Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera. 8a. Ed. Dennis Zill

Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera

Octava edici贸n

Dennis G. Zill Warren S. Wright

OCTAVA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University

WARREN S. WRIGHT Loyola Marymount University MICHAEL R. CULLEN Antiguo miembro de la Loyola Marymount University

TRADUCCIÓN Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Dr. Edmundo Palacios Pastrana Universidad Iberoamericana

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Octava edición Dennis G. Zill y Warren S. Wright Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial en Español para Latinoamérica: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Omegar Martínez Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Space, © Rolffimages / Dreamstime.com Composición tipográfica: Aurora Esperanza López López

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

© D.R. 2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso.

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Traducido del libro Differential Equations with Boundary-Value Problems, Eighth Edition Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning © 2013 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. y Warren S. Wright Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava edición ISBN: 978-607-519-443-1 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

CONTENIDO

1

Prefacio

xi

Proyectos

P-1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1

1.1 'H¿QLFLRQHV \ WHUPLQRORJtD 1.2 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 1.3 (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRPR PRGHORV PDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPÍTULO 1

2

32

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

34

2.1 &XUYDV VROXFLyQ VLQ XQD VROXFLyQ 2.1.1 &DPSRV GLUHFFLRQDOHV 2.1.2 (' DXWyQRPDV GH SULPHU RUGHQ 2.2 9DULDEOHV VHSDUDEOHV 2.3 (FXDFLRQHV OLQHDOHV 2.4 Ecuaciones exactas

61

2.5 6ROXFLRQHV SRU VXVWLWXFLyQ 2.6 Un método numérico

73

REPASO DEL CAPÍTULO 2

3

78

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

81

3.1 0RGHORV OLQHDOHV 3.2 0RGHORV QR OLQHDOHV 3.3 0RGHODGR FRQ VLVWHPDV GH (' GH SULPHU RUGHQ REPASO DEL CAPÍTULO 3

111

v

vi

4

l

CONTENIDO

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

113

4.1 7HRUtD SUHOLPLQDU (FXDFLRQHV OLQHDOHV 4.1.1 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV \ FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 4.1.2 (FXDFLRQHV KRPRJpQHDV 4.1.3 (FXDFLRQHV QR KRPRJpQHDV 4.2 5HGXFFLyQ GH RUGHQ 4.3 (FXDFLRQHV OLQHDOHV KRPRJpQHDV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV 4.4 &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV 0pWRGR GH VXSHUSRVLFLyQ 4.5 &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV 0pWRGR GHO DQXODGRU 4.6 9DULDFLyQ GH SDUiPHWURV 4.7 (FXDFLyQ GH &DXFK\ (XOHU 4.8 Funciones de Green

164

4.8.1 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 4.8.2 3UREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 4.9 6ROXFLyQ GH VLVWHPDV GH (' OLQHDOHV SRU HOLPLQDFLyQ 4.10 (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV QR OLQHDOHV REPASO DEL CAPÍTULO 4

5

183

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 186 5.1 0RGHORV OLQHDOHV 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 5.1.1 6LVWHPDV UHVRUWH PDVD 0RYLPLHQWR OLEUH QR DPRUWLJXDGR 5.1.2 6LVWHPDV UHVRUWH PDVD 0RYLPLHQWR OLEUH DPRUWLJXDGR 5.1.3 6LVWHPDV UHVRUWH PDVD 0RYLPLHQWR IRU]DGR 5.1.4 &LUFXLWR HQ VHULH DQiORJR 5.2 0RGHORV OLQHDOHV 3UREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 5.3 0RGHORV QR OLQHDOHV REPASO DEL CAPÍTULO 5

6

222

SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6.1 Repaso de series de potencias

226

6.2 6ROXFLRQHV UHVSHFWR D SXQWRV RUGLQDULRV 6.3 6ROXFLRQHV HQ WRUQR D SXQWRV VLQJXODUHV 6.4 )XQFLRQHV HVSHFLDOHV REPASO DEL CAPÍTULO 6

263

225

CONTENIDO

7

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

l

vii

265

7.1 'H¿QLFLyQ GH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH 7.2 7UDQVIRUPDGDV LQYHUVDV \ WUDQVIRUPDGDV GH GHULYDGDV 7.2.1 7UDQVIRUPDGDV LQYHUVDV 7.2.2 7UDQVIRUPDGDV GH GHULYDGDV 7.3 3URSLHGDGHV RSHUDFLRQDOHV , 7.3.1 7UDVODFLyQ HQ HO HMH s 7.3.2 7UDVODFLyQ HQ HO HMH t 7.4 3URSLHGDGHV RSHUDFLRQDOHV ,, 7.4.1 'HULYDGDV GH XQD WUDQVIRUPDGD 7.4.2 7UDQVIRUPDGDV GH LQWHJUDOHV 7.4.3 7UDQVIRUPDGD GH XQD IXQFLyQ SHULyGLFD 7.5 /D IXQFLyQ GHOWD GH 'LUDF 7.6 6LVWHPDV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV REPASO DEL CAPÍTULO 7

8

312

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

317

8.1 7HRUtD SUHOLPLQDU 6LVWHPDV OLQHDOHV 8.2 6LVWHPDV OLQHDOHV KRPyJHQHRV 8.2.1 (LJHQYDORUHV UHDOHV GLVWLQWRV 8.2.2 (LJHQYDORUHV UHSHWLGRV 8.2.3 (LJHQYDORUHV FRPSOHMRV 8.3 6LVWHPDV OLQHDOHV QR KRPyJHQHRV 8.3.1 &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV 8.3.2 9DULDFLyQ GH SDUiPHWURV 8.4 0DWUL] H[SRQHQFLDO REPASO DEL CAPÍTULO 8

9

352

SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 353 9.1 0pWRGRV GH (XOHU \ DQiOLVLV GH HUURUHV 9.2 0pWRGRV GH 5XQJH .XWWD 9.3 0pWRGRV PXOWLSDVRV 9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior

366

9.5 3UREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD GH VHJXQGR RUGHQ REPASO DEL CAPÍTULO 9

375

viii

10

l

CONTENIDO

SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

376

10.1 6LVWHPDV DXWyQRPRV 10.2 (VWDELOLGDG GH VLVWHPDV OLQHDOHV 10.3 /LQHDOL]DFLyQ \ HVWDELOLGDG ORFDO 10.4 6LVWHPDV DXWyQRPRV FRPR PRGHORV PDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPÍTULO 10

11

408

SERIES DE FOURIER

410 11.1 )XQFLRQHV RUWRJRQDOHV 11.2 Series de Fourier

416

11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos

422

11.4 3UREOHPD GH 6WXUP /LRXYLOOH 11.5 6HULHV GH %HVVHO \ /HJHQGUH 11.5.1 6HULH GH )RXULHU %HVVHO 11.5.2 6HULH GH )RXULHU /HJHQGUH REPASO DEL CAPÍTULO 11

12

443

PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 445 12.1 (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV VHSDUDEOHV 12.2 ('3 FOiVLFDV \ SUREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 12.3 (FXDFLyQ GH FDORU 12.4 (FXDFLyQ GH RQGD 12.5 (FXDFLyQ GH /DSODFH 12.6 3UREOHPDV QR KRPRJpQHRV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 12.7 'HVDUUROORV HQ VHULHV RUWRJRQDOHV 12.8 3UREOHPDV GLPHQVLRQDOHV GH RUGHQ VXSHULRU REPASO DEL CAPÍTULO 12

481

CONTENIDO

l

13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

ix

483

13.1 &RRUGHQDGDV SRODUHV 13.2 &RRUGHQDGDV SRODUHV \ FLOtQGULFDV 13.3 &RRUGHQDGDV HVIpULFDV REPASO DEL CAPÍTULO 13

14

498

TRANSFORMADA INTEGRAL

500 14.1 )XQFLyQ HUURU 14.2 7UDQVIRUPDGD GH /DSODFH 14.3 ,QWHJUDO GH )RXULHU 14.4 Transformadas de Fourier REPASO DEL CAPÍTULO 14

15

516 522

SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 15.1 (FXDFLyQ GH /DSODFH 15.2 (FXDFLyQ GH FDORU 15.3 (FXDFLyQ GH RQGD REPASO DEL CAPÍTULO 15

539

APÉNDICES I

)XQFLyQ JDPPD $3( 1

II

0DWULFHV $3( 3

III

7UDQVIRUPDGDV GH /DSODFH $3( 21

5HVSXHVWDV D ORV SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV FRQ QXPHUDFLyQ LPSDU Índice

I-1

RES-1

524

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.1 ¿Invariablemente el SIDA es una enfermedad fatal?

&pOXOD LQIHFWDGD FRQ 9,+

por Ivan Kramer

(VWH HQVD\R DERUGDUi \ UHVSRQGHUi D OD VLJXLHQWH SUHJXQWD ¢(O VtQGURPH GH LQPXQRGH¿FLHQFLD DGTXLULGD 6,'$ TXH HV OD HWDSD ¿QDO GH OD LQIHFFLyQ SRU HO YLUXV GH LQPXQRGH¿FLHQFLD KXPDQD 9,+ HV LQYDULDEOHPHQWH XQD HQIHUPHGDG IDWDO" &RPR RWURV YLUXV HO 9,+ QR WLHQH QLQJ~Q PHWDEROLVPR \ QR SXHGH UHSURGXFLUVH IXHUD GH XQD FpOXOD YLYD /D LQIRUPDFLyQ JHQpWLFD GHO YLUXV HVWi FRQWHQLGD HQ GRV KHEUDV LGpQWLFDV GHO $51 3DUD UHSURGXFLUVH HO 9,+ GHEH XWLOL]DU HO DSDUDWR UHSURGXFWLYR GH OD FpOXOD LQYDGLpQGROD H LQIHFWiQGROD SDUD SURGXFLU FRSLDV H[DFWDV GHO $51 YLUDO 8QD YH] TXH SHQHWUD HQ XQD FpOXOD HO 9,+ WUDQVFULEH VX $51 HQ HO $'1 PHGLDQWH XQD HQ]LPD WUDQVFULSWDVD LQYHUVD FRQWHQLGD HQ HO YLUXV (O $'1 GH GREOH FDGHQD YLUDO PLJUD GHQWUR GHO Q~FOHR GH OD FpOXOD LQYDGLGD \ VH LQVHUWD HQ HO JHQRPD GH OD FpOXOD FRQ OD D\XGD GH RWUD HQ]LPD YLUDO LQWHJUDVD (QWRQFHV HO $'1 YLUDO \ HO $'1 GH OD FpOXOD LQYDGLGD VH LQWHJUDQ \ OD FpOXOD HVWi LQIHFWDGD &XDQGR VH HVWLPXOD D OD FpOXOD LQIHFWDGD SDUD UHSURGXFLUVH VH WUDQVFULEH HO $'1 SURYLUDO HQ HO $'1 YLUDO \ VH VLQWHWL]DQ QXHYDV SDUWtFXODV YLUDOHV 3XHVWR TXH ORV PHGLFDPHQWRV DQWLUUHWURYLUDOHV FRPR OD ]LGRYXGLQD LQKLEHQ OD HQ]LPD GHO 9,+ GH OD WUDQVFULSWDVD LQYHUVD \ GHWLHQHQ OD VtQWHVLV GH FDGHQD $'1 SURYLUDO HQ HO ODERUDWRULR HVWRV IiUPDFRV TXH JHQHUDOPHQWH VH DGPLQLVWUDQ HQ FRPELQDFLyQ UHWUDVDQ OD SURJUHVLyQ GHO 6,'$ HQ DTXHOODV SHUVRQDV TXH HVWiQ LQIHFWDGDV FRQ HO 9,+ DQ¿WULRQHV

/R TXH KDFH WDQ SHOLJURVD D OD LQIHFFLyQ SRU 9,+ HV HO KHFKR GH TXH GHELOLWD IDWDOPHQWH DO VLVWHPD LQPXQH GH XQ DQ¿WULyQ XQLHQGR D OD PROpFXOD &' HQ OD VXSHU¿FLH GH ODV FpOXODV YLWDOHV SDUD OD GHIHQVD FRQWUD OD HQIHUPHGDG LQFOX\HQGR ODV FpOXODV 7 DX[LOLDUHV \ XQD VXESREODFLyQ GH FpOXODV DVHVLQDV QDWXUDOHV 6H SRGUtD GHFLU TXH ODV FpOXODV 7 DX[LOLDUHV FpOXODV 7 &' R FpOXODV 7 VRQ ODV FpOXODV PiV LPSRUWDQWHV GHO VLVWHPD LQPXQROyJLFR \D TXH RUJDQL]DQ OD GHIHQVD GHO FXHUSR FRQWUD ORV DQWtJHQRV (O PRGHODGR VXJLHUH TXH OD LQIHFFLyQ SRU 9,+ GH ODV FpOXODV DVHVLQDV QDWXUDOHV KDFH TXH VHD imposible mediante una terapia antirretroviral moderna eliminar el virus [1@ $GHPiV GH OD PROpFXOD &' XQ YLULyQ QHFHVLWD SRU OR PHQRV GH XQ SXxDGR GH PROpFXODV FRUUHFHSWRUDV SRU HMHPSOR &&5 \ &;&5 HQ OD VXSHU¿FLH GH OD FpOXOD REMHWLYR SDUD SRGHU XQLUVH D pVWD SHQHWUDU HQ VX PHPEUDQD H LQIHFWDUOD 'H KHFKR DOUHGHGRU GHO GH ORV FDXFiVLFRV FDUHFHQ GH PROpFXODV FRUUHFHSWRUDV \ SRU OR WDQWR VRQ WRWDOPHQWH inmunes D LQIHFWDUVH GH 9,+ 8QD YH] HVWDEOHFLGD OD LQIHFFLyQ OD HQIHUPHGDG HQWUD HQ OD HWDSD GH LQIHFFLyQ DJXGD GXUDQWH XQDV VHPDQDV VHJXLGDV SRU XQ SHULRGR GH LQFXEDFLyQ £TXH SXHGH GXUDU GRV GpFDGDV R PiV $XQTXH OD GHQVLGDG GH FpOXODV 7 DX[LOLDUHV GH XQ DQ¿WULyQ FDPELD FXDVLHVWiWLFDPHQWH GXUDQWH HO SHULRGR GH LQFXEDFLyQ OLWHUDOPHQWH PLOHV GH PLOORQHV GH FpOXODV 7 LQIHFWDGDV \ SDUWtFXODV GH 9,+ VRQ GHVWUXLGDV \ UHHPSOD]DGDV GLDULDPHQWH (VWR HV FODUDPHQWH XQD JXHUUD GH GHVJDVWH HQ OD FXDO LQHYLWDEOHPHQWH SLHUGH HO VLVWHPD LQPXQROyJLFR 8Q PRGHOR GH DQiOLVLV GH OD GLQiPLFD HVHQFLDO TXH RFXUUH GXUDQWH HO periodo de incubación TXH LQHYLWDEOHPHQWH FDXVD 6,'$ HV HO VLJXLHQWH >1@ <D TXH HO 9,+ PXWD FRQ UDSLGH] VX FDSDFLGDG SDUD LQIHFWDU D ODV FpOXODV 7 HQ FRQWDFWR VX LQIHFWLYLGDG ¿QDOPHQWH DXPHQWD \ ODV FpOXODV GH WLSR 7 VH LQIHFWDQ $Vt HO VLVWHPD LQPXQROyJLFR GHEH DXPHQWDU OD WDVD GH GHVWUXFFLyQ GH ODV FpOXODV 7 LQIHFWDGDV DO LJXDO TXH FRPR OD WDVD GH SURGXFFLyQ GH RWUDV QXHYDV FpOXODV VDQDV SDUD UHHPSOD]DUORV 6LQ HPEDUJR OOHJD XQ SXQWR HQ TXH FXDQGR OD WDVD GH SURGXFFLyQ GH ODV FpOXODV 7 DOFDQ]D VX OtPLWH Pi[LPR SRVLEOH \ FXDOTXLHU DXPHQWR GH OD LQIHFWLYLGDG GHO 9,+ GHEH SURYRFDU QHFHVDULDPHQWH XQD FDtGD HQ OD GHQVLGDG GH 7 OR FXDO FRQGXFH DO 6,'$ 6RUSUHQGHQWHPHQWH DOUHGHGRU GHO GH ORV DQ¿WULRQHV QR PXHVWUDQ VLJQRV GH GHWHULRUR GHO VLVWHPD LQPXQROyJLFR GXUDQWH ORV GLH] SULPHURV DxRV GH OD LQIHFFLyQ 2ULJLQDOPHQWH VH SHQVDED TXH HVWRV DQ¿WULRQHV OODPDGRV no progresores a largo P-1

P-2

l

PROYECTO 3.1

¿INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?

plazo HUDQ SRVLEOHPHQWH LQPXQHV D GHVDUUROODU HO 6,'$ SHUR OD HYLGHQFLD GHO PRGHODGR VXJLHUH TXH ¿QDOPHQWH HVWRV DQ¿WULRQHV OR GHVDUUROODUiQ >1@ (Q PiV GHO GH ORV DQ¿WULRQHV HO VLVWHPD LQPXQROyJLFR SLHUGH JUDGXDOPHQWH VX ODUJD EDWDOOD FRQ HO YLUXV /D GHQVLGDG GH FpOXODV 7 HQ OD VDQJUH SHULIpULFD GH ORV DQ¿WULRQHV FRPLHQ]D D GLVPLQXLU GHVGH VX QLYHO QRUPDO HQWUH \ FpOXODV PP3 D FHUR OR TXH LQGLFD HO ¿QDO GHO SHULRGR GH LQFXEDFLyQ (O DQ¿WULyQ OOHJD D OD HWDSD GH OD LQIHFFLyQ GH 6,'$ ya sea FXDQGR XQD GH ODV PiV GH YHLQWH LQIHFFLRQHV RSRUWXQLVWDV FDUDFWHUtVWLFDV GHO 6,'$ VH GHVDUUROOD 6,'$ FOtQLFR R FXDQGR OD GHQVLGDG GH FpOXODV 7 FDH SRU GHEDMR GH FpOXODV PP3 XQD GH¿QLFLyQ DGLFLRQDO GHO 6,'$ SURPXOJDGD SRU HO &'& HQ /D LQIHFFLyQ GHO 9,+ KD OOHJDGR D VX HWDSD SRWHQFLDOPHQWH IDWDO 3DUD PRGHODU OD VXSHUYLYHQFLD GHO 6,'$ HO WLHPSR t HQ HO FXDO XQ DQ¿WULyQ GHVDUUROOD 6,'$ VHUi GHQRWDGD SRU t 8Q PRGHOR GH VXSHUYLYHQFLD SRVLEOH SDUD XQD FRKRUWH GH SDFLHQWHV FRQ 6,'$ SRVWXOD TXH HO 6,'$ QR HV XQD FRQGLFLyQ IDWDO SDUD XQD IUDFFLyQ GH OD FRKRUWH GHQRWDGD SRU Si TXH VH OODPDUi DTXt OD fracción inmortal 3DUD OD SDUWH UHVWDQWH GH OD FRKRUWH OD SUREDELOLGDG GH PRULU SRU XQLGDG GH WLHPSR DO WLHPSR t VH VXSRQH XQD FRQVWDQWH k GRQGH SRU VXSXHVWR k VHUi SRVLWLYD 3RU OR WDQWR OD IUDFFLyQ GH VXSHUYLYHQFLD S t SDUD HVWH PRGHOR HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ OLQHDO dS(t) dt

k[S(t)

Si]

8VDQGR HO PpWRGR GHO IDFWRU GH LQWHJUDFLyQ TXH VH DQDOL]D HQ OD VHFFLyQ YHPRV TXH OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH OD IUDFFLyQ GH VXSHUYLYHQFLD HVWi GDGD SRU S(t)

Si

[1

Si]e

kt

En lugar del parámetro k TXH DSDUHFH HQ OD HFXDFLyQ VH SXHGHQ GH¿QLU GRV QXHYRV SDUiPHWURV SDUD XQ DQ¿WULyQ SDUD HO FXDO HO 6,'$ HV IDWDO HO tiempo promedio de supervivencia Tprom dado por Tprom k y la supervivencia de vida media T dada por T OQ 冫k /D VXSHUYLYHQFLD GH YLGD PHGLD GH¿QLGD FRPR OD PLWDG GH WLHPSR UHTXHULGR SDUD HO FRKRUWH D PRULU HV WRWDOPHQWH DQiORJD D OD YLGD HQ GHFDLPLHQWR UDGLDFWLYR QXFOHDU 9HD HO SUREOHPD HQ HO HMHUFLFLR (Q WpUPLQRV GH HVWRV SDUiPHWURV OD GHSHQGHQFLD FRPSOHWD GHO WLHPSR HQ VH SXHGH HVFULELU FRPR e

kt

e

t Tprom

2

t T1 2

8WLOL]DQGR XQ SURJUDPD GH PtQLPRV FXDGUDGRV SDUD DMXVWDU OD IXQFLyQ GH OD IUDFFLyQ GH VXSHUYLYHQFLD HQ D ORV GDWRV UHDOHV GH VXSHUYLYHQFLD SDUD ORV KDELWDQWHV GH 0DU\ODQG TXH GHVDUUROODURQ 6,'$ HQ VH REWLHQH HO YDORU GH OD IUDFFLyQ LQPRUWDO GH Si \ XQ YDORU GH YLGD PHGLD GH VXSHUYLYHQFLD GH T DxR VLHQGR HO WLHPSR SURPHGLR GH VXSHUYLYHQFLD Tprom DxRV >2@ 9HD OD ¿JXUD O 3RU OR WDQWR VyOR FHUFD GHO GH ODV SHUVRQDV GH 0DU\ODQG TXH GHVDUUROODURQ 6,'$ HQ VREUHYLYLHURQ WUHV DxRV FRQ HVWD FRQGLFLyQ /D FXUYD GH VXSHUYLYHQFLD GHO 6,'$ GH HQ 0DU\ODQG HV SUiFWLFDPHQWH LGpQWLFD D ODV GH \ (O SULPHU IiUPDFR DQWLUUHWURYLUDO TXH VH HQFRQWUy HIHFWLYR FRQWUD HO 9,+ IXH OD ]LGRYXGLQD DQWHULRUPHQWH FRQRFLGD FRPR $=7 3XHVWR TXH OD ]LGRYXGLQD QR HUD FRQRFLGD SRU WHQHU XQ LPSDFWR HQ OD LQIHFFLyQ SRU HO 9,+ DQWHV GH \ QR HUD XQD WHUDSLD FRP~Q DQWHV GH HV UD]RQDEOH FRQFOXLU TXH OD VXSHUYLYHQFLD GH ORV SDFLHQWHV GH 6,'$ GH 0DU\ODQG GH QR IXH VLJQL¿FDWLYDPHQWH LQÀXHQFLDGD SRU OD WHUDSLD FRQ ]LGRYXGLQD (O YDORU SHTXHxR SHUR GLVWLQWR GH FHUR GH OD IUDFFLyQ LQPRUWDO Si obtenido de los datos GH 0DU\ODQG VH GHEH SUREDEOHPHQWH DO PpWRGR TXH 0DU\ODQG \ RWURV HVWDGRV XVDQ SDUD GHWHUPLQDU OD VXSHUYLYHQFLD GH VXV FLXGDGDQRV /RV UHVLGHQWHV FRQ 6,'$ TXH FDPELDURQ VX QRPEUH \ OXHJR PXULHURQ R TXLHQHV PXULHURQ HQ HO H[WUDQMHUR SRGUtDQ KDEHU VLGR FRQWDGRV FRPR YLYRV SRU HO 'HSDUWDPHQWR GH 6DOXG H +LJLHQH 0HQWDO GH 0DU\ODQG 3RU OR WDQWR HO YDORU GH OD IUDFFLyQ LQPRUWDO GH Si REWHQLGR D SDUWLU GH ORV GDWRV GH 0DU\ODQG HVWi FODUDPHQWH HQ HO OtPLWH VXSHULRU GH VX YHUGDGHUR YDORU TXH SUREDEOHPHQWH VHD FHUR

PROYECTO 3.1

ยฟINVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?

1.0

l

P-3

Fracciรณn de supervivencia Ajuste del modelo de dos parรกmetros

S(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 _16

16

48

80 112 144 176 208 240 272 Tiempo de supervivencia t(w)

FIGURA 1 &XUYD GH OD IUDFFLyQ GH VXSHUYLYHQFLD S t

(Q (DVWHUEURRN \ FRODERUDGRUHV SXEOLFDURQ GDWRV GHWDOODGRV DFHUFD GH OD VXSHUYLYHQFLD GH DQยฟWULRQHV LQIHFWDGRV TXH IXHURQ WUDWDGRV FRQ ]LGRYXGLQD \ FX\DV GHQVLGDGHV FHOXODUHV 7 FD\HURQ SRU GHEDMR GH ORV YDORUHV QRUPDOHV >3@ &RPR VXV GHQVLGDGHV GH FpOXODV 7 FDHQ D FHUR HVWDV SHUVRQDV GHVDUUROODQ HO 6,'$ FOtQLFR \ HPSLH]DQ D PRULU /RV VREUHYLYLHQWHV PiV ORQJHYRV GH HVWD HQIHUPHGDG YLYHQ SDUD YHU TXH VXV GHQVLGDGHV 7 VRQ LQIHULRUHV D FpOXODV PP3 6L HO WLHPSR t HV UHGHยฟQLGR OR TXH VLJQLยฟFD HO PRPHQWR HQ TXH OD GHQVLGDG FHOXODU 7 GH XQ DQยฟWULyQ FDH SRU GHEDMR GH FpOXODV PP3 HQWRQFHV OD VXSHUYLYHQFLD GH HVWRV DQยฟWULRQHV IXH GHWHUPLQDGD SRU (DVWHUEURRN HQ \ WUDQVFXUULGR HO WLHPSR GH XQ DxR XQ DxR \ PHGLR \ GRV DxRV UHVSHFWLYDPHQWH &RQ XQ DMXVWH GH PtQLPRV FXDGUDGRV GH OD IXQFLyQ GH OD IUDFFLyQ GH VXSHUYLYHQFLD HQ

D ORV GDWRV GH (DVWHUEURRN SDUD 9,+ ORV DQยฟWULRQHV LQIHFWDGRV FRQ GHQVLGDG FHOXODU 7 HQ HO UDQJR GH FpOXODV PP3 SURGXFHQ XQ YDORU GH OD IUDFFLyQ LQPRUWDO GH Si \ XQD YLGD PHGLD GH VXSHUYLYHQFLD GH T DxR >4@ HQ IRUPD HTXLYDOHQWH HO WLHPSR SURPHGLR GH VXSHUYLYHQFLD HV Tprom DxRV (VWRV UHVXOWDGRV PXHVWUDQ FODUDPHQWH TXH OD ]LGRYXGLQD QR HV HยฟFD] SDUD GHWHQHU OD UHSOLFDFLyQ GH WRGDV ODV FHSDV GHO 9,+ \D TXH TXLHQHV UHFLELHURQ HVWH IiUPDFR ยฟQDOPHQWH PXULHURQ FDVL DO PLVPR ULWPR TXH TXLHQHV QR OR UHFLELHURQ (Q UHDOLGDG OD SHTXHxD GLIHUHQFLD GH PHVHV HQ OD YLGD PHGLD GH VXSHUYLYHQFLD SDUD ORV DQยฟWULRQHV GH FRQ GHQVLGDGHV FHOXODUHV 7 SRU GHEDMR GH FpOXODV PP3 FRQ WHUDSLD GH ]LGRYXGLQD T DxR \ OD GH LQIHFWDGRV GH HQ 0DU\ODQG TXH QR WRPDURQ ]LGRYXGLQD T DxR VH SXHGH GHEHU WRWDOPHQWH D XQD PHMRU KRVSLWDOL]DFLyQ \ D PHMRUDV HQ HO WUDWDPLHQWR GH ODV LQIHFFLRQHV RSRUWXQLVWDV UHODFLRQDGDV FRQ HO 6,'$ HQ HO WUDQVFXUVR GH HVRV DxRV $Vt HQ ~OWLPD LQVWDQFLD GHVDSDUHFH OD FDSDFLGDG LQLFLDO GH ]LGRYXGLQD SDUD SURORQJDU OD VXSHUYLYHQFLD FRQ OD HQIHUPHGDG SRU 9,+ \ OD LQIHFFLyQ UHDQXGD VX SURJUHVLyQ 6H KD HVWLPDGR TXH OD WHUDSLD GH ]LGRYXGLQD DPSOtD OD FDSDFLGDG GH VXSHUYLYHQFLD GH XQ SDFLHQWH LQIHFWDGR FRQ 9,+ TXL]i SRU R PHVHV HQ SURPHGLR >4@ 3RU ~OWLPR MXQWDQGR ORV UHVXOWDGRV DQWHULRUHV GH PRGHODGR SDUD DPERV FRQMXQWRV GH GDWRV HQFRQWUDPRV TXH HO YDORU GH OD IUDFFLyQ LQPRUWDO VH HQFXHQWUD HQ DOJ~Q OXJDU GHQWUR GHO UDQJR Si \ HO WLHPSR SURPHGLR GH VXSHUYLYHQFLD VH HQFXHQWUD GHQWUR GHO UDQJR DxRV Tprom DxRV $Vt HO SRUFHQWDMH GH SHUVRQDV SDUD TXLHQHV HO 6,'$ QR HV XQD HQIHUPHGDG PRUWDO HV PHQRU GH \ SXHGH VHU FHUR (VWRV UHVXOWDGRV FRLQFLGHQ FRQ XQ HVWXGLR GH VREUH OD KHPRยฟOLD DVRFLDGD FRQ FDVRV GH 6,'$ HQ (VWDGRV 8QLGRV TXH HQFRQWUy TXH OD GXUDFLyQ PHGLDQD GH OD VXSHUYLYHQFLD GHVSXpV GH GLDJQyVWLFR GH 6,'$ IXH GH PHVHV >5@ 8Q HVWXGLR PiV UHFLHQWH \ FRPSOHWR GH KHPRItOLFRV FRQ 6,'$ FOtQLFR XWLOL]DQGR HO PRGHOR HQ HQFRQWUy TXH OD IUDFFLyQ LQPRUWDO IXH Si y los WLHPSRV GH VXSHUYLYHQFLD PHGLD SDUD DTXHOORV HQWUH \ DxRV GH HGDG YDULy HQWUH ORV \ ORV PHVHV GHSHQGLHQGR GH OD FRQGLFLyQ DVRFLDGD DO 6,'$ >6@ Aunque los trasplantes de mรฉdula รณsea que usan cรฉlulas madre del donante homocigรณtico para la supresiรณn del delta 32 CCR5 podrรญan conducir a curas, los datos clรญnicos resultantes consistentemente muestran que el SIDA es una enfermedad invariablemente fatal.

P-4

l

PROYECTO 3.1

¿INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?

PROBLEMAS RELACIONADOS 1. 6XSRQJDPRV TXH OD IUDFFLyQ GH XQD FRKRUWH GH SDFLHQWHV FRQ 6,'$ TXH VREUHYLYH XQ tiempo t GHVSXpV GH GLDJQyVWLFR GH 6,'$ HVWi GDGD SRU S t H[S kt 'HPXHVWUH TXH HO WLHPSR SURPHGLR GH VXSHUYLYHQFLD Tprom GHVSXpV GHO GLDJQyVWLFR GH 6,'$ SDUD XQ PLHPEUR GH HVWD FRKRUWH HVWi GDGR SRU Tprom å&#x2020;«k 2. /D IUDFFLyQ GH XQD FRKRUWH GH SDFLHQWHV FRQ 6,'$ TXH VREUHYLYH D XQ WLHPSR t GHVSXpV GHO GLDJQyVWLFR GH 6,'$ HVWi GDGD SRU S t H[S kt 6XSRQJDPRV TXH OD VXSHUYLYHQFLD PHGLD GH XQD FRKRUWH GH KHPRItOLFRV GLDJQRVWLFDGRV FRQ 6,'$ DQWHV GH VH HQFRQWUy GH Tprom PHVHV ¢4Xp IUDFFLyQ GH OD FRKRUWH VREUHYLYLy FLQFR DxRV GHVSXpV GHO GLDJQyVWLFR GH 6,'$" 3. /D IUDFFLyQ GH XQD FRKRUWH GH SDFLHQWHV GH 6,'$ TXH VREUHYLYH D XQ WLHPSR t GHVSXpV GH GLDJQyVWLFR GH 6,'$ HVWi GDGD SRU S t H[S kt (O WLHPSR TXH WDUGD S t SDUD DOFDQ]DU HO YDORU GH VH GH¿QH FRPR HO SHULRGR GH VXSHUYLYHQFLD \ HVWi GHQRWDGR SRU T a) 'HPXHVWUH TXH S t VH SXHGH HVFULELU HQ OD IRUPD S t tå&#x2020;«T b) 'HPXHVWUH TXH T Tprom OQ GRQGH Tprom HV HO WLHPSR SURPHGLR GH VXSHUYLYHQFLD GH¿QLGR HQ HO SUREOHPD 3RU OR WDQWR HV FLHUWR VLHPSUH TXH T Tprom 4. $SUR[LPDGDPHQWH HO GH ORV SDFLHQWHV GH FiQFHU GH SXOPyQ VH FXUDQ GH OD HQIHUPHGDG HV GHFLU VREUHYLYHQ FLQFR DxRV GHVSXpV GHO GLDJQyVWLFR FRQ QLQJXQD HYLGHQFLD GH TXH HO FiQFHU KD UHJUHVDGR 6yOR HO GH ORV SDFLHQWHV GH FiQFHU GH SXOPyQ VREUHYLYHQ FLQFR DxRV GHVSXpV GHO GLDJQyVWLFR 6XSRQJD TXH OD IUDFFLyQ GH SDFLHQWHV FRQ FiQFHU SXOPRQDU LQFXUDEOH TXH VREUHYLYHQ XQ WLHPSR t GHVSXpV GH OD GLDJQRVLV HVWi GDGD SRU H[S kt (QFXHQWUH XQD H[SUHVLyQ SDUD OD IUDFFLyQ S t GH SDFLHQWHV FRQ FiQFHU GH SXOPyQ TXH VREUHYLYHQ XQ WLHPSR t GHVSXpV GH VHU GLDJQRVWLFDGRV FRQ OD HQIHUPHGDG $VHJ~UHVH GH GHWHUPLQDU ORV YDORUHV GH ODV FRQVWDQWHV HQ VX UHVSXHVWD ¢4Xp IUDFFLyQ GH SDFLHQWHV FRQ FiQFHU SXOPRQDU VREUHYLYH GRV DxRV FRQ OD HQIHUPHGDG" REFERENCIAS 1. .UDPHU ,YDQ ³:KDW WULJJHUV WUDQVLHQW $,'6 LQ WKH DFXWH SKDVH RI +,9 LQIHFWLRQ DQG FKURQLF $,'6 DW WKH HQG RI WKH LQFXEDWLRQ SHULRG"´ HQ Computational and Mathematical Methods in Medicine YRO Q~P MXQ SS 2. .UDPHU ,YDQ ³,V $,'6 DQ LQYDULDEOH IDWDO GLVHDVH" $ PRGHO DQDO\VLV RI $,'6 VXUYLYDO FXUYHV´ en Mathematical and Computer Modelling Q~P SS 3. (DVWHUEURRN 3KLOLSSD - et al., ³3URJUHVVLYH &' FHOO GHSOHWLRQ DQG GHDWK LQ ]LGRYXGLQH WUHDWHG SDWLHQWV´ HQ JAIDS GH DJRVWR GH Q~P SS 4. .UDPHU ,YDQ ³7KH LPSDFW RI ]LGRYXGLQH $=7 WKHUDS\ RQ WKH VXUYLYDELOLW\ RI WKRVH ZLWK SURJUHVVLYH +,9 LQIHFWLRQ´ HQ Mathematical and Computer Modelling YRO Q~P IHE GH SS 5. 6WHKU *UHHQ - . 5 & +ROPDQ 0 $ 0DKRQH\ ³6XUYLYDO DQDO\VLV RI KHPRSKLOLD DVVRFLDWHG $,'6 FDVHV LQ WKH 86´ HQ Am. J. Public Health MXO GH DxR Q~P SS 6. *DLO 0LWFKHO + et al ³6XUYLYDO DIWHU $,'6 GLDJQRVLV LQ D FRKRUW RI KHPRSKLOLD SDWLHQWV´ HQ JAIDS GH DJR GH Q~P SS

ACERCA DEL AUTOR Ivan Kramer REWXYR OD OLFHQFLDWXUD HQ )tVLFD \ 0DWHPiWLFDV HQ HO &LW\ &ROOHJH GH 1XHYD <RUN HQ \ HO GRFWRUDGR HQ ItVLFD WHyULFD GH SDUWtFXODV HQ OD 8QLYHUVLGDG GH &DOLIRUQLD HQ %HUNHOH\ HQ (Q OD DFWXDOLGDG HV SURIHVRU DVRFLDGR GH ItVLFD HQ OD 8QLYHUVLGDG GH 0DU\ODQG FRQGDGR GH %DOWLPRUH (O 'U .UDPHU IXH 'LUHFWRU GHO 3UR\HFWR GH SURQyVWLFR GH FDVRV GH 9,+ 6,'$ HQ 0DU\ODQG SRU HO TXH UHFLELy XQD VXEYHQFLyQ GH OD $GPLQLVWUDFLyQ GHO 6,'$ GHO 'HSDUWDPHQWR GH 6DOXG H +LJLHQH GH 0DU\ODQG HQ $GHPiV GH VXV PXFKRV DUWtFXORV SXEOLFDGRV VREUH OD LQIHFFLyQ SRU 9,+ \ HO 6,'$ VXV LQWHUHVHV GH LQYHVWLJDFLyQ LQFOX\HQ PRGHORV GH PXWDFLyQ GH FiQFHU OD HQIHUPHGDG GH $O]KHLPHU \ OD HVTXL]RIUHQLD

1

INTRODUCCIร N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 'HยฟQLFLRQHV \ WHUPLQRORJtD 1.2 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 1.3 (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRPR PRGHORV PDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPร TULO 1

(V FLHUWR TXH ODV SDODEUDV ecuaciones \ diferenciales VXJLHUHQ DOJXQD FODVH GH HFXDFLyQ TXH FRQWLHQH GHULYDGDV y , y $O LJXDO TXH HQ XQ FXUVR GH iOJHEUD \ WULJRQRPHWUtD HQ ORV TXH VH LQYLHUWH EDVWDQWH WLHPSR HQ OD VROXFLyQ GH HFXDFLRQHV WDOHV FRPR x2 5x 4 SDUD OD LQFyJQLWD x HQ HVWH FXUVR una GH ODV WDUHDV VHUi UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GHO WLSR y 2y y SDUD OD IXQFLyQ LQFyJQLWD y (x).

(O SiUUDIR DQWHULRU QRV GLFH DOJR SHUR QR OD KLVWRULD FRPSOHWD VREUH HO FXUVR TXH HVWi SRU LQLFLDU &RQIRUPH HO FXUVR VH GHVDUUROOH YHUi TXH KD\ PiV HQ HO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH VRODPHQWH GRPLQDU ORV PpWRGRV TXH DOJXLHQ KD LQYHQWDGR SDUD UHVROYHUODV 3HUR YDPRV HQ RUGHQ 3DUD OHHU HVWXGLDU \ SODWLFDU VREUH XQ WHPD HVSHFLDOL]DGR HV QHFHVDULR DSUHQGHU OD WHUPLQRORJtD GH HVWD GLVFLSOLQD (VD HV OD LQWHQFLyQ GH ODV GRV SULPHUDV VHFFLRQHV GH HVWH FDStWXOR (Q OD ~OWLPD VHFFLyQ H[DPLQDUHPRV EUHYHPHQWH HO YtQFXOR HQWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV \ HO PXQGR UHDO /DV SUHJXQWDV SUiFWLFDV FRPR ยฟquรฉ tan rรกpido se propaga una enfermedad? \ ยฟquรฉ tan rรกpido cambia una poblaciรณn? LPSOLFDQ UD]RQHV GH FDPELR R GHULYDGDV $Vt OD GHVFULSFLyQ PDWHPiWLFD ยฒR PRGHOR PDWHPiWLFRยฒ GH H[SHULPHQWRV REVHUYDFLRQHV R WHRUtDV SXHGH VHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

1

2

l

CAPร TULO 1

1.1

INTRODUCCIร N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIONES Y TERMINOLOGร A REPASO DE MATERIAL l 'HยฟQLFLyQ GH GHULYDGD l 5HJODV GH GHULYDFLyQ l 'HULYDGD FRPR XQD UD]yQ GH FDPELR l &RQH[LyQ HQWUH OD SULPHUD GHULYDGD \ FUHFLPLHQWR GHFUHFLPLHQWR l &RQH[LyQ HQWUH OD VHJXQGD GHULYDGD \ FRQFDYLGDG INTRODUCCIร N /D GHULYDGD dyๅ พdx GH XQD IXQFLyQ y (x HV RWUD IXQFLyQ (x TXH VH HQFXHQWUD FRQ XQD UHJOD DSURSLDGD /D IXQFLyQ y e0.1x2 HV GHULYDEOH HQ HO LQWHUYDOR , \ XVDQGR 2 OD UHJOD GH OD FDGHQD VX GHULYDGD HV dyๅ พdx 0.2xe0.1x 6L VXVWLWXLPRV e0.1x2 HQ HO ODGR GHUHFKR GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ SRU y OD GHULYDGD VHUi

dy dx

0.2xy

(1)

$KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR FRQVWUX\y VX HFXDFLyQ XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R \ VH SUHJXQWD ยฟcuรกl es la funciรณn representada con el sรญmbolo y? 6H HQIUHQWD HQWRQFHV D XQR GH ORV SUREOHPDV EiVLFRV GH HVWH FXUVR ยฟCรณmo resolver una ecuaciรณn para la funciรณn desconocida y (x)?

UNA DEFINICIร N $ OD HFXDFLyQ VH OH GHQRPLQD ecuaciรณn diferencial $QWHV GH SURVHJXLU FRQVLGHUHPRV XQD GHยฟQLFLyQ PiV H[DFWD GH HVWH FRQFHSWR DEFINICIร N 1.1.1

Ecuaciรณn diferencial

6H GHQRPLQD ecuaciรณn diferencial (ED) D OD HFXDFLyQ TXH FRQWLHQH GHULYDGDV GH XQD R PiV YDULDEOHV UHVSHFWR D XQD R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV 3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVLยฟFDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden \ linealidad.

CLASIFICACIร N POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV UHVSHFWR D XQD VROD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH VH GLFH TXH HV XQD ecuaciรณn diferencial ordinaria (EDO) 8QD HFXDFLyQ TXH LQYROXFUD GHULYDGDV SDUFLDOHV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV GH GRV R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV VH OODPD ecuaciรณn diferencial parcial (EDP) 1XHVWUR SULPHU HMHPSOR LOXVWUD YDULDV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH FDGD WLSR

EJEMPLO 1

Tipos de ecuaciones diferenciales

a) /DV HFXDFLRQHV

8QD ('2 SXHGH FRQWHQHU PiV GH XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH

o

2

d y dy dx dy 5y ex, 2 6y 0, y dx dx dx dt VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV

o

dy dt

y

2x

(2)

b) /DV VLJXLHQWHV VRQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV 2

u x2

2

u y2

2

0,

u x2

2

u t2

2

u u , y t y

v x

(3)

2EVHUYH TXH HQ OD WHUFHUD HFXDFLyQ KD\ GRV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV \ GRV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV HQ OD ('3 (VWR VLJQLยฟFD TXH u \ v GHEHQ VHU IXQFLRQHV GH GRV R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV

1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGร A

l

3

NOTACIร N $ OR ODUJR GHO OLEUR ODV GHULYDGDV RUGLQDULDV VH HVFULELUiQ XVDQGR OD notaciรณn de Leibniz dyๅ พdx, d 2yๅ พdx 2, d 3yๅ พdx 3 R OD notaciรณn prima y , y , y 8VDQGR HVWD ~OWLPD QRWDFLyQ ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HQ VH SXHGHQ HVFULELU HQ XQD IRUPD XQ SRFR PiV FRPSDFWD FRPR y 5y ex \ y y 6y (Q UHDOLGDG OD QRWDFLyQ SULPD VH XVD SDUD GHQRWDU VyOR ODV SULPHUDV WUHV GHULYDGDV OD FXDUWD GHULYDGD VH GHQRWD y(4) HQ OXJDU GH y (Q JHQHUDO OD n pVLPD GHULYDGD GH y VH HVFULEH FRPR dnyๅ พdxn R \(n) $XQTXH HV PHQRV FRQYHQLHQWH SDUD HVFULELU R FRPSRQHU WLSRJUiยฟFDPHQWH OD QRWDFLyQ GH /HLEQL] WLHQH XQD YHQWDMD VREUH OD QRWDFLyQ SULPD PXHVWUD FODUDPHQWH DPEDV YDULDEOHV ODV GHSHQGLHQWHV \ ODV LQGHSHQGLHQWHV 3RU HMHPSOR HQ OD HFXDFLyQ funciรณn incรณgnita o variable dependiente

d 2x โ โ โ 2 16x 0 dt variable independiente

VH DSUHFLD GH LQPHGLDWR TXH DKRUD HO VtPEROR x UHSUHVHQWD XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH PLHQWUDV TXH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV t 7DPELpQ VH GHEH FRQVLGHUDU TXH HQ LQJHQLH UtD \ HQ FLHQFLDV ItVLFDV OD notaciรณn de punto GH 1HZWRQ QRPEUDGD GHVSHFWLYDPHQWH QRWDFLyQ GH ยณSXQWLWRยด DOJXQDV YHFHV VH XVD SDUD GHQRWDU GHULYDGDV UHVSHFWR DO WLHP SR t $Vt OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d 2sๅ พdt 2 VHUi ยจs &RQ IUHFXHQFLD ODV GHULYDGDV SDUFLDOHV VH GHQRWDQ PHGLDQWH XQD notaciรณn de subรญndice TXH LQGLFD ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV 3RU HMHPSOR FRQ OD QRWDFLyQ GH VXEtQGLFHV OD VHJXQGD HFXDFLyQ HQ

VHUi u xx u tt 2u t.

CLASIFICACIร N POR ORDEN (O orden de una ecuaciรณn diferencial \D VHD ('2 R ('3 HV HO RUGHQ GH OD PD\RU GHULYDGD HQ OD HFXDFLyQ 3RU HMHPSOR segundo orden

primer orden

d 2y

( )

dy 3 โ โ โ โ 2 5 โ โ โ 4y ex dx dx HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH VHJXQGR RUGHQ (Q HO HMHPSOR OD SULPHUD \ OD WHUFHUD HFXDFLyQ HQ VRQ ('2 GH SULPHU RUGHQ PLHQWUDV TXH HQ ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV VRQ ('3 GH VHJXQGR RUGHQ $ YHFHV ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU RUGHQ VH HVFULEHQ HQ OD IRUPD GLIHUHQFLDO M(x, y) dx N(x, y) dy 3RU HMHPSOR VL VXSRQHPRV TXH y GHQRWD OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HQ (y x) dx 4xdy 0, HQWRQFHV y dyๅ พdx SRU OR TXH DO GLYLGLU HQWUH OD GLIHUHQFLDO dx REWHQHPRV OD IRUPD DOWHUQD 4xy y x.

6LPEyOLFDPHQWH SRGHPRV H[SUHVDU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n pVLPR RUGHQ FRQ XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU OD IRUPD JHQHUDO

F(x, y, y , . . . , y(n))

0,

(4) GRQGH F HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV GH n YDULDEOHV x, y, y , โ ฆ, y(n) 3RU UD]RQHV WDQWR SUiFWLFDV FRPR WHyULFDV GH DKRUD HQ DGHODQWH VXSRQGUHPRV TXH HV SRVLEOH UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD HQ OD IRUPD GH OD HFXDFLyQ ~QLFDPHQWH SDUD OD PD\RU GHULYDGD y(n) HQ WpUPLQRV GH ODV n YDULDEOHV UHVWDQWHV /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d ny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5) dxn GRQGH f HV XQD IXQFLyQ FRQWLQXD FRQ YDORUHV UHDOHV VH FRQRFH FRPR OD forma normal GH OD HFXDFLyQ $Vt TXH SDUD QXHVWURV SURSyVLWRV XVDUHPRV ODV IRUPDV QRUPDOHV FXDQGR VHD DGHFXDGR dy d 2y f (x, y) y 2 f (x, y, y ) dx dx

([FHSWR HVWD VHFFLyQ GH LQWURGXFFLyQ HQ Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado GpFLPD HGLFLyQ VyOR VH FRQVLGHUDQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV (Q HVH OLEUR OD SDODEUD ecuaciรณn \ OD DEUHYLDWXUD (' VH UHยฟHUHQ VyOR D ODV ('2 /DV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV R ('3 VH FRQVLGHUDQ HQ HO YROXPHQ DPSOLDGR Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera RFWDYD HGLFLyQ

4

l

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VHJXQGR RUGHQ 3RU HMHPSOR OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GH SULPHU RUGHQ xy y x HV y (x y)兾4x OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GH VHJXQGR RUGHQ y y 6y 0 HV y y 6y 9HD HO LQFLVR iv) HQ ORV Comentarios.

CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPR RUGHQ HV lineal VL F HV OLQHDO HQ y, y , . . . , y (n) (VWR VLJQL¿FD TXH XQD ('2 GH n-pVLPR RUGHQ HV OLQHDO FXDQGR OD HFXDFLyQ HV a n(x)y (n) a n 1(x)y (n 1) a1 (x)y a 0(x)y g(x) R

dny d n 1y dy (6) an 1(x) n 1 a1(x) a0(x)y g(x). n dx dx dx 'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ n \ GH VHJXQGR RUGHQ n

dy d 2y dy a1(x) a0 (x)y g(x) y a2 (x) 2 a1(x) a0 (x)y g(x). (7) dx dx dx (Q OD FRPELQDFLyQ GH OD VXPD GHO ODGR L]TXLHUGR GH OD HFXDFLyQ YHPRV TXH ODV GRV SURSLHGDGHV FDUDFWHUtVWLFDV GH XQD ('2 VRQ ODV VLJXLHQWHV • /D YDULDEOH GHSHQGLHQWH y \ WRGDV VXV GHULYDGDV y , y , . . . , y (n) VRQ GH SULPHU JUDGR HV GHFLU OD SRWHQFLD GH FDGD WpUPLQR TXH FRQWLHQH y HV LJXDO D • /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y , . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH x.

8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD no lineal HV VLPSOHPHQWH XQD TXH QR HV OLQHDO /DV IXQFLRQHV QR OLQHDOHV GH OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH R GH VXV GHULYDGDV WDOHV FRPR VHQ y R e y’, QR SXHGHQ DSDUHFHU HQ XQD HFXDFLyQ OLQHDO an(x)

EJEMPLO 2

EDO lineal y no lineal

a) /DV HFXDFLRQHV 3 dy 3d y 5y ex x 3 x dx dx VRQ UHVSHFWLYDPHQWH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV lineales GH SULPHU VHJXQGR \ WHUFHU RUGHQ $FDEDPRV GH PRVWUDU TXH OD SULPHUD HFXDFLyQ HV OLQHDO HQ OD YDULDEOH y FXDQGR VH HVFULEH HQ OD IRUPD DOWHUQDWLYD xy y x.

(y

x) dx

4xy dy

0, y

2y

y

0, y

b) /DV HFXDFLRQHV término no lineal: coeficiente depende de y

término no lineal: función no lineal de y

(1 y)y 2y e x,

d 2y ––––2 sen y 0, dx

término no lineal: el exponente es diferente de 1

y

d 4y ––––4 y 2 0 dx

VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV no lineales GH SULPHU VHJXQGR \ FXDUWR RUGHQ UHVSHFWLYDPHQWH SOLUCIONES &RPR \D VH KD HVWDEOHFLGR XQR GH ORV REMHWLYRV GH HVWH FXUVR HV UHVROYHU R HQFRQWUDU VROXFLRQHV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q OD VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ FRQVLGHUDPRV HO FRQFHSWR GH VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD DEFINICIÓN 1.1.2 Solución de una EDO 6H GHQRPLQD XQD solución GH OD HFXDFLyQ HQ HO LQWHUYDOR D FXDOTXLHU IXQFLyQ , GH¿QLGD HQ XQ LQWHUYDOR I \ TXH WLHQH DO PHQRV n GHULYDGDV FRQWLQXDV HQ I ODV FXDOHV FXDQGR VH VXVWLWX\HQ HQ XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n pVLPR RUGHQ UHGXFHQ OD HFXDFLyQ D XQD LGHQWLGDG (Q RWUDV SDODEUDV XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n pVLPR RUGHQ

HV XQD IXQFLyQ TXH SRVHH DO PHQRV n GHULYDGDV SDUD ODV TXH

1.1

F(x, (x),

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

(n)

(x), . . . ,

(x))

l

5

0 para toda x en I.

'HFLPRV TXH satisface OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ I 3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV VXSRQGUHPRV TXH XQD VROXFLyQ HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV (Q QXHVWUR DQiOLVLV GH LQWURGXFFLyQ YLPRV TXH y e0.1x 2 HV XQD VROXFLyQ GH dy兾dx 0.2xy HQ HO LQWHUYDOR , ).

2FDVLRQDOPHQWH VHUi FRQYHQLHQWH GHQRWDU XQD VROXFLyQ FRQ HO VtPEROR DOWHUQDWLYR \࣠(x).

INTERVALO DE DEFINICIÓN 1R SRGHPRV SHQVDU HQ OD solución GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD VLQ SHQVDU VLPXOWiQHDPHQWH HQ XQ intervalo (O LQWHUYDOR I HQ OD GH¿QLFLyQ WDPELpQ VH FRQRFH FRQ RWURV QRPEUHV FRPR VRQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ, intervalo de existencia, intervalo de validez R dominio de la solución \ SXHGH VHU XQ LQWHUYDOR DELHUWR a, b XQ LQWHUYDOR FHUUDGR >a, b@ XQ LQWHUYDOR LQ¿QLWR a, HWFpWHUD

EJEMPLO 3

9HUL¿FDFLyQ GH XQD VROXFLyQ

9HUL¿TXH TXH OD IXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD HQ HO LQWHUYDOR , ). a) dy dx

1

xy 2 ;

y

1 4 16 x

b) y

2y

y

0; y

xex

SOLUCIÓN 8QD IRUPD GH YHUL¿FDU TXH OD IXQFLyQ GDGD HV XQD VROXFLyQ FRQVLVWH HQ

REVHUYDU XQD YH] TXH VH KD VXVWLWXLGR VL FDGD ODGR GH OD HFXDFLyQ HV HO PLVPR SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR a) (Q lado izquierdo:

dy dx

lado derecho:

xy1/2

1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16

1 2 x 4

1 3 x, 4

YHPRV TXH FDGD ODGR GH OD HFXDFLyQ HV HO PLVPR SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x 2EVHUYH 1 4 TXH y1/2 14 x 2 HV SRU GH¿QLFLyQ OD UDt] FXDGUDGD QR QHJDWLYD GH 16 x. b) (Q ODV GHULYDGDV y xe x e x \ y xe x 2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x, lado izquierdo: lado derecho:

y 0.

2y

y

(xe x

2e x )

2(xe x

e x)

xe x

0,

(Q HO HMHPSOR REVHUYH WDPELpQ TXH FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH OD VROXFLyQ FRQVWDQWH y 0, x $ OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HV LJXDO D FHUR HQ XQ LQWHUYDOR I VH OH FRQRFH FRPR OD solución trivial.

CURVA SOLUCIÓN /D JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ GH XQD ('2 VH OODPD curva solución. 3XHVWR TXH HV XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HV FRQWLQXD HQ VX LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I 3XHGH KDEHU GLIHUHQFLD HQWUH OD JUi¿FD GH OD función \ OD JUi¿FD GH OD solución (V GHFLU HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ QR QHFHVLWD VHU LJXDO DO LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I R GRPLQLR GH OD VROXFLyQ (O HMHPSOR PXHVWUD OD GLIHUHQFLD

EJEMPLO 4

Función contra solución

(O GRPLQLR GH y 1兾x FRQVLGHUDGR VLPSOHPHQWH FRPR XQD función HV HO FRQMXQWR GH WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV x H[FHSWR HO &XDQGR WUD]DPRV OD JUi¿FD GH y 1兾x GLEXMDPRV ORV SXQWRV HQ HO SODQR xy FRUUHVSRQGLHQWHV D XQ MXLFLRVR PXHVWUHR GH Q~PHURV WRPDGRV GHO GRPLQLR /D IXQFLyQ UDFLRQDO y 1兾x HV GLVFRQWLQXD HQ HQ OD ¿JXUD D VH

6

l

CAPร TULO 1

INTRODUCCIร N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

PXHVWUD VX JUiยฟFD HQ XQD YHFLQGDG GHO RULJHQ /D IXQFLyQ y 1ๅ พx QR HV GHULYDEOH HQ x \D TXH HO HMH y FX\D HFXDFLyQ HV x HV XQD DVtQWRWD YHUWLFDO GH OD JUiยฟFD $KRUD y 1ๅ พx HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy y FRPSUXHEH 3HUR FXDQGR GHFLPRV TXH y 1ๅ พx HV XQD soluciรณn GH HVWD (' VLJQLยฟFD TXH HV XQD IXQFLyQ GHยฟQLGD HQ XQ LQWHUYDOR I HQ HO TXH HV GHULYDEOH \ VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ (Q RWUDV SDODEUDV y 1ๅ พx HV XQD VROXFLyQ GH OD (' HQ cualquier LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD WDO FRPR 3, 1), (12, 10), ( R 3RUTXH ODV FXUYDV VROXFLyQ GHยฟQLGDV SRU y 1ๅ พx SDUD 3 x \ 12 x VRQ VLPSOHPHQWH WUDPRV R SDUWHV GH ODV FXUYDV VROXFLyQ GHยฟQLGDV SRU y 1ๅ พx SDUD x 0 \ x UHVSHFWLYDPHQWH HVWR KDFH TXH WHQJD VHQWLGR WRPDU HO LQWHUYDOR I WDQ JUDQGH FRPR VHD SRVLEOH $Vt WRPDPRV I \D VHD FRPR R /D FXUYD VROXFLyQ HQ HV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ยฟJXUD E

y

1 1

x

a) funciรณn y 1/x, x

0

y

1 1

x

b) soluciรณn y 1/x, (0, โ )

FIGURA 1.1.1 /D IXQFLyQ y 1ๅ พx QR HV OD PLVPD TXH OD VROXFLyQ y 1ๅ พx.

SOLUCIONES EXPLร CITAS E IMPLร CITAS 'HEH HVWDU IDPLOLDUL]DGR FRQ ORV WpUPLQRV funciones explรญcitas \ funciones implรญcitas GH VX FXUVR GH FiOFXOR $ XQD VROXFLyQ HQ OD FXDO OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH VH H[SUHVD VyOR HQ WpUPLQRV GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ ODV FRQVWDQWHV VH OH FRQRFH FRPR soluciรณn explรญcita 3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV FRQVLGHUHPRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD FRPR XQD IyUPXOD H[SOtFLWD y (x) TXH SRGDPRV PDQHMDU HYDOXDU \ GHULYDU XVDQGR ODV UHJODV XVXDOHV $FDEDPRV GH YHU HQ ORV GRV ~OWLPRV HMHPSORV TXH y 161 x4 , y xe x \ y 1ๅ พx VRQ VROXFLRQHV H[SOtFLWDV UHVSHFWLYDPHQWH GH dyๅ พdx xy , y 2y y \ xy y $GHPiV OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH FDGD XQD GH HVWDV WUHV HFXDFLRQHV &XDQGR OOHJXHPRV DO SXQWR GH UHDOPHQWH UHVROYHU ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV YHUHPRV TXH ORV PpWRGRV GH VROXFLyQ QR VLHPSUH FRQGXFHQ GLUHFWDPHQWH D XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y (x (VWR HV SDUWLFXODUPHQWH FLHUWR FXDQGR LQWHQWDPRV UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ &RQ IUHFXHQFLD WHQHPRV TXH FRQIRUPDUQRV FRQ XQD UHODFLyQ R H[SUHVLyQ G(x, y) TXH GHยฟQH XQD VROXFLyQ LPSOtFLWDPHQWH DEFINICIร N 1.1.3 Soluciรณn implรญcita de una EDO 6H GLFH TXH XQD UHODFLyQ G(x, y) HV XQD soluciรณn implรญcita GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD HQ XQ LQWHUYDOR I VXSRQLHQGR TXH H[LVWH DO PHQRV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH OD UHODFLyQ DVt FRPR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ I. (VWi IXHUD GHO DOFDQFH GH HVWH FXUVR LQYHVWLJDU OD FRQGLFLyQ EDMR OD FXDO OD UHODFLyQ G(x, y) GHยฟQH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH 3RU OR TXH VXSRQGUHPRV TXH VL LPSOHPHQWDU IRUPDOPHQWH XQ PpWRGR GH VROXFLyQ QRV FRQGXFH D XQD UHODFLyQ G(x, y) HQWRQFHV H[LVWH DO PHQRV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH WDQWR OD UHODFLyQ TXH HV G(x, (x)) 0) FRPR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ HO LQWHUYDOR I 6L OD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) HV EDVWDQWH VLPSOH SRGHPRV VHU FDSDFHV GH GHVSHMDU D y HQ WpUPLQRV GH x \ REWHQHU XQD R PiV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV 9HD HQ LQFLVR i) HQ ORV Comentarios.

EJEMPLO 5 Comprobaciรณn de una soluciรณn implรญcita /D UHODFLyQ x 2 y 2 HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

dy dx

x y

(8)

HQ HO LQWHUYDOR DELHUWR 'HULYDQGR LPSOtFLWDPHQWH REWHQHPRV

d 2 x dx

d 2 y dx

d 25 o dx

2x

2y

dy dx

0.

5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dyๅ พdx VH REWLHQH $GHPiV UHVROYLHQGR x 2 y 2 SDUD y HQ WpUPLQRV GH x VH REWLHQH y 225 x2 /DV GRV IXQFLRQHV y 1(x) 125 x2 y y 2(x) 125 x2 VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV

1.1

y

l

7

x 2 12 \ x 2 22 \ VRQ ODV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH¿QLGDV HQ HO LQWHUYDOR /DV FXUYDV VROXFLyQ GDGDV HQ ODV ¿JXUDV E \ F VRQ WUDPRV GH OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD ¿JXUD D

5

5

&XDOTXLHU UHODFLyQ GHO WLSR x2 y2 – c HV formalmente VDWLVIDFWRULD SDUD FXDOTXLHU FRQVWDQWH c 6LQ HPEDUJR VH VREUHQWLHQGH TXH OD UHODFLyQ VLHPSUH WHQGUi VHQWLGR HQ HO VLVWHPD GH ORV Q~PHURV UHDOHV DVt SRU HMHPSOR VL c QR SRGHPRV GHFLU TXH x2 y2 25 HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ ¢3RU TXp QR"

'HELGR D TXH OD GLIHUHQFLD HQWUH XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD \ XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GHEHUtD VHU LQWXLWLYDPHQWH FODUD QR GLVFXWLUHPRV HO WHPD GLFLHQGR VLHPSUH ³$TXt HVWi XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD LPSOtFLWD ´

x

a) solución implícita x 2 y 2 25 y

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

FAMILIAS DE SOLUCIONES (O HVWXGLR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HV VLPLODU DO GHO FiOFXOR LQWHJUDO (Q DOJXQRV OLEURV D XQD VROXFLyQ HVH OH OODPD D YHFHV integral de la ecuación \ D VX JUi¿FD VH OH OODPD curva integral &XDQGR REWHQHPRV XQD DQWLGHULYDGD R XQD LQWHJUDO LQGH¿QLGD HQ FiOFXOR XVDPRV XQD VROD FRQVWDQWH c GH LQWHJUDFLyQ 'H PRGR VLPLODU FXDQGR UHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ F(x, y, y ) 0, normalmente REWHQHPRV XQD VROXFLyQ TXH FRQWLHQH XQD VROD FRQVWDQWH DUELWUDULD R SDUiPHWUR c 8QD VROXFLyQ TXH FRQWLHQH XQD FRQVWDQWH DUELWUDULD UHSUHVHQWD XQ FRQMXQWR G(x, y, c) GH VROXFLRQHV OODPDGR familia de soluciones uniparamétrica &XDQGR UHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH RUGHQ n, F(x, y, y , . . . , y (n)) 0, EXVFDPRV XQD familia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) (VWR VLJQL¿FD TXH XQD VROD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHGH WHQHU XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH VROXciones TXH FRUUHVSRQGHQ D XQ Q~PHUR LOLPLWDGR GH HOHFFLRQHV GH ORV SDUiPHWURV 8QD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HVWi OLEUH GH OD HOHFFLyQ GH SDUiPHWURV VH OODPD solución particular.

5

5 x

b) solución explícita y1 兹25 x 2, 5 x 5 y 5

EJEMPLO 6 Soluciones particulares

5 x

−5

c) solución explícita y2 兹25 x 2, 5 x 5

FIGURA 1.1.2 8QD VROXFLyQ LPSOtFLWD \ GRV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH HQ HO HMHPSOR y c>0 c=0

a) /D IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD y cx x FRV x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy y x 2 VHQ x HQ HO LQWHUYDOR , FRPSUXHEH /D ¿JXUD PXHVWUD ODV JUi¿FDV GH DOJXQDV GH ODV VROXFLRQHV HQ HVWD IDPLOLD SDUD GLIHUHQWHV HOHFFLRQHV GH c /D VROXFLyQ y x FRV x OD FXUYD D]XO HQ OD ¿JXUD HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU FRUUHVSRQGLHQWH D c 0. b) /D IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV y c1e x c 2xe x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ y 2y y 0 GHO LQFLVR E GHO HMHPSOR FRPSUXHEH (Q OD ¿JXUD KHPRV PRVWUDGR VLHWH GH ODV ³GREOHPHQWH LQ¿QLWDV´ VROXFLRQHV GH OD IDPLOLD /DV FXUYDV VROXFLyQ HQ URMR YHUGH \ D]XO VRQ ODV JUi¿FDV GH ODV VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV y 5[H࣠x (c1 0, c 2 5), y 3xe x (c1 3, c 2 \ y 5e x 2xe x (c1 5, c2 UHVSHFWLYDPHQWH

$OJXQDV YHFHV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH XQD VROXFLyQ TXH QR HV PLHPEUR GH XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ HV GHFLU XQD VROXFLyQ TXH QR VH SXHGH REWHQHU XVDQGR XQ SDUiPHWUR HVSHFt¿FR GH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV (VD VROXFLyQ H[WUD VH OODPD solución singular 3RU HMHPSOR YHPRV TXH y 161 x4 \ y VRQ VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy兾dx xy HQ , (Q OD VHFFLyQ GHPRVWUDUHPRV DO UHVROYHUOD UHDOPHQWH TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy兾dx xy W LHQH OD IDPLOLD GH VROXFLRFIGURA 1.1.3 $OJXQDV VROXFLRQHV GH QHV XQLSDUDPpWULFD y 1 x2 c 2 &XDQGR c OD VROXFLyQ SDUWLFXODU UHVXOWDQWH HV 4 OD (' GHO LQFLVR D GHO HMHPSOR y 161 x4 3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU \D TXH QR HV XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD y 14 x2 c 2 SRUTXH QR KD\ PDQHUD GH DVLJQDUOH XQ YDORU D OD FRQVWDQWH c SDUD REWHQHU y 0. c<0

x

(

)

(

)

8

l

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

y

(Q WRGRV ORV HMHPSORV DQWHULRUHV KHPRV XVDGR x \ y SDUD GHQRWDU ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH \ GHSHQGLHQWH UHVSHFWLYDPHQWH 3HUR GHEHUtD DFRVWXPEUDUVH D YHU \ WUDEDMDU FRQ RWURV VtPERORV TXH GHQRWDQ HVWDV YDULDEOHV 3RU HMHPSOR SRGUtDPRV GHQRWDU OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH SRU t \ OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU x. x

FIGURA 1.1.4

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO LQFLVR E GHO HMHPSOR

EJEMPLO 7

Usando diferentes símbolos

/DV IXQFLRQHV x c1 FRV t \ x c2 VHQ t GRQGH c1 \ c2 VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV R SDUiPHWURV VRQ DPEDV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO x

16x

0.

3DUD x c1 FRV t ODV GRV SULPHUDV GHULYDGDV UHVSHFWR D t VRQ x 4c1 VHQ t \ x 16c1 FRV t. 6XVWLWX\HQGR HQWRQFHV D x \ x VH REWLHQH x

16x

16c1 cos 4t

16(c1 cos 4t)

0.

'H PDQHUD SDUHFLGD SDUD x c2 VHQ t WHQHPRV x 16c 2 VHQ t \ DVt x

16x

16c2 sen 4t

16(c2 sen 4t)

0.

)LQDOPHQWH HV VHQFLOOR FRPSUREDU GLUHFWDPHQWH TXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH VROXFLRQHV R OD IDPLOLD GH GRV SDUiPHWURV x c1 FRV t c2 VHQ t HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO (O VLJXLHQWH HMHPSOR PXHVWUD TXH OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHGH VHU XQD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU SDUWHV

EJEMPLO 8

8QD VROXFLyQ GH¿QLGD SRU SDUWHV

/D IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH IXQFLRQHV PRQRPLDOHV FXiUWLFDV y cx4 HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy 4y 0 HQ HO LQWHUYDOR , &RPSUXHEH /DV FXUYDV VROXFLyQ D]XO \ URMD TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD D VRQ ODV JUi¿FDV GH y = x4 \ y = x4 \ FRUUHVSRQGHQ D ODV HOHFFLRQHV GH c \ c = UHVSHFWLYDPHQWH

y

/D IXQFLyQ GHULYDEOH GH¿QLGD SRU WUDPRV c 1

x4, x4,

y x c 1

x x

0 0

HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ SHUR QR VH SXHGH REWHQHU GH OD IDPLOLD y cx4 SRU XQD VROD HOHFFLyQ GH c OD VROXFLyQ VH FRQVWUX\H D SDUWLU GH OD IDPLOLD HOLJLHQGR c SDUD x \ c SDUD x 9HD OD ¿JXUD E

a) dos soluciones explicitas y c 1, x d0 x c 1, x 0

b) solución definida en partes

FIGURA 1.1.5

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO HMHPSOR

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWD HVWH PRPHQWR KHPRV DQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQ IUHFXHQFLD HQ OD WHRUtD DVt FRPR HQ PXFKDV DSOLFDFLRQHV GHEHPRV WUDWDU FRQ VLVWHPDV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV 8Q sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias WLHQH GRV R PiV HFXDFLRQHV TXH LPSOLFDQ GHULYDGDV GH GRV R PiV IXQFLRQHV LQFyJQLWDV GH XQD VROD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH 3RU HMHPSOR VL x \ y GHQRWDQ D ODV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV \ t GHQRWD D OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HQWRQFHV XQ VLVWHPD GH GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ HVWi GDGR SRU

dx dt

f(t, x, y)

dy dt

g(t, x, y).

(9)

3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1 Modelos lineales 3.2 Modelos no lineales 3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPĂ?TULO 3

En la secciĂłn 1.3 vimos como se podrĂ­a utilizar una ecuaciĂłn diferencial de primer orden como modelo matemĂĄtico en el estudio del crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, el interĂŠs compuesto continuo, el enfriamiento de cuerpos PH]FODV ODV UHDFFLRQHV TXtPLFDV HO GUHQDGR GHO Ă&#x20AC;XLGR GH XQ WDQTXH OD YHORFLGDG de un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie. Utilizando los mĂŠtodos del capĂ­tulo 2, ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (secciĂłn 3.1) y ED no lineales (secciĂłn 3.2) que aparecen comĂşnmente en las aplicaciones. El capĂ­tulo concluye con el siguiente paso natural: En la secciĂłn 3.3 examinamos cĂłmo surgen sistemas de ED como modelos matemĂĄticos en sistemas fĂ­sicos acoplados (por ejemplo, una poblaciĂłn de depredadores como los zorros que interactĂşan con una poblaciĂłn de presas como los conejos).

81

82

CAPĂ?TULO 3

l

3.1

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

MODELOS LINEALES REPASO DE MATERIAL l EcuaciĂłn diferencial como modelo matemĂĄtico en la secciĂłn 1.3. l Leer nuevamente â&#x20AC;&#x153;soluciĂłn de una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer ordenâ&#x20AC;?, en la secciĂłn 2.3.

INTRODUCCIĂ&#x201C;N En esta secciĂłn resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la secciĂłn 1.3.

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales dx (1) kx, x(t0) x0, dt donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenĂłmenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la secciĂłn 1.3 vimos que en las aplicaciones biolĂłgicas la razĂłn de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeĂąos animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la poblaciĂłn presente al tiempo t. Si se conoce la poblaciĂłn en algĂşn tiempo inicial arbitrario t0, la soluciĂłn de la ecuaciĂłn (1) se puede utilizar para predecir la poblaciĂłn en el futuro, es decir, a tiempos t t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuaciĂłn (1) se determina a partir de la soluciĂłn del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 t0. En fĂ­sica y quĂ­mica la ecuaciĂłn (1) se ve en la forma de una reacciĂłn de primer orden, es decir, una reacciĂłn cuya razĂłn, o velocidad, dxĺ&#x2026;ždt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposiciĂłn, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacciĂłn de primer orden.

EJEMPLO 1

Crecimiento de bacterias

Inicialmente un cultivo tiene un nĂşmero P0 de bacterias. En t 1 h se determina que el nĂşmero de bacterias es 32P0. Si la razĂłn de crecimiento es proporcional al nĂşmero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el nĂşmero de bacterias.

P(t) = P0 e 0.4055t P 3P0

P0 t = 2.71

t

FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la poblaciĂłn en el ejemplo 1.

SOLUCIĂ&#x201C;N Primero se resuelve la ecuaciĂłn diferencial (1), sustituyendo el sĂ­mbolo x por P. Con t0 0 la condiciĂłn inicial es P(0) P0. Entonces se usa la observaciĂłn empĂ­rica de que P(1) 32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k.

Observe que la ecuaciĂłn diferencial dPĺ&#x2026;ždt kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estĂĄndar de una ED lineal de primer orden, dP kP 0, dt se ve por inspecciĂłn que el factor integrante es e kt. Al multiplicar ambos lados de la ecuaciĂłn e integrar, se obtiene, respectivamente, d kt [e P] 0 y e ktP c. dt De este modo, P(t) cekt. En t 0 se tiene que P0 ce0 c, por tanto P(t) P0ekt. En t 1 se tiene que 32P0 P0ek, o ek 32. De la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene k 1n 32 0.4055, por tanto P(t) P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el nĂşmero de bacterias, resolvemos 3P0 P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o ln 3 t âŹ&#x2021; 2.71 h.

0.4055 9HD OD ÂżJXUD

Observe en el ejemplo 1 que el nĂşmero real P0 de bacterias presentes en el tiempo t 0 no tiene que ver con el cĂĄlculo del tiempo que se requiriĂł para que el nĂşmero de

3.1

y

e kt, k > 0 crecimiento

e kt, k < 0 crecimiento t

FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k 0) y

decaimiento (k 0).

MODELOS LINEALES

l

83

bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una poblaciĂłn inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas. &RPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO ekt aumenta conforme crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k 0. AsĂ­ los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aĂşn de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegraciĂłn radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k 0).

VIDA MEDIA En fĂ­sica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los ĂĄtomos en una muestra inicial A0. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, mĂĄs estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 aĂąos. En 1 700 aĂąos la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radĂłn, Rn-222. El isĂłtopo mĂĄs comĂşn del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 aĂąos. En aproximadamente 4.5 miles de millones de aĂąos, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206.

EJEMPLO 2

Vida media del plutonio

Un reactor de crĂ­a convierte uranio 238 relativamente estable en el isĂłtopo plutonio 239. DespuĂŠs de 15 aĂąos, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isĂłtopo, si la razĂłn de desintegraciĂłn es proporcional a la cantidad que queda.

SOLUCIĂ&#x201C;N Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem-

plo 1, la soluciĂłn del problema con valores iniciales dA kA, dt

A(0) A0

es A(t) A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los ĂĄtomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 A(15), es decir, 0.99957A0 A0e15k. Despejando k se obtiene k 151 ln 0.99957 0.00002867. Por tanto A(t) A0eĂ­ t. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t) 12 A0. Despejando t se obtiene 12 A0 A0eĂ­ t o 12 eĂ­ t. De la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene ln 2 t 24 180 aĂąos .

0.00002867

FIGURA 3.1.3 Una pĂĄgina del evangelio gnĂłstico de Judas.

DATADO CON CARBONO Alrededor de 1950, el quĂ­mico Willard Libby inventĂł un mĂŠtodo que utiliza carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fĂłsiles. La teorĂ­a del datado con carbono se basa en que el isĂłtopo carbono 14 se produce en la atmĂłsfera por acciĂłn de la radiaciĂłn cĂłsmica sobre el nitrĂłgeno. La razĂłn de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmĂłsfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isĂłtopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmĂłsfera. Cuando muere un organismo cesa la absorciĂłn del C-l4 ya sea por respiraciĂłn o por alimentaciĂłn. AsĂ­, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fĂłsil con la razĂłn constante que hay en la atmĂłsfera, es posible obtener una estimaciĂłn razonable de la edad del fĂłsil. El mĂŠtodo se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculĂł el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 aĂąos, pero actualmente el valor aceptado comĂşnmente para la vida media es aproximadamente 5 730 aĂąos. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de quĂ­mica en 1960. El mĂŠtodo de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmĂĄtico sudario de Torino.

84

l

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

EJEMPLO 3

Edad de un fĂłsil

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14.

Determine la edad del fĂłsil.

SOLUCIĂ&#x201C;N El punto de partida es A(t) A0e kt. Para determinar el valor de la constante de

decaimiento k, partimos del hecho de que 12 A 0 A(5730) o 12 A 0 A 0e 5730k . Esta ecuaciĂłn implica que 5730k ln 12 ln2 y obtenemos k (1n2) 5730 0.00012097, por tanto A(t) A0e 0.00012097t. Con A(t) 0.001A0 tenemos que 0.001A0 A0e 0.00012097t y 0.00012097t ln(0.001) ln 1000. AsĂ­ t

ln 1000 0.00012097

57 100 aĂąos

La fecha determinada en el ejemplo 3 estĂĄ en el lĂ­mite de exactitud del mĂŠtodo.

Normalmente esta tĂŠcnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isĂłtopo, que son aproximadamente 60,000 aĂąos. Una razĂłn para esta limitante es que el anĂĄlisis quĂ­mico necesario para una determinaciĂłn exacta del C-l4 que queda presenta obstĂĄculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. TambiĂŠn, en este mĂŠtodo se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la mediciĂłn se realiza indirectamente, basĂĄndose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difĂ­cil distinguir la radiaciĂłn que procede del fĂłsil de la radiaciĂłn de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradores GH SDUWtFXODV ORV FLHQWtÂżFRV KDQ SRGLGR VHSDUDU DO & O GHO HVWDEOH & &XDQGR VH FDOcula la relaciĂłn exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este mĂŠtodo se puede ampliar de 70 000 a 100 000 aĂąos. Hay otras tĂŠcnicas isotĂłpicas, como la que usa potasio 40 y argĂłn 40, adecuadas para establecer edades de varios millones de aĂąos. A veces, tambiĂŠn es posible aplicar mĂŠtodos que se basan en el empleo de aminoĂĄcidos.

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuaciĂłn (3) de la secciĂłn 1.3 vimos que la formulaciĂłn matemĂĄtica de la ley empĂ­rica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden dT k(T Tm), (2) dt donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.

EJEMPLO 4

Enfriamiento de un pastel

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300° F. Tres minutos despuĂŠs su temperatura es de 200° F. ÂżCuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70Âş F? SOLUCIĂ&#x201C;N (Q OD HFXDFLyQ LGHQWLÂżFDPRV Tm 70. Debemos resolver el problema

con valores iniciales dT k(T 70), T(0) 300 dt y determinar el valor de k tal que T(3) 200.

La ecuaciĂłn (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables dT k dt, T 70 *

(3)

El nĂşmero de desintegraciones por minuto por gramo de carbono se registra usando un contador Geiger.

El nivel mĂ­nimo de detecciĂłn es de aproximadamente 0.1 desintegraciones por minuto por gramo.

3.1

MODELOS LINEALES

l

85

se obtiene ln|T â&#x20AC;&#x201C; 70| kt c1, y asĂ­ T 70 c2ekt. Cuando t 0, T 300, asĂ­ 300 70 c2 da c2 230. Por tanto T 70 230 ekt. Por Ăşltimo, la mediciĂłn de 13 1 T(3) 200 conduce a e3k 13 23 , o k 3 ln 23 0.19018. AsĂ­

T 300 150

T = 70 15

t

30

a)

T(t)

t (min)

75 74 73 72 71 70.5

20.1 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3

(4) T(t) 70 230e 0.19018t.

2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ QR WLHQH XQD VROXFLyQ ÂżQLWD D T(t) 70 porque lĂ­m to T(t) 70. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfrĂ­e al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ÂżQuĂŠ tan largo es â&#x20AC;&#x153;largoâ&#x20AC;?? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra LQWXLFLyQ ItVLFD /RV LQFLVRV D \ E GH OD ÂżJXUD PXHVWUDQ FODUDPHQWH TXH HO SDVWHO estarĂĄ a temperatura ambiente en aproximadamente media hora.

La temperatura ambiente en la ecuaciĂłn (2) no necesariamente es una constante pero podrĂ­a ser una funciĂłn Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1.

b)

FIGURA 3.1.4 La temperatura de enfriamiento del pastel tdel ejemplo 4.

MEZCLAS $O PH]FODU GRV Ă&#x20AC;XLGRV D YHFHV VXUJHQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la secciĂłn 1.3, supusimos que la razĂłn con que cambia la cantidad de sal A (t) en el tanque de mezcla es una razĂłn neta dA ´ ´ Rentra Rsale .

(5) dt En el ejemplo 5 resolveremos la ecuaciĂłn (8) de la secciĂłn 1.3.

EJEMPLO 5

A

A = 600

Mezcla de dos soluciones de sal

Recordemos que el tanque grande de la secciĂłn 1.3 contenĂ­a inicialmente 300 galones de una soluciĂłn de salmuera. En el tanque entraba y salĂ­a sal porque se bombeaba XQD VROXFLyQ D XQ Ă&#x20AC;XMR GH JDO PLQ VH PH]FODED FRQ OD VROXFLyQ RULJLQDO \ VDOtD GHO WDQTXH FRQ XQ Ă&#x20AC;XMR GH JDO PLQ /D FRQFHQWUDFLyQ GH OD VROXFLyQ HQWUDQWH HUD GH OE gal, por consiguiente, la entrada de sal era Rentra (2 lb/gal) (3 gal/min) 6 lb/min y salĂ­a del tanque con una razĂłn Rsale (Aĺ&#x2026;ž300 lb/gal) (3 gal/min) Aĺ&#x2026;žl00 lb/min.

A partir de esos datos y de la ecuaciĂłn (5), obtuvimos la ecuaciĂłn (8) de la secciĂłn 1.3. PermĂ­tanos preguntar: si habĂ­a 50 lb de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ÂżcuĂĄnta sal habrĂĄ en el tanque despuĂŠs de un periodo largo?

SOLUCIĂ&#x201C;N Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolve-

500

t

a) t (min)

A (lb)

50 100 150 200 300 400

266.41 397.67 477.27 525.57 572.62 589.93 b)

FIGURA 3.1.5 Libras de sal en el tanque del ejemplo 5.

mos el problema con valores iniciales 1 dA

A 6, A(0) 50. dt 100 AquĂ­ observamos que la condiciĂłn adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) 50 en el tanque y no la cantidad inicial de lĂ­quido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuaciĂłn diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuaciĂłn como d t/100 [e A] 6et/100. dt Integrando la Ăşltima ecuaciĂłn y despejando A se obtiene la soluciĂłn general A(t) 600 ce t/100. Conforme t 0, A 50, de modo que c 550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque al tiempo t estĂĄ dada por A(t) 600 550e t/100.

(6)

/D VROXFLyQ VH XVy SDUD FRQVWUXLU OD WDEOD GH OD ÂżJXUD E (Q OD HFXDFLyQ \ HQ OD ÂżJXUD D WDPELpQ VH SXHGH YHU TXH A(t) â&#x2020;&#x2019; 600 conforme t â&#x2020;&#x2019; . Por supuesto, esto es lo que se esperarĂ­a intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo la cantidad de libras de sal en la soluciĂłn debe ser (300 ga1)(2 lb/gal) = 600 lb.

En el ejemplo 5 supusimos que la razĂłn con que entra la soluciĂłn al tanque es la misma que la razĂłn con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la

86

CAPĂ?TULO 3

l

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

salmuera mezclada se puede sacar con una razĂłn rsale que es mayor o menor que la razĂłn rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una razĂłn menor que la razĂłn con la que se bombea dentro del tanque.

EJEMPLO 6

A 500

250

50

100

t

FIGURA 3.1.6 *UiÂżFD GH A(t) del ejemplo 6.

Vuelta al ejemplo 5

Si la soluciĂłn bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una razĂłn mĂĄs lenta, digamos rsale 2 gal/min, eentonces se acumularĂĄ en el tanque con la razĂłn rentra rsale (3 2) gal/min 1 gal/min. DespuĂŠs de t minutos (1 gal/min) (t min) t gal se acumularĂĄn, por lo que en el tanque habrĂĄ 300 t galones de salmuera. La concenWUDFLyQ GHO Ă&#x20AC;XMR GH VDOLGD HV HQWRQFHV c(t) Aĺ&#x2026;ž(300 t) y la razĂłn con que sale la sal es Rsale c(t) rsale, o A 2A lb/gal (2 gal/min) lb/min.

Rsale 300 t 300 t Por tanto, la ecuaciĂłn (5) se convierte en dA 2A dA 2 6 o

A 6. dt 300 t dt 300 t El factor integrante para la Ăşltima ecuaciĂłn es

ĺ&#x2020;˘

e

2dt>(300

ĺ&#x2020;Ł

t)

e 2 ln(300

t)

eln(300

t)2

(300

t)2

Y asĂ­ despuĂŠs de multiplicar por el factor, la ecuaciĂłn se reescribe en la forma d (300 dt

[

]

t)2 A

6(300

t)2.

Al integrar la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene (300 + t)2A 2(300 t)3 c. Si aplicamos la condiciĂłn inicial A(0) 50, y despejamos A se obtiene la soluciĂłn A(t) 600 2t (4.95 107)(300 t) 2 &RPR HUD GH HVSHUDU HQ OD ÂżJXUD VH PXHVWUD TXH con el tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A â&#x2020;&#x2019; conforme t â&#x2020;&#x2019; .

L E

R

FIGURA 3.1.7 Circuito en serie LR.

R E

C

FIGURA 3.1.8 Circuito en serie RC.

CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sĂłlo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caĂ­da de voltaje a travĂŠs del inductor (L(diĺ&#x2026;ždt)) mĂĄs la caĂ­da de voltaje a travĂŠs del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t

DO FLUFXLWR 9HD OD ÂżJXUD Por lo tanto, obtenemos la ecuaciĂłn diferencial lineal que para la corriente i(t), di L Ri E(t), (7) dt donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, tambiĂŠn respuesta del sistema.

La caĂ­da de voltaje a travĂŠs de un capacitor de capacitancia C es q(t)ĺ&#x2026;žC, donde q HV OD FDUJD GHO FDSDFLWRU 3RU WDQWR SDUD HO FLUFXLWR HQ VHULH TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD 3.1.8, la segunda ley de Kirchhoff da 1 Ri q E(t).

(8) C Pero la corriente i y la carga q estĂĄn relacionadas por i dqĺ&#x2026;ždt, asĂ­, la ecuaciĂłn (8) se convierte en la ecuaciĂłn diferencial lineal 1 dq (9) q E(t).

R dt C

EJEMPLO 7

Circuito en serie

Una baterĂ­a de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.

3.1

MODELOS LINEALES

l

87

SOLUCIĂ&#x201C;N De la ecuaciĂłn (7) debemos resolver

1 di 2 dt

10i

12,

sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuaciĂłn diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo d 20t [e i] dt

24e20t.

Integrando cada lado de la Ăşltima ecuaciĂłn y despejando i se obtiene i(t) 65 ce 20t.

6 6 Ahora i(0) 0 implica que 0 5 c o c 5. . Por tanto la respuesta es 6 6 20t . i(t) 5 5 e De la ecuaciĂłn (4) de la secciĂłn 2.3, podemos escribir una soluciĂłn general de (7):

P

i(t)

P0

e (R/L)t L

ĺ&#x2020;&#x2022;

e(R/L)tE(t) dt ce (R/L)t.

(10)

En particular, cuando E(t) E0 es una constante, la ecuaciĂłn (l0) se convierte en

t1

t2

1

i(t)

t

E0 ce (R/L)t.

R

(11)

Observamos que conforme t â&#x2020;&#x2019; , el segundo tĂŠrmino de la ecuaciĂłn (11) tiende a cero. A ese tĂŠrmino usualmente se le llama tĂŠrmino transitorio; los demĂĄs tĂŠrminos se llaman parte de estado estable de la soluciĂłn. En este caso, E0ĺ&#x2026;žR tambiĂŠn se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente estĂĄ determinada tan sĂłlo por la ley de Ohm (E iR).

a) P

P0

COMENTARIOS 1

t

b) P

P0

1

t

c)

FIGURA 3.1.9 El crecimiento poblacional es un proceso discreto.

La soluciĂłn P(t) P0 e 0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1 describe la poblaciĂłn de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0.

Por supuesto, P(t) es una funciĂłn continua que toma todos los nĂşmeros reales del intervalo P0 P . Pero como estamos hablando de una poblaciĂłn, el sentido comĂşn indica que P puede tomar sĂłlo valores positivos. AdemĂĄs, no esperarĂ­amos que la poblaciĂłn crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra soluciĂłn; puede haber intervalos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. QuizĂĄ, entonces, OD JUiÂżFD TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D VHD XQD GHVFULSFLyQ PiV UHDO GH P TXH OD JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO &RQ IUHFXHQFLD XVDU XQD IXQFLyQ continua para describir un fenĂłmeno discreto es mĂĄs conveniente que exacto.

6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRV ÂżQHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HO PRGHOR describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscĂłpicamente en el WLHPSR FRPR VH PXHVWUD HQ ODV ÂżJXUDV E \ F PiV TXH PLFURVFySLFDPHQWH FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D

l

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIOS 3.1

Las respuestas a los problemas seleccionados con nĂşmero impar comienzan en la pĂĄgina RES-3.

la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dSĺ&#x2026;ždt rS, donde r es la razĂłn de interĂŠs anual. a) &DOFXOH OD FDQWLGDG UHXQLGD DO ÂżQDO GH DxRV FXDQGR se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75% de interĂŠs anual compuesto continuamente. b) ÂżEn cuĂĄntos aĂąos se habrĂĄ duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en el inciso a) con la cantidad S 5 000(1 1 (0.0575))5(4) que se reĂşne cuando el interĂŠs se com4 pone trimestralmente.

Crecimiento y decrecimiento 1. Se sabe que la poblaciĂłn de una comunidad crece con una razĂłn proporcional al nĂşmero de personas presentes en el tiempo t. Si la poblaciĂłn inicial P0 se duplicĂł en 5 aĂąos, ÂżEn cuĂĄnto tiempo se triplicarĂĄ y cuadruplicarĂĄ?

2. Suponga que se sabe que la poblaciĂłn de la comunidad del problema 1 es de 10 000 despuĂŠs de tres aĂąos. ÂżCuĂĄl era la poblaciĂłn inicial P0? ÂżCuĂĄl serĂĄ la poblaciĂłn en 10 aĂąos? ÂżQuĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ creciendo la poblaciĂłn en t 10?

5. El isĂłtopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razĂłn proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio habĂ­a 1 gramo de plomo, ÂżcuĂĄnto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%?

6. Inicialmente habĂ­a 100 miligramos de una sustancia radiactiva. DespuĂŠs de 6 horas la masa disminuyĂł 3%. Si la razĂłn de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda despuĂŠs de 24 horas.

7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 6.

8. a) El problema con valores iniciales dAĺ&#x2026;ždt kA, A(0) A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T (ln 2)ĺ&#x2026;žk. b) Demuestre que la soluciĂłn del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) A02 t/T. c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ÂżcuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ a una cantidad inicial A0 de sustancia decaer a 18 A0?

9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razĂłn con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies deEDMR GH OD VXSHUÂżFLH HV GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0 del rayo incidente. ÂżCuĂĄl es la intensidad del rayo a 15 SLHV GHEDMR GH OD VXSHUÂżFLH" 10. Cuando el interĂŠs es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una razĂłn proporcional a

11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en /DVFDX[ )UDQFLD 9HD OD ¿JXUD 8WLOLFH OD LQIRUPDción de la pågina 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-l4 encontrado en los årboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. Š Prehistoric/The Bridgeman Art

4. La poblaciĂłn de bacterias en un cultivo crece a una razĂłn proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. DespuĂŠs de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. DespuĂŠs de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ÂżCuĂĄl era la cantidad inicial de bacterias?

Datado con carbono

FIGURA 3.1.10 Pintura en una caverna del problema 11.

12. El sudario de TurĂ­n muestra el negativo de la imagen del FXHUSR GH XQ KRPEUH TXH SDUHFH TXH IXH FUXFLÂżFDGR PXchas personas creen que es el sudario del entierro de JesĂşs GH 1D]DUHW 9HD OD ÂżJXUD (Q HO 9DWLFDQR FRQcediĂł permiso para datar con carbono el sudario. Tres laERUDWRULRV FLHQWtÂżFRV LQGHSHQGLHQWHV DQDOL]DURQ HO SDxR \ concluyeron que el sudario tenĂ­a una antigĂźedad de 660 aĂąos,* una antigĂźedad consistente con su apariciĂłn histĂł-

Š Bettmann/Corbis

3. La poblaciĂłn de un pueblo crece con una razĂłn proporcional a la poblaciĂłn en el tiempo t. La poblaciĂłn inicial de 500 aumenta 15% en 10 aĂąos. ÂżCuĂĄl serĂĄ la poblaciĂłn pasados 30 aĂąos? ÂżQuĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ creciendo la poblaciĂłn en t 30?

Library/Getty Images

88

FIGURA 3.1.11 Imagen del sudario del problema 12. *

Algunos eruditos no estĂĄn de acuerdo con este hallazgo. Para mĂĄs informaciĂłn de este fascinante misterio vea la pĂĄgina del Sudario de TurĂ­n en la pĂĄgina http://www.shroud.com

3.1

rica. Usando esta antigĂźedad determine quĂŠ porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paĂąo en 1988.

Ley de Newton enfriamiento/calentamiento 13. Un termómetro se cambia de una habitación cuya temperatura es de 70° F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10° F. DespuÊs de medio minuto el termómetro indica 50° F. ¿Cuål es la lectura del termómetro en t 1 min? ¿Cuånto tiempo le tomarå al termómetro alcanzar los 15° F? 14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5° F. DespuÊs de 1 minuto, el termómetro indica 55° F y despuÊs de 5 minutos indica 30° F. ¿Cuål era la temperatura inicial de la habitación?

15. Una pequeĂąa barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ la barra en alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentĂł 2° en 1 segundo? ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ en alcanzar los 98° C? 16. Dos grandes tanques A y B del mismo tamaĂąo se llenan con Ă&#x20AC;XLGRV GLIHUHQWHV /RV Ă&#x20AC;XLGRV HQ ORV WDQTXHV A y B se mantienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeĂąa barra de metal, cuya temperatura inicial es 100° C, se sumerge dentro del tanque A. DespuĂŠs de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90° C. DespuĂŠs de 2 minutos se VDFD OD EDUUD H LQPHGLDWDPHQWH VH WUDQVÂżHUH DO RWUR WDQTXH DespuĂŠs de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C. ÂżCuĂĄnto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomarĂĄ a la barra alcanzar los 99.9° C? 17. Un termĂłmetro que indica 70° F se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A travĂŠs de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termĂłmetro lee 110° F despuĂŠs de 21 minuto y 145° F despuĂŠs de 1 minuto. ÂżCuĂĄl es la temperatura del horno?

18. Al tiempo t 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia quĂ­mica estĂĄ inmerso en un baĂąo lĂ­quido. La temperatura inicial de la sustancia quĂ­mica en el tubo de ensayo es de 80° F. El baĂąo lĂ­quido tiene una temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por Tm(t) 100 â&#x20AC;&#x201C; 40e 0.1t, t 0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k 0.1 en la ecuaciĂłn (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cĂłmo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia quĂ­mica a corto plazo, y tambiĂŠn a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH T(t) HQ GLIHUHQWHV LQWHUYDORV GH WLHPSR ¢/DV JUiÂżFDV FRQcuerdan con sus predicciones del inciso a)?

19. Un cadåver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadåver se determinó de 85° F. Una hora despuÊs una segunda me-

MODELOS LINEALES

l

89

dición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. Determine cuåntas horas pasaron antes de que se encontrara el cadåver. [Sugerencia: Sea que t1 0 denote el tiempo en que se encontró el cadåver.]

20. La razĂłn con la que un cuerpo se enfrĂ­a tambiĂŠn depende GH VX iUHD VXSHUÂżFLDO H[SXHVWD S. Si S es una constante, HQWRQFHV XQD PRGLÂżFDFLyQ GH OD HFXDFLyQ HV dT kS(T Tm), dt donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B estĂĄn llenas de cafĂŠ al mismo tiempo. Inicialmente OD WHPSHUDWXUD GHO FDIp HV GH Â&#x192; ) (O iUHD VXSHUÂżFLDO GHO cafĂŠ en la taza B HV GHO GREOH GHO iUHD VXSHUÂżFLDO GHO FDIp en la taza A. DespuĂŠs de 30 min la temperatura del cafĂŠ en la taza A es de 100° F. Si Tm 70° F, entonces ÂżcuĂĄl es la temperatura del cafĂŠ de la taza B despuĂŠs de 30 min?

Mezclas 21. Un tanque contiene 200 litros de un lĂ­quido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una razĂłn de 4 L/min; la soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con la misma razĂłn.

Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.

22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura.

23. Un gran tanque de 500 galones estĂĄ lleno de agua pura.

Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galĂłn a razĂłn de 5 gal/min. La soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con la misma razĂłn. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t.

24. En el problema 23, ÂżcuĂĄl es la concentraciĂłn c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ÂżY al tiempo t 5 min? ÂżCuĂĄl es la concentraciĂłn en el tanque despuĂŠs de un largo tiempo, es decir, conforme t â&#x2020;&#x2019; ? ÂżPara quĂŠ tiempo la concentraciĂłn de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor lĂ­mite?

25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la soluciĂłn sale con una razĂłn de 10 gal/min. ÂżCuĂĄndo se vacĂ­a el tanque?

26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentraciĂłn de sal que entra es variable y estĂĄ dada por centra(t) 2 sen(tĺ&#x2026;ž4) lb/gal. Sin trazar la JUiÂżFD LQÂżHUD D TXp FXUYD VROXFLyQ GHO 39, VH SDUHFHUtD 'HVSXpV XWLOLFH XQ SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ HQ HO LQWHUYDOR > @ 5HSLWD SDUD HO LQWHUYDOR > @ \ FRPSDUH VX JUiÂżFD FRQ OD TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D

27. Un gran tanque estĂĄ parcialmente lleno con 100 galones de Ă&#x20AC;XLGR HQ ORV TXH VH GLVROYLHURQ OLEUDV GH VDO /D VDOmuera

90

l

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

tiene 21 de sal por galĂłn que entra al tanque a razĂłn de 6 gal/min. La soluciĂłn bien mezclada sale del tanque a razĂłn de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque despuĂŠs de 30 minutos.

28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaĂąo del tanque que tiene la soluciĂłn salina. Suponga, como en el anĂĄlisis siguiente al ejemplo 5, que la razĂłn con que entra la soluciĂłn al tanque es de 3 gal/min pero que la soluciĂłn bien mezclada sale del tanque a razĂłn de 2 gal/min. Esta es la razĂłn por la cual dado que la salmuera se estĂĄ acumulando en el tanque a razĂłn de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaĂąo ÂżQLWR WHUPLQDUi GHUUDPiQGRVH $KRUD VXSRQJD TXH HO WDQque estĂĄ destapado y tiene una capacidad de 400 galones. a) ÂżCuĂĄndo se derramarĂĄ el tanque? b) ÂżCuĂĄntas libras de sal habrĂĄ en el tanque cuando comience a derramarse? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continĂşa entrando a razĂłn de 3 gal/min, que la soluciĂłn estĂĄ bien mezclada y que la soluciĂłn sigue saliendo a razĂłn de 2 gal/min. Determine un mĂŠtodo para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t 150 min. d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque conforme t â&#x2020;&#x2019; . ÂżSu respuesta coincide con su intuiciĂłn? e) 8 WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH A(t) en el intervalo [0, 500).

Circuitos en serie 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) 0. Determine la corriente conforme t â&#x2020;&#x2019; .

30. Resuelva la ecuaciĂłn (7) suponiendo que E(t) E0 sen Z t y que i(0) i0.

31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l0 4 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) 0. Encuentre la corriente i(t).

32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 10 6 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0) 0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga conforme t â&#x2020;&#x2019; .

34. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor variable. Si la resistencia al tiempo t estĂĄ dada por R k1 k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas, entonces la ecuaciĂłn (9) se convierte en (k1 k2 t)

dq 1 q E(t). dt C

Si E(t) E0 y q(0) q0, donde E0 y q0 son constantes, muestre que

ĺ&#x2020;˘k k k tĺ&#x2020;Ł

1/Ck2

1

q(t) E0C (q0 E0C)

1

Modelos lineales adicionales 35. Resistencia del aire En la ecuaciĂłn (14) de la secciĂłn 1.3 vimos que una ecuaciĂłn diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantĂĄnea es m

dv mg kv, dt

donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La direcciĂłn positiva se toma hacia abajo. a) Resuelva la ecuaciĂłn sujeta a la condiciĂłn inicial v(0) v0. b) Utilice la soluciĂłn del inciso a) para determinar la velocidad lĂ­mite o terminal de la masa. Vimos cĂłmo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1. c) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por dsĺ&#x2026;ždt v(t), determine una expresiĂłn explĂ­cita para s(t), si s(0) 0.

36. ÂżQuĂŠ tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeĂąa bala de caùón que pesa 16 libras se dispara YHUWLFDOPHQWH KDFLD DUULED FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD 3.1.12, con una velocidad inicial de v0 300 pies/s. La respuesta a la pregunta â&#x20AC;&#x153;ÂżQuĂŠ tanto sube la bala de caùón?â&#x20AC;?, depende de si se considera la resistencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la direcciĂłn es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del caùón estĂĄ dado por d 2sĺ&#x2026;ždt 2 g (ecuaciĂłn (12) de la secciĂłn 1.3). Puesto que dsĺ&#x2026;ždt v(t) la Ăşltima ecuaciĂłn diferencial es la

â&#x2C6;&#x2019;mg

33. Se aplica una fuerza electromotriz E(t)

ĺ&#x2020;Ś120, 0,

0 t 20 t 20

a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0) 0.

.

2

nivel del suelo

FIGURA 3.1.12

Determinación de la altura måxima de la bala de caùón del problema 36.

3.1

misma que la ecuaciĂłn dvĺ&#x2026;ždt g, donde se toma g 32 pies/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de caùón al tiempo t. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de caùón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura mĂĄxima que alcanza la bala.

37. ¿QuÊ tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantånea. Esta es la razón por la que la altura måxima que alcanza la bala del caùón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia: 0RGL¿TXH ligeramente la ED del problema 35.]

38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaĂ­das y equipo juntos pesan otras 35 libras. DespuĂŠs de saltar del aviĂłn desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaĂ­das.

Suponga que la constante de proporcionalidad del modelo del problema 35 tiene el valor k 0.5 durante la caída libre y k 10 despuÊs de que se abrió el paracaídas. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuål es la velocidad de la paracaidista y quÊ distancia ha recorrido despuÊs de 20 segundos de TXH VDOWy GHO DYLyQ" 9HD OD ¿JXUD ¢&yPR VH FRPpara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuånto tarda en llegar al suelo?

[Sugerencia: Piense en funciĂłn de dos diferentes PVI.] la resistencia del aire es 0.5 v

la resistencia del aire es 10 v

FIGURA 3.1.13

caĂ­da libre

el paracaĂ­das se abre

t = 20 s

CĂĄlculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38.

39. EvaporaciĂłn de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ĂŠsta se evapora mientras conserva su forma esfĂŠrica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su ĂĄrea VXSHUÂżFLDO \ TXH VH GHVSUHFLD OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH HQWRQces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es dv 3(k/ )

v g. dt (k/ )t r0 AquĂ­ U es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la direcciĂłn hacia abajo se considera positiva.

MODELOS LINEALES

l

91

a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t) (kĺ&#x2026;žU)t r0. c) Si r0 0.01 pies y r 0.007 pies, 10 segundos despuĂŠs de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo.

40. 3REODFLyQ Ă&#x20AC;XFWXDQWH La ecuaciĂłn diferencial dPĺ&#x2026;ždt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemĂĄtico para una poblaciĂłn P(t TXH H[SHULPHQWD Ă&#x20AC;XFtuaciones anuales. Resuelva la ecuaciĂłn sujeta a P(0) P0.

8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH la soluciĂłn para diferentes elecciones de P0.

41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de poblaciĂłn de P(t) de una comunidad, se supone que dP dB dD ,

dt dt dt donde dBĺ&#x2026;ždt y dDĺ&#x2026;ždt son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a) Determine P(t) si dBĺ&#x2026;ždt k1P y dDĺ&#x2026;ždt k2P. b) Analice los casos k1 k2, k1 k2 y k1 k2.

42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la poblaciĂłn de una pesquerĂ­a en la que se cosecha con una razĂłn constante estĂĄ dada por dP kP h, dt donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0. b) Describa el comportamiento de la poblaciĂłn P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 hĺ&#x2026;žk, P0 hĺ&#x2026;žk y 0 P0 hĺ&#x2026;žk. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la poblaciĂłn de peces desaparecerĂĄ en un tiempo ÂżQLWR HV GHFLU VL H[LVWH XQ WLHPSR T 0 tal que P(T) 0. Si la poblaciĂłn desaparecerĂĄ, entonces determine en quĂŠ tiempo T. 43. PropagaciĂłn de una medicina Un modelo matemĂĄtico para la razĂłn con la que se propaga una medicina en el torrente sanguĂ­neo estĂĄ dado por dx r kx, dt donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la funciĂłn que describe la concentraciĂłn de la medicina en el torrente sanguĂ­neo al tiempo t. a) Ya que la ED es autĂłnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la secciĂłn 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t â&#x2020;&#x2019; .

92

l

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

b) Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMH OD JUiÂżFD de x(t) y compruebe su predicciĂłn del inciso a). ÂżEn cuĂĄnto tiempo la concentraciĂłn es la mitad del valor lĂ­mite?

44. MemorizaciĂłn Cuando se considera la falta de memoria, la razĂłn de memorizaciĂłn de un tema estĂĄ dada por dA k1(M A) k2 A, dt donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M A es la cantidad que falta por memorizar. a) Puesto que la ED es autĂłnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la secciĂłn 2.1 para determinar el valor lĂ­mite de A(t) conforme t â&#x2020;&#x2019; Â&#x2019; ,QWHUSUHWH HO UHVXOWDGR b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMH OD JUiÂżFD GH A(t) y compruebe su predicciĂłn del inciso a).

45. Marcapasos de corazĂłn (Q OD ÂżJXUD VH PXHVWUD un marcapasos de corazĂłn, que consiste en un interruptor, una baterĂ­a, un capacitor y el corazĂłn como un resistor.

Cuando el interruptor S estĂĄ en P, el capacitor se carga; cuando S estĂĄ en Q el capacitor se descarga, enviando estĂ­mulos elĂŠctricos al corazĂłn. En el problema 53 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se estĂĄn aplicado estĂ­mulos elĂŠctricos al corazĂłn, el voltaje E a travĂŠs del corazĂłn satisface la ED lineal 1 dE

E. dt RC a) Suponga que en el intervalo de tiempo de duraciĂłn t1, 0 t t1, el interruptor S estĂĄ en la posiciĂłn P como VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD \ HO FDSDFLWRU VH HVWi cargando. Cuando el interruptor se mueve a la posiciĂłn Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazĂłn durante el intervalo de tiempo de duraciĂłn t2: t1 t t1 t2. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1 t2 el voltaje en el corazĂłn se modela realmente por la ecuaciĂłn difeUHQFLDO GHÂżQLGD HQ SDUWHV

ĺ&#x2020;Ś

0,

Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGHÂżQLGDmente. Suponga que t1 4 s, t2 2 s, E0 12 V, E(0) 0, E(4) 12, E(6) 0, E(10) 12, E(12) 0, etc. Determine E(t) para 0 t 24. b) Suponga para ilustrar que R C 1. Utilice un proJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH OD VROXciĂłn del PVI del inciso a) para 0 t 24.

46. Caja deslizĂĄndose a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ĂĄngulo T FRQ OD KRUL]RQWDO FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD 3.1.15. Determine una ecuaciĂłn diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes: i)

No hay fricciĂłn cinĂŠtica y no hay resistencia del aire. ii) Hay fricciĂłn cinĂŠtica y no hay resistencia del aire. iii) Hay fricciĂłn cinĂŠtica y hay resistencia del aire.

En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimiento es PN, donde P HV HO FRH¿FLHQWH GH IULFFLyQ FLQpWLFD \ N es la componente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantånea. b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 96 libras, que el ångulo de inclinación del plano es T 30°, que el FRH¿FLHQWH GH IULFFLyQ FLQpWLFD HV 13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numÊricamente igual a 41v. Resuelva la ecuación diferencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto mås alto a 50 pies por encima del suelo. fricción movimiento

0 t t1

dE

1 dt

E, t1 t t1 t2.

RC corazĂłn

W = mg

50 pies

θ

FIGURA 3.1.15 Caja deslizĂĄndose hacia abajo del plano inclinado del problema 46.

R Q interruptor P S

C E0

FIGURA 3.1.14 Modelo de un marcapasos del problema 45.

47. ContinuaciĂłn de caja deslizĂĄndose a) En el problema 46 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el punto mĂĄs alto. Utilice dsĺ&#x2026;ždt v(t) y la soluciĂłn de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 46 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado. AquĂ­ puede ser Ăştil un programa para determinar raĂ­ces con un SAC.

3.2

b) En el caso en que hay fricciĂłn (P 0) pero no hay resistencia del aire, explique por quĂŠ la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto mĂĄs alto arriba del suelo cuando el ĂĄngulo de inclinaciĂłn Č&#x2122; satisface a tan T P. c) La caja se deslizarĂĄ hacia abajo del plano conforme tan T P si a ĂŠsta se le proporciona una velocidad inicial v(0) v0 0. Suponga que 13 4 y Č&#x2122; 23°. Compruebe que tan Č&#x2122; P. ÂżQuĂŠ distancia se deslizarĂĄ hacia abajo del plano si v0 1 pie/s?

13 4 y T 23° para d) Utilice los valores aproximar la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por todo el plano incli-

3.2

MODELOS NO LINEALES

l

93

nado. DespuĂŠs encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano.

48. Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de caùón en alcanzar su altura måxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de caùón en llegar al suelo.

Ademås la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de caùón.

Compruebe ambos resultados. b) DespuĂŠs, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0. AquĂ­ puede ser Ăştil un programa para determinar raĂ­ces FRQ XQ 6$& R XQD FDOFXODGRUD JUDÂżFDGRUD

MODELOS NO LINEALES REPASO DE MATERIAL l Ecuaciones (5), (6) y (10) de la secciĂłn 1.3 y problemas 7, 8, 13, 14 y 17 de los ejercicios 1.3. l SeparaciĂłn de variables de la secciĂłn 2.2.

INTRODUCCIĂ&#x201C;N Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el anĂĄlisis de algunos modelos no lineales.

DINĂ MICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaĂąo de una poblaciĂłn al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPĺ&#x2026;ždt kP para cierta k 0. En este modelo, la WDVD HVSHFtÂżFD o relativa de crecimiento, GHÂżQLGD SRU dP>dt (1) P es una constante k. Es difĂ­cil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerĂĄn restricciones sobre el crecimiento de la poblaciĂłn. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razĂłn (1) decrezca conforme la poblaciĂłn P aumenta de tamaĂąo.

La hipĂłtesis de que la tasa con que crece (o decrece) una poblaciĂłn sĂłlo depende del nĂşmero presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fenĂłmenos estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: dP>dt dP f (P) o Pf (P).

(2) P dt Esta ecuaciĂłn diferencial, que se adopta en muchos modelos de poblaciĂłn de animales, se denomina hipĂłtesis de dependencia de densidad.

f(P) r

K

P

FIGURA 3.2.1 La suposiciĂłn mĂĄs simple para f (P) es una recta (color azul).

ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA SupĂłngase que un medio es capaz de sostener, como mĂĄximo, una cantidad K determinada de individuos en una poblaciĂłn. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. AsĂ­ para la funciĂłn f en la ecuaciĂłn (2) se tiene que f (K) 0 y simplemente hacemos f (0) r (Q OD ÂżJXUD YHPRV WUHV IXQFLRnes que satisfacen estas dos condiciones. La hipĂłtesis mĂĄs sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f (P) c1P c2. Si aplicamos las condiciones f (0) r y f (K) 0, tenemos que c2 r y c1 rĺ&#x2026;žK, respectivamente, y asĂ­ f adopta la forma f (P) r (rĺ&#x2026;žK)P. Entonces la ecuaciĂłn (2) se convierte en dP r P r P .

(3) dt K 5HGHÂżQLHQGR ODV FRQVWDQWHV OD HFXDFLyQ QR OLQHDO HV LJXDO D

ĺ&#x2020;˘

ĺ&#x2020;Ł

94

l

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

dP P(a bP).

(4) dt Alrededor de 1840, P. F. Verhulst, matemĂĄtico y biĂłlogo belga, investigĂł modelos matemĂĄticos para predecir la poblaciĂłn humana en varios paĂ­ses. Una de las ecuaciones que estudiĂł fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuaciĂłn se llegĂł a conocer como ecuaciĂłn logĂ­stica y su soluciĂłn se denomina funciĂłn logĂ­stica /D JUiÂżFD GH una funciĂłn logĂ­stica es la curva logĂ­stica.

La ecuaciĂłn diferencial dPĺ&#x2026;ždt kP QR HV XQ PRGHOR PX\ ÂżHO GH OD SREODFLyQ cuando ĂŠsta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblaciĂłn, se presentan efectos negativos sobre el ambiente como contaminaciĂłn y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la poblaciĂłn. Como veremos a continuaciĂłn, la soluciĂłn de la ecuaciĂłn (4) estĂĄ acotada conforme t â&#x2020;&#x2019; . Si se rescribe (4) como dPĺ&#x2026;ždt aP bP2, el tĂŠrmino no lineal bP2, b 0 se puede interpretar como un tĂŠrmino de â&#x20AC;&#x153;inhibiciĂłnâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;competenciaâ&#x20AC;?. TambiĂŠn, en la mayorĂ­a de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b.

Se ha comprobado que las curvas logĂ­sticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta ('URVyÂżOD) en un espacio limitado.

SOLUCIĂ&#x201C;N DE LA ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA Uno de los mĂŠtodos para resolver la ecuaciĂłn (4) es por separaciĂłn de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dPĺ&#x2026;žP(a bP) dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene

ĺ&#x2020;˘1>aP a b>abPĺ&#x2020;Ł dP dt 1 1 lnĺ&#x2026;Š P ĺ&#x2026;Š lnĺ&#x2026;Š a bP ĺ&#x2026;Š t c a a ln

ĺ&#x2026;Ša P bP ĺ&#x2026;Š at ac

P c1eat. a bP ac1eat ac1 De la Ăşltima ecuaciĂłn se tiene que P(t) 1 bc eat bc e at .

1 1 Si P(0) P0, P0 aĺ&#x2026;žb, encontramos que c1 P0b(a bP0) y asĂ­, sustituyendo y VLPSOLÂżFDQGR OD VROXFLyQ VH FRQYLHUWH HQ aP0 (5) P(t) . bP0 (a bP0)e at GRĂ FICAS DE P(t ) La forma bĂĄsica de la funciĂłn logĂ­stica P(t) se puede obtener sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces se consideran aplicaciones en las que t 0, tiene cierto interĂŠs incluir este intervalo al PRVWUDU ODV GLIHUHQWHV JUiÂżFDV GH P. De la ecuaciĂłn (5) vemos que aP a P(t) 0 . conforme t y P(t) 0 conforme t bP0 b La lĂ­nea punteada P aĺ&#x2026;ž2b GH OD ÂżJXUD FRUUHVSRQGH D OD RUGHQDGD GH XQ SXQWR GH LQĂ&#x20AC;H[LyQ GH OD FXUYD ORJtVWLFD 3DUD PRVWUDU HVWR GHULYDPRV OD HFXDFLyQ XVDQGR la regla del producto: d 2P dP dP dP P b (a bP)

(a 2bP) dt2 dt dt dt

ĺ&#x2020;˘

ĺ&#x2020;Ł

P(a bP)(a 2bP)

ĺ&#x2020;˘

2b2P P

ĺ&#x2020;Łĺ&#x2020;˘P 2ba ĺ&#x2020;Ł.

a b

3.2

P

a/b

a/2b P0 t a)

P

a/b

P0

a/2b

t

MODELOS NO LINEALES

l

95

Recuerde, de cĂĄlculo, que los puntos donde d 2Pĺ&#x2026;ždt 2 0 son posibles puntos de inĂ&#x20AC;H[LyQ SHUR REYLDPHQWH VH SXHGHQ H[FOXLU P 0 y P aĺ&#x2026;žb. Por tanto P aĺ&#x2026;ž2b es el Ăşnico valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la JUiÂżFD 3DUD P aĺ&#x2026;ž2b se tiene que P 0, y aĺ&#x2026;ž2b P aĺ&#x2026;žb implica que P $Vt FXDQGR VH OHH GH L]TXLHUGD D GHUHFKD OD JUiÂżFD FDPELD GH FyQFDYD KDFLD DUULED D cĂłncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P aĺ&#x2026;ž2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 P0 aĺ&#x2026;ž2b OD JUiÂżFD GH P(t) adopta la forma de una S, como se ve en la ÂżJXUD D 3DUD aĺ&#x2026;ž2b P0 aĺ&#x2026;žb OD JUiÂżFD D~Q WLHQH OD IRUPD GH 6 SHUR HO SXQWR GH LQĂ&#x20AC;H[LyQ RFXUUH HQ XQ YDORU QHJDWLYR GH t FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD E

En la ecuaciĂłn (5) de la secciĂłn 1.3 ya hemos visto a la ecuaciĂłn (4) en la forma dxĺ&#x2026;ždt kx(n 1 â&#x20AC;&#x201C; x), k 0. Esta ecuaciĂłn diferencial presenta un modelo razonable para describir la propagaciĂłn de una epidemia que comienza cuando se introduce una persona infectada en una poblaciĂłn estĂĄtica. La soluciĂłn x(t) representa la cantidad de personas que contraen la enfermedad al tiempo t.

EJEMPLO 1

Crecimiento logĂ­stico

Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a un campus aislado de 1 000 estudiantes. Si se supone que la razĂłn con que se propaga el virus no sĂłlo a la cantidad x de estudiantes infectados sino tambiĂŠn a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados despuĂŠs de 6 dĂ­as si ademĂĄs se observa que despuĂŠs de cuatro dĂ­as x(4) 50.

b)

FIGURA 3.2.2 Curvas logĂ­sticas para diferentes condiciones iniciales.

x = 1000

x

500

5

10

t

a) (a) t (dĂ­as) 4 5 6 7 8 9 10

SOLUCIĂ&#x201C;N Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales dx kx(1000 x), x(0) 1. dt ,GHQWLÂżFDQGR a 1000k y b k, vemos de inmediato en la ecuaciĂłn (5) que 1000k 1000 . x(t)

k 999ke 1000kt 1 999e 1000kt Ahora, usamos la informaciĂłn x(4) 50 y calculamos k con 1000 .

50 1 999e 4000k 19 Encontramos 1000k 14 1n 999 0.9906. Por tanto 1000 . x(t) 1 999e 0.9906t

x (nĂşmero de infectados) 50 (observados) 124 276 507 735 882 953 b)

FIGURA 3.2.3 El nĂşmero de estudiantes infectados en en elejmplo 1.

Finalmente,

x(6)

1000 276 estudiantes.

1 999e 5.9436

(Q OD WDEOD GH OD ÂżJXUD E VH GDQ RWURV YDORUHV FDOFXODGRV GH x(t). Note que el nĂşmero de estudiantes infectados x(t) se acerca a 1 000 conforme crece t.

MODIFICACIONES DE LA ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA Hay muchas variaciones de la ecuaciĂłn logĂ­stica. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales dP dP (6) P(a bP) h P(a bP) h y dt dt podrĂ­an servir, a su vez, como modelos para la poblaciĂłn de una pesquerĂ­a donde el pez se pesca o se reabastece con una razĂłn h. Cuando h 0 es una constante, las ED en las ecuaciones (6) se analizan cualitativamente de manera fĂĄcil o se resuelven analĂ­ticamente por separaciĂłn de variables. Las ecuaciones en (6) tambiĂŠn podrĂ­an servir como modelos de poblaciones humanas que decrecen por emigraciĂłn o que crecen por inmigraciĂłn, respectivamente. La razĂłn h en las ecuaciones (6) podrĂ­a ser funciĂłn del tiempo t o depender de la poblaciĂłn; por ejemplo, se podrĂ­a pescar periĂłdicamente o con una razĂłn proporcional a la poblaciĂłn P al tiempo t. En el Ăşltimo caso, el modelo serĂ­a P P(a â&#x20AC;&#x201C; bP) â&#x20AC;&#x201C; cP, c 0. La poblaciĂłn humana de una comunidad podrĂ­a cam-

96

l

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

biar debido a la inmigraciĂłn de manera que la contribuciĂłn debida a la inmigraciĂłn sea grande cuando la poblaciĂłn P de la comunidad era pequeĂąa pero pequeĂąa cuando P es grande; entonces un modelo razonable para la poblaciĂłn de la comunidad serĂ­a Pc P(a bP) ce kP, c 0, k 0. Vea el problema 24 de los ejercicios 3.2. Otra ecuaciĂłn de la forma dada en (2), dP P(a b ln P), (7) dt HV XQD PRGLÂżFDFLyQ GH OD HFXDFLyQ ORJtVWLFD FRQRFLGD FRPR OD ecuaciĂłn diferencial de Gompertz, llamada asĂ­ por el matemĂĄtico inglĂŠs Benjamin Gompertz (1779-1865).

Esta ED algunas veces se usa como un modelo en el estudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el crecimiento de tumores sĂłlidos y cierta clase de predicciones actuariales. Vea el problema 8 de los ejercicios 3.2.

REACCIONES QUĂ?MICAS Suponga que a gramos de una sustancia quĂ­mica A se combinan con b gramos de una sustancia quĂ­mica B. Si hay M partes de A y N partes de B formadas en el compuesto y X(t) es el nĂşmero de gramos de la sustancia quĂ­mica C formada, entonces el nĂşmero de gramos de la sustancia quĂ­mica A y el nĂşmero de gramos de la sustancia quĂ­mica B que quedan al tiempo t son, respectivamente, M N X b X. y M N M N La ley de acciĂłn de masas establece que cuando no hay ningĂşn cambio de temperatura, la razĂłn con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las cantidades de A y B que aĂşn no se han transformado al tiempo t : a

ĺ&#x2020;˘

ĺ&#x2020;Łĺ&#x2020;˘b M N N Xĺ&#x2020;Ł.

dX M a X dt M N

(8)

Si se saca el factor Mĺ&#x2026;ž(M N) del primer factor y Nĺ&#x2026;ž(M N) del segundo y se introduce una constante de proporcionalidad k 0, la expresiĂłn (8) toma la forma dX (9) k( X)( X), dt donde D a(M N )ĺ&#x2026;žM y E b(M N )ĺ&#x2026;žN. Recuerde de (6) en la secciĂłn 1.3 que una reacciĂłn quĂ­mica gobernada por la ecuaciĂłn diferencial no lineal (9) se conoce como una reacciĂłn de segundo orden.

EJEMPLO 2

ReacciĂłn quĂ­mica de segundo orden

Cuando se combinan dos sustancias quĂ­micas A y B se forma un compuesto C. La reacciĂłn resultante entre las dos sustancias quĂ­micas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Determine la cantidad de C en el tiempo t si la razĂłn de la reacciĂłn es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y si inicialmente hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ÂżQuĂŠ cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la soluciĂłn conforme t â&#x2020;&#x2019; .

SOLUCIĂ&#x201C;N Sea X(t) la cantidad de gramos del compuesto C presentes en el tiempo t. Es obvio que X(0) 0 g y X(10) 30 g.

Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, asĂ­ a b 2 y b 4a. Por tanto, debemos usar a 25 2 15 de la sustancia quĂ­mica A y b 85 2 45 g de B. En general, para obtener X gramos de C debemos usar 1 4 X gramos de A X gramos de .B. y 5 5 Entonces las cantidades de A y B que quedan al tiempo t son respectivamente

()

()

50

1 X 5

y

32

4 X, 5

3.2

MODELOS NO LINEALES

97

l

Sabemos que la razĂłn con la que se forma el compuesto C satisface que

ĺ&#x2020;˘

ĺ&#x2020;Łĺ&#x2020;˘32 54 Xĺ&#x2020;Ł.

dX 1 50 X dt 5

3DUD VLPSOLÂżFDU ODV RSHUDFLRQHV DOJHEUDLFDV VXEVHFXHQWHV IDFWRUL]DPRV 15 del primer tĂŠrmino y 45 del segundo y despuĂŠs introducimos la constante de proporcionalidad: dX k(250 X)(40 X). dt Separamos variables y por fracciones parciales podemos escribir que

1 210

250 X

dX

1 210

40 X

dX k dt.

Al integrar se obtiene

In

250 40

X X

210kt

c1 o

X X

250 40

c2e210kt.

(10)

Cuando t 0, X 0, se tiene que en este punto c2 254. Usando X 30 g en t 10 88 0.1258. Con esta informaciĂłn se despeja X de la encontramos que 210 k 101 ln 25 Ăşltima ecuaciĂłn (10): X(t) 1000

X

X = 40

1 e 0.1258t .

25 4e 0.1258t

De (11) encontramos X(15) 34.78 gramos (Q OD ÂżJXUD VH SUHVHQWD HO FRPportamiento de X como una funciĂłn del tiempo. Es claro de la tabla adjunta y de la ecuaciĂłn (11) que X â&#x2020;&#x2019; 40 conforme t â&#x2020;&#x2019; (VWR VLJQLÂżFD TXH VH IRUPDQ JUDPRV del compuesto C, quedando 1 50 (40) 42 g de A 5

10 20 30 40

10 15 20 25 30 35

4 32 (40) 0 g de B. 5

y

t

a) t (min)

(11)

X (g) 30 (medido) 34.78 37.25 38.54 39.22 39.59 b)

FIGURA 3.2.4 NĂşmero de gramos del compuesto C en el ejemplo 2.

COMENTARIOS /D LQWHJUDO LQGHÂżQLGD ĺ&#x2026;° duĺ&#x2026;ž(a 2 u 2) se puede evaluar en tĂŠrminos de logaritmos tangente hiperbĂłlica inversa, o de la cotangente hiperbĂłlica inversa. Por ejemplo, de los dos resultados

du a

2

u

2

du a2

u2

1 tanh a 1 2a

1

In

u a a a

c,

u u

u

(12)

a

c,

u

a,

(13)

la ecuaciĂłn (12) puede ser conveniente en los problemas 15 y 26 de los ejercicios 3.2, mientras que la ecuaciĂłn (13) puede ser preferible en el problema 27.

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