Análisis Numérico. 10a Ed. Richard L. Burden, J. Douglas Faires y Annette M. Burden. Cengage

10a. edición

ANÁLISIS

NUMÉRICO Richard L. Burden • Douglas J. Faires • Annette M. Burden

Análisis numérico DÉCIMA EDICIÓN

Richard L. Burden Youngstown University

J. Douglas Faires Youngstown University

Annette M. Burden Youngstown University

Traducción: Mara Paulina Suárez Moreno Traductora profesional

Revisión técnica: Wilmar Alberto Díaz Ossa Mágister en matemáticas aplicadas Profesor en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas

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Análisis numérico, 10 a. ed.

Richard L. Burden, J. Douglas Faires y Annette M. Burden Director Editorial para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editora: Ivonne Arciniega Torres Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: © theromb/Shutterstock.com Composición tipográfica: Tsuki Marketing S.A. de C.V. Gerardo Larios García

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Traducido del libro Numerical Analysis, Tenth Edition Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden Publicado en inglés por Cengage Learning © 2016, 2011, 2005 ISBN: 978-1-305-25366-7 Datos para catalogación bibliográfica: Burden, Faires y Burden Análisis numérico, 10a. ed.

ISBN: 978-607-526-411-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Contenido Prefacio

1

2

Preliminares matemáticos y análisis de error 1 1.1 1.2

Revisión de cálculo 2 Errores de redondeo y aritmética computacional 11

1.3

Algoritmos y convergencia

1.4

Software numérico

28

El método de bisección 36 ,WHUDFLyQ GH SXQWR ÀMR Método de Newton y sus extensiones 49 Análisis de error para métodos iterativos 58 Convergencia acelerada 64 Ceros de polinomios y método de Müller 68 Software numérico y revisión del capítulo 76

Interpolación y aproximación polinomial 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

4

22

Soluciones de las ecuaciones en una variable 35 2.1

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3

vii

Interpolación y el polinomio de Lagrange 78 Aproximación de datos y método de Neville 86 Diferencias divididas 91 Interpolación de Hermite 99 Interpolación de spline cúbico 105 Curvas paramétricas 121 Software numérico y revisión del capítulo 126

Diferenciación numérica e integración 4.1 4.2 4.3

77

127

Diferenciación numérica 128 Extrapolación de Richardson 136 Elementos de integración numérica 142 iii

iv

Contenido

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

5

Problemas de valor inicial para ecuaciones de diferenciales ordinarias 193 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12

6

Teoría elemental de problemas de valor inicial 194 Método de Euler 198 Métodos de Taylor de orden superior 205 Método Runge-Kutta 209 Control de error y método Runge-Kutta-Fehlberg 218 Métodos multipasos 224 Método multipasos de tamaño de paso variable 236 Métodos de extrapolación 241 Ecuaciones de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales 247 Estabilidad 254 Ecuaciones diferenciales rígidas 262 Software numérico 268

Métodos directos para resolver sistemas lineales 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

7

Integración numérica compuesta 150 Integración de Romberg 156 Métodos de cuadratura adaptable 162 Cuadratura gaussiana 168 Integrales múltiples 174 Integrales impropias 186 Software numérico y revisión del capítulo 191

Sistemas de ecuaciones lineales 270 Estrategias de pivoteo 279 Álgebra lineal e inversión de matriz 287 Determinante de una matriz 296 Factorización de matriz 298 Tipos especiales de matrices 306 Software numérico 318

Técnicas iterativas en álgebra de matrices 319 7.1 7.2 7.3

7.7

Normas de vectores y matrices 320 Eigenvalores y eigenvectores 329 Técnicas iterativas de Jacobi y Gauss-Siedel 334 7pFQLFDV GH UHODMDFLyQ SDUD UHVROYHU VLVWHPDV OLQHDOHV &RWDV GH HUURU \ UHÀQDPLHQWR LWHUDWLYR (O PpWRGR GH JUDGLHQWH FRQMXJDGR Software numérico 366

269

Contenido

8

Teoría de aproximación 369 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

9

Aproximación de eigenvalores 421 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

10

Aproximación por mínimos cuadrados discretos 370 Polinomios ortogonales y aproximación por mínimos cuadrados 378 Polinomios de Chebyshev y ahorro de series de potencia 385 Aproximación de función racional 393 Aproximación polinomial trigonométrica 402 Transformadas rápidas de Fourier 410 Software numérico 419

Álgebra lineal y eigenvalores 422 Matrices ortogonales y transformaciones de similitud 428 El método de potencia 431 Método de Householder 445 El algoritmo QR 452 Descomposición en valores singulares 462 Software numérico 474

Soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones no lineales 475 3XQWRV ÀMRV SDUD IXQFLRQHV GH YDULDV YDULDEOHV 10.2 Método de Newton 482 10.3 Métodos cuasi-Newton 487 10.4 Técnicas de descenso más rápido 492 10.5 Homotopía y métodos de continuación 498 10.6 Software numérico 504

11

Problemas de valor en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias 505 11.1 El método de disparo lineal 506 11.2 El método de disparo para problemas no lineales 512 0pWRGRV GH GLIHUHQFLDV ÀQLWDV SDUD SUREOHPDV OLQHDOHV 0pWRGRV GH GLIHUHQFLDV ÀQLWDV SDUD SUREOHPDV OLQHDOHV 11.5 El método de Rayleigh-Ritz 527 11.6 Software numérico 540

v

vi

Contenido

12

Soluciones numÊricas para ecuaciones diferenciales parciales 541 12.1 Ecuaciones diferenciales parciales elípticas 544 12.2 Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas 551 12.3 Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas 562 8QD LQWURGXFFLyQ DO PpWRGR GH HOHPHQWRV ÀQLWRV 12.5 Software numÊrico 579

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&RQMXQWRV GH HMHUFLFLRV Preguntas de anålisis Conceptos clave Revisión de capítulo Bibliografía 5HVSXHVWDV D HMHUFLFLRV VHOHFFLRQDGRV �ndice �ndice de algoritmos Glosario de notación Trigonometría *UiÀFDV FRPXQHV

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CAPÍTULO

1

Preliminares matemáticos y análisis de error Introducción Al comenzar los cursos de química, estudiamos la ley del gas ideal, PV = NRT, que relaciona la presión P, el volumen V, la temperatura T y el número de moles N de un gas “ideal”. En esta ecuación, R es una contante que depende del sistema de medición.

Suponga que se realizan dos experimentos para evaluar esta ley, mediante el mismo gas en cada caso. En el primer experimento,

P = 1.00 atm,

V = 0.100 m3 ,

N = 0.00420 mol,

R = 0.08206.

La ley del gas ideal predice que la temperatura del gas es

T =

(1.00)(0.100) PV = = 290.15 K = 17◦ C. NR (0.00420)(0.08206)

Sin embargo, cuando medimos la temperatura del gas, encontramos que la verdadera temperatura es 15◦C.

V1 V2

A continuación, repetimos el experimento utilizando los mismos valores de R y N, pero incrementamos la presión en un factor de dos y reducimos el volumen en ese mismo factor.

El producto PV sigue siendo el mismo, por lo que la temperatura prevista sigue siendo 17◦C. Sin embargo, ahora encontramos que la temperatura real del gas es 19◦C. 1

2

CAPÍTULO 1

Preliminares matemáticos y análisis de error

Claramente, se sospecha la ley de gas ideal, pero antes de concluir que la ley es inválida en esta situación, deberíamos examinar los datos para observar si el error se puede atribuir a los resultados del experimento. En este caso, podríamos determinar qué tan precisos deberían ser nuestros resultados experimentales para evitar que se presente un error de esta magnitud.

El análisis del error involucrado en los cálculos es un tema importante en análisis numérico y se presenta en la sección 1.2. Esta aplicación particular se considera en el ejercicio 26 de esa sección.

Este capítulo contiene una revisión breve de los temas del cálculo de una sola variable que se necesitarán en capítulos posteriores. Un conocimiento sólido de cálculo es fundamental para comprender el análisis de las técnicas numéricas y sería preciso efectuar una revisión más rigurosa para quienes no han estado en contacto con este tema durante un tiempo.

Además, existe una introducción a la convergencia, el análisis de error, la representación GH Q~PHURV HQ OHQJXDMH GH PiTXLQD \ DOJXQDV WpFQLFDV SDUD FODVLÀFDU \ PLQLPL]DU HO HUURU computacional.

1.1 Revisión de cálculo Límites y continuidad Los conceptos de límite y continuidad de una función son fundamentales para el estudio del cálculo y constituyen la base para el análisis de las técnicas numéricas.

Definición 1.1

Una función f GHÀQLGD HQ XQ FRQMXQWR X de números reales que tiene el límite L a x0, escrita como lím f (x) = L , x→x0

si, dado cualquier número real ε > 0, existe un número real δ > 0, de tal forma que

| f (x) − L| < ε,

siempre que

x∈X y

0 < |x − x0 | < δ.

FRQVXOWH OD ÀJXUD

Figura 1.1

ε

y

y 5 f (x)

L 1e L L 2e

x0 2 d

x0

x0 1 d

x

1.1

DeďŹ niciĂłn 1.2 Los conceptos bĂĄsicos de cĂĄlculo y sus aplicaciones se GHVDUUROODURQ D Ă&#x20AC;QDOHV GHO VLJOR XVII y a principios del XVIII, pero los conceptos matemĂĄticamente precisos de lĂ­mites y continuidad se describieron hasta la ĂŠpoca de Augustin Louis Cauchy ² +HLQULFK (GXDUG +HLQH ² \ .DUO :HLHUVWUDVV ² D Ă&#x20AC;QDOHV del siglo XIX.

DeďŹ niciĂłn 1.3

RevisiĂłn de cĂĄlculo

3

Sea f XQD IXQFLyQ GHĂ&#x20AC;QLGD HQ XQ FRQMXQWR X de nĂşmeros reales y x0 â&#x2C6;&#x2C6; X. Entonces f es continua en x0 si lĂ­m f (x) = f (x0 ). xâ&#x2020;&#x2019;x0

La funciĂłn f es continua en el conjunto X si es continua en cada nĂşmero en X. El conjunto de todas las funciones que son continuas en el conjunto X se denota como C(X &XDQGR X es un intervalo de la recta real, se omiten los parĂŠntesis en esta notaciĂłn. Por ejemplo, el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] se denota como C[a, b]. El sĂ­mbolo R denota el conjunto de todos los nĂşmeros reales, que tambiĂŠn tiene la notaciĂłn del intervalo (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x17E; 3RU HVR HO FRQMXQWR GH WRGDV ODV IXQFLRQHV TXH VRQ continuas en cada nĂşmero real se denota mediante C(R o mediante C(â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x17E;

El lĂ­mite de una sucesiĂłn GH Q~PHURV UHDOHV R FRPSOHMRV VH GHĂ&#x20AC;QH GH PDQHUD VLPLODU Sea {xn }â&#x2C6;&#x17E; n=1 XQD VXFHVLyQ LQĂ&#x20AC;QLWD GH Q~PHURV UHDOHV (VWD VXFHVLyQ WLHQH HO lĂ­mite x (converge a x VL SDUD FXDOTXLHU Îľ 0, existe un entero positivo N(Îľ) tal que |xn â&#x2C6;&#x2019; x| < Îľ siempre que n > N(Îľ /D QRWDFLyQ

lĂ­m xn = x,

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

o

xn â&#x2020;&#x2019; x

en

n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;,

VLJQLĂ&#x20AC;FD TXH OD VXFHVLyQ {xn }â&#x2C6;&#x17E; n=1 converge a x.

Teorema 1.4

Si f HV XQD IXQFLyQ GHĂ&#x20AC;QLGD HQ XQ FRQMXQWR X de nĂşmeros reales y x0 â&#x2C6;&#x2C6; X, entonces los siguientes enunciados son equivalentes: a.

f es continua en x0;

b.

Si {xn }â&#x2C6;&#x17E; n=1 es cualquier sucesiĂłn en X, que converge a x0, entonces lĂ­m nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; f (xn ) = f (x0 ).

Se asumirĂĄ que las funciones que consideraremos al analizar los mĂŠtodos numĂŠricos son continuas porque ĂŠste es el requisito mĂ­nimo para una conducta predecible. Las funciones TXH QR VRQ FRQWLQXDV SXHGHQ SDVDU SRU DOWR SXQWRV GH LQWHUpV OR FXDO SXHGH FDXVDU GLĂ&#x20AC;FXOWDdes al intentar aproximar la soluciĂłn de un problema.

Diferenciabilidad /DV VXSRVLFLRQHV PiV VRĂ&#x20AC;VWLFDGDV VREUH XQD IXQFLyQ SRU OR JHQHUDO FRQGXFHQ D PHMRUHV UHVXOWDGRV GH DSUR[LPDFLyQ 3RU HMHPSOR QRUPDOPHQWH XQD IXQFLyQ FRQ XQD JUiĂ&#x20AC;FD VXDYH VH comportarĂ­a de forma mĂĄs predecible que una con numerosas caracterĂ­sticas irregulares. La condiciĂłn de uniformidad depende del concepto de la derivada.

DeďŹ niciĂłn 1.5

Si f HV XQD IXQFLyQ GHĂ&#x20AC;QLGD HQ XQ LQWHUYDOR DELHUWR TXH FRQWLHQH x0. La funciĂłn f es diferenciable en x0 si f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (x0 ) f (x0 ) = lĂ­m xâ&#x2020;&#x2019;x0 x â&#x2C6;&#x2019; x0 existe. El nĂşmero f (x0 ) recibe el nombre de derivada de f en x0. Una funciĂłn que tiene una derivada en cada nĂşmero en un conjunto X es diferenciable en X. La derivada de f en x0 HV OD SHQGLHQWH GH OD UHFWD WDQJHQWH D OD JUiĂ&#x20AC;FD GH f en (x0 , f (x0 )), FRPR VH PXHVWUD HQ OD Ă&#x20AC;JXUD

4

CAPĂ?TULO 1

Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error

Figura 1.2 y La recta tangente tiene una pendiente f 9(x0)

f (x 0)

(x 0, f (x 0))

y 5 f (x)

x0

Teorema 1.6 El teorema atribuido a Michel 5ROOH ² DSDUHFLy en 1691 en un tratado poco conocido titulado MÊthode pour rÊsoundre les Êgalites (MÊtodo para resolver las igualdades).

Originalmente, Rolle criticaba el cĂĄlculo desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, pero despuĂŠs se convirtiĂł en uno de sus defensores.

Teorema 1.7

x

Si la funciĂłn f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.

Los siguientes teoremas son de importancia fundamental al deducir los mĂŠtodos para estimaciĂłn del cĂĄlculo de error. Las pruebas de estos teoremas y los otros resultados sin referencias en esta secciĂłn se pueden encontrar en cualquier texto de cĂĄlculo estĂĄndar.

El conjunto de todas las funciones que tienen derivadas continuas n en X se denota como Cn(X y el conjunto de funciones que tienen derivadas de todos los Ăłrdenes en X se denota como C â&#x2C6;&#x17E; (X ). Las funciones polinomial, racional, trigonomĂŠtrica, exponencial y logarĂ­tmica se encuentran en C â&#x2C6;&#x17E; (X ), donde X FRQVLVWH HQ WRGRV ORV Q~PHURV SDUD ORV TXH VH GHĂ&#x20AC;QHQ las funciones. Cuando X es un intervalo de la recta real, de nuevo se omiten los parĂŠntesis en esta notaciĂłn.

(Teorema de Rolle) Suponga que f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b] y f es diferenciable en (a, b 6L f(a = f (b HQWRQFHV H[LVWH XQ Q~mero c en (a, b) con f 9(c = &RQVXOWH OD Ă&#x20AC;JXUD

Figura 1.3

y

f 9(c) 5 0 y 5 f (x)

f (a) 5 f(b)

a

Teorema 1.8

c

b

x

(Teorema del valor medio) Si f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b] y f es diferenciable en (a, b HQWRQFHV H[LVWH XQ Q~PHUR c en (a, b con FRQVXOWH OD Ă&#x20AC;JXUD

f (c) =

f (b) â&#x2C6;&#x2019; f (a) . bâ&#x2C6;&#x2019;a

1.1

RevisiĂłn de cĂĄlculo

5

Figura 1.4 y LĂ­neas paralelas Pendiente f 9(c)

Pendiente

f (b) 2 f (a) b2a

c

a

Teorema 1.9

y 5 f (x)

x

b

(Teorema del valor extremo) Si f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b], entonces existe c1, c2 â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] con f (c1 â&#x2030;¤ f (x â&#x2030;¤ f (c2 SDUD WRGDV ODV x â&#x2C6;&#x2C6; [a, b].

AdemĂĄs, si f es diferenciable en (a, b HQWRQFHV VH SUHVHQWDQ ORV Q~PHURV c1 y c2 ya sea en los extremos de [a, b] o donde f 9 HV FHUR &RQVXOWH OD Ă&#x20AC;JXUD

Figura 1.5 y

y 5 f (x)

c2

a

Ejemplo 1

c1

b

x

Encuentre los valores mĂ­nimo absoluto y mĂĄximo absoluto de f (x = 2 â&#x2C6;&#x2019; ex + 2x en los intervalos a > , 1] y b > , 2].

SoluciĂłn

Comenzamos por derivar f (x SDUD REWHQHU f v(x = â&#x2C6;&#x2019;ex + 2.

f v(x = 0 cuando â&#x2C6;&#x2019;ex + 2 = 0 o de forma equivalente, cuando ex = 2. Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de la ecuaciĂłn obtenemos ln (ex = OQ R x = OQ â&#x2030;&#x2C6;

6

CAPĂ?TULO 1

Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error

a)

Cuando el intervalo es [0, 1], el extremo absoluto debe ocurrir en f , f OQ

R f $O HYDOXDU WHQHPRV

f (0) = 2 â&#x2C6;&#x2019; e0 + 2(0) = 1 f (ln (2)) = 2 â&#x2C6;&#x2019; eln (2) + 2 ln (2) = 2 ln (2) â&#x2030;&#x2C6; 1.38629436112 f (1) = 2 â&#x2C6;&#x2019; e + 2(1) = 4 â&#x2C6;&#x2019; e â&#x2030;&#x2C6; 1.28171817154.

Por lo tanto, el mĂ­nimo absoluto de f (x HQ > @ HV f = 1 y el mĂĄximo absoluto es f OQ

= OQ

b)

Cuando el intervalo es [1, 2], sabemos que f (x) = 0, por lo que el extremo absoluto se presenta en f \ f 3RU OR WDQWR f (2) = 2 â&#x2C6;&#x2019; e2 + 2(2) = 6 â&#x2C6;&#x2019; e2 â&#x2030;&#x2C6; . â&#x2C6;&#x2019;1.3890560983 El mĂ­nimo absoluto en [1, 2] es 6 â&#x2C6;&#x2019; e2 y el mĂĄximo absoluto es 1.

Observamos que

mĂĄx | f (x)| = |6 â&#x2C6;&#x2019; e2 | â&#x2030;&#x2C6; 1.3890560983.

0â&#x2030;¤xâ&#x2030;¤2

En general, el siguiente teorema no se presenta en un curso de cĂĄlculo bĂĄsico, pero se deriva al aplicar el teorema de Rolle sucesivamente a f, f , . . . , \ Ă&#x20AC;QDOPHQWH D f (nâ&#x2C6;&#x2019;1) . Este resultado se considera en el ejercicio 26.

Teorema 1.10

(Teorema generalizado de Rolle) Suponga que f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b] es n veces diferenciable en (a, b 6L f (x = 0 en los n + 1 nĂşmeros distintos a a â&#x2030;¤ x0 < x1 < 7 < xn â&#x2030;¤ b, entonces un nĂşmero c en (x0, xn \ SRU OR WDQWR HQ a, b

existe con f (n (c = 0.

TambiĂŠn utilizaremos con frecuencia el teorema del valor intermedio. A pesar de que esta declaraciĂłn parece razonable, su prueba va mĂĄs allĂĄ del alcance del curso habitual de cĂĄlculo. Sin embargo, se puede encontrar en muchos textos de anĂĄlisis (consulte, por ejemSOR >)X@ S

Teorema 1.11

(Teorema del valor intermedio) Si f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b] y K es cualquier nĂşmero entre f(a \ f (b HQWRQFHV H[LVWH XQ Q~PHUR c en (a, b SDUD HO FXDO f (c = K. /D Ă&#x20AC;JXUD PXHVWUD XQD RSFLyQ SDUD HO Q~PHUR JDUDQWL]DGD SRU HO WHRUHPD GHO YDORU intermedio. En este ejemplo, existen otras dos posibilidades.

Figura 1.6 y f (a)

(a, f (a)) y 5 f (x)

K f (b)

(b, f (b)) a

c

b

x

1.1

Ejemplo 2

RevisiĂłn de cĂĄlculo

7

Muestre que x5 â&#x2C6;&#x2019; 2x + x2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0 tiene una soluciĂłn en el intervalo [0, 1].

SoluciĂłn &RQVLGHUH OD IXQFLyQ GHĂ&#x20AC;QLGD SRU f (x = x5 â&#x2C6;&#x2019; 2x + x2 â&#x2C6;&#x2019; 1. La funciĂłn f es

continua en [0, 1]. AdemĂĄs, f = â&#x2C6;&#x2019;1 < 0

y

0 < 1 = f .

Por lo tanto, el teorema del valor intermedio implica que existe un nĂşmero c, con 0 , c , 1, para el cual c5 â&#x2C6;&#x2019; 2c + c2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0.

Como se observa en el ejemplo 2, el teorema del valor intermedio se utiliza para determinar cuĂĄndo existen soluciones para ciertos problemas. Sin embargo, no provee un medio HĂ&#x20AC;FLHQWH SDUD HQFRQWUDU HVWDV VROXFLRQHV (VWH WHPD VH FRQVLGHUD HQ HO FDStWXOR

IntegraciĂłn El otro concepto bĂĄsico del cĂĄlculo que se utilizarĂĄ ampliamente es la integral de Riemann.

DeďŹ niciĂłn 1.12 George Fredrich Berhard Riemann ² UHDOL]y PXFKRV GH los descubrimientos importantes SDUD FODVLĂ&#x20AC;FDU ODV IXQFLRQHV que tienen integrales. TambiĂŠn realizĂł trabajos fundamentales en geometrĂ­a y la teorĂ­a de funciones complejas y se le considera uno de los matemĂĄticos prolĂ­feros del siglo XIX.

La integral de Riemann de la funciĂłn f en el intervalo [a, b] es el siguiente lĂ­mite, siempre y cuando exista: b a

n

f (x) d x =

lĂ­m

mĂĄx xi â&#x2020;&#x2019;0

f (z i

xi ,

i=1

donde los nĂşmeros x0, x1,7 , xn satisfacen a = x0 â&#x2030;¤ x1 â&#x2030;¤ 7 â&#x2030;¤ xn = b, donde 6xi = xi â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1, para cada i = 1, 2,7 , n, y zi se selecciona de manera arbitraria en el intervalo [ xiâ&#x2C6;&#x2019;1 , xi ].

Una funciĂłn f que es continua en un intervalo [a, b] es tambiĂŠn Riemann integrable en [a, b]. Esto nos permite elegir, para conveniencia computacional, los puntos xi se separarĂĄn equitativamente en [a, b] para cada i = 1, 2, 7 , n, para seleccionar zi = xi. En este caso, b a

bâ&#x2C6;&#x2019;a f (x) d x = lĂ­m nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; n

n

f (xi ), i=1

GRQGH ORV Q~PHURV PRVWUDGRV HQ OD Ă&#x20AC;JXUD FRPR xi, son xi = a + i(b â&#x2C6;&#x2019; a n.

Figura 1.7 y y 5 f (x)

a 5 x 0 x1

x2 . . . x i21 x i

...

x n21 b 5 x n

x

Se necesitarĂĄn otros dos resultados en nuestro estudio para anĂĄlisis numĂŠrico. El primero es una generalizaciĂłn del teorema del valor promedio para integrales.

8

CAPĂ?TULO 1

Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error

Teorema 1.13

(Teorema del valor promedio para integrales) Suponga que f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b], la integral de Riemann de g existe en [a, b], y g(x QR FDPELD GH signo en [a, b]. Entonces existe un nĂşmero c en (a, b FRQ b a

f (x)g(x) d x = f (c)

b a

g(x) d x.

Cuando g(x â&#x2030;Ą HO WHRUHPD HV HO WHRUHPD GHO YDORU PHGLR SDUD LQWHJUDOHV eVWH proporciona el valor promedio de la funciĂłn f sobre el intervalo [a, b] como (consulte la Ă&#x20AC;JXUD

f (c) =

1 bâ&#x2C6;&#x2019;a

b a

f (x) d x.

Figura 1.8 y y 5 f (x) f (c)

a

c

b

x

(Q JHQHUDO OD SUXHED GHO WHRUHPD QR VH GD HQ XQ FXUVR EiVLFR GH FiOFXOR SHUR VH SXHGH HQFRQWUDU HQ PXFKRV WH[WRV GH DQiOLVLV FRQVXOWH SRU HMHPSOR >)X@ S

Polinomios y series de Taylor (O WHRUHPD Ă&#x20AC;QDO HQ HVWD UHYLVLyQ GH FiOFXOR GHVFULEH ORV SROLQRPLRV GH 7D\ORU (VWRV SROLQRmios se usan ampliamente en el anĂĄlisis numĂŠrico.

Teorema 1.14 %URRN 7D\ORU ²

describiĂł esta serie en 1715 en el artĂ­culo Methodus incrementorum directa et inversa (MĂŠtodos para incrementos directos e inversos). Isaac Newton, James Gregory y otros ya conocĂ­an algunos casos especiales del resultado y, probablemente, el resultado mismo.

(Teorema de Taylor) Suponga que f â&#x2C6;&#x2C6; C n [a, b], f (n + existe en [a, b], y x0 â&#x2C6;&#x2C6; [a, b]. Para cada x â&#x2C6;&#x2C6; [a, b], existe un nĂşmero Ξ(x) entre x0 y x con

f (x) = Pn (x) + Rn (x), donde

Pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + n

= k=0

f (k) (x0 ) (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )k k!

f (x0 ) f (n) (x0 ) (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )2 + ¡ ¡ ¡ + (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )n 2! n!

1.1

RevisiĂłn de cĂĄlculo

9

y

Rn (x) = &ROLQ 0DFODXULQ HV mĂĄs conocido como el defensor del cĂĄlculo de Newton cuando ĂŠste fue objeto de los ataques LPSODFDEOHV GHO RELVSR \ Ă&#x20AC;OyVRIR irlandĂŠs George Berkeley.

Maclaurin no descubriĂł la serie que lleva su nombre; los matemĂĄticos del siglo ya la conocĂ­an desde antes de que ĂŠl naciera. Sin embargo, concibiĂł un mĂŠtodo para resolver un sistema de ecuaciones lineales que se conoce como regla de Cramer, que Cramer no publicĂł hasta 1750.

Ejemplo 3

f (n+1) (Ξ(x)) (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )n+1 . (n + 1)!

AquĂ­ Pn(x HV OODPDGR HO n-ĂŠsimo polinomio de Taylor para f alrededor de x0 y Rn(x

recibe el nombre de residuo (o error de truncamiento UHODFLRQDGR FRQ Pn(x 3XHVWR TXH HO nĂşmero Ξ(x) en el error de truncamiento Rn(x GHSHQGH GHO YDORU GH x donde se evalĂşa el polinomio Pn(x HV XQD IXQFLyQ GH OD YDULDEOH x. Sin embargo, no deberĂ­amos esperar ser capaces de determinar la funciĂłn Ξ(x) de manera explĂ­cita. El teorema de Taylor simplemente garantiza que esta funciĂłn existe y que su valor se encuentra entre x y x0. De hecho, uno de los problemas comunes en los mĂŠtodos numĂŠricos es tratar de determinar un lĂ­mite realista para el valor de f (n+1) (Ξ(x)) cuando x VH HQFXHQWUD HQ XQ LQWHUYDOR HVSHFtĂ&#x20AC;FR /D VHULH LQĂ&#x20AC;QLWD REWHQLGD DO WRPDU HO OtPLWH GH Pn(x FRQIRUPH n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; recibe el nombre de serie de Taylor para f alrededor de x0. En caso de que x0 = 0, entonces al polinomio de Taylor con frecuencia se le llama polinomio de Maclaurin y a la serie de Taylor a menudo se le conoce como serie de Maclaurin.

El tĂŠrmino error de truncamiento HQ HO SROLQRPLR GH 7D\ORU VH UHĂ&#x20AC;HUH DO HUURU LPSOLFDGR DO XWLOL]DU XQD VXPD WUXQFDGD R Ă&#x20AC;QLWD SDUD DSUR[LPDU OD VXPD GH XQD VHULH LQĂ&#x20AC;QLWD Si f(x = cos x y x0 = 0. Determine a)

el segundo polinomio de Taylor para f alrededor de x0; y

b)

el tercer polinomio de Taylor para f alrededor de x0.

SoluciĂłn

Puesto que f â&#x2C6;&#x2C6; C â&#x2C6;&#x17E; (R), el teorema de Taylor puede aplicarse a cualquiera n â&#x2030;Ľ 0.

AdemĂĄs,

f (x) = â&#x2C6;&#x2019; sen x, f (x) = â&#x2C6;&#x2019; cos x, f (x) = sen x, y

f (4) (x) = cos x,

Por lo tanto f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = â&#x2C6;&#x2019;1, a)

y

f (0) = 0.

Para n = 2 y x0 = 0, obtenemos cos x = f (0) + f (0)x +

f (0) 2 f (Ξ(x)) 3 x + x 2!

3!

1 1 = 1 â&#x2C6;&#x2019; x 2 + x 3 sen Ξ(x), 2 6 donde Ξ(x) HV DOJ~Q Q~PHUR SRU OR JHQHUDO GHVFRQRFLGR HQWUH \ x &RQVXOWH OD Ă&#x20AC;JXUD

Figura 1.9 y

1 p 22 2

2p

y 5 cos x p 2 2 p

1 2

y 5 P2(x) 5 1 2 2 x 2

x

10

CAPĂ?TULO 1

Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error

Cuando x = 0.01, esto se convierte en

1 1 10â&#x2C6;&#x2019;6 cos 0.01 = 1 â&#x2C6;&#x2019; (0.01)2 + (0.01)3 sen Ξ(0.01) = 0.99995 + sen Ξ(0.01).

2 6 6 Por lo tanto, la aproximaciĂłn para cos 0.01 provista por el polinomio de Taylor es 0.99995.

El error de truncamiento, o tĂŠrmino restante, relacionado con esta aproximaciĂłn es

10â&#x2C6;&#x2019;6 sen Ξ(0.01) = 0.16 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 sen Ξ(0.01), 6 donde la barra sobre el 6 en 0 .16 VH XWLOL]D SDUD LQGLFDU TXH HVWH GtJLWR VH UHSLWH LQGHĂ&#x20AC;QLGDmente. A pesar de que no existe una forma de determinar sen Ξ(0.01), sabemos que todos los valores del seno se encuentran en el intervalo [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], por lo que el error que se presenta si utilizamos la aproximaciĂłn 0.99995 para el valor de cos 0.01 estĂĄ limitado por

| cos(0.01) â&#x2C6;&#x2019; 0.99995| = 0.16 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 | sen Ξ(0.01)| â&#x2030;¤ 0.16 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 .

Por lo tanto, la aproximaciĂłn 0.99995 corresponde por lo menos a los primeros cinco dĂ­gitos de cos 0.01 y

0.9999483 < 0.99995 â&#x2C6;&#x2019; 1.6 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2030;¤ cos 0.01 â&#x2030;¤ 0.99995 + 1.6 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 < 0.9999517.

El lĂ­mite del error es mucho mĂĄs grande que el error real. Esto se debe, en parte, al escaso lĂ­mite que usamos para | sen Ξ(x)|. En el ejercicio 27 se muestra que para todos los valores de x, tenemos | sen x| â&#x2030;¤ |x|. Puesto que 0 â&#x2030;¤ Ξ < 0.01, podrĂ­amos haber usado el hecho de que | sen Ξ(x)| â&#x2030;¤ 0.01 en la fĂłrmula de error, lo cual produce el lĂ­mite 0.16 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;8 . b) Puesto que f (0) = 0, el tercer polinomio de Taylor con el tĂŠrmino restante alrededor de x0 = 0 es

1 1 cos x = 1 â&#x2C6;&#x2019; x 2 + x 4 cos ΞË&#x153; (x), 2 24 donde 0 < ΞË&#x153; (x) < 0.01. El polinomio de aproximaciĂłn sigue siendo el mismo y la aproximaciĂłn sigue siendo 0.99995, pero ahora tenemos mayor precisiĂłn. Puesto que | cos ΞË&#x153; (x)| â&#x2030;¤ 1 para todas las x, obtenemos

1 4 1 x cos ΞË&#x153; (x) â&#x2030;¤ (0.01)4 (1) â&#x2030;&#x2C6; 4.2 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;10 .

24 24 por lo tanto

| cos 0.01 â&#x2C6;&#x2019; 0.99995| â&#x2030;¤ 4.2 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;10 , y

0.99994999958 = 0.99995 â&#x2C6;&#x2019; 4.2 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;10 â&#x2030;¤ cos 0.01 â&#x2030;¤ 0.99995 + 4.2 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;10 = 0.99995000042.

(O HMHPSOR LOXVWUD ORV GRV REMHWLYRV GHO DQiOLVLV QXPpULFR i)

Encuentre una aproximaciĂłn a la soluciĂłn de un problema determinado.

ii)

Determine un lĂ­mite o cota para la precisiĂłn de la aproximaciĂłn.

/RV SROLQRPLRV GH 7D\ORU HQ DPEDV SDUWHV SURSRUFLRQDQ OD PLVPD UHVSXHVWD SDUD L SHUR HO WHUFHUR SURYHH XQD UHVSXHVWD PXFKR PHMRU SDUD LL TXH HO VHJXQGR 7DPELpQ SRGHPRV XWLOL]DU estos polinomios para obtener aproximaciones de las integrales.

1.2

IlustraciĂłn

Errores de redondeo y aritmĂŠtica computacional

11

Podemos utilizar el tercer polinomio de Taylor y su tĂŠrmino restante encontrado en el ejem0.1 SOR SDUD DSUR[LPDU 0 cos x d x. Tenemos 0.1

0.1

cos x d x =

0

0

1 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 2 0.1

1 = x â&#x2C6;&#x2019; x3 6

+ 0

dx + 1 24

1 1 = 0.1 â&#x2C6;&#x2019; (0.1)3 + 6 24

1 24

0.1

0.1

x 4 cos ΞË&#x153; (x) d x

0

x 4 cos ΞË&#x153; (x) d x

0 0.1

x 4 cos ΞË&#x153; (x) d x.

0

Por lo tanto, 0.1 0

1 cos x d x â&#x2030;&#x2C6; 0.1 â&#x2C6;&#x2019; (0.1)3 = 0.09983.

6

Un lĂ­mite o cota para el error en esta aproximaciĂłn se determina a partir de la integral del tĂŠrmino restante de Taylor y el hecho de que | cos ΞË&#x153; (x)| â&#x2030;¤ 1 para todas las x:

1 24

0.1 0

1 x 4 cos ΞË&#x153; (x) d x â&#x2030;¤ 24 â&#x2030;¤

1 24

0.1

x 4 | cos ΞË&#x153; (x)| d x

0 0.1 0

x4 dx =

(0.1)5 = 8.3 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;8 .

120

El valor verdadero de esta integral es 0.1 0

0.1

cos x d x = sen x

= sen 0.1 â&#x2030;&#x2C6; 0.099833416647, 0

por lo que el error real para esta aproximaciĂłn es 8. Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;8, que se encuentra dentro del lĂ­mite del error.

La secciĂłn Conjunto de ejercicios 1.1 estĂĄ disponible en lĂ­nea. Encuentre la ruta de acceso en las pĂĄginas preliminares.

1.2 Errores de redondeo y aritmĂŠtica computacional La aritmĂŠtica realizada con una calculadora o computadora es diferente a la aritmĂŠtica que se imparte en los cursos â&#x2C6;&#x161; de ĂĄlgebra y cĂĄlculo. PodrĂ­a esperarse que declaraciones como 2 +2 = 4, 4¡8 = 32, y ( 3)2 = 3 siempre sean verdaderas; sin embargo con la aritmĂŠtica computacional, esperamos resultados exactos para 2 + 2 = 4 y 4 ¡ 8 = 32, pero no obtendreâ&#x2C6;&#x161; mos exactamente ( 3)2 = 3. Para comprender por quĂŠ esto es verdadero, debemos explorar HO PXQGR GH OD DULWPpWLFD GH GtJLWRV Ă&#x20AC;QLWRV (Q QXHVWUR PXQGR PDWHPiWLFR WUDGLFLRQDO SHUPLWLPRV Q~PHURV FRQ XQD FDQWLGDG LQĂ&#x20AC;QLâ&#x2C6;&#x161; ta de dĂ­gitos. La aritmĂŠtica que usamos en este mundo GHĂ&#x20AC;QH 3 como el Ăşnico nĂşmero poVLWLYR TXH FXDQGR VH PXOWLSOLFD SRU Vt PLVPR SURGXFH HO HQWHUR 1R REVWDQWH HQ HO PXQGR computacional, cada nĂşmero representable sĂłOR WLHQH XQ Q~PHUR Ă&#x20AC;MR \ Ă&#x20AC;QLWR GH GtJLWRV (VWR VLJQLĂ&#x20AC;FD TXH SRU HMHPSOR VĂłlo los nĂşmeros racionales, e incluso no todos ellos, se pueden â&#x2C6;&#x161; representar de forma exacta. Ya que 3 no es racional, se proporciona una representaciĂłn DSUR[LPDGD FX\R FXDGUDGR QR VHUi H[DFWDPHQWH D SHVDU GH TXH HV SUREDEOH TXH HVWp VXĂ&#x20AC;FLHQWHPHQWH FHUFD GH SDUD VHU DFHSWDEOH HQ OD PD\RUtD GH ODV VLWXDFLRQHV (QWRQFHV HQ PXchos casos, esta aritmĂŠtica mecĂĄnica es satisfactoria y pasa sin importancia o preocupaciĂłn, pero algunas veces surgen problemas debido a su discrepancia.

12

CAPĂ?TULO 1

Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error

El error debido al redondeo deberĂ­a esperarse siempre que se realizan cĂĄlculos con nĂşmeros que no son potencias de 2.

Mantener este error bajo control es en extremo importante cuando el nĂşmero de cĂĄlculos es grande.

El error que se produce cuando se utiliza una calculadora o computadora para realizar cĂĄlculos con nĂşmeros reales recibe el nombre de error de redondeo. Se presenta porque la DULWPpWLFD UHDOL]DGD HQ XQD PiTXLQD LQFOX\H Q~PHURV FRQ XQ VROR Q~PHUR Ă&#x20AC;QLWR GH GtJLWRV y esto da como resultado cĂĄlculos realizados Ăşnicamente con representaciones aproximadas de los nĂşmeros reales. En una computadora, sĂłlo un subconjunto relativamente pequeĂąo del sistema de nĂşmeros reales se usa para la representaciĂłn de todos los nĂşmeros reales. Este subconjunto sĂłlo contiene nĂşmeros racionales, tanto positivos como negativos, y almacena la parte fraccionaria, junto con una parte exponencial.

NĂşmeros de mĂĄquina binarios En 1985, el Instituto para Ingenieros ElĂŠctricos y ElectrĂłnicos (IEEE; Institute for ElectriFDO DQG (OHFWURQLF (QJLQHHUV SXEOLFy XQ UHSRUWH OODPDGR Binary Floating Point Arithmetic 6WDQGDUG ² (VWiQGDU SDUD OD DULWPpWLFD ELQDULD GH SXQWR Ă RWDQWH . En 2008 se publicĂł una versiĂłn actualizada con el nombre de IEEE 754-2008; la cual proporciona esWiQGDUHV SDUD Q~PHURV GH SXQWR Ă RWDQWH GHFLPDOHV \ ELQDULRV IRUPDWRV SDUD LQWHUFDPELR de datos, algoritmos para redondear operaciones aritmĂŠticas y manejo de excepciones. Se HVSHFLĂ&#x20AC;FD FXiOHV VRQ ORV IRUPDWRV SDUD ODV SUHFLVLRQHV LQGLYLGXDOHV GREOHV \ DPSOLDGDV \ HQ JHQHUDO WRGRV ORV IDEULFDQWHV GH PLFURFRPSXWDGRUDV TXH XWLOL]DQ KDUGZDUH GH SXQWR Ă RWDQWH siguen estos estĂĄndares.

8QD UHSUHVHQWDFLyQ GH ELWV GtJLWR ELQDULR VH XVD SDUD XQ Q~PHUR UHDO (O SULPHU ELW es un indicador de signo, denominado s. A ĂŠste le sigue un exponente de 11 bits, c, llamado caracterĂ­stica, y una fracciĂłn binaria de 52 bits, f, llamada mantisa. La base para el exponente es 2.

Puesto que los 52 dĂ­gitos binarios corresponden con dĂ­gitos decimales entre 16 y 17, podemos asumir que un nĂşmero representado en este sistema tiene por lo menos 16 dĂ­gitos decimales de precisiĂłn. El exponente de 11 dĂ­gitos binarios provee un rango de 0 a 211 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 6LQ HPEDUJR XVDU VyOR HQWHURV SRVLWLYRV SDUD HO H[SRQHQWH QR SHUPLWLUtD XQD UHpresentaciĂłn adecuada de los nĂşmeros con magnitud pequeĂąa. Para garantizar que estos Q~PHURV VRQ LJXDOPHQWH UHSUHVHQWDEOHV VH UHVWD D OD FDUDFWHUtVWLFD SRU OR TXH HO UDQJR del exponente en realidad se encuentra entre â&#x2C6;&#x2019; \ Para ahorrar almacenamiento y proporcionar una representaciĂłn Ăşnica para cada nĂşmero GH SXQWR Ă RWDQWH VH LPSRQH XQD QRUPDOL]DFLyQ 3RU PHGLR GH HVWH VLVWHPD REWHQHPRV XQ Q~PHUR GH SXQWR Ă RWDQWH GH OD IRUPD

(â&#x2C6;&#x2019;1)s 2câ&#x2C6;&#x2019;1023 (1 + f ).

IlustraciĂłn

Considere el nĂşmero de mĂĄquina 0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000.

El bit mĂĄs a la izquierda es s = 0, lo cual indica que es un nĂşmero positivo. Los siguientes 11 bits, 10000000011, proveen la caracterĂ­stica y son equivalentes al nĂşmero decimal

c = 1 ¡ 210 + 0 ¡ 29 + ¡ ¡ ¡ + 0 ¡ 22 + 1 ¡ 21 + 1 ¡ 20 = 1024 + 2 + 1 = 1027.

La parte exponencial del nĂşmero es, por lo tanto, 21027â&#x2C6;&#x2019;1023 = 24 /RV ELWV Ă&#x20AC;QDOHV HVSHFLĂ&#x20AC;FDQ TXH OD PDQWLVD HV

f =1¡

1 2

1

+1¡

1 2

3

+1¡

1 2

4

+1¡

1 2

5

+1¡

1 2

8

+1¡

1 2

12

.

1.2

Errores de redondeo y aritmĂŠtica computacional

13

Como secuencia, este nĂşmero de mĂĄquina representa precisamente el nĂşmero decimal

(â&#x2C6;&#x2019;1)s 2câ&#x2C6;&#x2019;1023 (1 + f ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)0 ¡ 21027â&#x2C6;&#x2019;1023 1 +

1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 8 16 32 256 4096

= 27.56640625.

Sin embargo, el siguiente nĂşmero de mĂĄquina mĂĄs pequeĂąo es 0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111, el siguiente nĂşmero de mĂĄquina mĂĄs grande es 0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001.

(VWR VLJQLĂ&#x20AC;FD TXH QXHVWUR Q~PHUR GH PiTXLQD RULJLQDO QR VĂłOR UHSUHVHQWD VLQR WDPELpQ OD PLWDG GH ORV Q~PHURV UHDOHV TXH VH HQFXHQWUDQ HQWUH \ HO VLJXLHQWH Q~PHUR GH PiTXLQD PiV SHTXHxR DVt FRPR OD PLWDG GH ORV Q~PHURV HQWUH \ el siguiente nĂşmero de mĂĄquina mĂĄs grande. Para ser preciso, representa cualquier nĂşmero >

El nĂşmero positivo normalizado mĂĄs pequeĂąo que se puede representar tiene s = 0, c = 1, y f = 0 y es equivalente

2â&#x2C6;&#x2019;1022 ¡ (1 + 0) â&#x2030;&#x2C6; 0.22251 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;307 , y el mĂĄs grande tiene s = 0, c = \ f = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019;52 y es equivalente a

21023 ¡ (2 â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019;52 ) â&#x2030;&#x2C6; 0.17977 Ă&#x2014; 10309 .

Los nĂşmeros que se presentan en los cĂĄlculos que tienen una magnitud menor que

2â&#x2C6;&#x2019;1022 ¡ (1 + 0) resultan en un subdesbordamiento \ HQ JHQHUDO VH FRQĂ&#x20AC;JXUDQ HQ FHUR /RV Q~PHURV VXSHriores a

21023 ¡ (2 â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019;52 ) resultan en desbordamiento y, comĂşnmente, causan que los cĂĄlculos se detengan (a menos TXH HO SURJUDPD KD\D VLGR GLVHxDGR SDUD GHWHFWDU HVWDV SUHVHQFLDV 2EVHUYH TXH H[LVWHQ dos representaciones para el nĂşmero cero: un 0 positivo cuando s = 0, c = 0 y f = 0, y un 0 negativo cuando s = 1, c = 0 y f = 0.

NĂşmeros de mĂĄquina decimales (O XVR GH GtJLWRV ELQDULRV WLHQGH D RFXOWDU ODV GLĂ&#x20AC;FXOWDGHV FRPSXWDFLRQDOHV TXH VH SUHVHQWDQ FXDQGR VH XVD XQD FROHFFLyQ Ă&#x20AC;QLWD GH Q~PHURV GH PiTXLQD SDUD UHSUHVHQWDU WRGRV ORV Q~PHros reales. Para examinar estos problemas, utilizaremos nĂşmeros decimales mĂĄs familiares HQ OXJDU GH XQD UHSUHVHQWDFLyQ ELQDULD (Q HVSHFtĂ&#x20AC;FR VXSRQHPRV TXH ORV Q~PHURV PiTXLQD VH UHSUHVHQWDQ HQ IRUPDWR QRUPDOL]DGR GH SXQWR Ă RWDQWH decimal

Âą0.d1 d2 . . . dk Ă&#x2014; 10n ,

1 â&#x2030;¤ d1 â&#x2030;¤ 9,

y

0 â&#x2030;¤ di â&#x2030;¤ 9,

14

CAPĂ?TULO 1

Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error

para cada i = 2, . . . , k. Los nĂşmeros de esta forma reciben el nombre de nĂşmeros de mĂĄquina decimales de dĂ­gito k.

Cualquier nĂşmero real positivo dentro del rango numĂŠrico de la mĂĄquina puede ser normalizado a la forma

y = 0.d1 d2 . . . dk dk+1 dk+2 . . . Ă&#x2014; 10n .

El error que resulta de reemplazar un nĂşmero con HVWD IRUPD GH SXQWR Ă RWDQWH se llama error de redondeo, independientemente de si se usa el mĂŠtodo de redondeo o de corte.

/D IRUPD GH SXQWR Ă RWDQWH GH \ TXH VH GHQRWD fl(y , se obtiene al terminar la mantisa de y en los dĂ­gitos decimales de k. Existen dos maneras comunes para realizar esta terminaciĂłn.

Un mĂŠtodo, llamado de corte, es simplemente cortar los dĂ­gitos dk+1 dk+2 . . . Esto produce OD IRUPD GH SXQWR Ă RWDQWH

f l(y) = 0.d1 d2 . . . dk Ă&#x2014; 10n .

El otro mĂŠtodo, llamado redondeo, suma 5 Ă&#x2014; 10nâ&#x2C6;&#x2019;(k+1) a y y entonces corta el resultado para obtener un nĂşmero con la forma

f l(y) = 0.δ1 δ2 . . . δk Ă&#x2014; 10n .

Para redondear, cuando dk+1 â&#x2030;Ľ 5, sumamos 1 a dk para obtener fl(y HV GHFLU redondeamos hacia arriba. Cuando dk+1 < 5, simplemente cortamos todo, excepto los primeros dĂ­gitos k; es decir, redondeamos hacia abajo. Si redondeamos hacia abajo, entonces δi = di, para cada i = 1, 2, . . . , k. Sin embargo, si redondeamos hacia arriba, los dĂ­gitos (e incluso el H[SRQHQWH SXHGHQ FDPELDU Ejemplo 1

'HWHUPLQH ORV YDORUHV D GH FRUWH \ E GH UHGRQGHR GH FLQFR GtJLWRV GHO Q~PHUR LUUDFLRQDO Ď&#x20AC;.

SoluciĂłn El nĂşmero Ď&#x20AC; WLHQH XQD H[SDQVLyQ GHFLPDO LQĂ&#x20AC;QLWD GH OD IRUPD Ď&#x20AC; = ....

Escrito en una forma decimal normalizada, tenemos

Ď&#x20AC; = 0.314159265 . . . Ă&#x2014; 101 .

En general, el error relativo es una mejor mediciĂłn de precisiĂłn que el error absoluto porque considera el tamaĂąo del nĂşmero que se va a aproximar.

a) (O IRUPDWR GH SXQWR Ă RWDQWH GH Ď&#x20AC; usando el recorte de cinco dĂ­gitos es

f l(Ď&#x20AC; ) = 0.31415 Ă&#x2014; 101 = 3.1415. b) El sexto dĂ­gito de la expansiĂłn decimal de Ď&#x20AC; es un 9, por lo que el formato de punto Ă RWDQWH GH Ď&#x20AC; con redondeo de cinco dĂ­gitos es

f l(Ď&#x20AC; ) = (0.31415 + 0.00001) Ă&#x2014; 101 = 3.1416. /D VLJXLHQWH GHĂ&#x20AC;QLFLyQ GHVFULEH WUHV PpWRGRV SDUD PHGLU HUURUHV GH DSUR[LPDFLyQ DeďŹ niciĂłn 1.15

Suponga que p â&#x2C6;&#x2014; es una aproximaciĂłn a p. El error real es p â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2014;, el error absoluto es | p â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2014; | | p â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2014; |, y el error relativo es , siempre y cuando p = 0. | p| Considere los errores real, absoluto y relativo al representar p con p â&#x2C6;&#x2014; en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Determine los errores real, absoluto y relativo al aproximar p con p â&#x2C6;&#x2014; cuando

a)

p = 0.3000 Ă&#x2014; 101 y p â&#x2C6;&#x2014; = 0.3100 Ă&#x2014; 101 ;

b)

p = 0.3000 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;3 y p â&#x2C6;&#x2014; = 0.3100 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;3 ;

c)

p = 0.3000 Ă&#x2014; 104 y p â&#x2C6;&#x2014; = 0.3100 Ă&#x2014; 104 .

1.2 SoluciĂłn

a) b) A menudo no podemos encontrar un valor preciso para el error verdadero en una aproximaciĂłn.

Por el contrario, encontramos una cota para el error, lo cual nos proporciona un error del â&#x20AC;&#x153;peor casoâ&#x20AC;?.

c)

15

Errores de redondeo y aritmĂŠtica computacional

Para p = Ă&#x2014; 101 y p â&#x2C6;&#x2014; = Ă&#x2014; 101, el error real es <0.1, el error absoluto es 0.1 y el error relativo es 0.3333 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;1.

Para p = Ă&#x2014; 10ĂŻ y p â&#x2C6;&#x2014; = Ă&#x2014; 10ĂŻ , el error real es <0.1 Ă&#x2014; 10ĂŻ , el error absoluto es 0.1 Ă&#x2014; 10ĂŻ y el error relativo es 0.3333 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;1.

Para p = Ă&#x2014; 10 y p â&#x2C6;&#x2014; = Ă&#x2014; HO HUURU UHDO HV ĂŻ Ă&#x2014; 10 , el error absoluto es 0.1 Ă&#x2014; 10 y, de nuevo, el error relativo es 0.3333 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;1 .

Este ejemplo muestra que el mismo error relativo, 0.3333 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;1, se presenta para errores absolutos ampliamente variables. Como una medida de precisiĂłn, el error absoluto puede ser HQJDxRVR \ HO HUURU UHODWLYR PiV VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYR GHELGR D TXH HVWH HUURU FRQVLGHUD HO WDPDxR del valor.

Un lĂ­mite de error es un nĂşmero no negativo mayor que el error absoluto. Algunas veces se obtiene con los mĂŠtodos de cĂĄlculo para encontrar el valor absoluto mĂĄximo de una IXQFLyQ (VSHUDPRV HQFRQWUDU HO OtPLWH VXSHULRU PiV SHTXHxR SRVLEOH SDUD HO HUURU D Ă&#x20AC;Q GH obtener un estimado del error real que es lo mĂĄs preciso posible. /D VLJXLHQWH GHĂ&#x20AC;QLFLyQ XVD HO HUURU UHODWLYR SDUD SURSRUFLRQDU XQD PHGLGD GH GtJLWRV VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYRV GH SUHFLVLyQ SDUD XQD DSUR[LPDFLyQ

DeďŹ niciĂłn 1.16 A menudo, el tĂŠrmino dĂ­gitos VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYRV se usa para describir vagamente el nĂşmero de dĂ­gitos decimales que parecen VHU H[DFWRV /D GHĂ&#x20AC;QLFLyQ HV PiV precisa y provee un concepto continuo.

Tabla 1.1

Se dice que el nĂşmero p â&#x2C6;&#x2014; se aproxima a p para t GtJLWRV VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYRV R FLIUDV VL t es el entero no negativo mĂĄs grande para el que

| p â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2014; | â&#x2030;¤ 5 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;t . | p| /D WDEOD LOXVWUD OD QDWXUDOH]D FRQWLQXD GH ORV GtJLWRV VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYRV DO HQXPHUDU SDUD los diferentes valores de p, el lĂ­mite superior mĂ­nimo de | p â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2014; |, denominado mĂĄx. | p â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2014; |, cuando p â&#x2C6;&#x2014; concuerda con p HQ FXDWUR GtJLWRV VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYRV

p

0.1

0.5

100

1000

5000

9990

10000

mĂĄx | p â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2014; |

0.00005

0.00025

0.05

0.5

2.5

4.995

5.

Al regresar a la representaciĂłn de los nĂşmeros de mĂĄquina, observamos que la represenWDFLyQ GH SXQWR Ă RWDQWH f l(y SDUD HO Q~PHUR y tiene el error relativo

y â&#x2C6;&#x2019; f l(y) . y Si se usan k dĂ­gitos decimales y corte para la representaciĂłn de mĂĄquina de

y = 0.d1 d2 . . . dk dk+1 . . . Ă&#x2014; 10n , entonces

y â&#x2C6;&#x2019; f l(y) 0.d1 d2 . . . dk dk+1 . . . Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 0.d1 d2 . . . dk Ă&#x2014; 10n = y 0.d1 d2 . . . Ă&#x2014; 10n =

0.dk+1 dk+2 . . .

0.dk+1 dk+2 . . . Ă&#x2014; 10nâ&#x2C6;&#x2019;k = Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;k . n 0.d1 d2 . . . Ă&#x2014; 10 0.d1 d2 . . .

CAPÍTULO

Interpolación y aproximación polinomial

Introducción Se realiza un censo de la población de Estados Unidos cada 10 años. La siguiente tabla muestra la población, en miles de personas, desde 1960 hasta 2010, y los datos también se UHSUHVHQWDQ HQ OD ÀJXUD Año Población (en miles)

1960

1970

1980

1990

2000

2010

179 323

203 302

226542

249 633

281 422

308 746

P(t) 3 3 10 8

2 3 10 8 Población

3

1 3 10 8

1960 1970 1980 1990 2000 2010 Año

t

Al revisar estos datos, podríamos preguntar si se podrían usar para efectuar un cálculo razonable de la población, digamos, en 1975 o incluso en el año 2020. Las predicciones de este tipo pueden obtenerse por medio de una función que se ajuste a los datos proporcionados. Este proceso recibe el nombre de interpolación y es el tema de este capítulo. Este problema de población se considera a lo largo del capítulo y en los ejercicios 19 de la sección 3.1, 17 de la sección 3.3 y 24 de la sección 3.5.

77

78

CAPĂ?TULO 3

InterpolaciĂłn y aproximaciĂłn polinomial

3.1 InterpolaciĂłn y el polinomio de Lagrange Una de las clases mĂĄs Ăştiles y conocidas de funciones que mapean el conjunto de nĂşmeros reales en sĂ­ mismo son los polinomios algebraicos, el conjunto de funciones de la forma

Pn (x) = an x n + anâ&#x2C6;&#x2019;1 x nâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + a1 x + a0 , donde n es un entero positivo y a0, 7, an son constantes reales. Una razĂłn de su importancia es que se aproximan de manera uniforme a las funciones continuas. Con esto queremos decir TXH GDGD XQD IXQFLyQ GHĂ&#x20AC;QLGD \ FRQWLQXD VREUH XQ LQWHUYDOR FHUUDGR \ DFRWDGR H[LVWH XQ polinomio que estĂĄ tan â&#x20AC;&#x153;cercaâ&#x20AC;? de la funciĂłn dada como se desee. Este resultado se expresa FRQ SUHFLVLyQ HQ HO WHRUHPD GH DSUR[LPDFLyQ GH :HLHUVWUDVV FRQVXOWH OD Ă&#x20AC;JXUD

Figura 3.1 y

y 5 f (x) 1 y 5 P (x) y 5 f (x) y 5 f (x) 2

a

Teorema 3.1

b

x

(Teorema de aproximaciĂłn de Weierstrass) Suponga que f HVWi GHĂ&#x20AC;QLGD \ HV FRQWLQXD HQ >a, b]. Para cada . 0, existe un polinomio P (x), con la propiedad de que

A menudo, se hace referencia a Karl Weierstrass (1815â&#x20AC;&#x201C;1897) como el padre del anĂĄlisis moderno debido a su insistencia sobre el rigor en la demostraciĂłn de resultados matemĂĄticos. Fue fundamental para el desarrollo de pruebas de convergencia de series y para determinar formas GH GHĂ&#x20AC;QLU ULJXURVDPHQWH ORV nĂşmeros irracionales. Fue el primero en demostrar que una funciĂłn podrĂ­a ser continua en todas partes, pero diferenciable en ninguna parte, un resultado que escandalizĂł a algunos de sus contemporĂĄneos.

| f (x) â&#x2C6;&#x2019; P(x)|

para todas las x en [a, b].

La prueba de este teorema se puede encontrar en la mayoría de los textos båsicos sobre DQiOLVLV UHDO FRQVXOWH SRU HMHPSOR >%DUW@ SS ²

Otra razĂłn importante para considerar la clase de polinomios en la aproximaciĂłn de IXQFLRQHV HV TXH OD GHULYDGD \ OD LQWHJUDO LQGHĂ&#x20AC;QLGD GH XQ SROLQRPLR VRQ IiFLOHV GH GHWHUPLnar y tambiĂŠn son polinomios. Por esta razĂłn, a menudo se usan polinomios para aproximar funciones continuas.

Los polinomios de Taylor se presentaron en la secciĂłn 1.1, donde se describieron como uno de los componentes bĂĄsicos del anĂĄlisis numĂŠrico. Debido a su importancia, se podrĂ­a esperar que la aproximaciĂłn polinomial usarĂĄ estas funciones en gran medida; sin embargo, ĂŠste no es el caso. Los polinomios de Taylor concuerdan tanto como es posible con una IXQFLyQ GDGD HQ XQ SXQWR HVSHFtĂ&#x20AC;FR SHUR FRQFHQWUDQ VX SUHFLVLyQ FHUFD GH HVH SXQWR 8Q buen polinomio de aproximaciĂłn debe dar precisiĂłn relativa sobre un intervalo completo y, en general, los polinomios de Taylor no lo hacen. Por ejemplo, suponga que calculamos los

3.1

InterpolaciĂłn y el polinomio de Lagrange

79

primeros seis polinomios de Taylor alrededor de x0 5 0 para f (x) 5 e x. Ya que las derivadas de f (x) son todas ex, que evaluadas en x0 5 0 dan 1, los polinomios de Taylor son Se publicĂł muy poco del trabajo de Weierstrass durante su vida; no obstante, sus conferencias, en especial sobre la teorĂ­a de las IXQFLRQHV LQĂ X\HURQ GH PDQHUD VLJQLĂ&#x20AC;FDWLYD HQ XQD JHQHUDFLyQ completa de estudiantes.

P0 (x) = 1,

P1 (x) = 1 + x,

P4 (x) = 1 + x +

x2 , 2

P2 (x) = 1 + x +

x3 x4 x2 + + , 2 6 24

P3 (x) = 1 + x +

P5 (x) = 1 + x +

y

x3 x2 + , 2 6

x3 x4 x5 x2 + + + .

2 6 24 120

/DV JUiĂ&#x20AC;FDV GH ORV SROLQRPLRV VH PXHVWUDQ HQ OD Ă&#x20AC;JXUD REVHUYH TXH LQFOXVR SDUD los polinomios de grado mĂĄs alto, el error empeora progresivamente conforme nos alejamos de cero).

Figura 3.2 y 20

y 5 P5(x)

y 5 ex

y 5 P4(x)

15

y 5 P3(x) 10

y 5 P2(x)

5

y 5 P1(x) y 5 P0(x)

21

2

1

x

3

Aunque se obtienen mejores aproximaciones para f (x) 5 e x si se usan polinomios de Taylor, esto no es verdad para todas las funciones. Considere, como un ejemplo extremo, usar la expansiĂłn en polinomios de Taylor de diferentes grados para f (x) 5 1/ x alrededor de x0 5 1 para aproximar f (3) 5 1/3. Puesto que

f (x) = x â&#x2C6;&#x2019;1 , f (x) = â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019;2 , f (x) = (â&#x2C6;&#x2019;1)2 2 ¡ x â&#x2C6;&#x2019;3 , y, en general,

f (k) (x) = (â&#x2C6;&#x2019;1)k k!x â&#x2C6;&#x2019;kâ&#x2C6;&#x2019;1 , los polinomios de Taylor son n

Pn (x) = k=0

f (k) (1) (x â&#x2C6;&#x2019; 1)k = k!

n

(â&#x2C6;&#x2019;1)k (x â&#x2C6;&#x2019; 1)k .

k=0

Para aproximar f (3) 5 1/3 mediante P n (3) para valores cada vez mayores de n, obtenemos los valores en la tabla 3.1 (ÂĄun terrible fracaso!). Cuando aproximamos f (3) 5 1/3 mediante P n (3) y para valores mĂĄs grandes de n, la aproximaciĂłn se vuelve cada vez mĂĄs imprecisa.

Tabla 3.1

n

0

1

2

3

4

5

6

7

Pn (3)

1

â&#x2C6;&#x2019;1

3

â&#x2C6;&#x2019;5

11

â&#x2C6;&#x2019;21

43

â&#x2C6;&#x2019;85

80

CAPĂ?TULO 3

InterpolaciĂłn y aproximaciĂłn polinomial

Para los polinomios de Taylor, toda la informaciĂłn que se usa en la aproximaciĂłn se concentra en el Ăşnico nĂşmero x0, por lo que, en general, ĂŠstos darĂĄn aproximaciones imprecisas conforme nos alejamos de x0. Esto limita la aproximaciĂłn de polinomios de Taylor a situaciones en las que las aproximaciones sĂłlo se necesitan en nĂşmeros cercanos a x0. Para SURSyVLWRV FRPSXWDFLRQDOHV RUGLQDULRV HV PiV HĂ&#x20AC;FLHQWH XVDU PpWRGRV TXH LQFOX\DQ LQIRUmaciĂłn en varios puntos. Consideramos esto en el resto del capĂ­tulo. El uso principal de los polinomios de Taylor en el anĂĄlisis numĂŠrico no tiene propĂłsitos de aproximaciĂłn, sino la derivaciĂłn de tĂŠcnicas numĂŠricas y el cĂĄlculo de errores.

Polinomios de interpolaciĂłn de Lagrange El problema de determinar un polinomio de grado uno que pasa por diferentes puntos (x0, y0) y (x1, y1) es igual al de aproximar una funciĂłn f para la que f(x0 ) 5 y0 y f (x1 ) 5 y1 por medio de un polinomio de primer grado que se interpola, o que coincida con los valores de f en los puntos determinados. El uso de estos polinomios para aproximaciĂłn dentro del intervalo GHWHUPLQDGR PHGLDQWH SXQWRV Ă&#x20AC;QDOHV UHFLEH HO QRPEUH GH interpolaciĂłn.

'HĂ&#x20AC;QD ODV IXQFLRQHV

L 0 (x) =

x â&#x2C6;&#x2019; x1 x0 â&#x2C6;&#x2019; x1

y L 1 (x) =

x â&#x2C6;&#x2019; x0 . x1 â&#x2C6;&#x2019; x0

El polinomio de interpolaciĂłn de Lagrange lineal a travĂŠs de (x0, y0) y (x1, y1) es

P(x) = L 0 (x) f (x0 ) + L 1 (x) f (x1 ) =

x â&#x2C6;&#x2019; x1 x â&#x2C6;&#x2019; x0 f (x0 ) + f (x1 ). x0 â&#x2C6;&#x2019; x1 x1 â&#x2C6;&#x2019; x0

Observe que

L 0 (x0 ) = 1,

L 0 (x1 ) = 0,

L 1 (x0 ) = 0,

y L 1 (x1 ) = 1,

lo cual implica que

P(x0 ) = 1 ¡ f (x0 ) + 0 ¡ f (x1 ) = f (x0 ) = y0 y

P(x1 ) = 0 ¡ f (x0 ) + 1 ¡ f (x1 ) = f (x1 ) = y1 .

Por lo que P es el Ăşnico polinomio de grado a lo mĂĄs 1 que pasa por (x0, y0) y (x1, y1).

Ejemplo 1

Determine el polinomio de interpolaciĂłn de Lagrange que pasa por los puntos (2, 4) y (5, 1).

SoluciĂłn en este caso, tenemos

L 0 (x) =

1 x â&#x2C6;&#x2019;5 = â&#x2C6;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; 5) y 2â&#x2C6;&#x2019;5 3

L 1 (x) =

1 x â&#x2C6;&#x2019;2 = (x â&#x2C6;&#x2019; 2), 5â&#x2C6;&#x2019;2 3

por lo que 1 4 20 1 2 1 + x â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;x + 6.

P(x) = â&#x2C6;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; 5) ¡ 4 + (x â&#x2C6;&#x2019; 2) ¡ 1 = â&#x2C6;&#x2019; x + 3 3 3 3 3 3 /D JUiĂ&#x20AC;FD GH y 5 P(x VH PXHVWUD HQ OD Ă&#x20AC;JXUD

3.1

Interpolación y el polinomio de Lagrange

81

Figura 3.3 y (2,4)

4 3 2

y 5 P(x) = 2x 1 6

1

1

2

3

4

(5,1)

5

x

Para generalizar el concepto de interpolación lineal, considere la construcción de un polinomio de grado n que pasa a través de n 1 1 puntos

(x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )), . . . , (xn , f (xn )).

9pDVH OD ÀJXUD

Figura 3.4 y

y 5 f (x) y 5 P(x)

x0

x1

x2

xn

x

En este caso, primero construimos, para cada k 5 0, 1, 7, n, una función L n,k (x) con la propiedad de que Ln,k (xi ) = 0 cuando i = k y L n,k (x k) 5 1. Para satisfacer Ln,k (xi ) = 0 para cada i = k se requiere que el numerador de L n,k (x) contenga el término

(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn ).

Para satisfacer L n,k (x k) 5 1, el denominador de L n,k (x) debe ser el mismo término, pero evaluado en x 5 xk. Por lo tanto,

L n,k (x) =

(x − x0 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn ) . (xk − x0 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn )

8Q ERVTXHMR GH OD JUiÀFD GH XQD L n,k (cuando n HV SDU VH PXHVWUD HQ OD ÀJXUD

82

CAPÍTULO 3

Interpolación y aproximación polinomial

Figura 3.5 L n,k(x)

1

x0

x1

...

x k21

xk

x k11

...

x n21

xn

x

El polinomio de interpolación se describe fácilmente una vez que se conoce la forma L n,k . Este polinomio, llamado enésimo polinomio de interpolación de Lagrange, VH GHÀQH en el siguiente teorema.

Teorema 3.2 La fórmula de interpolación nombrada por Joseph Louis Lagrange (1736–1813) probablemente era conocida por Newton alrededor de 1675, pero al parecer fue publicada por primera vez en 1779 por Edward Waring (1736–1798). Lagrange escribió mucho sobre el tema de interpolación y su trabajo tuvo XQD LQÁXHQFLD VLJQLÀFDWLYD VREUH los matemáticos posteriores. Él publicó este resultado en 1795.

Si x0, x1, 7, x n son n 1 1 números distintos y f es una función cuyos valores están determinados en estos números, entonces existe un único polinomio P(x) de grado a lo sumo n con

f (xk ) = P(xk ), Este polinomio está determinado por

n

P(x) = f (x0 )L n,0 (x) + · · · + f (xn )L n,n (x) =

= a1 ∗ a2 ∗ a3 .

f (xk )L n,k (x),

(3.1)

k=0

donde, para cada k = 0, 1, . . . , n, L n,k (x) =

El símbolo se usa para escribir productos de manera compacta y es similar al símbolo , que se utiliza para escribir sumas. Por ejemplo 3 i=0 ai

para cada k = 0, 1, . . . , n.

(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn ) (xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn ) n

= i=0 i =k

(3.2)

(x − xi ) . (xk − xi )

Escribiremos Ln,k (x) simplemente como L k (x) cuando no haya confusión en cuanto a su grado.

Ejemplo 2

a)

Use los números (llamados nodos) x0 5 2, x1 5 2.75 y x2 5 4 para encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado para f (x) 5 1/x.

b)

Use este polinomio para aproximar f(3) 5 1/3.

Solución a) 3ULPHUR GHWHUPLQDPRV ORV FRHÀFLHQWHV SROLQyPLFRV L 0 (x), L 1 (x) y L 2 (x). En forma anidada, estos son

L 0 (x) =

(x − 2.75)(x − 4) 2 = (x − 2.75)(x − 4), (2 − 2.75)(2 − 4) 3

L 1 (x) =

16 (x − 2)(x − 4) = − (x − 2)(x − 4), (2.75 − 2)(2.75 − 4) 15

L 2 (x) =

2 (x − 2)(x − 2.75) = (x − 2)(x − 2.75).

(4 − 2)(4 − 2.75) 5

y

3.1

Interpolación y el polinomio de Lagrange

83

Además, f (x0 ) = f (2) = 1/2, f (x1 ) = f (2.75) = 4/11, y f (x2 ) = f (4) = 1/4, por lo que 2

P(x) =

f (xk )L k (x) k=0

1 64 1 (x − 2.75)(x − 4) − (x − 2)(x − 4) + (x − 2)(x − 2.75) 3 165 10 49 1 2 35 x − x+ . = 22 88 44 =

b) Una aproximación para f (3) = 1/3 (véase la figura 3.6) es f (3) ≈ P(3) =

105 49 29 9 − + = ≈ 0.32955.

22 88 44 88

Recuerde que en la sección de apertura de este capítulo (consulte la tabla 3.1), encontramos que ninguna expansión en polinomios de Taylor alrededor de x0 5 1 se puede usar para aproximar razonablemente f(x) 5 1/x en x 5 3.

Figura 3.6 y 4 3 2

y 5 f (x)

1 y 5 P(x) 1

2

3

4

5

x

El siguiente paso es calcular un residuo o cota para el error involucrado en la aproximación de una función mediante un polinomio de interpolación.

Teorema 3.3

Existen otras formas de expresar el término de error para el polinomio de Lagrange, pero ésta puede ser la forma más útil y la que concuerda más estrechamente con la forma de error del polinomio estándar de Taylor.

Suponga x0 , x1 , . . . , xn VRQ Q~PHURV GLVWLQWRV HQ HO LQWHUYDOR >a, b] y f ∈ C n+1 [a, b]. Entonces, para cada x en >a, b], existe un número ξ(x) (generalmente no conocido) entre mín {x0, x1, 7, xn} y máx{x0, x1, 7, xn} y, por lo tanto, en (a, b), con

f (x) = P(x) +

f (n+1) (ξ(x)) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ), (n + 1)!

(3.3)

donde P(x) es el polinomio de interpolación determinado en la ecuación (3.1).

Demostración Primero observe que si x 5 x k para cualquier k 5 0, 1, 7, n, entonces f(xk ) 5 P(x k ) y al elegir ξ (x k )de manera arbitraria en (a, b) se obtiene la ecuación (3.3).

84

CAPÍTULO 3

Interpolación y aproximación polinomial

Si x = xk , para todas las k = 0, 1, . . . , n GHÀQD OD IXQFLyQ g para t HQ >a, b] mediante

g(t) = f (t) − P(t) − [ f (x) − P(x)]

(t − x0 )(t − x1 ) · · · (t − xn ) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) n

= f (t) − P(t) − [ f (x) − P(x)] i=0

(t − xi ) . (x − xi )

Puesto que f ∈ C n+1 [a, b], y P ∈ C ∞ [a, b], se sigue que g ∈ C n+1 [a, b]. Para t = xk , tenemos n

g(xk ) = f (xk ) − P(xk ) − [ f (x) − P(x)] i=0

(xk − xi ) = 0 − [ f (x) − P(x)] · 0 = 0. (x − xi )

Además, n

g(x) = f (x) − P(x) − [ f (x) − P(x)] i=0

(x − xi ) = f (x) − P(x) − [ f (x) − P(x)] = 0. (x − xi )

Por lo tanto, g ∈ C n+1 [a, b], y g se anula en los n 1 2 números distintos x, x0 , x1 , . . . , xn.

Por el teorema generalizado de Rolle 1.10, existe un número ξ en (a, b) para el que g (n+1) (ξ ) = 0.Por lo que,

0 = g (n + 1) (ξ ) = f (n+1) (ξ ) − P (n+1) (ξ ) − [ f (x) − P(x)]

d n+1 dt n+1

n i=0

(t − xi ) (x − xi )

. (3.4) t=ξ

Sin embargo, P(x) es un polinomio de grado a lo sumo n, por lo que la derivada (n 1 1), n P (n+1) (x), es cero. Además i=0 [(t − xi )/(x − xi )] es un polinomio de grado (n 1 1), por lo que n i=0

(t − xi ) = (x − xi )

1 n i=0 (x

− xi )

t n+1 + (términos de menor grado en t),

y d n+1 dt n+1

n i=0

(t − xi ) = (x − xi )

(n + 1)! . − xi )

n i=0 (x

Ahora, la ecuación (3.4) se convierte en 0 = f (n+1) (ξ ) − 0 − [ f (x) − P(x)]

(n + 1)! , − xi )

n i=0 (x

y, después de resolver f (x), tenemos f (x) = P(x) +

f (n+1) (ξ ) (n + 1)!

n

(x − xi ). i=0

La fórmula de error en el teorema 3.3 es un resultado teórico importante porque los polinomios de Lagrange se usan ampliamente para deducir la diferenciación numérica y los métodos de integración. Las cotas de error para estas técnicas se obtienen a partir de la fórmula del error de Lagrange.

Observe que la forma del error para el polinomio de Lagrange es bastante similar a la del polinomio de Taylor. El enésimo polinomio de Taylor alrededor de x0 concentra toda la información conocida en x0 y tiene un término de error de la forma

f (n+1) (ξ(x)) (x − x0 )n+1 . (n + 1)!

3.1

InterpolaciĂłn y el polinomio de Lagrange

85

El polinomio de Lagrange de grado n utiliza informaciĂłn en los distintos nĂşmeros x0, x1,

, xn y, en lugar de (x 2 x0)n su fĂłrmula de error utiliza el producto de los n 1 1 tĂŠrminos (x â&#x2C6;&#x2019; x0 ), (x â&#x2C6;&#x2019; x1 ), . . . , (x â&#x2C6;&#x2019; xn ):

f (n+1) (Ξ(x)) (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x1 ) ¡ ¡ ¡ (x â&#x2C6;&#x2019; xn ). (n + 1)!

Ejemplo 3

En el ejemplo 2 encontramos el segundo polinomio de Lagrange para f(x) 5 1/x HQ > @ usando los nodos x0 5 2, x1 5 2.75 y x2 = 4. Determine la forma del error para este polinomio y el error mĂĄximo cuando el polinomio se usa para aproximar f (x) para x â&#x2C6;&#x2C6; > @ Como f (x) = x â&#x2C6;&#x2019;1, tenemos

SoluciĂłn

f (x) = â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019;2 ,

f (x) = 2x â&#x2C6;&#x2019;3 ,

y

f (x) = â&#x2C6;&#x2019;6x â&#x2C6;&#x2019;4 .

En consecuencia, el segundo polinomio de Lagrange tiene el error de la forma

f (Ξ(x)) (xâ&#x2C6;&#x2019; x0 )(xâ&#x2C6;&#x2019; x1 )(xâ&#x2C6;&#x2019; x2 ) = â&#x2C6;&#x2019; (Ξ(x))â&#x2C6;&#x2019;4 (xâ&#x2C6;&#x2019; 2)(xâ&#x2C6;&#x2019; 2.75)(xâ&#x2C6;&#x2019; 4), para Ξ(x)en(2, 4).

3!

El valor mĂĄximo de (Ξ(x))â&#x2C6;&#x2019;4 en el intervalo es 2â&#x2C6;&#x2019;4 = 1/16. Ahora necesitamos determinar el valor mĂĄximo en este intervalo del valor absoluto del polinomio

g(x) = (x â&#x2C6;&#x2019; 2)(x â&#x2C6;&#x2019; 2.75)(x â&#x2C6;&#x2019; 4) = x 3 â&#x2C6;&#x2019;

35 2 49 x + x â&#x2C6;&#x2019; 22.

4 2

Como Dx

x3 â&#x2C6;&#x2019;

35 2 49 x + x â&#x2C6;&#x2019; 22 4 2

= 3x 2 â&#x2C6;&#x2019;

49 1 35 x+ = (3x â&#x2C6;&#x2019; 7)(2x â&#x2C6;&#x2019; 7), 2 2 2

los puntos crĂ­ticos se presentan en x=

7 , con g 3

7 3

=

25 , 108

y

x=

7 , con g 2

7 2

=â&#x2C6;&#x2019;

9 .

16

Por lo tanto, el error mĂĄximo es 1 9 9 f (Ξ(x)) |(x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x1 )(x â&#x2C6;&#x2019; x2 )| â&#x2030;¤ â&#x2030;&#x2C6; 0.03515625. â&#x2C6;&#x2019; = 3!

16 16 256 El siguiente ejemplo ilustra cĂłmo se puede usar la fĂłrmula del error para preparar una tabla de datos que garantizarĂĄ un error de interpolaciĂłn dentro de una cota establecida.

Ejemplo 4

Suponga que se va a preparar una tabla para la funciĂłn f (x) = e x , para x en [0, 1]. Imagine que el nĂşmero de lugares decimales proporcionado por entrada es d $ 8 y que h, el tamaĂąo del paso es la diferencia entre valores adyacentes x. ÂżQuĂŠ tamaĂąo de paso h garantizarĂĄ que la interpolaciĂłn lineal proporcione un error absoluto a lo mĂĄximo de 10â&#x20AC;&#x201C;6 para todas las x HQ > @" SoluciĂłn

Sean x0, x1, 7 los nĂşmeros en los que se evalĂşa f y x HVWi HQ > @ \ VXSRQJD TXH j satisface xj # x # x j 11. La ecuaciĂłn (3.3) implica que el error en la interpolaciĂłn lineal es

| f (x) â&#x2C6;&#x2019; P(x)| =

f (2) (Ξ ) | f (2) (Ξ )| (x â&#x2C6;&#x2019; x j )(x â&#x2C6;&#x2019; x j+1 ) = |(x â&#x2C6;&#x2019; x j )||(x â&#x2C6;&#x2019; x j+1 )|.

2!

2

Como el tamaĂąo del paso es h, entonces x j = j h, x j+1 = ( j + 1)h, y | f (x) â&#x2C6;&#x2019; P(x)| â&#x2030;¤

| f (2) (Ξ )| |(x â&#x2C6;&#x2019; j h)(x â&#x2C6;&#x2019; ( j + 1)h)|.

2!

86

CAPĂ?TULO 3

InterpolaciĂłn y aproximaciĂłn polinomial

Por lo tanto,

mĂĄxΞ â&#x2C6;&#x2C6;[0,1] eΞ mĂĄx |(x â&#x2C6;&#x2019; j h)(x â&#x2C6;&#x2019; ( j + 1)h)| x j â&#x2030;¤xâ&#x2030;¤x j+1 2 e â&#x2030;¤ mĂĄx |(x â&#x2C6;&#x2019; j h)(x â&#x2C6;&#x2019; ( j + 1)h)|.

2 x j â&#x2030;¤xâ&#x2030;¤x j+1

| f (x) â&#x2C6;&#x2019; P(x)| â&#x2030;¤

Considere la funciĂłn g(x) = (x â&#x2C6;&#x2019; j h)(x â&#x2C6;&#x2019; ( j + 1)h), para j h â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ ( j + 1)h. Luego g (x) = (x â&#x2C6;&#x2019; ( j + 1)h) + (x â&#x2C6;&#x2019; j h) = 2 x â&#x2C6;&#x2019; j h â&#x2C6;&#x2019;

h 2

,

el Ăşnico punto crĂ­tico para g se encuentra en x = j h + h/2, con g( j h + h/2) = (h/2)2 = h 2 /4.

Puesto que g( j h) = 0 y g(( j + 1)h) = 0, el valor mĂĄximo de |g (x)| en [j h, ( j + 1)h] se debe presentar en el punto crĂ­tico, lo cual implica que (vĂŠase el ejercicio 21)

| f (x) â&#x2C6;&#x2019; P(x)| â&#x2030;¤

e 2

mĂĄx

x j â&#x2030;¤xâ&#x2030;¤x j+1

|g(x)| â&#x2030;¤

e h2 eh 2 ¡ = .

2 4 8

Por consiguiente, para garantizar que el error en la interpolaciĂłn lineal estĂĄ acotado por 1026 HV VXĂ&#x20AC;FLHQWH HOHJLU h de tal forma que

eh 2 â&#x2030;¤ 10â&#x2C6;&#x2019;6 .

8

Esto implica que

h < 1.72 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;3 .

Puesto que n 5 (1 2 0)/h debe ser un entero, una selecciĂłn razonable para el tamaĂąo del paso es h 5 0.001.

La secciĂłn Conjunto de ejercicios 3.1 estĂĄ disponible en lĂ­nea. Encuentre la ruta de acceso en las pĂĄginas preliminares.

3.2 AproximaciĂłn de datos y mĂŠtodo de Neville En la secciĂłn anterior encontramos una representaciĂłn explĂ­cita para los polinomios de Lagrange y su error cuando se aproxima una funciĂłn sobre un intervalo. El uso frecuente de estos polinomios implica la interpolaciĂłn de datos tabulados. En este caso, una representaciĂłn explĂ­cita del polinomio podrĂ­a no ser necesaria, sĂłlo los valores del polinomio en SXQWRV HVSHFtĂ&#x20AC;FRV (Q HVWD VLWXDFLyQ VHUtD SRVLEOH TXH OD IXQFLyQ VXE\DFHQWH D ORV GDWRV QR se conozca, por lo que la forma explĂ­cita del error no se puede usar. Ahora, ilustraremos una aplicaciĂłn prĂĄctica de interpolaciĂłn en dicha situaciĂłn.

IlustraciĂłn

Tabla 3.2 x

f (x)

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623

La tabla 3.2 lista los valores de una funciĂłn f en diferentes puntos. Las aproximaciones para f (1.5) obtenidas con distintos polinomios de Lagrange que usan estos datos se compararĂĄ para probar y determinar la precisiĂłn de la aproximaciĂłn.

El polinomio lineal mĂĄs apropiado usa x0 5 1.3 y x1 5 1.6 porque 1.5 se encuentra entre 1.3 y 1.6. El valor del polinomio de interpolaciĂłn en 1.5 es

P1 (1.5) = =

(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.3) (1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.6) f (1.3) + f (1.6) (1.3 â&#x2C6;&#x2019; 1.6) (1.6 â&#x2C6;&#x2019; 1.3) (1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.3) (1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.6) (0.6200860) + (0.4554022) = 0.5102968.

(1.3 â&#x2C6;&#x2019; 1.6) (1.6 â&#x2C6;&#x2019; 1.3)

3.2

AproximaciĂłn de datos y mĂŠtodo de Neville

87

Es posible usar razonablemente dos polinomios de grado dos, uno con x0 5 1.3, x1 5 1.6 y x2 5 1.9, lo cual nos da

P2 (1.5) =

(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.3)(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.9) (1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.6)(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.9) (0.6200860) + (0.4554022) (1.3 â&#x2C6;&#x2019; 1.6)(1.3 â&#x2C6;&#x2019; 1.9) (1.6 â&#x2C6;&#x2019; 1.3)(1.6 â&#x2C6;&#x2019; 1.9) +

(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.3)(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.6) (0.2818186) = 0.5112857, (1.9 â&#x2C6;&#x2019; 1.3)(1.9 â&#x2C6;&#x2019; 1.6)

y uno con x0 5 1.0, x1 5 1.3 y x2 5 1.6, lo cual nos da PË&#x2020; 2 (1.5) = 0.5124715.

En el caso de tercer grado, tambiĂŠn hay dos opciones razonables para el polinomio, una con x0 5 1.3, x1 5 1.6, x2 5 1.9 y x3 5 2.2, lo cual nos da P3(1.5) 5 0.5118302. La segunda aproximaciĂłn de tercer grado se obtiene con x0 51.0, x1 5 1.3, x2 5 1.6 y x3 5 1.9, lo cual nos da PË&#x2020; 3 (1.5) = 0.5118127.

El polinomio de Lagrange de cuarto grado usa todas las entradas en la tabla. Con x0 5 1.0, x1 5 1.3, x2 = 1.6, x3 5 1.9 y x4 5 2.2, la aproximaciĂłn es P4(1.5) = 0.5118200.

Puesto que P3(1.5), PË&#x2020; 3 (1.5) y P4(1.5) concuerdan con una exactitud de 2 3 1025 unidades, esperamos este grado de precisiĂłn para estas aproximaciones. TambiĂŠn esperamos que P4(1.5) sea la aproximaciĂłn mĂĄs precisa ya que usa la mayor parte de los datos proporcionados. /D IXQFLyQ TXH HVWDPRV DSUR[LPDQGR HV HQ UHDOLGDG OD IXQFLyQ GH %HVVHO GH SULPHUD clase de orden cero, cuyo valor en 1.5 se conoce como 0.5118277. Por lo tanto, las verdaderas precisiones de las aproximaciones son las siguientes:

|P1 (1.5) â&#x2C6;&#x2019; f (1.5)| â&#x2030;&#x2C6; 1.53 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;3 , |P2 (1.5) â&#x2C6;&#x2019; f (1.5)| â&#x2030;&#x2C6; 5.42 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;4 , | PË&#x2020; 2 (1.5) â&#x2C6;&#x2019; f (1.5)| â&#x2030;&#x2C6; 6.44 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;4 , |P3 (1.5) â&#x2C6;&#x2019; f (1.5)| â&#x2030;&#x2C6; 2.5 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 , | PË&#x2020; 3 (1.5) â&#x2C6;&#x2019; f (1.5)| â&#x2030;&#x2C6; 1.50 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;5 , |P4 (1.5) â&#x2C6;&#x2019; f (1.5)| â&#x2030;&#x2C6; 7.7 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;6 .

Aunque P3(1.5) es la aproximaciĂłn mĂĄs precisa, si no conocemos el valor real de f (1.5), aceptarĂ­amos P4(1.5) como la mejor aproximaciĂłn ya que incluye la mayor cantidad de datos sobre la funciĂłn. El tĂŠrmino del error de Lagrange derivado del teorema 3.3 no se puede aplicar aquĂ­ porque no conocemos la cuarta derivada de f. Por desgracia, este casi siempre es el caso.

MĂŠtodo de Neville 8QD GLĂ&#x20AC;FXOWDG SUiFWLFD FRQ OD LQWHUSRODFLyQ GH /DJUDQJH HV TXH HO WpUPLQR GHO HUURU HV GLItFLO de aplicar, por lo que el grado del polinomio que se necesita para la precisiĂłn deseada en general se desconoce hasta que se realizan los cĂĄlculos. Una prĂĄctica comĂşn es calcular los resultados dados a partir de diferentes polinomios hasta que se obtiene el acuerdo apropiado, como se hizo en la ilustraciĂłn anterior. Sin embargo, el trabajo efectuado al calcular la aproximaciĂłn con el segundo polinomio no disminuye el trabajo necesario para calcular la tercera aproximaciĂłn, ni la cuarta aproximaciĂłn es fĂĄcil de obtener una vez que se conoce la tercera aproximaciĂłn y asĂ­ sucesivamente. Ahora, derivaremos estos polinomios de aproximaciĂłn de una manera que use los cĂĄlculos previos para una mayor ventaja.

DeďŹ niciĂłn 3.4

Sea f XQD IXQFLyQ GHĂ&#x20AC;QLGD HQ x0 , x1 , x2 , . . . , xn y suponga que m 1 , m 2 , . . . , m k son k enteros diferentes, con 0 â&#x2030;¤ m i â&#x2030;¤ n para cada i. El polinomio de Lagrange que concuerda con f(x) en los puntos k xm 1 , xm 2 , . . . , xm k se denota Pm 1 ,m 2 ,... ,m k (x).

88

CAPĂ?TULO 3

InterpolaciĂłn y aproximaciĂłn polinomial

Ejemplo 1

Suponga que x0 5 1, x1 5 2, x2 5 3, x3 5 4, x4 5 6 y f(x) = ex. Determine el polinomio de interpolaciĂłn que se denota P1,2,4(x) y use este polinomio para aproximar f(5).

SoluciĂłn

Ă&#x2030;ste es el polinomio de Lagrange que concuerda con f(x) en x1 5 2, x2 5 3 y x4 5 6. Por lo tanto,

P1,2,4 (x) =

(x â&#x2C6;&#x2019; 3)(x â&#x2C6;&#x2019; 6) 2 (x â&#x2C6;&#x2019; 2)(x â&#x2C6;&#x2019; 6) 3 (x â&#x2C6;&#x2019; 2)(x â&#x2C6;&#x2019; 3) 6 e + e + e .

(2 â&#x2C6;&#x2019; 3)(2 â&#x2C6;&#x2019; 6) (3 â&#x2C6;&#x2019; 2)(3 â&#x2C6;&#x2019; 6) (6 â&#x2C6;&#x2019; 2)(6 â&#x2C6;&#x2019; 3)

por lo que, f (5) â&#x2030;&#x2C6; P(5) =

(5 â&#x2C6;&#x2019; 3)(5 â&#x2C6;&#x2019; 6) 2 (5 â&#x2C6;&#x2019; 2)(5 â&#x2C6;&#x2019; 6) 3 (5 â&#x2C6;&#x2019; 2)(5 â&#x2C6;&#x2019; 3) 6 e + e + e (2 â&#x2C6;&#x2019; 3)(2 â&#x2C6;&#x2019; 6) (3 â&#x2C6;&#x2019; 2)(3 â&#x2C6;&#x2019; 6) (6 â&#x2C6;&#x2019; 2)(6 â&#x2C6;&#x2019; 3)

1 1 = â&#x2C6;&#x2019; e2 + e3 + e6 â&#x2030;&#x2C6; 218.105.

2 2 El siguiente resultado describe un mĂŠtodo para generar de forma recursiva las aproximaciones del polinomio de Lagrange.

Teorema 3.5

Sea f GHĂ&#x20AC;QLGD HQ x0, x1, 7, xk y sean xj y xi dos nĂşmeros distintos en este conjunto. Entonces

P(x) =

(x â&#x2C6;&#x2019; x j )P0,1,... , jâ&#x2C6;&#x2019;1, j+1,... ,k (x) â&#x2C6;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; xi )P0,1,... ,iâ&#x2C6;&#x2019;1,i+1,... ,k (x) (xi â&#x2C6;&#x2019; x j )

es el k-ĂŠsimo polinomio de Lagrange que interpola f en los puntos k 1 1 x0, x1, 7, xk.

Ë&#x2020; â&#x2030;Ą P0,1,... , Para la facilidad de la notaciĂłn, sea Q â&#x2030;Ą P0,1,... ,iâ&#x2C6;&#x2019;1,i+1,... ,k y Q Ë&#x2020; son polinomios de grado k 2 1 o menos, P(x) es de jâ&#x2C6;&#x2019;1, j+1,... ,k . Puesto que Q(x) y Q(x) grado mĂĄximo k. Ë&#x2020; i ) = f (xi ) implica que Primero, observe que Q(x DemostraciĂłn

P(xi ) =

Ë&#x2020; i ) â&#x2C6;&#x2019; (xi â&#x2C6;&#x2019; xi )Q(xi ) (xi â&#x2C6;&#x2019; x j ) Q(x (xi â&#x2C6;&#x2019; x j ) f (xi ) = f (xi ). = xi â&#x2C6;&#x2019; x j (xi â&#x2C6;&#x2019; x j )

Similarmente, como Q(x j ) = f (x j ), tenemos que P(x j ) = f (x j ). Ë&#x2020; r ) = f (xr ). Por lo tanto, AdemĂĄs, si 0 â&#x2030;¤ r â&#x2030;¤ k y r no es i ni j, entonces Q(xr ) = Q(x

P(xr ) =

Ë&#x2020; r ) â&#x2C6;&#x2019; (xr â&#x2C6;&#x2019; xi )Q(xr ) (xr â&#x2C6;&#x2019; x j ) Q(x (xi â&#x2C6;&#x2019; x j ) f (xr ) = f (xr ). = xi â&#x2C6;&#x2019; x j (xi â&#x2C6;&#x2019; x j )

3HUR SRU GHĂ&#x20AC;QLFLyQ P0,1,... ,k (x) es el Ăşnico polinomio de grado mĂĄximo k que concuerda con f en x0 , x1 , . . . , xk . Por lo tanto P â&#x2030;Ą P0,1,... ,k .

El teorema 3.5 implica que los polinomios de interpolaciĂłn pueden generarse de manera recursiva. Por ejemplo, tenemos

P0,1 = P0,1,2 =

1 [(x â&#x2C6;&#x2019; x0 )P1 + (x â&#x2C6;&#x2019; x1 )P0 ], x1 â&#x2C6;&#x2019; x0

P1,2 =

1 [(x â&#x2C6;&#x2019; x1 )P2 + (x â&#x2C6;&#x2019; x2 )P1 ], x2 â&#x2C6;&#x2019; x1

1 [(x â&#x2C6;&#x2019; x0 )P1,2 + (x â&#x2C6;&#x2019; x2 )P0,1 ], x2 â&#x2C6;&#x2019; x0

y asĂ­ sucesivamente. Estos se generan de la manera que se muestra en la tabla 3.3, donde FDGD Ă&#x20AC;OD VH FRPSOHWD DQWHV GH TXH ODV Ă&#x20AC;ODV VXFHVLYDV FRPLHQFHQ

3.2

Tabla 3.3

Eric Harold Neville (1889–1961) DSRUWy HVWD PRGLÀFDFLyQ GH la fórmula de Lagrange en un DUWtFXOR SXEOLFDGR HQ >1@

x0 x1 x2 x3 x4

P0 P1 P2 P3 P4

P0,1 P1,2 P2,3 P3,4

P0,1,2 P1,2,3 P2,3,4

P0,1,2,3 P1,2,3,4

Aproximación de datos y método de Neville

89

P0,1,2,3,4

El procedimiento que usa el resultado del teorema 3.5 para generar recursivamente las aproximaciones de polinomios de interpolación recibe el nombre de método de Neville. La notación P que se usa en la tabla 3.3 es pesada debido al número de subíndices que se utilizan para representar las entradas. Observe, sin embargo, que mientras se construye un arreglo, sólo se necesitan dos subíndices. El procedimiento hacia abajo en la tabla corresponde al uso consecutivo de los puntos xi con una i más grande, y el procedimiento hacia la derecha corresponde al incremento del grado del polinomio de interpolación. Puesto que los puntos aparecen de manera consecutiva en cada entrada, necesitamos describir sólo un punto de inicio y el número de puntos adicionales que se usan en la construcción de la aproximación.

Para evitar los múltiples índices, dejamos que Qi,j (x) para 0 ≤ j ≤ i, denote el polinomio de interpolación de grado j en los números (j + 1) xi− j , xi− j+1 , . . . , xi−1 , xi ; es decir

Q i, j = Pi− j,i− j+1,... ,i−1,i .

Usando esta notación obtenemos el arreglo de notación Q en la tabla 3.4.

Tabla 3.4

Ejemplo 2

Tabla 3.5 x

f (x)

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623

x0 x1 x2 x3 x4

P0 P1 P2 P3 P4

= = = = =

Q 0,0 Q 1,0 Q 2,0 Q 3,0 Q 4,0

P0,1 P1,2 P2,3 P3,4

= = = =

Q 1,1 Q 2,1 Q 3,1 Q 4,1

P0,1,2 = Q 2,2 P1,2,3 = Q 3,2 P2,3,4 = Q 4,2

P0,1,2,3 = Q 3,3 P1,2,3,4 = Q 4,3

P0,1,2,3,4 = Q 4,4

Los valores de diferentes polinomios de interpolación en x 5 1.5 se obtuvieron en la ilustración al inicio de esta sección usando los datos que se muestran en la tabla 3.5. Aplique el método de Neville a los datos mediante la construcción de una tabla recursiva de la forma que se observa en la tabla 3.4.

Solución

Sea x0 5 1.0, x1 5 1.3, x2 5 1.6, x3 5 1.9 y x4 = 2.2, entonces Q0,0 5 f (1.0), Q1,0 5 f(1.3), Q2,0 5 f(1.6), Q3,0 5 f(1.9) y Q4,0 5 f(2.2). Estos son los cinco polinomios de grado cero (constantes) que aproximan f(1.5) y son iguales a los datos que se proporcionan en la tabla 3.5.

Al calcular la aproximación de primer grado Q1,1 (1.5) obtenemos

Q 1,1 (1.5) =

(x − x0 )Q 1,0 − (x − x1 )Q 0,0 x1 − x0

(1.5 − 1.0)Q 1,0 − (1.5 − 1.3)Q 0,0 1.3 − 1.0 0.5(0.6200860) − 0.2(0.7651977) = 0.5233449. = 0.3 =

De igual forma, Q 2,1 (1.5) =

(1.5 − 1.3)(0.4554022) − (1.5 − 1.6)(0.6200860) = 0.5102968, 1.6 − 1.3

Q 3,1 (1.5) = 0.5132634,

y

Q 4,1 (1.5) = 0.5104270.

90

CAPĂ?TULO 3

InterpolaciĂłn y aproximaciĂłn polinomial

Se espera que la mejor aproximaciĂłn lineal sea Q2,1 porque 1.5 se encuentra entre x1 5 1.3 y x2 5 1.6.

De manera similar, las aproximaciones usando polinomios de grado superior estĂĄn dadas por

Q 2,2 (1.5) =

(1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.0)(0.5102968) â&#x2C6;&#x2019; (1.5 â&#x2C6;&#x2019; 1.6)(0.5233449) = 0.5124715, 1.6 â&#x2C6;&#x2019; 1.0

Q 3,2 (1.5) = 0.5112857,

Q 4,2 (1.5) = 0.5137361.

y

Las aproximaciones de grado superior se generan de una manera similar y se muestran en la tabla 3.6.

Tabla 3.6

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623

0.5233449 0.5102968 0.5132634 0.5104270

0.5124715 0.5112857 0.5137361

0.5118127 0.5118302

0.5118200

Si la Ăşltima aproximaciĂłn Q4,4 QR IXH VXĂ&#x20AC;FLHQWHPHQWH SUHFLVD VHUtD SRVLEOH VHOHFFLRQDU otro nodo x5 \ DxDGLU RWUD Ă&#x20AC;OD D OD WDEOD

x5

Q 5,0

Q 5,1

Q 5,2

Q 5,3

Q 5,4

Q 5,5 .

Entonces Q4,4, Q5,4 y Q5,5 podrĂ­an compararse para determinar la precisiĂłn posterior. /D IXQFLyQ HQ HO HMHPSOR HV OD IXQFLyQ GH %HVVHO GH SULPHUD FODVH GH RUGHQ FHUR FX\R valor en 2.5 es 2 \ OD VLJXLHQWH Ă&#x20AC;OD GH DSUR[LPDFLRQHV SDUD f(1.5) es

2.5

â&#x2C6;&#x2019; 0.0483838

0.4807699

0.5301984

0.5119070

0.5118430

0.5118277.

La Ăşltima nueva entrada, 0.5118277, es correcta para siete lugares decimales.

Ejemplo 3

Tabla 3.7 i

xi

ln xi

0 1 2

2.0 2.2 2.3

0.6931 0.7885 0.8329

La tabla 3.7 lista los valores de f(x) 5 ln x precisos para los lugares dados. Use el mĂŠtodo de Neville y la aritmĂŠtica de redondeo de cuatro dĂ­gitos para aproximar f (2.1) 5 ln 2.1 al completar la tabla de Neville.

SoluciĂłn Puesto que x 2 x0 5 0.1, x 2 x1 5 20.1 y x 2 x2 5 20.2, tenemos Q0,0 5 0.6931, Q1,0 5 0.7885 y Q2,0 5 0.8329,

Q 1,1 =

1 0.1482 = 0.7410 [(0.1)0.7885 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;0.1)0.6931] = 0.2 0.2

Q 2,1 =

1 0.07441 = 0.7441. [(â&#x2C6;&#x2019;0.1)0.8329 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;0.2)0.7885] = 0.1 0.1

y

La aproximaciĂłn final que podemos obtener a partir de estos datos es Q 2,1 =

1 0.2276 = 0.7420. [(0.1)0.7441 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;0.2)0.7410] = 0.3 0.3

Estos valores se muestran en la tabla 3.8.

Tabla 3.8

i

xi

x â&#x2C6;&#x2019; xi

Q i0

Q i1

Q i2

0 1 2

2.0 2.2 2.3

0.1 â&#x2C6;&#x2019;0.1 â&#x2C6;&#x2019;0.2

0.6931 0.7885 0.8329

0.7410 0.7441

0.7420

3.3

Diferencias divididas

91

En el ejemplo anterior, tenemos f(2.1) 5 ln 2.1 5 0.7419 para cuatro lugares decimales, por lo que el error absoluto es

| f (2.1) − P2 (2.1)| = |0.7419 − 0.7420| = 10−4 .

Sin embargo, f (x) = 1/x, f (x) = −1/x 2 , y f (x) = 2/x 3, por lo que la fórmula de error de Lagrange (3.3) en el teorema 3.3 nos da la cota del de error

| f (2.1) − P2 (2.1)| = =

f (ξ(2.1)) (x − x 0 )(x − x1 )(x − x2 ) 3!

1 0.002 (0.1)(−0.1)(−0.2) ≤ = 8.3 × 10−5 .

3 3(2)3 3 (ξ(2.1))

Observe que el error real, 1024, excede la cota del error, 8.3 × 10−5. Esta aparente conWUDGLFFLyQ HV XQD FRQVHFXHQFLD GH ORV FiOFXORV GH GtJLWRV ÀQLWRV 1RVRWURV XVDPRV OD DULWmética de redondeo de cuatro dígitos, y la fórmula del error de Lagrange (3.3) supone la DULWPpWLFD GH GtJLWRV LQÀQLWRV (VWR FDXVy TXH QXHVWURV HUURUHV UHDOHV H[FHGLHUDQ HO FiOFXOR de error teórico.

• Recuerde: No puede esperar mayor precisión de la proporcionada por la aritmética.

(O DOJRULWPR FRQVWUX\H SRU ÀODV ODV HQWUDGDV HQ HO PpWRGR GH 1HYLOOH ALGORITMO

3.1

Interpolación iterada de Neville Para evaluar el polinomio de interpolación P en los diferentes números n 1 1, x0, 7, xn en el número x para la función f :

ENTRADA números x, x0 , x1 , . . . , xn ; valores f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn ) como la primera columna Q 0,0 , Q 1,0 , . . . , Q n,0 de Q. SALIDA

la tabla Q con P(x) = Q n,n .

Paso 1 Para i = 1, 2, . . . , n para j = 1, 2, . . . , i haga Q i, j =

(x − xi− j )Q i, j−1 − (x − xi )Q i−1, j−1 . xi − xi− j

Paso 2 SALIDA (Q); PARE. La sección Conjunto de ejercicios 3.2 está disponible en línea. Encuentre la ruta de acceso en las páginas preliminares.

3.3 Diferencias divididas La interpolación iterada se usó en la sección previa para generar sucesivamente aproximaFLRQHV SROLQRPLDOHV GH JUDGR VXSHULRU HQ XQ SXQWR HVSHFtÀFR /RV PpWRGRV GH GLIHUHQFLD dividida que se presentan en esta sección se usan para generar sucesivamente los polinomios en sí mismos.

Diferencias divididas Suponga que Pn(x) es el enésimo polinomio de interpolación que concuerda con la función f en los diferentes números x0, x1, 7, xn. A pesar de que este polinomio es único, existen re-

92

CAPÍTULO 3

Interpolación y aproximación polinomial

presentaciones algebraicas que son útiles en ciertas situaciones. Las diferencias divididas de f respecto a x0, x1, 7, xn se usan para expresar Pn(x) en la forma

Pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 ) · · · (x − xn−1 ), (3.5) para constantes apropiadas a0, a1, 7, an. Para determinar la primera de estas constantes, a0, observe que si Pn(x) se escribe en la forma de la ecuación (3.5), entonces evaluando Pn(x) en x0 queda sólo el término constante a0; es decir,

a0 = Pn (x0 ) = f (x0 ).

Como en muchas áreas, Isaac Newton es prominente en el estudio de ecuaciones de diferencia. Desarrolló fórmulas de interpolación desde 1675, usando su notación en tablas de diferencias. Adoptó un enfoque muy general hacia las fórmulas de diferencias, por lo que los ejemplos explícitos que produjo, incluyendo las fórmulas de Lagrange, a menudo son conocidas con otros nombres.

Similarmente, cuando P(x) se evalúa en x1, los únicos términos diferentes de cero en la evaluación de Pn(x1) son los términos constante y lineal,

f (x0 ) + a1 (x1 − x0 ) = Pn (x1 ) = f (x1 ); por lo que a1 =

f (x1 ) − f (x0 ) . x1 − x0

(3.6)

Ahora presentaremos la notación de diferencias divididas, que se relaciona con la notación 2 de Aitkens que se usó en la sección 2.5. La ceroésima diferencia dividida de la función f respecto a xi, denotada f >xi], es simplemente el valor de f en xi:

f [xi ] = f (xi ).

(3.7)

/DV GLIHUHQFLDV GLYLGLGDV UHVWDQWHV VH GHÀQHQ GH PDQHUD UHFXUVLYD OD primera diferencia dividida de f respecto a xi y xi+1 se denota f [xi , xi+1 ] \ VH GHÀQH FRPR

f [xi , xi+1 ] =

f [xi+1 ] − f [xi ] . xi+1 − xi

(3.8)

La segunda diferencia dividida, f [xi , xi+1 , xi+2 ], VH GHÀQH FRPR

f [xi , xi+1 , xi+2 ] =

f [xi+1 , xi+2 ] − f [xi , xi+1 ] . xi+2 − xi

De igual forma, después de que las (k 21) -ésimas diferencias divididas,

f [xi , xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k−1 ] y

f [xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k−1 , xi+k ],

se han determinado, la k-ésima diferencia dividida relativa a xi , xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k es

f [xi , xi+1 , . . . , xi+k−1 , xi+k ] =

f [xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k ] − f [xi , xi+1 , . . . , xi+k−1 ] . xi+k − xi

(3.9)

El proceso termina con la única enésima diferencia dividida,

f [x0 , x1 , . . . , xn ] =

f [x1 , x2 , . . . , xn ] − f [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] . xn − x0

Debido a la ecuación (3.6), podemos escribir a1 = f [x0 , x1 ], justo cuando a0 se puede expresar como a0 = f (x0 ) = f [x0 ]. Por lo tanto, el polinomio de interpolación en la ecuación (3.5) es

Pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ).

Análisis numérico, 10a. ed., se escribió para que los estudiantes de ingeniería, matemáticas, ciencias de la computación puedan usarlo en los cursos sobre la teoría y la aplicación de técnicas de aproximación numérica.

Prácticamente todos los conceptos en el texto están ilustrados con un ejemplo y contiene más de 2 500 ejercicios probados en clase que van desde aplicaciones fundamentales de métodos y algoritmos hasta generalizaciones y extensiones de la teoría. Además, los conjuntos de ejercicios incluyen varios problemas aplicados de diversas áreas de la ingeniería, así como de la física, la informática, la biología y las ciencias económicas y sociales. Las aplicaciones, seleccionadas de forma clara y concisa, demuestran la manera en la que las técnicas numéricas se aplican en situaciones de la vida real.

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