Mate 11 by Cengage

Mate 11 Nueva edición LARSON • EDWARDS • FALVO • JOHNSON • KUBY

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Ron Larson 5IF 1FOOTZMWBOJB 4UBUF 6OJWFSTJUZ 5IF #FISFOE $PMMFHF

Bruce Edwards 6OJWFSTJUZ PG 'MPSJEB

Robert Johnson .POSPF $PNNVOJUZ $PMMFHF

David C. Falvo 5IF 1FOOTZMWBOJB 4UBUF 6OJWFSTJUZ 5IF #FISFOE $PMMFHF

Patricia Kuby .POSPF $PNNVOJUZ $PMMFHF

Traducción Javier León Cárdenas Jorge Humberto Romo Muñoz Víctor Campos Olguín

Adaptación Jorge Arturo Rodríguez Chaparro %JSFDUPS SFB EF .BUFN¡UJDBT $PMFHJP 4BO +PSHF EF *OHMBUFSSB #PHPU¡ $PMPNCJa

Revisión pedagógica Walter Guillermo Abondano Mikán

MEN - 2024 ALINEADO A LOS DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

(JNOBTJP $PMPNCP #SJU¡OJDP 3FDUPS

Diseño de Pruebas Saber Francy Katerine Gómez Hernández $PMFHJP "OHMP "NFSJDBOP

Revisión técnica Angie Paola Muñoz León $PMFHJP "TQBFO *SBHVB

"VTUSBMJB ̾ #SBTJM ̾ $BOBE¡ ̾ &TUBEPT 6OJEPT ̾ .©YJDP ̾ 3FJOP 6OJEP ̾ 4JOHBQVS

Mate 11 Primera edición 3PO -BSTPO #SVDF &EXBSET %BWJE $ 'BMWP 3PCFSU +PIOTPO 1BUSJDJB ,VCZ

i % 3 QPS $FOHBHF -FBSOJOH &EJUPSFT 4 " EF $ 7 VOB $PNQB±B EF $FOHBHF -FBSOJOH *OD "W "OES©T .PMJOB &OSRVF[ 1SJNFS QJTP 0ͭDJOB ̹"̺ $PMPOJB "NQMJBDJ³O 4JOBUFM %FMFHBDJ³O *[UBQBMBQB $JVEBE EF .©YJDP $ 1 $FOHBHF -FBSOJOHn FT VOB NBSDB SFHJTUSBEB VTBEB CBKP QFSNJTP

Directora Higher Education Latinoamérica: -VDB 3PNP "MBOT Gerente editorial Latinoamérica: +FTºT .BSFT $IBD³O Editora: "CSJM 7FHB 0SP[DP Coordinador de manufactura: 3BGBFM 1©SF[ (PO[¡MF[ Diseño de portada: 'MBWJBOP 'SFHPTP 3PKBT Imagen de portada: i̮QIPUPQTJTU̮ ̮4IVUUFSTUPDL Diseño de interiores: #Z $PMPS 4PMVDJPOFT (S¡ͭDBT Composición tipogr£ȴca: &EJDJPOFT 07"

%&3&$)04 3&4&37"%04 /JOHVOB QBSUF EF FTUF USBCBKP BNQBSBEP QPS MB -FZ 'FEFSBM EFM %FSFDIP EF "VUPS QPES¡ TFS SFQSPEVDJEB USBOTNJUJEB BMNBDFOBEB P VUJMJ[BEB FO DVBMRVJFS GPSNB P QPS DVBMRVJFS NFEJP ZB TFB HS¡ͭDP FMFDUS³OJDP P NFD¡OJDP JODMVZFOEP QFSP TJO MJNJUBSTF B MP TJHVJFOUF GPUPDPQJBEP SFQSPEVDDJ³O FTDBOFP EJHJUBMJ[BDJ³O HSBCBDJ³O FO BVEJP EJTUSJCVDJ³O FO JOUFSOFU EJTUSJCVDJ³O FO SFEFT EF JOGPSNBDJ³O P BMNBDFOBNJFOUP Z SFDPQJMBDJ³O FO TJTUFNBT EF JOGPSNBDJ³O B FYDFQDJ³O EF MP QFSNJUJEP FO FM $BQUVMP *** "SUDVMP EF MB -FZ 'FEFSBM EFM %FSFDIP EF "VUPS TJO FM DPOTFOUJNJFOUP QPS FTDSJUP EF MB &EJUPSJBM &TUB FT VOB BEBQUBDJ³O EF MPT MJCSPT Cálculo UPNP * B FE 3PO -BSTPO #SVDF &EXBSET 1VCMJDBEP FO FTQB±PM QPS $FOHBHF -FBSOJOH i *4#/ USBEVDJEP EFM MJCSP Calculus, 10th Edition. 3PO -BSTPO #SVDF &EXBSET 1VCMJDBEP FO JOHM©T QPS #SPPLT $PMF VOB DPNQB±B EF $FOHBHF -FBSOJOH i *4#/ Precálculo B FE 3PO -BSTPO %BWJE $ 'BMWP 1VCMJDBEP FO FTQB±PM QPS $FOHBHF -FBSOJOH i *4#/ USBEVDJEP EFM MJCSP Precalculus UI &EJUJPO 3PO -BSTPO %BWJE $ 'BMWP 1VCMJDBEP FO JOHM©T QPS #SPPLT $PMF VOB DPNQB±B EF $FOHBHF -FBSOJOH i *4#/ Estadística elemental B FE &EJDJ³O SFWJTBEB 3PCFSU +PIOTPO 1BUSJDJB ,VCZ 1VCMJDBEP FO FTQB±PM QPS $FOHBHF -FBSOJOH i *4#/ USBEVDJEP EFM MJCSP Elementary Statistics, UI &EJUJPO 3PCFSU +PIOTPO 1BUSJDJB ,VCZ 1VCMJDBEP FO JOHM©T QPS #SPPLT $PMF VOB DPNQB±B EF $FOHBHF -FBSOJOH i *4#/ %BUPT QBSB DBUBMPHBDJ³O CJCMJPHS¡ͭDB -BSTPO 3PO #SVDF &EXBSET %BWJE $ 'BMWP 3PCFSU +PIOTPO 1BUSJDJB ,VCZ Mate 11. 1SJNFSB FEJDJ³O *4#/ 8 2 7JTJUF OVFTUSP TJUJP XFC FO IUUQ MBUBN DFOHBHF DPN Publicad Mxico

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

Mate

ara la realización de la nueva edición de la serie editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo), Ron Larson y David C. Falvo (Precálculo) y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos. Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES).

Mate

Mate 11 Nueva edición

P ROPUESTA CURRICULAR

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso), lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

CAPÍTULO

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES

RETO DEL CAPÍTULO

LO QUE DEBE SABER

Inscripciones escolares. El número N (en millones) de estudiantes inscritos en escuelas de Estados Unidos de 1995 a 2006 se muestra en la siguiente tabla.

Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Año

Número (N)

Año

Número (N)

1995 1996 1997 1998 1999 2000

69,8 70,3 72,0 72,1 72,4 72,2

2001 2002 2003 2004 2005 2006

73,1 74,0 74,9 75,5 75,8 75,2

Números reales R Números irracionales I

Números racionales Q Fracciones no enteras (positivas y negativas)

Enteros Z

Enteros negativos Z

Enteros positivos Z

Fuente: U.S. Census Bureau.

A. Use una calculadora graficadora para crear una gráfica de dispersión de los datos. Con t 5 5 represente el año correspondiente a 1995. B. Use el comando REGRESSION de una calculadora graficadora para hallar un modelo lineal para los datos. C. Grafique el modelo y la gráfica de dispersión en la misma pantalla. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? D. De acuerdo con el modelo, ¿durante cuáles años excederá de 74 millones el número de estudiantes inscritos en escuelas? E. ¿Es válido el modelo para predicciones a largo plazo de inscripción de estudiantes en escuelas? Explique.

Números naturales N

Cero

Dado el diagrama anterior, escriba el símbolo de desigualdad apropiado (, o .) entre el par de números reales. A.

3, 0

1 1 C. , 4 3

1 , 5

1 2

Describa el subconjunto de números reales representado por cada desigualdad. A. x 2 B. 2 x < 3

CONTENIDO OBJETIVOS 1. Identificar la estructura de los números reales. 2. Definir una función y hallar sus elementos. 3. Realizar operaciones y transformaciones usando funciones.

4. Modelar situaciones en contextos reales haciendo uso de las funciones.

Sección 1.1 Sección 1.2 Sección 1.3 Sección 1.4 Sección 1.5 Sección 1.6 Sección 1.7 Sección 1.8 Sección 1.9

Números reales y sus propiedades 2 Desigualdades no lineales 5 Funciones 12 Análisis de gráficas de funciones 24 Tipos de funciones 32 Transformaciones de funciones 36 Combinación de funciones 42 Funciones inversas 46 Modelado y variación matemáticos 50

PRESENTACIÓN DE LA SERIE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

E STRUCTURA DE LA SERIE Mate 11

&O FTUB OVFWB FEJDJ³O EF FODPOUSBS¡ VO BNQMJP EFTBSSPMMP EF MBT NBUFN¡UJDBT QBSUJFOEP EFM QMBOUFBNJFOUP Z TPMVDJ³O EF TJUVBDJPOFT FO DPOUFYUP FOGPDBEBT FO EBUPT SFBMFT Z TJUVBDJPOFT BUSBDUJWBT QBSB MPT FTUVEJBOUFT -B PCSB DVFOUB DPO

RETO DEL CAPÍTULO .FEJBOUF VO FKFNQMP TF JOUSPEVDFO MPT DPODFQUPT RVF TF USBCBKBS¡O B MP MBSHP EFM DBQUVMP DPO MB ͭOBMJEBE EF NPUJWBS MB JOWFTUJHBDJ³O Z FM EFTBSSPMMP EF DPOUFOJEPT QBSB SFTPMWFS FM SFUP

RETO DEL CAPÍTULO Control de tráfico aéreo. Un controlador detecta que dos aviones que vuelan a la misma altura tienen trayectorias perpendiculares y convergen en un punto (vea la figura). Uno de ellos está a 225 millas de dicho punto y vuela a 450 millas por hora. El otro está a 300 millas y se desplaza a 600 millas/h.

OBJETIVOS

OBJETIVOS 4F QSPQPOFO NFUBT RVF TF EFCFO BMDBO[BS NFEJBO UF FM EFTBSSPMMP EF DPODFQUPT QBSB MP DVBM TF BQPSUB VO FTCP[P HFOFSBM EF BTQFDUPT FTQFDͭDPT RVF MPT FTUVEJBOUFT EFCFO UFOFS FO DVFOUB QBSB BQSFOEFS Z BQMJDBS DBEB JEFB P DPODFQUP RVF TF QSFTFOUB

1. Identificar el significado de la derivada de una función.

2. Derivar funciones utilizando las reglas básicas de la derivación.

3. Derivar funciones utilizando las reglas del cociente y del producto.

CONTENIDO

CONTENIDO &M DPOUFOJEP QSFTFOUB FO EFUBMMF MPT UFNBT HFOFSBMFT RVF TF BCPSEBO FO FM UFYUP DPO MP DVBM FT QPTJCMF PSHB OJ[BS Z QMBOFBS FM USBCBKP QBSB BMDBO[BS FM BQSFOEJ[BKF QSPQVFTUP

LO QUE DEBE SABER " QBSUJS EF VO HSVQP EF QSFHVOUBT TF CVTDB RVF EF NBOFSB BVU³OPNB MPT FTUVEJBOUFT NJEBO TVT DPOPDJ NJFOUPT QSFWJPT Z BMHVOPT SFRVJTJUPT QBSB FM EFTBSSPMMP DPODFQUVBM EF DBEB DBQUVMP

Sección 3.1 La derivada y el problema de la recta tangente 102 Sección 3.2 Reglas básicas de derivación y razones de cambio 106 Sección 3.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 117 Sección 3.4 La regla de la cadena 127

LO QUE DEBE SABER Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Trazar una gráfica Considere una función f tal que f ′ es creciente. Dibuje las gráficas de f para a) f ′ < 0 y b) f ′ > 0. 2. Trazar una gráfica Considere una función f tal que f ′ es decreciente. Dibuje las gráficas de f para a) f ′< 0 y b) f ′> 0. 3. Trazar una gráfica Dibuje la gráfica de una función f tal que no tenga un punto de inflexión en (c, f (c)) aun cuando f ″(c) = 0.

DESARROLLO CONCEPTUAL 4F CBTB FO MPT BTQFDUPT N¡T SFMFWBOUFT Z ºUJMFT EF MBT UFN¡UJDBT QSPQJBT EF DBEB HSB EP &TUPT BTQFDUPT TF NVFTUSBO B QBSUJS EF TJUVBDJPOFT FO DPOUFYUP EFNPTUSBDJPOFT GPSNBMFT EF QSPQJFEBEFT Z EFͭOJDJPOFT DMBSBT IBDJFOEP ©OGBTJT FO FM SJHPS EF MBT NBUFN¡UJDBT Z FM CVFO VTP EFM MFOHVBKF Z FM QFOTBNJFOUP M³HJDP BDPSEF B DBEB FEBE "EFN¡T TF EFTUBDBO MPT DPODFQUPT EF NBZPS SFMFWBODJB QBSB RVF MPT FTUVEJBOUFT JOUVZBO TV JNQPSUBODJB DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de f en x está dada por f9 x

lím

f x

x x

x→0

f x

siempre que exista ese límite. Para todos los x para los que exista este límite, f ′ es una función de x.

EJEMPLOS RESUELTOS 4F FKFNQMJͭDB MB TPMVDJ³O EF QSPCMFNBT DPO TVT SFTQFDUJWPT QSPDFEJNJFOUPT &O DBEB FKFNQMP TF NVFTUSB FM DPNQPOFOUF BMHPSUNJDP BT DPNP MB BQMJDBDJ³O EF DPODFQ UPT RVF MMFWBO B MB TPMVDJ³O EFM QSPCMFNB EFOUSP EF DPOUFYUPT SFBMFT DVZP OJWFM EF DPNQMFKJEBE JODSFNFOUB EF GPSNB HSBEVBM

EJEMPLO

Encuentre f 9 x para f x x. A continuación, calcule la pendiente de la gráfica de f en los puntos (1, 1) y (4, 2). Analice el comportamiento de f en (0, 0). 1 SOLUCIÓN En el punto (1, 1) la pendiente es f 9 1 2 . En el punto (4, 2) la 1 pendiente es f9 4 (vea la figura 3.3). En el punto (0, 0) la pendiente no está 4 definida. Además, la gráfica de f tiene tangente vertical en (0, 0)

SECCIONES ADICIONALES &O FTUBT TFDDJPOFT TF NVFTUSB JOGPSNBDJ³O DPNQMFNFOUBSJB EF MPT UFNBT RVF TF FTUVEJBO QBSB SFGPS[BS FM BQSFOEJ[BKF

NOTA HISTÓRICA

A lo largo de todo el texto, la expresión lím f(x) L x c

lleva implícitas dos afirmaciones: el límite existe y es igual a L.

COMENTARIO

Se considera que el suizo Leonhard Euler (1707-1783) ha sido el matemático más prolífico y productivo de la historia. Una de sus más grandes aportaciones en matemáticas fue su uso de símbolos, o notación. La notación de función y 5 f(x) fue introducida por Euler.

E XPLORACIÓN Utilice una calculadora graficadora para representar la función f(x) 5 2x3 2 4x2 1 3x 2 5. En la misma pantalla, trace la gráfica y 5 x 2 5, y 5 2x 2 5 y y 5 3x 2 5. ¿Cuál de estas rectas, si es que hay alguna, parece ser tangente a la gráfica de f en el punto (0, 25)? Explique su razonamiento.

vii

APLIQUE LO APRENDIDO &O FTUB TFDDJ³O TF QSFTFOUB VOB BNQMJB TFMFDDJ³O EF FKFSDJDJPT EPOEF FM FTUVEJBOUF QPES¡ SFBͭS NBS TV EPNJOJP EF MPT DPODFQUPT Z FM NBOFKP BMHPSUNJDP EF MPT UFNBT EF DBEB DBQUVMP NFEJBOUF TV BQMJDBDJ³O FO DPOUFYUPT SFBMFT EJERCICIOS 1.2

APLIQUE LO APRENDIDO

En los ejercicios 1-4, llene los espacios en blanco. 1. Entre dos ceros consecutivos, un polinomio debe ser enteramente .

o enteramente del poli-

2. Para resolver una desigualdad polinomial, encuentre los números para la desigualdad. nomio y úselos para crear 3. Los números de referencia de una expresión racional son su

y su

4. La fórmula que relaciona costos, ingresos y utilidad es

HABILIDADES Y APLICACIONES En los ejercicios 5-12, resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica real. 5. x 2 < 9 7. x 2 2

6. x 2 8. x

9. x 2 11. x 2

10. x 2 12. x 2

25 4x 4 9 x < 6

16 32 1 6x 9 < 16 2x > 3

En los ejercicios 13-22, resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica real. 13.

1 x

21.

14.

2 < 0

x 18. x

6 1

x 17. x 1 x

9 3

> 0

12 2

1 22. x

< 0

15.

19.

3x x

5 5

2 x

16.

1 x

20.

5 1

7x 2x 5

3 x

1 x

EJERCICIOS DE REPASO &TUB TFDDJ³O BM DPODMVJS DBEB DBQUVMP SFºOF VO DPOKVOUP EF FKFSDJDJPT TPCSF MPT UFNBT USBUBEPT B ͭO EF DPNQSPCBS FM EPNJOJP Z MB BQSPQJBDJ³O EF DPODFQUPT 1

CAPÍTULO

EJERCICIOS DE REPASO

En los ejercicios 1 y 2, la figura muestra la gráfica de una función principal transformada. Identifique la función principal. y

6 2

2 2

−2 −2

4. h x 6. h x 4 2 x 2 3 8. h x 14. h x x 6 x 4 6 2 x 1 3 15. h x 5x 9 16. h x 2 x 4 x2

9 x

x x

1 2 x

23 3

2 5

12 2 x 1 9

1 3 3x 1 2 x

17. 18.

f x

gx gx

2x 3

En los ejercicios 19 y 20, encuentre a) f g y b) g f. Encuentre el dominio de cada función y cada función compuesta.

viii

25.

f x

1, 0

26. f x

4 5

En los ejercicios 27 y 28, determine si la función tiene una función inversa. y

27.

300, 2

En los ejercicios 25 y 26, encuentre informalmente la función −1 inversa de f. Verifique que f ( f ( x )) = x y f −1 ( f ( x )) = x.

28.

En los ejercicios 17 y 18, encuentre a) ( f + g)( x ), b) ( f − g)( x ), c) ( fg)( x ) y d) ( f /g)(x). ¿Cuál es el dominio de ( f /g)(x).

50T

donde t es el tiempo en horas. a) Encuentre la composición N(T(t)) e interprete su significado en el contexto, y b) encuentre el tiempo cuando la cantidad de bacterias llegue a 750.

En los ejercicios 3-16, h está relacionada con una de las funciones principales descritas en este capítulo. a) Identifique la función principal f. b) Describa la sucesión de transformaciones de f a h. c) Trace la gráfica de h. d) Use la notación de funciones para escribir h en términos de f. 3. h x 5. h x 7. h x 9. h x 10. h x 11. h x 12. h x 13. h x

25T 2

donde T es la temperatura del alimento en grados Celsius. Cuando el alimento se retira de refrigeración, su temperatura está dada por

−4 −2

24. Cantidad de bacterias El número N de bacterias en un alimento refrigerado está dado por

8 6

−8

C. Encuentre r c 13 . Use la gráfica del inciso B para verificar su resultado.

2 −2

−2 2

−4

−2

−4 −6

En los ejercicios 29-32, use una calculadora graficadora para graficar la función y use la prueba de la recta horizontal para determinar si esta es biunívoca y, por tanto, tiene una

PRUEBA SABER 1BSB FTUB OVFWB FEJDJ³O TF EJTF±BSPO OVFWBT 1SVFCBT 4BCFS &TUB QSVFCB FWBMºB MBT DPNQFUFODJBT EF MPT FTUV EJBOUFT QBSB FOGSFOUBS TJUVBDJPOFT RVF QVFEFO SFTPMWFSTF DPO FM VTP EF IFSSBNJFOUBT NBUFN¡UJDBT 5BOUP MBT DPNQFUFODJBT EFͭOJEBT EF MB QSVFCB DPNP MPT DPOPDJNJFOUPT NBUFN¡UJDPT RVF FM FTUVEJBOUF SFRVJFSF QBSB SFTPMWFS MBT TJUVBDJPOFT QMBOUFBEBT TF CBTBO FO MBT EFͭOJDJPOFT EF MPT FTU¡OEBSFT C¡TJDPT EF DPNQFUFODJBT FO NBUFN¡UJDBT EFM .JOJTUFSJP EF &EVDBDJ³O /BDJPOBM EF $PMPNCJB %F FTUB NBOFSB TF JOUFHSBO DPNQFUFODJBT Z DPOUFOJEPT FO EJTUJOUBT TJUVBDJPOFT P DPOUFYUPT FO MPT DVBMFT MBT IFSSBNJFOUBT NBUFN¡UJDBT DPCSBO TFOUJEP Z TPO VO JNQPSUBOUF SFDVSTP QBSB MB DPNQSFOTJ³O EF TJUVBDJPOFT MB USBOTGPSNBDJ³O EF MB JOGPSNBDJ³O MB KVTUJͭDBDJ³O EF BͭSNBDJPOFT Z MB TPMVDJ³O EF QSPCMFNBT -BT 1SVFCBT 4BCFS FTU¡O EJTF±BEBT QBSB OP SFRVFSJS FM VTP EF MB DBMDVMBEPSB

PRUEBA SABER MATE 11 t CAPÍTULO 1

La Prueba Saber evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Esta prueba cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma: R Razonamiento y argumentación

Para visualizar más preguntas tipo Prueba Saber de manera digital ingrese al código QR.

S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora.

PRUEBA SABER

&O FM NJTNP BQBSUBEP EF MBT 1SVFCBT 4BCFS FO MB QBSUF JOGFSJPS OPUBS¡ RVF TF JODMVZF VO D³EJHP 23 BM FTDBOFBSMP QPES¡ WJTVBMJ[BS QSFHVOUBT DPNQMFNFOUBSJBT EF NBOFSB EJHJUBM $PNP BQPZP BEJDJPOBM B MPT QSPGFTPSFT RVF BEPQUFO MB PCSB TF MFT QSPQPSDJPOBS¡O MBT 3FTQVFTUBT EF MBT 1SVFCBT 4BCFS $POTVMUF U©SNJOPT Z DPOEJDJPOFT DPO TV SFQSFTFOUBOUF $FOHBHF

GLOSARIO Y BIBLIOGRAFÍA "M ͭOBM EFM MJCSP TF JODMVZFO VO HMPTBSJP Z VOB CJCMJPHSBGB B ͭO EF FOSJRVFDFS FM BQSFOEJ[BKF

GLOSARIO A Antiderivada. Una función F es una antiderivada de f, en un intervalo I, si F9(x) 5 f (x) para todo x en I.

Experimento. Cualquier suceso para el cual el resultado es incierto.

Asíntota. Línea recta a la cual se aproxima una función cuando se prolonga indefinidamente, es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero.

Experimento aleatorio. Situación en la cual una misma acción da origen a resultados diferentes.

F F

ió

R l ió

ió

t d ld

BIBLIOGRAFÍA Johnson, Robert & Kuby, Patricia. Estadística elemental, 11a. ed. México. Cengage Learning. 2016.

Larson, Ron & Falvo, David C. Precálculo, 8a. ed. México. Cengage Learning. 2012.

Larson, Ron & Edwards, Bruce. Cálculo: tomo I, 10a. ed. México. Cengage Learning. 2016.

Mate 11

-P JOWJUBNPT B DPOPDFS Z VUJMJ[BS VO UFYUP RVF MF EBS¡ B MPT FTUVEJBOUFT MB DPOͭBO[B OFDFTBSJB QBSB BQMJDBS MBT NBUFN¡UJDBT B USBW©T EF VO MJCSP EF UFYUP QFEBH³HJDP Z BDDFTJCMF

AGRADECIMIENTOS

"HSBEFDFNPT FM BQPZP Z DPMBCPSBDJ³O FO MB SFWJTJ³O EF FTUB PCSB B MPT QSPGFTPSFT Francisco Javier Díaz Rojas 6OJWFSTJEBE EF MB 4BCBOB $PMPNCJB

Dayra Maritza Parra Mancipe $PMFHJP %F -B 4BMMF #PHPU¡ $PMPNCJB

Erick Daniel Camacho Montero $FOUSP &EVDBUJWP )PSJ[POUFT $PTUB 3JDB

Edgar Solano Solano $PNQMFKP &EVDBUJWP $*5 $PTUB 3JDB

NOTA En algunos países de América Latina se utiliza el punto o la coma baja para la notación de los números decimales. En esta serie de libros de encontrará que los números decimales se separan mediante coma baja.

Mate

AGRADECIMIENTOS MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO BREVE

CAPÍTULO

1 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES 1

CAPÍTULO

2 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES 61

CAPÍTULO

3 DERIVACIÓN 101

CAPÍTULO

4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 155

CAPÍTULO

5 INTEGRACIÓN. ANTIDERIVADAS E INTEGRACIÓN DEFINIDA

CAPÍTULO

205

6 PROBABILIDAD

299

GLOSARIO 349 BIBLIOGRAFÍA 350

CONTENIDO BREVE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO DETALLADO CAPÍTULO

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES

SECCIÓN 1.1 NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES 2 DEFINICIÓN DEL ORDEN DE LA RECTA DE NÚMEROS REALES 2 INTERVALOS ACOTADOS EN LA RECTA DE NÚMEROS REALES

INTERVALOS NO ACOTADOS EN LA RECTA DE NÚMEROS REALES DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO 4 PROPIEDADES DE VALORES ABSOLUTOS 5

SECCIÓN 1.2 DESIGUALDADES NO LINEALES 5 HALLAR INTERVALOS DE PRUEBA PARA UN POLINOMIO 5

EJERCICIOS 1.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.3 FUNCIONES 12 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN DEL CONJUNTO A AL B 12 CUATRO MODOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN RESUMEN DE LA TERMINOLOGÍA DE FUNCIONES

EJERCICIOS 1.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.4 ANÁLISIS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES 24 PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL PARA FUNCIONES CEROS DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES PRUEBAS PARA FUNCIONES PARES E IMPARES

EJERCICIOS 1.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.5 TIPOS DE FUNCIONES 32 EJERCICIOS 1.5 APLIQUE LO APRENDIDO

xii

CONTENIDO DETALLADO MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

SECCIÓN 1.6 TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES 36 DESPLAZAMIENTOS VERTICAL Y HORIZONTAL

REFLEXIONES EN LOS EJES DE COORDENADAS 37

EJERCICIOS 1.6 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.7 COMBINACIÓN DE FUNCIONES 42 SUMA, DIFERENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES DEFINICIÓN DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIOS 1.7 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.8 FUNCIONES INVERSAS 46 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA

EJERCICIOS 1.8 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.9 MODELADO Y VARIACIÓN MATEMÁTICOS 50 VARIACIÓN DIRECTA

VARIACIÓN INVERSA

EJERCICIOS 1.9 APLIQUE LO APRENDIDO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

LÍMITES Y SUS PROPIEDADES 61 SECCIÓN 2.1 UNA MIRADA PREVIA AL CÁLCULO 62 SECCIÓN 2.2 DETERMINACIÓN DE LÍMITES DE MANERA GRÁFICA Y NUMÉRICA 63 EXPLORACIÓN

COMPORTAMIENTOS ASOCIADOS CON LA NO EXISTENCIA DE UN LÍMITE DEFINICIÓN DE LÍMITE

EJERCICIOS 2.2 APLIQUE LO APRENDIDO

xiii

SECCIÓN 2.3 CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES 71 TEOREMA 2.1 ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS 71 TEOREMA 2.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 71 TEOREMA 2.3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES TEOREMA 2.4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL

TEOREMA 2.5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

TEOREMA 2.6 LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

TEOREMA 2.7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO, SALVO EN EL PUNTO

ESTRATEGIA PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES TEOREMA 2.8 TEOREMA DEL EMPAREDADO

TEOREMA 2.9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES

EJERCICIOS 2.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.4 CONTINUIDAD Y LÍMITES LATERALES O UNILATERALES 81 DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD 82 TEOREMA 2.10 EXISTENCIA DE UN LÍMITE

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD SOBRE UN INTERVALO CERRADO 84

EJERCICIOS 2.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.5 LÍMITES INFINITOS 86 DEFINICIÓN DE LÍMITES INFINITOS 87 DEFINICIÓN DE ASÍNTOTA VERTICAL 88 TEOREMA 2.11 ASÍNTOTAS VERTICALES

TEOREMA 2.12 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS 90

EJERCICIOS 2.5 APLIQUE LO APRENDIDO

PRUEBA SABER 98

xiv

CAPÍTULO

DERIVACIÓN 101 SECCIÓN 3.1 LA DERIVADA Y EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE 102 DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

EJERCICIOS 3.1 APLIQUE LO APRENDIDO

103

105

SECCIÓN 3.2 REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Y RAZONES DE CAMBIO 106 TEOREMA 3.1 LA REGLA DE LA CONSTANTE 106 TEOREMA 3.2 LA REGLA DE LA POTENCIA 107 TEOREMA 3.3 LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE 109 TEOREMA 3.4 LAS REGLAS DE SUMA Y RESTA 110 TEOREMA 3.5 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

EJERCICIOS 3.2 APLIQUE LO APRENDIDO

111

114

SECCIÓN 3.3 REGLAS DEL PRODUCTO, DEL COCIENTE Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 117 TEOREMA 3.6 LA REGLA DEL PRODUCTO

117

TEOREMA 3.7 LA REGLA DEL COCIENTE 119 TEOREMA 3.8 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIOS 3.3 APLIQUE LO APRENDIDO

121

123

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA 127 TEOREMA 3.9 LA REGLA DE LA CADENA

128

TEOREMA 3.10 LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA 129 RESUMEN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN

EJERCICIOS 3.4 APLIQUE LO APRENDIDO

132 133

SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 136 ESTRATEGIAS PARA LA DERIVACIÓN IMPLÍCITA

EJERCICIOS 3.5 APLIQUE LO APRENDIDO

137

139

SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 140 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 140 TEOREMA 3.11 DERIVADAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL TEOREMA 3.12 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

141

142

TEOREMA 3.13 DERIVADAS DE BASES DISTINTAS DE e 144

EJERCICIOS 3.6 APLIQUE LO APRENDIDO

145

SECCIÓN 3.7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: DERIVACIÓN 146 DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

146

TEOREMA 3.14 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS REGLAS BÁSICAS PARA DERIVAR FUNCIONES ELEMENTALES

EJERCICIOS 3.7 APLIQUE LO APRENDIDO

150

PRUEBA SABER 152

CAPÍTULO

APLICACIONES DE LA DERIVADA 155 SECCIÓN 4.1 RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS 156 ESTRATEGIA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS 157

EJERCICIOS 4.1 APLIQUE LO APRENDIDO

159

SECCIÓN 4.2 EXTREMOS EN UN INTERVALO 161 DEFINICIÓN DE EXTREMOS 162 TEOREMA 4.1 EL TEOREMA DEL VALOR EXTREMO 162 DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS 162 ESTRATEGIAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS EXTREMOS EN UN INTERVALO 164

EJERCICIOS 4.2 APLIQUE LO APRENDIDO

xvi

165

148

SECCIÓN 4.3 TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO 166 TEOREMA 4.2 TEOREMA DE ROLLE 166

EJERCICIOS 4.3 APLIQUE LO APRENDIDO

168

SECCIÓN 4.4 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA 169 DEFINICIÓN DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

169

TEOREMA 4.3 CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

169

ESTRATEGIAS PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN LOS QUE UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE 170

EJERCICIOS 4.4 APLIQUE LO APRENDIDO

171

SECCIÓN 4.5 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 173 DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD

173

TEOREMA 4.4 CRITERIO DE CONCAVIDAD

174

DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN 175 TEOREMA 4.5 PUNTO DE INFLEXIÓN 175 TEOREMA 4.6 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 177

EJERCICIOS 4.5 APLIQUE LO APRENDIDO

177

SECCIÓN 4.6 LÍMITES AL INFINITO 179 DEFINICIÓN DE UNA ASÍNTOTA HORIZONTAL 180 TEOREMA 4.7 LÍMITES AL INFINITO 180 ESTRATEGIA PARA DETERMINAR LÍMITES EN 6` DE FUNCIONES RACIONALES 182

EJERCICIOS 4.6 APLIQUE LO APRENDIDO

184

SECCIÓN 4.7 RESUMEN DEL TRAZADO DE CURVAS 186 ESTRATEGIA PARA ANALIZAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

EJERCICIOS 4.7 APLIQUE LO APRENDIDO

187

190

xvii

SECCIÓN 4.8 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 191 ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MÍNIMOS Y MÁXIMOS 193

EJERCICIOS 4.8 APLIQUE LO APRENDIDO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

196

203

INTEGRACIÓN. ANTIDERIVADAS E INTEGRACIÓN DEFINIDA

205

SECCIÓN 5.1 ANTIDERIVADAS E INTEGRACIÓN INDEFINIDA 206 DEFINICIÓN DE UNA ANTIDERIVADA 206 TEOREMA 5.1 REPRESENTACIÓN DE ANTIDERIVADAS REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

206

208

EJERCICIOS 5.1 APLIQUE LO APRENDIDO

212

SECCIÓN 5.2 SUMAS DE RIEMANN E INTEGRALES DEFINIDAS 213 DEFINICIÓN DE SUMA DE RIEMANN

214

DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA 215 TEOREMA 5.2 CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD 215 TEOREMA 5.3 LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

216

DEFINICIONES DE DOS INTEGRALES DEFINIDAS ESPECIALES 218 TEOREMA 5.4 PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS 218 TEOREMA 5.5 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS 219

EJERCICIOS 5.2 APLIQUE LO APRENDIDO

219

SECCIÓN 5.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 222 ANTIDERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DEFINIDA

223

TEOREMA 5.6 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 223 ESTRATEGIA PARA UTILIZAR EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 224

xviii

EJERCICIOS 5.3 APLIQUE LO APRENDIDO

225

SECCIÓN 5.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 226 227

TEOREMA 5.7 ANTIDERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA ESTRATEGIA PARA REALIZAR UN CAMBIO DE VARIABLE 230

TEOREMA 5.8 CAMBIO DE VARIABLE PARA INTEGRALES DEFINIDAS 230 TEOREMA 5.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES PARES E IMPARES DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

232

233

DEFINICIÓN DE e 234

EJERCICIOS 5.4 APLIQUE LO APRENDIDO

234

SECCIÓN 5.5 LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL: INTEGRACIÓN 236 TEOREMA 5.10 REGLA DE INTEGRACIÓN DE LOGARITMOS REGLAS PARA LA INTEGRACIÓN

236

239

TEOREMA 5.11 REGLAS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES

EJERCICIOS 5.5 APLIQUE LO APRENDIDO

240

242

SECCIÓN 5.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: INTEGRACIÓN 243 TEOREMA 5.12 INTEGRALES QUE CONTIENEN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 244 REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN (a > 0) 245

EJERCICIOS 5.6 APLIQUE LO APRENDIDO

246

SECCIÓN 5.7 REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 247 REPASO DE LAS REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN ( a > 0) 248 PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRANDOS A LAS REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 250

EJERCICIOS 5.7 APLIQUE LO APRENDIDO

251

SECCIÓN 5.8 INTEGRACIÓN POR PARTES 252 TEOREMA 5.13 INTEGRACIÓN POR PARTES

252

xix

REGLAS PARA LA INTEGRACIÓN POR PARTES

253

RESUMEN: INTEGRALES COMUNES UTILIZANDO INTEGRACIÓN POR PARTES 255

EJERCICIOS 5.8 APLIQUE LO APRENDIDO

256

SECCIÓN 5.9 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS 257 DIRECTRICES PARA LA EVALUACIÓN DE INTEGRALES QUE IMPLICAN POTENCIAS DE SENO Y COSENO 257 FÓRMULAS DE WALLIS 259 DIRECTRICES PARA LA EVALUACIÓN DE INTEGRALES QUE IMPLICAN POTENCIAS DE LA SECANTE Y LA TANGENTE 260

EJERCICIOS 5.9 APLIQUE LO APRENDIDO

263

SECCIÓN 5.10 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 265 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (a > 0) 265

EJERCICIOS 5.10 APLIQUE LO APRENDIDO

268

SECCIÓN 5.11 FRACCIONES PARCIALES 269 DESCOMPOSICIÓN DE N (x )/D (x ) EN FRACCIONES PARCIALES DIRECTRICES PARA SOLUCIONAR LA ECUACIÓN BÁSICA

EJERCICIOS 5.11 APLIQUE LO APRENDIDO

276

SECCIÓN 5.12 ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS 278 ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS 279

EJERCICIOS 5.12 APLIQUE LO APRENDIDO

282

SECCIÓN 5.13 VOLUMEN: MÉTODO DE LOS DISCOS 284 MÉTODO DE LOS DISCOS

285

EJERCICIOS 5.13 APLIQUE LO APRENDIDO PRUEBA SABER

289

295

271

CAPÍTULO

PROBABILIDAD 299 SECCIÓN 6.1 PROBABILIDAD DE EVENTOS 300 PROBABILIDAD DE UN EVENTO

300

PROBABILIDAD EMPÍRICA (OBSERVADA) P ’(A) 301

EJERCICIOS 6.1 APLIQUE LO APRENDIDO

302

SECCIÓN 6.2 PROBABILIDAD CONDICIONAL DE EVENTOS 304 PROBABILIDAD CONDICIONAL DE QUE OCURRIRÁ UN EVENTO

EJERCICIOS 6.2 APLIQUE LO APRENDIDO

304

305

SECCIÓN 6.3 REGLAS DE PROBABILIDAD 306 EVENTOS COMPLEMENTARIOS 306 REGLA DEL COMPLEMENTO 307 REGLA GENERAL DE LA SUMA 307 REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN 309

EJERCICIOS 6.3 APLIQUE LO APRENDIDO

311

SECCIÓN 6.4 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 313 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 313 REGLA ESPECIAL DE LA SUMA 316

EJERCICIOS 6.4 APLIQUE LO APRENDIDO

316

SECCIÓN 6.5 EVENTOS INDEPENDIENTES 318 EVENTOS INDEPENDIENTES EVENTOS DEPENDIENTES

318

REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN 320

EJERCICIOS 6.5 APLIQUE LO APRENDIDO

320

xxi

SECCIÓN 6.6 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 323 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 323 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

324

MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (VALOR ESPERADO) 326 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

326

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

EJERCICIOS 6.6 APLIQUE LO APRENDIDO

328

SECCIÓN 6.7 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMINAL 331 RESPUESTAS DEL EXAMEN 331 EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD BINOMIAL 334 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL MEDIA DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

335

337

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

EJERCICIOS 6.7 APLIQUE LO APRENDIDO PRUEBA SABER

337

339

345

GLOSARIO 349 BIBLIOGRAFÍA 350

xxii

326

CAPÍTULO

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES

RETO DEL CAPÍTULO

LO QUE DEBE SABER

Inscripciones escolares. El número N (en millones) de estudiantes inscritos en escuelas de Estados Unidos de 1995 a 2006 se muestra en la siguiente tabla.

Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Año

Número (N)

Año

Número (N)

1995 1996 1997 1998 1999 2000

69,8 70,3 72,0 72,1 72,4 72,2

2001 2002 2003 2004 2005 2006

73,1 74,0 74,9 75,5 75,8 75,2

Números reales R Números irracionales I

Números racionales Q Fracciones no enteras (positivas y negativas)

Enteros Z

Enteros negativos Z

Enteros positivos Z

Fuente: U.S. Census Bureau.

Números naturales N

Cero

Dado el diagrama anterior, escriba el símbolo de desigualdad apropiado (, o .) entre el par de números reales. A.

3, 0

1 1 C. , 4 3

1 , 5

1 2

Describa el subconjunto de números reales representado por cada desigualdad. A. x 2 B. 2 x < 3

CONTENIDO OBJETIVOS 1. Identificar la estructura de los números reales. 2. Definir una función y hallar sus elementos. 3. Realizar operaciones y transformaciones usando funciones.

4. Modelar situaciones en contextos reales haciendo uso de las funciones.

Sección 1.1 Sección 1.2 Sección 1.3 Sección 1.4 Sección 1.5 Sección 1.6 Sección 1.7 Sección 1.8 Sección 1.9

Capítulo 1 Números reales y funciones

SECCIÓN 1.1

NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Números reales

Objetivo 1

En la vida diaria se usan números reales para describir cantidades como edad, millas por galón y población, entre otras. Los números reales se representan con símbolos como los siguientes: 4 5; 9; 0; ; 0,666 . . . , 28,21; 3

1, 2, 3, 4, . . .

Números racionales Q

. . .,

32.

1 3

0, 1, 2, 3, 4, . . .

Conjunto de los números enteros positivos.

1, 0, 1, 2, 3, . . .

Conjunto de los números enteros.

0,3333 . . .

0,3;

1 8

0,125 y

125 111

1,126126 . . .

1,126

173 3,145 ) son racionales. La representación decimal de un número racional se repite (como en 55 1 o termina (como en 2 0,5). Un número real que no se pueda escribir como la razón entre dos enteros se llama irracional. Los números irracionales tienen representaciones decimales no periódicas (no repetitivas). Por ejemplo, los números

Enteros positivos Z1

Números naturales N

Conjunto de los números naturales.

Un número real es racional si se puede escribir como la razón p / q entre dos enteros, donde q 0. Por ejemplo, los números

Fracciones no enteras (positivas y negativas)

Enteros Z

Enteros negativos Z2

y 3

A continuación veamos algunos subconjuntos importantes (cada número del subconjunto B es también miembro del conjunto A) de los números reales. Los tres puntos, llamados puntos suspensivos, indican que el patrón continúa indefinidamente.

Números reales R

Números irracionales I

Cero

Figura 1.1 Subconjuntos de los números reales.

1,4142135 . . .

1,41

3,1415926 . . .

3,14

son irracionales. (El símbolo significa “aproximadamente igual a”.) La figura 1.1 muestra subconjuntos de los números reales y sus relaciones mutuas.

Objetivo 2

Orden de los números reales Una propiedad importante de los números reales es que tienen un orden. DEFINICIÓN DEL ORDEN DE LA RECTA DE NÚMEROS REALES

Si a y b son números reales, a es menor que b si b 2 a es positivo. El orden de a y b se denota con la desigualdad a , b. Esta relación también se puede describir diciendo que b es mayor que a y escribiendo b . a. La desigualdad a # b significa que a es menor o igual que b y la desigualdad b $ a significa que b es mayor o igual que a. Los símbolos ,, ., # y $ son símbolos de desigualdad. a −1

b 1

Geométricamente, esta definición implica que a , b si y solo si a está a la izquierda de b en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.2

Figura 1.2 a < b si y solo si a está a la izquierda de b.

EJEMPLO

Orden de los números reales Escriba el símbolo de desigualdad apropiado (, o .) entre el par de números reales. A.

3, 0

1 1 C. , 4 3

1 , 5

1 2

Sección 1.1 Números reales y sus propiedades

SOLUCIÓN A. Como 23 está a la izquierda de 0 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.3, se puede decir que 23 es menor que 0, y escribimos 23 , 0.

−4

−3

−2

−1

−2

−1

Figura 1.3

B. Como 22 está a la derecha de 24 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.4, se puede decir que 22 es mayor que 24, y escribimos 22 . 24.

−4

−3

Figura 1.4 1 4

C. Como 14 está a la izquierda de 13 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.5, se puede decir que 1 1 1 1 4 es menor a 3 y escribimos 4 < 3.

1 3

Figura 1.5

− 12 − 15

D. Como 15 está a la derecha de 12 en la recta de números reales, como se ve en la figura 1.6, se puede decir que 15 es mayor que 12 y escribimos 15 > 12.

−1

Figura 1.6

Podemos usar desigualdades para describir subconjuntos de números reales llamados intervalos. En los intervalos acotados a continuación, los números reales a y b son los puntos extremos de cada intervalo. Los puntos extremos de un intervalo cerrado están incluidos en él, en tanto que los puntos extremos de un intervalo abierto no están incluidos en él.

INTERVALOS ACOTADOS EN LA RECTA DE NÚMEROS REALES

Notación

T IP de ESTUDIO La razón por la que los cuatro tipos de intervalos de la derecha se llaman acotados es que cada uno tiene una longitud finita. Un intervalo que no tiene longitud finita es no acotado.

a, b

Abierto

a, b

Semiabierto o Semicerrado

a, b a, b

A TENCIÓN Siempre que escribamos un intervalo que contenga ` o 2`, usamos invariablemente un paréntesis y nunca corchetes. Esto es porque ` y 2` nunca son puntos extremos de un intervalo y, por tanto, no están incluidos en él.

Tipo de intervalo Cerrado

Desigualdad a

Gráfica

a < x < b a

x < b

a < x

Los símbolos (infinito positivo) y (infinito negativo) no representan números reales. Simplemente son símbolos prácticos que se utilizan para describir lo ilimitado de un intervalo ,3 . o como 1, INTERVALOS NO ACOTADOS EN LA RECTA DE NÚMEROS REALES

Notación a,

Tipo de intervalo Semiabierto

Desigualdad x a

Gráfica x

Abierto

x > a

Semicerrado

Abierto

x < b

Toda la recta real

< x <

Capítulo 1 Números reales y funciones

EJEMPLO

Usar desigualdades para representar intervalos Use notación de desigualdades para describir en cada inciso lo siguiente. B. m es por lo menos 23.

A. c es como máximo 2.

C. Toda x en el intervalo (23, 5].

SOLUCIÓN A. El enunciado “c es a lo más 2” puede representarse con c # 2. B. El enunciado “m es por lo menos 23” puede representarse con m $ 23. C. “Toda x en el intervalo (23, 5]” puede representarse con 23 , x # 5.

Objetivo 3

Valor absoluto y distancia El valor absoluto de un número real es su magnitud, o sea la distancia entre el origen y el punto que represente al número real en la recta de números reales.

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es a,

si a 0 a, si a < 0

Observe en esta definición que el valor absoluto de un número real nunca es negativo. Por ejem5 5. El valor absoluto de un número real es positivo plo, si a 5 25, entonces 5 0. o cero. Además, 0 es el único número real cuyo valor absoluto es 0. Así, 0

EJEMPLO

Hallar valores absolutos A.

4,3

2 3

2 3 6

Evaluar el valor absoluto de un número Evalúe

x x

para a) x > 0 y b) x < 0.

SOLUCIÓN A. Si x > 0, entonces x

B. Si x < 0, entonces x

EJEMPLO

x x

Comparar números reales Escriba el símbolo apropiado (<, >, o A.

) entre el par de números reales. C.

SOLUCIÓN A.

4 > 3 porque

4y 3

3, y 4 es mayor que 3.

Sección 1.2 Desigualdades no lineales

B. C.

10 10 porque 10 10 y 10 7 < 7 porque 7 7y

10. 7 7, y

7 es menor que 7.

PROPIEDADES DE VALORES ABSOLUTOS

1. a 3. ab

SECCIÓN 1.2

a b

a a

a b

, b

DESIGUALDADES NO LINEALES

Objetivo 1

Desigualdades polinomiales Para resolver una desigualdad polinomial, por ejemplo x 2 2x 3 < 0, se puede usar el hecho de que un polinomio puede cambiar signos solo en sus ceros (los valores de x que igualen a cero el polinomio). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio debe ser enteramente positivo o enteramente negativo. Esto significa que cuando los ceros reales de un polinomio se ponen en orden, dividen la recta numérica real en intervalos en los que el polinomio no tiene cambios de signo. Estos ceros son los números de referencia de la desigualdad, y los intervalos resultantes son los intervalos de prueba para la desigualdad. Por ejemplo, el polinomio citado líneas antes se factoriza como x2 y tiene dos ceros, x de prueba:

1yx ,

1 x

3. Estos ceros dividen la recta numérica real en tres intervalos

1, 3

. (Vea la figura 1.7).

Por tanto, para resolver la desigualdad x 2 2x 3 < 0 solo es necesario probar un valor de cada uno de estos intervalos de prueba para determinar si satisface la desigualdad original. Si es así, se concluye que el intervalo es una solución de la desigualdad. Intervalo de prueba (− , −1)

Cero x = −1

Cero x = 3 Intervalo de prueba (3, )

Intervalo de prueba (−1, 3)

x −4

−3

−2

−1

Figura 1.7 Tres intervalos de prueba para x2 2 2x 2 3.

Se puede usar el mismo método básico para determinar los intervalos de prueba para cualquier polinomio.

HALLAR INTERVALOS DE PRUEBA PARA UN POLINOMIO

Para determinar los intervalos en los que los valores de un polinomio son enteramente negativos o enteramente positivos, siga estos pasos. 1. Halle todos los ceros reales del polinomio y acomódelos en orden creciente (de menor a mayor). Estos ceros son los números de referencia del polinomio. 2. Use los números de referencia del polinomio para determinar sus intervalos de prueba.

Capítulo 1 Números reales y funciones

3. Escoja un valor representativo de x en cada intervalo de prueba y evalúe el polinomio en ese valor. Si el valor del polinomio es negativo, el polinomio tendrá valores negativos para todo valor de x del intervalo; si el valor del polinomio es positivo, el polinomio tendrá valores positivos para todo valor de x en el intervalo.

EJEMPLO

Resolver una desigualdad polinomial Resuelva x 2

6 < 0.

SOLUCIÓN Si factorizamos el polinomio como x2

se verá que los números de referencia son x del polinomio son ,

2, 3

2 x 2yx

3 3. Por tanto, los intervalos de prueba

Intervalos de prueba.

En cada intervalo de prueba, escoja un valor representativo de x y evalúe el polinomio. Intervalo de prueba ,

2, 3

Valor de x

Valor del polinomio

Conclusión Positivo

Negativo

Positivo

A partir de lo anterior se concluye que la desigualdad se satisface para todos los valores de x en (22, 3). Esto implica que la solución de la desigualdad x 2 x 6 < 0 es el intervalo (22, 3) como se muestra en la figura 1.8. Observe que la desigualdad original contiene un símbolo “menor que”. Esto significa que el conjunto solución no contiene los puntos extremos del intervalo de prueba (22, 3). El conjunto solución es {x [ R /22 6 x 6 3} Escoja x = −3. (x + 2)(x − 3) > 0

Escoja x = 4. (x + 2)(x − 3) > 0 x

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Escoja x = 0. (x + 2)(x − 3) < 0 Figura 1.8 y

Lo mismo que con desigualdades lineales, se puede verificar lo razonable de una solución si sustituimos valores de x en la desigualdad original. Por ejemplo, para verificar la solución encontrada en el ejemplo 1, trate de sustituir varios valores de x del intervalo (22, 3) en la desigualdad

2 1 −4 −3

−1

−2

−7

Figura 1.9

6 < 0.

Cualesquiera que sean los valores de x que escoja, la desigualdad debe satisfacerse.

−3

−6

También se puede usar una gráfica para verificar el resultado del ejemplo 1. Trace la gráfica de y x 2 x 6 como se muestra en la figura 1.9. Observe que la gráfica está debajo del eje x en el intervalo (22, 3). y = x2 − x − 6

En el ejemplo 1, la desigualdad polinomial está dada en forma general (con el polinomio en un lado y cero en el otro). Siempre que este no sea el caso, se debe iniciar el proceso de solución escribiendo la desigualdad en forma general.

Sección 1.2 Desigualdades no lineales

EJEMPLO

Resolver una desigualdad polinomial Resuelva 2x 3

3x 2

32x >

48.

2x 3

3x 2

32x

48 > 0

Escribir en forma general.

4 x

4 2x

3 > 0

Factorizar.

SOLUCIÓN

Los números de referencia son x , 4 , 4, 32 , 32, 4 y 4, Intervalo de prueba ,

4, x

4, 32

3 2, 4

Valor del polinomio

4, y los intervalos de prueba son

Valor de x

3 2 yx

Conclusión

Negativo

203

302

32 0

Positivo

223

322

32 2

Negativo

2 5 3 3 5 2 32 5 Positivo 4, x 5 48 A partir de esto se puede concluir que la desigualdad se satisface en los intervalos abiertos 3 4, 32 y 4, 4, , como se ve en la figura . Por tanto, el intervalo solución es 4, 2 3 4, . 1.10. Su conjunto solución es {x [ Ry 4, 2 Escoja x = 0. (x − 4)(x + 4)(2x − 3) > 0

Escoja x = 5. (x − 4)(x + 4)(2x − 3) > 0

−2

x −7

−5

−6

−4

−3

−1

Escoja x = −5. (x − 4)(x + 4)(2x − 3) < 0

Escoja x = 2. (x − 4)(x + 4)(2x − 3) < 0

Figura 1.10

EJEMPLO

Resolver una desigualdad polinomial Resuelva 4x2

5x > 6.

SOLUCIÓN ALGEBRAICA 4x2 x Números de referencia: x

6 > 0

Escribir en forma general.

2 4x

3 > 0

Factorizar.

3 4, 3 4 ,

Intervalos de prueba:

Prueba: ¿Es x

3 > 0?

2 4x

2 3 4, 2 ,

Después de probar estos intervalos, se puede ver que el polinomio 4x2 5x 6 es positivo , 34 y 2, en los intervalos abiertos . En consecuencia, el intervalo solución de la 3 3 , 4 2, . El conjunto solución es {x [ Ry desigualdad es , 4 < (2, q)} SOLUCIÓN GRÁFICA Antes que nada escriba la desigualdad polinomial 4x2 5x > 6 como 4x2 5x 6 > 0. A continuación use una calculadora graficadora para graficar y 4x2 5x 6. En la figura 1.11 se puede ver que la gráfica está arriba del eje x cuando x es menor que 34 o cuando x es mayor a 2. Por tanto, gráficamente se puede , 34 2, . aproximar que el intervalo solución es

−2

(− 34 , 0(

(2, 0)

y = 4x 2 − 5x − 6 −10

Figura 1.11

Capítulo 1 Números reales y funciones

Objetivo 2 T IP de ESTUDIO

Desigualdades racionales Los conceptos de números de referencia e intervalos de prueba se pueden ampliar a las desigualdades racionales. Para hacer esto, considere que el valor de una expresión racional puede cambiar de signo solo en sus ceros (los valores de x para los cuales su numerador es cero) y sus valores indefinidos (los valores de x para los cuales su denominador es cero). Estos dos tipos de números forman los números de referencia de una desigualdad racional. Cuando resuelva una desigualdad racional, comience por escribirla en forma general con la expresión racional a la izquierda y cero a la derecha.

En el ejemplo 4, si usted escribe 3 como 31 , debe ver que el mínimo común denominador es ( x − 5)(1) = x − 5. Por tanto, puede reescribir la forma general como 2 x − 7 3( x − 5) − ≤ 0, x −5 x−5 que se simplifica como se muestra.

EJEMPLO

Resolver una desigualdad racional 2x 7 3. Resuelva x 5 SOLUCIÓN

2x x

7 5

Escribir la desigualdad original.

2x x

7 5

Escribir en forma general.

7 x

3x 5

Encontrar el mínimo común denominador y restar fracciones.

8 5

Simplificar.

Números de referencia:

15 x

5, x

Ceros y valores indefinidos de la expresión racional.

, 5 , 5, 8 , 8,

Intervalos de prueba:

x 8 0? x 5 Después de probar estos intervalos, como se muestra en la figura 1.12, se puede ver que la desix 8 0, gualdad se satisface en los intervalos abiertos ( . Además, como , 5) y 8, x 5 cuando x 8, se puede concluir que el conjunto solución está formado por todos los números ,5 8, reales en los intervalos . (Asegúrese de usar un intervalo cerrado para indicar que x puede ser igual a 8.) ¿Es…

Prueba:

Escoja x = 6. −x + 8 > 0 x−5 x 4

Escoja x = 4. −x + 8 < 0 x−5

Escoja x = 9. −x + 8 < 0 x−5

Figura 1.12

Objetivo 3

Aplicaciones Una aplicación común de las desigualdades proviene de las finanzas y se relaciona con utilidad, ingresos y costos. La fórmula que relaciona estas tres cantidades es Utilidad

Ingresos

Costos

R C, P donde P es la función utilidad, R es la función ingresos y C la función costos MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Sección 1.2 Desigualdades no lineales

EJEMPLO

Ingresos (en millones de dólares)

Incrementar la utilidad de un producto El departamento de mercadeo de un fabricante de calculadoras ha determinado que la demanda de un nuevo modelo es 0,00001x si 0

10.000.000

Ecuación de la demanda.

donde p es el precio por calculadora (en dólares) y x representa el número de calculadoras vendidas. (Si este modelo es preciso, nadie estaría dispuesto a pagar $100 por la calculadora. En el otro extremo, la empresa no podría vender más de 10 millones de calculadoras.) El ingreso (R) por vender x calculadoras es

250 200 150

R(x)

100

x 100

p(x)

0,00001x

Ecuación del ingreso.

como se ve en la figura 1.13. El costo total de producir x calculadoras es $10 por cada aparato, más el costo de desarrollo de $2.500.000. Por tanto, el costo total es

10x

C(x) 0

Número de unidades vendidas (en millones)

Calculadoras

2.500.000

Ecuación del costo.

¿Qué precio debe asignar la empresa por calculadora para obtener una utilidad de por lo menos $190.000.000? SOLUCIÓN

Figura 1.13

Utilidad (en millones de dólares)

100

p(x)

Calculadoras

200

Modelo verbal:

Utilidad

Ecuación:

P(x) R(x)

100x

150

Costos

C(x)

0,00001x

0,00001x 2

100

Ingresos

C 10x

90x

2.500.000

Para contestar la pregunta, resuelva la desigualdad

50 0

P(x)

190.000.000

2.500.000

190.000.000.

0,00001x 2

−50 −100 0

Número de unidades vendidas (en millones)

90x

Como ya se mostró, cuando escriba la desigualdad en forma general, encuentre los números de referencia y los intervalos de prueba y luego verifique un valor en cada intervalo de prueba, y puede hallar que la solución es x

3.500.000

Figura 1.14

5.500.000

como se ve en la figura 1.14. Sustituir los valores de x en la ecuación original del precio muestra que los precios de p dados en el intervalo: $45,00

$65,00

darán una utilidad de por lo menos $190.000.000.

EJEMPLO

Hallar el dominio de una expresión Encuentre el dominio de

4x 2.

SOLUCIÓN ALGEBRAICA Recuerde que el dominio de una expresión es el conjunto de todos los valores de x para los cuales la expresión está definida. Como 64 4x 2 está definida (tiene valores reales) solo si 64 4x 2 es no negativa, el dominio está dado por 64 4x 2 ≥ 0.

4x 2

Escribir en forma general.

Dividir cada lado entre 4.

x 4

Escribir en forma factorizada.

Capítulo 1 Números reales y funciones

Por tanto, la desigualdad tiene dos números de referencia: x 5 24 y x 5 4. Puede usar ambos para probar la desigualdad como sigue.

y = 64 − 4x 2

−2

4 4, 4 , 4,

¿Para qué valores de x es

4x2

SOLUCIÓN GRÁFICA Comience por trazar la gráfica de la ecuación y 64 4x2 como se muestra en la figura 1.15. De la gráfica se puede determinar que los valores de x se extienden de 24 a 4 (incluidos 24 y 4). En consecuencia, el dominio de la expresión 64 4x 2 es el intervalo [24, 4].

Figura 1.15

Número complejo

Intervalos de prueba:

4, x

Una prueba muestra que la desigualdad se satisface en el intervalo cerrado [24, 4]. Por tanto, el dominio de la expresión 64 4x 2 es el intervalo [24, 4].

2 −4

Prueba:

−6

Números de referencia:

Radicando no negativo

Número complejo

Para analizar un intervalo de prueba, escoja un valor representativo de x en el intervalo y evalúe la expresión en ese valor. Por citar un caso, en el ejemplo 6, si sustituimos cualquier número del intervalo [24, 4] en la expresión 64 4x 2, obtendremos un número no negativo bajo el símbolo radical que se simplifica a un número real. Si , 4 y 4, sustituimos cualquier número de los intervalos obtendremos un número complejo. Podría ser útil trazar una representación visual de los intervalos, como se muestra en la figura 1.16.

−4

Figura 1.16

EJERCICIOS 1.2

APLIQUE LO APRENDIDO

En los ejercicios 1-4, llene los espacios en blanco. 1. Entre dos ceros consecutivos, un polinomio debe ser enteramente .

o enteramente

2. Para resolver una desigualdad polinomial, encuentre los números nomio y úselos para crear para la desigualdad. 3. Los números de referencia de una expresión racional son su 4. La fórmula que relaciona costos, ingresos y utilidad es

del poli-

y su

HABILIDADES Y APLICACIONES En los ejercicios 5-12, resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica real. 5. x 2 < 9 7. x 2 2 25 9. x 2 4x 4 9 11. x 2 x < 6

6. x 2 8. x 10. x 2 12. x 2

16 32 1 6x 9 < 16 2x > 3

En los ejercicios 13-22, resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica real. 13. 17. 21.

1 x

x x

6 1

14.

2 < 0

18.

x x

22.

1 x

> 0

< 0

12 2

15. 0

19.

3x x

5 5

2 x

16.

1 x

20.

5 1

7x 2x 5

4 3 x

Sección 1.2 Desigualdades no lineales

En los ejercicios 23-28, encuentre el dominio de x en la expresión. Use una calculadora graficadora para verificar su resultado. 23.

24.

26.

4x 2

27.

x2 x2

25.

4 x 2x

28.

x x2

Altura de un proyectil En los ejercicios 29-34, use la ecuación de posición s 5 216t 2 1 v0t 1 s0, donde s representa la altura de un objeto (en pies), v0 la rapidez inicial del objeto (en pies por segundo), s0 la altura inicial del objeto (en pies) y t el tiempo (en segundos). 29. Un proyectil es disparado directamente hacia arriba desde el nivel del suelo (s0 5 0) con una rapidez inicial de 160 pies por segundo. A. ¿En qué instante regresará al nivel del suelo? B. ¿Cuándo excederá de 384 pies de altura? 30. Un proyectil es disparado directamente hacia arriba desde el nivel del suelo (s0 5 0) con una rapidez inicial de 128 pies por segundo. A. ¿En qué instante regresará al nivel del suelo? B. ¿Cuándo excederá de 128 pies de altura? 31. Geometría Un campo deportivo rectangular con perímetro de 100 metros debe de tener un área de por lo menos 500 metros cuadrados. ¿Dentro de qué límites debe estar la longitud del rectángulo? 32. Geometría Un estacionamiento rectangular con perímetro de 440 pies debe de tener un área de por lo menos 8.000 pies cuadrados. ¿Dentro de qué límites debe estar la longitud del rectángulo? 33. Costos, ingresos y utilidad Las ecuaciones de ingresos y costos para un producto son R 5 x(75 2 0,0005x), C 5 30x 1 250.000, donde R y C se miden en dólares y x representa el número de unidades vendidas. ¿Cuántas unidades deben venderse para obtener una utilidad de por lo menos $750.000? ¿Cuál es el precio por unidad? 34. Costo, ingreso y utilidad Las ecuaciones de ingresos y costos de un producto son R 5 x(50 2 0,0002x) y C 5 12x 1 150.000, donde R y C se miden en dólares y x representa el número de unidades vendidas. ¿Cuántas unidades deben venderse para obtener una utilidad de por lo menos $1.650.000? ¿Cuál es el precio por unidad? En los ejercicios 35-38, a) encuentre el(los) intervalo(s) para b tal que la ecuación tenga al menos una solución real, y b) escriba una conjetura acerca del(los) intervalo(s) con base en los valores de los coeficientes. 35. x 2

36. x 2

37. 3x 2

38. 2x 2

39. Toque final Considere el polinomio (x 2 a)(x 2 b) y la recta numérica real que se muestra enseguida. a

A. Identifique los puntos sobre la recta en los que el polinomio es cero. B. En cada uno de los tres subintervalos de la recta, escriba el signo de cada factor y el signo del producto. C. ¿En cuáles valores de x cambia de signos el polinomio? MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Números reales y funciones

SECCIÓN 1.3

FUNCIONES

Objetivo 1

Introducción a las funciones Numerosos fenómenos que ocurren todos los días comprenden dos cantidades que están relacionadas entre sí por alguna regla de correspondencia. El término matemático para esa regla de correspondencia es relación. En matemáticas es frecuente que las relaciones se representen con ecuaciones y fórmulas matemáticas. Por ejemplo, el interés simple I ganado por $1.000 en un año está relacionado con la tasa de interés anual r mediante la fórmula I 5 1.000r. La fórmula I 5 1.000r representa una clase especial de relación que compara cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de un conjunto diferente. Esa relación se denomina función.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una relación que asigna a cada elemento del conjunto A exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio (o conjunto de entradas) de la función f, y el conjunto B contiene el rango (o conjunto de salidas). Para ayudar a entender esta definición, vea la función que relaciona la hora del día con la temperatura en la figura 1.17. Hora del día (P.M.) 1

3 6

Temperatura (en grados C)

El conjunto A es el dominio. Entradas: 1, 2, 3, 4, 5, 6

13 15

6 10

2 3

14 16

5 8 11

El conjunto B contiene el rango. Salidas: 9, 10, 12, 13, 15

Figura 1.17

Esta función puede estar representada por los siguientes pares ordenados, en los que la primera coordenada (valor x) es la entrada y la segunda (valor y) es la salida. 1, 9 , 2, 13 , 3, 15 , 4, 15 , 5, 12 , 6, 10 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN DEL CONJUNTO A AL B

1. Cada elemento de A debe relacionarse con un elemento de B. 2. Algunos elementos de B pueden no relacionarse con algún elemento de A. 3. Dos o más elementos de A pueden relacionarse con el mismo elemento de B. 4. Un elemento de A (el dominio) no puede relacionarse con dos elementos diferentes de B.

CUATRO MODOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

1. Verbalmente por medio de una oración que describe la forma en que la variable de entrada está relacionada con la variable de salida. 2. Numéricamente mediante una tabla o lista de pares ordenados que relacione los valores de entrada con los valores de salida.

Sección 1.3 Funciones

3. Gráficamente por medio de puntos en una gráfica en un plano de coordenadas, en el que los valores de entrada están representados por el eje horizontal, y los valores de salida, por el eje vertical. 4. Algebraicamente mediante una ecuación con dos variables.

Para determinar si una relación es o no una función se debe establecer si cada valor de entrada está relacionado con exactamente un valor de salida. Si cualquier valor de entrada está relacionado con dos o más valores de salida, la relación no es una función.

EJEMPLO

Prueba de funciones Determine si la relación representa y como función de x. A. El valor de entrada x es el número de diputados de un estado, y el valor de salida y es el número de senadores. B.

Entrada, x

Salida, y

C. 3 2 1 −3 −2 −1

1 2 3

−2 −3

Figura 1.18

SOLUCIÓN A. Esta expresión verbal describe a y como función de x. Cualquiera que sea el valor de x, el valor de y siempre es 2. Esas funciones se denominan funciones constantes. B. Esta tabla no describe a y como función de x. El valor de entrada 2 está relacionado con dos valores diferentes de y. C. La gráfica de la figura 1.18 describe a y como función de x. Cada valor de entrada está relacionado con exactamente un valor de salida.

EJEMPLO

NOTA HISTÓRICA

Prueba de funciones representadas algebraicamente ¿Cuál de las ecuaciones representa a y como función de x? A. x 2

SOLUCIÓN © Bettmann / Corbis

Para determinar si y es una función de x, trate de despejar y en términos de x. A. Despejando y tendremos x2

y Se considera que el suizo Leonhard Euler (1707-1783) ha sido el matemático más prolífico y productivo de la historia. Una de sus más grandes aportaciones en matemáticas fue su uso de símbolos, o notación. La notación de función y 5 f(x) fue introducida por Euler.

Escribir la ecuación original.

x 2.

Despejar y.

A cada valor de x corresponde exactamente un valor de y. Entonces, y es una función de x. B. Despejando y tendremos x

Escribir la ecuación original. Sumar x a cada lado.

Despejar y.

Capítulo 1 Números reales y funciones

El signo ± indica que a un valor determinado de x corresponden dos valores de y. En consecuencia, y no es una función de x.

Objetivo 2

Notación de funciones Cuando se usa una ecuación para representar una función es conveniente asignar un nombre a la función para que pueda consultarse fácilmente. Por ejemplo, sabemos que la ecuación y 1 x 2 describe a y como función de x. Suponga que a esta función se le asigna el nombre de “f ”. Entonces se puede usar la siguiente notación de función. Entrada

Salida

f x

Ecuación f x

El símbolo f x se lee como el valor de f en x, o simplemente f de x. El símbolo f x corresponde al valor y para una x determinada. Por tanto, se puede escribir y f x . Recordemos que f es el nombre de la función, en tanto que f x es el valor de la función en x. Por ejemplo, la función dada por f x

tiene valores de función denotados por f 1 , f 0 , f 2 , etcétera. Para hallar estos valores se sustituyen los valores de entrada especificados en la ecuación dada. Para x

EJEMPLO

Para x

f 0

Para x

f 2

5. 3. 1.

Evaluar una función Sea g x

A. g 2

B. g t

1. Encuentre cada uno de los valores de la función. C. g x

ATENCIÓN

SOLUCIÓN

En el ejemplo 3, nótese que g(x 1 2) no es igual a g(x) 1 g(2). En general, g(u 1 v) g(u) 1 g(v).

A. La sustitución de x con 2 en g x g2

1 da lo siguiente:

B. La sustitución de x con t da lo siguiente: gt

C. La sustitución de x con x gx

2 da lo siguiente: 2

1 1

Una función definida por dos o más ecuaciones en un dominio especificado recibe el nombre de función definida por tramos.

EJEMPLO

Una función definida por tramos Evalúe la función f(x) cuando x

1, 0 y 1. f x

x2 x

1, 1,

x < 0 x 0

Sección 1.3 Funciones

SOLUCIÓN Como x

1 es menor que 0, use f x f

Para x

0, use f x

1, use f x

1 para obtener f 1

Objetivo 3

1 para obtener f 0

Para x

1 para obtener

El dominio de una función Es posible describir explícitamente el dominio de una función o puede estar implicado por la expresión que se use para definir la función. El dominio implicado es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida. Por ejemplo, la función dada por 1

f x

El dominio excluye valores de x que resulten en división entre cero.

tiene un dominio implicado formado por todos los valores reales de x que no sean x ± 2. Estos dos valores están excluidos del dominio porque la división entre cero no está definida. Otro tipo común de dominio implicado es el que se usa para evitar raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la función dada por f x

El dominio excluye valores de x que resulten en raíces pares de números negativos.

. En general, está definida solo para x 0. Por tanto, su dominio implicado es el intervalo 0, el dominio de una función excluye valores que causarían división entre cero o que resultarían en la raíz par de un número negativo, es decir, un número complejo.

EJEMPLO

Hallar el dominio de una función Encuentre el dominio de cada función. A. f :

3, 0 ,

1, 4 , 0, 2 , 2, 2 , 4,

C. Volumen de una esfera: V

4 3

B. g x D. h x

1 x

5 4

SOLUCIÓN A. El dominio de f está formado por todas las primeras coordenadas del conjunto de pares ordenados. Dominio

1, 0, 2, 4

B. Excluyendo valores de x que den cero en el denominador, el dominio de g es el conjunto de todos los números reales x excepto x 5. C. Como esta función representa el volumen de una esfera, los valores del radio r deben ser positivos. Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales r tales que r > 0. D. Esta función está definida solo para valores de x para los cuales 4

Al resolver esta desigualdad, se puede concluir que x 4 ,3. valo

4 3 . Entonces, el dominio es el inter-

Capítulo 1 Números reales y funciones

Objetivo 4 EJEMPLO

Aplicaciones Dimensiones de un contenedor

h r =4

Una persona trabaja en el departamento de ventas de una empresa embotelladora de bebidas y está experimentando con una nueva lata para té helado, que es ligeramente más angosta y alta que la estándar. Para la lata experimental, la razón entre la altura y el radio es 4, como se ve en la figura 1.19. A. Escriba el volumen de la lata como función del radio r.

B. Escriba el volumen de la lata como función de la altura h. SOLUCIÓN A. V r

r 2h h 2 h 4

B. V h

EJEMPLO

r 2 4r

4 r3

Escribir V como función de r.

h3 16

Escribir V como función de h.

Figura 1.19

Trayectoria de una pelota de béisbol Una pelota de béisbol es bateada en un punto a 3 pies sobre el nivel del suelo a una velocidad de 100 pies por segundo y a un ángulo de 45º. La trayectoria de la pelota está dada por la función f x

0,0032x 2

donde x y f x se miden en pies. ¿La pelota rebasará una cerca de 10 pies situada a 300 pies desde el plato de home? SOLUCIÓN ALGEBRAICA Cuando x

300, puede hallar la altura de la bola como sigue: 0,0032x2

f x

0,0032 300 2

f 300

Escribir la ecuación original.

300

Sustituir 300 por x.

Simplificar. 15 Cuando x 300, la altura de la pelota es de 15 pies, de modo que la pelota rebasará una cerca de 10 pies.

100

SOLUCIÓN GRÁFICA 0

Figura 1.20

400

Use una calculadora graficadora para graficar la función y 0,0032x2 x 3. Use la función de valor o las funciones zoom y trace de la calculadora para calcular que y 15 cuando x 300, como se ve en la figura 1.20. Por tanto, la pelota rebasará la cerca de 10 pies.

Será más fácil para usted calcular el cociente de diferencias si primero encuentra f x luego sustituye la expresión resultante en el cociente de diferencias, como sigue: f x

2xh

f x

h h

f x

2xh

4h h

2xh

h2 h

h 2x

h h

h y

Sección 1.3 Funciones

RESUMEN DE LA TERMINOLOGÍA DE FUNCIONES

Función: Una función es una relación entre dos variables tal que a cada valor de la variable independiente corresponde exactamente un valor de la variable dependiente. Notación de función:

f x

f es el nombre de la función. y es la variable dependiente. x es la variable independiente. f x es el valor de la función en x. Dominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores (entradas) de la variable independiente para los que la función está definida. Si x está en el dominio de f, se dice que f está definida en x. Si x no está en el dominio de f, se dice que f no está definida en x. Rango: El rango de una función es el conjunto de todos los valores (salidas) que toma la variable dependiente (es decir, el conjunto de todos los valores de la función). Dominio implicado: Si f está definida por medio de una expresión algebraica y el dominio no está especificado, el dominio implicado está formado por todos los números reales para los que la expresión está definida.

EJERCICIOS 1.3

APLIQUE LO APRENDIDO

En los ejercicios 1-6, llene los espacios en blanco. 1. Una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto de entradas, o tamente un elemento y en un conjunto de salidas, o , se denomina

, exac.

2. Las funciones se representan comúnmente en cuatro formas diferentes: . 3. Para una ecuación que representa a y como función de x, el conjunto de todos los valores tomados por la variable x es el dominio, y el conjunto de todos los valores tomay es el rango. dos por la variable 4. La función dada por f x

2x x2

1, 4,

x < 0 x 0

es un ejemplo de una función

5. Si no se da el dominio de la función f, entonces el conjunto de valores de la variable independiente para el que la expresión está definida se denomina . 6. En cálculo, una de las definiciones básicas es la de un f x h f x , h 0. h

, dado por

Capítulo 1 Números reales y funciones

HABILIDADES Y APLICACIONES En los ejercicios 7-10, ¿la relación es una función? 7. Dominio

Rango

8. Dominio

Rango

−2 −1 0 1 2

5 6 7 8

−2 −1 0 1 2

3 4 5

10. Dominio

Dominio

Rango

Liga Nacional

Cubs Pirates Dodgers

Liga Americana

(Año)

Rango (Número de tormentas tropicales y huracanes en el Atlántico Norte) 10 12 15 16 21 27

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Orioles Yankees Twins

En los ejercicios 11-14, determine si la relación representa a y como función de x. 11.

13.

Entrada, x

12. Entrada, x

Salida, y

Entrada, x

14. Entrada, x

Salida, y

En los ejercicios 15 y 16, ¿cuáles conjuntos de pares ordenados representan funciones de A a B? Explique.

Circulación (en millones)

15. A A. B. C. D.

16. A

0, 1, 2, 3 y B 2, 1, 0, 1, 2 0, 1 , 1, 2 , 2, 0 , 3, 2 0, 1 , 2, 2 , 1, 2 , 3, 0 , 1, 1 0, 0 , 1, 0 , 2, 0 , 3, 0 0, 2 , 3, 0 , 1, 1

A. B. C. D.

a, b, c y B 0, 1, 2, 3 a, 1 , c, 2 , c, 3 , b, 3 a, 1 , b, 2 , c, 3 1, a , 0, a , 2, c , 3, b c, 0 , b, 0 , a, 3

Circulación de periódicos En los ejercicios 17 y 18, use la gráfica que muestra la circulación (en millones) de diarios en Estados Unidos.

50 40

Matutino Vespertino

30 20

17. ¿La circulación de diarios matutinos es una función del año? ¿La circulación de diarios vespertinos es una función del año? Explique. 18. Represente con f x la circulación de diarios vespertinos en el año x. Encuentre f (2002).

10 1997

1999

2001

2003

2005

2007

Año Fuente: Editor & Publisher Company.

En los ejercicios 19-36, determine si la ecuación representa a y como función de x. 19. x 2 21. x 2 23. 2x 25. x 27. y 2

y2 4 y 4 3y 4 22 y 2 x 1

20. x2 y2 16 22. y 4x2 36 24. 2x 5y 10 26. x 2 2 y2 28. x y2 4

Sección 1.3 Funciones

29. y 31. y 33. x 35. y

30. y 32. y 34. y

4 x 14 5 0

36. x

x 5 4 x 75 1 0

En los ejercicios 37-52, evalúe la función en cada valor especificado de la variable independiente y simplifique. 37. f x 2x A. f 1 39. V r A. V 3

3 B. f

4 3

r3 B. V

C. f x

3 3 2

38. g y 7 A. g 0

4t2

x x 47. f x A. f 2 49. f x A. f 51. f x A. f

B. f

2x 2x 1

1, 2,

3x 4, x2, 2

C. g t

x < 0 x 0 B. f 0 x < 1 1 x x > 1 1 B. f 2

C. f 4x 2

C. q y

46. q t A. q 2

C. f x

x 48. f x A. f 2

C. S 3r C. h x

C. f x

t2 B. q 0

C. q

x 2 2, x 1 2 2x 2, x > 1 2 B. f 1

C. f 2

5x,

A. f

4 0, x2 3

C. f

54. g x

A. f

B. f

2 2 < x < 2 1, x 2 B. f 4

En los ejercicios 53-58, complete la tabla. 53. f x

f (x)

55. h t t

3 25

56. f s 24

h (t )

57. f x x f (x)

3 2

5 2

f (x) 1 2 t

f (s)

1 2x

4, 2 2, 21

x 0 x > 0 0

58. f x 1

4 C. f x2

52. f x C. f 3

2t2

50. f x C. f 2

C. g s

40. S r 4 r2 A. S 2 B. S 12 42. h t t 2 2t A. h 2 B. h 1.5 44. f x x 8 2 A. f 8 B. f 1

C. V 2r

41. g t 3t 5 A. g 2 B. g t 2 3 y 43. f y A. f 4 B. f 0.25 2 45. q x 1 x 9 A. q 0 B. q 3

3y B. g 73

9 x

x 2, 3, 1

x < 3 x 3 2

f (x)

Capítulo 1 Números reales y funciones

En los ejercicios 59-66, encuentre todos los valores reales de x tales que f (x) 5 0. 59. f x 62. f x 65. f x

60. f x

61. f x

63. f x

64. f x

66. f x

4 5

En los ejercicios 67-70, encuentre el(los) valor(es) de x para cada f (x) 5 g (x). 67. f x

x2, g x

69. f x

2x 2,

68. f x 2x 2

70. f x

2x x

4, g x

En los ejercicios 71-82, encuentre el dominio de la función. 71. f x 74. s y 77. g x 80. f x

72. g x

5x 2 2x 1 3y y 5 1 3 x x 2 x 6

75. g y 78. h x

6 x

81. f x

2x 2

73. h t

4 ty

76. f t

3 t

s s

1 4

x x

2 10

y 10 x x

79. f s

4 x

82. f x

En los ejercicios 83-86, suponga que el dominio de f es el conjunto A 5 {22, 21, 0, 1, 2}. Determine el conjunto de pares ordenados que representa la función f. 83. f x

84. f x

85. f x

86. f x

87. Geometría Escriba el área A de un cuadrado como función de su perímetro P. 88. Geometría Escriba el área A de un círculo como función de su circunferencia C. Ejercicio 89

24 − 2x

89. Volumen máximo Se ha de construir una caja abierta de volumen máximo a partir de una pieza cuadrada de material de 24 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y volteando hacia arriba los lados (vea la figura). A. La tabla muestra los volúmenes V (en centímetros cúbicos) de la caja para varias alturas x (en centímetros). Use la tabla para calcular el volumen máximo. Altura, x

Volumen, V

484

800

972

1.024

980

864

B. Determine los puntos (x, V) de la tabla del inciso A. ¿La relación definida por los pares ordenados representa a V como función de x?

24 − 2x

C. Si V es una función de x, escriba la función y determine el dominio. 90. Utilidad máxima El costo por unidad en la producción de un reproductor de archivos MP3 es $60. El fabricante cobra $90 por unidad por pedidos de 100 o menos. Para estimular pedidos grandes, el fabricante reduce el cargo $0.15 por cada reproductor MP3 que pase de 100 (por ejemplo, habría un cargo de $87 por reproductor de un pedido de 120). A. La tabla muestra la utilidad P (en dólares) para varios números de unidades pedidas, x. Use la tabla para calcular la utilidad máxima. Unidades, x

110

Utilidad, P

3.135 3.240 3.315 3.360

120

130

140

Unidades, x

150

Utilidad, P

3.375 3.360 3.316

160

170

B. Grafique los puntos (x, P) de la tabla del inciso A. ¿La relación definida por los pares ordenados representa a P como función de x? C. Si P es una función de x, escriba la función y determine su dominio. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Sección 1.3 Funciones y 4

Ejercicio 91

91. Geometría Un triángulo rectángulo está formado por los ejes x y y y una recta que pasa por el punto (2, 1) (vea la figura). Escriba el área A del triángulo como función de x y determine el dominio de la función.

(0, b)

3 2

(2, 1) (a, 0)

1 1

93. Trayectoria de una pelota La altura y (en pies) de una pelota de béisbol lanzada por un niño es

Ejercicio 92

y 8

92. Geometría Un rectángulo está limitado por el eje x y la semicircunferencia y 36 x 2 (vea la figura). Escriba el área A del rectángulo como función de x y determine gráficamente el dominio de la función.

(x, y)

2 −6 −4 −2

donde x es la distancia horizontal (en pies) desde donde la pelota es lanzada. ¿La pelota volará sobre la cabeza de otro niño que está a 30 pies de distancia y que trata de atraparla? (Suponga que el niño que trata de atrapar la pelota tiene su guante a una altura de 5 pies.)

1 2 x 10

36 − x 2

94. Medicamentos Los números d (en millones) de recetas surtidas por farmacias independientes en Estados Unidos, de los años 2000 a 2007 (vea la figura), se pueden calcular con el modelo Ejercicio 94 d

Número de recetas (en millones)

750 740

10,6t 15,5t

699; 637;

0 5

t t

4 7

donde t representa el año, con t 0 correspondiente al año 2000. Use este modelo para hallar el número de recetas surtidas por farmacias independientes en cada año de 2000 a 2007.

730 720

95. Precio medio de venta Los precios p medios de venta (en miles de dólares) de una casa unifamiliar existente en Estados Unidos, de 1998 a 2007 (vea la figura), se puede calcular con el modelo

710 700 690 0

Año (0 ↔ 2000)

Fuente: National Association of Chain Drug Stores.

1,011t2 12,38t 170,5, 8 t 13 6,950t2 222,55t 1.557,6, 14 t 17 Ejercicio 95

donde t representa el año, con t 8 correspondiente a 1998. Use este modelo para hallar el precio medio de venta de una casa unifamiliar existente en cada año, de 1998 a 2007.

Precio medio de venta (en miles de dólares)

250 200 150 100 50

9 10 11 12 13 14 15 16 17

Año (8 ↔ 1998) Ejercicio 96

x x

Fuente: National Association of Realtors.

96. Reglamentos postales Un paquete rectangular, que debe enviar el Servicio Postal de Estados Unidos, puede tener una longitud máxima y cincha (perímetro de una sección transversal) de 108 pulgadas (vea la figura). A. Escriba el volumen V del paquete como función de x. ¿Cuál es el dominio de la función?

B. Use calculadora graficadora para graficar su función. Asegúrese de usar un ajuste de ventana apropiado. C. ¿Qué dimensiones darán el máximo volumen del paquete? Explique su respuesta. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Números reales y funciones

97. Costos, ingresos y utilidad Una empresa elabora un producto cuyo costo variable es de $12,30 por unidad, y los costos fijos son $98.000. El producto se vende en $17,98. Sea x el número de unidades producidas y vendidas. A. El costo total para una empresa es la suma del costo variable y los costos fijos. Escriba el costo total C como función del número de unidades producidas. B. Escriba el ingreso R como función del número de unidades vendidas. C. Escriba la utilidad P como función del número de unidades vendidas. (Nota: P

) C.)

98. Costo promedio El inventor de un nuevo juego piensa que el costo variable de fabricarlo es de $0,95 por unidad, y los costos fijos son $6.000. Él vende cada juego en $1,69. Sea x el número de juegos vendidos. A. El costo total para una empresa es la suma del costo variable y los costos fijos. Escriba el costo total C como función del número de juegos vendidos. B. Escriba el costo promedio por unidad C

C x como función de x.

99. Transportación Para grupos de 80 personas o más, una empresa de autobuses de alquiler determina la tarifa por persona según la fórmula Tarifa

0.05 n

80 , n

donde la tarifa se expresa en dólares y n es el número de personas. A. Escriba el ingreso R para la empresa de transporte como función de n. B. Use la función del inciso A para completar la tabla. ¿Qué se puede concluir? n

100

110

120

130

140

150

R (n )

100. Física La fuerza F (en toneladas) del agua contra la cara de una represa está calculada 149,76 10y 5 2, donde y es la profundidad del agua (en pies). con la función F y A. Complete la tabla. ¿Qué se puede concluir a partir de ella? y

F (y )

B. Use la tabla para calcular la profundidad a la que la fuerza contra la represa es de 1.000.000 de toneladas. C. Encuentre algebraicamente la profundidad a la cual la fuerza contra la represa es de 1.000.000 de toneladas. 101. Altura de un globo Un globo que lleva un transmisor asciende verticalmente desde un punto a 3.000 pies de la estación receptora. A. Trace un diagrama que dé una representación visual del problema. Represente con h la altura del globo, y con d la distancia entre este y la estación receptora. B. Escriba la altura del globo como función de d. ¿Cuál es el dominio de la función? 102. Registro electrónico La tabla siguiente muestra los números de devoluciones de impuestos (en millones) realizadas mediante registro electrónico de 2000 a 2007. Represente con f t el número de devoluciones de impuestos realizadas en el año t.

Sección 1.3 Funciones

Año

Número de devoluciones de impuestos realizadas mediante registro electrónico

2000

35,4

2001

40,2

2002

46,9

2003

52,9

2004

61,5

2005

68,5

2006

73,3

2007

80,0

Fuente: Internal Revenue Service.

A. Encuentre

f 2007 2007

f 2000 e interprete el resultado en el contexto del problema. 2000

B. Elabore una gráfica de los datos. C. Encuentre una función lineal que recoja la mayor cantidad de datos graficados en B. Represente con N el número de devoluciones de impuestos hecha a través de registro electrónico, haciendo que t 0 corresponda al año 2000. D. Use el modelo hallado en el inciso C para completar la tabla. t

E. Compare sus resultados del inciso D con los datos reales. F. Use calculadora graficadora para hallar un modelo lineal para los datos. Haga que x 0 corresponda al año 2000. ¿Cómo se compara el modelo hallado en el inciso C con el modelo dado por la calculadora graficadora? En los ejercicios 103-110, encuentre el cociente de diferencias y simplifique su respuesta. 103. f x

105. f x

3x,

107. g x

1 , x2

gx x

109. f x

5x,

f 2

1, f x

h h

g3 , 3

f x x

f 5 , 5

f 2 ,

104. f x 106. f x 108. f t

3 x

110. f x

f 5

h f 5 , h h f x f x h 4x2 2x, , h h f t 1 f 1 , , t 1 t 2 t 1 5x

x2 3

x 2,

f x x

f 8 , 8

En los ejercicios 111-114, compare los datos con una de las siguientes funciones: f ( x ) = cx , g( x ) = cx 2 , h( x ) = x

x y r ( x )=

c x

y determine el valor de la constante c que hará que la función se ajuste a los datos de la tabla. 111.

113.

112.

232

No definido

114.

x y

1 4

0 0

Capítulo 1 Números reales y funciones

EXPLORACIÓN ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 115-118, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. 115. Toda relación es una función. 116. Toda función es una relación. 117. El dominio de la función dada por f x x4 . es 0, 118. El conjunto de pares ordenados 8, 2 , representa una función. 119. Piénselo Considere f x

1 es

, y el intervalo de f x

6, 0 ,

4, 0 ,

2, 2 , 0, 4 , 2,

1 y g(x)

3 x

¿Por qué son diferentes los dominios de f y g? 120. Piénselo Considere f x

2 y gx

¿Por qué son diferentes los dominios de f y g? 121. Piénselo Dada f x x2, ¿ f es la variable independiente? ¿Por qué? 122. Toque final A. Describa cualesquiera diferencias entre una relación y una función. B. Explique los significados de dominio y rango. En los ejercicios 123 y 124, determine si los enunciados usan la palabra función en formas que sean matemáticamente correctas. Explique su razonamiento. 123. A. El impuesto sobre ventas por un artículo comprado es función del precio de venta. B. Su calificación en el siguiente examen de álgebra es una función del número de horas que estudie por la noche antes del examen. 124. A. La cantidad en su cuenta de ahorros estará en función de su salario. B. La rapidez a la que una pelota de béisbol cae al suelo es una función de la altura desde la que fue lanzada.

SECCIÓN 1.4

ANÁLISIS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES

Objetivo 1

Gráfica de una función 2

En la sección 1.3 estudiamos funciones desde el punto de vista algebraico. En esta sección las estudiaremos desde una perspectiva gráfica. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados x, f x tal que x está en el dominio de f. Al estudiar esta sección recuerde que x y

distancia dirigida desde el eje y f x

distancia dirigida desde el eje x

como se ve en la figura 1.21.

y = f(x)

−1

1 −1

Figura 1.21

f(x)

Sección 1.4 Análisis de gráﬁcas de funciones

EJEMPLO

Hallar el dominio y rango de una función 5

Use la gráfica de la función f, que se muestra en la figura 1.22, para hallar a) el dominio de f, b) los valores f (21) y f (2), y c) el rango de f.

(− 1, 1)

SOLUCIÓN

Rango

A. El punto cerrado (21, 1) en la gráfica, indica que x 5 21 está en el dominio de f, en tanto que el punto abierto en (5, 2) indica que x 5 5 no está en el dominio. Por tanto, el dominio de f es toda x en el intervalo [21, 5).

−3 −2

(0, 3)

y = f (x ) (5, 2)

1 3 4

(2, − 3) Dominio

−5

B. Como (21, 1) es un punto en la gráfica de f, se deduce que f (21) 5 1. Del mismo modo, como (2, 23) es un punto en la gráfica de f, se deduce que f (2) 5 23.

Figura 1.22

C. Como la gráfica no se prolonga debajo de f (2) 5 23 ni arriba de f (0) 5 3, el rango de f es el intervalo [23, 3]. El uso de puntos (abiertos o cerrados) en los puntos extremos izquierdo y derecho de una gráfica indica que esta no se prolonga más allá de estos puntos. Si no se muestran esos puntos, suponga que la gráfica se prolonga más allá de ellos. Por la definición de una función, a lo sumo un valor de y corresponde a un valor de x determinado. Esto significa que la gráfica de una función no puede tener dos o más puntos diferentes con la misma coordenada x, y ningunos dos puntos en la gráfica de una función pueden estar verticalmente arriba o abajo uno del otro. Por tanto, se deduce que una recta vertical puede intersecar la gráfica de una función a lo sumo una vez. Esta observación da una cómoda prueba visual llamada prueba de la recta vertical para funciones. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL PARA FUNCIONES

Un conjunto de puntos en un plano de coordenadas es la gráfica de y como función de x si y solo si no hay una recta vertical que corte la gráfica en más de un punto.

EJEMPLO

Prueba de la recta vertical para funciones Use la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas de la figura 1.23 representan a y como función de x. 4

1 −1

−1

1 1

−1

−2

−1

Figura 1.23

SOLUCIÓN A. Esta no es una gráfica de y como función de x, porque podemos hallar una recta vertical que interseca dos veces la gráfica. Esto es, para una entrada x particular, hay más de una salida y. B. Esta es una gráfica de y como función de x, porque toda recta vertical la interseca a lo sumo una vez. Esto es, para una entrada x particular hay a lo sumo una salida y. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Números reales y funciones

C. Esta es una gráfica de y como función de x. (Nótese que si una recta vertical no interseca la gráfica, simplemente significa que la función no está definida para ese valor particular de x.) Esto es, para una entrada x particular, hay a lo sumo una salida y.

Ceros de una función

Objetivo 2

Si la gráfica de una función de x tiene una intersección con el eje x en (a, 0), entonces a es un cero de la función. CEROS DE UNA FUNCIÓN

Los ceros de una función f de x son los valores de x para los cuales f x

EJEMPLO

Hallar los ceros de una función Encuentre los ceros de cada una de las funciones siguientes.

f (x) = 3x 2 + x − 10

A. f x

y x −3

−1

g(x) = 10 − x 2

6 4

( 10, 0 )

5 x

−2

2t t

3 5

Igualar f x a 0. Factorizar.

5 3

Igualar a cero el primer factor.

Igualar a cero el segundo factor.

Igualar g x a 0.

Elevar al cuadrado ambos lados.

Sumar x 2 a ambos lados.

Extraer raíces cuadradas.

−4

Ceros de g: x

Los ceros de f son x gráfica de g tiene

Figura 1.25

3 5

Igualar h t a 0.

Multiplicar ambos lados por t

Sumar 3 en ambos lados.

2t − 3 t+5

3 2

Dividir ambos lados entre 2.

( 32 , 0)

−2

2 −2

h (t ) =

t 4

−6

10 y x 10. En la figura 1.25, nótese que la 10, 0 y 10, 0 como sus intersecciones con el eje x.

2t t

El cero de h es t 2. En la figura 1.26, nótese que la gráfica de h tiene 2, 0 como su intersección con el eje t.

−8

Cero de h: t

C. h t

−4

2. En la figura 1.24, nótese que la gráfica Los ceros de f son x 3 y x 5 de f tiene 3, 0 y 2, 0 como sus intersecciones con el eje x.

−4

5 3

Figura 1.24

−6 −4 −2

3x 2 3x

−8

2, x

B. g x

SOLUCIÓN

−6

Ceros de f : x

Para hallar los ceros de una función, iguale a cero esta y despeje la variable independiente x.

( 53 , 0) −4

(− 10, 0)

3x 2

−2

(−2, 0)

3 2

Figura 1.26

Sección 1.4 Análisis de gráﬁcas de funciones

Funciones crecientes y decrecientes

Objetivo 3 y

Cuanto más conozcamos de la gráfica de una función, más sabremos de la función misma. Considere la gráfica de la figura 1.27. Al moverse de izquierda a derecha, esta gráfica baja de x 5 22 a x 5 0, es constante de x 5 0 a x 5 2, y sube de x 5 2 a x 5 4.

nte

cie

cre

−2

−1

Constante

Cr eci

en te

FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES

Una función f es creciente en un intervalo si, para toda x1 y x2 del intervalo, x1 < x2 implica que f x1 < f x 2 .

Una función f es decreciente en un intervalo si, para toda x1 y x2 del intervalo, x1 < x2 implica que f x1 > f x 2 .

Figura 1.27

Una función f es constante en un intervalo si, para toda x1 y x2 del intervalo, f x1 f x2 .

EJEMPLO

Funciones crecientes y decrecientes Use las gráficas de la figura 1.28 para describir el comportamiento creciente o decreciente de cada función. SOLUCIÓN A. Esta función es creciente en toda la recta real. B. Esta función es creciente en el intervalo creciente en el intervalo 1, .

C. Esta función es creciente en el intervalo ciente en el intervalo 2, .

, 0 , constante en el intervalo (0, 2) y decre-

(−1, 2)

f(x) = x 3 1

1 , decreciente en el intervalo (21, 1) y

f(x) = x 3 − 3x

2 1

−1

−2

−1

−2

(2, 1)

x 1

−1 −1

(0, 1)

−1

f(t) = −2

(1, −2)

t + 1, t < 0 1, 0 ≤ t ≤ 2 −t + 3, t > 2

Figura 1.28

Para ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo, se puede evaluar para varios valores de x. No obstante, es necesario usar cálculo para determinar con total certeza todos los intervalos en los que una función es creciente, decreciente o constante.

Objetivo 4

Funciones pares e impares En la terminología de funciones se dice que una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y, y es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen. A continuación se proporcionan las siguientes pruebas para funciones pares e impares.

Capítulo 1 Números reales y funciones

PRUEBAS PARA FUNCIONES PARES E IMPARES

f x es par si, para cada x en el dominio de f,

Una función y

f x. f x Una función y f x es impar si, para cada x en el dominio de f, f

EJEMPLO

f x.

Funciones pares e impares A. La función g x

x es impar porque g x

Sustituir

g x , como sigue:

x x por x.

Simplificar.

Propiedad distributiva.

Prueba para función impar.

B. La función h x

x x2

1 es par porque h 1

Sustituir

h x , como sigue:

x por x.

Simplificar.

Prueba para función par.

Las gráficas y simetría de estas dos funciones se muestran en la figura 1.29. y

y 6

g(x) = x 3 − x

(x, y)

1 −3

−2

(−x, −y)

(−x, y)

−1

(x, y)

h(x) = x 2 + 1

−2 −3

a) Simétrica al origen: función impar

−3

−2

−1

x 1

b) Simétrica al eje y: función par

Figura 1.29

EJERCICIOS 1.4

APLIQUE LO APRENDIDO

En los ejercicios 1-8, llene los espacios en blanco. 1. La gráfica de una función f es el conjunto de en el dominio de f.

x, f x tal que x está

se usa para determinar si la gráfica de una 2. La ecuación es una función de y en términos de x. 3. Los

de una función f son los valores de x para los cuales f x

4. Una función f está en un intervalo si, para cualquier x1 y x2 en el intervalo x1 < x2, implica que f x1 > f x2 . relativo de f si existe un intervalo x1, x2 5. El valor de una función f a es un que contenga a a tal que x1 < x < x2 implica f a f x. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Sección 1.4 Análisis de gráﬁcas de funciones

6. La entre cualesquier dos puntos x1, f x1 y x2, f x2 es la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos, y esta recta se denomina recta . 7. Una función f es

si, por cada x en el dominio de f, f

f x.

8. Una función f es

si su gráfica es simétrica respecto al eje y.

HABILIDADES Y APLICACIONES En los ejercicios 9-12, use la gráfica de la función para hallar el dominio y el rango de f. 9.

10.

y 6

−4

−2

2 x

−2

12.

y 6

y = f(x)

11.

y 4

y = f(x)

2 x

2 x 2

−2

−4

−2

x 2

−2

−4

En los ejercicios 13-16, use la gráfica de la función para hallar el dominio y el rango de f y los valores de función indicados. 13. A. f 2 1 C. f 2

B. f 1 D. f 1

14. A. f 1 C. f 0

y = f(x)

15. A. f 2 C. f 3 y

y = f(x)

4 3 2

B. f 2 D. f 1

B. f 1 D. f 1

16. A. f 2 C. f 0

y = f(x)

−3

3 4

−4

−2

2 2

−2

−4

x −2

−2

x 2

−2

−4

y = f(x)

4 2

B. f 1 D. f 2

−6

En los ejercicios 17-20, use la prueba de la recta vertical para determinar si y es una función de x. Para imprimir una copia amplificada de la gráfica, visite el sitio web MathGraphs.com*. 17. y

1 2 2x

18. y

1 3 4x

19. x

20. x 2

y 4

6 4

4 6 2 4 −4

2 −4

−2

x 2

−2

−4

−2

x −2

25 y

x 2 4 6

−4 −6

En los ejercicios 21-30, encuentre algebraicamente los ceros de la función. 21. f x 23. f x

2x 2 9x 2

25. f x

1 3 2x

27. f x

29. f x

7x x

22. f x

24. f x

4 x 24x 2 1

26. f x 28. f x 30. f x

3x 2

22x

9x 4x

16 14

x 3 4x 2 9x 9x 4 25x 2 3x

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

Capítulo 1 Números reales y funciones

En los ejercicios 31-38, determine los intervalos en los que la función es creciente, decreciente o constante. 3 2x

31. f x

−4

32. f x

2 2

−2

34. f x

−2

35. f x

(1, 0) 2

−2

x 3, x 0 3, 0 < x 2x 1, x > 2

37. f x

−2

(2, −2)

36. f x

x 1

(0, 1) −4

(−1, 2)

(1, 2)

−2

2x x2

38. f x

(0, 2)

−2

(2, −4)

−4

3x 2

y 4

−4

−2

(−1, 0)

33. f x

−2

(−2, −3) −2 4

1, 2,

x x >

1 1

4 6

−2

−4

En los ejercicios 39-46, determine si la función es par, impar o ninguna de estas. A continuación describa la simetría. 39. f x 41. g x 43. h x 45. f s

x6 2x 2 x 3 5x x x 5 4s3 2

40. h x 42. f t 44. f x 46. g s

x3 5 t 2 2t 3 x 1 x2 4s 2 3

En los ejercicios 47-56, trace una gráfica de la función y determine si es par, impar o ninguna de estas. Verifique algebraicamente sus respuestas. 47. f x 49. f x 51. h x 53. f x 55. f x

5 3x x2 1 x

48. f x 50. f x 52. f x

2 4 x 2

54. g t 56. f x

9 5

3x x2

8 1

Sección 1.4 Análisis de gráﬁcas de funciones

Ejercicio 57 Hora, x

Temperatura, y

Ejercicio 59 8 x x

57. Análisis de datos: temperatura La tabla siguiente muestra las temperaturas y (en grados Fahrenheit) en cierta ciudad en un periodo de 24 horas. Represente con x la hora del día, donde x 5 0 corresponde a las 6:00 a.m. Un modelo que representa estos datos está dado por y

f(x)

0,026x3

1,03x2

10,2x

34, 0

24.

A. Use una calculadora graficadora para crear una gráfica de dispersión de los datos. A continuación grafique el modelo en la misma pantalla. B. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? C. Use la gráfica para calcular las horas cuando la temperatura era creciente y decreciente. D. Use la gráfica para calcular las temperaturas máxima y mínima durante este periodo de 24 horas. E. ¿Podría usarse este modelo para pronosticar las temperaturas en la ciudad durante el siguiente periodo de 24 horas? ¿Por qué? 58. Escala de ejes de coordenadas Cada una de las funciones descritas a continuación modela los datos especificados para los años 1998 a 2008, con t 5 8 correspondiente a 1998. Calcule una escala razonable para el eje vertical (por ejemplo, cientos, miles, millones, etc.) de la gráfica y justifique su respuesta. (Hay numerosas respuestas correctas.) x

A. f (t) representa el salario promedio de profesores universitarios.

B. f (t) representa la población de Estados Unidos. 8 x

C. f (t) representa el porcentaje de la fuerza laboral civil que está desempleada. 59. Geometría Esquinas de igual tamaño se cortan de un cuadrado con lados de 8 metros de longitud (vea la figura). A. Escriba el área A de la figura resultante como función de x. Determine el dominio de la función. B. Use una calculadora graficadora para graficar la función de área en su dominio. Use la gráfica para hallar el rango de la función. C. Identifique la figura que resultaría si x se escogiera como el valor máximo del dominio de la función. ¿Cuál sería la longitud de cada lado de la figura? 60. Cantidad de inscripciones Las cantidades r de inscripciones de niños en preescolar en Estados Unidos, de 1970 a 2005, se pueden calcular con el modelo r(t)

0,021t2

1,44t

39,3,

donde t representa el año, con t 5 0 correspondiente a 1970. (Fuente: U.S. Census Bureau.) A. Use una calculadora graficadora para graficar el modelo. B. Encuentre la razón media de cambio del modelo de 1970 a 2005. Interprete su respuesta en el contexto del problema. 61. Venta de tecnología en vehículos Los ingresos estimados r (en millones de dólares) por venta de tecnología en vehículos en Estados Unidos, de 2003 a 2008, se pueden calcular con el modelo r(t)

157,30t2

397,4t

6,114; 3

donde t representa el año, con t 5 3 correspondiente a 2003. (Fuente: Consumer Electronics Association.) A. Use una calculadora graficadora para graficar el modelo. B. Encuentre la razón de cambio promedio del modelo de 2003 a 2008. Interprete su respuesta en el contexto del problema. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Números reales y funciones

62. Toque final Use la gráfica adjunta de la función para resolver los incisos A-E. y = f(x)

−4

−2

A. Encuentre el dominio y rango de f.

B. Encuentre el(los) cero(s) de f.

C. Determine los intervalos en los que f es creciente, decreciente o constante.

D. Calcule cualesquier valores mínimo o máximo relativos de f. x 2

E. ¿f es par, impar o ninguna de estas?

SECCIÓN 1.5

TIPOS DE FUNCIONES

Objetivo 1

Funciones lineales y cuadráticas Uno de los objetivos de este texto es hacer posible que el estudiante reconozca las formas básicas de las gráficas de diferentes tipos de funciones. Por ejemplo, sabemos que la gráfica de la función lineal f x mx b es una recta con pendiente m e intersección con el eje y en 0, b . La gráfica de la función lineal tiene las siguientes características: r &M EPNJOJP EF MB GVODJÓO FT FM DPOKVOUP EF UPEPT MPT OÙNFSPT SFBMFT r &M SBOHP EF MB GVODJÓO FT FM DPOKVOUP EF UPEPT MPT OÙNFSPT SFBMFT r -B HSÃGJDB UJFOF VOB JOUFSTFDDJÓO DPO FM FKF x de y de 0, b .

b m, 0 , y una intersección con el eje

r -B HSÃGJDB FT DSFDJFOUF TJ m > 0, decreciente si m < 0 y constante si m

EJEMPLO

Escribir una función lineal Escriba la función lineal f para la que f 1

3yf 4

SOLUCIÓN Para determinar la ecuación de la recta que pasa por x1, y1 hallamos la pendiente de la recta. m

y2 x2

y1 x1

0 4

3 1

3 3

1, 3 y x2, y2 y

1 5

A continuación, usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta.

Forma punto-pendiente.

Sustituir por x1, y1 y m.

x x

Simplificar.

Notación de función.

−1

La gráfica de esta función se muestra en la figura 1.30.

f(x) = −x + 4

f x

4, 0 , primero

x −1

Figura 1.30

Hay dos tipos especiales de funciones lineales: la función constante y la función identidad. Una función constante tiene la forma f x