Mate 9 by Cengage

Mate 9 Nueva edición AUFMANN • LOCKWOOD • ALEXANDER KOEBERLEIN • JOHNSON • KUBY MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

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Richard N. Aufmann 3DORPDU &ROOHJH

Geralyn M. Koeberlein

0DKRPHW 6H\PRXU +LJK 6FKRRO

Joanne S. Lockwood

1DVKXD &RPPXQLW\ &ROOHJH

Robert Johnson

0RQURH &RPPXQLW\ &ROOHJH

Daniel C. Alexander 3DUNODQG &ROOHJH

Patricia Kuby

0RQURH &RPPXQLW\ &ROOHJH

Traducción Lorena Peralta Rosales Sergio Antonio Durán Reyes

Adaptación Carlos Julio Daza Higirio

*LPQDVLR &RORPER %ULW£QLFR

Revisión pedagógica Walter Guillermo Abondano Mikán

Javier León Cárdenas Víctor Campos Olguín

MEN - 2024 ALINEADO A LOS DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

*LPQDVLR &RORPER %ULW£QLFRɋ ɋ5HFWRU

Diseño de Pruebas Saber Francy Katerine Gómez Hernández &ROHJLR $QJOR $PHULFDQR

Revisión técnica

Mónica Aired Maldonado Pulido *LPQDVLR (O +RQWDQDU

$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ &DQDG£ ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU

Mate 9 Primera edición 5LFKDUG 1 $XIPDQQ -RDQQH 6 /RFNZRRG 'DQLHO & $OH[DQGHU *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ Directora Higher Education Latinoamérica: /XF¯D 5RPR $ODQ¯V Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora: $EULO 9HJD 2UR]FR Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Diseño de portada: )ODYLDQR )UHJRVR 5RMDV Imagen de portada: kɋ1HZ $IULFDɋ ɋ6KXWWHUVWRFN Diseño de interiores: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV Composición tipogr£ȴca: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV

k ' 5 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 XQD &RPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ ΖQF $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ &RORQLD $PSOLDFLµQ 6LQDWHO 'HOHJDFLµQ Ζ]WDSDODSD &LXGDG GH 0«[LFR & 3 &HQJDJH /HDUQLQJp HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU SRGU£ VHU UHSURGXFLGD WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR HQ HO &DS¯WXOR ΖΖΖ $UW¯FXOR GH OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO (VWD HV XQD DGDSWDFLµQ GH ORV OLEURV Álgebra intermedia D HG $XIPDQQ 5LFKDUG 1 -RDQQH 6 /RFNZRRG Ζ6%1 WUDGXFLGR GHO OLEUR Intermediate Algebra (LJKWK (GLWLRQ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU %URRNV &ROH XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 Geometría D HGLFLµQ $OH[DQGHU 'DQLHO & *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ Ζ6%1 WUDGXFLGR GHO OLEUR Elementary Geometry for College Students )LIWK (GLWLRQ 'DQLHO & $OH[DQGHU *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU %URRNV &ROH XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 Estadística elemental D HG (GLFLµQ UHYLVDGD 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ Ζ6%1 WUDGXFLGR GHO OLEUR Elementary Statistics H 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU %URRNV &ROH XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD $XIPDQQ 5LFKDUG 1 -RDQQH 6 /RFNZRRG 'DQLHO & $OH[DQGHU *HUDO\Q 0 .RHEHUOHLQ 5REHUW -RKQVRQ 3DWULFLD .XE\ Mate 9 3ULPHUD HGLFLµQ Ζ6%1 2 9 9LVLWH QXHVWUR VLWLR ZHE HQ KWWS ODWDP FHQJDJH FRP Publicadf Mxico

1 2 3 4 5 6 7 26 25 24 23 MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

Mate

ara la realización de la nueva edición de la serie editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo), Ron Larson y David C. Falvo (Precálculo); y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos. Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES).

Mate

Mate 9 Nueva edición

P ROPUESTA CURRICULAR

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? Y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso). Lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

CAPÍTULO

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES

RETO DEL CAPÍTULO Un inversionista tiene un total de $18.000 depositados en tres cuentas distintas que ganan un interés anual de 9, 7 y 5%. El monto depositado en la cuenta del 9% es el doble que el monto depositado en la cuenta del 5%. Si las tres cuentas ganan un interés anual total de $1.340, ¿cuánto dinero hay depositado en cada cuenta?

LO QUE DEBE SABER ¿Está listo para tener éxito en este capítulo? Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 3

1. Simplifique: 10 a 5 x 1 2 yb 2. Evalúe 3x 1 2y 2 z para x 5 21, y 5 4 y z 5 22.

OBJETIVOS 1. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

2. Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta. Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta. 3. Evaluar los determinantes. Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices.

4. Resolver problemas en contextos reales usando sistemas de dos o tres ecuaciones lineales. 5. Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales.

3. Dada 3x 2 2z 5 4, encuentre el valor de x cuando z 5 22. 4. Resuelva: 3x 1 4122x 2 52 5 25 5. Resuelva: 0,45x 1 0,0612x 1 4.0002 5 630 1 6. Grafique: y 5 x 2 4 2 7. Grafique: 3x 2 2y 5 6 3 8. Grafique: y . 2 x 1 1 5

CONTENIDO Sección 3.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 52 Sección 3.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 58 Sección 3.3 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices 64 Sección 3.4 Problemas de aplicación

Sección 3.5 Solución de sistemas de desigualdades lineales 84

PRESENTACIÓN DE LA SERIE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

iii

E STRUCTURA DE LA SERIE (Q HVWD QXHYD HGLFLµQ GH Mate 9 HQFRQWUDU£ XQ DPSOLR GHVDUUROOR GH ODV PDWHP£WLFDV SDU WLHQGR GHO SODQWHDPLHQWR \ VROXFLµQ GH VLWXDFLRQHV HQ FRQWH[WR HQIRFDGDV HQ GDWRV UHDOHV \ VLWXDFLRQHV DWUDFWLYDV SDUD ORV HVWXGLDQWHV

/D REUD FXHQWD VRQ

RETO DEL CAPÍTULO 0HGLDQWH XQ HMHPSOR VH LQWURGXFHQ ORV FRQFHSWRV TXH VH WUDEDMDU£Q D OR ODUJR GHO FDS¯WXOR FRQ OD ȴQDOLGDG GH PRWLYDU OD LQYHVWLJDFLµQ \ HO GHVDUUROOR GH FRQWHQLGRV SDUD UHVROYHU HO UHWR

OBJETIVOS 6H SURSRQHQ PHWDV TXH VH GHEHQ DOFDQ]DU PHGLDQ WH HO GHVDUUROOR GH FRQFHSWRV SDUD OR FXDO VH DSRUWD XQ HVER]R JHQHUDO GH DVSHFWRV HVSHF¯ȴFRV TXH ORV HVWXGLDQWHV GHEHQ WHQHU HQ FXHQWD SDUD DSUHQGHU \ DSOLFDU FDGD LGHD R FRQFHSWR TXH VH SUHVHQWD

OBJETIVOS

1. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

2. Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta.

CONTENIDO

CONTENIDO (O FRQWHQLGR SUHVHQWD HQ GHWDOOH ORV WHPDV JHQHUDOHV TXH VH DERUGDQ HQ HO WH[WR FRQ OR FXDO HV SRVLEOH RUJD QL]DU \ SODQHDU HO WUDEDMR SDUD DOFDQ]DU HO DSUHQGL]DMH SURSXHVWR

LO QUE DEBE SABER $ SDUWLU GH XQ JUXSR GH SUHJXQWDV VH EXVFD TXH GH PDQHUD DXWµQRPD ORV HVWXGLDQWHV PLGDQ VXV FRQRFL PLHQWRV SUHYLRV \ DOJXQRV UHTXLVLWRV SDUD HO GHVDUUROOR FRQFHSWXDO GH FDGD FDS¯WXOR

Sección 3.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 52 Sección 3.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 58 Sección 3.3 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Simplifique: 10 a 3 x 1 1 yb 5

2. Evalúe 3x 1 2y 2 z para x 5 21, y 5 4 y z 5 22. 3. Dada 3x 2 2z 5 4, encuentre el valor de x cuando z 5 22. 4. Resuelva: 3x 1 4 122x 2 52 5 25 5. Resuelva: 0,45x 1 0,06 12x 1 4.0002 5 630 1 6. Grafique: y 5 x 2 4 2

DESARROLLO CONCEPTUAL 6H EDVD HQ ORV DVSHFWRV P£V UHOHYDQWHV \ ¼WLOHV GH ODV WHP£WLFDV SURSLDV GH FDGD JUD GR (VWRV DVSHFWRV VH PXHVWUDQ D SDUWLU GH VLWXDFLRQHV HQ FRQWH[WR GHPRVWUDFLRQHV IRUPDOHV GH SURSLHGDGHV \ GHȴQLFLRQHV FODUDV KDFLHQGR «QIDVLV HQ HO ULJRU GH ODV PDWHP£WLFDV \ HO EXHQ XVR GHO OHQJXDMH \ HO SHQVDPLHQWR OµJLFR DFRUGH D FDGD HGDG $GHP£V VH GHVWDFDQ ORV FRQFHSWRV GH PD\RU UHOHYDQFLD SDUD TXH ORV HVWXGLDQWHV LQWX\DQ VX LPSRUWDQFLD

PASOS PARA REESCRIBIR UNA MATRIZ AUMENTADA 2 3 3 EN LA FORMA ESCALONADA POR FILAS

El orden en que los elementos de la matriz aumentada siguiente se cambian es: Paso 1: Cambie a11 a un 1. Paso 2: Cambie a21 a un 0. a11 a12 a13 B R ` Paso 3: Cambie a22 a un 1. a21 a22 a23

EJEMPLOS RESUELTOS 6H HMHPSOLȴFD OD VROXFLµQ GH SUREOHPDV FRQ VXV UHVSHFWLYRV SURFHGLPLHQWRV (Q FDGD HMHPSOR VH PXHVWUD HO FRPSRQHQWH DOJRU¯WPLFR DV¯ FRPR OD DSOLFDFLµQ GH FRQFHS WRV TXH OOHYDQ D OD VROXFLµQ GHO SUREOHPD GHQWUR GH FRQWH[WRV UHDOHV FX\R QLYHO GH FRPSOHMLGDG LQFUHPHQWD GH IRUPD JUDGXDO

EJEMPLO

Evalúe el determinante. A. ` SOLUCIÓN A. `

3 22 ` 6 24

3 22 ` 5 3 1242 2 162 1222 5 212 1 12 5 0 6 24

PUNTO DE INTERÉS 6H SURSRUFLRQDQ KHFKRV R GDWRV UHOHYDQWHV SDUD HQIDWL]DU DVSHFWRV LPSRUWDQWHV R LQIRUPDFLµQ H[WUD HQ WRUQR DO WHPD SDUWLFXODU TXH VH HVW£ DERUGDQGR (Q DOJXQRV FDVRV VH KDFH UHIHUHQFLD D SHUVRQDV R DFRQWHFLPLHQWRV KLVWµULFRV TXH KDQ VLGR IXQ GDPHQWDOHV HQ HO GHVDUUROOR GH ODV PDWHP£WLFDV

PUNTO de INTERÉS La regla de Cramer recibe su nombre en honor a Gabriel Cramer, quien la utilizó en un libro que publicó en 1750. Sin embargo, el matemático japonés Seki Kown había publicado ya esta regla en 1683. Esa publicación ocurrió siete años antes de que Cramer naciera.

APLIQUE LO APRENDIDO (Q HVWD VHFFLµQ VH SUHVHQWD XQD DPSOLD VHOHFFLµQ GH HMHUFLFLRV GRQGH HO HVWXGLDQWH SRGU£ UHDȴU PDU VX GRPLQLR GH ORV FRQFHSWRV \ HO PDQHMR DOJRU¯WPLFR GH ORV WHPDV GH FDGD FDS¯WXOR PHGLDQWH VX DSOLFDFLµQ HQ FRQWH[WRV UHDOHV

Capítulo 3 Sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales

EJERCICIOS 3.4

APLIQUE LO APRENDIDO 1. La velocidad de un avión con viento en calma es 500 mph. Si el avión vuela en un viento que sopla a 50 millas por hora, ¿cuál es la velocidad del avión respecto al suelo? 2. Un contratista compró 50 yardas de alfombra de nylon con un costo de x dólares la yarda y 100 yardas de alfombra de lana por y dólares la yarda. Exprese el costo total de las dos compras en términos de x y y. Resolver problemas en contextos reales usando sistemas de dos o tres ecuaciones lineales 3. Un barco viaja durante 3 horas por un río (con la corriente), luego da la vuelta y tarda 5 horas en regresar (contra la corriente). Sea b la velocidad del bote en aguas en calma, en millas por hora, y sea c la velocidad de la corriente, en millas por hora. Complete la tabla siguiente. 5

Distancia

# #

Tiempo

Con la corriente

Contra la corriente

Velocidad

4. Al volar con el viento, un pequeño avión voló 320 millas en 2 horas. Contra el viento, el avión solo pudo volar 280 millas en la misma cantidad de tiempo. Calcule la velocidad del avión con viento en calma y la velocidad del viento. 5. Un yate que navega con la corriente recorrió 48 millas en 3 horas. Contra la corriente, tardó 4 horas en recorrer la misma distancia. Calcule la velocidad del yate en aguas en calma y la velocidad de la corriente. 6. Volando con el viento, un piloto recorrió 450 millas entre dos ciudades en 2,5 horas. El viaje de regreso contra el viento le tomó 3 horas Calcule la velocidad del avión con viento

EJERCICIOS DE REPASO (VWD VHFFLµQ DO FRQFOXLU FDGD FDS¯WXOR UH¼QH XQ FRQMXQWR GH HMHUFLFLRV VREUH ORV WHPDV WUDWDGRV D ȴQ GH FRPSUREDU HO GRPLQLR \ OD DSURSLDFLµQ GH FRQFHSWRV

Sección 3.5 Solución de sistemas de desigualdades lineales

CAPÍTULO

EJERCICIOS DE REPASO

1. Resuelva por sustitución: 2x 2 6y 5 15 x 5 3y 1 8 2. Resuelva por sustitución: 3x 1 12y 5 18 x 1 4y 5 6

3 22 5 16. Evalúe el determinante: † 4 6 3† 1 2 1

3. Resuelva por suma y resta: 5x 2 15y 5 30 x 2 3y 5 6

17. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 4x 2 3y 5 17 3x 2 2y 5 12

4. Resuelva por suma y resta: 3x 1 2y 5 2 x1y53

18. Resuelva por el método de eliminación gausiana:

5. Resuelva por suma y resta: 3x 1 y 5 13 2y 1 3z 5 5 x 1 2z 5 11 6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 4y 2 2z 5 17 4x 2 3y 1 5z 5 5 5x 2 5y 1 3z 5 14 7. Evalúe el determinante: `

3x 1 2y 2 z 5 21 x 1 2y 1 3z 5 21 3x 1 4y 1 6z 5 0 19. Resuelva por el método gráfico:

x1y53 3x 2 2y 5 26

20. Resuelva por el método gráfico: 2x 2 y 5 4 y 5 2x 2 4 6 1 ` 2 5

1 5 22 4† 8. Evalúe el determinante: † 22 1 4 3 28

21. Resuelva por el método gráfico:

x 1 3y , 6 2x 2 y . 4

22. Resuelva por el método gráfico: 2x 1 4y $ 8 x1y#3

PRUEBA SABER 3DUD HVWD QXHYD HGLFLµQ VH GLVH³DURQ QXHYDV 3UXHEDV 6DEHU (VWD SUXHED HYDO¼D ODV FRPSHWHQFLDV GH ORV HVWX GLDQWHV SDUD HQIUHQWDU VLWXDFLRQHV TXH SXHGHQ UHVROYHUVH FRQ HO XVR GH KHUUDPLHQWDV PDWHP£WLFDV 7DQWR ODV FRPSHWHQFLDV GHȴQLGDV GH OD SUXHED FRPR ORV FRQRFLPLHQWRV PDWHP£WLFRV TXH HO HVWXGLDQWH UHTXLHUH SDUD UHVROYHU ODV VLWXDFLRQHV SODQWHDGDV VH EDVDQ HQ ODV GHȴQLFLRQHV GH ORV HVW£QGDUHV E£VLFRV GH FRPSHWHQFLDV HQ 0DWHP£WLFDV GHO 0LQLVWHULR GH (GXFDFLµQ 1DFLRQDO GH &RORPELD 'H HVWD PDQHUD VH LQWHJUDQ FRPSHWHQFLDV \ FRQWHQLGRV HQ GLVWLQWDV VLWXDFLRQHV R FRQWH[WRV HQ ORV FXDOHV ODV KHUUDPLHQWDV PDWHP£WLFDV FREUDQ VHQWLGR \ VRQ XQ LPSRUWDQWH UHFXUVR SDUD OD FRPSUHQVLµQ GH VLWXDFLRQHV OD WUDQVIRUPDFLµQ GH LQIRUPDFLµQ OD MXVWLȴFDFLµQ GH DȴUPDFLRQHV \ OD VROXFLµQ GH SUREOHPDV /DV 3UXHEDV 6DEHU HVW£Q GLVH³DGDV SDUD QR UHTXHULU GHO XVR GH OD FDOFXODGRUD

PRUEBA SABER MATE 9 t CAPÍTULO 1

La Prueba Saber evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Esta prueba cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma: R Razonamiento y argumentación

S Planteamiento y Solución de problemas

Para visualizar más preguntas tipo Prueba Saber de manera digital ingrese al código QR.

M Modelación, comunicación y representación Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora.

(Q HO PLVPR DSDUWDGR GH ODV 3UXHEDV 6DEHU HQ OD SDUWH LQIHULRU QRWDU£ TXH VH LQFOX\H XQ FµGLJR 45 DO HVFDQHDUOR SRGU£ YLVXDOL]DU SUHJXQWDV FRPSOHPHQWDULDV GH PDQHUD GLJLWDO &RPR DSR\R DGLFLRQDO D ORV SURIHVRUHV TXH DGRSWHQ OD REUD VH OHV SURSRUFLRQDU£Q ODV 5HVSXHVWDV GH ODV 3UXHEDV 6DEHU &RQVXOWH W«UPLQRV \ FRQGLFLRQHV FRQ VX UHSUHVHQWDQWH &HQJDJH

GLOSARIO Y BIBLIOGRAFÍA $O ȴQDO GHO OLEUR VH LQFOX\HQ XQ JORVDULR \ XQD ELEOLRJUDI¯D D ȴQ GH HQULTXHFHU HO DSUHQGL]DMH

GLOSARIO A Ángulo central de un círculo. Es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo. Ángulo inscrito de un círculo. Es un ángulo que tiene su vértice en un punto en el círculo y sus lados son cuerdas del círculo.

Ecuación radical. Es una ecuación con una expresión algebraica en un radicando. Estadística inferencial. Se refiere a la técnica de interpretar los valores que resultan a partir de las técnicas descriptivas, tomar decisiones y extraer conclusiones acerca de la población.

BIBLIOGRAFÍA Álgebra Intermedia, 8a. edición. Joanne S. Lockwood y Richard N. Aufmann, © 2013 ISBN-13: 978-607-481-894-9 Traducido del libro: Intermediate Algebra, 8th edition, Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2013 ISBN 978-111-157-949-4

Geometría, 5a. edición. Alexander Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein. ISBN: 978-607-481-889-5 Traducido del libro: Elementary Geometry for College Students, 5th edition, Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein.Publicado en inglés por Brooks/Cole,una compañía de Cengage Learning © 2011 ISBN: 978-14390-4790-3 Datos para catalogación

Mate 9

/R LQYLWDPRV D FRQRFHU \ XWLOL]DU , XQ WH[WR TXH OH GDU£ D ORV HVWXGLDQWHV OD FRQȴDQ]D QHFHVDULD SDUD DSOLFDU ODV PDWHP£WLFDV D WUDY«V GH XQ OLEUR GH WH[WR SHGDJµ JLFR \ DFFHVLEOH

vii

AGRADECIMIENTOS

$JUDGHFHPRV HO DSR\R \ FRODERUDFLµQ HQ OD UHYLVLµQ GH HVWD REUD D ORV SURIHVRUHV Luz Elvira Moyano Valencia &ROHJLR &DODVDQ] %RJRW£ &RORPELD

Duván Felipe Pérez Pico /LFHR 0DWRYHOOH &RORPELD

Astrid Leidy Trujillo Gómez *LPQDVLR (O 3RUWLOOR &RORPELD

Alexis Valencia Muñoz

&ROHJLR (PPDQXHO Gȇ$O]RQ &RORPELD

Erick Daniel Camacho Montero &HQWUR (GXFDWLYR +RUL]RQWHV &RVWD 5LFD

Edgar Solano Solano

&RPSOHMR (GXFDWLYR &Ζ7 &RVWD 5LFD

Flor de María Herrera Reyes

3URIHVRUDGR HQ (QVH³DQ]D 0HGLD HQ 0DWHP£WLFD \ )¯VLFD *XDWHPDOD

NOTA En algunos países de América Latina se utiliza el punto o la coma baja para la notación de los números decimales. En esta serie de libros de encontrará que los números decimales se separan mediante coma baja.

Mate

viii

AGRADECIMIENTOS MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO BREVE

CAPÍTULO

1 GRÁFICAS Y FUNCIONES 1

CAPÍTULO

2 FUNCIÓN LINEAL

CAPÍTULO

3 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES 51

CAPÍTULO

4 EXPONENTES, RADICALES Y NÚMEROS COMPLEJOS 93

CAPÍTULO

5 ECUACIONES CUADRÁTICAS Y DESIGUALDADES 131

CAPÍTULO

6 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 179

CAPÍTULO

7 GEOMETRÍA Y MEDICIÓN 239

CAPÍTULO

8 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 313 GLOSARIO 347 BIBLIOGRAFÍA

348

CONTENIDO BREVE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO DETALLADO CAPÍTULO

GRÁFICAS Y FUNCIONES 1 SECCIÓN 1.1 EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 2 EJERCICIOS 1.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.2 GRÁFICAS DE RECTAS 5 EJERCICIOS 1.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.3 FUNCIONES 12 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN DEL CONJUNTO A AL B 13 CUATRO MODOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL PARA FUNCIONES

EJERCICIOS 1.3 APLIQUE LO APRENDIDO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

FUNCIÓN LINEAL

SECCIÓN 2.1 GRÁFICAS DE FUNCIONES LINEALES 28 EJERCICIOS 2.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.2 PENDIENTES DE RECTAS 32 FÓRMULA DE LA PENDIENTE RECTAS PARALELAS

RECTAS PERPENDICULARES 36 FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN DE UNA RECTA 37

EJERCICIOS 2.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.3 ECUACIONES DE RECTAS 40 FORMA PUNTO-PENDIENTE

CONTENIDO DETALLADO MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

EJERCICIOS 2.3 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 2 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES 51 SECCIÓN 3.1 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO GRÁFICO Y POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 52

EJERCICIOS 3.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE SUMA Y RESTA 58 EJERCICIOS 3.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES UTILIZANDO DETERMINANTES Y MATRICES 64 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 2 3 2 65 MENOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE

DEFINICIÓN DE UN COFACTOR 66 REGLA DE CRAMER PARA DOS ECUACIONES CON DOS VARIABLES

REGLA DE CRAMER PARA TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILA

PASOS PARA REESCRIBIR UNA MATRIZ AUMENTADA 2 3 3 EN LA FORMA ESCALONADA POR FILAS 71 PASOS PARA REESCRIBIR UNA MATRIZ 3 3 4 AUMENTADA EN LA FORMA ESCALONADA POR FILAS 72

EJERCICIOS 3.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 79 ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VELOCIDAD DEL VIENTO Y VELOCIDAD DE LA CORRIENTE 79

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE APLICACIÓN CON DOS VARIABLES 80

EJERCICIOS 3.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.5 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES 84 EJERCICIOS 3.5 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 3 EJERCICIOS DE REPASO

PRUEBA SABER

CAPÍTULO

EXPONENTES, RADICALES Y NÚMEROS COMPLEJOS 93 SECCIÓN 4.1 EXPONENTES RACIONALES Y EXPRESIONES RADICALES 94 1

DEFINICIÓN DE a n m n

DEFINICIÓN DE a

RAÍZ n-ÉSIMA DE a

m n

ESCRIBIR a COMO UNA EXPRESIÓN RADICAL

EJERCICIOS 4.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 4.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES RADICALES 100 PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE LOS RADICALES 100 PROPIEDAD DEL COCIENTE DE LOS RADICALES 102 FORMA MÁS SIMPLE DE UNA EXPRESIÓN RADICAL 103 DEFINICIÓN DE CONJUGADO

104

EJERCICIOS 4.2 APLIQUE LO APRENDIDO

105

SECCIÓN 4.3 FUNCIONES RADICALES 109 EJERCICIOS 4.3 APLIQUE LO APRENDIDO

110

SECCIÓN 4.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES QUE CONTIENEN EXPRESIONES RADICALES 112

xii

PROPIEDAD DE ELEVAR A UNA POTENCIA CADA LADO DE UNA ECUACIÓN

112

TEOREMA DE PITÁGORAS 114

EJERCICIOS 4.4 APLIQUE LO APRENDIDO

115

SECCIÓN 4.5 NÚMEROS COMPLEJOS 117 DEFINICIÓN DE UN NÚMERO IMAGINARIO 118 DEFINICIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO

118

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS 119 CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

120

EJERCICIOS 4.5 APLIQUE LO APRENDIDO

121

CAPÍTULO 4 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

124

126

ECUACIONES CUADRÁTICAS Y DESIGUALDADES 131 SECCIÓN 5.1 RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MEDIO DE FACTORIZACIÓN O UTILIZANDO RAÍCES 132 PROPIEDAD DEL PRODUCTO CERO

132

EJERCICIOS 5.1 APLIQUE LO APRENDIDO

135

SECCIÓN 5.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR EL MÉTODO DE COMPLETAR EL CUADRADO Y MEDIANTE LA FÓRMULA GENERAL O CUADRÁTICA FÓRMULA GENERAL PARA ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

137

140

EFECTO DEL DISCRIMINANTE EN LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA 142

EJERCICIOS 5.2 APLIQUE LO APRENDIDO

142

SECCIÓN 5.3 ECUACIONES QUE SE PUEDEN REDUCIR A ECUACIONES CUADRÁTICAS 145 EJERCICIOS 5.3 APLIQUE LO APRENDIDO

148

xiii

SECCIÓN 5.4 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS 150 ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE APLICACIÓN 150

EJERCICIOS 5.4 APLIQUE LO APRENDIDO

154

SECCIÓN 5.5 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS 156 FUNCIÓN CUADRÁTICA

156 158

VÉRTICE Y EJE DE SIMETRÍA DE UNA PARÁBOLA

EFECTO DEL DISCRIMINANTE SOBRE EL NÚMERO DE INTERSECCIONES CON EL EJE x DE UNA PARÁBOLA CON ECUACIÓN y 5 ax2 1 bx 1 c 161

EJERCICIOS 5.5 APLIQUE LO APRENDIDO

162

SECCIÓN 5.6 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS 165 EJERCICIOS 5.6 APLIQUE LO APRENDIDO

167

SECCIÓN 5.7 DESIGUALDADES NO LINEALES 170 EJERCICIOS 5.7 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 5 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

171

173

174

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 179 SECCIÓN 6.1 FUNCIONES EXPONENCIALES 180 DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

180

181

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON 1-1

EJERCICIOS 6.1 APLIQUE LO APRENDIDO

182 184

SECCIÓN 6.2 INTRODUCCIÓN A LOS LOGARITMOS 186 DEFINICIÓN DE LOGARITMO 187 PROPIEDAD DE LA IGUALDAD DE LOS EXPONENTES PROPIEDAD DEL LOGARITMO DE UN PRODUCTO

xiv

188

190

PROPIEDAD DEL LOGARITMO DE UN COCIENTE

190

PROPIEDAD DEL LOGARITMO DE UNA POTENCIA 191 OTRAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 192 FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE 193

EJERCICIOS 6.2 APLIQUE LO APRENDIDO

194

SECCIÓN 6.3 GRÁFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 197 EJERCICIOS 6.3 APLIQUE LO APRENDIDO

199

SECCIÓN 6.4 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 200 EJERCICIOS 6.4 APLIQUE LO APRENDIDO

204

SECCIÓN 6.5 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 206 EJERCICIOS 6.5 APLIQUE LO APRENDIDO

210

SECCIÓN 6.6 INTRODUCCIÓN A LAS SUCESIONES Y LAS SERIES 214 EJERCICIOS 6.6 APLIQUE LO APRENDIDO

216

SECCIÓN 6.7 SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS 218 FÓRMULA PARA EL n-ÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA

219

FÓRMULA PARA LA SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA SERIE ARITMÉTICA

220

EJERCICIOS 6.7 APLIQUE LO APRENDIDO

222

SECCIÓN 6.8 SUCESIONES Y SERIES GEOMÉTRICAS 224 FÓRMULA PARA EL n-ÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA

225

FÓRMULA PARA LA SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA SERIE GEOMÉTRICA FINITA 226 FÓRMULA PARA LA SUMA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA INFINITA

EJERCICIOS 6.8 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 6 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

227

229

231

234

CAPÍTULO

GEOMETRÍA Y MEDICIÓN 239 SECCIÓN 7.1 CÍRCULOS Y SEGMENTOS Y ÁNGULOS RELACIONADOS 240 DEFINICIÓN DE CÍRCULO 240 DEFINICIÓN DE CÍRCULOS CONCÉNTRICOS

240

DEFINICIÓN DE ÁNGULO CENTRAL 240 TEOREMA 7.1.1 241 POSTULADO 7.1.2 (Postulado del ángulo central)

241

DEFINICIÓN DE ÁNGULO INSCRITO 242 TEOREMA 7.1.2 242 TEOREMA 7.1.3 242 TEOREMA 7.1.4 243 TEOREMA 7.1.5 243 TEOREMA 7.1.6 243 DEFINICIÓN DE TANGENTE 243 DEFINICIÓN DE SECANTE

243

DEFINICIÓN DE POLÍGONO CÍCLICO

244

TEOREMA 7.1.7 244 DEFINICIÓN DE POLÍGNO CIRCUNSCRITO ALREDEDOR DE UN CÍRCULO TEOREMA 7.1.8 245 TEOREMA 7.1.9 245

EJERCICIOS 7.1 APLIQUE LO APRENDIDO

246

SECCIÓN 7.2 RELACIONES DE RECTA Y SEGMENTO EN EL CÍRCULO 249 TEOREMA 7.2.1 249 TEOREMA 7.2.2 249 TEOREMA 7.2.3 249

xvi

244

ESTRATEGIA PARA UNA DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE LONGITUDES DE SEGMENTOS EN EL CÍRCULO 250 TEOREMA 7.2.4 250 TEOREMA 7.2.5 251 TEOREMA 7.2.6 251 TEOREMA 7.2.7 251 TEOREMA 7.2.8 252 TEOREMA 7.2.9 253 TEOREMA 7.2.10

253

EJERCICIOS 7.2 APLIQUE LO APRENDIDO

254

SECCIÓN 7.3 ÁREA Y POSTULADOS INICIALES 255 POSTULADO 7.3.1 256 POSTULADO 7.3.2 256 TEOREMA 7.3.1 257 TEOREMA 7.3.2 257 TEOREMA 7.3.3 257 DEFINICIÓN DE PERÍMETRO DE UN POLÍGONO

258

TEOREMA 7.3.4 (FÓRMULA DE HERÓN) 259 TEOREMA 7.3.5 (FÓRMULA DE BRAHMAGUPTA) 259 TEOREMA 7.3.6 259 TEOREMA 7.3.7 260 COROLARIO 7.3.1 260 COROLARIO 7.3.2 261 TEOREMA 7.3.8

261

EJERCICIOS 7.3 APLIQUE LO APRENDIDO

262

xvii

SECCIÓN 7.4 CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DE UN CÍRCULO 265 POSTULADO 7.4.1 265 DEFINICIÓN DE p 265 TEOREMA 7.4.1 265 TEOREMA 7.4.2 266 TEOREMA 7.4.3 267 POSTULADO 7.4.2 268 TEOREMA 7.4.4 268 DEFINICIÓN DE SEGMENTO DE UN CÍRCULO 269 TEOREMA 7.4.5 269

EJERCICIOS 7.4 APLIQUE LO APRENDIDO

270

SECCIÓN 7.5 PRISMAS, ÁREA Y VOLUMEN 272 DEFINICIÓN DE PRISMA RECTO Y PRISMA OBLICUO 273 DEFINICIÓN DE ÁREA LATERAL DE UN PRISMA 274 TEOREMA 7.5.1 274 DEFINICIÓN DE ÁREA TOTAL DE UN PRISMA 274 DEFINICIÓN DE PRISMA REGULAR

275

DEFINICIÓN DE CUBO 275 POSTULADO 7.5.1 276 POSTULADO 7.5.2 276

EJERCICIOS 7.5 APLIQUE LO APRENDIDO

277

SECCIÓN 7.6 PIRÁMIDES, ÁREA Y VOLUMEN 279 DEFINICIÓN DE PIRÁMIDE REGULAR 280 DEFINICIÓN DE ALTURA INCLINADA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR 280 TEOREMA 7.6.1 281 TEOREMA 7.6.2 281

xviii

TEOREMA 7.6.3

282

TEOREMA 7.6.4 282

EJERCICIOS 7.6 APLIQUE LO APRENDIDO

283

SECCIÓN 7.7 CILINDROS 286 TEOREMA 7.7.1 287 TEOREMA 7.7.2 287 TEOREMA 7.7.3 288 TEOREMA 7.7.4 289 TEOREMA 7.7.5 289 TEOREMA 7.7.6 290 TEOREMA 7.7.7 290

EJERCICIOS 7.7 APLIQUE LO APRENDIDO

290

SECCIÓN 7.8 POLIEDROS 293 TEOREMA 7.8.1 (ECUACIÓN DE EULER)

293

DEFINICIÓN DE POLIEDRO REGULAR 293 ESFERAS

294

TEOREMA 7.8.2 294 TEOREMA 7.8.3 295

EJERCICIOS 7.8 APLIQUE LO APRENDIDO

296

SECCIÓN 7.9 RELACIÓN PROPORCIONAL SENO Y APLICACIONES 298 DEFINICIÓN DE RELACIÓN PROPORCIONAL SENO

298

DEFINICIÓN DE RELACIÓN PROPORCIONAL COSENO DEFINICIÓN DE RELACIÓN PROPORCIONAL TANGENTE

EJERCICIOS 7.9 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 7 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

300 302

304

306

308

xix

CAPÍTULO

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

313

SECCIÓN 8.1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN 314 RANGO

314

DESVIACIÓN DE LA MEDIA

315

VARIANZA MUESTRAL 315

316

DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL

VARIANZA MUESTRAL, “FÓRMULA ATAJO”

317

EJERCICIOS 8.1 APLIQUE LO APRENDIDO

317

SECCIÓN 8.2 MEDIDAS DE POSICIÓN 319 319

CUARTILES PERCENTILES

320

CUARTIL MEDIO

322

RESUMEN DE 5 NÚMEROS

323

RANGO INTERCUARTÍLICO 323

323

DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES VALOR ESTÁNDAR O VALOR Z 324

EJERCICIOS 8.2 APLIQUE LO APRENDIDO

325

SECCIÓN 8.3 PROBABILIDAD DE EVENTOS 327 PROBABILIDAD DE UN EVENTO

328

PROBABILIDAD EMPÍRICA (OBSERVADA) P* (A) PROBABILIDAD TEÓRICA (ESPERADA) P (A)

328

329

PROPIEDAD 1 333 PROPIEDAD 2 333 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

335

EJERCICIOS 8.3 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 8 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

337

339

342

GLOSARIO 347 BIBLIOGRAFÍA 348

CAPÍTULO

GRÁFICAS Y FUNCIONES

RETO DEL CAPÍTULO

LO QUE DEBE SABER

Inscripciones escolares. El número N (en millones) de estudiantes inscritos en escuelas de Estados Unidos de 1995 a 2006 se muestra en la siguiente tabla.

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Año

Número (N)

Año

Número (N)

1995

69,8

2001

73,1

1996

70,3

2002

74,0

1997

72,0

2003

74,9

Si x 5 22, y 5 24 y z 5 4

1998

72,1

2004

75,5

1999

72,4

2005

75,8

2000

72,2

2006

75,2

2 32 1 3 2 xy z 1 x y z 3 9 Halle las coordenadas de los vértices del polígono mostrado en la figura.

Fuente: U.S. Census Bureau.

A. Use una calculadora graficadora para crear una gráfica de dispersión de los datos. Con t 5 5 represente el año correspondiente a 1995. B. Use el comando REGRESSION de una calculadora graficadora para hallar un modelo para los datos. C. Grafique el modelo y la gráfica de dispersión en la misma pantalla. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? D. De acuerdo con el modelo, ¿durante cuáles años excederá de 74 millones el número de estudiantes inscritos en escuelas? E. ¿Es válido el modelo para predicciones a largo plazo de inscripción de estudiantes en escuelas? Explique.

OBJETIVOS 1. Reconocer las coordenadas rectangulares. 2. Graficar rectas en el plano cartesiano. 3. Introducción a las funciones. 4. Definir una función y hallar sus elementos. 5. Conocer algunas aplicaciones de las funciones.

Calcule el valor numérico del siguiente polinomio.

y 6 5 4 3 2 1 0

CONTENIDO Sección 1.1 El sistema de coordenadas rectangulares Sección 1.2 Gráficas de rectas 5 Sección 1.3 Funciones 12

Capítulo 1 Gráficas y funciones

SECCIÓN 1.1

EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Objetivo 1

Reconocer las coordenadas rectangulares

Graficar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares PUNTO de INTERÉS Los arqueólogos usan estacas y cuerda para delimitar un sistema de coordenadas rectangulares en el sitio de una excavación. La rejilla se reproduce en un papel milimétrico para gráficas y después se utiliza para registrar las ubicaciones de los artefactos antes de retirarlos del sitio.

Un sistema de coordenadas rectangulares está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y una vertical, que se intersecan en el punto cero de cada recta. El punto de intersección se llama origen. Los dos ejes se llaman ejes coordenados o simplemente ejes. Por lo general, el eje horizontal se designa como eje x y el vertical se designa eje y. Los ejes determinan un plano, el cual se puede pensar como si fuera una hoja de papel plana grande. Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que están numerados del I al IV en sentido opuesto a las manecillas del reloj, comenzando en el superior derecho.

y Cuadrante II

Cuadrante I

5 4 3 2 1

Eje horizontal

Eje vertical x

1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

Origen

Cuadrante III

Cuadrante IV

Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números llamado par ordenado. El primer número del par ordenado mide la distancia horizontal y se llama abscisa, o coordenada x. El segundo número del par mide la distancia vertical y se llama ordenada, o coordenada y. El par (x, y) asociado con un punto también se llama coordenadas del punto.

Par ordenado coordenada x

Distancia horizontal

13, 42 c c

Distancia vertical y

coordenada y 4

Para graficar o trazar un punto en el plano coloque un punto en la ubicación dada por el par ordenado. Por ejemplo, para graficar el punto (4, 1), empiece en el origen. Desplace 4 unidades hacia la derecha y después 1 unidad hacia arriba. Dibuje un punto. Para graficar (23, 22), comience en el origen. Desplace 3 unidades hacia la izquierda y después 2 unidades hacia abajo. Dibuje un punto.

–4

–2

arriba 1

derecha 4

abajo 2

–2

(–3, –2) –4

La gráfica de un par ordenado es el punto representado en las coordenadas del punto en el plano. Las gráficas de los pares ordenados (4, 1) y (23, 22) se muestran a la derecha. Las gráficas de los puntos cuyas coordenadas son (2, 3) y (3, 2) se muestran a la derecha. Observe que son diferentes puntos. El orden en el cual se listan los números en un par ordenado es importante.

(4, 1)

2 izquierda 3

(2, 3) 2

–2

(3, 2)

–2

RECUERDE QUE... Este concepto es clave. Un par ordenado es un par de coordenadas y el orden en el cual están listadas las coordenadas es importante.

Cada punto en el plano está asociado con un par ordenado y cada par ordenado está asociado con un punto en el plano. Aun cuando solo los números enteros están clasificados en la cuadrícula de las coordenadas, cualquier par ordenado se puede graficar aproximando su ubicación. Las gráficas de los pares ordenados 132, 2432 y (22,4, 3,5) se muestran a la derecha.

(–2,4, 3,5) 4 2 –4

–2

( 32 , – 43 )

–4

Sección 1.1 El sistema de coordenadas rectangulares

EJEMPLO

Grafique los pares ordenados (22, 23), (3, 22), (1, 3) y (4, 2). SOLUCIÓN

(1, 3)

–4

–2

(4, 2) 2

0 –2

(3, –2)

(–2, –3) –4

EJEMPLO

Determine las coordenadas de cada uno de los puntos. y 4

2 –4

–2

0 –2

D C

–4

SOLUCIÓN A(24, 22), B(4, 4), C(0, 23), D(3, 22) Determine las coordenadas de cada uno de los puntos. y B

C –4

D –2

–2 –4

SOLUCIÓN A (4,2), B(-3,4), C(-3,0), D(0,0)

EJERCICIOS 1.1

APLIQUE LO APRENDIDO

1. ¿En cuál cuadrante está la gráfica de (23, 4)? 2. ¿En cuál cuadrante está la gráfica de (2, 25)? 3. ¿En qué eje está la gráfica de (0, 24)? 4. ¿En qué eje está la gráfica de (26, 0)? 5. ¿Cuál es el valor de la coordenada y de cualquier punto en el eje x?

6. ¿Cuál es el valor de la coordenada x de cualquier punto en el eje y? 7. Mencione cualesquiera dos puntos en una recta horizontal que está 2 unidades arriba del eje x. 8. Mencione cualesquiera dos puntos en una recta vertical que está 3 unidades a la derecha del eje y.

Capítulo 1 Gráficas y funciones

Graficar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares.

17. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos.

Resuelva los ejercicios 9 y 10 sustituyendo cada signo de interrogación con las palabras a la izquierda, a la derecha, arriba o abajo.

y A

B –4

9. Para graficar el punto (5, 24), comience en el origen y ? y 4 unidades ? . desplace 5 unidades

–2

–2 –4

10. Para graficar el punto (21, 7) , comience en el origen y ? y 7 unidades ? . desplace 1 unidad

18. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos.

11. Grafique los pares ordenados (22, 1), (3, 25), (22, 4) y (0, 3).

y 4

C –2

–2

12. Grafique los pares ordenados (5, 21), (23, 23), (21, 0) y (1, 21).

–4

19. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos. y A

13. Grafique los pares ordenados (0, 0), (0, 25), (23, 0) y (0, 2).

C –4

–2

–4

20. Determine las coordenadas de cada uno de los puntos. 14. Grafique los pares ordenados (24, 5), (23, 1), (3, 24) y (5, 0).

y 4

C –4

–2

0 –2

15. Grafique los pares ordenados (21, 4), (22, 23), (0, 2) y (4, 0).

–4

21. Supongamos que a y b son números positivos, de manera que a , b. ¿En cuál cuadrante está ubicado cada punto?

16. Grafique los pares ordenados (5, 2), (24, 21), (0, 0) y (0, 3).

a. (a, b)

b. (2a, b)

c. (b 2 a, 2b)

d. (a 2 b, 2b 2 a)

22. Supongamos que a y b son números positivos. Establezca si los dos puntos dados quedan en el eje x, el eje y, una recta horizontal distinta del eje x, o una recta vertical distinta del eje y. a. (2a, b) y (2a, 0)

b. (a, 0) y (2b, 0)

Sección 1.2 Gráficas de rectas

23. Decida acerca de dos cantidades que pueden estar relacionadas y proporcione por lo menos diez pares de valores. Los siguientes son algunos ejemplos: estatura y peso, tiempo de estudio para un examen y calificación del mismo, la antigüedad de un automóvil y su costo. Trace un diagrama de dispersión para los datos. ¿Existe alguna tendencia? Es decir, a medida que se incrementan los valores en el eje horizontal, ¿los valores en el eje vertical aumentan o disminuyen?

SECCIÓN 1.2

24. Existe un sistema coordenado imaginario de la Tierra que consiste en longitud y latitud. Redacte un informe sobre cómo se determina la ubicación de un punto o lugar sobre la superficie de la Tierra.

GRÁFICAS DE RECTAS

Objetivo 1

Graficar rectas en el plano cartesiano

Determinar soluciones de ecuaciones lineales con dos variables Una ecuación de la forma y 5 mx 1 b, donde m es el coeficiente de x y b una constante, es una ecuación lineal con dos variables. A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones lineales. y 5 3x 1 4 y 5 2x 2 3 2 y52 x11 3 y 5 22x y5x12

1m 5 3, b 5 42 1m 5 2, b 5 232 2 am 5 2 , b 5 1b 3 1m 5 22, b 5 02 1m 5 1, b 5 22 1

En una ecuación lineal, el exponente de cada variable es 1. Las ecuaciones y 5 2x2 2 1 y y 5 x no son ecuaciones lineales.

Una solución de una ecuación lineal con dos variables es un par ordenado de números (x, y) que hace que la ecuación sea una expresión verdadera. Determine si un par ordenado es una solución de una ecuación con dos variables.

T OME NOTA Cada par ordenado es de la forma (x, y). Para el punto (1, 22), el valor de x es 1 y el valor de y es 22. Sustituya x por 1 y y por 22 .

EJEMPLO

¿Es (1, 22) una solución de y 5 3x 2 5?

y 5 3x 2 5

Sustituya x por 1. Sustituya y por 22.

3 112 2 5 325 22 5 22

Compare los resultados. Si los resultados son iguales, el par ordenado dado es una solución. Si los resultados no son iguales, el par ordenado dado no es una solución.

Sí, 11, 222 es una solución de de la ecuación y 5 3x 2 5.

Además del par ordenado (1, 22), existen muchas otras soluciones de par ordenado de la ecuación y 5 3x 2 5. Por ejemplo, el método utilizado antes también se puede utilizar para mostrar que (2, 1), (21, 28), ( 23 , 23) y (0, 25) también son soluciones. ¿Es (23, 2) una solución de y 5 2x 1 2? SOLUCIÓN y 5 2x 1 2 • Sustituya x por 23 y y por 2. 2 2 1232 1 2 26 1 2 24 2 2 24 No, (23, 2) no es una solución de y 5 2x 1 2.

Capítulo 1 Gráficas y funciones

En general, una ecuación lineal con dos variables tiene un número infinito de soluciones representadas por el par ordenado. Al elegir cualquier valor para x y sustituir ese valor en la ecuación lineal, podemos encontrar un valor correspondiente de y.

Graficar ecuaciones de la forma y 5 mx 1 b La gráfica de una ecuación con dos variables es un dibujo de la solución representada por el par ordenado de la ecuación. Para una ecuación lineal con dos variables, la gráfica es una recta. Para graficar una ecuación lineal encuentre soluciones representadas por el par ordenado de la ecuación. Se hace al seleccionar cualquier valor de x y encontrar el valor correspondiente de y. Repita este procedimiento eligiendo diferentes valores para x, hasta que haya encontrado el número deseado de soluciones. Dado que la gráfica de una ecuación lineal de dos variables es una línea recta, y la línea recta está determinada por dos puntos, es necesario encontrar solamente dos soluciones. Sin embargo, es necesario encontrar por lo menos tres puntos para asegurar su exactitud.

EJEMPLO

Elabore la gráfica teniendo en cuenta la ecuación de la forma y 5 mx 1 b Grafique y 5 2x 1 1. Elija cualesquiera valores de x y después calcule los valores correspondientes de y. Los números 0, 2 y 21 se eligieron arbitrariamente para x. Es conveniente registrar las soluciones en una tabla.

x 0 2 21

y 5 2x 1 1 y 1 2 20 11 1 2 122 1 1 5 2 1212 1 1 21

Grafique las soluciones representadas por los pares ordenados (0, 1), (2, 5) y (21, 21). Trace una recta a través de los pares ordenados de las soluciones.

y (2, 5) 4

RECUERDE QUE...

(0, 1)

Si los tres puntos que grafica no están en línea recta, ha cometido un error aritmético al calcular un punto o ha ubicado incorrectamente un punto.

–4

–2

(–1, –1)

–2 –4

Observe que los puntos cuyas coordenadas son (22, 23) y (1, 3) están en la gráfica y que esos pares ordenados son soluciones de la ecuación y 5 2x 1 1. Recuerde que una gráfica es una representación de las soluciones de pares ordenados de una ecuación. Por consiguiente, cada punto en la gráfica es una solución de la ecuación y cada solución de la ecuación es un punto en la gráfica.

EJEMPLO

y 4 2

y = 2x +1 –4

–2

(–2, –3)

0 –2 –4

Grafique: y 5 3x 2 2 SOLUCIÓN

x 0 2 21

y 5 3x 2 2 22 4 25

(1, 3)

• Elija tres valores para x. Encuentre los valores correspondientes de y.

Sección 1.2 Gráficas de rectas y

• Grafique las soluciones representadas por el par ordenado. Trace una recta a través de los puntos.

(2, 4)

–4

–2

(0, –2)

–4

(–1, –5)

Graficar ecuaciones de la forma Ax 1 By 5 C Una ecuación en la forma Ax 1 By 5 C, donde A y B son coeficientes y C una constante, también es una ecuación lineal. A continuación se muestran algunos ejemplos de estas ecuaciones. 2x 1 3y 5 6 (A 5 2, B 5 3, C 5 6) x 2 2y 5 24 (A 5 1, B 5 22, C 5 24) 2x 1 y 5 0 (A 5 2, B 5 1, C 5 0) 4x 2 5y 5 2 (A 5 4, B 5 25, C 5 2) Un método para graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C implica resolver primero la ecuación para y y después seguir el mismo procedimiento utilizado para graficar una ecuación de la forma y 5 mx 1 b. Resolver la ecuación para y significa reescribir la ecuación de manera que y esté sola en un lado de la ecuación y el término que contiene x y la constante estén en el otro lado de la ecuación. Las propiedades de suma y multiplicación de las ecuaciones se utilizan para reescribir una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C en la forma y 5 mx 1 b.

EJEMPLO

Resuelva la ecuación de la forma Ax 1 By 5 C para y. Resuelva para y la ecuación 3x 1 2y 5 4. La ecuación está en la forma Ax 1 By 5 C.

3x 1 2y 5 4

Utilice la propiedad de suma de las ecuaciones para restar a cada lado de la ecuación el término 3x.

3x 2 3x 1 2y 5 23x 1 4

Simplifique. Observe que en el lado derecho de la ecuación, el término que contiene x está primero, seguido por la constante.

2y 5 23x 1 4

Utilice la propiedad de multiplicación de las ecuaciones para multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente de y. (El coeficiente de y es 2; el recíproco de 2 es 12 .)

1# 1 2y 5 123x 1 42 2 2

Simplifique. Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación. La ecuación está ahora en la forma y 5 mx 1 b, con m 5 232 y b 5 2. Al resolver para y la ecuación 3x 1 2y 5 4, cuando multiplicamos ambos lados de la ecuación por 12 , habríamos podido dividir entre 2 ambos lados de la ecuación, como se muestra a la derecha. Al simplificar el lado derecho después de dividir ambos lados entre 2, asegúrese de dividir cada término entre 2.

1 1 123x2 1 142 2 2 3 y52 x12 2

2y 5 23x 1 4 23x 1 4 2y 5 2 2 23x 4 y5 1 2 2 3 y52 x12 2

Capítulo 1 Gráficas y funciones

EJEMPLO

Escriba 3x 2 4y 5 12 en la forma y 5 mx 1 b. SOLUCIÓN

3x 2 4y 5 12 3x 2 3x 2 4y 5 23x 1 12 24y 5 23x 1 12 24y 23x 1 12 5 24 24 23x 12 y5 1 24 24 3 y5 x23 4

• Reste 3x a cada lado de la ecuación. • Simplifique. • Divida cada lado de la ecuación entre 24.

Para graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C, primero podemos resolver para y la ecuación y después seguir el mismo procedimiento utilizado para graficar una ecuación de la forma y 5 mx 1 b. A continuación presentamos un ejemplo.

EJEMPLO

Grafique.

A. 2x 2 5y 5 10

B. x 1 2y 5 6

SOLUCIÓN A. 2x 2 5y 5 10 25y 5 22x 1 10 2 y5 x22 5 y 5 25x 2 2 22 0 24

x 0 5 25

• Resuelva para y la ecuación.

• El valor de m es 5 . Elija tres valores para x que sean múltiplos del denominador 5. Calcule los valores correspondientes de y.

• Grafique las soluciones representadas por el par ordenado. Trace una recta a través de los puntos.

(5, 0) –4

–4

(0, –2)

(–5, –4)

B. x 1 2y 5 6 2y 5 2x 1 6 1 y52 x13 2 x 0 22 4

y 5 212x 1 3 3 4 1

• Resuelva para y la ecuación.

• El valor de m es 221 . Elija tres valores para x que sean múltiplos del denominador 2. Calcule los valores correspondientes de y.

(–2, 4)

(0, 3) (4, 1)

–4

• Grafique las soluciones representadas por el par ordenado. Trace una recta a través de los puntos. x

–4

Sección 1.2 Gráficas de rectas

La gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6 se muestra a la derecha. La gráfica cruza el eje x en (3, 0). Este punto se llama intersección con el eje x. La gráfica cruza el eje y en (0, 2). Este punto se llama intersección con el eje y.

intersección con el eje y –4

EJEMPLO

–2

Para encontrar la intersección con el eje x, sea y 5 0. Para encontrar la intersección con el eje y, sea x 5 0.

(3, 0) 0

2 4 intersección –2 con el eje x

Encuentre las intersecciones x y y de una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C Calcule algebraicamente la intersección con el eje x y la intersección con el eje y de la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6. 2x 1 3y 5 6 2x 1 3(0) 5 6 2x 5 6 x53 2x 1 3y 5 6 2 (0) 1 3y 5 6 3y 5 6 y52

Para encontrar la intersección con el eje x, sea y 5 0. (Cualquier punto en el eje x tiene una coordenada y 5 0.)

PUNTO de INTERÉS

(0, 2)

La intersección con el eje x es (3, 0). Para encontrar la intersección con el eje y, sea x 5 0. (Cualquier punto en el eje x tiene una coordenada x 5 0.) La intersección con el eje y es (0, 2).

Otro método para graficar algunas ecuaciones de la forma Ax 1 By 5 C es encontrar las intersecciones con el eje x y con el eje y, ubicar ambas intersecciones y después una recta a través de los dos puntos.

EJEMPLO

Encuentre las intersecciones con el eje x y con el eje y para x 2 2y 5 4. Trace la recta. SOLUCIÓN Intersección con el eje x: x 2 2y 5 4 x 2 2(0) 5 4

• Para encontrar la intersección con el eje x, sea y 5 0.

x54 La intersección con el eje x es (4, 0). Intersección con el eje y: x 2 2y 5 4 0 2 2y 5 4

• Para encontrar la intersección con el eje y, sea x 5 0.

22y 5 4 y 5 22 La intersección con el eje y es (0, 22). y

• Grafique los pares ordenados (4, 0) y (0, 22). Trace una recta a través de los puntos.

(4, 0) –4

0 –4

(0, –2)

La gráfica de una ecuación en la cual falta una de las variables es una recta horizontal o una vertical. La ecuación y 5 2 se podría escribir 0x 1 y 5 2. No importa cuál valor de x se elija, y es siempre 2. Algunas soluciones de la ecuación son (3, 2), (21, 2), (0, 2) y (24, 2). La gráfica se muestra a la derecha.

–4

–2

0 –2 –4

Capítulo 1 Gráficas y funciones

La gráfica de y 5 b es una línea horizontal que pasa a través del punto cuyas coordenadas son (0, b) .

y 4

Observe que (0, b) es la intersección con el eje y de la gráfica de y 5 b. Una ecuación de la forma y 5 b no tiene intersección con el eje x.

–4

La ecuación x 5 22 se podría escribir x 1 0y 5 22.

–2

No importa cuál valor de y se elija, x es siempre 22. Algunas soluciones de la ecuación son (22, 3), (22, 22), (22, 0) y (22, 2). La gráfica se muestra a la derecha.

–4

La gráfica de x 5 a es una recta vertical que pasa a través del punto cuyas coordenadas son (a, 0). Observe que (a, 0) es la intersección con el eje x de la gráfica de x 5 a. Una ecuación de la forma x 5 a no tiene intersección con el eje y.

Graficar ecuaciones que no son lineales Existen muchas ecuaciones cuyas gráficas no son rectas. Para graficarlas se seleccionan algunos valores para x y se hallan los correspondientes valores de y. Luego, conectamos los puntos por medio de una curva. La gráfica de una ecuación con dos variables x y y consiste en un conjunto de puntos en el plano xy cuyas coordenadas ( x, y) satisfacen la ecuación. Grafique

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y 5 x2 1 1

0 11

1 11

(21) 1 1

(2) 1 1

(22) 1 1

2 2

–5

–4

–3

–2

–1

Como la gráfica no es una línea recta, se pueden llegar a necesitar más puntos para poder dibujarla. Las flechas indican que la tendencia mostrada continúa, es decir que la gráfica podría extenderse tanto como quisiéramos. Grafique

y 5 x3 y 5 x3

(21)3

(22)

y 8 7 6 5 4 3 2 1

(22)

–5 –4 –3 –2 –1–10 –2 –3 –4 –5 –6

–7 –8 –9

1 2 3 4 5

Sección 1.2 Gráficas de rectas

y 5 |x 2 2|

Grafique

y 7

y 5 |x 2 2|

|022|

|122|

|222|

|322|

|422|

4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1

Cabe anotar que se pueden tomar los valores de x que se requieran siempre y cuando al sustituirlo en la ecuación se pueda determinar el valor de y.

EJERCICIOS 1.2

APLIQUE LO APRENDIDO

1. Determine si la gráfica de la ecuación es una recta. 1 a. y 5 x2 1 1 b. y 5 2x c. y 5 x 1 d. y 5 2 2 x e. y 5 !x 2 1 2 2. ¿La ecuación está en la forma y 5 mx 1 b, en la forma Ax 1 By 5 C o en ninguna? a. 6x 2 3y 5 6

b. y 5 x 2 1

c. 8 2 4y 5 x

d. 5x 1 4y 5 4

–2

–2 –4

6. Encuentre el par ordenado que representa la solución de 1 y 5 24x 1 3 que corresponde a x 5 28. x 5 28. 1 y52 x13 4 1 ? por ? . • S u s t i t u ya y 5 2 1282 1 3 4 ? 13 y5 • M ult iplique. ?

9. ¿Es (4, 1) una solución de y 5 4x 1 1?

12. Encuentre el par ordenado que representa la solución de y 5 25x 2 5 que corresponde a x 5 0.

Ejercicio 4 5. Para decidir si el par ordenado (1, 7) es una solución de la ecuación y 5 2x 1 5, ? por 1 y ? por 7 para ver si el par sustituya ordenado (1, 7) hace que la ecuación y 5 2x 1 5 sea una expresión verdadera.

8. ¿Es (21, 2) una solución de y 5 12x 2 1?

11. ¿Es (0, 0) una solución de y 5 3x 1 2?

4. Mencione la intersección con el eje y de la gráfica que se muestra a la derecha.

7. ¿Es (3, 4) una solución de y 5 2x 1 7?

10. ¿Es (0, 4) una solución de y 5 34x 1 4 ?

3. Describa la gráfica de una recta que tiene una intersección con el eje y, pero no una intersección con el eje x. –4

El par ordenado que representa la solución que corres? ). ponde a x 5 28 es ( ? ,

13. Encuentre el par ordenado que representa la solución de y 5 25x 1 2 que corresponde a x 5 25. 14. Encuentre el par ordenado que representa la solución de 1 y 5 26x 2 2 que corresponde a x 5 12. 15. Utilice la ecuación lineal y 5 23x 1 6. a. ¿Para qué valor de x el par ordenado (x, 0) es una solución de la ecuación lineal y 5 23x 1 6? b. Supongamos que (x, a) es una solución de la ecuación lineal y 5 23x 1 6, de manera que x . 2. ¿Es a un número positivo o un número negativo? 16. Supongamos que y 5 mx 1 b es una ecuación lineal en la cual b 5 22m. ¿Para qué valor de x el par ordenado (x, 0) será una solución de la ecuación? Grafique. 1 17. y 5 2 x 1 2 4

1 18. y 5 2 x 1 1 3

• S u m e.

Capítulo 1 Gráficas y funciones

2 19. y 5 2 x 1 1 5

1 20. y 5 2 x 1 3 2

21. y 5 2x 2 4

22. y 5 3x 2 4

Grafique cada ecuación 40. y 5 2x2 1 1 x

24. 3x 1 2y 5 6

Escriba la ecuación en la forma y 5 mx 1 b. 23. 3x 1 y 5 10

41. 2|x| 1 2

25. 2x 1 7y 5 14 x y

Grafique. 26. 3x 1 y 5 3

27. 2x 1 y 5 4

28. y 5 4

29. y 5 24

30. x 5 22

31. x 5 3

42. y 5 x3 1 1 x

Encuentre las intersecciones con el eje x y con el eje y. 32. x 2 y 5 3

33. x 2 5y 5 10

34. 2x 2 3y 5 0

2 35. y 5 x 2 4 3

Grafique utilizando las intersecciones con el eje x y con el eje y.

43. y 5 |x 1 1| x y

44. y 5 (x 2 3)2

36. x 2 3y 5 6

37. 3x 2 4y 5 12

38. 2x 2 3y 5 26

39. 4x 1 3y 5 12

SECCIÓN 1.3

FUNCIONES

Objetivo 1

Introducción a las funciones Numerosos fenómenos que ocurren todos los días comprenden dos cantidades que están relacionadas entre sí por alguna regla de correspondencia. El término matemático para esa regla de correspondencia es relación. En matemáticas es frecuente que las relaciones se representen con ecuaciones y fórmulas matemáticas. Por ejemplo, el interés simple I ganado por $1.000 en un año está relacionado con la tasa de interés anual r mediante la fórmula I 5 1.000r. La fórmula I 5 1.000r representa una clase especial de relación que compara cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de un conjunto diferente. Esa relación se denomina función.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una relación que asigna a cada elemento del conjunto A exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio (o conjunto de entradas) de la función f, y el conjunto B contiene el rango (o conjunto de salidas).

Sección 1.3 Funciones

Para ayudar a entender esta definición vea la función que relaciona la hora del día con la temperatura en la figura 1.1. Hora del día (P.M.) 1

Temperatura (en grados C) 1

4 15

3 5 6 El conjunto A es el dominio. Entradas: 1, 2, 3, 4, 5, 6

3 7

6 14

12 10

5 8 11

El conjunto B contiene el rango. Salidas: 9, 10, 12, 13, 15

Figura 1.1

Esta función puede estar representada por los siguientes pares ordenados, en los que la primera coordenada (valor x) es la entrada y la segunda (valor y) es la salida. 1, 9 , 2, 13 , 3, 15 , 4, 15 , 5, 12 , 6, 10

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN DEL CONJUNTO A AL B

1. Cada elemento de A debe relacionarse con un elemento de B. 2. Algunos elementos de B pueden no relacionarse con algún elemento de A. 3. Dos o más elementos de A pueden relacionarse con el mismo elemento de B. 4. Un elemento de A (el dominio) no puede relacionarse con dos elementos diferentes de B.

CUATRO MODOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

1. Verbalmente por medio de una oración que describe la forma en que la variable de entrada está relacionada con la variable de salida. 2. Numéricamente mediante una tabla o lista de pares ordenados que relacione los valores de entrada con los valores de salida.

3. Gráficamente por medio de puntos en una gráfica en un plano de coordenadas, en el que los valores de entrada están representados por el eje horizontal y los valores de salida por el eje vertical. 4. Algebraicamente mediante una ecuación con dos variables.

Para determinar si una relación es o no una función se debe establecer si cada valor de entrada está relacionado con exactamente un valor de salida. Si cualquier valor de entrada está relacionado con dos o más valores de salida, la relación no es una función.

Capítulo 1 Gráficas y funciones

EJEMPLO

Prueba de funciones Determine si la relación representa y como función de x. A. Un automóvil viaja a una velocidad constante de 30 km/h. El valor de entrada x es el tiempo y el valor de la salida y es la velocidad. B.

Entrada, x

Salida, y

C. 3 2 1 −3 −2 −1

1 2 3

−2 −3

Figura 1.2

SOLUCIÓN A. Esta expresión verbal describe a la variable y como una función de la variable x. Cualquiera que sea el valor de x, la velocidad será de 30 km/h. Estas funciones se denominan funciones constantes. B. Esta tabla no describe a y como función de x. El valor de entrada 2 está relacionado con dos valores diferentes de y. C. La gráfica de la figura 1.2 describe a y como función de x. Cada valor de entrada está relacionado con exactamente un valor de salida.

EJEMPLO

Prueba de funciones representadas algebraicamente ¿Cuál de las ecuaciones representa a y como función de x?

NOTA HISTÓRICA

A. x 2

SOLUCIÓN

Se considera que el suizo Leonhard Euler (1707-1783) ha sido el matemático más prolífico y productivo de la historia. Una de sus más grandes aportaciones en matemáticas fue su uso de símbolos, o notación. La notación de función y 5 f(x) fue introducida por Euler.

Para determinar si y es una función de x, trate de despejar y en términos de x. A. Despejando y tendremos x2

Escribir la ecuación original.

x 2.

Despejar y.

A cada valor de x corresponde exactamente un valor de y. Entonces, y es una función de x. B. Despejando y tendremos x

Escribir la ecuación original. Sumar x a cada lado.

Despejar y.

El signo ± indica que a un valor determinado de x corresponden dos valores de y. En consecuencia, y no es una función de x.

Sección 1.3 Funciones

Objetivo 2

Notación de funciones Cuando se usa una ecuación para representar una función es conveniente asignar un nombre a la función para que pueda consultarse fácilmente. Por ejemplo, sabemos que la ecuación y 1 x 2 describe a y como función de x. Suponga que a esta función se le asigna el nombre de “f ”. Entonces se puede usar la siguiente notación de función. Entrada

Salida

f x

Ecuación f x

El símbolo f x se lee como el valor de f en x, o simplemente f de x. El símbolo f x corresponde al valor y para una x determinada, y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Por tanto, se puede escribir y f x . Recordemos que f es el nombre de la función, en tanto que f x es el valor de la función en x. Por ejemplo, la función dada por f x

tiene valores de función denotados por f 1 , f 0 , f 2 , etcétera. Para hallar estos valores se sustituyen los valores de entrada especificados en la ecuación dada. Para x

EJEMPLO

ATENCIÓN

Para x

f 0

Para x

f 2

5. 3. 1.

Evaluar una función Sea g x

A. g 2

B. g t

1. Encuentre cada uno de los valores de la función. C. g x

SOLUCIÓN

En el ejemplo 3, nótese que g(x 1 2) no es igual a g(x) 1 g(2). En general, g(u 1 v) g(u) 1 g(v).

A. La sustitución de x con 2 en g x

1 da lo siguiente:

B. La sustitución de x con t da lo siguiente: t2

gt C. La sustitución de x con x gx

2 da lo siguiente: 2

1 1

Las funciones escritas en notación de funciones también son ecuaciones. Es decir que al tener y 5 3 22x, estaríamos refiriéndonos también a f (x) 5 3 22x.

Capítulo 1 Gráficas y funciones

Objetivo 3

El dominio de una función Es posible describir explícitamente el dominio de una función o puede estar implícito por la expresión que se use para definir la función. El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida. Por ejemplo, la función dada por 1

f x

El dominio excluye valores de x que resulten en división entre cero.

tiene un dominio implícito formado por todos los valores reales de x que no sean x ± 2. Estos dos valores están excluidos del dominio porque la división entre cero no está definida. Otro tipo común de dominio implícito es el que se usa para evitar raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la función dada por f x

El dominio excluye valores de x que resulten en raíces pares de números negativos.

. En general, está definida solo para x 0. Por tanto, su dominio implícito es el intervalo 0, el dominio de una función excluye valores que causarían división entre cero o que resultarían en la raíz par de un número negativo, es decir, un número complejo.

EJEMPLO

Hallar el dominio de una función Encuentre el dominio de cada función. A. f :

3, 0 ,

1, 4 , 0, 2 , 2, 2 , 4,

C. Volumen de una esfera: V

4 3

B. g x

1 x

D. h x

5 4

SOLUCIÓN A. El dominio de f está formado por todas las primeras coordenadas del conjunto de pares ordenados. Dominio

1, 0, 2, 4

B. Excluyendo valores de x que den cero en el denominador, el dominio de g es el conjunto de todos los números reales x excepto x 5. C. Como esta función representa el volumen de una esfera, los valores del radio r deben ser positivos. Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales r tales que r > 0. D. Esta función está definida solo para valores de x para los cuales 4

Al resolver esta desigualdad se puede concluir que x 4 ,3. valo

Objetivo 4 EJEMPLO

4 3 . Entonces, el dominio es el inter-

Aplicaciones de las funciones Conversión de temperaturas Para convertir una temperatura en grados Celsius a grados Fahrenheit se utiliza la siguiente expresión: 9 F(C) 5 C 1 32 5 Determine la temperatura en grados Fahrenheit que corresponde a 100 grados centígrados. Necesitamos calcular F(100) F(100) 5

9 ? 100 1 32 5 212°F 5

Sección 1.3 Funciones

EJEMPLO

Dimensiones de un contenedor

h r =4

Una persona trabaja en el departamento de ventas de una empresa embotelladora de bebidas y está experimentando con una nueva lata para té helado, que es ligeramente más angosta y alta que la estándar. Para la lata experimental la razón entre la altura y el radio es 4, como se ve en la figura 1.3. A. Escriba el volumen de la lata como función del radio r.

B. Escriba el volumen de la lata como función de la altura h. SOLUCIÓN A. V r B. V h

EJEMPLO

r 2h

r 2 4r

h 2 h 4

4 r3

Escribir V como función de r. Figura 1.3

h3 16

Escribir V como función de h.

Trayectoria de una pelota de beisbol Una pelota de beisbol es bateada en un punto a 3 pies sobre el nivel del suelo a una velocidad de 100 pies por segundo y a un ángulo de 45º. La trayectoria de la pelota está dada por la función 0,0032x 2

f x

donde x y f x se miden en pies. ¿La pelota rebasará una cerca de 10 pies situada a 300 pies desde el plato de home? SOLUCIÓN ALGEBRAICA Cuando x

300, puede hallar la altura de la bola como sigue: f x f 300

0,0032x2

0,0032 300 2 15

3 300

Escribir la ecuación original.

Sustituir 300 por x. Simplificar.

Cuando x 300, la altura de la pelota es de 15 pies, de modo que la pelota rebasará una cerca de 10 pies. SOLUCIÓN GRÁFICA Use una calculadora graf icadora para graf icar la función y 0,0032x2 x 3. Use la función de valor o las funciones ZOOM y TRACE de la calculadora para calcular que y 15 cuando x 300, como se ve en la figura 1.4. Por tanto, la pelota rebasará la cerca de 10 pies. Figura 1.4

Capítulo 1 Gráficas y funciones

Objetivo 5

Análisis de gráficas de funciones y

En la sección 1.1 estudiamos funciones desde el punto de vista algebraico. En esta sección las estudiaremos desde una perspectiva gráfica.

La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados x, f x tal que x está en el dominio de f. Al estudiar esta sección recuerde que x

distancia dirigida desde el eje y

f x

y = f(x)

−1

distancia dirigida desde el eje x −1

como se ve en la figura 1.5.

f(x)

Figura 1.5

Información que se puede obtener de la gráfica de una función Use la gráfica de la función f, que se muestra en la figura 1.6 para hallar: 1. El dominio de f. 2. Los valores de f (21) y f (22). 3. El rango de f. y 5 4

(0, 3)

A. Para determinar el dominio de f observamos que los puntos sobre la gráfica de f tienen todos coordenadas x entre 21 y 5, esto quiere decir que para cada número x entre 21 y 5, hay un punto (x, f (x)) sobre la gráfica. Así, el dominio de f es {x / 21 # x # 5}.

y = f (x ) (5, 2)

(−1, 1) 1

Rango −3 −2

3 4

(2, − 3) −5

Dominio

Figura 1.6

B. Como (21, 1) es un punto de la gráfica de f se deduce que f (21) 5 1. Del mismo modo como (2,23) es un punto de la gráfica, se deduce que f (2) 5 23. C. Los puntos sobre la gráfica tienen todos coordenadas y entre 23 y 3, inclusive. La gráfica no se prolonga debajo de f (2) 5 23 ni arriba de f (0) 5 3. El rango de f es {y / −3 # y # 3}.

Por la definición de una función, a lo sumo un valor de y corresponde a un valor de x determinado. Esto significa que la gráfica de una función no puede tener dos o más puntos diferentes con la misma coordenada x, y ningunos dos puntos en la gráfica de una función pueden estar verticalmente arriba o abajo uno del otro. Por tanto, se deduce que una recta vertical puede intersecar la gráfica de una función a lo sumo una vez. Esta observación da una cómoda prueba visual llamada prueba de la recta vertical para funciones.

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL PARA FUNCIONES

Un conjunto de puntos en un plano de coordenadas es la gráfica de y como función de x si y solo si no hay una recta vertical que corte la gráfica en más de un punto.

Sección 1.3 Funciones

EJEMPLO

Prueba de la recta vertical para funciones Use la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas de la figura 1.7 representan a y como función de x. y

y 4

1 1

x −1

−1

x 1

−1

−2

−1

Figura 1.7

SOLUCIÓN A. Esta no es una gráfica de y como función de x, porque podemos hallar una recta vertical que interseca dos veces la gráfica. Esto es, para una entrada x particular, hay más de una salida y. B. Esta es una gráfica de y como función de x, porque toda recta vertical la interseca a lo sumo una vez. Esto es, para una entrada x particular, hay a lo sumo una salida y. C. Esta es una gráfica de y como función de x. (Nótese que si una recta vertical no interseca la gráfica, simplemente significa que la función no está definida para ese valor particular de x.) Esto es, para una entrada x particular, hay a lo sumo una salida y.

EJERCICIOS 1.3

APLIQUE LO APRENDIDO

En los ejercicios 1-3, llene los espacios en blanco. 1. Una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto de entradas, o , exactamente un elemento y en un conjunto de salidas, o , se denomina .

HABILIDADES Y APLICACIONES

2. Las funciones se representan comúnmente en cuatro formas diferentes, . 3. Para una ecuación que representa a y como función de x, el conjunto de todos los valores tomados por la variable x es el dominio, y el conjunto de todos los valores tomados por la variable y es el rango.

En los ejercicios 4 al 7, ¿la relación es una función? 4. Dominio −2 −1 0 1 2

Rango 5 6 7 8

5. Dominio −2 −1 0 1 2

Rango 3 4 5

6. Dominio Liga Nacional

Liga Americana

Rango

7. Dominio

Cubs Pirates Dodgers

(Año)

Orioles Yankees Twins

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Rango (Número de tormentas tropicales y huracanes en el Atlántico Norte) 10 12 15 16 21 27

Capítulo 1 Gráficas y funciones

En los ejercicios 8 al 11, determine si la relación representa a y como una función de x. Entrada, x

9. Entrada, x

Salida, y

10. Entrada, x

11. Entrada, x

Salida, y

En los ejercicios 12 y 13, ¿cuáles conjuntos de pares ordenados representan funciones de A a B ? Explique.

Circulación (en millones)

12. A a. b. c. d.

13. A a. b. c. d.

0, 1, 2, 3 y B 2, 1, 0, 1, 2 0, 1 , 1, 2 , 2, 0 , 3, 2 0, 1 , 2, 2 , 1, 2 , 3, 0 , 1, 1 0, 0 , 1, 0 , 2, 0 , 3, 0 0, 2 , 3, 0 , 1, 1

a, b, c y B 0, 1, 2, 3 a, 1 , c, 2 , c, 3 , b, 3 a, 1 , b, 2 , c, 3 1, a , 0, a , 2, c , 3, b c, 0 , b, 0 , a, 3

Circulación de periódicos En los ejercicios 14 y 15 use la gráfica que muestra la circulación (en millones) de diarios en Estados Unidos.

50 40

Matutino Vespertino

14. ¿La circulación de diarios matutinos es una función del año? ¿La circulación de diarios vespertinos es una función del año? Explique.

20 10

15. Represente con f x la circulación de diarios vespertinos en el año x. Encuentre f (2002). 1997

1999

2001

2003

2005

2007

Año Fuente: Editor & Publisher Company.

En los ejercicios 16-23, determine si la ecuación representa a y como función de x. 16. x 2 18. x 2 20. 2x 22. y 2

y2 4 y 4 3y 4 x2 1

17. x2 y2 16 19. y 4x2 36 21. 2x 5y 10 23. x y2 4

En los Ejercicios 24-33, evalúe la función en cada valor especificado de la variable independiente y simplifique. 24. f x 2x a. f 1

3 b. f

4 3 26. V r 3 r a. V 3

b. V

28. g t 4t2 a. g 2

30. f y 3 a. f 4

32. q x 1 x2 a. q 0

c. f x

3 2

5 b. g t

b. f 0.25

c. V 2r

27. S r 4 r2 a. S 2

c. g t

t2 29. h t a. h 2

c. f

31. f x a. f

4x 2

9 b. q 3

25. g y 7 a. g 0

c. q y

b. g 73

c. g s

b. S 12

c. S 3r

b. h 1.5

c. h x

2 b. f 1

c. f x

x 8

2t2 33. q t a. q 2

3 t2 b. q 0

c. q

Sección 1.3 Funciones

En los ejercicios 34-37, complete la tabla. 34. f x

35. g x

f (x)

36. h t

3 3

3 2

5 2

f (x)

1 2 t

37. f s

3 25

h (t)

f (s)

En los ejercicios 38-41, suponga que el dominio de f es el conjunto A 5 {22, 21, 0, 1, 2}. Determine el conjunto de pares ordenados que representa la función f. 38. f x

39. f x

40. f x

41. f x

42. Geometría Escriba el área A de un cuadrado como función de su perímetro P. 43. Geometría Escriba el área A de un círculo como función de su circunferencia C. 44. Volumen máximo Se ha de construir una caja abierta de volumen máximo a partir de una pieza cuadrada de material de 24 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y volteando hacia arriba los lados (vea la figura). a. La tabla muestra los volúmenes V (en centímetros cúbicos) de la caja para varias alturas x (en centímetros). Use la tabla para calcular el volumen máximo. x

24 − 2x

x 24 − 2x Ejercicio 44

x Altura, x

Volmen, V

484

800

972

1.024

980

864

b. Determine los puntos (x, V) de la tabla del inciso a. ¿La relación definida por los pares ordenados representa a V como función de x? c. Si V es una función de x, escriba la función y determine el dominio. 45. Utilidad máxima El costo por unidad en la producción de un reproductor de archivos MP3 es $60. El fabricante cobra $90 por unidad por pedidos de 100 o menos. Para estimular pedidos grandes, el fabricante reduce el cargo $0,15 por cada reproductor MP3 que pase de 100 (por ejemplo, habría un cargo de $87 por reproductor de un pedido de 120). a. La tabla muestra la utilidad P (en dólares) para varios números de unidades pedidas, x. Use la tabla para calcular la utilidad máxima. Unidades, x

110

Utilidad, P

3.135 3.240 3.315 3.360

120

130

140

Unidades, x

150

Utilidad, P

3.375 3.360 3.316

160

170

b. Grafique los puntos (x, P) de la tabla del inciso a. ¿La relación definida por los pares ordenados representa a P como función de x? c. Si P es una función de x, escriba la función y determine su dominio. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Gráficas y funciones

46. Costos, ingresos y utilidad Una empresa elabora un producto cuyo costo variable es de $12,30 por unidad, y los costos fijos son $98.000. El producto se vende en $17,98. Sea x el número de unidades producidas y vendidas.

47. Transportación Para grupos de 80 personas o más, una empresa de autobuses de alquiler determina la tarifa por persona según la fórmula

a. El costo total para una empresa es la suma del costo variable y los costos fijos. Escriba el costo total C como función del número de unidades producidas.

donde la tarifa se expresa en dólares y n es el número de personas.

Tarifa

80 , n

a. Escriba el ingreso R para la empresa de transporte como función de n.

b. Escriba el ingreso R como función del número de unidades vendidas. c. Escriba la utilidad P como función del número de unidades vendidas. (Nota: P R C.) )

0,05 n

b. Use la función del inciso a para completar la tabla. ¿Qué se puede concluir? n

100

110

120

130

140

150

R (n)

En los ejercicios 48-50, use la gráfica de la función para hallar el dominio y el rango de f y los valores de función indicados. 48. a. f 2 c. f 12

b. f 1 d. f 1

49. a. f 1 c. f 0

y = f(x) y

y = f(x)

4 3 2

b. f 2 d. f 1

−4

−3

−4

3 4

−2

−2 −4

−2

−6

−4

b. f 1 d. f 2

y = f(x)

2 x

50. a. f 2 c. f 0

En los ejercicios 51-54, use la prueba de la recta vertical para determinar si y es una función de x. Para imprimir una copia amplificada de la gráfica, visite el sitio web www.mathgraphs.com. 51. y

1 2 2x

52. y

1 3 4x

53. x

54. x 2

6 4

4 6 2 4 −4

2 −4

−2

x 2

−2

−4

−2

−4

−6

55. Use la gráfica adjunta de la función para resolver.

y = f(x)

a. Dominio de f. 8

b. Los valores de f(3) y f (24). 6

c. Rango de f.

4 2 x −4

−2

x 2 4 6

PRUEBA SABER MATE 9 t CAPÍTULO 1

S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora.

S 1. Andrés se encuentra ubicado en el punto de origen, desde ahí se desplaza tres unidades al norte, ubicándose en una posición M; y 5 cuadras hacia el occidente, quedando en una posición N. Si se ubica la posición inicial de Andrés como el origen de un sistema de coordenadas y se representan los desplazamientos M y N, se obtiene: A.

Norte 6 5 4 3M

2 1

Occidente Norte

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

Oriente

−2

−3

−4

−5

−6

Sur

Occidente

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

Oriente

Norte

−2

−3

−4

−5

−6

Sur

Occidente

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

N 6

−5

−6

Sur

2 1

−2 −3 −4 −5 −6

Sur

−3 M −4

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

Oriente

−2

Norte

Occidente

M 3

Oriente

S 2. La concentración de alcohol en la sangre luego de una ingesta de 1 litro de licor, en menos de 24 horas, t viene dada a partir de la siguiente función f (t) = A 12 B donde t se refiere al número de horas transcurridas desde la última ingesta. Si han pasado 3 horas a partir de esta, toma, la concentración de alcohol en la sangre será de: A. 0,125

B. 0,166

C. 0,3

PRUEBA SABER MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

D. 0,5

PRUEBA SABER MATE 9 t CAPÍTULO 1

M 3. El costo de parqueadero en un estacionamiento varía de acuerdo con el número de horas que ha permanecido ahí un automóvil. Cada hora tiene un valor de $4.500, y como mínimo se debe pagar el equivalente de 1 hora. La gráfica que mejor representa el costo del parqueadero en función del tiempo transcurrido en horas es:

producto y ha obtenido como resultado la siguiente gráfica: y 48

Costo

13.500

9.000

4.500 64

32 0

Horas

Costo

13.500 9.000 4.500

Horas

Si y representa la demanda en unidades de producto, y x el precio en miles de pesos colombianos, la gráfica muestra que: A. Le genera mayor utilidad vender a 80 que vender a 60. B. La relación funcional entre las variables es y = –0,5x + 50. C. La relación funcional entre las variables es y = –x. D. Valdría la pena vender a 20 y así vender más productos. M 5. La figura muestra dos itinerarios de limpieza de un disco duro con un antivirus, donde el eje vertical representa el porcentaje del disco duro que se ha limpiado y el eje horizontal el tiempo de limpieza en días.

13.500

Costo

9.000 4.500

Porcentaje de disco limpiado 0

6 100 %

Horas

Itinerario I

50 %

Días 0

Costo

13.500

Porcentaje de disco limpiado

9.000 100 %

4.500

Itinerario II

50 % 0

Horas

S 4. Un comerciante ha hecho un serio seguimiento al comportamiento de la oferta y demanda de un

Días 0

Una persona que requiere que la limpieza del disco sea completa y tenga una duración de cinco días, selecciona el itinerario II.

PRUEBA SABER MATE 9 t CAPÍTULO 1

M 6. En una revista científica se compara el impacto de los artículos publicados al analizar el número de citaciones de otros autores. Para un artículo particular se espera que haya una relación lineal creciente entre el número de días posteriores a la publicación y la cantidad de citaciones que recibe. De acuerdo con lo anterior, ¿cuál de las siguientes gráficas podría describir correctamente la relación propuesta entre los días posteriores a la publicación del artículo y el número de citaciones que recibe? A.

Número de citaciones

A. Incorrecta, porque no cumple el porcentaje de limpieza ni la duración requeridas. B. Correcta, porque el porcentaje de limpieza y el tiempo de limpieza se relacionan en forma lineal. C. Incorrecta porque no cumple el porcentaje de limpieza requerido. D. Correcta, porque el porcentaje de limpieza y el tiempo de limpieza son directamente proporcionales.

Días posteriores a la publicación de una artículo

Número de citaciones

La selección de esta persona es:

Días posteriores a la publicación de una artículo

Número de citaciones

M 7. En una carrera de motos sobre un circuito, una moto incrementó de manera constante su velocidad en los primeros 10 segundos, luego la disminuyó durante 5 segundos; posteriormente, mantuvo una velocidad constante durante 3 segundos e incrementó su velocidad los siguientes 5 segundos. ¿Qué gráfica representa la velocidad en función del tiempo en la situación anterior? Días posteriores a la publicación de una artículo

Número de citaciones

Velocidad (m/s)

20 15 10 5

Tiempo (s)

Días posteriores a la publicación de una artículo

PRUEBA SABER MATE 9 t CAPÍTULO 1

¿Es correcto afirmar que durante este periodo la mayor parte del tiempo Rusia utilizó más fertilizante que China?

Velocidad (m/s)

25 20

A. No, porque en el año 2000 utilizaron igual cantidad de fertilizante. B. Sí, porque en el periodo 2002-2009 Rusia utilizó más fertilizante. C. No, porque en el periodo 2000-2002 China utilizó más fertilizante. D. Sí, porque en el año 2009 Rusia utilizó mayor cantidad de fertilizante.

15 10 5

Tiempo (s)

S 9. Dos variables, X y W, inician en 0 cada una; es decir, los valores iniciales son (0, 0). La relación entre los valores de cada una de las variables está dada así:

Velocidad (m/s)

25 20 15

s En la primera etapa, X aumenta 20 y W aumenta 10. s En la siguiente etapa, X aumenta 50 y W aumenta 30. s Finalmente, en la tercera etapa, X aumenta 60 y W aumenta 40.

10 5

Tiempo (s)

¿Cuál de los siguientes es el conjunto de los valores de los pares ordenados (X, W ) al final de cada una de las tres etapas?

Velocidad (m/s)

25 20

A. {(20, 10); (50, 30); (60, 40)} B. {(20, 10); (50, 40); (60, 80)} C. {(20, 10); (70, 30); (130, 40)} D. {(20, 10); (70, 40); (130, 80)}

15 10 5

Tiempo (s)

R 8. La gráfica muestra la cantidad de fertilizante, en miles de toneladas, utilizada por dos países en el periodo comprendido entre los años 2000 y 2009. Fertilizante (miles de toneladas)

6 5 4 3 2

Rusia China

1 0 2000

2002

2004

2006

2008

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Año