Investigación de operaciones para la gestión administrativa

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PARA LA GESTIÓN

ADMINISTRATIVA

MU ÑO Z

D U ART E

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PARA LA GESTIÓN ADMINISTRATIVA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PARA LA GESTIÓN ADMINISTRATIVA Rodolfo Valentín Muñoz Castorena Lizet Duarte González María Bernardett Ochoa Hernández José Antonio Aguilar Zárate

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Investigación de operaciones para la gestión administrativa Rodolfo Valentín Muñoz Castorena, Lizet Duarte González, María Bernardett Ochoa Hernández, José Antonio Aguilar Zárate Directora Higher Education Latinoamérica Lucía Romo Alanís Gerente Editorial de Contenidos en Español Jesús Mares Chacón Coordinador de Manufactura Rafael Pérez González Editor Javier Reyes Martínez Diseño de portada

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Datos para catalogación bibliográȴca: Muñoz Castorena, Rodolfo Valentín; Duarte González, Lizet; Ochoa Hernández, María Bernardett; Aguilar Zárate, José Antonio Investigación de operaciones para la gestión administrativa ISBN: 978-607-570-204-9 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Publicad M­xico

Contenido breve Introducción

xi

Acerca de los autores xiii Capítulo 1 Introducción a la investigación de operaciones 1 Capítulo 2 Programación lineal 19 Capítulo 3 Modelos de transporte y asignación 127 Capítulo 4 Modelos de optimización de redes 203 Apéndice A Ejercicios adicionales 301

Contenido

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

1.1 Conceptos y definiciones 2 1.2 Origen y naturaleza de la investigación de operaciones 3 1.3 Modelos en la investigación de operaciones 4 1.3.1 Clasificación de los modelos 4 1.3.2 Ventajas y desventajas del uso de modelos matemáticos

1.4 Optimización 7 1.5 Álgebra matricial 11 1.5.1 Operaciones con matrices 12

6

1

viii

Contenido

Capítulo 2

Programación lineal

19

2.1 Concepto de programación lineal 20 2.1.1 Estructura y aplicación de la programación lineal 20 2.1.2 Formulación y aplicación de un modelo de programación lineal 21 2.1.3 Estructura general 21

2.2 Resolución de sistemas de ecuaciones 31 2.2.1 Método de igualación 31 2.2.2 Método de sustitución 32 2.2.3 Método de reducción 33

2.3 Método gráfico: problemas de maximización y minimización 37 2.4 Algoritmo de ramificación y acotamiento o branch and bound 61 2.5 Método de Gauss-Jordan 80 2.5.1 Pasos para resolver este método 80

2.6 Método simplex 86 2.7 Método de la gran M 105 2.7.1 Variable artificial (A) 105

2.8 Dualidad 122 2.8.1 Formulación del método dual 122

Capítulo 3

Modelos de transporte y asignación

3.1 Definición del problema de transporte 128 3.1.1 Método de la esquina noroeste 132 3.1.2 Método del costo menor 146 3.1.3 Método de aproximación de Vogel 160

3.2 Método de cruce del arroyo 181 3.3 Modelo de asignación 195

127

ix

Contenido

Capítulo 4

Modelos de optimización de redes

203

4.1 Modelos de redes 204 4.2 Algoritmo de la ruta más corta 210 4.2.1 Algoritmo de Dijkstra 210 4.2.2 Algoritmo de Floyd 220

4.3 Modelo de flujo máximo 238 4.3.1 Características del modelo de flujo máximo 238

4.4 CPM y PERT

259

4.4.1 Representación de las redes PERT y CPM 4.4.2 Cálculo de la ruta crítica (CPM) 260

259

4.5 Árbol de expansión mínima o algoritmo de Prim 279

Apéndice A

Ejercicios adicionales

301

1.1 Trabajo 1. Investigación 302 2.1 Trabajo 2. Planteamiento de problemas 303 2.2 Trabajo 3. Método gráfico 309 2.3 Trabajo 4. Ramificación y acotamiento 315 2.4 Trabajo 5. Método simplex 317 2.5 Trabajo 6. Método de la gran M 321 2.6 Trabajo 7. Dualidad 323 3.1 Trabajo 8. Esquina Noroeste 326 3.2 Trabajo 9. Costo menor 328 3.3 Trabajo 10. Vogel 330 3.4 Trabajo 11. Cruce del arroyo 332 3.5 Trabajo 12. Método de asignación (método húngaro) 334

x

Contenido

4.1 Trabajo 13. Algoritmo de Dijkstra 336 4.2 Trabajo 14. Algoritmo de Floyd 338 4.3 Trabajo 15. Flujo máximo 340 4.4 Trabajo 16. PERT y CPM 342 4.5 Trabajo 17. Árbol de expansión mínima 344

Introducción El objetivo de este libro es apoyar las diversas actividades que integran el curso de investigación de operaciones, principalmente para estudiantes de nivel licenciatura y, fundamentalmente, en las áreas de negocios internacionales, administración, economía, tecnologías de la información y mercadotecnia, entre otras.

La obra está integrada por cuatro capítulos. En el capítulo 1 se estudian los conceptos y el origen de la investigación de operaciones. En el capítulo 2 se explica qué es la programación lineal y parte de la programación entera, así como los métodos de resolución de la misma. El capítulo 3 trata de los modelos de transporte y asignación. En el capítulo 4 se explican los modelos de optimización de redes. Por último, se incluye un apéndice con ejercicios adicionales de los diferentes temas del libro.

En cada capítulo se desarrollan numerosos ejemplos con base en la realidad, para así lograr mejor comprensión de los temas de esta disciplina.

De esta manera, el estudiante podrá adquirir la capacidad para resolver problemas matemáticos y conocerá las principales áreas que conforman la investigación de operaciones, desde el análisis del problema hasta la recolección de información, la formulación del modelo y el análisis e interpretación de resultados.

Asimismo, en el sitio web www.profecastorena.com se incluyen videos y otros recursos didácticos de gran utilidad relacionados con la investigación de operaciones.

Acerca de los autores Rodolfo Valentín Muñoz Castorena Es ingeniero en sistemas computacionales por la Universidad Autónoma de Aguascalientes, maestro en tecnologías de información por la Universidad de Guadalajara y doctor en metodología de la enseñanza por el Instituto Mexicano de Estudios Pedagógicos. Es profesor de tiempo completo del Departamento de Métodos Cuantitativos del Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas (CUCEA) de la Universidad de Guadalajara. De 2005 a 2012 se desempeñó como secretario, y de 2014 a agosto de 2023 como presidente de la Academia de Optimización.

En cuatro ocasiones ha contado con el perfil PRODEP, y es autor de diversos libros y artículos en revistas internacionales. También ha sido asesor de tesis en los niveles de licenciatura, maestría y doctorado.

Lizet Duarte González Es licenciada en negocios internacionales y maestra en administración de negocios por la Universidad de Guadalajara. Desde 2014 es docente del Departamento de Métodos Cuantitativos del Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas (CUCEA) de dicha universidad.

Desde 2020 es jefe de la Unidad de Permanencia de la Coordinación de Control Escolar del Centro Universitario de Arte, Arquitectura y Diseño (CUAAD). También es autora de diversos artículos en revistas internacionales.

xiv

Acerca de los autores

José Antonio Aguilar Zárate Es licenciado en negocios internacionales por la Universidad de Guadalajara y maestro en mercadotecnia internacional por la Georg Simon Ohm University of Applied Sciences, en Nuremberg, Alemania. Se ha desempeñado como coordinador de la licenciatura en negocios internacionales en el Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas (CUCEA), donde es profesor de tiempo completo. Fue coordinador de Programas Internacionales de la Coordinación General de Cooperación e Internacionalización, y desde 2019 ocupa el cargo de secretario de la División de Gestión Empresarial del CUCEA.

María Bernardett Ochoa Hernández Es licenciada en economía por la Universidad de Guadalajara, maestra en investigación educativa por el Centro de Investigaciones Pedagógicas y Sociales, y doctora en metodología de la enseñanza. Es profesora investigadora titular de la Universidad de Guadalajara. En diez ocasiones ha contado con el perfil PRODEP, y es autora de diversos libros y artículos en revistas internacionales. También ha sido asesora de tesis en los niveles de licenciatura, maestría y doctorado.

Capítulo

1

Introducción a la investigación de operaciones Objetivos Al concluir el estudio de este capítulo, usted podrá: • Explicar qué es, y conocer el origen y naturaleza de la investigación de operaciones.

• Describir qué es un modelo y explicar los diferentes tipos de modelos.

• Reconocer las ventajas y desventajas de usar modelos matemáticos.

• Entender el concepto de optimización • Describir algunas aplicaciones de la investigación de operaciones.

• Aprender operaciones básicas de álgebra matricial.

2

Capítulo 1

1.1

Dato curioso Algunos autores utilizan el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.2

Introducción a la investigación de operaciones

Conceptos y definiciones

Concepto 1. La investigación de operaciones (IO) es la disciplina que aborda un problema concreto y lo divide en partes pequeñas, lo cual facilita el análisis de cada una de ellas para obtener un problema abstracto o, mejor aún, un modelo, todo ello mediante una investigación del sistema donde ocurre el problema, con el fin de ofrecer acciones o alternativas de solución.

Concepto 2. […] La investigación de operaciones (IO) es la aplicación del método científico, por grupos interdisciplinarios, a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de producir soluciones que sirvan mejor a los objetivos de la organización. […]1 Concepto 3. La investigación de operaciones (IO) se define como un conjunto de modelos matemáticos aplicables a la solución de ciertos problemas orientados a la toma de decisiones, en los que se involucran variables de decisión en las cuales se desea optimizar: 1. El uso de los recursos para lograr un determinado fin cuantificable.

2. Los problemas más o menos complejos que se presentan en una organización social, cuya solución empírica resulta demasiado costosa e inadecuada.

Actividad 1 Responda las siguientes preguntas:

1

Con base en las definiciones anteriores, construya una definición propia de investigación de operaciones.

2

Relacione la investigación de operaciones con las materias del contenido curricular de su carrera o nivel educativo.

Conteste: a) ¿Cómo se relaciona?

b) ¿Para qué sirve?

1 2

Francisco J., González, Breve introducción a la investigación de operaciones, pp. 7 y 8.

Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones, pp. 2 y 3.

1.2 Origen y naturaleza de la investigación de operaciones

1.2

Tarea Responda el trabajo 1 en la parte correspondiente al punto 1.1.

3

Origen y naturaleza de la investigación de operaciones

Los primeros esfuerzos por estructurar esta disciplina se realizaron en Gran Bretaña durante la Segunda Guerra Mundial, donde la administración militar convocó a un grupo de científicos de distintas áreas del conocimiento para que estudiaran y ofrecieran soluciones variables a problemas tácticos y estratégicos asociados con la defensa del país.

En apariencia, la investigación de operaciones fue designada así, debido a que el equipo realizaba una investigación de operaciones militares. Un grupo importante de administradores militares de Estados Unidos inició algunas investigaciones similares, motivados por los resultados alentadores que obtuvieron los equipos británicos. Para llevarlas a cabo, reunieron a varios especialistas, quienes lograron resultados tan sorprendentes que obligaron a concentrar la atención en este nuevo enfoque científico. En sus estudios se incluyeron problemas logísticos complejos, como la planeación de minas en el mar y el uso eficaz de equipo electrónico.

Al término de la guerra, y atraídos por los éxitos que consiguieron los estrategas militares, algunos administradores industriales comenzaron a aplicar esta herramienta para resolver los problemas que originaban el tamaño y la complejidad de las industrias.

En un principio se acreditó a Gran Bretaña el mérito de utilizar como nueva disciplina la IO, pero Estados Unidos tomó pronto el liderazgo en este campo creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio fue el método simplex de programación lineal, desarrollado en 1947 por el matemático estadounidense George B. Dantzig. Desde entonces se han incorporado nuevas técnicas y otras se han perfeccionado, gracias al esfuerzo y cooperación de expertos interesados tanto en el área académica como en la industrial.

En el progreso sorprendente de la investigación de operaciones fue determinante el desarrollo de la computadora digital, que con sus enormes capacidades de velocidad de cómputo, almacenamiento y recuperación de información permitió a los tomadores de decisiones actuar con rapidez y precisión. De no ser por la computadora digital, esta disciplina que plantea grandes problemas de computación no hubiera crecido hasta el nivel en que se encuentra hoy.

En la actualidad la IO se aplica a distintas actividades que trascienden los ámbitos militares e industriales para incluir tareas tales como salud pública, instituciones financieras, bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización.3 Cabe mencionar que la IO ha sido un factor de primera importancia en el mejoramiento de la eficiencia en numerosas organizaciones del mundo, y su aplicación ha contribuido en gran medida al incremento de la productividad de la economía de algunos países.

Actividad 2 Investigue quién fue George B. Dantzig y escriba una breve biografía de él.

3

Op. cit. p. 3.

4

Capítulo 1

1.3

Introducción a la investigación de operaciones

Modelos en la investigación de operaciones

Un modelo es una representación simplificada o idealizada de una parte de la realidad; según el Diccionario de la lengua española es: […] Un esquema teórico, por lo general de forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su comprensión y estudio de su comportamiento. […] 4 Los modelos se crean a partir de una necesidad o de un objetivo como mínimo, bajo una problemática, y se enfrentan a restricciones específicas al crearlos.

Los modelos se expresan en términos de las variables de decisión del problema, y cuentan con una o más funciones objetivo y restricciones que deben contener los siguientes tres elementos: 1. Alternativas de decisión de las cuales se hace una selección para crear la función objetivo.

2. Restricciones para excluir alternativas no factibles.

3. Criterios para evaluar y clasificar las alternativas factibles.5 Con base en lo anterior se desarrolla la figura 1.1.

Analiza Problema concreto Figura 1.1

Llega Problema simplificado

Modelo

Proceso de construcción del modelo.

Al resolver el modelo se obtiene una solución, la cual puede producir los resultados deseados, y si no fuera el caso, se tendría que modificar el modelo hasta que brinde una solución factible.

1.3.1 Clasificación de los modelos Los modelos pueden clasificarse como se describe a continuación.

•

•

4

Modelos mentales “Un modelo mental es una estructura del pensamiento humano conformada por un grupo de supuestos acerca de la realidad, que determinan nuestra concepción de ella, la forma en que observamos los fenómenos que la componen y las acciones que tomamos en consecuencia”. Es por esto que Rouse y Morris definieron en 1985 los modelos mentales como “… un mecanismo por el cual los humanos somos capaces de generar descripciones del propósito y forma de un sistema, explicaciones del funcionamiento de los diferentes estados de un sistema observado y predicciones sobre futuros estados del sistema…” 6 Modelos a escala Un modelo a escala es una representación física de algunos objetos, ya sea de forma idealizada (bosquejos) o a escala distinta,7 por ejemplo, planos, mapas, maquetas y prototipos, entre otros.

Real Academia Española, Diccionario de la lengua española, 22a ed., http://buscon.rae.es/drael/SrvltConsulta?TIPO_ BUS=3&LEMA=modelo, consultado el 4 de octubre de 2010.

5 Juan Pilar Tormos, Investigación operativa para ingenieros, España, Ed. Universidad Politécnica de Valencia, p. 33.

6 Hamdy, A. (2012). Investigación de operaciones. 9a ed., Pearson. Consultado de: https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/ investigacic3b3n-de-operaciones-9na-edicic3b3n-hamdy-a-taha-fl.pdf 7 Hamdy, A. (2011). Investigación de operaciones. 5a ed., Alfaomega. Consultado de: https://www.uaeh.edu.mx/docencia/ P_Presentaciones/huejutla/sistemas/investigacion_operaciones/modelos.pdf

1.3 Modelos en la investigación de operaciones

5

En la investigación de operaciones utilizaremos este concepto para resolver problemas a escala, con el objetivo de visualizar la importancia de las metodologías de resolución de problemas.

•

Modelos matemáticos Los modelos matemáticos son aquellos que se construyen mediante símbolos matemáticos que sirven para representar los diferentes comportamientos del problema. No todos son complejos. Por ejemplo, podemos elaborar un modelo matemático simple para determinar el ingreso por comisión que reciben Z promotores de ventas que obtienen $200 por cada operación que realicen.

Para crear este modelo debe establecerse una relación función entre el número de ventas y el ingreso total del promotor.

Primero se definen las variables a utilizar.

Sea x 5 Número de ventas que realiza cada promotor y 5 Ingreso total del promotor Ello genera una función relación ventas-ingreso: y 5 200x donde, si el promotor realizara 3 ventas (x 5 3), su ingreso total (y) sería Ingreso total del promotor 5 200 (3) 5 $600 Los modelos matemáticos se clasifican en tres tipos generales: 1. Modelo descriptivo: es el que representa la realidad mediante una relación funcional, que es algo estático. Sin embargo, este tipo de modelo no indica ninguna evolución durante el transcurso del tiempo ni los cursos de acción que deben seguirse para resolver un problema. Por ejemplo, un organigrama es un modelo descriptivo.

2. Modelo predictivo: tiene mayor alcance que el modelo anterior, pues además de describir la realidad señala cuál será la situación futura. Por ejemplo, una función exponencial puede indicar cuál será la población en México en el año 2040.

3. Modelo normativo: además de ser descriptivo y predictivo, nos induce a elegir un curso de acción a seguir para obtener un objetivo establecido (este tipo de modelos también se denomina modelos de optimización).

Además de la clasificación anterior, existen otras que son independientes de los modelos matemáticos mencionados y que pueden agruparse bajo la perspectiva de uno o varios de los términos que aparecen en la tabla 1.1.

Tabla 1.1

Otros tipos de modelos matemáticos

Término

Definición

Modelos físicos

Se representan a escala y se construyen con base en problemas concretos.

Modelos abstractos

Se les denomina así debido a que es imprescindible usar expresiones simbólicas para representar el comportamiento del sistema; es decir, se construyen mediante gran cantidad de símbolos.

Modelos estáticos

Representan la realidad en una determinada unidad de tiempo.

Modelos dinámicos

Interpretan la evolución de una parte de la realidad en un tiempo determinado.

Modelos determinísticos

Representan un fenómeno que se comporta regularmente a intervalos iguales y, por consiguiente, es factible predecir su comportamiento con cierto margen de error aceptable o tolerable.

Modelos aleatorios

Describen un fenómeno que se comporta regularmente en intervalos diferentes; por lo tanto, es muy difícil predecir su comportamiento.

6

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

Es necesario destacar que, a pesar de la existencia de otras importantes clases de modelos, el objetivo principal de esta sección es estudiar los modelos matemáticos.

1.3.2 Ventajas y desventajas del uso de modelos matemáticos Cuando se usan modelos matemáticos para representar el comportamiento de una situación determinada, se presentan las ventajas y desventajas que se describen en la tabla 1.2.

Tabla 1.2

Ventajas y desventajas de usar modelos matemáticos

Ventajas

Desventajas

Permiten apreciar cuáles son las Pueden llevar a simplificaciones exageradas o excesivas si se variables importantes del problema pretende que el modelo se aplique a situaciones muy diversas, lo que puede provocar la omisión de variables que quizá sean y cómo se relacionan entre sí. importantes.

Ayudan a operacionalizar las va- Implementarlos puede ser demasiado costoso o complejo, lo riables con base en ciertos patro- que dependerá de que el modelo esté bien o mal planteado. nes o indicaciones.

Suministran una base cuantitativa Sensibilidad ante errores de medición; a veces pequeñas vapara la toma de decisiones. riaciones en los datos provocan que se obtengan resultados opuestos.

Reducen los riesgos asociados Las diferentes interpretaciones de la información pueden ocacon la experimentación real. sionar resultados lejanos de la realidad.

Asignación óptima de recursos escasos.

Actividad 3 Responda las siguientes preguntas: 1

¿Qué es un modelo en la investigación de operaciones?

2

Mencione otras ventajas que encuentre al usar los modelos matemáticos.

3

Mencione otras desventajas que encuentre al usar los modelos matemáticos.

7

1.4 Optimización

1.4

Optimización

Por lo general se dice que optimizar es hacer más con menos; por otro lado, se considera que es la función de lograr mayores beneficios con la mínima cantidad de recursos invertidos, es decir, buscar la mejor manera de realizar una actividad.

Arsham Hosseim, experto en el tema, explica que la optimización, [...] también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que tiene mayores ganancias, mayor producción o felicidad, o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencia, entre otros. Los problemas de optimización por lo general se clasifican en lineales y no lineales. […]8 Para tener estandarización en los conceptos, dentro de la investigación de operaciones la utilidad o el costo se representa a menudo con la letra Z.

Maximizar

Costo

Minimizar

Utilidad

Optimizar

Como el objetivo es optimizar, en investigación de operaciones se hablará de dos vertientes: maximizar o minimizar, es decir, maximizar Z o minimizar Z.

Problemas de optimización En un problema específico que trata de minimizar o maximizar una cantidad llamada objetivo, la cual depende de un número finito de variables de entrada o de decisión, éstas pueden ser independientes entre sí o relacionarse a través de una o más restricciones.

Ejemplo 1

Minimizar Z 5 x1 1 x2 Sujeto a: x1 2 x2 $ 3 x2 $ 2 x1, x2 $ 0 (restricción de No negatividad) Este es un problema de optimización del objetivo Z, en el que las variables de entrada son x1 y x2. Se desea obtener los valores de las variables de entradas que minimicen el objetivo principal, sujetos a limitaciones impuestas por restricciones.

Ejemplo 2

Maximixar Z 5 4x1 1 4x2 Sujeto a: 3x1 1 2x2 # 15 x1 1 3x2 # 4 x1, x2 $ 0 (restricción de No negatividad) Cabe señalar que la última restricción de No negatividad indica que las variables que se utilizaron en el modelo deben ser estrictamente positivas o ceros, puesto que si se deseara fabricar, por ejemplo, pelotas, no podrían fabricarse 24 pelotas.

8

Arsham Hosseim. Modelos deterministas: optimación lineal, consultado el 4 de octubre de 2010 de: http://home.ubalt.edu/ ntsbarsh/opre640S/spanishD.htm#rop4

8

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

Notas

9

1.4 Optimización

Notas

10

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

Actividad 4 Relacione las siguientes columnas en relación con el texto anterior 1

Ayudan a operacionalizar las variables con base en ciertos patrones o indicaciones.

2 La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio.

3 Función de lograr mayores beneficios con la mínima cantidad de recursos invertidos; es decir, buscar la mejor manera de realizar una actividad.

4 Interpretan la evolución de una parte de la realidad en un tiempo determinado.

5 Conjunto de modelos matemáticos aplicables a la solución de problemas orientados en la toma de decisiones.

6 Pueden llevar a simplificaciones exageradas o excesivas si se pretende que el modelo se aplique a situaciones muy diversas, lo que puede provocar la omisión de variables que pueden ser importantes.

7 Representa la realidad mediante una relación funcional; este tipo no indica ninguna evolución durante el transcurso del tiempo ni los cursos de acción que se deben seguir.

8 Es factible predecir su comportamiento con cierto margen de error aceptable o tolerable.

9 Señala el curso de acción que debe seguirse para lograr un objetivo definido.

10 Esquema teórico de un sistema o de una realidad compleja que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

11 Describen un fenómeno que se comporta regularmente en intervalos diferentes, por lo que, es muy difícil predecir su comportamiento.

Actividad 5 Responda las siguientes preguntas: 1

¿Qué significa para usted maximizar la felicidad?

2

¿Qué significa minimizar el malestar?

Modelo normativo Modelo Modelos determinísticos Modelos aleatorios Ventajas Optimización

Desventajas

Modelos dinámicos Investigación de operaciones Modelo descriptivo Método simplex de programación lineal

11

1.5 Álgebra matricial

3

¿Qué tiene que ver la optimización con los conceptos maximizar la felicidad y minimizar el malestar?

1.5

Álgebra matricial

El álgebra matricial permite presentar con claridad el desarrollo de la resolución de matrices, presentando de manera concisa una notación, la cual sería imposible plantear de forma algebraica.

Una matriz es un arreglo rectangular de números que consta de m renglones y n columnas; se le conoce como matriz de tamaño m 3 n. n

m

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n am1 am 2 ... amn

Cada elemento de la matriz ai, j tiene un subíndice i, j, donde i es el reglón y j la columna, donde normalmente inician en la posición 1,1.

Ejemplos

2 8

4 5

(2 3 2)

3 1 0 (3 3 1)

Notas

1 5

3 1

4 2

(2 3 3)

3 4

1 8

0 7

(2 3 3)

12

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

1.5.1 Operaciones con matrices Suma de matrices Si tenemos la matriz A 5 [ai,j] y la matriz B 5 [bi,j], las cuales son de tamaño m 3 n, entonces la suma de A 1 B es la matriz de tamaño m 3 n que se obtiene al sumar cada uno de los elementos correspondientes de la matriz A y B. Esto será A 1 B 5 [ai, j + bi, j ].

Si el tamaño de la matriz A no es el mismo que la matriz B, entonces A 1 B no está definida, por tanto, no se pueden sumar.

Ejemplos

1

2

2 3

8 5

(2 3 2)

(2 3 2)

27 9 6

5 21 3

1 8 4

1

(3 3 2) A5

5

2 1 (21) 8 1 8 319 517

6 22 4

(27) 1 5 9 1 (21) 6 13

21 8 9 7

1

4 5 2 6

A 1B 5

5

1

(2 3 3)

7 6 8

(3 3 2)

(2 3 2)

4 5 2 6

5 9 1 6 8 2

22 8 9

21 4 3 7

B5

1

(2 3 2) 4

1 16 8 1 (22) 4 14

(3 3 2)

(2 3 2) 3

5

1 16 12 12

1

21 4 3 7

5

4 1 (21) 5 1 4 2 13 6 17

5

(2 3 2) 0 5 9 21

3 9 5 13 (2 3 2)

5 No está definida 5 No se puede sumar

(2 3 2)

Resta de matrices Si A representa cualquier matriz, por tanto, al múltiplo escalar (21) A se le denomina el negativo de la matriz (2A).

Así, la resta es similar a la suma de matrices, donde el tamaño de las matrices A y B debe ser igual, y A 2 B es la matriz de tamaño m 3 n que se obtendrá al hacer la resta de los elementos correspondientes a las matrices A y B. Recuerde que si las matrices no son del mismo tamaño tanto en la suma como en la resta, no está definida o no se puede sumar o restar.

A 2 B 5 A 1 (2B) Ejemplos

1

4 3

8 21

(2 3 2)

2

5 4 3 9 (2 3 2)

5

425 323

824 21 2 9

5

21

0

4 210

(2 3 2)

13

1.5 Álgebra matricial

2

3 1 22 (3 3 1)

3

21 8 21

2

3 2 (21) 128 22 2 (21)

5

(3 3 1)

(3 3 1)

2 5 3 4 1 8 0 21 7

2

(3 3 3)

4 27 21

5

5 21 22 9 8 0 7 26 9

5

225 5 2 (21) 3 2 (22) 429 128 820 0 2 7 (21) 2 (26) 7 2 9

(3 3 3)

23 6 5 25 27 8 27 5 22

5

(3 3 3)

Recuerde que tanto la resta como la suma es elemento por elemento, posición por posición.

Multiplicación por un escalar Si la matriz A es de tamaño m 3 n y K representa un número real, entonces KA es el resultado de multiplicar cada uno de los elementos de la matriz A por el número real K. La operación se denomina multiplicación por un escalar, donde KA se llama múltiplo escalar de la matriz A. Ejemplos

1

K A 8 1 5 24

23

5

(23)(8) (23)(1) (23)(5) (23)(24)

(2 3 2) 2

A5

1 2 8 7 4 21

224 23 215 12 (2 3 2)

4A 5 4

(2 3 3) 5

5

1 2 8 7 4 21

5

(4)(1) (4)(2) (4)(8) (4)(7) (4)(4) (4)(21)

(2 3 3)

4 8 32 28 16 24 (2 3 3)

Recuerde que la multiplicación por un escalar es el número multiplicado por cada elemento de la matriz indicada.

3

B5

2 6 4 8 (2 3 2)

27B 5 27

2 6 4 8 (2 3 2)

5

(27)(2) (27)(6) (27)(4) (27)(8)

5

214 242 228 256 (2 3 2)

14

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

Notas

Multiplicación de matrices Sea A una matriz de tamaño m 3 n y B una matriz de tamaño n 3 p, por tanto, la multiplicación de matrices A · B se define como: A ∙ B 5 C mxn nxp mxp

Deben ser iguales Tamaño de la nueva matriz mxp Para realizar la multiplicación de matrices, el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B; de lo contrario, no estará definida dicha multiplicación. El tamaño de la matriz será igual al número de filas de la matriz A por el número de columnas de la matriz B. Ejemplos

1 A∙B5

2 3 1 5 24 2

4 1 5 6 21 2

(2 3 3)

(3 3 2)

5

a11 a12 a21 a22 (2 3 2)

5

22 22 22 215 (2 3 2)

5

Note que son iguales

Tamaño de la matriz resultante

15

1.5 Álgebra matricial

Nota a11 5 fila 1 de A por columna 1 de B a12 5 fila 1 de A por columna 2 de B a21 5 fila 2 de A por columna 1 de B a22 5 fila 2 de A por columna 2 de B

Forma en que se generan los nuevos valores de la matriz resultante

2 A∙B5

a11 5 (2)(4) 1 (3)(5) 1 (1)(21) 5 8 1 15 2 1 5 22 a12 5 (2)(1) 1 (3)(6) 1 (1)(2) 5 2 1 18 1 2 5 22 a 21 5 (5)(4) 1 (24)(5) 1 (2)(21) 5 20 2 20 2 2 5 22 a 22 5 (5)(1) 1 (24)(6) 1 (2)(2) 5 5 2 24 1 4 5 215

1 4 22 8 3 21 21 2 5

2 1 0 5 4 21

(3 3 3)

(3 3 2)

5

a11 a12 a21 a22 a31 a32 (3 3 2)

5

Nota a11 5 fila 1 de A por columna 1 de B a12 5 fila 1 de A por columna 2 de B a21 5 fila 2 de A por columna 1 de B a22 5 fila 2 de A por columna 2 de B a31 5 fila 3 de “A” por columna 1 de “B” a32 5 fila 3 de “A” por columna 2 de “B”

a11 5 (1)(2) 1 (4)(0) 1 (22)(4) 5 2 1 0 2 8 5 26 a12 5 (1)(1) 1 (4)(5) 1 (22)(21) 5 1 1 20 1 2 5 23 a21 5 (8)(2) 1 (3)(0) 1 (21)(4) 5 16 1 0 2 4 5 12 a22 5 (8)(1) 1 (3)(5) 1 (21)(21) 5 8 1 15 1 1 5 24 a31 5 (21)(2) 1 (2)(0) 1 (5)(4) 5 22 1 0 1 20 5 18 a32 5 (21)(1) 1 (2)(5) 1 (5)(21) 5 21 1 10 2 5 5 4

Notas

5

26 23 12 24 18 4 (3 3 2)

16

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

Actividad 6 Práctica a) Realice la suma y resta de las siguientes matrices: Ejercicios

1

2 5 23 4

1

1 27 8 3

5

2

21 9 2 21 8 23

1

22 5 23 6 4 3

5

3

4

9 8 1 2 0 21 1 8 23 2 5 23 27

24 3 21 2 0 21 1 2 3

2

2

21 6 3 28

5

5

b) Realice la multiplicación por escalar.

1

Obtenga 5A A 5

22 3 5 1 8 0

Obtenga 24B B 5

1 5 2 7 8 21

2

3

1 21 8 26

Obtenga 7C C 5

c) Realice la multiplicación de matrices.

1

A∙B5

2 5 3 21

2 21 21 6

A∙B5

3 21 1 7 8 4

4 21 0

2

3 A∙B5

1 8 4 0 2 9 21 3 21

9

4

4 2 21

5

5

6

5

17

1.5 Álgebra matricial

Notas

18

Capítulo 1

Introducción a la investigación de operaciones

Notas