Fisica III

Física III

Juan Manuel Ramírez de Arellano Víctor Robledo-Rella Nadxiieli Delgado Jiménez

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Física III Juan Manuel Ramírez de Arellano Víctor Robledo-Rella Nadxiieli Delgado Jiménez

Física III Juan Manuel Ramírez de Arellano Víctor Robledo-Rella Nadxiieli Delgado Jiménez

Revisión técnica

Carlos García Torres Escuela Nacional Preparatoria, Plantel 2

Daniel Santana González Escuela Nacional Preparatoria, Plantel 6

José Antonio Mota Tapia Escuela Nacional Preparatoria, Plantel 8

Julieta Rut Salazar Contreras Escuela Nacional Preparatoria, Plantel 6

Miguel Castro Libreros Escuela Nacional Preparatoria, Plantel 1

Rodrigo Martínez Hernández Universidad Autónoma Metropolitana

Shirley Saraí Flores Morales Escuela Nacional Preparatoria, Plantel 5

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

Física III Primera edición Juan Manuel Ramírez de Arellano, Víctor Robledo-Rella, Nadxiieli Delgado Jiménez Directora Higher Education Latinoamérica: Lucía Romo Alanís Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Edith Jiménez Garibaldi Imagen de portada: ©vaalaa / Shutterstock.com &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD Edith Jiménez Garibaldi

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD Ȋ$ȋ Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

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'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Ramírez de Arellano, Juan Manuel, Víctor Robledo-Rella, Nadxiieli Delgado Jiménez.

Física III. Primera edición.

ISBN: 978-607-570-218-6 Visite nuestro sitio web en: latam.cengage.com

Publicado en México 1 2 3 4 5 6 7 27 26 25 24

v

Contenido Presentación Conoce tu libro Acerca de los autores Prefacio

xv xvi xix xx

PARTE I MOVIMIENTO DE SATÉLITES Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial

2

1.1 Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades Sistema físico Objetos vistos como partículas Mediciones, magnitudes básicas y sistemas de unidades Magnitudes derivadas ¤ȯƲ˚Ǭȉȷ

5 5 5 5 5 6

1.2 Conversión de unidades

7

1.3 Plano cartesiano y distancia entre dos puntos

10

1.4 Escalares y vectores

12

1.5 Componentes cartesianas, magnitud y ángulo de un vector Diferentes formas para representar un vector Magnitud de un vector Dirección de un vector Notación cartesiana y notación polar de un vector

13 13 13 14 14

1.6 Suma y resta de vectores

14

1.7 Vectores unitarios y vectores en 3D

16

1.8 Movimiento: sistema de referencia inercial y no inercial

16

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración Movimiento Vector de posición Distancia y desplazamiento en 1D Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Velocidad media Velocidad instantánea Aceleración media Aceleración instantánea

18 18 19 19 20 22 25 25 26

1.10 Movimiento 1D con aceleración constante Ecuaciones de cinemática con aceleración constante

28 28

1.11 Caída libre y tiro vertical Caída libre y tiro vertical

33 33

Actividad de integración

38

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

40

vi

Física III

Capítulo 2 Movimiento circular uniforme: velocidad angular y tangencial; aceleración centrípeta; fuerza centrípeta

42

2.1 Cantidades lineales y angulares Ángulos Grados y radianes

45 45 46

2.2 Movimiento circular uniforme Movimiento circular Movimiento circular uniforme y velocidad tangencial Periodo y frecuencia Velocidad angular y velocidad tangencial Aceleración angular y aceleración tangencial

48 48 49 49 50 54

2.3 Aceleración centrípeta, aceleración total y fuerza centrípeta Aceleración centrípeta Aceleración total Fuerza centrípeta ¿Fuerza centrífuga? ¿Qué es eso?

Ecuaciones de movimiento circular con aceleración angular constante

56 56 56 57 58

Actividad de integración

62

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

64

Capítulo 3 Leyes de Kepler

59

66

3.1 Primera ley de Kepler Antecedentes: el modelo ptolemaico del sistema solar Tycho Brahe y Nicolás Copérnico antes de Kepler

69 69 70

3.2 Segunda ley de Kepler

73

3.3 Tercera ley de Kepler

76

3.4 Exoplanetas

78

Actividad de integración

80

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

82

Capítulo 4 Leyes de Newton 4.1 Diagrama de cuerpo libre (DCL) Distintos tipos de fuerzas fundamentales Gravedad Fuerza electromagnética Fuerza nuclear fuerte Fuerza nuclear débil ÄǾǛ˚ƤƇƤǛȊǾ٪ƫƲ٪njɍƲȯɶƇȷ La fuerza es un vector Diagrama de cuerpo libre

84 87 87 87 87 87 87 88 88 90

4.2 Primera ley de Newton: ley de la inercia

91

4.3 Segunda ley de Newton: ley de dinámica del movimiento Fuerza neta o fuerza total

94 96

Contenido

4.4 Tercera ley de Newton: ley de acción y reacción

100

4.5 Rozamiento: fuerza de fricción estática y cinética Fricción estática y fricción cinética Fricción estática Fricción cinética

102 102 102 103

Actividad de integración

106

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

108

Capítulo 5 Ley de la gravitación universal: masa y peso; energía cinética y potencial; potencia 5.1 Ley de gravitación universal

110 113

5.2 Masa y peso

118

5.3 Trabajo de una fuerza Trabajo hecho por la fuerza de gravedad Trabajo total (o trabajo neto)

120 123 124

5.4 Energía cinética

125

5.5 Energía potencial gravitacional

127

5.6 Potencia

128

Actividad de integración

133

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

135

Capítulo 6 Energía de enlace

136

6.1 Energía potencial gravitacional y elástica

139

6.2 Energía de enlace Energía de enlace de una partícula

144 145

6.3 Diferentes modelos atómicos Modelo atómico de Dalton Modelo atómico de Thomson Modelo atómico de Rutherford El trabajo de Niels Bohr y el nacimiento de la física cuántica

146 146 146 147 148

6.4 Mecánica cuántica La idea del cuanto jƇ٪ƲǾƲȯǍǝƇ٪ƲȷɅƈ٪ƤɍƇǾɅǛ˚ƤƇƫƇ Constante de Planck y la energía de un cuanto El efecto fotoeléctrico La naturaleza de partícula y onda de la materia Principio de incertidumbre de Heisenberg

148 148 148 149 150 150 152

6.5 La relatividad especial y general de Einstein Relatividad especial Relatividad general Partículas elementales

152 152 153 154

ׄ‫ؘׄ‬٪ FɍȷǛȊǾ٪ɬ٪˚ȷǛȊǾ٪ǾɍƤdzƲƇȯƲȷ Fusión nuclear Fisión nuclear

155 155 156

vii

viii

Física III

6.7 Ley de conservación de la energía con y sin fricción Conservación de la energía sin fricción Conservación de la energía considerando la fricción

156 157 157

Actividad de integración

161

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

163

Capítulo 7 Satélites naturales

164

7.1 La Tierra y la Luna Algunas propiedades de la Luna Las mareas UǾ˛ɍƲǾƤǛƇ٪ƫƲ٪dzƇ٪jɍǾƇ٪ƲǾ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ Viajes a la Luna

167 167 168 169 170

7.2 Satélites naturales Acoplamiento de marea

172 173

Actividad de integración

175

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

177

Capítulo 8 ¯ƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ƇȯɅǛ˚ƤǛƇdzƲȷ‫ؚ‬٪ǼƲɅƲȉȯȉdzȊǍǛƤȉȷ‫ؙ‬٪ telecomunicaciones, espías, estaciones espaciales

178

‫ֿؘ׆‬٪ ¯ƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ƇȯɅǛ˚ƤǛƇdzƲȷ٪ɬ٪ƲȷɅƇƤǛȉǾƇȯǛȉȷ OǛȷɅȉȯǛƇ٪ƫƲ٪dzȉȷ٪ȷƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ƇȯɅǛ˚ƤǛƇdzƲȷ La bola de cañón de Newton ƲȯȉǾƈɍɅǛƤƇ‫ؙ‬٪ƤȉǕƲɅƲȷ٪ɬ٪ȷƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ƇȯɅǛ˚ƤǛƇdzƲȷ Diversas aplicaciones Componentes principales de un satélite Sistema de alimentación de energía Sistema de comunicación Sistema de navegación Sistema de control de órbita y "actitud" Carga útil Estructura Inconvenientes asociados y afectaciones al medio ambiente

181 181 181 183 186 187 187 187 187 187 188 188 188

8.2 Satélites meteorológicos Satélites geoestacionarios Satélites en órbita polar

189 189 190

8.3 Satélites de telecomunicaciones

190

8.4 Estaciones espaciales: Estación Espacial Internacional y Estación Espacial Tiangong Estación Espacial Internacional Estación Espacial Tiangong UǾɥƲȷɅǛǍƇƤǛȊǾ٪ƤǛƲǾɅǝ˚ƤƇ Desarrollo tecnológico Investigación médica

191 191 192 192 192 192

Actividad de integración

193

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

195

Contenido

Capítulo 9 Sistema solar

196

9.1 El Sol Composición Partes del Sol Ciclo de manchas solares Ciclo de vida del Sol

199 199 199 200 201

9.2 Los planetas Mercurio Venus Tierra Marte Exploración de Marte Júpiter Exploración de Júpiter Saturno Exploración de Saturno Urano Neptuno Otros cuerpos celestes Cinturón de asteroides Plutón y el cinturón de Kuiper

201 202 203 205 206 207 208 210 210 211 212 213 216 216 217

9.3 Satélites de los planetas Luna (luna de la Tierra) Fobos y Deimos (lunas de Marte) Io, Europa, Ganímedes y Calisto (lunas de Júpiter) Titán (luna de Saturno) Miranda, Ariel, Umbriel, Titania y Oberón (lunas de Urano) Tritón (luna de Neptuno)

218 218 219 219 220 220 220

Actividad de integración

222

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

225

PARTE II GENERACIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA Capítulo 10 Tipos de plantas generadoras de electricidad y su transmisión

228

10.1 Cargas eléctricas Cargas y fuerzas eléctricas Conservación de la carga Formas de cargar eléctricamente a un cuerpo Fricción Inducción Contacto Ley de Coulomb La permitividad del vacío y la ley de Coulomb

231 231 232 233 233 233 234 234 237

10.2 Campos eléctricos Campo eléctrico y fuerza eléctrica Principio de superposición

238 239 240

ix

x

Física III

10.3 Energía potencial eléctrica y potencial eléctrico (voltaje) Diferencia de potencial eléctrico o voltaje

243 244

10.4 Aislantes y conductores Semiconductores

246 246

10.5 Capacitores (condensadores)

247

10.6 Corriente y resistencia eléctrica Corriente eléctrica Resistencia eléctrica Variación de la resistencia con la temperatura

248 248 250 251

10.7 Circuitos eléctricos y resistencias en serie y en paralelo Resistencias en serie y en paralelo

252 252

10.8 Ley de Ohm

254

10.9 Leyes de Kirchhoff

257

Actividad de integración

260

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

262

Capítulo 11 Generadores de corriente. Ley de inducción de Faraday

264

11.1 Fuentes de campo magnético Materiales magnéticos Imanes, polos magnéticos y campo magnético Tipos de magnetismo Ferromagnetismo Diamagnetismo Paramagnetismo ¿Qué es un electrón no emparejado?

267 267 267 268 269 269 269 269

11.2 Movimiento de cargas eléctricas en un campo magnético Desarrollo del electromagnetismo

270 270

11.3 Campo magnético producido por un alambre recto con corriente

271

11.4 Campo magnético producido por una espira con corriente

274

11.5 Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento

276

11.6 Fuerza magnética sobre un alambre con corriente

278

11.7 Ley de Ampère y fuerza magnética entre dos alambres con corriente

280

11.8 Ley de inducción de Faraday Flujo magnético Ley de inducción de Faraday Ley de Lenz Generador de corriente y motor eléctrico Inductancia de una bobina Inductancia mutua

282 283 284 284 284 286 288

11.9 Plantas generadoras de electricidad y su transmisión Turbinas Tipos de plantas generadoras de electricidad Corriente alterna (CA)

289 289 290 290

Contenido

¿En todos lados se usan 110 V? ¿Corriente alterna o corriente continua?

-˚ƤǛƲǾƤǛƇ Transformadores Operación de motores Costo

291 291 291 291 291 292

11.10 Circuitos RLC en serie

292

11.11 Transformadores

293

11.12 Ondas electromagnéticas

294

Actividad de integración

296

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

297

Capítulo 12 Calor, trabajo y conservación de la energía

298

12.1 Temperatura y termómetros Energía interna Equilibrio térmico: ley cero de la termodinámica %ǛȯƲƤƤǛȊǾ٪ǾƇɅɍȯƇdz٪ƫƲdz٪˛ɍǬȉ٪ƫƲ٪ƤƇdzȉȯ Cómo se mide la temperatura Termómetros de mercurio (o de alcohol) Termómetros de tira bimetálica Termómetros infrarrojos Termómetros digitales Escalas de temperatura Escala Celsius Escala Kelvin Escala Fahrenheit Conversiones entre escalas de temperatura

301 301 302 302 303 303 303 303 304 304 304 304 304 305

12.2 Expansión o dilatación térmica El agua es diferente

306 307

12.3 Mecanismos de propagación del calor Conducción Convección Radiación

307 307 308 309

12.4 Calor y trabajo mecánico

310

ֿ‫׃ؘ׀‬٪ ƇdzȉȯǛǼƲɅȯǝƇ‫ؚ‬٪ƤƇȬƇƤǛƫƇƫ٪ƤƇdzȉȯǝ˚ƤƇ٪ɬ٪ƤƇdzȉȯ٪ƲȷȬƲƤǝ˚Ƥȉ Midiendo el calor ƇȬƇƤǛƫƇƫ٪ƤƇdzȉȯǝ˚ƤƇ٪ɬ٪ƤƇdzȉȯ٪ƲȷȬƲƤǝ˚Ƥȉ %ǛnjƲȯƲǾƤǛƇȷ٪ƲǾɅȯƲ٪ƤƇȬƇƤǛƫƇƫ٪ƤƇdzȉȯǝ˚ƤƇ٪ɬ٪ƤƇdzȉȯ٪ƲȷȬƲƤǝ˚Ƥȉ

311 311 311 313

12.6 Gas ideal

313

12.7 Energía interna, conservación de energía y primera ley de la termodinámica Trabajo en termodinámica Energía interna y primera ley de la termodinámica

315 315 316

Actividad de integración

319

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

320

xi

xii

Física III

Capítulo 13 Transformaciones de energía, máquinas ɬ٪Ʋ˚ƤǛƲǾƤǛƇ٪

ׁ‫׀׀‬

13.1 Transformaciones de energía Transformación de distintos tipos de energía a energía eléctrica Plantas de energía térmica Centrales hidroeléctricas Energía solar Energía eólica Transmisión y distribución Transformación de energía y calentamiento global

325 325 325 325 325 326 327 327

13.2 Ciclos termodinámicos: máquinas térmicas y refrigeradores Ciclos termodinámicos Ciclos termodinámicos y primera ley de la termodinámica Procesos termodinámicos Proceso adiabático Proceso isotérmico Proceso isobárico Proceso isocórico Ciclo de Carnot Máquinas térmicas Motor de combustión externa Motor de combustión interna Motor de reacción

328 328 328 329 329 330 330 330 331 332 332 333 334

ֿׁ‫ׁؘ‬٪ -˚ƤǛƲǾƤǛƇ

334

13.4 Segunda ley de la termodinámica Entropía

336 336

13.5 Tercera ley de la termodinámica

337

Actividad de integración

338

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

340

Capítulo 14 Diferentes tipos de energía: mecánica, eólica, solar, química, nuclear, de mareas, geotérmica

342

14.1 Energía potencial y energía cinética (energía mecánica)

345

14.2 Energía eólica jǝǼǛɅƲ٪ƫƲ٪Ʋ˚ƤǛƲǾƤǛƇ٪ƫƲ٪ɍǾƇ٪ɅɍȯƣǛǾƇ٪ƲȊdzǛƤƇ

347 347

14.3 Energía solar

348

14.4 Energía química

349

14.5 Energía nuclear Costos y desventajas

350 351

14.6 Energía de mareas

352

14.7 Energía geotérmica

353

Actividad de integración

356

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

358

Contenido

Capítulo 15 Piezoeléctricos y superconductores

360

15.1 Piezoelectricidad Antecedentes: el efecto piroeléctrico Efecto piezoeléctrico Aplicaciones Actuadores Fuentes de poder Sensores piezoeléctricos Piezoeléctricos y ultrasonido Almacenamiento de energía y piezoelectricidad

363 363 363 365 365 366 366 366 367

15.2 Superconductividad Superconductores de alta temperatura

368 369

Actividad de integración

370

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

372

Capítulo 16 Sostenibilidad y contaminación

374

16.1 Contaminación y problemas ambientales Contaminación del aire Contaminación del agua Contaminación del suelo Contaminación por plásticos Degradación ambiental Calentamiento global y cambio climático

377 377 377 378 378 379 379

16.2 Sostenibilidad y medio ambiente ¿Cómo podemos promover la sostenibilidad?

Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS)

380 380 381

Actividad de integración

383

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

384

Apéndices

387

Respuestas

393

xiii

xv

Presentación Una sociedad en constante cambio, como la nuestra, llena de retos y demandas exige que los alumnos de bachillerato desarrollen competencias, habilidades, actitudes y conocimientos que les permitan vivir y convivir de manera positiva y responsable. Los estudiantes pueden adquirir este cúmulo de saberes por sí mismos, pero también bajo la guía de sus profesores, su familia y el círculo social que los rodea.

Considerando lo anterior, Cengage ha diseñado esta serie de libros de texto con el objetivo de cubrir las necesidades de los planes y programas de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), la cual forma parte del sistema de bachillerato de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

Los contenidos de la serie han sido concebidos y dirigidos cuidadosamente con la guía de expertos ăč ċÿ Čÿēăđćÿ Ę āĎč ĀÿĒă ăč ċĎĒ ďđĎąđÿČÿĒ ĎʐʒāćÿċăĒ Ăă ăĒēĔĂćĎ ďÿđÿ ďđĎďĎđāćĎčÿđ ăċăČăčēĎĒ āĎąčĎĒāćēćĕĎĒ‫ ܘ‬ metodológicos y afectivos que le permitan al estudiante profundizar en la comprensión de su medio naēĔđÿċ Ę ĒĎāćÿċ‫ ܘ‬ĂăĒÿđđĎċċÿđ ĒĔ ďăđĒĎčÿċćĂÿĂ‫ ܘ‬Ăăʐʒčćđ ĒĔ ďÿđēćāćďÿāćơč āđŲēćāÿ Ę āĎčĒēđĔāēćĕÿ ăč ċÿ ĒĎāćăĂÿĂ ăč que se desenvuelve, así como introducirse en el análisis de problemáticas relacionadas con las diferentes ĂćĒāćďċćčÿĒ āćăčēŲʐʒāÿĒ Ę ēăāčĎċơąćāÿĒ‫ ܘ‬ĒćăČďđă āĎč ċÿ ďăđĒďăāēćĕÿ Ăă ćčāĎđďĎđÿđĒă āĎč ŊėćēĎ ÿ ċĎĒ ăĒēĔĂćĎĒ superiores.

Algunas de las cualidades distintivas del modelo educativo de la ENP que se han manifestado en los libros de esta serie son: • La enseñanza está centrada en el alumno.

• El aprendizaje es sistemático, explícito y práctico de manera que los alumnos construyan su propio āĎčĎāćČćăčēĎ‫ ܘ‬ĂăĒÿđđĎċċăč āĎČďăēăčāćÿĒ ďÿđÿ ċÿ ćĂăčēćʐʒāÿāćơč‫ ܘ‬ăċ ďċÿčēăÿČćăčēĎ‫ ܘ‬ċÿ đăĒĎċĔāćơč Ăă problemas y la interpretación de resultados.

• Los contenidos se presentan de manera progresiva y organizada para que el alumno pueda darles ĒăčēćĂĎ Ę Ēćąčćʐʒāÿāćơč‫ܜ‬ • ÿ āĎČďċăĉćĂÿĂ Ăă ċÿĒ ÿāēćĕćĂÿĂăĒ ĕÿ ăč ÿĔČăčēĎ ĔčćĂÿĂ ēđÿĒ ĔčćĂÿĂ‫ ܜ‬ĂăČěĒ‫ ܘ‬ďăđČćēăč ċÿ đăʎʕăėćơč y síntesis individual y colectiva.

• La evaluación está basada en la construcción de productos de aprendizaje para integrar la teoría con ċÿ ďđěāēćāÿ Ę ÿĒŲ āĎčĒăąĔćđ Ĕč ÿďđăčĂćęÿĉă ĒćąčćʐʒāÿēćĕĎ‫ܜ‬ De manera particular, el libro de Física III dirigido para alumnos de cuarto año de preparatoria se concibió tomando como base el objetivo general del programa que es: • El alumno desarrollará algunas habilidades propias de la investigación como la creación de modelos a través de la observación, la formulación de hipótesis, el manejo de variables, etc., para comprender, interpretar y analizar fenómenos físicos que resultan fundamentales en la comprensión de su entorno. Asimismo, se espera que al analizar las aportaciones de la física en diferentes ámbitos, el alumno logre comprender los retos y problemas de su entorno, así como las diversas formas que existen para đăĒĎċĕăđċĎĒ‫ ܘ‬āĎč ċÿ āĎčāćăčāćÿ Ăă ĐĔă Ăă ċĎĒ ĂăĒÿđđĎċċĎĒ āćăčēŲʐʒāĎĒ Ę ēăāčĎċơąćāĎĒ ĒĔđąăč ćČďċćāÿāćĎčăĒ sociales que obligan a tomar decisiones que se deben analizar para emitir juicios y actuar de manera responsable. Finalmente, se espera que el alumno valore el trabajo colaborativo para el logro de metas y respete las opiniones de los demás como vía de enriquecimiento de ideas y fomento a la tolerancia.

El enfoque de la obra consiste en proporcionar los principios físicos indispensables contextualizados en las temáticas mencionadas, como un andamiaje fundamental para resolver problemas que involucren ćčāơąčćēÿĒ‫ ܘ‬ĂćċăČÿĒ Ę đăēĎĒ āĎčāđăēĎĒ‫ ܘ‬ąăčăđÿčĂĎ ăč ċĎĒ ăĒēĔĂćÿčēăĒ āĎčʎʕćāēĎĒ āĎąčćēćĕĎĒ āĎČĎ ăċăČăčēĎĒ detonadores para hacerlos conscientes de la necesidad de elaborar modelos, tanto físicos como matemáticos, así como de la importancia de interpretar datos, hacer inferencias y predicciones; posibilitando la articulación de los elementos conceptuales, procedimentales y actitudinales de la Física con otros ámbitos de su entorno, así como dimensionar las implicaciones de la disciplina en otras áreas del conocimiento.

Los contenidos de la obra están divididos en dos partes, que son:

• Parte I Movimiento de satélites.

• Parte II Generación de energía eléctrica. ċĎ ċÿđąĎ Ăăċ āĎčēăčćĂĎ Ēă Ćÿč ćčĒăđēÿĂĎ ÿāēćĕćĂÿĂăĒ Ę ĂćĕăđĒÿĒ ĒăāāćĎčăĒ āĎč ċÿ ʐʒčÿċćĂÿĂ Ăă ďđĎmover el desarrollo de distintos niveles cognitivos en los alumnos, como la comprensión, el análisis y la evaluación.

Esperamos que esta obra sea una guía para los estudiantes que, además de impulsar la perspectiva de ĒăąĔćđ āĎč Ĕčÿ āÿđđăđÿ ďđĎĄăĒćĎčÿċ‫ ܘ‬ċĎĒ ďđăďÿđă ďÿđÿ ċÿ ĕćĂÿ‫ ܘ‬ċĎ āĔÿċ ăĒ āĎčąđĔăčēă āĎč ăċ ďăđʐʒċ Ăă ăąđăĒÿĂĎ de la Escuela Nacional Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México.

Cengage Learning

xvi

Física III

Conoce tu libro PA RT E

I

Las dos partes de la obra tienen su entrada, en la que se muestran los ƣǬƲɅǛɥȉȷ٪ƲȷȬƲƤǝ˚Ƥȉȷ y los Contenidos conceptuales que las integran.

ƣǬƲɅǛɥȉȷ٪ƲȷȬƲƤǝ˚Ƥȉȷ El alumno: O

La entrada de capítulo indica los Contenidos conceptuales a estudiar.

O

O

O

O

Interpretará y utilizará las diferentes representaciones simbólicas empleadas en la fíȷǛƤƇ٪ȬƇȯƇ٪dzƇ٪ƫƲƤȉƫǛ˚ƤƇƤǛȊǾ٪ƫƲ٪ǛǾnjȉȯǼƇƤǛȊǾ‫ؙ‬٪ descripción de fenómenos y resolución de problemas.

UƫƲǾɅǛ˚ƤƇȯƈ٪ ɬ٪ ƇǾƇdzǛɶƇȯƈ٪ dzƇȷ٪ ɥƇȯǛƇƣdzƲȷ٪ ȮɍƲ٪ ƫƲȷƤȯǛƣƲǾ٪ Ʋdz٪ ǼȉɥǛǼǛƲǾɅȉ٪ ƫƲ٪ ɍǾ٪ ȷƇɅƳdzǛɅƲ٪ ƲǾ٪ ɅƳȯǼǛǾȉȷ٪ƤǛǾƲǼƈɅǛƤȉȷ٪ɬ٪ƫǛǾƈǼǛƤȉȷ‫ؘ‬٪ GƲǾƲȯƇdzǛɶƇȯƈ٪dzƇ٪ƫǛǾƈǼǛƤƇ٪ƫƲ٪dzȉȷ٪ȷƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ɅƲrrestres para la interpretación de la dinámica del Sistema Solar.

MOVIMIENTO DE SATÉLITES

Contenidos conceptuales Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial Capítulo 2٪ ٪tȉɥǛǼǛƲǾɅȉ٪ƤǛȯƤɍdzƇȯ٪ɍǾǛnjȉȯǼƲ‫ؚ‬٪ ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ƇǾǍɍdzƇȯ٪ɬ٪ɅƇǾǍƲǾƤǛƇdz‫؛‬٪ ƇƤƲdzƲȯƇƤǛȊǾ٪ƤƲǾɅȯǝȬƲɅƇ‫؛‬٪njɍƲȯɶƇ٪ centrípeta Capítulo 3 Leyes de Kepler Capítulo 4 Leyes de Newton

Reconocerá la utilidad de la Física en los desarrollos tecnológicos para establecer un puente entre los conceptos abstractos y sus aplicaciones.

Capítulo 5٪ ٪jƲɬ٪ƫƲ٪dzƇ٪ǍȯƇɥǛɅƇƤǛȊǾ٪ɍǾǛɥƲȯȷƇdz‫ؚ‬٪ ǼƇȷƇ٪ɬ٪ȬƲȷȉ‫؛‬٪ƲǾƲȯǍǝƇ٪ƤǛǾƳɅǛƤƇ٪ ɬ٪ȬȉɅƲǾƤǛƇdz‫؛‬٪ȬȉɅƲǾƤǛƇ

ȉǾȉƤƲȯƈ٪ɬ٪ɍɅǛdzǛɶƇȯƈ٪ƇƫƲƤɍƇƫƇǼƲǾɅƲ٪Ʋdz٪ƲȮɍǛpo y materiales de laboratorio para montajes experimentales.

Capítulo 6 Energía de enlace Capítulo 7٪ ٪¯ƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ǾƇɅɍȯƇdzƲȷ Capítulo 8٪ ٪¯ƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ƇȯɅǛ˚ƤǛƇdzƲȷ‫ؚ‬٪ǼƲɅƲȯƲȉdzȊǍǛƤȉȷ‫ؙ‬٪ ɅƲdzƲƤȉǼɍǾǛƤƇƤǛȉǾƲȷ‫ؙ‬٪ƲȷȬǝƇȷ‫ؙ‬٪ estaciones espaciales

CAPÍTULO

1

Capítulo 9 Sistema solar

Contenidos conceptuales

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

1.1

Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades

1.2

Plano cartesiano y distancia entre dos puntos

1.4

Escalares y vectores

1.5

Componentes cartesianas, magnitud y ángulo de un vector

1.6 © vaalaa / Shutterstock.com

Conversión de unidades

1.3

Suma y resta de vectores

1.7

Vectores unitarios y vectores en 3D

1.8

Movimiento: sistema de referencia inercial y no inercial

1.9

Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

1.10 Movimiento 1D con aceleración constante 1.11 Caída libre y tiro vertical

La sección ¿Sabías que...? presenta datos relacionados con el tema para entender con mayor facilidad el contexto.

4

Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial

1.1 Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades

Los capítulos comienzan con una Introducción, la cual sirve para ubicar al alumno en los temas que está por aprender.

En este primer capítulo comenzaremos con los temas básicos que nos servirán ďÿđÿ ăċ đăĒēĎ Ăăċ ċćĀđĎ‫ ܘ‬ĂăĒĂă ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ĒćĒēăČÿ ĄŲĒćāĎ‫ ܘ‬āơČĎ ČăĂćČĎĒ ċÿĒ āĎsas en ciencia, qué unidades utilizamos y cómo convertir unas unidades a otras.

Nos concentraremos después en el movimiento de los objetos, cómo podemos localizarlos en una recta y en un plano cartesiano, y cómo los vectores nos ayudan a describir muchos fenómenos de la naturaleza. Hablaremos también del āĎčāăďēĎ Ăă ČÿđāĎ Ăă đăĄăđăčāćÿ Ę ĄĔăđęÿĒ ʐʒāēćāćÿĒ‫ ܜ‬ĂăČěĒ‫ ܘ‬đăĕćĒÿđăČĎĒ ċĎĒ āĎčceptos de velocidad, posición, desplazamiento, aceleración y cómo se relacionan entre sí por medio de ecuaciones, en particular, estudiaremos las ecuaciones de cinemática con aceleración constante y caída libre. ¡Adelante!

čēăĒ Ăă āĎČăčęÿđ čĔăĒēđÿ ēđÿĕăĒŲÿ āĎč ăċ đ‫ ܘ ܜ‬ĂăĀăČĎĒ Ăăʐʒčćđ ÿċąĔčĎĒ āĎčāăďtos básicos que usaremos a lo largo del libro.

Sistema físico č sistema físico Ēă Ăăʐʒčă āĎČĎ Ĕčÿ āĎċăāāćơč Ăă ĎĀĉăēĎĒ ĄŲĒćāĎĒ ăċăąćĂĎĒ ďÿđÿ Ēăđ analizados. Por lo general, el sistema físico está formado por una porción del universo ĐĔă ċĎ Ăăʐʒčă‫ ܘ‬Ę ċĎ ĐĔă ĐĔăĂÿ ĄĔăđÿ Ăăċ ĒćĒēăČÿ Ēă āĎčĎāă āĎČĎ su entorno. Por lo general, se ignora el entorno, excepto por los efectos que pueda tener sobre el sistema. Así ĐĔă Ĕč ĒćĒēăČÿ ĄŲĒćāĎ Ēă Ăăʐʒčă ďĎđ ċÿ ăċăāāćơč Ăă ĎĀĉăēĎĒ ĄŲĒćāĎĒ ĐĔă ċĎ āĎčĄĎđČÿč Ę ĐĔă serán analizados, así como los límites que lo separan de su entorno.

Objetos vistos como partículas

Reto 1.1

Ayuda a localizar el cuartel general del malévolo Dr. KAOS El Dr. KAOS es tan poderoso y adinerado, que compró un satélite de comunicaciones a una famosa compañía rusa de cosméticos y, desde ahí, es capaz de observar ƫƲɅƇdzdzƲȷ٪ȷɍɅǛdzƲȷ٪ƲǾ٪dzƇ٪ȷɍȬƲȯ˚ƤǛƲ٪ƫƲ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ȬƇȯƇ٪dzdzƲɥƇȯ٪Ƈ٪ƤƇƣȉ٪ȷɍȷ٪˚Ǿȉȷ٪ȬdzƇǾƲȷ‫ؙ‬٪ȮɍƲ٪ incluyen: contaminar los principales ríos del planeta, llenar la atmósfera de gases de efecto invernadero para aumentar el calentamiento global e introducir una variante desconocida en el genoma humano para disminuir su resistencia al choƤȉdzƇɅƲ٪ɬ٪ǼƲȯǼƇȯ٪ƫƲ˚ǾǛɅǛɥƇǼƲǾɅƲ٪dzƇ٪ȯƇɶƇ٪ǕɍǼƇǾƇ٪Ȭȉȯ٪ƫǛƇƣƲɅƲȷ٪ɬ٪ȷȉƣȯƲȬƲȷȉ‫ؘ‬٪ Desde su satélite, el Dr. KAOS vigila constantemente su cuartel general en dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ȬƇȯƇ٪ǛǼȬƲƫǛȯ٪ȮɍƲ٪ǾƇƫǛƲ٪ȷƲ٪ƇƤƲȯȮɍƲ‫ؙ‬٪ǾǛ٪Ȭȉȯ٪ƇǛȯƲ٪ǾǛ٪Ȭȉȯ٪ɅǛƲȯȯƇ‫ؘ‬٪%Ʋ٪ǕƲƤǕȉ‫ؙ‬٪ se rumorea que su cuartel, localizado en algún lugar del sureste africano, está ƤƇǼɍ˛Ƈƫȉ٪ ɬ٪ ƫƲȷƫƲ٪ ƇnjɍƲȯƇ٪ ȬƇȯƲƤƲ٪ ɍǾƇ٪ ȬƇǾƇƫƲȯǝƇ٪ ƤȉǼɎǾ٪ ɬ٪ ƤȉȯȯǛƲǾɅƲ‫ؘ‬٪ %ƲȷƇnjȉȯtunadamente para el Dr. KAOS, su sistema de visión satelital tiene un par de ƫƲnjƲƤɅȉȷ٪‫ح‬ƫƲ˚ǾǛƤǛȊǾ٪ƫƲ٪ƲǬƲȷ٪ɬ٪ƲȷƤƇdzƇ‫ؙخ‬٪ȮɍƲ٪ƫƲȷƤɍƣȯǛȯƲǼȉȷ٪ƲǾ٪ƲȷɅƲ٪ƤƇȬǝɅɍdzȉ‫ؘ‬٪‫ؠ‬vȉȷ٪ ayudas a averiguarlo?

Conocimientos previos

Los temas inician con la sección Reto, la cual cuestionará los conocimientos previos y tiene el objetivo de motivar al alumno a seguir aprendiendo.

5

1.1 Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades

Introducción

Antes de comenzar, te pedimos que contestes en tu cuaderno brevemente las siguientes preguntas que permitirán saber qué conocimientos tienes de los temas de este capítulo.

1. ¿Cuáles son los principales sistemas de unidades que se usan en física?

2. ¿Por qué es importante realizar conversión de unidades?

3. ¿Qué es un plano cartesiano y para qué sirve?

4. ¿Cuáles son las características de un vector?

5. ¿Cuál es la diferencia entre un sistema de referencia inercial y uno no inercial?

6. ¿Cuál es la diferencia entre distancia y desplazamiento?

7. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea?

8. ¿Cuál es la diferencia entre aceleración media y aceleración instantánea?

9. ‫ ܡ‬ĔŊ Ēćąčćʐʒāÿ ČĎĕćČćăčēĎ đăāēćċŲčăĎ ĔčćĄĎđČă ‫ܠܩ ܨ‬ 10. ¿Cuándo podemos decir que un objeto está en caída libre?

Por simplicidad en el análisis de los sistemas físicos, conviene considerar que están formados por objetos físicos muy pequeños que llamaremos partículas. Por lo tanto, no čĎĒ ćčēăđăĒÿ čć ĒĔ ĄĎđČÿ ‫ܨ‬Ēć ĒĎč đăĂĎčĂĎĒ Ď āĔÿĂđÿĂĎĒ‫ ܩ‬čć ĒĔ ēÿČÿƙĎ‫ ܘ‬ďĔăĒ Ēă āĎčĒćĂăđÿč ēÿč ďăĐĔăƙĎĒ ĐĔă ĒơċĎ ĎāĔďÿč Ĕč ċĔąÿđ ČĔĘ đăĂĔāćĂĎ Ę Āćăč ĂăʐʒčćĂĎ ăč ăċ ăĒďÿāćĎ‫ ܜ‬ Dependiendo de la situación que se esté analizando, podemos considerar como partícula Ĕčÿ ďăċĎēÿ‫ ܘ‬Ĕč ÿĔēĎČơĕćċ Ď ćčāċĔĒĎ ċÿ ćăđđÿ ‫ܨ‬ăč ĒĔ ČĎĕćČćăčēĎ ÿċđăĂăĂĎđ Ăăċ Ďċ‫ ܜܩ‬ Mediciones, magnitudes básicas y sistemas de unidades Para estudiar y manipular el mundo que nos rodea, en física hacemos mediciones de diversos parámetros y propiedades de los objetos que nos rodean. Por ejemplo, su masa, volumen, temperatura, carga eléctrica, intervalos de tiempo, etc. Toda medición implica comparar lo que se va a medir con un patrón de referencia previamente establecido. ċĎ ċÿđąĎ Ăă ċÿ ĆćĒēĎđćÿ Ăă ċÿ ĆĔČÿčćĂÿĂ‫ ܘ‬Ēă Ćÿč ĂăʐʒčćĂĎ ĂćĒēćčēĎĒ ĒćĒēăČÿĒ Ăă unidades en varias partes del mundo. Sin embargo, los dos sistemas más conocidos hoy en día son el Sistema Internacional de Unidades ‫ ܘܩ ܨ‬ĐĔă ăĒ ăċ ĒćĒēăČÿ ăĒēěčĂÿđ ĐĔă Ēă usa prácticamente en todo el mundo y usaremos en este libro, y el Sistema Anglosajón de Unidades ‫ܨ‬ÿčēăđćĎđČăčēă ċċÿČÿĂĎ ĒćĒēăČÿ ćČďăđćÿċ Ď ĒćĒēăČÿ ćčąċŊĒ‫ ܩ‬ăċ āĔÿċ‫ ܘ‬ÿ ďăĒÿđ Ăă Ēăđ ČăčĎĒ ćčēĔćēćĕĎ‫ ܘ‬ÿǞč ēćăčă ćčʎʕĔăčāćÿ ĂăĀćĂĎ ÿ Ēăđ ĔēćċćęÿĂĎ Ăă ĄĎđČÿ Ďʐʒāćÿċ ďĎđ ċĎĒ ĒēÿĂĎĒ čćĂĎĒ Ę Ăă ĄĎđČÿ čĎ Ďʐʒāćÿċ ăč ĎēđĎĒ ďÿŲĒăĒ Ăă ĆÿĀċÿ ćčąċăĒÿ‫ܜ‬ ċÿ čÿēĔđÿċăęÿ ċă ąĔĒēÿč ċÿĒ āĎĒÿĒ ĒćČďċăĒ Ę‫ ܘ‬ÿĄĎđēĔčÿĂÿČăčēă ďÿđÿ ċĎĒ āćăčēŲʐʒāĎĒ‫ ܘ‬ existen sólo unas cuantas magnitudes físicas fundamentales ‫ܨ‬Ď ĀěĒćāÿĒ‫ ܩ‬āĎč ċÿĒ cuales se pueden estudiar ¡todos los fenómenos conocidos del mundo físico! Cada ČÿąčćēĔĂ ‫ܨ‬Ď ďÿđěČăēđĎ‫ ܩ‬ĄĔčĂÿČăčēÿċ Ēă ďĔăĂă ČăĂćđ ăč ĂćĒēćčēÿĒ ĔčćĂÿĂăĒ‫ ܜ‬Ďđ ăĉăČďċĎ‫ ܘ‬ďĎĂăČĎĒ ČăĂćđ ĂćĒēÿčāćÿĒ ăč ČăēđĎĒ ‫ܨ‬Č‫ ܘܩ‬āăčēŲČăēđĎĒ ‫ܨ‬āČ‫ ܩ‬Ď ĊćċơČăēđĎĒ ‫ܨ‬ĊČ‫ ܘܩ‬ĐĔă ĒĎč ĔčćĂÿĂăĒ Ăăċ ćĒēăČÿ čēăđčÿāćĎčÿċ‫ ܜ‬ă ĄĎđČÿ ĒćČćċÿđ‫ ܘ‬ďĎĂăČĎĒ ČăĂćđ ăċ ēćăČďĎ en segundos, días, años.

La tabla 1.1 muestra las magnitudes fundamentales del mundo físico que usaremos en este libro.

Magnitudes derivadas Además de las magnitudes fundamentales, existen muchas otras magnitudes derivadas, que se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales. Por ejemplo, velocidad Ēă ďĔăĂă Ăăʐʒčćđ āĎČĎ distancia recorrida ‫∆ܨ‬d‫ ܩ‬entre el intervalo de tiempo empleado ‫∆ܨ‬t‫ ܘܩ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬v = ∆d‫֍ܤ‬t. Sus unidades son [v] = m/s, así que la velocidad es una magnitud derivada. Considera que usaremos la notación [algo] para expresar sus unidades. La tabla 1.2 muestra algunas de las magnitudes derivadas más importantes que usaremos en este libro.

¿Sabías que... la velocidad de la luz tiene un valor de c = 299,792,458 m/s ≈ 300,000 km/s? Para que te des una idea de lo rápido que va, un rayo láser le daría 7.5 vueltas Ƈ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ƲǾ٪ɍǾ٪ȷƲǍɍǾƫȉ‫ؘ‬٪ O, lo que es lo mismo, ¡tarda 0.13 segundos en darle una ɥɍƲdzɅƇ٪Ƈ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ‫؝‬٪%Ʋ٪ǕƲƤǕȉ‫ؙ‬٪ conocemos este valor con tanta precisión que actualmente ‫خׁ׀־׀ح‬٪ƫƲ˚ǾǛǼȉȷ٪dzƇ٪dzȉǾǍǛɅɍƫ٪ del metro en términos de la velocidad de la luz, de modo que 1 m es la distancia que recorre la luz en un 1/299,792,458 de segundo.

La sección Conocimientos previos permite ubicar al alumno en el contenido del capítulo.

xvii

Conoce tu libro

Los Ejemplos muestran las soluciones a problemas paso a paso.

8

Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial

9

1.2 Conversión de unidades

Datos e incógnitas

Fórmulas

Sustitución y resultados

L = 12 m L = ¿? cm

1 m = 100 cm. Es decir: 100 cm 1=( ) 1m

2.540 cm 2 16 pulgadas 2 2.540 cm 2 A = 16 pulgadas × 103.2 cm2 .

1 pulgada pulgada2 ĎČĎ ăĒēÿ ăĒ ăċ ěđăÿ Ăă Ĕčÿ Ăă ċÿĒ āÿđÿĒ‫ ܘ‬čăāăĒćēÿđě ÿċ ČăčĎĒ ‫ × ݿ‬103.2 = 206.4 cm2 Ăă ďÿďăċ ďÿđÿ ĄĎđđÿđ Ăă ċĎĒ ĂĎĒ lados el cuadro para su abuelita.

2

Sustitución y resultados

L = 12 m × (

La sección ¡A practicar! presenta ejercicios para favorecer la autonomía en la resolución de problemas.

100 cm ) = 12 × 100 cm = 1200 cm. Así que 12 m equivalen a 1200 cm.

1m Ejemplo 1.4

Ejemplo 1.2

Conversión de unidad de cantidades lineales

Solución

Solución

Planteamiento

Planteamiento

Paso 1‫ ࢕ܜ‬ÿċċÿČĎĒ ăċ factor de conversión. Buscamos “segundo” en la primera columna de la tabla del Apéndice 1 y encontramos que 1 s = 1.157 × 10−5 días.

Paso 2‫ ࢕ܜ‬ĔăđăČĎĒ ďÿĒÿđ Ăă ĒăąĔčĂĎĒ ÿ ĂŲÿĒ‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ăċ “factor uno” que necesitamos debe tener segundos en el denominador‫ ܘ‬ďÿđÿ ĐĔă ÿċ ČĔċēćďċćāÿđ ďĎđ ċÿ āÿčēćĂÿĂ ĐĔă ĐĔăđăČĎĒ āĎčĕăđēćđ ‫ܨ‬ĐĔă ēćăčă ĒăąĔčĂĎĒ ăč ăċ numerador‫ ܘܩ‬Ēă cancelen los segundos y queden días en el numerador.

Datos e incógnitas

Fórmulas

T = ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ‬Ē T = ¿? días

1 s = 1.157 × 10−5. Es decir

Paso 1‫ ࢕ܜ‬ă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ܘݾ‬ĕăČĎĒ ĐĔă ăċ ĄÿāēĎđ Ăă āăčēŲČăēđĎĒ ÿ ďćăĒ ăĒ ‫ ݾ‬āČ = ‫ ݾޅݿހݽܜݽ‬ďćă‫ ܜ‬Ēēÿ ĕăę‫ ܘ‬ĆÿĘ ĐĔă elevar este factor al cubo āĔÿčĂĎ ĆÿąÿČĎĒ ċÿ ČĔċēćďċćāÿāćơč ďÿđÿ āÿčāăċÿđ ċÿĒ ĔčćĂÿĂăĒ‫ ܜ‬ Paso 2.࢕ ĔăđăČĎĒ ăċćČćčÿđ ċĎĒ āČ3 Ăăċ čĔČăđÿĂĎđ‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ăċ ܾĔčĎ݀ ĐĔă čăāăĒćēÿČĎĒ ăĒ‫ ݾޅݿހݽܜݽܨ = ݾ ܛ‬ďćă‫ ݾܤ‬āČ‫ܜܩ‬

1.157 10 5 días 1= 1s

Datos e incógnitas

Fórmulas

V = ‫ ݽݽݽ࢜ޅ‬āČ3 V = ¿? pie2

1 cm = ‫ ݾޅݿހݽܜݽ‬ďćă‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ܘ‬ 3 0.03281 pie 1= 1 cm

Sustitución y resultados

Sustitución y resultados

3

3 8 000 cm3 0.03281 pie = 0.2826 pie3 = cm3 ĎČĎ ‫ ݾ‬ďćă ăĒ ‫ ނܜݽހ‬ĕăāăĒ ČěĒ ąđÿčĂă ĐĔă ‫ ݾ‬āČ‫ ܘ‬ăċ ĕĎċĔČăč ăėďđăĒÿĂĎ ăč ďćăĒ āǞĀćāĎĒ čĎ ăĒ Ĕč čǞČăđĎ ēÿč ąđÿčĂă‫ܜ‬

V = ‫ ݽݽݽ࢜ޅ‬āČ3 × 0.03281 pie 1 cm

5 T = ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ‬Ē × 1.157 10 días = ‫ ޅݿރށܜݽ‬ĂŲÿĒ‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ ܘ‬Ē ăĐĔćĕÿċăč āÿĒć ÿ ČăĂćĎ ĂŲÿ‫ܜ‬

1s

Ejemplo 1.3

Conversión de unidades de cantidades al cuadrado o al cubo

El Dr. KAOS necesita devolver a Amazon ăċ āĎčēđĎċ đăČĎēĎ Ăă Ĕč ĂđĎč ăĒďŲÿ ĐĔă āĎČďđơ ăċ ČăĒ ďÿĒÿĂĎ‫ ܘ‬ďĔăĒ čĎ ĄĔčāćĎčÿ āĎČĎ Ŋċ ăĒďăđÿĀÿ‫ ܜ‬č ċÿ ĒĎċćāćēĔĂ Ăă đăăČĀĎċĒĎ‫ ܘ‬ďćĂăč ÿċ đ‫ ܜ‬ĐĔă ćčĂćĐĔă ăċ volumen del dron en pies cúbicos. Sin ăČĀÿđąĎ‫ ܘ‬ăċ ĂÿēĎ ĐĔă ĕćăčă ăč ċÿĒ ăĒďăāćĄćāÿāćĎčăĒ Ăăċ ďđĎĂĔāēĎ ‫ܨ‬ăčĒÿČĀċÿĂĎ ăč Ććčÿ‫ ܩ‬ćčĂćāÿ ĐĔă ĒĔ ĕĎċĔČăč ăĒ V = ‫ ݽݽݽ࢜ޅ‬āČ3. Ayudemos a KAOS a calcular el volumen en pies cúbicos.

El Dr. KAOS está obsesionado con el tiempo y quiere saber a cuántos días equivalen T ࠘ ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ‬Ē‫ ܡ ܜ‬ơČĎ ĂăĀă Ćÿāăđ este cálculo?

Conversión de unidades de cantidades al cuadrado o al cubo

¡A practicar! ďăĒÿđ Ăă ĒĔ ČÿċĕÿĂĎ āĎđÿęơč āĎčēđÿ ċÿ ĒĎāćăĂÿĂ‫ ܘ‬ăċ đ‫ ܜ‬ĐĔćăđă ČĔāĆĎ ÿ ĒĔ ÿĀĔăċćēÿ Ę Ćÿ ĂăāćĂćĂĎ ĄĎđđÿđ āĎč ďÿďăċ un cuadro que le regalará el día de su cumpleaños. Si el cuadro tiene un área total A = 16 pulgadas2‫ܡ ܘ‬āĔěčēĎĒ āăčēŲČăēđĎĒ āĔÿĂđÿĂĎĒ Ăă ďÿďăċ čăāăĒćēÿ ďÿđÿ ĄĎđđÿđċĎ ďĎđ ċÿĒ ĂĎĒ āÿđÿĒ‫ܠ‬

Ejercicio 1.1 Conversión de unidades

ăÿċćęÿ ċÿĒ ĒćąĔćăčēăĒ āĎčĕăđĒćĎčăĒ Ăă ĔčćĂÿĂăĒ ĔēćċćęÿčĂĎ ċĎĒ ĄÿāēĎđăĒ Ăă āĎčĕăđĒćơč Ăă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ܜݾ‬

Solución Planteamiento

1. 1.80 m a pie

6. 100 cm2 a m2

Paso 1‫ ࢕ܜ‬ċ ďđĎāăĂćČćăčēĎ ÿ ĒăąĔćđ ăĒ ĒćČćċÿđ ÿċ āÿĒĎ ÿčēăđćĎđ‫ ܜ‬Ēēÿ ĕăę‫ ܘ‬ĂăĀăČĎĒ ăċăĕÿđ ÿċ āĔÿĂđÿĂĎ ăċ ĄÿāēĎđ Ăă āĎčĕăđĒćơč‫ ܜ‬ă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ܘݾ‬Ăă ċÿ ďđćČăđÿ āĎċĔČčÿ‫ ܘ‬ĕăČĎĒ ĐĔă ‫ ݾ‬ďĔċąÿĂÿ = 2.540 cm.

2 2.540 cm Paso 2‫ ࢕ܜ‬ĔăđăČĎĒ ďÿĒÿđ Ăă ďĔċąÿĂÿĒ āĔÿĂđÿĂÿĒ ‫ܨ‬ďĔċąÿĂÿĒ2‫ ܩ‬ÿ āăčēŲČăēđĎĒ āĔÿĂđÿĂĎĒ ‫ܨ‬āČ2‫ ܘܩ‬ÿĒŲ ĐĔă ăĒāđćĀćČĎĒ ‫ = ݾ‬1 pulgada .

Obsăđĕÿ ĐĔă ăċăĕÿČĎĒ ÿċ āĔÿĂđÿĂĎ čĔăĒēđĎ ܾĄÿāēĎđ ĔčĎ݀‫ܜ‬

2. 200 años a s

7. 80 km2 a m2

Datos e incógnitas

Fórmulas

A = 16 pulgadas2 A = ¿? cm2

‫ ݾ‬ďĔċąÿĂÿ ࠘ ‫ ݽށނܜݿ‬āČ‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ܘ‬ 1=

1.11 Caída libre y tiro vertical

2.540 cm 1 pulgada

3. 100 kg a lb

8.٪ ׁ‫־׃‬٬‫־־־‬٪ǼǼ2 a km2

4. 100 km/h a m/s

9.٪ ֿ٬‫־־־‬٪ƤǼ3 a L (litros)

5. 100 km/h a mi/h

10. 0.002 m3/h a L/s

2

Estas son las Referencias consultadas en la elaboración de la obra.

37

5.

Se lanza una bola de plastilina de modo que alcanza una altura máxima de 2 m. Determina a) a qué velocidad fue disparada y b) cuánto tiempo le toma regresar al punto de partida.

6.

Se lanza una piedra hacia abajo con una velocidad inicial de 5 m/s (hacia abajo) desde el borde de un acantilado.

Utilizando un cronómetro, se encuentra que le toma 2.5 s llegar al piso. a) ¿Qué altura tiene el acantilado? b) ¿Con qué velocidad llega la piedra al piso?

Concluyendo el tema Ahora que has terminado el capítulo, habrás visto varios conceptos nuevos que te ayudarán a continuar, de forma sólida, con los siguientes temas. En este capítulo revisamos cómo se utilizan las unidades para realizar medicioǾƲȷ‫ؘ‬٪½ƇǼƣǛƳǾ٪ɥǛǼȉȷ٪ƤȊǼȉ٪Ʋdz٪ȬdzƇǾȉ٪ƤƇȯɅƲȷǛƇǾȉ٪Ǿȉȷ٪ƇɬɍƫƇ٪Ƈ٪ƫƲ˚ǾǛȯ٪dzƇ٪ȬȉȷǛƤǛȊǾ٪ de puntos en el espacio, y conceptos como desplazamiento, velocidad y aceleración. Aprendimos que los escalares y los vectores nos sirven para describir y ƲȷɅɍƫǛƇȯ٪dzȉȷ٪njƲǾȊǼƲǾȉȷ٪njǝȷǛƤȉȷ٪ȮɍƲ٪ȉƣȷƲȯɥƇǼȉȷ‫ؘ‬٪%Ʋ˚ǾǛǼȉȷ٪dzƇ٪ƫǛnjƲȯƲǾƤǛƇ٪ƲǾɅȯƲ٪ un sistema de referencia inercial y uno no inercial. Estudiamos el movimiento de los cuerpos y las ecuaciones que lo describen en el caso de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), como el caso de la caída libre de los cuerpos.

38

Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Determinación de la gravedad utilizando dispositivos móviles

En esta actividad analizarás la relación que hay entre la distancia y que recorre una piedra que se deja caer y el tiempo t que le toma recorrer esa distancia, utilizando una regla y un dispositivo móvil. Mediante el análisis de los datos, encontrarás una relación entre y y t que te permitirá entender las características del movimiento uniformemente acelerado (presente en la caída libre) y, de paso, estimarás de manera aproximada la aceleración de la gravedad.

Baja a tu celular la aplicación phyphox que te servirá para tomar mediciones de distintos experimentos físicos a lo largo del texto. Dentro de phyphox ve a la sección “Temporizadores (Timers)” y abre “Cronómetro acústico (Acoustic Stopwatch)”. Esta herramienta te permite medir el tiempo entre dos eventos sonoros consecutivos.

Tú y tus compañeros de equipo vayan a un lugar donde puedan dejar caer una piedra (no muy grande) que produzca un sonido notorio al chochar con el piso. Registren una altura inicial de, digamos, 40 cm y dejen caer la piedra cerca del teléfono para que pueda registrar el tiempo que tarda en caer. Como el “cronómetro” del celular registra el tiempo entre dos eventos sonoros, tendrán que decir rápidamente “ya” al momento de dejar caer la piedra para iniciar el cronómetro, el cual se detendrá cuando el celular escuche el sonido producido por la piedra al chocar con el piso.

Repitan esta observación tres veces para esta distancia y registren el valor promedio del tiempo en la siguiente tabla. Repitan estas mediciones para alturas de 60 cm, 80 cm, 100 cm, 1.20 m y 1.40 m. (Se muestra sólo la primera parte de la tabla).

Altura inicial

(m)

Tiempo de caída

h=

0.40

t1 (medida 1) =

h=

0.40

t2 (medida 2) =

h=

0.40

t3 (medida 3) =

0.40 0.60

t1 (medida 1) =

h=

0.60

t2 (medida 2) =

0.60

t3 (medida 3) =

h=

a)

tpromedio =

h= h=

h=

La sección Concluyendo el tema٪ɥƇ٪Ƈdz٪˚ǾƇdz٪ de los capítulos y retoma los puntos más importantes del capítulo.

Actividad de integración

Actividad de integración

0.60

tpromedio =

h=

0.80

h=

0.80

t2 (medida 2) =

h=

0.80

t3 (medida 3) =

h=

0.80

tpromedio =

(s)

(s2)

(tprom)2

(tprom)2

t1 (medida 1) =

(tprom)2

Referencias BIPM. (2019). Le Système international d’unités / The International System of Units (`The SI Brochure’) (9.a ed.). Bureau international des poids et mesures. http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/ Gamow, G. (1988). The great physicists from Galileo to Einstein. Nueva York: Dover Publications, Inc. Hewitt, P. G. (2016). Física conceptual. (12a. ed.). México: Pearson Educación.

Rus, C. (enero 10, 2022). El día en que la NASA estrelló una sonda en Marte porque alguien olvidó usar el sistema métrico. Consultado desde https://www.xataka. com/espacio/dia-que-nasa-estrello-sonda-marte-porque-alguien-se-olvidousar-sistema-metrico-2 Serway, R. A., Jewett Jr. & John W. (2018). Física para ciencias e ingeniería 1 (10a. ed.). México: Cengage Learning.

Urone, P. P. & Hinrichs, R. (2020a). Acceleration. En Physics. OpenStax. https:// openstax.org/books/physics/pages/3-introduction Urone, P. P. & Hinrichs, R. (2020b). Motion in One Dimension. En Physics. OpenStax. https://openstax.org/books/physics/pages/2-introduction Young, H. D. & Freedman, R. A. (2018). Física universitaria: Con física moderna.

México: Pearson.

ĎčĒćąĔă Ĕčÿ ĆĎĉÿ Ăă ďÿďăċ ČćċćČŊēđćāĎ Ę ąăčăđÿ Ĕčÿ ąđěʐʒāÿ Ăă ÿċēĔđÿ h (en el eje y) vs. t (en el eje x). ¿Qué relación sigue la altura h como función del tiempo t?

b) ÿđÿ āĎČďđĎĀÿđ ēĔ ćčēĔćāćơč‫ ܘ‬ąăčăđÿ ÿĆĎđÿ Ĕčÿ ĒăąĔčĂÿ ąđěʐʒāÿ Ăă h (en el eje y) vs. t2 (en el eje x). ¿Qué relación c)

sigue esta vez la altura h como función del tiempo t2?

Calcula la pendiente de la recta que obtuviste en el inciso b). Dado que en caída libre se cumple que y = (½)gt2, la pendiente de la recta que obtuviste en el inciso b) debe estar cercana al valor 4.90 m/s2, ya que la pendiente que encontraste corresponde precisamente a (½)g. ¿Qué valor de g encontraron a partir de sus datos observacionales?

Las Actividades de integración ɅǛƲǾƲǾ٪dzƇ٪˚ǾƇdzǛƫƇƫ٪ƫƲ٪ȮɍƲ٪dzȉȷ٪ alumnos asimilen los conceptos aprendidos y creen productos ƣƇȷƇƫȉȷ٪ƲǾ٪ȷɍȷ٪ȯƲ˛ƲɫǛȉǾƲȷ‫ؘ‬

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xviii

Física III

La sección ¡Prepárate para tus exámenes! presenta preguntas diseñadas para simular un examen típico acerca de los conceptos estudiados en el capítulo.

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

CAPÍTULO 1

Como refuerzo de lo que has aprendido en este capítulo, responde en tu cuaderno, sin ayuda de terceros, las siguientes preguntas. Al terminar, comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo y con tu profesor.

Preguntas de campo abierto 1. Explica qué es un sistema físico y da un ejemplo.

2. ¿En qué casos podemos tratar un objeto como una partícula? Da un par de

ejemplos.

3. ‫ ܡ‬ĔŊ Ēćąčćʐʒāÿ ČăĂćđ ÿċąĎ‫ ܡ ܠ‬ĔŊ ăĒ ċĎ ĐĔă Ēă āĎČďÿđÿ‫ܠ‬ 4. ¿Qué es un patrón de referencia y por qué es importante?

5. Explica qué son las magnitudes básicas y da tres ejemplos de ellas.

6. Menciona dos sistemas de unidades importantes utilizados en física.

7. Describe qué es un plano cartesiano y explica qué representan las coordenadas

(x, y).

8. Menciona el teorema de Pitágoras y para qué sirve.

9. ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos del plano cartesiano?

10. ‫ ܡ‬ĔěċăĒ ĒĎč ċÿĒ ēđăĒ ĄĔčāćĎčăĒ ēđćąĎčĎČŊēđćāÿĒ ďđćčāćďÿċăĒ‫ ܡ ܠ‬ơČĎ Ēă Ăăʐʒčăč‫ܠ‬ 11. Comenta la diferencia entre escalares y vectores en física y proporciona dos ejem-

plos de cada uno de ellos, incluyendo sus unidades.

12. Explica cómo se calcula la magnitud de un vector y proporciona un ejemplo.

13. Comenta la diferencia entre distancia y desplazamiento en física.

14. ¿Qué es el movimiento rectilíneo uniforme (MRU)? ¿Cuál es su característica

más importante?

15. Comenta la diferencia entre un sistema de referencia inercial y uno no inercial.

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

CAPÍTULO 2

16. Comenta la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea.

17. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y aceleración? Da un par de ejemplos de

cada una.

18. ¿Qué condición se requiere para considerar que un objeto se encuentra en caída

Como refuerzo de lo que has aprendido en este capítulo, responde en tu cuaderno, sin ayuda de terceros, las siguientes preguntas. Al terminar, comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo y con tu profesor.

Preguntas de relación de columnas ăċÿāćĎčÿ ăċ āĎčāăďēĎ Ăă ċÿ āĎċĔČčÿ Ăă ċÿ ćęĐĔćăđĂÿ āĎč ĒĔ Ăăʐʒčćāćơč ĂÿĂÿ ăč ċÿ āĎܳ lumna de la derecha.

1. rpm

360° = 2‫ ט‬rad

[ ]

2. Movimiento circular uniforme

¯Ʋ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ƤȉǼȉ٪Ʋdz٪ȬȯȉƫɍƤɅȉ٪ƫƲ٪dzƇ٪ aceleración angular α y el radio r. Se mide en m/s2

[

ׁ‫ؘ‬٪ % ٪ Ʋ˚ǾǛƤǛȊǾ٪ƫƲ٪ƇƤƲdzƲȯƇƤǛȊǾ٪ centrípeta

Es necesaria para mantener al objeto en movimiento circular.

Apunta hacia el centro de la trayecɅȉȯǛƇ‫ؘ‬٪¯Ʋ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ƤȉǼȉ٪macen, donde m = masa y acen = aceleración centrípeta y se mide en N

[

]

4. Fuerza centrífuga

¯Ʋ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ƤȉǼȉ٪v2/r

[

] ]

]

5. Velocidad angular

Cuando un objeto se mueve en círculos con rapidez constante

[

6. Relación entre grados y radianes

¯ǛǍǾǛ˚ƤƇ٪ȯƲɥȉdzɍƤǛȉǾƲȷ٪Ȭȉȯ٪ǼǛǾɍɅȉ٪ (rev/min). Para convertir rpm a rad/s, se multiplica por 2‫ט‬/60

[

]

7. Velocidad tangencial

Tiempo empleado en completar una revolución. Se mide en segundos

[

]

8. Frecuencia

¯Ʋ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ƤȉǼȉ٪Ʋdz٪ƤƇǼƣǛȉ٪ƫƲ٪dzƇ٪ ȬȉȷǛƤǛȊǾ٪ƇǾǍɍdzƇȯ٪‫ڞ‬θ dividido entre el ǛǾɅƲȯɥƇdzȉ٪ƫƲ٪ɅǛƲǼȬȉ٪‫ڞ‬t. Se mide en rad/s

[

]

9. Aceleración angular

Tiene la misma magnitud que la fuerza centrípeta, pero se dirige hacia afuera del círculo

[

]

10. Aceleración tangencial

Es el inverso del periodo, corresponde al número de revoluciones por segundo. Se mide en Hz

[

]

11. Fuerza centrípeta

¯Ʋ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ƤȉǼȉ٪Ʋdz٪ƤƇǼƣǛȉ٪ƫƲ٪dzƇ٪ ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ƇǾǍɍdzƇȯ٪‫ڞ‬ω dividido entre Ʋdz٪ǛǾɅƲȯɥƇdzȉ٪ƫƲ٪ɅǛƲǼȬȉ٪‫ڞ‬t. Tiene unidades de rad/s2

[

]

12. Periodo

¯Ʋ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ƤȉǼȉ٪Ʋdz٪ȬȯȉƫɍƤɅȉ٪ƫƲ٪dzƇ٪ velocidad angular ω y el radio r. Se mide en m/s

[

]

libre?

xix

Acerca de los autores Juan Manuel Ramírez de Arellano vƇƤǛȊ٪ƲǾ٪ֿ‫׀׆ׇ‬٪ƲǾ٪dzƇ٪ ǛɍƫƇƫ٪ƫƲ٪tƳɫǛƤȉ‫ؘ‬٪-ȷ٪ƤǛƲǾɅǝ˚Ƥȉ٪ɬ٪ƇɍɅȉȯ٪ƫƲ٪ǕǛȷɅȉȯǛƲɅƇȷ٪ɬ٪ɅǛȯƇȷ٪ƤȊmicas. En 2012 obtuvo su Doctorado en Física de la Universidad Nacional Autónoma ƫƲ٪ tƳɫǛƤȉ٪ ‫ح‬Äv t‫ؘخ‬٪ %ƲȷƫƲ٪ ƲǾɅȉǾƤƲȷ‫ؙ‬٪ ǕƇ٪ ȷǛƫȉ٪ ȬȯȉnjƲȷȉȯ٪ ƫƲ٪ FǝȷǛƤƇ٪ ƲǾ٪ dzƇ٪ FƇƤɍdzɅƇƫ٪ ƫƲ٪ Ciencias de la UNAM y trabaja actualmente en el campus de la Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey, una de las universidades privadas más importantes de Latinoamérica. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores y realiza activamente investigación en física, particularmente dentro del campo de la ciencia computacional de materiales. Publica regularmente artículos de investigación en ȯƲɥǛȷɅƇȷ٪ ƤǛƲǾɅǝ˚ƤƇȷ٪ ƇȯƣǛɅȯƇƫƇȷ‫ؘ‬٪ dz٪ ǼǛȷǼȉ٪ ɅǛƲǼȬȉ‫ؙ‬٪ ɅȯƇƣƇǬƇ٪ ƤȉǼȉ٪ ǕǛȷɅȉȯǛƲɅǛȷɅƇ٪ ƣƇǬȉ٪ Ʋdz٪ seudónimo de Juanele Tamal —o simplemente "Juanele". Ha publicado distintos cómics en diversos medios, algunos de los cuales pueden encontrarse en su sitio ɦƲƣ٪ǕɅɅȬȷ‫إإؚ‬ǼȉƤȉ‫ع‬ƤȉǼǛƤȷ‫ؘ‬ƤȉǼ‫ؘإ‬٪

Víctor Robledo-Rella Es profesor asociado de la Escuela de Ingeniería y Ciencias del Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México, con más de 25 años de experiencia docente. Obtuvo su Maestría en Ciencias (Astronomía) y Doctorado en Ciencias (Astronomía) por parte de la UNAM, con una estancia por 3 años como Research Scholar en el Joint Institute for Laboratory Astrophysics, de la Universidad de Colorado en Boulder. El profesor Robledo realiza investigación en áreas de innovación educativa, enseñanza de la física, analíticas de aprendizaje, modelos predictivos y aprendizaje basado en retos. Tiene varias publicaciones en revistas arbitradas, 1 libro publicado ɬ٪ǕƇ٪ȬƇȯɅǛƤǛȬƇƫȉ٪ƲǾ٪ƫǛɥƲȯȷƇȷ٪ƤȉǾnjƲȯƲǾƤǛƇȷ٪ǾƇƤǛȉǾƇdzƲȷ٪Ʋ٪ǛǾɅƲȯǾƇƤǛȉǾƇdzƲȷ‫ؘ‬٪-ȷ٪ƤȉƇɍɅȉȯ٪ de una patente en Indautor y obtuvo el premio a la Innovación Educativa 2011 del Tecnológico de Monterrey. Ha fungido como revisor técnico y traductor de libros de física e ingeniería para Cengage, Pearson y McGraw-Hill. Pero, sobre todo, el Dr. Robledo-Rella es un apasionado de la enseñanza y su mayor vocación es trasmitir el espíritu del aprendizaje, el asombro por la ciencia y contribuir así a la formación integral de gente joven.

Nadxiieli Delgado Jiménez Nació el 12 de noviembre de 1990. Física de pasión y profesión. Durante la licenciatura fue becaria del Programa Universitario de Estudios de la Diversidad Cultural e Interculturalidad PUIC de la UNAM por ser de origen indígena, orgullosamente zapoteca. Realizó sus estudios de posgrado en el Posgrado de Ciencia e Ingeniería de Materiales de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) obteniendo el grado de maestría en 2018 y posteriormente el grado de doctora en 2023. Es profesora en la Facultad de Ciencias de la UNAM con una trayectoria de más de 8 años y 3 años como profesora en el Tecnológico de Monterrey Campus Ciudad de México.

También realiza activamente investigación en la ciencia de materiales con una línea de investigación actual en materiales electrónicos y cuenta con algunas publicaciones en revistas.

xx

Física III

Prefacio ĘǞĂÿčĎĒ ÿ ćČďăĂćđ ĐĔă ăċ đ‫ ܜ‬ÿāÿĀă āĎč ăċ ČĔčĂĎ‫ ܜ‬č āćăčēŲʐʒāĎ ĂăĒĎđćăčēÿĂĎ‫ ܘ‬ÿ āÿĔĒÿ Ăă ver tantos videos en Internet y pasarse la vida haciendo scrolling en su celular, ha perdido la cabeza y está decidido a terminar con el mundo como lo conocemos. Sus conocimientos de física clásica y mecánica cuántica son tan avanzados (según él), que necesitamos de tu pericia y la de tus compañeros para detener sus malévolos planes. Afortunadamente, en nuestro equipo contamos con la ayuda de la maravillosa agente Poly, quien obtuvo puro 10 en Física, sigue buenos canales de ciencia en YouTube, domina el uso de Google, Wikipedia y ChatGPT, y está dispuesta a asesorarnos para impedir los perversos planes del Dr. KAOS. Este es un libro de física distinto en el que aprenderás conceptos y leyes físicas de una manera divertida. Al inicio de cada capítulo, encontrarás un reto que cuestionará tus conocimientos previos y tiene el objetivo de motivarte a seguir aprendiendo. A lo largo de la obra, encontrarás muchos ejemplos y ejercicios propuestos que muestran al Dr. KAOS y a la agente Poly construyendo aditamentos y llevando a cabo experimentos con los que pondrás en práctica los conocimientos presentados en el capítulo. De esta manera, irás desarrollando tu habilidad de resolución de problemas, ă ćđěĒ ĒăČĀđÿčĂĎ ċÿĒ ĀÿĒăĒ Ăă Ĕč ďăčĒÿČćăčēĎ āćăčēŲʐʒāĎ Ę ČăēĎĂĎċơąćāĎ ďÿđÿ ăĒēĔĂćÿđ Ę ČĎĂăċÿđ sistemas físicos. č ăĒēă ċćĀđĎ ÿďđăčĂăđěĒ ēăČÿĒ ĀěĒćāĎĒ Ăă ċÿ ĄŲĒćāÿ ĐĔă ĕÿč ĂăĒĂă ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă Ĕč ĒćĒēăČÿ físico, pasando por vectores en 2D, y las ecuaciones de movimiento con aceleración constante. Hablaremos también del movimiento circular y la fuerza centrífuga presentes en dicho movimiento.

Revisaremos las leyes de Kepler del sistema solar, junto con las leyes de Newton de la dinámica y la ley de gravitación universal.

Luego hablaremos de la famosísima ley de conservación de la energía que incluye la energía cinética, la energía potencial (gravitacional, elástica, eléctrica, etc.) y que ¡rige la evolución del universo! Revisaremos brevemente los modelos atómicos del átomo hasta llegar a la “tabla periódica del siglo XXI” formada por seis quarks y seis leptones.

En el capítulo 7 hablaremos de satélites naturales y los viajes que ha hecho el hombre a la Ĕčÿ‫ ܘ‬ÿĒŲ āĎČĎ ċÿ ĆćĒēĎđćÿ Ę āÿđÿāēăđŲĒēćāÿĒ ďđćčāćďÿċăĒ Ăă ċĎĒ ĒÿēŊċćēăĒ ÿđēćʐʒāćÿċăĒ ‫ܨ‬ČăēăĎđĎċơąćāĎĒ‫ ܘ‬ de comunicación, etc.). Terminamos la primera parte del libro hablando sobre el sistema solar, los planetas que lo conforman y los planetas enanos más importantes (incluido Plutón).

En la segunda parte del libro revisaremos los conceptos de cargas y campos eléctricos y las ĂăʐʒčćāćĎčăĒ Ăă ĕĎċēÿĉă‫ ܘ‬ďĎēăčāćÿċ ăċŊāēđćāĎ Ę āĎđđćăčēă‫ ܜ‬ÿČĀćŊč ĆÿĀċÿđăČĎĒ Ăă ċÿ ĂćĄăđăčāćÿ ăčēđă aislantes y conductores, y veremos elementos básicos de circuitos eléctricos, incluyendo las leyes de ĆČ Ę Ăă ćđāĆĆĎʏĄ‫ ܜ‬ Luego revisaremos las fuentes de campo magnético y cómo un alambre con corriente eléctrica genera un campo magnético a su alrededor, así como la famosísima ley de inducción de Faraday que indica que un campo magnético variable produce una corriente eléctrica, y que es el principio básico con el que operan los generadores de energía eléctrica, ya sea en plantas hidroeléctricas, eólicas o geotérmicas.

Hablaremos también de los conceptos de temperatura, calor, expansión térmica, gas ideal, ciāċĎĒ ēăđČĎĂćčěČćāĎĒ‫ ܘ‬ČěĐĔćčÿĒ Ę ĒĔ ăʐʒāćăčāćÿ‫ ܜ‬ćčÿċČăčēă‫ ܘ‬đăĕćĒÿđăČĎĒ ăč ĐĔŊ āĎčĒćĒēă ăċ ăĄăāēĎ piezoeléctrico y terminaremos la obra con una discusión acerca de las fuentes de contaminación del aire, agua y suelo y las acciones de sostenibilidad que podemos llevar todos a cabo para reducir el calentamiento global y mejorar el medio ambiente, lo cual ¡ya es urgente a nivel planeta! ĎčʐʒÿČĎĒ ăč ĐĔă ăĒēÿ ĎĀđÿ āĔČďċćđě āĎč ċÿĒ ăėďăāēÿēćĕÿĒ Ăă ďđĎĄăĒĎđăĒ Ę ÿċĔČčĎĒ Ăă ŲĒćāÿ ÿ nivel bachillerato para ayudarles a cubrir de manera amena los temas asignados de física, ayudándoles a desarrollar sus habilidades de pensamiento crítico, búsqueda y análisis de información, así como trabajo en equipo y comunicación asertiva. ¡Ayúdanos a impedir las fechorías del Dr. KAOS! Juan Manuel Ramírez de Arellano Víctor Robledo-Rella Nadxiieli Delgado Jiménez

PA RT E

I

ƣǬƲɅǛɥȉȷ٪ƲȷȬƲƤǝ˚Ƥȉȷ El alumno: O

O

O

O

O

Interpretará y utilizará las diferentes representaciones simbólicas empleadas en la fíȷǛƤƇ٪ȬƇȯƇ٪dzƇ٪ƫƲƤȉƫǛ˚ƤƇƤǛȊǾ٪ƫƲ٪ǛǾnjȉȯǼƇƤǛȊǾ‫ؙ‬٪ descripción de fenómenos y resolución de problemas.

UƫƲǾɅǛ˚ƤƇȯƈ٪ ɬ٪ ƇǾƇdzǛɶƇȯƈ٪ dzƇȷ٪ ɥƇȯǛƇƣdzƲȷ٪ ȮɍƲ٪ ƫƲȷƤȯǛƣƲǾ٪ Ʋdz٪ ǼȉɥǛǼǛƲǾɅȉ٪ ƫƲ٪ ɍǾ٪ ȷƇɅƳdzǛɅƲ٪ ƲǾ٪ ɅƳȯǼǛǾȉȷ٪ƤǛǾƲǼƈɅǛƤȉȷ٪ɬ٪ƫǛǾƈǼǛƤȉȷ‫ؘ‬٪ GƲǾƲȯƇdzǛɶƇȯƈ٪dzƇ٪ƫǛǾƈǼǛƤƇ٪ƫƲ٪dzȉȷ٪ȷƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ɅƲrrestres para la interpretación de la dinámica del sistema solar.

MOVIMIENTO DE SATÉLITES

Contenidos conceptuales Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial Capítulo 2٪ ٪tȉɥǛǼǛƲǾɅȉ٪ƤǛȯƤɍdzƇȯ٪ɍǾǛnjȉȯǼƲ‫ؚ‬٪ ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ƇǾǍɍdzƇȯ٪ɬ٪ɅƇǾǍƲǾƤǛƇdz‫؛‬٪ ƇƤƲdzƲȯƇƤǛȊǾ٪ƤƲǾɅȯǝȬƲɅƇ‫؛‬٪njɍƲȯɶƇ٪ centrípeta Capítulo 3 Leyes de Kepler Capítulo 4 Leyes de Newton

Reconocerá la utilidad de la física en los desarrollos tecnológicos para establecer un puente entre los conceptos abstractos y sus aplicaciones.

Capítulo 5٪ ٪jƲɬ٪ƫƲ٪dzƇ٪ǍȯƇɥǛɅƇƤǛȊǾ٪ɍǾǛɥƲȯȷƇdz‫ؚ‬٪ ǼƇȷƇ٪ɬ٪ȬƲȷȉ‫؛‬٪ƲǾƲȯǍǝƇ٪ƤǛǾƳɅǛƤƇ٪ ɬ٪ȬȉɅƲǾƤǛƇdz‫؛‬٪ȬȉɅƲǾƤǛƇ

ȉǾȉƤƲȯƈ٪ɬ٪ɍɅǛdzǛɶƇȯƈ٪ƇƫƲƤɍƇƫƇǼƲǾɅƲ٪Ʋdz٪ƲȮɍǛpo y materiales de laboratorio para montajes experimentales.

Capítulo 6 Energía de enlace Capítulo 7٪ ٪¯ƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ǾƇɅɍȯƇdzƲȷ Capítulo 8٪ ٪¯ƇɅƳdzǛɅƲȷ٪ƇȯɅǛ˚ƤǛƇdzƲȷ‫ؚ‬٪ǼƲɅƲȯƲȉdzȊǍǛƤȉȷ‫ؙ‬٪ ɅƲdzƲƤȉǼɍǾǛƤƇƤǛȉǾƲȷ‫ؙ‬٪ƲȷȬǝƇȷ‫ؙ‬٪ estaciones espaciales Capítulo 9 Sistema solar

CAPÍTULO

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1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Contenidos conceptuales 1.1

Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades

1.2

Conversión de unidades

1.3

Plano cartesiano y distancia entre dos puntos

1.4

Escalares y vectores

1.5

Componentes cartesianas, magnitud y ángulo de un vector

1.6

Suma y resta de vectores

1.7

Vectores unitarios y vectores en 3D

1.8

Movimiento: sistema de referencia inercial y no inercial

1.9

Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

1.10 Movimiento 1D con aceleración constante 1.11 Caída libre y tiro vertical

4

Capítulo 1 Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Introducción En este primer capítulo comenzaremos con los temas básicos que nos servirán ďÿđÿ ăċ đăĒēĎ Ăăċ ċćĀđĎ‫ ܘ‬ĂăĒĂă ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ĒćĒēăČÿ ĄŲĒćāĎ‫ ܘ‬āơČĎ ČăĂćČĎĒ ċÿĒ āĎsas en ciencia, qué unidades utilizamos y cómo convertir unas unidades a otras.

Nos concentraremos después en el movimiento de los objetos, cómo podemos localizarlos en una recta y en un plano cartesiano, y cómo los vectores nos ayudan a describir muchos fenómenos de la naturaleza. Hablaremos también del āĎčāăďēĎ Ăă ČÿđāĎ Ăă đăĄăđăčāćÿ Ę ĄĔăđęÿĒ ʐʒāēćāćÿĒ‫ ܜ‬ĂăČěĒ‫ ܘ‬đăĕćĒÿđăČĎĒ ċĎĒ āĎčceptos de aceleración, posición, desplazamiento, velocidad y cómo se relacionan entre sí por medio de ecuaciones, en particular, estudiaremos las ecuaciones de cinemática con aceleración constante y caída libre. ¡Adelante!

Reto 1.1

Ayuda a localizar el cuartel general del malévolo Dr. KAOS El Dr. KAOS es tan poderoso y adinerado, que compró un satélite de comunicaciones a una famosa compañía rusa de cosméticos y, desde ahí, es capaz de observar ƫƲɅƇdzdzƲȷ٪ȷɍɅǛdzƲȷ٪ƲǾ٪dzƇ٪ȷɍȬƲȯ˚ƤǛƲ٪ƫƲ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ȬƇȯƇ٪dzdzƲɥƇȯ٪Ƈ٪ƤƇƣȉ٪ȷɍȷ٪˚Ǿȉȷ٪ȬdzƇǾƲȷ‫ؙ‬٪ȮɍƲ٪ incluyen: contaminar los principales ríos del planeta, llenar la atmósfera de gases de efecto invernadero para aumentar el calentamiento global e introducir una variante desconocida en el genoma humano para disminuir su resistencia al choƤȉdzƇɅƲ٪ɬ٪ǼƲȯǼƇȯ٪ƫƲ˚ǾǛɅǛɥƇǼƲǾɅƲ٪dzƇ٪ȯƇɶƇ٪ǕɍǼƇǾƇ٪Ȭȉȯ٪ƫǛƇƣƲɅƲȷ٪ɬ٪ȷȉƣȯƲȬƲȷȉ‫ؘ‬٪ Desde su satélite, el Dr. KAOS vigila constantemente su cuartel general en dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ȬƇȯƇ٪ǛǼȬƲƫǛȯ٪ȮɍƲ٪ǾƇƫǛƲ٪ȷƲ٪ƇƤƲȯȮɍƲ‫ؙ‬٪ǾǛ٪Ȭȉȯ٪ƇǛȯƲ٪ǾǛ٪Ȭȉȯ٪ɅǛƲȯȯƇ‫ؘ‬٪%Ʋ٪ǕƲƤǕȉ‫ؙ‬٪ se rumorea que su cuartel, localizado en algún lugar del sureste africano, está ƤƇǼɍ˛Ƈƫȉ٪ ɬ٪ ƫƲȷƫƲ٪ ƇnjɍƲȯƇ٪ ȬƇȯƲƤƲ٪ ɍǾƇ٪ ȬƇǾƇƫƲȯǝƇ٪ ƤȉǼɎǾ٪ ɬ٪ ƤȉȯȯǛƲǾɅƲ‫ؘ‬٪ %ƲȷƇnjȉȯtunadamente para el Dr. KAOS, su sistema de visión satelital tiene un par de ƫƲnjƲƤɅȉȷ٪‫ح‬ƫƲ˚ǾǛƤǛȊǾ٪ƫƲ٪ƲǬƲȷ٪ɬ٪ƲȷƤƇdzƇ‫ؙخ‬٪ȮɍƲ٪ƫƲȷƤɍƣȯǛȯƲǼȉȷ٪ƲǾ٪ƲȷɅƲ٪ƤƇȬǝɅɍdzȉ‫ؘ‬٪‫ؠ‬vȉȷ٪ ayudas a averiguarlo?

Conocimientos previos

Antes de comenzar, te pedimos que contestes en tu cuaderno brevemente las siguientes preguntas que permitirán saber qué conocimientos tienes de los temas de este capítulo.

1. ¿Cuáles son los principales sistemas de unidades que se usan en física?

2. ¿Por qué es importante realizar conversión de unidades?

3. ¿Qué es un plano cartesiano y para qué sirve?

4. ¿Cuáles son las características de un vector?

5. ¿Cuál es la diferencia entre un sistema de referencia inercial y uno no inercial?

6. ¿Cuál es la diferencia entre distancia y desplazamiento?

7. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea?

8. ¿Cuál es la diferencia entre aceleración media y aceleración instantánea?

9. ‫ ܡ‬ĔŊ Ēćąčćʐʒāÿ ČĎĕćČćăčēĎ đăāēćċŲčăĎ ĔčćĄĎđČă ‫ܠܩ ܨ‬ 10. ¿Cuándo podemos decir que un objeto está en caída libre?

1.1 Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades

1.1 Sistema físico, mediciones y sistemas de unidades čēăĒ Ăă āĎČăčęÿđ čĔăĒēđÿ ēđÿĕăĒŲÿ āĎč ăċ đ‫ ܘ ܜ‬ĂăĀăČĎĒ Ăăʐʒčćđ ÿċąĔčĎĒ āĎčāăďtos básicos que usaremos a lo largo del libro.

Sistema físico č sistema físico Ēă Ăăʐʒčă āĎČĎ Ĕčÿ āĎċăāāćơč Ăă ĎĀĉăēĎĒ ĄŲĒćāĎĒ ăċăąćĂĎĒ ďÿđÿ Ēăđ analizados. Por lo general, el sistema físico está formado por una porción del universo ĐĔă ċĎ Ăăʐʒčă‫ ܘ‬Ę ċĎ ĐĔă ĐĔăĂÿ ĄĔăđÿ Ăăċ ĒćĒēăČÿ Ēă āĎčĎāă āĎČĎ su entorno. Por lo general, se ignora el entorno, excepto por los efectos que pueda tener sobre el sistema. Así ĐĔă Ĕč ĒćĒēăČÿ ĄŲĒćāĎ Ēă Ăăʐʒčă ďĎđ ċÿ ăċăāāćơč Ăă ĎĀĉăēĎĒ ĄŲĒćāĎĒ ĐĔă ċĎ āĎčĄĎđČÿč Ę ĐĔă serán analizados, así como los límites que lo separan de su entorno.

Objetos vistos como partículas Por simplicidad en el análisis de los sistemas físicos, conviene considerar que están formados por objetos físicos muy pequeños que llamaremos partículas. Por lo tanto, no čĎĒ ćčēăđăĒÿ čć ĒĔ ĄĎđČÿ ‫ܨ‬Ēć ĒĎč đăĂĎčĂĎĒ Ď āĔÿĂđÿĂĎĒ‫ ܩ‬čć ĒĔ ēÿČÿƙĎ‫ ܘ‬ďĔăĒ Ēă āĎčĒćĂăđÿč ēÿč ďăĐĔăƙĎĒ ĐĔă ĒơċĎ ĎāĔďÿč Ĕč ċĔąÿđ ČĔĘ đăĂĔāćĂĎ Ę Āćăč ĂăʐʒčćĂĎ ăč ăċ ăĒďÿāćĎ‫ ܜ‬ Dependiendo de la situación que se esté analizando, podemos considerar como partícula Ĕčÿ ďăċĎēÿ‫ ܘ‬Ĕč ÿĔēĎČơĕćċ Ď ćčāċĔĒĎ ċÿ ćăđđÿ ‫ܨ‬ăč ĒĔ ČĎĕćČćăčēĎ ÿċđăĂăĂĎđ Ăăċ Ďċ‫ ܜܩ‬ Mediciones, magnitudes básicas y sistemas de unidades Para estudiar y manipular el mundo que nos rodea, en física hacemos mediciones de diversos parámetros y propiedades de los objetos que nos rodean. Por ejemplo, su masa, volumen, temperatura, carga eléctrica, intervalos de tiempo, etc. Toda medición implica comparar lo que se va a medir con un patrón de referencia previamente establecido. ċĎ ċÿđąĎ Ăă ċÿ ĆćĒēĎđćÿ Ăă ċÿ ĆĔČÿčćĂÿĂ‫ ܘ‬Ēă Ćÿč ĂăʐʒčćĂĎ ĂćĒēćčēĎĒ ĒćĒēăČÿĒ Ăă unidades en varias partes del mundo. Sin embargo, los dos sistemas más conocidos hoy en día son el Sistema Internacional de Unidades ‫ ܘܩ ܨ‬ĐĔă ăĒ ăċ ĒćĒēăČÿ ăĒēěčĂÿđ ĐĔă Ēă usa prácticamente en todo el mundo y usaremos en este libro, y el Sistema Anglosajón de Unidades ‫ܨ‬ÿčēăđćĎđČăčēă ċċÿČÿĂĎ ĒćĒēăČÿ ćČďăđćÿċ Ď ĒćĒēăČÿ ćčąċŊĒ‫ ܩ‬ăċ āĔÿċ‫ ܘ‬ÿ ďăĒÿđ Ăă Ēăđ ČăčĎĒ ćčēĔćēćĕĎ‫ ܘ‬ÿǞč ēćăčă ćčʎʕĔăčāćÿ ĂăĀćĂĎ ÿ Ēăđ ĔēćċćęÿĂĎ Ăă ĄĎđČÿ Ďʐʒāćÿċ ďĎđ ĒēÿĂĎĒ čćĂĎĒ Ę Ăă ĄĎđČÿ čĎ Ďʐʒāćÿċ ăč ĎēđĎĒ ďÿŲĒăĒ Ăă ĆÿĀċÿ ćčąċăĒÿ‫ܜ‬ ċÿ čÿēĔđÿċăęÿ ċă ąĔĒēÿč ċÿĒ āĎĒÿĒ ĒćČďċăĒ Ę‫ ܘ‬ÿĄĎđēĔčÿĂÿČăčēă ďÿđÿ ċĎĒ āćăčēŲʐʒāĎĒ‫ ܘ‬ existen sólo unas cuantas magnitudes físicas fundamentales ‫ܨ‬Ď ĀěĒćāÿĒ‫ ܩ‬āĎč ċÿĒ cuales se pueden estudiar ¡todos los fenómenos conocidos del mundo físico! Cada ČÿąčćēĔĂ ‫ܨ‬Ď ďÿđěČăēđĎ‫ ܩ‬ĄĔčĂÿČăčēÿċ Ēă ďĔăĂă ČăĂćđ ăč ĂćĒēćčēÿĒ ĔčćĂÿĂăĒ‫ ܜ‬Ďđ ăĉăČďċĎ‫ ܘ‬ďĎĂăČĎĒ ČăĂćđ ĂćĒēÿčāćÿĒ ăč ČăēđĎĒ ‫ܨ‬Č‫ ܘܩ‬āăčēŲČăēđĎĒ ‫ܨ‬āČ‫ ܩ‬Ď ĊćċơČăēđĎĒ ‫ܨ‬ĊČ‫ ܘܩ‬ĐĔă ĒĎč ĔčćĂÿĂăĒ Ăăċ ćĒēăČÿ čēăđčÿāćĎčÿċ‫ ܜ‬ă ĄĎđČÿ ĒćČćċÿđ‫ ܘ‬ďĎĂăČĎĒ ČăĂćđ ăċ ēćăČďĎ en segundos, días o años.

La tabla 1.1 muestra las magnitudes fundamentales del mundo físico que usaremos en este libro.

Magnitudes derivadas Además de las magnitudes fundamentales, existen muchas otras magnitudes derivadas, que se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales. Por ejemplo, velocidad Ēă ďĔăĂă Ăăʐʒčćđ āĎČĎ distancia recorrida ‫∆ܨ‬d‫ ܩ‬entre el intervalo de tiempo empleado ‫∆ܨ‬t‫ ܘܩ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬v = ∆d‫֍ܤ‬t. Sus unidades son [v] = m/s, así que la velocidad es una magnitud derivada. Considera que usaremos la notación [algo] para expresar sus unidades. La tabla 1.2 muestra algunas de las magnitudes derivadas más importantes que usaremos en este libro.

¿Sabías que... la velocidad de la luz tiene un valor de c٪‫ڏ‬٪‫ׇ​ׇ׀‬٬‫׀ׇׅ‬٬ׂ‫׆׃‬٪Ǽ‫إ‬ȷ٪≈ ׁ‫־־‬٬‫־־־‬٪ǯǼ‫إ‬ȷ‫؟‬٪¤ƇȯƇ٪ȮɍƲ٪ɅƲ٪ƫƲȷ٪ una idea de lo rápido que va, ɍǾ٪ȯƇɬȉ٪dzƈȷƲȯ٪dzƲ٪ƫƇȯǝƇ٪‫׃ؘׅ‬٪ɥɍƲdzɅƇȷ٪ Ƈ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ƲǾ٪ɍǾ٪ȷƲǍɍǾƫȉ‫ؘ‬٪ O, lo que es lo mismo, ¡tarda 0.13 segundos en darle una ɥɍƲdzɅƇ٪Ƈ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ‫؝‬٪%Ʋ٪ǕƲƤǕȉ‫ؙ‬٪ conocemos este valor con tanta precisión que actualmente ‫خׂ׀־׀ح‬٪ƫƲ˚ǾǛǼȉȷ٪dzƇ٪dzȉǾǍǛɅɍƫ٪ del metro en términos de la velocidad de la luz, de modo que 1 m es la distancia que ȯƲƤȉȯȯƲ٪dzƇ٪dzɍɶ٪ƲǾ٪ֿ‫ׇ​ׇ׀إ‬٬‫׀ׇׅ‬٬ׂ‫׆׃‬٪ de segundo.

5

6

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Z Tabla 1.1 Magnitudes fundamentales de la física y sus unidades básicas

Nombre común

Magnitud

Sistema Internacional (SI)

Sistema Anglosajón

Posición (longitud)

x

m (metro)

ft (pie)

Tiempo

t

s (segundo)

s (segundo)

Masa

m

kg (kilogramo)

slug

Temperatura

T

K (kelvin)

R (Rankine)

Corriente eléctrica

I

A (ampere)

Intensidad luminosa

L

cd (candela)

Cantidad de sustancia

n

mol

mol

Z Tabla 1.2 Magnitudes derivadas y sus unidades

Nombre común

Magnitud

Sistema Internacional (SI)

Sistema Anglosajón

Velocidad

v

m/s

Aceleración

a

m/s2

F

N = kg m/s (newton)

lb = slug pie/s2 (libra) lb pie

Fuerza

pie/s pie/s2 2

Trabajo o energía

ଛ, E

J = N m = kg m2/s2 (joule)

Potencia

ଏ

J/s = N m/s = kg m2/s3 lb pie/s (watt)

Presión

P

N/m2 = kg/(ms2) (pascal)

lb/pulgada2 (psi = pound per square-inch)

¤ȯƲ˚Ǭȉȷ En ocasiones, debemos trabajar con números muy grandes —como en astronomía— o muy pequeños —como en biología, por ejemplo. Para manejar cómodamente estas āÿčēćĂÿĂăĒ‫ ܘ‬Ēă Ćÿč ĂăʐʒčćĂĎ ĕÿđćĎĒ ďđăʐʒĉĎĒ que son una manera cómoda de usar las potencias de 10‫ ܜ‬ăąĔđÿČăčēă Ęÿ āĎčĎāăĒ ÿċąĔčĎĒ ďđăʐʒĉĎĒ āĎČĎ Čćċćܳ‫ ܘ‬ĐĔă đăďđăĒăčēÿ ċÿ ČćċŊĒćČÿ ďÿđēă Ăă ÿċąĎ ‫ܨ‬ďĎđ ăĉăČďċĎ‫ ݾ ܘ‬ČČ = ‫ݽݾ × ݾ‬−3 Č‫ ܘܩ‬ĊćċĎܳ‫ ܘ‬ĐĔă ćČďċćāÿ ČĔċēćďċćāÿđ ďĎđ Čćċ ‫ܨ‬ďĎđ ăĉăČďċĎ‫ ݾ ܘ‬Ċą = ‫ݽݾ × ݾ‬3 ą‫ ܘܩ‬Ď ąćąÿܳ‫ ܘ‬ĐĔă Ēćąčćʐʒāÿ ČĔċēćďċćāÿđ ďĎđ ‫ݽݾ‬9 ‫ܨ‬ďĎđ ăĉăČďċĎ‫ ݾ ܘ‬Ā = ‫ݽݾ × ݾ‬9 ĀĘēăĒ‫ܜܩ‬ La tabla 1.3 ČĔăĒēđÿ ċĎĒ ďđăʐʒĉĎĒ ĔēćċćęÿĂĎĒ ăč ĄŲĒćāÿ ‫ܨ‬čĎēÿ ĐĔă ÿċąĔčĎĒ Ēă ăĒāđćĀăč ăč ČÿĘǞĒāĔċÿĒ Ę ĎēđĎĒ ăč ČćčǞĒāĔċÿĒ‫ܜܩ‬ En lo que se entretiene el Dr. KAOS en su tiempo libre, practica las leyes de los ăėďĎčăčēăĒ ĔĒÿčĂĎ ċĎĒ ďđăʐʒĉĎĒ Ăă ċÿ ēÿĀċÿ ‫ ܡ ܜހܜݾ‬āĔěčēĎ ܾăĐĔćĕÿċăč݀ ċÿĒ ĒćąĔćăčēăĒ frases?: ‫ ܨ‬ď ‫ܨ ܩ‬ā čÿ‫ܩ‬

‫ܨ‬Ċ ÿ‫ܨ ܩ‬āÿč ÿ‫ܩ‬

=

‫ݽݾ × ޅݾݽݾ × ނݾݽݾܨ‬−‫ݽݾܨ ܩޅݾݽݾ × ݿݾ‬−‫ݽݾ × ޅݾݽݾ × ݿ‬−9 × ‫ݽݾ‬−‫ܩޅݾ‬

=

‫ނݾݽݾ‬+‫ޅݾ‬−‫ݿݾ‬+‫ޅݾ‬−‫ݿ‬+‫ޅݾ‬−9−‫ޅݿݽݾ = ޅݾ‬

=

‫ݽݾܨ‬3 × ‫ݽݾ × ݿݾݽݾ × ޅݾݽݾ‬−‫ݽݾܨ ܩޅݾ‬−‫ݽݾ × ݿ‬−‫ݽݾ × ޅݾ‬−9 × ‫ݽݾ × ݿݾݽݾ‬−9‫ܩ‬

=

‫ݽݾ‬3+‫ޅݾ‬+‫ݿݾ‬−‫ޅݾ‬−‫ݿ‬−‫ޅݾ‬−9+‫ݿݾ‬−9 = ‫ݽݾ‬−‫ݾݾ‬

ĆĎđÿ ăĒ ēĔ ēĔđčĎ‫ܡ ܘ‬ÿ āĔěčēĎ ăĐĔćĕÿċă ‫ ܨ‬ÿČÿ‫ ܨ ܩ‬ÿčÿ‫ ܡ ܠ ࠘ ܩ‬ĔăĂăĒ ćčĕăčēÿđ ĎēđÿĒ ĄđÿĒăĒ ĔĒÿčĂĎ ċĎĒ ďđăʐʒĉĎĒ‫ܠ‬

1.2 Conversión de unidades

Z Tabla 1.3٪ ¤ȯƲ˚Ǭȉȷ٪ɍɅǛdzǛɶƇƫȉȷ٪ƲǾ٪njǝȷǛƤƇ

¤ȯƲ˚Ǭȉ

Símbolo

7

¿Sabías que...

Valor

exa

E

1 × 1018

peta

P

1 × 1015

tera

T

1 × 1012

giga

G

1 × 109

mega

M

1 × 106

kilo

k

1 × 103 = 1000

hecto

h

1 × 102 = 100

deca

da

1 × 101 = 10

(Unidad)

1

1 × 100 = 1

deci

d

1 × 10−1 = 0.1

centi

c

1 × 10−2 = 0.01

mili

m

1 × 10−3 = 0.001

micro

μ

1 × 10−6

nano

n

1 × 10−9

pico

p

1 × 10−12

femto

f

1 × 10−15

ato

a

1 × 10−18

el 23 de septiembre de 1999 ocurrió un desafortunado evenɅȉ٪ȬƇȯƇ٪dzƇ٪ȷȉǾƫƇ٪ƫƲ٪dzƇ٪v ¯ ٪ Mars Climate Orbiter? Después ƫƲ٪ƤƇȷǛ٪ֿ‫־‬٪ǼƲȷƲȷ٪ƫƲ٪ɥǛƇǬƲ‫ؙ‬٪ɬ٪ ǬɍȷɅȉ٪ƤɍƇǾƫȉ٪ǛƣƇ٪Ƈ٪ƲǾɅȯƇȯ٪ƲǾ٪ órbita en torno a Marte, la nave recibió una instrucción equivocada y se estrelló en la suȬƲȯ˚ƤǛƲ٪ǼƇȯƤǛƇǾƇ‫ؘ‬٪ ǾƇdzǛɶƇǾƫȉ٪ el problema, se encontró que un equipo de ingenieros había usado libras en sus cálculos (unidad de fuerza en el Sistema ǾǍdzȉȷƇǬȊǾ‫ؙخ‬٪ǼǛƲǾɅȯƇȷ٪ȮɍƲ٪ȉɅȯȉ٪ equipo había usado newtons (unidad de fuerza en el Sistema UǾɅƲȯǾƇƤǛȉǾƇdz‫ؘخ‬٪%Ʋ˚ǾǛɅǛɥƇǼƲǾɅƲ‫ؙ‬٪ sí es importante hacer bien las conversiones de unidades.

1.2 Conversión de unidades Dado que existen varios sistemas de unidades, en ocasiones es necesario convertir una cantidad de un sistema a otro. Los factores de conversión que se utilizan los puedes enāĎčēđÿđ ĄěāćċČăčēă ăč čēăđčăē‫ ܜ‬ÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ݾ‬ČĔăĒēđÿ ÿċąĔčĎĒ Ăă ċĎĒ ĄÿāēĎđăĒ de conversión más comunes. Veamos algunos ejemplos.

Para convertir unidades de un sistema a otro se siguen los siguientes pasos: 1. Dadas las unidades que se quieren convertir, establecer el factor de conversión en-

ēđă ăċċÿĒ‫ ܜ‬Ďđ ăĉăČďċĎ‫ ݾ ܘ‬Č = ‫ ݽݽݾ‬āČ ‫ܨ‬ĕăđ ďŊčĂćāă ‫ ܜݾ‬ÿāēĎđăĒ Ăă āĎčĕăđĒćơč‫ܜܩ‬ 2. La cantidad que se desea convertir se multiplica por un uno, elegido convenien-

temente, para eliminar las unidades que no queremos y dejar las que sí queremos. ăāĔăđĂÿ ĐĔă Ēć ČĔċēćďċćāÿČĎĒ ďĎđ ‫ ݾ‬ÿČĀĎĒ ċÿĂĎĒ Ăă Ĕčÿ ăāĔÿāćơč‫ ܘ‬ăĒēÿ ĒćąĔă ĒćăčĂĎ ĕěċćĂÿ ‫ܨ‬đăĕćĒÿ ċĎĒ ĒćąĔćăčēăĒ ăĉăČďċĎĒ‫ܜܩ‬ Ejemplo 1.1

Conversión de unidad de cantidades lineales

El Dr. KAOS quiere cubrir una distancia L = ‫ ݿݾ‬Č ăč ĒĔ ċÿĀĎđÿēĎđćĎ āĎč Ĕčÿ āćčēÿ ĐĔă ăĒēě ČÿđāÿĂÿ ăč āČ‫ ܜ‬ĔÿčĂĎ ēăđČćčÿ‫ܡ ܘ‬āĔěčēÿĒ ČÿđāÿĒ Ăă ‫ ݾ‬āČ Ēă čăāăĒćēÿč ďÿđÿ āĔĀđćđ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ L? Solución Planteamiento

Paso 1‫ ࢕ܜ‬ăāăĒćēÿČĎĒ ăċ factor de conversión Ăă ČăēđĎĒ ÿ āăčēŲČăēđĎĒ‫ ܜ‬ă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ܘݾ‬ăčēđÿČĎĒ ďĎđ ċÿ primera columna‫ ܘ‬Ę ĀĔĒāÿČĎĒ ċÿ ăĐĔćĕÿċăčāćÿ Ăă ČăēđĎĒ ÿ āăčēŲČăēđĎĒ ăč ċÿĒ ĒćąĔćăčēăĒ āĎċĔČčÿĒ‫ ܜ‬ĒŲ ĐĔă‫ ݾ ܘ‬Č ࠘ ‫ ݽݽݾ‬āČ‫ܜ‬ 100 cm Paso 2‫ ࢕ܜ‬ĔăđăČĎĒ ăċćČćčÿđ ċĎĒ ܾČ݀ Ăăċ numerador en la cantidad dada, así que el “factor uno” ĐĔă čăāăĒćēÿČĎĒ ăĒ ‫ ࠘ ݾ‬1 m , ĐĔă ēćăčă ܾČ݀ ăč ăċ denominador, de modo que al multiplicar la cantidad dada, L ࠘ ‫ ݿݾ‬Č‫ ܘ‬Ēă āÿčāăċăč ċĎĒ ܾČ݀ Ăăċ čĔČăđÿĂĎđ āĎč ċĎĒ ܾČ݀ Ăăċ ĂăčĎČćčÿĂĎđ Ę čĎĒ ĐĔăĂăč ĒơċĎ ܾāČ݀ ăč ăċ čĔČăđÿĂĎđ‫ܜ‬

8

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Datos e incógnitas

Fórmulas

L = ‫ ݿݾ‬Č L ࠘ ‫ ܠܡ‬āČ

‫ ݾ‬Č = ‫ ݽݽݾ‬āČ‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ ܛ‬ ‫ ࠘ ݾ‬100 cm 1m

Sustitución y resultados

L = ‫ ݿݾ‬Č ×

100 cm = ‫ ݽݽݾ × ݿݾ‬āČ = ‫ ݽݽݿݾ‬āČ‫ ܜ‬ĒŲ ĐĔă ‫ ݿݾ‬Č ăĐĔćĕÿċăč ÿ ‫ ݽݽݿݾ‬āČ‫ܜ‬ 1m

Ejemplo 1.2

Conversión de unidad de cantidades lineales

El Dr. KAOS está obsesionado con el tiempo y quiere saber a cuántos días equivalen T ࠘ ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ‬Ē‫ ܡ ܜ‬ơČĎ ĂăĀă Ćÿāăđ este cálculo?

Solución Planteamiento

Paso 1‫ ࢕ܜ‬ÿċċÿČĎĒ ăċ factor de conversión‫ ܜ‬ĔĒāÿČĎĒ ܾĒăąĔčĂĎ݀ ăč ċÿ ďđćČăđÿ āĎċĔČčÿ Ăă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ݾ‬Ę ăčāĎčēđÿČĎĒ ĐĔă ‫ ݾ‬Ē ࠘ ‫ݽݾ × ބނݾܜݾ‬−‫ ނ‬días.

Paso 2‫ ࢕ܜ‬ĔăđăČĎĒ ďÿĒÿđ Ăă ĒăąĔčĂĎĒ ÿ ĂŲÿĒ‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ăċ “factor uno” que necesitamos debe tener segundos en el denominador‫ ܘ‬ďÿđÿ ĐĔă ÿċ ČĔċēćďċćāÿđ ďĎđ ċÿ āÿčēćĂÿĂ ĐĔă ĐĔăđăČĎĒ āĎčĕăđēćđ ‫ܨ‬ĐĔă ēćăčă ĒăąĔčĂĎĒ ăč ăċ numerador‫ ܘܩ‬Ēă cancelen los segundos y queden días en el numerador.

Datos e incógnitas

Fórmulas

T = ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ‬Ē T ࠘ ‫ ܠܡ‬ĂŲÿĒ

‫ ݾ‬Ē ࠘ ‫ݽݾ × ބނݾܜݾ‬−‫ނ‬. Es decir ‫࠘ ݾ‬

1.157 10 5 días 1s

Sustitución y resultados 5 T = ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ‬Ē × 1.157 10 días = ‫ ޅݿރށܜݽ‬ĂŲÿĒ‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ ݽݽݽ࢜ݽށ ܘ‬Ē ăĐĔćĕÿċăč āÿĒć ÿ ČăĂćĎ ĂŲÿ‫ܜ‬

1s

Ejemplo 1.3

Conversión de unidades de cantidades al cuadrado o al cubo

A pesar de su malvado corazón contra la sociedad, el Dr. KAOS quiere mucho a su abuelita y ha decidido forrar con papel un cuadro que le regalará el día de su cumpleaños. Si el cuadro tiene un área total A = ‫ ރݾ‬ďĔċąÿĂÿĒ‫ݿ‬, ¿cuántos centímetros cuadrados de papel necesita para forrarlo por las dos caras?

Solución Planteamiento

Paso 1‫ ࢕ܜ‬ċ ďđĎāăĂćČćăčēĎ ÿ ĒăąĔćđ ăĒ ĒćČćċÿđ ÿċ āÿĒĎ ÿčēăđćĎđ‫ ܜ‬Ēēÿ ĕăę‫ ܘ‬ĂăĀăČĎĒ ăċăĕÿđ ÿċ āĔÿĂđÿĂĎ ăċ ĄÿāēĎđ Ăă āĎčĕăđĒćơč‫ ܜ‬ă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ܘݾ‬Ăă ċÿ ďđćČăđÿ āĎċĔČčÿ‫ ܘ‬ĕăČĎĒ ĐĔă ‫ ݾ‬ďĔċąÿĂÿ = ‫ ݽށނܜݿ‬āČ‫ܜ‬ 2 2.540 cm Paso 2‫ ࢕ܜ‬ĔăđăČĎĒ ďÿĒÿđ Ăă ďĔċąÿĂÿĒ āĔÿĂđÿĂÿĒ ‫ܨ‬ďĔċąÿĂÿĒ‫ ܩݿ‬ÿ āăčēŲČăēđĎĒ āĔÿĂđÿĂĎĒ ‫ܨ‬āČ‫ ܘܩݿ‬ÿĒŲ ĐĔă ăĒāđćĀćČĎĒ ‫ = ݾ‬1 pulgada .

Obsăđĕÿ ĐĔă ăċăĕÿČĎĒ ÿċ āĔÿĂđÿĂĎ čĔăĒēđĎ ܾĄÿāēĎđ ĔčĎ݀‫ܜ‬ Datos e incógnitas

Fórmulas

A = ‫ ރݾ‬ďĔċąÿĂÿĒ‫ݿ‬ A ࠘ ‫ ܠܡ‬āČ‫ݿ‬

‫ ݾ‬ďĔċąÿĂÿ ࠘ ‫ ݽށނܜݿ‬āČ‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ܘ‬ ‫࠘ ݾ‬

2.540 cm 1 pulgada

2

1.2 Conversión de unidades

9

Sustitución y resultados 2

16 pulgadas 2 (2.540 cm)2 103.2 cm2 . pulgada2 ĎČĎ ăĒēÿ ăĒ ăċ ěđăÿ Ăă Ĕčÿ Ăă ċÿĒ āÿđÿĒ‫ ܘ‬čăāăĒćēÿđě ÿċ ČăčĎĒ ‫ ށܜރݽݿ ࠘ ݿܜހݽݾ × ݿ‬āČ‫ ݿ‬de papel para forrar de los dos lados el cuadro para su abuelita.

2.540 cm A = ‫ ރݾ‬ďĔċąÿĂÿĒ × 1 pulgada ‫ݿ‬

Ejemplo 1.4

=

Conversión de unidades de cantidades al cuadrado o al cubo

El Dr. KAOS necesita devolver a Amazon el control remoto de un dron espía que compró el mes pasado, pues no funciona como él esperaba. En la solicitud de reembolso, piden al Dr. KAOS que indique el volumen del dron en pies cúbicos. Sin ăČĀÿđąĎ‫ ܘ‬ăċ ĂÿēĎ ĐĔă ĕćăčă ăč ċÿĒ ăĒďăāćĄćāÿāćĎčăĒ Ăăċ ďđĎĂĔāēĎ ‫ܨ‬ăčĒÿČĀċÿĂĎ ăč Ććčÿ‫ ܩ‬ćčĂćāÿ ĐĔă ĒĔ ĕĎċĔČăč ăĒ V = ‫ ݽݽݽޅ‬āČ3. Ayudemos al Dr. KAOS a calcular el volumen en pies cúbicos.

Solución Planteamiento

Paso 1‫ ܜ‬ ă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ ܘݾ‬ĕăČĎĒ ĐĔă ăċ ĄÿāēĎđ Ăă āăčēŲČăēđĎĒ ÿ ďćăĒ ăĒ ‫ ݾ‬āČ = ‫ ݾޅݿހݽܜݽ‬ďćă‫ ܜ‬Ēēÿ ĕăę‫ ܘ‬ĆÿĘ ĐĔă elevar este factor al cubo cuando hagamos la multiplicación para cancelar las unidades.

Paso 2. ĔăđăČĎĒ ăċćČćčÿđ ċĎĒ āăčēŲČăēđĎĒ āǞĀćāĎĒ Ăăċ čĔČăđÿĂĎđ‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ăċ ܾĔčĎ݀ ĐĔă čăāăĒćēÿČĎĒ ăĒ‫ ݾޅݿހݽܜݽܨ = ݾ ܛ‬ďćă‫ܤ‬ ‫ ݾ‬āČ‫ܩ‬3.

Datos e incógnitas

Fórmulas

3

V = ‫ ݽݽݽޅ‬āČ V ࠘ ‫ ܠܡ‬ďćă‫ݿ‬

‫ ݾ‬āČ = ‫ ݾޅݿހݽܜݽ‬ďćă‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ܘ‬ 3 0.03281 pie ‫࠘ ݾ‬ 1 cm

Sustitución y resultados

V = ‫ ݽݽݽޅ‬āČ3 × 0.03281 pie 1 cm

3

=

8000 cm3

0.03281 pie 3

3

= ‫ ރݿޅݿܜݽ‬ďćă3

cm ĎČĎ ‫ ݾ‬ďćă ăĒ ‫ ނܜݽހ‬ĕăāăĒ ČěĒ ąđÿčĂă ĐĔă ‫ ݾ‬āČ‫ ܘ‬ăċ ĕĎċĔČăč ăėďđăĒÿĂĎ ăč ďćăĒ āǞĀćāĎĒ čĎ ăĒ Ĕč čǞČăđĎ ēÿč ąđÿčĂă‫ܜ‬

¡A practicar!

Ejercicio 1.1 Conversión de unidades

ăÿċćęÿ ċÿĒ ĒćąĔćăčēăĒ āĎčĕăđĒćĎčăĒ Ăă ĔčćĂÿĂăĒ ĔēćċćęÿčĂĎ ċĎĒ ĄÿāēĎđăĒ Ăă āĎčĕăđĒćơč Ăă ċÿ ēÿĀċÿ Ăăċ ďŊčĂćāă ‫ܜݾ‬ 1. 1.80 m a pie

6. 100 cm2 a m2

2. 200 años a s

7. 80 km2 a m2

3. 100 kg a lb

8.٪ ׁ‫־׃‬٬‫־־־‬٪ǼǼ2 a km2

4. 100 km/h a m/s

9. 1000 cm3 a L (litros)

5. 100 km/h a mi/h

10. 0.002 m3/h a L/s

10

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

1.3 Plano cartesiano y distancia entre dos puntos Ejemplo 1.5

Plano cartesiano y distancia entre dos puntos

El satélite del Dr. KAOS, en órbita alrededor de la Tierra, está en su modo espía intentando observar de cerca los laboratođćĎĒ Ăă ćčĕăĒēćąÿāćơč ÿďċćāÿĂÿ ăč ĀćĎċĎąŲÿ ČĎċăāĔċÿđ Ę ĒăāĔăčāćÿāćơč Ăă ċÿ Ę ċÿ ďÿđÿ āĎďćÿđċăĒ Ĕč ĄđÿąČăčēĎ del genoma de chimpancé que están estudiando y poder utilizarlo en su perversa idea de manipulación genética de la especie humana.

Para poder sincronizar sus sistemas, lo primero que debe hacer el Dr. KAOS es construir una tabla con los valores ‫ܨ‬x, y‫ ܩ‬Ăă āÿĂÿ ĔčĎ Ăă ċĎĒ āćčāĎ ďĔčēĎĒ ČĎĒēđÿĂĎĒ ăč ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ܜݾܜݾ‬čÿ ĕăę ĐĔă ēăčąÿ ċÿĒ āĎĎđĂăčÿĂÿĒ‫ ܘ‬ĂăĀă āÿċāĔċÿđ ÿ‫ ܩ‬ċÿ longitud del segmento d‫ ހݾ‬ĐĔă Ĕčă ċĎĒ ďĔčēĎĒ ‫ ݾ‬Ę ‫ ܘހ‬Ę Ā‫ ܩ‬ċÿ ċĎčąćēĔĂ Ăăċ ĒăąČăčēĎ d‫ ނݿ‬ĐĔă Ĕčă ċĎĒ ďĔčēĎĒ ‫ ݿ‬Ę ‫ܜނ‬ Z Figura 1.1 Mapa de coordenadas de calibración del satélite del Dr. KAOS.

Solución Planteamiento

č plano cartesiano ăč ‫ ݿ‬āĎčĒćĒēă ăč dos ejes perpendiculares entre sí que se cruzan en un punto llamado origen. Por lo general, el ăĉă x es horizontal y toma valores positivos a la derecha ‫ܨ‬Ę čăąÿēćĕĎĒ ÿ ċÿ ćęĐĔćăđĂÿ‫ ܜܩ‬ċ ăĉă y es vertical con valores positivos hacia arriba ‫ܨ‬Ę čăąÿēćĕĎĒ Ćÿāćÿ ÿĀÿĉĎ‫ܜܩ‬ Los puntos del plano que cumplen que x > ‫ ݽ‬Ę y > ‫ ݽ‬ĄĎđČÿč ăċ cuadrante I ‫ܨ‬ÿđđćĀÿ ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ‫ ܙܩ‬ċĎĒ ĐĔă āĔČďċăč que x < ‫ ݽ‬Ę y > ‫ ܘݽ‬ĄĎđČÿč ăċ cuadrante II ‫ܨ‬ÿđđćĀÿ ÿ ċÿ ćęĐĔćăđĂÿ‫ ܙܩ‬x < ‫ ݽ‬Ę y < ‫ ܘݽ‬ĄĎđČÿč ăċ cuadrante III ‫ܨ‬ÿĀÿĉĎ ÿ ċÿ ćęĐĔćăđĂÿ‫ ܘܩ‬Ę x > ‫ ݽ‬Ę y < ‫ ܘݽ‬ĄĎđČÿč ăċ cuadrante IV ‫ܨ‬ÿĀÿĉĎ ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ‫ܜܩ‬ De este modo, cualquier punto en el plano cartesiano queda unívocamente representado por un par de coordenadas (x, y). Para establecer el valor de las coordenadas, primero debemos establecer la escala de cada eje y sus unidades. ĎČĎ ďĔăĂăĒ ĕăđ ăč ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ܘݾܜݾ‬āÿĂÿ āĔÿĂđćēĎ đăďđăĒăčēÿ Ĕčÿ ĔčćĂÿĂ‫ ܘ‬Ę ċÿ ăĒāÿċÿ‫ ܘ‬ăč ăĒēă āÿĒĎ‫ ܘ‬ĒĎč āăčēŲČăēđĎĒ ‫ܨ‬āČ‫ܜܩ‬ ĒŲ‫ ܘ‬ăč ċÿ ĄćąĔđÿ ‫ ܘݾܜݾ‬ċÿĒ āĎĎđĂăčÿĂÿĒ Ăăċ Ďđćąăč ĒĎč ‫ ܙܩݽ ܘݽܨ‬ċÿĒ Ăăċ ďĔčēĎ ‫ ݾ‬ĒĎč ‫ܨ‬x‫ݾ‬, y‫ ܙܩݾ ܘݿܨ ࠘ ܩݾ‬ċÿĒ Ăăċ ďĔčēĎ ‫ ݿ‬ĒĎč ‫ܨ‬x‫ݿ‬, y‫ܨ = ܩݿ‬−‫ ܘܩނܜށ ܘݿ‬ăēā‫ ܡ ܜ‬ĔěċăĒ ĒĎč ċÿĒ āĎĎđĂăčÿĂÿĒ Ăă ċĎĒ ďĔčēĎĒ ‫ ށ ܘހ‬Ę ‫ܠނ‬ a)

ĎčĒēđĔćČĎĒ ċÿ ēÿĀċÿ Ăă ĕÿċĎđăĒ ‫ܨ‬x, y‫ܨ ܩ‬tabla 1.4‫ܾ ܩ‬ċăĘăčĂĎ݀ ċÿĒ āĎĎđĂăčÿĂÿĒ Ăă ċĎĒ ďĔčēĎĒ ĂÿĂĎĒ ăč ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ܨ ݾܜݾ‬ĕăđćʐʒāÿ ĐĔă Ēăÿč āĎđđăāēĎĒ‫ܛܩ‬ Z Tabla 1.4 Tabla de coordenadas de puntos en el plano cartesiano

Punto

Coordenada x (cm)

Coordenada y (cm)

1

2

1

2

−2

4.5

3

5

4

4

−4

−3

5

1.5

−1.5

1.3 Plano cartesiano y distancia entre dos puntos

11

Como recordarás de tus cursos de matemáticas, la distancia d entre dos puntos del plano cartesiano con coordenadas ‫ܨ‬x‫ݾ‬, y‫ ܩݾ‬Ę ‫ܨ‬x‫ݿ‬, y‫ ܩݿ‬Ēă ĎĀēćăčă ÿďċćāÿčĂĎ ăċ teorema de Pitágoras ‫ܨ‬c‫ = ݿ‬a‫ ݿ‬+ b‫ ܘܩݿ‬āĎČĎ Ēă ćčĂćāÿ ăč ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ܛݾܜݾ‬ d12

x2

x1

2

y2

y1

2

(1.1)

ĂĎčĂă ‫ܨ‬x‫ ݿ‬− x‫ ܩݾ‬đăďđăĒăčēÿ ăċ āÿēăēĎ ĆĎđćęĎčēÿċ Ę ‫ܨ‬y‫ ݿ‬− y‫ ܩݾ‬đăďđăĒăčēÿ ăċ āÿēăēĎ ĕăđēćāÿċ‫ ܜ‬č ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ݿܜݾ‬, hemos llamado a y b a los catetos de un triángulo, y c y d a los catetos del otro triángulo.

Z Figura 1.2 Distancia entre dos puntos.

Así, tenemos: Datos e incógnitas

Fórmulas

‫ܨ‬x‫ݾ‬, y‫ܨ ܙܩݾ ܘݿܨ = ܩݾ‬x3, y3‫ܩށ ܘނܨ = ܩ‬ ‫ܨ‬x‫ݿ‬, y‫ܨ = ܩݿ‬−‫ܨ ܙܩނܜށ ܘݿ‬x‫ނ‬, y‫ ܘނܜݾܨ = ܩނ‬−‫ܩނܜݾ‬ d‫?¿ = ހݾ‬ d‫?¿ = ނݿ‬

d12

x2

x1

2

y2

y1

2

‫ ܨ‬ćĒēÿčāćÿ ăčēđă ĂĎĒ ďĔčēĎĒ ‫ ݾ‬Ę ‫ܩݿ‬

Sustitución y resultados

Sustituyendo para cada par de puntos tenemos: d13

5 2

d 25

1.5

2

4 1 2

2

2

32 32

4.5

1.5

4.24 cm , y 2

3.52

62

6.95 cm

Observa que el cateto a Ăăċ ēđćěčąĔċĎ Ăă ċÿ ĂăđăāĆÿ ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ ܩݿܜݾ‬āĎđđăĒďĎčĂă ÿ ‫ܨ‬x‫ ݿ‬− x‫ ނܨ = ܩݾ‬− ‫ = ܩݿ‬3 unidades, mientras que el cateto b ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ āĎđđăĒďĎčĂă ÿ ‫ܨ‬y‫ ݿ‬− y‫ ށܨ = ܩݾ‬− ‫ = ܩݾ‬3 unidades. ċ ďŊčĂćāă ‫ ݿ‬ďđăĒăčēÿ ċÿĒ funciones trigonométricas usadas para trabajar con triángulos, así como el teorema de Pitágoras que serán útiles a lo largo del texto.

¡A practicar!

Ejercicio 1.2. Distancia entre dos puntos

Te presentamos a la agente Poly, quien es una brillante alumna recién graduada del ĀÿāĆćċċăđÿēĎ‫ ܘ‬Ę ăĒēě ēđÿĀÿĉÿčĂĎ ďÿđÿ Ĕčÿ ăČďđăĒÿ ÿċēđĔćĒēÿ ċċÿČÿĂÿ KAOS, que se dedica a la investigación de crímenes nacionales e internacionales.

La encomienda principal de Poly a lo largo del libro será impedir que el Dr. KAOS realice sus malévolos planes mencionados anteriormente. ĘĔĂÿ ÿ čĔăĒēđÿ ÿċćÿĂÿ ĎċĘ ÿ āÿċāĔċÿđ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ ‫ ܩݾ‬ăčēđă ċĎĒ ďĔčēĎĒ ‫ ށ‬Ę ‫ ܛހ‬d‫ހށ‬ Ę ‫ ܩݿ‬ăčēđă ċĎĒ ďĔčēĎĒ ‫ ݿ‬Ę ‫ ܛݾ‬d‫ ݾݿ‬ďđĎďĎđāćĎčÿĂĎĒ ăč ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ܜݾܜݾ‬

12

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

1.4 Escalares y vectores En física hay cantidades que podemos describir completamente usando sólo un número. Ďđ ăĉăČďċĎ‫ ܘ‬ĂăāćČĎĒ ĐĔă Ĕčÿ ďăċĎēÿ ēćăčă Ĕčÿ ČÿĒÿ Ăă ‫ ހܜݾ‬Ċą Ę ăĒēÿ ĐĔăĂÿ ďăđĄăāēÿmente determinada. Esas cantidades se llaman escalares. č ăĉăČďċĎ Ăă Ĕčÿ āÿčēćĂÿĂ ăĒāÿċÿđ ăĒ ċÿ rapidez. Podemos decir que un auto va a ‫ ނށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć Ę āĎč ăĒĎ ĒÿĀăČĎĒ ĐĔŊ ēÿč đěďćĂĎ Ēă ČĔăĕă ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ ܘܩހܜݾ‬ÿĔčĐĔă ăč đăÿċćĂÿĂ‫ ܘ‬ no sabemos hacia dónde se mueve.

Z Figura 1.3 Un escalar es una ƤƇǾɅǛƫƇƫ٪ȮɍƲ٪ȷƲ٪ƫƲ˚ǾƲ٪ɅȉɅƇdzmente con un número, por ejemplo, la masa de un auto o su rapidez.

Hay otro tipo de cantidades llamadas vectoriales, para las que no basta dar sólo Ĕč čǞČăđĎ‫ ܜ‬č ăĉăČďċĎ ăĒ ċÿ velocidad‫ ܜ‬ć Ĕč ÿĔēĎ ĕćÿĉÿ ÿ ‫ ނށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć Ćÿāćÿ ăċ čĎđēă Ę ĎēđĎ ĕćÿĉÿ ÿ ‫ ނށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć Ćÿāćÿ ăċ ăĒēă‫ ܘ‬ĒÿĀăČĎĒ ĐĔă ÿČĀĎĒ ēćăčăč ċÿ ČćĒČÿ rapidez‫ ܙ‬Ēćč embargo, aunque partan del mismo punto, llegarán a lugares muy diferentes. La velocidad nos dice no solamente qué tan rápido va, sino además hacia dónde se mueve ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ܜܩށܜݾ‬ Z Figura 1.4 Ambos autos tienen la misma rapidez de 45 km/h (cantidad escalar), pero no tienen la misma velocidad (cantidad vectorial) que indica, además, hacia dónde se mueven: uno se mueve al este y otro al norte.

¿Sabías que...

Google Earth utiliza imágenes de satélite de alta resolución que orbitan a una altura de ׄ‫־־‬٪ǯǼ٪ƇȬȯȉɫǛǼƇƫƇǼƲǾte? Sus cámaras tienen una resolución espacial (es decir, la distancia más corta que pueden ƫǛȷɅǛǾǍɍǛȯ‫خ‬٪ƫƲ٪‫׃ׁؘ־‬٪Ǽ٪‫ح‬ȬƇȯƇ٪ǛǼƈǍƲǾƲȷ٪ƲǾ٪ƣdzƇǾƤȉ٪ɬ٪ǾƲǍȯȉ‫خ‬٪ɬ٪ ֿ‫־ׂؘ‬٪Ǽ٪‫ح‬ȬƇȯƇ٪ǛǼƈǍƲǾƲȷ٪Ƈ٪Ƥȉdzȉȯ‫ؘخ‬٪ Más información en ǕɅɅȬȷ‫إإؚ‬ ɦɦɦ‫ؘ‬ǼƇɫƇȯ‫ؘ‬ƤȉǼ‫إ‬.

ċ ďđćČăđ ÿĔēĎ ēćăčă ăčēĎčāăĒ Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ Ăă ‫ ނށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć hacia el norte y el otro ÿĔēĎ ēćăčă Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ Ăă ‫ ނށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć hacia el este. Esa información adicional puede đăďđăĒăčēÿđĒă ĄěāćċČăčēă āĎč Ĕčÿ ʎʕăāĆÿ‫ ܜ‬ċ ĂćĀĔĉÿđ Ĕčÿ ʎʕăāĆÿ ćčāċĔćČĎĒ ċÿĒ ēđăĒ propiedades de un vector: magnitud, dirección y sentido ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ܜܩނܜݾ‬

1.5 Componentes cartesianas, magnitud y ángulo de un vector

13

Z Figura 1.5 Un vector se repreȷƲǾɅƇ٪ƤȉǾ٪ɍǾƇ٪˛ƲƤǕƇ٪ȮɍƲ٪ɅǛƲǾƲ٪ un cierto tamaño (o magnitud), una dirección (o ángulo) y un sentido (para dónde apunta; Ǎȯƈ˚ƤƇ٪ǛɶȮɍǛƲȯƫƇ‫ؘخ‬٪ÄǾ٪ɥƲƤɅȉȯ٪ también puede representarse con las coordenadas de un punto en un plano cartesiano ‫ح‬Ǎȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲȯƲƤǕƇ‫ؘخ‬

1.5 Componentes cartesianas, magnitud y ángulo de un vector Diferentes formas para representar un vector La magnitud de un vector es su tamaño, qué tan largo es. La dirección está dada por el ángulo que forma el vector con un eje de referencia, que es usualmente el eje horizontal x, y el sentido del vector indica hacia dónde apunta el vector. ēđÿ ĄĎđČÿ ăĐĔćĕÿċăčēă Ăă Ăăʐʒčćđ Ĕč ĕăāēĎđ ăĒ ĔĒÿčĂĎ coordenadas en el mapa cartesiano. Para dibujar al vector en dos dimensiones necesitamos dos coordenadas: una en el eje x y la otra en el eje y‫ ܜ‬č ĕăāēĎđ ĐĔă ÿďĔčēÿ ĂăĒĂă ăċ Ďđćąăč ‫ ܩݽ ܘݽܨ‬ĆÿĒēÿ Ĕč punto A āĎč āĎĎđĂăčÿĂÿĒ ‫ ܩހ ܘނܨ‬Ēă ăĒāđćĀă āĎč Ĕčÿ ʔʛăāĆćēÿ arriba de la A, así: A⃗ = ‫ ܘܩހ ܘނܨ‬ que nos recuerda que la cantidad que estamos representando es un vector. Otra forma de escribir al vector es con la A en negritas, así: A = ‫ ܜܩހ ܘނܨ‬Ēēÿ ăĒ ċÿ čĎēÿāćơč ĐĔă ĔĒÿremos en este libro.

Así, el vector A = ‫ ܩހ ܘނܨ‬Ēă đăďđăĒăčēÿ āĎč Ĕčÿ ʎʕăāĆÿ ĐĔă ďÿđēă Ăăċ Ďđćąăč Ę ēăđČćčÿ ăč ăċ ďĔčēĎ āĎč āĎĎđĂăčÿĂÿĒ ‫ܨ ܩހ ܘނܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ ܜܩނܜݾ‬ĎĒ ĕăāēĎđăĒ čĎĒ Ēćđĕăč ďÿđÿ ubicar puntos en el espacio.

Los dos números que usamos para escribir el vector A = ‫ ܩހ ܘނܨ‬Ēă ċċÿČÿč componentes cartesianas Ax y Ay del vector. Así, para un vector en general, tenemos que: A = (Ax, Ay‫ ܩ‬

(1.2)

En nuestro ejemplo, Ax = ‫ ނ‬ăĒ ċÿ componente horizontal ‫ܨ‬Ď āĎČďĎčăčēă x‫ ܘܩ‬ČćăčēđÿĒ que Ay = 3 es la componente vertical ‫ܨ‬Ď āĎČďĎčăčēă y‫ܜܩ‬ Magnitud de un vector Para hallar la magnitud o tamaño de un vector se usa el teorema de Pitágoras: A

Ax2 Ay2

(1.3)

observa que, cuando se trata de la magnitud del vector, la A ya no se escribe en negritas. ĎČĎ ďĔăĂăĒ ĕăđ ăč ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ܘނܜݾ‬ċÿĒ āĎČďĎčăčēăĒ Ăăċ ĕăāēĎđ ĒĎč ċĎĒ āÿēăēĎĒ Ăăċ triángulo rectángulo. Así que, la magnitud del vector A = ‫ ܩހ ܘނܨ‬Ăă ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ނܜݾ‬ăĒ A = 52 32 = 25 9 = ‫ ܜހޅܜނ‬ĀĒăđĕÿ ĐĔă ċÿ ČÿąčćēĔĂ Ăă Ĕč ĕăāēĎđ ăĒ Ĕč ăĒāÿċÿđ ‫ܨ‬ĒơċĎ Ĕč čǞČăđĎ‫ܜܩ‬

14

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Dirección de un vector La dirección de un vector está dada por el ángulo θ que forma el vector con el eje x medido en contra de las manecillas del reloj ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ ܘܩނܜݾ‬ĐĔă Ēă āĎčĎāă āĎČĎ ángulo polar. Para obtener el ángulo polar correcto se debe considerar en qué cuadrante se encuentra el vector: arctan

arctan

Ay Ax

. Si el vector está en el cuadrante I

Ay Ax

(1.4)

180 . Si el vector está en el cuadrante II

180

arctan

Ay

360

arctan

Ay

Ax Ax

. Si el vector está en el cuadrante III . Si el vector está en el cuadrante IV

El ángulo polar θ ēĎČÿ ĕÿċĎđăĒ ăčēđă ‫ ࠞݽ‬Ę ‫ ܜࠞݽރހ‬ć θ = ‫ܨ ࠞݽ‬Ď ‫ ܘܩࠞݽރހ‬ăčēĎčāăĒ ăċ ĕăāēĎđ es paralelo al eje x positivo. Si θ = ‫ ܘࠞݽކ‬ăċ ĕăāēĎđ ăĒ ďÿđÿċăċĎ ÿċ ăĉă y positivo, etc. ¿Para dónde apunta el vector si θ = ‫ ܡ ܠࠞݽޅݾ‬Ēć θ = ‫ܠࠞݽބݿ‬ Para el vector A = ‫ ܩހ ܘނܨ‬Ăă ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ܘނܜݾ‬ĒĔ Ăćđăāāćơč ăĒēě ĂÿĂÿ ďĎđ θ = ÿđāēÿč ‫ ܩނܤހܨ‬ = ‫ܜࠞݽܜݾހ‬ Notación cartesiana y notación polar de un vector č ĕăāēĎđ Ēă ďĔăĂă đăďđăĒăčēÿđ ăč notación cartesiana: A = ‫ܨ‬Ax, Ay‫ ܘܩ‬āĔÿčĂĎ Ēă ăėpresa en términos de sus componentes cartesianas, o en notación polar: A = ‫ܨ‬A, θ‫ ܘܩ‬ cuando se expresa en términos de su magnitud y ángulo.

¡A practicar!

Ejercicio 1.3 Vectores en 2D

ćĀĔĉÿ āÿĂÿ ĔčĎ Ăă ċĎĒ ĒćąĔćăčēăĒ ĕăāēĎđăĒ ăč ăċ ďċÿčĎ āÿđēăĒćÿčĎ ‫ܨ‬ďÿđēćăčĂĎ ĂăĒĂă ăċ Ďđćąăč‫ ܩ‬Ę āÿċāĔċÿ ĒĔ ČÿąčćēĔĂ Ę ángulo polar.

1. K = (−3, 2)

3. O = (2, −5)

2. A = (4, 1)

4. S = (−4, −2)

1.6 Suma y resta de vectores En la ʐʒąĔđÿ ‫ ރܜݾ‬ăċ đ‫ ܜ‬ēćăčă ĐĔă ćđ ĂăĒĂă ĒĔ āÿĒÿ‫ ܘ‬ċĎāÿċćęÿĂÿ ăč ăċ ďĔčēĎ ‫ ܩݽ ܘݽܨ‬ Ăăċ ďċÿčĎ āÿđēăĒćÿčĎ‫ ܘ‬ĆÿĒēÿ ĒĔ āĔÿđēăċ ĒăāđăēĎ‫ ܘ‬ĔĀćāÿĂĎ ăč ăċ ďĔčēĎ ‫ ܩނ ܘށܨ‬Ăăċ ďċÿčĎ‫ ܜ‬ćč ăČĀÿđąĎ‫ ܘ‬Ăă āÿČćčĎ ĂăāćĂă ďÿĒÿđ ďđćČăđĎ ÿ Ĕčÿ ēćăčĂÿ ċĎāÿċćęÿĂÿ ăč ăċ ďĔčēĎ ‫ ܩݾ ܘހܨ‬ a comprarse un helado de limón −su favorito. Podemos representar esos viajes con ʎʕăāĆÿĒ‫ ܛ‬ăċ ĕăāēĎđ A = ‫ ܩݾ ܘހܨ‬čĎĒ ċċăĕÿ ĂăĒĂă ăċ Ďđćąăč ‫ ܩݽ ܘݽܨ‬ÿċ ďĔčēĎ ‫ܨ ܩݾ ܘހܨ‬ĂĎčĂă ăĒēě ċÿ ēćăčĂÿ‫ ܩ‬Ę ăċ ĕăāēĎđ B čĎĒ ċċăĕÿ Ăăċ ďĔčēĎ ‫ ܩݾ ܘހܨ‬ÿċ ďĔčēĎ ‫ ܩނ ܘށܨ‬ĂĎčĂă Ēă ăčāĔăčēđÿ ĒĔ cuartel. Observa que el vector B no Ēă ĂćĀĔĉÿ ďÿđēćăčĂĎ ĂăĒĂă ăċ Ďđćąăč ‫ ܩݽ ܘݽܨ‬ĒćčĎ ĂăĒĂă ăċ ďĔčēĎ ‫ ܡ ܜܩݾ ܘހܨ‬ĔěċăĒ ĒĎč ăčēĎčāăĒ ċÿĒ āĎČďĎčăčēăĒ ‫ܨ‬x, y‫ ܩ‬Ăăċ ĕăāēĎđ B? Para encontrarlas, es necesario saber sumar y restar vectores.

1.6 Suma y resta de vectores

15

Z Figura 1.6 Suma de vectores: los vectores A y B sumados dan como resultado el vector C. Es decir, en notación vectorial, C = A + B.

Como puedes ver en la ʐʒąĔđÿ ‫ބܜݾ‬, el vector B čĎĒ ÿĕÿčęÿ ‫ ݾ‬ĔčćĂÿĂ ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ Ę ‫ ށ‬Ĕčćdades hacia arriba, así que sus componentes cartesianas son B = ‫ܜܩށ ܘݾܨ‬ Z Figura 1.7 El vector B empieza en el punto (3, 1) y termina en el punto (4, 5), así que tiene componentes B = (1, 4).

Hay otra forma de obtener las componentes de B, si restamos las coordenadas del punto ʐʒčÿċ ‫ ܩނ ܘށܨ‬ČăčĎĒ ċÿĒ āĎĎđĂăčÿĂÿĒ Ăăċ ďĔčēĎ ćčćāćÿċ ‫ ܜܩݾ ܘހܨ‬Ē Ăăāćđ‫ ܘ‬ċÿ āĎČďĎčăčēă Bx = ‫ ށ‬− 3 = ‫ ܘݾ‬Ę ċÿ āĎČďĎčăčēă By = ‫ ނ‬− ‫ ܜށ = ݾ‬ĀēăčăČĎĒ Ăă čĔăĕĎ ăċ ĕăāēĎđ B = ‫ܜܩށ ܘݾܨ‬ ‫ ܡ‬Ĕěċ ăĒ ăċ đăĒĔċēÿĂĎ ʐʒčÿċ Ăăċ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ ĐĔă đăÿċćęơ ăċ đ‫ ܠ ܜ‬ÿđēćơ ĂăĒĂă ĒĔ āÿĒÿ ăč ăċ Ďđćąăč ‫ ܘܩݽ ܘݽܨ‬ĆćęĎ Ĕčÿ ďÿđÿĂÿ ăč ăċ āÿČćčĎ ďÿđÿ āĎČďđÿđ ĒĔ ĆăċÿĂĎ Ăă ċćČơč ăč ăċ ďĔčēĎ ‫ ܩݾ ܘހܨ‬Ę ÿċ ʐʒčÿċ ēăđČćčơ ăč ĒĔ āĔÿđēăċ ăč ăċ ďĔčēĎ ‫ ܜܩނ ܘށܨ‬ċ ĕăāēĎđ C Ăă ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ ބܜݾ‬đăďđăĒăčēÿ ăċ đăĒĔċēÿĂĎ ʐʒčÿċ‫ ܘ‬ĐĔă đăĒĔċēÿ Ăă ĒĔČÿđ ċĎĒ ĕăāēĎđăĒ A y B. Es decir, en notación vectorial C = A + B‫ ܜ‬Ēēÿ ĒĔČÿ Ăă ĕăāēĎđăĒ Ăă Čÿčăđÿ ąđěʐʒāÿ Ēă conoce como el método del triángulo para sumar vectores.

Además de este método geométrico podemos también sumar los vectores A y B usando el método de componentes cartesianas, es decir, sumar Ax con Bx, para hallar Cx, y sumar Ay con By para hallar Cy. Es decir: C = A + B = ‫ ܩݾ ܘހܨ‬+ ‫ ހܨ = ܩށ ܘݾܨ‬+ ‫ ݾ ܘݾ‬+ ‫ ܩށ‬ = ‫ ܜܩނ ܘށܨ‬ćčÿċČăčēă‫ ܘ‬ďĎĂăČĎĒ ăėďđăĒÿđ ÿċ ĕăāēĎđ C en notación polar. Su magnitud está dada por C = C x2 C y2 = 42 52 = ‫ ݽށܜރ‬ĔčćĂÿĂăĒ‫ ܘ‬Ę ĒĔ ěčąĔċĎ ďĎċÿđ ăĒēě ĂÿĂĎ ďĎđ §C · θ = arctan ¨ y ¸ = arctan §¨ 5 ·¸ = ‫ ܜࠞހܜݾނ‬Ē Ăăāćđ‫ ܘ‬ăċ ĕăāēĎđ C ĄĎđČÿ ‫ ࠞݾܜހނ‬āĎč ăċ ăĉă x positivo. © Cx ¹

©4¹

¡A practicar!

Ejercicio 1.4 Suma y resta de vectores. Notación cartesiana y notación polar 1.

Encuentra el vector resultante w, que se obtiene al sumar los vectores u = ‫ܨ‬−‫ ܩށ ܘݿ‬Ę v = ‫ ܘރܨ‬−‫ ܜܩݾ‬ėďđăĒÿ ēĔĒ đăĒĔċēÿĂĎĒ ăč čĎēÿāćơč āÿđēăĒćÿčÿ ‫ܨ‬wx, wy‫ ܩ‬Ę ăč čĎēÿāćơč ďĎċÿđ ‫ܨ‬w, θ‫ܜܩ‬

2.

Si a = ‫ ܘޅܨ‬−‫ ܘܩހ‬b = ‫ ܩݾ ܘݾܨ‬Ę c = ‫ ܘܩބ ܘݽܨ‬āÿċāĔċÿ ăċ ĕăāēĎđ d = a + b + c. Expresa tus resultados en notación cartesiana Ę ďĎċÿđ‫ ܨ ܜ‬ĀĒăđĕÿ ĐĔă ÿċąĔčÿĒ Ăă ċÿĒ āĎČďĎčăčēăĒ ĒĎč čăąÿēćĕÿĒ‫ܜܩ‬

3.

Sean tres vectores A, B y C, tales que C = A + B. Si A = ‫ ܩށ ܘހܨ‬Ę C = ‫ܨ‬−‫ ܘܩރ ܘݿ‬ăčāĔăčēđÿ ċÿĒ āĎĎđĂăčÿĂÿĒ ‫ܨ‬Bx, By‫ ܩ‬Ăăċ vector B. Expresa tus resultados en notación cartesiana y polar.

16

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

1.7 Vectores unitarios y vectores en 3D Algunos escenarios físicos requieren un análisis en 3D, por ejemplo, la expansión de un pastel cuando se hornea, o el movimiento de un carrito en un parque de diversiočăĒ‫ ܘ‬ĐĔă ĒĔĀă‫ ܘ‬Āÿĉÿ Ę Ăÿ ĕĔăċēÿĒ‫ ܜ‬ÿđÿ ÿčÿċćęÿđ ăĒēĎĒ ăĒāăčÿđćĎĒ‫ ܘ‬ăĒ čăāăĒÿđćĎ Ăăʐʒčćđ Ĕč tercer eje, el eje z‫ ܘ‬ĐĔă ăĒ‫ ܘ‬ďĎđ Ăăʐʒčćāćơč‫ ܘ‬perpendicular tanto al eje x como al eje y ‫ܨ‬ĕăđ ʐʒąĔđÿ ‫ ܜܩޅܜݾ‬ Ďđ āĎČĎĂćĂÿĂ‫ ܘ‬ăč ĄŲĒćāÿ Ēă Ăăʐʒčăč ēđăĒ ĕăāēĎđăĒ ĔčćēÿđćĎĒ‫ ܛ‬ć‫ ܘ‬ĉ y k, que son paralelos a los ejes, x, y y z, respectivamente, y que ayudan a escribir las fórmulas y ecuaciones de una manera más cómoda. Se llaman vectores unitarios porque su magčćēĔĂ ‫ܨ‬ĒĔ ēÿČÿƙĎ‫ ܩ‬ăĒ ćąĔÿċ ÿ ‫ ܜݾ‬ Por ejemplo, en términos de vectores unitarios, el vector de posición de una partícula ăč ‫ ܘ ݾ‬ĐĔăĂÿđŲÿ āĎČĎ r = 3i‫ ܙ‬ăč ‫ ܘ ݿ‬āĎČĎ r = 3i + ‫ݿ‬ĉ = ‫ ܘܩݿ ܘހܨ‬Ę ăč ‫ ܘ ހ‬āĎČĎ r = 3i + ‫ݿ‬ĉ + ‫ށ‬k = ‫ ܜܩށ ܘݿ ܘހܨ‬Ďđ ĒćČďċćāćĂÿĂ‫ ܘ‬ăč ăĒēă ċćĀđĎ ĕăđăČĎĒ ĕăāēĎđăĒ ĒơċĎ ăč ‫ ݾ‬Ď ‫ܜ ݿ‬ Z Figura 1.8 Vectores unitarios i, j y k.

1.8 Movimiento: sistema de referencia inercial y no inercial ÿđÿ ĂăĒāđćĀćđ ăċ ČĎĕćČćăčēĎ Ăă Ĕč ĎĀĉăēĎ čăāăĒćēÿČĎĒ Ĕč ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ‫ ܙ‬Ĕč ČÿđāĎ Ăă đăĄăđăčāćÿ ĐĔă čĎĒ Ēćđĕÿ ďÿđÿ ĂăĒāđćĀćđ ăċ ČĔčĂĎ ĐĔă čĎĒ đĎĂăÿ‫ ܜ‬čÿ ďăđĒĎčÿ parada en una banqueta verá el movimiento de un automóvil pasando por la calle de forma diferente a como lo vería alguien dentro del automóvil, o alguien observando el automóvil desde arriba, en la ventanilla de un avión. La verdad es que el movimiento es relativo, pero para avanzar en nuestra discusión, consideremos por ahora un marco Ăă đăĄăđăčāćÿ ʐʒĉĎ ăč ăċ ăĒďÿāćĎ ܹāĎČĎ ċÿ ďăđĒĎčÿ ĐĔćăēÿ ăč ċÿ ĀÿčĐĔăēÿܹ đăĒďăāēĎ del cual describiremos la posición y el movimiento de los objetos a nuestro alrededor.

En física, un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia que se encuentra en reposo o que se mueve con rapidez constante, siempre en la misma dirección y sentido, respecto de otro sistema de referencia que está, a su vez, en reposo, etcétera.

Por ahora, simplemente diremos que un sistema de referencia es inercial si en él Ēă āĔČďċăč ċÿĒ ĄÿČĎĒÿĒ ċăĘăĒ Ăă ăĖēĎč ĐĔă ĕăđăČĎĒ ČěĒ ÿĂăċÿčēă ‫ܨ‬āÿďŲēĔċĎ ‫ ܜܩށ‬ă acuerdo con estas leyes, si un agente externo ejerce una fuerza sobre un objeto en un sistema de referencia inercial, entonces el objeto cambiará su estado de movimiento: empezará a moverse si estaba inicialmente en reposo, o cambiará su velocidad si estaĀÿ ćčćāćÿċČăčēă ăč ČĎĕćČćăčēĎ ‫ܨ‬Ęÿ Ēăÿ ĐĔă ÿāăċăđă‫ ܘ‬Ąđăčă Ď ĂŊ ĕĔăċēÿ‫ ܜܩ‬ č ăĉăČďċĎ Ăă Ĕč ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ćčăđāćÿċ ăĒ Ĕč ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ăč đăďĎĒĎ ʐʒĉĎ ăč ăċ ċÿĀĎđÿēĎđćĎ Ăă Ĕčÿ ăĒāĔăċÿ‫ ܘ‬Ď Ĕč ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ĂăčēđĎ Ăă Ĕč auto que se mueve con velocidad constante, siempre en la misma dirección y sentido sobre una autopista larga y recta.

1.8 Movimiento: sistema de referencia inercial y no inercial

17

Por el contrario, un sistema de referencia no inercial es un sistema de refeđăčāćÿ ĐĔă ăėďăđćČăčēÿ ÿāăċăđÿāćĎčăĒ ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬āÿČĀćĎĒ ăč ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ‫ ܘܩ‬Ęÿ Ēăÿ ĐĔă ÿāăċăđă‫ ܘ‬Ąđăčă‫ ܘ‬Ď ĂŊ ĕĔăċēÿ‫ ܜ‬č Ĕč ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ÿāăċăđÿĂĎ ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬no inercial‫ ܘܩ‬ aparecen las llamadas ĄĔăđęÿĒ ʐʒāēćāćÿĒ sobre objetos dentro del sistema. Estas fuerzas no son producidas por ningún agente físico externo, sino que aparecen como consecuencia de que el sistema está acelerando. Considera los siguientes ejemplos típicos de sistemas de referencia no inerciales.

A. Vas en un autobús hacia la escuela moviéndote con velocidad constante a la derecha cuando el conductor frena súbitamente, ¿qué le pasa a los pasajeros dentro del vehículo? Tienes razón, salen disparados hacia adelante, como si alguien los empujara. Pero en realidad, nadie los empujó sino que experimentaron una fuerza ʐʒāēćāćÿ ‫ܨ‬ċċÿČÿĂÿ fuerza inercial‫ ܩ‬ĐĔă Ēă ąăčăđơ ďĎđĐĔă ĒĔ ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ‫ܨ‬ÿċ ÿĔēĎĀǞĒ‫ ܩ‬Ąđăčơ ĒǞĀćēÿČăčēă ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ܜܩކܜݾ‬ Z Figura 1.9 Un pasajero en un autobús que frena súbitamente ƲɫȬƲȯǛǼƲǾɅƇ٪ɍǾƇ٪njɍƲȯɶƇ٪˚ƤɅǛƤǛƇ٪ que lo empuja “hacia adelante”.

B. ć ăċ ÿĔēĎĀǞĒ ăĒēě ćčćāćÿċČăčēă ăč đăďĎĒĎ Ę ăċ āĆĎĄăđ ÿđđÿčāÿ ĒǞĀćēÿČăčēă ‫ܨ‬ăĒ Ăă-

āćđ‫ ܘ‬ÿāăċăđÿ‫ܡ ܘܩ‬ĐĔŊ ċă ďÿĒÿ ÿ ċĎĒ ďÿĒÿĉăđĎĒ ĐĔă ăĒēěč ĂăčēđĎ‫ ܠ‬Ų‫ ܘ‬ēćăčăĒ đÿęơč‫ ܘ‬Ēÿċăč disparados hacia atrás‫ ܜ‬Ēēÿ ĕăę‫ ܘ‬ċĎĒ ďÿĒÿĉăđĎĒ ăėďăđćČăčēÿđěč Ĕčÿ ĄĔăđęÿ ʐʒāēćāćÿ que los empuja hacia atrás, debida, de nuevo, al cambio en la velocidad del autobús ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ܜܩݽݾܜݾ‬ Z Figura 1.10 Un pasajero en un autobús en reposo que arranca súbitamente experimenta una njɍƲȯɶƇ٪˚ƤɅǛƤǛƇ٪ȮɍƲ٪dzȉ٪ƲǼȬɍǬƇ٪ “hacia atrás”.

C. ćčÿċČăčēă‫ ܘ‬āĎčĒćĂăđÿ Ĕč ÿĔēĎĀǞĒ ĐĔă ĕćÿĉÿ āĎč đÿďćĂăę āĎčĒēÿčēă ăč ċŲčăÿ đăāēÿ

cuando el chofer toma súbitamente una curva pronunciada, digamos hacia la izĐĔćăđĂÿ‫ܡ ܘ‬ĐĔŊ ċă ďÿĒÿ ăĒēÿ ĕăę ÿ ċĎĒ ďÿĒÿĉăđĎĒ‫ ܠ‬ėďăđćČăčēÿč Ĕčÿ ĄĔăđęÿ ʐʒāēćāćÿ ĐĔă ċĎĒ ăČďĔĉÿ Ćÿāćÿ ܾÿĄĔăđÿ݀ Ăă ċÿ āĔđĕÿ‫ ܘ‬āĎČĎ Ēć ĐĔćĒćăđÿč ĒÿċćđĒă Ăă ċÿ ÿĔēĎďćĒēÿ‫ܜ‬ č đăĒĔČăč‫ ܘ‬ăč Ĕč ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ćčăđāćÿċ ċÿĒ ĄĔăđęÿĒ ʐʒāēćāćÿĒ no son producidas por un agente físico externo, sino que aparecen como consecuencia de que el sistema está acelerando.

18

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Reto 1.2

Acercándonos sigilosamente al cuartel general del Dr. KAOS jƇ٪ƇǍƲǾɅƲ٪¤ȉdzɬ٪ǕƇ٪ȯƲƤǛƣǛƫȉ٪ǛǾnjȉȯǼƇƤǛȊǾ٪ƤȉǾ˚ƫƲǾƤǛƇdz٪ȬȯȉȬȉȯƤǛȉǾƇƫƇ٪Ȭȉȯ٪ɍǾ٪ƤȉǾtacto anónimo acerca de la posible ubicación del cuartel general del Dr. KAOS ‫ح‬ǕƇȷɅƇ٪ ƇǕȉȯƇ٪ ȷƲ٪ ǕƇƣǝƇ٪ ǼƇǾɅƲǾǛƫȉ٪ ƣǛƲǾ٪ ƲȷƤȉǾƫǛƫȉ‫ؘخ‬٪ ¤ƇȯƇ٪ ȬȉƫƲȯ٪ ƇƤƲȯƤƇȯȷƲ٪ dzȉ٪ ȷɍ˚ƤǛƲǾɅƲ٪ Ƈ٪ dzƇȷ٪ ǛǾȷɅƇdzƇƤǛȉǾƲȷ٪ ‫ح‬ƫǛȷnjȯƇɶƇƫƇȷ٪ ƫƲ٪ ȬƇǾƇƫƲȯǝƇ‫ؙخ‬٪ ¤ȉdzɬ٪ ɍɅǛdzǛɶƇȯƈ٪ ƫȯȉǾƲȷ٪ ȬƇȯƇ٪ grabar en audio y en video las conversaciones del Dr. KAOS con su equipo y, si es ȬȉȷǛƣdzƲ‫ؙ‬٪ǛǾɅƲȯƤƲȬɅƇȯ٪ǼƲǾȷƇǬƲȷ٪ȷƲƤȯƲɅȉȷ٪ɍɅǛdzǛɶƇǾƫȉ٪ɦǛ˚٪ȉ٪ dzɍƲɅȉȉɅǕ‫ؘ‬٪‫¦ؠ‬ɍƳ٪ƤȉǾȷǛƫƲȯƇƤǛȉǾƲȷ٪ɅƳƤǾǛƤƇȷ٪ǾƲƤƲȷǛɅƇ٪dzdzƲɥƇȯ٪Ƈ٪ƤƇƣȉ٪¤ȉdzɬ٪ȬƇȯƇ٪ƤȉǾɅȯȉdzƇȯ٪ƫƲ٪ǼƇǾƲȯƇ٪ȬȯƲƤǛȷƇ٪Ʋdz٪ ǼȉɥǛǼǛƲǾɅȉ٪ƫƲ٪ȷɍȷ٪ƫȯȉǾƲȷ٪ƲȷȬǝƇ‫؟‬٪‫ ؞‬ɬɎƫƇǾȉȷ٪Ƈ٪ƇɥƲȯǛǍɍƇȯdzȉ‫؝‬

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración Movimiento ĎČĎ āĎČăčēÿČĎĒ ÿčēăđćĎđČăčēă‫ ܘ‬ăċ ČĎĕćČćăčēĎ ăĒ đăċÿēćĕĎ ‫ܨ‬āÿďŲēĔċĎ ‫ ܜܩރ‬Ēēă ċćĀđĎ que estás leyendo está en reposo, sin embargo, tú junto con el libro se están moviendo ďĎđĐĔă ċÿ ćăđđÿ ăĒēě ąćđÿčĂĎ ÿċđăĂăĂĎđ Ăă ĒĔ ăĉă āÿĂÿ ‫ ށݿ‬ĆĎđÿĒ‫ ܜ‬ĂăČěĒ‫ ܘ‬ċÿ ćăđđÿ ąćđÿ alrededor del Sol una vez al año. Y, por si fuera poco, el Sol se mueve en torno al centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. ¿Y la Vía Láctea? ¡También se mueve!

nos estamos moviendo muy rápido? Debido al movimiento de rotación٪ƫƲ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ȷȉƣȯƲ٪ȷɍ٪ ƲǬƲ٪ƤƇƫƇ٪‫ׂ׀‬٪ǕȉȯƇȷ‫ؙ‬٪ɍǾƇ٪ȬƲȯȷȉǾƇ٪ parada en el ecuador tiene una ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ƫƲ٪ƤƇȷǛ٪‫׃ؘ־‬٪ǯǼ‫إ‬ȷ‫ؘ‬٪ ƫƲmás, debido al movimiento de ɅȯƇȷdzƇƤǛȊǾ٪ƫƲ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ƇdzȯƲƫƲƫȉȯ٪ ƫƲdz٪¯ȉdz٪ƤƇƫƇ٪ׁׄ‫׃‬٪ƫǝƇȷ‫ؙ‬٪Ʌȉƫȉȷ٪ ƲǾ٪dzƇ٪½ǛƲȯȯƇ٪ɅƲǾƲǼȉȷ٪ɍǾƇ٪ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ƫƲ٪ɅȯƇȷdzƇƤǛȊǾ٪ƫƲ٪ׁ‫־‬٪ǯǼ‫إ‬ȷ‫ؘ‬٪ Y, por si fuera poco, el Sol (y Ʌȉƫȉȷ٪ȷɍȷ٪ȬdzƇǾƲɅƇȷ‫خ‬٪ȷƲ٪ǼɍƲɥƲǾ٪ alrededor del centro de la Vía Láctea con un periodo estimaƫȉ٪ƫƲ٪‫׃׀׀‬٪ǼǛdzdzȉǾƲȷ٪ƫƲ٪ƇȈȉȷ٪‫ح‬Ʋdz٪ “año galáctico”‫ؙخ‬٪ƤȉǾ٪ɍǾ “radio galáctico”٪ƫƲ٪‫ׄ׀‬٬‫־־־‬٪ƇȈȉȷ٪dzɍɶ٪ ƇȬȯȉɫǛǼƇƫƇǼƲǾɅƲ‫ؙ‬٪ȮɍƲ٪ȯƲȷɍdzɅƇ٪ en una velocidad de traslación ƫƲdz٪¯ȉdz٪ƫƲ٪‫־־׀‬٪ǯǼ‫إ‬ȷ٪ƇȬȯȉɫǛǼƇdamente.

© Triff / Shuterstock.com

¿Sabías que...

Galaxia de brazos espirales que sugiere movimiento.

Para comprender mejor el mundo que nos rodea necesitamos entonces herramientas que nos permitan describir y predecir el movimiento de objetos a nuestro alrededor.

Hacerlo, le ha permitido a la humanidad enviar sondas espaciales a los planetas del ĒćĒēăČÿ ĒĎċÿđ ‫ܨ‬āÿďŲēĔċĎ ‫ ܘܩކ‬ċÿčęÿđ ĒÿēŊċćēăĒ Ăă āĎČĔčćāÿāćĎčăĒ ĐĔă ĎđĀćēÿč ċÿ ćăđđÿ ‫ܨ‬āÿďŲēĔċĎ ‫ ܩޅ‬Ę ďđăĂăāćđ ăċ ČĎĕćČćăčēĎ Ăă ēđăčăĒ‫ ܘ‬ÿĕćĎčăĒ Ę ÿĔēĎČơĕćċăĒ‫ ܜ‬ÿ cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los objetos, sin considerar las causas que lo producen.

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

19

Vector de posición El movimiento más sencillo ocurre cuando el objeto se mueve sobre una línea recta. č ăĒēă āÿĒĎ‫ ܘ‬ăċ ĒćĒēăČÿ Ăă đăĄăđăčāćÿ ăĒ Ĕčÿ ċŲčăÿ đăāēÿ āĎč Ĕč ďĔčēĎ ʐʒĉĎ ċċÿČÿĂĎ origen. Se debe indicar también la dirección positiva del eje y la escala que usaremos ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ܩݾݾܜݾ‬ Z Figura 1.11 Sistema de referencia en 1D. Se indica la posición del origen, la dirección del eje, en este caso, positivo a la derecha, y la escala utilizada.

Así, la posición de un objeto está dada por su vector de posición, que indica dónde Ēă ăčāĔăčēđÿ ăċ ĎĀĉăēĎ ăč Ĕč ČĎČăčēĎ ĂÿĂĎ‫ ܜ‬č ‫ ܘ ݾ‬ċÿ ďĎĒćāćơč Ăăċ ĎĀĉăēĎ ăĒ ĒĔ āĎĎđdenada x. Si el objeto está a la derecha del origen, x > ‫ ܙݽ‬Ēć ăĒēě ÿ ċÿ ćęĐĔćăđĂÿ‫ ܘ‬x < ‫ ܘݽ‬ y si está en el origen, x = ‫ܜݽ‬ č ‫ ܘ ݿ‬ċÿ ďĎĒćāćơč Ăăċ ĎĀĉăēĎ ăĒēÿđě ĂÿĂÿ ďĎđ Ĕč ĕăāēĎđ ăč ăċ ďċÿčĎ āÿđēăĒćÿčĎ‫ ܘ‬ āĎČĎ ĕćČĎĒ ăč ċÿ Ēăāāćơč ‫ܜނܜݾ‬ Distancia y desplazamiento en 1D La distancia Ēă Ăăʐʒčă āĎČĎ ċÿ longitud de la trayectoria recorrida, sin importar hacia dónde se haya movido el objeto.

Por otro lado, el desplazamiento ‫ܨ‬ĂăčĎēÿĂĎ āĎč ăċ ĒŲČĀĎċĎ ∆x‫ ܩ‬ĒŲ āĎčĒćĂăđÿ Ćÿāćÿ ĂơčĂă Ēă ČĎĕćơ ċÿ ďÿđēŲāĔċÿ Ę Ēă Ăăʐʒčă āĎČĎ ăċ cambio de posición desde una posición inicial xi ĆÿĒēÿ Ĕčÿ ďĎĒćāćơč ʐʒčÿċ xf , es decir: ∆x = xf − xi

(1.5)

El desplazamiento representa entonces el efecto neto del movimiento, por eso se āÿċāĔċÿ āĎČĎ ďĔčēĎ ʐʒčÿċ ČăčĎĒ ďĔčēĎ ćčćāćÿċ‫ ܜ‬Ďēÿ‫ ܛ‬č ċÿ ăāĔÿāćơč‫ ∆ ܘ‬es la letra griega delta mayúscula que se usa para indicar cambio, así que ∆x representa el cambio de posición.

Si ∆x > ‫ ܘݽ‬ăċ ĎĀĉăēĎ Ēă ČĎĕćơ ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ‫ ܙ‬Ēć ∆x < ‫ ܘݽ‬ăċ ĎĀĉăēĎ Ēă ČĎĕćơ ÿ ċÿ ćęĐĔćăđda, y si ∆x = ‫ ܘݽ‬ăċ ĎĀĉăēĎ čĎ Ēă ČĎĕćơ‫ ܘ‬Ď Ēă ČĎĕćơ‫ ܘ‬ďăđĎ đăąđăĒơ ÿ ĒĔ ďĎĒćāćơč ćčćāćÿċ ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬xi = xf ‫ܜܩ‬ Ejemplo 1.6

Distancia y desplazamiento en 1D

El Dr. KAOS está muy nervioso, se ha enterado de la agencia contra el crimen organizado, donde trabaja la agente Poly y Ēă ċÿ ďÿĒÿ āÿČćčÿčĂĎ ăč ċŲčăÿ đăāēÿ Ăă Ĕč ċÿĂĎ ÿ ĎēđĎ ăč ĒĔ ċÿĀĎđÿēĎđćĎ‫ ܜ‬čćāćÿċČăčēă Ēă ăčāĔăčēđÿ ăč ċÿ ďĎĒćāćơč P‫ ݾ‬en el punto x‫ ݿ = ݾ‬Č‫ ܘ‬ÿċ ēćăČďĎ t‫ ݽ = ݾ‬Ē‫ ܙ‬ċĔăąĎ Ēă ČĔăĕă ÿ Ĕčÿ ďĎĒćāćơč P‫ ݿ‬en el punto x‫ ޅ = ݿ‬Č‫ ܘ‬ÿċ ēćăČďĎ t‫ ރ = ݿ‬Ē‫ ܘ‬Ę ʐʒčÿċČăčēă regresa a una posición P3 en el punto x3 = ‫ ރ‬Č‫ ܘ‬ÿċ ēćăČďĎ t3 = ‫ ݽݾ‬Ē ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ ܜܩݿݾܜݾ‬ÿ‫ ܡ ܩ‬Ĕěċ ăĒ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ ēĎēÿċ đăāĎđđćĂÿ‫ ܘܠ‬Ę Ā‫ܡ ܩ‬āĔěċ ăĒ ĒĔ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ ēĎēÿċ‫ܠ‬

20

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Z Figura 1.12 Movimiento en 1D de una partícula, del punto P1 al punto P2٪ɬ‫ؙ‬٪˚ǾƇdzǼƲǾɅƲ‫ؙ‬٪Ƈdz٪ punto P3.

Solución Planteamiento

Conocemos las posiciones x‫ ݿ = ݾ‬Č ÿ x‫ ޅ = ݿ‬Č Ę ċĔăąĎ ÿ x3 = ‫ ރ‬Č‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ďĎĂăČĎĒ Ćÿċċÿđ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđćĂÿ ďĎđ ăċ Dr. KAOS y su desplazamiento.

Datos e incógnitas

Fórmulas

x‫ ݿ = ݾ‬Č ÿ x‫ ޅ = ݿ‬Č Ę ċĔăąĎ ÿ x3 = ‫ ރ‬Č

d = d‫ ݿݾ‬+ d‫ܨ ހݿ‬ĂćĒēÿčāćÿ ēĎēÿċ Ăă ċĎĒ ‫ ݿ‬ĒăąČăčēĎĒ‫ܩ‬

dtot = ‫∆ ܙܠܡ‬x‫?¿ = ހݾ‬

∆x = x3 − x‫ܨ ݾ‬ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ‫ ܛ‬ďĔčēĎ ʖʘčÿċ – punto inicial‫ܩ‬

Sustitución y resultados

d = d‫ ݿݾ‬+ d‫ ރ = ހݿ‬Č + ‫ ݿ‬Č = ‫ ޅ‬Č ∆x = x3 − x‫ ށ = ݿ ܸ ރ = ݾ‬Č Ďēÿ ĐĔă‫ ܘ‬āĎČĎ ăċ đ‫ ܜ‬ćčĕćđēćơ ĒĔ ČĎĕćČćăčēĎ ‫ܨ‬ďđćČăđĎ ćĀÿ ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ Ę ċĔăąĎ ÿ ċÿ ćęĐĔćăđĂÿ‫ ܘܩ‬ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđćĂÿ ‫ ޅܨ‬Č‫ ܩ‬no ăĒ ćąĔÿċ ÿ ċÿ ČÿąčćēĔĂ Ăăċ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ ‫ ށܨ‬Č‫ܜܩ‬

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) ¿Sabías que... Ʋdz٪ɅȯƲǾ٪ƣƇdzƇ٪ dznjƇ‫ع‬â٪¯ǕǛǾǯƇǾȷƲǾ٪ se está construyendo en Japón y será el tren más rápido hasta ahora, capaz de alcanzar una ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ƫƲ٪ׂ‫־־‬٪ǯǼ‫إ‬Ǖ‫؟‬٪¯Ʋ٪ espera que comience a operar ƲǾ٪Ʋdz٪ƇȈȉ٪‫ؘ־ׁ־׀‬٪½ƇȯƫƇȯǝƇ٪ȷȊdzȉ٪ 12 min en llegar de la Ciudad ƫƲ٪tƳɫǛƤȉ٪Ƈ٪ ɍƲȯǾƇɥƇƤƇ‫ؘ‬

El movimiento más sencillo que podemos considerar es cuando el objeto se mueve con velocidad constante siempre en la misma dirección y sentido. Por ejemplo, un automóvil que va con rapidez constante a lo largo de una autopista larga y recta. Este movimiento se conoce como movimiento rectilíneo uniforme ‫ ܜܩ ܨ‬č ăĒēă āÿĒĎ‫ ܘ‬ el objeto recorre distancias iguales en tiempos iguales‫ ܜ‬ÿ đăċÿāćơč ăčēđă ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ‫ܨ‬v‫ ܘܩ‬ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđćĂÿ ‫ܨ‬d‫ ܩ‬Ę ăċ ćčēăđĕÿċĎ Ăă ēćăČďĎ ăČďċăÿĂĎ ‫∆ܨ‬t‫ ܩ‬ăĒ‫ܛ‬ v

d t

(1.6)

Como puedes observar, las unidades de velocidad son m/s ăč ăċ ćĒēăČÿ čēăđčÿāćĎčÿċ‫ ܜ‬ La ʐʒąĔđÿ ‫ ހݾܜݾ‬ČĔăĒēđÿ ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă posición vs. tiempo de dos objetos que se mueven āĎč ‫ ܜ‬ċ ăĉă ĕăđēćāÿċ đăďđăĒăčēÿ ċÿ ďĎĒćāćơč x ‫ܨ‬ĔĒĔÿċČăčēă ăč Č‫ ܩ‬Ę ăċ ăĉă ĆĎđćęĎčēÿċ representa el tiempo t ‫ܨ‬ĔĒĔÿċČăčēă ăč Ē‫ ܜܩ‬ĎČĎ ďĔăĂăĒ ĕăđ‫ ܘ‬ăċ ĎĀĉăēĎ ‫ܨ ݾ‬āĎč ĕăċĎāćĂÿĂ v‫ ܩݾ‬đăāĎđđă ĂćĒēÿčāćÿĒ ćąĔÿċăĒ ‫∆ܨ‬x‫ ܩ‬ăč ēćăČďĎĒ ćąĔÿċăĒ ‫∆ܨ‬t‫ܨ ܩ‬ďĔčēćēĎĒ čăąđĎĒ‫ ܘܩ‬ďĎđ ċĎ ĐĔă su velocidad v = ∆x/∆t ďăđČÿčăāă āĎčĒēÿčēă‫ ܜ‬ċĎ ČćĒČĎ āĎč ăċ ĎĀĉăēĎ ‫ܨ ݿ‬āĎč ĕăċĎāćdad v‫ ܙݿ‬ďĔčēćēĎĒ āÿĄŊĒ‫ ܜܩ‬ĀĒăđĕÿ ĐĔă ăċ ĎĀĉăēĎ ‫ ݿ‬ēćăčă Ĕčÿ velocidad mayor ĐĔă ăċ ĎĀĉăēĎ ‫ ݾ‬ debido a que tiene un desplazamiento mayor ‫∆ܨ‬x‫∆ > ݿ‬x‫ ܩݾ‬ďÿđÿ Ĕč ČćĒČĎ ćčēăđĕÿċĎ Ăă tiempo ∆t. Por lo tanto, la pendiente de la recta, que representa la velocidad, está más empinada ďÿđÿ ăċ ĎĀĉăēĎ ‫ ݿ‬ĐĔă ďÿđÿ ăċ ĎĀĉăēĎ ‫ܜݾ‬

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

21

Z Figura 1.13 Movimiento rectilíneo uniforme de dos móviles con distintas velocidades.

Ejemplo 1.7

Movimiento rectilíneo uniforme

č ÿĔēĎČơĕćċ Ēă ČĔăĕă āĎč ĕăċĎāćĂÿĂ āĎčĒēÿčēă ĒĎĀđă Ĕčÿ ÿĔēĎďćĒēÿ ċÿđąÿ Ę đăāēÿ‫ ܘ‬Ę đăāĎđđă Ĕčÿ ĂćĒēÿčāćÿ d = ‫ ݽݽݾ‬ĊČ ăč un intervalo de tiempo ∆t = ‫ ݾ‬Ć‫ ܡ ܜ‬ĔŊ ĕăċĎāćĂÿĂ ċċăĕÿĀÿ‫ܠ‬ Solución Planteamiento

ĎČĎ ăċ ÿĔēĎČơĕćċ Ēă ČĔăĕă āĎč ĕăċĎāćĂÿĂ āĎčĒēÿčēă ďĎĂăČĎĒ ĔĒÿđ ċÿ ĄơđČĔċÿ Ăă ‫ܜ‬ Datos e incógnitas

Fórmulas

d = ‫ ݽݽݾ‬ĊČ‫∆ ܙ‬t = ‫ ݾ‬Ć‫ ܘ‬v = ¿?

v = d/∆t

Sustitución y resultados

v = ‫ ݽݽݾܨ‬ĊČ‫ ݾܨܤܩ‬Ć‫ ݽݽݾ = ܩ‬ĊČ‫ܤ‬Ć

Ejemplo 1.8

Movimiento rectilíneo uniforme

Si ahora el auto avanza con velocidad constante, v = ‫ ݽޅ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ܡ ܘ‬ĐĔŊ ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđăđě ÿċ āÿĀĎ Ăă ∆t = ‫ ݿ‬Ć‫ܠ‬ Solución Planteamiento

ĒÿČĎĒ Ăă čĔăĕĎ ċÿ ĄơđČĔċÿ Ăă Ę ĂăĒďăĉÿČĎĒ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ‫ܜ‬ Datos e incógnitas

Fórmulas

v = ‫ ݽޅ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫∆ ܙ‬t = ‫ ݿ‬Ć‫ ܘ‬d = ¿?

v = d/∆t‫ ܙ‬ĂăĒďăĉÿčĂĎ d, tenemos d = v × ∆t

Sustitución y resultados

d = ‫ ݽޅܨ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ ݿ × ܩ‬Ć = ‫ ݽރݾ‬ĊČ

Ejemplo 1.9

Movimiento rectilíneo uniforme

č ÿĔēĎ ĂăďĎđēćĕĎ ĕÿ ÿ Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ āĎčĒēÿčēă v = ‫ ݽݽݿ‬ĊČ‫ܤ‬Ć ĒĎĀđă Ĕčÿ ďćĒēÿ đăāēÿ‫ܡ ܘ‬āĔěčēĎ ēćăČďĎ ċă ēĎČÿđě đăāĎđđăđ una distancia d = ‫ ݽނ‬ĊČ‫ ܠ‬ėďđăĒÿ ēĔ đăĒďĔăĒēÿ ăč ČćčĔēĎĒ‫ܜ‬

22

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Solución Planteamiento

ĒÿČĎĒ ċÿ ĄơđČĔċÿ Ăă Ę ĂăĒďăĉÿČĎĒ ăċ ēćăČďĎ‫ܜ‬ Datos e incógnitas

Fórmulas

v = ‫ ݽݽݿ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ ܙ‬d = ‫ ݽނ‬ĊČ‫∆ ܙ‬t = ¿?

v ࠘ d/∆t‫ ܙ‬ĂăĒďăĉÿčĂĎ ∆t, tenemos ∆t = d/v

Sustitución y resultados

∆t = ‫ ݽނ‬ĊČ‫ ݽݽݿܨܤ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ ¼ = ܩ‬h = ¼ h

60 min ࠘ ‫ ނݾ‬Čćč 1h

Velocidad media Cuando un objeto se mueve de un punto P‫ ݾ‬a un punto P‫ݿ‬, tomará evidentemente un cierto intervalo de tiempo que se denota con el símbolo ∆t‫ ܜ‬č ĄŲĒćāÿ‫ ܘ‬Ēă Ăăʐʒčă ċÿ velocidad media como el cociente del desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo ăČďċăÿĂĎ‫ ܜ‬č ăċ āÿĒĎ Ăă ČĎĕćČćăčēĎ ăč ‫ܛ ݾ‬ vmed

x t

( x2 (t 2

x1 ) t1 )

(1.7)

Observa que, en este caso, se toma el desplazamiento, y no la distancia recorrida, que ‫ܟ‬čĎ ĒćăČďđă ĒĎč ćąĔÿċăĒ‫ܨ ܞ‬āĎČĎ ĕćČĎĒ ăč ăċ ăĉăČďċĎ ‫ܜܩރܜݾ‬ Ejemplo 1.10

Velocidad media

ĎčĒćĂăđÿ ĐĔă ăċ đ‫ ܜ‬ĕćÿĉÿ ăč ĒĔ ÿĔēĎ ĂăĒĂă ċÿ ćĔĂÿĂ Ăă ŊėćāĎ ÿ Ĕăđčÿĕÿāÿ ďÿđÿ ĕćĒćēÿđ ÿ ĒĔ ÿĀĔăċćēÿ ‫ܨ‬ĐĔćăč ďđăďÿđÿ ĔčĎĒ āĆĔđđĎĒ āĎč āĆĎāĎċÿēă ćđđăĒćĒēćĀċăĒ‫ ܜܩ‬ć ċÿ ČÿąčćēĔĂ Ăă ĒĔ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ ăĒ Ăă ‫ ݽޅ‬ĊČ Ę ēÿđĂÿ ‫ ݿ‬Ć ăč ċċăąÿđ a casa de su abuelita, ¿cuál fue su velocidad media?

Solución Planteamiento

Conocemos el desplazamiento y el tiempo empleados, así que podemos usar la fórmula de velocidad media.

Datos e incógnitas

Fórmulas

∆x = ‫ ݽޅ‬ĊČ‫∆ ܙ‬t = ‫ ݿ‬Ć vmed = ¿?

vmed = ∆x/∆t

Sustitución y resultados

vmed = 80 km = ‫ ݽށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ ܜ‬Ē Ăăāćđ‫ ܘ‬ăč ďđĎČăĂćĎ ăċ đ‫ ܜ‬Ēă ČĎĕćơ ÿ ‫ ݽށ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ܜ‬ 2h

Ejemplo 1.11

ÜƲdzȉƤǛƫƇƫ٪ǼƲƫǛƇ٪Ƈ٪ȬƇȯɅǛȯ٪ƫƲ٪ɍǾƇ٪Ǎȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ȬȉȷǛƤǛȊǾ٪vs. tiempo

En sus ratos libres, el Dr. KAOS, quien en el fondo es aún un niño, se puso a jugar con un carrito que le regaló su abuelita hace tiempo en una Navidad. Construyó un sistema de referencia usando reglas caseras y un cronómetro para medir la posición x del carrito a diferentes tiempos t y poder estudiar mejor su movimiento. Con los datos obtenidos, elaboró la siguiente tabla y la gráfica de posición x vs. tiempo t que se muestra en la ĄćąĔđÿ ‫ށݾܜݾ‬. Calcula la velocidad media ăč ċĎĒ ĒćąĔćăčēăĒ ćčēăđĕÿċĎĒ Ăă ēćăČďĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬AC‫ ܘ‬ā‫ ܩ‬CD‫ ܘ‬Ă‫ ܩ‬CE‫ ܘ‬ă‫ ܩ‬EF Ę Ą‫ ܩ‬AF.

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

Instante

Tiempo t (s)

Posición x (m)

A

0

0

B

2

0

C

4

1

D

6

4

E

8

5

F

10

9

23

Z Figura 1.14٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ȬȉȷǛƤǛȊǾ٪ vs. tiempo para movimiento en 1D.

Solución Planteamiento

ĒÿČĎĒ ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ‫ ܛ‬vmed = ∆x/∆t = ‫ܨ‬xf − xi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ ܩ‬āĎč ċĎĒ ĕÿċĎđăĒ Ăă x y de t dados en la tabla para los intervalos solicitados.

Datos e incógnitas

Fórmulas

Posiciones y tiempos dados en la tabla.

vmed = ∆x/∆t = ‫ܨ‬xf − xi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ܩ‬

Sustitución y resultados a) b) c) d)

De A a B: t = ‫ ݽ‬ÿ ‫ ݿ‬Ē‫ ܙ‬vmed = ‫ ݽܨ‬− ‫ ݿܨܤܩݽ‬− ‫ ݽ = ݿܤݽ = ܩݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬č đăÿċćĂÿĂ‫ ܘ‬čĎ Ēă ČĎĕćơ‫ܜ‬ De A a C: t = ‫ ݽ‬ÿ ‫ ށ‬Ē‫ ܙ‬vmed = ‫ ݾܨ‬− ‫ ށܨܤܩݽ‬− ‫ ނݿܜݽ = ށܤݾ = ܩݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬ă ČĎĕćơ ċăčēÿČăčēă‫ܜ‬ De C a D: t = ‫ ށ‬ÿ ‫ ރ‬Ē‫ ܙ‬vmed = ‫ ށܨ‬− ‫ ރܨܤܩݾ‬− ‫ ނܜݾ = ݿܤހ = ܩށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬ă ČĎĕćơ ČěĒ đěďćĂĎ ĐĔă ăč ăċ ćčēăđĕÿċĎ ÿčēăđćĎđ‫ܜ‬ De C a E: t = ‫ ށ‬ÿ ‫ ޅ‬Ē‫ ܙ‬vmed = ‫ ނܨ‬− ‫ ޅܨܤܩݾ‬− ‫ ݽܜݾ = ށܤށ = ܩށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬č ďđĎČăĂćĎ‫ ܘ‬Ēă ČĎĕćơ Ĕč ďĎāĎ ČěĒ ċăčēĎ ĐĔă ăč ăċ intervalo anterior. e) De E a F: t = ‫ ޅ‬ÿ ‫ ݽݾ‬Ē‫ ܙ‬vmed = ‫ ކܨ‬− ‫ ݽݾܨܤܩނ‬− ‫ ݽܜݿ = ݿܤށ = ܩޅ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬ă ČĎĕćơ ÿǞč ČěĒ đěďćĂĎ ĐĔă ăč ăċ ćčēăđĕÿċĎ CD ‫ܨ‬ċÿ ďăčĂćăčēă ăĒēě ČěĒ ăČďćčÿĂÿ‫ܜܩ‬ f) De A a F: t = ‫ ݽ‬ÿ ‫ ݽݾ‬Ē‫ ܙ‬vmed = ‫ ކܨ‬− ‫ ݽݾܨܤܩݽ‬− ‫ ކܜݽ = ݽݾܤކ = ܩݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬ĎđđăĒďĎčĂă ÿ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ ĂĔđÿčēă todo el intervalo de tiempo.

Ejemplo 1.12

%ƲȷȬdzƇɶƇǼǛƲǾɅȉ٪Ƈ٪ȬƇȯɅǛȯ٪ƫƲ٪ɍǾƇ٪Ǎȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪vs. tiempo

ĎčĒćĂăđÿ ăċ ČĎĕćČćăčēĎ ăč ‫ ݾ‬Ăă Ĕč ÿĔēĎČơĕćċ ĐĔă āÿČĀćÿ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ ĂĔđÿčēă ĂćĒēćčēĎĒ ćčēăđĕÿċĎĒ Ăă ēćăČpo, como se muestra en la ʐʒąĔđÿ ‫ނݾܜݾ‬. Calcula el desplazamiento del automóvil durante los siguientes intervalos de tiempo: ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬BC‫ ܘ‬ā‫ ܩ‬CD‫ ܘ‬Ă‫ ܩ‬AD ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫∆ ܘ‬xtot‫ ܩ‬Ę ă‫ ܩ‬ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ ēĎēÿċ đăāĎđđćĂÿ Ăă AD ‫ܨ‬dtot‫ܜܩ‬

24

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Z Figura 1.15٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛdad vs. tiempo para movimiento en 1D.

Solución Planteamiento

ă ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ ‫ܨ‬vmed = ∆x/∆t‫ ܩ‬ďĎĂăČĎĒ āÿċāĔċÿđ ăċ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ ĂĔđÿčēă āÿĂÿ ćčēăđĕÿċĎ‫ ܘ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܛ‬ ∆x = v × ∆t‫ ܜ‬ă ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă v vs. t podemos leer los valores de v y ∆t durante cada intervalo.

Datos e incógnitas

Fórmulas

a) b) c) d) e)

vmed = ∆x/∆t‫ ܙ‬ĂăĒďăĉÿčĂĎ ∆x, queda: ∆x ࠘ v × ∆t

čēăđĕÿċĎ AB, ∆tAB = ‫ ށ‬Ē Ę vAB = ‫ ހ‬Č‫ܤ‬Ē‫∆ ܙ‬xAB = ¿? čēăđĕÿċĎ BC, ∆tBC = ‫ ݿ‬Ē Ę vBC = ‫ ݾ‬Č‫ܤ‬Ē‫∆ ܙ‬xBC = ¿? čēăđĕÿċĎ CD, ∆tCD = ‫ ށ‬Ē Ę vCD = −‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫∆ ܙ‬xCD = ¿? čēăđĕÿċĎ AD‫∆ܨ ܘ‬tAD = ‫ ݽݾ‬Ē‫∆ ܩ‬xtot = ¿? čēăđĕÿċĎ AD‫∆ܨ ܘ‬tAD = ‫ ݽݾ‬Ē‫ ܩ‬dtot = ¿?

Sustitución y resultados a) ∆xAB = vAB × ∆tAB = ‫ ހܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ށ × ܩ‬Ē = ‫ ݿݾ‬Č‫ ܜ‬Ē ďĎĒćēćĕĎ‫ ܘ‬Ēă ČĎĕćơ ÿ ċÿ derecha. b) ∆xBC = vBC × ∆tBC ࠘ ‫ ݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ݿ × ܩ‬Ē = ‫ ݿ‬Č‫ ܜ‬ćąĔă ČĎĕćŊčĂĎĒă ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ‫ ܘ‬ÿĔčĐĔă ČěĒ ċăčēĎ‫ܜ‬ c) ∆xCD = vCD × ∆tCD = ‫ܨ‬−‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ށ × ܩ‬Ē = −‫ ޅ‬Č‫ ܜ‬ĀĒăđĕÿ ĐĔă‫ ܘ‬āĎČĎ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ăč ăċ ēăđāăđ ćčēăđĕÿċĎ Ăă ēćăČďĎ ăĒ

vCD = ܸ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܘ‬Ēćąčćʐʒāÿ ĐĔă ăċ ÿĔēĎČơĕćċ ĕćÿĉÿ hacia la izquierda y, por lo tanto, su desplazamiento es negativo.

d) ∆xtot = ∆xAB + ∆xBC + ∆xCD = ‫ ݿݾ‬+ ‫ ݿ‬− ‫ ރ = ޅ‬Č‫ ܜ‬ċ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ čăēĎ ăĒ ĒơċĎ Ăă ‫ ރ‬Č‫ܜ‬ e) dtot = d‫ ݾ‬+ d‫ ݿ‬+ d3 = ‫ ݿݾ‬+ ‫ ݿ‬+ ‫ ݿݿ = ޅ‬Č‫ ܜ‬ĀĒăđĕÿ ĐĔă‫ ܘ‬Ēć ăċ ĎĀĉăēĎ invierte ĒĔ ČĎĕćČćăčēĎ ‫ܨ‬āĎČĎ ăč ăĒēă ăĉăČďċĎ‫ ܘܩ‬

entonces la magnitud del desplazamiento no es igual a la distancia recorrida.

¡A practicar!

Ejercicio 1.5 Velocidad media y desplazamiento 1.

ÿċāĔċÿ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ Ăă Ĕč ÿĔēĎČơĕćċ ĐĔă ĕćÿĉÿ ăč ċŲčăÿ đăāēÿ Ę đăāĎđđă Ĕčÿ ĂćĒēÿčāćÿ Ăă ‫ ݽݽݾ‬ĊČ ăč ‫ ݾ‬Ć‫ ܜ‬ÿ ēĔ đăĒďĔăĒēÿ ăč ĊČ‫ܤ‬Ć Ę ăč Č‫ܤ‬Ē‫ܜ‬

2.

č āÿđÿāĎċ ܾđěďćĂĎ݀ ēćăčă Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ Ăă ‫ ހ‬ČČ‫ܤ‬Ē‫ܡ ܘ‬āĔěčēĎ ēćăČďĎ ēÿđĂÿđě ăč ċċăąÿđ ÿċ ăėēđăČĎ ĎďĔăĒēĎ Ăăċ ĉÿđĂŲč ĐĔă ăĒēě ÿ ‫ ރܜݾ‬Č Ăă ĂćĒēÿčāćÿ‫ ܠ‬ÿ ēĔ đăĒďĔăĒēÿ ăč ĒăąĔčĂĎĒ Ę ăč ČćčĔēĎĒ‫ܜ‬

3.

ċ ēđăč Āÿċÿ ĆćčĊÿčĒăč ăč ÿďơč ĕćÿĉÿ ăč ċŲčăÿ đăāēÿ Ăă ċÿ ăĒēÿāćơč ĆćčÿąÿĖÿ ÿ ċÿ ăĒēÿāćơč ÿąĎĘÿ āĎč Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ Ăă ‫ ݽݿހ‬ĊČ‫ܤ‬Ć‫ ܜ‬ć ēÿđĂÿ ‫ ށނ‬Čćč ăč ċċăąÿđ‫ܡ ܘ‬ĐĔŊ ĂćĒēÿčāćÿ ĆÿĘ ăčēđă ċÿĒ ĂĎĒ ăĒēÿāćĎčăĒ‫ ܠ‬ÿ ēĔ đăĒďĔăĒēÿ ăč ĊćċơČăēđĎĒ‫ܜ‬

4.

ĎčĒćĂăđÿ ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă ďĎĒćāćơč āĎčēđÿ ēćăČďĎ ďÿđÿ ăċ ČĎĕćČćăčēĎ Ăă Ĕč ĎĀĉăēĎ ĂÿĂÿ ăč ċÿ ʐʒąĔđÿ ‫ރݾܜݾ‬. Elabora una tabla de tiempo t y posición x ‫ܨ‬āĎČĎ ăč ăċ ăĉăČďċĎ ÿčēăđćĎđ‫ ܩ‬ďÿđÿ āÿċāĔċÿđ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ ăč ċĎĒ ĒćąĔćăčēăĒ ćčēăđĕÿċĎĒ Ăă ēćăČďĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬BC‫ ܘ‬ā‫ ܩ‬CD‫ ܘ‬Ă‫ ܩ‬AD‫ ܘ‬ă‫ ܩ‬DE Ę Ą‫ ܩ‬AF.

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

25

Z Figura 1.16٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ȬȉȷǛƤǛȊǾ٪ vs. tiempo para movimiento en 1D.

5.

ĎčĒćĂăđÿ ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ vs. tiempo de la ʐʒąĔđÿ ‫ ބݾܜݾ‬que muestra los cambios de velocidad media que experimenta un carrito de juguete durante distintos intervalos de tiempo. Calcula su desplazamiento durante cada ĔčĎ Ăă ċĎĒ ĒćąĔćăčēăĒ ćčēăđĕÿċĎĒ Ăă ēćăČďĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬BC‫ ܘ‬ā‫ ܩ‬CD‫ ܘ‬Ă‫ ܩ‬DE‫ ܘ‬ă‫ ܩ‬AE ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫∆ ܘ‬xtot‫ ܩ‬Ę Ą‫ ܩ‬ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ ēĎēÿċ recorrida de AE ‫ܨ‬dtot‫ܜܩ‬ Z Figura 1.17٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛdad vs. tiempo para movimiento en 1D.

Velocidad instantánea En el ejemplo del viaje del Dr. KAOS a Cuernavaca sólo tenemos información de su movimiento promedio, pero no sabemos si al principio iba muy rápido y después se ÿēĎđơ ăč ăċ ēđěʐʒāĎ‫ ܘ‬Ď Ēć Ēă ĂăēĔĕĎ ăč đăĒ ÿđŲÿĒ ÿ āĎČăđ ĔčÿĒ ĐĔăĒÿĂćċċÿĒ Ę āĎČďđÿđċă Ĕč ćēÿāÿēă Ăă ʎʕĎđ Ăă āÿċÿĀÿęÿ ÿ ĒĔ ÿĀĔăċćēÿ‫ܜ‬ Para tener una descripción más detallada del movimiento, necesitamos conocer la velocidad del auto en cualquier instante, que se conoce como velocidad instantánea Ę Ēă Ăăʐʒčă āĎČĎ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ČăĂćÿ āĔÿčĂĎ ăċ ćčēăđĕÿċĎ Ăă ēćăČďĎ Ēă Ćÿāă ČĔĘ ďăĐĔăƙĎ ‫ܨ‬ăč ČÿēăČěēćāÿĒ‫ ܘ‬Ēă Ăćāă ĐĔă ēćăčĂă ÿ āăđĎ‫ ܜܩ‬ÿČĀćŊč Ēă āĎčĎāă āĎČĎ ċÿ razón de cambio de la posición respecto del tiempo, es decir, a la derivada de la posición respecto del tiempo, que verás en tus cursos de matemáticas: vinst = dx/dt‫ ܜ‬ĒēÿĒ ĂăʐʒčćāćĎčăĒ ēă serán útiles en cursos posteriores.

Aceleración media En el caso en que la velocidad del objeto cambie, de un valor v‫ ݾ‬al tiempo t‫ ݾ‬a un valor v‫ ݿ‬al tiempo t‫ ܘݿ‬ĂăāćČĎĒ ĐĔă ăċ ĎĀĉăēĎ ăĒēě ÿāăċăđÿĂĎ‫ ܜ‬ă Ăăʐʒčă ċÿ aceleración media del objeto como: amed

v t

( v2 v1 ) (t2 t1 )

(1.8)

26

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

ĎČĎ ďĔăĂăĒ ĕăđ‫ ܘ‬ċÿĒ ĔčćĂÿĂăĒ Ăă ÿāăċăđÿāćơč ČăĂćÿ ĒĎč ĔčćĂÿĂăĒ Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ ‫ܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܩ‬ ăčēđă ĔčćĂÿĂăĒ Ăă ēćăČďĎ ‫ܨ‬Ē‫ ܘܩ‬ăĒ Ăăāćđ‫ܨ ܘ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܤܩ‬Ē = m/s‫ݿ‬.

Aceleración instantánea De manera similar al caso de la velocidad, la aceleración instantánea Ēă Ăăʐʒčă āĎČĎ la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. En matemáticas, esto se conoce como razón de cambio de la velocidad respecto del tiempo, es decir, su derivada: ainst = dv/dt. Este formalismo matemático de derivadas lo utilizarás en cursos posteriores.

Ejemplo 1.13

ƤƲdzƲȯƇƤǛȊǾ٪ǼƲƫǛƇ٪Ƈ٪ȬƇȯɅǛȯ٪ƫƲ٪ɍǾƇ٪Ǎȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪vs. tiempo

Considera un carrito que se mueve en línea recta pero que cambia su velocidad conforme pasa el tiempo, como se muesēđÿ ăč ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ vs. tiempo de la ʐʒąĔđÿ ‫ܨ ޅݾܜݾ‬ĎĀĒăđĕÿ ĐĔă Ēă ąđÿʐʒāÿ ăč Č‫ܤ‬Ē ăč ăċ ăĉă ĕăđēćāÿċ vs. s en el eje ĆĎđćęĎčēÿċ‫ ܜܩ‬ÿċāĔċÿ ċÿ ÿāăċăđÿāćơč ČăĂćÿ ăč ċĎĒ ĒćąĔćăčēăĒ ćčēăđĕÿċĎĒ Ăă ēćăČďĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬BC‫ ܘ‬ā‫ ܩ‬CD‫ ܘ‬Ă‫ ܩ‬DE Ę ă‫ ܩ‬AE ‫ܨ‬ēĎĂĎ ăċ ćčēăđĕÿċĎ‫ ܜܩ‬ Z Figura 1.18٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛdad vs. tiempo para movimiento en 1D.

Solución Planteamiento

ĒÿČĎĒ ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ÿāăċăđÿāćơč ČăĂćÿ‫ ܛ‬amed = ∆v/∆t = ‫ܨ‬vf − vi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ ܩ‬ăČďċăÿčĂĎ ċĎĒ ĕÿċĎđăĒ Ăă v y t proporcionados ăč ċÿ ąđěʐʒāÿ‫ܜ‬ Datos e incógnitas

Fórmulas

a) b) c) d) e)

amed = ∆v/∆t = ‫ܨ‬vf − vi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ܩ‬

De AB: t = ‫ ݽ‬ÿ ‫ ހ‬Ē‫ ܘ‬vi = ‫ ݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܙ‬vf = ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē De BC: t = ‫ ހ‬ÿ ‫ ނ‬Ē‫ ܘ‬vi = ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܙ‬vf = ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē De CD: t = ‫ ނ‬ÿ ‫ ޅ‬Ē‫ ܙ‬vi = ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܙ‬vf = ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē De DE: t = ‫ ޅ‬ÿ ‫ ݽݾ‬Ē‫ ܘ‬vi = ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܙ‬vf = ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē De AE: t = ‫ ݽ‬ÿ ‫ ݽݾ‬Ē‫ ܘ‬vi = ‫ ݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܙ‬vf = ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē

Sustitución y resultados a) b) c) d)

amed = ‫ܨ‬vf − vi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ ݿܨ = ܩ‬− ‫ ހܨܤܩݽ‬− ‫ ބރܜݽ = ހܤݿ = ܩݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬. a > ‫ ݽ‬Ēćąčćʐʒāÿ ĐĔă ÿĔČăčēơ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ‫ܜ‬ amed = ‫ ރܨ‬− ‫ ނܨܤܩݿ‬− ‫ ݽܜݿ = ݿܤށ = ܩހ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜݿ‬ĔČăčēơ ÿǞč ČěĒ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ‫ܨ‬Ăă ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē ÿ ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܜܩ‬ amed = ‫ ރܨ‬− ‫ ޅܨܤܩރ‬− ‫ ݽ = ހܤݽ = ܩނ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬. a = ‫ ݽ‬Ēćąčćʐʒāÿ ĐĔă čĎ āÿČĀćơ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ‫ܨ‬ĄĔă ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē āĎčĒēÿčēă‫ܜܩ‬ amed = ‫ ݿܨ‬− ‫ ݽݾܨܤܩރ‬− ‫ = ܩޅ‬−‫ = ݿܤށ‬−‫ ݽܜݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬. a < ‫ ݽ‬Ēćąčćʐʒāÿ ĐĔă ĂćĒČćčĔĘơ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ‫ܨ‬ăČďăęơ ăč ‫ ރ‬Č‫ܤ‬Ē Ę Āÿĉơ ÿ ‫ ݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܜܩ‬ e) amed = ‫ ݿܨ‬− ‫ ݽݾܨܤܩݽ‬− ‫ ݽݿܜݽ = ݽݾܤݿ = ܩݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬. Esta representa la aceleración media durante todo el intervalo de tiempo.

1.9 Movimiento: vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración

Ejemplo 1.14

27

ƇǼƣǛȉ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛƫƇƫ٪Ƈ٪ȬƇȯɅǛȯ٪ƫƲ٪ɍǾƇ٪Ǎȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ƇƤƲdzƲȯƇƤǛȊǾ٪vs. tiempo

El Dr. KAOS está en su modo rabieta y ejerce una fuerza constante sobre su carrito, de modo que le imprime una aceċăđÿāćơč āĎčĒēÿčēă Ăă ‫ ݽܜݾ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ݿ‬durante 3 s, luego se arrepiente y le imprime una aceleración negativa ‫ܨ‬ċĎ Ąđăčÿ‫ ܩ‬ÿ −‫ ނܜݽ‬ m/s‫ ݿ‬ĂĔđÿčēă ĎēđĎĒ ‫ ހ‬Ē ‫ܨ‬ʐʒąĔđÿ ‫ ܜܩކݾܜݾ‬ć ăċ āÿđđćēĎ ďÿđēă Ăăċ đăďĎĒĎ ‫ܨ‬v = ‫ ܩݽ‬ăč t = ‫ ܘݽ‬āÿċāĔċÿ ăċ cambio en su velocidad en el ćčēăđĕÿċĎ Ăă ēćăČďĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬BC Ę ā‫ ܩ‬AC ‫ܨ‬ēĎĂĎ ăċ ćčēăđĕÿċĎ‫ܜܩ‬ Z Figura 1.19٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ƇƤƲdzƲȯƇción vs. tiempo para movimiento en 1D.

Solución Planteamiento

ă ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ÿāăċăđÿāćơč ČăĂćÿ ‫ܨ‬amed = ∆v/∆t‫ ܩ‬ďĎĂăČĎĒ ĂăĒďăĉÿđ ăċ āÿČĀćĎ ăč ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ∆v durante cada intervalo, es decir, ∆v = a × ∆t‫ ܜ‬ĒŲ‫ ܘ‬ċăăČĎĒ Ăă ċÿ ąđěʐʒāÿ ċĎĒ ĕÿċĎđăĒ Ăă a y ∆t durante cada intervalo.

Datos e incógnitas

Fórmulas

a) b) c)

amed = ∆v/∆t‫ ܙ‬ĂăĒďăĉÿčĂĎ ∆v, queda: ∆v = a × ∆t

čēăđĕÿċĎ AB, ∆tAB = ‫ ހܨ‬− ‫ = ܩݽ‬3 s y aAB = ‫ ݾ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬, ∆vAB = ¿? čēăđĕÿċĎ BC, ∆tBC = ‫ ރܨ‬− ‫ = ܩހ‬3 s y aBC = −‫ ނܜݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫∆ ܙݿ‬vBC = ¿? čēăđĕÿċĎ AC, ∆tAC = ‫ ރܨ‬− ‫ ރ = ܩݽ‬Ē‫∆ ܙ‬vtot = ¿?

Sustitución y resultados a) ∆vAB = aAB × ∆tAB = ‫ ݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ × ܩݿ‬3 s = ‫ ݽܜހ‬Č‫ܤ‬Ē‫∆ ܜ‬v > ‫ ݽ‬ĐĔćăđă Ăăāćđ ĐĔă ÿĔČăčēơ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ăč ‫ ݽܜހ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܜ‬ b) ∆vBC = ‫ܨ‬−‫ ނܜݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ × ܩݿ‬3 s = −‫ ނܜݾ‬Č‫ܤ‬Ē‫∆ ܜ‬v ࠙ ‫ ݽ‬Ēćąčćʐʒāÿ ĐĔă ĂćĒČćčĔĘơ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ‫ܜ‬ c) ∆vtot = ∆vAB + ∆vBC = ‫ ݽܜހ‬− ‫ ނܜݾ = ނܜݾ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬č ďđĎČăĂćĎ‫ ܘ‬ÿĔČăčēơ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ăč ăċ ćčēăđĕÿċĎ Ăă ‫ ݽ‬ÿ ‫ ރ‬Ē‫ܜ‬

¡A practicar!

Ejercicio 1.6 Aceleración media y cambio en la velocidad 1.

č āÿđđćēĎ ăč Ĕč ďÿđĐĔă Ăă ĂćĕăđĒćĎčăĒ ēćăčă Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ćčćāćÿċ v‫ ݽܜݾ = ݾ‬Č‫ܤ‬Ē ăč ăċ ćčĒēÿčēă t‫ ݽ = ݾ‬Ē Ę ăĒ ĉÿċÿĂĎ ăč ċŲčăÿ đăāēÿ ďĎđ Ĕčÿ āÿĂăčÿ‫ ܘ‬Ăă ČĎĂĎ ĐĔă ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ ăĒ v‫ ݽܜހ = ݿ‬Č‫ܤ‬Ē ăč ăċ ćčĒēÿčēă t‫ ނ = ݿ‬Ē‫ ܜ‬ÿċāĔċÿ ĒĔ aceleración media durante este intervalo de tiempo.

2.

č ĕÿąơč Ăăċ ăēđĎ Ēă ÿāăđāÿ ÿċ ÿčĂŊč ēăđČćčÿċ Ę Ąđăčÿ ĂăĒĂă Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ćčćāćÿċ vi = ‫ ݽކ‬ĊČ‫ܤ‬Ć ĆÿĒēÿ ċċăąÿđ ÿċ đăďĎĒĎ ‫ܨ‬vf = ‫ ܩݽ‬ăč Ĕč ċÿďĒĎ Ăă ∆t = ‫ ݽݾ‬Ē‫ ܜ‬ÿċāĔċÿ ĒĔ aceleración media durante este intervalo de tiempo. Expresa tu resultado en m/s‫ ܨ ܜݿ‬Ď ĎċĕćĂăĒ āĎčĕăđēćđ ďđćČăđĎ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ Ăă ĊČ‫ܤ‬Ć ÿ Č‫ܤ‬Ē‫ܜܩ‬

3.

ĎčĒćĂăđÿ ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ āĎčēđÿ ēćăČďĎ ĐĔă ĂăĒāđćĀă ăċ ČĎĕćČćăčēĎ ăč ‫ ݾ‬Ăă Ĕčÿ ďćăęÿ Ăă Ĕč ČăāÿčćĒmo industrial mostrada en la ʐʒąĔđÿ ‫ݽݿܜݾ‬. Calcula la aceleración media de la pieza en los siguientes intervalos de ēćăČďĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬BC‫ ܘ‬ā‫ ܩ‬CD‫ ܘ‬Ă‫ ܩ‬DE‫ ܘ‬ă‫ ܩ‬EF Ę Ą‫ ܩ‬AF ‫ܨ‬ēĎĂĎ ăċ ćčēăđĕÿċĎ‫ܜܩ‬

28

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Z Figura 1.20٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ɥƲdzȉƤǛdad vs. tiempo para movimiento en 1D.

4.

ĎčĒćĂăđÿ ċÿ ąđěʐʒāÿ Ăă ÿāăċăđÿāćơč vs. tiempo de la ʐʒąĔđÿ ‫ݾݿܜݾ‬, la cual muestra los cambios de velocidad media ĐĔă ăėďăđćČăčēÿ Ĕč ĎĀĉăēĎ ăč ČĎĕćČćăčēĎ ‫ ݾ‬ĂĔđÿčēă ĂĎĒ ćčēăđĕÿċĎĒ Ăă ēćăČďĎ‫ ܜ‬ÿċāĔċÿ ăċ cambio en la velocidad Ăăċ ĎĀĉăēĎ‫ ܛ‬ÿ‫ ܩ‬Ăă AB‫ ܘ‬Ā‫ ܩ‬Ăă BC Ę ā‫ ܩ‬āÿċāĔċÿ ăċ āÿČĀćĎ Ăă ĕăċĎāćĂÿĂ ēĎēÿċ ‫∆ܨ‬vtot‫ ܩ‬Ăăċ ĎĀĉăēĎ Ăă AC.

Z Figura 1.21٪ Gȯƈ˚ƤƇ٪ƫƲ٪ƇƤƲdzƲȯƇción vs. tiempo para movimiento en 1D.

1.10 Movimiento 1D con aceleración constante

Reto 1.3

El Dr. KAOS se da a la fuga ǍƲǾɅƲȷ٪ȷƲƤȯƲɅȉȷ٪Ƈdz٪ȷƲȯɥǛƤǛȉ٪ƫƲdz٪%ȯ‫ؘ‬٪g ¯٪dzƲ٪ǕƇǾ٪ƇɥǛȷƇƫȉ٪ȮɍƲ٪dzƇ٪ƇǍƲǾɅƲ٪¤ȉdzɬ٪dzȉ٪ƲȷɅƈ٪ ƣɍȷƤƇǾƫȉ٪ȬƇȯƇ٪ǛǼȬƲƫǛȯ٪ȷɍ٪ȷǛǍɍǛƲǾɅƲ٪ǼȉɥǛƫƇ‫ؘ‬٪jƲ٪ǕƇǾ٪ƇɥǛȷƇƫȉ٪Ƈdz٪%ȯ‫ؘ‬٪g ¯٪ȮɍƲ٪¤ȉdzɬ٪ se acerca al cuartel general en su pequeño vehículo a velocidad constante de ‫־׆‬٪ǯǼ‫إ‬Ǖ‫ؙ‬٪ɬ٪ȷǛ٪¤ȉdzɬ٪ȷƲ٪ƇƤƲȯƤƇ٪Ƈ٪ǼƲǾȉȷ٪ƫƲ٪‫־־׀‬٪Ǽ‫ؙ‬٪ƤȉȯȯƲ٪Ʋdz٪ȯǛƲȷǍȉ٪ƫƲ٪ȷƲȯ٪ƇɅȯƇȬƇƫȉ‫ؘ‬٪¯Ǜ٪ Ʋdz٪ƇɍɅȉ٪ƫƲdz٪%ȯ‫ؘ‬٪g ¯٪ɅǛƲǾƲ٪ɍǾƇ٪ƇƤƲdzƲȯƇƤǛȊǾ٪ǼƈɫǛǼƇ٪ƫƲ٪ׁ٪Ǽ‫إ‬ȷ2‫ؙ‬٪‫ؠ‬ƤɍƈǾɅȉ٪ȬɍƲƫƲ٪ƲȷȬƲȯƇȯ٪Ʋdz٪%ȯ‫ؘ‬٪g ¯٪ƇǾɅƲȷ٪ƫƲ٪ƇȯȯƇǾƤƇȯ٪ƇdzƲǬƈǾƫȉȷƲ٪ƫƲ٪¤ȉdzɬ٪ȬƇȯƇ٪ȮɍƲ٪ƲdzdzƇ٪Ǿȉ٪dzƲ٪ɥƲƇ٪ǾǛ٪Ʋdz٪ Ȭȉdzɥȉ‫؟‬٪‫ ؞‬ɬɎƫƇǾȉȷ٪Ƈ٪ƫƲȷƤɍƣȯǛȯdzȉ‫؝‬

Ecuaciones de cinemática con aceleración constante En física, hay varias situaciones comunes en las que se presenta movimiento con aceleración constante. Por ejemplo, cuando un conductor pisa el acelerador de su auto y arranca súbitamente, se puede considerar que la aceleración del vehículo es constante por algunos segundos. Otro ejemplo importante es la caída libre de los cuerpos, que ăĒēĔĂćÿđăČĎĒ ăč ċÿ Ēăāāćơč ‫ܜݾݾܜݾ‬

1.10 Movimiento 1D con aceleración constante

En el caso de un movimiento con aceleración constante, se cumple que la tasa de cambio de la velocidad ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬ċÿ ÿāăċăđÿāćơč‫ ܩ‬ăĒ āĎčĒēÿčēă‫ ܜ‬č ĎĀĉăēĎ ĐĔă ēćăčă una aceleración constante de, digamos, 3 m/s‫ ݿ‬aumenta su velocidad en 3 m/s cada segundo. A este movimiento se le llama movimiento rectilíneo uniformemente aceleđÿĂĎ ‫ܨ‬MRUA‫ܜܩ‬ ďÿđēćđ Ăă ċÿ Ăăʐʒčćāćơč Ăă ÿāăċăđÿāćơč ČăĂćÿ ‫ܨ‬ăāĔÿāćơč ‫ ܘܩޅܜݾ‬ēăčăČĎĒ ĐĔă amed = ∆v/∆t = ‫ܨ‬vf − vi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ ܜܩ‬ĎđČÿċČăčēă Ēă ēĎČÿ ăċ ēćăČďĎ ćčćāćÿċ āĎČĎ āăđĎ ‫ܨ‬ti = ‫ ܩݽ‬ Ę Ēă ċċÿČÿ ĒćČďċăČăčēă ܾt݀ ÿċ ēćăČďĎ ʐʒčÿċ‫ܾ ܘ‬v݀ ÿ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ‫ܾ ܘ‬v‫ ݀ݽ‬ÿ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ćčćāćÿċ Ę ܾa݀ ÿ ċÿ ÿāăċăđÿāćơč‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ċÿ ăāĔÿāćơč ÿčēăđćĎđ ĐĔăĂÿ‫ ܛ‬a = ‫ܨ‬v − v‫ܤܩݽ‬t. Despejando v de esta ecuación, resulta que: v = v0 + at. Esta ecuación nos permite relacionar la ĕăċĎāćĂÿĂ ʖʘčÿċ v con la velocidad inicial v‫ݽ‬, la aceleración a y el tiempo t, y nos será muy útil a lo largo del libro.

Por otro lado, de la ecuación de velocidad media vmed = ∆x/∆t = ‫ܨ‬xf − xi‫ܨܤܩ‬tf − ti‫ ܩ‬ ‫ܨ‬ăāĔÿāćơč ‫ ܘܩބܜݾ‬Ēć ēĎČÿČĎĒ ti = ‫ ܘݽ‬t = tf , x = xf y x‫ = ݽ‬xi, la ecuación anterior queda como vmed = ‫ܨ‬x − x‫ܤܩݽ‬t, es decir: (x − x0) = vmedt. Observa que x − x‫ ݽ‬corresponde al desplazamiento del objeto.

En el caso de que la aceleración sea constante, la velocidad media se puede escribir como el promedio de las velocidades: vmed = ‫ܨ‬v‫ ݽ‬+ vf ‫ ܜݿܤܩ‬ĎČĀćčÿčĂĎ ăĒēÿĒ ăāĔÿāćĎčăĒ‫ ܘ‬ resulta que: x = x‫ ݽ‬+ vmedt = x‫ ݽ‬+ ‫ܨ‬v‫ ݽ‬+ vf ‫ܩ‬t‫ = ݿܤ‬x‫ ݽ‬+ v‫ݽ‬t‫ ݿܤ‬+ ‫ܨ‬v‫ ݽ‬+ at‫ܩ‬t‫ ܜݿܤ‬ăÿąđĔďÿčĂĎ‫ ܘ‬ obtenemos: x = x0 + v0t + (½)at2. ćčÿċČăčēă‫ ܘ‬ăč ĎāÿĒćĎčăĒ‫ ܘ‬ăĒ āĎčĕăčćăčēă ēăčăđ Ĕčÿ ăāĔÿāćơč ĐĔă đăċÿāćĎčă ċÿ velocidad ʐʒčÿċ āĎč ċÿ posición, más que con el tiempo como en la última ecuación. Se deja como ejercicio para el lector gustoso de las matemáticas despejar t de la ecuación v = v‫ ݽ‬+ at, sustituirlo en la ecuación x = x‫ ݽ‬+ v‫ݽ‬t + ‫ܩࠇܨ‬at‫ݿ‬, y reacomodar términos para obtener: v2 = v02 + 2a(x − x0).

Casi siempre ponemos el objeto en el origen, en t = ‫ ܘݽ‬ďĎđ ċĎ ĐĔă x‫ ܜݽ = ݽ‬ĒŲ ĐĔă las ecuaciones de cinemática con aceleración constante que usaremos a lo largo del libro son: x = v‫ݽ‬t ࠒ ‫ܩࠇܨ‬at‫ ܜܩݾܨ ܝ ݿ‬ĎĒćāćơč x como función del tiempo t. x = ‫ܨ‬v‫ ݽ‬+ vf ‫ܩ‬t‫ ܝ ݿܤ‬

‫ ܜܩݿܨ‬ĎĒćāćơč x como función de las velocidades inicial v‫ ݽ‬Ę ʐʒčÿċ vf .

v = v‫ ݽ‬+ at ‫ ܝ‬

‫ ܜܩހܨ‬ăċĎāćĂÿĂ v como función del tiempo t.

‫ݿ‬

‫ݿ‬

v = v‫ݿ ࠒ ݽ‬a‫ܨ‬x‫ ܝ ܩ‬ Ejemplo 1.15

29

¿Sabías que... si un ser humano se somete a altas aceleraciones, puede sufrir daños graves que van desde mareos, desmayos o incluso la muerte? La aceleración ǼƈɫǛǼƇ٪ȮɍƲ٪ȬɍƲƫƲ٪ȷȉȬȉȯtar un ser humano sin sufrir lesiones graves depende de la duración, de la dirección y del entrenamiento del individuo.

-Ǿ٪ɍǾƇ٪ǼȉǾɅƇȈƇ٪ȯɍȷƇ٪ƲɫɅȯƲǼƇ‫ؙ‬٪Ȭȉȯ٪ƲǬƲǼȬdzȉ‫ؙ‬٪ȷƲ٪ȬɍƲƫƲǾ٪ generar aceleraciones entre 1 y ‫׃‬٪g’s (veces la aceleración de la ǍȯƇɥƲƫƇƫ‫ؙخ‬٪ƲǾ٪ȬƇȯɅǛƤɍdzƇȯ٪ƲǾ٪Ƈȷcensos y descensos rápidos. En un accidente automovilístico, ȷǛǾ٪ƣȉdzȷƇȷ٪ƫƲ٪ƇǛȯƲ‫ؙ‬٪dzȉȷ٪ȬƇȷƇǬƲȯȉȷ٪ ȬɍƲƫƲǾ٪ƲɫȬƲȯǛǼƲǾɅƇȯ٪ƇƤƲdzƲȯƇƤǛȉǾƲȷ٪ǕƇȷɅƇ٪ƫƲ٪‫ׅ‬٪g’s.

(1.9)

‫ ܜܩށܨ‬ăċĎāćĂÿĂ v como función de la posición x.

Movimiento con aceleración constante

č āÿđđćēĎ ÿđđÿčāÿ ÿ ďÿđēćđ Ăăċ đăďĎĒĎ ‫ܨ‬v‫ ܩݽ = ݽ‬āĎč ÿāăċăđÿāćơč āĎčĒēÿčēă a = ‫ ނܜݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ݿ‬ĂĔđÿčēă ‫ ނ‬Ē‫ ܜ‬ÿ‫ ܡ ܩ‬ĔŊ ĕăċĎāćĂÿĂ ċċăĕÿ ÿċ ʐʒčÿċ‫ ܠ‬Ā‫ ܡ ܩ‬ĔŊ ĂćĒēÿčāćÿ ĆÿĀđě đăāĎđđćĂĎ ĂĔđÿčēă ăĒă ćčēăđĕÿċĎ Ăă ēćăČďĎ‫ܠ‬ Solución Planteamiento

En general, nos conviene hacer un esquema de la situación, para ayudarnos a plantear el problema. Siempre hay que indicar la posición del origen y hacia dónde apunta el eje x ďĎĒćēćĕĎ ‫ܨ‬ďĎđ ċĎ ąăčăđÿċ‫ ܘ‬Ēă ēĎČÿ ÿ ċÿ ĂăđăāĆÿ‫ܜܩ‬ ăĒďĔŊĒ‫ ܘ‬čăāăĒćēÿČĎĒ ćĂăčēćʐʒāÿđ qué datos tenemos, cuáles son las incógnitas y qué ecuaciones podemos aplicar.

30

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Datos e incógnitas

Fórmulas

x‫ ݽ = ݽ‬Č ‫ܨ‬ăċ ÿĔēĎ parte del origen‫ܩ‬ v‫ ݽ = ݽ‬Č‫ܤ‬Ē ‫ܨ‬ăċ ÿĔēĎ parte del reposo‫ܩ‬ t = ‫ ނ‬Ē ‫ܨ‬ēćăČďĎ ēđÿčĒāĔđđćĂĎ‫ܩ‬ a = ‫ ނܜݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܨ ݿ‬ÿāăċăđÿāćơč‫ܩ‬

‫ ܨ‬Ďēÿ ĐĔă ăĒēÿČĎĒ ċċÿČÿčĂĎ d ÿċ ĂăĒďċÿęÿČćăčēĎ‫ܩ‬

a) v = ‫ܨ ܠܡ‬ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ‫ܩ‬ b) d = ‫ܨ ܠܡ‬ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđćĂÿ‫ܩ‬

d = v‫ݽ‬t + ‫ܩࠇܨ‬at‫ݿ‬ v = v‫ ݽ‬+ at v‫ = ݿ‬v‫ ݿݽ‬+ ‫ݿ‬ad

‫ܩݾܨ ܝ‬ ‫ܩݿܨ ܝ‬ ‫ܩހܨ ܝ‬

Sustitución y resultados

Como estrategia para todo el libro, necesitamos encontrar una ecuación en la que conozcamos todas las variables menos una para poder despejarla. a)

Buscamos la velocidad v y conocemos v‫ݽ‬, a y t‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ďĎĂăČĎĒ ĔĒÿđ ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ܨ ݿ‬v = v‫ ݽ‬+ at‫ ܜܩ‬ÿ ăāĔÿāćơč ‫ ܘހ‬čĎ nos sirve aún, pues no conocemos el desplazamiento d. Sustituyendo valores: v = v‫ ݽ‬+ at = ‫ ݽ‬+ ‫ ނܜݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ނܨ ݿ‬Ē‫ ނܜݿݾ = ܩ‬Č‫ܤ‬Ē

b) Para hallar la distancia recorrida d‫ ܘ‬ďĎĂăČĎĒ ĔĒÿđ ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ܨ ݾ‬d = v‫ݽ‬t + ‫ܩࠇܨ‬at‫ ܩݿ‬ďĔăĒ āĎčĎāăČĎĒ v‫ݽ‬, a y t, o la

ăāĔÿāćơč ‫ܨ ހ‬v‫ = ݿ‬v‫ ݿݽ‬+ ‫ݿ‬ad‫ ܘܩ‬ďĔăĒ Ęÿ āĎčĎāăČĎĒ ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ‫ ܘ‬v. Se obtiene lo mismo en cualquier caso. Sustituyendo valores: d = v‫ݽ‬t + ‫ܩࠇܨ‬at‫ ݽ = ݿ‬+ ‫ ނܜݿܩࠇܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ނܨ ݿ‬Ē‫ ނݿܜݾހ = ݿܩ‬Č Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación 3: v‫ = ݿ‬v‫ ݿݽ‬+ ‫ݿ‬ad ‫ ނܜݿݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ݿݽ = ݿܩ‬+ ‫ ނܜݿܨݿ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܩݿ‬d. Despejando d obtenemos: d = ‫ ނܜݿݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ނܜݿܨݿܪܤݿܩ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ނݿܜݾހ = ܫܩݿ‬Č‫ ܘ‬ĐĔă āĎćčāćĂă āĎč ăċ đăĒĔċēÿĂĎ ÿčēăđćĎđ‫ܜ‬

Ejemplo 1.16

Movimiento con aceleración constante

č āćāċćĒēÿ ċċăĕÿ Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ćčćāćÿċ Ăă ‫ ޅ‬Č‫ܤ‬Ē Ę ÿāăċăđÿ ĆÿĒēÿ Ĕčÿ ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ Ăă ‫ ރݾ‬Č‫ܤ‬Ē ăč Ĕč ćčēăđĕÿċĎ Ăă ēćăČďĎ ∆t = ‫ ށ‬Ē‫ ܜ‬ÿ‫ ܡ ܩ‬Ĕěċ ĄĔă ĒĔ ÿāăċăđÿāćơč ĂĔđÿčēă ăĒă ćčēăđĕÿċĎ‫ ܠ‬Ā‫ ܡ ܩ‬ĔŊ ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđćơ ĂĔđÿčēă ĂćāĆĎ ćčēăđĕÿċĎ‫ܠ‬ Solución Planteamiento

Como en el ejemplo anterior, hacemos un diagrama que nos ayude a visualizar la situación. Conocemos las velocidades ćčćāćÿċ Ę ʐʒčÿċ Ę ăċ ēćăČďĎ‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ďĎĂăČĎĒ ĔĒÿđ ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ ݿܜݾ‬Ăă ďÿđÿ Ćÿċċÿđ ĒĔ ÿāăċăđÿāćơč a, y con esta, podemos calcular la distancia recorrida d‫ ܜ‬ăāĔăđĂÿ ĐĔă ĂăĀăČĎĒ ăčāĎčēđÿđ Ĕčÿ ăāĔÿāćơč ĐĔă ĒơċĎ ēăčąÿ una incógnita para poder despejar.

1.10 Movimiento 1D con aceleración constante

Datos e incógnitas

Fórmulas

v‫ ޅ = ݽ‬Č‫ܤ‬Ē ‫ܨ‬ĕăċĎāćĂÿĂ ćčćāćÿċ‫ܩ‬ vf = ‫ ރݾ‬Č‫ܤ‬Ē ‫ܨ‬ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ‫ܩ‬ t = ‫ ށ‬Ē ‫ܨ‬ēćăČďĎ ēđÿčĒāĔđđćĂĎ‫ܩ‬

d = v‫ݽ‬t + ‫ܩࠇܨ‬at‫ ݿ‬ v = v‫ ݽ‬+ at v‫ = ݿ‬v‫ ݿݽ‬+ ‫ݿ‬ad

31

‫ܩݾܨ ܝ‬ ‫ܩݿܨ ܝ‬ ‫ܩހܨ ܝ‬

a) a = ‫ܨ ܠܡ‬ÿāăċăđÿāćơč‫ܩ‬ b) d = ‫ܨ ܠܡ‬ĂćĒēÿčāćÿ đăāĎđđćĂÿ‫ܩ‬ Sustitución y resultados a)

ă ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ ܘݿ‬ĒĔĒēćēĔĘăčĂĎ ĕÿċĎđăĒ Ę ĂăĒďăĉÿčĂĎ‫ܛ‬ v = v‫ ݽ‬+ at ‫ ރݾ‬Č‫ܤ‬Ē ࠘ ‫ ޅ‬Č‫ܤ‬Ē ࠒ a ‫ ށܨ‬Ē‫ ܜܩ‬ĒŲ ĐĔă‫ ܘ‬ a ࠘ ‫ ރݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē ܸ ‫ ޅ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ށܨܤܩ‬Ē‫ ݿ ࠘ ܩ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬ b) Como en el ejemplo anterior, ya conocemos a‫ ܘ‬ÿĒŲ ĐĔă ďĎĂăČĎĒ ĔĒÿđ ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ ݾ‬Ď ċÿ ‫ ހ‬ďÿđÿ Ćÿċċÿđ ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ d. ă ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ ݾ‬Ę ĒĔĒēćēĔĘăčĂĎ ĕÿċĎđăĒ ēăčăČĎĒ‫ܛ‬ d ࠘ v‫ݽ‬t ࠒ ‫ܩࠇܨ‬at‫ܩݾܨ ܝ ݿ‬ d ࠘ ‫ ޅܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ށܨ ܩ‬Ē‫ ݿܨ ܩࠇܨ ࠒ ܩ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ށܨ ܩݿ‬Ē‫ ݿހ ࠘ ݿܩ‬Č ࠒ ‫ ރݾ‬Č ࠘ ‫ ޅށ‬Č ĀĒăđĕÿ ĐĔă Ēć ĄĔăđÿ āĎč ĕăċĎāćĂÿĂ āĎčĒēÿčēă ‫ܨ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬a ࠘ ‫ ܘܩݽ‬ĆÿĀđŲÿ ÿĕÿčęÿĂĎ ĒơċĎ ‫ ݿހ‬Č ‫ܨ‬d ࠘ vt‫ ܘܩ‬ďăđĎ āĎČĎ ĕÿ ÿāăċăđÿčĂĎ‫ ܘ‬ÿĕÿčęơ ÿĂăČěĒ ĎēđĎĒ ‫ ރݾ‬Č‫ܜ‬

Ejemplo 1.17

Movimiento con aceleración constante

č ÿĔēĎĀǞĒ Ăă ēđÿčĒďĎđēă ăĒāĎċÿđ ĕćÿĉÿ ÿ ‫ ށނ‬ĊČ‫ܤ‬Ć āĔÿčĂĎ ăċ āĆĎĄăđ ĕă ĐĔă ċÿ ÿĀĔăċćēÿ Ăăċ đ‫ ܜ‬ăĒēě āđĔęÿčĂĎ ċÿ ÿāăđÿ ÿ Ĕčÿ ĂćĒēÿčāćÿ Ăă ‫ ݽހ‬Č Ăăċ āÿČćơč‫ ܜ‬č ăĒă ČĎČăčēĎ‫ ܘ‬ăċ āĆĎĄăđ ăčēđÿ ăč ďěčćāĎ‫ ܘ‬ÿďđćăēÿ ċĎĒ ĄđăčĎĒ Ę āĎčĒćąĔă ĐĔă el camión frene con una desaceleración constante a = −‫ ށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬. El signo negativo indica que la aceleración se opone a la ĕăċĎāćĂÿĂ Ę‫ ܘ‬ďĎđ ċĎ ēÿčēĎ‫ ܘ‬Ąđăčÿ‫ ܜ‬ÿ‫ ܡ ܩ‬ĎčĒćąĔă ăċ āÿČćơč ĂăēăčăđĒă ÿčēăĒ Ăă ċċăąÿđ ÿ ĂĎčĂă ăĒēě ċÿ ÿĀĔăċćēÿ Ăăċ đ‫ ܠ ܜ‬ Ā‫ ܩ‬ć ăĒ ÿĒŲ‫ܡ ܘ‬ÿ ĐĔŊ ĂćĒēÿčāćÿ Ēă Ăăēćăčă‫ ܠ‬ā‫ ܡ ܩ‬ĔěčēĎ ēÿđĂơ ăč Ąđăčÿđ‫ܠ‬ Solución Planteamiento

Como en los ejemplos anteriores, hacemos un diagrama de la situación que nos ayude plantear el problema, y a identiʐʒāÿđ ċĎĒ ĂÿēĎĒ ĐĔă ēăčăČĎĒ Ę ċÿĒ ćčāơąčćēÿĒ‫ ܜ‬ÿđÿ ĒÿĀăđ Ēć ăċ āÿČćơč Ēă Ăăēćăčă antes de llegar a donde está la abuelita, necesitamos calcular qué distancia recorre hasta que frena por completo‫ ܘ‬ăĒ Ăăāćđ‫ ܘ‬āĔÿčĂĎ ĒĔ ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ ăĒ vf = ‫ ݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܜ‬

32

Capítulo 1

Sistemas de referencia: inercial y no inercial

Datos e incógnitas

Fórmulas

v‫ ށނ = ݽ‬ĊČ‫ܤ‬Ć ‫ ݽݽݽݾܨ‬Č‫ܤ‬ĊČ‫ ݽݽރހܨܤܩ‬Ē‫ܤ‬Ć‫ ނݾ = ܩ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܜ‬ d = v‫ݽ‬t + ‫ܩࠇܨ‬at‫ ݿ‬ ‫ ܘ‬Ēă ĂăĀă āĎčĕăđēćđ ÿ ĔčćĂÿĂăĒ ĀěĒćāÿĒ ‫ܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܩ‬ v = v‫ ݽ‬+ at antes de utilizarla. v‫ = ݿ‬v‫ ݿݽ‬+ ‫ݿ‬ad vf = ‫ ݽ‬Č‫ܤ‬Ē ‫ܨ‬ĕăċĎāćĂÿĂ ʐʒčÿċ‫ ܘ‬āĎčĒćĂăđÿČĎĒ ĐĔă Ēă Ăăēćăčă ďĎđ āĎČďċăēĎ‫ܩ‬ a = −‫ ށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿ‬ a) ¿Logra frenar? b) d = ‫ܨ ܠܡ‬āĔěčēĎ ÿĕÿčęÿ ĆÿĒēÿ ĂăēăčăđĒă‫ܩ‬ c) t = ‫ܨ ܠܡ‬āĔěčēĎ ēÿđĂÿ ăč Ąđăčÿđ‫ܩ‬

‫ܩݾܨ ܝ‬ ‫ܩݿܨ ܝ‬ ‫ܩހܨ ܝ‬

Sustitución y resultados a) y b) ÿ ăāĔÿāćơč ‫ ݾ‬čĎ čĎĒ Ēćđĕă ďĎđ ăċ ČĎČăčēĎ ďĔăĒ čĎ āĎčĎāăČĎĒ čć d ni t. De la ecuación 3, conocemos todo

menos d, así que podemos despejar d. Sustituyendo y despejando, tenemos: v‫ = ݿ‬v‫ ݿݽ‬+ ‫ݿ‬ad ‫ ނݾܨ = ݿܩݽܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܨݿ ࠒ ݿܩ‬−‫ ށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܩݿ‬d ‫ܨݿ‬−‫ ށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܩݿ‬d = −‫ ނݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ݿܩ‬ d = −‫ ނݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܨݿܤݿܩ‬−‫ ށ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ݾܜޅݿ = ܩݿ‬Č Observa que, como d < ‫ ݽހ‬Č‫ ܘ‬Ēćąčćʐʒāÿ ĐĔă ĒŲ āĎčĒćąĔă Ąđăčÿđ ÿčēăĒ Ăă ċċăąÿđ ÿ ċÿ ÿĀĔăċćēÿ ‫ܟܨ‬ďĔĄ‫ ܘܩܞ‬ďăđĎ ĐĔăĂÿ ÿ ĒơċĎ ‫ ݽހܨ‬Č − ‫ ݾܜޅݿ‬Č‫ ކܜݾ ࠘ ܩ‬Č ‫ܨ‬āÿĒć ċă Ăÿ Ĕč ćčĄÿđēĎ ÿ ċÿ ÿĀĔăċćēÿ‫ܜܩ‬ c) Buscamos t, y ya conocemos d‫ ܜ‬ĎĂăČĎĒ ĔĒÿđ ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ ݾ‬Ď ċÿ ‫ ܘހ‬ÿĔčĐĔă ăĒ ČěĒ Ąěāćċ ĂăĒďăĉÿđ ăč ċÿ ăāĔÿāćơč ‫ ܜݿ‬ Sustituyendo valores: v = v‫ ݽ‬+ at ‫ ނݾܨ = ݽ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ܩ‬− ‫ ށܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ܩݿ‬t, es decir t = −‫ ނݾܨ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ށܨܤܩ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ނܜݿ = ܩݿ‬Ē‫ ܜ‬ĒŲ ĐĔă čĎ ċă ĐĔăĂÿ ČĔāĆĎ ēćăČďĎ ÿ ċÿ ÿĀĔăċćēÿ ďÿđÿ đăÿāāćĎčÿđ Ăă ēĎĂĎĒ modos.

¡A practicar!

Ejercicio 1.7 Ejercicios con aceleración constante 1.

Cuando el Dr. KAOS era pequeño, su abuelita le regaló un carrito de juguete que venía con una pista recta. El ČăāÿčćĒČĎ Ăă ÿđđÿčĐĔă ďăđČćēă ĐĔă ăċ āÿđđćēĎ ďÿđēÿ Ăăċ đăďĎĒĎ āĎč Ĕčÿ ÿāăċăđÿāćơč Ăă ‫ ޅܜݾ‬Č‫ܤ‬Ē‫ ݿ‬durante 3 s. DeēăđČćčÿ ÿ‫ ܩ‬ċÿ ĕăċĎāćĂÿĂ Ăăċ āÿđđćēĎ ĂăĒďĔŊĒ Ăă ‫ ހ‬Ē Ę Ā‫ ܩ‬ċÿ ĂćĒēÿčāćÿ ĐĔă đăāĎđđă ăč ăĒă ēćăČďĎ‫ܜ‬

2.

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3.

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4.

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5.

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6.

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