Álgebra: una base para la ingeniería

ÁLGEBRA:

una base para la ingeniería

Magda Patricia Estrada Castillo Norma Esthela Flores Moreno Laura Imelda García Ortiz Patricia Argelia Valdez Rodríguez MUESTRA ISSUU © D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS.19/12/2023

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Magda Patricia Estrada Castillo Norma Esthela Flores Moreno Laura Imelda García Ortiz Patricia Argelia Valdez Rodríguez

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Álgebra: una base para la ingeniería Primera edición Magda Patricia Estrada Castillo, Norma Esthela Flores Moreno, Laura Imelda García Ortiz y Patricia Argelia Valdez Rodríguez

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

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Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: © ams_bee / Shuttertstock.com Composición tipográfica: Ediciones OVA

'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Estrada Castillo, Magda Patricia; Flores Moreno, Norma Esthela; García Ortiz, Laura Imelda y Valdez Rodríguez, Patricia Argelia Álgebra: una base para la ingeniería Primera edición ISBN: 978-607-570-214-8 Visite nuestro sitio web en: latam.cengage.com

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Presentación

Presentación La presente obra se desarrolla con la finalidad de cubrir la materia de álgebra correspondiente a los planes de estudio de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME) en la Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL).

La obra está compuesta por las siguientes unidades temáticas: 1. Álgebra vectorial 2. Números complejos 3. Funciones polinomiales 4. Matrices y determinantes Las unidades temáticas se encuentran estructuradas de una forma sencilla que permite llevar al estudiante de la mano para adentrarlo en cada tema mediante contextualización, desarrollo de conceptos, ejemplos de aplicación que desarrollan la solución modelo paso a paso para que, finalmente, el estudiante pueda poner en práctica lo estudiado y ejemplificado mediante ejercicios prácticos. Lo anterior se logra con el apoyo de figuras, gráficas y anotaciones clave para la obtención del resultado, así como por medio del repaso al final de capítulo que permite obtener un panorama general de lo aprendido en cada unidad temática.

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Álgebra: una base para la ingeniería

Agradecimientos Las autoras agradecemos a la editorial Cengage por su gran apoyo para la culminación de esta obra, así como también agradecemos al Dr. Arnulfo Treviño Cubero, director de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, y al Dr. Fernando Banda Muñoz, subdirector académico de la FIME, por la confianza que tuvieron en nosotras para la creación de esta obra y por el gran apoyo que nos dieron para su publicación.

Las autoras

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Contenido

Contenido Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Unidad temática 1 Álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Sistema coordenado cartesiano en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 El espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Sistema coordenado cartesiano en el espacio . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Localización de puntos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Distancia entre dos puntos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5 Ecuación estándar de la esfera de radio r y centro (x0, y0, z0) . . . .

1.3 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Representación gráfica de suma y diferencia de vectores . . . . .

1.3.3 Vectores libres y de forma canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Igualdad de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Multiplicación de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.7 Vectores negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.8 Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Producto escalar, punto o interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Producto punto y ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Componentes y proyecciones de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3 Aplicación del producto punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 Ángulos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Producto vectorial, cruz o exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.1 Producto cruz y vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2 Áreas de paralelogramos y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.3 Aplicaciones del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.4 Triple producto escalar o producto caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.1 Ecuación de la recta en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio . . . . . . . . . . . . .

1.6.3 Ecuación general de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.4 Recta de intersección de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.5 Gráficas de planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.6 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.7 Ángulo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 3 4 5 6 7 9 9 11 13 14 15 16 16 16 22 22 27 29 30 32 32 34 38 39 41 41 43 44 46 47 48 50

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viii

Álgebra: una base para la ingeniería

Repaso del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Respuestas a las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 57 58 62 65

Unidad temática 2 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

2.1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Operaciones con números complejos en forma rectangular o canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Adición y sustracción de números complejos. . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Producto de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 División de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Potencia de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Operaciones con números complejos en forma polar. . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Representación rectangular de un número complejo . . . . . . . .

2.3.2 Representación polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 Operaciones de números complejos en forma polar . . . . . . . . .

Repaso del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Respuestas a las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 82 82 84 85 87 88 89 90 98 106 108 108 112

Unidad temática 3 Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.1 Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2 División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.3 Gráficas de funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4 Recorrido de una función polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.5 Cero de funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.6 Regla de los signos de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7 Ceros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Problema de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Repaso del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Actividad 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Respuestas a las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Unidad temática 4 Matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.1.1 Igualdad de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.1.2 Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.1.3 Matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.1.4 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.1.5 Suma y resta de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.1.6 Multiplicación de una matriz por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.1.7 Multiplicación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

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Contenido

4.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.2.1 Determinantes de orden dos (Δ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.2.2 Determinantes de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2.3 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2.4 Menor de un elemento del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.2.5 Cofactor de un elemento del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.2.6 Valor de un determinante utilizando cofactores . . . . . . . . . . . . . 169 4.2.7 Aplicación de las propiedades para determinar el valor de un determinante utilizando cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.2.8 Aplicación del método Montante en determinantes. . . . . . . . . . 177 4.3 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.3.1 Inversa de una matriz por el método Gauss-Jordan . . . . . . . . . 181 4.3.2 Inversa de una matriz por el método de la adjunta . . . . . . . . . . 183 4.3.3 Inversa de una matriz por el método Montante . . . . . . . . . . . . . 185 4.4 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.4.1 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.4.2 Método para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas empleando la inversa de una matriz cuadrada. . . . . 192 4.4.3 Método para resolver sistemas de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4.4.4 Método para resolver sistemas de ecuaciones lineales por Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Problema de aplicación 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.4.5 Sistema de ecuaciones lineales homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . 204 4.4.6 Sistema de ecuaciones defectuoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.4.7 Sistema de ecuaciones redundantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Repaso del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Actividad 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Respuestas a las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

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Unidad temática

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Álgebra vectorial Existe la necesidad de desarrollar comprensión y habilidad en los métodos vectoriales como técnica de análisis para resolver problemas de ingeniería, ya que conducen a un mejor entendimiento y al desarrollo de la comprensión intuitiva de las ideas físicas y geométricas.

En este libro se definen los vectores utilizando ejes coordenados en el plano, rectas en el plano y segmentos de recta dirigidos, se define también el espacio y se denotan las características de un vector en el plano y en el espacio para más tarde efectuar operaciones con vectores para su aplicación en algunas áreas de física y geometría.

En este capítulo se emplea el sistema coordenado cartesiano, también denominado rectangular, tanto en el plano como en el espacio, por lo que se presentará una breve descripción de ambos sistemas.

1.1 Álgebra vectorial 1.1.1 Vectores en el plano y en el espacio Las figuras 1.1 y 1.2 representan gráficamente un vector en el plano y en el espacio, respectivamente.

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

y z

P(x0, y0) v

v y

x

x Figura 1.2

Figura 1.1 Representación de vectores en el plano.

P(x0, y0, z0)

y

Representación de vectores en el espacio.

En este capítulo se representarán gráficamente los vectores y los vectores unitarios, además se efectuarán la suma, la diferencia de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector de forma analítica y también se representarán gráficamente.

El producto escalar, punto o interno se representa en la forma:

V W = V

W cos T = V1W1 + V2W2 + V3W3

0° ≤ T ≤ 180°

y por medio de esta fórmula se puede calcular el ángulo que forman dos vectores entre sí, así como su componente y el vector proyección sobre otro vector.

El producto vectorial, cruz o exterior de dos vectores A y B es otro vector y se define como: A B

A

B sen

n

180q. en donde n es un vector unitario ortogonal tanto a A como a B y 0q Por otro lado, A u B es un vector ortogonal tanto a A como a B, cuya dirección se obtiene mediante la regla de la mano derecha y nos proporciona vectores normales a planos.

La magnitud del producto cruz A B nos proporciona áreas de paralelogramos y triángulos, y la combinación de los dos productos en tres vectores ayuda a obtener el volumen del paralelepípedo.

Con la ayuda de vectores se obtienen las ecuaciones de rectas en el espacio y utilizando los productos punto y cruz se obtienen ecuaciones de planos en el espacio, distancia de un punto a una recta, distancia de un punto a un plano, ángulos entre planos y con la ayuda de matrices (que serán estudiadas en el capítulo 4) se obtienen las ecuaciones de la recta de intersección de dos planos.

1.1.2 Sistema coordenado cartesiano en el plano Este sistema se usa para localizar puntos en el plano, el cual está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes coordenados x y y, que dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. El cuadrante en que sus dos componentes son positivos es el primero, los otros tres se deducen al girarlo 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj, mientras que el punto de intersección (O) recibe el nombre de origen. Un punto P en el plano tiene como coordenadas la pareja ordenada de números reales (x,y), siendo x la abscisa y y la ordenada (figura 1.3).

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1.2 El espacio

y II

I P(x, y) x

O III

IV

Figura 1.3 Representación del plano xy.

1.2 El espacio 1.2.1 Sistema coordenado cartesiano en el espacio Este sistema se forma con el plano xy al intersectar en el origen (O) una recta perpendicular a este denominada eje coordenado z. La regla de la mano derecha determina la dirección positiva del eje z (es decir, se pone la mano derecha en el eje x y se giran los dedos de esta mano hacia el eje y mientras el dedo pulgar indica el sentido del eje z positivo); el lugar delimitado por los tres ejes coordenados se llama espacio (figura 1.4). z

O x

y

Figura 1.4 Representación del espacio.

Así como un plano se divide en cuatro cuadrantes (figura 1.5), el cuadrante en que sus dos componentes son positivos es el primero, los otros tres se deducen al girarlo 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj. El espacio entonces se divide en ocho octantes (figura 1.6): el octante en el que todas sus componentes son positivas es el primero, el segundo es el que está en la parte de arriba girando en sentido contrario a las manecillas del reloj, de esa manera se localizan los primeros cuatro octantes. El quinto octante es el que se localiza abajo del primero, se vuelve a girar en contra de las manecillas del reloj para obtener la posición de los ocho octantes y se deduce si sus componentes son positivas o negativas (tabla 1.1). y II

z I O

O x III

x

y

IV

Figura 1.5 El plano xy.

Figura 1.6

El espacio.

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Tabla 1.1 Deducción de los signos de las componentes de un punto en el plano y en el espacio.

Cuadrante

Signos de las coordenadas (x, y ) en el plano

Octante

Signos de las coordenadas (x, y, z ) en el espacio

Octante

Signos de las coordenadas (x, y, z ) en el espacio

I

,

I

, ,

V

, ,

II

,

II

, ,

VI

, ,

III

,

III

, ,

VII

, ,

IV

,

IV

, ,

VIII

, ,

1.2.2 Planos coordenados Los planos coordenados son los que contienen dos ejes coordenados (figura 1.7).

Plano xz: en este plano y siempre vale 0

z

Plano xy: en este plano z siempre vale 0

O x

Plano yz: en este plano x siempre vale 0

y

Figura 1.7 Planos coordenados.

1.2.3 Localización de puntos en el espacio Para localizar un punto P en el espacio, se deben tener graduados los ejes coordenados. El punto se encuentra desplazado desde el origen O, una distancia a cada eje equivalente al número de la terna (x, y, z) correspondiente, paralela a dicho eje. El punto se encuentra en la intersección de las tres distancias (figura 1.8). z (x0,0, z0)

P(x0, y0, z0)

z0 x

y0

x0

y

Figura 1.8 Localización de puntos en el espacio.

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1.2 El espacio

EJEMPLOS 1.1 Localiza los siguientes puntos en el espacio: a) A 3, 1, 2 b) B

2, 3, 0

c) C 0, 0, 4 d ) D 2, 1, 3 Solución Se localizan las distancias correspondientes en cada eje; el desplazamiento del origen a las tres distancias es el punto buscado, como lo muestran las figuras 1.9, 1.10, 1.11 y 1.12. z

A 4 3 3

4

z 4

4

3

3

2 2

1 2 1 1

1 1 2 1 2

3 3

Figura 1.9

3

4

4

2

x

4 3

4

y

2 2

3

3

4

4 Figura 1.10

4

3

x

Figura 1.11

4 3

2

2

1 1 2 1 2

3 3

4 3

4

4

4

3

4 y

x

2 2

1 2 1 1 2

3

3

4

D 4

Solución c).

B

z

3

1 2 1 1

3

4

y

C 4

2

3

Solución b).

z

4 3

1 2 1 2

2

x

Solución a).

1

1 2 1 1

Figura 1.12

1 1 2 1 2

3 3

4

4 y

Solución d).

Nota: cuando las tres coordenadas de un punto P son diferentes de cero, dicho punto se localiza en un octante. Si una de sus coordenadas es cero, el punto se localiza sobre un plano coordenado; si dos coordenadas son cero, el punto se localiza en uno de los ejes coordenados.

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6

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

PRÁCTICA 1.1 Localiza los siguientes puntos en el espacio: a) A 2, 1, 3 b) B

3,

4,0

c) C 0, 0,

4

d) D

1, 2, 4

1.2.4 Distancia entre dos puntos en el espacio Dados los puntos P1 x1 , y1 , z1 y P2 x2 , y2 ,z2 , y siendo d la distancia entre los puntos como muestra la figura 1.13. z P2(x2, y2, z2) d P(x2, y2, z1)

P1(x1, y1, z1)

r

x Figura 1.13

y P3(x1, y2, z1)

Distancia entre dos puntos.

Siendo r la distancia entre dos puntos en un plano xy y como en este plano se forma un triángulo rectángulo con r y los segmentos P1P3 y PP3 , donde r es la hipotenusa de ese triángulo y d es la distancia entre dos puntos en el espacio, se observa que se forma otro triángulo rectángulo con r y el segmento PP2 , donde d es la hipotenusa, por lo que la distancia está dada por: 2

x1 y2

r

x2

d

r 2 z2

d

x2

z1 2

y1

2

2

x1 y2

2

y1 z2

z1

2

Nota: la distancia d de un punto P(x, y, z) al origen O está dada por: d

x 2 y2 z 2

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1.2 El espacio

1.2.5 Ecuación estándar de la esfera de radio r y centro (x0, y0, z0) En la figura 1.14 se observa que la distancia que hay del centro de la esfera a cualesquiera puntos de la superficie es el radio y este es la distancia entre dos puntos, con esto se obtiene la ecuación de la esfera. r

2

y0 z

r2

2

x0 y

y0 z

x0 y

x

2

x

2

z0 z0

2 2

Ecuación estándar de la esfera:

z P(x, y, z) r O (x0, y0, z0) y

x

Figura 1.14 Gráfica de la esfera.

EJEMPLOS 1.2 1. Calcula la distancia entre los puntos P1(3, 2, 0) y P2( 3, 4, 3).

Solución El punto P1 se localiza en el primer octante en el plano xy y el punto P2 en el segundo octante, como lo muestra la figura 1.15. Para calcular su distancia se sustituyen las coordenadas de los puntos dados en la fórmula de la distancia. z 4 P2( 3, 4, 3)

3 4 3 4 x

3

2 2

1 2 1 1

1 1 2 1 2

3

3 2 P1(3, 2, 0)

4

4

y

3 4 Figura 1.15 Localización de los puntos P1(3, 2, 0) y P2( 3, 4, 3).

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8

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

2

2

x1 y2

y1 z2

d

x2

d

3 32 4 2 2 3 0 2 36 4 9

d d

49

z1

2

6 2 2 2 32

7

7

2. Determina la ecuación de la esfera de centro en el punto C(3, 1, 2) y radio r

5.

Solución Para obtener la gráfica de la ecuación de la esfera se localiza el punto que es el centro de la esfera (figura 1.16) y todos los puntos que se localicen a la distancia de su radio pertenecen a la superficie de la esfera. Para determinar la ecuación se sustituyen el valor del radio, así como las coordenadas del centro dado en la ecuación estándar de la esfera. z 8 6 8 6 8

6

4 4

2

2 4 2 2

2 4 2 4

6 6

4

x

8

y

8

6 8 Figura 1.16 Gráfica de la esfera de centro C (3, 1, 2) y radio r 5.

x y z 2

2

2

6x

2

2

x0 y

y0 z

r2

x

52

x 32 y 1 z

25

x2

11

x y z

2y 4z 11

2

2

6x 9 y 2 2

2

6x

z0

2

22

2y 1 z 2

4z 4

2y 4z

0

PRÁCTICA 1.2 Resuelve lo siguiente: a) Calcula la distancia entre los puntos P1 4, 2, 2 y P2 2, 5, 4 . b) Determina la ecuación de la esfera de centro en el punto C( 2, 4, 3) y radio r

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6.

1.3 Vectores

1.3 Vectores 1.3.1 Vectores en el plano y en el espacio Un escalar es aquella cantidad que solo requiere conocer su magnitud, es decir, su valor, y se representa con letras ordinarias; algunos ejemplos de cantidades escalares son: distancia (d), tiempo (t), temperatura (T), masa (m), volumen (V), trabajo (W), etcétera.

Un vector es aquella cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido y se representa con letras negritas o letras ordinarias colocando una flecha sobre ellas; algunos ejemplos de cantidades vectoriales son: velocidad (v), aceleración (a), fuerza (F), peso (w), desplazamiento (r), etcétera.

Gráficamente, un vector se representa por medio de un segmento de recta dirigido (figura 1.17).

Q a

Vector PQ

a

a

P Figura 1.17 Representación gráfica de un vector.

Al punto P se le llama origen, cola de vector o punto inicial, así como al punto Q se le llama extremo, cabeza del vector o punto final. a Representa al vector PQ. ~~a~~ Representa el módulo o magnitud del vector a, es decir, la longitud del punto P al punto Q o viceversa.

Se llama vector nulo (0) a aquel vector cuya magnitud es cero y su dirección y sentido no están determinados, por lo que gráficamente se representa como un punto.

El vector unitario u, es aquel cuya magnitud es la unidad: u

1

La multiplicación de un escalar k por un vector a es otro vector, ka, con una magnitud ~~k~~ veces el de a en la misma dirección que este y de sentido igual si k es positivo, si es negativo el sentido es opuesto (figura 1.18).

2a

a

2a

1.5a

a

Figura 1.18 Multiplicación de un escalar por un vector.

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Los vectores que tienen igual dirección se denominan vectores paralelos (figura 1.19) y dos vectores son paralelos si existe un escalar k que multiplicado por uno de ellos sea igual al otro vector. a

kb

Vectores paralelos

Figura 1.19 Vectores paralelos.

El vector unitario u en la dirección y sentido del vector a se muestra en la figura a , por lo que el vector a ua a .

1.20 y se expresa de la forma ua a

a

ua Figura 1.20

Vector unitario en la dirección de a.

Se llama vector opuesto o negativo a aquel que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuesto, tal que a representa el vector opuesto o negativo del vector a (figura 1.21).

a

a

Figura 1.21

Vectores opuestos.

Dos vectores son iguales si y solo si tienen la misma magnitud, dirección y sentido (figura 1.22).

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1.3 Vectores

z a

y

b

x

Figura 1.22 Igualdad de vectores.

1.3.2 Representación gráfica de suma y diferencia de vectores La suma o resultante de dos vectores a y b es otro vector c que se obtiene al trasladar el origen del vector b al extremo del vector a y el vector c es el vector que une el origen del vector a al extremo del vector b (figura 1.23).

a

b

b

a

c

a b

Figura 1.23 Suma de vectores.

La suma de vectores es conmutativa, entonces: a b b a. Si se traslada el origen de los dos vectores a un origen común se comprueba esta ley (figura 1.24).

b a

a b b a

a

b Figura 1.24 Ley del paralelogramo.

El vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo con el origen común y se le llama ley del paralelogramo de la suma.

La diferencia de dos vectores a y b que se representa como a b, la cual es el vector c que, sumado con b, genera el vector a (figura 1.25). c

a b

a ( b)

o

c b

a

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

b

b

a

c

a

b a ( b)

Figura 1.25 Diferencia de dos vectores.

EJEMPLOS 1.3 Dados los vectores a, b, c que se muestran en la figura 1.26, construye los vectores: a) 2a b c b) 2b

1 2c a 2

b a

c Figura 1.26 Vectores dados.

Solución Al unir el extremo con el origen se suman los vectores, la figura 1.27 muestra la solución del inciso a) y las figuras 1.28 y 1.29 son la solución del inciso b).

b 2b

c b

b a

c

2a b c a a Figura 1.27

1 (2c a) 2

Solución del inciso a).

2c a

c

Figura 1.28 Representación gráfica del vector que se resta al vector 2b.

Figura 1.29

1 (2c a) 2

Solución del inciso b).

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1.3 Vectores

PRÁCTICA 1.3 Dados los vectores a, b, c de la figura 1.30, construye los vectores: a) a 2b c 1 3c b 2

b) 2a

c b

a Figura 1.30 Vectores dados.

1.3.3 Vectores libres y de forma canónica Un vector que no tiene su punto inicial en el origen se conoce como vector libre (figuras 1.31 y 1.32). z y P(x0, y0) v v x

x Figura 1.31

Vector libre en el plano.

Figura 1.32

P(x0, y0, z0) Vector libre en el espacio.

Al vector cuyo punto inicial se localiza en el origen O de un sistema coordenado se le llama vector en forma canónica o posición estándar (figuras 1.33 y 1.34). z y P(x, y)

P(x, y, z) O

O

x

y

x Figura 1.33

Vector en forma canónica en el plano.

OP

Figura 1.34

Vector en forma canónica en el espacio.

OP, vector en forma canónica

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Álgebra vectorial

1.3.4 Vectores unitarios Los vectores trirrectangulares i, j y k son vectores unitarios perpendiculares entre sí, los cuales se encuentran colocados sobre la parte positiva de los ejes coordenados x, y y z, respectivamente (figuras 1.35 y 1.36).

y

z

j

k i

O

i

x

O j

y

x

Figura 1.35 Vectores unitarios en el plano.

Figura 1.36

Vectores unitarios en el espacio.

El vector OP puede expresarse en términos de los vectores i, j y k de la forma OP xi y j zk, como lo muestran las figuras 1.37 y 1.38, donde a estos tres términos se les llama componentes vectoriales.

z y P(x, y, z)

P(x, y) OP O

x

xi OP

OP O

zk

yj

xi x

xi yj

Figura 1.37 Componentes vectoriales en el plano.

y

yj OP

Figura 1.38

xi yj zk

Componentes vectoriales en el espacio.

El vector OP también puede expresarse de la forma OP x, y, z , la cual se utiliza en este capítulo para representar los vectores.

Las componentes de los vectores unitarios i, j y k son: 1, 0, 0 , 0, 1, 0 y 0, 0, 1 , respectivamente.

Un vector unitario u en la dirección y sentido del vector a a1, a2, a3 se obtiene de la siguiente manera: ua

a a

1 a1 , a2 , a3 a

a1 a a , 2 , 3 a a a

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1.3 Vectores

1.3.5 Igualdad de vectores Se dice que dos vectores a y b son vectores iguales si ambos son iguales en magnitud, dirección y sentido; esto es, si al trasladar el punto inicial de los dos vectores al mismo punto en una línea recta que tenga la misma dirección, estos son exactamente iguales (figura 1.39). z a a

b

b x y Figura 1.39 Vectores iguales.

Dados los vectores a a1 , a2 , a3 y b b1 , b2 , b3 , son iguales a b si y solo si las componentes correspondientes son iguales: a1 b1 , a2 b2 y a3 b3 .

1.3.6 Multiplicación de un escalar por un vector Al multiplicar un vector por un escalar entero se suma el vector tantas veces como el valor absoluto del escalar ~k~.

EJEMPLOS 1.4 Dado el vector a

x, y y k

3, deduce el vector ka.

Solución La figura 1.40 muestra el vector 3a y sus componentes vectoriales.

3a = ¢3x, 3y² a

3a a

a a x

3y

y 3x

Figura 1.40 Componentes vectoriales de 3a.

La multiplicación de un vector a y un escalar k se obtiene al multiplicar cada componente del vector a por k: ka

k a1 , a2 , a3

ka1 , ka2 , ka3

Notas: cuando el escalar es una fracción, también se cumple la multiplicación. Todo lo que es válido para vectores en el plano también lo es para vectores en el espacio.

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

1.3.7 Vectores negativos El vector negativo de un vector es otro vector igual en magnitud y dirección, pero de sentido contrario, esto es un vector que forma 180° (figura 1.41).

y

a

a a

x

a

Figura 1.41 Vector negativo.

Dado el vector a a1 , a2 , a3 , el vector opuesto o negativo a es el producto del 1. vector a por el escalar k ka

1 a1 , a2 , a3

a

a1 ,

El vector ka donde k valen cero.

a1 ,

a2 ,

a3

a2 , a3

0 es el vector nulo (0) en el cual todas sus componentes ka

0 a1 , a2 , a3

0

0, 0, 0

0, 0, 0

0

1.3.8 Suma y resta de vectores Abordemos este tema con un ejemplo.

EJEMPLOS 1.5 Sean los vectores a

a1 , a2 y b

b1 , b2 obtener el vector c

a b.

Solución Al unir extremo y origen se suman los vectores, la figura 1.42 muestra el vector resultante c y sus componentes.

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1.3 Vectores

y b

a

b c a

b1

a2 a1 c1

Figura 1.42

b2 a2 b2

c2

a1 b1

x

Componentes vectoriales del vector resultante de la suma de dos vectores.

c

c1 , c2

c

a1 b1 , a2 b2

La suma o resultante de dos vectores a y b es un vector c que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de a y b. c a b c1 , c2 , c3

a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3

c1 , c2 , c3

a1 b1 , a2 b2 , a3 b3

La suma de varios vectores es un vector que se obtiene al sumar las componentes correspondientes.

Dados los vectores a a1 , a2 , a3 y b b1 , b2 , b3 , la diferencia c a b está dada por: c a b a b c1 , c2 , c3

a1 , a2 , a3

c1 , c2 , c3

a1

b1 , a2

b1 , b2 , b3 b2 , a3

b3

El módulo o magnitud de un vector a a1 , a2 , a3 , denotado por a está dado a12 a22 a32 . por a Dado un vector libre v , determinado por los puntos A a1 , a2 , a3 y B(b1 , b2 , b3 ); es decir, v AB como muestra la figura 1.43, entonces las componentes del vector v se obtienen como sigue: z A(a1, a2, a3) a

v

O b

v

AB

B(b1, b2, b3)

x y Figura 1.43

Vector entre dos puntos dados.

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

El vector a sale del origen y va al punto A, por lo que es un vector de posición canónica, como también lo es el vector b, por lo que sus componentes vectoriales son a a1 , a2 , a3 y b b1 , b2 , b3 ; gráficamente los vectores a y v se suman y el vector b es el vector resultante, ya que inicia en el mismo punto que el vector a y su punto final está en el mismo punto final del vector b, por lo que se obtiene: a v

b

Como se conocen los vectores a y b se despeja el vector v: v

b a

v

b1 , b2 , b3

a1 , a2 , a3

v

b1

a2 , b3

a1 , b2

a3

Dados los puntos inicial y final de un vector, este es igual al vector de posición canónica del punto del extremo menos el vector de posición del punto del origen.

El módulo o magnitud del vector v está dado por: v

2

a1 b2

b1

2

a2 b3

2

a3

Nota: cuando sumamos o restamos vectores el vector resultante que se obtiene es en forma canónica.

EJEMPLOS 1.6 1. Dados los vectores a 3i 2 j módulos de: a) c b) a b c c) 3a b 2c

k, b

2, 4, 3 y c i 2 j 2k, hallar los

Solución c

a) Al aplicar la fórmula de magnitud de un vector 2, c3 2. c i 2 j 2k, por lo que c1 1, c2 c12 c22 c32

c c

12

2 2

22

1 4 4

c12 c22 c32 en

9

3

3

b) Al hacer la operación a b c y sumar las componentes correspondientes: a b c

3,

a b c

3 2 1, 2 4 2, 1 3 2

a b c

2, 0, 4

2, 1

2, 4, 3 1, 2, 2 2, 0, 4

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1.3 Vectores

Al aplicar la fórmula de magnitud de un vector en el vector resultante se obtiene el módulo: a b c

2 2 0 2

a b c

20

42

4 0 16

20

c) Al hacer la operación 3a b 2c y sumar las componentes correspondientes: 3a b 2c

3 3,

2, 1

2, 4,

3a b 2c

9,

6, 3 2,

4, 3

3a b 2c

9 2

3a b 2c

9,

2,

3

2 1,

2,

2

2, 4, 4

6 4 4, 3 3 4

9,

6, 10

6, 10

Al aplicar la fórmula de magnitud de un vector en el vector resultante se obtiene el módulo.

3a c 2b

9 2

3a c 2b

217

6 2 10 2

81 36 100

217

2. Encuentra un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vecto5, 2, 4 y b 1, 6, 3 . res a Solución La resultante se obtiene al sumar los dos vectores: R R

a b

5, 2, 4 1, 6,

3

5 1, 2 6, 4 3

4, 8, 1

4, 8, 1

Se obtiene el módulo de la resultante para sustituirlo en la fórmula: 4 2 8 2 1 2

R

16 64 1

81

9

El vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de a y b es: uR

R R

uR

4 8 1 , , 9 9 9

4, 8, 1 9

4 8 1 , , 9 9 9

3. Obtén un vector en posición canónica si tiene por origen el punto P extremo Q 2, 2, 3 determinando su módulo.

3, 5,

1 y

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Solución Al trazar los puntos P y Q (figura 1.44) y siguiendo el método gráfico, se calcula el vector PQ y los vectores de posición canónica p y q. z 5 4 3 Q 2 q 1 5 4

3 2

1 2

4

1 1 1

1

2

5 4

3

P p

2

3

2 3

3

5

PQ

4

5

y

4 5

x

Figura 1.44 Vector que inicia en el punto P y termina en el punto Q.

Los vectores de posición canónica p y q tienen como componentes las coordenadas de sus puntos, ya que su punto inicial es el origen, entonces: p

1 yq

3, 5,

2, 2, 3

En la gráfica se observa que el vector de posición canónica p se está sumando con el vector PQ, ya que se une el extremo con su origen y la resultante es el vector q; el origen de este último vector es el mismo que el origen del vector p y su extremo es el mismo extremo que el de PQ, por lo que: p PQ q al despejar el vector PQ: PQ

p

q

Todos los vectores que resultan de alguna operación están en posición canónica, por lo que al aplicar esta operación se calcula el vector PQ en posición canónica. p

PQ

q

PQ

2, 2, 3

PQ

5,

3, 5,

1

2

3 , 2 5, 3

1

5,

3, 4

3, 4

Para determinar el módulo del vector PQ se utiliza cualquiera de las dos fórmulas, una es: PQ

PQ12 PQ22 PQ32

PQ

50

PQ

5 2

25 2

52

32 4 2

25 9 16

5 2

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1.3 Vectores

4. Dados los vectores p les son paralelos.

3, 2, 1 , q

6, 4, 3 y r

6, 4,

2 demuestra cuá-

Solución Dos vectores son paralelos si existe un escalar k que multiplicado por uno de ellos sea igual al otro vector. Se probará lo anterior de dos en dos vectores para demostrar si son paralelos y la k debe tener el mismo valor.

3,

p

kq

2, 1

k 6,

3

6k

2

4k

1

3k

k

1 2

k

1 2

k

1 3

4, 3

Uno de los valores de k es diferente, por lo que los vectores p y q no son paralelos; ahora se prueban los vectores p y r: 3,

p

kr

2, 1

k

6, 4,

2

3

6k

2

4k

1

2k

k

1 2

k

1 2

k

1 2

El valor de k es el mismo en las tres igualdades, por lo que los vectores p y r son paralelos; por último se prueban los vectores q y r: 6,

q

kr

4, 3

k

6, 4,

2

6

6k

4

4k

3

2k

k

1

k

1

k

3 2

Uno de los valores de k es diferente, por lo que los vectores q y r no son paralelos.

Nota: si un vector p es paralelo a otro vector r, y no es paralelo a un tercer vector q, en consecuencia, estos dos últimos vectores r y q no son paralelos entre sí.

PRÁCTICA 1.4 1. Dados los vectores a a) ~~c~~ b) 2a 3b c c) 2a 3b c

i 3 j

k, b

3,

4, 2 , c

2i j 2k, calcula:

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22

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

2. Obtén un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores a 6, 5, 1 y b 2, 4, 3 .

3, 5 y extremo Q

3. Encuentra el vector que tiene por origen el punto P 4, determinando su módulo.

4. Dados los vectores p 1, 3, 2 , q 3, 9, 4 y r les son paralelos.

5. Los puntos P 2, 1, 4 , Q 2, 3, 2 y R 6, 1, calcula las magnitudes de sus lados.

2, 3,

4

2, 6, 4 demuestra cuá-

2 son los vértices de un triángulo,

1.4 Producto escalar, punto o interno 1.4.1 Producto punto y ángulo entre dos vectores El producto punto de dos vectores V V1i V2 j V3 k y W T es el ángulo entre ellos, es un escalar.

V W

V

W cos

0q

W1i W2 j W3 k, donde

180q

El producto punto entre vectores cumple la propiedad conmutativa, es decir, V W W V. Como las magnitudes de los vectores son escalares, es indiferente el orden del producto y el cos también es un escalar, por lo que: V

W

V W

W V

cos

W

V

cos

Si el producto se efectúa entre vectores unitarios entonces: i i

j j

k k

1

i j

j k

k i

0

Como son vectores unitarios, la magnitud de ellos es la unidad; si se multiplica el mismo vector, el ángulo entre los vectores es 0º. Al utilizar las identidades trigonométricas que veremos en el capítulo 2, el cos 0q 1, pero si se multiplican vectores diferentes, entre ellos hay un ángulo de 90º y el cos 90q 0. Por lo que el producto punto también es:

V W V

W cos

V1W1 V2W2 V3W3

El coseno del ángulo entre dos vectores no nulos V y W es: cos

V W V W

V1W1 V2W2 V3W3 2 V1 V22 V32 W12 W22 W32

Si V y W son dos vectores no nulos y si V W (o perpendiculares).

0, entonces V y W son ortogonales

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1.4 Producto escalar, punto o interno

Nota: los conceptos perpendicular, ortogonal y normal significan esencialmente lo mismo (que se forma un ángulo recto); sin embargo, el término perpendicular se aplica a rectas o a planos, ortogonal se utiliza en vectores y normal se aplica a un plano (superficie) y un vector.

EJEMPLOS 1.7 1. Determina los productos escalares siguientes: a) j j b) j k c) k i d) i 3, 2, 4 e) 3,0, 1

1,

4, 2

Solución Los vectores unitarios tienen como magnitud 1, el coseno de 0° es 1 y de 90° es 0, entonces: j j cos 0 q 1 1 1 1 a) j j b) j k

j

c) k i

k

d) i 3,

2, 4

e) 3, 0, 1

k cos 90 q

1 1 0

i cos 90 q

1 1 0

0 0

i 3i i ( 2 j) i 4k 1,

2. Dados los vectores V a) V W b) V V c) W W

4, 2

3

1 0

3 0 0 4

V1i V2 j V3 k y W

3

1 2

3 0 2

5

W1i W2 j W3 k obtén:

Solución Al sustituir en la fórmula de producto punto se obtiene: a) V V

V1W1 V2W2 V3W3

b) V V V1V1 V2V2 V3V3 V12 V22 V32 V 2 2 c) W W W1W1 W2W2 W3W3 W1 W2 W32

2

W

2

Por lo que el producto punto del mismo vector es la magnitud del vector al cuadrado, ya que el ángulo siempre va a ser cero.

3. Las magnitudes de dos vectores son respectivamente V 5y W 7 unidades y forman entre sí un ángulo 60q. Calcula el producto escalar entre ellos.

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24

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Solución Al aplicar la fórmula del producto escalar y las identidades trigonométricas (capítulo 2) se obtiene: V W

V

V W

35 2

W cos

4. Dados los vectores V

5 7 cos 60q

2, 6, 3 y W

35

1 2

35 2

2, 2, 1 determina:

a) V b) W c) V W Solución Para obtener los tres incisos se debe sustituir en las fórmulas adecuadas. a)

V b)

2 2 2 2

W12 W22 W32

4 36 9

49

7

12

4 4 1

9

3

3 V W

c) 2,

6 2 32

7

W W

2 2

V12 V22 V32

V

2, 2,

6, 3

1

V1W1 V2W2 V3W3 2

2

6 2 3

1

4 12 3 V W

19

5. Encuentra el coseno del ángulo formado por los vectores dados en el ejemplo anterior.

Solución El coseno pedido es: cos cos cos

V1W1 V2W2 V3W3

V W V W 19 7 3 19 21

V12 V22 V32 W12 W22 W32 19 21

6. Los puntos P 3, 3, 2 , Q 2, 5, 1 y R 1, 8, 0 son los vértices de un triángulo, determina los ángulos internos de dicho triángulo.

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1.4 Producto escalar, punto o interno

Solución Gráficamente, los puntos se muestran en la figura 1.45. z Q

q r p

qr

pq

x p

y

R

pr

Figura 1.45 Vectores que forman un triángulo dados tres puntos.

Al conocer los puntos que son los vértices del triángulo se deben calcular los vectores de posición canónica de estos tres puntos, que son: p

2 ,q

3, 3,

2, 5, 1 y r

1, 8, 0

Utilizando estos vectores de posición canónica se representan vectores entre dos puntos, cuidando que para obtener los ángulos internos del triángulo, los dos vectores deben estar entrando al vértice o saliendo del vértice, porque si esto no sucede el ángulo que resulta es suplementario; por esta razón, se debe tomar como vértice al punto P con los dos vectores saliendo de él y el punto R con los vectores entrando al vértice, por lo que: pq

q

p

pr

r

p

1, 8, 0

3, 3,

qr

r

q

1, 8, 0

2, 5, 1

2, 5, 1

3, 3,

2

5, 2, 3

2

2, 5, 2 3, 3,

1

Se calculan los ángulos internos del triángulo aplicando la ecuación de cos será el ángulo del vértice P y R el ángulo del vértice R. cos

P

cos

P

cos

P

pq1 pr1 pq2 pr2 pq3 pr3 2

R

52 2 2 32 26 38 33 42.76q pr qr pq pr

2

2

pq 1 pq 2 pq 3 5, 2, 3

P

cos

pq pr pq pr

y

2, 5, 2 2 2 52 2 2

2

2

2

pr 1 pr 2 pr 3

10 10 6 25 4 9 4 25 4

0.7342

pr1qr1 pr2qr2 pr3qr3 2 2 2 2 2 2 pr 1 pr 2 pr 3 qr 1 qr 2 qr 3

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P

,

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26

Unidad temática 1

cos cos

Álgebra vectorial

2, 5, 2 R

R R

2

2

2 5 2 7 33 19 73.76q

3, 3, 2

6 15 2 4 25 4 9 9 1

1

2

2

3 3

1

2

0.2796

La determinación del ángulo Q se puede hacer de dos formas: cambiando el sentido a uno de los vectores PQ y QR y aplicar la misma fórmula o, como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º, restarle a esta cantidad los dos ángulos ya obtenidos para hallar el ángulo faltante; al resolverlo de la segunda forma se tiene que: 180q

P R Q

Q

180q

Q

63.48q

P

R

180q 42.76q 73.76q

63.48q

PRÁCTICA 1.5 1. Determina los productos escalares siguientes: a) 3k 1, 0, 2 b) 5, 1, 3

2, 4, 2

c) 0, 3, 4

5, 3, 2

2. Dados los vectores V a) V 2 b) W 2 c) V W

8, 0, 6 , W

1, 8, 4 obtén:

4y W 8 unidades 3. Las magnitudes de dos vectores son respectivamente V 45q. Calcula el producto escalar entre ellos. y forman entre sí un ángulo 4. Dados los vectores; V a) V

2,

4,

4 yW

3, 0,

4 obtén:

b) W c) V W 5. Los vectores V 4, 3, 0 son dos lados de un triángulo; obtén los 2, 6, 3 y W ángulos internos de dicho triángulo.

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1.4 Producto escalar, punto o interno

1.4.2 Componentes y proyecciones de un vector La componente de un vector v sobre otro vector w (Comp w v) es el escalar que se obtiene al multiplicar la magnitud del vector v por el coseno del ángulo entre los dos vectores, recuerda que no importa la magnitud w ni el sentido ya que no se proyecta sobre el vector sino sobre una recta paralela a este, por lo que la componente puede ser positiva, negativa, mayor o menor que w.

Comp wv

v cos

De la fórmula de producto punto de estos dos vectores se sustituye y despeja Comp w v; se observa que se simplifica, ya que un vector dividido entre su magnitud es el vector unitario (figura 1.46). v w Comp wv

v

w cos

v w w

v uw

w Comp w v

v T Compwv

w

Figura 1.46 Componente de un vector sobre otro vector.

La proyección de un vector v sobre otro vector w Proy w v es el vector que se obtiene al multiplicar la componente del vector v sobre el vector w (Comp w v) por el unitario del vector donde se quiere proyectar Proy w v

w w

(figura 1.47).

Comp w v uw

v uw uw

v T Proywv

w

Figura 1.47 Proyección de un vector sobre otro vector.

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28

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

EJEMPLOS 1.8 i – 2 j k en la dirección de

1. Determina la componente del vector v w 4i – 4 j 7k.

Solución Para utilizar la fórmula Comp wv rección de w uw :

v uw se obtiene primero el vector unitario en la diw w

uw

Para obtener la magnitud del vector w se sustituye en la fórmula: w

x 2 y2 z 2

w

4 2

4 2 7 2

16 16 49

4,

4 4 7 , , 9 9 9

81

9

de donde uw

4, 7 9

por lo que al sustituir estos valores en la fórmula de la componente se obtiene: Comp wv

v uw

Comp wv

i 2 j k

Comp wv

19 9

4 i 9

4 7 j k 9 9

2. Determina la componente del vector v dirección del vector w 1, 2, 2

4 8 7

9 9 9

19 9

2, 3, 1 sobre un eje S que tiene la misma

Solución Como el vector w y el eje S tienen la misma dirección, el vector unitario que tiene la misma dirección que S es uw . uw

1,

2, 2

1

2

2

2 2

1 2 2 , , 3 3 3

2

Al sustituir en la fórmula de la componente se obtiene: Comp s v

v uw

Comp s v

10 3

2, 3, 1

1 2 2 , , 3 3 3

2 3

2

2 3

10 3

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1.4 Producto escalar, punto o interno

1.4.3 Aplicación del producto punto 1.4.3.1 Problemas de aplicación

El trabajo W producido por una fuerza constante F aplicada a una partícula que sufre un desplazamiento r se define como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del vector r Comp r F por la magnitud de r.

A continuación, se muestra lo anterior de manera gráfica, en la figura 1.48, y analítica.

F

Q T

r

P Figura 1.48 Representación gráfica de los vectores que producen trabajo.

r

PQ

Comp r F en donde

F cos

es el ángulo formado por F y r.

W

r Comp r F

W

r

F cos

W

F r

es decir,

EJEMPLOS 1.9 Calcula el trabajo realizado por la fuerza constante F 2i – 3 j 5k si el cuerpo al que se le aplica tiene un desplazamiento del punto P( 1, 3, 2) al punto Q(5, 4, 6).

Solución El vector del desplazamiento del cuerpo es: r

PQ

q

r

6i – 7 j 4k.

p

5, 4, 6

1, 3, 2

5 1, 4 3, 6 2

6, 7, 4

Por lo que el trabajo realizado por la fuerza es: W

F r

W

2i – 3 j 5k 6i – 7 j 4k

W

53

12 21 20

53

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30

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

1.4.4 Ángulos directores de un vector V

Los ángulos directores , y figura 1.49 se definen como:

V1i V2 j V3 k que se muestran en la

es el ángulo entre el vector V y el eje positivo x y toma valores de 0q es el ángulo entre el vector V y el eje positivo y y toma valores de 0q es el ángulo entre el vector V y el eje positivo z y toma valores de 0q

180q.

180q.

180q.

z V3 J

V E

V1

D

T

x

V2 y

Figura 1.49

Ángulos directores de un vector.

1.4.4.1 Cosenos directores

cos

V1 V

cos

V2 V

cos

V3 V

Los vectores unitarios también se construyen a partir de los cosenos directores por lo que se puede demostrar la siguiente identidad. cos2 cos2 cos2 Nota: se puede observar en la figura que el ángulo es el mismo que el ángulo en el espacio ( xyz).

1 que se trabaja en el plano xy no

EJEMPLOS 1.10 Determina un vector unitario con la dirección y sentido del vector v 4, 2, 4 , los ángulos , y que el vector forma con los ejes coordenados y compruébalo mediante la identidad de la suma de los cosenos directores.

Solución Se calcula la magnitud del vector v utilizando la fórmula. v

v12 v22 v32

v

4 2 2 2

v v

42

36 6

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1.4 Producto escalar, punto o interno

Se deducen los cosenos directores por medio de sus fórmulas: V1 V

cos

4 6 2 3

cos cos

V2 V

cos

cos

2 6 1 3

cos cos

cos cos

V3 V 4 6 2 3

De estas ecuaciones se despejan los ángulos , y ; sus valores son 131.81q, 70.53q y 131.81q, siendo estos los ángulos que el vector forma con los ejes coordenados x, y y z , respectivamente.

De la fórmula de vector unitario se deduce que: uv

v v

uv

cos , cos , cos

1 v1 , v2 , v3 v

v1 v2 v3 , , v v v

Al sustituir los valores de los cosenos directores se obtiene el vector unitario del vector v: uv

cos , cos , cos

uv

2 1 2 , , 3 3 3

Para comprobar que es un vector de magnitud uno se sustituye en su identidad: cos2 cos2 cos2 2

2

1 2

2 2 1

1 3 3 3 4 1 4

1 9 9 9 1 1

PRÁCTICA 1.6 1. Resuelve lo siguiente: a) Obtén la componente del vector v 3, 5, 2 en la dirección de w 6i 8k. b) Calcula el trabajo realizado por la fuerza constante F 6i – 6 j 4k al mover un cuerpo del punto P(4, 2, 3) al punto Q( 1, 3, 5). c) Determina un vector unitario con la dirección y sentido del vector v 4, 7, 4 , los ángulos , y que el vector forma con los ejes coordenados y compruébalo mediante la identidad de la suma de los cosenos directores.

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32

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

1.5 Producto vectorial, cruz o exterior 1.5.1 Producto cruz y vector normal El producto cruz de dos vectores A y B es otro vector y se define como: A B

A

B sen

n

A u B B

n

T A Vector A

Figura 1.50

B.

n es un vector unitario ortogonal tanto a A como a B, 0$ 180$ (figura 1.50).

A B es un vector ortogonal tanto a A como a B, cuya dirección se obtiene mediante la regla de la mano derecha. Al aplicar esta regla en el producto de los vectores unitarios i, j y k (figura 1.51) se tiene que: z

k j

i

y x Figura 1.51

Vectores unitarios trirrectangulares i, j y k.

Regla de la mano derecha: poner la mano derecha en el sentido del primer vector que forma el producto y girar los dedos hacia el segundo vector del producto, y el dedo pulgar indica el sentido del vector ortogonal a estos dos vectores.

Producto cruz de los vectores unitarios: i i

j

0

i k

j

j

i

k

j

j i

0 k

k k

0

i

j

k

j k

i

k i

j

Aquí se puede observar que el producto cruz no es conmutativo, ya que nos daría un vector de sentido contrario o negativo. Veamos un ejemplo.

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1.5 Producto vectorial, cruz o exterior

Sean A cruz:

A1i A2 j A3 k y B

B1i B2 j B3 k dos vectores, efectuar el producto

A1i A2 j A3 k

A B

B1i B2 j B3 k

Al multiplicar término a término los dos trinomios y recordando que las componentes vectoriales son escalares, los vectores son i, j y k y en estos se efectúa el producto cruz, por lo que se obtiene: A1B1i i A1B2 i

A B

j A1B3 i k A2 B1 j i A2 B2 j

A2 B3 j k A3 B1 k i A3 B2 k

j

j A3 B3 k k

Al sustituir el producto cruz de los vectores unitarios y simplificando se obtiene: A B

A1B1 0 A1B2 k A1B3

j, A2 B1

k A2 B2 0

A2 B3 i A3 B1 j, A3 B2

i A3 B3 0

A2 B1k A2 B3 i A3 B1 j

A B

A1B2 k

A1B3 j

A B

A2 B3

A3 B2 i A3 B1

A1B3 j A1B2

A3 B2 i A2 B1 k

El producto cruz de dos vectores también se puede obtener de la siguiente manera: A B

B1 , B2 , B3

A1 , A2 , A3

Por lo anteriormente mencionado acerca de la regla de la mano derecha con los vectores unitarios i, j y k, esta operación equivale al cálculo del siguiente determinante: i A1 B1

A B

j A2

k A3

B2

B3

Donde en la primera fila están los vectores i, j y k, en la segunda fila son las componentes vectoriales del primer vector del producto y en la tercera fila las componentes vectoriales del segundo vector del producto.

Se calcula el determinante por el método de suma de cofactores para los elementos de la primera fila y se obtiene: A B

A2 B2

A3 i B3

A1 B1

A3 A1 j B3 B1

A B

A2 B3

A3 B2 i

A1B3

A3 B1 j A1B2

A2 B1 k

A B

A2 B3

A3 B2 i A3 B1

A1B3 j A1B2

A2 B1 k

A B

A2 B3

A3 B2 , A3 B1

A1B3 , A1B2

A2 k B2

A2 B1

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34

Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Aquí se puede observar que por ambos métodos se obtiene el mismo vector, siendo más sencillo resolverlo por determinantes, además, en el producto de B A se cambian la segunda y la tercera filas y se obtiene el vector negativo; esto es una regla de los determinantes (capítulo 4).

1.5.2 Áreas de paralelogramos y triángulos Si A y B no son el vector cero (0), y si es el ángulo entre A y B, tal que dichos vectores son los lados adyacentes de un paralelogramo (figura 1.52), entonces el área del paralelogramo generado por A y B es: AP

A

B sen

Por lo anterior, también AP A B .

Si los vectores A y B forman los lados adyacentes de un triángulo (figura 1.53), el área de dicho triángulo está dada por: 1 A B 2

AT

A u B

A

Ap B

Figura 1.52

Paralelogramo formado con los vectores A y B.

A AT B Figura 1.53

Triángulo formado con los vectores A y B.

Si el vector A o el vector B es el vector cero 0 , o si el vector A es paralelo al vector B, entonces A B es el vector 0 A B 0 .

Nota: dos vectores paralelos no forman área.

El producto vectorial no cumple con la propiedad conmutativa, ya que para dos vecB A, es decir, un vector que tiene la tores no paralelos y diferentes de 0, A B misma magnitud y dirección, pero sentido contrario que A B.

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1.5 Producto vectorial, cruz o exterior

EJEMPLOS 1.11 1. Calcula el producto vectorial A B si A

7i 5 j 3k y B

2i 4 j – 6k.

Solución Al sustituir las componentes vectoriales en el determinante se obtiene: A B

(7i – 5 j 3k) (2i 4 j – 6k)

A B

i 7 2

A B

42i 36 j 38k

j 5 4

k 3 6

5 4

3 i 6

7 2

3 7 j 6 2

5 k 4

42i 36 j 38k

2. Sean A 4i – 3 j 5k y B 11i 12 j 13k, determina: a) el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores dados, y b) el área del triángulo formado por dichos vectores.

Solución a) El módulo del vector A B es el área del paralelogramo, por lo que se efectúa el producto cruz:

A B

i j k 3 5 4 11 12 13

A B

99i 3 j 81k

3 5 i 12 13

4 5 3 4 j k 11 13 11 12

Se calcula el módulo de este vector para obtener el área del paralelogramo: AP

A B

AP

3 1819

99 2 3 2 81 2

16 371

3 1819

b) El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo (inciso anterior): AT

1 A B 2

3 1819 2

3. Determina un vector de módulo 39 y perpendicular a los vectores A yB 4, 6, 1 .

4, 3, 0

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Solución Un vector perpendicular a A y B es el vector A B, y también lo es B A, por lo que se efectúa el producto cruz:

A B

i 4 4

j 3 6

k 0 1

3 0 i 6 1

4 0 j 4 1

4 4

3 k 6

3i

4 j 12k

Se determina el módulo del vector A B para calcular el vector unitario.

32

A B

4 2 12 2

169

13

El vector unitario en la dirección de A B es: n

A B A B

4 j 12k 13

3i

3 i 13

4 12 j k 13 13

El vector buscado tiene un módulo de 39 y es ortogonal a los dos vectores A y B, por lo que al multiplicar el vector unitario por 39 se obtiene este vector: 39n

39

3 i 13

4 12 j k 13 13

9i 12 j 36k

La respuesta al problema también puede ser B A, porque este vector también es ortogonal a A y B, por lo que el vector negativo también cumple: 39n

39

3 i 13

4 12 j k 13 13

9i 12 j 36k

Entonces el vector de módulo 39 y perpendicular a los vectores A y B es: 39n 4. Dados V a) V W b) W V

2,

1, 4 y W

r

1, 3,

9i 12 j 36k 1 determina:

Solución Para obtener el producto cruz se calcula el valor del determinante de orden tres, en el cual los elementos de la primera fila son los vectores unitarios i, j y k, los elementos de

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1.5 Producto vectorial, cruz o exterior

la segunda fila son las componentes del primer vector y los de la tercera fila son las componentes del segundo vector, por lo que se obtiene: V

a) V

W

W

i

j

k

2

1

4

1

3

1

2 4 j 6 1 k

1 12 i

11 i 6 j 7k i

j

k

W

V

1 2

3 1

1 4

b) W

V

11 i 6 j

7k

2 4 j 6 1 k

1 12 i

Aquí se observa que el producto cruz no es conmutativo ya que se obtiene el vector negativo, entonces: W

V

W

V

5. Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos P y R 2, 6, 3 .

3, 2, 4 , Q 4, 3, 2 y

Solución Para calcular el área del triángulo, se determinan dos de sus lados como vectores, siendo la mitad de la magnitud del producto vectorial de estos el área del triángulo. En este caso, se determinan los vectores PQ y PR utilizando la diferencia de coordenadas antes mencionada para obtener vectores libres en términos de x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k.

PQ

4

3 i 3 2 j 2 4 k

7, 1,

2

PR

2

3 i 6 2 j 3 4 k

5, 4,

1

Para aplicar la fórmula del área del triángulo se obtiene primero el producto cruz de estos dos vectores:

i

j

PQ PR 7 1 5 4

k

1 2 4 1

2 i 1

7 5

2 j 1

7 1 k 5 4

PQ PR 7i 3 j 23k Ahora, calculamos el área del paralelogramo que forman estos dos vectores obteniendo su magnitud:

PQ PR

7

2

2

2

3 23 PQ PR 587

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Unidad temática 1

Álgebra vectorial

Como el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, se deduce que: 1 PQ PR 2 1 587 2

AT AT

1.5.3 Aplicaciones del producto vectorial 1.5.3.1 Problemas de aplicación

La magnitud del momento M de una fuerza F respecto de un punto P es igual a la magnitud de la fuerza F, multiplicada por la distancia del punto P al punto donde se aplica la fuerza F. Siendo r el vector que une el punto P con el punto donde se aplica la fuerza (figura 1.54).

P

T

~~r~~ sen T

d r

F

Figura 1.54

Vectores que producen momento.

M

F

r sen

M

r F

La regla de la mano derecha determina la dirección del vector momento o torque, por lo que el vector momento es de la forma: M

r F

M

r

F sen n

EJEMPLOS 1.12 Se aplica una fuerza F F respecto del punto P

3, 4, 2 en el punto Q 1, 1, 2 .

1, 2, 3 . Determina el momento de

Solución Primero se debe calcular el vector r a partir del punto de referencia y el punto donde se aplica la fuerza. r PQ r

Q

P

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