación) y el concepto de valor absoluto.

Desigualdades

A partir de los axiomas de los números reales, es posible establecer muchas propiedades de orden adicionales. Algunas de ellas se muestran en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.2Otras propiedades de orden

1. Si a b y 0 c entonces ac bc

2. Si a b y c 0 entonces bc ac

3. Si 0 a y 0 b entonces 0 a b

4. Si 0 a b y 0 c d entonces a c b d

5. Si 0 a b y 0 c d entonces ac bd

Demostración (1)

Si a b entonces por el axioma 11 a a b a, es decir, 0 b a, y si 0 c por el axioma 12 se cumple 0 (b a)c, luego 0 bc ac. De nueva cuenta, por el axioma 11 tenemos ac bc ac ac, donde finalmente ac bc

Demostración (2)

Si a b y c 0 entonces 0 b a y 0 c por el axioma 12 se cumple 0 (b a)( c), luego 0 bc ac. De nueva cuenta por el axioma 11 tenemos bc ac

Demostración (3)

Si 0 a y 0 b entonces por el axioma 11 si 0 a y 0 a b a Por tricotomía (axioma 10) se tiene 0 a b

Demostración (4)

Si 0 a b y 0 c d entonces 0 b a y 0 d c, por el inciso (3) de este teorema se tiene 0 (b a) (d c), luego 0 b d (a c). Finalmente a c b d.

Demostración (5)

Si 0 a b y 0 c d entonces ac bc y bc bd. Por tricotomía se concluye la demostración.

Ya estamos en condiciones de iniciar el estudio de las desigualdades. Se presenta a continuación la definición de una desigualdad real en una variable.

Si x = 0, entonces 2(0) − 5 = −5 < 7.

Si x = 5, entonces 2(5) − 5 = 5 < 7. x 8 234567 01 1

Si x = 7, entonces 2(7) − 5 = 9 > 7.

Verificación de soluciones de

2 x 5 7

Figura1.13

Definición de desigualdad en una variable

Una desigualdad en una variable es una expresión de la forma f (x) ≺ 0, donde ≺ es cualquiera de las relaciones de orden , , o

Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números reales que la satisfacen. Una desigualdad o inecuación tiene infinitas soluciones en forma de intervalo o unión de intervalos de números reales.

Para resolver una desigualdad se utilizan los axiomas de los números reales y el álgebra que de ellos se desarrolla, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

Si un número real a es una solución de una desigualdad, entonces la desigualdad se satisface (es verdadera) cuando a se sustituye por x. El conjunto de todas las soluciones es el conjunto solución de una desigualdad.

EJEMPLO 1 Resolver una desigualdad lineal

Resuelva la desigualdad 2 x 5 7

Solución

2 x 5 7

2 x 5 5 7 5

2 x 12

2 x 2 12 2

Escribir la desigualdad original.

Sumar 5 a cada lado.

Simplificar.

Dividir cada lado entre 2. x 6

Simplificar.

El conjunto solución es (∞, 6)

En el ejemplo 1, las cinco desigualdades enumeradas como pasos en la solución se dicen equivalentes porque tienen el mismo conjunto de soluciones.

Una vez que se ha resuelto una desigualdad, se pueden elegir algunos valores x en el conjunto solución para verificar que satisfagan la desigualdad original. También se pueden elegir valores fuera del conjunto solución para verificar que no satisfacen la desigualdad. Por ejemplo, la figura 1.13 muestra que cuando x 0 o x 5 la desigualdad 2 x 5 7 se satisface, pero cuando x 7 la desigualdad no se satisface.

EJEMPLO 2 Resolver una desigualdad lineal

Resuelva la desigualdad 3 x 2 4 x 10

Simplifique.

De manera equivalente. x

En forma de intervalo.

.

Para ver la figura a color, acceda al código

EJEMPLO 3 Resolver una desigualdad lineal

x 5 6 x 7

EJEMPLO 4 Resolver una desigualdad lineal doble

EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad lineal doble

3 5 x 2 7

Las desigualdades en los ejemplos anteriores son desigualdades lineales, esto es únicamente que involucran polinomios de primer grado. Para resolver desigualdades que involucran polinomios de mayor grado, se usa el hecho de que un polinomio puede cambiar signos solo en sus ceros reales (los valores que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros reales consecutivos, un polinomio debe ser completamente positivo o bien completamente negativo. Esto significa que cuando los ceros reales de un polinomio se ordenan, estos dividen la recta numérica en intervalos de prueba en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Entonces, si un polinomio tiene la forma factorizada

Para

Entonces los intervalos de prueba son

Para determinar el signo del polinomio en cada intervalo de prueba, se necesita probar solamente un valor del intervalo.

EJEMPLO 6 Resolver una desigualdad cuadrática

Resuelva la desigualdad x 2 3 x 2 0

Solución

Al factorizar la desigualdad x 2 3 x 2 0, tenemos ( x 1)( x 2) 0. Si consideramos la parte izquierda de la desigualdad como el producto de dos factores, este producto es positivo, lo cual ocurre cuando los factores son del mismo signo.

Se tienen los siguientes casos.

Caso 1 Si ( x 1)( x 2) 0

Entonces x 1 0 y x 2 0

De donde x 1 y x 2

12

El conjunto solución de estas dos desigualdades como se muestra en la figura 1.14(a) es (1, ∞)∩(2, ∞)(2, ∞).

Caso 2 Si ( x 1)( x 2) 0

Entonces x 1 0 y x 2 0

De donde x 1 y x 2

El conjunto solución de estas dos desigualdades es (∞, 1)∩(∞, 2)(∞, 1), vea la figura 1.14(b).

La solución de la desigualdad se tiene al unir las soluciones obtenidas en los casos 1 y 2. Es decir, la solución es el conjunto x ∊(∞, 1)∪(2, ∞), figura 1.14(c).

Figura 1.14

ver la figura a color, acceda al código

EJEMPLO 7 Resolver una desigualdad cuadrática

Resuelva la desigualdad x 2 x 6 0

Solución

Al factorizar la desigualdad x 2 x 6 0, tenemos (x 3)(x 2) 0.

Si consideramos la parte izquierda de la desigualdad como el producto de dos factores, este producto es menor o igual que cero, lo cual ocurre cuando los factores son de signos diferentes o cero.

Se tienen los siguientes casos.

Caso 1 Si ( x 3)( x 2) 0

Entonces x 3 0 y x 2 0

De donde x 3 y x 2

El conjunto solución de estas desigualdades es (∞, 3]∩[ 2, ∞)[ 2, 3], vea la figura 1.15.

Caso 2 Si ( x 3)( x 2) 0

Entonces x 3 0 y x 2 0

De donde x 3 y x 2

El conjunto solución de estas desigualdades es (∞, 2]∩[3, ∞)∅.

La solución de la desigualdad se obtiene al unir las soluciones obtenidas en los casos 1 y 2. Como puede observarse en la figura 1.15, la solución es el conjunto x ∊[ 2, 3] ∪∅[ 2, 3].

EJEMPLO 8 Resolver una desigualdad racional

Resuelva la desigualdad x 4 x 2 4

Solución

Considere la desigualdad x 4 x 2 $ 4; se tienen los siguientes dos casos dependiendo del signo del denominador.

Caso 1 Si x 1 2 . 0 (observe que no se puede dar el caso x 1 2 $ 0)

Entonces x 4 $ 4 (x 1 2) con x .22

De manera que 3x $ 12 y x .22

Al dividir entre 3, tenemos x #24 y x .22

Es decir, x ∊(∞, 4]∩ [ 2, ∞) 5 ∅

Caso 2 Si x 1 2 , 0 (observe que no se puede dar el caso x 1 2 # 0)

Entonces x 4 # 4 (x 1 2) con x ,22

De manera que 3x # 12 y x ,22

Al dividir entre 3, tenemos x $24 y x ,22

Es decir, x ∊[ 4, ∞)∩(∞, 2) 5 [ 4, 2)

Finalmente, la solución es la unión de los intervalos solución obtenidos en los dos casos, es decir x ∊[ 4, 2)∪∅ 5 [ 4, 2)

Figura 1.15

Para ver la figura a color, acceda al código

Otra manera de resolver una desigualdad es a través de un análisis gráfico. Para esto, es necesario recordar que dada una función f (x) los puntos de corte de su gráfica y el eje x se determinan resolviendo la ecuación f (x) 5 0. Además de considerar que si f (x) . 0 entonces la gráfica está por “arriba” del eje x y si f (x) , 0 entonces la gráfica está por “abajo” del eje x. Vea la figura 1.16.

EJEMPLO 9 Resolver una desigualdad cuadrática

Resuelva la desigualdad x 2 7 x 10 $ 0

Solución

Los puntos de corte de la gráfica de f (x) 5 x 2 1 7 x 1 10 5 (x 1 2)(x 1 5) y el eje x son x 522 y x 525. La gráfica de la función puede observarse en la figura 1.17. Se verifica que f (x) 5 (x 1 2)(x 1 5) $ 0en el intervalo (∞, 5)∪( 2, ∞). También puede observarse que f (x) 5 (x 1 2)(x 1 5) # 0 en [ 5, 2]

Valor absoluto de un número real

En la sección anterior se estableció que a cada número real se le asocia un único punto de la recta real considerando la distancia entre el origen (el cero) y el número dado. Esta distancia también se conoce como el valor absoluto o como la magnitud del número. Formalmente se tiene la siguiente definición.

Definición de valor absoluto de un número real

Si a es un número real, se define el valor absoluto de a como

si a $ 0

si a , 0

Definición de distancia entre dos números reales Si a, b ∊ℝ, se define su distancia como ∣a

ver las figuras a color, acceda al código

COMENTARIO Las propiedades anteriores siguen siendo válidas al cambiar los símbolos de desigualdad estrictos y por los no estrictos y

Propiedades del valor absoluto

En el siguiente teorema se enuncian las propiedades más importantes del valor absoluto. La demostración se deja como ejercicio para el lector (es suficiente aplicar la definición de valor absoluto).

TEOREMA 1.3Propiedades del valor absoluto

Sean a y b dos números reales y sea n un entero positivo.

Desigualdades y valor absoluto

En el siguiente teorema se presentan algunas propiedades del valor absoluto en las desigualdades.

TEOREMA 1.4Propiedades del valor absoluto en las desigualdades

1. ∣x∣ a si y solo si a x a

2. ∣x∣ a si y solo si x a o x a

5. Si y $ 0 entonces ∣x∣ y si y solo si

Demostración (1)

x 5 y si x $ 0

x 5 y si x , 0

Por definición, si ∣x∣ , a entonces se tienen los siguientes casos

x , a si x $ 0

x , a si x , 0

x , a si x $ 0

x . a si x , 0

Multiplicar por 1.

Aplicar transitividad.

a x a Para toda x ∊ℝ.

Demostración (2)

Por definición, si ∣x∣ . a entonces se tienen los siguientes casos

x . a si x $ 0

x . a si x , 0

x . a si x $ 0

x , a si x , 0

Multiplicar por 1.

Es decir, x a o x a para toda x ∊ℝ. La demostración de las propiedades restantes se asignan al lector como ejercicio.

EJEMPLO 11 Resolver la desigualdad ∣ 2x 8 ∣ 16

EJEMPLO 12 Resolver la desigualdad ∣ f (x ) L ∣ε

EJEMPLO 13 Resolver la desigualdad ∣ x a ∣ δ

Teorema 1.4, inciso 1.

δ , x a , δ

a δ , x , a 1 δ

x ∊(a δ, a 1 δ )

Por el axioma 11, sume a y simplifique.

En forma de intervalo.

EJEMPLO 14 Resolver la desigualdad ∣ 3x 3 ∣ 18

Solución

∣ 3x 1 3

Teorema 1.4, inciso 1. 18 #23x 1

Por el axioma 11, reste 3 a cada rama. 18

Simplifique.

Teorema 1.2, inciso 1, divida entre 3.

Simplifique.

7 $ x $25

5 # x # 7

x ∊[ 5, 7]

Reordene.

En forma de intervalo.

Desigualdades y valor absoluto

EJEMPLO 15 Resolver la desigualdad ∣ 2x 10 ∣ 4

Teorema 1.4, inciso 2, se tienen los siguientes dos casos.

EJEMPLO 16 Resolver la desigualdad ∣ 2 x 15 ∣ 5

Teorema 1.4, inciso 2, se tienen los siguientes dos casos.

EJEMPLO 17 Resolver la desigualdad ∣ 4 x 5 ∣ x 11

Teorema 1.4, inciso 2, se tienen los siguientes dos casos.

Repaso de conceptos

1. Enuncie la definición de desigualdad en una variable.

2. ¿Qué significa resolver una desigualdad?

3. ¿Cuándo dos desigualdades son equivalentes?

4. Explique cada una de las cinco propiedades de orden del teorema 1.3.

5. ¿Qué pasa cuando una desigualdad se multiplica por un número positivo? ¿Y por un número negativo?

6. Explique cómo determinar la solución de una desigualdad cuadrática.

7. Describa qué es una desigualdad lineal.

8. ¿Cómo se puede visualizar la solución de una desigualdad cuadrática en el plano cartesiano?

9. Enuncie la definición de valor absoluto de un número real.

10. Enuncie las propiedades del valor absoluto.

Evaluar una expresión En los ejercicios 11 a 20, evalúe la expresión.

35. y está al menos a seis unidades de 0. 36. y está como máximo a dos unidades de a Resolver desigualdades En los ejercicios 37 a 64, resuelva la desigualdad indicada, dé la solución en términos de intervalos y represéntela en la recta real.

¿Mayor, menor o igual? En los ejercicios 21 a 26, coloque el símbolo de orden correcto ( , o ) entre los dos números reales.

Distancia entre dos números En los ejercicios 27 a 32, encuentre la distancia entre a y b.

27. a 126, b 75 28. a 126, b 75

29. a 5 2 , b 0 30. a 1 4 , b 11 4

31. a 16 5 , b 112 75 32. a 9.34, b 5.65

Uso del valor absoluto En los ejercicios 33 a 36, use notación de valor absoluto para describir la situación.

33. La distancia entre x y 5 es no mayor que 3.

34. La distancia entre x y 10 es al menos 6.

Ejercicios Las respuestas a los ejercicios seleccionados pueden consultarse al final del libro.

Resolver desigualdades con valor absoluto En los ejercicios 85 a 100, resuelva la desigualdad mostrada, dé la solución en términos de intervalos y represéntela en la recta real.

107. Distancia Cuando una persona viaja por la autopista de Pensilvania, pasa el señalamiento de distancia 57 (en millas) cerca de Pittsburgh y luego el 236 cerca de Gettysburg. ¿Cuántas millas ha recorrido durante ese tiempo?

108. Temperatura La temperatura en Bismarck, Dakota del Norte, era de 60 °F al mediodía, luego 23 °F a medianoche. ¿Cuál fue el cambio en temperatura en el periodo de 12 horas?

Exploración de conceptos

101. Demuestre la desigualdad del triángulo, teorema 1.3.

102. Demuestre que si a 0 entonces a 2 0.

103. Demuestre que si ∣ x∣ 1 entonces x 2 x

104. Demuestre que si ∣ x∣ $ 1 entonces x 2 $ x

105. Suponiendo que 0 , a , b , c resuelva x 2 (a b) x ab x c $ 0

106. Si a, b, c, d . 0 son números reales tales que a b , c d demuestre que a b , a c b d , c d

al álgebra

Definir una expresión algebraica. Establecer las reglas básicas del álgebra. Definir los números primos.

Expresiones algebraicas

Una característica del álgebra es el uso de letras para representar números. Las letras son variables, y las combinaciones de letras y números son expresiones algebraicas. A continuación veamos unos ejemplos de expresiones algebraicas

5x, 2 x 3, 4 x 2 2 , 7x y

Definición de expresión algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números reales (constantes) combinados que usan operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y exponenciación.

Los términos de una expresión algebraica son las partes que están separadas por adición. Por ejemplo,

x 2 5 x 8 x 2 ( 5 x ) 8

tiene tres términos: x 2 y 5 x son los términos variables y 8 es el término constante El factor numérico de un término se llama coeficiente. Por ejemplo, el coeficiente de 5 x es 5, y el de x 2 es 1.

EJEMPLO 1 Identificar términos y coeficientes

Para evaluar una expresión algebraica, sustituya valores numéricos por cada una de las variables de la expresión, como se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2 Evaluar expresiones algebraicas

Observe que se debe sustituir el valor cada vez que se presente la variable.

Al evaluar una expresión algebraica, se usa el principio de sustitución, que dice que “si a b, entonces a puede ser sustituida por b en cualquier expresión en donde aparezca a”. En el ejemplo 2(a), vemos que 3 es sustituido por x la expresión 3 x 5.

Reglas básicas del álgebra

Hay cuatro operaciones aritméticas con números reales: adición, multiplicación, sustracción y división, denotadas por los símbolos , o , y o /. De estos, la adición y multiplicación son las dos operaciones primarias. Sustracción y división son operaciones inversas de adición y multiplicación, respectivamente.

Definiciones de sustracción y división

Sustracción: Sume lo opuesto. División: Multiplique por el recíproco.

a b a ( b) Si b 0, entonces a b a 1 b a b

En estas definiciones, b es el inverso aditivo (u opuesto) de b, y 1 b es el inverso multiplicativo (o recíproco) de b. En la forma fraccionaria a b, a es el numerador de la fracción y b es el denominador

Como las propiedades de los números reales siguientes son verdaderas para variables y expresiones algebraicas, así como para números reales, con frecuencia reciben el nombre de reglas básicas del álgebra. Trate de formular una descripción verbal de cada una de ellas. Por ejemplo, la primera propiedad dice que el orden en el que se suman dos números reales no afecta su suma

Reglas básicas de álgebra Sean a, b y c números reales, variables o expresiones algebraicas.

Como la sustracción se define como “sumar lo opuesto”, las propiedades distributivas también son verdaderas para la sustracción. Por ejemplo, la “forma de sustracción” de a(b c) ab ac es a(b c) ab ac. Observe que las operaciones de sustracción y división no son conmutativas ni asociativas. Los ejemplos

COMENTARIO Note la diferencia entre el opuesto de un número y un número negativo. Si a ya es negativo, entonces su opuesto, a, es positivo. Por ejemplo, si a 5, entonces

reales

demuestran que la sustracción y división no son conmutativas. Del mismo modo

5 (3 2)(5 3) 2y16 (4 2)(16 4) 2

demuestran que la sustracción y la división no son asociativas.

EJEMPLO 3 Identificar reglas del álgebra

Identifique la regla del álgebra ilustrada por el enunciado.

a. (5 x3)2 2(5 x3)

b. 4 x 1 3 4 x 1 3 0

c. 7x 1 7x 1, x 0

b. (2 5 x2) x2 2 (5 x2 x2)

Solución

a. Este enunciado ilustra la propiedad conmutativa de la multiplicación. En otras palabras, se obtiene el mismo resultado si se multiplica 5 x3 por 2 o 2 por 5 x3 .

b. Este enunciado ilustra la propiedad aditiva inversa. En términos de sustracción, esta propiedad simplemente dice que cuando cualquier expresión se resta de sí misma el resultado es 0.

c. Este enunciado ilustra la propiedad del inverso multiplicativo. Observe que es importante que x sea un número diferente de cero. Si x fuera 0, el recíproco de x sería no definido.

d. Este enunciado ilustra la propiedad asociativa de la adición. En otras palabras, para formar la suma

2 5 x2 x2 no importa si 2 y 5 x2, o 5 x2 y x2 se suman primero.

Propiedades de negación e igualdad Sean a, b y c números reales, variables o expresiones algebraicas.

PropiedadEjemplo

COMENTARIO La “o” en la propiedad del factor cero incluye la posibilidad de que cualquiera de los dos factores, o ambos, sean cero. Esto es una o inclusiva, y es la forma en que la conjunción “o” se usa por lo general en matemáticas.

Propiedades del cero

Sean a y b números reales, variables o expresiones algebraicas.

1. a 0 a y a 0 a 2. a 0 0

3. 0 a 0, a 0 4. a 0 no está definida.

5.Propiedad del factor cero: si ab 0, entonces a 0 o b 0.

Propiedades y operaciones de fracciones

Sean a, b, c y d números reales, variables o expresiones algebraicas tales que b 0 y d 0.

1.Fracciones equivalentes: a b c d si y solo si ad bc

2.Reglas de los signos: a b a b a b y a b a b

3.Generar fracciones equivalentes: a b ac bc , c 0

4.Sumar o restar denominadores comunes: a b c b a c b

5.Sumar o restar con denominadores diferentes: a b c d ad bc bd

6.Multiplicar fracciones: a b c d ac bd

7.Dividir fracciones: a b c d a b d c ad bc , c 0

EJEMPLO 4 Propiedades y operaciones con fracciones

COMENTARIO En la propiedad 1 de fracciones, la frase “si y solo si” implica dos enunciados. Un enunciado es: si a b c d, entonces ad bc El otro enunciado es: ad bc, donde b 0 y d 0, entonces a b c d

c. Sumar fracciones con denominadores diferentes:

Si a, b y c son enteros tales que ab c, entonces a y b son factores o divisores de c. Un número primo es un entero que tiene exactamente dos factores positivos, el propio número y 1, tales como 2, 3, 5, 7 y 11. Los números 4, 6, 8, 9 y 10 son compuestos porque cada uno de ellos se puede escribir como el producto de dos o más números primos. El número 1 no es primo ni compuesto. El teorema fundamental de la aritmética dice que todo entero positivo mayor que 1 puede escribirse como el producto de números primos en precisamente una forma (sin tomar en cuenta el orden). Por ejemplo, la factorización prima de 24 es 24 2 2 2 3.

1.4

Ejercicios

Repaso de conceptos

1. Defina expresión algebraica.

2. ¿Qué es un término algebraico?

3. ¿Qué es un coeficiente de un término algebraico?

4. Mencione las operaciones aritméticas primarias.

5. Defina la sustracción y la división.

6. ¿Qué son dos fracciones equivalentes?

Evaluar una expresión En los ejercicios 7 a 12, evalúe la expresión para cada uno de los valores de x. (Si no es posible, diga la razón.)

ExpresiónValores

7. 4 x 6 (a) x 1(b) x 0

8. 9 7 x (a) x 3(b) x 3

9. x 2 3 x 4 (a) x 2(b) x 2

10. x 2 5 x 4(a) x 1(b) x 1

11. x 1 x 1 (a) x 1(b) x 1

12. x x 2 (a) x 2(b) x 2

Reglas algebraicas En los ejercicios 13 a 24, identique la(s) regla(s) del álgebra ilustrada por el enunciado.

13. x 9 9 x

14. 2 ( 1 2 ) 1

15. 1 h 6 (h 6) 1, h 6

16. ( x 3)(x 3) 0

17. 2( x 3) 2 x 2 3

18. (z 2) 0 z 2

19. 1 (1 x) 1 x

20. (z 5) x z x 5 x

21. x ( y 10)(x y) 10

22. x (3 y)(x 3)y (3 x)y

23. 3( t 4) 3 t 3 4

24. 1 7 ( 7 12)( 1 7 7)12 1 12 12

Operaciones básicas En los ejercicios 25 a 32, realice la(s) operación(es). (Escriba respuestas fraccionarias en su forma más sencilla.)

Exploración de conceptos

En los ejercicios 33 y 34 use los números reales A, B y C mostrados en la recta numérica. Determine el signo de cada expresión. 0 CB A

33. (a) A 34. (a) C (b) B A (b) A C

Utilizar tecnología para aproximar valores En los ejercicios 35 y 36, aproxime el valor indicado.

35. (a)Use una calculadora para completar la tabla.

n 10.50.010.00010.000001

5 n

(b) Use el resultado del inciso (a) para hacer una conjetura acerca del valor de 5 n cuando n se aproxima a 0.

36. (a)Use una calculadora para completar la tabla.

n 110100100001000000

5 n

(b) Use el resultado del inciso (a) para hacer una conjetura acerca del valor de 5 n cuando n aumenta sin límite.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 37 a 40, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

37. Si a . 0 y b , 0, entonces a b . 0.

38. Si a . 0 y b , 0, entonces ab . 0.

39. Si a , b, entonces 1 a , 1 b , donde a 0 y b 0.

40. Como a b c 5 a c 1 b c , entonces c a b 5 c a 1 c b

41. ¿CÓMO LO VE? Considere ∣ u v ∣ y ∣ u ∣∣ v ∣, donde u 0 y v 0.

(a) ¿Los valores de las expresiones son siempre iguales? Si no es así, ¿en qué condiciones son desiguales?

(b) Si las dos expresiones no son iguales para ciertos valores de u y v, ¿una de las expresiones es siempre mayor que la otra? Explique.

Las respuestas a los ejercicios seleccionados pueden consultarse al final del libro.

Exploración de conceptos

42. ¿Hay diferencia entre decir que un número real es positivo y decir que un número real es no negativo? Explique.

43. Debido a que todo número par es divisible entre 2, ¿es posible que existan algunos números primos pares? Explique.

44. ¿Es posible que un número real sea racional e irracional? Explique.

45. ¿Puede alguna vez ser cierto que ∣ a∣ a para un número real a? Explique.

46. Describa las diferencias entre los conjuntos de números naturales, números enteros (solo positivos), enteros (positivos y negativos), números racionales y números irracionales.

Ejercicios de repaso

Exploración de conceptos

En esta primera unidad se inicia el estudio de los números reales. A partir de los axiomas de los números reales, de los axiomas de orden y del axioma de completitud se inicia la construcción de la teoría axiomática que fundamenta el cálculo diferencial e integral. En esta unidad se definieron los diferentes conjuntos numéricos que conforman a los números reales: los naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Se abordaron los conceptos de recta numérica, el orden y la densidad de los números reales. Con la definición de los nueve tipos de intervalos reales, del valor absoluto y de sus propiedades, fue posible iniciar el estudio de las desigualdades en una variable. La unidad 1 concluye con un breve repaso de las propiedades algebraicas en los reales.

1. Mencione de manera breve las principales propiedades de cada conjunto numérico contenido en los números reales.

2. Mencione los axiomas de los números reales.

3. Mencione los axiomas de orden de los números reales.

4. Explique con sus propias palabras en qué consiste el axioma de completitud.

5. Describa los nueve tipos de intervalos reales.

¿Racional o irracional? En los ejercicios 11 a 20, determine si el número real es racional o irracional.

11. 0.7

13. 3 2

15. 4.3451

17. 64 3

19. 4 5 8

12. 3678

14. 3 2 1

16. 22 7

18. 0.8177

20. ( 2 )3

Decimal repetido En los ejercicios 21 a 24, escriba el decimal repetido como una razón de dos enteros utilizando el siguiente procedimiento. Si x 0.6363. . . , entonces 100 x 63.6363. . . Restando la primera expresión de la segunda se tiene 99 x 63 o bien x 63 99 7 11 .

21. 0.36

23. 0.297

22. 0.318

24. 0.9900

25. Uso de las propiedades de las desigualdades

Dados a . b, determine cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos.

(a) a 2 b 2(b)5 b 5 a

(c) 5 a 5 b (d) 1 a 1 b

(e) (a b)(b a) 0(f) a 2 b 2

6. Defina el valor absoluto de un número.

7. Escriba las propiedades de orden de los números reales.

8. ¿Qué significa resolver una desigualdad en una variable real?

9. ¿Qué representa una expansión decimal infinita no periódica?

10. ¿Qué tipo de representación decimal tiene un número racional?

26. Intervalos y gráficas de números reales Complete la tabla con la notación de intervalos adecuada, notación de conjuntos y la gráfica en la recta numérica.

Notación de intervalos Notación de conjuntosGráfica

(∞, 4] { x: 3 x 11 2 }

( 1, 7)

Análisis de una desigualdad En los ejercicios 27 a 30, describa verbalmente el subconjunto de números reales representado por la desigualdad. Dibuje el subconjunto sobre la recta numérica y establezca si el intervalo es acotado o no acotado.

27. 3 , x , 3 28. x 4

29. x 5 30. 0 x , 8

Uso de desigualdades y notación de intervalos En los ejercicios 31 a 34, use desigualdades y notación de intervalos para describir el conjunto.

31. y es al menos 4.

32. q es no negativa.

33. Se espera que la tasa de interés r sobre los préstamos sea superior a 3% y no mayor a 7%.

34. Se pronostica que la temperatura de hoy estará por encima de 90 °F.

Las respuestas a los ejercicios seleccionados pueden consultarse al

final del libro.

Solución de una desigualdad En los ejercicios 35 a 54, resuelva la desigualdad y grafique la solución sobre la recta numérica.

en la recta numérica En los ejercicios 55 a 58, encuentre la distancia dirigida de a a b, la distancia dirigida de b

63. (a) Todos los números que están a lo más a 10 unidades del 12. (b) Todos los números que están al menos a 10 unidades del 12.

64. (a) y es al menos 4. (b) y está a menos de δ unidades de c

Determinación del punto medio En los ejercicios 65 a 68, encuentre el punto medio del intervalo.

65.

Para ver las figuras a color, acceda al código

Uso de la notación de valor absoluto En los ejercicios 59 a 64, use la notación de valor absoluto para definir el intervalo o par de intervalos sobre la recta numérica.

67. (a)[7, 21] (

)[8.6, 11,4]

68. (a)[ 6.85, 9.35] (b)[ 4.6, 1.3]

Falso o verdadero En los ejercicios 69 a 74, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o dé un contraejemplo que muestre que es falso.

69. El recíproco de un entero distinto de cero es un entero.

70. El recíproco de un número racional distinto de cero es un número racional.

71. Cada número real es racional o irracional.

72. El valor absoluto de cada número real es positivo.

73. Si x 0, entonces x 2 x

74. Si a y b son dos números reales diferentes, entonces a b o a b

Construcción de conceptos

75. Encuentre un ejemplo para el cual ∣ a b ∣∣ a∣∣ b ∣ y un ejemplo para el cual ∣ a b ∣∣ a∣∣ b ∣ Posteriormente, demuestre que ∣ a b ∣∣ a∣∣ b ∣ para todos los valores de a y b

76. Muestre que el máximo de dos números a y b está dado por la expresión

máx(a, b) 1 2 (a b ∣ a b ∣)

Deduzca una forma similar para mín(a, b)

Solución de problemas

Las

1. Beneficio El ingreso R por vender x unidades de un producto es

R 115.95 x y el costo de producir x unidades es

C 95 x 750

Para obtener un beneficio (positivo), R debe ser mayor que C ¿Para qué valores de x devolverá el producto un beneficio?

2. Costos de flota Una empresa de servicios públicos tiene una flota de camionetas. El costo operativo anual (en dólares) de cada camioneta se estima que es

C 0.32m 2 300

donde m se mide en millas. La empresa quiere que el costo operativo anual de cada camioneta sea menor que $10 000. Para hacer esto, m debe ser menor que qué valor?

3. Moneda justa Para determinar si una moneda es justa (que tiene igual probabilidad de caer “águila” hacia arriba o “sol” hacia arriba), se arroja la moneda 100 veces y se registra el número x de “soles” o de “águilas”. La moneda se declara no justa cuando ∣ x 50 5 ∣ $ 1.645

¿Para qué valores de x la moneda será declarada no justa?

4. Producción diaria La producción diaria estimada de petróleo en una refinería está dada por ∣ p 2 250 000∣ 125 000

donde p se mide en barriles. Determine los niveles de producción alto y bajo.

¿Qué número es mayor? En los ejercicios 5 y 6, determine cuál de los dos números reales es mayor.

5. (a) o 355 113

6. (a) 224 151 o 144 97

(b) o 22 7 (b) 73 81 o 6427 7132

7. Aproximación de potencias de 10 La luz viaja a la velocidad de 2.998 108 metros por segundo. ¿Cuál es la mejor estimación de la distancia en metros que viaja la luz en un año?

(a) 9.5 105 (b) 9.5 1015

(c) 9.5 1012 (d) 9.6 1016

8. Escritura La precisión de la aproximación de un número está relacionada con cuántos dígitos significativos hay en la aproximación. Escriba una definición de dígitos significativos e ilustre el concepto con ejemplos.

Demostración En los ejercicios 9 a 16, demuestre la propiedad dada. 9.

SERIE DE EJERCICIOS SELECCIONADOS PARA PREPARAR EXAMEN DE UNIDAD UNIDAD 1

Axiomas de los números reales

1. Enuncie los diferentes conjuntos numéricos de los números reales y su contención.

2. Enuncie los axiomas de los números reales.

En los ejercicios 3 a 6, represente gráficamente cada uno de los intervalos dados.

3. ( 4, 50] 4. [ 1, 5)

5. (∞, 3] 6. [ 6, ∞)

En los ejercicios 7 a 12, realice las operaciones con intervalos indicadas.

7. (∞

Desigualdades y valor absoluto

13. Enuncie los axiomas de orden en los números reales.

14. Enuncie las propiedades de orden.

En los ejercicios 15 a 28, resuelva la desigualdad indicada, dé la solución en términos de intervalos y represéntela en la recta

En los ejercicios 29 a 38, resuelva la desigualdad mostrada, dé la solución en términos de intervalos y represéntela en la recta real.

29. x 4 x 9 . 0

31. x 3

x 5 x 8 # 0

Para visualizar estos ejercicios seleccionados de manera digital, ingresa al código QR

39. Enuncie la definición de valor absoluto.

40. Defina la distancia entre dos números reales.

41. Enuncie las propiedades del valor absoluto.

42. Enuncie las propiedades del valor absoluto en las desigualdades.

En los ejercicios 43 a 51, resuelva la desigualdad mostrada, dé la solución en términos de intervalos y represéntela en la recta real.

que si

UNIDAD 1 EXÁMENES DE PRÁCTICA

Examen

Resuelva los siguientes problemas.

1. Enuncie los diferentes subconjuntos numéricos y su correspondiente contención.

2. Escriba la expansión decimal infinita periódica 4.0231 como una fracción.

3. Determine un número racional que se aproxime a

4. Realice la operación de intervalos ((1, 8)∪( 3, 2))∩[0, 1)

5. Resuelva las siguientes desigualdades.

(a) x 2 1 18 x 1 80 $ 0(b) x 4 x 9 . 0

(c) x x 1 $ 1 x (d)

(e) 1 #

6 x 3 4 x 2

Examen 2

Resuelva los siguientes problemas.

1. Enuncie los axiomas de los números reales.

2. Escriba la expansión decimal infinita periódica 8.0345 como una fracción.

3. Determine un número racional que se aproxime a 5 .

4. Realice la operación de intervalos (( 7, 3)∪( 5, 7))∩[3, 10)

5. Resuelva las siguientes desigualdades.

, 12

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