Mate 7 by Cengage

Mate 7 Nueva edición TUSSY • KOENIG • ALEXANDER KOEBERLEIN • JOHNSON • KUBY MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

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Alan S.Tussy Citrus College

Geralyn M. Koeberlein

Mahomet-Seymour High School

Diane R. Koenig

Daniel C. Alexander

Robert Johnson

Patricia Kuby

Rock Valley College

Monroe Community College

Parkland College

Monroe Community College

Traducción Jorge Hernández Lanto Rafael Vela Ricalde

Adaptación y Revisión técnica Andrea Constanza Perdomo Pedraza Colegio Campoalegre

Javier León Cárdenas Víctor Campos Olguín

MEN - 2024 ALINEADO A LOS DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

Diseño de Pruebas Saber Francy Katerine Gómez Hernández Colegio Anglo Americano

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

Mate 7 Primera edición Alan S. Tussy Diane R. Koenig Daniel C. Alexander Geralyn M. Koeberlein Robert Johnson Patricia Kuby Directora Higher Education Latinoamérica: Lucía Romo Alanís Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Flaviano Fregoso Rojas Imagen de portada: kɋ.LWDPLQɋ ɋ6KXWWHUVWRFN Diseño de interiores: %\ &RORU 6ROXFLRQHV *U£ȴFDV &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD Ediciones OVA

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Esta es una adaptación de los libros: Matemáticas básicas, 5a. edición. Tussy, Alan S., Diane R. Koenig. ISBN: 978-607-526-939-9, traducido del libro Basic Mathematics with Early Integers. 6th Edition. Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Publicado en inglés por Cengage Learning ©2019 ISBN: 978-1-337-61840-3 Geometría, 5a. edición. Alexander, Daniel C., Geralyn M. Koeberlein. ISBN: 978-607-481-889-5, traducido del libro Elementary Geometry for College Students, 5th Edition. Daniel C. Alexander, Geralyn M. Koeberlein. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2011 ISBN: 978-14390-4790-3, Estadística elemental, 11a. ed. Edición revisada. Johnson, Robert, Patricia Kuby. ISBN: 978-607-522-835-8, traducido del libro Elementary Statistics, 11th Edition. Robert Johnson, Patricia Kuby. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012 ISBN: 978-0-538-73350-2 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Tussy, Alan S., Diane R. Koenig, Daniel C. Alexander, Geralyn M. Koeberlein, Robert Johnson, Patricia Kuby. Mate 7, primera edición. ISBN: 978-607-570-208-7 Visite nuestro sitio web en: http://latam.cengage.com

Publicad Mxico

PRESENTACIÓN DE LA SERIE

ara la realización de la nueva edición de la serie editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo), Ron Larson; David C. Falvo (Precálculo); y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos. Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES).

Mate 7 Nueva edición TUSSY • KOENIG • ALEXANDER KOEBERLEIN • JOHNSON • KUBY

P ROPUESTA CURRICULAR

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso), lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

CAPÍTULO

NÚMEROS RACIONALES

RETO DEL CAPÍTULO

LO QUE DEBE SABER

Álgebra Las fracciones complejas, como la mostrada abajo, se ven en una clase de álgebra cuando se estudia el tema de la pendiente de una recta. Simplifique esta fracción compleja y, como se hace en el álgebra, escriba la respuesta como una fracción impropia.

1. Identifique el numerador y el denominador de la fracción 11 . ¿Es una fracción propia o impro16 pia? 2. Escriba fracciones que representen las porciones sombreadas y no sombreadas de la figura a la derecha. 3. En la ilustración abajo, ¿por qué no se puede decir que 34 de la figura están sombreados?

1 1 2 3 1 1 4 5

CONTENIDO 2 4. Escriba la fracción 3 de otras dos maneras.

Sección 2.1 Introducción a los números racionales 40

5. Simplifique, si es posible:

Sección 2.2 Multiplicación de racionales en forma de fracción 45

5 5

Sección 2.3 División de racionales en forma de fracción 50

0 10

18 1

7 0

OBJETIVOS

Sección 2.4 Adición y sustracción de racionales en forma de fracción 55

1. Identificar el numerador y el denominador de una

Sección 2.5 Adición y sustracción de racionales en forma decimal 60

2. Construir fracciones equivalentes. 3. Simplificar fracciones. 4. Multiplicar fracciones. 5. Evaluar expresiones exponenciales que tienen bases

fracción.

Sección 2.6 Multiplicación de racionales en forma decimal 64 Sección 2.7 División de racionales en forma decimal 67

fraccionarias.

Sección 2.8 Jerarquía de las operaciones y fracciones complejas 71 Sección 2.9 Conversión entre fracción y decimal

Para visualizar todos los objetivos del capítulo 2 ingrese al código QR.

PRESENTACIÓN DE LA SERIE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

E STRUCTURA DE LA SERIE

En esta nueva edición de , encontrará un amplio desarrollo de las matemáticas partiendo del planteamiento y solución de situaciones en contexto, enfocadas en datos reales y situaciones atractivas para los estudiantes. La obra cuenta con:

RETO DEL CAPÍTULO Mediante un ejemplo se introducen los conceptos que VH WUDEDMDU£Q D OR ODUJR GHO FDS¯WXOR FRQ OD ȴQDOLGDG GH motivar la investigación y el desarrollo de contenidos para resolver el reto.

OBJETIVOS Se proponen metas que se deben alcanzar mediante el desarrollo de conceptos para lo cual se aporta XQ HVER]R JHQHUDO GH DVSHFWRV HVSHF¯ȴFRV TXH ORV estudiantes deben tener en cuenta para aprender y aplicar cada idea o concepto que se presenta.

RETO DEL CAPÍTULO Programas de lectura En la prueba de lectura estatal dada al inicio del año escolar el desempeño de una escuela primaria fue de 23 puntos debajo del promedio del condado. El dire-

OBJETIVOS 1. Definir el conjunto de los números enteros. 2. Representar números enteros en la recta numérica. 3. Representar números enteros en el plano cartesiano.

CONTENIDO CONTENIDO El contenido presenta en detalle los temas generales que se abordan en el texto, con lo cual es posible organizar y planear el trabajo para alcanzar el aprendizaje propuesto.

LO QUE DEBE SABER A partir de un grupo de preguntas se busca que, de manera autónoma, los estudiantes midan sus conocimientos previos y algunos requisitos para el desarrollo conceptual de cada capítulo.

Sección 1.1 Los números enteros

Sección 1.2 Adición de números enteros

Sección 1.3 Sustracción de números enteros 14

LO QUE DEBE SABER 1. Divida: 8.379 73. Muestre una comprobación de su resultado. 2. Encuentre el producto de 23.000 y 600. 3. Encuentre el cociente de 125.000 y 500. 4. Use el redondeo por la izquierda para aproximar la diferencia: 49.213 7.198. 5. Un rectángulo es de 327 pulgadas de ancho y 757 pulgadas de largo. Encuentre su perímetro. 6. Encuentre el área del cuadrado mostrado abajo.

DESARROLLO CONCEPTUAL Se basa en los aspectos más relevantes y útiles de las temáticas propias de cada grado. Estos aspectos se muestran a partir de situaciones en contexto, GHPRVWUDFLRQHV IRUPDOHV GH SURSLHGDGHV \ GHȴQLFLRQHV FODUDV KDFLHQGR «QIDVLV HQ el rigor de las matemáticas y el buen uso del lenguaje y el pensamiento lógico acorde a cada edad. Además, se destacan los conceptos de mayor relevancia para que los estudiantes intuyan su importancia.

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano, también llamado sistema de coordenadas, es un arreglo formado por dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en el número cero (0) de dichas rectas.

EJEMPLOS RESUELTOS 6H HMHPSOLȴFD OD VROXFLµQ GH SUREOHPDV FRQ VXV UHVSHFWLYRV SURFHGLPLHQWRV (Q cada ejemplo se muestra el componente algorítmico, así como la aplicación de conceptos que llevan a la solución del problema dentro de contextos reales cuyo nivel de complejidad incrementa de forma gradual.

EJEMPLO

Reste: a. 12 de 8.

b. 8 de 12.

ESTRATEGIA Se traducirá cada frase a símbolos matemáticos y después se desarrollará la resta. Se debe tener cuidado cuando se traduce la instrucción para restar un número de otro número.

PUNTO DE INTERÉS Se proporcionan hechos o datos relevantes para enfatizar aspectos importantes o información extra en torno al tema particular que se está abordando. En algunos casos se hace referencia a personas o acontecimientos históricos que han sido fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.

PUNTO de INTERÉS La regla del negativo de un opuesto El negativo del negativo de un número es ese número.

vii

APLIQUE LO APRENDIDO En esta sección se presenta una amplia selección de ejercicios donde el estudiante podrá UHDȴUPDU VX GRPLQLR GH ORV FRQFHSWRV \ HO PDQHMR DOJRU¯WPLFR GH ORV WHPDV GH FDGD FDS¯WXOR mediante su aplicación en contextos reales.

EJERCICIOS 1.6

APLIQUE LO APRENDIDO

1. Cuando se evalúan expresiones, ¿por qué es necesaria la regla de jerarquía de las operaciones?

17. c4 a33

2. En las reglas para la jerarquía de las operaciones, ¿a qué se refiere la frase a medida que aparecen de izquierda a derecha?

22 bd 11

18. c1 a23

40 bd 20

3. Explique el error en cada evaluación de abajo. a. 80 ( 2)4 80 ( 8) 10 b. 1 8 兩 4 9 兩 1 8 兩 5 兩

19. c50 a53

50 bd 2

20. c12 a25

40 bd 4

7 兩 5 兩 35 4. Describa una situación en la vida diaria donde utilice una aproximación.

21.

24 3( 4) 42 ( 6)2

22.

18 6( 2) 52 ( 7)2

23.

38 11( 2) 69 ( 8)2

24.

36 8( 2) 85 ( 9)2

25. a. | 6(2)|

b. | 12 7|

5. 62 ( 6)2

6. 72 ( 7)2

26. a. | 4(9)|

b. | 15 6|

7. 102 ( 10)2

8. 82 ( 8)2

27. a. | 15( 4) |

b. | 16 ( 30) |

Evalúe cada expresión.

9. 14 2( 9 6 3)

28. a. | 12( 5) |

10. 18 3( 10 3 7)

29. 16 6 | 2 1|

b. | 47 ( 70) | 30. 15 6 | 3 1 |

EJERCICIOS DE REPASO Esta sección al concluir cada capítulo reúne un conjunto de ejercicios sobre los temas tratados D ȴQ GH FRPSUREDU HO GRPLQLR \ OD DSURSLDFLµQ GH FRQFHSWRV

CAPÍTULO

EJERCICIOS DE REPASO 8. 2 ( 1) ( 76) 1 2

1. Encuentre cada valor absoluto. a. |5|

b. | 43|

9. 5 ( 31) 9 ( 9) 5

c. |0|

10. Encuentre la suma de 102, 73 y 345.

2. Simplifique cada expresión. a. | 12 |

11. ¿Cuánto es 3.187 más que 59?

b. ( 12) ( 12)

12. a. ¿Cuál es el inverso aditivo de 11?

c. 0 0 3. Presupuesto federal La gráfica muestra la información del déficit/superávit presupuestal del gobierno de Estados Unidos para los años 1990-2016.

a. ¿Cuándo ocurrió el primer superávit presupuestal? Aproxímelo. b. ¿En qué año hubo el mayor superávit? Aproxímelo.

es de dólares

Déficit/superávit presupuestal federal (Oficina de Administración y Presupuesto)

viii

'95

'05 '00

'10

c. ¿La suma de dos enteros positivos siempre es positiva? d. ¿La suma de dos enteros negativos siempre es negativa? e. ¿La suma de un entero positivo y un entero negativo siempre es positiva?

c. ¿En qué año hubo el mayor déficit? Aproxímelo.

300 200 100 '90 0 –100 –200 –300 –400 500

b. ¿Cuál es el inverso aditivo de 4?

'15

f. ¿La suma de un entero positivo y un entero negativo siempre es negativa? 13. Sequía Durante una sequía, el nivel del agua en una reserva cayó a un punto 100 pies debajo de lo normal. Después la lluvia intensa en abril lo elevó 16 pies y más tarde la lluvia en mayo lo elevó otros 18 pies. a. Exprese el nivel del agua de la reserva antes de los meses lluviosos como un número con signo

PRUEBA SABER Para esta nueva edición se diseñaron nuevas Pruebas Saber. Esta prueba evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Tanto ODV FRPSHWHQFLDV GHȴQLGDV GH OD SUXHED FRPR ORV FRQRFLPLHQWRV PDWHP£WLFRV TXH HO HVWXGLDQWH UHTXLHUH SDUD UHVROYHU ODV VLWXDFLRQHV SODQWHDGDV VH EDVDQ HQ ODV GHȴQLFLRQHV GH ORV HVW£QGDUHV E£VLFRV GH FRPSHWHQFLDV HQ matemáticas del Ministerio de Educación Nacional de Colombia. De esta manera se integran competencias y contenidos en distintas situaciones o contextos en los cuales las herramientas matemáticas cobran sentido y son un importante recurso para la comprensión de situaciones, la WUDQVIRUPDFLµQ GH OD LQIRUPDFLµQ OD MXVWLȴFDFLµQ GH DȴUPDFLRQHV \ OD VROXFLµQ GH SUREOHPDV Las Pruebas Saber están diseñadas para no requerir el uso de la calculadora.

PRUEBA SABER MATE 7 • CAPÍTULO 1

La Prueba Saber evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Esta prueba cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma: R Razonamiento y argumentación

Para visualizar más preguntas tipo Prueba Saber de manera digital ingrese al código QR.

S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación Para una correcta aplicación de la Prueba Saber no debe usar calculadora.

En el mismo apartado de las Pruebas Saber, en la parte inferior, notará que se incluye un código QR, al escanearlo podrá visualizar preguntas complementarias de manera digital. Como apoyo adicional a los profesores que adopten la obra se les proporcionarán las Respuestas de las Pruebas Saber. Consulte términos y condiciones con su representante Cengage.

GLOSARIO Y BIBLIOGRAFÍA $O ȴQDO GHO OLEUR VH LQFOX\HQ XQ JORVDULR \ XQD ELEOLRJUDI¯D D ȴQ GH HQULTXHFHU HO DSUHQGL]DMH

GLOSARIO A Abscisa. El primer número de un par ordenado. Mide la distancia horizontal y también se le llama primera coordenada. Altura de un paralelogramo. La distancia entre la base del paralelogramo y el lado paralelo opuesto. Es perpendicular a la base. Á

rador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1. Fracción. Número de partes iguales de un todo. Fracción compleja. Es una fracción cuyo numerador o denominador contiene una o más fracciones. Fracción impropia. Es un número mayor que 1 porque el

BIBLIOGRAFÍA Tussy, Alan S. y Diane R. Koenig Matemáticas básicas, 5ª edición ISBN: 978-607-526-939-9

Alexander, Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein Geometría, 5ª edición ISBN: 978-607-481-889-5

Johnson, Robert y Patricia Kuby Estadística elemental, 11ª edición revisada ISBN: 978-607-522-835-8

, un texto que le dará a los estudiantes la Lo invitamos a conocer y utilizar FRQȴDQ]D QHFHVDULD SDUD DSOLFDU ODV PDWHP£WLFDV D WUDY«V GH XQ OLEUR GH WH[WR SHGDJµJLFR y accesible.

AGRADECIMIENTOS

Agradecemos el apoyo y colaboración en la revisión de esta obra a los profesores: Erick Daniel Camacho Montero Centro Educativo Horizontes Costa Rica

Edgar Solano Solano

Complejo Educativo CIT Costa Rica

Flor de María Herrera Reyes

Profesorado en Enseñanza Media en Matemática y Física Guatemala

Cristofer David Reyes Pineda Liceo Comercial Entre Valles Guatemala

NOTA En algunos países de América Latina se utiliza el punto o la coma baja para la notación de los números decimales. En esta serie de libros de encontrará que los números decimales se separan mediante coma baja.

AGRADECIMIENTOS MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO BREVE

CAPÍTULO

1 NÚMEROS ENTEROS 1

CAPÍTULO

2 NÚMEROS RACIONALES 39

CAPÍTULO

3 PROPORCIÓN Y PORCENTAJE 87

CAPÍTULO

4 ECUACIONES E INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

CAPÍTULO

5 213

GEOMETRÍA CAPÍTULO

171

6 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD GLOSARIO

269

335

BIBLIOGRAFÍA

337

CONTENIDO BREVE MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CONTENIDO DETALLADO CAPÍTULO

NÚMEROS ENTEROS 1 SECCIÓN 1.1 LOS NÚMEROS ENTEROS 2 NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS PLANO CARTESIANO VALOR ABSOLUTO

EJERCICIOS 1.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.2 ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 10 EJERCICIOS 1.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.3 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 14 EJERCICIOS 1.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.4 MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS 17 MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS QUE TIENEN SIGNOS DIFERENTES (NO SEMEJANTES) 17 MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS QUE TIENEN LOS MISMOS SIGNOS (SEMEJANTES) 18 MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO PAR E IMPAR DE ENTEROS NEGATIVOS

EJERCICIOS 1.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.5 DIVISIÓN DE ENTEROS 24 EJERCICIOS 1.5 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 1.6 ORDEN EN LAS OPERACIONES 29 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

EJERCICIOS 1.6 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 1 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

xii

CONTENIDO DETALLADO MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

CAPÍTULO

NÚMEROS RACIONALES 39 SECCIÓN 2.1 INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS RACIONALES 40 EJERCICIOS 2.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.2 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES EN FORMA DE FRACCIÓN 45 EJERCICIOS 2.2 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.3 DIVISIÓN DE RACIONALES EN FORMA DE FRACCIÓN 50 RECÍPROCOS

EJERCICIOS 2.3 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RACIONALES EN FORMA DE FRACCIÓN 55 EJERCICIOS 2.4 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.5 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RACIONALES EN FORMA DECIMAL 60 SUMA DE DOS DECIMALES QUE TIENEN SIGNOS IGUALES (SEMEJANTES)

SUMA DE DOS DECIMALES QUE TIENEN SIGNOS DIFERENTES (NO SEMEJANTES) 60

EJERCICIOS 2.5 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.6 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES EN FORMA DECIMAL 64 EJERCICIOS 2.6 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.7 DIVISIÓN DE RACIONALES EN FORMA DECIMAL 67 EJERCICIOS 2.7 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 2.8 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Y FRACCIONES COMPLEJAS 71 JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES FRACCIÓN COMPLEJA

SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN COMPLEJA

EJERCICIOS 2.8 APLIQUE LO APRENDIDO

xiii

SECCIÓN 2.9 CONVERSIÓN ENTRE FRACCIÓN Y DECIMAL 79 79

ESCRITURA DE UNA FRACCIÓN COMO UN DECIMAL

EJERCICIOS 2.9 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 2 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

PROPORCIÓN Y PORCENTAJE 87 SECCIÓN 3.1 RAZONES Y TASAS 88 RAZONES

ESCRIBIR UNA RAZÓN COMO UNA FRACCIÓN TASAS

ESCRITURA DE UNA TASA COMO UNA FRACCIÓN TASA UNITARIA

ESCRITURA DE UNA TASA COMO UNA TASA UNITARIA

PRECIO UNITARIO 95

EJERCICIOS 3.1 APLIQUE LO APRENDIDO

SECCIÓN 3.2 PROPORCIÓN 98 PROPORCIÓN

PROPIEDAD DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS (PROPIEDAD DE MEDIOS-EXTREMOS) 101 RESOLVER UNA PROPORCIÓN PARA ENCONTRAR UN TÉRMINO DESCONOCIDO 104

EJERCICIOS 3.2 APLIQUE LO APRENDIDO

109

SECCIÓN 3.3 UNIDADES DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 112 FACTORES DE CONVERSIÓN

xiv

114

FACTORES DE CONVERSIÓN EN UNIDADES DE MASA 118 UNIDADES MÉTRICAS DE CAPACIDAD 120

EJERCICIOS 3.3 APLIQUE LO APRENDIDO

122

SECCIÓN 3.4 CONVERSIÓN ENTRE UNIDADES DEL SISTEMA INGLÉS Y EL SISTEMA MÉTRICO 124 FÓRMULAS DE CONVERSIÓN PARA LA TEMPERATURA

EJERCICIOS 3.4 APLIQUE LO APRENDIDO

128

130

SECCIÓN 3.5 PORCENTAJES, DECIMALES Y FRACCIONES 132 PORCENTAJE

132

ESCRITURA DE PORCENTAJES COMO FRACCIONES

133

ESCRITURA DE PORCENTAJES COMO DECIMALES

136

ESCRITURA DE DECIMALES COMO PORCENTAJES

137

ESCRITURA DE FRACCIONES COMO PORCENTAJES

EJERCICIOS 3.5 APLIQUE LO APRENDIDO

138

139

SECCIÓN 3.6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICANDO EL CONCEPTO DE PORCENTAJE 142 ECUACIÓN (FÓRMULA PORCENTUAL)

144

EJERCICIOS 3.6 APLIQUE LO APRENDIDO

150

SECCIÓN 3.7 APLICACIONES DE PORCENTAJE 153 ENCONTRAR EL IMPUESTO SOBRE LAS VENTAS

153

ENCONTRAR EL COSTO TOTAL 154 ENCONTRAR LA COMISIÓN

155

ENCONTRAR EL PORCENTAJE DE INCREMENTO O DECREMENTO 158 CALCULAR DESCUENTOS 159

EJERCICIOS 3.7 APLIQUE LO APRENDIDO

161

ENCONTRAR EL IMPUESTO SOBRE LAS VENTAS

153

ENCONTRAR EL COSTO TOTAL 154 ENCONTRAR LA COMISIÓN

155

ENCONTRAR EL PORCENTAJE DE INCREMENTO O DECREMENTO 158 ENCONTRAR EL DESCUENTO 160 ENCONTRAR EL PORCENTAJE DE DESCUENTO 160 ENCONTRAR EL PRECIO EN REBAJA

160

EJERCICIOS 3.7 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 3 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

162

165

167

ECUACIONES E INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 171 SECCIÓN 4.1 EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA 172 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

173

EJERCICIOS 4.1 APLIQUE LO APRENDIDO

176

SECCIÓN 4.2 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 177 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

178

TÉRMINOS SEMEJANTES

179

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

EJERCICIOS 4.2 APLIQUE LO APRENDIDO

180 182

SECCIÓN 4.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES UTILIZANDO LA PROPIEDAD UNIFORME 183 PROPIEDAD UNIFORME PARA LA SUMA

184

PROPIEDAD UNIFORME PARA LA RESTA

184

PROPIEDAD UNIFORME DE LA MULTIPLICACIÓN 185

xvi

PROPIEDAD UNIFORME DE LA DIVISIÓN 186

EJERCICIOS 4.3 APLIQUE LO APRENDIDO

187

SECCIÓN 4.4 MÁS ACERCA DE LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 188 ESTRATEGIA PARA RESOLVER ECUACIONES

EJERCICIOS 4.4 APLIQUE LO APRENDIDO

193 193

SECCIÓN 4.5 USO DE LAS ECUACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN 195 ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 195

EJERCICIOS 4.5 APLIQUE LO APRENDIDO

199

SECCIÓN 4.6 REGLAS DE MULTIPLICACIÓN PARA LOS EXPONENTES 201 EXPONENTES DE NÚMEROS NATURALES

REGLA DEL PRODUCTO PARA LOS EXPONENTES

203

REGLA DE LA POTENCIA PARA LOS EXPONENTES

204

POTENCIA DE UN PRODUCTO

205

REGLAS PARA LOS EXPONENTES

206

EJERCICIOS 4.6 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 4 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

202

GEOMETRÍA

206

208

210

213

SECCIÓN 5.1 CUADRILÁTEROS Y OTROS POLÍGONOS 214 PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS

215

PARALELOGRAMOS QUE SON RECTÁNGULOS 215 SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO 218

xvii

EJERCICIOS 5.1 APLIQUE LO APRENDIDO

219

SECCIÓN 5.2 TEOREMA DE PITÁGORAS 222 222

TEOREMA DE PITÁGORAS

CONVERSO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

EJERCICIOS 5.2 APLIQUE LO APRENDIDO

225 225

SECCIÓN 5.3 CONCEPTO INICIAL DE ÁREA 227 UNIDADES CUADRADAS

227

ÁREA DE UN RECTÁNGULO 228 ÁREA DE UN PARALELOGRAMO 229

EJERCICIOS 5.3 APLIQUE LO APRENDIDO

232

SECCIÓN 5.4 PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS 234 USAR LA FÓRMULA DE HERÓN 235 ÁREA DE UN TRAPEZOIDE 236 ÁREA DE UN ROMBO

236

ÁREA DE UNA COMETA 237 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

237

EJERCICIOS 5.4 APLIQUE LO APRENDIDO

238

SECCIÓN 5.5 ÁREA DEL CÍRCULO 241 CÍRCULO

241

SEMICÍRCULO 241 CIRCUNFERENCIA DE UN CÍRCULO 242 ÁREA DE UN CÍRCULO 244

EJERCICIOS 5.5 APLIQUE LO APRENDIDO

245

SECCIÓN 5.6 SUPERFICIE Y VOLUMEN DE UN SÓLIDO 247

xviii

DEFINICIÓN DE ÁREA LATERAL DE UN PRISMA ÁREA LATERAL DE UN PRISMA ÁREA TOTAL DE UN PRISMA

247

247 248

DEFINICIÓN DE PRISMA REGULAR

248

ÁREA LATERAL DE UNA PIRÁMIDE REGULAR 252 ÁREA TOTAL DE UNA PIRÁMIDE 253 VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE 254 LONGITUDES DE UNA PIRÁMIDE REGULAR 254

EJERCICIOS 5.6 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 5 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

CAPÍTULO

259

262

266

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 269 SECCIÓN 6.1 ¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? 270 ESTADÍSTICA 270 POBLACIÓN 274 MUESTRA

274

VARIABLE (O VARIABLE DE RESPUESTA) 274 VALOR DE DATOS 275 DATOS 275 EXPERIMENTO 275 PARÁMETRO 275 ESTADÍSTICO 276 VARIABLE CUALITATIVA, CATEGÓRICA O ATRIBUTO

276

xix

VARIABLE CUANTITATIVA O NUMÉRICA 276 VARIABLE NOMINAL

277

VARIABLE ORDINAL 277 VARIABLE DISCRETA

278

VARIABLE CONTINUA

278

MÉTODO DE MUESTREO 280 MÉTODO DE MUESTREO SESGADO

280 280

MÉTODO DE MUESTREO NO SESGADO MARCO MUESTRAL 283 MUESTRAS DIRIGIDAS 283 MUESTRAS PROBABILÍSTICAS

283

MUESTREO SENCILLO 284 MUESTRA ALEATORIA SIMPLE 284 MUESTRA SISTEMÁTICA 285 MUESTREO ALEATORIO MÚLTIPLE

286

MUESTRA ALEATORIA ESTRATIFICADA

286

MUESTRA ESTRATIFICADA PROPORCIONAL

286

MUESTRA DE CONGLOMERADOS 287

EJERCICIOS 6.1 APLIQUE LO APRENDIDO

287

SECCIÓN 6.2 ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACIÓN DE DATOS DE UNA VARIABLE 292 GRÁFICAS DE PASTEL (GRÁFICAS CIRCULARES) Y GRÁFICAS DE BARRAS DIAGRAMA DE PARETO DISTRIBUCIÓN

293

294

292

GRÁFICA DE PUNTOS

294

PRESENTACIÓN DE TALLO Y HOJAS

295

EJERCICIOS 6.2 APLIQUE LO APRENDIDO

298

SECCIÓN 6.3 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMAS 300 HISTOGRAMA

303

HISTOGRAMA SIMÉTRICO

305

HISTOGRAMA NORMAL

305

UNIFORME (RECTANGULAR) HISTOGRAMA SESGADO

305

HISTOGRAMA EN FORMA DE J HISTOGRAMA BIMODAL

305

306

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS HISTOGRAMA BIMODAL

306

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS OJIVA

306

EJERCICIOS 6.3 APLIQUE LO APRENDIDO

307

SECCIÓN 6.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 310 MEDIA (MEDIA ARITMÉTICA) MEDIANA

310

311

MODA 312 MEDIO RANGO

312

EJERCICIOS 6.4 APLIQUE LO APRENDIDO

313

SECCIÓN 6.5 PROBABILIDAD 316 PROBABILIDAD DE UN EVENTO

316

xxi

PROBABILIDAD EMPÍRICA (OBSERVADA) P ′(A) PROBABILIDAD TEÓRICA (ESPERADA) P(A)

316

317

PROPIEDAD 1 DE LOS NÚMEROS DE PROBABILIDAD 321 PROPIEDAD 2 DE LOS NÚMEROS DE PROBABILIDAD 322 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS 324 RELACIÓN ENTRE POSIBILIDADES Y PROBABILIDAD 324

EJERCICIOS 6.5 APLIQUE LO APRENDIDO CAPÍTULO 6 EJERCICIOS DE REPASO PRUEBA SABER

326

328

331

GLOSARIO 335 BIBLIOGRAFÍA 337

xxii

CAPÍTULO

NÚMEROS ENTEROS

RETO DEL CAPÍTULO

LO QUE DEBE SABER

Programas de lectura En la prueba de lectura estatal dada al inicio del año escolar el desempeño de una escuela primaria fue de 23 puntos debajo del promedio del condado. El director comenzó inmediatamente un programa de tutoría especial. Al final del año escolar, la reexaminación mostró que los estudiantes solo estaban 7 puntos debajo del promedio. ¿ Cuánto cambió la calificación de lectura de la escuela en el año?

1. Divida: 8.379 73. Muestre una comprobación de su resultado. 2. Encuentre el producto de 23.000 y 600. 3. Encuentre el cociente de 125.000 y 500. 4. Use el redondeo por la izquierda para aproximar la diferencia: 49.213 7.198. 5. Un rectángulo es de 327 pulgadas de ancho y 757 pulgadas de largo. Encuentre su perímetro. 6. Encuentre el área del cuadrado mostrado abajo.

CONTENIDO Sección 1.1 Los números enteros

23 cm

Sección 1.2 Adición de números enteros

Sección 1.3 Sustracción de números enteros Sección 1.4 Multiplicación de enteros Sección 1.5 División de enteros

Sección 1.6 Orden en las operaciones

7. a. Encuentre los factores de 12. b. Encuentre los primeros seis múltiplos de 4. c. Escriba 5 5 5 5 5 5 5 5 como una multiplicación. 8. Encuentre la factorización en números primos de 1.260.

OBJETIVOS 1. Definir el conjunto de los números enteros. 2. Representar números enteros en la recta numérica. 3. Representar números enteros en el plano cartesiano.

Para visualizar todos los objetivos del capítulo 1 ingrese al código QR.

Capítulo 1 Números enteros

SECCIÓN 1.1

LOS NÚMEROS ENTEROS Se ha visto que los números naturales pueden utilizarse para describir varias situaciones que surgen en la vida diaria. Sin embargo, los números naturales no se pueden utilizar para expresar una temperatura bajo cero, el saldo en una cuenta de cheques que está sobregirada o qué tan lejos está un objeto debajo del nivel del mar. En esta sección se verá cómo pueden utilizarse los números negativos para describir estas tres situaciones al igual que muchas otras.

Objetivo 1

Definir el conjunto de los números enteros Para describir una temperatura de 2 grados sobre cero, un saldo de 50 dólares o 600 pies sobre el nivel del mar se pueden utilizar los llamados números positivos. Todos los números positivos son mayores que el 0 y se pueden escribir con o sin signo positivo +. En palabras 2 grados sobre cero Un saldo de 50 dólares 600 pies sobre el nivel del mar

En símbolos 2 50 600

Se lee como dos cincuenta seiscientos

Para describir una temperatura de 2 grados bajo cero, un sobregiro de 50 dólares o 600 pies debajo del nivel del mar, se necesita utilizar números negativos. Los números negativos son números menores que 0 y se escriben utilizando un signo negativo −. En palabras 2 grados bajo cero Un sobregiro de 50 dólares 600 pies debajo del nivel del mar

En símbolos 2 50 600

Se lee como menos dos menos cincuenta menos seiscientos

En conjunto, a los números positivos y negativos se les llama números con signo.

NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Los números positivos son mayores que 0. Los números negativos son menores que 0.

A la colección de los números naturales, de los negativos de los números naturales y el 0 se le llama conjunto de los números enteros.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

{ . . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

PUNTO de INTERÉS

Conjunto de enteros

Dado que todo número natural es un entero, se dice que el conjunto de números naturales es un subconjunto de los enteros.

Los tres puntos a la derecha indican que la lista continúa por siempre —no existe el entero más grande—. Los tres puntos a la izquierda indican que la lista continúa por siempre —no existe el entero más pequeño—. El conjunto de enteros positivos es {1, 2, 3, 4, 5, . . . } y el conjunto de enteros negativos es { . . . , 5, 4, 3, 2, 1}. { … 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5… } Conjunto de números naturales

Sección 1.1 Los números enteros

Objetivo 2

Representar números enteros en la recta numérica Los números negativos pueden representarse en una recta extendiendo la línea a la izquierda y dibujando una punta de flecha. Se empieza en el origen (el punto 0), y moviéndose a la izquierda, se marcan puntos igualmente espaciados como se muestra abajo. A medida que uno se mueve a la derecha en la recta, los valores de los números aumentan. A medida que uno se mueve a la izquierda, los valores de los números disminuyen.

Los números se vuelven mayores Números negativos −5

−4

−3

Cero

−2

−1

Números positivos 1

Los números se vuelven menores

La línea de tiempo es un ejemplo de una recta numérica horizontal. Tiene una escala en unidades de 500 años.

CIVILIZACIONES MAYAS 500 a.C. Comienza la cultura maya

300 d.C.– 900 d.C. Periodo clásico de la cultura maya

900 d.C.– 1441 d.C. 1400 d.C. Declive de la Mayapán cae 1697 d.C. contra los Última ciudad cultura maya invasores maya conquistada por España

500 a.C. a.C./d.C. 500 d.C. 1000 d.C. 1500 d.C. 2000 d.C. Basada en la información de People in Time and Place, Western Hemisphere (Silver Burdett & Ginn., 1991), p. 129

Una recta numérica horizontal

EJEMPLO

Mostrar en una gráfica de barra el ingreso neto de la compañía Eastman Kodak para los años 2003 al 2015. ESTRATEGIA Se construye una gráfica que muestre las ganancias y las pérdidas, teniendo en

cuenta la recta de los números enteros dibujada en forma vertical. SOLUCIÓN Dado que el ingreso neto en el 2007 fue de 676 millones de dólares positivos, la compañía generó una ganancia. Dado que el ingreso neto en el 2012 fue de 1.379 millones de dólares, la compañía tuvo una pérdida. La gráfica se muestra a continuación.

Al extender la recta numérica para incluir números negativos, se pueden representar más situaciones utilizando gráficas de barras y gráficas de líneas. Por ejemplo, la siguiente gráfica de barras muestra el ingreso neto de la compañía Eastman Kodak para los años 2003 al 2015. Dado que el ingreso neto en el 2007 fue de 676 millones de dólares positivos, la compañía generó una ganancia. Dado que el ingreso neto en el 2012 fue de 1.379 millones de dólares, la compañía tuvo una pérdida. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Números enteros Ingreso neto de la compañía Eastman Kodak 2.400 1.985

2.000 1.600 1.200 800

676

556 400 265 ’05 ’06 0

’03 ’04

’08 ’09 ’10 ’11

’12

’14 ’13

’07 –233

–400

’15 Año

–123 –80

–442 –601

–800

–687–764

Vectors Bang / Shutterstock

Millones de dólares

–1.200 –1.362

–1.600

–1.379

–2.000 Fuente: morningstar.com and google.com/finance

Recuerde que el símbolo significa “es menor que”, y que significa “es mayor que”. La figura de abajo muestra la gráfica de los enteros −2 y 1. Dado que el −2 está a la izquierda del 1 en la recta numérica, −2 1. Dado que −2 1, también es verdadero que 1 −2.

−4

Objetivo 3

−3

−2

−1

Representar números enteros en el plano cartesiano Cuando se va a ubicar un lugar determinado es necesario dar orientaciones precisas y universales; el plano cartesiano ofrece una alternativa para determinar dichas posiciones.

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano, también llamado sistema de coordenadas, es un arreglo formado por dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en el número cero (0) de dichas rectas.

La recta horizontal recibe el nombre de eje x, la recta vertical recibe el nombre de eje y. El punto de intersección entre las dos rectas se llama origen. Las cuatro regiones que se forman entre las dos rectas numéricas se llaman cuadrantes. En los cuadrantes se ubican puntos de coordenadas (x, y); el primero sobre el eje x y el segundo, desde el primero y, sobre el eje y.

Cuadrante II

–4 –3 –2 –1

Cuadrante III

4 3 2 1

Cuadrante I

1 2 3 4 5 –2 –3 –4 –5

Cuadrante IV

Sección 1.1 Los números enteros

EJEMPLO

Para encontrar puntos específicos que se encuentran dañados sobre una placa electrónica se trazó un plano cartesiano sobre ella. Los puntos por arreglar se encuentran en (2, 6), (–3, 4), ( 1, 5) y (3, 2). Ubique los puntos defectuosos. ESTRATEGIA Se dibuja un plano cartesiano y se ubica cada punto sobre su cuadrante

correspondiente. POR QUÉ Cada punto tiene una coordenada diferente, se debe tener en cuenta que el primer número se ubica sobre el eje x y a partir de esta posición se “sube o se baja” para ubicar la posición sobre el eje y. La gráfica muestra los puntos en los que se ubican los lugares defectuosos sobre la placa. (2, 6)

6 5 (–3, 4)

4 3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

0 –1

–2 (3, –2) –3 –4 –5 (–1, –5)

Objetivo 4

Encontrar el valor absoluto de un número entero Utilizando una recta numérica se puede observar que los números 3 y 3 están a una distancia de 3 unidades del 0, como se muestra abajo.

PUNTO de INTERÉS La regla del negativo de un opuesto El negativo del negativo de un número es ese número.

EJEMPLO

El valor absoluto de un número proporciona la distancia entre el número y el 0 en la recta numérica. Para indicar el valor absoluto, el número se inserta entre dos barras verticales, llamada símbolo de valor absoluto. Por ejemplo, se puede escribir | 3| 3. Esto se lee como “el valor absoluto del menos tres es 3” e indica que la distancia entre el −3 y el 0 en la recta numérica es de 3 unidades. A partir de la figura, también se observa que | 3| 3.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es la distancia en la recta numérica entre el número y el 0.

Encuentre cada valor absoluto: a. | 8 |

b. | 5|

c. | 0 |

ESTRATEGIA Se necesita determinar la distancia sobre la recta numérica medida desde el cero a la que está el número dentro de las barras de valor absoluto. POR QUÉ El valor absoluto de un número es su distancia al cero en una recta numérica. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Capítulo 1 Números enteros

RECUERDE QUE...

SOLUCIÓN

Opuestos o negativos

a. En la recta numérica la distancia entre el 8 y el 0 es 8. Por tanto,

Dos números que están a la misma distancia del 0 en la recta numérica, pero en lados opuestos del 0, se llaman opuestos. También se dice que uno es el negativo del otro.

|8| 8 b. En la recta numérica la distancia entre el 5 y el 0 es 5. Por tanto, | 5 | 5 c. En la recta numérica la distancia entre el 0 y el 0 es 0. Por tanto, |0| 0

EJERCICIOS 1.1

APLIQUE LO APRENDIDO

Complete los espacios. son mayores que el 0 y los núme1. Los números ros son menores que el 0.

11. Complete la tabla indicando el opuesto y el valor absoluto de los números dados. Número

2. {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } se llama conjunto de los . 3.

5. El de un número es la distancia entre este número y el 0 en la recta numérica. 6. A dos números que están a la misma distancia del 0 en una recta numérica, pero en lados opuestos de esta, se les llama . 7 . Represente cada una de estas situaciones utilizando un número con signo y después describa su opuesto en palabras a. Un superávit comercial de 3 millones de dólares.

Valor absoluto

−25 39

un entero significa localizarlo en la recta numérica y remarcarlo con un punto.

4. A los símbolos y se les llama símbolos de .

Opuesto

12. ¿El valor absoluto de un número siempre es positivo? 13. El opuesto del 3, el opuesto del 5 y el valor absoluto del 2. −5 −4 −3 −2 −1

14. El valor absoluto del 3, el opuesto del 3 y el número que es una unidad menor que el 3. −5 −4 −3 −2 −1

15. 2 más que el 0, 4 menos que el 0, 2 más que el menos 5 y 5 menos que el 4.

b. Un conteo de bacterias de 70 más que el estándar. −5 −4 −3 −2 −1

c. Una ganancia de 67 dólares. d. Un negocio de 1 millón de dólares en “números negros”. e. 20 unidades sobre su cuota.

9. a. Exprese el hecho −12 < 15 utilizando un símbolo >. b. Exprese el hecho −4 > −5 utilizando un símbolo <. 10. Complete el espacio: el opuesto del número es ese número.

de un

16. 4 menos que el 0, 1 más que el 0, 2 menos que el 2, y 6 más que el 4. −5 −4 −3 −2 −1

8. ¿Existe un número que sea mayor que el 10 y menor que el 10 al mismo tiempo?

Indique si cada enunciado es falso o verdadero. 17. 15

18. 77

19. 210

210

20. 37

Sección 1.1 Los números enteros

21. 1.255

1.254

22. 6.546

6.465

23. 0

24. 6

Encuentre cada valor absoluto. 25. | 9 |

26. | 12 |

27. | 8 |

28. | 1 |

29. | 14 |

30. | 85 |

31. | 180 |

32. | 371 |

61. NASCAR* En el campeonato de pilotos de la NASCAR se utilizan números negativos para indicar cuántos puntos detrás del líder está un determinado piloto. En el 2016 Jimmie Johnson fue el líder. Los otros conductores en la lista del top diez, listados alfabeticamente, fueron: Kurt Busch ( 2.744), Kyle Busch ( 5), Carl Edwards ( 33), Chase Elliot ( 2.755), Denny Hamlin ( 2.720), Kevin Harvick ( 2.751), Matt Kenseth ( 2.710), Kyle Larson ( 2.752) y Joey Logano ( 3). Utilice esta información para crear la lista de clasificación en la tabla de abajo. Fuente: NASCAR.com)

Simplifique cada expresión. 33. ( 11)

34. ( 1)

35. ( 4)

36. ( 9)

37. ( 102)

38. ( 295)

39. ( 561)

40. ( 703)

41. | 20 |

42. | 143 |

43. | 6 |

44. | 0 |

45. | 253 |

46. | 11 |

Lugar

Conductor

Puntos detrás del líder

47. | 0 |

48. | 97 |

Jimmie Johnson

Líder

Final del campeonato de pilotos de NASCAR 2016

Coloque un símbolo , o . en el recuadro para formar un enunciado verdadero.

49. | 12 |

( 7)

50. | 50 |

( 40)

51. | 71 |

| 65 |

52. | 163|

( 150)

53. ( 343)

( 161)

54. ( 999)

( 998)

55. | 30 |

| ( 8) |

56. | 100|

| ( 88)|

Simplifique cada expresión. 57. a. ( 18)

b. | 18|

58. a. | 27|

b. ( 27)

59. a. | ( 44)|

b. | ( 44)|

60. a. | ( 106)|

b. ( ( 106))

Fuente: NASCAR.com

Ubique en el plano cartesiano las siguientes parejas ordenadas. 62. (2, 0)

63. ( 3, 5)

64. (4, 1)

65. ( 6, 3)

66. ( 1, 0)

67. (0, 3)

68. ( 2, 4)

69. (5, 0)

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

Capítulo 1 Números enteros

b. ¿Cuál fue el mejor marcador en ese hoyo?

70. Escriba las coordenadas de los puntos ubicados en el plano cartesiano.

c. Explique por qué este hoyo parece ser más fácil para un golfista profesional.

73. Mapas del clima La ilustración muestra las temperaturas Fahrenheit pronosticadas para un día a mediados de enero.

5 D

4 H

3 2 B C

Seattle

20° 10°

A – 6 – 5 – 4 – 3 –2 –1 0 –1 E –2

0°

Fargo

10°

Chicago I

–3 L

Nueva York

Denver

–4

San Diego

–5

20° 30°

–6

Houston 40° Miami

71. iPhones Usted puede obtener una lectura mucho más precisa de la señal de un iPhone* marcando *3001#12345#*. El modo de prueba de campo se activa y las barras estándar de señal en la pantalla (en la esquina superior izquierda) son reemplazadas por un número negativo. Entre más cerca esté el número negativo al cero, más fuerte será la señal. ¿Qué iPhone muestra estar recibiendo la señal más fuerte? –57

–71

–49

–68

UMTS Cell Environment

MM Info

GSM Cell Environment

a. ¿Cuál es el intervalo de temperatura para la región, que incluye a Fargo, Dakota del Norte? b. De acuerdo con el pronóstico, ¿qué es lo más caluroso que se debe poner en Houston? c. De acuerdo con este pronóstico, ¿qué es lo más frío que se debe poner en Seattle? 74. Compañías en internet La siguiente gráfica muestra el ingreso neto de Amazon.com para los años 2002-2015 (fuente: Morningstar).

a. ¿En qué años sufrió Amazon* una pérdida? Aproxime cada pérdida.

72. Golf En el golf, el par es el número estándar de golpes considerados necesarios en un hoyo dado. Un marcador de 2 indica que el golfista utilizó 2 golpes menos que el par. Un marcador de 2 significa que se utilizaron 2 golpes más que el par. En la gráfica que se muestra cada pelota de golf representa el marcador de un golfista profesional en el hoyo 16 de cierto campo.

b. ¿En qué año Amazon obtuvo su primera ganancia? Proporcione un valor aproximado de ella. c. ¿En qué año tuvo Amazon su mayor ganancia? Aproxime su valor. 1.200

a. ¿Qué marcador fue tirado con mayor frecuencia en este hoyo?

Ingreso neto de Amazon.com

1.000

Hoyo 16 Campo de golf

Millones de dólares

800 600 400 200 0 −3

−2

−1

Bajo par

Par

2 Sobre par

’02

’12 ’03 ’04 ’05 ’06 ’07 ’08 ’09 ’10 ’11

’14 ’13

–200 –400

* Los derechos pertenecen al titular de la marca. Esta mención se hace solo con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

’15

Año

Sección 1.1 Los números enteros

75. Astronomía Los astrónomos emplean una recta numérica vertical invertida llamada escala de magnitud aparente para indicar la luminosidad de los objetos en el cielo. Mientras más brillante parezca un objeto a un observador en la Tierra, más negativa es su magnitud aparente. Grafique cada uno de los siguientes en la escala a la derecha. Límite visual de binoculares 10 Q Límite visual de un telescopio grande 20 Q Límite visual a simple vista 6 Q Luna llena 12 Q Plutón 15 Q

77. Explique el concepto de opuesto de un número. 78. ¿Qué situación en la vida real piensa que da origen al concepto de un número negativo? 79. Explique por qué el valor absoluto de un número nunca es negativo. 80. Dé un ejemplo del uso de una recta numérica que haya visto en algún otro curso.

–25

–15 –10 Magnitud aparente

Sirio (una estrella brillante) 2 Q Sol 26 Q Venus 4 Q

Brillante

–20

81. Buceo Los buzos emplean los términos flotabilidad positiva, flotabilidad neutra y flotabilidad negativa como se muestra. ¿Qué piensa que significa cada uno de estos términos?

–5 0

Flotabilidad positiva

Oscura

Flotabilidad neutra

20 25

Flotabilidad negativa

76. Jardinería La ilustración muestra las profundidades a las que deben plantarse las raíces de varios tipos de bulbos de flor. (El símbolo " representa pulgadas.) a. ¿A qué profundidad se debe plantar un bulbo de tulipán? b. ¿Qué tan más profundo se plantan los bulbos de jacinto que los bulbos de gladiola? c. ¿Qué bulbo debe plantarse lo más profundamente? ¿Qué tan profundo? Anémona

–1" –2"

82. Geografía Gran parte de Holanda está a altitud baja, con la mitad del país debajo del nivel del mar. Explique por qué no están bajo el agua. 83. Suponga que el entero A es mayor que el entero B. ¿El opuesto del entero A es mayor que el entero B ? Explique por qué sí o por qué no. Use un ejemplo. 84. Explique por qué el 11 es menor que el 10.

Sparaxis Ranúnculos

–3" Narcisos –4" –5"

Fresa Gladiolas

–6" –7"

Jacinto Tulipán

–8" Azucena

–9" –10" –11"

Tabla de plantación

Capítulo 1 Números enteros

SECCIÓN 1.2

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar números enteros es importante recordar que los sumandos pueden estar en las siguientes condiciones: ◾ Todos positivos ◾ Todos negativos ◾ Uno positivo y uno negativo

Objetivo 1

Sumar números enteros que tienen el mismo signo 1. Para sumar dos enteros positivos, súmelos como siempre. La respuesta final es positiva. 2. Para sumar dos enteros negativos, sume sus valores positivos y haga negativa la respuesta final.

EJEMPLO

Sume: a. 3 ( 5)

b. 26 ( 65)

c. 456 ( 177)

ESTRATEGIA Se utilizará la regla para la suma de dos enteros que tienen el mismo signo. POR QUÉ En cada caso, se le pide que sume dos enteros negativos.

SOLUCIÓN a. Para sumar dos enteros negativos se suman los valores absolutos de los enteros y se hace negativa la respuesta final. Dado que | 3 | 3 y | 5 | 5, se tiene 3 ( 5) 8 ▲

Sume sus valores absolutos, 3 y 5, para obtener 8. Después haga negativa la respuesta final.

b. Encuentre los valores absolutos: | 26 | 26 y | 65 | 65 26 ( 65) 91 ▲

Sume sus valores absolutos, 26 y 65, para obtener 91. Después haga negativa la respuesta final.

c. Encuentre los valores absolutos: | 456 | 456 y | 177 | 177 456 ( 177) 633 ▲

CONSEJ O ÚTIL

Objetivo 2

26 65 91

456 177 633

Sume sus valores absolutos, 456 y 177, para obtener 633. Después haga negativa la respuesta final.

Los cálculos que no pueda desarrollar de manera mental deben mostrarse fuera de los pasos de su solución.

Sumar dos enteros que tienen signos diferentes Para sumar un entero positivo y un entero negativo reste el valor absoluto más pequeño del más grande. 1. Si el entero positivo tiene el valor absoluto más grande, la respuesta final es positiva. 2. Si el entero negativo tiene el valor absoluto más grande, haga negativa la respuesta final.

Sección 1.2 1.1 Adición de números enteros

EJEMPLO

Sume:

a. 8 ( 4)

b. 41 17

c. 206 568

ESTRATEGIA Se utilizará la regla para la suma de dos enteros que tienen signos diferentes. POR QUÉ En cada caso, se le pide que sume un entero positivo y un entero negativo.

SOLUCIÓN a. Encuentre los valores absolutos: | 8 | 8 y | 4 | 4 8 ( 4) 4

Reste el valor absoluto más pequeño del más grande: 8 4 4. Dado que el número positivo, 8, tiene el valor absoluto más grande, la respuesta final es positiva.

b. Encuentre los valores absolutos: | 41 | 41 y | 17 | 17 41 17 24 ▲

Reste el valor absoluto más pequeño del más grande: 41 17 24. Dado que el número negativo, 41, tiene el valor absoluto más grande, haga negativa la respuesta.

3 11

41 17 24

c. Encuentre los valores absolutos: | 206 | 206 y | 568 | 568 206 568 362

EJEMPLO

Reste el valor absoluto más pequeño del más grande: 568 206 362. Dado que el número positivo, 568, tiene el valor absoluto más grande, la respuesta final es positiva.

568 206 362

Evalúe: 3 5 ( 12) 2 ESTRATEGIA Dado que no hay cálculos dentro de paréntesis, ni hay expresiones exponenciales ni hay tampoco multiplicación o división, se desarrollarán las sumas empezando de izquierda a derecha. POR QUÉ Este es el paso 4 de la regla de jerarquía de las operaciones.

SOLUCIÓN 3 5 ( 12) 2 2 ( 12) 2

EJEMPLO

Use la regla para la suma de dos enteros que tienen signos diferentes: 3 5 2.

10 2

Use la regla para la suma de dos enteros que tienen signos diferentes: 2 ( 12) 10.

Use la regla para la suma de dos enteros que tienen signos diferentes.

Evalúe: [ 21 ( 5)] ( 17 6) ESTRATEGIA Primero se desarrollarán la suma dentro de los corchetes y la suma dentro de los paréntesis. Después se sumarán esos resultados. POR QUÉ Por la regla de jerarquía de las operaciones se deben desarrollar primero los cálculos dentro de los símbolos de agrupación.

SOLUCIÓN Use la regla para la suma de dos enteros que tienen el mismo signo para realizar la suma dentro de los corchetes, y la regla para la suma de dos enteros que tienen signos diferentes para realizar la suma dentro de los paréntesis. [ 21 ( 5)] ( 17 6) 26 ( 11) 37

Sume dentro de cada par de símbolos de agrupación. Use la regla para la suma de dos enteros que tienen el mismo signo.

Capítulo 1 Números enteros

EJERCICIOS 1.2

APLIQUE LO APRENDIDO

1. a. ¿Cuál es el valor absoluto del 10? ¿Cuál es el valor absoluto del 12? b. ¿Cuál número tiene el valor absoluto más grande, el 10 o el 12? c. Utilizando sus respuestas al inciso a reste el valor absoluto más pequeño del valor absoluto más grande. ¿Cuál es el resultado? 2. a. Si perdió 6 dólares y después perdió 8, en total, ¿qué cantidad de dinero perdió? b. Si perdió 6 dólares y después ganó 8, ¿cuál fue su ganancia total? 3. a. ¿La suma de dos enteros positivos siempre es positiva? b. ¿La suma de dos enteros negativos siempre es negativa? c. ¿La suma de un entero positivo y un entero negativo siempre es positiva? d. ¿La suma de un entero positivo y un entero negativo siempre es negativa? 4. Complete la siguiente tabla encontrando el inverso aditivo, el opuesto y el valor absoluto de los números dados. Número

Inverso aditivo

Opuesto

Valor absoluto

29. 5 ( 9 8) ( 2) 30. ( 9 12) ( 4) 31. 9 1 ( 2) ( 1) 9 32. 5 4 ( 6) ( 4) ( 5) 33. [6 ( 4)] [8 ( 11)] 34. [5 ( 8)] [9 ( 15)] 35. ( 4 8) ( 11 4) 36. ( 12 6) ( 6 8) 37. 675 ( 456) 99 38. 9.750 ( 780) 2.345 39. Encuentre la suma del 6, 7 y 8. 40. Encuentre la suma del 11, 12 y 13. 41. 2 [789 ( 9.135)] 42. 8 [2.701 ( 4.089)] 43. ¿Cuánto es 25 más que 45? 44. ¿Cuánto es 31 más que 65? 45. Tienda departamental La siguiente gráfica muestra el ingreso anual neto de Sears durante los años 2007 al 2016. a. Aproxime con redondeo por la izquierda el ingreso total de la compañía durante este periodo de 10 años.

19 2

b. ¿Cuál es el millar de millón más cercano a su respuesta al inciso a?

Sume. 6. 8 ( 8)

7. 43 ( 12)

8. 55 ( 36)

9. 423 ( 164)

10. 709 ( 187)

11. 9 3

12. 4 ( 2)

1.500 Millones de dólares

5. 2 ( 3)

Ingreso neto de Sears Holdings Corp 2.000

1.000

1.492 826

500

235 53

13. 18 10

14. 75 ( 56)

15. 589 ( 242)

16. 704 649

17. 2 6 ( 1)

18. 4 ( 3) ( 2)

19. 7 0

20. 0 ( 15)

21. 24 ( 15)

22. 4 14

–2.500

23. 435 ( 127)

24. 346 ( 273)

–3.000

25. 7 9

26. 3 6

–3.500

27. 2 ( 2)

28. 10 10

133 ’12 ’13 ’14 ’15

’16

’07 ’08 ’09 ’10 ’11

–500 –1.000

–930 –1.129 –1.365 –1.682

–1.500 –2.000

–3.140 Fuente: financials.morningstar.com

Sección 1.3 1.2 Adición de números enteros

46. Contabilidad En un estado financiero, los pasivos (considerados números negativos) se escriben dentro de paréntesis. Los activos (considerados números positivos) se escriben sin paréntesis. ¿Cuál es el patrimonio neto de 2009 para el preescolar cuyos registros financieros se muestran abajo?

Ingresos (millones)

Egresos (millones)

211.046

347.604

Nov.

204.968

269.517

Dic.

349.631

364.075

Ene.

313.579

258.416

Balance (dólares)

Feb.

169.147

361.757

Útiles escolares

5.889

Mar.

227.848

335.891

Necesidades de emergencia

927

Abril

438.432

331.977

Programa de vacaciones

(2.928)

Mayo

224.604

277.111

Seguro

1.645

Limpieza

(894)

Junio

329.572

323.320

Permisos

715

Julio

209.998

322.817

(6.321)

Ago.

231.327

338.438

Sep.

356.537

323.178

Total

3.266.688

3.854.100

Fondo

Mantenimiento SALDO

47. Hojas de datos En la hoja de datos de abajo se listan los totales de lluvia mensuales para cuatro condados. El 1 introducido en la celda B1 significa que el total de la lluvia para el Condado Suffolk para cierto mes fue de 1 pulgada debajo del promedio. Se puede analizar esta información pidiéndole a la computadora que desarrolle varias operaciones.

Archivo Edición Vista Insertar Formato Herramientas Datos Ventana Ayuda

49. Presupuesto Federal de Estados Unidos En la gráfica de abajo se muestran los ingresos y egresos del gobierno de Estados Unidos en el año fiscal 2015. a. ¿Qué número debería usarse para marcar la barra del déficit en la gráfica?

C –1 0 –1 –2

D –1 –2 +1 –2

E 0 +1 +2 +1

F +1 +1 +1 –1

c. Explique su respuesta al inciso b.

+1 –1 +1 –3

Año fiscal 2015 4.000 3.689 3.500

a. Para pedirle a la computadora que sume los números en las celdas B1, B2, B3 y B4, se teclea SUM (B1:B4). Encuentre esta suma. b. Encuentre SUM(F1:F4). 48. Presupuesto Federal de Estados Unidos La tabla de abajo, muestra los ingresos y egresos del gobierno de Estados Unidos para el año fiscal 2016 mes por mes. (Fuente: Departamento del Tesoro.) a. ¿Durante qué meses los ingresos del gobierno exceden los egresos? b. ¿Hubo ganancia o pérdida en el año fiscal del gobierno? ¿De cuánto fue?

3.249 Miles de millones de dólares

1 2 3 4 5

A Suffolk Marin Logan Tipton

Meses

b. ¿Qué cantidad de dólares está representada por la barra de déficit en la gráfica?

Libro 1 .. .

Año ﬁscal 2016 Oct.

Estado ﬁnanciero del preescolar ABC, junio de 2017

3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 Déficit 0

Ingresos

Egresos

–500 Fuente: Department of the Treasury

c. Escriba con letra el número que obtuvo en el inciso b.

Capítulo 1 Números enteros

SECCIÓN 1.3

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros se le suma al primer número el opuesto del segundo, teniendo en cuenta el uso del paréntesis en el caso de que el opuesto sea un número negativo.

Objetivo 1

Determinar si un número es una solución Al restar dos números enteros es importante prestar antención a los respectivos números opuestos.

EJEMPLO

Reste: a. 12 de 8.

b. 8 de 12.

ESTRATEGIA Se traducirá cada frase a símbolos matemáticos y después se desarrollará la resta. Se debe tener cuidado cuando se traduce la instrucción para restar un número de otro número. POR QUÉ El orden de los números en cada frase en palabras debe invertirse cuando se traduce

a símbolos matemáticos. SOLUCIÓN a. Dado que el 12 es el número a restarse, se invierte el orden en el que aparecen en el enunciado el 12 y el 8 cuando se traduce a símbolos. Restar 12 de

▲

8 ( 12)

Escribir 12 dentro de paréntesis.

Para encontrar la diferencia se escribe la resta como una suma del opuesto: Sume … ▼

8 ( 12) 8 12 4 ▲

Use la regla para la suma de dos enteros con diferentes signos.

… el opuesto b. Dado que el 8 es el número a restarse, se invierte el orden en el que aparecen en el enun-

ciado el 8 y el 12 cuando se traduce a símbolos. Restar 8 de

12 ▲

▲

12 ( 8)

Escribir 8 dentro de paréntesis.

Para encontrar la diferencia, se escribe la resta como una suma del opuesto: Sume … ▼

12 ( 8) 12 8 4 Use la regla para la suma de dos ▲

enteros con signos diferentes.

… el opuesto

EJEMPLO

Evalúe: 80 ( 2 24) ESTRATEGIA Se considerará primero la resta dentro de los paréntesis y se reescribirá esta como

una adición del opuesto. POR QUÉ Por la regla de jerarquía de las operaciones, se deben desarrollar primero los cálculos

dentro de los paréntesis. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Sección 1.3 Sustracción de números enteros

SOLUCIÓN 80 ( 2 24) 80 [ 2 ( 24)] Sume el opuesto del 24, el cual es el

24. Dado que el 24 debe reescribirse dentro de paréntesis, se escribe 2 ( 24) con corchetes.

80 ( 26)

Dentro de los corchetes sume el 2 y el 24. Dado que ahora solo se necesita un conjunto de símbolos de agrupación, se puede escribir la respuesta, 26, dentro de paréntesis.

7 10

80 26 54

Sume el opuesto del 26, el cual es el 26. Use la regla para la suma de enteros que tienen signos diferentes.

EJEMPLO

Evalúe: ( 6) ( 18) 4 ( 51) ESTRATEGIA Esta expresión involucra una suma y dos restas. Se escribirá cada resta como una suma del opuesto y después se evaluará la expresión. POR QUÉ Es fácil cometer un error cuando se restan números con signo. Probablemente será

más acertado si se escribe cada resta como una suma del opuesto. SOLUCIÓN Se aplica la regla para la resta dos veces. Después se sumarán por separado los positivos y los negativos y se sumarán esos resultados. (Por las propiedades conmutativa y asociativa de la suma, se pueden sumar los enteros en cualquier orden.) ( 6) ( 18) 4 ( 51) 6 ( 18) ( 4) 51

Simplifique: ( 6) 6. Sume el opuesto del 4, el cual es el 4, y sume el opuesto del 51, el cual es el 51.

(6 51) [( 18) ( 4)] Reordene los enteros. Después agrupe los positivos entre sí y agrupe los negativos entre sí.

EJEMPLO

57 ( 22)

Sume los positivos dentro de los paréntesis. Sume los negativos dentro de los corchetes

Use la regla para la suma de enteros que tienen signos diferentes.

La ciudad del viento El récord de temperatura máxima para Chicago, Illinois, es de 104°F. El récord de temperatura mínima es de 27°F. Encuentre el rango de temperaturas para estos extremos. (Fuente: weather.com) ESTRATEGIA Se restará la temperatura más baja ( 27°F) de la temperatura más alta (104°F). POR QUÉ El rango de una colección de información indica la distancia máxima entre los datos. Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores.

SOLUCIÓN

Se aplica la regla para la resta y se suma el opuesto del 27.

104 ( 27) 104 27

104° es la temperatura más alta y 27° es la más baja.

131 El rango de temperaturas para estos extremos es de 131°F.

Capítulo 1 Números enteros

Las circunstancias están cambiando de manera constante en la vida diaria. La cantidad de dinero que se tiene en el banco, el precio de la gasolina y las edades son ejemplos. En matemáticas, la operación de resta se utiliza para medir un cambio. Para encontrar el cambio en una cantidad se resta el valor anterior del valor posterior. Cambio valor posterior valor anterior

EJERCICIOS 1.3

APLIQUE LO APRENDIDO

1. Explique qué significa que la resta es lo mismo que la suma del opuesto. 2. Dé un ejemplo que muestre que es posible restar algo de nada. 3. Explique cómo comprobar el resultado: 7 4 11 4. Explique por qué los estudiantes no necesitan cambiar toda resta que se encuentren a una suma del opuesto. Dé algunos ejemplos. 5. ( 8 2) ( 6) [ 8 (

) ] ( 6)

( 6)

19. 5 7 ( 1) 8 20. 5 9 ( 4) 16 21. Reste 3 de 7.

22. Reste 8 de 2.

23. 2 ( 10)

24. 6 ( 12)

25. 0 ( 5)

26. 0 8

27. (6 4) (1 2)

28. (5 3) (4 6)

29. 5 ( 4)

30. 12 ( 7)

31. 3 3 3

32. 1 1 1

34. ( 8) ( 33) 7 ( 21)

[ 1 (

5 (

18. 9 (1 10)

33. ( 9) ( 20) 14 ( 3)

6. ( 5) ( 1 4)

17. 8 (4 12)

)]

)

35. [ 4 ( 8)] ( 6) 15 36. [ 5 ( 4)] ( 2) 22 37. Reste 6 de 10. 38. Reste 4 de 9. 39. 3 ( 3)

40. 5 ( 5)

Realice las operaciones indicadas.

41. 8 [4 ( 6)]

42. 1 [5 ( 2)]

7. a. Reste 1 de 11.

43. 4 ( 4)

44. 3 3

b. Reste 11 de 1.

45. ( 6 5) 3 ( 11)

8. a. Reste 2 de 19.

46. ( 2 1) 5 ( 19)

b. Reste 19 de 2. 9. a. Reste 41 de 16. b. Reste 16 de 41. 10. a. Reste 57 de 15. b. Reste 15 de 57. Evalúe cada expresión. 11. 1 ( 4 6)

12. 7 ( 2 14)

13. 42 ( 16 14)

14. 45 ( 8 32)

15. 9 (6 7)

16. 13 (6 12)

47. Historia Dos de los más grandes matemáticos griegos fueron Arquímedes (287–212 a.n.e.) y Pitágoras (569– 500 a.n.e.). a. Exprese el año del nacimiento de Arquímedes como un número negativo. b. Exprese el año del nacimiento de Pitágoras como un número negativo. c. ¿Cuál es la diferencia de años entre el nacimiento de uno y otro? 48. Amperaje Durante la operación normal, el amperímetro en un automóvil da una lectura de 5. Si se encienden los faros, la lectura del amperímetro disminuye 7 amperes. Si

Sección 1.4 Multiplicación de enteros

se enciende el radio, la lectura disminuye 6 amperes. ¿Qué lectura registrará el amperímetro si ambos se encienden?

53. Liofilización Para preparar café liofilizado, los granos de café se tuestan a una temperatura de 360 °F y después la mezcla de los granos de café molidos se congela a una temperatura de 110 °F. ¿Cuál es el rango de temperaturas del proceso de liofilización?

15 20 Amps

49. Rummy Después de perder una ronda, un jugador de cartas debe deducir el valor de cada una de las cartas que le quedan en su mano de su total de puntos anterior de 21. Si las cartas con figura se cuentan como 10 puntos, ¿cuál es el nuevo marcador?

−5 −10 −15 – −20 Amps

2 J

50. Protección de sobregiro Una estudiante olvidó que solo tenía 15 dólares en su cuenta de banco y expidió un cheque por 25 dólares, usó un cajero automático para obtener 40 dólares en efectivo y utilizó su tarjeta de débito para comprar 30 dólares de comestibles. En cada una de estas tres transacciones, el banco le cargó una cuota de protección de sobregiro de 20 dólares. Encuentre el nuevo estado de cuenta. 51. Cuenta de cheques Michael tiene 1.303 dólares en su cuenta de cheques. ¿Puede pagar el seguro premium de su automóvil de 676 dólares, su cuenta de servicios públicos de 121 dólares y su renta de 750 dólares sin tener que realizar otro depósito? Explique. 52. Extremos de temperatura En la tabla se muestran las temperaturas máximas y mínimas en grados Fahrenheit registradas en varias ciudades. Liste las ciudades en orden, de la de mayor a la de menor rango de temperaturas extremas.

54. Clima Rashawn voló de su hogar en Nueva York a Hawái para una semana de vacaciones. Dejó una tormenta de nieve y una temperatura de 6 °F, y se bajó del avión a un clima de 85 °F. ¿Qué cambio de temperatura experimentó? 55. Pruebas detectoras de mentiras En una prueba detectora de mentiras, un ladrón sacó 18, lo cual indica que miente. Sin embargo, en una segunda prueba, sacó 1, lo cual es poco concluyente. Encuentre el cambio en las calificaciones. 56. Música Mostramos una captura de pantalla de una persona escuchando una canción por Bruno Mars. El símbolo 1:27 que aparece en la izquierda significa 1 minuto y 27 segundos de transcurrida la canción. a. ¿Qué significa el símbolo –2:19 que aparece en la derecha? b. ¿Cuánto dura la canción completa? 24K Magic Bruno Mars – 24K Magic 1:27

–2:19

Temperaturas extremas Ciudad

Máxima

Mínima

103

Barrow, AK

Kansas City, MO

109

Atlantic City, NJ

106

Norfolk, VA

105

Portland, ME

Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2017

SECCIÓN 1.4

MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS QUE TIENEN SIGNOS DIFERENTES (NO SEMEJANTES)

Para multiplicar un entero positivo y un entero negativo multiplique sus valores absolutos. Después haga negativa la respuesta final.

Capítulo 1 Números enteros

MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS QUE TIENEN LOS MISMOS SIGNOS (SEMEJANTES)

Para multiplicar dos enteros que tienen el mismo signo multiplique sus valores absolutos. La respuesta final es positiva.

Objetivo 1

Multiplicar números enteros Al multiplicar dos números enteros se debe tener en cuenta, además del resultado de la multiplicación de los números, el signo final.

EJEMPLO

b. 93 16

Multiplique: a. 7( 5)

c. 23( 42)

d. 2.500( 30.000)

ESTRATEGIA Se utilizará la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen los mismos signos (semejantes). POR QUÉ En cada caso se pide que se multipliquen dos enteros negativos.

SOLUCIÓN a. Encuentre los valores absolutos: | 7 | 7 y | 5 | 5. 7( 5) 35

Multiplique los valores absolutos, 7 y 5, para obtener 35. Luego cambie el signo a la respuesta parcial para obtener la respuesta final.

▲

b. Encuentre los valores absolutos: | 93 | 93 y | 16 | 16.

93 16 1.488

Multiplique los valores absolutos, 93 y 16, para obtener 1.488. Después haga negativa la respuesta final.

▲

c. Encuentre los valores absolutos:

23 ( 42) 966

42 23 126 840 966

| 23 | 23 y | 42 | 42.

Multiplique los valores absolutos 23 y 42 para obtener 966. La respuesta final es positiva.

d. Se puede extender el método explicado en la sección 1.4 para la multiplicación de factores

de números naturales que terminan en cero a los productos de enteros que terminan en cero 2.500 ( 30.000) 75.000.000

Añada seis ceros después del 75.

Multiplique el 25 y el 3 para obtener 75.

Uso de la calculadora ▶

Multiplicación con números negativos

En época de Acción de gracias, una cadena grande de supermercados les ofreció a sus clientes un pavo gratis con cada compra de comestibles de 200 dólares o más. Cada pavo le costó a la tienda 8 dólares y 10.976 personas aprovecharon la oferta. Dado que cada uno de los 10.976 pavos regalados representaron una pérdida de 8 dólares (la cual puede expresarse como −8), la compañía perdió un total de 10.976 (−8). Para desarrollar esta multiplicación utilizando una calculadora, se introduce lo siguiente:

Introducción inversa:

10.976

Introducción directa:

10.976

( )

⫺87808

ENTER

⫺87808

El resultado negativo indica que con la promoción de un pavo de regalo, la cadena de supermercados perdió 87.808 dólares.

Sección 1.4 Multiplicación de enteros

Objetivo 2

Evaluar expresiones con varias multiplicaciones Para evaluar expresiones que contienen varias multiplicaciones se hace un uso repetitivo de las reglas para la multiplicación de dos enteros.

EJEMPLO

Evalúe cada expresión: a. 6( 2)( 7)

b. 9(8)( 1)

c. 3( 5)(2)( 4)

ESTRATEGIA Dado que no hay cálculos dentro de paréntesis y tampoco expresiones exponenciales, se desarrollarán las multiplicaciones empezando de izquierda a derecha. POR QUÉ Este es el paso 3 de la regla de jerarquía de las operaciones.

SOLUCIÓN a. 6( 2)( 7) 12( 7)

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen signos diferentes: 6( 2) 12.

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen el mismo signo.

b. 9(8)( 1) 72( 1)

Las propiedades conmutativa, asociativa, multiplicación por 0 y multiplicación por 1 que se cumplen en la multiplicación de números naturales, también se cumplen en la multiplicación de números enteros.

EJEMPLO

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen signos diferentes: 9(8) 72.

RECUERDE QUE...

12 7 84

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen el mismo signo.

c. 3( 5)(2)( 4) 15(2)( 4)

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen el mismo signo: 3( 5) 15.

30( 4)

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen el mismo signo: 15(2) 30.

120

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen signos diferentes.

Use las propiedades conmutativa y/o asociativa de la multiplicación para evaluar cada expresión del ejemplo 3 de una manera diferente: a. 6( 2)( 7)

b. 6( 2)( 7)

c. 3( 5)(2)( 4)

ESTRATEGIA Cuando sea posible, se utilizarán las propiedades conmutativa y/o asociativa de la multiplicación para multiplicar pares de factores negativos. POR QUÉ El producto de dos factores negativos es positivo. Con este método se trabaja con

menos números negativos y se disminuye la posibilidad de error. SOLUCIÓN a. 6( 2)( 7) 6(14)

Multiplique los últimos dos factores negativos para formar un producto positivo: 7( 2) 14.

84 b. 9(8)( 1) 9(8)

14 6 84

Multiplique los factores negativos para formar un producto positivo: 9( 1) 9.

72 c. 3( 5)(2)( 4) 15( 8)

Multiplique los primeros dos factores negativos para formar un producto positivo. Multiplique los últimos dos factores.

120

Use la regla para la multiplicación de dos enteros que tienen signos diferentes.

15 8 120

Capítulo 1 Números enteros

EJEMPLO

Evalúe:

a. 2( 4)( 5)

b. 3( 2)( 6)( 5)

menos números negativos y se disminuye la posibilidad de un error. SOLUCIÓN a. Observe que esta expresión es el producto de tres (un número impar) enteros negativos. 2( 4)( 5) 8( 5) 40

Multiplique los primeros dos factores negativos para formar un producto positivo. El producto es negativo.

b. Observe que esta expresión es el producto de cuatro (un número par) enteros negativos.

3( 2)( 6)( 5) 6(30)

180

Multiplique los primeros dos factores negativos y los últimos dos factores negativos para formar productos positivos. El producto es positivo.

El ejemplo 3, inciso a, ilustra que un producto es negativo cuando el número de factores negativos es impar. El ejemplo 3, inciso b, ilustra que un producto es positivo cuando el número de factores negativos es par.

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO PAR E IMPAR DE ENTEROS NEGATIVOS El producto de un número par de enteros negativos es positivo. El producto de un número impar de enteros negativos es negativo.

Objetivo 3

Expresiones exponenciales con base negativa Cuando la multiplicación se presenta como potenciación se deben tener en cuenta dos situaciones: ◾ Cuando se eleva un entero negativo a una potencia par, el resultado es positivo. ◾ Cuando se eleva un entero negativo a una potencia impar, el resultado es negativo. Recuerde que las expresiones exponenciales que tienen exponente natural se utilizan para representar una multiplicación repetitiva. Por ejemplo, 2 a la tercera potencia o 23, es una manera acortada de escribir 2 2 2. En esta expresión, el exponente es el 3 y la base es el 2 positivo. En el siguiente ejemplo se evalúan expresiones exponenciales con bases que son números negativos.

EJEMPLO

Evalúe cada expresión: a. ( 2)4

b. ( 5)3

c. ( 1)5

ESTRATEGIA Se escribirá cada expresión exponencial como un producto de factores repetitivos

y después se desarrollará la multiplicación. Esto requiere identificar la base y el exponente. POR QUÉ El exponente indica el número de veces que la base se va a escribir como un factor. MUESTRA ISSUU © D.R. 2023 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.

Sección 1.4 Multiplicación de enteros

SOLUCIÓN a. Se lee ( 2)4 como “menos dos elevado a la cuarta potencia” o como “la cuarta potencia de menos dos”. Observe que el exponente es par. ( 2)4 ( 2)( 2)( 2)( 2) Escriba la base, el, 2, como un factor 4 veces. 4(4) Multiplique los primeros dos factores negativos y los últimos dos factores negativos para formar productos positivos.

El resultado es positivo.

b. Se lee ( 5) como “menos cinco elevado a la tercera potencia” o como “la tercera potencia menos cinco” o como “menos cinco”. Observe que el exponente es impar. ( 5)3 ( 5)( 5)( 5) Escriba la base, el, 5, como un factor 3 veces. 2 25 25( 5) Multiplique los primeros dos factores para formar 5 un producto positivo.

125

El resultado es negativo.

c. Se lee ( 1)5 como “menos uno elevado a la quinta potencia” o como “la quinta potencia de menos uno”. Observe que el exponente es impar. ( 1)5 ( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) 1(1)( 1) 1

RECUERDE QUE... La base de una expresión exponencial no incluye al signo negativo a menos que se utilicen paréntesis. 7

( 7)

El resultado es negativo.

Aunque las expresiones exponenciales ( 3)2 y 32 se ven parecidas, no son iguales. Se lee ( 3)2 como “menos tres al cuadrado” y 32 como “el opuesto del cuadrado de tres”. Cuando se evalúan, se vuelve claro que no son equivalentes. ( 3)2 ( 3)( 3)

Base positiva: 7 3

Escriba la base, el 1, como un factor 5 veces. Multiplique el primer y el segundo factores negativos y multiplique el tercer y el cuarto factores negativos para formar productos positivos.

Base negativa: 7

Debido a los paréntesis, la base es el 3. El exponente es el 2.

32 (3 ? 3) 9

Dado que no hay paréntesis alrededor del 3, la base es el 3 y el exponente es el 2.

Resultados diferentes

EJEMPLO

Evalúe:

ESTRATEGIA Se rescribirá la expresión como un producto de factores repetitivos y después se desarrollará la multiplicación. Se debe tener cuidado cuando se identifica la base. Esta es el 2, no el 2. POR QUÉ Dado que no hay paréntesis alrededor del 2, la base es el 2.

SOLUCIÓN 22 (2 ? 2) 4

Se lee como “el opuesto del cuadrado del dos”. Realice la multiplicación dentro de los paréntesis para obtener 4. Después escriba el opuesto de ese resultado.

Capítulo 1 Números enteros

Uso de la calculadora ▶

Elevar a una potencia un número negativo 6

Se pueden encontrar potencias de números negativos, como ( 5) , utilizando una calculadora. La secuencia de teclas que se utilizan para evaluar tal expresión varía de modelo a modelo, como se muestra abajo. Necesitará determinar qué secuencia de teclas produce el resultado positivo que se espera cuando se eleva a una potencia par un número negativo. 5

(

( )

)

Algunas calculadoras no requieren que se introduzcan paréntesis.

6 6

Otras calculadoras requieren que se introduzcan paréntesis.

ENTER

15625 6

En la pantalla de la calculadora, se observa que ( 5) 15.625.

EJERCICIOS 1.4

APLIQUE LO APRENDIDO

1. Explique por qué el producto de un número positivo y un número negativo es negativo, utilizando 5( 3) como ejemplo. 2. Explique la regla de la multiplicación para enteros que se muestra en el patrón de signos abajo. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ? ? ?

3. Cuando se multiplica un número por 1, el resultado es el opuesto del número original. Explique por qué. 4. Un estudiante asevera: “Un positivo y un negativo es negativo”. ¿Qué hay de equivocado en este enunciado? 5. El producto de dos enteros con signos tivo.

es nega-

6. El producto de dos enteros con signos tivo.

es posi-

7. El producto de cualquier entero y el 0 es

10. Si se evaluara cada una de las siguientes expresiones, ¿cuál sería el signo del resultado? a. ( 5)13

b. ( 3)20

Multiplique. 11. 4( 6)

12. 5( 7)

13. 17( 8)

14. 39( 3)

15. 42 ? 24

16. 76 ? 1.000

17. ( 9)( 3)

18. 5( 1)

19. 4( 73)

20. 8( 48)

21. 61( 29)

22. 20.000( 3.200)

Evalúe cada expresión. 23. 9( 3)( 4)

24. 8(7)( 2)

25. 3( 5)(2)( 9)

26. 9( 3)(4)( 2)

27. 4( 6)( 3)

28. 5( 2)( 5)

29. 1( 4)( 2)( 4)

30. 6( 3)( 6)( 1)

31. ( 6)3

32. ( 3)5

8. El producto de un número par de enteros negativos es y el producto de un número impar de enteros negativos es .

33. ( 7)4

34. ( 1)10

35. ( 7)2 y 72

36. ( 5)2 y 52

9. Encuentre cada valor absoluto.

37. ( 12)2 y 122

38. ( 11)2 y 112

39. 6( 4)( 2)

40. 3( 2)( 3)

a. | 3|

b. | 12|

Sección 1.4 1.5 Multiplicación de enteros

41. 42 ? 200.000

42. 56 ? 10.000

43. 54

44. 24

45. 12( 12)

46. 5( 5)

47. ( 1)6

48. ( 1)5

58. Soportes de una plataforma Después de una tormenta de invierno, el dueño de una casa hace que una firma de ingeniería inspeccione su plataforma dañada. El reporte concluye que los postes de los cimientos originales no estaban hundidos lo suficiente, por un factor de 3. ¿Qué número con signo representa la profundidad a la que los postes se debieron haber hundido?

Desarrolle las operaciones indicadas. 49. a. 15 ( 7)

b. 15 ( 7)

c. 15( 7) 50. a. 18( 8)

b. 18 ( 8)

c. 18 ( 8) 51. a. 41 ( 34)

Nivel del suelo

b. 41( 34)

c. 41 ( 34) 52. a. 62 22

b. ( 62)22

Postes existentes de 6 pies de profundidad Los postes deben estar a esta profundidad

c. 62 22 53. Japón La población de Japón está disminuyendo cerca de 470.600 personas al año, debido a la baja tasa de nacimientos. Si este comportamiento continua, ¿Cuál será el decremento total de la población en los siguientes 25 años? (Fuente: Washingtonpost.com) 54. Planetas La temperatura promedio en la superficie de Marte es de 81 °F. Encuentre la temperatura promedio en la superficie de Urano si es cuatro veces más frío que Marte. (Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2017) 55. Pérdida de cultivos Un granjero, preocupado de que sus árboles frutales sufran daño por congelación, llama al servicio meteorológico para pedir información sobre la temperatura. Se le dice que las temperaturas comenzarán a descender aproximadamente 5 grados cada hora por las siguientes cinco horas. ¿Qué número con signo representa el cambio total en temperatura esperado en las siguientes cinco horas? 56. Deducción de impuestos Para cada uno de los últimos seis años, una mujer de negocios ha presentado una desgravación por depreciación de 200 dólares en su declaración de impuestos. ¿Qué número con signo representa la cantidad total de la depreciación deducida en el periodo de 6 años? 57. Erosión Un dique protege de una inundación a un pueblo en un área de baja altitud. De acuerdo con los geólogos, los bancos del dique se están erosionando a una velocidad de 2 pies por año. Si no se hace algo para corregir el problema, ¿qué número con signo indica cuánto del dique se erosionará al término de la siguiente década?

59. Dieta Después de hacerle un examen físico a un paciente, un médico siente que el paciente debe comenzar una dieta. En la siguiente tabla se muestran las dos opciones que se abordaron. Plan 1

Plan 2

Duración

10 semanas

14 semanas

Ejercicio diario

30 min

Pérdida de peso por semana

3 lb

2 lb

a. Encuentre la pérdida de peso esperada con el plan 1. Exprese la respuesta con un número con signo. b. Encuentre la pérdida de peso esperada con el plan 2. Exprese la respuesta con un número con signo. c. ¿Con cuál plan el paciente debe esperar la mayor pérdida de peso? Explique por qué el paciente podría no elegirla. 60. Publicidad El jueves 12 de marzo de 2016, el Rodeo Houston tuvo un récord de entradas de 75.508. Suponga que una estación de radio local de música country le dio una maleta deportiva, con valor de 3 dólares, a todo el que asistió. Encuentre el número con signo que expresa la pérdida financiera de la estación de radio debido a su obsequio. 61. Atención médica Un proveedor de atención médica para una compañía estima que por semana se pierden 75 horas por los empleados que sufren de enfermedades relacionadas con el estrés o prevenibles. En un año con 52 semanas, ¿cuántas horas se pierden? Use un número con signo para responder.