Precálculo. Matemáticas para el cálculo

Precálculo

Matemáticas para el cálculo

James Stewart | Lothar Redlin | Saleem Watson

MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

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Precálculo Matemáticas para el cálculo

James Stewart z Lothar Redlin z Saleem Watson

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Acerca de los autores

James Stewart recibió una Maes-

Lothar Redlin recibió una licencia-

Saleem Watson recibió una licen-

tría en Ciencias de la Universidad de Stanford y un Doctorado en Matemáticas de la Universidad de Toronto.

Posteriormente investigó en la Universidad de Londres. Sus áreas de investigación son el análisis armónico y las conexiones entre las matemáticas y la música. En Stanford, fue influido por el matemático George Polya quien es famoso por su trabajo sobre la heurística de la resolución de problemas. James Stewart fue profesor de matemáticas en la Universidad McMaster y en la Universidad de Toronto durante muchos años. Es autor de la serie bestseller de libros de texto de cálculo Calculus, Calculus: Early Transcendentals y Calculus: Concepts and Contexts, publicados por Cengage Learning.

tura en Ciencias de la Universidad de Victoria y un Doctorado en Matemáticas de la Universidad McMaster. Posteriormente investigó e impartió clases en la Universidad de Washington, la Universidad Estatal de California en Long Beach y la Universidad de Waterloo, donde trabajó con Janos Aczel, uno de los principales investigadores en teoría de la información. Sus áreas de investigación son las ecuaciones funcionales y la topología. Lothar Redlin fue profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de Pensilvania, campus de Abington, durante varios años.

ciatura en Ciencias de la Universidad Andrews en Michigan. Hizo estudios de posgrado en la Universidad de Dalhousie y en la Universidad de McMaster, donde recibió un Doctorado en Matemáticas. Posteriormente investigó en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Varsovia. Sus áreas de investigación son el análisis funcional y la topología. También enseñó e investigó en la Universidad Estatal de Pensilvania durante varios años. Saleem Watson es ahora profesor emérito de matemáticas en la Universidad Estatal de California en Long Beach.

Stewart, Redlin y Watson también han publicado, en inglés: College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry, y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and Contexts.

Acerca de la portada La fotografía de la portada muestra una pequeña parte de Kö-Bogen (The King’s Bow), un complejo comercial y de oficinas a gran escala en Düsseldorf, Alemania. El complejo fue diseñado por el arquitecto de renombre mundial Daniel Libeskind. Las paredes de los edificios presentan largas curvas sinuosas. El diseño y construcción de tales curvas requiere descripciones geométricas precisas

de las curvas; se utilizan fórmulas matemáticas para calcular la estabilidad estructural y, por lo tanto, la viabilidad de construir curvas tan grandes en acero y hormigón. En este libro exploramos descripciones geométricas de ciertas curvas que pueden ayudar a construirlas en cualquier escala. (Consulte Enfoque en el modelado, Cónicas en arquitectura, después del capítulo 10).

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Precálculo Matemáticas para el cálculo James Stewart

Lothar Redlin

Saleem Watson

Universidad McMaster y Universidad de Toronto

Universidad Estatal de Pensilvania

Universidad Estatal de California, Long Beach

Con la ayuda de Phyllis Panman

Traducción Rosa Díaz Sandoval Universidad Nacional Autónoma de México

Revisión técnica María Eugenia Siguenza Morales Luis Pablo Granja Quintana

Mario Ranferí Gutiérrez Morales Gabriel Antonio Chavarría Matus

Universidad Rafael Landívar, Guatemala, C.A. Alberth Estuardo Alvarado Ortiz Universidad Galileo Miguel Antonio Caal Ayala Universidad de San Carlos de Guatemala Renato Giovanni Ponciano Sandoval Universidad de San Carlos de Guatemala

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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Precálculo Matemáticas para el cálculo Primera edición James Stewart Lothar Redlin Saleem Watson

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

Directora Higher Education Latinoamérica: Lucía Romo Alanís

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Tim Biddick Imagen de portada: Janina pires/EyeEm/Getty Images &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD Ediciones OVA

Traducido del libro Precalculus: Mathematics for Calculus, Eight Edition de James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson.

Publicado en inglés por Cengage Learning ©2024.

ISBN: 978-0-357-75363-7 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson.

Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Primera edición.

ISBN: 978-607-570-2100 Visite nuestro sitio web en: latam.cengage.com

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Contenido Prefacio x Tributo a Lothar Redlin xviii Para el estudiante xix Tecnología en esta edición xx

Prólogo: Principios de resolución de problemas xxi

1 Fundamentos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

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Resumen del capítulo 1 Números reales 2 Exponentes y radicales 13 Expresiones algebraicas 25 Expresiones racionales 36 Ecuaciones 45 Números complejos 59 Modelado con ecuaciones 65 Desigualdades 81 El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 92 Rectas 106 Resolución gráfica de ecuaciones y desigualdades 117 Modelos usando variaciones 124 Capítulo 1 Repaso 131 Capítulo 1 Examen 139

Enfoque en el modelado Ajuste lineal a los datos 141

2 Funciones 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

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1

147

Resumen del capítulo 147 Funciones 148 Gráficas de funciones 159 Obtener información a partir de la gráfica de una función 172 Razón de cambio promedio de una función 185 Funciones lineales y modelos 193 Transformaciones de funciones 201 Operaciones con funciones 214 Funciones uno a uno y sus inversas 224 Capítulo 2 Repaso 234 Capítulo 2 Examen 241

Enfoque en el modelado Modelado con funciones 243

v MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

vi Contenido

3 Funciones polinomiales y racionales 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

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Resumen del capítulo 251 Funciones y modelos cuadráticos 252 Funciones polinomiales y sus gráficas 260 División de polinomios 275 Ceros reales de polinomios 281 Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 293 Funciones racionales 301 Desigualdades polinomiales y racionales 318 Capítulo 3 Repaso 324 Capítulo 3 Examen 330

Enfoque en el modelado Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales 332

4 Funciones exponenciales y logarítmicas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

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251

337

Resumen del capítulo 337 Funciones exponenciales 338 La función exponencial natural 346 Funciones logarítmicas 352 Leyes de logaritmos 362 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 369 Modelado con funciones exponenciales 379 Escalas logarítmicas 391 Capítulo 4 Repaso 396 Capítulo 4 Examen 402

Enfoque en el modelado Ajuste de datos con curvas exponenciales y de potencia 403 Examen acumulativo de repaso: Los capítulos 2, 3 y 4 se encuentran disponibles en el sitio web (ingrese a latam.cengage.com y busque el libro por el ISBN).

5 Funciones trigonométricas: enfoque del círculo unitario 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

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Resumen del capítulo 409 El círculo unitario y la circunferencia unitaria 410 Funciones trigonométricas de números reales 417 Gráficas trigonométricas 427 Más gráficas trigonométricas 442 Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 451 Modelado de movimiento armónico 458 Capítulo 5 Repaso 472 Capítulo 5 Examen 478

Enfoque en el modelado Ajuste de curvas senoidales a datos 479

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409

Contenido

vii

6 Funciones trigonométricas: enfoque del triángulo rectángulo 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

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Resumen del capítulo 485 Medida de un ángulo 486 Trigonometría de triángulos rectángulos 496 Funciones trigonométricas de ángulos 505 Funciones trigonométricas inversas y triángulos rectángulos 516 La ley de los senos 524 La ley de los cosenos 532 Capítulo 6 Repaso 540 Capítulo 6 Examen 547

Enfoque en el modelado Topografía 549

7 Trigonometría analítica 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

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485

553

Resumen del capítulo 553 Identidades trigonométricas 554 Fórmulas de adición y sustracción 561 Fórmulas del doble de un ángulo, de la mitad de un ángulo y de producto a suma 570 Ecuaciones trigonométricas básicas 580 Más ecuaciones trigonométricas 586 Capítulo 7 Repaso 592 Capítulo 7 Examen 597

Enfoque en el modelado Ondas viajeras y estacionarias 598 Examen acumulativo de repaso: Los capítulos 5, 6 y 7 se encuentran disponibles en el sitio web (ingrese a latam.cengage.com y busque el libro por el ISBN).

8 Coordenadas polares, ecuaciones paramétricas y vectores 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

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Resumen del capítulo 603 Coordenadas polares 604 Gráficas de ecuaciones polares 610 Forma polar de números complejos: teorema de De Moivre 618 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 628 Vectores 637 El producto escalar 647 Capítulo 8 Repaso 655 Capítulo 8 Examen 659

Enfoque en el modelado La trayectoria de un proyectil 661

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603

viii Contenido

9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

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Resumen del capítulo 665 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 666 Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas 677 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 685 Álgebra de matrices 698 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 708 Determinantes y regla de Cramer 718 Fracciones parciales 729 Sistemas de ecuaciones no lineales 735 Sistemas de desigualdades 740 Capítulo 9 Repaso 750 Capítulo 9 Examen 757

Enfoque en el modelado Programación lineal 759

10 Secciones cónicas 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

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665

765

Resumen del capítulo 765 Parábolas 766 Elipses 775 Hipérbolas 784 Cónicas desplazadas 792 Rotación de ejes 802 Ecuaciones polares de las cónicas 810 Capítulo 10 Repaso 816 Capítulo 10 Examen 821

Enfoque en el modelado Cónicas en arquitectura 822 Examen acumulativo de repaso: Los capítulos 8, 9 y 10 se encuentran disponibles en el sitio web (ingrese a latam.cengage.com y busque el libro por el ISBN).

11 Sucesiones y series 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

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Resumen del capítulo 827 Sucesiones y notación de sumatoria 828 Sucesiones aritméticas 838 Sucesiones geométricas 844 Inducción matemática 853 El teorema del binomio 859 Capítulo 11 Repaso 867 Capítulo 11 Examen 871

Enfoque en el modelado Modelado con sucesiones recursivas 872

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827

Contenido

12 Límites: una mirada previa al cálculo 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

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ix

877

Resumen del capítulo 877 Hallar límites numérica y gráficamente 878 Encontrar límites algebraicamente 886 Rectas tangentes y derivadas 894 Límites en el infinito; límites de sucesiones 904 Áreas 912 Capítulo 12 Repaso 920 Capítulo 12 Examen 924

Enfoque en el modelado Interpretaciones del área 925 Examen acumulativo de repaso: Los capítulos 11 y 12 se encuentran disponibles en el sitio web (ingrese a latam.cengage.com y busque el libro por el ISBN).

Apéndice A Repaso de geometría (sitio web) Apéndice B Cálculos y cifras significativas (sitio web) Apéndice C Gráficas con una calculadora graficadora (sitio web) Apéndice D Uso de la calculadora graficadora TI-83/84 (sitio web) Apéndice E Geometría de coordenadas tridimensionales (sitio web) Apéndice F Matemáticas de finanzas (sitio web) Apéndice G Probabilidad y estadística (sitio web) Respuestas R1 (sitio web) Índice I1 (sitio web) Formulario F1 (sitio web)

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Prefacio El arte de enseñar es el arte de ayudar al descubrimiento.

Mark Van Doren ¿Qué es lo que los estudiantes realmente necesitan saber para estar preparados para el cálculo? ¿Qué herramientas necesitan realmente los instructores para ayudar a sus alumnos a prepararse para el cálculo? Estas dos preguntas han motivado la redacción de este libro.

Para estar preparado para el cálculo, un estudiante necesita no sólo habilidad técnica sino también una clara comprensión de los conceptos. De hecho, la comprensión conceptual y la habilidad técnica van de la mano, reforzándose mutuamente. Un estudiante también necesita adquirir experiencia en la resolución de problemas, así como una apreciación del poder y la utilidad de las matemáticas para modelar el mundo real. Cada característica de este libro de texto está dedicada a fomentar estos objetivos.

En esta primera edición, nuestro objetivo es mejorar aún más la efectividad del libro como herramienta de enseñanza para los instructores y como herramienta de aprendizaje para los estudiantes. Muchos de los cambios en esta nueva edición son el resultado de las sugerencias que hemos recibido de los instructores y estudiantes que usan la edición anterior, las recomendaciones de los revisores, los conocimientos que hemos obtenido de nuestra propia experiencia enseñando a partir del texto y las conversaciones que hemos tenido con colegas y estudiantes. En todos los cambios, tanto pequeños como grandes, hemos conservado las características que han contribuido al éxito de este libro.

¿Qué hay de nuevo en esta edición?

La estructura general del libro sigue siendo prácticamente la misma, pero hemos realizado muchas mejoras. Algunos de los cambios son los siguientes.

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Ejercicios Más de 20% de los ejercicios son nuevos, incluyendo nuevos tipos de ejercicios conceptuales y de habilidades. Énfasis en la resolución de problemas Los Principios de la resolución de problemas del Prólogo contienen varios principios que se pueden utilizar para abordar cualquier problema. Esta edición incluye nuevos ejercicios diseñados para dar a los estudiantes la oportunidad de experimentar el proceso de resolución de problemas por sí mismos; cada uno de estos ejercicios se identifica por el ícono RP e incluye una sugerencia del principio de resolución de problemas que se puede intentar. (Vea, por ejemplo, los ejercicios 1.4.105, 1.9.116 y 118, 2.3.76, 2.6.103, 2.7.93, 6.1.71 y 74, 6.2.75 y 6.3.75-76).

Ejercicios especiales de aplicación En varias secciones hay nuevos ejercicios de aplicación del mundo real que incluyen información básica sobre las fórmulas o los datos utilizados; confiamos en que estos ejercicios captarán el interés de los estudiantes. (Vea, por ejemplo, los ejercicios 1.2.99, 1.8.127, 1.9.114, 1.12.53, 2.1.86, 2.5.48, 2.6.96, 3.7.62, 4.2.41, 4.5.96 y 4.6.29-31).

Preparación para el cálculo Los ejercicios que resaltan las habilidades necesarias en un curso de cálculo ahora se identifican con el icono . (Vea, por ejemplo, los ejercicios 1.3.135-138, 2.4.19-24, 2.7.65-78, 4.2.25-28, 4.3.87-90 y 5.2.7582). Las presentaciones, notación, características y el tono de este libro están diseñados para ser consistentes con los libros de texto de Cálculo de Stewart.

Ecuaciones y sus gráficas En esta edición, aumentamos nuestro énfasis en la relación esencial entre una ecuación y su gráfica. (Vea, por ejemplo, el ejemplo 1.11.1 y el ejercicio 2.R.83). Cuando sea pertinente, los ejercicios de repaso al final del capítulo ahora incluyen un nuevo ejercicio en el que se les pide a los estudiantes que relacionen ecuaciones con sus gráficas y expliquen el porqué de

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Prefacio xi

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sus elecciones. (Vea, por ejemplo, los ejercicios de revisión 1.R.160, 2.R.111, 3.R.109, 4.R.111 y 5.R.75).

Proyectos de descubrimiento Se han agregado varios Proyectos de descubrimiento nuevos. Cada proyecto se describe brevemente en la sección correspondiente. [Vea, por ejemplo, los proyectos sobre Pesaje del mundo entero (sección 1.5), Horas de luz de día (sección 5.6), Colisión (sección 8.4) y Simetría (sección 10.4)]. Los proyectos están disponibles en el sitio web www.stewartmath.com Repaso de geometría Apéndice A Repaso de geometría se ha ampliado para contener todos los antecedentes de la geometría a los que se hace referencia en el libro de texto. Los nuevos temas incluyen teoremas sobre líneas paralelas y teoremas sobre círculos.

Capítulo 1 Fundamentos En este capítulo hay nuevos grupos de ejercicios con el título Colocando todo junto que pretenden animar a los estudiantes a reconocer primero el tipo de problema y luego decidir qué método usar para resolverlo.

(Vea, por ejemplo, los ejercicios 1.2.77-80 y 1.5.103-118).

Capítulo 2 Funciones Este capítulo ahora incluye una subsección sobre relaciones que se introduce en el contexto de responder a la siguiente pregunta: ¿Qué tablas de valores (o relaciones) representan las funciones? Este tema complementa las subsecciones anteriores ¿Qué gráficas representan funciones? y ¿qué ecuaciones representan funciones?

Capítulo 4 Funciones exponenciales y logarítmicas Este capítulo ahora introduce el concepto de crecimiento logístico como una aplicación real de funciones exponenciales.

Capítulo 5 Funciones trigonométricas: enfoque del círculo unitario Se ha reestructurado el material sobre la representación gráfica de funciones trigonométricas.

El capítulo ahora incluye guías paso a paso para graficar transformaciones de funciones trigonométricas.

Capítulo 7 Trigonometría analítica Se han reestructurado los ejercicios de demostración de identidades trigonométricas; estos ejercicios ahora incluyen una mayor variedad de identidades trigonométricas a fin de que los estudiantes intenten probarlas.

Capítulo 8 Coordenadas polares, ecuaciones paramétricas y vectores Éste es un nuevo capítulo que combina los temas de coordenadas polares y ecuaciones paramétricas, junto con el tema de vectores en el plano (previamente, en el capítulo 9).

Enseñar con la ayuda de este libro Estamos muy conscientes de que la buena enseñanza se presenta de muchas formas y que existen varios enfoques efectivos para enseñar y aprender los conceptos y habilidades del precálculo. La organización y exposición de los temas de este libro están diseñadas para adaptarse a diferentes estilos de enseñanza y aprendizaje. En particular, cada tema se presenta de forma algebraica, gráfica, numérica y verbal, con énfasis en las relaciones entre estas diferentes representaciones.

Las características de este libro, secciones como Enfoque en el modelado, Proyectos de descubrimiento, ejercicios de Discusión/Descubrimiento/Demostración/Redacción, conocimientos históricos y viñetas de Las matemáticas en el mundo moderno, brindan una variedad de mejoras a un núcleo central de conceptos y habilidades fundamentales.

Nuestro objetivo es proporcionar a los instructores y a sus alumnos las herramientas que necesitan para navegar en su propio curso hacia el descubrimiento de las matemáticas de precálculo.

Las siguientes son algunas características especiales que se pueden utilizar para complementar diferentes enfoques de enseñanza y aprendizaje.

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xii Prefacio

Conjuntos de ejercicios La forma más importante de fomentar la comprensión conceptual y perfeccionar las habilidades técnicas es a través de los problemas que asigna el instructor. Con ese fin, hemos proporcionado una amplia selección de ejercicios.

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Estos ejercicios se encuentran al comienzo de cada conjunto de ejercicios y piden a los estudiantes que establezcan y usen hechos básicos sobre los temas de cada sección.

Ejercicios de habilidades Estos ejercicios refuerzan y proporcionan práctica con todos los objetivos de aprendizaje de cada sección. Comprenden el núcleo de cada conjunto de ejercicios.

Ejercicios de habilidades plus Los ejercicios de habilidades plus contienen problemas desafiantes que a menudo requieren la síntesis de material aprendido previamente con nuevos conceptos.

Ejercicios de aplicaciones Hemos incluido problemas sustanciales de aplicación de muchos contextos diferentes del mundo real. Creemos que estos ejercicios captarán el interés de los estudiantes.

Aprendizaje por descubrimiento, redacción y grupo de aprendizaje Cada conjunto de ejercicios termina con un bloque de ejercicios etiquetados Discusión ■ Descubrimiento ■ Demostración ■ Redacción. Estos ejercicios están diseñados para alentar a los estudiantes a experimentar, preferiblemente en grupo, con los conceptos desarrollados en la sección y luego a escribir sobre lo que han aprendido en lugar de simplemente buscar la respuesta. Los ejercicios de Demostración destacan la importancia de la derivación de una fórmula. (Vea, por ejemplo, los ejercicios 2.6.97-103 y 2.8.108-112).

Ejercicios de resolución de problemas En cada capítulo hay ejercicios desafiantes que pueden resolverse usando uno de los principios descritos en el Prólogo: Principios de resolución de problemas. Cada uno de estos ejercicios está identificado por el icono RP y va acompañado de una sugerencia que recomienda intentar un principio particular de resolución de problemas. Estos ejercicios están destinados a dar a los estudiantes la oportunidad de experimentar el proceso de resolución de problemas. (Vea, por ejemplo, los ejercicios 2.7.94, 3.2.93 y 5.2.95).

Ahora intente realizar el ejercicio… Al final de cada ejemplo en el texto, se le dirige al estudiante a uno o más ejercicios similares en la sección que ayudan a reforzar los conceptos y habilidades desarrollados en ese ejemplo.

Verifique su respuesta Se anima a los estudiantes a verificar si la respuesta que obtuvieron es razonable. Esto se enfatiza a lo largo del texto en numerosas barras laterales de Verifique su respuesta que acompañan a los ejemplos. (Vea, por ejemplo, los ejemplos 1.5.1 y 10, 1.7.1 y 9.1.7).

Ejercicios de conceptos

Una revisión completa del capítulo Hemos incluido un extenso capítulo de revisión principalmente como una referencia útil para los conceptos básicos que son preliminares para este curso.

Capítulo 1 Fundamentos Este es el capítulo de revisión; contiene los conceptos fundamentales de álgebra y geometría analítica que un estudiante necesita para comenzar un curso de precálculo. Se puede cubrir tanto o tan poco de este capítulo en clase como sea necesario, dependiendo de los antecedentes de los estudiantes.

Examen de diagnóstico El examen al final del capítulo 1 se diseñó como una evaluación de diagnóstico para determinar qué partes de este capítulo de repaso deben enseñarse. También sirve para ayudar a los estudiantes a evaluar exactamente qué temas necesitan revisar.

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Enfoque flexible de la trigonometría Los capítulos de trigonometría de este texto se escribieron de modo que se pueda enseñar primero el enfoque del triángulo rectángulo o el enfoque del círculo unitario. Poner estos dos enfoques en diferentes capítulos,

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Prefacio xiii

cada uno con sus aplicaciones relevantes, ayuda a aclarar el propósito de cada enfoque.

Los capítulos que introducen la trigonometría son los siguientes.

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Este capítulo introduce la trigonometría mediante el círculo unitario. Este enfoque enfatiza que las funciones trigonométricas son funciones de números reales al igual que las funciones polinomiales y exponenciales con las que los estudiantes ya están familiarizados.

Capítulo 6 Funciones trigonométricas: enfoque del triángulo rectángulo Este capítulo introduce la trigonometría por medio de triángulos rectángulos. Este enfoque se basa en un curso convencional de trigonometría de la secundaria.

Capítulo 5 Funciones trigonométricas: enfoque del círculo unitario

Otra forma de enseñar trigonometría es entrelazar los dos enfoques. Algunos instructores enseñan este material en el siguiente orden: secciones 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.3, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 6.4, 6.5 y 6.6. Nuestra organización facilita hacer esto sin oscurecer el hecho de que los dos enfoques implican representaciones distintas de las mismas funciones.

Dispositivos graficadores Utilizamos dispositivos graficadores (calculadoras graficadoras, computadoras y aplicaciones matemáticas) a lo largo del libro. Los ejemplos en los que se utiliza la tecnología siempre van precedidos de ejemplos en los que los estudiantes deben graficar o calcular a mano para que puedan comprender con precisión lo que el dispositivo realice cuando después lo utilicen para simplificar la parte rutinaria de su trabajo. Los ejercicios que requieren tecnología están marcados con el símbolo especial ; éstos son opcionales y pueden omitirse sin pérdida de continuidad. (Ver Tecnología en la octava edición después de este prefacio, p. xx).

Enfoque en el modelado El tema del modelado se ha utilizado en todo momento para unificar y explicar las muchas aplicaciones del precálculo. Hemos hecho un esfuerzo especial para clarificar el proceso esencial de traducir problemas de palabras al lenguaje de las matemáticas. (Vea, por ejemplo, los ejemplos 1.7.1 y 9.1.7). Cada capítulo concluye con una sección Enfoque en el modelado que destaca cómo los temas aprendidos en el capítulo se usan para modelar situaciones del mundo real.

Secciones de repaso y exámenes de capítulo Cada capítulo termina con una extensa sección de repaso que incluye lo siguiente.

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Propiedades y fórmulas La sección Propiedades y fórmulas al final de cada capí-

tulo contiene un resumen de las principales fórmulas y procedimientos del capítulo.

Verificación de conceptos y respuestas La Verificación de conceptos al final de cada capítulo está diseñada para que los estudiantes piensen y expliquen cada concepto presentado en el capítulo y luego utilicen el concepto en un problema determinado. Esto proporciona una revisión paso a paso de todos los conceptos principales del capítulo. Las respuestas a las preguntas de la Verificación de conceptos están disponibles en el sitio web complementario del libro.

Ejercicios de repaso Los Ejercicios de repaso al final de cada capítulo recapitulan los conceptos básicos y las habilidades del capítulo e incluyen ejercicios que combinan las diferentes ideas aprendidas en el capítulo. Cuando sea pertinente, el último ejercicio se trata de relacionar ecuaciones con sus gráficos. El ejercicio requiere que los estudiantes relacionen las propiedades de una ecuación con las propiedades correspondientes de la gráfica.

Examen del capítulo Cada sección de repaso concluye con un Examen del capítulo diseñado para ayudar a los estudiantes a medir su progreso.

Exámenes acumulativos de repaso Los exámenes acumulativos de repaso que siguen a los capítulos seleccionados están disponibles en el sitio web complementario del libro. Estos exámenes contienen problemas que combinan habilidades y conceptos de los capítulos precedentes. Los problemas están destinados a resaltar las conexiones entre los tópicos de estos capítulos relacionados.

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xiv Prefacio ■

Respuestas breves a los ejercicios impares de cada sección (incluyendo los Ejercicios de repaso) y a todas las preguntas de los Ejercicios de conceptos y Exámenes de capítulo, se encuentran al final del libro.

Respuestas

Viñetas matemáticas A lo largo del libro hacemos uso de los márgenes para proporcionar notas históricas, ideas clave o aplicaciones de las matemáticas en el mundo moderno. Éstas sirven para avivar el material y mostrar que las matemáticas son una actividad importante, vital y fundamental para la vida cotidiana.

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Estas viñetas incluyen biografías de matemáticos interesantes y, a menudo, incluyen una idea clave que descubrió el matemático. [Vea, por ejemplo, las viñetas sobre Viète (sección 1.5), Turing (sección 2.6) y Thales (sección 6.6)].

Matemáticas en el mundo moderno Esta serie de viñetas enfatiza el papel central de las matemáticas en los avances actuales de la tecnología, las ciencias y las ciencias sociales. [Vea, por ejemplo, Códigos irrompibles (sección 3.6), Sistema de posicionamiento global (sección 9.8), Mirando dentro de su cabeza (sección 10.1) y División justa de activos (sección 11.2)].

Viñetas biográficas

Sitio web complementario del libro Puede encontrar un sitio web que acompaña a este libro en www.stewartmath.com.* El sitio incluye muchos recursos para enseñar precálculo, incluidos los siguientes.

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Los proyectos de descubrimiento de cada capítulo están disponibles en el sitio web complementario del libro. Los proyectos están referenciados en el texto en las secciones apropiadas. Cada proyecto proporciona un conjunto de actividades desafiantes pero accesibles que permiten a los estudiantes (quizás trabajando en grupos) explorar en mayor profundidad un aspecto interesante del tema que acaban de aprender (vea, por ejemplo, los Proyectos de descubrimiento: Visualizing a Formula, Every Graph Tells a Story, Toricelli’s Law, Mapping the World, y Will the Species Survive?, mencionados en las secciones 1.3, 2.3, 3.1, 8.1 y 9.4).

Enfoque en la resolución de problemas Varias secciones de Enfoque en la resolución de problemas están disponibles en el sitio web. Cada una de estas secciones destaca uno de los principios de resolución de problemas que se introducen en el Prólogo e incluye varios problemas desafiantes. (Vea, por ejemplo, Reconocimiento de patrones, Uso de analogías, Introducción de algo extra, Casos a considerar y Trabajando hacia atrás).

Exámenes acumulativos de repaso Los exámenes acumulativos de repaso que siguen a los capítulos 4, 7, 10 y 12 están disponibles en el sitio web complementario del libro.

Proyectos de descubrimiento

Apéndice B: Cálculos y cifras significativas Este apéndice, disponible en el sitio web complementario del libro, contiene pautas para redondear cuando se trabaja con valores aproximados.

Apéndice C: Gráficas con una calculadora graficadora Este apéndice, disponible en el sitio web complementario del libro, incluye directrices generales sobre la representación gráfica con una calculadora gráfica, así como directrices sobre cómo evitar errores gráficos comunes.

Apéndice D: Uso de la calculadora graficadora TI83/84 En este apéndice, disponible en el sitio web complementario del libro, proporcionamos instrucciones paso a paso sencillas y fáciles de seguir para usar las calculadoras graficadoras TI83/84.

Tópicos adicionales Varios tópicos adicionales están disponibles en el sitio web complementario del libro, incluyendo material sobre geometría de coordenadas tridimensionales, matemáticas financieras y probabilidad y estadística.

* El contenido del sitio web www.stewartmath.com se encuentra disponible en inglés.

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Material didáctico auxiliar ■ Recursos para instructores Los recursos adicionales del instructor para este producto están disponibles en línea.

Los activos del instructor incluyen un Manual del instructor, una Guía del educador, diapositivas de PowerPoint® y un banco de exámenes con la tecnología de Cognero®.

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Guía de soluciones y respuestas* La Guía de soluciones y respuestas proporciona soluciones elaboradas para todos los problemas del texto.

Manual del instructor* El Manual del instructor contiene puntos a enfatizar, tiempo sugerido para asignar, temas de discusión de texto, materiales clave para clase, sugerencias para talleres/discusiones, trabajo en grupo, ejercicios en una forma adecuada para un folleto, y problemas de tarea sugeridos.

Cengage Learning Testing desarrollado por Cognero* Cengage Learning Testing (CLT) es un sistema flexible en línea que permite al instructor crear, editar y administrar el contenido del banco de exámenes, crear múltiples versiones de examen en un instante, y entrega de exámenes desde su sistema de gestión de aprendizaje (LMS), su salón de clases o donde quiera. Esto está disponible en línea a través de https://faculty.cengage.com/.

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■ Recursos para estudiantes Manual de soluciones para el estudiante* El Manual de soluciones para el estudiante contiene soluciones totalmente elaboradas para todos los ejercicios impares del texto, lo que brinda a los estudiantes una forma de verificar sus respuestas y asegurarse de que tomaron los pasos correctos para llegar a una respuesta.

Guía para la toma de notas* La Guía para la toma de notas es una ayuda de estudio innovadora que auxilia a los estudiantes a desarrollar un resumen sección por sección de los conceptos clave. Ubicado en el sitio web complementario del libro.

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Recibir comentarios y calificaciones instantáneas de sus tareas.

Saber qué tan bien comprende los conceptos.

Ver videos y tutoriales cuando esté atorado.

Desempeñarse mejor en las actividades de la clase.

Agradecimientos Nos sentimos afortunados de que todos los involucrados en la producción de este libro hayan trabajado con una energía excepcional, una intensa dedicación y un interés apasionado. Es sorprendente cuántas personas son esenciales en la producción de un libro de texto de matemáticas, incluidos editores de contenido, revisores, colegas de la facultad, editores de producción, correctores de estilo, editores de permisos, verificadores de soluciones y precisión, artistas, investigadores fotográficos, diseñadores de texto, tipógrafos, compositores, correctores, impresores y el equipo de tecnología que crea la versión electrónica del libro e implementa la tarea en línea. Les agradecemos a todos y mencionamos particularmente a los siguientes.

Revisores de la séptima edición Mary Ann Teel, University of North Texas; Natalia Kravtsova, The Ohio State University; Belle Sigal, Wake Technical Community College; Charity S. Turner, The Ohio State University; Yu-ing Hargett, Jefferson State Community College-Alabama; Alicia Serfaty de Markus, Miami Dade College; Cathleen Zucco-Teveloff, Rider University; Minal Vora, East Georgia State College; Sutandra Sarkar, Georgia State University; Jennifer Denson, Hillsborough Community College; Candice L. Ridlon, University of Maryland Eastern Shore; Alin Stancu, Columbus State University; Frances Tishkevich, Massachusetts Maritime Academy; Phil Veer, Johnson County Community College; Phillip Miller, Indiana University– Southeast; Mildred Vernia, Indiana University–Southeast; Thurai Kugan, John Jay College–CUNY. Revisores de la octava edición Mary Ann Barber, University of North Texas; Stephanie Garofalo, Georgia State University, Perimeter College; Kirk Mehtlan, Pima Community College—East Campus; Lora Merchant, Auburn University; Ed Migliore, University of California, Santa Cruz; Debra Prescott, Central Texas College; Karin Pringle, University of Tennessee; Hasan Z. Rahim, San Jose City College; Candice Ridlon, University of Maryland Eastern Shore; Steven Safran, Rutgers University.

Agradecemos a todos aquéllos que han contribuido a esta edición, y son muchos, así como a aquéllos cuyas aportaciones en ediciones anteriores continúan mejorando este libro. Extendemos un agradecimiento especial a nuestros colegas Joseph Bennish, Linda Byun, Bruce Chaderjian, David Gau, Daniel Hernandez, Robert Mena, Kent Merryfield, Florence Newberger, Joshua Sack y Alan Safer, todos de California State University, Long Beach; a Karen Gold, Betsy Huttenlock, Cecilia McVoy y Samir Ouzomgi, en Penn State, Abington; a Gloria Dion, del Servicio de Pruebas Educativas en Princeton, Nueva Jersey. Agradecemos a Aaron Watson de la University of California, Santa Bárbara, por sugerir varios ejercicios de aplicación; Jessica Shi por resolver todos los problemas de Enfoque en la resolución de problemas y hacer valiosas sugerencias; Nakhle Asmar y Mark Ashbaugh de la University of Missouri, y Tariq Rizvi de la Universiy of Ohio por muchas conversaciones sobre resolución de problemas; y Zidslav Kovarik de la University McMaster por ejemplos que ilustran las limitaciones de las calculadoras. Agradecemos a Frances Gulick de la University of Maryland por revisar críticamente todo el libro. Agradecemos a Jonathan Watson de la Andrews University of Michigan por realizar varias pruebas preliminares de los proyectos de descubrimiento y sugerir mejoras. Hemos recibido muchos comentarios de los estudiantes; agradecemos particularmente a Weihua “Benny” Zeng por sus perspicaces observaciones del ejercicio sobre las colmenas.

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Estamos especialmente agradecidos con Daniel Clegg de Palomar College por leer el manuscrito y comprobar la precisión de todas las respuestas de los ejercicios. Sus sugerencias para mejorar el manuscrito son muy apreciadas. Agradecemos a Andrew Bulman-Fleming por su precisión y estilo atractivo al escribir el Manual de soluciones.

Agradecemos a Doug Shaw de la University of Northern Iowa por crear el Manual del Instructor.

Agradecemos especialmente a Kathi Townes, nuestra correctora, por su experta edición del manuscrito. Su habilidad excepcional y su inmensa experiencia en la edición de todos los libros de texto de Stewart han contribuido en gran medida a la transición perfecta entre los libros de Precálculo y Cálculo de la serie de libros de texto de Stewart.

En Cengage Learning, agradecemos a Lynh Pham por su hábil coordinación de todos los aspectos de la creación y producción de este libro; Timothy Biddick por su elegante diseño para la portada y el interior del libro; Laura Gallus por revisar todo el manuscrito y hacer valiosos comentarios; Tom Ziolkowski, nuestro gerente de mercadeo, por ayudar a traer el libro a la atención de aquéllos que deseen usarlo en sus clases. En WebAssign, agradecemos a Megan Gore por su hábil liderazgo del equipo que transforma creativamente cada ejercicio en un formato apropiado para la tarea en línea.

Finalmente, este libro de texto se ha beneficiado enormemente desde su primera edición del consejo y la guía de algunos de los mejores editores de matemáticas del mundo: Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle y Gary Whalen, nuestro editor actual.

El amplio conocimiento de Gary Whalen sobre temas actuales en la enseñanza de las matemáticas, sus interacciones enfocadas con profesores de matemáticas de todo el país, su trabajo incansable como editor de todos los libros de texto de Stewart y su búsqueda continua de mejores formas de usar la tecnología como herramienta de enseñanza y aprendizaje han sido recursos invaluables en la creación de este libro.

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Un tributo a Lothar Redlin Lothar Redlin tenía un talento extraordinario para enseñar matemáticas. Las clases que impartía siempre estaban repletas de alumnos deseosos de aprender de él. La presencia de Lothar en el salón de clases hizo que todos se sintieran cómodos, generando así una maravillosa atmósfera de aprendizaje. Lothar captó la atención de todos con su manera sencilla y sus explicaciones claras como el cristal que se extrajeron de su profunda comprensión del significado y el propósito de las matemáticas que estaba enseñando.

Lothar atribuyó su vibrante intuición matemática a la forma en que le enseñaron sus profesores; en consecuencia, siempre se esforzó por transmitir sus ideas personales sobre las matemáticas a sus propios alumnos, en su enseñanza y en sus libros de texto, y sus ideas sobre el precálculo continúan mejorando este libro. Lothar completaba la enseñanza de todos los temas de un curso mucho antes del final del periodo escolar y sus alumnos comprendían la materia excepcionalmente bien, un tremendo testimonio de su forma única de entender y explicar las matemáticas. A lo largo de los años, varios de los antiguos alumnos de Lothar, en ese entonces científicos, ingenieros o los propios analistas financieros, se ponían en contacto con él para hablar de un problema matemático que encontraban en su trabajo. Algunas de estas discusiones fueron la inspiración para ejercicios aplicados o proyectos de descubrimiento en este libro.

Lothar creció en la isla de Vancouver, donde pasaba los veranos ayudando a su padre, un pescador profesional, en su bote de pesca (un trollador de 52 pies que Lothar había ayudado a su padre a construir). En las muchas horas que pasaron en el mar, la mente de Lothar no estuvo ociosa; más tarde recordó que las cosas en las que pensaba eran esencialmente matemáticas (por ejemplo, descubrió la base matemática para el sistema de navegación de largo alcance que estaban usando en el barco). Más tarde, en la escuela secundaria, el talento de Lothar para las matemáticas fue reconocido por sus maestros y lo animaron a asistir a la Universidad de Victoria. Se convirtió en el primer miembro de su familia extendida en ir a la universidad.

Conocí a Lothar cuando ambos éramos estudiantes de posgrado en matemáticas en la Universidad McMaster, donde James Stewart era uno de nuestros profesores. Posteriormente, todos trabajamos juntos en varios proyectos, primero en investigación y luego en la escritura de libros de texto. Ha sido una gran fortuna haber conocido y trabajado con Lothar durante todos los años intermedios, hasta su prematura muerte en 2018. Las percepciones únicas de Lothar sobre las matemáticas, su manera humilde y sin pretensiones, su generosidad ilimitada y su sincera preocupación por todos los que él conoció han enriquecido mi vida y las vidas de sus muchos estudiantes en formas inimitables; se le extraña profundamente.

Saleem Watson

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Para el estudiante Este libro de texto fue escrito para que usted lo use como una guía para dominar las matemáticas de precálculo. Aquí hay algunas sugerencias para ayudarlo a aprovechar al máximo su curso.

Primero que nada, debe leer la sección adecuada del texto antes de intentar resolver los problemas de tarea. Leer un texto de matemáticas es bastante diferente de leer una novela, un periódico o incluso otro libro de texto. Es posible que tenga que volver a leer un pasaje varias veces antes de entenderlo. Preste especial atención a los ejemplos y resuélvalos usted mismo con lápiz y papel mientras lee. Entonces intente los ejercicios vinculados a los que se hace referencia en “Ahora intente realizar el ejercicio…” al final de cada ejemplo. Con este tipo de preparación usted podrá hacer su tarea mucho más rápido y con más comprensión.

No cometa el error de tratar de memorizar cada regla o hecho que pueda encontrar.

Las matemáticas no consisten simplemente en memorizar. Las matemáticas son un arte de resolución de problemas, no sólo una colección de hechos. Para dominar el tema debe resolver problemas, muchos problemas. Haga tantos ejercicios como pueda. Asegúrese de escribir sus soluciones de manera lógica, paso a paso. No se rinda ante un problema si no puede resolverlo de inmediato. Trate de comprender el problema con mayor claridad: vuelva a leerlo cuidadosamente y relaciónelo con lo que aprendió de su profesor y de los ejemplos del texto. Luche con él hasta que lo resuelva. Una vez que haya hecho esto varias veces, comenzará a comprender de qué se tratan realmente las matemáticas.

Las respuestas a los ejercicios impares, así como todas las respuestas (pares e impares) a los ejercicios de conceptos y pruebas de capítulos, aparecen al final del libro. Si su respuesta difiere de la dada, no asuma inmediatamente que está equivocado. Puede haber un cálculo que conecte las dos respuestas y haga que ambas sean correctas. Por ejemplo, si obtiene 1y(!221) pero la respuesta dada es 1 1 !2, su respuesta es correcta, porque puede multiplicar tanto el numerador como el denominador de su respuesta por !2 1 1 para cambiarlo a la respuesta dada. Al redondear las respuestas aproximadas, siga las pautas del Apéndice B: Cálculos y cifras significativas. se utiliza para advertir contra la comisión de un error. Hemos coloEl símbolo cado este símbolo al margen para señalar situaciones en las que hemos encontrado que muchos de nuestros estudiantes cometen el mismo error.

Abreviaturas En el texto se utilizan las siguientes abreviaturas. cm dB dL F ft g gal h H Hz in.

J kcal kg km

centímetro decibelio decilitro farad pie gramo galón hora henry Hertz pulgada Joule kilocaloría kilogramo kilómetro

kPa L lb lm mol m mg MHz mi min mL mm MW nm Å

kilopascal litro libras lumen mol metro miligramo megahertz milla minuto mililitro milímetro megawatts nanómetros angstrom

N psi qt oz s Ω V W yd yr °C °F K 1 3

Newton libras por pulgada2 cuarto onza segundo ohm volt watt yarda año grado centígrado grado fahrenheit Kelvin implica es equivalente a

xix MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

Tecnología en esta edición Varios recursos tecnológicos diferentes están disponibles para computación y gráficas. Éstos incluyen herramientas gráficas y de computación en Internet, aplicaciones matemáticas para teléfonos inteligentes y tabletas, y calculadoras gráficas. En muchas situaciones, el uso de la tecnología elimina el trabajo rutinario de la computación y la representación gráfica, lo que nos permite centrar más nuestra atención en la comprensión de los conceptos de precálculo. Por ejemplo, podemos usar la tecnología para graficar rápidamente una función, modificar la función y graficarla de nuevo, a fin de obtener información sobre el comportamiento de la función.

Hay programas de graficación y computación disponibles de forma gratuita en Internet o como aplicaciones para teléfonos inteligentes o tabletas. Estos incluyen Desmos, GeoGebra, WolframAlpha y otros. Por supuesto, las calculadoras graficadoras también se pueden usar para realizar todos los cálculos y gráficas necesarios en los ejercicios, aunque muchas de las aplicaciones matemáticas basadas en la web son más intuitivas de usar.

En esta edición, en lugar de hacer referencia a una aplicación de matemáticas o un dispositivo graficador específico, usamos el ícono para indicar que se necesita tecnología para poder completar el ejercicio. Para tales ejercicios, se espera que use tecnología para dibujar una gráfica o realizar un cálculo. Se le anima a utilizar la tecnología también en otros ejercicios, para comprobar su trabajo o para explorar problemas relacionados.

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Prólogo

Principios de resolución de problemas

AP Images

La capacidad de resolver problemas es una habilidad muy apreciada en varios aspectos de nuestras vidas; ciertamente es una parte importante de cualquier curso de matemáticas. No existen reglas estrictas y rápidas que aseguren el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo, en este prólogo delinearemos algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y daremos principios que son útiles para resolver ciertos tipos de problemas. Estos pasos y principios son simplemente sentido común hecho explícito. Han sido adaptados del perspicaz libro de George Polya ¿Cómo plantear y resolver problemas?

1. Entender el problema

GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas sobre la resolución de problemas. Sus conferencias sobre la resolución de problemas en la Universidad de Stanford atrajeron multitudes desbordantes, y mantuvo a su audiencia al borde de sus asientos, llevándolos a descubrir soluciones por sí mismos. Pudo hacer esto debido a su profundo conocimiento de la psicología de la resolución de problemas.

Su conocido libro ¿Cómo plantear y resolver problemas? ha sido traducido a 15 idiomas. Dijo que Euler (vea la sección 1.6) era único entre los grandes matemáticos porque explicó cómo encontró sus resultados. Polya solía decir a sus estudiantes y colegas: “Sí, veo que su prueba es correcta, pero ¿cómo la descubrió?” En el prefacio de ¿Cómo plantear y resolver problemas?, Polya escribe: “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema puede ser modesto; pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas, y si usted lo resuelve por sus propios medios, puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento”.

El primer paso es leer el problema y asegurarse de que usted lo entienda. Hágase a usted mismo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas?

Para muchos problemas es útil dibujar un diagrama e identifique las cantidades dadas y requeridas en el diagrama. Por lo general, es necesario introducir notación adecuada Al elegir símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x y y, pero en algunos casos ayuda usar iniciales como símbolos sugerentes, por ejemplo, V para volumen o t para el tiempo.

2. Piense en un plan Encuentre una conexión entre la información dada y la incógnita que le permita calcular la incógnita. A menudo ayuda preguntarse explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar lo dado con lo desconocido?” Si no ve una conexión de inmediato, las siguientes ideas pueden ser útiles para diseñar un plan.

■ Trate de reconocer algo familiar

Relacione la situación dada con conocimientos previos. Mire la incógnita y trate de recordar un problema más familiar que tenga una incógnita similar.

■ Trate de reconocer patrones

Ciertos problemas se resuelven al reconocer que se está produciendo algún tipo de patrón. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puede ver regularidad o repetición en un problema, entonces podría adivinar cuál es el patrón y luego probarlo.

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Use analogías

Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar o relacionado pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar y más simple, entonces podría darle las pistas que necesita para resolver el problema original, xxi MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

xxii Prólogo más difícil. Por ejemplo, si un problema involucra números muy grandes, primero podría intentar un problema similar con números más pequeños. O si el problema está en la geometría tridimensional, podría buscar algo similar en la geometría bidimensional.

O si el problema con el que empieza es general, primero puede usted probar con un caso particular.

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Introduzca algo extra

Es posible que a veces necesite introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, para establecer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual es útil un diagrama, la ayuda auxiliar podría ser una nueva línea dibujada en el diagrama. En un problema más algebraico, la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relacione con la incógnita original.

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Considere casos

A veces puede que tenga que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada caso. A menudo tenemos que usar esta estrategia al tratar con el valor absoluto.

■ Trabaje hacia atrás

A veces es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos dados. Entonces podría invertir sus pasos y así construir una solución al problema original. Este procedimiento se usa comúnmente para resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación 3x – 5 = 7, suponemos que x es un número que satisface 3x – 5 = 7 y trabajamos hacia atrás. Sumamos 5 a cada lado de la ecuación y luego dividimos cada lado por 3 para obtener x = 4. Dado que cada uno de estos pasos se puede invertir, hemos resuelto el problema.

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Establezca submetas

En un problema complejo, a menudo es útil establecer submetas (en las que la situación deseada se cumple sólo parcialmente). Si puede alcanzar o lograr estos submetas, entonces puede construir con base en ellas para alcanzar su meta final.

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Razonamiento indirecto

A veces es apropiado atacar un problema indirectamente. Al usar la prueba por contradicción para probar que P implica Q, suponemos que P es verdadera y Q es falsa y tratamos de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera tenemos que usar esta información y llegar a una contradicción con lo que sabemos absolutamente que es verdad.

Inducción matemática Al demostrar enunciados que involucran un entero positivo n, con frecuencia es útil usar el principio de inducción matemática, que se analiza en la sección 11.4.

3. Llevar a cabo el plan En el paso 2 se ideó un plan. Al llevar a cabo ese plan, debe verificar cada etapa del plan y escribir los detalles que prueban que cada etapa es correcta.

4. Mirar hacia atrás Una vez completada su solución, es aconsejable revisarla, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si puede descubrir una forma más fácil de resolver el problema. Mirar hacia atrás también lo familiariza con el método de solución, lo que puede ser útil para resolver un problema futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas”.

Ilustramos algunos de estos principios de resolución de problemas con un ejemplo.

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Prólogo xxiii

Problema ■ Rapidez promedio Un conductor emprende un viaje. Durante la primera mitad de la distancia, la rapidez del conductor es de 30 mi/h; durante la segunda mitad, la rapidez es de 60 mi/h. ¿Cuál es la rapidez promedio de este viaje?

Pensando en el problema Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio 30 1 60 para todo el viaje es 5 45 mi/h. Pero, ¿es este enfoque realmente 2 correcto?

Prueba de un caso especial. ➤

Entienda el problema. ➤

Veamos un caso especial fácilmente calculado. Suponga que la distancia total recorrida es de 120 millas. Como las primeras 60 millas se recorren a 30 mi/h, se tardan 2 horas. Las segundas 60 millas se recorren a 60 mi/h, por lo que toma una hora. Por lo tanto, el tiempo total es 2 + 1 = 3 horas y la rapidez pro120 5 40 mi/h. Así que nuestra suposición de 45 mi/h fue incorrecta. medio es de 3 Solución Necesitamos mirar más cuidadosamente el significado de la rapidez media. Se define como rapidez promedio 5

Introduzca la notación. ➤ Indique lo que se da. ➤

Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 los tiempos tomados para la primera y segunda mitad del viaje. Ahora podemos anotar la información que nos han dado. Para la primera y segunda mitad del viaje tenemos 30 5

Identifique la incógnita.

➤

distancia recorrida tiempo transcurrido

d t1

60 5

Ahora identificamos la cantidad que se nos pide encontrar: rapidez promedio del viaje completo 5

Conectar lo dado con la incógnita. ➤

d t2

distancia total 2d 5 tiempo total t1 1 t2

Para calcular esta cantidad, necesitamos conocer t1 y t2, por lo que resolvemos las ecuaciones anteriores para estos tiempos: t1 5

d 30

t2 5

d 60

Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada: rapidez promedio 5

5

5

2d 2d 5 t1 1 t2 d d 1 30 60 601 2d 2 d d 60 a 1 b 30 60

Multiplique el numerador y el denominador por 60

120d 120d 5 5 40 2d 1 d 3d

Por lo que la rapidez promedio para todo el viaje es de 40 mi/h.

Mire hacia atrás. ➤

Esta respuesta concuerda con la respuesta que obtuvimos para los casos particulares que intentamos anteriormente en Reflexionar sobre el problema.

■

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xxiv Prólogo ■ Problemas

1. Distancia, tiempo y rapidez Un automóvil viejo tiene que recorrer una ruta de 2 millas cuesta arriba y abajo. Debido a que es tan viejo, el automóvil puede escalar la primera milla, el ascenso, con rapidez no mayor a una rapidez promedio de 15 mi/h. ¿Qué tan rápido tiene que viajar el automóvil la segunda milla (en el descenso puede ir más rápido, por supuesto) para lograr una rapidez promedio de 30 mi/h para el viaje?

2. Comparación de descuentos ¿Qué precio es mejor para el comprador, un descuento Bettmann/Corbis

de 40% o dos descuentos sucesivos de 20%?

3. Cortar un alambre Se dobla un trozo de alambre como se muestra en la figura. Puede ver que un corte del cable (representado por las líneas rojas) produce cuatro piezas y dos cortes paralelos producen siete piezas. ¿Cuántas piezas se producirán con 142 cortes paralelos? Escriba una fórmula para el número de piezas producidas por n cortes paralelos.

No se sienta mal si no puede resolver estos problemas de inmediato. Los problemas 1 y 4 fueron enviados a Albert Einstein por su amigo Wertheimer. Einstein (y su amigo Bucky) disfrutaron de los problemas y respondieron a Wertheimer.

He aquí parte de su respuesta: Su carta nos divirtió mucho. La primera prueba de inteligencia nos engañó a los dos (a Bucky y a mí). ¡Sólo al resolverlo me di cuenta de que no había tiempo disponible para la carrera cuesta abajo! El Sr. Bucky también se dejó engañar por el segundo ejemplo, pero yo no. ¡Tales bromas nos muestran lo estúpidos que somos!

(Vea Mathematical Intelligencer, primavera de 1990, página 41).

4. Propagación de la ameba Una ameba se propaga por simple división; cada división toma 3 minutos para completarse. Cuando una ameba de este tipo se coloca en un recipiente de vidrio con un líquido nutritivo, el recipiente se llena de amebas en una hora. ¿Cuánto tardaría en llenarse el recipiente si empezamos no con una ameba, sino con dos?

5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B durante la primera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B en la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesariamente cierto que el jugador A tenga un promedio de bateo más alto que el jugador B durante toda la temporada?

6. Café y crema

Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se pone en una taza de café. Se remueve el café. Luego se pone una cucharada de esta mezcla en la jarra de crema. ¿Hay ahora más crema en la taza de café o más café en la jarra de crema?

7. Envolviendo el mundo Una cinta está atada firmemente alrededor de la Tierra en el ecuador. ¿Como cuánto más listón necesitaría usted si levantara el listón 1 pie por encima del ecuador en todas partes? (No necesita saber el radio de la Tierra para resolver este problema).

8. Terminar donde empezó Una mujer comienza en un punto P en la superficie terrestre y camina 1 milla al sur, luego 1 milla al este, luego 1 milla al norte, y se encuentra de regreso en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los que esto es posible.

[Sugerencia: hay infinitos puntos de este tipo, todos menos uno se encuentran en la Antártida].

RP

Usted puede aplicar estos principios de resolución de problemas para resolver cualquier problema o ejercicio. El ícono RP al lado de un ejercicio indica que una o más de las estrategias discutidas aquí son particularmente útiles para resolver el ejercicio. Puede encontrar más ejemplos y problemas que destacan estos principios en el sitio web complementario del libro www.stewartmath.com.

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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

1

Números reales Exponentes y radicales Expresiones algebraicas Expresiones racionales Ecuaciones Números complejos Modelado con ecuaciones Desigualdades El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 1.10 Rectas 1.11 Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades 1.12 Modelos usando variaciones

Fundamentos En este primer capítulo repasaremos los números reales, las ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que usted ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas.

En el Enfoque sobre modelado, al final del capítulo, aprenderemos cómo hallar tendencias lineales en los datos y cómo utilizarlas para hacer predicciones del objeto o proceso que se modela.

Enfoque en el modelado Ajuste lineal a los datos

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2 Capítulo 1 ■ Fundamentos

1.1 Números reales ■ Números reales ■ Propiedades de los números reales ■ Adición y sustracción ■ Multiplicación y división ■ La recta de los números reales ■ Conjuntos e intervalos ■ Valor absoluto y distancia

Longitud

Peso

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En el mundo real usamos números para medir y comparar diferentes cantidades. Por ejemplo, medimos temperatura, longitud, altura, peso, distancia, rapidez, aceleración, energía, fuerza, ángulos, presión, costo, etcétera. La figura 1 ilustra algunas situaciones en las que se utilizan números. Los números también nos permiten expresar relaciones entre cantidades diferentes, por ejemplo, las relaciones entre el radio y el volumen de una pelota, entre las millas conducidas y la gasolina utilizada, o entre el nivel educativo y el salario inicial.

Presión

Rapidez

Figura 1 | Medidas con números reales

■ Números reales Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos con los números naturales: 1, 2, 3, 4, . . .

Los diferentes tipos de números reales se inventaron para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales son necesarios para contar, los números negativos para describir deudas o temperaturas bajo cero, los números racionales para expresar conceptos como “medio galón de leche” y los números irracionales se usan para medir ciertas distancias como la diagonal de un cuadrado.

1~PHURV UDFLRQDOHV ²21 , -²37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317 (QWHURV

1~PHURV QDWXUDOHV < < <

1~PHURV LUUDFLRQDOHV 3

3 œ3 , œ5 , œ2 , π , ³ 2 π

Figura 2 | El sistema de números reales

Los enteros constan de los números naturales junto con sus negativos y el 0: . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, . . .

Construimos los números racionales al tomar cocientes de enteros. Entonces, cualquier número racional r se puede expresar como m n donde m y n son enteros y n ? 0. Como ejemplos tenemos r5

1 2

237

46 5 461

17 0.17 5 100

(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo que expresiones como 3 0 0 y 0 no están definidas.) También hay números reales, como Ï2, que no se pueden expresar como un cociente de enteros y, por tanto, se denominan números irracionales. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales: 3 3 Ï2 Ï3 Ï5 p p2 Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo R. Cuando se usa la palabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La figura 2 es un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro.

Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces su correspondiente decimal es periódico. Por ejemplo, 1 2 5 0.5000. . . 5 0.50 157 495 5 0.3171717. . . 5 0.317

2 3 5 0.66666. . . 5 0.6 9 7 5 1.285714285714. . . 5 1.285714

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Sección 1.1 ■ Números reales 3 Un número decimal periódico como x 5 3.5474747. . . es un número racional. Para convertirlo a un cociente de dos enteros, escribimos 1000x 5 3547.47474747. . .

10x 5 35.47474747. . .

990x 5 3512.0 Por tanto, x 5 3512 990 . (La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de 10 y luego restar para eliminar la parte periódica.) Vea también el ejemplo 7 y el ejercicio 77, ambos en la sección 11.3.

(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre.) Si el número es irracional la representación decimal no es periódica: Ï2 5 1.414213562373095. . . p 5 3.141592653589793. . .

Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo, podemos escribir p < 3.14159265 donde el símbolo < se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación.

■ Propiedades de los números reales Todos sabemos que 2 1 3 5 3 1 2, y 5 1 7 5 7 1 5, y 513 1 87 5 87 1 513, etc. En álgebra, expresamos todos estos casos (que son infinitos), escribiendo: a1b5b1a donde a y b son dos números cualesquiera. En otras palabras, “a 1 b 5 b 1 a” es una forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de la adición no importa”. Este hecho se conoce como propiedad conmutativa de la adición. De nuestra experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas.

Propiedades de los números reales Propiedades

Ejemplo

Descripción

a1b5b1a

7135317

Cuando sumamos dos números, el orden no importa.

ab 5 ba

3?555?3

Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa.

a1b 1c5a1 b1c

214 17521 417

Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de estos sumamos primero.

ab c 5 a bc

3?7 ?553? 7?5

Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles dos de estos multiplicamos primero.

2? 315 52?312?5 315 ?252?312?5

Cuando multiplicamos un número por una suma de dos números obtenemos el mismo resultado que si multiplicáramos ese número por cada uno de los términos y luego sumáramos los resultados.

Propiedades conmutativas

Propiedades asociativas

Propiedad distributiva

a b 1 c 5 ab 1 ac b 1 c a 5 ab 1 ac

La propiedad distributiva aplica siempre que multiplicamos un número por una suma. La figura 3 explica por qué funciona esta propiedad para el caso en el que todos los números sean enteros positivos, pero la propiedad es verdadera para cualquier número real a, b y c.

2(3 1 5)

La propiedad distributiva es de importancia crítica porque describe la forma en que la adición y la multiplicación interaccionan una con otra.

2?3

2?5

Figura 3 | La propiedad distributiva MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

4 Capítulo 1 ■ Fundamentos

Ejemplo 1 ■ Uso de la propiedad distributiva (a) 2 x 1 3 5 2 ? x 1 2 ? 3

Propiedad distributiva

5 2x 1 6 (b)

Simplifique

a1b x1y 5 a1b x1 a1b y

Propiedad distributiva

5 ax 1 bx 1 ay 1 by

Propiedad distributiva

5 ax 1 bx 1 ay 1 by

Propiedad asociativa de la adición

En el último paso eliminamos el paréntesis porque, de acuerdo con la propiedad asociativa, no importa el orden de la adición.

■

Ahora intente realizar el ejercicio 15

■ Adición y sustracción No suponga que 2a es un número negativo. Que 2a sea negativo o positivo depende del valor de a. Por ejemplo, si a 5 5, entonces 2a 5 25, un número negativo, pero si a 5 25, entonces 2a 5 2 25 5 5 (propiedad 2), un número positivo.

El número 0 es especial para la adición; recibe el nombre de identidad aditiva o idéntico aditivo porque a 1 0 5 a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, 2a, que satisface a 1 2a 5 0. La sustracción es la operación que deshace a la adición; para sustraer un número de otro, simplemente sumamos el negativo de ese número. Por definición a 2 b 5 a 1 2b Para combinar números reales con números negativos usamos las siguientes propiedades.

Propiedades de los negativos

Las propiedades 5 y 6 se derivan de la propiedad distributiva.

Propiedad

Ejemplo

1. 21 a 5 2a

21 5 5 25

2. 2 2a 5 a

2 25 5 5

3. 2a b 5 a 2b 5 2 ab

25 7 5 5 27 5 2 5 ? 7

4. 2a 2b 5 ab

24 23 5 4 ? 3

5. 2 a 1 b 5 2a 2 b

2 3 1 5 5 23 2 5

6. 2 a 2 b 5 b 2 a

2 528 5825

La propiedad 6 expresa el hecho intuitivo de que a 2 b y b 2 a son negativos entre sí. La propiedad 5 se usa a veces con más de dos términos: 2 a 1 b 1 c 5 2a 2 b 2 c

Ejemplo 2 ■ Uso de las propiedades de los negativos Sean x, y y z números reales. (a) 2 x 1 2 5 2x 2 2

Propiedad 5: 2(a 1 b) 5 2a 2 b

(b) 2 x 1 y 2 z 5 2x 2 y 2 2z

Propiedad 5: 2(a 1 b) 5 2a 2 b

5 2x 2 y 1 z

Propiedad 2: 2(2a) 5 a

Ahora intente realizar el ejercicio 23

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■

Sección 1.1 ■ Números reales 5

■ Multiplicación y división El número 1 es especial para la multiplicación; recibe el nombre de identidad multiplicativa o idéntico multiplicativo porque a ? 1 5 a para cualquier número real a. Todo número real a diferente de cero tiene un recíproco o inverso, 1ya, que satisface a ? 1ya 5 1. La división es la operación que deshace la multiplicación; para dividir entre un número multiplicamos por el recíproco de ese número. Si b ? 0, entonces, por definición, 1 a4b5a? b Escribimos a ? 1yb simplemente como ayb. Nos referimos a ayb como el cociente entre a y b o como la fracción de a sobre b; a es el numerador y b es el denominador (o divisor). Para combinar números reales mediante la operación de división usamos las siguientes propiedades.

Propiedades de las fracciones Propiedad ac a c 1. ? 5 b d bd

Ejemplo 2 5 2 ? 5 10 5 ? 5 3 7 3 ? 7 21

Descripción Para multiplicar fracciones multiplique numeradores y denominadores.

2.

c a a d 4 5 ? b d b c

2 5 2 7 14 4 5 ? 5 3 7 3 5 15

Para dividir fracciones multiplique por el recíproco del divisor.

3.

a1b a b 1 5 c c c

2 7 9 217 5 1 5 5 5 5 5

Para sumar fracciones con el mismo denominador sume los numeradores.

4.

c ad 1 bc a 1 5 bd b d

2 3 2 ? 7 1 3 ? 5 29 1 5 5 5 7 35 35

Para sumar fracciones con denominadores diferentes encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores.

5.

ac a 5 bc b

2?5 2 5 3?5 3

Elimine números que sean factores comunes en el numerador y el denominador.

6. Si

2 6 a c 5 , por tanto 2 ? 9 5 3 ? 6 5 , entonces ad 5 bc 3 9 b d

Multiplique de forma cruzada.

Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos la propiedad 4. En cambio reescribimos las fracciones de modo que tengan el mínimo denominador común que sea posible (a veces menor que el producto de los denominadores) y luego usamos la propiedad 3. Este mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores de las fracciones como puede verse en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 3 ■ Uso del mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para sumar fracciones Evalúe:

5 7 1 36 120

Solución Al factorizar cada denominador en factores primos se obtiene 36 5 22 ? 32

y

120 5 23 ? 3 ? 5

Encontramos el mínimo común múltiplo (mcm) al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones usando la máxima potencia de cada factor. Entonces el mcm es 23 ? 32 ? 5 5 360. Entonces, 5 7 5 ? 10 7?3 1 5 1 36 120 36 ? 10 120 ? 3 5

50 21 71 1 5 360 360 360

Use el mínimo común múltiplo de los denominadores Propiedad 3: Suma de fracciones con el mismo denominador

Ahora intente realizar el ejercicio 29 MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

■

6 Capítulo 1 ■ Fundamentos

■ La recta de los números reales Los números reales se pueden representar por puntos sobre una recta, como se muestra en la figura 4. La dirección positiva (hacia la derecha) está indicada por una flecha.

Escogemos un punto de referencia arbitrario O, llamado origen, que corresponde al número real 0. Dada cualquier unidad de medida conveniente, cada número positivo x está representado por el punto en la recta a una distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada número negativo 2x está representado por el punto a x unidades a la izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y la recta se llama recta coordenada, o recta de los números reales, o simplemente recta real. Con frecuencia identificamos el punto con su coordenada y consideramos que un número es un punto en la recta real.

24.9 24.7 25 24 24.85

2p 22.63 23

2!2 22

1 1 1 216 8 4 1

21

!2

2

0

1

!3 !5

p

2

3

0.3

4.2 4.4 4.9999 4 5 4.3 4.5

Figura 4 | La recta real

Los números reales son ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos a , b si b 2 a es un número positivo. Geométricamente esto significa que a está a la izquierda de b en la recta numérica, o bien, lo que es lo mismo, podemos decir que b es mayor que a y escribimos b . a. El símbolo a # b o b $ a quiere decir que a , b o que a 5 b y se lee “a es menor o igual a b”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas (véase la figura 4): 25 , 24.9

2p , 23

Ï2 , 2

4 , 4.4 , 4.9999

■ Conjuntos e intervalos Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a [ S significa que a es un elemento de S, y b o S quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo, si Z representa el conjunto de enteros, entonces 23 [ Z pero p o Z. Algunos conjuntos se pueden describir si sus elementos se colocan dentro de llaves.

Por ejemplo, el conjunto A, que está formado por todos los enteros positivos menores que 7, se puede escribir como A 5 ^1, 2, 3, 4, 5, 6` También podríamos escribir A en notación constructiva de conjuntos como A 5 ^x 0 x es un entero y 0 , x , 7`

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que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0 , x , 7”.

Si S y T son conjuntos, entonces su unión S < T es el conjunto formado por todos los elementos que están en S o en T (o en ambos). La intersección de S y T es el con-

Proyecto de descubrimiento ■ Números reales en el mundo real Las medidas reales siempre implican unidades. Por ejemplo, generalmente medimos la distancia en pies, millas, centímetros o kilómetros. Algunas medidas implican diferentes tipos de unidades. Por ejemplo, la rapidez se mide en millas por hora o en metros por segundo. A menudo tenemos que convertir una medición de un tipo de unidad a otro. En este proyecto exploramos diferentes tipos de unidades utilizadas para diferentes propósitos y cómo convertir un tipo de unidad a otro. Se puede encontrar el proyecto en www.stewartmath.com.* * Este material se encuentra disponible en inglés.

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Sección 1.1 ■ Números reales 7

junto S > T formado por todos los elementos que están en S y T. En otras palabras, S > T es la parte común de S y T. El conjunto vacío, denotado por [, es el conjunto que no contiene elementos.

Ejemplo 4 ■ Unión e intersección de conjuntos Si S 5 ^1, 2, 3, 4, 5`, T 5 ^4, 5, 6, 7` y V 5 ^6, 7, 8` encuentre los conjuntos S < T, S > T y S > V. Solución T

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

S V

S < T 5 ^1, 2, 3, 4, 5, 6, 7`

Todos los elementos en S o T

S > T 5 ^4, 5`

Elementos comunes a S y T

S>V5[

S y V no tienen elementos en común

■

Ahora intente realizar el ejercicio 41

a

b

Figura 5 | El intervalo abierto a, b

a

b

Figura 6 | El intervalo cerrado 3a, b4

Con frecuencia se presentan en cálculo ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, y corresponden geométricamente a segmentos de recta. Si a , b, entonces el intervalo abierto de a a b está formado por todos los números entre a y b y se denota con a, b . El intervalo cerrado de a a b incluye los puntos extremos y se denota con 3a, b4. Usando la notación constructiva de conjuntos, podemos escribir a, b 5 ^x 0 a , x , b`

Observe que los paréntesis en la notación de intervalo y círculos abiertos en la gráfica de la figura 5 indican que los puntos extremos están excluidos del intervalo, mientras que los corchetes o paréntesis rectangulares 3 4 y los círculos sólidos de la figura 6 indican que los puntos extremos están incluidos. Los intervalos también pueden incluir un punto extremo, pero no el otro; o pueden extenderse hasta el infinito en una dirección o en ambas. La tabla siguiente es una lista de posibles tipos de intervalos.

Notación

El símbolo ` (infinito) no representa un número. La notación a, ` , por ejemplo, simplemente indica que el intervalo no tiene punto extremo a la derecha, pero se prolonga hasta el infinito en la dirección positiva.

3a, b4 5 ^x 0 a # x # b`

Descripción del conjunto

a, b

^x 0 a , x , b`

3a, b4

^x 0 a # x # b`

3a, b

^x 0 a # x , b`

a, b4

^x 0 a , x # b`

a, `

^x 0 a , x`

3a, `

^x 0 a # x`

2`, b

^x 0 x , b`

2`, b4

^x 0 x # b`

2`, `

R (conjunto de todos los números)

Gráfica a

b

a

b

a

b

a

b

a a b b

Ejemplo 5 ■ Trazo de la gráfica de intervalos Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, después, trace la gráfica del intervalo. (a) 321, 2 5 ^x 0 21 # x , 2`

21

(b) 31.5, 44 5 ^x 0 1.5 # x # 4` (c) 23, ` 5 ^x 0 23 , x`

0 0

23

2 1.5

4

0

Ahora intente realizar el ejercicio 47 MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

■

8 Capítulo 1 ■ Fundamentos

Ejemplo 6 ■ Encontrar uniones e intersecciones de intervalos No hay número mínimo ni número máximo en un intervalo abierto Cualquier intervalo contiene un número infinito de números; cualquier punto en la gráfica de un intervalo corresponde a un número real. En el intervalo cerrado 30, 14, el número mínimo es 0 y el máximo es 1, pero el intervalo abierto 0, 1 no contiene número mínimo ni máximo.

Para ver esto observe que 0.01 es cercano a cero, pero 0.001 es más cercano, 0.0001 es todavía más cercano y así, sucesivamente. Siempre podemos encontrar un número en el intervalo 0, 1 más cercano a cero que cualquier número dado.

Como 0 no está en el intervalo, el intervalo no contiene un número mínimo. Del mismo modo, 0.99 es cercano a 1, pero 0.999 es más cercano y 0.9999 está aún más cercano y así, sucesivamente. Dado que 1 no está en el intervalo, el intervalo no tiene número máximo.

Trace la gráfica de cada conjunto. (a) 1, 3 > 32, 74

(b) 1, 3 < 32, 74

Solución (a) La intersección de dos intervalos consiste en los números que están en ambos intervalos; geométricamente aquí es donde los intervalos se superponen. Por tanto, 1, 3 > 32, 74 5 ^x 0 1 , x , 3 y 2 # x # 7` 5 ^x 0 2 # x , 3` 5 32, 3 Este conjunto se muestra en la figura 7. (b) La unión de dos intervalos consta de los números que están en un intervalo o en el otro (o en ambos). Por tanto, 1, 3 < 32, 74 5 ^x 0 1 , x , 3 o 2 # x # 7` 5 ^x 0 1 , x # 7` 5 1, 74 Este conjunto se muestra en la figura 8.

(1, 3)

(1, 3) 0

0.01

0.1

0

1

0

3

1

3 [2, 7]

[2, 7] 0 0

0.001

0.01

0.001

0

7

2

2

7

(1, 7]

[2, 3) 0

0 0.0001

2

0

3

1

7

Figura 8 | 1, 3 < 32, 74 5 1, 74

Figura 7 | 1, 3 > 32, 74 5 32, 3

■

Ahora intente realizar el ejercicio 61

■ Valor absoluto y distancia |23| 5 3 23

Figura 9

| 5 |5 5 0

5

El valor absoluto de un número a, denotado por _ a _, es la distancia de a a 0 en la recta de números reales (véase la figura 9). La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos _ a _ $ 0 para todo número a. Recordando que 2a es positivo cuando a es negativo, tenemos la siguiente definición.

Definición de valor absoluto Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es _a_5

a 2a

si a $ 0 si a , 0

Ejemplo 7 ■ Evaluación de valores absolutos de números (a) _ 3 _ 5 3 (b) _ 23 _ 5 2 23 5 3 (c) _ 0 _ 5 0 (d) _ 3 2 p _ 5 2 3 2 p 5 p 2 3

como 3 , p 1

32p,0

Ahora intente realizar el ejercicio 67

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■

Sección 1.1 ■ Números reales 9

Cuando trabajamos con valores absolutos utilizamos las propiedades siguientes:

Propiedades del valor absoluto Propiedad

Ejemplo

Descripción

1. _ a _ $ 0

_ 23 _ 5 3 $ 0

El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.

2. _ a _ 5 _ 2a _

_ 5 _ 5 _ 25 _

Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.

3. _ ab _ 5 _ a _ _ b _

_ 22 ? 5 _ 5 _ 22 _ _ 5 _

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

_ 12 _ 12 `5 23 _ 23 _

El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

_ 23 1 5 _ # _ 23 _ 1 _ 5 _

Desigualdad del triángulo.

4. `

_a_ a `5 b _b_

`

5. _ a 1 b _ # _ a _ 1 _ b _

¿Cuál es la distancia en la recta real entre los números 22 y 11? De la figura 10 vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea _ 11 2 22 _ 5 13 o _ 22 2 11 _ 5 13. De esta observación hacemos la siguiente definición.

13 22

0

11

Figura 10

Distancia entre puntos en la recta real Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta real es

) b 2a ) a

d a, b 5 _ b 2 a _

b

De la propiedad 6 de los números negativos se deduce que _b2a_5_a2b_ Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma distancia de b a a.

Ejemplo 8 ■ Distancia entre puntos en la recta real La distancia entre los números 2 y 28 es

10 28

Figura 11

0

2

d a, b 5 _ 28 22 _ 5 _ 210 _ 5 10 Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se muestra en la figura 11.

Ahora intente realizar el ejercicio 75

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■

10 Capítulo 1 ■ Fundamentos

1.1 Ejercicios ■ Conceptos

13. x 1 2y 1 3z 5 x 1 2y 1 3z

1. Dé un ejemplo para cada uno de los siguientes enunciados:

14. 2 A 1 B 5 2A 1 2B

(a) Un número natural (b) Un entero que no sea número natural

15. 5x 1 1 3 5 15x 1 3

(c) Un número racional que no sea entero

17. 2x 3 1 y 5 3 1 y 2x

16. x 1 a x 1 b 5 x 1 a x 1 x 1 a b

(d) Un número irracional

18. 7 a 1 b 1 c 5 7 a 1 b 1 7c

2. Complete cada enunciado y mencione la propiedad de los números reales que haya empleado. (a) ab 5

19–22 ■ Propiedades de los números reales Vuelva a escribir la expresión usando la propiedad dada de los números reales.

; propiedad

(b) a 1 sb 1 cd 5 (c) a sb 1 cd 5

x135

19. Propiedad conmutativa de adición,

; propiedad

20. Propiedad asociativa de la multiplicación,

; propiedad

3. Exprese el conjunto de los números reales entre 23 y 5 sin incluirlos como sigue.

21. Propiedad distributiva,

4 A1B 5

22. Propiedad distributiva,

5x 1 5y 5

7 3x 5

(a) En notación constructiva de conjuntos:

23–28 ■ Propiedades de los números reales Utilice las propiedades de los números reales al escribir la expresión sin paréntesis.

(b) En notación de intervalos:

23. 22 x 1 y

24. a 2 b 25

25. 5 2xy

26. 43 26y

4. El símbolo _ x _ representa el del número x. Si x no es 0, entonces el signo de _ x _ siempre es .

27. 252 2x 2 4y

28. 3a b 1 c 2 2d

5. La distancia entre a y b en la recta real es d a, b 5

29–32 ■ Operaciones aritméticas Realice las operaciones indicadas y simplifique. Exprese su respuesta como una sola fracción.

(c) Como una gráfica:

. Entonces la distancia entre 25 y 2 es

.

6–8 ■ ¿Sí o no? Si es no, explique. Suponga que a y b son números reales diferentes de cero.

6. (a) ¿Un intervalo siempre contiene un número infinito de números? (b) ¿El intervalo (5, 6) contiene un elemento mínimo?

7. (a) ¿Es a 2 b igual a b 2 a? (b) Es 22 a 2 5 igual a 22a 2 10?

8. (a) ¿La distancia entre cualesquier dos números reales diferentes siempre es positiva? (b) ¿La distancia entre a y b es igual a la distancia entre b y a?

29. (a) 23 1 57

(b) 125 2 38

30. (a) 25 2 38

(b) 32 2 58 1 16

31. (a) 23 6 2 32

(b)

3 1 14 1 2 45)

(b)

1 2 512 1 3 10 1 15

2

2 32. (a) 2 2 3 2 3

33–34 ■ Desigualdades Coloque el símbolo correcto (,, ., o 5) en el espacio.

33. (a) 3

7 2

(b) 23

272

(c) 3.5

34. (a) 23

0.67

(b) 23

20.67

(c) _ 0.6 _

7 2

_ 20.6 _

35–38 ■ Desigualdades Diga si cada desigualdad es verdadera o falsa.

■ Habilidades 9–10 ■ Números reales Mencione los elementos del conjunto dado que sean (a) números naturales (b) números enteros

35. (a) 23 , 24

(b) 3 , 4

36. (a) Ï3 . 1.7325

(b) 1.732 $ Ï3

37. (a) 102 $ 5

(b) 106 $ 56

38. (a) 117 $ 138

(b) 235 . 234

(c) números racionales (d) números irracionales 9. ^21.5, 0, 52, Ï7, 2.71, 2p, 3.14, 100, 28` 10. ^4.5, 12, 1.6666. . . , Ï2, 2, 2 100 2 , Ï9, Ï3.14, 10`

39–40 ■ Desigualdades Escriba cada enunciado en términos de las desigualdades.

39. (a) x es positivo. (b) t es menor a 4.

11–18 ■ Propiedades de los números reales Exprese la propiedad de los números reales que se esté usando.

(c) a es mayor o igual a p.

11. 3 1 7 5 7 1 3

(e) La distancia de p a 3 es, como máximo, 5.

(d) x es menor a 13 y mayor que 25.

12. 4 2 1 3 5 2 1 3 4 MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

Sección 1.1 ■ Números reales 11 67–72 ■ Valor absoluto

40. (a) y es negativo.

Evalúe cada expresión.

(b) z es al menos 3.

67. (a) _ 50 _

(b) _ 2 13 _

(c) b es a lo más 8.

68. (a) _ 2 2 8 _

(b) @ 82_22_@

69. (a) @ _ 26 _ 2 _ 24 _ @

(b)

70. (a) @ 2 2 _ 212 _ @

(b) 21 2 @ 1 2 _ 21 _ @

71. (a) _ 22 ? 6 _

(b) _ 213 215 _

(d) ш es positivo y menor o igual que 17. (e) y está al menos a 2 unidades de p.

41–44 ■ Conjuntos Encuentre el conjunto indicado si A 5 ^1, 2, 3, 4, 5, 6, 7`

B 5 ^2, 4, 6, 8`

C 5 ^7, 8, 9, 10`

72. (a) `

26 ` 24

21 _ 21 _

(b) `

7 2 12 ` 12 2 7

41. (a) A < B

(b) A > B

42. (a) B < C

(b) B > C

73–76 ■ Distancia Encuentre la distancia entre los números dados.

43. (a) A < C

(b) A > C

73.

44. (a) A < B < C

(b) A > B > C

74.

45–46 ■ Conjuntos

B 5 ^x _ x , 4`

C 5 ^x _ 21 , x # 5` 45. (a) B < C

(b) B > C

46. (a) A > C

(b) A > B

47–52 ■ Intervalos Exprese el intervalo en términos de desigualdades y luego trace la gráfica del intervalo.

47. 23, 0

48. 2, 84

49. 32, 8

50. 326, 2124

51. 32, `

52. 2`, 1

53–58 ■ Intervalos Exprese la desigualdad en notación de intervalos y después trace la gráfica del intervalo correspondiente.

53. x # 1

54. 1 # x # 2

55. 22 , x # 1

56. x $ 25

57. x . 21

58. 25 , x , 2

59–60 ■ Intervalos Exprese cada conjunto en notación de intervalo.

(b) (c)

23

0

5

23

0

5

23

0

60. (a) (b)

0 22

(c)

0

1

2

3

23 22 21

0

1

2

3

Encuentre el conjunto indicado si

A 5 ^x _ x $ 22`

59. (a)

23 22 21

75. (a) 2 y 17

(b) 23 y 21

(c) 118 y 2103

76. (a) 157 y 2211

(b) 238 y 257

(c) 22.6 y 21.8

■ Habilidades Plus 77–78 ■ Decimal periódico Exprese cada decimal periódico como una fracción. (Consulte la nota al margen en la subsección “Números reales”).

77. (a) 0.7

(b) 0.28

(c) 0.57

78. (a) 5.23

(b) 1.37

(c) 2.135

79–82 ■ Simplificación del valor absoluto Escriba la cantidad sin usar valor absoluto.

79. _ p 2 3 _

80. _ 1 2 Ï2 _

81. _ a 2 b _, donde a , b 82. a 1 b 1 _ a 2 b _, donde a , b 83–84 ■ Signos de números Sean a, b y c números reales tales que a . 0, b , 0 y c , 0. Determine el signo de cada expresión.

83. (a) 2a

(b) bc

(c) a 2 b

(d) ab 1 ac

84. (a) 2b

(b) a 1 bc

(c) c 2 a

(d) ab 2

■ Aplicaciones 85. Área de un jardín El jardín de legumbres de Mary mide 20 por 30 pies, de modo que su área es de 20 3 30 5 600 pies2.

Ella ha decidido agrandarlo como se muestra en la figura para que el área aumente a A 5 20 30 1 x . ¿Qué propiedad de los números reales nos dice que la nueva área también se puede escribir como A 5 600 1 20x?

2

0

30 pies

0

61–66 ■ Intervalos Trace la gráfica del conjunto.

61. 22, 0 < 21, 1

62. 22, 0 > 21, 1

63. 324, 64 > 30, 8

64. 324, 6 < 30, 8

65. 2`, 24 < 4, `

66. 2`, 64 > 2, 10

20 pies

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x

12 Capítulo 1 ■ Fundamentos 86. Envío de un paquete por correo La oficina de correos sólo aceptará paquetes para los cuales la longitud más la circunferencia no sea mayor de 108 pulgadas. Así, para el paquete de la figura debemos tener L 1 2 x 1 y # 108 (a) ¿Aceptará la oficina de correos un paquete de 6 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de profundidad y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mida 2 pies por 2 pies por 4 pies?

90. Descubrimiento: Ubicación de números irracionales en la recta real Usando las siguientes figuras explique cómo localizar el punto Ï2 en una recta numérica. ¿Puede localizar Ï5 por medio de un método similar? ¿Cómo puede ayudarnos el círculo que se muestra en la figura para ubicar p en una recta numérica? Haga una lista de otros números irracionales que pueda ubicar en una recta numérica.

Ϸ2

(b) ¿Cuál es la máxima longitud aceptable para un paquete que tiene una base cuadrada que mide 9 por 9 pulgadas?

0

L

1

1 1

2

0

π

5 pies 5 60 pulg. x

6 pulg. y

8 pulg.

■ Discusión ■ Descubrimiento ■ Demostración ■ Redacción 87. Discusión: Sumas y productos de números racionales e irracionales Explique por qué la suma, la diferencia y el producto de dos números irracionales son números racionales. ¿El producto de dos números irracionales necesariamente es irracional? ¿Qué se puede decir de la suma?

88. Descubrimiento ■ Demostración: Combinación de números racionales con números irracionales ¿12 1 Ï2 es racional o irracional? ¿12 ? Ï2 es racional o irracional?

Experimente con sumas y productos de otros números racionales e irracionales. Demuestre lo siguiente. (a) La suma de un número racional r y un número irracional t es irracional. (b) El producto de un número racional distinto de cero r y un número irracional t es irracional.

RP Razonamiento indirecto. Para el inciso (a), suponga que r 1 t es un número racional q, es decir, r 1 t 5 q.

Demuestre que esto conduce a una contradicción. Utilice un razonamiento similar para el inciso (b).

89. Descubrimiento: ■ Comportamiento limitante de los recíprocos Complete las tablas. ¿Qué sucede con el tamaño de la fracción 1/x cuando x se hace grande? ¿Cuando x se hace pequeño?

x

1 2 10 100 1000

1yx

x

1.0 0.5 0.1 0.01 0.001

1yx

91. Demostración: Fórmulas de máximos y mínimos Considere que máx(a, b) denota el máximo y mín(a, b) denota el mínimo de los números reales a y b. Por ejemplo, máx(2, 5) 5 5 y mín(21, 22) 5 22 a1b1_a2b_ (a) Demuestre que máx a, b 5 .

2 (b) Demuestre que mín a, b 5

a1b2_a2b_ 2

.

RP Casos a considerar. Escriba estas expresiones sin valores absolutos. Vea los ejercicios 81 y 82.

92. Redacción: Números reales en el mundo real Escriba un párrafo que describa diferentes situaciones del mundo real en las que se podrían usar números naturales, enteros, números racionales y números irracionales. Dé ejemplos para cada tipo de situación.

93. Discusión: Operaciones conmutativa y no conmutativa Hemos visto que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas. (a) ¿La sustracción es conmutativa? (b) ¿La división de números reales diferentes de cero es conmutativa? (c) ¿Son conmutativas las acciones de ponerse calcetines y zapatos? (d) ¿Son conmutativas las acciones de ponerse el sombrero y la chamarra? (e) ¿Son conmutativas las acciones de lavar y secar la ropa?

94. Demostración: Desigualdad del triángulo Demostraremos la propiedad 5 de los valores absolutos, la desigualdad del triángulo: _x1y_#_x_1_y_ (a) Verifique que la desigualdad de triángulo se satisface para x 5 2 y y 5 3, para x 5 22 y y 5 23 y para x 522 y y 5 3. (b) Demuestre que la desigualdad del triángulo se cumple para todos los números reales x y y.

RP Casos a considerar. Considere los signos de x y y.

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Sección 1.2 ■ Exponentes y radicales 13

1.2 Exponentes y radicales ■ Exponentes enteros ■ Reglas para trabajar con exponentes ■ Notación científica ■ Radicales ■ Exponentes racionales ■ Racionalización del denominador; forma estándar En esta sección damos significado a expresiones como a myn en las que el exponente myn es un número racional. Para hacer esto necesitamos recordar algunos datos acerca de exponentes enteros, radicales y raíces n-ésimas.

■ Exponentes enteros Normalmente, un producto de números idénticos se escribe en notación exponencial.

Por ejemplo, 5 ? 5 ? 5 se escribe como 53. En general tenemos la siguiente definición.

Notación exponencial

Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es an 5 a ? a ? . . . ? a n factores

El número a se denomina base, y n se denomina exponente.

Ejemplo 1 ■ Notación exponencial Observe la diferencia entre 23 4 y 234. En 23 4 el exponente se aplica al 23, pero en 234 el exponente se aplica sólo al 3.

(a) 12 5 5 12 12 12 12 12 5 321 (b) 23 4 5 23 ? 23 ? 23 ? 23 5 81 (c) 234 5 2 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 281 ■

Ahora intente realizar el ejercicio 9

Podemos expresar varias reglas útiles para trabajar con notación exponencial. Para descubrir la regla para multiplicación, multiplicamos 54 por 52: 54 ? 52 5 s5 ? 5 ? 5 ? 5ds5 ? 5d 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 56 5 5412

4 factores 2 factores

6 factores

Es evidente que para multiplicar dos potencias de la misma base sumamos sus exponentes. En general, para cualquier número real a y cualesquier enteros positivos m y n, tenemos aman 5 sa ? a ? . . . ? ad sa ? a ? . . . ? ad 5 a ? a ? a ? . . . ? a 5 am1n

m factores m n

n factores

m 1 n factores

m1n

Por tanto, a a 5 a .

Nos gustaría que esta regla fuera verdadera aun cuando m y n fueran 0 o enteros negativos. Por ejemplo, debemos tener 20 ? 23 5 2013 5 23 Pero esto puede ocurrir sólo si 20 5 1. Igualmente, deseamos tener 54 ? 524 5 541s24 5 5424 5 50 5 1 y esto será cierto si 524 5 1y54. Estas observaciones conducen a la siguiente definición.

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14 Capítulo 1 ■ Fundamentos

Exponentes cero y negativo Si a ? 0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces a0 5 1

y

a2n 5

1 an

Ejemplo 2 ■ Exponentes cero y negativos 4 0 51 7

(a)

1 1 5 1 x x 1 1 1 5 52 22 23 5 3 8 28 22

(b) x21 5 (c)

■

Ahora intente realizar el ejercicio 11

■ Reglas para trabajar con exponentes La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.

Leyes de exponentes Ley

Ejemplo m n

1. a a 5 a

m1n

2

3 ?3 5 3

a b

n

5.

n n

a b

2n

6.

7.

a2n bm 5 n 2m b a

2

3?4 5 3 ?4

an bn

3 4

2

3 4

22

5a b 5

53

5

7

3 5 3522 5 33 32 32 5 5 32?5 5 310

a 5 am2n an 3. am n 5 amn 2.

4. ab

215

Para multiplicar dos potencias del mismo número sume los exponentes.

5

m

n

Descripción

5

b a

n

2

5

2

32 42

5

322 45 25 5 2 4 3

Para dividir dos potencias del mismo número reste los exponentes.

Para elevar una potencia a una nueva potencia multiplique los exponentes.

Para elevar un producto a una potencia eleve cada uno de los factores a la potencia.

Para elevar un cociente a una potencia eleve el numerador y el denominador a la potencia.

4 3

2

Para elevar una fracción a una potencia negativa invierta la fracción y cambie el signo del exponente.

Para mover un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador cambie el signo del exponente.

Demostración de la ley 3 Si m y n son enteros positivos tenemos sa mdn 5 sa ? a ? . . . ? adn m factores

5 sa ? a ? . . . ? adsa ? a ? . . . ? ad . . . sa ? a ? . . . ? ad

m factores

m factores

m factores

n grupo de factores

5 a ? a ? . . . ? a 5 amn mn factores

Los casos para los que m # 0 o n # 0 se pueden demostrar usando para ello la definición de exponentes negativos.

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Sección 1.2 ■ Exponentes y radicales 15 Las matemáticas y los matemáticos Se han buscado matemáticos en todas las civilizaciones para utilizar su oficio al servicio de la sociedad. Varias biografías breves de matemáticos notables se destacan en las notas al margen de este libro, pero tenga en cuenta que sus descubrimientos siempre dependieron de las ideas de miles de personas que los precedieron. Isaac Newton lo expresó de esta manera: “Si he visto más lejos que otros, es al subirme a hombros de gigantes ”. Y David Hilbert señaló que “las matemáticas no conocen razas ni fronteras geográficas; para las matemáticas, el mundo cultural es un solo país ”.

Verá en las biografías que algunos grandes matemáticos al principio no encontraron interesantes las matemáticas, pero luego se sintieron atraídos por una u otra razón. A Pascal le gustaban las matemáticas por “la claridad de su razonamiento”, a Hermann Hankel, por la permanencia de sus teoremas. Hankel dijo: “En la mayoría de las ciencias, una generación derriba lo que otra ha construido… En las matemáticas, cada generación agrega una nueva historia a la estructura anterior ”. Por ejemplo, los elementos de Aristóteles (, 300 a.C.), tierra, viento, fuego, agua, ahora son reemplazados por la Tabla Periódica, mientras que el teorema de Pitágoras (, 500 a.C.) sigue siendo válido. La razón por la que Joseph Fourier se sintió atraído por las matemáticas fue que “las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen ”. Por ejemplo, veremos que las funciones cuadráticas modelan tanto la trayectoria de un proyectil como la relación entre la lluvia y el rendimiento del cultivo. Quizás usted también encuentre razones para explorar las matemáticas.

Demostración de la ley 4 Si n es un entero positivo tenemos sabdn 5 sabd sabd . . . sabd 5 sa ? a ? . . . ? ad ? sb ? b ? . . . ? bd 5 a n b n

n factores

n factores

n factores

Aquí hemos empleado repetidamente las propiedades conmutativa y asociativa. Si n # 0, la ley 4 se puede demostrar usando la definición de exponentes negativos.

■ Se le pide que demuestre las leyes 2, 5, 6 y 7 en los ejercicios 106 y 107.

Ejemplo 3 ■ Uso de las leyes de exponentes (a) x4x7 5 x417 5 x11

Ley 1: aman 5 am1n

(b) y4y27 5 y427 5 y23 5

1 y3

Ley 1: aman 5 am1n

c9 5 c925 5 c4 c5 (d) b4 5 5 b4?5 5 b20 (e) 3x 3 5 33x3 5 27x3 (c)

(f)

x 2

5

5

Ley 2:

am 5 am2n an

Ley 3: am n 5 amn Ley 4: ab n 5 anbn

x5 x5 5 25 32

Ley 5:

a n an 5 n b b

Ahora intente realizar los ejercicios 19, 21 y 23

■

Ejemplo 4 ■ Simplificación de expresiones con exponentes Simplifique: (a)

2a3b2 3ab4 3

(b)

x y

3

y2x 4 z

Solución (a) 2a3b2 3ab4 3 5 2a3b2 333a3 b4 34 5 2a3b2 27a3b12 5 2 27 a3a3b2b12 5 54a6b14 (b)

x y

3

x3 y 2 4x 4 y2x 4 5 3 y z4 z 5

x3 y 8x 4 y3 z4

5 x3x4 5

Ley 4: ab n 5 anbn Ley 3: am n 5 amn Se agrupan factores con la misma base Ley 1: aman 5 am1n Leyes 5 y 4 Ley 3

y8 1

y3 z4

x7y5 z4

Se agrupan factores con la misma base Leyes 1 y 2

Ahora intente realizar los ejercicios 25 y 29

■

Cuando simplifique una expresión encontrará que muchos métodos diferentes conducirán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes para llegar a su propio método. En el ejemplo siguiente veremos cómo simplificar expresiones con exponentes negativos.

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16 Capítulo 1 ■ Fundamentos Las matemáticas en el mundo moderno Aunque a menudo no somos conscientes de su presencia, las matemáticas impregnan casi todos los aspectos de nuestras vidas. Con el advenimiento de la tecnología, las matemáticas juegan un papel cada vez más importante.

Probablemente a usted hoy lo despertó una alarma digital, envió un mensaje de texto, realizó una búsqueda en Internet, vio un video por streaming, escuchó música en su teléfono celular y luego durmió en una habitación cuya temperatura está controlada por un termostato digital. En cada una de estas actividades, las matemáticas están involucradas de manera crucial. En general, una propiedad como la intensidad o la frecuencia del sonido, los colores de una imagen o la temperatura de su hogar se transforman en secuencias de números mediante complejos algoritmos matemáticos. Estos datos numéricos, que normalmente constan de muchos millones de bits (dígitos 0 y 1), se transmiten y reinterpretan. Tratar con cantidades tan grandes de datos no era factible hasta la invención de las computadoras, máquinas cuyos procesos lógicos fueron inventados por matemáticos.

Las contribuciones de las matemáticas en el mundo moderno no se limitan a los avances tecnológicos. Los procesos lógicos de las matemáticas ahora se utilizan para analizar problemas complejos en las ciencias sociales, ciencias políticas y ciencias de la vida de maneras nuevas y sorprendentes.

En otra sección de Las matemáticas en el mundo moderno describiremos con más detalle cómo las matemáticas nos afectan a todos en nuestras actividades cotidianas.

Ejemplo 5 ■ Simplificación de expresiones con exponentes negativos Elimine exponentes negativos y simplifique cada expresión. (a) 5

6st24 2s22t 2

(b)

y 3z 3

22

Solución (a) Usamos la ley 7, que nos permite pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador (o viceversa) cambiando el signo del exponente. t24 pasa al denominador y se convierte en t4

6st24 6ss 2 22 2 5 2s t 2t 2t 4

Ley 7

3s3 t6

Ley 1

s22 pasa al numerador y se convierte en s2

5

(b) Usamos la ley 6, que nos permite cambiar el signo del exponente de una fracción al invertir la fracción. y 3z 3

22

5

3z3 y

5

9z6 y2

2

Ley 6

Leyes 5 y 4

■

Ahora intente realizar el ejercicio 31

■ Notación científica Los científicos usan notación exponencial como una forma compacta de escribir números muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana, además del Sol, Proxima Centauri, está aproximadamente a 40 000 000 000 000 de km de distancia.

La masa del átomo de hidrógeno es alrededor de 0.000 000 000 000 000 000 000 001 66 g.

Estos números son difíciles de leer y escribir, de modo que los científicos por lo general los expresan en notación científica.

Notación científica Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si se expresa como sigue: x 5 a 3 10n

donde

1 # a , 10 y n es un entero

Por ejemplo, cuando decimos que la distancia a la estrella Proxima Centauri es 4 3 1013 km, el exponente positivo 13 indica que el punto decimal se debe recorrer 13 lugares a la derecha: 4 3 1013 5 40 000 000 000 000 Mueva el punto decimal 13 lugares a la derecha

Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66 3 10224 g el exponente 224 indica que el punto decimal debe moverse 24 lugares a la izquierda: 1.66 3 10224 5 0.00000000000000000000000166 Mueva el punto decimal 24 lugares a la izquierda MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

Sección 1.2 ■ Exponentes y radicales 17

Ejemplo 6 ■ Cambio de notación decimal a científica Escriba en notación científica cada uno de los números siguientes. (a) 56 920 (b) 0.000 093 Solución (a) 56 920 5 5.692 3 104

(b) 0.000 093 5 9.3 3 1025

4 lugares

5 lugares

■

Ahora intente realizar el ejercicio 81

Ejemplo 7 ■ Cambio de notación científica a notación decimal Escriba cada número en notación decimal. (a) 6.97 3 109 (b) 4.6271 3 1026 Solución (a) 6.97 3 109 5 6 970 000 000

Se mueve 9 lugares decimales hacia la derecha

9 lugares 26

(b) 4.6271 3 10

5 0.000 004 627 1

Se mueve 6 lugares decimales hacia la derecha

6 lugares

■

Ahora intente realizar el ejercicio 83

Nota Con frecuencia se usa notación científica en una calculadora para ver un número muy grande o uno muy pequeño. Por ejemplo, si usamos calculadora para elevar al cuadrado el número 1 111 111, la pantalla puede mostrar (dependiendo del modelo de calculadora) la aproximación 1.234568 12

o

1.234568 E12

Aquí los dígitos finales indican la potencia de 10 e interpretamos el resultado como 1.23 4568 3 1012

Ejemplo 8 ■ Cálculo con notación científica Si a < 0.00046, b < 1.697 3 1022 y c < 2.91 3 10218, use la calculadora para aproximar el cociente abyc.

Solución Podríamos ingresar los datos usando notación científica, o bien, podríamos usar leyes de exponentes como sigue: ab 4.6 3 1024 1.697 3 1022 < c 2.91 3 10218 5 Para obtener pautas sobre cómo trabajar con cifras significativas, consulte el apéndice B, Cálculos y cifras significativas. Ingrese a latam.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

4.6 1.697 3 1024122118 2.91

< 2.7 3 1036 Expresamos la respuesta redondeada a dos cifras significativas porque el menos preciso de los números dados se expresa a dos cifras significativas.

Ahora intente realizar los ejercicios 87 y 89

■

■ Radicales Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24y5, cuyo exponente es un número racional necesitamos estudiar radicales.

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18 Capítulo 1 ■ Fundamentos El símbolo Ï significa “la raíz positiva de”. Entonces Es cierto que el número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y 23, pero la notación Ï9 está reservada para la raíz cuadrada positiva de 9 (a veces llamada raíz cuadrada principal de 9). Si deseamos tener la raíz negativa debemos escribir 2Ï9, que es 23.

Ïa 5 b

b2 5 a

significa que

y

b$0

Dado que a 5 b2 $ 0, el símbolo Ïa tiene sentido sólo cuando a $ 0. Por ejemplo, Ï9 5 3

32 5 9

ya que

3$0

y

Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de x es el número que, cuando se eleva a la n-ésima potencia, da x.

Definición de una raíz n-ésima Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-ésima raíz principal de a se define como sigue: n

Ïa 5 b

bn 5 a

significa

Si n es par, debemos tener a $ 0 y b $ 0.

Por ejemplo, 4

Ï81 5 3 3

Ï28 5 22 4

34 5 81

ya que

y

3$0

3

22 5 28

ya que

6

Pero Ï28, Ï28 y Ï28 no están definidas. (Por ejemplo, Ï28 no está definida porque el cuadrado de todo número real es no negativo.)

Observe que Ï42 5 Ï16 5 4

Ï 24 2 5 Ï16 5 4 5 _ 24 _

pero

Entonces la ecuación Ïa2 5 a no siempre es verdadera; lo es sólo cuando a $ 0. No obstante, siempre podemos escribir Ïa2 5 _ a _. Esta última ecuación es verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. En el recuadro siguiente se citan esta y otras reglas empleadas para trabajar con las raíces n-ésimas. En cada propiedad suponemos que existen todas las raíces dadas.

Propiedades de las raíces n-ésimas Propiedad

Ejemplo

n

n

n

3

1. Ïab 5 Ïa Ïb n

n a

2.

5

b m

3

Ïa

4 16

n

81

Ïb mn

n

Ï16

5

4

Ï81

2 3

6

Ï729 5 Ï729 5 3

n

si n es impar

n

si n es par

5. Ïan 5 _ a _

4

5

3

3. #Ïa 5 Ïa 4. Ïan 5 a

3

Ï28 ? 27 5 Ï28 Ï27 5 22 3 5 26

3

Ï 25 3 5 25,

5

Ï25 5 2

4

Ï 23 4 5 _ 23 _ 5 3

Ejemplo 9 ■ Simplificación de expresiones que tienen raíces n-ésimas 3

3

(a) Ïx4 5 Ïx3x 3

3 3

5 Ïx Ïx 3

5 x Ïx

Factorice el cubo más grande 3

3

3

Propiedad 1: Ïab 5 Ïa Ïb 3

Propiedad 4: Ïa3 5 a

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Sección 1.2 ■ Exponentes y radicales 19

(b)

4

4

4

4

Ï81x8y4 5 Ï81 Ïx8 Ïy4 4

5 3Ï x2 4 _ y _ 5 3x2 _ y _

4

4

4

4

Propiedad 1: Ïabc 5 Ïa Ïb Ïc 4

Propiedad 5: Ïa4 5 _ a _ 4

Propiedad 5: Ïa4 5 _ a _, _ x2 _ 5 x2

■

Ahora intente realizar los ejercicios 33 y 35

Con frecuencia es útil combinar radicales semejantes en una expresión, tal como 2Ï3 1 5Ï3. Esto se puede hacer usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2Ï3 1 5Ï3 5 2 1 5 Ï3 5 7Ï3 El siguiente ejemplo ilustra más aún este proceso.

Ejemplo 10 ■ Combinación de radicales Evite el siguiente error: Ïa 1 b 5 Ïa 1 Ïb

Por ejemplo, si hacemos que a 5 9 y b 5 16, entonces vemos el error: Ï9 1 16 0 Ï9 1 Ï16 Ï25 0 3 1 4

507

¡Error!

(a) Ï32 1 Ï200 5 Ï16 ? 2 1 Ï100 ? 2 5 Ï16Ï2 1 Ï100 Ï2 5 4Ï2 1 10 Ï2 5 14Ï2 (b) Si b . 0, entonces Ï25b 2 Ïb3 5 Ï25 Ïb 2 Ïb2Ïb 5 5Ïb 2 bÏb 5 5 2 b Ïb

Factorice los cuadrados más grandes Propiedad 1: Ïab 5 Ïa Ïb Propiedad distributiva

Propiedad 1: Ïab 5 Ïa Ïb Propiedad 5, b . 0 Propiedad distributiva

(c) Ï49x2 1 49 5 Ï49 x2 1 1

Factorice el cuadrado perfecto

2

Propiedad 1: Ïab 5 Ïa Ïb

5 7Ïx 1 1

■

Ahora intente realizar los ejercicios 37, 39 y 41

■ Exponentes racionales Para definir lo que significa exponente racional, o bien, de manera equivalente, un exponente fraccionario, por ejemplo a1y3, necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a1yn de forma que sea consistente con las leyes de exponentes deberíamos tener a1yn n 5 a 1yn n 5 a1 5 a Entonces, por la definición de la raíz n-ésima, n

a1yn 5 Ïa En general, definimos exponentes racionales como sigue:

Definición de exponentes racionales Para cualquier exponente racional myn en sus términos más elementales, donde m y n son enteros y n . 0 definimos n

amyn 5 Ïa m

o en forma equivalente

n

amyn 5 Ïam

Si n es par, entonces requerimos que a $ 0.

Con esta definición se puede demostrar que las leyes de exponentes también se cumplen para exponentes racionales.

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20 Capítulo 1 ■ Fundamentos

Ejemplo 11 ■ Uso de la definición de exponentes racionales DIOFANTO Vivió en Alejandría hacia el año 250 d.C. Su libro Arithmetica es considerado el primer libro de álgebra. En este se presentan métodos para encontrar soluciones enteras de ecuaciones algebraicas. Arithmetica fue leído y estudiado durante más de mil años. Fermat (véase la sección 1.11) hizo algunos de sus más importantes descubrimientos cuando estudiaba este libro. La mayor aportación de Diofanto es el uso de símbolos para representar las incógnitas en un problema.

Aun cuando su simbolismo no es tan sencillo como el que usamos ahora fue un avance considerable para escribir todo en palabras. En la notación de Diofanto, la ecuación x 5 2 7x 2 1 8x 2 5 5 24

(a) 41y2 5 Ï4 5 2 3

(b) 82y3 5 Ï8 2 5 22 5 4 (c) 12521y3 5

1y3

125

1

5

3

3

Ï125

5

1 5 ■

Ahora intente realizar los ejercicios 51 y 53

Ejemplo 12 ■ Uso de las leyes de los exponentes con exponentes racionales (a) a1y3a7y3 5 a8y3 (b) (c)

se escribe

a2y5a7y5 a3y5

Ley 1: ama n 5 a m1n

5 a2y517y523y5 5 a6y5

Ley 1, Ley 2:

2a3b4 3y2 5 23y2 a3 3y2 b4 3y2 5 Ï2 3a3 3y2 b 4 3y2

DKga h DgzM° eiskd

am 5 am2n an

Ley 4: abc n 5 anbncn Ley 3: am n 5 amn

9y2 6

5 2Ï2a b

c

Nuestra moderna notación algebraica no entró en uso común sino hasta el siglo XVII.

1

3

Solución alternativa: 82y3 5 Ï82 5 Ï64 5 4

(d)

2x

3y4

3

y4 x21y2

y1y3

23 x3y4 3

5 5

y1y3 3

? y4x1/2

Leyes 5, 4 y 7

8x9y4 4 1y2 ?y x y

Ley 3

5 8x11y4y3

Leyes 1 y 2

■

Ahora intente realizar los ejercicios 57, 59, 61 y 63

Ejemplo 13 ■ Simplificar escribiendo radicales como exponentes racionales (a)

1 3

Ïx

4

5

1 x

Definición de exponentes racionales

4y3 3

(b) 2Ïx 3Ïx 5 2x1y2 3x1y3 5 6x 1y211y3 5 6x5y6 xÏx 5 xx1y2 1y2 (c) 5 x3y2 1y2

Definición de exponentes racionales Ley 1 Definición de exponentes racionales Ley 1

5 x3y4

Ley 3

■

Ahora intente realizar los ejercicios 67 y 71

■ Racionalización del denominador; forma estándar A veces es útil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma Ïa, multiplicamos al numerador y al denominador por Ïa. Al hacer esto multiplicamos por 1 la cantidad dada, de modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo, 1 1 1 Ïa Ïa 5 ?1 5 ?

5 a Ïa Ïa Ïa Ïa Observe que el denominador de la última fracción no contiene radical. En general, si el n denominador es de la forma con Ïam con m , n, entonces multiplicar el numerador n n2m y denominador por Ïa racionalizará el denominador, porque (para a . 0) n

n

n

n

Ïa m Ïa n2m 5 Ïam1n2m 5 Ïa n 5 a Se dice que una expresión fraccionaria está en su forma estándar si su denominador no contiene radicales.

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Sección 1.2 ■ Exponentes y radicales 21

Ejemplo 14 ■ Racionalizar denominadores Escriba cada expresión fraccionaria en su forma estándar al racionalizar el denominador.

2 1 1 (c) 7 2 (a) (b) 3 Ï3 a Ï5 Solución (a)

Esto es igual a 1

2 Ï3 2 ?

5 Ï3 Ï3 Ï3

Multiplique por

2Ï3 3

Ï3 ? Ï3 5 3

5 (b)

1 3

Ï5

5

3

1 3

Ï5

Ï52

?

3

Ï52

Ï3 Ï3

3

Ï52 Multiplique por 3 Ï52

3

5 (c)

7

Ï25 5

3

1 1 5 7 2 a2 Ïa 5

Propiedad 2: 7

1 7

3

3

Ï5 ? Ï52 5 Ï53 5 5

Ïa5

?

2

7

Ïa

Ïa5

n a

b

n

5

Ïa n

Ïb

7

Ïa5 Multiplique por 7 Ïa5

7

5

Ïa5 a

7

7

7

Ïa2 ? Ïa5 5 Ïa7 5a

■

Ahora intente realizar los ejercicios 73 y 75

1.2 Ejercicios ■ Conceptos

6. Explique cómo racionalizar un denominador y luego com1 : plete los siguientes pasos para racionalizar Ï3

1. (a) Usando notación exponencial podemos escribir el producto 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 como

.

4

(b) En la expresión 3 el número 3 se denomina el número 4 se llama

los exponentes. Por tanto 34 ? 35 5

7. Encuentre la potencia faltante en el siguiente cálculo: 51y3 ? 5 5 5.

.

(b) Cuando dividimos dos potencias con la misma base los exponentes. Por tanto,

35 32

5

b22

5 ________,

b2

5 ________ y

6a2 b23

(b) ¿La expresión (x2)3 es igual a x5? (c) ¿La expresión (2x 4)3 es igual a 2x12? (d) ¿La expresión Ï4a 2 es igual a 2a?

5________.

■ Habilidades

3

4. (a) Usando notación exponencial, podemos escribir Ï5 como

8. ¿Sí o no? Si es no, justifique su respuesta. (a) ¿Hay diferencia entre (25)4 y 254?

.

3. Para mover un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambiamos el signo de _______. De forma que a]2 5 _______,

a23

5

.

2. (a) Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base

1

1 1 5 ? Ï3 Ï3

y

9–18 ■ Radicales y exponentes

.

(b) Usando radicales podemos escribir 51y2 como

.

Evalúe cada expresión.

9. (a) 226

(b) (22)6

(c) 15 2 ? 23 3

10. (a) (25)3

(b) 253

(c) 25 2 ? 25 2

11. (a) 53 0 ? 221

(b)

(c) ¿Hay diferencia entre Ï52 y Ï5 2? Explique.

5. Explique qué significa 43y2 y, a continuación, calcule 43y2 en dos formas diferentes: 41y2 5 o 43 5

223 30

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(c) 23 22

22 Capítulo 1 ■ Fundamentos 12. (a) 223 ? 22 0

(b) 2223 ? 22 0

13. (a) 53 ? 5

(b) 54 ? 522

14. (a) 38 ? 35

107 (b) 104

3

15. (a) 3Ï16 3

23

23 5 (c) 22 3

(c)

(c) 35 4

Ï18 (b) Ï81

(c)

27 4

Ï18 Ï25

(c)

12 49

16. (a) 2Ï81

(b)

17. (a) Ï3 Ï15

Ï48 (b) Ï3

18. (a) Ï10 Ï32

Ï54 (b) Ï6

3

3

3

3

(c) Ï15 Ï75

(b) 22b

20. (a) a a 21. (a) x

25

?x

(c) x x

23 3

(c) 22y10y211 x16 (c) 10 x

(b) ш ш ш 22

3

38. (a) Ï125 1 Ï45

(b) Ï54 2 Ï16

39. (a) Ï9a 3 1 Ïa

(b) Ï16x 1 Ïx5

3

3

3

40. (a) Ïx4 1 Ï8x

(b) 4Ï18rt3 1 5Ï32r3t5

41. (a) Ï36x2 1 36x4

(b) Ï81x2 1 81y2

42. (a) Ï27a2 1 63a2

(b) Ï75t 1 100t 2

43–50 ■ Radicales y exponentes Escriba cada expresión radical usando exponentes y cada expresión con exponentes usando radicales.

Expresión radical

Expresión con exponentes

23 5

(b) 4z

4 6

(b) Ï75 1 Ï48

(c) Ï24 Ï18

3 2

19. (a) t t

37. (a) Ï32 1 Ï18

3

19–24 ■ Exponentes Simplifique cada expresión y elimine cualquier exponente negativo.

5 2

37–42 ■ Expresiones radicales Simplifique cada expresión.

Suponga que todas las letras denotan números reales positivos.

24

5

43.

Ï10

44.

Ï6

5

45.

73y5

46.

625y2

7 0

22. (a) y 2 ? y25 23. (a)

a9a22

a z2z4 24. (a) 3 21 z z

(b) z5z23z24

(c)

yy y10

(b) a2a 4 3

(c)

x 2

(b) 2a3a 2 4

(c) 23z 2 3 2z3

3

5x6

25–32 ■ Exponentes Simplifique cada expresión y elimine cualquier exponente negativo.

3 2

25. (a) 3x y

2y

26. (a) 8m n

28. (a)

x

y22z23

(b)

y21 5

a 3b2 c3

4 2

30. (a) 31. (a) 32. (a)

3 2

xz 4y5

2x y z3

8a 3b24 2a25b5 5xy22 x21y23

a2b21

a3 2b2

(b)

25

a2 b

z

4 22 3

(b) 3a b

x2y21

29. (a)

2 22 2

(b) 5ш z

1 22

2n

22 4

27. (a)

3

3

(b)

x23 y2 u21 2 2 rs2 3 23 y 22 5x 2a21b 23

(b) (b)

a2b23

(b) Ï16x8

4

5

(b) Ïx3y6

3

3

35. (a) Ï8x9y3 36. (a) Ï16x y z

4 6 2

50.

1 3

Ïx2

51–56 ■ Exponentes racionales calculadora.

3

4

3

3

Ï512x9

Evalúe cada expresión sin usar

51. (a) 161y4

(b) 281y3

(c) 921y2

52. (a) 271y3

(b) 28 1y3

(c) 2 18 1y3

53. (a) 322y5

(b)

4 21y2 9

(c)

54. (a) 1252y3

(b)

25 3y2 64

(c) 2724y3

55. (a) 52y3 ? 51y3

(b)

56. (a) 32y7 ? 312y7

(b)

33y5

16 3y4 81

3

(c) Ï4 3

32y5 72y3

5

(c) Ï6 210

75y3

57–64 ■ Exponentes racionales Simplifique cada expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las letras denotan números positivos.

57. (a) x 3y4x5y4

(b) y2y3y 4y3

58. (a) 4b 1y2 8b1y4

(b) 3a3y4 2 5a1y2

59. (a)

(b) Ï8x6y2 Ï2x2y2 (b)

y21.5

r23s2 2

4

34. (a) Ïx10

49.

u

33–36 ■ Radicales Simplifique cada expresión. Recuerde usar la propiedad 5 de las raíces n-ésimas donde sea apropiado.

33. (a) Ïx4

523y4

3 22 3

2

(b)

22

1 Ï5

48.

3

3

x3y22

47.

ш4y3ш2y3 ш1y3

(b) 3x1y2y1y3 6

60. (a) 8y3 22y3

(b) u4 6 21y3

61. (a) 8a6b3y2 2y3

(b) 4a24b6 3y2

62. (a) x25y1y3 23y5

(b) u3 2 1y3 16u6 2y3 1y2

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Sección 1.2 ■ Exponentes y radicales 23 63. (a)

3x1y4

x21

(b)

y

y

x

3

y

24

2ш1y3 z

z

23 6

2

3 2y3

4y z

(b)

2

1y2

21

21

y22

x21

3ш21y3

1y2

4

2y3

64. (a)

2

x y

1y3

8z4

x1y2

65–72 ■ Radicales Escriba cada expresión usando exponentes racionales y simplifique. Elimine cualquier exponente negativo.

Suponga que todas las letras denotan números positivos.

5

65. (a) Ïx3

(b)

Ïx6

66. (a) Ïx5

(b)

Ïx6

2

(b)

3

5Ïx 2Ïx

68. (a) Ïb Ïb

(b)

2Ïa Ïa 2

69. (a) Ï4st 3 Ïs3t2

6

(b)

5

(b)

6

5

4

3

3

67. (a) Ïy Ïy

4

4

3

83–84 ■ Notación decimal Escriba cada número en notación decimal.

83. (a) 3.19 3 10 5 (c) 2.670 3 1028

(b) 2.721 3 10 8 (d) 9.999 3 1029

84. (a) 7.1 3 1014 (c) 8.55 3 1023

(b) 6 3 1012 (d) 6.257 3 10210

85–86 ■ Notación científica Escriba en notación científica el número indicado en cada enunciado.

85. (a) Un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es alrededor de 5 900 000 000 000 millas. (b) El diámetro de un electrón es alrededor de 0.000 000 000 000 4 cm.

4

Ïx7 4

Ïx

(c) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas.

3

86. (a) La distancia de la Tierra al Sol es de unos 93 millones de millas. (b) La masa de una molécula de oxígeno es de unos 0.000000000000000000000053 g.

3

70. (a) Ïx3y2 71. (a)

3

10

x4y16

yÏy

Ï8x2 Ïx 18u5 2u3 3

(b)

(c) La masa de la Tierra es de unos 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.

2 4

72. (a)

sÏs3

3 54x y 5

(b)

2x y

73–76 ■ Racionalización Coloque cada expresión fraccional en forma estándar racionalizando al denominador. Suponga que todas las letras denotan números reales positivos.

9 1 3 (b) 73. (a) (c) 2 4 Ï6 Ï2 8 12 12 (c) 3 (b) 74. (a) 5 Ï3 Ï52 x 1 1 (c) 5 3 75. (a) (b) 5 x Ï5x 76. (a)

s 3t

(b)

a

(c)

6

Ïb2

87–92 ■ Notación científica Use notación científica, las leyes de exponentes y una calculadora para ejecutar las operaciones indicadas. Exprese su respuesta redondeada al número de cifras significativas indicadas por la información dada.

87. 7.2 3 1029 1.806 3 10212 88. 1.062 3 1024 8.61 3 1019 89.

90.

1 c3y5

91.

1.295643 3 109 3.610 3 10217 2.511 3 106 73.1 1.6341 3 1028 0.000 000 001 9 0.000 016 2 0.01582 594 621 000 0.0058

92.

3.542 3 1026 9 5.05 3 104 12

■

77–80 Colocando todo junto Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las letras denotan números positivos a menos de que se indique lo contrario.

Convierta a exponentes racionales donde sea de ayuda. Si es necesario, racionalice el denominador. Ï5 77. (a) 4 14 4 641 (b) Ï40 x3y2 4 78. (a) (b) 25u2 24 1y2, u , 0, . 0 y21y2 4

4

79. (a) Ïy Ïy2 80. (a)

x3y2 y21y2

(b) 81Ïш8z8 1y2, ш . 0, z , 0 4

x22 y3

81–82 ■ Notación científica científica

ш4 (b)

1y2

3

Ïш3z6

Escriba cada número en notación

81. (a) 69 300 000 (c) 0.000 028 536

(b) 7 200 000 000 000 (d) 0.000 121 3

82. (a) 129 540 000 (c) 0.000 000 001 4

(b) 7 259 000 000 (d) 0.000 702 9

■ Habilidades Plus 93. Signo de una expresión Sean a, b y c números reales con a . 0, b , 0 y c , 0. Determine el signo de cada expresión. (a) b5 (b) b10 (c) ab2c3 (d) b 2 a 3

(e)

b2a 4

(f)

a 3c 3

b 6c 6 94. Comparación de raíces Sin usar la calculadora determine cuál número es mayor en cada par.

1 1y2 o 2 3

1 1y3 2

(a) 21y2 o 21y3

(b)

(c) 71y4 o 41y3

(d) Ï5 o Ï3

■ Aplicaciones 95. Distancia a la estrella más cercana Proxima Centauri, la estrella más cercana a nuestro sistema solar, está a 4.3 años luz de distancia. Use la información del ejercicio 87(a) para expresar esta distancia en millas.

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Capítulo 1 ■ Fundamentos

96. Velocidad de la luz La velocidad de la luz es de unas 186 000 mi/s. Use la información del ejercicio 86(a) para encontrar cuánto tarda un rayo de luz del Sol en llegar a la Tierra.

la cubierta de observación de la Torre CN de Toronto, que está a 1 135 pies sobre el suelo?

Torre CN

97. Volumen de los océanos El promedio de profundidad de los océanos es 3.7 3 103 m y el área de los océanos es 3.6 3 1014 m2. ¿Cuál es el volumen total del océano en litros? (Un metro cúbico contiene 1 000 litros.)

98. Deuda nacional En 2020, la población de Estados Unidos era de 3.3145 3 108 personas y la deuda nacional era de 2.670 3 1013 dólares. ¿A cuánto ascendió la parte de la deuda de cada persona? [Fuente: Oficina del Censo de Estados Unidos y Departamento del Tesoro de Estados Unidos].

99. Número de átomos en el universo observable El campo profundo del Hubble es una imagen de larga exposición de una pequeña región del cielo (alrededor de 2.6 minutos de arco). Cada punto o mancha en la imagen es una galaxia entera: hay más de diez mil galaxias en esta imagen. Cada una contiene miles de millones de estrellas que consisten, cada una, casi en su totalidad en átomos de hidrógeno. Use la siguiente información para dar una estimación del número de átomos en el universo observable.

r

101. Rapidez de un auto que patina La policía usa la fórmula s 5 Ï30fd para calcular la rapidez s (en mi/h) a la que un auto se desplaza si patina d pies después de aplicar repentinamente los frenos. El número f es el coeficiente de fricción del pavimento, que es una medida de lo “resbaloso” de la carretera. La tabla siguiente da algunos cálculos comunes para f.

Seco Mojado

Asfalto

Concreto

Grava

1.0 0.5

0.8 0.4

0.2 0.1

(a) Si un auto patina 65 pies en concreto mojado, ¿cuál era su velocidad cuando se le aplicaron los frenos? (b) Si un auto corre a 50 mi/h, ¿cuánto patinará en asfalto mojado?

NASA Image Collection/Alamy Stock Photo

Masa de la estrella típica: 1.77 3 1030 kg Masa del átomo de hidrógeno: 1.67 3 10227 kg Número de estrellas en una galaxia típica: 2 3 1011 Número de galaxias en el universo observable: 1.5 3 1012

100. ¿A qué distancia puede usted ver? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima D a la que se puede ver desde lo alto de un edificio de altura h se calcula con la fórmula D 5 Ï2rh 1 h2 donde r 5 3 960 millas es el radio de la Tierra y D y h también se miden en millas. ¿A qué distancia se puede ver desde

102. Distancia de la Tierra al Sol Se deduce de la Tercera ley de Kepler del movimiento planetario que el promedio de distancia de un planeta al Sol (en metros) es d5

GM 4p2

1y3

T 2y3

donde M 5 1.99 3 1030 kg es la masa del Sol, G 5 6.67 3 10211 N ? m2ykg2 es la constante gravitacional y T es el periodo de la órbita del planeta (en segundos). Use el dato de que el periodo de la órbita de la Tierra es alrededor de 365.25 días para determinar la distancia de la Tierra al Sol.

■ Discusión ■ Descubrimiento ■ Demostración ■ Redacción 103. Discusión: ¿Cuánto es mil millones? Si usted tuviera un millón (106) de dólares en una maleta y gastara mil dólares (10 3) al día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Gastando al mismo ritmo, ¿cuántos años tardaría en vaciar la maleta llena con mil millones (10 9 ) de dólares?

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