Mate 6 by Cengage

Mate 6 Nueva edición TUSSY • KOENIG

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Alan S. Tussy &LWUXV &ROOHJH

Diane R. Koenig

5RFN 9DOOH\ &ROOHJH

Traducción Jorge Hernández Lanto

Adaptación y Revisión técnica Andrea Constanza Perdomo Pedraza &ROHJLR &DPSRDOHJUH

Rafael Vela Ricalde

MEN - 2024 ALINEADO A LOS DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

Diseño de Pruebas Saber Francy Katerine Gómez Hernández &ROHJLR $QJOR $PHULFDQR

$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ &DQDG£ ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU

Mate 6 Primera edición $ODQ 6 7XVV\ 'LDQH 5 .RHQLJ Directora Higher Education Latinoamérica: /XF¯D 5RPR $ODQ¯V Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora: $EULO 9HJD 2UR]FR Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Diseño de portada: )ODYLDQR )UHJRVR 5RMDV Imagen de portada: kɋ)UXQ]H $QWRQ 1LNRODHYLFKɋ ɋ6KXWWHUVWRFN Diseño de interiores: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV Composición tipogr£ȴca: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV

k ' 5 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 XQD &RPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ ΖQF $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ &RORQLD $PSOLDFLµQ 6LQDWHO 'HOHJDFLµQ Ζ]WDSDODSD &LXGDG GH 0«[LFR & 3 &HQJDJH /HDUQLQJp HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU SRGU£ VHU UHSURGXFLGD WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR HQ HO &DS¯WXOR ΖΖΖ $UW¯FXOR GH OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO (VWD HV XQD DGDSWDFLµQ GHO OLEUR Matemáticas básicas D HGLFLµQ 7XVV\ $ODQ 6 \ 'LDQH 5 .RHQLJ Ζ6%1 7UDGXFLGR GHO OLEUR Basic Mathematics with Early Integers 6L[WK (GLWLRQ $ODQ 6 7XVV\ DQG 'LDQH 5 .RHQLJ 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD 7XVV\ $ODQ 6 'LDQH 5 .RHQLJ Mate 6 SULPHUD HGLFLµQ Ζ6%1 6 3 9LVLWH QXHVWUR VLWLR ZHE HQ KWWS ODWDP FHQJDJH FRP

Publicad Mxico

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

Mate

ara la realización de la nueva edición de la serie editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo), Ron Larson y David C. Falvo (Precálculo) y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos. Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES).

Mate

Mate 6 Nueva edición

P ROPUESTA CURRICULAR

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso), lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

CAPÍTULO

LOS NÚMEROS NATURALES

RETO DEL CAPÍTULO Teléfonos celulares. En 2015 había 377.921.241 suscriptores de telefonía celular en Estados Unidos. (Fuente: Unión internacional de telecomunicaciones) a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3? b. ¿Qué dígito indica el número de centenas de millar?

LO QUE DEBE SABER ¿Está listo para tener éxito en este capítulo? Considere el número 41.948.365.720. 1. ¿Cuál dígito está en la columna de las decenas de millar? 2. ¿Cuál dígito está en la columna de las centenas?

CONTENIDO 2

Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero 2 Adición de números naturales 8 Sustracción de números naturales 14 Multiplicación de números naturales 17 División de números naturales 25 Resolución de problemas 31 Descomposición de un número en factores 37 Sección 1.8 Mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (mcd) 44 Sección 1.9 Jerarquía de las operaciones 53

Sección 1.2 Sección 1.3 Sección 1.4 Sección 1.5 Sección 1.6 Sección 1.7

OBJETIVOS

3. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 1? 4. ¿Cuál dígito indica las unidades de millón? 5. Escriba cada número en palabras. a. 97.283 b. 5.444.060.017 6. Escriba cada número en forma estándar. a. Tres mil doscientos siete b. Veintitrés millones doscientos cincuenta y tres mil cuatrocientos doce c. 60.000 1.000 200 4 Escriba cada número en forma expandida. 7. 570.302 8. 37.309.154

Sección 1.1

1. Reconocer un número natural 2. Escribir un número natural en forma expandida Para visualizar todos los objetivos del capítulo 1 ingrese al código QR.

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

E STRUCTURA DE LA SERIE (n eVta nXeYa eGLcLµn Ge Mate 6 encontUaU£ Xn amSlLo GeVaUUollo Ge laV matem£tLcaV SaUtLenGo Gel SlanteamLento \ VolXcLµn Ge VLtXacLoneV en conte[to enIocaGaV en GatoV UealeV \ VLtXacLoneV atUactLYaV SaUa loV eVtXGLanteV. /a oEUa cXenta con

RETO DEL CAPÍTULO 0eGLante Xn eMemSlo Ve LntUoGXcen loV conceStoV TXe Ve tUaEaMaU£n a lo laUgo Gel caS¯tXlo con la ȴnalLGaG Ge motLYaU la LnYeVtLgacLµn \ el GeVaUUollo Ge contenLGoV SaUa UeVolYeU el Ueto.

OBJETIVOS

OBJETIVOS 6e SUoSonen metaV TXe Ve GeEen alcan]aU meGLante el GeVaUUollo Ge conceStoV SaUa lo cXal Ve aSoUta Xn eVEo]o geneUal Ge aVSectoV eVSec¯ȴcoV TXe loV eVtXGLanteV GeEen teneU en cXenta SaUa aSUenGeU \ aSlLcaU caGa LGea o conceSto TXe Ve SUeVenta.

Sección 1.1 Reconocer un número natural 2. Escribir un número natural en forma expandida

Para visualizar todos los objetivos del capítulo 1 de manera digital ingrese al código QR.

CONTENIDO

CONTENIDO (l contenLGo SUeVenta en Getalle loV temaV geneUaleV TXe Ve aEoUGan en el te[to con lo cXal eV SoVLEle oUganL]aU \ SlaneaU el tUaEaMo SaUa alcan]aU el aSUenGL]aMe SUoSXeVto.

LO QUE DEBE SABER $ SaUtLU Ge Xn gUXSo Ge SUegXntaV Ve EXVca TXe Ge maneUa aXtµnoma loV eVtXGLanteV mLGan VXV conocLmLentoV SUeYLoV \ algXnoV UeTXLVLtoV SaUa el GeVaUUollo conceStXal Ge caGa caS¯tXlo.

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? Considere el número 41.948.365.720. 1. ¿Cuál dígito está en la columna de las decenas de millar? 2. ¿Cuál dígito está en la columna de las centenas? 3. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 1? 4. ¿Cuál dígito indica las unidades de millón? 5. Escriba cada número en palabras. a. 97.283 b. 5.444.060.017

DESARROLLO CONCEPTUAL 6e EaVa en loV aVSectoV m£V UeleYanteV \ ¼tLleV Ge laV tem£tLcaV SUoSLaV Ge caGa gUaGo. (VtoV aVSectoV Ve mXeVtUan a SaUtLU Ge VLtXacLoneV en conte[to GemoVtUacLoneV IoUmaleV Ge SUoSLeGaGeV \ GeȴnLcLoneV claUaV KacLenGo «nIaVLV en el ULgoU Ge laV matem£tLcaV \ el EXen XVo Gel lengXaMe \ el SenVamLento lµgLco acoUGe a caGa eGaG. $Gem£V Ve GeVtacan loV conceStoV Ge ma\oU UeleYancLa SaUa TXe loV eVtXGLanteV LntX\an VX LmSoUtancLa.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ESTÁ FORMADO POR LOS NÚMEROS NATURALES Y EL CERO

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }

EJEMPLOS RESUELTOS 6e eMemSlLȴca la VolXcLµn Ge SUoElemaV con VXV UeVSectLYoV SUoceGLmLentoV. (n caGa eMemSlo Ve mXeVtUa el comSonente algoU¯tmLco aV¯ como la aSlLcacLµn Ge conceStoV TXe lleYan a la VolXcLµn Gel SUoElema GentUo Ge conte[toV UealeV cX\o nLYel Ge comSleMLGaG LncUementa Ge IoUma gUaGXal.

EJEMPLO

AEROPUERTOS El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más transitado en Estados Unidos: tuvo una afluencia de 101.491.106 pasajeros en 2015. (Fuente: Airports Council International–North America) A. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 4? B. ¿Qué dígito indica las unidades de millón?

PUNTO DE INTERÉS 6e SUoSoUcLonan KecKoV o GatoV UeleYanteV SaUa enIatL]aU aVSectoV LmSoUtanteV o LnIoUmacLµn e[tUa en toUno al tema SaUtLcXlaU TXe Ve eVt£ aEoUGanGo. (n algXnoV caVoV Ve Kace UeIeUencLa a SeUVonaV o acontecLmLentoV KLVtµULcoV TXe Kan VLGo IXnGamentaleV en el GeVaUUollo Ge laV matem£tLcaV.

PUNTO de INTERÉS Es importante anotar que los factores de un número también son llamados divisores del número. Para el ejemplo anterior se dice que 1, 2, 3, 4, 6, 12 son los divisores de 12.

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

vii

APLIQUE LO APRENDIDO (n eVta VeccLµn Ve SUeVenta Xna amSlLa VeleccLµn Ge eMeUcLcLoV GonGe el eVtXGLante SoGU£ UeaȴUmaU VX GomLnLo Ge loV conceStoV \ el maneMo algoU¯tmLco Ge loV temaV Ge caGa caS¯tXlo meGLante VX aSlLcacLµn en conte[toV UealeV.

Sección 1.6 Resolución de problemas

EJERCICIOS 1.6

APLIQUE LO APRENDIDO

Resuelva los siguientes problemas. 1. Transporte. Un transporte de automóviles se carga con 9 sedanes nuevos Chevrolet Malibú*, cada uno valorado en 21.605 dólares. ¿Cuál es el valor total de los autos que lleva el transporte?

8. Estados Unidos. De 1800 a 1850, 15 estados se integraron a los Estados Unidos de América. De 1851 a 1900, entraron 14 estados adicionales. Tres estados se unieron de 1901 a 1950. Desde entonces, Alaska y Hawái son los únicos que se han unido. En total, ¿cuántos estados se han incorporado a Estados Unidos desde 1800? Resuelva los siguientes problemas. 9. iPhones. Una estudiante tenía 135 fotos guardadas en su iPhone* de 16 GB. Borró 27 de ellas (40 MB) para liberar un poco de espacio en la memoria. En los siguientes 7 días, ella tomó 19 fotos nuevas (28 MB) y las guardó todas. ¿Cuántas fotos hay ahora guardadas en su teléfono?

2. Medallas de oro. El equipo olímpico de Estados Unidos ganó 46 medallas de oro en los Juegos Olímpicos de Verano en Río 2016. En ese momento, el valor de una medalla de oro era de alrededor de 564 dólares. ¿Cuál era el valor de todas las medallas de oro ganadas por el equipo olímpico de Estados Unidos? (Fuente: forbes.com) Resuelva los siguientes problemas. 3. Historia de la TV. Había 59 episodios producidos menos

10. Bosques. Canadá tiene 1.806.425 menos millas cuadradas de bosques que Rusia. Estados Unidos tiene 142.758 menos millas cuadradas de bosques que Canadá. Si Rusia tiene 3.146.466 millas cuadradas de bosques (la mayor cantidad que cualquier otro país en el mundo). ¿Cuántas millas cuadradas tiene Estados Unidos? (Fuente: mapsoftheworld.com) 11. Batman. Para el año 2017, los ingresos mundiales en taquilla de las siguientes películas de Batman eran: The Dark Knight Rises (2012), 1.085 millones de dólares; The Dark Knight (2008), 1.003 millones de dólares; BatS f (2016) 8 3 ill

EJERCICIOS DE REPASO (Vta VeccLµn al conclXLU caGa caS¯tXlo Ue¼ne Xn conMXnto Ge eMeUcLcLoV VoEUe loV temaV tUataGoV a ȴn Ge comSUoEaU el GomLnLo \ la aSUoSLacLµn Ge conceStoV.

CAPÍTULO

EJERCICIOS DE REPASO

1. Redondee 2.507.348

Aeropuerto

Total de pasajeros

a. a la centena más cercana

Hartsﬁeld-Jackson Atlanta

101.491.106

b. a la decena de millar más cercana

Chicago O’Hare

76.949.504

Los Angeles International

74.937.004

c. a la decena más cercana

Fuente: Airports Council International–North America

d. al millón más cercano 5. Sume de abajo hacia arriba para comprobar la suma. ¿Es correcta?

2. Redondee 969.501 a. al millar más cercano b. a la centena de millar más cercana 3. Geografía. Abajo se listan los nombres y las longitudes de los cinco ríos más largos en el mundo. Escríbalos en orden, comenzando con el más largo. Amazonas (América del Sur)

4.049 mi

Mississippi-Missouri (Estados Unidos)

3.709 mi

Nilo (África)

4.160 mi

Ob-Irtysh (Rusia)

3.459 mi

Yangtsé (China)

3.964 mi

(Fuente: geography.about.com)

4. Aeropuertos. Abajo se listan los tres aeropuertos más transitados en Estados Unidos en 2016. Encuentre el número total de pasajeros que pasan por estos aerot

viii

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

1.291 859 345 226 1.821

6. Banca. Una cuenta de ahorros contiene 12.975 dólares. Su dueño realiza un retiro de 3.800 dólares y después deposita 4.270 dólares, ¿cuál es el nuevo saldo de la cuenta? 7. Días soleados. En Estados Unidos, la ciudad de Yuma, Arizona, por lo regular tiene la mayor cantidad de días soleados al año: alrededor de 242. La ciudad de Búfalo, Nueva York, por lo regular tiene 188 días menos que eso. ¿Cuántos días soleados al año tiene Búfalo? 8. Sueño. La Fundación Nacional del Sueño de Estados Unidos recomienda que los adultos duerman de 7 a 9 horas por noche

PRUEBA SABER 3aUa eVta nXeYa eGLcLµn Ve GLVe³aUon nXeYaV 3UXeEaV 6aEeU. (Vta SUXeEa eYal¼a laV comSetencLaV Ge loV eVtXGLanteV SaUa enIUentaU VLtXacLoneV TXe SXeGen UeVolYeUVe con el XVo Ge KeUUamLentaV matem£tLcaV. 7anto laV comSetencLaV GeȴnLGaV Ge la SUXeEa como loV conocLmLentoV matem£tLcoV TXe el eVtXGLante UeTXLeUe SaUa UeVolYeU laV VLtXacLoneV SlanteaGaV Ve EaVan en laV GeȴnLcLoneV Ge loV eVt£nGaUeV E£VLcoV Ge comSetencLaV en matem£tLcaV Gel 0LnLVteULo Ge (GXcacLµn 1acLonal Ge &olomELa. 'e eVta maneUa Ve LntegUan comSetencLaV \ contenLGoV en GLVtLntaV VLtXacLoneV o conte[toV en loV cXaleV laV KeUUamLentaV matem£tLcaV coEUan VentLGo \ Von Xn LmSoUtante UecXUVo SaUa la comSUenVLµn Ge VLtXacLoneV la tUanVIoUmacLµn Ge la LnIoUmacLµn la MXVtLȴcacLµn Ge aȴUmacLoneV \ la VolXcLµn Ge SUoElemaV. /aV 3UXeEaV 6aEeU eVt£n GLVe³aGaV SaUa no UeTXeULU el XVo Ge la calcXlaGoUa.

PRUEBA SABER MATE 6

CAPÍTULO 1

La Prueba Saber evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Esta prueba cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasiﬁcan de la siguiente forma: R Razonamiento y argumentación

a visualizar más preguntas tipo Prueba Saber de manera digital ingrese al código QR.

S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora. PRUEBA SABER

(n el mLVmo aSaUtaGo Ge laV 3UXeEaV 6aEeU en la SaUte LnIeULoU notaU£ TXe Ve LnclX\e Xn cµGLgo 45 al eVcaneaUlo SoGU£ YLVXalL]aU SUegXntaV comSlementaULaV Ge maneUa GLgLtal. &omo aSo\o aGLcLonal a loV SUoIeVoUeV TXe aGoSten la oEUa Ve leV SUoSoUcLonaU£n laV 5eVSXeVtaV Ge laV 3UXeEaV 6aEeU. &onVXlte t«UmLnoV \ conGLcLoneV con VX UeSUeVentante &engage.

GLOSARIO Y BIBLIOGRAFÍA $l ȴnal Gel lLEUo Ve LnclX\en Xn gloVaULo \ Xna ELElLogUaI¯a a ȴn Ge enULTXeceU el aSUenGL]aMe.

GLOSARIO A

Ángulos. Punto que se forma por la unión de dos semirrectas.

Ecuación. Es una igualdad entre dos o más variables, que puede ser cierta si se cumplen algunas condiciones.

Ángulos adyacentes. Ángulos contiguos que sumados dan 180°.

Eje horizontal. Es una línea imaginaria que es uno de los componentes del plano cartesiano, el cual es paralelo al suelo.

Ángulos complementarios. Dos ángulos que al sumarse dan como resultado 90°.

Eje vertical. Es una línea imaginaria, que es uno de los

BIBLIOGRAFÍA Tussy, Alan S. y Diane R. Koenig (2020). Matemáticas básicas, 5a. edición. México: Cengage Learning Editores.

Mate 6

/o LnYLtamoV a conoceU \ XtLlL]aU Xn te[to TXe le GaU£ a loV eVtXGLanteV la conȴan]a neceVaULa SaUa aSlLcaU laV matem£tLcaV a tUaY«V Ge Xn lLEUo Ge te[to SeGagµgLco \ acceVLEle.

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

AGRADECIMIENTOS

$gUaGecemoV el aSo\o \ colaEoUacLµn en la UeYLVLµn Ge eVta oEUa a loV SUoIeVoUeV Azdrubal Adrián Cerón Ortiz

*LmnaVLo 1XeYo 0oGelLa &olomELa

Luz Esperanza Morales Sarmiento /Lceo 9$/ &olomELa

Astrid Leidy Trujillo Gómez *LmnaVLo (l 3oUtLllo &olomELa

Erick Daniel Camacho Montero &entUo (GXcatLYo +oUL]onteV &oVta 5Lca

Edgar Solano Solano

&omSleMo (GXcatLYo &Ζ7 &oVta 5Lca

Flor de María Herrera Reyes

3UoIeVoUaGo en (nVe³an]a 0eGLa en 0atem£tLca \ )¯VLca *Xatemala

NOTA En algunos países de América Latina se utiliza el punto o la coma baja para la notación de los números decimales. En esta serie de libros de encontrará que los números decimales se separan mediante coma baja.

Mate

AGRADECIMIENTOS

CONTENIDO BREVE

CAPÍTULO

1 LOS NÚMEROS NATURALES 1

CAPÍTULO

2 FRACCIONES Y DECIMALES 67

CAPÍTULO

3 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS 149

CAPÍTULO

4 ECUACIONES E INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 199

CAPÍTULO

5 GEOMETRÍA

CAPÍTULO

231

6 ESTADÍSTICA

285

GLOSARIO 327 BIBLIOGRAFÍA 328

CONTENIDO BREVE

CONTENIDO DETALLADO CAPÍTULO

LOS NÚMEROS NATURALES 1 SECCIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS NATURALES Y EL CERO 2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ESTÁ FORMADO POR LOS NÚMEROS NATURALES Y EL CERO 2 REDONDEO DE UN NÚMERO NATURAL PIENSE DETENIDAMENTE

EJERCICIOS 1.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.2 ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES 8 PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA 9 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA 9 PROPIEDAD DE LA SUMA CON EL ELEMENTO NEUTRO 9

EJERCICIOS 1.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.3 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES 14 EJERCICIOS 1.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.4 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 17 MULTIPLICACIÓN POR 10, 100, 1.000, ETCÉTERA 17 PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN 20 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DEL 0 Y DEL 1 20 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN 21 USO DE LA CALCULADORA

EJERCICIOS 1.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.5 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES 25 PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DIVISIÓN CON CERO

EJERCICIOS 1.5 APLIQUE LO APRENDIDO

xii

CONTENIDO DETALLADO

SECCIÓN 1.6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 31 ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EJERCICIOS 1.6 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.7 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES 37 FACTORES 37 NÚMEROS NATURALES PARES E IMPARES 38 NÚMEROS PRIMOS 38 NÚMEROS COMPUESTOS 39 FACTORIZAR EN NÚMEROS PRIMOS 39 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 40 EXPONENTE Y BASE

EJERCICIOS 1.7 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd) 44 EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) 46 ENCONTRAR EL mcm USANDO LA FACTORIZACIÓN EN NÚMEROS PRIMOS 46 EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd) 48 ENCONTRAR EL mcd USANDO LA FACTORIZACIÓN EN NÚMEROS PRIMOS 49

EJERCICIOS 1.8 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.9 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 53 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

EJERCICIOS 1.9 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 1 EJERCICIOS DE REPASO

PRUEBA SABER 62

CONTENIDO DETALLADO

xiii

CAPÍTULO

FRACCIONES Y DECIMALES 67 SECCIÓN 2.1 INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES 68 FRACCIONES EQUIVALENTES 70 PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DEL 1 70 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES 70 CONSTRUCCIÓN DE FRACCIONES

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES 72 FORMA MÁS SIMPLE DE UNA FRACCIÓN SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

EJERCICIOS 2.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES 79 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES 80 ÁREA DE UN TRIÁNGULO

EJERCICIOS 2.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.3 DIVISIÓN DE FRACCIONES 87 RECÍPROCOS

DIVISIÓN DE FRACCIONES

EJERCICIOS 2.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES 93 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES QUE TIENEN EL MISMO DENOMINADOR 94 EL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR 95

EJERCICIOS 2.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS MIXTOS 101 ESCRITURA DE UN NÚMERO MIXTO COMO UNA FRACCIÓN IMPROPIA

xiv

CONTENIDO DETALLADO

103

ESCRITURA DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA COMO UN NÚMERO MIXTO

104

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS MIXTOS 105

EJERCICIOS 2.5 APLIQUE LO APRENDIDO

106

SECCIÓN 2.6 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS MIXTOS 108 SUMA DE NÚMEROS MIXTOS: MÉTODO 1

108

EJERCICIOS 2.6 APLIQUE LO APRENDIDO

110

SECCIÓN 2.7 FRACCIONES COMPLEJAS 111 FRACCIÓN COMPLEJA

111

SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN COMPLEJA

EJERCICIOS 2.7 APLIQUE LO APRENDIDO

112

113

SECCIÓN 2.8 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DECIMALES 115 ADICIÓN DE DECIMALES

115

SUSTRACCIÓN DE DECIMALES

116

EJERCICIOS 2.8 APLIQUE LO APRENDIDO

118

SECCIÓN 2.9 MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES 120 MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES 121 MULTIPLICACIÓN DE UN DECIMAL POR 10, 100, 1.000, ETCÉTERA 121 MULTIPLICACIÓN DE UN DECIMAL POR 0,1, 0,01, 0,001, ETCÉTERA 122

EJERCICIOS 2.9 APLIQUE LO APRENDIDO

125

SECCIÓN 2.10 DIVISIÓN DE DECIMALES 126 DIVISIÓN DE UN DECIMAL ENTRE UN NÚMERO ENTERO DIVISIÓN CON UN DIVISOR DECIMAL

127

128

EJERCICIOS 2.10 APLIQUE LO APRENDIDO

133

SECCIÓN 2.11 ESCRIBIR FRACCIONES Y DECIMALES 135 EJERCICIOS 2.11 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 2 EJERCICIOS DE REPASO

140

142

PRUEBA SABER 144

CONTENIDO DETALLADO

CAPÍTULO

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS 149 SECCIÓN 3.1 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS 150 NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS 150 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

151

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD 152 OPUESTOS O NEGATIVOS 153 LA REGLA DEL NEGATIVO DE UN OPUESTO 153 LECTURA DEL SÍMBOLO − 154

EJERCICIOS 3.1 APLIQUE LO APRENDIDO

154

SECCIÓN 3.2 ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 157 SUMA DE DOS ENTEROS QUE TIENEN LOS MISMOS SIGNOS (SEMEJANTES) SUMA DE DOS ENTEROS QUE TIENEN SIGNOS DIFERENTES (NO SEMEJANTES) 159 PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA 159 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA 159 PROPIEDAD DE LA SUMA DEL 0 160 PROPIEDAD DE LA SUMA DE LOS OPUESTOS 160

EJERCICIOS 3.2 APLIQUE LO APRENDIDO

161

SECCIÓN 3.3 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 164 REGLA PARA LA RESTA 164

EJERCICIOS 3.3 APLIQUE LO APRENDIDO

167

SECCIÓN 3.4 MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS 169 MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS QUE TIENEN SIGNOS DIFERENTES (NO SEMEJANTES) 170 MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS QUE TIENEN LOS MISMOS SIGNOS (SEMEJANTES) 171

xvi

CONTENIDO DETALLADO

157

MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS 172 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 173 MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO PAR E IMPAR DE ENTEROS NEGATIVOS 174 POTENCIAS PARES E IMPARES DE UN ENTERO NEGATIVO

EJERCICIOS 3.4 APLIQUE LO APRENDIDO

175

177

SECCIÓN 3.5 DIVISIÓN DE ENTEROS 179 DIVISIÓN DE DOS ENTEROS DIVISIÓN ENTRE 0

180

181

EJERCICIOS 3.5 APLIQUE LO APRENDIDO

183

SECCIÓN 3.6 ORDEN EN LAS OPERACIONES

184

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

184

EJERCICIOS 3.6 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 3 EJERCICIOS DE REPASO

189

191

PRUEBA SABER 194

CAPÍTULO

ECUACIONES E INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

199

SECCIÓN 4.1 EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA 200 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

201

EJERCICIOS 4.1 APLIQUE LO APRENDIDO

204

SECCIÓN 4.2 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 206 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA 208 TÉRMINOS SEMEJANTES

209

EJERCICIOS 4.2 APLIQUE LO APRENDIDO

210

CONTENIDO DETALLADO

xvii

SECCIÓN 4.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES USANDO LA PROPIEDAD UNIFORME 211 ECUACIONES EQUIVALENTES 212 PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA SUMA 212 PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA RESTA 214 PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA MULTIPLICACIÓN 216 PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA DIVISIÓN

EJERCICIOS 4.3 APLIQUE LO APRENDIDO

217 218

SECCIÓN 4.4 USO DE ECUACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN 219 ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS

219

EJERCICIOS 4.4 APLIQUE LO APRENDIDO

222

CAPÍTULO 4 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

224

226

GEOMETRÍA 231 SECCIÓN 5.1 FIGURAS GEOMÉTRICAS BÁSICAS: ÁNGULOS 232 SEGMENTO DE RECTA RAYO

233

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

235

PROPIEDAD DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS 238

xviii

CONTENIDO DETALLADO

237

EJERCICIOS 5.1 APLIQUE LO APRENDIDO

240

SECCIÓN 5.2 POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS 242 POLÍGONO

243

TEOREMA DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES 245 ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO 246

EJERCICIOS 5.2 APLIQUE LO APRENDIDO

248

SECCIÓN 5.3 PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS 250 PERÍMETRO DE UN CUADRADO

251

PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO 251

EJERCICIOS 5.3 APLIQUE LO APRENDIDO

260

SECCIÓN 5.4 RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 262 RECTAS PARALELAS

262

RECTAS PERPENDICULARES 262 ÁNGULOS CORRESPONDIENTES 263 ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS 263

EJERCICIOS 5.4 APLIQUE LO APRENDIDO

268

SECCIÓN 5.5 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 270 EJERCICIOS 5.5 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 5 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

275

277

279

CONTENIDO DETALLADO

xix

CAPÍTULO

ESTADÍSTICA

285

SECCIÓN 6.1 LECTURA DE GRÁFICAS Y TABLAS 286 EJERCICIOS 6.1 APLIQUE LO APRENDIDO 295 SECCIÓN 6.2 MEDIA, MEDIANA Y MODA 301 ENCONTRAR LA MEDIA (PROMEDIO ARITMÉTICO) 301 ENCONTRAR LA MEDIA PONDERADA

304

LA MEDIANA 306 LA MODA 307 EL RANGO

308

EJERCICIOS 6.2 APLIQUE LO APRENDIDO 309 SECCIÓN 6.3 PROBABILIDAD 313 PROBABILIDAD DE UN EVENTO

315

EJERCICIOS 6.3 APLIQUE LO APRENDIDO 317 CAPÍTULO 6 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

322

GLOSARIO 327 BIBLIOGRAFÍA 328

CONTENIDO DETALLADO

320

CAPÍTULO

LOS NÚMEROS NATURALES

CONTENIDO 2

Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero 2 Sección 1.2 Adición de números naturales 8 Sección 1.3 Sustracción de números naturales 14 Sección 1.4 Multiplicación de números naturales 17 Sección 1.5 División de números naturales 25 Sección 1.6 Resolución de problemas 31 Sección 1.7 Descomposición de un número en factores 37 Sección 1.8 Mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (mcd) 44 Sección 1.9 Jerarquía de las operaciones 53

OBJETIVOS

Sección 1.1 1. Reconocer un número natural 2. Escribir un número natural en forma expandida Para visualizar todos los objetivos del capítulo 1 ingrese al código QR.

Capítulo 1 Los números naturales

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS NATURALES Y EL CERO

SECCIÓN 1.1

Los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y así sucesivamente. Se utilizan para responder preguntas como: ¿Cuánto? ¿Qué tan rápido? ¿Qué tan lejos? s Michael Phelps ganó 23 medallas olímpicas de oro en su carrera como nadador. s El estadounidense adulto promedio lee a una velocidad de 250 a 300 palabras por minuto. s La distancia de conducción de la ciudad de Nueva York a Los Ángeles es de 2.786 millas. El conjunto de números naturales se escribe utilizando llaves { }, como se muestra abajo. Los puntos suspensivos indican que la lista continúa por siempre —no existe el número natural más grande. El número natural más pequeño es el 1.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ESTÁ FORMADO POR LOS NÚMEROS NATURALES Y EL CERO

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }

Objetivo 1

Reconocer un número natural Cuando se escribe un número natural utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se dice que está en la forma estándar (también llamada notación estándar). La posición de un dígito en un número natural determina su valor posicional. En el número 419, el 9 está en la columna de las unidades; el 1 en la columna de las decenas, y el 4 está en la columna de las centenas.

EJEMPLO

AEROPUERTOS. El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más transitado en Estados Unidos: tuvo una afluencia de 101.491.106 pasajeros en 2015. (Fuente: Airports Council International–North America) A. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 4? B. ¿Qué dígito indica las unidades de millón? ESTRATEGIA Se comenzará en la columna de las unidades de 101.491.106. Después, moviéndose a la izquierda, se nombrará cada columna (unidades, decenas, centenas, y así sucesivamente) hasta alcanzar el dígito 4. POR QUÉ Es más sencillo recordar los nombres de las columnas si empieza con el valor posicional más pequeño y después se mueve a las columnas que tienen valores posicionales mayores. SOLUCIÓN A. 101.491.106 Diga “Unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar” a medida que se mueve de columna en columna.

4 cientos mil es el valor posicional del dígito 4. B. 101.491.106 El dígito 1 está en la columna de las unidades de millón.

Objetivo 2

Escribir un número natural en forma expandida En el número 6.352, el dígito 6 está en la columna de las unidades de millar; el 3 está en la columna de las centenas; el 5 está en la columna de las decenas y el 2 está en la columna de las unidades. El significado del 6.352 se vuelve claro cuando se escribe en forma expandida (también llamada notación expandida).

Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero

6.352

6 unidades de millar

3 centenas

5 decenas

2 unidades

300

o 6.352

EJEMPLO

6.000

Escriba cada número en forma expandida. A. 85.427

B. 1.251.609

ESTRATEGIA De izquierda a derecha, escriba el valor posicional de cada dígito y combínelos con símbolos . POR QUÉ El término forma expandida significa escribir el número como una suma de los valores posicionales de cada uno de sus dígitos. SOLUCIÓN A. La forma expandida de 85.427 es: 8 decenas de millar

5 unidades 4 centenas de millar

2 decenas

7 unidades

lo cual puede escribirse como: 80.000

5.000

400

B. La forma expandida de 1.251.609 es: 1 2 centenas 5 decenas 1 6 0 9 unidad de millar de millar unidad centenas decenas unidades de millón de millar Dado que 0 decenas es cero, la forma expandida también puede escribirse como: 1 2 centenas 5 decenas 1 6 9 unidad de millar de millar unidad centenas unidades de millón de millar lo cual puede escribirse como: 1.000.000

Objetivo 3

200.000

1.000

50.000

600

Comparar números naturales utilizando símbolos de desigualdad Los números naturales pueden mostrarse dibujando puntos sobre una recta numérica. Como en una regla, una recta numérica tiene marcas uniformemente separadas. Para construir una recta numérica, se comienza a la izquierda con un punto en la recta que representa el número 0. A este punto se le llama origen. Después, moviéndose a la derecha, se dibujan marcas espaciadas de manera equitativa que se etiquetan con números naturales cuyo valor es sucesivamente creciente. La punta de flecha a la derecha indica que la recta numérica continúa por siempre. Una recta numérica 0

Origen

Punta de flecha

Utilizando el proceso conocido como graficación, se puede representar un solo número o un conjunto de números en una recta numérica. La gráfica de un número es el punto sobre la

Capítulo 1 Los números naturales

marca en la recta numérica que corresponde a ese número. Graficar un número significa localizar su posición en la recta numérica y remarcarlo con un punto grueso. En la recta numérica de abajo se muestran las gráficas del 5 y del 8. 0

A medida que uno avanza a la derecha en la recta numérica, los números aumentan en valor. Debido a que el 8 se encuentra a la derecha del 5, se dice que el 8 es mayor que el 5. El símbolo de desigualdad (“es mayor que”) puede emplearse para escribir este hecho: 8 5

Se lee como “el 8 es mayor que el 5”.

Dado que 8 5, también es verdadero que 5 8. Esto se lee como “el 5 es menor que el 8”.

Objetivo 4

Redondear números naturales REDONDEO DE UN NÚMERO NATURAL

1. Para redondear un número a un cierto valor posicional, localice el dígito a redondear en esa posición. 2. Busque el dígito a examinar, el cual está directamente a la derecha del dígito a redondear. 3. Si el dígito a examinar es 5 o mayor, redondee a la alta sumando 1 al dígito a redondear y reemplazando todos los dígitos a su derecha con 0. Si el dígito a examinar es menor que 5, reemplace este y todos los dígitos a su derecha con 0.

EJEMPLO

CIUDADES DE ESTADOS UNIDOS. Anchorage es la ciudad más grande en Alaska. Redondee la población que se muestra en el letrero y que corresponde a la de Anchorage en 2017: A. al millar más cercano

Anchorage CITY LIMIT Pop. 299,037 Elev. 102 The city of lights and flowers.

B. a la decena de millar más cercana ESTRATEGIA En cada caso, se identificará el dígito a redondear y el dígito a examinar. POR QUÉ Se necesita conocer el valor del dígito a examinar para determinar si se redondea la población a la alta o a la baja. SOLUCIÓN A. El dígito a redondear en la columna de las unidades de millar es el 9. Ya que el dígito a examinar es el 0, y es menor que 5, se redondea a la baja. Dígito a redondear

Dígito a examinar

299.037 Redondeando a la unidad de millar más cercana, la población de Anchorage en 2017 fue de 299.000. B. El dígito a redondear en la columna de las decenas de millar es el 9. Ya que el dígito a examinar es 9 y es mayor que 5, se redondea a la alta: se escribe 0 en la columna de las decenas de millar y se suma 1 a la columna de las centenas de millar. Dígito a redondear

Dígito a examinar

299.037 Redondeando a la decena de millar más cercana, la población de Anchorage en 2017 fue de 300.000.

Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero

Objetivo 5

Leer tablas y gráficas que involucran números naturales La siguiente tabla es un ejemplo del uso de los números naturales. Muestra el número de mujeres que formaron parte de la Cámara de Representantes de Estados Unidos de 2005 a 2015.

Año

Número de representantes mujeres

2005

2007

2009

2011

2013

2015

Otra manera de presentar la información en la tabla es con una gráfica de puntos y líneas. En vez de emplear una barra para graficar el número de representantes mujeres, se utiliza un punto dibujado a la altura correspondiente. Después de dibujar los puntos con información para 2005, 2007, 2009, 2011, 2013 y 2015, estos se conectan para crear la gráfica de puntos y líneas de la figura (b).

Fuente: http://www.cawp.rutgers.edu/ women-us-congress-2015

Número de representantes mujeres

Gráfica de barras

PIENSE DETENIDAMENTE t

ESTUDIANTES DE REINGRESO

“Se considera estudiantes de reingreso a aquellos que tienen 25 años o más, o que han tenido que suspender su trabajo académico por 5 o más años. En el ámbito nacional, este grupo de estudiantes está creciendo a una velocidad sorprendente.”

80 70 60 50

—Vida estudiantil y Departamento de liderazgo, University Union, Cal Poly University, San Luis Obispo

40 30

En la columna I se enlistan algunas preocupaciones comunes expresadas por estudiantes adultos que están considerando regresar a la escuela. Relacione cada preocupación con una respuesta alentadora en la columna II.

20 10

Columna I

Columna II

1. Soy demasiado viejo para aprender. 2. No tengo el tiempo.

a. Varios estudiantes califican para algún tipo de ayuda financiera.

3. No me fue bien en la escuela la primera vez. No creo que una universidad me acepte.

b. Piense que incluso una sola clase lo pone un paso más cercano a su objetivo educativo.

4. Temo que no me adaptaré.

5. No tengo el dinero para pagar una universidad.

c. No hay evidencia de que los estudiantes mayores no puedan aprender igual de bien que los más jóvenes.

2005 2007 2009 2011 2013 2015 Año (a)

Gráfica de puntos y líneas Número de representantes mujeres

En la figura (a), la información en la tabla se representa en una gráfica de barras. La escala horizontal se etiqueta con el nombre “Año” y se muestran los datos de cada 2 años. La escala vertical se etiqueta con el nombre “Número de representantes mujeres” y se mide de 10 en 10. La barra directamente sobre cada año se extiende a una altura que muestra el número de representantes mujeres de la Cámara de Representantes en ese año.

d. Más de 41% de los estudiantes en la universidad son mayores de 25.

50 40

e. Por lo regular, los colegios comunitarios y las escuelas vocacionales tienen una política de admisión abierta.

30 20 10 2005 2007 2009 2011 2013 2015 Año

Fuente: Adaptado a partir de Common Concerns for Adult Students, Minnesota Higher Education Services Office.

(b)

EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS Horizontal es una forma de la palabra horizonte. Piense en el Sol poniéndose sobre el horizonte. Vertical significa en una posición hacia arriba. El salto vertical del jugador de basquetbol profesional LeBron James mide más de 49 pulgadas.

Capítulo 1 Los números naturales

EJERCICIOS 1.1

APLIQUE LO APRENDIDO 16. Considere el número 128.940.

Complete los espacios. 1. Los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son los 2. El conjunto de números

es el {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.

3. Cuando se escribe el cinco mil ochenta y nueve como 5.089, se está escribiendo el número en la forma . 4. Para hacer que los números naturales grandes sean más fáciles de leer, se emplean puntos para separar sus dígitos en grupos de tres, llamados . 5. Cuando el 297 se escribe como 200 90 7, se está escribiendo el 297 en la forma . 6. Utilizando un proceso llamado graficación, se puede representar los números naturales como puntos en una recta . 7. Los símbolos y son símbolos de 8. Si se 630.

el 627 a la decena más cercana, se obtiene

Grafique los siguientes números en una recta numérica. 9. 1, 3, 5, 7 0

a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 8? b. ¿Qué dígito está en la columna de las centenas? c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 2? d. ¿Qué dígito está en la columna de las centenas de millar? 17. Hambruna mundial. En el sitio web Freerice.com, los patrocinadores donan granos de arroz para alimentar a los hambrientos. Entre 2007 y 2017, se donaron 96.128.453.798 granos de arroz. a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 2? b. ¿Qué dígito está en la posición de las unidades de millar de millón? c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3? d. ¿Qué dígito está en la posición de las decenas de millar de millón? 18. Vistas en YouTube*. De acuerdo con el contador en YouTube, hasta el 31 de enero de 2017, el video Gangnam Style por PSY había sido visto 2.739.387.518 veces. a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 5? b. ¿Qué dígito está en el lugar de las decenas de millar?

10. 0, 2, 4, 6, 8

c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 2? 0

d. ¿Qué dígito está en el lugar de las centenas de millar? 11. Los números naturales menores que 6. 0

12. Los números naturales menores que 9. 0

14. Los números naturales entre 0 y 6. 0

19. a. 11

b. 29

20. a. 410

609

b. 3.206

3.231

13. Los números naturales entre 2 y 8. 0

Coloque un símbolo o en el recuadro para formar un enunciado verdadero.

Encuentre los valores posicionales. 15. Considere el número 57.634. a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3? b. ¿Qué dígito está en la columna de los millares? c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 6? d. ¿Qué dígito está en la columna de las decenas de millar?

21. a. 12.321

12.209

b. 23.223

23.231

22. a. 178.989

178.898

b. 850.234

850.342

23. Redondee 79.593 a la(al) . . . más cercana(o). a. decena

b. centena

c. millar

d. decena de millar

24. Redondee 5.925.830 a la(al) . . . más cercana(o). a. millar

b. decena de millar

c. centena de millar

d. unidad de millón

25. Redondee 419.161 dólares a la(al) . . . más cercana(o). a. decena de dólares

b. centena de dólares

c. unidad de millar de dólares

d. decena de millar de dólares

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

26. Programa de concursos. En el programa de televisión El precio es correcto, el concursante ganador es la persona que se acerca más (sin pasarse) al precio del artículo cotizado. ¿Cuál concursante ganará si están cotizando una recámara que tiene un precio al público de 4.745 dólares? Los concursantes sugirieron los siguientes precios:

Número de familias que rentan (en millones)

Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero

18 2005

2015

14 12 10 8 6 4 2 Menos de 25.000

25. 000– 49. 999

50. 000– 99. 999

100. 000 o más

Rango salarial (en dólares)

Fuente: JCHS tabulations of U.S. Census Bureau, Current Population Surveys

27. Presidentes. La siguiente lista muestra los 10 presidentes de Estados Unidos más jóvenes y sus edades (en años/días) cuando tomaron el puesto. Construya una tabla de dos columnas que represente la información en orden, comenzando con el presidente más joven.

29. Deportes. La gráfica muestra las velocidades máximas que alcanzó la pelota en cinco deportes. a. ¿En qué deporte la pelota alcanzó la velocidad máxima registrada? Estime la velocidad. b. ¿En qué deporte la pelota alcanzó la velocidad mínima registrada? Estime la velocidad. c. ¿En qué deporte se registró la segunda velocidad máxima alcanzada por la pelota? Estime la velocidad.

J. Polk 49 años/122 días

U. Grant 46 años/236 días

G. Cleveland 47 años/351 días

J. Kennedy 43 años/236 días

W. Clinton 46 años/154 días

F. Pierce 48 años/101 días

M. Filmore 50 años/184 días

B. Obama 47 años/169 días

200

J. Garﬁeld 49 años/105 días

T. Roosevelt 42 años/322 días

180

a. ¿Qué rango salarial tuvo el mayor número de familias que rentan?

Velocidad (millas por hora)

28. Inquilinos. El número de familias que rentan una vivienda en Estados Unidos se incrementó en todos los rangos salariales entre 2005 y 2015. Utilice la gráfica en la siguiente columna para responder las siguientes preguntas.

220

160 140 120 100 80 60 40 20

b. ¿Qué rango salarial tuvo el menor número de familias que rentan? c. Estime el número de familias que rentaron en 2015 redondeado al millón más cercano, dentro del rango de ingresos de 25.000 a 49.999 dólares. d. Estime el número de familias que rentaron en 2005 redondeado al millón más cercano, dentro del rango de ingresos de 100.000 dólares o más.

Beisbol

Golf

Ping-Pong

Tenis

Volibol

30. Edición tipográﬁca. Edite el siguiente extracto de un libro de historia, encierre en un círculo todos los números escritos en palabras y reescríbalos en forma estándar utilizando dígitos. Abraham Lincoln fue electo con un total de un millón ochocientos sesenta y cinco mil quinientos noventa y tres votos; obtuvo cuatrocientos ochenta y dos mil ochocientos ochenta más que el segundo candidato, Stephen Douglas. Lincoln fue asesinado después de haber estado un total de mil quinientos tres días en servicio. El discurso en Gettysburg de Lincoln, de solo unas doscientas

Capítulo 1 Los números naturales

sesenta y nueve palabras de largo, fue pronunciado en el sitio de batalla donde ocurrieron cuarenta y tres mil cuatrocientas cuarenta y nueve bajas.

32. Nubes. Grafique la altitud de cada tipo de nube de la tabla en la recta numérica vertical que aparece a un costado de ella.

31. Velocidad de la luz. La velocidad de la luz es de 983.571.072 pies por segundo.

Tipo de nube

a. ¿Cuál es el valor posicional de 5? b. Redondee la velocidad de la luz a la decena de millón más cercana. Dé su respuesta en notación estándar y en notación expandida. c. Redondee la velocidad de la luz a la centena de millón más cercana. Dé su respuesta en notación estándar y en forma escrita en palabras.

SECCIÓN 1.2

Altitud (pies) 40.000 pies

Altocúmulo

21.000

Cirrocúmulo

37.000

Cirro

38.000

25.000 pies

Cumulonimbo

15.000

20.000 pies

Cúmulo

8.000

15.000 pies

Estratocúmulo

9.000

Estrato

4.000

35.000 pies 30.000 pies

10.000 pies 5.000 pies 0 pies

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES Todos usan la suma de números naturales. Por ejemplo, para preparar un presupuesto anual, un contador suma costos de partidas separadas. Para determinar el número de anuarios a ordenar, un director suma el número de estudiantes en cada grado. Una azafata suma el número de personas en las secciones de primera clase y clase económica para hallar el número total de pasajeros en un avión.

Objetivo 1

Aplicar las propiedades de la adición de números naturales Para sumar números naturales, piense en juntar conjuntos de objetos similares. Por ejemplo, si se junta un conjunto de 4 estrellas con un conjunto de 5 estrellas, el resultado es un conjunto de 9 estrellas. 8Q FRQMXQWR GH HVWUHOODV

8Q FRQMXQWR GH HVWUHOODV

6H FRPELQDQ HVWRV GRV FRQMXQWRV

CONSEJ O ÚTIL

8Q FRQMXQWR GH HVWUHOODV

SDUD REWHQHU HVWH FRQMXQWR

En la siguiente operación se sumaron los dígitos en cada columna de valor posicional de arriba hacia abajo. Para comprobar la respuesta se puede sumar de abajo hacia arriba. El sumar hacia abajo o hacia arriba debe dar el mismo resultado. Si no lo es así, se ha cometido un error y se debe repetir el proceso. En el objetivo 2, el cual sigue a continuación, aprenderá por qué los dos resultados deben ser iguales.

Primero sume de arriba hacia abajo

17.802 9.835 692 7.275 17.802

Para comprobar, sume de abajo hacia arriba

Sección 1.2 Adición de números naturales

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

El orden en el que se suman los números naturales no altera el resultado. Por ejemplo, 6 5 5 6 Para encontrar la suma de tres números naturales, se suman dos de ellos y después se adhiere la suma al tercer número. En los siguientes ejemplos, se suma 3 4 7 de dos maneras. Se emplean los símbolos de agrupación ( ), llamados paréntesis, para mostrar esto. Es práctica estándar desarrollar primero las operaciones dentro del paréntesis. Los pasos de las soluciones se escriben en forma horizontal. Método 1: agrupe 3 y 4 (3 4) 7 7 7 Debido a los 14

Método 2: agrupe 4 y 7 3 (4 7) 3 11 Debido a los

paréntesis, sume 3 y 4 primero para obtener 7. Después sume 7 y 7 para obtener 14.

paréntesis, sume 4 y 7 primero para obtener 11. Después sume 3 y 11 para obtener 14.

Mismo resultado

De cualquier manera, la respuesta es 14. Este ejemplo ilustra que cambiar la agrupación cuando se suman números no afecta el resultado. A esta propiedad se le llama propiedad asociativa de la suma.

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA

La manera en que se agrupan los números naturales no altera el resultado. Por ejemplo, (2 5) 4 2 (5 4) En ocasiones, una aplicación de la propiedad asociativa puede simplificar un cálculo.

EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Conmutativa es una forma de la palabra conmutar, que significa intercambiar una cosa por otra.

EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS Asociativa es una forma de la palabra asociar, que significa juntar una cosa con otra para concurrir a un mismo fin. La WNBA (Asociación Nacional de Basquetbol Femenino) es un grupo de 12 equipos profesionales de basquetbol.

PROPIEDAD DE LA SUMA CON EL ELEMENTO NEUTRO

La suma de cualquier número natural y el 0 es el mismo número natural. Por ejemplo, 3 0 3,

5 0 5

0 9 9

Capítulo 1 Los números naturales

EJEMPLO

Sume:

A. 3 5 17 2 3

201 867 49

ESTRATEGIA Se buscarán grupos de dos (o tres números) cuya suma sea 10, o 20, o 30, y así sucesivamente. POR QUÉ Este método es más sencillo que sumar números no relacionados y reduce las posibilidades de un error. SOLUCIÓN Conjuntamente, las propiedades conmutativa y asociativa de la suma permiten utilizar cualquier orden o agrupación para sumar números naturales. A. Se escribirán los pasos de la solución en forma horizontal. 3 + 5 + 17 + 2 + 3 20 + 10

Piense: 3 17 20 y 5 2 3 10.

30 B. Se explica por separado cada paso de la suma. Cuando usted resuelva, su solución debe parecerse al último paso. 1

2 0 1 8 6 7 4 9 7 1

2 0 1 8 6 7 4 9 1 7 1

Sume primero los números en color en la columna de las unidades. Piense: (9 + 1) + 7 = 10 + 7 = 17. Escriba el 7 y se lleva el 1.

Sume los números en color en la columna de las decenas. Piense: (6 + 4) + 1 = 10 + 1 = 11. Escriba el 1 y se lleva el 1.

2 0 1 8 6 7 4 9 1.1 1 7

Sume los números en color en la columna de las centenas. Piense: (2 + 8) + 1 = 10 + 1 = 11.

La suma es 1.117.

CONSEJ O ÚTIL

Se utiliza la aproximación para encontrar una respuesta cercana a la exacta para un problema. Las aproximaciones son útiles de dos maneras. Primero, sirven como control de precisión para hallar errores. Si una respuesta no parece razonable cuando se compara con la aproximación, el problema original debe resolverse de nuevo. Segundo, algunas situaciones solo necesitan una respuesta aproximada en vez de una respuesta exacta. Existen varias maneras de aproximar, pero el objetivo es el mismo: simplificar los números en el problema para que los cálculos puedan realizarse con facilidad y rapidez. A un método popular de estimación se le llama redondeo por la izquierda.

Sección 1.2 Adición de números naturales

Objetivo 2

Resolver problemas de aplicación sumando números naturales Dado que los problemas de aplicación casi siempre se escriben en palabras, la comprensión lectora es una habilidad muy importante.

LOBOS EN PELIGRO DE EXTINCIÓN. En 1989, había 1.814 lobos grises en la región occidental de los Grandes Lagos en Minesota, Wisconsin y Michigan. Para el año 2015 hubo un incremento de 1.792 lobos. Encuentre el número total de lobos grises al año 2015 en esa región. (Fuente: U.S. Fish and Wildlife Service)

EJEMPLO

ESTRATEGIA Se leerá con cuidado el problema buscando palabras o frases clave. POR QUÉ Las palabras y frases clave indican cuál(es) operación(es) aritmética(s) debe(n) utilizarse para resolver el problema.

SOLUCIÓN La frase incremento de indica suma. Con eso en mente, se traducen las palabras del problema a números y símbolos. El número de lobos grises en 2015

es igual a

el número de lobos grises en 1989

incrementado en

1.792

El número de lobos grises en 2015

1.814

1.792

Use la forma vertical para llevar a cabo la suma: 1 1

1.814 1.792 3.606 El número total de lobos grises en el año 2015, en la región occidental de los Grandes Lagos, fue de 3.606.

DINERO. Encuentre el perímetro del billete de un dólar mostrado abajo. mm representa milímetros

Ancho = 65 mm Largo = 156 mm

EJEMPLO

ESTRATEGIA Se sumarán los dos largos y los dos anchos del billete de un dólar. POR QUÉ Un billete de un dólar es de forma rectangular y así es como se encuentra el perímetro de un rectángulo.

Capítulo 1 Los números naturales

SOLUCIÓN Se traducen las palabras del problema a números y símbolos. El perímetro del billete de un dólar

es el largo del el largo del el ancho del el ancho igual billete de más billete de más billete de un más del billete de a un dólar un dólar dólar un dólar

El perímetro del billete de un dólar

156

Use la forma vertical para llevar a cabo la suma: 22

156 156 65 65 442 El perímetro del billete de un dólar es de 442 mm. Para ver si este resultado es razonable se aproxima la respuesta. Debido a que el rectángulo es alrededor de 160 mm por 70 mm, su perímetro es de aproximadamente 160 160 70 70, o 460 mm. Una respuesta de 442 mm es razonable.

EJERCICIOS 1.2

APLIQUE LO APRENDIDO

Rellene los espacios con la información apropiada. 1. La propiedad de la suma enuncia que el orden en el que se suman los números naturales no cambia su suma. 2. La propiedad de la suma enuncia que la manera en la que se agrupan los números naturales no cambia su suma. 3. Para ver si el resultado de una suma es razonable, se pueden redondear los sumandos y la suma. 4. Las palabras elevar, ganancia, total e incremento se utilizan con frecuencia para indicar la operación de .

5. ¿Cuál propiedad de la suma se muestra? a. 3 4 4 3 b. (3 4) 5 3 (4 5) c. (36 58) 32 36 (58 32) d. 319 507 507 319 6. Cohetes. Se empleó un cohete Saturno V para lanzar a la tripulación del Apollo 11 a la Luna. La primera plataforma del cohete era de 138 pies de alto, la segunda plataforma era de 98 pies de alto y la tercera plataforma era de 46 pies de alto. Sobre la tercera plataforma estaba posado el módulo lunar de 54 pies de alto y una torre de escape de 28 pies de alto. ¿Cuál era la altura total de la nave espacial?

Sección 1.2 Adición de números naturales

7. Comida rápida. Encuentre el número total de calorías en el siguiente almuerzo de McDonald’s*: Big Mac* (540 calorías), papas a la francesa (230 calorías), postre de yogur con fruta (150 calorías), Coca-Cola* clásica mediana (170 calorías). 8. Salario de CEO. En 2015, el director general (CEO) de la compañía Walt Disney*, Robert A. Iger, tenía un salario base de 2.548.077 dólares. Ganó además un bono adicional de 42.365.536 dólares en adjudicación de acciones, plan de compensaciones e incentivos, pensiones y otras prestaciones. Encuentre el total de ingresos que Robert Iger tuvo en 2015.

Rubro

Cantidad

Viajes

$2.775

Suministros

$10.553

Desarrollo

$3.225

Mantenimiento

$1.075

13. Dulce. La gráfica de abajo muestra las ventas de dulces en Estados Unidos en 2016 durante cuatro periodos de fiestas. Encuentre la suma de estas ventas de dulces de temporada.

San Valentín

Pascuas

$1.049.539.593

11. Seguridad de puentes. En la tabla siguiente se muestran los resultados del reporte 2017 sobre las condiciones de los puentes en las autopistas de Estados Unidos. Cada puente fue clasificado como seguro, necesita reparación o debe reemplazarse. Complete la tabla.

$547.887.386

$681.386.586

10. Helado. Baskin-Robbins* es la cadena de tiendas de helados más grande del mundo. En 2016, había 2.524 tiendas en Estados Unidos y 5.198 tiendas repartidas en otros 50 países alrededor del mundo. Encuentre el total de tiendas de Baskin-Robbins que había en el mundo en 2016. (Fuente: entrepreneur.com)

$1.228.600.498

9. Sitios web. En junio de 2016, 243.547.000 personas de 15 años o más visitaron el sitio de Apple iTunes* al menos una vez. El número de personas que visitó el sitio de Alibaba* durante ese mismo mes fue de 64.511.000 más que el del sitio de iTunes. ¿Cuántos visitantes tuvo en total el sitio de Alibaba? (Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2017)

Halloween Navidad

Fuente: Nielsen AOD

Número de puentes seguros

Número de puentes que necesitan repararse

464.859

61.365

Número de puentes que deben reemplazarse

Número total de puentes

14. Tapete. Calcule la cantidad de moldura utilizada en el tapete de la figura de abajo.

46 in

84.525 Fuente: Bureau of Transportation Statistics. Moldura de plástico

50 in

12. Presupuestos. El jefe de un departamento en una compañía preparó un presupuesto anual con los rubros mostrados. Encuentre el número proyectado que gastarán. 10 in

Rubro

Cantidad

Equipo

$17.242

Utilidades

$5.443

6 in

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

Capítulo 1 Los números naturales

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

SECCIÓN 1.3

Todos utilizan la resta de números naturales. Por ejemplo, para encontrar el precio en rebaja de un artículo, un empleado de una tienda resta el descuento del precio regular. Para medir el cambio climático, un científico resta las temperaturas altas y bajas. Un camionero resta las lecturas del odómetro para calcular el número de millas conducidas en un viaje.

Objetivo 1

Restar números naturales Cuando se resten dos números, es importante que se escriban en el orden correcto, debido a que la resta no es conmutativa. Es decir, en el ejemplo 2, si se hubiese traducido de manera incorrecta “Reste 235 de 6.496” como 235 6.496, se ve que la diferencia no es de 6.261. De hecho, la diferencia incluso no es un número natural.

EJEMPLO

Reste 235 de 6.496. ESTRATEGIA Se traducirá el enunciado a símbolos matemáticos y después se llevará a cabo la resta. Se debe tener cuidado cuando se traduce la instrucción para restar un número de otro número. POR QUÉ El orden de los números en el enunciado debe invertirse cuando se traduce a símbolos. SOLUCIÓN Dado que 235 es el número a restarse, es el sustraendo. Reste 235 de

6.496

6.496 235 Para encontrar la diferencia, se escribe la resta en forma vertical y se restan los dígitos en cada columna, comenzando de derecha a izquierda. 6.4 9 6 235 6.2 6 1 Baje el 6 en la columna de los millares.

Cuando se resta 235 de 6.496, la diferencia es de 6.261. ¡CUIDADO! Las expresiones pueden contener más de una operación. Este es el caso para la expresión 27 – 16 + 5, la cual contiene una suma y una resta. Para evaluar (hallar el valor de) expresiones escritas en forma horizontal que involucran suma y resta se desarrollan las operaciones a medida que aparecen de izquierda a derecha.

EJEMPLO

Resolver problemas de aplicación restando números naturales CABALLOS. Big Jake, el caballo más grande del mundo, pesa 2.600 libras. Thumbelina, el caballo más pequeño del mundo, pesa 57 libras. ¿Cuánto más que Thumbelina pesa Big Jake? (Fuente: Guinness Book of World Records, 2013)

Objetivo 2

Sección 1.3 Sustracción de números naturales

ESTRATEGIA Se leerá con cuidado el problema, buscando una palabra o frase clave. POR QUÉ Las palabras y frases clave indican cuál(es) operación(es) aritmética(s) debe(n) utilizarse para resolver el problema. SOLUCIÓN En el segundo enunciado del problema, la frase Cuánto más indica que para conocer la diferencia se deben restar los pesos de los caballos. Para ello, se traducen las palabras del problema a números y símbolos. El número de libras que Big Jake pesa más

es igual al

peso de Big Jake

menos el

peso de Thumbelina

El número de libras que Big Jake pesa más

2.600

Use la forma vertical para desarrollar la resta: 9 5 1010

2.600 57 2.543 Big Jake pesa 2.543 libras más que Thumbelina.

EJEMPLO

ESTACIONES DE RADIO. En 2005, había 763 estaciones de clásicos en la radio de Estados Unidos. Para 2016 había 412 menos. ¿Cuántas estaciones de clásicos había en 2016? (Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2017) ESTRATEGIA Se leerá cuidadosamente el problema y se buscará una palabra o frase clave. POR QUÉ Las palabras y frases clave indican cuál(es) operación(es) aritmética(s) debe(n) utilizarse para resolver el problema. SOLUCIÓN La frase clave 412 menos indica una sustracción o resta. Se traducen las palabras del problema en números y símbolos. menos el número de estaciones de clásicos en El número de estaciones de es 412 que radio de clásicos en 2016 la radio de Estados Unidos en 2005 El número de estaciones de 763 radio de clásicos en 2016

412

Use la forma vertical de la resta: 763 412 351 En 2016, había 351 estaciones de radio de clásicos en Estados Unidos.

Capítulo 1 Los números naturales

EJERCICIOS 1.3

APLIQUE LO APRENDIDO del mundo pesaba 351 libras. ¿Cuánto más pesaba la calabaza? (Fuente: ibtimes.com, guinnessworldrecords.com)

Complete los espacios. 1. La resta 7 3 4 está relacionada con el enunciado de adición . 2. Puede utilizarse la operación de para comprobar el resultado de una resta. Si una resta se resuelve de manera correcta, la de la diferencia y del sustraendo siempre será igual al minuendo. 3. Para evaluar (hallar el valor de) una expresión que contiene suma y resta, se desarrollan las operaciones a medida que aparecen de a . 4. Para responder preguntas acerca de cuánto más o cuántos más, se puede utilizar la .

42. Camionetas. La Nissan Titan King Cab XE* pesa 5.230 libras y la Honda Ridgeline RTL* pesa 4.553 libras. ¿Cuánto más pesa la Nissan Titan? 43. Mercados agrícolas. Mire la gráfica de abajo. ¿Cuántos más mercados agrícolas había en el año 2014 comparados con los del año 2010? 44. Mercados agrícolas. Mire la gráfica de abajo. ¿Entre qué par de años hubo el mayor incremento en el número de mercados agrícolas en Estados Unidos? ¿Cuál fue el incremento? Número de mercados agrícolas en Estados Unidos

10. 863 39 11

11. 966 143 61

12. 659 235 62

2010

2011

2012 Año

2013

2014

Fuente: USDA-AMS-marketing services division

9. 574 47 13

8.268

8. 89 47 6

8.144

7. 56 31 12

7.864

6. 47 23 4

7.175

5. 35 12 6

6.132

Evalúe cada expresión.

Desarrolle las operaciones. 13. 416 357

14. 787 696

15.

16.

3.430 529

2.470 863

17. Reste 199 de 301.

45. Dietas. Use las lecturas de la báscula de baño mostradas abajo para encontrar el número de libras que perdió una persona a dieta.

18. Reste 78 de 2.047. 367 347

20.

224 122

21. 633 598 30

22. 600 497 60

23. 420 390

24. 330 270

25. 20.007 78

26. 70.006 48

27. 852 695 40

28. 397 348 65

29.

17.246 6.789

30.

34.510 27.593

31.

15.700 15.397

32.

35.600 34.799

33. Reste 1.249 de 50.009. 34. Reste 2.198 de 20.020. 35. 120 30 40 37.

167.305 23.746

39. 29.307 10.008

36. 600 99 54 38.

393.001 35.002

40. 40.012 19.045

41. Récords mundiales. La calabaza más grande del mundo pesaba 2.623 libras y la sandía más grande

Octubre

Enero

46. Trasplantes. Vea la gráfica de abajo. Encuentre el decremento en el número de pacientes que esperan un trasplante de hígado de: a. 2006 a 2008

Número de pacientes

19.

20.000 18.000 16.000 17.371 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 2006

b. 2012 a 2014

Lista de espera para trasplantes de hígado

16.646

16.089

16.795

16.391 14.652

2008

2010

2012

2014

2016

Año Fuente: Organ Procurement and Transplant Network, United Network for Organ Sharing

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

Sección 1.4 Multiplicación de números naturales

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

SECCIÓN 1.4

Todos usan la multiplicación de números naturales. Por ejemplo, para duplicar una receta, un cocinero multiplica la cantidad de cada ingrediente por dos. Para determinar la superficie del piso de un comedor, un vendedor de alfombras multiplica la longitud del cuarto por su ancho. Un contador multiplica el número de horas trabajadas por la tarifa por hora para calcular el ingreso semanal de los empleados.

Objetivo 1

Multiplicar números naturales por números de un dígito En la siguiente representación hay 4 renglones y cada renglón tiene 5 estrellas.

4 renglones

5 estrellas en cada renglón

Se puede encontrar el número total de estrellas en la representación sumando: 5 5 5 5 20. Este problema también puede resolverse utilizando un proceso más sencillo llamado multiplicación. La multiplicación de números naturales es una suma repetitiva y se escribe utilizando un símbolo de multiplicación , el cual se lee como “por”. En vez de sumar cuatro veces el 5 para obtener 20, se puede multiplicar el 4 y el 5 para obtener 20. Adición repetitiva

Multiplicación

5 5 5 5

4 5 20

Se lee como “4 por 5 igual a (o es) 20”.

Los problemas de multiplicación se pueden escribir en forma horizontal o vertical. A los números que se están multiplicando se les llama factores, y a la respuesta se le llama producto. Forma horizontal 4

Factor Factor

Forma vertical 20

Producto

5 4 20

Factor Factor Producto

También puede utilizarse un punto centrado o paréntesis ( ) para escribir una multiplicación en forma horizontal.

MULTIPLICACIÓN POR 10, 100, 1.000, ETCÉTERA

Para hallar el producto de un entero no negativo y el 10, 100, 1.000, etcétera, agregue a la derecha del número natural el número de ceros en ese número.

EJEMPLO

Multiplique: A. 14 300

B. 3.500 50.000

ESTRATEGIA Se multiplicarán los primeros dígitos de cada factor diferentes de cero. A ese producto, se le pegará la suma del número de ceros finales en los factores. POR QUÉ Este método es más rápido que la multiplicación estándar en forma vertical de factores que contienen varios ceros.

Capítulo 1 Los números naturales

SOLUCIÓN A. El factor 300 tiene dos ceros finales. 14 300 4.200

Pegue dos ceros después del 42.

Multiplique el 14 y el 3 para obtener 42.

14 3 42

B. Los factores 3.500 y 50.000 tienen un total de seis ceros finales. 3.500 50.000 175.000.000

Pegue seis ceros después del 175.

Multiplique el 35 y el 5 para obtener 175.

Objetivo 2

EJEMPLO

35 5 175

Multiplicar números naturales por números con dos (o más) dígitos

Multiplique: 23 436 ESTRATEGIA Se escribirá la multiplicación en forma vertical. Después se multiplicarán el 436 por 3 y por 20 y se sumarán estos productos. POR QUÉ Dado que 23 3 20, se puede multiplicar el 436 por 3 y luego por 20 y sumar estos productos. SOLUCIÓN Se explica por separado cada paso de la multiplicación. La solución que usted proponga solo necesita parecerse al último paso.

Forma vertical

4 3 6 2 3

Columna de las centenas Columna de las decenas Columna de las unidades La multiplicación en forma vertical es con frecuencia más sencilla si el número con la mayor cantidad de dígitos se escribe en la parte superior.

Se comienza multiplicando el 436 por 3. 1

436 23 8

Multiplique el 6 por 3. El producto es 18. Escriba el 8 en la columna de las unidades y acarree el 1 a la columna de las decenas.

1 1

436 23 08

Multiplique el 3 por 3. El producto es 9. Al 9 súmele el 1 acarreado para obtener 10. Escriba el 0 en la columna de las decenas y acarree el 1 a la columna de las centenas.

1 1

436 23 1.3 0 8

Multiplique el 4 por 3. El producto es 12. Sume el 12 al 1 acarreado para obtener 13. Escriba el 13.

Se continúa multiplicando el 436 por 2 decenas, o 20. Si se piensa en 20 como 2 10, entonces simplemente se multiplica el 436 por 2 y se pega un cero al resultado.

Sección 1.4 Multiplicación de números naturales

1 1 1

436 23 1.3 0 8 20

Escriba el 0 que es parte del resultado de 20 436 en la columna de las unidades (mostrado en azul). Después multiplique el 6 por 2. El producto es 12. Escriba el 2 en la columna de las decenas y acarree el 1.

1 1 1

436 23 1.3 0 8 720

Multiplique el 3 por 2. El producto es 6. Sume el 6 al 1 acarreado para obtener 7. Escriba el 7 en la columna de las centenas. No hay acarreo.

1 1 1

436 23 1.3 0 8 8.7 2 0

Multiplique el 4 por 2. El producto es 8. No hay dígito acarreado a sumar. Escriba el 8 en la columna de las unidades de millar.

1 1 1

436 23 1.3 0 8 8.7 2 0 1 0.0 2 8

Dibuje otra línea debajo de los dos renglones completados. Sume columna por columna, comenzando de derecha a izquierda. Esta suma da el producto del 436 y del 23.

El producto es 10.028.

Cuando un factor en la multiplicación contiene uno o más ceros, se debe introducir con cuidado el número correcto de ceros cuando se escriban los productos parciales.

EJEMPLO

Multiplique: A. 406 253

B. 3.009(2.007)

ESTRATEGIA Se pensará en el 406 como 6 400 y en el 3.009 como 9 3.000. POR QUÉ Pensar en los multiplicadores (406 y 3.009) de esta manera es de utilidad para determinar el número correcto de ceros en los productos parciales. SOLUCIÓN Se utilizará la forma vertical para desarrollar cada multiplicación. A. Dado que el 406 6 400, se multiplicará el 253 por 6 y luego por 400 y se sumarán estos productos parciales. 253 406 1.518 101.200 102.718

6 253 400 253. Piense en el 400 como 4 100 y simplemente multiplique el 253 por 4 y pegue dos ceros (mostrados en azul) al resultado.

El producto es 102.718.

Capítulo 1 Los números naturales

B. Dado que el 3.009 9 3.000, se multiplicará el 2.007 por 9 y por 3.000 y se sumarán estos productos parciales. 2.007 3.009 18.063 6.021.000 6.039.063

9 2.007 3.000 2.007. Piense en el 3.000 como 3 1.000 y simplemente multiplique el 2.007 por 3 y pegue tres ceros (mostrados en azul) al resultado.

El producto es 6.039.063.

EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS

En el ejemplo 2, a los números 1.308 y 8.720 se les llama productos parciales. Los productos parciales se suman para obtener la respuesta, 10.028. La palabra parcial significa solo una parte, como en un eclipse parcial de Luna. 436 23 1.3 0 8 8.7 2 0 1 0.0 2 8

Objetivo 3

Aplicar las propiedades de la multiplicación ¿Alguna vez ha notado que dos números naturales pueden multiplicarse en cualquier orden debido a que el resultado es el mismo? Por ejemplo, 4 6 24

6 4 24

Este ejemplo ilustra la propiedad conmutativa de la multiplicación.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

El orden en que se multiplican los números naturales no altera el producto. Por ejemplo: 7 5 5 7 Siempre que se multiplica un número natural por 0, el producto es 0. Por ejemplo, 0 5 0,

0 8 0

9 0 0

Siempre que se multiplica un número natural por 1, el número sigue siendo el mismo. Por ejemplo, 3 1 3,

7 1 7

1 9 9

Estos ejemplos ilustran las propiedades de la multiplicación del 0 y del 1.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DEL 0 Y DEL 1

El producto de cualquier número natural y el 0 es 0. El producto de cualquier número natural y el 1 es el mismo número natural.

Sección 1.4 Multiplicación de números naturales

Para multiplicar tres números, primero se multiplican dos de ellos y después se multiplica ese resultado por el tercer número. En los siguientes ejemplos, se multiplica 3 2 4 de dos maneras. Los paréntesis muestran cuál multiplicación se desarrolla primero. Los pasos de las soluciones se escriben en forma horizontal. Método 1: agrupe 3 2 (3 2) 4 6 4 24

Método 2: agrupe 2 4

Multiplique el 3 y el 2 para obtener 6. Multiplique el 6 y el 4 para obtener 24.

3 (2 4) 3 8 24

Primero multiplique el 2 y el 4 para obtener 8. Después multiplique el 3 y el 8 para obtener 24.

Mismo resultado

De cualquier manera, la respuesta es 24. Este ejemplo ilustra que cambiar el agrupamiento cuando se multiplican números no afecta el resultado. A esta propiedad se le llama propiedad asociativa de la multiplicación.

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

La manera en que se agrupan los números naturales no altera el producto. Por ejemplo: (2 3) 5 = 2 (3 5) En ocasiones, una aplicación de la propiedad asociativa puede simplificar un cálculo.

EJEMPLO

Encuentre el producto:

(17 ? 50) ? 2

ESTRATEGIA Se utilizará la propiedad asociativa para agrupar el 50 con el 2. POR QUÉ Es de utilidad reagrupar debido a que el 50 y el 2 son un par de números que se multiplican con facilidad. SOLUCIÓN Se escribirá la solución en forma horizontal. (17 ? 50) ? 2 17 ? (50 ? 2)

Objetivo 4

Use la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar los factores.

17 ? 100

Realice primero la multiplicación dentro de los paréntesis.

1.700

Dado que 100 tiene dos ceros, pegue dos ceros después del 17.

Aproximar productos de números naturales Se emplea la aproximación para hallar una respuesta cercana a la exacta para un problema.

EJEMPLO

Aproxime el producto: 59 ? 334 ESTRATEGIA Se utilizará el redondeo por la izquierda para aproximar los factores 59 y 334. Después se encontrará el producto de las aproximaciones. POR QUÉ El redondeo por la izquierda produce números naturales que contienen varios ceros. Tales números son más sencillos de multiplicar.

Capítulo 1 Los números naturales

SOLUCIÓN Los factores se redondean a su mayor valor posicional para que todos sus dígitos menos el primero sean cero. Redondee a la decena más cercana.

59 ? 334

60 ? 300 Redondee a la centena más cercana.

Para hallar el producto de las aproximaciones, 60 ? 300, simplemente se multiplica el 6 por 3, para obtener 18 y se pegan 3 ceros. Por tanto, la aproximación es de 18.000. Si se calcula 59 ? 334, el producto es exactamente 19.706. Observe que la aproximación es cercana: solo es 1.706 menos que 19.706.

Objetivo 5

Resolver problemas de aplicación multiplicando números naturales Los problemas de aplicación que involucran una suma repetitiva con frecuencia son más fáciles de resolver utilizando la multiplicación.

EJEMPLO

PÍXELES. Refiérase a la ilustración a la derecha. Los pequeños cuadrados, llamados píxeles, crean las imágenes digitales observadas en las pantallas de computadoras. Si una pantalla de 14 pulgadas tiene 640 píxeles de lado a lado y 480 píxeles de arriba abajo, ¿cuántos píxeles hay en la pantalla? ESTRATEGIA Se multiplicará 640 por 480 para determinar el número de píxeles que tiene la pantalla. POR QUÉ Los píxeles forman un arreglo rectangular de 640 renglones y 480 columnas en la pantalla. Puede utilizarse la multiplicación para contar los objetos en un arreglo rectangular. SOLUCIÓN Se traducen las palabras del problema a números y símbolos. El número de píxeles en la pantalla

es igual al

número de píxeles en un renglón

por el

número de píxeles en una columna

El número de píxeles en la pantalla

640

480

Para hallar el producto de 640 y 480, se utiliza la forma vertical para multiplicar el 64 y el 48 y se pegan dos ceros a ese resultado. 48 64 192 2.880 3.072 Dado que el producto del 64 y del 48 es 3.072, el producto de 640 y 480 es 307.200. La pantalla tiene 307.200 píxeles.

Sección 1.4 Multiplicación de números naturales

USO DE LA CALCULADORA t LA TECLA DE MULTIPLICACIÓN: SEGUNDOS EN UN AÑO

Hay 60 segundos en 1 minuto, 60 minutos en 1 hora, 24 horas en 1 día y 365 días en 1 año. Se puede encontrar el número de segundos en 1 año utilizando la tecla de multiplicación en una calculadora. 31.536.000

60 60 24 364 En algunos modelos de calculadora, se presiona la tecla para que se muestre el resultado. Hay 31.536.000 segundos en 1 año.

EJERCICIOS 1.4

ENTER en vez de la tecla

APLIQUE LO APRENDIDO

Complete los espacios.

c. La cantidad de vidrio claro para entintar.

1. a. Escriba la suma repetitiva 8 8 8 8 como una multiplicación.

d. El número de pies de cerca necesarios para delimitar un campo de juego.

b. Escriba la multiplicación 7 15 como una suma repetitiva.

Desarrolle cada multiplicación sin utilizar lápiz y papel o una calculadora.

2. a. Complete el espacio: abajo se muestra un rectangular de cuadrados magenta. b. Escriba un enunciado de multiplicación que proporcionará el número de cuadrados magenta.

6. 37 100

7. 63 1.000

8. 75 10

9. 88 10.000

10. 107(10.000)

11. 323(100)

12. 512(1.000)

13. 673(10)

Multiplique.

3. a. ¿Cuántos ceros se deben pegar a la derecha del 25 para encontrar 25 1.000? b. ¿Cuántos ceros se deben pegar a la derecha del 8 para encontrar 400 2.000? 4. a. Utilizando los números 5 y 9, escriba un enunciado que ilustre la propiedad conmutativa de la multiplicación. b. Utilizando los números 2, 3 y 4, escriba un enunciado que ilustre la propiedad asociativa de la multiplicación. 5. Determine si debe aplicarse el concepto de perímetro o el de área para dar respuesta a los ejercicios listados a continuación: a. La cantidad de superficie de un piso que se va a alfombrar. b. El número de pulgadas de encaje necesarias para adornar los lados de un pañuelo.

14. 68 40

15. 83 30

16. 56 200

17. 222 500

18. 130(3.000)

19. 630(7.000)

20. 2.700(40.000)

21. 5.100(80.000)

Multiplique. 22. 73 128

23. 54 173

24. 64(287)

25. 72(461)

Multiplique. 26. 602 679

27. 504 729

28. 3.002(5.619)

29. 2.003(1.376)

Aproxime cada producto. 30. 86 249

31. 56 631

32. 215 1.908

33. 434 3.789

Capítulo 1 Los números naturales

34. Cereales para el desayuno. Un productor de cereales anuncia “Dos tazas de pasas en cada caja”. Encuentre el número de tazas de pasas en un contenedor con 36 cajas de cereal.

a. Para la conducción en ciudad, ¿qué tanto se puede recorrer con un tanque de gasolina? b. Para la conducción en autopista, ¿qué tanto se puede recorrer con un tanque de gasolina?

NET WT 4 LB

35. Golosinas. Un expendio de dulces vende bolsas grandes de 4 libras de dulces de chocolates. Cada una incluye aproximadamente 180 dulces por libra. ¿Cuántos dulces hay en una bolsa?

42. Conteo de palabras. Por lo general, el número de palabras en una página para una novela publicada es de 250. ¿Cuál sería el conteo de palabras esperado para la novela infantil de 308 páginas Harry Potter y la piedra filosofal ?

36. Nutrición. Hay 17 gramos de grasa en una rosquilla de Krispy Kreme* cubierta de chocolate y rellena de crema. ¿Cuántos gramos de grasa hay en una docena de estas rosquillas?

43. Rentas. Mia es dueña de un edificio de departamentos con 18 unidades. Cada unidad genera un ingreso mensual de 450 dólares. Encuentre su ingreso mensual total.

37. Jugo. Se requieren 13 naranjas para preparar una lata de jugo de naranja. Encuentre el número de naranjas utilizadas para preparar una caja con 24 latas de jugo.

44. Salario de congresistas. El salario anual de un miembro de la Cámara de Representantes de Estados Unidos es de 174.000 dólares. ¿Cuánto cuesta pagar los salarios anuales de los 36 representantes de Texas?

38. Pájaros. ¿Cuántas veces agita sus alas un colibrí cada minuto?

45. Petróleo crudo. En 2015, se usaron 19.389.000 barriles de petróleo crudo por día en Estados Unidos. Un barril contiene 42 galones de petróleo crudo. ¿Cuántos galones se usaron en un solo día de 2015? 46. Procesador de palabras. Un estudiante utiliza las opciones de Insertar Tabla mostradas abajo mientras escribe un reporte. ¿Cuántas celdas tendrá la tabla?

65 aleteos por segundo

39. Honorarios. La tarifa por hora promedio de los abogados comerciales en Nueva York, con veinte años de experiencia, es de 413 dólares. Si uno de estos abogados factura a su cliente 15 horas de trabajo legal, ¿cuál es el monto total de la factura?

Documento 1 - Microsoft Word .. .

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Insertar

Formato Herramientas Datos Ventana Ayuda Insertar Tabla

Tamaño de la tabla Número de columnas:

Número de renglones:

40. Conversión de unidades. Hay 12 pulgadas en 1 pie y 5.280 pies en 1 milla. ¿Cuántas pulgadas hay en 1 milla? 41. Rendimiento de combustible. En la tabla se muestran las cifras del millaje para un Ford Mustang GT* 2016 convertible. Capacidad del tanque de combustible

16 gal

Rendimiento del combustible (millas por galón)

14 ciudad/23 autopista

47. Box. ¿Cuántos metros de cuerda acolchada se requieren para rodear un ring de 24 pies por lado?

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

Sección 1.5 División de números naturales

48. Capacidad del salón. Un salón de clases tiene 17 filas con 33 asientos cada una. Un letrero en la pared indica “La ocupación por más de 570 personas está prohibida”. Si se toman todos los asientos y hay un instructor en la habitación, ¿el colegio rompe la regla? 49. Elevadores. Hay 14 personas en un elevador con una capacidad de 2.000 libras. Si el peso promedio de una persona en el elevador es de 150 libras, ¿el elevador está sobrecargado?

54. Recetas. ¿Cuántas pastillas debe colocar un farmacéutico en el contenedor mostrado en la ilustración? 55. Latidos. Una tasa de pulsos normal para un adulto sano, en reposo, puede variar de 60 a 100 latidos por minuto.

Farmacia

Ramírez No. 2173

11/17

Tome 2 pastillas 3 veces al día por 14 días Expiración: 11/19

a. ¿Cuántos latidos hay en un día en el extremo más bajo del intervalo?

50. Koalas. En un periodo de 24 horas, un koala duerme 3 veces el número de horas que está despierto. Si está despierto por 6 horas, ¿cuántas horas duerme?

b. ¿Cuántos latidos hay en un día en el extremo más alto del intervalo?

51. Ranas. Las ranas toro pueden saltar hasta 10 veces su longitud corporal. ¿Qué tanto saltaría una rana toro de 8 pulgadas de largo?

56. Envoltura de regalos. Cuando se desenrolla por completo, una hoja larga de papel para envolver tiene las dimensiones mostradas abajo. ¿Cuántos pies cuadrados de papel para envolver hay en el rollo?

53. Ahorros de energía. Un foco ENERGY STAR dura ocho veces más que un foco estándar de 60 watts. Si un foco estándar por lo regular dura 11 meses, ¿cuánto durará un foco ENERGY STAR?

SECCIÓN 1.5

3 pies

18 pies

52. Seguridad cibernética. De acuerdo con un reporte de Technative, de 2015 a 2016 aumentó seis veces el número de ataques por secuestro de archivos informáticos contra el sector corporativo. Si en 2015 hubo 27.000 ataques, ¿cuántos hubo en 2016? (Fuente: technative.io)

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES Todos usan la división de números naturales. Por ejemplo, para encontrar cuántas porciones de 6 onzas puede obtener un chef a partir de 48 onzas de carne asada, divide 48 entre 6. Para repartir una herencia de 36.000 dólares de manera equitativa, un hermano y una hermana dividen la cantidad entre 2. Un profesor divide a los 35 estudiantes en su clase en grupos de 5 para debatir.

Objetivo 1

Escribir el enunciado de multiplicación asociado a una división Para dividir números naturales, piense en separar una cantidad en grupos de igual tamaño. Por ejemplo, si comienza con un conjunto de 12 estrellas y las divide en grupos de 4 estrellas, se obtendrán 3 grupos. Un conjunto de 12 estrellas.

Hay 3 grupos de 4 estrellas.

Este problema de división se puede escribir utilizando un símbolo de división , un símbolo de división larga o una barra de fracción . Al número que se está dividiendo se le llama dividendo y al número entre el que se está dividiendo se le llama divisor. A la respuesta se le llama cociente.

Capítulo 1 Los números naturales

Símbolo de división

Símbolo de división larga Divisor

Dividendo

12 4 3

Divisor Cociente

Barra de fracción Dividendo

Cociente

12 4

Dividendo Cociente

Cada forma se lee como “12 dividido entre 4 es (o es igual a) 3”.

Divisor

Recuerde que en la sección 1.4 se presentó la multiplicación de números naturales como una suma repetitiva. De manera similar, la división de números naturales es una resta repetitiva. Para dividir 12 entre 4, se pregunta: “¿Cuántos 4 pueden restarse de 12?”. 12 4 8 4 4 4 0

Reste 4 una vez. Reste 4 una segunda vez. Reste 4 una tercera vez.

Dado que puede restarse el número 4 al número 12 tres veces exactamente, y obtener cero al final, se sabe que 12 4 3. Otra manera de responder un problema de división es pensar en términos de la multiplicación. Por ejemplo, la división 12 4 realiza la pregunta: “¿Por cuál número debe multiplicarse el 4 para obtener 12?”. Dado que la respuesta es 3, se sabe que 12 4 3

debido a que

3 4 12

A 3 4 12 se le llama enunciado de multiplicación asociado a la división 12 4 3. En general, para escribir el enunciado de multiplicación asociado a una división, se utiliza: Cociente divisor dividendo

EJEMPLO

Escriba el enunciado de multiplicación asociado para cada división. A. 10 5 2

B. 24 6 4

21 7 3

ESTRATEGIA Se identificará el cociente, el divisor y el dividendo en cada enunciado de división. POR QUÉ Un enunciado de multiplicación asociado tiene la siguiente forma: cociente divisor dividendo. SOLUCIÓN Dividendo

10 5 2

debido a que

2 5 10.

Cociente Divisor

B. 24 6 debido a que 4 6 24. 4 21 C. 7 debido a que 7 3 21. 3

El 4 es el cociente, el 6 es el divisor y el 24 es el dividendo.

El 7 es el cociente, el 3 es el divisor y el 21 es el dividendo.

Sección 1.5 División de números naturales

Objetivo 2

Usar las propiedades de la división para dividir números naturales De la sección 1.4 recuerde que el producto de cualquier número natural y el 1 es ese número natural. Se puede utilizar ese hecho para establecer dos propiedades importantes de la división. Considere los siguientes ejemplos donde se divide entre 1 un número natural: 8 1 8 debido a que 8 1 8. 4 1 debido a que 4 1 4. 4 20 20 debido a que 20 1 20. 1 Estos ejemplos ilustran que cualquier número natural dividido entre 1 es igual al mismo número. Considere los siguientes ejemplos donde se divide un entero positivo entre sí mismo: 6 6 1 debido a que 1 6 6. 9 9 debido a que 1 9 9. 1 35 1 debido a que 1 35 35. 35 Estos ejemplos ilustran que cualquier entero diferente del cero dividido entre sí mismo es igual a 1.

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

Cualquier entero dividido entre 1 es igual a sí mismo. Por ejemplo, 14 14. 1 Cualquier entero diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por ejemplo, 14 1. 14 Recuerde de la sección 1.4 que el producto de cualquier entero y el 0 es 0. Se puede utilizar este hecho para establecer otra propiedad de la división. Considere los siguientes ejemplos donde se divide el 0 entre cualquier entero diferente de cero: 0 2 0 debido a que 0 2 0. 0 7 debido a que 0 7 0. 0 0 0 debido a que 0 42 0. 42 Estos ejemplos ilustran que el 0 dividido entre cualquier entero diferente del cero es igual a 0. No se puede dividir un entero entre 0. Para ilustrar el porqué, se intentará encontrar el cociente cuando se divide el 2 entre el 0 utilizando el enunciado de multiplicación asociado mostrado abajo. Enunciado de división 2 ? 0

Enunciado de multiplicación asociado ? 0 2 No existe un número que dé 2 cuando se multiplica por 0.

Capítulo 1 Los números naturales

2 no tiene un cociente, se dice que la división del 2 entre el 0 está indefinida. Abajo 0 se ilustran estas observaciones acerca de la división del 0 y de la división entre el 0. Dado que

DIVISIÓN CON CERO 1. El cero dividido entre cualquier número diferente del cero es igual a 0. Por ejemplo, 0 0. 17 17

2. La división entre 0 está indefinida. Por ejemplo, 0 está indefinida.

Objetivo 3

Desarrollar divisiones largas (sin residuo) Un proceso llamado división larga puede emplearse para dividir números naturales grandes.

EJEMPLO

Divida utilizando una división larga: 2.514 6. Compruebe el resultado. ESTRATEGIA Se escribirá el problema en forma de división larga y se seguirá un proceso de cuatro pasos: aproximar, multiplicar, restar y descender. POR QUÉ El proceso de resta repetitiva tomaría demasiado tiempo para desarrollarlo y el enunciado de multiplicación asociado (? 6 2.514) es demasiado complejo de resolver. SOLUCIÓN Para ayudarle a comprender el proceso, se explica por separado cada paso de la división. La solución que usted proponga solo necesita parecerse al último paso. Se escribe el problema en la forma 2.514 6 . El cociente aparecerá debajo del símbolo de división larga. Dado que 6 no divide el 2, 2 .514 6

se dividirá 25 entre 6. 2.514 6 4

Pregunte: “¿Cuántas veces divide el 6 al 25?”. Se aproxima pensando que 25 ÷ 6 es alrededor de 4 y se escribe el 4 en la columna de las centenas debajo del símbolo de división larga.

Después, se multiplican el 4 y el 6 y se resta su producto, 24, del 25 para obtener 1. 2.514 6 24 4 1

Ahora se desciende el siguiente dígito en el dividendo, el 1, y se aproxima, multiplica y resta de nuevo. 2.514 6 24 41 11 6 5

Pregunte: “¿Cuántas veces divide el 6 al 11?” Se aproxima pensando que 11 6 es alrededor de 1 y se escribe el 1 en la columna de las decenas debajo del símbolo de la división larga. Multiplique el 1 y el 6, y reste su producto, 6, del 11, para obtener 5.

Sección 1.5 División de números naturales

Para completar el proceso, se desciende el último dígito en el dividendo, el 4, y se estima, multiplica y resta por última vez. 2.514 6 24 419 11 6 54 54 0

Pregunte: “¿Cuántas veces divide el 6 al 54?” Se aproxima pensando que 54

Su solución debe parecerse a esta:

6 es 9, y se

escribe el 9 en la columna de las unidades debajo del símbolo de división larga. Multiplique el 9 y el 6 y reste su producto, 54, del 54, para obtener 0.

2.514 6 24 419 11 6 54 54 0

Para comprobar el resultado, se ve si el producto del cociente y del divisor es igual al dividendo. 1 5

419 6 2.514

Cociente Divisor

2.514 6

Dividendo

La comprobación confirma que 2.514 6 419. Se puede observar cómo funciona el proceso de división larga si se escriben los nombres de las columnas de los valores posicionales sobre el cociente. La solución para el ejemplo 2 se muestra con más detalle en la página siguiente.

es dad Uni enas Dec enas t Cen

2.514 6 2 .4 00 4 1 9 114 60 54 54 0

Aquí, en realidad se resta 400 6, lo cual es 2.400, del 2.514. Por eso escribimos 4 en la columna de las centenas del cociente. Aquí, en realidad se resta 10 6, lo cual es 60, del 114. Por eso escribimos 1 en la columna de las decenas del cociente. Aquí, se resta 9 6, lo cual es 54, del 54. Por eso escribimos 9 en la columna de las unidades del cociente.

Los ceros extra (mostrados en los pasos remarcados en magenta y azul) con frecuencia se omiten, como se hizo en la resolución que se mostró en el ejemplo.

EJERCICIOS 1.5

APLIQUE LO APRENDIDO

1. Indique si cada enunciado es verdadero o falso. a. Cualquier entero dividido entre 1 es igual a sí mismo. b. Cualquier entero diferente del cero dividido entre sí mismo es igual a 1. c. El cero dividido entre cualquier número diferente de cero está indefinido. d. La división de un número entre 0 es igual a 0.

2. Encuentre el primer dígito de cada cociente. a. 1.147 5

b. 587 9

c. 7.501 23 d. 892 16 3. 45 9 debido a que 5

Capítulo 1 Los números naturales

54 9 debido a que 6

5. 44 11 4 debido a que

6. 120 12 10 debido a que

. 5

Escriba el enunciado de multiplicación asociado a cada división. 7. 21 3 7

8. 32 4 8

72 6 12

10. 75 15 5 Divida utilizando una división larga. Compruebe el resultado. 9.

11. 96 6 87 3 15. 2.275 7

13.

17. 1.962 9

12. 72 4 98 7 16. 1.728 8 14.

18. 1.635 5

Divida utilizando una división larga. Compruebe el resultado. 19. 31.248 62

20. 28.613 71

21. 22.274 37

22. 19.712 28

Use un atajo de la división para encontrar cada cociente. 23. 700 10

24. 900 10

25. 9.900 450

26. 9.100 260

Aproxime cada cociente. 27. 353.922 38

28. 237.621 55

29. 46.080 933

30. 81.097 419

31. Venta de boletos. Un cine tiene una ganancia de 4 dólares por cada boleto vendido. ¿Cuántos boletos deben venderse para tener una ganancia de 2.500 dólares? 32. Correr. Brian corre 7 millas cada día. ¿En cuántos días acumulará 371 millas? 33. Camiones de carga. Un camión de carga de 15 yardas cúbicas debe transportar 405 yardas cúbicas de arena a un sitio de construcción. ¿Cuántos viajes debe realizar el camión? 34. Surtido de estantes. Después de recibir una entrega de 288 bolsas de papas fritas, un empleado de una tienda surtió cada estante de un mostrador vacío con 36 bolsas. ¿Cuántos estantes del mostrador surtió con papas fritas?

35. Tiempo de almuerzo. Un profesor de quinto grado recibió 50 envases de leche de media pinta para distribuirlos de manera equitativa a su clase de 23 estudiantes. ¿Cuántos envases obtuvo cada niño? ¿Cuántos envases sobraron? 36. Envoltorio plástico con burbujas. Un fabricante de muebles utiliza una tira de 11 pies de largo de envoltorio plástico con burbujas para proteger una lámpara cuando se empaca para ser enviada a un cliente. ¿Cuántas lámparas pueden empaquetarse de esta manera a partir de un rollo de envoltorio plástico de 200 pies de largo? ¿Cuántos pies sobrarán en el rollo? 37. Empleos de nivel inicial. En 2016, los salarios típicos iniciales (en dólares) para recién graduados de las áreas de salud, comercio y ciencias sociales fueron como se muestran en la tabla. Complete la última columna. Área de estudio

Salario anual

Salud

48.708

Comercio

52.236

Ciencias sociales

46.584

Salario mensual

Fuente: National Association of Colleges and Employers

38. Prueba de divisibilidad para el 7. Use la siguiente regla para mostrar que 308 es divisible entre 7. Muestre cada uno de los pasos de su solución de manera escrita. Reste dos veces el dígito de las unidades del número formado por los dígitos restantes. Si ese resultado es divisible entre 7, entonces el número original es divisible entre 7. 39. Prueba de divisibilidad para el 11. Use la siguiente regla para mostrar que 1.848 es divisible entre 11. Muestre cada uno de los pasos de su solución de manera escrita. Comience con el dígito en la posición de las unidades. De este, reste el dígito en la posición de las decenas. A ese resultado súmele el dígito en la posición de las centenas. De ese resultado reste el dígito en la posición de las unidades de millar, y así sucesivamente. Si el resultado final es un número divisible entre 11, el número original es divisible entre 11.