Fundamentos de ecuaciones diferenciales

FUNDAMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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DENNIS G. ZILL

WARREN S. WRIGHT

Loyola Marymount University MICHAEL R. CULLEN Antiguo miembro de la Loyola Marymount University ADAPTACIÓN Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca

TRADUCCIÓN Ana Elizabeth García Hernández Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Rafael Salvador Gardea Talamantes Instituto Tecnológico de Querétaro Raymundo Flores Valdés Tecnológico Nacional de México, campus Tepic

Gerardo Sepúlveda Valdés Instituto Tecnológico de Morelia

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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Fundamentos de ecuaciones diferenciales, Primera edición Dennis G. Zill, Warren S. Wright Directora Higher Education Latinoamérica: Lucía Romo Alanís Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: ©Art Knights / Shutterstock.com Composición tipogr£ȴca: StudioBold.mx

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. AY. Andrés Molina EnríTue] 4, 3rimer piso, 2ȴcina ȊAȋ, Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

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Traducido del libro: Differential Equations with Boundary-Value Problems, Eighth Edition Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-1-111-82706-9 Datos para catalogación bibliográȴca: Zill, Dennis G., Warren S. Wright Fundamentos de ecuaciones diferenciales.

Primera edición.

ISBN: 978-607-570-212-4 Visite nuestro sitio web en: latam.cengage.com

Publicad ­

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CONTENIDO

1 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 Definiciones y terminología

1

2

1.2 Problemas con valores iniciales

13

1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 1.4 Variables separables

32

1.5 Ecuaciones lineales

39

1.6 Ecuaciones exactas

48

1.7 Soluciones por sustitución

2

19

55

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales

61

62

2.1.1

Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera

2.1.2

Ecuaciones homogéneas

2.1.3

Ecuaciones no homogéneas

2.2 Reducción de orden

64 69

74

2.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 2.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 2.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 2.6 Variación de parámetros 2.7 Ecuación de Cauchy-Euler

3

77

83

92

99 105

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

112

3.1 Definición de la transformada de Laplace

113

3.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 3.2.1

Transformadas inversas

3.2.2

Transformadas de derivadas

3.3 Propiedades operacionales I 3.3.1

62

Traslación en el eje s

120

120 123

128 129 v

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vi

O

CONTENIDO

3.3.2

Traslación en el eje t

132

3.4 Propiedades operacionales II

140

3.4.1

Derivadas de una transformada

3.4.2

Transformadas de integrales

3.4.3

Transformada de una función periódica

3.5 La función delta de Dirac

4

140 141 146

151

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 155 4.1 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación

156

4.2 Solución de sistemas de ED lineales por transformada de Laplace 4.3 Introducción a la solución matricial de sistemas de ED lineales 4.4 Sistemas lineales homógeneos

5

160 165

173

4.4.1

Eigenvalores reales distintos

4.4.2

Eigenvalores repetidos

177

4.4.3

Eigenvalores complejos

182

174

SERIES DE FOURIER

189 5.1 Funciones ortogonales 5.2 Series de Fourier

190

195

5.3 Series de Fourier de cosenos y de senos

201

APÉNDICES

208

I

Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares I.1

Ecuaciones diferenciales parciales separables

I.2

EDO clásicas y problemas con valores en la frontera

I.3

Ecuación de calor

219

I.4

Ecuación de onda

221

I.5

Ecuación de Laplace

II

Función gamma

III

Transformadas de Laplace

208

209 213

226

232 234

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PREFACIO

Fundamentos de ecuaciones diferenciales es una adaptación del muy reconocido Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera de Dennis G. Zill y Warren S. Wright. Este libro incluye una sección de proyectos con ejemplos de aplicaciones prácticas para un sinfín de ecuaciones diferenciales. Conserva, amplía y da énfasis a los ejercicios y al sistema que ha dado tanto reconocimiento a los libros de los autores originales, haciéndolo más enfocado sin perder valor.

Las direcciones de los sitios web señaladas a lo largo del texto, y que se incluyen a modo de referencia, no son administradas por Cengage Learning Latinoamerica, por lo que ésta no es responsable de los cambios y actualizaciones de las mismas.

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1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

'H¿QLFLRQHV \ WHUPLQRORJtD 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRPR PRGHORV PDWHPiWLFRV 9DULDEOHV VHSDUDEOHV (FXDFLRQHV OLQHDOHV (FXDFLRQHV H[DFWDV 6ROXFLRQHV SRU VXVWLWXFLyQ

(V FLHUWR TXH ODV SDODEUDV ecuaciones \ diferenciales VXJLHUHQ DOJXQD FODVH GH HFXDFLyQ TXH FRQWLHQH GHULYDGDV y , y , $O LJXDO TXH HQ XQ FXUVR GH iOJHEUD \ WULJRQRPHWUtD, HQ ORV TXH VH LQYLHUWH EDVWDQWH WLHPSR HQ OD VROXFLyQ GH HFXDFLRQHV WDOHV FRPR x2 5x 4 SDUD OD LQFyJQLWD x, HQ HVWH FXUVR una GH ODV WDUHDV VHUi UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GHO WLSR y 2y y SDUD OD IXQFLyQ LQFyJQLWD y (x).

(O SiUUDIR DQWHULRU QRV GLFH DOJR, SHUR QR OD KLVWRULD FRPSOHWD VREUH HO FXUVR TXH HVWi SRU LQLFLDU. &RQIRUPH HO FXUVR VH GHVDUUROOH, YHUi TXH KD\ PiV HQ HO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH VRODPHQWH GRPLQDU ORV PpWRGRV TXH DOJXLHQ KD LQYHQWDGR SDUD UHVROYHUODV. 3HUR YDPRV HQ RUGHQ. 3DUD OHHU, HVWXGLDU \ SODWLFDU VREUH XQ WHPD HVSHFLDOL]DGR, HV QHFHVDULR DSUHQGHU OD WHUPLQRORJtD GH HVWD GLVFLSOLQD. (VD HV OD LQWHQFLyQ GH ODV GRV SULPHUDV VHFFLRQHV GH HVWH FDStWXOR. (Q OD ~OWLPD VHFFLyQ H[DPLQDUHPRV EUHYHPHQWH HO YtQFXOR HQWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV \ HO PXQGR UHDO. /DV SUHJXQWDV SUiFWLFDV FRPR ¿qué tan rápido se propaga una enfermedad? \ ¿qué tan rápido cambia una población? LPSOLFDQ UD]RQHV GH FDPELR R GHULYDGDV. $Vt, OD GHVFULSFLyQ PDWHPiWLFD ²R PRGHOR PDWHPiWLFR² GH H[SHULPHQWRV, REVHUYDFLRQHV R WHRUtDV SXHGH VHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO.

1 Reg. 403 VITALSOURCE © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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2

O

UNIDAD 1

1.1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA INTRODUCCIÓN /D GHULYDGD dy dx GH XQD IXQFLyQ y (x) HV RWUD IXQFLyQ (x) TXH VH HQFXHQWUD FRQ XQD UHJOD DSURSLDGD. /D IXQFLyQ y e0.1x2 HV GHULYDEOH HQ HO LQWHUYDOR ( , ), \ XVDQGR 2 OD UHJOD GH OD FDGHQD, VX GHULYDGD HV dy dx 0.2xe0.1x . 6L VXVWLWXLPRV e0.1x2 HQ HO ODGR GHUHFKR GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ SRU y, OD GHULYDGD VHUi

dy dx

(1)

0.2xy

$KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR FRQVWUX\y VX HFXDFLyQ (1) XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R \ VH SUHJXQWD ¿cuál es la función representada con el símbolo y? 6H HQIUHQWD HQWRQFHV D XQR GH ORV SUREOHPDV EiVLFRV GH HVWH FXUVR ¿Cómo resolver una ecuación para la función desconocida y (x)?

UNA DEFINICIÓN $ OD HFXDFLyQ (1) VH OH GHQRPLQD ecuación diferencial. $QWHV GH SURVHJXLU, FRQVLGHUHPRV XQD GH¿QLFLyQ PiV H[DFWD GH HVWH FRQFHSWR. DEFINICIÓN 1.1.1

Ecuación diferencial

6H GHQRPLQD ecuación diferencial (ED) D OD HFXDFLyQ TXH FRQWLHQH GHULYDGDV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV UHVSHFWR D XQD R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV. 3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVL¿FDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden \ linealidad.

CLASIFICACIÓN POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV UHVSHFWR D XQD VROD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH, VH GLFH TXH HV XQD ecuación diferencial ordinaria (EDO). 8QD HFXDFLyQ TXH LQYROXFUD GHULYDGDV SDUFLDOHV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV GH GRV R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV VH OODPD ecuación diferencial parcial (EDP). 1XHVWUR SULPHU HMHPSOR LOXVWUD YDULDV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH FDGD WLSR.

EJEMPLO 1

Tipos de ecuaciones diferenciales

a) /DV HFXDFLRQHV

8QD ('2 SXHGH FRQWHQHU PiV GH XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH

? ?

2

d y dy dy 5y ex, 6y 0, y dx dx2 dx VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV.

dy dt

2x

u u , y t y

v x

dx dt

y

(2)

b) /DV VLJXLHQWHV VRQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV 2

u x2

2

u y2

2

0,

u x2

2

u t2

2

(3)

2EVHUYH TXH HQ OD WHUFHUD HFXDFLyQ KD\ GRV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV \ GRV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV HQ OD ('3. (VWR VLJQL¿FD TXH u \ v GHEHQ VHU IXQFLRQHV GH GRV R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV. NOTACIÓN $ OR ODUJR GHO OLEUR ODV GHULYDGDV RUGLQDULDV VH HVFULELUiQ XVDQGR OD notación de Leibniz dy dx, d 2y dx 2, d 3y dx 3, . . . R OD notación prima y , y , y , . . . 8VDQGR HVWD ~OWLPD QRWDFLyQ, ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HQ (2) VH SXHGHQ HVFULELU HQ

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1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

O

3

XQD IRUPD XQ SRFR PiV FRPSDFWD FRPR y 5y ex \ y y 6y 0. (Q UHDOLGDG, OD QRWDFLyQ SULPD VH XVD SDUD GHQRWDU VyOR ODV SULPHUDV WUHV GHULYDGDV OD FXDUWD GHULYDGD VH GHQRWD y(4) HQ OXJDU GH y . (Q JHQHUDO, OD n-pVLPD GHULYDGD GH y VH HVFULEH FRPR dny dxn R \(n). $XQTXH HV PHQRV FRQYHQLHQWH SDUD HVFULELU R FRPSRQHU WLSRJUi¿FDPHQWH, OD QRWDFLyQ GH /HLEQL] WLHQH XQD YHQWDMD VREUH OD QRWDFLyQ SULPD PXHVWUD FODUDPHQWH DPEDV YDULDEOHV, ODV GHSHQGLHQWHV \ ODV LQGHSHQGLHQWHV. 3RU HMHPSOR, HQ OD HFXDFLyQ función incógnita o variable dependiente

d 2x –––2 16x 0 dt variable independiente

VH DSUHFLD GH LQPHGLDWR TXH DKRUD HO VtPEROR x UHSUHVHQWD XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH, PLHQWUDV TXH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV t. 7DPELpQ VH GHEH FRQVLGHUDU TXH HQ LQJHQLHUtD \ HQ FLHQFLDV ItVLFDV, OD notación de punto GH 1HZWRQ (QRPEUDGD GHVSHFWLYDPHQWH QRWDFLyQ GH ³SXQWLWR´) DOJXQDV YHFHV VH XVD SDUD GHQRWDU GHULYDGDV UHVSHFWR DO WLHPSR t. $Vt OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d 2s dt 2 32 VHUi s̈ 32. &RQ IUHFXHQFLD ODV GHULYDGDV SDUFLDOHV VH GHQRWDQ PHGLDQWH XQD notación de subíndice TXH LQGLFD ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV. 3RU HMHPSOR, FRQ OD QRWDFLyQ GH VXEtQGLFHV OD VHJXQGD HFXDFLyQ HQ (3) VHUi u xx u tt 2u t.

CLASIFICACIÓN POR ORDEN (O orden de una ecuación diferencial (\D VHD ('2 R ('3 ) HV HO RUGHQ GH OD PD\RU GHULYDGD HQ OD HFXDFLyQ. 3RU HMHPSOR, segundo orden

primer orden

d 2y dy 3 ––––2 5 ––– 4y ex dx dx

( )

HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH VHJXQGR RUGHQ. (Q HO HMHPSOR 1, OD SULPHUD \ OD WHUFHUD HFXDFLyQ HQ (2) VRQ ('2 GH SULPHU RUGHQ, PLHQWUDV TXH HQ (3) ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV VRQ ('3 GH VHJXQGR RUGHQ. $ YHFHV ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU RUGHQ VH HVFULEHQ HQ OD IRUPD GLIHUHQFLDO M(x, y) dx N(x, y) dy 0. 3RU HMHPSOR, VL VXSRQHPRV TXH y GHQRWD OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HQ (y x) dx 4xdy 0, HQWRQFHV y dy dx, SRU OR TXH DO GLYLGLU HQWUH OD GLIHUHQFLDO dx, REWHQHPRV OD IRUPD DOWHUQD 4xy y x.

6LPEyOLFDPHQWH SRGHPRV H[SUHVDU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n-pVLPR RUGHQ FRQ XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU OD IRUPD JHQHUDO F(x, y, y , . . . , y(n))

0,

(4)

GRQGH F HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV GH n 2 YDULDEOHV x, y, y , …, y(n). 3RU UD]RQHV WDQWR SUiFWLFDV FRPR WHyULFDV, GH DKRUD HQ DGHODQWH VXSRQGUHPRV TXH HV SRVLEOH UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD HQ OD IRUPD GH OD HFXDFLyQ (4) ~QLFDPHQWH SDUD OD PD\RU GHULYDGD y(n) HQ WpUPLQRV GH ODV n 1 YDULDEOHV UHVWDQWHV. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d ny dxn

f (x, y, y , . . . , y(n 1)),

(5)

GRQGH f HV XQD IXQFLyQ FRQWLQXD FRQ YDORUHV UHDOHV, VH FRQRFH FRPR OD forma normal GH OD HFXDFLyQ (4). $Vt TXH SDUD QXHVWURV SURSyVLWRV, XVDUHPRV ODV IRUPDV QRUPDOHV FXDQGR VHD DGHFXDGR d 2y dy f (x, y) y f (x, y, y ) dx dx2 SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VHJXQGR RUGHQ. 3RU HMHPSOR, OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GH SULPHU RUGHQ 4xy y x HV y (x y) 4x OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GH VHJXQGR RUGHQ y y 6y 0 HV y y 6y. 9HD HO LQFLVR iv) HQ ORV Comentarios.

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4

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPR RUGHQ (4) HV lineal VL F HV OLQHDO HQ y, y , . . . , y (n). (VWR VLJQL¿FD TXH XQD ('2 GH n-pVLPR RUGHQ HV OLQHDO FXDQGR OD HFXDFLyQ (4) HV a n(x)y (n) a n 1(x)y (n 1) a1 (x)y a 0(x)y g(x) 0 R

an(x)

dny dx n

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy dx

a0(x)y

(6)

g(x).

'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ (6) VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ (n 1) \ GH VHJXQGR RUGHQ (n 2)

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x) y a2 (x)

d 2y dx2

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x).

(7)

(Q OD FRPELQDFLyQ GH OD VXPD GHO ODGR L]TXLHUGR GH OD HFXDFLyQ (6) YHPRV TXH ODV GRV SURSLHGDGHV FDUDFWHUtVWLFDV GH XQD ('2 VRQ ODV VLJXLHQWHV • /D YDULDEOH GHSHQGLHQWH y \ WRGDV VXV GHULYDGDV y , y , . . . , y (n) VRQ GH SULPHU JUDGR, HV GHFLU, OD SRWHQFLD GH FDGD WpUPLQR TXH FRQWLHQH y HV LJXDO D 1.

• /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y , . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH x.

8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD no lineal HV VLPSOHPHQWH XQD TXH QR HV OLQHDO. /DV IXQFLRQHV QR OLQHDOHV GH OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH R GH VXV GHULYDGDV WDOHV FRPR VHQ y R e y’, QR SXHGHQ DSDUHFHU HQ XQD HFXDFLyQ OLQHDO.

EJEMPLO 2

EDO lineal y no lineal

a) /DV HFXDFLRQHV 3 dy 3d y 5y ex x 3 x dx dx VRQ, UHVSHFWLYDPHQWH, HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV lineales GH SULPHU, VHJXQGR y WHUFHU RUGHQ. $FDEDPRV GH PRVWUDU TXH OD SULPHUD HFXDFLyQ HV OLQHDO HQ OD YDULDEOH y FXDQGR VH HVFULEH HQ OD IRUPD DOWHUQDWLYD 4xy y x.

(y

x) dx

4xy dy

0, y

2y

y

0, y

b) /DV HFXDFLRQHV término no lineal: coeficiente depende de y

término no lineal: función no lineal de y

término no lineal: el exponente es diferente de 1

d 2y d 4y ––––2 sen y 0, ––––4 y 2 0 y dx dx VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV no lineales GH SULPHU, VHJXQGR y FXDUWR RUGHQ, UHVSHFWLYDPHQWH. (1 y)y 2y e x,

SOLUCIONES &RPR yD VH KD HVWDEOHFLGR, XQR GH ORV REMHWLYRV GH HVWH FXUVR HV UHVROYHU R HQFRQWUDU VROXFLRQHV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV. (Q OD VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ FRQVLGHUDPRV HO FRQFHSWR GH VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD. DEFINICIÓN 1.1.2

Solución de una EDO

6H GHQRPLQD XQD solución GH OD HFXDFLyQ HQ HO LQWHUYDOR D FXDOTXLHU IXQFLyQ , GH¿QLGD HQ XQ LQWHUYDOR I y TXH WLHQH DO PHQRV n GHULYDGDV FRQWLQXDV HQ I, ODV FXDOHV FXDQGR VH VXVWLWXyHQ HQ XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n-pVLPR RUGHQ UHGXFHQ OD HFXDFLyQ D XQD LGHQWLGDG. (Q RWUDV SDODEUDV, XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n-pVLPR RUGHQ (4) HV XQD IXQFLyQ TXH SRVHH DO PHQRV n GHULYDGDV SDUD ODV TXH

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1.1

F(x, (x),

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

(n)

(x), . . . ,

(x))

O

5

0 para toda x en I.

'HFLPRV TXH satisface OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ I. 3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV VXSRQGUHPRV TXH XQD VROXFLyQ HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV. (Q QXHVWUR DQiOLVLV GH LQWURGXFFLyQ YLPRV TXH y e0.1x 2 HV XQD VROXFLyQ GH dy dx 0.2xy HQ HO LQWHUYDOR ( , ).

2FDVLRQDOPHQWH VHUi FRQYHQLHQWH GHQRWDU XQD VROXFLyQ FRQ HO VtPEROR DOWHUQDWLYR y࣠(x).

INTERVALO DE DEFINICIÓN 1R SRGHPRV SHQVDU HQ OD solución GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD VLQ SHQVDU VLPXOWiQHDPHQWH HQ XQ intervalo. (O LQWHUYDOR I HQ OD GH¿QLFLyQ 1.1.2 WDPELpQ VH FRQRFH FRQ RWURV QRPEUHV, FRPR VRQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ, intervalo de existencia, intervalo de validez R dominio de la solución y SXHGH VHU XQ LQWHUYDOR DELHUWR (a, b), XQ LQWHUYDOR FHUUDGR >a, b@, XQ LQWHUYDOR LQ¿QLWR (a, ), HWFpWHUD.

EJEMPLO 3

9HUL¿FDFLyQ GH XQD VROXFLyQ

9HUL¿TXH TXH OD IXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD HQ HO LQWHUYDOR ( , ). a) dy dx

1

xy 2 ;

y

b) y

1 4 16 x

2y

y

0; y

xex

SOLUCIÓN 8QD IRUPD GH YHUL¿FDU TXH OD IXQFLyQ GDGD HV XQD VROXFLyQ, FRQVLVWH HQ

REVHUYDU, XQD YH] TXH VH KD VXVWLWXLGR, VL FDGD ODGR GH OD HFXDFLyQ HV HO PLVPR SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR. a) (Q lado izquierdo:

dy dx

lado derecho:

xy1/2

1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16

1 2 x 4

1 3 x, 4

YHPRV TXH FDGD ODGR GH OD HFXDFLyQ HV HO PLVPR SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x. 2EVHUYH 1 4 TXH y1/2 14 x 2 HV, SRU GH¿QLFLyQ, OD UDt] FXDGUDGD QR QHJDWLYD GH 16 x. b) (Q ODV GHULYDGDV y xe x e x y y xe x 2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x, lado izquierdo: lado derecho:

y 0.

2y

y

(xe x

2e x )

2(xe x

e x)

xe x

0,

(Q HO HMHPSOR 3, REVHUYH WDPELpQ TXH FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH OD VROXFLyQ FRQVWDQWH y 0, x . $ OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HV LJXDO D FHUR HQ XQ LQWHUYDOR I VH OH FRQRFH FRPR OD solución trivial.

CURVA SOLUCIÓN /D JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ GH XQD ('2 VH OODPD curva solución. 3XHVWR TXH HV XQD IXQFLyQ GHULYDEOH, HV FRQWLQXD HQ VX LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I. 3XHGH KDEHU GLIHUHQFLD HQWUH OD JUi¿FD GH OD función y OD JUi¿FD GH OD solución .

(V GHFLU, HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ QR QHFHVLWD VHU LJXDO DO LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I (R GRPLQLR) GH OD VROXFLyQ . (O HMHPSOR 4 PXHVWUD OD GLIHUHQFLD.

EJEMPLO 4

Función contra solución

(O GRPLQLR GH y 1 x, FRQVLGHUDGR VLPSOHPHQWH FRPR XQD función, HV HO FRQMXQWR GH WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV x H[FHSWR HO 0. &XDQGR WUD]DPRV OD JUi¿FD GH y 1 x, GLEXMDPRV ORV SXQWRV HQ HO SODQR xy FRUUHVSRQGLHQWHV D XQ MXLFLRVR PXHVWUHR GH Q~PHURV WRPDGRV GHO GRPLQLR. /D IXQFLyQ UDFLRQDO y 1 x HV GLVFRQWLQXD HQ 0, HQ OD ¿JXUD 1.1.1(D) VH PXHV-

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6

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

WUD VX JUi¿FD HQ XQD YHFLQGDG GHO RULJHQ. /D IXQFLyQ y 1 x QR HV GHULYDEOH HQ x 0, yD TXH HO HMH y (FXyD HFXDFLyQ HV x 0) HV XQD DVtQWRWD YHUWLFDO GH OD JUi¿FD. $KRUD y 1 x HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy y 0 (FRPSUXHEH). 3HUR FXDQGR GHFLPRV TXH y 1 x HV XQD solución GH HVWD (', VLJQL¿FD TXH HV XQD IXQFLyQ GH¿QLGD HQ XQ LQWHUYDOR I HQ HO TXH HV GHULYDEOH y VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ. (Q RWUDV SDODEUDV, y 1 x HV XQD VROXFLyQ GH OD (' HQ cualquier LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD 0, WDO FRPR ( 3, 1), (12, 10), ( , 0), R (0, ). 3RUTXH ODV FXUYDV VROXFLyQ GH¿QLGDV SRU y 1 x SDUD 3 x 1 y 12 x 10 VRQ VLPSOHPHQWH WUDPRV, R SDUWHV, GH ODV FXUYDV VROXFLyQ GH¿QLGDV SRU y 1 x SDUD x 0 y 0 x , UHVSHFWLYDPHQWH, HVWR KDFH TXH WHQJD VHQWLGR WRPDU HO LQWHUYDOR I WDQ JUDQGH FRPR VHD SRVLEOH. $Vt WRPDPRV I yD VHD FRPR ( , 0) R (0, ). /D FXUYD VROXFLyQ HQ (0, ) HV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 1.1.1(E).

y

1 1

x

a) función y 5 1/x, x

0

y

1 1

x

b) solución y 5 1/x, (0, ∞ )

FIGURA 1.1.1 /D IXQFLyQ y 1 x QR HV OD PLVPD TXH OD VROXFLyQ y 1 x.

SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS 'HEH HVWDU IDPLOLDUL]DGR FRQ ORV WpUPLQRV funciones explícitas y funciones implícitas GH VX FXUVR GH FiOFXOR. $ XQD VROXFLyQ HQ OD FXDO OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH VH H[SUHVD VyOR HQ WpUPLQRV GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH y ODV FRQVWDQWHV VH OH FRQRFH FRPR solución explícita. 3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV, FRQVLGHUHPRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD FRPR XQD IyUPXOD H[SOtFLWD y (x) TXH SRGDPRV PDQHMDU, HYDOXDU y GHULYDU XVDQGR ODV UHJODV XVXDOHV. $FDEDPRV GH YHU HQ ORV GRV ~OWLPRV HMHPSORV TXH y 161 x4 , y xe x, y y 1 x VRQ VROXFLRQHV H[SOtFLWDV, UHVSHFWLYDPHQWH, GH dy dx xy 1/2, y 2y y 0, y xy y 0. $GHPiV, OD VROXFLyQ WULYLDO y 0 HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH FDGD XQD GH HVWDV WUHV HFXDFLRQHV. &XDQGR OOHJXHPRV DO SXQWR GH UHDOPHQWH UHVROYHU ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV YHUHPRV TXH ORV PpWRGRV GH VROXFLyQ QR VLHPSUH FRQGXFHQ GLUHFWDPHQWH D XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y (x). (VWR HV SDUWLFXODUPHQWH FLHUWR FXDQGR LQWHQWDPRV UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ. &RQ IUHFXHQFLD WHQHPRV TXH FRQIRUPDUQRV FRQ XQD UHODFLyQ R H[SUHVLyQ G(x, y) 0 TXH GH¿QH XQD VROXFLyQ LPSOtFLWDPHQWH. DEFINICIÓN 1.1.3

Solución implícita de una EDO

6H GLFH TXH XQD UHODFLyQ G(x, y) 0 HV XQD solución implícita GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD (4) HQ XQ LQWHUYDOR I, VXSRQLHQGR TXH H[LVWH DO PHQRV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH OD UHODFLyQ DVt FRPR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ I. (VWi IXHUD GHO DOFDQFH GH HVWH FXUVR LQYHVWLJDU OD FRQGLFLyQ EDMR OD FXDO OD UHODFLyQ G(x, y) 0 GH¿QH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH . 3RU OR TXH VXSRQGUHPRV TXH VL LPSOHPHQWDU IRUPDOPHQWH XQ PpWRGR GH VROXFLyQ QRV FRQGXFH D XQD UHODFLyQ G(x, y) 0, HQWRQFHV H[LVWH DO PHQRV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH WDQWR OD UHODFLyQ (TXH HV G(x, (x)) 0) FRPR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ HO LQWHUYDOR I. 6L OD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0 HV EDVWDQWH VLPSOH, SRGHPRV VHU FDSDFHV GH GHVSHMDU D y HQ WpUPLQRV GH x y REWHQHU XQD R PiV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV. 9HD HQ LQFLVR i) HQ ORV Comentarios.

EJEMPLO 5 Comprobación de una solución implícita /D UHODFLyQ x 2 y 2 25 HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

dy dx

x y

(8)

HQ HO LQWHUYDOR DELHUWR ( 5, 5). 'HULYDQGR LPSOtFLWDPHQWH REWHQHPRV

d 2 x dx

d 2 y dx

d 25 o dx

2x

2y

dy dx

0.

5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dy dx VH REWLHQH (8). $GHPiV, UHVROYLHQGR x 2 y 2 25 SDUD y HQ WpUPLQRV GH x VH REWLHQH y 225 x2 . /DV GRV IXQFLRQHV y 25 x2 y y 25 x2 VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ (TXH HV, 1(x) 2(x) Reg. 403 VITALSOURCE © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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1.1

y

7

&XDOTXLHU UHODFLyQ GHO WLSR x2 y2 – c 0 HV formalmente VDWLVIDFWRULD (8) SDUD FXDOTXLHU FRQVWDQWH c. 6LQ HPEDUJR, VH VREUHQWLHQGH TXH OD UHODFLyQ VLHPSUH WHQGUi VHQWLGR HQ HO VLVWHPD GH ORV Q~PHURV UHDOHV; DVt, SRU HMHPSOR, VL c 25, QR SRGHPRV GHFLU TXH x2 y2 25 0 HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ. (¢3RU TXp QR") 'HELGR D TXH OD GLIHUHQFLD HQWUH XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GHEHUtD VHU LQWXLWLYDPHQWH FODUD, QR GLVFXWLUHPRV HO WHPD GLFLHQGR VLHPSUH ³$TXt HVWi XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD (LPSOtFLWD)´.

x

a) solución implícita x 2 y 2 25

FAMILIAS DE SOLUCIONES (O HVWXGLR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HV VLPLODU DO GHO FiOFXOR LQWHJUDO. (Q DOJXQRV OLEURV, D XQD VROXFLyQ VH OH OODPD D YHFHV integral de la ecuación y D VX JUi¿FD VH OH OODPD curva integral. &XDQGR REWHQHPRV XQD DQWLGHULYDGD R XQD LQWHJUDO LQGH¿QLGD HQ FiOFXOR, XVDPRV XQD VROD FRQVWDQWH c GH LQWHJUDFLyQ. 'H PRGR VLPLODU, FXDQGR UHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ F(x, y, y ) 0, normalmente REWHQHPRV XQD VROXFLyQ TXH FRQWLHQH XQD VROD FRQVWDQWH DUELWUDULD R SDUiPHWUR c. 8QD VROXFLyQ TXH FRQWLHQH XQD FRQVWDQWH DUELWUDULD UHSUHVHQWD XQ FRQMXQWR G(x, y, c) 0 GH VROXFLRQHV OODPDGR familia de soluciones uniparamétrica. &XDQGR UHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH RUGHQ n, F(x, y, y , . . . , y (n)) 0, EXVFDPRV XQD familia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) 0. (VWR VLJQL¿FD TXH una sola ecuación diferencial puede tener un n~mero in¿nito de soluciones TXH FRUUHVSRQGHQ D XQ Q~PHUR LOLPLWDGR GH HOHFFLRQHV GH ORV SDUiPHWURV. 8QD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HVWi OLEUH GH OD HOHFFLyQ GH SDUiPHWURV VH OODPD solución particular.

5

5 x

b) solución explícita y 1 25 x 2, 5

O

x 2 12 25) y x 2 22 25) y VRQ ODV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH¿QLGDV HQ HO LQWHUYDOR ( 5, 5). /DV FXUYDV VROXFLyQ GDGDV HQ ODV ¿JXUDV 1.1.2(E) y 1.1.2(F) VRQ WUDPRV GH OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD ¿JXUD 1.1.2(D).

5

5

y

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

x

5

y 5

EJEMPLO 6 Soluciones particulares 5

a) /D IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD y cx x FRV x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy y x 2 VHQ x HQ HO LQWHUYDOR ( , ) (FRPSUXHEH). /D ¿JXUD 1.1.3 PXHVWUD ODV JUi¿FDV GH DOJXQDV GH ODV VROXFLRQHV HQ HVWD IDPLOLD SDUD GLIHUHQWHV HOHFFLRQHV GH c. /D VROXFLyQ y x FRV x, OD FXUYD HQ OD ¿JXUD, HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU FRUUHVSRQGLHQWH D c 0.

x

−5

c) solución explícita y 2 25 x 2, 5

x

5

FIGURA 1.1.2 8QD VROXFLyQ LPSOtFLWD y GRV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH (8) HQ HO HMHPSOR 5. y c>0 c=0 c<0

x

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO LQFLVR D) GHO HMHPSOR 6.

FIGURA 1.1.3

b) /D IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV y c1e x c 2xe x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ y 2y y 0 GHO LQFLVR E) GHO HMHPSOR 3 (FRPSUXHEH). (Q OD ¿JXUD 1.1.4 KHPRV PRVWUDGR VLHWH GH ODV ³GREOHPHQWH LQ¿QLWDV´ VROXFLRQHV GH OD IDPLOLD. /DV FXUYDV VROXFLyQ VRQ ODV JUi¿FDV GH ODV VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV y 5xe࣠x (c1 0, c 2 5), y 3e x (c1 3, c 2 0) y y 5e x 2xe x (c1 5, c2 2). $OJXQDV YHFHV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH XQD VROXFLyQ TXH QR HV PLHPEUR GH XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ, HV GHFLU, XQD VROXFLyQ TXH QR VH SXHGH REWHQHU XVDQGR XQ SDUiPHWUR HVSHFt¿FR GH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV. (VD VROXFLyQ H[WUD VH OODPD solución singular. 3RU HMHPSOR, YHPRV TXH y 161 x4 y y 0 VRQ VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx xy1/2 HQ ( , ). (Q OD VHFFLyQ 1.4 GHPRVWUDUHPRV, DO UHVROYHUOD UHDOPHQWH, TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx xy 1/2 WLHQH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV XQLSDUDPpWULFD y 14 x2 c 2. &XDQGR c 0, OD VROXFLyQ SDUWLFXODU UHVXOWDQWH HV y 161 x4 . 3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y 0 HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU, yD TXH QR HV XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD y 14 x2 c 2 SRUTXH QR KDy PDQHUD GH DVLJQDUOH XQ YDORU D OD FRQVWDQWH c SDUD REWHQHU y 0.

(

)

(

)

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8

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

(Q WRGRV ORV HMHPSORV DQWHULRUHV, KHPRV XVDGR x y y SDUD GHQRWDU ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH y GHSHQGLHQWH, UHVSHFWLYDPHQWH. 3HUR GHEHUtD DFRVWXPEUDUVH D YHU y WUDEDMDU FRQ RWURV VtPERORV TXH GHQRWDQ HVWDV YDULDEOHV. 3RU HMHPSOR, SRGUtDPRV GHQRWDU OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH SRU t y OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU x.

y

x

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO LQFLVR E) GHO HMHPSOR 6.

FIGURA 1.1.4

EJEMPLO 7

Usando diferentes símbolos

/DV IXQFLRQHV x c1 FRV 4t y x c2 VHQ 4t, GRQGH c1 y c2 VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV R SDUiPHWURV, VRQ DPEDV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO x

16x

0.

3DUD x c1 FRV 4t ODV GRV SULPHUDV GHULYDGDV UHVSHFWR D t VRQ x 4c1 VHQ 4t y x 16c1 FRV 4t. 6XVWLWXyHQGR HQWRQFHV D x y x VH REWLHQH x

16x

16c1 cos 4t

16(c1 cos 4t)

0.

'H PDQHUD SDUHFLGD, SDUD x c2 VHQ 4t WHQHPRV x 16c 2 VHQ 4t, y DVt x

16x

16c2 sen 4t

16(c2 sen 4t)

0.

)LQDOPHQWH, HV VHQFLOOR FRPSUREDU GLUHFWDPHQWH TXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH VROXFLRQHV, R OD IDPLOLD GH GRV SDUiPHWURV x c1 FRV 4t c2 VHQ 4t, HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO. (O VLJXLHQWH HMHPSOR PXHVWUD TXH OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHGH VHU XQD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU SDUWHV.

EJEMPLO 8

8QD VROXFLyQ GH¿QLGD SRU SDUWHV

/D IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH IXQFLRQHV PRQRPLDOHV FXiUWLFDV y cx4 HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy 4y 0 HQ HO LQWHUYDOR ( , ). (&RPSUXHEH.) /DV FXUYDV VROXFLyQ TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 1.1.5(D) VRQ ODV JUi¿FDV GH y = x4 y y = x4 y FRUUHVSRQGHQ D ODV HOHFFLRQHV GH c = 1 y c = 1, UHVSHFWLYDPHQWH.

y

/D IXQFLyQ GHULYDEOH GH¿QLGD SRU WUDPRV c=1

x4, x4,

y x c = −1

a) dos soluciones explicitas y c = 1, x ≤0 x c = −1, x<0

x x

0 0

HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ SHUR QR VH SXHGH REWHQHU GH OD IDPLOLD y cx4 SRU XQD VROD HOHFFLyQ GH c; OD VROXFLyQ VH FRQVWUXyH D SDUWLU GH OD IDPLOLD HOLJLHQGR c 1 SDUD x 0 y c 1 SDUD x 0. 9HD OD ¿JXUD 1.1.5(E).

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWD HVWH PRPHQWR KHPRV DQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD. 3HUR FRQ IUHFXHQFLD HQ OD WHRUtD, DVt FRPR HQ PXFKDV DSOLFDFLRQHV, GHEHPRV WUDWDU FRQ VLVWHPDV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV. 8Q sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias WLHQH GRV R PiV HFXDFLRQHV TXH LPSOLFDQ GHULYDGDV GH GRV R PiV IXQFLRQHV LQFyJQLWDV GH XQD VROD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH. 3RU HMHPSOR, VL x y y GHQRWDQ D ODV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV y t GHQRWD D OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH, HQWRQFHV XQ VLVWHPD GH GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ HVWi GDGR SRU

b) solución definida en partes

dx dt

f(t, x, y)

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO HMHPSOR 8.

dy dt

g(t, x, y).

FIGURA 1.1.5

(9)

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1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

O

9

8QD solución GH XQ VLVWHPD WDO FRPR HO GH OD HFXDFLyQ (9) HV XQ SDU GH IXQFLRQHV GHULYDEOHV x 1(t), y 2(t), GH¿QLGDV HQ XQ LQWHUYDOR FRP~Q I, TXH VDWLVIDFH FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD HQ HVWH LQWHUYDOR.

COMENTARIOS i) $OJXQRV FRPHQWDULRV ¿QDOHV UHVSHFWR D ODV VROXFLRQHV LPSOtFLWDV GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV. (Q HO HMHPSOR 5 SXGLPRV GHVSHMDU IiFLOPHQWH D y GH OD UHODFLyQ x 2 y 2 25 HQ WpUPLQRV GH x SDUD REWHQHU ODV GRV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV, 1(x) 125 x2 y 2(x) 125 x2, GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO (8). 3HUR QR GHEHPRV HQJDxDUQRV FRQ HVWH ~QLFR HMHPSOR. $ PHQRV TXH VHD IiFLO R LPSRUWDQWH R TXH VH OH LQGLTXH, HQ JHQHUDO QR HV QHFHVDULR WUDWDU GH GHVSHMDU y H[SOtFLWDPHQWH HQ WpUPLQRV GH x, GH XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0. 7DPSRFR GHEHPRV PDOLQWHUSUHWDU HO HQXQFLDGR SRVWHULRU D OD GH¿QLFLyQ 1.1.3. 8QD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0 SXHGH GH¿QLU SHUIHFWDPHQWH ELHQ D XQD IXQFLyQ GHULYDEOH TXH HV XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO, DXQTXH QR VH SXHGD GHVSHMDU D y GH G(x, y) 0 FRQ PpWRGRV DQDOtWLFRV FRPR ORV DOJHEUDLFRV. /D FXUYD VROXFLyQ GH SXHGH VHU XQ WUDPR R SDUWH GH OD JUi¿FD GH G(x, y) 0. 9pDQVH ORV SUREOHPDV 45 y 46 HQ ORV HMHUFLFLRV 1.1. 7DPELpQ OHD HO DQiOLVLV VLJXLHQWH DO HMHPSOR 4 GH OD VHFFLyQ 1.4. ii) $XQTXH VH KD HQIDWL]DGR HO FRQFHSWR GH XQD VROXFLyQ HQ HVWD VHFFLyQ, WDPELpQ GHEHUtD FRQVLGHUDU TXH XQD (' QR QHFHVDULDPHQWH WLHQH XQD VROXFLyQ. 9HD HO SUREOHPD 39 GH ORV HMHUFLFLRV 1.1. (O WHPD GH VL H[LVWH XQD VROXFLyQ VH WUDWDUi HQ OD VLJXLHQWH VHFFLyQ. iii) 3RGUtD QR VHU HYLGHQWH VL XQD ('2 GH SULPHU RUGHQ HVFULWD HQ VX IRUPD GLIHUHQFLDO M(x, y)dx N(x, y)dy 0 HV OLQHDO R QR OLQHDO SRUTXH QR KDy QDGD HQ HVWD IRUPD TXH QRV PXHVWUH TXp VtPERORV GHQRWDQ D OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH. 9pDQVH ORV SUREOHPDV 9 y 10 GH ORV HMHUFLFLRV 1.1. iv) 3RGUtD SDUHFHU SRFR LPSRUWDQWH VXSRQHU TXH F(x, y, y , . . . , y (n)) 0 SXHGH UHVROYHU SDUD y(n), SHUR KDy TXH VHU FXLGDGRVR FRQ HVWR. ([LVWHQ H[FHSFLRQHV y KDy UHDOPHQWH DOJXQRV SUREOHPDV FRQHFWDGRV FRQ HVWD VXSRVLFLyQ. 9pDQVH ORV SUREOHPDV 52 y 53 GH ORV HMHUFLFLRV 1.1. v) 3XHGH HQFRQWUDU HO WpUPLQR soluciones de forma cerrada HQ OLEURV GH (' R HQ FODVHV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV. /D WUDGXFFLyQ GH HVWD IUDVH QRUPDOPHQWH VH UH¿HUH D ODV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV TXH VRQ H[SUHVDEOHV HQ WpUPLQRV GH funciones elementales (R FRQRFLGDV) FRPELQDFLRQHV ¿QLWDV GH SRWHQFLDV HQWHUDV GH x, UDtFHV, IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV y ORJDUtWPLFDV y IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV y IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV LQYHUVDV. vi) 6L WRGD VROXFLyQ GH XQD ('2 GH n-pVLPR RUGHQ F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 HQ XQ LQWHUYDOR I VH SXHGH REWHQHU D SDUWLU GH XQD IDPLOLD n-SDUiPHWURV G(x, y, c1, c2,…, cn) = 0 HOLJLHQGR DSURSLDGDPHQWH ORV SDUiPHWURV ci, i = 1, 2, …, n, HQWRQFHV GLUHPRV TXH OD IDPLOLD HV OD solución general GH OD ('. $O UHVROYHU ('2 OLQHDOHV LPSRQHPRV DOJXQDV UHVWULFFLRQHV UHODWLYDPHQWH VLPSOHV HQ ORV FRH¿FLHQWHV GH OD HFXDFLyQ; FRQ HVWDV UHVWULFFLRQHV SRGHPRV DVHJXUDU QR VyOR TXH H[LVWH XQD VROXFLyQ HQ XQ LQWHUYDOR VLQR WDPELpQ TXH XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV SURGXFH WRGDV ODV SRVLEOHV VROXFLRQHV. /DV ('2 QR OLQHDOHV, FRQ H[FHSFLyQ GH DOJXQDV HFXDFLRQHV GH SULPHU RUGHQ, VRQ QRUPDOPHQWH GLItFLOHV R LPSRVLEOHV GH UHVROYHU HQ WpUPLQRV GH IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV. $GHPiV, VL REWHQHPRV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV SDUD XQD HFXDFLyQ QR OLQHDO, QR HV REYLR VL OD IDPLOLD FRQWLHQH WRGDV ODV VROXFLRQHV. (QWRQFHV, D QLYHO SUiFWLFR, OD GHVLJQDFLyQ GH ³VROXFLyQ JHQHUDO´ VH DSOLFD VyOR D ODV ('2 OLQHDOHV. (VWH FRQFHSWR VHUi UHWRPDGR HQ OD VHFFLyQ 1.5 y HQ OD XQLGDG 2.

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UNIDAD 1

O

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIOS 1.1

Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1.

(Q ORV SUREOHPDV 1 D 8 HVWDEOH]FD HO RUGHQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GDGD. 'HWHUPLQH VL OD HFXDFLyQ HV OLQHDO R QR OLQHDO, FRPSDUDQGR FRQ OD HFXDFLyQ (6).

1. (1 2. x

x)y

4xy

d3y dx3

dy 4 dx

3. t 5y(4)

t 3y

4.

d 2u dr 2

du dr

5.

d 2y dx 2

1

6.

2

d R dt 2

y

0

6y u

0 cos(r

19.

u)

1

(cos )y

2

uv

x

P(1

P); P

22. dy dx

2xy

1; y

u

ue ) du

24; y

20y

2

23. d y dx2

4

e x

dy dx

4y

0; y

2x2

d 2y dx2

x

c2 x

c3 x ln x

3

24. x3 d y dx3

0; en v; en u

y

c1x 1

6 5

(Q ORV SUREOHPDV 15 D 18 FRPSUXHEH TXH OD IXQFLyQ LQGLFDGD y (x) HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD GH SULPHU RUGHQ. 3URFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR 4, FRQVLGHUDQGR D VLPSOHPHQWH FRPR XQD función y Gp VX GRPLQLR. /XHJR FRQVLGHUH D FRPR XQD solución GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y Gp DO PHQRV XQ LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ.

y

x

8; y

16. y 25 y ; y 5 WDQ 5x 2

x

2

2

2

et dt

c1e x

c1e2x

c2 xe2x

0

dy dx

12x2;

y

4x2

25. &RPSUXHEH TXH OD IXQFLyQ GH¿QLGD HQ SDUWHV

x2, x x2, x

0 0

HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO xy 2y 0 HQ ( , ).

6 20t e 5

14. y y WDQ x; y (FRV x)OQ(VHF x WDQ x)

x)y

x

y

13. y 6y 13y 0; y e 3x FRV 2x

15. ( y

t

c1et 1 c1et

11. 2y y 0; y e x/2

dy dt

1 1

0

(Q ORV SUREOHPDV GHO 11 DO 14 FRPSUXHEH TXH OD IXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD. 7RPH XQ LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ DSURSLDGR SDUD FDGD VROXFLyQ.

12.

2X X

2X); ln

1)(1

dP dt

21.

9. (y 2 1) dx x dy 0; HQ y; HQ x

(v

(X

(Q ORV SUREOHPDV 21 D 24 FRPSUXHEH TXH OD IDPLOLD GH IXQFLRQHV LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD. 6XSRQJD XQ LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ DGHFXDGR SDUD FDGD VROXFLyQ.

(Q ORV SUREOHPDV 9 y 10 GHWHUPLQH VL OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD GH SULPHU RUGHQ HV OLQHDO HQ OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH LQGLFDGD DO DMXVWDU pVWD FRQ OD SULPHUD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD HQ (7).

10. u dv

dX dt

20. 2xy dx (x 2 y) dy 0; 2x 2y y 2 1

dy 2 dx

. x2 . x 3

18. 2y y 3 FRV x; y (1 VHQ x) 1/2 (Q ORV SUREOHPDV 19 y 20 FRPSUXHEH TXH OD H[SUHVLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD GH SULPHU RUGHQ. (QFXHQWUH DO PHQRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y (x) HQ FDGD FDVR. 8WLOLFH DOJXQD DSOLFDFLyQ SDUD WUD]DU JUi¿FDV SDUD REWHQHU OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD. 'p XQ LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH FDGD VROXFLyQ .

cos x

k R2

7. (sen )y 8. ẍ

5y

17. y 2xy 2; y 1 (4 x 2)

4 x

2

26. (Q HO HMHPSOR 3 YLPRV TXH y f1 (x) 125 x2 y y 2(x) 125 x2 VRQ VROXFLRQHV GH dy dx x y HQ HO LQWHUYDOR ( 5, 5). ([SOLTXH SRU TXp OD IXQFLyQ GH¿QLGD HQ SDUWHV

y

25 25

x2 , x2,

5 0

x x

0 5

no HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ HO LQWHUYDOR ( 5, 5).

(Q ORV SUREOHPDV 27 D 30 GHWHUPLQH ORV YDORUHV GH m SDUD TXH OD IXQFLyQ y emx VHD XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD.

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1.1

27. y 2y 0

28. 5y 2y

29. y 5y 6y 0

30. 2y 7y 4y 0

(Q ORV SUREOHPDV 31 y 32 GHWHUPLQH ORV YDORUHV GH m SDUD TXH OD IXQFLyQ y xm VHD XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD. 31. xy 2y 0 32. x2y 7xy 15y 0 (Q ORV SUREOHPDV GHO 33 DO 36 HPSOHH HO FRQFHSWR GH TXH y c, x , HV XQD IXQFLyQ FRQVWDQWH VL y VyOR VL y 0 SDUD GHWHUPLQDU VL OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD WLHQH VROXFLRQHV FRQVWDQWHV. 33. 3xy 5y 10 34. y y 2 2y 3 35. (y 1)y 1 36. y 4y 6y 10 (Q ORV SUREOHPDV 37 y 38 FRPSUXHEH TXH HO SDU GH IXQFLRQHV TXH VH LQGLFD HV XQD VROXFLyQ GHO VLVWHPD GDGR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HQ HO LQWHUYDOR ( , ).

37. dx dt

O

11

43. 'DGR TXH y VHQ x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ dy GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ 11 y2 , HQFXHQWUH dx XQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I. >Sugerencia: I no HV HO LQWHUYDOR ( , ).]

44. $QDOLFH SRU TXp LQWXLWLYDPHQWH VH VXSRQH TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO y 2y 4y 5 VHQ t WLHQH XQD VROXFLyQ GH OD IRUPD y A VHQ t B FRV t, GRQGH A y B VRQ FRQVWDQWHV. 'HVSXpV GHWHUPLQH ODV FRQVWDQWHV HVSHFt¿FDV A y B WDOHV TXH y A VHQ t B FRV t HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD ('.

(Q ORV SUREOHPDV 45 y 46 OD ¿JXUD GDGD UHSUHVHQWD OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0 GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx f (x, y). (Q FDGD FDVR OD UHODFLyQ G(x, y) 0 GH¿QH LPSOtFLWDPHQWH YDULDV VROXFLRQHV GH OD ('. 5HSURGX]FD FXLGDGRVDPHQWH FDGD ¿JXUD HQ XQD KRMD. 8VH OiSLFHV GH GLIHUHQWHV FRORUHV SDUD VHxDODU ORV VHJPHQWRV R SDUWHV GH FDGD JUi¿FD TXH FRUUHVSRQGD D ODV JUi¿FDV GH ODV VROXFLRQHV. 5HFXHUGH TXH XQD VROXFLyQ GHEH VHU XQD IXQFLyQ y VHU GHULYDEOH. 8WLOLFH OD FXUYD VROXFLyQ SDUD HVWLPDU XQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I GH FDGD VROXFLyQ .

45.

y

2

x

38. d x dt 2

3y

dy 5x dt x e 2t

3e6t,

e 2t

5e6t

y

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

3y;

4y

d 2y 4x dt 2 x cos 2t y

cos 2t

et 1

et; sen 2 t sen 2 t

1 t 5 e, 1 t 5 e

Problemas para analizar

FIGURA 1.1.6 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD 45.

46.

y

39. &RQVWUXyD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH QR WHQJD DOJXQD VROXFLyQ UHDO.

1

40. &RQVWUXyD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HVWp VHJXUR TXH VRODPHQWH WLHQH OD VROXFLyQ WULYLDO y 0. ([SOLTXH VX UD]RQDPLHQWR. 41. ¢4Xp IXQFLyQ FRQRFH GH FiOFXOR FXyD SULPHUD GHULYDGD VHD HOOD PLVPD" ¢6X SULPHUD GHULYDGD HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH k GH Vt PLVPD" (VFULED FDGD UHVSXHVWD HQ IRUPD GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ FRQ XQD VROXFLyQ. 42. ¢4Xp IXQFLyQ (R IXQFLRQHV) GH FiOFXOR FRQRFH FXyD VHJXQGD GHULYDGD VHD HOOD PLVPD" ¢6X VHJXQGD GHULYDGD HV OD QHJDWLYD GH Vt PLVPD" (VFULED FDGD UHVSXHVWD HQ IRUPD GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ FRQ XQD VROXFLyQ.

x

1

1

x

FIGURA 1.1.7 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD 46.

47. /DV JUi¿FDV GH ORV PLHPEURV GH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD x3 y3 3cxy VH OODPDQ folium de Descartes. &RPSUXHEH TXH HVWD IDPLOLD HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ

dy dx

y(y3 2x3) x(2y3 x3)

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O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

48. /D JUi¿FD GH OD ¿JXUD 1.1.7 HV HO PLHPEUR GH OD IDPLOLD GHO IROLXP GHO SUREOHPD 47 FRUUHVSRQGLHQWH D c = 1. $QDOLFH ¢FyPR SXHGH OD (' GHO SUREOHPD 47 DyXGDU D GHWHUPLQDU ORV SXQWRV GH OD JUi¿FD GH x3 y3 3xy GRQGH OD UHFWD WDQJHQWH HV YHUWLFDO" ¢&yPR VDEHU GyQGH XQD UHFWD WDQJHQWH TXH HV YHUWLFDO DyXGD D GHWHUPLQDU XQ LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH XQD VROXFLyQ GH OD ('" (ODERUH VXV LGHDV y FRPSDUH FRQ VXV HVWLPDFLRQHV GH ORV LQWHUYDORV HQ HO SUREOHPD 46.

49. (Q HO HMHPSOR 5, HO LQWHUYDOR I PiV JUDQGH VREUH HO FXDO ODV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV y 1(x) y y 2(x) VH HQFXHQWUDQ GH¿QLGDV HV HO LQWHUYDOR DELHUWR ( 5, 5). ¢3RU TXp I QR SXHGH VHU HO LQWHUYDOR FHUUDGR I GH¿QLGR SRU > 5, 5]" 50. (Q HO SUREOHPD 21 VH GD XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV GH OD (' P P(1 P). ¢&XDOTXLHU FXUYD VROXFLyQ SDVD SRU HO SXQWR (0, 3)" ¢< SRU HO SXQWR (0, 1)" 51. $QDOLFH y PXHVWUH FRQ HMHPSORV FyPR UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH ODV IRUPDV dy dx f (x) y d࣠ 2y dx 2 f (x).

52. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO x(y )2 4y 12x3 0 WLHQH OD IRUPD GDGD HQ OD HFXDFLyQ (4). 'HWHUPLQH VL OD HFXDFLyQ VH SXHGH SRQHU HQ VX IRUPD QRUPDO dy dx f (x, y).

53. /D IRUPD QRUPDO (5) GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPR RUGHQ HV HTXLYDOHQWH D OD HFXDFLyQ (4) VL ODV GRV IRUPDV WLHQHQ H[DFWDPHQWH ODV PLVPDV VROXFLRQHV. )RUPH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ SDUD OD TXH F(x, y, y ) 0 QR VHD HTXLYDOHQWH D OD IRUPD QRUPDO dy dx f (x, y).

54. 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ F(x, y, y , y ) 0 SDUD OD FXDO y c1x c 2x 2 HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV. $VHJ~UHVH GH TXH VX HFXDFLyQ HVWp OLEUH GH ORV SDUiPHWURV c1 y c2. $ PHQXGR VH SXHGH REWHQHU LQIRUPDFLyQ FXDOLWDWLYD VREUH XQD VROXFLyQ y (x) GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH OD HFXDFLyQ PLVPD. $QWHV GH WUDEDMDU FRQ ORV SUREOHPDV 55– 58, UHFXHUGH HO VLJQL¿FDGR JHRPpWULFR GH ODV GHULYDGDV dy dx y d 2y dx 2. dy 2 e−x࣠ .

55. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dx a) ([SOLTXH SRU TXp XQD VROXFLyQ GH OD (' GHEH VHU XQD IXQFLyQ FUHFLHQWH HQ FXDOTXLHU LQWHUYDOR GHO HMH GH ODV x. b) ¢$ TXp VRQ LJXDOHV lím dy dx y lím dy dx "¢4Xp x

x

OH VXJLHUH HVWR UHVSHFWR D XQD FXUYD VROXFLyQ FRQIRUPH x : " c) 'HWHUPLQH XQ LQWHUYDOR VREUH HO FXDO XQD VROXFLyQ HV XQD FXUYD FyQFDYD KDFLD DEDMR, y XQ LQWHUYDOR VREUH HO FXDO OD FXUYD HV FyQFDYD KDFLD DUULED. d) %RVTXHMH OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x) GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FXyD IRUPD VH VXJLHUH HQ ORV LQFLVRV D) DO F).

56. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx 5 – y. a) <D VHD SRU LQVSHFFLyQ R D WUDYpV GHO PpWRGR TXH VH VXJLHUH HQ ORV SUREOHPDV 33 D 36, HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ FRQVWDQWH GH OD ('. b) 8WLOL]DQGR VyOR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO, GHWHUPLQH ORV LQWHUYDORV HQ HO HMH y HQ ORV TXH XQD VROXFLyQ QR FRQVWDQWH y (x) VHD FUHFLHQWH. 'HWHUPLQH ORV LQWHUYDORV HQ HO HMH y HQ ORV FXDOHV y (x) HV GHFUHFLHQWH. 57. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx y(a – by), GRQGH a y b VRQ FRQVWDQWHV SRVLWLYDV. a) <D VHD SRU LQVSHFFLyQ R D WUDYpV GHO PpWRGR TXH VH VXJLHUH HQ ORV SUREOHPDV 33 D 36, GHWHUPLQH GRV VROXFLRQHV FRQVWDQWHV GH OD ('. b) 8VDQGR VyOR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO, GHWHUPLQH ORV LQWHUYDORV HQ HO HMH y HQ ORV TXH XQD VROXFLyQ QR FRQVWDQWH y (x) HV FUHFLHQWH. 'HWHUPLQH ORV LQWHUYDORV HQ ORV TXH y (x) HV GHFUHFLHQWH. c) 8WLOL]DQGR VyOR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO, H[SOLTXH SRU TXp y a 2b HV OD FRRUGHQDGD y GH XQ SXQWR GH LQÀH[LyQ GH OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ QR FRQVWDQWH y (x). d) (Q ORV PLVPRV HMHV FRRUGHQDGRV, WUDFH ODV JUi¿FDV GH ODV GRV VROXFLRQHV FRQVWDQWHV HQ HO LQFLVR D). (VWDV VROXFLRQHV FRQVWDQWHV SDUWHQ HO SODQR xy HQ WUHV UHJLRQHV. (Q FDGD UHJLyQ, WUDFH OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ QR FRQVWDQWH y (x) FXyD IRUPD VH VXJLHUH SRU ORV UHVXOWDGRV GH ORV LQFLVRV E) y F).

58. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y y2 4. a) ([SOLTXH SRU TXp QR H[LVWHQ VROXFLRQHV FRQVWDQWHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO. b) 'HVFULED OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x). 3RU HMHPSOR, ¢SXHGH XQD FXUYD VROXFLyQ WHQHU XQ H[WUHPR UHODWLYR" c) ([SOLTXH SRU TXp y 0 HV OD FRRUGHQDGD y GH XQ SXQWR GH LQÀH[LyQ GH XQD FXUYD VROXFLyQ. d) 7UDFH OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y (x) GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FXyD IRUPD VH VXJLHUH HQ ORV LQFLVRV D) DO F).

Tarea para el laboratorio de computación (Q ORV SUREOHPDV 59 y 60 XVH XQ &$6 (SRU VXV VLJODV HQ LQJOpV, 6LVWHPD $OJHEUDLFR &RPSXWDFLRQDO) SDUD FDOFXODU WRGDV ODV GHULYDGDV y UHDOLFH ODV VLPSOL¿FDFLRQHV QHFHVDULDV SDUD FRPSUREDU TXH OD IXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO. 59. y (4) 20y 158y 580y 841y 0; y xe 5x FRV 2x 60. x3y 2x2y 20xy 78y 0; sen(5 ln x) cos(5 ln x) 3 y 20 x x

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1.2

1.2

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

O

13

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES INTRODUCCIÓN &RQ IUHFXHQFLD QRV LQWHUHVDQ SUREOHPDV HQ ORV TXH EXVFDPRV XQD VROXFLyQ y(x) GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ OD TXH y(x) VDWLVIDFH FRQGLFLRQHV SUHVFULWDV, HV GHFLU, FRQGLFLRQHV LPSXHVWDV VREUH XQD y(x) GHVFRQRFLGD R VXV GHULYDGDV. (Q DOJ~Q LQWHUYDOR I TXH FRQWLHQH D x0 HO SUREOHPD GH UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPR RUGHQ VXMHWR D ODV n FRQGLFLRQHV TXH OR DFRPSDxDQ HVSHFL¿FDGDV HQ x0 Resolver:

d ny f x, y, y , . . . , y(n 1) dxn

Sujeto a:

y(x0) y0, y (x0) y1, . . . , y

(1) (x0) yn 1,

(n 1)

GRQGH y 0, y1, . . . , yn 1 VRQ FRQVWDQWHV UHDOHV DUELWUDULDV GDGDV, VH OODPD problema con valores iniciales (PVI) en n-ésimo orden. /RV YDORUHV GH y(x) y GH VXV SULPHUDV n – 1 GHULYDGDV HQ XQ VROR SXQWR x 0, y(x 0) y 0, y (x 0) y1, . . . , y (n 1)(x 0) yn 1, VH OODPDQ condiciones iniciales (CI).

5HVROYHU XQ SUREOHPD GH YDORU LQLFLDO GH n-pVLPR RUGHQ WDO FRPR (1) FRQ IUHFXHQFLD LPSOLFD HQFRQWUDU SULPHUR XQD IDPLOLD n-SDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD y OXHJR XVDU ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HQ x0 SDUD GHWHUPLQDU ODV n FRQVWDQWHV HQ HVWD IDPLOLD. /D VROXFLyQ SDUWLFXODU UHVXOWDQWH HVWi GH¿QLGD HQ DOJ~Q LQWHUYDOR I TXH FRQWLHQH HO SULPHU SXQWR x0.

y

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS PVI /RV FDVRV n = 1 y n = 2 HQ (1), dy f (x, y) Resolver: dx (2) y(x0) y0 Sujeto a:

soluciones de la ED

y (x0, y0)

I

FIGURA 1.2.1

Sujeto a: x

6ROXFLyQ GHO 39, GH

SULPHU RUGHQ.

y

soluciones de la ED

m = y1 (x0, y0) I

x

FIGURA 1.2.2 6ROXFLyQ GHO 39, GH VHJXQGR RUGHQ.

Resolver:

d 2y dx 2 y(x0)

f (x, y, y ) y0, y (x0)

(3) y1

VRQ SUREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH SULPHU y VHJXQGR RUGHQ, UHVSHFWLYDPHQWH. (VWRV GRV SUREOHPDV VRQ IiFLOHV GH LQWHUSUHWDU HQ WpUPLQRV JHRPpWULFRV. 3DUD OD HFXDFLyQ (2) HVWDPRV EXVFDQGR XQD VROXFLyQ y(x) GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y f (x, y) HQ XQ LQWHUYDOR I TXH FRQWHQJD D x0, GH IRUPD TXH VX JUi¿FD SDVH SRU HO SXQWR GDGR (x0, y0). (Q OD ¿JXUD 1.2.1 VH PXHVWUD XQD FXUYD VROXFLyQ. 3DUD OD HFXDFLyQ (3) TXHUHPRV GHWHUPLQDU XQD VROXFLyQ y(x) GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y f (x, y, y ) HQ XQ LQWHUYDOR I TXH FRQWHQJD D x0 GH WDO PDQHUD TXH VX JUi¿FD QR VyOR SDVH SRU HO SXQWR GDGR (x0, y0), VLQR TXH WDPELpQ OD SHQGLHQWH D OD FXUYD HQ HVH SXQWR VHD HO Q~PHUR y1. (Q OD ¿JXUD 1.2.2 VH PXHVWUD XQD FXUYD VROXFLyQ. /DV SDODEUDV condiciones iniciales VXUJHQ GH ORV VLVWHPDV ItVLFRV GRQGH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV HO WLHPSR t y GRQGH y(t0) y0 y y (t0) y1 UHSUHVHQWDQ OD SRVLFLyQ y OD YHORFLGDG UHVSHFWLYDPHQWH GH XQ REMHWR DO FRPLHQ]R R DO WLHPSR LQLFLDO t0.

EJEMPLO 1 Dos PVI de primer orden a) (Q HO SUREOHPD 41 GH ORV HMHUFLFLRV 1.1 VH OH SLGLy TXH GHGXMHUD TXH y cex HV XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GH SULPHU RUGHQ y y. 7RGDV ODV VROXFLRQHV HQ HVWD IDPLOLD HVWiQ GH¿QLGDV HQ HO LQWHUYDOR ( , ). 6L LPSRQHPRV XQD FRQGLFLyQ LQLFLDO, GLJDPRV, y(0) 3, HQWRQFHV DO VXVWLWXLU x 0, y 3 HQ OD IDPLOLD VH GHWHUPLQD OD FRQVWDQWH 3 ce0 c SRU OR TXH y 3e x HV XQD VROXFLyQ GHO 39, y y, y(0) 3.

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14

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

b) $KRUD, VL KDFHPRV TXH OD FXUYD VROXFLyQ SDVH SRU HO SXQWR (1, 2) HQ OXJDU GH (0, 3), HQWRQFHV y(1) 2 VH REWHQGUi 2 ce R c 2e 1. (Q HVWH FDVR y 2e x 1 HV XQD VROXFLyQ GHO 39, y y, y(1) 2.

y (0, 3)

(Q OD ¿JXUD 1.2.3 VH PXHVWUDQ ODV GRV FXUYDV VROXFLyQ. x (1, −2)

FIGURA 1.2.3 6ROXFLRQHV GH ORV GRV 39,.

y

−1

x

1

a) función definida para toda x excepto en x = ±1

(O VLJXLHQWH HMHPSOR PXHVWUD RWUR SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH SULPHU RUGHQ. (Q HVWH HMHPSOR REVHUYH FyPR HO LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I GH OD VROXFLyQ y(x) GHSHQGH GH OD FRQGLFLyQ LQLFLDO y(x0) y0.

EJEMPLO 2 Intervalo I GH GH¿QLFLyQ GH XQD VROXFLyQ (Q HO SUREOHPD 6 GH ORV HMHUFLFLRV 1.4 VH OH SHGLUi PRVWUDU TXH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ y 2xy2 0 HV y 1 (x2 c). 6L HVWDEOHFHPRV OD FRQGLFLyQ LQLFLDO y(0) 1, HQWRQFHV DO VXVWLWXLU x 0 y y 1 HQ OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV, VH REWLHQH 1 1 c R c 1. $Vt y 1 (x2 1). $KRUD HQIDWL]DPRV ODV VLJXLHQWHV WUHV GLIHUHQFLDV • &RQVLGHUDGD FRPR XQD función, HO GRPLQLR GH y 1 (x2 1) HV HO FRQMXQWR GH WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV x SDUD ORV FXDOHV y(x) HVWi GH¿QLGD, H[FHSWR HQ x 1 y HQ x 1. 9HD OD ¿JXUD 1.2.4(D).

• &RQVLGHUDGD FRPR XQD solución de la ecuación diferencial y 2xy2 0, HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH y 1 (x2 1) SRGUtD WRPDUVH FRPR FXDOTXLHU LQWHUYDOR HQ HO FXDO y(x) HVWi GH¿QLGD y HV GHULYDEOH. &RPR VH SXHGH YHU HQ OD ¿JXUD 1.2.4(D), ORV LQWHUYDORV PiV ODUJRV HQ ORV TXH y 1 (x2 1) HV XQD VROXFLyQ VRQ ( , 1), ( 1, 1) y (1, ).

• &RQVLGHUDGD FRPR una solución del problema con valores iniciales y 2xy2 0, y(0) 1, HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH y 1 (x2 1) SRGUtD VHU FXDOTXLHU LQWHUYDOR HQ HO FXDO y(x) HVWi GH¿QLGD, HV GHULYDEOH y FRQWLHQH DO SXQWR LQLFLDO x 0; HO LQWHUYDOR PiV ODUJR SDUD HO FXDO HVWR HV YiOLGR HV ( 1, 1).

9HD OD FXUYD URMD HQ OD ¿JXUD 1.2.4(E).

9pDQVH ORV SUREOHPDV 3 D 6 HQ ORV HMHUFLFLRV 1.2 SDUD FRQWLQXDU FRQ HO HMHPSOR 2.

y

EJEMPLO 3 PVI de segundo orden

−1

1 x

(Q HO HMHPSOR 7 GH OD VHFFLyQ 1.1 YLPRV TXH x c1 FRV 4t c2 VHQ 4t HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV GH x 16x 0. 'HWHUPLQH XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV x 16x 0,

(0, −1)

x

2 2, x 2 1.

(4)

SOLUCIÓN 3ULPHUR DSOLFDPRV x(ʌ 2) 2 HQ OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV

b) solución definida en el intervalo que contiene x = 0

FIGURA 1.2.4 *Ui¿FDV GH OD IXQFLyQ y GH OD VROXFLyQ GHO 39, GHO HMHPSOR 2.

c1 FRV 2ʌ c2 VHQ 2ʌ 2. 3XHVWR TXH FRV 2ʌ 1 y VHQ 2ʌ 0, HQFRQWUDPRV TXH c1 2. 'HVSXpV DSOLFDPRV x (ʌ 2) 1 HQ OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV x(t) 2 FRV 4t c2 VHQ 4t. 'HULYDQGR y GHVSXpV KDFLHQGR t ʌ 2 y x 1 VH RE1 WLHQH 8 VHQ 2ʌ 4c2 FRV 2ʌ 1, D SDUWLU GH OR FXDO YHPRV TXH c2 4 . 3RU WDQWR 1 2 cos 4t 4 sen 4t HV XQD VROXFLyQ GH (4). x EXISTENCIA Y UNICIDAD $O FRQVLGHUDU XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV VXUJHQ GRV LPSRUWDQWHV SUHJXQWDV ¿Existe la solución del problema?

Si existe la solución, ¿es única?

3DUD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH OD HFXDFLyQ (2) SHGLPRV Existencia

ecuación diferencial dy dx f (x, y) tiene soluciones? {¿La ¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x , y )" 0

0

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1.2

Unicidad

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

O

15

podemos estar seguros de que hay precisamente una {¿Cuándo curva solución que pasa a través del punto (x , y )" 0

0

2EVHUYH TXH HQ ORV HMHPSORV 1 y 3 VH XVD OD IUDVH ³una VROXFLyQ´ HQ OXJDU GH ³la VROXFLyQ´ GHO SUREOHPD. (O DUWtFXOR LQGH¿QLGR ³XQD´ VH XVD GHOLEHUDGDPHQWH SDUD VXJHULU OD SRVLELOLGDG GH TXH SXHGHQ H[LVWLU RWUDV VROXFLRQHV. +DVWD HO PRPHQWR QR VH KD GHPRVWUDGR TXH H[LVWH XQD ~QLFD VROXFLyQ GH FDGD SUREOHPD. (O HMHPSOR VLJXLHQWH PXHVWUD XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV FRQ GRV VROXFLRQHV.

EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones &DGD XQD GH ODV IXQFLRQHV y 0 y y 161 x4 VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx xy 1/2 y OD FRQGLFLyQ LQLFLDO y(0) 0, SRU OR TXH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV dy xy1/2, dx

y y = x 4/16

WLHQH DO PHQRV GRV VROXFLRQHV. &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 1.2.5, ODV JUi¿FDV GH ODV GRV VROXFLRQHV SDVDQ SRU HO PLVPR SXQWR (0, 0).

1 y=0

x

(0, 0)

y(0) 0

FIGURA 1.2.5 'RV VROXFLRQHV GHO PLVPR 39, HQ HO HMHPSOR 4.

'HQWUR GH ORV OtPLWHV GH VHJXULGDG GH XQ FXUVR IRUPDO GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV XQR SXHGH FRQ¿DU HQ TXH OD mayoría GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV WHQGUiQ VROXFLRQHV y TXH ODV VROXFLRQHV GH ORV SUREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV probablemente VHUiQ ~QLFDV. 6LQ HPEDUJR, HQ OD YLGD UHDO QR HV DVt. 3RU OR WDQWR, DQWHV GH WUDWDU GH UHVROYHU XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV HV GHVHDEOH VDEHU VL H[LVWH XQD VROXFLyQ y, FXDQGR DVt VHD, VL pVWD HV OD ~QLFD VROXFLyQ GHO SUREOHPD. 3XHVWR TXH YDPRV D FRQVLGHUDU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ HQ ORV GRV FDStWXORV VLJXLHQWHV, HVWDEOHFHUHPRV DTXt, VLQ GHPRVWUDUOR, XQ WHRUHPD GLUHFWR TXH GD ODV FRQGLFLRQHV VX¿FLHQWHV SDUD JDUDQWL]DU OD H[LVWHQFLD y XQLFLGDG GH XQD VROXFLyQ GH XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH SULPHU RUGHQ GH OD IRUPD GDGD HQ OD HFXDFLyQ (2). (VSHUDUHPRV KDVWD HO FDStWXOR 4 SDUD UHWRPDU OD SUHJXQWD GH OD H[LVWHQFLD y XQLFLGDG GH XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH VHJXQGR RUGHQ. TEOREMA 1.2.1

Existencia de una solución única

3HQVHPRV HQ R FRPR XQD UHJLyQ UHFWDQJXODU HQ HO SODQR xy GH¿QLGD SRU a x b, c y d TXH FRQWLHQH DO SXQWR (x0, y0) HQ VX LQWHULRU. 6L f (x, y) y ∂f ∂y VRQ FRQWLQXDV HQ R, HQWRQFHV H[LVWH DOJ~Q LQWHUYDOR I 0 (x 0 h, x 0 h), h 0, FRQWHQLGR HQ >a, b], y XQD IXQFLyQ ~QLFD y(x), GH¿QLGD HQ I0, TXH HV XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV (2).

y d

(O UHVXOWDGR DQWHULRU HV XQR GH ORV WHRUHPDV GH H[LVWHQFLD y XQLFLGDG PiV SRSXODUHV SDUD HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ yD TXH HO FULWHULR GH FRQWLQXLGDG GH f (x, y) y GH ∂f ∂y HV UHODWLYDPHQWH IiFLO GH FRPSUREDU. (Q OD ¿JXUD 1.2.6 VH PXHVWUD OD JHRPHWUtD GHO WHRUHPD 1.2.1.

R

(x0 , y0) c

EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4 a

I0

b x

FIGURA 1.2.6 5HJLyQ UHFWDQJXODU R.

&RPR YLPRV HQ HO HMHPSOR 4 OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx xy 1/2 WLHQH DO PHQRV GRV VROXFLRQHV FXyDV JUi¿FDV SDVDQ SRU HO SXQWR (0, 0). $QDOL]DQGR ODV IXQFLRQHV f x f (x, y) xy1/2 y

y 2y1/2 YHPRV TXH VRQ FRQWLQXDV HQ OD PLWDG VXSHULRU GHO SODQR GH¿QLGR SRU y 0. 3RU WDQWR HO WHRUHPD 1.2.1 QRV SHUPLWH FRQFOXLU TXH D WUDYpV GH FXDOTXLHU SXQWR (x0, y0), y0 0 HQ OD PLWDG VXSHULRU GHO SODQR H[LVWH DOJ~Q LQWHUYDOR FHQWUDGR HQ x0 HQ HO FXDO OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD WLHQH XQD VROXFLyQ ~QLFD. $Vt, SRU HMHPSOR, D~Q VLQ UHVROYHUOD, VDEHPRV TXH H[LVWH DOJ~Q LQWHUYDOR FHQWUDGR HQ 2 HQ HO FXDO HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV dy dx xy1/2, y(2) 1 WLHQH XQD VROXFLyQ ~QLFD.

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16

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

(Q HO HMHPSOR 1, HO WHRUHPD 1.2.1 JDUDQWL]D TXH QR KDy RWUDV VROXFLRQHV GH ORV SUREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV y y, y(0) 3 y y y, y(1) 2 GLVWLQWDV D y 3ex y y 2ex 1, UHVSHFWLYDPHQWH. (VWR HV FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH f(x, y) y y ∂f ∂y 1 VRQ FRQWLQXDV HQ WRGR HO SODQR xy. $GHPiV SRGHPRV PRVWUDU TXH HO LQWHUYDOR I HQ HO FXDO FDGD VROXFLyQ HVWi GH¿QLGD HV ( , ).

INTERVALO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 6XSRQJD TXH y(x) UHSUHVHQWD XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV (2). /RV VLJXLHQWHV WUHV FRQMXQWRV GH Q~PHURV UHDOHV HQ HO HMH x SXHGHQ QR VHU LJXDOHV HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ y(x), HO LQWHUYDOR I HQ HO FXDO OD VROXFLyQ y(x) HVWi GH¿QLGD R H[LVWH, y HO LQWHUYDOR I0 GH H[LVWHQFLD y XQLFLGDG. (O HMHPSOR 2 GH OD VHFFLyQ 1.1 PXHVWUD OD GLIHUHQFLD HQWUH HO GRPLQLR GH XQD IXQFLyQ y HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ. $KRUD VXSRQJD TXH (x0, y0) HV XQ SXQWR HQ HO LQWHULRU GH OD UHJLyQ UHFWDQJXODU R HQ HO WHRUHPD 1.2.1. (VWR GD FRPR UHVXOWDGR TXH OD FRQWLQXLGDG GH OD IXQFLyQ f (x, y) HQ R SRU Vt PLVPD HV VX¿FLHQWH SDUD JDUDQWL]DU OD H[LVWHQFLD GH DO PHQRV XQD VROXFLyQ GH dy dx f (x, y), y(x0) y0, GH¿QLGD HQ DOJ~Q LQWHUYDOR I. (O LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ SDUD HVWH SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV QRUPDOPHQWH VH WRPD FRPR HO LQWHUYDOR PiV JUDQGH TXH FRQWLHQH x0 HQ HO FXDO OD VROXFLyQ y(x) HVWi GH¿QLGD y HV GHULYDEOH. (O LQWHUYDOR I GHSHQGH WDQWR GH f (x, y) FRPR GH OD FRQGLFLyQ LQLFLDO y(x0) y0. 9HD ORV SUREOHPDV 31 D 34 HQ ORV HMHUFLFLRV 1.2. /D FRQGLFLyQ H[WUD GH FRQWLQXLGDG GH OD SULPHUD GHULYDGD SDUFLDO ∂f ∂y HQ R QRV SHUPLWH GHFLU TXH QR VyOR H[LVWH XQD VROXFLyQ HQ DOJ~Q LQWHUYDOR I0 TXH FRQWLHQH x0, VLQR TXH pVWD HV OD única VROXFLyQ TXH VDWLVIDFH y(x0) y0. 6LQ HPEDUJR, HO WHRUHPD 1.2.1 QR GD QLQJXQD LQGLFDFLyQ GH ORV WDPDxRV GH ORV LQWHUYDORV I e I0; el intervalo de de¿nición I no necesita ser tan amplio como la región R y el intervalo de existencia y unicidad I0 puede no ser tan amplio como I. (O Q~PeUR h 0 TXe Ge¿Qe eO LQWeUYDOR I0: (x0 h, x0 h) SRGUtD VeU PXy SeTXexR, SRU OR TXe eV PeMRU FRQVLGeUDU TXe OD VROXFLyQ y(x) eV única en un sentido local, eVWR eV, XQD VROXFLyQ Ge¿QLGD FeUFD GeO SXQWR (x0, y0). 9eD eO SUREOePD 50 eQ ORV eMeUFLFLRV 1.2.

COMENTARIOS i) /DV FRQGLFLRQeV GeO WeRUePD 1.2.1 VRQ VX¿FLeQWeV SeUR QR QeFeVDULDV. (VWR VLJQL¿FD TXe FXDQGR f (x, y) y ∂f ∂y VRQ FRQWLQXDV eQ XQD UeJLyQ UeFWDQJXODU R, Ve GeEe GeGXFLU TXe e[LVWe XQD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ (2) y eV ~QLFD VLePSUe TXe (x0, y0) VeD XQ SXQWR LQWeULRU D R. 6LQ ePEDUJR, VL ODV FRQGLFLRQeV eVWDEOeFLGDV eQ OD KLSyWeVLV GeO WeRUePD 1.2.1 QR VRQ YiOLGDV, eQWRQFeV SXeGe RFXUULU FXDOTXLeU FRVD eO SUREOePD Ge OD eFXDFLyQ (2) puede WeQeU XQD VROXFLyQ y eVWD VROXFLyQ SXeGe VeU ~QLFD R OD eFXDFLyQ (2) puede WeQeU YDULDV VROXFLRQeV R puede QR WeQeU QLQJXQD VROXFLyQ. $O OeeU QXeYDPeQWe eO eMePSOR 5 YePRV TXe OD KLSyWeVLV GeO WeRUePD 1.2.1 QR eV YiOLGD eQ OD UeFWD y 0 SDUD OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO dy dx xy1/2, SeUR eVWR QR eV VRUSUeQGeQWe, yD TXe FRPR YLPRV eQ eO eMePSOR 4 Ge eVWD VeFFLyQ, KDy GRV VROXFLRQeV Ge¿QLGDV eQ XQ LQWeUYDOR FRP~Q –௘ h x h TXe VDWLVIDFe y(0) 0. 3RU RWUD SDUWe, OD KLSyWeVLV GeO WeRUePD 1.2.1 QR eV YiOLGD eQ OD UeFWD y 1 SDUD OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO dy dx |y 1|. 1R REVWDQWe, Ve SXeGe SUREDU TXe OD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV dy dx |y 1|, y(0) 1 eV ~QLFD ¢3XeGe LQWXLU OD VROXFLyQ" ii) (V UeFRPeQGDEOe SeQVDU, WUDEDMDU y UeFRUGDU eO SUREOePD 49 Ge ORV eMeUFLFLRV 1.2. iii) /DV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV Ve SUeVFULEeQ eQ XQ VROR SXQWR x0. 3eUR WDPELpQ QRV LQWeUeVD OD VROXFLyQ Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV TXe eVWiQ VXMeWDV D ODV FRQGLFLRQeV eVSeFL¿FDGDV eQ y(x) R VX GeULYDGD eQ GRV SXQWRV GLIeUeQWeV x0 y x1. &RQGLFLRQeV WDOeV FRPR y(1) = 0, y(5) = 0 R y(ʌ 2) = 0, y (ʌ) = 1 OODPDGDV condiciones frontera. 8QD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO FRQ FRQGLFLRQeV IURQWeUD Ve FRQRFe FRPR XQ problema de valor a la frontera (PVF). 3RU eMePSOR, y Ȝy = 0, y (0) = 0, y (ʌ) = 0 eV XQ SUREOePD Ge YDORU OtPLWe. 9eD ORV SUREOePDV 39 D 44 eQ ORV eMeUFLFLRV 1.2. &XDQGR ePSeFePRV D UeVROYeU eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV eQ OD VeFFLyQ 1.4 OR KDUePRV VyOR FRQ eFXDFLRQeV OLQeDOeV Ge SULPeU RUGeQ. /DV GeVFULSFLRQeV PDWePiWLFDV Ge PXFKRV SUREOePDV DSOLFDGRV UeTXLeUeQ Ge eFXDFLRQeV Ge VeJXQGR RUGeQ. ([DPLQDUePRV DOJXQRV Ge eVWRV SUREOePDV eQ eO FDStWXOR 2.

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1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

EJERCICIOS 1.2

2. y( 1) 2

(Q ORV SUREOePDV 3 D 6, y 1 (x2 c) eV XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV Ge OD (' Ge SULPeU RUGeQ y 2xy2 0. 'eWeUPLQe XQD VROXFLyQ GeO 39, Ge SULPeU RUGeQ TXe FRQVLVWe eQ eVWD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y OD FRQGLFLyQ LQLFLDO GDGD. 'p eO LQWeUYDOR I PiV ODUJR eQ eO FXDO eVWi Ge¿QLGD OD VROXFLyQ. 3. y(2) 13

4. y( 2) 12

5. y(0) 1

6. y 2 4

(1)

(Q ORV SUREOePDV 7 D 10, x c1FRV t c2 VeQ t eV XQD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV Ge GRV SDUiPeWURV Ge OD (' Ge VeJXQGR RUGeQ x x 0. 'eWeUPLQe XQD VROXFLyQ GeO 39, Ge VeJXQGR RUGeQ TXe FRQVLVWe eQ eVWD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV GDGDV. 7. x(0) 1,

x (0) 8

8. x(ʌ 2) 0,

x (ʌ 2) 1

9. x( 6)

x ( 6)

10. x( 4)

1 2,

0

2, x ( 4)

2 2

(Q ORV SUREOePDV 11 D 14, y c1ex c2e x eV XQD IDPLOLD Ge GRV SDUiPeWURV Ge VROXFLRQeV Ge VeJXQGR RUGeQ (' y – y 0.

(QFXeQWUe XQD VROXFLyQ GeO 39, Ge VeJXQGR RUGeQ TXe FRQVLVWe eQ eVWD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV GDGDV. 11. y(0) 1, y (0) 2 12. y(1) 0, y (1) e 13. y( 1) 5, 14. y(0) 0,

y ( 1) 5 y (0) 0

(Q ORV SUREOePDV 15 y 16 GeWeUPLQe SRU LQVSeFFLyQ DO PeQRV GRV VROXFLRQeV GeO 39, Ge SULPeU RUGeQ GDGR. 15. y 3y 2/3,

y(0) 0

16. xy 2y,

y(0) 0

(Q ORV SUREOePDV 17 D 24 GeWeUPLQe XQD UeJLyQ GeO SODQR xy GRQGe OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GDGD WeQGUtD XQD VROXFLyQ ~QLFD FXyD JUi¿FD SDVe SRU XQ SXQWR (x0, y0) eQ OD UeJLyQ. 17.

dy y2/3 dx

18.

dy 1xy dx

dy y dx

20.

dy y x dx

19. x

17

Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1

(Q ORV SUREOePDV 1 y 2, y 1 (1 c1e x) eV XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV Ge OD (' Ge SULPeU RUGeQ y y y2.

(QFXeQWUe XQD VROXFLyQ GeO 39, Ge SULPeU RUGeQ TXe FRQVLVWe eQ eVWD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y OD FRQGLFLyQ LQLFLDO GDGD. 1. y(0) 13

O

21. (4 y 2)y x 2

22. (1 y 3)y x 2

23. (x 2 y 2)y y 2

24. (y x)y y x

(Q ORV SUREOePDV 25 D 28 GeWeUPLQe VL eO WeRUePD 1.2.1 JDUDQWL]D TXe OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y 1y2 9 WLeQe XQD VROXFLyQ ~QLFD TXe SDVD SRU eO SXQWR GDGR. 25. (1, 4)

26. (5, 3)

27. (2, 3)

28. ( 1, 1)

29. a) 3RU LQVSeFFLyQ, GeWeUPLQe XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO xy y. &RPSUXeEe TXe FDGD PLePEUR Ge OD IDPLOLD eV XQD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV xy y, y(0) 0. b) ([SOLTXe eO LQFLVR D) GeWeUPLQDQGR XQD UeJLyQ R eQ eO SODQR xy SDUD eO TXe OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO xy y WeQGUtD XQD VROXFLyQ ~QLFD TXe SDVe SRU eO SXQWR (x0, y0) eQ R. c) &RPSUXeEe TXe OD IXQFLyQ Ge¿QLGD SRU SDUWeV y

0,x, xx 00

VDWLVIDFe OD FRQGLFLyQ y(0) 0. 'eWeUPLQe VL eVWD IXQFLyQ eV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GeO LQFLVR D).

30. a) &RPSUXeEe TXe y WDQ (x c) eV XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y 1 y2. b) 3XeVWR TXe f (x, y) 1 y2 y ∂f ∂y 2y VRQ FRQWLQXDV eQ GRQGe TXLeUD, OD UeJLyQ R eQ eO WeRUePD 1.2.1 Ve SXeGe FRQVLGeUDU FRPR WRGR eO SODQR xy. 8WLOLFe OD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV GeO LQFLVR D) SDUD GeWeUPLQDU XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV Ge SULPeU RUGeQ y 1 y2, y(0) 0. $XQ FXDQGR x0 0 eVWp eQ eO LQWeUYDOR ( 2, 2), e[SOLTXe SRU TXp OD VROXFLyQ QR eVWi Ge¿QLGD eQ eVWe LQWeUYDOR. c) 'eWeUPLQe eO LQWeUYDOR I Ge Ge¿QLFLyQ PiV ODUJR SDUD OD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GeO LQFLVR E).

31. a) &RPSUXeEe TXe y 1 (x c) eV XQD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV XQLSDUDPpWULFD Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y y2. b) 3XeVWR TXe f (x, y) y2 y ∂f ∂y 2y VRQ FRQWLQXDV GRQGe VeD, OD UeJLyQ R GeO WeRUePD 1.2.1 Ve SXeGe WRPDU FRPR WRGR eO SODQR xy. 'eWeUPLQe XQD VROXFLyQ Ge OD IDPLOLD GeO LQFLVR D) TXe VDWLVIDJD TXe y(0) 1. 'eVSXpV GeWeUPLQe XQD VROXFLyQ Ge OD IDPLOLD GeO LQFLVR D) TXe VDWLVIDJD TXe y(0) 1. 'eWeUPLQe eO LQWeUYDOR I Ge Ge¿QLFLyQ PiV ODUJR SDUD OD VROXFLyQ Ge FDGD SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV. c) 'eWeUPLQe eO LQWeUYDOR Ge Ge¿QLFLyQ I PiV ODUJR SDUD OD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV y y2, y(0) 0. >Sugerencia /D VROXFLyQ QR eV XQ PLePEUR Ge OD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV GeO LQFLVR D)].

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18

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

32. a) 'ePXeVWUe TXe XQD VROXFLyQ Ge OD IDPLOLD GeO LQFLVR D) GeO SUREOePD 31 TXe VDWLVIDFe y y2, y(1) 1, eV y 1 (2 x). b) 'eVSXpV GePXeVWUe TXe XQD VROXFLyQ Ge OD IDPLOLD GeO LQFLVR D) GeO SUREOePD 31 TXe VDWLVIDFe y y2, y(3) 1, eV y 1 (2 x). c) ¢6RQ LJXDOeV ODV VROXFLRQeV Ge ORV LQFLVRV D) y E)" 33. a) 9eUL¿TXe TXe 3x2 – y2 c eV XQD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV XQLSDUDPpWULFDV Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO y dy dx 3x. b) %RVTXeMe, D PDQR, OD JUi¿FD Ge OD VROXFLyQ LPSOtFLWD 3x2 – y2 3. 'eWeUPLQe WRGDV ODV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV y (x) Ge OD (' GeO LQFLVR D) Ge¿QLGDV SRU eVWD UeODFLyQ. 'p XQ LQWeUYDOR I Ge Ge¿QLFLyQ Ge FDGD XQD Ge ODV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV. c) (O SXQWR ( 2, 3) eVWi eQ OD JUi¿FD Ge 3x2 – y2 3 SeUR ¢FXiO Ge ODV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV GeO LQFLVR E) VDWLVIDFe TXe y( 2) 3" 34. a) 8WLOLFe OD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV GeO LQFLVR D) GeO SUREOePD 33 SDUD GeWeUPLQDU XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV y dy dx 3x, y(2) 4. 'eVSXpV ERVTXeMe, D PDQR, OD JUi¿FD Ge OD VROXFLyQ e[SOtFLWD Ge eVWe SUREOePD y Gp VX LQWeUYDOR I Ge Ge¿QLFLyQ. b) ¢([LVWeQ DOJXQDV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV Ge y dy dx 3x TXe SDVeQ SRU eO RULJeQ" (Q ORV SUREOePDV 35 D 38 Ve SUeVeQWD OD JUi¿FD Ge XQ PLePEUR Ge OD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV Ge XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge VeJXQGR RUGeQ d 2y dx 2 f (x, y, y ). 5eODFLRQe OD FXUYD VROXFLyQ FRQ DO PeQRV XQ SDU Ge ODV VLJXLeQWeV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV. a) y(1) 1, y (1) 2 b) y( 1) 0, y ( 1) 4 c) y(1) 1, y (1) 2 d) y(0) 1, y (0) 2 e) y(0) 1, y (0) 0 f) y(0) 4, y (0) 2 35. y 5

y 5

x

5

−5

FIGURA 1.2.9 *Ui¿FD GeO SUREOePD 37.

38.

y 5

5

x

−5

FIGURA 1.2.10 *Ui¿FD GeO SUREOePD 38.

(Q ORV SUREOePDV 39 D 44, y = c1 FRV 2x c2 VeQ 2x eV XQD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV Ge GRV SDUiPeWURV Ge OD (' Ge VeJXQGR RUGeQ y 4y = 0. 6L eV SRVLEOe, GeWeUPLQe XQD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe VDWLVIDFe ODV FRQGLFLRQeV GDGDV. /DV FRQGLFLRQeV eVSeFL¿FDGDV eQ GRV SXQWRV GLIeUeQWeV Ve GeQRPLQDQ FRQGLFLRQeV IURQWeUD. 39. y(0) 0, y(ʌ 4) 3 40. y (0) 0, y (ʌ 6) 0 41. y(0) 0, y(ʌ) 2 42. y(0) 0, y(ʌ) 0 43. y(0) 1, y (ʌ) 5 44. y (ʌ 2) 1, y (ʌ) 0 Problemas de análisis (Q ORV SUREOePDV 45 y 46 XWLOLFe eO SUREOePD 51 Ge ORV eMeUFLFLRV 1.1 y (2) y (3) Ge eVWD VeFFLyQ.

5

x

−5

47. &RQVLGeUe eO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV y x 2y, y(0) 12 . 'eWeUPLQe FXiO Ge ODV GRV FXUYDV TXe Ve PXeVWUDQ eQ OD ¿JXUD 1.2.11 eV OD ~QLFD FXUYD VROXFLyQ SRVLEOe. ([SOLTXe VX UD]RQDPLeQWR.

y 5

5

−5

45. (QFXeQWUe XQD IXQFLyQ y f (x) FXyD JUi¿FD eQ FDGD SXQWR (x, y) WLeQe XQD SeQGLeQWe GDGD SRU 8e2x 6x y OD LQWeUVeFFLyQ FRQ eO eMe y eQ (0, 9).

46. 'eWeUPLQe XQD IXQFLyQ y f (x) FXyD VeJXQGD GeULYDGD eV y 12x 2 eQ FDGD SXQWR (x, y) Ge VX JUi¿FD y y x 5 eV WDQJeQWe D OD JUi¿FD eQ eO SXQWR FRUUeVSRQGLeQWe D x 1.

FIGURA 1.2.7 *Ui¿FD GeO SUREOePD 35.

36.

37.

x

48. 'eWeUPLQe XQ YDORU SRVLEOe SDUD x0 SDUD eO TXe OD JUi¿FD Ge OD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV y 2y 3x – 6, y(x0) 0 eV WDQJeQWe DO eMe x eQ (x0, 0). ([SOLTXe VX UD]RQDPLeQWR. 49. 6XSRQJDPRV TXe OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ dy dx f (x, y) WLeQe XQ SDUiPeWUR Ge XQD IDPLOLD Ge

FIGURA 1.2.8 *Ui¿FD GeO SUREOePD 36.

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1.3

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

y

y

O

19

y

1 (2, 1)

1 0, 2

( )

x

a)

x

1

FIGURA 1.2.11

VROXFLRQeV y TXe f (x, y) VDWLVIDFe ODV KLSyWeVLV GeO WeRUePD 1.2.1 eQ DOJXQD UeJLyQ UeFWDQJXODU R GeO SODQR xy. ([SOLTXe SRU TXp GRV FXUYDV VROXFLyQ GLIeUeQWeV QR Ve SXeGeQ LQWeUFeSWDU R VeU WDQJeQWeV eQWUe Vt eQ XQ SXQWR (x0, y0) eQ R. 50. /DV IXQFLRQeV y(x) 161 x 4,

0,

x

y

0

x, x 0 1 16

x

4

WLeQeQ eO PLVPR GRPLQLR SeUR VRQ REYLDPeQWe GLIeUeQWeV. 9pDQVe ODV ¿JXUDV 1.2.12(D) y 1.2.12(E), UeVSeFWLYDPeQWe. 'ePXeVWUe TXe DPEDV IXQFLRQeV VRQ VROXFLRQeV GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV dy dx xy1/2, y(2) 1 eQ eO LQWeUYDOR ( , ). 5eVXeOYD OD FRQWUDGLFFLyQ DSDUeQWe eQWUe eVWe KeFKR y OD ~OWLPD RUDFLyQ GeO eMePSOR 5.

1.3

x

b)

FIGURA 1.2.12 'RV VROXFLRQeV Ge ORV 39, GeO SUREOePD 50.

*Ui¿FD GeO SUREOePD 47.

y(x)

(2, 1)

Modelo matemático 51. Crecimiento de la población $O SULQFLSLR Ge OD VLJXLeQWe VeFFLyQ YeUePRV TXe ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV Ve SXeGeQ XWLOL]DU SDUD GeVFULELU R PRGeODU PXFKRV VLVWePDV ItVLFRV GLIeUeQWeV. (Q eVWe SUREOePD Ve VXSRQe TXe XQ PRGeOR Ge FUeFLPLeQWR Ge SREODFLyQ Ge XQD SeTXexD FRPXQLGDG eVWi GDGR SRU eO SUREOePD Ge YDORU LQLFLDO dP 0.15P(t) 20, P(0) 100, dt GRQGe P eV eO Q~PeUR Ge SeUVRQDV eQ OD FRPXQLGDG y eO WLePSR t Ve PLGe eQ DxRV. ¢4Xp WDQ UiSLGR, eV GeFLU, FRQ TXp razón eVWi DXPeQWDQGR OD SREODFLyQ eQ t 0" ¢4Xp WDQ UiSLGR eVWi FUeFLeQGR OD SREODFLyQ FXDQGR OD SREODFLyQ eV Ge 500"

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS INTRODUCCIÓN (Q eVWD VeFFLyQ LQWURGXFLUePRV OD LGeD Ge XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO FRPR XQ PRGeOR PDWePiWLFR y DQDOL]DUePRV DOJXQRV PRGeORV eVSeFt¿FRV eQ ELRORJtD, TXtPLFD y ItVLFD. 8QD Ye] TXe KDyDPRV eVWXGLDGR DOJXQRV Ge ORV PpWRGRV Ge VROXFLyQ Ge ODV (' eQ ODV VLJXLeQWeV VeFFLRQeV, UeWRPDUePRV y UeVROYeUePRV DOJXQRV Ge eVWRV PRGeORV eQ OD SUy[LPD XQLGDG. MODELOS MATEMÁTICOS &RQ IUeFXeQFLD eV GeVeDEOe GeVFULELU eQ WpUPLQRV PDWePiWLFRV eO FRPSRUWDPLeQWR Ge DOJXQRV VLVWePDV R IeQyPeQRV Ge OD YLGD UeDO, yD VeDQ ItVLFRV, VRFLROyJLFRV R LQFOXVR eFRQyPLFRV. /D GeVFULSFLyQ PDWePiWLFD Ge XQ VLVWePD Ge IeQyPeQRV Ve OODPD modelo matemático y Ve FRQVWUXye FRQ FLeUWRV REMeWLYRV. 3RU eMePSOR, SRGePRV GeVeDU eQWeQGeU ORV PeFDQLVPRV Ge FLeUWR eFRVLVWePD DO eVWXGLDU eO FUeFLPLeQWR Ge OD SREODFLyQ DQLPDO eQ pO, R SRGePRV GeVeDU GDWDU IyVLOeV y DQDOL]DU eO GeFDLPLeQWR Ge XQD VXVWDQFLD UDGLDFWLYD yD VeD eQ eO IyVLO R eQ eO eVWUDWR eQ eO TXe pVWe IXe GeVFXELeUWR. /D IRUPXODFLyQ Ge XQ PRGeOR PDWePiWLFR Ge XQ VLVWePD Ve LQLFLD FRQ i) LGeQWL¿FDFLyQ Ge ODV YDULDEOeV TXe RFDVLRQDQ eO FDPELR GeO VLVWePD. 3RGUePRV eOeJLU QR LQFRUSRUDU WRGDV eVWDV YDULDEOeV eQ eO PRGeOR GeVGe eO FRPLeQ]R. (Q eVWe SDVR eVSeFL¿FDPRV eO nivel de resolución GeO PRGeOR. 'eVSXpV, ii)

Ve eVWDEOeFe XQ FRQMXQWR Ge VXSRVLFLRQeV UD]RQDEOeV R KLSyWeVLV, DFeUFD GeO VLVWePD TXe eVWDPRV WUDWDQGR Ge GeVFULELU. (VDV KLSyWeVLV WDPELpQ LQFOXyeQ WRGDV ODV OeyeV ePStULFDV TXe Ve SXeGeQ DSOLFDU DO VLVWePD.

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O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

3DUD DOJXQRV REMeWLYRV TXL]i EDVWe FRQ FRQIRUPDUVe FRQ PRGeORV Ge EDMD UeVROXFLyQ. 3RU eMePSOR, XVWeG yD eV FRQVFLeQWe Ge TXe eQ ORV FXUVRV EiVLFRV Ge ItVLFD DOJXQDV YeFeV Ve GeVSUeFLD OD IXeU]D UeWDUGDGRUD Ge OD IULFFLyQ GeO DLUe DO PRGeODU eO PRYLPLeQWR Ge XQ FXeUSR TXe FDe FeUFD Ge OD VXSeU¿FLe Ge OD 7LeUUD. 3eUR VL XVWeG eV XQ FLeQWt¿FR FXyR WUDEDMR eV SUeGeFLU FRQ e[DFWLWXG OD WUDyeFWRULD Ge YXeOR Ge XQ SURyeFWLO Ge ODUJR DOFDQFe, GeEeUi FRQVLGeUDU OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe y RWURV IDFWRUeV, WDOeV FRPR OD FXUYDWXUD Ge OD 7LeUUD. &RPR ODV KLSyWeVLV DFeUFD Ge XQ VLVWePD LPSOLFDQ FRQ IUeFXeQFLD XQD razón de cambio Ge XQD R PiV Ge ODV YDULDEOeV, eO eQXQFLDGR PDWePiWLFR Ge WRGDV eVDV KLSyWeVLV SXeGe VeU XQD R PiV eFXDFLRQeV TXe FRQWeQJDQ derivadas. (Q RWUDV SDODEUDV, eO PRGeOR PDWePiWLFR SXeGe VeU XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO R XQ VLVWePD Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV. 8QD Ye] TXe Ve KD IRUPXODGR XQ PRGeOR PDWePiWLFR, yD VeD XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO R XQ VLVWePD Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV, QRV eQIUeQWDPRV DO SUREOePD QR IiFLO Ge WUDWDU Ge UeVROYeUOR. 6L SRGePRV UeVROYeUOR, eQWRQFeV FRQVLGeUDPRV TXe eO PRGeOR eV UD]RQDEOe, VL VX VROXFLyQ eV FRQVLVWeQWe FRQ ORV GDWRV e[SeULPeQWDOeV R FRQ ORV KeFKRV FRQRFLGRV DFeUFD GeO FRPSRUWDPLeQWR GeO VLVWePD. 6L ODV SUeGLFFLRQeV TXe Ve REWLeQeQ VRQ Ge¿FLeQWeV, SRGePRV DXPeQWDU eO QLYeO Ge UeVROXFLyQ GeO PRGeOR R KDFeU KLSyWeVLV DOWeUQDWLYDV DFeUFD Ge ORV PeFDQLVPRV Ge FDPELR GeO VLVWePD. (QWRQFeV Ve UeSLWeQ ORV SDVRV GeO SURFeVR Ge PRGeODGR, FRPR Ve PXeVWUD eQ eO VLJXLeQWe GLDJUDPD Expresar las hipótesis en términos de las ecuaciones diferenciales

Hipótesis Si es necesario, modificar las hipótesis o aumentar la resolución del modelo Comprobar las predicciones del modelo con hechos conocidos

Formulación matemática Resolver las ED

Presentar las predicciones del modelo (por ejemplo, en forma gráfica)

Obtener soluciones

3RU VXSXeVWR, DO DXPeQWDU OD UeVROXFLyQ, DXPeQWDPRV OD FRPSOeMLGDG GeO PRGeOR PDWePiWLFR y OD SUREDELOLGDG Ge TXe QR SRGDPRV REWeQeU XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD. &RQ IUeFXeQFLD, eO PRGeOR PDWePiWLFR Ge XQ VLVWePD ItVLFR LQGXFLUi OD YDULDEOe WLePSR t. 8QD VROXFLyQ GeO PRGeOR e[SUeVD eO estado del sistema; eQ RWUDV SDODEUDV, ORV YDORUeV Ge OD YDULDEOe GeSeQGLeQWe (R YDULDEOeV) SDUD ORV YDORUeV DGeFXDGRV Ge t TXe GeVFULEeQ eO VLVWePD eQ eO SDVDGR, SUeVeQWe y IXWXUR. DINÁMICA POBLACIONAL 8QR Ge ORV SULPeURV LQWeQWRV SDUD PRGeODU eO crecimiento de la población KXPDQD SRU PeGLR Ge ODV PDWePiWLFDV Ve OOeYy D FDER eQ 1798 SRU eO eFRQRPLVWD LQJOpV 7KRPDV 0DOWKXV. %iVLFDPeQWe OD LGeD GeWUiV GeO PRGeOR Ge 0DOWKXV eV OD VXSRVLFLyQ Ge TXe OD UD]yQ FRQ OD TXe OD SREODFLyQ Ge XQ SDtV FUeFe eQ XQ FLeUWR WLePSR eV SURSRUFLRQDO D OD SREODFLyQ WRWDO GeO SDtV eQ eVe WLePSR. (Q RWUDV SDODEUDV, eQWUe PiV SeUVRQDV eVWpQ SUeVeQWeV DO WLePSR t, KDEUi PiV eQ eO IXWXUR. (Q WpUPLQRV PDWePiWLFRV, VL P(t) GeQRWD OD SREODFLyQ DO WLePSR t, eQWRQFeV eVWD VXSRVLFLyQ Ve SXeGe e[SUeVDU FRPR dP dt

P

o

dP dt

kP,

(1)

GRQGe k eV XQD FRQVWDQWe Ge SURSRUFLRQDOLGDG. (VWe PRGeOR VLPSOe, TXe IDOOD VL Ve FRQVLGeUDQ PXFKRV RWURV IDFWRUeV TXe SXeGeQ LQÀXLU eQ eO FUeFLPLeQWR R GeFUeFLPLeQWR 6L GRV FDQWLGDGeV u y v VRQ SURSRUFLRQDOeV, Ve eVFULEe u v. (VWR VLJQL¿FD TXe XQD FDQWLGDG eV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWe Ge RWUD u kv.

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1.3

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

O

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(SRU eMePSOR, LQPLJUDFLyQ y ePLJUDFLyQ), UeVXOWy, VLQ ePEDUJR, EDVWDQWe e[DFWR SDUD SUeGeFLU OD SREODFLyQ Ge (VWDGRV 8QLGRV eQWUe 1790 y 1860. /DV SREODFLRQeV TXe FUeFeQ FRQ XQD UD]yQ GeVFULWD SRU OD eFXDFLyQ (1) VRQ UDUDV; VLQ ePEDUJR, (1) D~Q Ve XVD SDUD PRGeODU eO crecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos (SRU eMePSOR, FUeFLPLeQWR Ge EDFWeULDV eQ XQD FDMD Ge 3eWUL).

DECAIMIENTO RADIACTIVO (O Q~FOeR Ge XQ iWRPR eVWi IRUPDGR SRU FRPELQDFLRQeV Ge SURWRQeV y QeXWURQeV. 0XFKDV Ge eVDV FRPELQDFLRQeV VRQ LQeVWDEOeV, eV GeFLU, ORV iWRPRV Ve GeVLQWeJUDQ R Ve FRQYLeUWeQ eQ iWRPRV Ge RWUDV VXVWDQFLDV. 6e GLFe TXe eVWRV Q~FOeRV VRQ UDGLDFWLYRV. 3RU eMePSOR, FRQ eO WLePSR, eO UDGLR 5D-226, LQWeQVDPeQWe UDGLDFWLYR, Ve WUDQVIRUPD eQ eO UDGLDFWLYR JDV UDGyQ, 5Q-222. 3DUD PRGeODU eO IeQyPeQR GeO decaimiento radiactivo, Ve VXSRQe TXe OD UD]yQ dA dt FRQ OD TXe ORV Q~FOeRV Ge XQD VXVWDQFLD Ve GeVLQWeJUDQ eV SURSRUFLRQDO D OD FDQWLGDG (SDUD VeU PiV SUeFLVRV, eO Q~PeUR Ge Q~FOeRV) A(t) Ge OD VXVWDQFLD TXe TXeGD DO WLePSR t dA dA (2) A o kA. dt dt 3RU VXSXeVWR TXe ODV eFXDFLRQeV (1) y (2) VRQ e[DFWDPeQWe LJXDOeV; OD GLIeUeQFLD UDGLFD VyOR eQ OD LQWeUSUeWDFLyQ Ge ORV VtPERORV y Ge ODV FRQVWDQWeV Ge SURSRUFLRQDOLGDG. (Q eO FDVR GeO FUeFLPLeQWR, FRPR eVSeUDPRV eQ OD eFXDFLyQ (O), k 0, y SDUD OD GeVLQWeJUDFLyQ FRPR eQ OD eFXDFLyQ (2), k 0.

(O PRGeOR Ge OD eFXDFLyQ (1) SDUD FUeFLPLeQWR WDPELpQ Ve SXeGe YeU FRPR OD eFXDFLyQ dS dt rS, TXe GeVFULEe eO FUeFLPLeQWR GeO FDSLWDO S FXDQGR eVWi D XQD WDVD DQXDO Ge LQWeUpV r FRPSXeVWR FRQWLQXDPeQWe. (O PRGeOR Ge GeVLQWeJUDFLyQ Ge OD eFXDFLyQ (2) WDPELpQ Ve DSOLFD D VLVWePDV ELROyJLFRV WDOeV FRPR OD GeWeUPLQDFLyQ Ge OD YLGD PeGLD Ge XQ IiUPDFR, eV GeFLU, eO WLePSR TXe Oe WRPD D 50 GeO PeGLFDPeQWR VeU eOLPLQDGR GeO FXeUSR SRU e[FUeFLyQ R PeWDEROL]DFLyQ. (Q TXtPLFD eO PRGeOR GeO GeFDLPLeQWR, eFXDFLyQ (2), Ve SUeVeQWD eQ OD GeVFULSFLyQ PDWePiWLFD Ge XQD UeDFFLyQ TXtPLFD Ge SULPeU RUGeQ. /R LPSRUWDQWe DTXt eV Una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de muchos fenómenos distintos. &RQ IUeFXeQFLD, ORV PRGeORV PDWePiWLFRV Ve DFRPSDxDQ Ge FRQGLFLRQeV TXe ORV Ge¿QeQ. 3RU eMePSOR, eQ ODV eFXDFLRQeV (O) y (2) eVSeUDUtDPRV FRQRFeU XQD SREODFLyQ LQLFLDO P0 y SRU RWUD SDUWe OD FDQWLGDG LQLFLDO Ge VXVWDQFLD UDGLRDFWLYD A0. 6L eO WLePSR LQLFLDO Ve WRPD eQ t 0, VDEePRV TXe P(0) P0 y TXe A(0) A0. (Q RWUDV SDODEUDV, XQ PRGeOR PDWePiWLFR SXeGe FRQVLVWLU eQ XQ SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV R, FRPR YeUePRV PiV DGeODQWe, eQ XQ SUREOePD FRQ YDORUeV eQ OD IURQWeUD. LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON 'e DFXeUGR FRQ OD Oey ePStULFD Ge eQIULDPLeQWR/FDOeQWDPLeQWR Ge 1eZWRQ, OD UDSLGe] FRQ OD TXe FDPELD OD WePSeUDWXUD Ge XQ FXeUSR eV SURSRUFLRQDO D OD GLIeUeQFLD eQWUe OD WePSeUDWXUD GeO FXeUSR y OD GeO PeGLR TXe OR URGeD, TXe Ve OODPD WePSeUDWXUD DPELeQWe. 6L T(t) UeSUeVeQWD OD WePSeUDWXUD GeO FXeUSR DO WLePSR t, Tm eV OD WePSeUDWXUD GeO PeGLR TXe OR URGeD y dT dt eV OD UDSLGe] FRQ TXe FDPELD OD WePSeUDWXUD GeO FXeUSR, eQWRQFeV OD Oey Ge 1eZWRQ Ge eQIULDPLeQWR/FDOeQWDPLeQWR WUDGXFLGD eQ XQD e[SUeVLyQ PDWePiWLFD eV dT dt

T

Tm

o

dT dt

k(T

Tm ),

(3)

GRQGe k eV XQD FRQVWDQWe Ge SURSRUFLRQDOLGDG. (Q DPERV FDVRV, eQIULDPLeQWR R FDOeQWDPLeQWR, VL Tm eV XQD FRQVWDQWe, Ve eVWDEOeFe TXe k 0.

PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD 8QD eQIeUPeGDG FRQWDJLRVD, SRU eMePSOR, XQ YLUXV Ge JULSe, Ve SURSDJD D WUDYpV Ge XQD FRPXQLGDG SRU SeUVRQDV TXe KDQ eVWDGR eQ FRQWDFWR FRQ RWUDV SeUVRQDV eQIeUPDV. 6eD TXe x(t) GeQRWe eO Q~PeUR Ge SeUVRQDV TXe KDQ FRQWUDtGR OD eQIeUPeGDG y VeD TXe y(t) GeQRWe eO Q~PeUR Ge SeUVRQDV TXe D~Q QR KDQ VLGR e[SXeVWDV DO FRQWDJLR. (V OyJLFR VXSRQeU TXe OD UD]yQ dx dt FRQ OD TXe Ve SURSDJD OD eQIeUPeGDG eV SURSRUFLRQDO DO Q~PeUR Ge eQFXeQWURV, R interacciones, eQWUe eVWRV GRV

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22

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

JUXSRV Ge SeUVRQDV. 6L VXSRQePRV TXe eO Q~PeUR Ge LQWeUDFFLRQeV eV FRQMXQWDPeQWe SURSRUFLRQDO D x(t) y y(t), eVWR eV, SURSRUFLRQDO DO SURGXFWR xy, eQWRQFeV dx (4) kxy, dt GRQGe k eV OD FRQVWDQWe XVXDO Ge SURSRUFLRQDOLGDG. 6XSRQJD TXe XQD SeTXexD FRPXQLGDG WLeQe XQD SREODFLyQ ¿MD Ge n SeUVRQDV. 6L Ve LQWURGXFe XQD SeUVRQD LQIeFWDGD GeQWUR Ge eVWD FRPXQLGDG, eQWRQFeV Ve SRGUtD DUJXPeQWDU TXe x(t) y y(t) eVWiQ UeODFLRQDGDV SRU x y n 1. 8WLOL]DQGR eVWD ~OWLPD eFXDFLyQ SDUD eOLPLQDU y eQ OD eFXDFLyQ (4) Ve REWLeQe eO PRGeOR dx kx(n 1 x). dt 8QD FRQGLFLyQ LQLFLDO REYLD TXe DFRPSDxD D OD eFXDFLyQ (5) eV x(0) 1.

(5)

REACCIONES QUÍMICAS 6e GLFe TXe OD GeVLQWeJUDFLyQ Ge XQD VXVWDQFLD UDGLDFWLYD, FDUDFWeUL]DGD SRU OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO (1), eV XQD reacción de primer orden. (Q TXtPLFD KDy DOJXQDV UeDFFLRQeV TXe VLJXeQ eVWD PLVPD Oey ePStULFD VL ODV PROpFXODV Ge OD VXVWDQFLD A Ve GeVFRPSRQeQ y IRUPDQ PROpFXODV PiV SeTXexDV, eV QDWXUDO VXSRQeU TXe OD UDSLGe] FRQ OD TXe Ve OOeYD D FDER eVD GeVFRPSRVLFLyQ eV SURSRUFLRQDO D OD FDQWLGDG Ge OD SULPeUD VXVWDQFLD TXe QR KD e[SeULPeQWDGR OD FRQYeUVLyQ; eVWR eV, VL X(t) eV OD FDQWLGDG Ge OD VXVWDQFLD A TXe SeUPDQeFe eQ FXDOTXLeU PRPeQWR, eQWRQFeV dX dt kX, GRQGe k eV XQD FRQVWDQWe QeJDWLYD yD TXe X eV GeFUeFLeQWe. 8Q eMePSOR Ge XQD UeDFFLyQ TXtPLFD Ge SULPeU RUGeQ eV OD FRQYeUVLyQ GeO FORUXUR Ge WeUEXWLOR, (&+3)3&&O eQ DOFRKRO t-EXWtOLFR (&+3)3&2+ (CH3)3CCl NaOH : (CH3)3COH NaCl. 6yOR OD FRQFeQWUDFLyQ GeO FORUXUR Ge WeUEXWLOR FRQWUROD OD UDSLGe] Ge OD UeDFFLyQ. 3eUR eQ OD UeDFFLyQ CH3Cl NaOH : CH3OH NaCl Ve FRQVXPe XQD PROpFXOD Ge KLGUy[LGR Ge VRGLR, 1D2+, SRU FDGD PROpFXOD Ge FORUXUR Ge PeWLOR, &+3&O, SRU OR TXe Ve IRUPD XQD PROpFXOD Ge DOFRKRO PeWtOLFR, &+32+ y XQD PROpFXOD Ge FORUXUR Ge VRGLR, 1D&O. (Q eVWe FDVR, OD UD]yQ FRQ TXe DYDQ]D OD UeDFFLyQ eV SURSRUFLRQDO DO SURGXFWR Ge ODV FRQFeQWUDFLRQeV Ge &+3&O y 1D2+ TXe TXeGDQ. 3DUD GeVFULELU eQ JeQeUDO eVWD VeJXQGD UeDFFLyQ, VXSRQJDPRV una PROpFXOD Ge XQD VXVWDQFLD A TXe Ve FRPELQD FRQ una PROpFXOD Ge XQD VXVWDQFLD B SDUD IRUPDU una PROpFXOD Ge XQD VXVWDQFLD C. 6L X GeQRWD OD FDQWLGDG Ge XQ TXtPLFR C IRUPDGR DO WLePSR t y VL y VRQ, UeVSeFWLYDPeQWe, ODV FDQWLGDGeV Ge ORV GRV TXtPLFRV A y B eQ t 0 (FDQWLGDGeV LQLFLDOeV), eQWRQFeV ODV FDQWLGDGeV LQVWDQWiQeDV QR FRQYeUWLGDV Ge A y B DO TXtPLFR C VRQ X y X, UeVSeFWLYDPeQWe. 3RU OR TXe OD UD]yQ Ge IRUPDFLyQ Ge C eVWi GDGD SRU dX (6) k( X)( X), dt GRQGe k eV XQD FRQVWDQWe Ge SURSRUFLRQDOLGDG. $ XQD UeDFFLyQ FXyR PRGeOR eV OD eFXDFLyQ (6) Ve Oe FRQRFe FRPR XQD reacción de segundo orden.

MEZCLAS $O Pe]FODU GRV VROXFLRQeV VDOLQDV Ge GLVWLQWDV FRQFeQWUDFLRQeV VXUJe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ, TXe Ge¿Qe OD FDQWLGDG Ge VDO FRQWeQLGD eQ OD Pe]FOD. 6XSRQJDPRV TXe XQ WDQTXe Pe]FODGRU JUDQGe FRQWLeQe LQLFLDOPeQWe 300 JDORQeV Ge VDOPXeUD (eV GeFLU, DJXD eQ OD TXe Ve KD GLVXeOWR XQD FDQWLGDG Ge VDO). 2WUD VROXFLyQ Ge VDOPXeUD eQWUD DO WDQTXe FRQ XQD UD]yQ Ge 3 JDORQeV SRU PLQXWR; OD FRQFeQWUDFLyQ Ge VDO TXe eQWUD eV Ge 2 OLEUDV/JDOyQ. &XDQGR OD VROXFLyQ eQ eO WDQTXe eVWi ELeQ Pe]FODGD, VDOe FRQ OD PLVPD UDSLGe] FRQ OD TXe eQWUD. 9eD OD ¿JXUD 1.3.1. 6L A(t) GeQRWD OD FDQWLGDG Ge VDO (PeGLGD eQ OLEUDV) eQ eO WDQTXe DO WLePSR t, eQWRQFeV OD UD]yQ FRQ OD TXe A(t) FDPELD eV XQD UD]yQ QeWD dA dt

razón de entrada de la sal

razón de salida de la sal

Rentra Rsale.

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(7)

1.3

razón de entrada de la salmuera 3 gal/min

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

O

23

/D UD]yQ Ge eQWUDGD Rentra FRQ OD TXe OD VDO eQWUD eQ eO WDQTXe eV eO SURGXFWR Ge OD FRQFeQWUDFLyQ Ge OD DÀXeQFLD Ge VDO y OD WDVD Ge ÀXMR Ge ÀXLGR. $GYLeUWD TXe Rentra Ve PLGe eQ OLEUDV SRU PLQXWR concentración razón de de sal en razón de entrada de la salmuera, entrada de la sal el fluido,

Rentra (2 lb/gal) (3 gal/min) (6 lb/min).

constante 300 gal

$KRUD, yD TXe OD VROXFLyQ VDOe GeO WDQTXe FRQ OD PLVPD UD]yQ FRQ OD TXe eQWUD, eO Q~PeUR Ge JDORQeV Ge OD VDOPXeUD eQ eO WDQTXe DO WLePSR t eV XQD FRQVWDQWe Ge 300 JDORQeV. 3RU OR TXe OD FRQFeQWUDFLyQ Ge OD VDO eQ eO WDQTXe DVt FRPR eQ eO ÀXMR Ge VDOLGD eV c(t) A(t) 300 OE/JDO, y SRU WDQWR, OD UD]yQ Ge VDOLGD Rsale Ge VDO eV

razón de salida de la salmuera 3 gal/min

FIGURA 1.3.1 7DQTXe Ge Pe]FODGR.

concentración de sal en el flujo razón de salida de salida de la salmuera

(

A(t) Rsale –––– lb/gal 300

)

razón de salida de la sal

A(t) (3 gal/min) –––– lb/min.

100

/D UD]yQ QeWD, eFXDFLyQ (7), eQWRQFeV VeUi dA dt

6

A o 100

dA dt

1 A 100

6.

(8)

6L rentra y rsale TXe GeQRWDQ UD]RQeV Ge eQWUDGD y Ge VDOLGD Ge ODV VROXFLRQeV Ge VDOPXeUD, eQWRQFeV KDy WUeV SRVLELOLGDGeV rentra rsale, rentra rsale y rentra rsale. (Q eO DQiOLVLV TXe FRQGXFe D (8) KePRV WRPDGR rentra rsale. (Q eVWRV GRV ~OWLPRV FDVRV eO Q~PeUR Ge JDORQeV Ge VDOPXeUD eQ eO WDQTXe eV FUeFLeQWe (rentra rsale) R GLVPLQXye (rentra rsale) D OD UD]yQ QeWD rentra rsale. 9pDQVe ORV SUREOePDV 10 D 12 eQ ORV eMeUFLFLRV 1.3.

Aw

h Ah

FIGURA 1.3.2 'UeQDGR Ge XQ WDQTXe.

DRENADO DE UN TANQUE (Q KLGURGLQiPLFD, OD ley de Torricelli eVWDEOeFe TXe OD UDSLGe] v Ge VDOLGD GeO DJXD D WUDYpV Ge XQ DJXMeUR Ge ERUGeV D¿ODGRV eQ eO IRQGR Ge XQ WDQTXe OOeQR FRQ DJXD KDVWD XQD SURIXQGLGDG h eV LJXDO D OD YeORFLGDG Ge XQ FXeUSR (eQ eVWe FDVR XQD JRWD Ge DJXD), TXe eVWi FDyeQGR OLEUePeQWe GeVGe XQD DOWXUD h, eVWR eV, v 12gh , GRQGe g eV OD DFeOeUDFLyQ Ge OD JUDYeGDG. (VWD ~OWLPD e[SUeVLyQ VXUJe DO LJXDODU OD eQeUJtD FLQpWLFD, 12 mv2 , FRQ OD eQeUJtD SRWeQFLDO, mgh, y Ve GeVSeMD v. 6XSRQJD TXe XQ WDQTXe OOeQR Ge DJXD Ve YDFtD D WUDYpV Ge XQ DJXMeUR, EDMR OD LQÀXeQFLD Ge OD JUDYeGDG. 4XeUePRV eQFRQWUDU OD SURIXQGLGDG, h, GeO DJXD TXe TXeGD eQ eO WDQTXe DO WLePSR t. &RQVLGeUe eO WDQTXe TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.2. 6L eO iUeD GeO DJXMeUR eV Ah, (eQ SLeV2) y OD UDSLGe] GeO DJXD TXe VDOe GeO WDQTXe eV v 12gh (eQ SLeV/V), eQWRQFeV eO YROXPeQ Ge DJXD TXe VDOe GeO WDQTXe, SRU VeJXQGR, eV Ah 12gh (eQ SLeV3/V). $Vt, VL V(t) GeQRWD DO YROXPeQ Ge DJXD eQ eO WDQTXe DO WLePSR t, eQWRQFeV dV Ah 2gh, (9) dt GRQGe eO VLJQR PeQRV LQGLFD TXe V eVWi GLVPLQXyeQGR. 2EVeUYe TXe DTXt eVWDPRV GeVSUeFLDQGR OD SRVLELOLGDG Ge IULFFLyQ eQ eO DJXMeUR, TXe SRGUtD FDXVDU XQD UeGXFFLyQ Ge OD UD]yQ Ge ÀXMR. 6L eO WDQTXe eV WDO TXe eO YROXPeQ GeO DJXD DO WLePSR t Ve e[SUeVD FRPR V(t) Awh, GRQGe Aw (eQ SLeV2) eV eO iUeD constante Ge OD VXSeU¿FLe VXSeULRU GeO DJXD (YeD OD ¿JXUD 1.3.2), eQWRQFeV dV dt Aw dh dt. 6XVWLWXyeQGR eVWD ~OWLPD e[SUeVLyQ eQ OD eFXDFLyQ (9) REWeQePRV OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe GeVeiEDPRV SDUD e[SUeVDU OD DOWXUD GeO DJXD DO WLePSR t dh Ah (10) 2gh. dt Aw (V LQWeUeVDQWe REVeUYDU TXe OD eFXDFLyQ (10) eV YiOLGD DXQ FXDQGR Aw QR VeD FRQVWDQWe. (Q eVWe FDVR, GeEePRV e[SUeVDU eO iUeD Ge OD VXSeU¿FLe VXSeULRU GeO DJXD eQ IXQFLyQ Ge h, eVWR eV, Aw A(h). 9eD eO SUREOePD 14 Ge ORV eMeUFLFLRV 1.3.

1R FRQIXQGD eVWRV VtPERORV FRQ R entra y R sale, TXe VRQ ODV UD]RQeV Ge eQWUDGD y VDOLGD Ge sal.

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24

UNIDAD 1

O

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

L

E(t)

R

C

a) Circuito(a) en serie- LRC Inductor inductancia L: henrys (h) di caída de voltaje: L dt

L

Resistor resistencia R: ohms (Ω) caída de voltaje: iR

R

Capacitor capacitancia C: farads (f) 1 caída de voltaje: q C

i

LQGXFWRU

UeVLVWRU

d 2q L 2, dt

di L dt

iR

dq R , dt

FDSDFLWRU

y

1 q C

e LJXDODQGR OD VXPD Ge ORV YROWDMeV FRQ eO YROWDMe DSOLFDGR Ve REWLeQe OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge VeJXQGR RUGeQ

i

i

CIRCUITOS EN SERIE &RQVLGeUe eO FLUFXLWR eQ VeULe VLPSOe TXe WLeQe XQ LQGXFWRU, XQ UeVLVWRU y XQ FDSDFLWRU TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.3(D). (Q XQ FLUFXLWR FRQ eO LQWeUUXSWRU FeUUDGR, OD FRUULeQWe Ve GeQRWD SRU i(t) y OD FDUJD eQ eO FDSDFLWRU DO WLePSR t Ve GeQRWD SRU q(t). /DV OeWUDV L, R y C VRQ FRQRFLGDV FRPR LQGXFWDQFLD, UeVLVWeQFLD y FDSDFLWDQFLD, UeVSeFWLYDPeQWe, y eQ JeQeUDO VRQ FRQVWDQWeV. $KRUD, Ge DFXeUGR FRQ OD segunda ley de Kirchhoff, eO YROWDMe DSOLFDGR E(t) D XQ FLUFXLWR FeUUDGR GeEe VeU LJXDO D OD VXPD Ge ODV FDtGDV Ge YROWDMe eQ eO FLUFXLWR. /D ¿JXUD 1.3.3(E) PXeVWUD ORV VtPERORV y IyUPXODV Ge ODV FDtGDV UeVSeFWLYDV Ge YROWDMe D WUDYpV Ge XQ LQGXFWRU, XQ FDSDFLWRU y XQ UeVLVWRU. &RPR OD FRUULeQWe i(t) eVWi UeODFLRQDGD FRQ OD FDUJD q(t) eQ eO FDSDFLWRU PeGLDQWe i dq dt, VXPDPRV ORV WUeV YROWDMeV

C

b) (b)

FIGURA 1.3.3 6tPERORV, XQLGDGeV y YROWDMeV. &RUULeQWe i(t) y FDUJD q(t) eVWiQ PeGLGDV eQ DPSeUeV ($) y eQ FRXORPEV (&), UeVSeFWLYDPeQWe.

L

d 2q dt2

R

dq dt

1 q C

E(t).

(11)

CUERPOS EN CAÍDA 3DUD eVWDEOeFeU XQ PRGeOR PDWePiWLFR GeO PRYLPLeQWR Ge XQ FXeUSR TXe Ve PXeYe eQ XQ FDPSR Ge IXeU]DV, FRQ IUeFXeQFLD Ve FRPLeQ]D FRQ OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ. 5eFRUGePRV, Ge OD ItVLFD eOePeQWDO, TXe OD primera ley del movimiento de Newton eVWDEOeFe TXe XQ FXeUSR SeUPDQeFeUi eQ UeSRVR R FRQWLQXDUi PRYLpQGRVe FRQ XQD YeORFLGDG FRQVWDQWe D PeQRV TXe VeD VRPeWLGR D XQD IXeU]D e[WeUQD. (Q ORV GRV FDVRV, eVWR eTXLYDOe D GeFLU TXe FXDQGR OD VXPD Ge ODV IXeU]DV F Fk , eVWR eV, OD IXeU]D neta R IXeU]D UeVXOWDQWe, TXe DFW~D VREUe eO FXeUSR eV FeUR, OD DFeOeUDFLyQ a GeO FXeUSR eV FeUR. /D segunda ley del movimiento de Newton LQGLFD TXe FXDQGR OD IXeU]D QeWD TXe DFW~D VREUe XQ FXeUSR QR eV FeUR, eQWRQFeV OD IXeU]D QeWD eV SURSRUFLRQDO D VX DFeOeUDFLyQ a R, PiV e[DFWDPeQWe, F ma, GRQGe m eV OD PDVD GeO FXeUSR. 6XSRQJDPRV DKRUD TXe Ve DUURMD XQD SLeGUD KDFLD DUULED GeVGe eO WeFKR Ge XQ eGL¿FLR FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.4. ¢&XiO eV OD SRVLFLyQ s(t) Ge OD SLeGUD UeVSeFWR DO VXeOR DO WLePSR t" /D DFeOeUDFLyQ Ge OD SLeGUD eV OD VeJXQGD GeULYDGD d 2s dt 2. 6L VXSRQePRV TXe OD GLUeFFLyQ KDFLD DUULED eV SRVLWLYD y TXe QR KDy RWUD IXeU]D, DGePiV Ge OD IXeU]D Ge OD JUDYeGDG, TXe DFW~e VREUe OD SLeGUD, eQWRQFeV XWLOL]DQGR OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ Ve WLeQe TXe d 2s d 2s (12) mg o g.

2 dt dt 2 (Q RWUDV SDODEUDV, OD IXeU]D QeWD eV VLPSOePeQWe eO SeVR F F1 W Ge OD SLeGUD FeUFD Ge OD VXSeU¿FLe Ge OD 7LeUUD. 5eFXeUGe TXe OD PDJQLWXG GeO SeVR eV W mg, GRQGe m eV OD PDVD GeO FXeUSR y g eV OD DFeOeUDFLyQ GeELGD D OD JUDYeGDG. (O VLJQR PeQRV eQ OD eFXDFLyQ (12) Ve XVD SRUTXe eO SeVR Ge OD SLeGUD eV XQD IXeU]D GLULJLGD KDFLD DEDMR, TXe eV RSXeVWD D OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD. 6L OD DOWXUD GeO eGL¿FLR eV s0 y OD YeORFLGDG LQLFLDO Ge OD URFD eV v0, eQWRQFeV s Ve GeWeUPLQD D SDUWLU GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV Ge VeJXQGR RUGeQ m

v0

piedra

s0 s(t)

edificio suelo

FIGURA 1.3.4 3RVLFLyQ Ge OD SLeGUD PeGLGD GeVGe eO QLYeO GeO VXeOR.

d 2s g, s(0) s0, s (0) v0.

(13) dt 2 $XQTXe QR KePRV LQGLFDGR VROXFLRQeV Ge ODV eFXDFLRQeV TXe Ve KDQ IRUPXODGR, REVeUYe TXe OD eFXDFLyQ 13 Ve SXeGe UeVROYeU LQWeJUDQGR GRV YeFeV UeVSeFWR D t OD FRQVWDQWe –g. /DV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV GeWeUPLQDQ ODV GRV FRQVWDQWeV Ge LQWeJUDFLyQ. 'e OD ItVLFD eOePeQWDO SRGUtD UeFRQRFeU OD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ (13) FRPR OD IyUPXOD 1 2 s(t) v0 t s0.

2 gt CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE $QWeV GeO IDPRVR e[SeULPeQWR GeO ItVLFR y PDWePiWLFR LWDOLDQR *DOLOeR *DOLOeL (1564-1642) Ge OD WRUUe LQFOLQDGD Ge 3LVD, JeQeUDOPeQWe Ve FUetD TXe ORV REMeWRV PiV SeVDGRV eQ FDtGD OLEUe, FRPR XQD

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1.3

kv dirección positiva

resistencia del aire

gravedad mg

FIGURA 1.3.5 &XeUSR Ge PDVD m FDyeQGR.

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

O

25

EDOD Ge FDxyQ, FDtDQ FRQ XQD DFeOeUDFLyQ PDyRU TXe ORV REMeWRV OLJeURV FRPR XQD SOXPD. 2EYLDPeQWe, XQD EDOD Ge FDxyQ y XQD SOXPD FXDQGR Ve GeMDQ FDeU VLPXOWiQeDPeQWe GeVGe OD PLVPD DOWXUD UeDOPeQWe caen eQ WLePSRV GLIeUeQWeV, SeUR eVWR QR eV SRUTXe XQD EDOD Ge FDxyQ VeD PiV SeVDGD. /D GLIeUeQFLD eQ ORV WLePSRV Ve GeEe D OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe. (Q eO PRGeOR TXe Ve SUeVeQWy eQ OD eFXDFLyQ (13) Ve GeVSUeFLy OD IXeU]D Ge OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe. %DMR FLeUWDV FLUFXQVWDQFLDV, XQ FXeUSR Ge PDVD m TXe FDe, WDO FRPR XQD SOXPD, FRQ GeQVLGDG SeTXexD y IRUPD LUUeJXODU, eQFXeQWUD XQD UeVLVWeQFLD GeO DLUe TXe eV SURSRUFLRQDO D VX YeORFLGDG LQVWDQWiQeD v. 6L eQ eVWe FDVR WRPDPRV OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD GLULJLGD KDFLD DEDMR, eQWRQFeV OD IXeU]D QeWD TXe eVWi DFWXDQGR VREUe OD PDVD eVWi GDGD SRU F F1 F2 mg kv, GRQGe eO SeVR F1 mg GeO FXeUSR eV XQD IXeU]D TXe DFW~D eQ OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD y OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe F2 kv eV XQD IXeU]D, TXe Ve OODPD Ge amortiguamiento viscoso, TXe DFW~D eQ OD GLUeFFLyQ FRQWUDULD R KDFLD DUULED. 9eD OD ¿JXUD 1.3.5. $KRUD, SXeVWR TXe v eVWi UeODFLRQDGD FRQ OD DFeOeUDFLyQ a PeGLDQWe a dv dt, OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ VeUi F ma m dv dt. $O LJXDODU OD IXeU]D QeWD FRQ eVWD IRUPD Ge OD VeJXQGD Oey, REWeQePRV XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD YeORFLGDG v(t) GeO FXeUSR DO WLePSR t, m

dv dt

mg

(14)

kv.

$TXt k eV XQD FRQVWDQWe SRVLWLYD Ge SURSRUFLRQDOLGDG. 6L s(t) eV OD GLVWDQFLD TXe eO FXeUSR KD FDtGR DO WLePSR t GeVGe VX SXQWR LQLFLDO R Ge OLEeUDFLyQ, eQWRQFeV v ds dt y a dv dt d 2s dt 2. (Q WpUPLQRV Ge s, OD eFXDFLyQ (14) eV XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge VeJXQGR RUGeQ. m

a) cable de suspensión de un puente

b) alambres de teléfonos

FIGURA 1.3.6 &DEOeV VXVSeQGLGRV eQWUe VRSRUWeV YeUWLFDOeV.

y

T2 T2 sen θ P2

alambre T1

P1 (0, a)

W (x, 0)

θ

T2 cos θ

x

FIGURA 1.3.7 (OePeQWR GeO FDEOe.

d 2s dt 2

mg

k

ds dt

o

m

d 2s dt 2

k

ds dt

mg.

(15)

CABLES SUSPENDIDOS ,PDJLQe TXe XQ FDEOe Àe[LEOe, XQ DODPEUe R XQD FXeUGD SeVDGD TXe eVWi VXVSeQGLGD eQWUe GRV VRSRUWeV YeUWLFDOeV. (MePSOR ItVLFRV Ge eVWR SRGUtDQ VeU XQR Ge ORV GRV FDEOeV TXe VRSRUWDQ eO ¿UPe Ge XQ SXeQWe Ge VXVSeQVLyQ FRPR eO TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.6(D) R XQ FDEOe WeOeIyQLFR ODUJR eQWUe GRV SRVWeV FRPR eO TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.6(E). 1XeVWUR REMeWLYR eV FRQVWUXLU XQ PRGeOR PDWePiWLFR TXe GeVFULED OD IRUPD TXe WLeQe eO FDEOe. 3DUD FRPeQ]DU, e[DPLQDUePRV VyOR XQD SDUWe R eOePeQWR GeO FDEOe eQWUe VX SXQWR PiV EDMR P1 y FXDOTXLeU SXQWR DUELWUDULR P2. 6exDODGR eQ OD ¿JXUD 1.3.7, eVWe eOePeQWR Ge FDEOe eV OD FXUYD eQ XQ VLVWePD Ge FRRUGeQDGD UeFWDQJXODU eOLJLeQGR DO eMe y SDUD TXe SDVe D WUDYpV GeO SXQWR PiV EDMR P1 Ge OD FXUYD y eOLJLeQGR DO eMe x SDUD TXe SDVe D a XQLGDGeV GeEDMR Ge P1. 6REUe eO FDEOe DFW~DQ WUeV IXeU]DV ODV WeQVLRQeV T1 y T2 eQ eO FDEOe TXe VRQ WDQJeQWeV DO FDEOe eQ P1 y P2, UeVSeFWLYDPeQWe, y OD SDUWe W Ge OD FDUJD WRWDO YeUWLFDO eQWUe ORV SXQWRV P1 y P2. 6eD TXe T1 T1 , T2 T2 , y W W GeQRWeQ ODV PDJQLWXGeV Ge eVWRV YeFWRUeV. $KRUD OD WeQVLyQ T2 Ve GeVFRPSRQe eQ VXV FRPSRQeQWeV KRUL]RQWDO y YeUWLFDO (FDQWLGDGeV eVFDODUeV) T2 FRV y T2 VeQ . 'eELGR DO eTXLOLEULR eVWiWLFR SRGePRV eVFULELU y W T2 sen .

T1 T2 cos $O GLYLGLU OD XOWLPD eFXDFLyQ eQWUe OD SULPeUD, eOLPLQDPRV T2 y REWeQePRV WDQ W T1. 3eUR SXeVWR TXe dy dx WDQ , OOeJDPRV D dy W (16) . dx T1 (VWD VeQFLOOD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ VLUYe FRPR PRGeOR WDQWR SDUD PRGeODU OD IRUPD Ge XQ DODPEUe Àe[LEOe FRPR eO FDEOe WeOeIyQLFR FROJDGR EDMR VX SURSLR SeVR, R SDUD PRGeODU OD IRUPD Ge ORV FDEOeV TXe VRSRUWDQ eO ¿UPe Ge XQ SXeQWe VXVSeQGLGR. 5eJUeVDUePRV D OD eFXDFLyQ (16) eQ ORV eMeUFLFLRV 2.2 y eQ OD VeFFLyQ 5.3.

LO QUE NOS ESPERA (Q eVWe OLEUR YeUePRV WUeV WLSRV Ge PpWRGRV SDUD eO DQiOLVLV Ge ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV. 3RU VLJORV ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV KDQ VXUJLGR Ge ORV eVIXeU]RV Ge FLeQWt¿FRV R LQJeQLeURV SDUD GeVFULELU DOJ~Q IeQyPeQR ItVLFR R SDUD WUDGXFLU XQD

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26

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Oey ePStULFD R e[SeULPeQWDO eQ WpUPLQRV PDWePiWLFRV. &RPR FRQVeFXeQFLD, eO FLeQWt¿FR, LQJeQLeUR R PDWePiWLFR IUeFXeQWePeQWe SDVDUtD PXFKRV DxRV Ge VX YLGD WUDWDQGR Ge eQFRQWUDU ODV VROXFLRQeV Ge XQD ('. &RQ XQD VROXFLyQ eQ OD PDQR, Ve SURVLJXe FRQ eO eVWXGLR Ge VXV SURSLeGDGeV. $ eVWD E~VTXeGD Ge VROXFLRQeV Ve Oe OODPD método analítico SDUD ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV. 8QD Ye] TXe FRPSUeQGLeURQ TXe ODV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV eUDQ PXy GLItFLOeV Ge REWeQeU y eQ eO SeRU Ge ORV FDVRV LPSRVLEOeV Ge REWeQeU, ORV PDWePiWLFRV DSUeQGLeURQ TXe ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV SRGUtDQ VeU XQD IXeQWe Ge LQIRUPDFLyQ YDOLRVD eQ Vt PLVPDV. (V SRVLEOe, eQ DOJXQRV FDVRV, FRQWeVWDU SUeJXQWDV FRPR ODV VLJXLeQWeV GLUeFWDPeQWe Ge ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV ¿en realidad la ED tiene soluciones? Si una solución de la ED existe y satisface una condición inicial, ¿es única esa solución? ¿Cuáles son algunas propiedades de las soluciones desconocidas? ¿Qué podemos decir acerca de la geometría de las curvas de solución? (VWe PpWRGR eV DQiOLVLV FXDOLWDWLYR. 3RU ~OWLPR, VL XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO QR Ve SXeGe UeVROYeU SRU PpWRGRV DQDOtWLFRV, D~Q DVt SRGePRV GePRVWUDU TXe XQD VROXFLyQ e[LVWe; OD VLJXLeQWe SUeJXQWD OyJLFD eV ¢de qué modo podemos aproximarnos a los valores de una solución desconocida? $TXt eQWUDPRV DO UeLQR GeO análisis numérico. 8QD UeVSXeVWD D¿UPDWLYD D OD ~OWLPD SUeJXQWD Ve EDVD eQ eO KeFKR Ge TXe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ve SXeGe XVDU FRPR XQ SULQFLSLR EiVLFR SDUD OD FRQVWUXFFLyQ Ge DOJRULWPRV Ge DSUR[LPDFLyQ PXy e[DFWRV. (Q eO FDStWXOR 2 FRPeQ]DUePRV FRQ FRQVLGeUDFLRQeV FXDOLWDWLYDV Ge ODV ('2 Ge SULPeU RUGeQ, GeVSXpV DQDOL]DUePRV ORV DUWL¿FLRV DQDOtWLFRV SDUD UeVROYeU DOJXQDV eFXDFLRQeV eVSeFLDOeV Ge SULPeU RUGeQ y FRQFOXLUePRV FRQ XQD LQWURGXFFLyQ D XQ PpWRGR QXPpULFR eOePeQWDO. 9eD OD ¿JXUD 1.3.8.

COMENTARIOS &DGD eMePSOR Ge eVWD VeFFLyQ KD GeVFULWR XQ VLVWePD GLQiPLFR, XQ VLVWePD TXe FDPELD R eYROXFLRQD FRQ eO SDVR GeO WLePSR t. 3XeVWR TXe eQ OD DFWXDOLGDG eO eVWXGLR Ge ORV VLVWePDV GLQiPLFRV eV XQD UDPD Ge ODV PDWePiWLFDV TXe eVWi Ge PRGD, D YeFeV XWLOL]DUePRV OD WeUPLQRORJtD Ge eVD UDPD eQ QXeVWURV DQiOLVLV. (Q WpUPLQRV PiV SUeFLVRV, XQ sistema dinámico FRQVLVWe eQ XQ FRQMXQWR Ge YDULDEOeV GeSeQGLeQWeV GeO WLePSR, TXe Ve OODPDQ YDULDEOeV Ge eVWDGR, MXQWR FRQ XQD UeJOD TXe SeUPLWD GeWeUPLQDU (VLQ DPELJ eGDGeV) eO eVWDGR GeO VLVWePD (TXe SXeGe VeU SDVDGR, SUeVeQWe R IXWXUR) eQ WpUPLQRV Ge XQ eVWDGR SUeVFULWR DO WLePSR t0. /RV VLVWePDV GLQiPLFRV Ve FODVL¿FDQ yD VeD FRPR VLVWePDV GLVFUeWRV R FRQWLQXRV eQ eO WLePSR, R Ge WLePSRV GLVFUeWRV R FRQWLQXRV. (Q eVWe FXUVR VyOR QRV RFXSDUePRV Ge ORV VLVWePDV GLQiPLFRV FRQWLQXRV eQ eO WLePSR, VLVWePDV eQ ORV TXe todas ODV YDULDEOeV eVWiQ Ge¿QLGDV GeQWUR Ge XQ LQWeUYDOR FRQWLQXR Ge WLePSR. /D UeJOD R PRGeOR PDWePiWLFR eQ XQ VLVWePD GLQiPLFR FRQWLQXR eQ eO WLePSR eV XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO R VLVWePD Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV. (O estado del sistema DO WLePSR t eV eO YDORU Ge ODV YDULDEOeV Ge eVWDGR eQ eVe LQVWDQWe; eO eVWDGR eVSeFL¿FDGR GeO VLVWePD DO WLePSR t0 VRQ VLPSOePeQWe ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV TXe DFRPSDxDQ DO PRGeOR ¡HÁBLAME!

y' = f (y)

(a) analítico

(b) cualitativo

(c) numérico

FIGURA 1.3.8 'LIeUeQWeV PpWRGRV SDUD eO eVWXGLR Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV.

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1.3

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

O

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PDWePiWLFR. /D VROXFLyQ Ge XQ SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV Ve OODPD respuesta del sistema. 3RU eMePSOR, eQ eO FDVR GeO GeFDLPLeQWR UDGLDFWLYR, OD UeJOD eV dA dt kA. $KRUD, VL Ve FRQRFe OD FDQWLGDG Ge VXVWDQFLD UDGLDFWLYD DO WLePSR t0, GLJDPRV A(t0) A0, eQWRQFeV, DO UeVROYeU OD UeJOD Ve eQFXeQWUD TXe OD UeVSXeVWD GeO VLVWePD SDUD t t0 eV A(t) A0 e (t t0). /D UeVSXeVWD A(t) eV OD ~QLFD YDULDEOe Ge eVWDGR SDUD eVWe VLVWePD. (Q eO FDVR Ge OD SLeGUD DUURMDGD GeVGe eO WeFKR Ge XQ eGL¿FLR, OD UeVSXeVWD GeO VLVWePD, eV GeFLU, OD VROXFLyQ D OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO d 2s dt 2 g, VXMeWD DO eVWDGR LQLFLDO s(0) s0, s (0) v0, eV OD IXQFLyQ 1 2 s(t) v0 t s0; 0 t T, GRQGe T UeSUeVeQWD eO YDORU GeO WLePSR eQ 2 gt TXe OD SLeGUD JROSeD eQ eO VXeOR. /DV YDULDEOeV Ge eVWDGR VRQ s(t) y s (t), OD SRVLFLyQ y OD YeORFLGDG YeUWLFDOeV Ge OD SLeGUD, UeVSeFWLYDPeQWe. /D DFeOeUDFLyQ, s (t), no eV XQD YDULDEOe Ge eVWDGR yD TXe VyOR Ve FRQRFeQ OD SRVLFLyQ y OD YeORFLGDG LQLFLDOeV DO WLePSR t0 SDUD GeWeUPLQDU, eQ IRUPD ~QLFD, OD SRVLFLyQ s(t) y OD YeORFLGDG s (t) v(t) Ge OD SLeGUD eQ FXDOTXLeU PRPeQWR GeO LQWeUYDOR t0 t T. /D DFeOeUDFLyQ, s (t) a(t) eVWi, SRU VXSXeVWR, GDGD SRU OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO s (t) g, 0 t T. 8Q ~OWLPR SXQWR 1R WRGRV ORV VLVWePDV TXe Ve eVWXGLDQ eQ eVWe OLEUR VRQ VLVWePDV GLQiPLFRV. ([DPLQDUePRV DOJXQRV VLVWePDV eVWiWLFRV eQ ORV TXe eO PRGeOR eV XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO.

EJERCICIOS 1.3

Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1.

Dinámica poblacional 1. &RQ EDVe eQ ODV PLVPDV KLSyWeVLV GeWUiV GeO PRGeOR Ge OD eFXDFLyQ (1), GeWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD SREODFLyQ P(t) Ge XQ SDtV FXDQGR Ve OeV SeUPLWe D ODV SeUVRQDV LQPLJUDU D XQ SDtV FRQ XQD UD]yQ FRQVWDQWe r 0. ¢&XiO eV OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD SREODFLyQ P(t) GeO SDtV FXDQGR Ve OeV SeUPLWe D ODV SeUVRQDV ePLJUDU GeO SDtV FRQ XQD UD]yQ FRQVWDQWe r 0" 2. (O PRGeOR Ge SREODFLyQ GDGR eQ OD eFXDFLyQ (1) IDOOD DO QR FRQVLGeUDU OD WDVD Ge PRUWDOLGDG; OD UD]yQ Ge FUeFLPLeQWR eV LJXDO D OD WDVD Ge QDWDOLGDG. (Q RWUR PRGeOR GeO FDPELR Ge SREODFLyQ Ge XQD FRPXQLGDG Ve VXSRQe TXe OD UD]yQ Ge FDPELR Ge OD SREODFLyQ eV XQD UD]yQ neta, eV GeFLU, OD GLIeUeQFLD eQWUe OD WDVD Ge QDWDOLGDG y OD Ge PRUWDOLGDG eQ OD FRPXQLGDG. 'eWeUPLQe XQ PRGeOR SDUD OD SREODFLyQ P(t) VL WDQWR OD WDVD Ge QDWDOLGDG y OD PRUWDOLGDG VRQ SURSRUFLRQDOeV D OD SREODFLyQ SUeVeQWe DO WLePSR t 0.

3. 8WLOLFe eO FRQFeSWR Ge UD]yQ QeWD LQWURGXFLGR eQ eO SUREOePD 2 SDUD GeWeUPLQDU XQ PRGeOR SDUD XQD SREODFLyQ P(t) VL OD WDVD Ge QDWDOLGDG eV SURSRUFLRQDO D OD SREODFLyQ SUeVeQWe DO WLePSR t, SeUR OD WDVD Ge PRUWDOLGDG eV SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR Ge OD SREODFLyQ SUeVeQWe DO WLePSR t.

4. 0RGL¿TXe eO SUREOePD 3 SDUD OD UD]yQ QeWD FRQ OD TXe OD SREODFLyQ P(t) Ge XQD FLeUWD FODVe Ge Se] FDPELD DO VXSRQeU TXe eO Se] eVWi VLeQGR SeVFDGR FRQ XQD UD]yQ FRQVWDQWe h 0.

Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton 5. 8QD WD]D Ge FDIp Ve eQIUtD Ge DFXeUGR FRQ OD Oey Ge eQIULDPLeQWR Ge 1eZWRQ, eFXDFLyQ (3). 8WLOLFe ORV GDWRV Ge OD

JUi¿FD Ge OD WePSeUDWXUD T(t) eQ OD ¿JXUD 1.3.9 SDUD eVWLPDU ODV FRQVWDQWeV Tm, T0 y k eQ XQ PRGeOR Ge OD IRUPD Ge XQ SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV Ge SULPeU RUGeQ dT dt k (T Tm), T(0) T0.

T 200 150 100 50

0

25

50 75 minutos

100

t

FIGURA 1.3.9 &XUYD Ge eQIULDPLeQWR eQ eO SUREOePD 5.

6. /D WePSeUDWXUD DPELeQWe Tm eQ OD eFXDFLyQ (3) SRGUtD VeU XQD IXQFLyQ GeO WLePSR t. 6XSRQJD TXe eQ XQ PeGLR DPELeQWe FRQWURODGR, Tm(t) eV SeULyGLFD FRQ XQ SeULRGR Ge 24 KRUDV, FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.10. 'LVexe XQ PRGeOR PDWePiWLFR SDUD OD WePSeUDWXUD T(t) Ge XQ FXeUSR GeQWUR Ge eVWe PeGLR DPELeQWe. Propagación de una enfermedad/tecnología 7. 6XSRQJD TXe XQ DOXPQR eV SRUWDGRU GeO YLUXV Ge OD JULSe y UeJUeVD DO DSDUWDGR FDPSXV Ge VX XQLYeUVLGDG Ge 1000 eVWXGLDQWeV. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD eO Q~PeUR Ge SeUVRQDV x(t) TXe FRQWUDeUiQ OD JULSe VL OD UD]yQ FRQ OD TXe OD eQIeUPeGDG Ve SURSDJD eV SURSRUFLRQDO DO Q~PeUR Ge LQWeUDFFLRQeV eQWUe eO Q~PeUR Ge eVWXGLDQWeV TXe WLeQe JULSe y eO Q~PeUR Ge eVWXGLDQWeV TXe D~Q QR Ve KDQ e[SXeVWR D eOOD.

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UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

eO DJXD VDOe D WUDYpV GeO DJXMeUR, OD IULFFLyQ y OD FRQWUDFFLyQ Ge OD FRUULeQWe FeUFD GeO DJXMeUR UeGXFeQ eO YROXPeQ Ge DJXD TXe VDOe GeO WDQTXe SRU VeJXQGR D cAh 12gh , GRQGe c (0 c 1) eV XQD FRQVWDQWe ePStULFD. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD DOWXUD h GeO DJXD DO WLePSR t SDUD eO WDQTXe F~ELFR TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.11. (O UDGLR GeO DJXMeUR eV Ge 2 SXOJ, y g 32 SLeV/V2.

Tm (t) 120

100 80 60 40

Aw

20

10 pies

0

12

24

36

48

media medio media medio media noche día noche día noche

t

h

FIGURA 1.3.10 7ePSeUDWXUD DPELeQWe eQ eO SUREOePD 6.

8. $O WLePSR GeQRWDGR SRU t 0, Ve LQWURGXFe XQD LQQRYDFLyQ WeFQROyJLFD eQ XQD FRPXQLGDG TXe WLeQe XQD FDQWLGDG ¿MD Ge n SeUVRQDV. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD eO Q~PeUR Ge SeUVRQDV x(t) TXe KDyDQ DGRSWDGR OD LQQRYDFLyQ DO WLePSR t VL Ve VXSRQe TXe OD UD]yQ FRQ OD TXe Ve SURSDJD OD LQQRYDFLyQ eV FRQMXQWDPeQWe SURSRUFLRQDO DO Q~PeUR Ge SeUVRQDV TXe yD OD KDQ DGRSWDGR y DO Q~PeUR Ge SeUVRQDV TXe QR OD KDQ DGRSWDGR. Mezclas 9. 6XSRQJD TXe XQ WDQTXe JUDQGe Ge Pe]FODGR FRQWLeQe LQLFLDOPeQWe 300 JDORQeV Ge DJXD eQ ORV TXe Ve GLVROYLeURQ 50 OLEUDV Ge VDO. (QWUD DJXD SXUD D XQD UD]yQ Ge 3 JDO/PLQ y FXDQGR OD VROXFLyQ eVWi ELeQ UeYXeOWD, VDOe D OD PLVPD UD]yQ. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe e[SUeVe OD FDQWLGDG A(t) Ge VDO TXe KDy eQ eO WDQTXe DO WLePSR t. ¢&XiQWR YDOe A(0)" 10. 6XSRQJD TXe XQ WDQTXe JUDQGe Ge Pe]FODGR FRQWLeQe LQLFLDOPeQWe 300 JDORQeV Ge DJXD, eQ ORV TXe Ve KDQ GLVXeOWR 50 OLEUDV Ge VDO. 2WUD VDOPXeUD LQWURGXFLGD DO WDQTXe D XQD UD]yQ Ge 3 JDO/PLQ y FXDQGR OD VROXFLyQ eVWi ELeQ Pe]FODGD VDOe D XQD UD]yQ lenta Ge 2 JDO/PLQ. 6L OD FRQFeQWUDFLyQ Ge OD VROXFLyQ TXe eQWUD eV 2 OE/JDO, GeWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe e[SUeVe OD FDQWLGDG Ge VDO A(t) TXe KDy eQ eO WDQTXe DO WLePSR t.

11. ¢&XiO eV OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GeO SUREOePD 10, VL OD VROXFLyQ ELeQ Pe]FODGD VDOe D XQD UD]yQ más rápida Ge 3.5 JDO/PLQ" 12. *eQeUDOLFe eO PRGeOR GDGR eQ OD eFXDFLyQ (8) Ge OD SiJLQD 23, VXSRQLeQGR TXe eO JUDQ WDQTXe FRQWLeQe LQLFLDOPeQWe N0 Q~PeUR Ge JDORQeV Ge VDOPXeUD, rentra y rsale VRQ ODV UD]RQeV Ge eQWUDGD y VDOLGD Ge OD VDOPXeUD, UeVSeFWLYDPeQWe (PeGLGDV eQ JDORQeV SRU PLQXWR), centra eV OD FRQFeQWUDFLyQ Ge VDO eQ eO ÀXMR TXe eQWUD, c(t) eV OD FRQFeQWUDFLyQ Ge VDO eQ eO WDQTXe DVt FRPR eQ eO ÀXMR TXe VDOe DO WLePSR t (PeGLGD eQ OLEUDV Ge VDO SRU JDOyQ), y A(t) eV OD FDQWLGDG Ge VDO eQ eO WDQTXe DO WLePSR t 0.

agujero circular

FIGURA 1.3.11 7DQTXe F~ELFR GeO SUREOePD 13.

14. 'eO WDQTXe FyQLFR UeFWDQJXODU UeFWR TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.12 VDOe DJXD SRU XQ DJXMeUR FLUFXODU TXe eVWi eQ eO IRQGR. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD DOWXUD h GeO DJXD DO WLePSR t 0. (O UDGLR GeO DJXMeUR eV 2 SXOJ, g 32 SLeV/V2, y eO IDFWRU Ge IULFFLyQ/FRQWUDFFLyQ LQWURGXFLGR eQ eO SUREOePD 13 eV c 0.6.

8 pies Aw h

20 pies

agujero circular

FIGURA 1.3.12 7DQTXe FyQLFR GeO SUREOePD 14.

Circuitos en serie 15. 8Q FLUFXLWR eQ VeULe WLeQe XQ UeVLVWRU y XQ LQGXFWRU FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.13. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD FRUULeQWe i(t) VL OD UeVLVWeQFLD eV R, OD LQGXFWDQFLD eV L y eO YROWDMe DSOLFDGR eV E(t).

16. 8Q FLUFXLWR eQ VeULe FRQWLeQe XQ UeVLVWRU y XQ FDSDFLWRU FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.14. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe e[SUeVe OD FDUJD q(t) eQ eO FDSDFLWRU, VL OD UeVLVWeQFLD eV R, OD FDSDFLWDQFLD eV C y eO YROWDMe DSOLFDGR eV E(t).

E

L

R

FIGURA 1.3.13 &LUFXLWR eQ VeULe LR GeO SUREOePD 15.

R E

Drenado de un tanque 13. 6XSRQJD TXe eVWi VDOLeQGR DJXD Ge XQ WDQTXe D WUDYpV Ge XQ DJXMeUR FLUFXODU Ge iUeD Ah TXe eVWi eQ eO IRQGR. &XDQGR

C

FIGURA 1.3.14 &LUFXLWR RC eQ VeULe GeO SUREOePD 16.

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1.3

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

O

29

s/2 s/2 0

kv2

SKYD IVING MADE EASY

mg

a)

superficie

0

y(t)

b)

FIGURA 1.3.16 0RYLPLeQWR RVFLODWRULR GeO EDUULO ÀRWDQGR GeO SUREOePD 18.

FIGURA 1.3.15 5eVLVWeQFLD GeO DLUe SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR Ge OD YeORFLGDG GeO SUREOePD 17.

Caída libre y resistencia del aire 17. 3DUD PRYLPLeQWRV Ge JUDQ UDSLGe] eQ eO DLUe, FRPR eO GeO SDUDFDLGLVWD TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.15, TXe eVWi FDyeQGR DQWeV Ge TXe Ve DEUD eO SDUDFDtGDV, OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe eV FeUFDQD D XQD SRWeQFLD Ge OD YeORFLGDG LQVWDQWiQeD v(t). 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD YeORFLGDG v(t) Ge XQ FXeUSR Ge PDVD m TXe FDe, VL OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe eV SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR Ge OD YeORFLGDG LQVWDQWiQeD. Segunda ley de Newton y Principio de Arquímedes 18. 8Q EDUULO FLOtQGULFR Ge s SLeV Ge GLiPeWUR y w OE Ge SeVR, eVWi ÀRWDQGR eQ DJXD FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.16(D). 'eVSXpV Ge XQ KXQGLPLeQWR LQLFLDO, eO EDUULO SUeVeQWD XQ PRYLPLeQWR RVFLODWRULR, KDFLD DUULED y KDFLD DEDMR, D OR ODUJR Ge OD YeUWLFDO. 8WLOL]DQGR OD ¿JXUD 1.3.16(E), Ge¿QD XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD eVWDEOeFeU eO GeVSOD]DPLeQWR YeUWLFDO y(t), VL Ve VXSRQe TXe eO RULJeQ eVWi eQ eO eMe YeUWLFDO y eQ OD VXSeU¿FLe GeO DJXD FXDQGR eO EDUULO eVWi eQ UeSRVR. 8Ve eO Principio de Arquímedes OD IXeU]D Ge ÀRWDFLyQ R KDFLD DUULED TXe eMeUFe eO DJXD VREUe eO EDUULO eV LJXDO DO SeVR GeO DJXD GeVSOD]DGD. 6XSRQJD TXe OD GLUeFFLyQ KDFLD DEDMR eV SRVLWLYD, TXe OD GeQVLGDG Ge PDVD GeO DJXD eV 62.4 OE/SLeV3 y TXe QR KDy UeVLVWeQFLD eQWUe eO EDUULO y eO DJXD. Segunda ley de Newton y ley de Hooke 19. 'eVSXpV Ge TXe Ve ¿MD XQD PDVD m D XQ UeVRUWe, pVWe Ve eVWLUD s XQLGDGeV y FXeOJD eQ UeSRVR eQ OD SRVLFLyQ Ge eTXLOLEULR FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.17(E). 'eVSXpV eO VLVWePD UeVRUWe/PDVD Ve SRQe eQ PRYLPLeQWR, VeD TXe x(t) GeQRWe OD GLVWDQFLD GLULJLGD GeO SXQWR Ge eTXLOLEULR D OD PDVD. &RPR Ve LQGLFD eQ OD ¿JXUD 1.3.17(F), VXSRQJD TXe OD GLUeFFLyQ KDFLD DEDMR eV SRVLWLYD y TXe eO PRYLPLeQWR Ve eIeFW~D eQ XQD UeFWD YeUWLFDO TXe SDVD SRU eO FeQWUR Ge JUDYeGDG Ge OD PDVD y TXe ODV ~QLFDV IXeU]DV TXe DFW~DQ VREUe eO VLVWePD VRQ eO SeVR Ge OD PDVD y OD IXeU]D Ge UeVWDXUDFLyQ GeO UeVRUWe eVWLUDGR. 8WLOLFe OD ley de Hooke OD IXeU]D Ge UeVWDXUDFLyQ Ge XQ UeVRUWe eV SURSRUFLRQDO D VX eORQJDFLyQ WRWDO. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GeO GeVSOD]DPLeQWR x(t) DO WLePSR t 0.

x(t) < 0 s resorte sin x=0 m deformar x(t) > 0 posición de equilibrio m

a) b) c) FIGURA 1.3.17 6LVWePD UeVRUWe/PDVD GeO SUREOePD 19.

Segunda ley de Newton y el movimiento de un cohete &XDQGR OD PDVD m Ge XQ FXeUSR FDPELD FRQ eO WLePSR, OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ GeO PRYLPLeQWR Ve FRQYLeUWe eQ (17) F d dt (mv) GRQGe F eV OD IXeU]D QeWD DFWXDQGR VREUe eO FXeUSR y mv eV VX FDQWLGDG Ge PRYLPLeQWR. 8WLOLFe (17) SUREOePDV eQ 21 y 22.

21. 8Q SeTXexR FRKeWe PRQReWDSD Ve ODQ]D YeUWLFDOPeQWe FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.18. 8QD Ye] ODQ]DGR, eO FRKeWe FRQVXPe VX FRPEXVWLEOe, y DVt VX PDVD WRWDO m(t) YDUtD FRQ eO WLePSR t ! 0. 6L Ve VXSRQe TXe OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD eV KDFLD DUULED, OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe eV SURSRUFLRQDO D OD YeORFLGDG LQVWDQWiQeD v GeO FRKeWe, y R eV eO ePSXMe DVFeQGeQWe R IXeU]D JeQeUDGD SRU eO VLVWePD Ge SURSXOVLyQ, eQWRQFeV FRQVWUXyD XQ PRGeOR PDWePiWLFR SDUD OD YeORFLGDG v(t) GeO FRKeWe. >Sugerencia: YeD OD eFXDFLyQ (14) eQ OD VeFFLyQ 1.3.].

20. (Q eO SUREOePD 19, ¢FXiO eV OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD eO GeVSOD]DPLeQWR x(t) VL eO PRYLPLeQWR WLeQe OXJDU eQ XQ PeGLR TXe eMeUFe XQD IXeU]D Ge DPRUWLJXDPLeQWR VREUe eO VLVWePD UeVRUWe/PDVD TXe eV SURSRUFLRQDO D OD YeORFLGDG LQVWDQWiQeD Ge OD PDVD y DFW~D eQ GLUeFFLyQ FRQWUDULD DO PRYLPLeQWR" FIGURA 1.3.18 &RKeWe PRQReWDSD GeO SUREOePD 21.

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30

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

22. (Q eO SUREOePD 21, OD PDVD m(t) eV OD VXPD Ge WUeV PDVDV GLIeUeQWeV m(t) mp mv mf (t), GRQGe mp eV OD PDVD FRQVWDQWe Ge OD FDUJD ~WLO, mv eV OD PDVD FRQVWDQWe GeO YeKtFXOR, y mf (t) eV OD FDQWLGDG YDULDEOe Ge FRPEXVWLEOe. a) 'ePXeVWUe TXe OD UDSLGe] FRQ OD FXDO OD PDVD WRWDO m(t) GeO FRKeWe FDPELD eV LJXDO D OD UDSLGe] FRQ OD FXDO FDPELD OD PDVD GeO FRPEXVWLEOe mf (t). b) 6L eO FRKeWe FRQVXPe VX FRPEXVWLEOe D XQ ULWPR FRQVWDQWe Ȝ, GeWeUPLQe m(t). /XeJR UeeVFULED OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GeO SUREOePD 21 eQ WpUPLQRV Ge Ȝ y Ge OD PDVD WRWDO LQLFLDO m(0) = m0. c) %DMR OD VXSRVLFLyQ GeO LQFLVR E), GePXeVWUe TXe eO WLePSR Ge DJRWDPLeQWR GeO FRKeWe tb ! 0, R eO PRPeQWR eQ TXe WRGR eO FRPEXVWLEOe Ve FRQVXPe, eV tb mf (0) Ȝ GRQGe mf (0) eV OD PDVD LQLFLDO GeO FRPEXVWLEOe. Segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal 23. 'e DFXeUGR FRQ OD ley de la gravitación universal de Newton, OD DFeOeUDFLyQ Ge FDtGD OLEUe a Ge XQ FXeUSR, WDO FRPR eO VDWpOLWe TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.19, TXe eVWi FDyeQGR GeVGe XQD JUDQ GLVWDQFLD KDFLD OD VXSeU¿FLe, QR eV OD FRQVWDQWe g. 0iV ELeQ, OD DFeOeUDFLyQ a eV LQYeUVDPeQWe SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR Ge OD GLVWDQFLD GeVGe eO FeQWUR Ge OD 7LeUUD a k r2 GRQGe k eV OD FRQVWDQWe Ge SURSRUFLRQDOLGDG. 3DUD GeWeUPLQDU k XWLOLFe eO KeFKR Ge TXe eQ OD VXSeU¿FLe Ge OD 7LeUUD r R y a g. 6L OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD Ve FRQVLGeUD KDFLD DUULED, XWLOLFe OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ y OD Oey Ge OD JUDYLWDFLyQ XQLYeUVDO SDUD eQFRQWUDU XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD GLVWDQFLD r.

24. 6XSRQJD TXe Ve KDFe XQ DJXMeUR TXe SDVD SRU eO FeQWUR Ge OD 7LeUUD y TXe SRU pO Ve GeMD FDeU XQD EROD Ge PDVD m FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.20. &RQVWUXyD XQ PRGeOR PDWePiWLFR TXe GeVFULED eO SRVLEOe PRYLPLeQWR Ge OD EROD. $O WLePSR t VeD TXe r GeQRWe OD GLVWDQFLD GeVGe eO FeQWUR Ge OD 7LeUUD D OD PDVD m, TXe M GeQRWe OD PDVD Ge OD 7LeUUD, TXe Mr GeQRWe OD PDVD Ge OD SDUWe Ge OD 7LeUUD TXe eVWi GeQWUR Ge XQD eVIeUD Ge UDGLR r, y TXe GeQRWe OD GeQVLGDG FRQVWDQWe Ge OD 7LeUUD. satellite satélite de of mass masa m

Más modelos matemáticos 25. Teoría del aprendizaje (Q OD WeRUtD GeO DSUeQGL]DMe, Ve VXSRQe TXe OD UDSLGe] FRQ TXe Ve PePRUL]D DOJR eV SURSRUFLRQDO D OD FDQWLGDG TXe TXeGD SRU PePRUL]DU. 6XSRQJD TXe M GeQRWD OD FDQWLGDG WRWDO Ge XQ WePD TXe Ve GeEe PePRUL]DU y TXe A(t) eV OD FDQWLGDG PePRUL]DGD DO WLePSR t 0. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD GeWeUPLQDU OD FDQWLGDG A(t).

26. Falta de memoria (Q eO SUREOePD 25 VXSRQJD TXe OD UD]yQ FRQ OD FXDO eO PDWeULDO eV olvidado eV SURSRUFLRQDO D OD FDQWLGDG PePRUL]DGD DO WLePSR t 0. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD A(t), FXDQGR Ve FRQVLGeUD OD IDOWD Ge PePRULD. 27. Suministro de un medicamento 6e LQyeFWD XQ PeGLFDPeQWR eQ eO WRUUeQWe VDQJXtQeR Ge XQ SDFLeQWe D XQD UD]yQ FRQVWDQWe Ge r JUDPRV SRU VeJXQGR. 6LPXOWiQeDPeQWe, Ve eOLPLQD eO PeGLFDPeQWR D XQD UD]yQ SURSRUFLRQDO D OD FDQWLGDG x(t) SUeVeQWe DO WLePSR t. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe GeVFULED OD FDQWLGDG x(t).

28. Tractriz 8QD SeUVRQD P TXe SDUWe GeO RULJeQ Ve PXeYe eQ OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD GeO eMe x, MDODQGR XQ SeVR D OR ODUJR Ge OD FXUYD C, OODPDGD tractriz, FRPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.21. ,QLFLDOPeQWe eO SeVR Ve eQFRQWUDED eQ eO eMe y, eQ (0, s) y Ve MDOD FRQ XQD FXeUGD Ge ORQJLWXG FRQVWDQWe s, TXe Ve PDQWLeQe WeQVD GXUDQWe eO PRYLPLeQWR. 'eWeUPLQe XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SDUD OD WUDyeFWRULD C Ge PRYLPLeQWR. 6XSRQJD TXe OD FXeUGD VLePSUe eV WDQJeQWe D C. y (0, s) (x, y) y

s

θ

C x

P

FIGURA 1.3.21 &XUYD WUDFWUL] GeO SUREOePD 28. tangente

y

C

P (x, y)

θ

L

θ su

ficie per

r

6DWpOLWe

GeO SUREOePD 23.

Tierra de masa M superficie m r

FIGURA 1.3.20 $JXMeUR TXe SDVD D WUDYpV Ge OD 7LeUUD GeO SUREOePD 24.

R

x

FIGURA 1.3.22 6XSeU¿FLe UeÀeFWRUD GeO SUREOePD 29.

R

FIGURA 1.3.19

φ O

29. 6XSHU¿FLH UHÀHFWRUD 6XSRQJD TXe FXDQGR OD FXUYD SODQD C TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.22 Ve JLUD UeVSeFWR DO eMe x JeQeUD XQD VXSeU¿FLe Ge UeYROXFLyQ, FRQ OD SURSLeGDG Ge TXe WRGRV ORV UDyRV Ge OX] L SDUDOeORV DO eMe x TXe LQFLGeQ eQ OD VXSeU¿FLe VRQ UeÀeMDGRV D XQ VROR SXQWR O (eO RULJeQ). 8WLOLFe eO KeFKR Ge TXe eO iQJXOR Ge LQFLGeQFLD eV LJXDO DO iQJXOR Ge UeÀe[LyQ SDUD GeWeUPLQDU XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe GeVFULED OD IRUPD Ge OD FXUYD C. (VWD FXUYD C eV LPSRUWDQWe eQ DSOLFDFLRQeV FRPR FRQVWUXFFLyQ Ge WeOeVFRSLRV R DQWeQDV Ge VDWpOLWeV, IDURV GeODQWeURV Ge DXWRPy-

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1.3

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

YLOeV y FROeFWRUeV VRODUeV. >Sugerencia: /D LQVSeFFLyQ Ge OD ¿JXUD PXeVWUD TXe SRGePRV eVFULELU 2 . ¢3RU TXp" $KRUD XWLOLFe XQD LGeQWLGDG WULJRQRPpWULFD DGeFXDGD.]

O

31

y

ω

Problemas de análisis 30. 5eSLWD eO SUREOePD 41 Ge ORV eMeUFLFLRV 1.1 y GeVSXpV SURSRUFLRQe XQD VROXFLyQ e[SOLFtWD P(t) SDUD OD eFXDFLyQ (1). 'eWeUPLQe XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV Ge (1).

31. /eD QXeYDPeQWe OD RUDFLyQ TXe Ve eQFXeQWUD D FRQWLQXDFLyQ Ge OD eFXDFLyQ (3) y VXSRQJD TXe Tm eV XQD FRQVWDQWe SRVLWLYD. $QDOLFe SRU TXp Ve SRGUtD eVSeUDU TXe k 0 eQ (3) eQ DPERV FDVRV Ge eQIULDPLeQWR y Ge FDOeQWDPLeQWR. 3RGUtD ePSe]DU SRU LQWeUSUeWDU, GLJDPRV, T(t) Tm eQ XQD IRUPD JUi¿FD. 32. /eD QXeYDPeQWe eO DQiOLVLV TXe FRQGXMR D OD eFXDFLyQ (8).

6L VXSRQePRV TXe LQLFLDOPeQWe eO WDQTXe FRQVeUYD, GLJDPRV, 50 OLEUDV Ge VDO, eV SRUTXe Ve Oe eVWi DJUeJDQGR VDO FRQWLQXDPeQWe DO WDQTXe SDUD t 0, A(t) VeUi XQD IXQFLyQ FUeFLeQWe. $QDOLFe FyPR SRGUtD GeWeUPLQDU D SDUWLU Ge OD (', VLQ UeDOPeQWe UeVROYeUOD, eO Q~PeUR Ge OLEUDV Ge VDO eQ eO WDQTXe GeVSXpV Ge XQ SeULRGR ODUJR. dP 33. Modelo de población /D eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO dt (k FRV t)P, GRQGe k eV XQD FRQVWDQWe SRVLWLYD, PRGeOD OD SREODFLyQ KXPDQD, P(t), Ge FLeUWD FRPXQLGDG. $QDOLFe e LQWeUSUeWe OD VROXFLyQ Ge eVWD eFXDFLyQ. (Q RWUDV SDODEUDV, ¢TXp WLSR Ge SREODFLyQ SLeQVD TXe GeVFULEe eVWD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO" 34. Fluido girando &RPR Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.3.22(D) XQ FLOLQGUR FLUFXODU UeFWR SDUFLDOPeQWe OOeQR FRQ XQ ÀXLGR eVWi JLUDQGR FRQ XQD YeORFLGDG DQJXODU FRQVWDQWe UeVSeFWR DO eMe YeUWLFDO TXe SDVD SRU VX FeQWUR. (O ÀXLGR JLUDQGR IRUPD XQD VXSeU¿FLe Ge UeYROXFLyQ S. 3DUD LGeQWL¿FDU S, SULPeUR eVWDEOeFePRV XQ VLVWePD FRRUGeQDGR TXe FRQVLVWe eQ XQ SODQR YeUWLFDO GeWeUPLQDGR SRU eO eMe y y eO eMe x GLEXMDGR eQ IRUPD SeUSeQGLFXODU DO eMe y Ge WDO IRUPD TXe eO SXQWR Ge LQWeUVeFFLyQ Ge ORV eMeV (eO RULJeQ) eVWi ORFDOL]DGR eQ eO SXQWR LQIeULRU Ge OD VXSeU¿FLe S. (QWRQFeV EXVFDPRV XQD IXQFLyQ y f (x) TXe UeSUeVeQWe OD FXUYD C Ge LQWeUVeFFLyQ Ge OD VXSeU¿FLe S y GeO SODQR FRRUGeQDGR YeUWLFDO. 6eD TXe eO SXQWR P(x, y) GeQRWe OD SRVLFLyQ Ge XQD SDUWtFXOD GeO ÀXLGR JLUDQGR, Ge PDVD m, eQ eO SODQR FRRUGeQDGR. 9eD OD ¿JXUD 1.3.23(E). a) (Q P KDy XQD IXeU]D Ge UeDFFLyQ Ge PDJQLWXG F GeELGD D ODV RWUDV SDUWtFXODV GeO ÀXLGR TXe eV SeUSeQGLFXODU D OD VXSeU¿FLe S. 8VDQGR OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ OD PDJQLWXG Ge OD IXeU]D QeWD TXe DFW~D VREUe OD SDUWtFXOD eV m 2x. ¢&XiO eV eVWD IXeU]D" 8WLOLFe OD ¿JXUD 1.3.23(E) SDUD DQDOL]DU OD QDWXUDOe]D y eO RULJeQ Ge ODV eFXDFLRQeV F FRV mg,

F VeQ m 2x b) 8Ve eO LQFLVR D) SDUD eQFRQWUDU XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe Ge¿QD OD IXQFLyQ y f(x).

35.

Cuerpo en caída (Q eO SUREOePD 23 VXSRQJD TXe r R s GRQGe s eV OD GLVWDQFLD GeVGe OD VXSeU¿FLe Ge OD 7LeUUD DO FXeUSR TXe FDe. ¢&yPR eV OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO TXe Ve REWXYR eQ eO SUREOePD 23 FXDQGR s eV PXy SeTXexD eQ FRPSDUDFLyQ FRQ R" >Sugerencia: &RQVLGeUe OD VeULe ELQRPLDO SDUD

P

a) curva C de intersección del plano xy y la superficie de y revolución mω 2x

F P(x, y)

θ mg θ

recta tangente a la curva C en P

x

b)

FIGURA 1.3.23 )OXLGR JLUDQGR GeO SUREOePD 34.

(R s) 2 R 2 (1 s R) 2.]

36. Gotas de lluvia cayendo (Q PeWeRURORJtD eO WpUPLQR virga Ve Ue¿eUe D ODV JRWDV Ge OOXYLD TXe FDeQ R D SDUWtFXODV Ge KLeOR TXe Ve eYDSRUDQ DQWeV Ge OOeJDU DO VXeOR. 6XSRQJD TXe eQ DOJ~Q WLePSR, TXe Ve SXeGe GeQRWDU SRU t 0, ODV JRWDV Ge OOXYLD Ge UDGLR r0 FDeQ GeVGe eO UeSRVR Ge XQD QXEe y Ve FRPLeQ]DQ D eYDSRUDU. a) 6L Ve VXSRQe TXe XQD JRWD Ve eYDSRUD Ge WDO PDQeUD TXe VX IRUPD SeUPDQeFe eVIpULFD, eQWRQFeV WDPELpQ WLeQe VeQWLGR VXSRQeU TXe OD UD]yQ D OD FXDO Ve eYDSRUD OD JRWD Ge OOXYLD, eVWR eV, OD UD]yQ FRQ OD FXDO pVWD SLeUGe PDVD, eV SURSRUFLRQDO D VX iUeD VXSeU¿FLDO. 0XeVWUe TXe eVWD ~OWLPD VXSRVLFLyQ LPSOLFD TXe OD UD]yQ FRQ OD TXe eO UDGLR r Ge OD JRWD Ge OOXYLD GLVPLQXye eV XQD FRQVWDQWe. (QFXeQWUe r (t). >Sugerencia: 9eD eO SUREOePD 51 eQ ORV eMeUFLFLRV 1.1.] b) 6L OD GLUeFFLyQ SRVLWLYD eV KDFLD DEDMR, FRQVWUXyD XQ PRGeOR PDWePiWLFR SDUD OD YeORFLGDG v Ge OD JRWD Ge OOXYLD TXe FDe DO WLePSR t 0. 'eVSUeFLe OD UeVLVWeQFLD GeO DLUe. >Sugerencia: 8WLOLFe OD IRUPD Ge OD VeJXQGD Oey Ge 1eZWRQ GDGD eQ OD eFXDFLyQ (17)] 37. Deja que nieve (O ³SUREOePD GeO TXLWDQLeYeV´ eV XQ FOiVLFR TXe DSDUeFe eQ PXFKRV OLEURV Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV y TXe IXe SUREDEOePeQWe LQYeQWDGR SRU 5DOSK 3DOPeU $JQeZ. “Un día comenzó a nevar en forma intensa y constante. Un quitanieve comenzó a medio día, y avanzó 2 millas la primera hora y una milla la segunda. ¿A qué hora comenzó a nevar?”

6e eQFXeQWUD eQ eO OLEUR Differential Equations, Ge 5DOSK 3DOPeU $JQeZ, 0F*UDZ-+LOO %RRN &R.; E~VTXeOR y GeVSXpV DQDOLFe OD FRQVWUXFFLyQ y VROXFLyQ GeO PRGeOR PDWePiWLFR. 38. /eD QXeYDPeQWe eVWD VeFFLyQ y FODVL¿TXe FDGD PRGeOR PDWePiWLFR FRPR OLQeDO R QR OLQeDO.

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32

O

UNIDAD 1

1.4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

VARIABLES SEPARABLES INTRODUCCIÓN &RPeQ]DUePRV QXeVWUR eVWXGLR Ge FyPR UeVROYeU ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV FRQ OD PiV VLPSOe Ge WRGDV ODV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV Ge SULPeU RUGeQ FRQ YDULDEOeV VeSDUDEOeV. 'eELGR D TXe eO PpWRGR TXe Ve SUeVeQWD eQ eVWD VeFFLyQ y TXe PXFKDV Ge ODV WpFQLFDV SDUD OD VROXFLyQ Ge eFXDFLRQeV GLIeUeQFLDOeV LPSOLFDQ LQWeJUDFLyQ, FRQVXOWe VX OLEUR Ge FiOFXOR SDUD UeFRUGDU ODV IyUPXODV LPSRUWDQWeV (FRPR du u) y ODV WpFQLFDV (FRPR OD LQWeJUDFLyQ SRU SDUWeV).

SOLUCIÓN POR INTEGRACIÓN &RQVLGeUe OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ dy dx f (x, y). &XDQGR f QR GeSeQGe Ge OD YDULDEOe y, eV GeFLU, f (x, y) g(x), OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO dy g(x) (1) dx Ve SXeGe UeVROYeU SRU LQWeJUDFLyQ. 6L g(x) eV XQD IXQFLyQ FRQWLQXD, DO LQWeJUDU DPERV ODGRV Ge OD eFXDFLyQ (1) Ve REWLeQe y g(x) dx = G(x) c, GRQGe G(x) eV XQD DQWLGeULYDGD (LQWeJUDO LQGe¿QLGD) Ge g(x). 3RU eMePSOR, VL dy dx 1 e2x, eQWRQFeV VX VROXFLyQ eV y (1 e 2x ) dx o y x 12 e2x c.

UNA DEFINICIÓN /D eFXDFLyQ (O) DVt FRPR VX PpWRGR Ge VROXFLyQ QR VRQ PiV TXe XQ FDVR eVSeFLDO eQ eO TXe f, eQ OD IRUPD QRUPDO dy dx f (x, y) Ve SXeGe IDFWRUL]DU FRPR eO SURGXFWR Ge XQD IXQFLyQ Ge x SRU XQD IXQFLyQ Ge y.

DEFINICIÓN 1.4.1

Ecuación separable

8QD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ Ge OD IRUPD dy g(x)h(y) dx Ve GLFe TXe eV separable R TXe WLeQe variables separables.

3RU eMePSOR, ODV eFXDFLRQeV dy dy y 2xe3x 4y y y sen x dx dx VRQ, UeVSeFWLYDPeQWe, VeSDUDEOe y QR VeSDUDEOe. (Q OD SULPeUD eFXDFLyQ SRGePRV IDFg(x) h( y) WRUL]DU f (x, y) y 2xe 3x 4y FRPR ↓

↓

f (x, y) y2xe3x 4y (xe3x )( y2e4y ), SeUR eQ OD VeJXQGD eFXDFLyQ QR KDy IRUPD Ge e[SUeVDU D y VeQ x FRPR XQ SURGXFWR Ge XQD IXQFLyQ Ge x SRU XQD IXQFLyQ Ge y.

2EVeUYe TXe DO GLYLGLU eQWUe OD IXQFLyQ h(y), SRGePRV eVFULELU XQD eFXDFLyQ VeSDUDEOe dy dx g(x)h(y) FRPR dy p( y) g(x), (2) dx GRQGe, SRU FRQYeQLeQFLD p(y) UeSUeVeQWD D O h(y). 3RGePRV YeU LQPeGLDWDPeQWe TXe OD eFXDFLyQ (2) Ve UeGXFe D OD eFXDFLyQ (1) FXDQGR h(y) 1. $KRUD, VL y (x) UeSUeVeQWD XQD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ (2), Ve WLeQe TXe p( (x)) (x) g(x), y SRU WDQWR p( (x)) (x) dx

g(x) dx.

3eUR dy (x)dx, y DVt OD eFXDFLyQ (3) eV OD PLVPD TXe

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(3)

1.4

p(y) dy

g(x) dx

o

VARIABLES SEPARABLES

H(y)

G(x)

O

33

(4)

c,

GRQGe H(y) y G(x) VRQ DQWLGeULYDGDV Ge p(y) 1 h(y) y g(x), UeVSeFWLYDPeQWe. MÉTODO DE SOLUCIÓN /D eFXDFLyQ (4) LQGLFD eO SURFeGLPLeQWR SDUD UeVROYeU eFXDFLRQeV VeSDUDEOeV. $O LQWeJUDU DPERV ODGRV Ge p(y) dy g(x) dx, Ve REWLeQe XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV, TXe XVXDOPeQWe Ve e[SUeVD Ge PDQeUD LPSOtFLWD. NOTA 1R KDy QeFeVLGDG Ge ePSOeDU GRV FRQVWDQWeV FXDQGR Ve LQWeJUD XQD eFXDFLyQ VeSDUDEOe, SRUTXe VL eVFULELPRV H(y) c1 G(x) c2, eQWRQFeV OD GLIeUeQFLD c2 – c1 Ve SXeGe UeePSOD]DU FRQ XQD VROD FRQVWDQWe c, FRPR eQ OD eFXDFLyQ (4). (Q PXFKRV FDVRV Ge ORV VLJXLeQWeV FDStWXORV, VXVWLWXLUePRV ODV FRQVWDQWeV eQ OD IRUPD PiV FRQYeQLeQWe SDUD XQD eFXDFLyQ GDGD. 3RU eMePSOR, D YeFeV Ve SXeGeQ UeePSOD]DU ORV P~OWLSORV R ODV FRPELQDFLRQeV Ge FRQVWDQWeV FRQ XQD VROD FRQVWDQWe.

EJEMPLO 1 Solución de una ED separable 5eVXeOYD (1 x) dy y dx 0.

SOLUCIÓN 'LYLGLeQGR eQWUe (1 x)y, SRGePRV eVFULELU dy y dx (1 x), Ge GRQGe WeQePRV TXe

dx 1

x

ln y

ln 1

x

c1

y

eln 1 x

c1

eln 1 x

ec1

?

dy y

c1

1

x e

?

c1

e (1

+DFLeQGR c LJXDO D

x).

leyes de exponentes 1 1

x x

1

x, (1

x),

1 x x< 1

e Ve REWLeQe y c(1 x). c1

&RPR FDGD LQWeJUDO GD FRPR UeVXOWDGR XQ ORJDULWPR, OD eOeFFLyQ PiV SUXGeQWe SDUD OD FRQVWDQWe Ge LQWeJUDFLyQ eV OQ c , eQ OXJDU Ge c. 5eeVFULELU eO VeJXQGR UeQJOyQ Ge OD VROXFLyQ FRPR OQ y OQ 1 x OQ c QRV SeUPLWe FRPELQDU ORV WpUPLQRV GeO ODGR GeUeFKR XVDQGR ODV SURSLeGDGeV Ge ORV ORJDULWPRV. 'e OQ y OQ c(1 x) REWeQePRV LQPeGLDWDPeQWe TXe y c(1 x). $XQ FXDQGR QR todas ODV LQWeJUDOeV LQGe¿QLGDV VeDQ ORJDULWPRV, SRGUtD VeJXLU VLeQGR PiV FRQYeQLeQWe XVDU OQ c .

6LQ ePEDUJR, QR Ve SXeGe eVWDEOeFeU XQD UeJOD ¿UPe.

SOLUCIÓN ALTERNATIVA

(Q OD VeFFLyQ 1.1 YLPRV TXe XQD FXUYD VROXFLyQ SXeGe VeU VyOR XQ VeJPeQWR R XQ DUFR Ge OD JUi¿FD Ge XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0.

EJEMPLO 2

y

Curva solución

5eVXeOYD eO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV

x

&XUYDV VROXFLyQ SDUD eO 39, GeO eMePSOR 2.

FIGURA 1.4.1

y(4) 3.

SOLUCIÓN 6L UeeVFULEe OD eFXDFLyQ FRPR y dy x dx, REWLeQe

y2 x2 c1.

2 2 2 3RGePRV eVFULELU eO UeVXOWDGR Ge OD LQWeJUDFLyQ FRPR x y 2 c 2, VXVWLWXyeQGR D OD FRQVWDQWe 2c1 SRU c2. (VWD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO UeSUeVeQWD XQD IDPLOLD Ge FLUFXQIeUeQFLDV FRQFpQWULFDV FeQWUDGDV eQ eO RULJeQ. $KRUD FXDQGR x 4, y 3, Ve WLeQe 16 9 25 c2. $Vt, eO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GeWeUPLQD OD FLUFXQIeUeQFLD x 2 y 2 25 Ge UDGLR 5. 'eELGR D VX VeQFLOOe] SRGePRV GeVSeMDU Ge eVWD VROXFLyQ LPSOtFLWD D XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD TXe VDWLVIDJD OD FRQGLFLyQ LQLFLDO. (Q eO eMePSOR 3 Ge OD VeFFLyQ 1.1, YLPRV eVWD VROXFLyQ y dy x dx

(4, −3)

dy x , dx y

y

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34

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

FRPR y 2(x) R y 25 x2, 5 x 5 . 8QD FXUYD VROXFLyQ eV OD JUi¿FD Ge OD IXQFLyQ GeULYDEOe. (Q eVWe FDVR OD FXUYD VROXFLyQ eV eO VePLFtUFXOR LQIeULRU TXe Ve PXeVWUD eQ OD ¿JXUD 1.4.1 TXe FRQWLeQe DO SXQWR (4, 3).

PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN 6e GeEe WeQeU FXLGDGR DO VeSDUDU ODV YDULDEOeV. <D TXe ODV YDULDEOeV TXe VeDQ GLYLVRUeV SRGUtDQ VeU FeUR eQ XQ SXQWR. &RQFUeWDPeQWe, VL r eV XQD UDt] Ge OD IXQFLyQ h(y), eQWRQFeV VXVWLWXyeQGR y r eQ dy dx g(x)h(y) Ve eQFXeQWUD TXe DPERV ODGRV VRQ LJXDOeV D FeUR; eV GeFLU, y r eV XQD VROXFLyQ FRQVWDQWe Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO. 3eUR GeVSXpV Ge TXe ODV YDULDEOeV dy g (x) dx eVWi LQGe¿QLGR eQ r. 3RU WDQWR, y r Ve VeSDUDQ, eO ODGR L]TXLeUGR Ge h(y) SRGUtD QR UeSUeVeQWDU D OD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV TXe Ve KD REWeQLGR GeVSXpV Ge OD LQWeJUDFLyQ y VLPSOL¿FDFLyQ. 5eFXeUGe TXe XQD VROXFLyQ Ge eVWe WLSR Ve GeQRPLQD VROXFLyQ VLQJXODU. Pérdida de una solución

EJEMPLO 3 5eVXeOYD

dy y 2 4. dx

SOLUCIÓN 3RQLeQGR OD eFXDFLyQ eQ OD IRUPD

dy dx 2 y 4

1 4

o

y 2

1 4

y 2

dy dx.

(5)

/D VeJXQGD eFXDFLyQ eQ OD eFXDFLyQ (5) eV eO UeVXOWDGR Ge XWLOL]DU IUDFFLRQeV SDUFLDOeV eQ eO ODGR L]TXLeUGR Ge OD SULPeUD eFXDFLyQ. ,QWeJUDQGR y XWLOL]DQGR ODV OeyeV Ge ORV ORJDULWPRV Ve REWLeQe 1 1 ln y 2 ln y 2 x c1 4 4

o

ln

y y

2 2

4x

c2

o

y y

2 2

e4x c2.

$TXt KePRV VXVWLWXLGR 4c1 SRU c2. 3RU ~OWLPR, GeVSXpV Ge VXVWLWXLU ec2 SRU c y GeVSeMDQGR y Ge OD ~OWLPD eFXDFLyQ, REWeQePRV XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV 1 ce4x y 2 .

(6) 1 ce4x $KRUD, VL IDFWRUL]DPRV eO ODGR GeUeFKR Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO FRPR dy dx (y 2) (y 2), VDEePRV GeO DQiOLVLV Ge SXQWRV FUtWLFRV TXe y 2 y y 2 VRQ GRV VROXFLRQeV FRQVWDQWeV (Ge eTXLOLEULR). /D VROXFLyQ y 2 eV XQ PLePEUR Ge OD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV Ge¿QLGD SRU OD eFXDFLyQ (6) FRUUeVSRQGLeQGR DO YDORU c 0. 6LQ ePEDUJR, y 2 eV XQD VROXFLyQ VLQJXODU; pVWD QR Ve SXeGe REWeQeU Ge OD eFXDFLyQ (6) SDUD FXDOTXLeU eOeFFLyQ GeO SDUiPeWUR c. /D ~OWLPD VROXFLyQ Ve SeUGLy DO LQLFLR GeO SURFeVR Ge VROXFLyQ. (O e[DPeQ Ge OD eFXDFLyQ (5) LQGLFD FODUDPeQWe TXe GeEePRV e[FOXLU D y 2 eQ eVWRV SDVRV.

EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales 5eVXeOYD (e2y y) cos x

dy ey sen 2x, y(0) 0. dx

SOLUCIÓN 'LYLGLeQGR OD eFXDFLyQ eQWUe ey FRV x Ve REWLeQe

sen 2x e2y y dy dx. y e cos x $QWeV Ge LQWeJUDU, Ve UeDOL]D OD GLYLVLyQ GeO ODGR L]TXLeUGR y XWLOL]DPRV OD LGeQWLGDG WULJRQRPpWULFD VeQ 2x 2 VeQ x FRV x eQ eO ODGR GeUeFKR. (QWRQFeV WeQePRV TXe integración de partes:

(ey

ye y) dy

2

sen x dx

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1.4

VARIABLES SEPARABLES

e y ye y e y 2 FRV x c.

Ve REWLeQe

(7)

e y ye y e y 4 2 FRV x.

1 x _1 _2 _1

2

1

FIGURA 1.4.2 &XUYDV Ge QLYeO G(x, y) c, GRQGe G(x, y) ey ye y e y 2 FRV x. y 2 1

c= 4

(0, 0)

x

(π /2,0)

c=2

_1

_1

1

dy xy1/2, dx

2

FIGURA 1.4.3 &XUYDV Ge QLYeO

c 2 y c 4.

(8)

USO DE COMPUTADORA /RV Comentarios DO ¿QDO Ge OD VeFFLyQ 1.1 PeQFLRQDQ TXe SXeGe VeU GLItFLO XWLOL]DU XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0 SDUD eQFRQWUDU XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD y (x). /D eFXDFLyQ (8) PXeVWUD TXe OD WDUeD Ge GeVSeMDU D y eQ WpUPLQRV Ge x SXeGe SUeVeQWDU PiV SUREOePDV TXe VRODPeQWe eO DEXUULGR WUDEDMR Ge SUeVLRQDU VtPERORV, £eQ DOJXQRV FDVRV VLPSOePeQWe QR Ve SXeGe KDFeU /DV VROXFLRQeV LPSOtFLWDV WDOeV FRPR OD eFXDFLyQ (8) VRQ XQ SRFR IUXVWUDQWeV, yD TXe QR Ve DSUeFLD eQ OD JUi¿FD Ge OD eFXDFLyQ QL eQ eO LQWeUYDOR XQD VROXFLyQ Ge¿QLGD TXe VDWLVIDJD TXe y(0) 0. (O SUREOePD Ge ³SeUFLELU´ FXiO eV OD VROXFLyQ LPSOtFLWD eQ DOJXQRV FDVRV Ve SXeGe UeVROYeU PeGLDQWe OD WeFQRORJtD. 8QD PDQeUD Ge SURFeGeU eV XWLOL]DU OD DSOLFDFLyQ contour plot Ge XQ VLVWePD DOJeEUDLFR Ge FRPSXWDFLyQ (6$&). 5eFXeUGe GeO FiOFXOR Ge YDULDV YDULDEOeV TXe SDUD XQD IXQFLyQ Ge GRV YDULDEOeV z G(x, y) ODV FXUYDV bidimensionales Ge¿QLGDV SRU G(x, y) c, GRQGe c eV XQD FRQVWDQWe, Ve OODPDQ curvas de nivel Ge OD IXQFLyQ. (Q OD ¿JXUD 1.4.2 Ve SUeVeQWDQ DOJXQDV Ge ODV FXUYDV Ge QLYeO Ge OD IXQFLyQ G(x, y) ey ye y e y 2 FRV x TXe Ve KDQ UeSURGXFLGR FRQ OD DyXGD Ge XQ 6$&. /D IDPLOLD Ge VROXFLRQeV Ge¿QLGDV SRU OD eFXDFLyQ (7) VRQ ODV FXUYDV Ge QLYeO G(x, y) c. (Q OD ¿JXUD 1.4.3 Ve PXeVWUD OD FXUYD Ge QLYeO G(x, y) 4, TXe eV OD VROXFLyQ SDUWLFXODU Ge OD eFXDFLyQ (8). /D RWUD FXUYD Ge OD ¿JXUD 1.4.3 eV OD FXUYD Ge QLYeO G(x, y) 2, TXe eV PLePEUR Ge OD IDPLOLD G(x, y) c TXe VDWLVIDFe TXe y(ʌ 2) 0.

6L DO GeWeUPLQDU XQ YDORU eVSeFt¿FR GeO SDUiPeWUR c eQ XQD IDPLOLD Ge VROXFLRQeV Ge XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ OOeJDPRV D XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU, KDy XQD LQFOLQDFLyQ QDWXUDO Ge OD PDyRUtD Ge ORV eVWXGLDQWeV (y Ge ORV SURIeVRUeV) D UeODMDUVe y eVWDU VDWLVIeFKRV. 6LQ ePEDUJR, XQD VROXFLyQ Ge XQ SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV SRGUtD QR VeU ~QLFD. 9LPRV eQ eO eMePSOR 4 Ge OD VeFFLyQ 1.2 TXe eO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV

_2 _2

35

/D FRQGLFLyQ LQLFLDO y 0 FXDQGR x 0 LPSOLFD TXe c 4. 3RU WDQWR XQD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV eV

y 2

_2

O

y(0) 0

(9)

1 4 x . $KRUD yD SRGePRV UeVROYeU eVD eFXDWLeQe DO PeQRV GRV VROXFLRQeV, y 0 y y 16 FLyQ. 6eSDUDQGR ODV YDULDEOeV e LQWeJUDQGR y 1 2 dy x dx REWeQePRV

2y1/2

x2 2

c1

o

y

x2 4

2

c

1 4 &XDQGR x 0, eQWRQFeV y 0, DVt TXe QeFeVDULDPeQWe, c 0. 3RU WDQWR y 16 x . Se 1 2 SeUGLy OD VROXFLyQ WULYLDO y 0 DO GLYLGLU eQWUe y . $GePiV, eO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV, eFXDFLyQ (9), WLeQe XQD FDQWLGDG LQ¿QLWDPeQWe PDyRU Ge VROXFLRQeV SRUTXe SDUD FXDOTXLeU eOeFFLyQ GeO SDUiPeWUR a 0 OD IXQFLyQ Ge¿QLGD eQ SDUWeV

y

y a=0

a>0

0, (x a ) , xx aa 1 16

2

2 2

VDWLVIDFe WDQWR D OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO FRPR D OD FRQGLFLyQ LQLFLDO. 9eD OD ¿JXUD 1.4.4.

SOLUCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES SL g eV XQD IXQFLyQ FRQWLQXD eQ XQ LQWeUYDOR DELeUWR I TXe FRQWLeQe D a, eQWRQFeV SDUD WRGD x eQ I, (0, 0)

x

FIGURA 1.4.4 6ROXFLRQeV Ge OD eFXDFLyQ (9) Ge¿QLGD eQ WUDPRV.

d x g(t) dt g(x). dx a 8VWeG SRGUtD UeFRUGDU TXe eO UeVXOWDGR DQWeULRU eV XQD Ge ODV GRV IRUPDV GeO WeRUePD IXQGDPeQWDO GeO FiOFXOR. (V GeFLU, ax g(t) dt eV XQD DQWLGeULYDGD Ge OD IXQFLyQ g. (Q RFDVLRQeV eVWD IRUPD eV FRQYeQLeQWe eQ OD VROXFLyQ Ge ('. 3RU eMePSOR, VL g eV FRQWLQXD eQ XQ LQWeUYDOR I TXe FRQWLeQe D x0 y D x, eQWRQFeV XQD VROXFLyQ GeO VeQFLOOR SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV dy dx g(x), y(x0) y0, TXe eVWi Ge¿QLGR eQ I eVWi GDGR SRU

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36

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

x

y(x) y0

g(t) dt x0

8VWeG GeEeUtD FRPSUREDU TXe y(x) Ge¿QLGD Ge eVWD IRUPD VDWLVIDFe OD FRQGLFLyQ LQLFLDO. 3XeVWR TXe XQD DQWLGeULYDGD Ge XQD IXQFLyQ FRQWLQXD g QR VLePSUe SXeGe e[SUeVDUVe eQ WpUPLQRV Ge ODV IXQFLRQeV eOePeQWDOeV, eVWR SRGUtD VeU OR PeMRU TXe SRGePRV KDFeU SDUD REWeQeU XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD Ge XQ 39,. (O eMePSOR VLJXLeQWe LOXVWUD eVWD LGeD.

EJEMPLO 5 5eVXeOYD

dy 2 e x , dx

Un problema con valores iniciales y(3) 5.

/D IXQFLyQ g(x) e−x2 eV FRQWLQXD eQ ( , ), SeUR VX DQWLGeULYDGD QR eV XQD IXQFLyQ eOePeQWDO. 8WLOL]DQGR D t FRPR XQD YDULDEOe PXGD Ge LQWeJUDFLyQ, SRGePRV eVFULELU SOLUCIÓN

x

dy dt 3 dt

]x

y(t) 3 y(x) y(3)

x 3

2

e t dt

x 3

2

e t dt

x 3

2

e t dt

y(x) y(3)

x 3

2

e t dt.

8WLOL]DQGR OD FRQGLFLyQ LQLFLDO y(3) 5, REWeQePRV OD VROXFLyQ y(x) 5

x 3

2

e t dt.

(O SURFeGLPLeQWR TXe Ve PRVWUy eQ eO eMePSOR 5 WDPELpQ IXQFLRQD ELeQ eQ ODV eFXDFLRQeV VeSDUDEOeV dy dx g(x) f (y) GRQGe f (y) WLeQe XQD DQWLGeULYDGD eOePeQWDO SeUR g(x) QR WLeQe XQD DQWLGeULYDGD eOePeQWDO. 9pDQVe ORV SUREOePDV 29 y 30 Ge ORV eMeUFLFLRV 1.4.

COMENTARIOS i) &RPR DFDEDPRV Ge YeU eQ eO eMePSOR 5, DOJXQDV IXQFLRQeV VLPSOeV QR WLeQeQ XQD DQWLGeULYDGD TXe eV XQD IXQFLyQ eOePeQWDO. /DV LQWeJUDOeV Ge eVWDV FODVeV Ge 2 IXQFLRQeV Ve OODPDQ no elementales. 3RU eMePSOR 3x e−t dt y VeQ x2 dx VRQ LQWeJUDOeV QR eOePeQWDOeV. 5eWRPDUePRV QXeYDPeQWe eVWe FRQFeSWR eQ OD VeFFLyQ 1.5. ii) (Q DOJXQRV Ge ORV eMePSORV DQWeULRUeV YLPRV TXe OD FRQVWDQWe Ge OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD Ge VROXFLRQeV Ge XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO Ge SULPeU RUGeQ Ve SXeGe UeGe¿QLU FXDQGR VeD FRQYeQLeQWe. 7DPELpQ Ve SXeGe SUeVeQWDU FRQ IDFLOLGDG eO FDVR Ge TXe GRV SeUVRQDV REWeQJDQ GLVWLQWDV e[SUeVLRQeV Ge ODV PLVPDV UeVSXeVWDV UeVROYLeQGR FRUUeFWDPeQWe OD PLVPD eFXDFLyQ. 3RU eMePSOR, VeSDUDQGR YDULDEOeV Ve SXeGe GePRVWUDU TXe IDPLOLDV XQLSDUDPpWULFDV Ge VROXFLRQeV Ge OD (' (O y2) dx (1 x2) dy 0 VRQ arctan x arctan y c

o

x y c.

1 xy

&RQIRUPe DYDQFe eQ ODV VLJXLeQWeV VeFFLRQeV, FRQVLGeUe TXe ODV IDPLOLDV Ge VROXFLRQeV SXeGeQ VeU eTXLYDOeQWeV, eQ eO VeQWLGR Ge TXe XQD Ve SXeGe REWeQeU Ge RWUD, yD VeD SRU UeGe¿QLFLyQ Ge OD FRQVWDQWe R XWLOL]DQGR iOJeEUD R WULJRQRPeWUtD. 9eD ORV SUREOePDV 27 y 28 Ge ORV eMeUFLFLRV 1.4.

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1.4

EJERCICIOS 1.4

5. x

dy dx

4. dy (y 1) 2dx 0 6.

4y

dy 7. dx

e3x 2y

9. y ln x

dx dy

dy dx

2xy 2

dy 8. e x y dx 1 2

y

10.

x

e y

33. e ydx e xdy 0,

e 2x y

2y 4x

3 2 5

k(Q

70)

N

Nte

t 2

xy xy

2y 3y

dy dx

13. (e y 1) 2e y dx (e x 1) 3e x dy 0 14. x(1 y 2) 1 2 dx y(1 x 2) 1 2 dy

19.

dy dx

dQ dt dN 18. dt 16.

2

P

P

xy xy

3x 2x

y 4y

dy 3 20. dx 8

a) (0, 1) x x

2 3

dy dy 21.

22. (ex e x ) x11 y2 y2 dx dx (Q ORV SUREOePDV 23 D 28 eQFXeQWUe XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GDGRV. dx 4(x2 1), x( >4) 1 23. dt 24.

dy y2 1 , y(2) 2

dx x2 1

25. x2

dy y xy, y( 1) 1 dx

y( 2) 31

d)

(2, 14)

&RQ IUeFXeQFLD, XQ FDPELR UDGLFDO eQ OD IRUPD Ge OD VROXFLyQ Ge XQD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO FRUUeVSRQGe D XQ FDPELR PXy SeTXexR eQ OD FRQGLFLyQ LQLFLDO R eQ OD eFXDFLyQ PLVPD. (Q ORV SUREOePDV 39 D 42 GeWeUPLQe XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GDGR. 8WLOLFe XQ SURJUDPD Ge JUD¿FDFLyQ SDUD GLEXMDU OD JUi¿FD Ge FDGD VROXFLyQ. &RPSDUe FDGD FXUYD VROXFLyQ eQ XQD YeFLQGDG Ge (0,1).

40.

dy y 2 sen x 2, dx

c) (12, 12)

eVWi GDGD SRU OQ(x2 10) FVF y c. 'eWeUPLQe ODV VROXFLRQeV FRQVWDQWeV, VL Ve SeUGLeURQ FXDQGR Ve UeVROYLy OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO.

13 27. 11 y dx 11 x dy 0, y(0) 2 4 2 28. (1 x ) dy x(1 4y ) dx 0, y(1) 0 (Q ORV SUREOePDV 29 y 30 SURFeGD FRPR eQ eO eMePSOR 5 y GeWeUPLQe XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GDGR. dy 2 29. ye x , y(4) 1 dx 30.

b) (0, 0)

2x sen 2 y dx (x2 10) cos y dy 0

39.

2

y(0) 1

37. (QFXeQWUe XQD VROXFLyQ VLQJXODU GeO SUREOePD 21 y GeO SUREOePD 22.

38. 0XeVWUe TXe XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD Ge

dy 2y 1, y(0) 52 26. dt 2

y(0) 0

()

12. VeQ 3x dx 2y FRV 33x dy 0

kS

34. VLQ x dx y dy 0,

y(1) 2

35. a) (QFXeQWUe XQD VROXFLyQ GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV TXe FRQVLVWe eQ OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GeO eMePSOR 3 y Ge ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV y(0) 2, y(0) 2, y y 14 1. b) (QFXeQWUe OD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO eQ eO eMePSOR 4 FXDQGR Ve XWLOL]D OQ c1 FRPR OD FRQVWDQWe Ge LQWeJUDFLyQ GeO lado izquierdo eQ OD VROXFLyQ y 4 OQ c1 Ve VXVWLWXye SRU OQ c. 'eVSXpV UeVXeOYD ORV PLVPRV SUREOePDV FRQ YDORUeV LQLFLDOeV TXe eQ eO LQFLVR D). dy y2 y TXe SDVe SRU 36. (QFXeQWUe XQD VROXFLyQ Ge x dx ORV SXQWRV LQGLFDGRV.

11. FVF y dx VeF x dy 0

dS dr dP 17. dt

37

(Q ORV SUREOePDV GeO 31 DO 34 GeWeUPLQe XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV GDGRV. 'eWeUPLQe eO LQWeUYDOR e[DFWR Ge Ge¿QLFLyQ SRU PpWRGRV DQDOtWLFRV. 8Ve XQD FDOFXODGRUD JUD¿FDGRUD SDUD WUD]DU OD JUi¿FD Ge OD VROXFLyQ. 31. dy dx (2x 1) 2y, y( 2) 1 32. (2y 2) dy dx 3x2 4x 2,

0

2

15.

O

Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1.

(Q ORV SUREOePDV 1 D 22 UeVXeOYD OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GDGD SRU VeSDUDFLyQ Ge YDULDEOeV. dy dy 1.

2. sen 5x (x 1)2 dx dx 3. dx e 3xdy 0

VARIABLES SEPARABLES

dy (y 1)2, dx

y(0) 1

dy (y 1)2, y(0) 1.01 dx dy 41. (y 1)2 0.01, y(0) 1 dx dy (y 1)2 0.01, y(0) 1 dx 43. 7RGD eFXDFLyQ DXWyQRPD Ge SULPeU RUGeQ dy dx f (y) eV VeSDUDEOe. (QFXeQWUe ODV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV y1(x), y2(x), y3(x) y y4(x) Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO dy dx y – y3, TXe VDWLVIDJDQ, UeVSeFWLYDPeQWe, ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV y1(0) 42.

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38

O

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2, y2(0) 12 , y3(0) 12 y y4(0) 2. 8WLOLFe XQ SURJUDPD Ge JUD¿FDFLyQ SDUD FDGD VROXFLyQ. 44. a) /D eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO DXWyQRPD Ge SULPeU RUGeQ dy dx 1 (y 3) QR WLeQe SXQWRV FUtWLFRV. 1R REVWDQWe, FRORTXe 3 eQ OD UeFWD Ge IDVe y REWeQJD XQ GLDJUDPD IDVe Ge OD eFXDFLyQ. &DOFXOe d2y dx2 SDUD GeWeUPLQDU GyQGe ODV FXUYDV VROXFLyQ VRQ FyQFDYDV KDFLD DUULED y FyQFDYDV KDFLD DEDMR. 8WLOLFe eO GLDJUDPD IDVe y OD FRQFDYLGDG SDUD TXe, D PDQR, GLEXMe DOJXQDV FXUYDV VROXFLyQ WtSLFDV. b) (QFXeQWUe ODV VROXFLRQeV e[SOtFLWDV y1(x), y2(x), y3(x) y y4(x) Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GeO LQFLVR D) TXe VDWLVIDJDQ, UeVSeFWLYDPeQWe, ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV y1(0) 4, y2(0) 2, y3(1) 2 y y4( 1) 4. 7UDFe OD JUi¿FD Ge FDGD VROXFLyQ y FRPSDUe FRQ VXV GLEXMRV GeO LQFLVR D). ,QGLTXe eO LQWeUYDOR Ge Ge¿QLFLyQ e[DFWR Ge FDGD VROXFLyQ. (Q ORV SUREOePDV 45–50 XWLOLFe XQD WpFQLFD Ge LQWeJUDFLyQ R XQD VXVWLWXFLyQ SDUD eQFRQWUDU XQD VROXFLyQ e[SOtFLWD Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GDGD R GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV. dy dx

1

47. ( x

x)

49. dy

ex , y(1) y

45.

dx

1 sen x dy dx

46. dy dx

y

y 4

48. dy dx

50. dy dx

sen x y y2/3

y

x tan 1 x , y(0) y

54. a) 5eVXeOYD ORV GRV SUREOePDV FRQ YDORUeV LQLFLDOeV dy dx

y,

y

y , x ln x

y(0)

1

y dy dx

y(e)

1.

b) 'ePXeVWUe TXe KDy PiV Ge 1.65 PLOORQeV Ge GtJLWRV Ge OD FRRUGeQDGD y GeO SXQWR Ge LQWeUVeFFLyQ Ge ODV GRV FXUYDV VROXFLyQ eQ eO LQFLVR D).

55. 'eWeUPLQe XQD IXQFLyQ FXyR FXDGUDGR PiV eO FXDGUDGR Ge VX GeULYDGD VeD LJXDO D 1. /D eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO GeO SUREOePD 27 eV eTXLYDOeQWe D OD IRUPD QRUPDO 1 y2 dy

dx B1 x 2 eQ OD UeJLyQ FXDGUDGD GeO SODQR xy Ge¿QLGD SRU x 1, y 1. 3eUR OD FDQWLGDG GeQWUR GeO UDGLFDO eV QR QeJDWLYD WDPELpQ eQ ODV UeJLRQeV Ge¿QLGDV SRU x 1, y 1. 'LEXMe WRGDV ODV UeJLRQeV GeO SODQR xy SDUD ODV TXe eVWD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO WLeQe VROXFLRQeV UeDOeV. b) 5eVXeOYD OD (' GeO LQFLVR D) eQ ODV UeJLRQeV Ge¿QLGDV SRU x 1, y 1. 'eVSXpV GeWeUPLQe XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD y XQD e[SOtFLWD Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO VXMeWD D y(2) 2.

56. a)

3

Problemas para analizar 51. a) ([SOLTXe SRU TXp eO LQWeUYDOR Ge Ge¿QLFLyQ Ge OD VROXFLyQ e[SOtFLWD y 2(x) GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV eQ eO eMePSOR 2 eV eO LQWeUYDOR abierto ( 5, 5). b) ¢$OJXQD VROXFLyQ Ge OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO SXeGe FUX]DU eO eMe x" ¢&Uee XVWeG TXe x2 y2 1 eV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GeO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV dy dx x y, y(1) 0" 52. a) SL a 0 DQDOLFe ODV GLIeUeQFLDV, VL e[LVWeQ, eQWUe ODV VROXFLRQeV Ge ORV SUREOePDV FRQ YDORUeV LQLFLDOeV TXe FRQVLVWeQ eQ OD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO dy dx x y y Ge FDGD XQD Ge ODV FRQGLFLRQeV LQLFLDOeV y(a) a, y(a) a, y( a) a y y( a) a. b) ¢7LeQe XQD VROXFLyQ eO SUREOePD FRQ YDORUeV LQLFLDOeV dy dx x y, y(0) 0" c) 5eVXeOYD dy dx x y, y(1) 2 e LQGLTXe eO LQWeUYDOR I Ge Ge¿QLFLyQ e[DFWR Ge eVWD VROXFLyQ. 53. (Q ORV SUREOePDV 43 y 44 YLPRV TXe WRGD eFXDFLyQ GLIeUeQFLDO DXWyQRPD Ge SULPeU RUGeQ dy dx f(y) eV VeSDUDEOe. ¢$yXGD eVWe KeFKR eQ OD VROXFLyQ GeO SUREOePD dy FRQ YDORUeV LQLFLDOeV 11 y2 sen2 y, y(0) 21? dx $QDOLFe. $ PDQR, GLEXMe XQD SRVLEOe FXUYD VROXFLyQ GeO SUREOePD.

Modelo matemático 57. Puente suspendido (Q OD eFXDFLyQ (16) Ge OD VeFFLyQ 1.3 YLPRV TXe XQ PRGeOR PDWePiWLFR SDUD OD IRUPD Ge XQ FDEOe Àe[LEOe FROJDGR Ge GRV SRVWeV eV dy W , dx T1

(10)

GRQGe W GeQRWD OD SRUFLyQ Ge OD FDUJD YeUWLFDO WRWDO eQWUe ORV SXQWRV P1 y P2 TXe Ve PXeVWUDQ eQ OD ¿JXUD 1.3.7. /D (' (10) eV VeSDUDEOe EDMR ODV VLJXLeQWeV FRQGLFLRQeV TXe GeVFULEeQ XQ SXeQWe VXVSeQGLGR.

y cable h (pandeo) (0, a) L/2

x L/2 L longitud superficie de la carretera (carga)

FIGURA 1.4.5 )RUPD Ge XQ FDEOe GeO SUREOePD 57.

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