9786075265544 Matemáticas IV. Álgebra. 1a. Ed. Lineal Ron Larson y Joel Ibarra. Cengage

LARSON

Matemáticas IV ÁLGEBRA LINEAL

En Matemáticas IV. Álgebra lineal el estudiante hallará abundantes ejemplos, explicaciones, recuadros, tablas, definiciones y ejemplos para hacer más fácil el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo del álgebra lineal. Además de ello, la Unidad 1 correspondiente a números complejos es completamente nueva. En suma, estas páginas equilibran la teoría con ejemplos, aplicaciones y prácticas para lograr un sistema de aprendizaje completo.

Matemáticas IV • ÁLGEGRA LINEAL

Matemáticas IV. Álgebra lineal, ha sido adaptado por el maestro Joel Ibarra para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México a partir de las páginas del reconocido volumen Fundamentos de álgebra lineal de Ron Larson.

Matemáticas IV ÁLGEBRA LINEAL

ISBN-13: 978-607-526-554-4 ISBN-10: 607-526-554-6

RON LARSON Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

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ร lgebra lineal.

Matemรกticas 4

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Álgebra lineal Matemáticas 4

Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College

Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca Traducción

Oliver Davidson Véjar Traductor profesional Revisiones técnicas de esta edición

MSc. Harold Vacca González Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá (Colombia)

Mtro. Francisco Javier Avilés Urbiola Instituto Tecnológico de Querétaro

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Álgebra lineal. Matemáticas 4 Ron Larson y Joel Ibarra Gerente Editorial de Contenidos en Español: Jesús Mares Chacón Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente de Desarrollo Editorial en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Omegar Martínez Diseño de portada: Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Shutterstock Composición tipográfica: José Jaime Gutiérrez Aceves

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301.

Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa.

C.P. 05320. Ciudad de México.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro: Elementary linear algebra Seventh Edition Publicado en inglés por Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-1-133-11087-3 Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron y Joel Ibarra Álgebra lineal. Matemáticas 4 ISBN: 978-607-526-554-4 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

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Contenido Prefacio

1 2

Números complejos

1

1.1

2

4

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan

21 22 33

Matrices y determinantes

45

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

47 59 69 81 91 99 107 115

Operaciones con matrices Propiedades de las operaciones con matrices Inversa de una matriz Matrices elementales Determinante de una matriz Determinantes y operaciones elementales Propiedades de los determinantes Adjunta de una matriz y regla de Cramer

Espacios vectoriales 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

5

Números complejos

Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 2.2

3

vi

Espacios vectoriales Subespacios de espacios vectoriales Conjuntos generadores e independencia lineal Base y dimensión Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales Coordenadas y cambio de base Espacios con producto interno Bases ortonormales: el proceso de Gram-Schmidt

Transformaciones lineales 5.1 5.2 5.3 5.4

Introducción a las transformaciones lineales El kernel y el rango de una transformación lineal Matrices de transformaciones lineales Matrices de transición y semejanza

125 127 135 142 153 162 175 185 196

207 208 219 230 240

v

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vi

Contenido

6

Eigenvalores, eigenvectores y formas cuadráticas 6.1 6.2 6.3 6.4

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247

Eigenvalores y eigenvectores Diagonalización Matrices simétricas y diagonalización ortogonal Formas cuadráticas

248 259 268 278

Proyectos

283

Examen acumulativo

294

Respuestas a los ejercicios impares seleccionados

301

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Prefacio Álgebra lineal. Matemáticas 4 es una adaptación del muy reconocido Fundamentos de álgebra lineal de Ron Larson. La adaptación fue hecha por el maestro Joel Ibarra del Instituto Tecnológico de Toluca para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México. Este libro incluye una completamente nueva unidad 1 con ejemplos, ejercicios y sección de proyectos. Adicionalmente, en esta entrega se han mejorado por completo varios capítulos del libro y se han agregado y actualizado ejercicios, ejemplos, casos y definiciones en todas sus secciones. A la vez que ha sido completamente replanteado, el volumen conserva, amplía y da énfasis a los ejercicios y al sistema que ha dado tanto reconocimiento a los libros de su autor original, haciéndolo más enfocado sin perder valor.

Este libro cuenta, además de con tres capítulos adicionales en CengageBrain, con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles únicamente en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor información, póngase en contacto con el área de servicio al cliente en las siguientes direcciones de correo electrónico: • • • •

Cengage Learning México y Centroamérica Cengage Learning Caribe Cengage Learning Cono Sur Cengage Learning Pacto Andino

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Al igual que los recursos impresos adicionales, las direcciones de los sitios web señaladas a lo largo del texto, y que se incluyen a modo de referencia, no son administradas por Cengage Learning Latinoamerica, por lo que ésta no es responsable de los cambios y actualizaciones de las mismas.

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1 1.1

Números complejos Números complejos

Telecomunicaciones

Dinámica de fluidos

Astrofísca

Electrónica Física nuclear

1

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2

Unidad 1

1.1

Números complejos

Números complejos Iniciemos esta sección considerando la ecuación general cuadrática con coeficientes reales ax2 bx c 0 El teorema fundamental del álgebra nos garantiza que por ser una ecuación de grado dos, tendrá exactamente dos raíces. Se sabe, por completación de cuadrados, que dichas dos raíces son x=

−b ± b 2 − 4ac 2a

Expresión conocida como la fórmula general de la ecuación cuadrática. La expresión I b2 4ac se conoce como el discriminante de la ecuación y se sabe que si I 0 existen dos raíces reales diferentes; si I 0 existen dos raíces reales repetidas.

Una manera de abordar el estudio de los números complejos es considerar las raíces de la ecuación para el caso restante I 0.

Consideremos la ecuación cuadrática x2 1 0. Algebraicamente se puede verificar — que la solución debe satisfacer x2 1 o de manera equivalente x2 ! 1. Esto nos permite introducir la definición de la unidad imaginaria i.

Definición 1.1

La unidad imaginaria i

Se define la unidad imaginaria i como el número imaginario que satisface i2 1 — o bien i ! 1.

Esta definición nos permite resolver el caso I 0 de la ecuación cuadrática, porque bajo esta condición se tienen las dos raíces x=

−b ± − ( b 2 − 4ac ) 2a

agrupar

x=

−b ± −1 b 2 − 4ac 2a

Separar radicando

x=

−b ± b 2 − 4ac i 2a

utilizar i2 1

EJEMPLO 1

Raíces complejas de una ecuación cuadrática

Para la ecuación x − 8x + 25 = 0, se tienen los valores a 5 1, b 5 28 y c 5 25.

Al aplicar la fórmula general tenemos x=

−(−8) ± (−8)2 − 4(1)(25) 2(1)

sustituir

x=

8 ± −36 2

simplificar

x=

8 ± 6i 2

utilizar i2 1

De donde x1 = 4 + 3i y x 2 = 4 − 3i.

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1.1

3

Números complejos

Al considerar la unidad imaginaria, es posible definir el conjunto de los números complejos. Al respecto la siguiente definición.

Definición 1.2

Los números complejos

Se define el conjunto de los números complejos como = {a + bi | a,b ∈ , i 2 = −1} Los números complejos también se conocen como números imaginarios.

La expresión a bi recibe el nombre de forma rectangular o binomial de un número complejo. Si z a bi es un número complejo se define su parte real como Re(z) a y su parte imaginaria como Im(z) b. De esta manera z Re(z) i Im(z). Para el caso particular en que a 0 el complejo resultante z bi se conoce como un complejo puro.

EJEMPLO 2

Partes real e imaginaria de un número complejo

Dado el número complejo 3 20i se verifica que su parte real es Re(3 20i) 3 y su parte imaginaria Im(3 20i) 20.

Se puede observar que si b 0 entonces z a 0i a es un número real, de manera que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos. ⊂

⊂

⊂

⊂

IGUALDAD DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS Se considera que dos complejos son iguales si sus correspondientes partes reales son iguales y sus correspondientes partes imaginarias son iguales, es decir a1 + i b1 = a2 + i b2 si y solo si a1 a2 y b1 b2

OPERACIONES EN LOS COMPLEJOS Los números complejos se pueden operar de manera sencilla si se consideran como binomios y se utilizan las operaciones algebraicas normales. Se tienen los siguientes casos: i) Si z a ib y w c id son dos números complejos la suma se define como z + w = ( a + ib ) + ( c + id ) = (a + c) + i ( b + d ) ii) Si k 苸 ⺢ y z a bi se define el producto de un escalar real por un complejo como k z = k ( a + ib ) = ka + ikb iii) Si z a ib y w c id, se define el producto de dos números complejos como z w = ( a + ib ) ( c + id ) = ac + i ad + i bc + i 2 bd = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i

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4

Unidad 1

Números complejos iv) Al considerar la potencia de un número complejo como un producto sucesivo de la base, se tiene que si n es un entero positivo, la potencia n-ésima de un complejo se puede expresar como zn = z ⋅ z ⋅

z

n -factores

En la siguiente definición se enuncian las operaciones básicas con los números complejos.

Definición 1.3 Operaciones con los números complejos Dados los complejos z a ib y w c id, y k 苸 ⺢ de definen las siguientes operaciones i) z + w = ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c) + i ( b + d ) ii) k z = k ( a + ib ) = ka + ikb

Suma de complejos Producto escalar por complejo

iii) z w = ( a + ib ) ( c + id ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i

Producto de complejos

iv) z = z ⋅ z ⋅

Potencia de un complejo

n

z

n -factores

EJEMPLO 3

Operaciones con números complejos

Si z 1 3i y w 4 5i calcular las operaciones (i) z w, (ii) z w, (iii) 5z 3w, (iv) z2, (v) z5 SOLUCIÓN i) z + w = (1− 3i) + ( −4 + 5i ) = −3 + 2i ii) z − w = (1− 3i ) − (−4 + 5i ) = 5 − 8i iii) 5z − 3w = 5 (1− 3i ) − 3 ( −4 + 5i ) = 17 − 30i iv) z w = (1− 3i ) ( −4 + 5i ) = 11+ 17i v) z 2 = (1− 3i ) (1− 3i ) = −8 − 6i 3 vi) z = (1− 3i ) (1− 3i ) = −26 + 18i 2

vii) z 4 = (1− 3i ) (1− 3i ) = 28 + 96i 2

2

5 viii) z = (1− 3i ) (1− 3i ) (1− 3i ) = ( −8 − 6i ) ( −8 − 6i ) (1− 3i ) = 316 + 12i.

2

2

EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Si bien el concepto de espacio vectorial se estudia a detalle en la unidad 4, ya estamos en condiciones de conocer las propiedades que satisfacen los números complejos con las operaciones de suma de complejos y producto de un escalar por un complejo y que hacen del conjunto ⺓ un espacio vectorial real. Se deja al lector como un ejercicio de suma importancia verificar cada una de estas propiedades.

Si z1, z2, z3 苸 ⺓ son tres números complejos y a, b 苸 ⺢ escalares reales, se satisfacen las siguientes propiedades i) (Cerradura de la suma) z1 1 z2 苸 ⺓ ii) (Conmutatividad de la suma) z1 1 z2 5 z2 1 z1

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1.1

Números complejos

5

iii) (Asociatividad de la suma) (z1 1 z2) 1 z3 5 z1 1 (z2 1 z3) iv) (Neutro aditivo) Existe 0 苸 ⺓ tal que z1 1 0 5 z1 para cada z1 苸 ⺓ v) (Inverso aditivo) Para cada z1 苸 ⺓ existe 2z1 苸 ⺓ tal que z1 1 (2z1) 5 0 vi) (Cerradura de producto por escalar) a z1 苸 ⺓ vii) (Asociatividad de los escalares) (ab)z1 5 a(bz1) viii) (Primera ley distributiva) a(z1 1 z2) 5 az1 1 az2 ix) (Segunda ley distributiva) (a 1 b)z1 5 az1 1 bz1 x) (identidad multiplicativa) Si 1 苸 ⺢ entonces 1 z1 5 z1 para cada z1 苸 ⺓ Es importante notar que para las propiedades antes listadas y que hacen de ⺓ un espacio vectorial, solo se consideran la suma de complejos y la multiplicación de un escalar real por un complejo. Si observamos con detenimiento, las propiedades anteriores son las mismas que cumplen los números reales.

Un número complejo z a bi se puede representar gráficamente en el plano carteciano asociándolo al punto de coordenadas (Re(z), Im(z)) 5 (a, b). En ocasiones al eje x se le conoce como eje real y al eje y como eje imaginario. En la figura 1.1 se representa al complejo z a bi si se considera a, b 0

y Im(z) z a bi

b

a

x Re(z)

Figura 1.1 Representación gráfica del complejo z a bi.

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO En la siguiente definición se presenta el concepto de conjugado de un número complejo.

Definición 1.4 Conjugado de un número complejo Dado el complejo z a bi, se define su conjugado como z– a bi.

El conjugado de un número complejo es el “reflejo” respecto del eje x. En la figura 1.2 se puede observar esta propiedad.

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6

Unidad 1

Números complejos y Im(z)

z a bi

b

a

x Re(z)

z– a bi

Figura 1.2 Conjugado de un complejo.

A continuación se enuncian algunas propiedades de los números complejos conjugados.

Propiedades de los complejos conjugados i) z + w = z + w ii) zw = z w iii) k w = k w, k 苸 ⺢ iv)

z z = w w

v) z n = (z)

n

vi) z = z Se deja como un ejercicio al lector, la justificación de todas estas propiedades.

EJEMPLO 4

Conjugado de un complejo

Los siguientes son ejemplos del conjugado de un número complejo i) 3 + 2i = 3 − 2i ii) −1− 8i = −1+ 8i iii) 4 − 7i = 4 + 7i iv) 3 ( 4 − 2i ) = 3 ( 4 + 2i ) = 12 + 6i v) 3 − 6i = 3 + 6i = 3 − 6i vi) −6 = −6 vii) 4i = −4i viii)

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3 2i 3+ 2i 2 23 = = + i 4 + 5i 4 5i 41 41

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1.1

7

Números complejos

ix) ( 2 + 3i ) ( −1+ 4i ) = ( 2 − 3i ) ( −1− 4i ) = −14 − 5i

)

(

viii) ( 4 − 7i ) = ( 4 − 7i ) = ( 4 + 7i ) = −524 − 7i.

3

3

3

Definición 1.5 Magnitud y argumento de un complejo Sea z a bi un complejo. Se define su magnitud como r = z = a 2 + b 2 , y su argumento como el ángulo entre la parte positiva del eje real y el radiovector defib nido por el punto (a, b) y se denota como = arg z = tan 1 , con 0 ≤ θ < 2π . a Se puede verificar que geométricamente, la magnitud de un complejo es la distancia del origen al punto que representa al número en el plano. En la figura 1.3 se puede observar la magnitud r y el argumento u del complejo z a bi.

z a bi

b

r

u a Figura 1.3 Magnitud de un número complejo

En la figura 1.4 se puede observar la relación que existe entre la magnitud y el argumento de un complejo y su conjugado. Se cumple que z = z y arg ( z ) = arg ( z ) z a bi

b

r

u u

a

r

z a bi Figura 1.4 Magnitud y argumento de z y z–.

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8

Unidad 1

Números complejos Si z a ib se verifica que z z = ( a + ib ) ( a − ib ) = a 2 + b 2, de manera que por definición de magnitud de un complejo se tiene zz = z 2 Si utilizamos esta propiedad, la división de los complejos z y w, con w 0, se escribe como z z w zw = = w ww w 2 Como una consecuencia, se puede calcular el recíproco de un complejo no cero al escribir a b 1 1z z = = = − i 2 2 z zz z z 2 z

EJEMPLO 5 Calcular a)

Recíproco de un complejo y división de dos complejos

1 4 + 7i y b) 5 − 4i 3 − 2i

SOLUCIÓN 1 5 + 4i 5 + 4i 5 4 1 = = = + i a) 2 41 41 5 − 4i 5 − 4i 5 + 4i 25 − 16i b)

2 29 4 + 7i 4 + 7i 3 + 2i ( 4 + 7i ) ( 3 + 2i ) = ⋅ = = − + i.

2 13 13 3 − 2i 3 − 2i 3 + 2i 9 − 4i

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Se pueden utilizar la magnitud 冷z冷 y el argumento u de un número complejo para expresarlo en formas más convenientes para ciertas operaciones. De la figura 1.5 se puede deducir que si z a bi entonces a r cos u y b r sen u. Se tiene la siguiente definición al respecto.

z a bi

b

b r sen u

r

u a r cos u

a

Figura 1.5 Forma polar de un complejo.

Definición 1.6 Forma polar de un complejo Dado el complejo z a bi, al considerar que a r cos u y b r sen u, se define su forma polar como z = r ( cosθ + i sen θ )

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1.1

EJEMPLO 6

9

Números complejos

Forma polar de un complejo

— Expresar al complejo z 1 !3i en forma polar SOLUCIÓN 3 2π — Si z 1 !3i entonces r 2 y θ = tan −1 , luego = −1 3 2 2 z = 2 cos + i sen .

3 3

EJEMPLO 7

Forma rectangular de un complejo en forma polar

Expresar el complejo z = 2 cos

2 2 + i sen 3 3

en forma binomial

SOLUCIÓN Para expresar un complejo dado en forma polar en su forma binomial simplemente distribuimos, de manera que 2 2 + i sen 3 3 1 3 +2 i 2 2

z = 2 cos =2

3 3 + 2sen i 4 4

= 2cos

= 1+ 3 i

Cuando un número complejo está expresado en forma polar, las operaciones de producto, división, recíproco y potencia se pueden reescribir. Para esto basta considerar que si z = r ( cosθ + i sen θ ), z1 = r1 ( cosθ1 + i sen θ1 ) y z2 = r2 ( cosθ 2 + i sen θ 2 ) entonces i) z1z2 = r1 (cos 1 + i sen = r1 r2 ( cos 1 cos

1

2

)r2 (cos

2

+ i sen

sen 1sen

2

2

)

) + i (sen

1

cos

2

+cos 1sen

2

)

= r1 r2 cos( 1 + 2 ) + i sen ( 1 + 2 ) ii)

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r (cos 1 + i sen z1 = 1 z2 r2 (cos 2 + i sen

) r2 (cos 2 ) r2 ( cos

1

2

i sen

2

i sen

=

r1 (cos 1 + i sen 1 )(cos 2 i sen r2 cos 2 2 i 2 sen 2 2

2

)

=

r1 (cos 1 + i sen 1 )(cos 2 i sen r2 cos 2 2 +sen 2 2

2

)

=

r1 (cos 1 + i sen r2

2

)

=

r1 ( cos 1 cos r2

=

r1 cos( r2

1

2

2

1

)(cos

2

+ sen 1sen

) + i sen (

1

i sen

) 2) 2

) + i (sen

2

2

1

cos

2

i sen

2

cos

1

)

)

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10

Unidad 1

Números complejos iii)

1 1 = z r (cos + i sen

(cos ) (cos

i sen i 2 sen 2

=

cos r (cos 2

=

i sen 1 cos 2 r (cos +sen 2

=

1 (cos r

i sen

i sen i sen

) )

) )

)

iv) z 2 = z z = r 2 (cos + i sen

)(cos

z 3 = z 2 z = r 3 (cos 2 + i sen 2

+ i sen

)(cos

z 4 = z 2 z 2 = r 4 (cos 2 + i sen 2

) = r 2 (cos 2

+ i sen

)(cos 2

+ i sen 2

) = r 3 (cos3

)

+ i sen3

)

+ i sen 2 ) = r 4 (cos 4 + i sen 4

)

En este último inciso, se puede observar el comportamiento de la potencia de un complejo en forma polar. Más adelante, estudiaremos con mayor precisión y formalidad este resultado (Teorema de De Moivre).

EJEMPLO 8

Operaciones de complejos en forma polar

Dados los complejos z = 5 cos calcular (a) zw, (b)

3 3 + i sen 4 4

y w = 2 cos + i sen 3 3

1 z y (c) z . w

SOLUCIÓN De la observación anterior tenemos a) z w = 5(2) cos

3 3 + i sen 4 4

cos + i sen 3 3

= 10 cos

3 3 + + i sen + 4 3 4 3

Simplificar

= 10 cos

13 13 + i sen 12 12

Sumar argumentos

b) Para el cociente

z tenemos w

3 3 5 cos + i sen z 4 4 = w 2 cos + i sen 3 3

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Multiplicar polares

=

5 3 cos 2 4

=

5 5 5 cos + i sen 2 12 12

3

+ i sen

Dividir formas polares

3 4

3

Cociente polar

Simplificar

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1.1

Números complejos

11

c) Finalmente 1 1 = z 5 cos 3 + i sen 3 4 4 =

1 3 cos 5 4

i sen

Cociente

3 4

Simplificar

FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO El siguiente teorema nos proporciona una forma alterna para expresar un número complejo, que es en si, la misma forma polar solo que expresada en términos de la función exponencial. Más adelante observaremos que la forma exponencial de un número complejo facilita aún más las operaciones de producto, cociente y potencia.

TEOREMA 1.1

Identidad de Euler

i Si u es un número real entonces e = cos + i sen .

DEMOSTRACIÓN La demostración utiliza las series de Maclaurin de las funciones exponecial, seno y coseno. A saber e x = 1+ x +

1 2 1 3 x + x + 2!

3!

sen x = x

1 3 1 5 x + x 3!

5!

1 7 x 7!

cos x = 1

1 2 1 4 x + x 2!

4!

1 6 x + 6!

Las cuales son convergentes para todo número complejo x. Si consideramos x iu se tiene ei = 1+ (i ) +

1 1 1 1 2 3 5 7 (i ) + (i ) + (i ) + (i ) 2!

3!

5!

7!

A partir de la definición i 2 1, se puede deducir que i3 i, i 4 1, i5 i, i 1 y así sucesivamente. De esta manera 6

ei = 1+ i +

1 2!

= 1+ i = 1

1 2 i 2!

1 2!

2

+

2

2

1 4!

+

1 3 3 1 4 i + i 3!

4!

1 3 1 i + 4!

3!

4

1 6!

6

+

4

+

4

+

1 i 5! +i

1 5 i 5!

5

5

1 3!

3

+

1 5!

5

1 7!

7

= cos + i sen La demostración queda realizada Es importante aclarar que la identidad de Euler basa su demostración en el Teorema de Maclaurin, pues se utilizan los desarrollos en serie de las funciones involucradas. Por esta razón, el argumento de las funciones se debe tomar en el dominio respectivo es decir en radianes.

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12

Unidad 1

Números complejos Al considerar la paridad del coseno cos( ) = cos y la imparidad del seno sen ( ) = sen , la identidad de Euler demostrada anteriormente produce

e

i

= cos

i sen

De esta manera, si z a bi es un complejo con magnitud r = a 2 + b 2 y argumento b = tan 1 entonces a z a bi

forma rectangular o binomial

z = r (cos + i sen

)

forma polar

z = rei

forma exponencial

Que se conoce como la forma exponencial de un complejo.

Al considerar de nueva cuenta la paridad del coseno y la imparidad del seno, la identidad de Euler demostrada anteriormente produce

e

EJEMPLO 9

i

= cos

i sen

Forma exponencial de un complejo

— — Expresar los siguientes complejos en forma exponencial i) 1 !3i, ii) 1 !3i, — — iii) 1 !3i, iv) 1 !3i, v) 1, vi) 1, vii) i, viii) i.

SOLUCIÓN i) Como r 2 y = tan

1

3 — = , y 1 !3i está en el primer cuadrante, entonces 1 3

i

1+ 3 i = 2e 3 . ii) Como r 2 y = atan entonces =

2 — , y 1 !3i está en el segundo cuadrante, 3

3 + 1

4 — , y 1 !3i está en el tercer cuadrante, 3

=

4

4 . De esta manera 1 3

iv) Como r 2 y = atan entonces1

=

2 i 2 . De esta manera 1+ 3 i = 2e 3 .

3

iii) Como r 2 y = atan entonces =

3 + 1

3 1

i

3 i = 2e 3 .

=2 =

5 — , y 1 !3i está en el cuarto cuadrante, 3

5 i 3

3 i = 2e .

v) Como r 1 y u 0 entonces 1= 1e 0i = 1(cos 0 + i sen 0) = 1 vi) Como r 1 y u p entonces 1= 1e i = 1(cos + i sen vii) Como r 1 y = viii) Como r 1 y =

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)=

1

i

entonces i = 1e 2 = 1 cos + i sen = i 2 2 2 3 i 3 3 3 = i. entonces i = 1e 2 = 1 cos + i sen 2 2 2

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1.1

EJEMPLO 10

13

Números complejos

De la forma exponencial a la forma rectangular i

5

i

7

i

Transformar los siguientes complejos a su forma cartesiana i) 2e 6 , ii) 2e 6 , iii) 2e 6 , iv) 2e

11 i 6

SOLUCIÓN i

i) 2e 6 = 2 cos + i sen = 3 + i 6 6 5

i

5 5 + i sen = 6 6

3 +i

i

7 7 + i sen = 6 6

3

ii) 2e 6 = 2 cos 7

iii) 2e 6 = 2 cos

iv) 2e

11 i 6

= 2 cos

11 11 + i sen 6 6

= 3

i

i.

Dado el complejo en forma polar z = r (cos + i sen ) se verifica que z = r (cos − i sen ), esto produce la forma polar de un complejo conjugado z = r (cos

i sen

)

forma polar de un conjugado

O en su forma exponencial z = re

i

forma exponencial de un conjugado

De la misma forma, si z = rei = r (cos + i sen ), entonces la potencia de un complejo se puede expresar como i) z 2 = (r (cos + i sen

))

= (rei

)

2

= r 2e 2 i = r 2 (cos 2 + i sen 2

)

ii) z 3 = (r (cos + i sen

))

= (rei

)

3

= r 3e3 i = r 3 (cos3 + i sen3

)

2

3

iii) Si n es un entero positivo z n = (rei

)

n

= r ne n i = r n (cos n + i sen n

)

En el siguiente teorema, se expresa la potencia n-ésima de un complejo para cualquier entero positivo n.

TEOREMA 1.2

(De Moivre)

Si n es un entero positivo y z = r (cos + i sen ), entonces z n = r n (cos n + i sen n

)

En el caso en particular en que r 1, la expresión anterior se conoce como la fórmula de De Moivre, en honor al matemático francés Abraham de Moivre.

(cos

01LarsonTEC(001-020).indd 13

+ i sen

)

n

= cos n + i sen n

Fórmula de De Moivre

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14

Unidad 1

Números complejos

EJEMPLO 11

Potencia de un complejo

Calcule (1+ 3 i)

6

SOLUCIÓN i

Del ejemplo 9 se sabe que 1+ 3 i = 2e 3 , entonces

(1+ 3 i) = 2e 3 6

6 i

6

i

= 26 e 3 = 64e 2

= 64 (cos 2 + i sen 2

i

) = 64.

La forma exponencial de un complejo nos permite realizar productos, cocientes y potencias de complejos utilizando simplemente las leyes de los exponentes. Si z = rei y w = Rei entonces i) z w = (rei

)( Rei ) = rRei( + )

z rei r = i = ei( w Re R 1 1 1 iii) = i = e i r z re

)

ii)

i iv) z n = (re

)

n

= r nei n

EJEMPLO 12 2

Operaciones con complejos en forma exponencial

3

i

1 z , (c) , (d) z8 z w

i

Si z = 4e 3 y w = 2e 5 , calcular (a) zw, (b) SOLUCIÓN 2

a) z w = 4e 3 2

i

3

2e 5

i

z 4e 3 = 3 = 2e b) i w 2e 5 c)

1 = z

1 4e

2 i 3

d) z = 4e 8

1 = e 4

8 2 i 3

i

= 8e

2 3

3 i 5

2 i 3

= 48 e

i

2 3 + i 3 5

= 2e 15

1 4 = e3 4

16 3

19

= 8e 15

i

i

i

i

4

= 48 e 3 .

Como una consecuencia del teorema de De Moivre, podemos desarrollar un procedimiento para determinar las raíces n-ésimas de un número complejo. Esto se establece en el siguiente teorema.

01LarsonTEC(001-020).indd 14

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3

Matrices y determinantes

3.1 3.2 3.3 3.4

Operaciones con matrices Propiedades de las operaciones con matrices Inversa de una matriz Matrices elementales

Encriptación de datos

Dinámica de fluidos computacional

Deflexión de vigas

Calendarios de la tripulación de vuelo En sentido de las manecillas del reloj, desde arriba a la izquierda: Cousin_Avi/www.shutterstock.com; Goncharuk/www.shutterstock.com; Gunnar Pippel/www.shutterstock.com; © Sean Locke/iStockphoto.com; nostal6ie/www.shutterstock.com

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Recuperación de información

45

16/03/17 20:58

3.5 3.6 3.7 3.8

Determinante de una matriz Determinantes y operaciones elementales Propiedades de los determinantes Adjunta de una matriz y regla de Cramer

Órbitas planetarias

Publicación de libros de texto

Ingeniería y control

Sudoku Volumen de un sólido

46

03LarsonTEC(045-090).indd 46

En sentido de las manecillas del reloj, desde arriba a la izquierda: Orla/www.shutterstock.com; Dirk Ercken/Shutterstock.com; viviamo/www.shutterstock.com; RTimages/Shutterstock.com; rgerhardt/Shutterstock.com

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3.1

3.1

Operaciones con matrices

47

Operaciones con matrices Determine si dos matrices son iguales.

Sume y reste matrices y multiplique una matriz por una escalar.

Multiplique dos matrices.

Use matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Particione una matriz y escriba una combinación lineal de vectores columna.

OPERACIONES CON MATRICES En la Sección 2.2 usted utilizó matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este capítulo introduce algunos fundamentos de teoría de matrices y aplicaciones adicionales de matrices.

Por un acuerdo matemático común, las matrices se pueden representar en alguna de las siguientes tres formas: 1. Una matriz puede denotarse por una letra mayúscula como A, B o C 2. Una matriz puede denotarse por un elemento representativo escrito entre corchetes [aij], [bij] o [cij].

3. Una matriz puede denotarse como por un arreglo rectangular de números a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 amn Como se mencionó en la unidad 2, las matrices en este texto son fundamentalmente matrices reales. Es decir, sus elementos son números reales.

Decimos que dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales.

Definición de la igualdad de matrices Dos matrices A ⫽ [aij] y B ⫽ [bij] son iguales si tienen el mismo tamaño (m ⫻ n) y aij ⫽ bij para 1 ⱕ i ⱕ m y 1 ⱕ j ⱕ n.

COMENTARIO La frase “si y sólo si” significa que la expresión es válida en ambas direcciones. Por ejemplo, “p si y sólo si q” quiere decir que p implica a q y q implica a p.

EJEMPLO 1

Igualdad de matrices

Considere las cuatro matrices 1 2 1 A , B , 3 4 3

C

1

3, y

D

1 x

2 .

4

Las matrices A y B no son iguales, ya que tienen diferente tamaño. De manera similar, B y C tampoco lo son. Las matrices A y D son iguales si y sólo si x ⫽ 3.

Una matriz que sólo tiene una columna, como la matriz B del Ejemplo 1, se denomina matriz columna o vector columna. De manera similar, una matriz que sólo tiene un renglón, como la matriz C del ejemplo 1, se denomina matriz renglón o vector renglón. A menudo se utilizan letras negritas minúsculas para designar matrices columna o renglón. En este caso, 2 1 la matriz A del ejemplo 1 puede dividirse en dos matrices columna a1 y a2 de la 4 3 siguiente manera.

A

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1 3

2 4

1 3

2 4

a1

a2

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48

Unidad 3

Matrices y determinantes

SUMA Y RESTA DE MATRICES Y MULTIPLICACIÓN ESCALAR Usted puede sumar dos matrices (del mismo tamaño) sumando sus elementos correspondientes.

Definición de suma de matrices Si A ⫽ [aij] y B ⫽ [bij] son matrices de tamaño m ⫻ n, entonces su suma es la matriz de tamaño m ⫻ n dada por A ⫹ B ⫽ [aij ⫹ bij]. Para 1 ⱕ i ⱕ m y 1 ⱕ j ⱕ n.

La suma de dos matrices de diferente tamaño no está definida.

EJEMPLO 2 1 0

a. b.

0 1

COMENTARIO A menudo es conveniente reescribir una matriz B como cA, factorizando c de cada uno de los elementos de la matriz B. 1 Por ejemplo, el escalar 2 se ha factorizado de la siguiente matriz.

1 2 5 2

3 2 1 2

1 2

1 5

2 1

1 1

1 2 1 3 2

c.

Suma de matrices 3 2

1 0

2 3

0 0

1 3 2

0 0 0

0 0 d.

1 2 1 1

0 0

3 2

0 1

2 4

0 1

1 2

1 0

5 3

2 3

0 1

0 1

1 no está definida.

3

Cuando trabajamos con matrices nos referimos a los números reales como escalares.

Usted puede multiplicar una matriz A por un escalar c, multiplicando cada elemento de la matriz A por el escalar c.

3 .

1

Definición de la multiplicación por un escalar Si A ⫽ [aij] es una matriz de tamaño m ⫻ n y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar de A por c es la matriz de tamaño m ⫻ n dada por cA ⫽ [caij]. Para 1 ⱕ i ⱕ m y 1 ⱕ j ⱕ n.

Podemos utilizar ⫺A para representar el producto escalar (⫺1)A. Si A y B son del mismo tamaño, entonces A ⫺ B representa la suma de A y (⫺1)B. Es decir A ⫺ B ⫽ A ⫹ (⫺1) B.

EJEMPLO 3

Multiplicación por un escalar y resta de matrices

Para las matrices A y B, determine (a) 3A, (b) ⫺B y (c) 3A ⫺ B. 1 2 4 2 0 0 A 3 0 1 y B 1 4 3 2 1 2 1 3 2 SOLUCIÓN a. 3A

b.

B

c. 3A

03LarsonTEC(045-090).indd 48

3

1 3 2 1

B

2 0 1

4 1 2

2 1 1 3 9 6

0 4 3 6 0 3

31 3 3 32 0 3 2 12 3 6

32 30 31 2 1 1 2 1 1

34 3 1 32 0 4 3

0 4 3

3 9 6

6 0 3

12 3 6

0 3 2 0 3 2

1 10 7

6 4 0

12 6 4

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3.1

49

Operaciones con matrices

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES La tercera operación básica es la multiplicación de matrices. Para ver la utilidad de esta operación, considere la siguiente aplicación, en la cual las matrices son de mucha ayuda para organizar información.

Un estadio de futbol tiene tres áreas concesionadas para locales comerciales, ubicadas en el sur, norte y oeste del mismo. Los artículos más vendidos son los cacahuates, los hot dogs y los refrescos. Las ventas para cierto día son registradas en la primera matriz abajo y los precios (en dólares) de los tres artículos aparecen en la segunda.

Número de artículos vendidos Cacahuates 120

Local sur

Hot dogs 250

Refrescos 305

Precio de venta 2.00 Cacahuates

Local norte

207

140

419

3.00

Hot Dogs

Local oeste

29

120

190

2.75

Sodas

Para calcular el total de ventas de los tres productos más vendidos en el local sur, multiplique cada elemento en el primer renglón de la matriz de la izquierda por el precio correspondiente en la matriz columna de la derecha y sume los resultados. Las ventas del local sur son (120)(2.00) ⫹ (250)(3.00) ⫹ (305)(2.75) ⫽ $1828.75

Ventas local sur

De manera similar, calculamos las ventas de los otros dos locales de la siguiente forma.

(207)(2.00) ⫹ (140)(3.00) ⫹ (419)(2.75) ⫽ $1986.25 (29)(2.00) ⫹ (120)(3.00) ⫹ (190)(2.75) ⫽ $940.50

Ventas local norte Ventas local oeste

Los cálculos anteriores son ejemplos de la multiplicación de matrices. Usted puede escribir el producto de la matriz de 3 ⫻ 3 indicando el número de artículos vendidos y la matriz de 3 ⫻ 1 indicando los precios de venta, de la siguiente manera.

120 250 305 207 140 419 29 120 190

2.00 3.00 2.75

1828.75 1986.25 940.50

El producto de estas matrices es la matriz de 3 ⫻ 1, que nos da el total de las ventas por cada uno de los tres locales.

La definición general del producto de dos matrices mostrada abajo, se basa en las ideas recién desarrolladas. A primera vista esta definición puede parecer inusual, no obstante, usted verá más adelante que tiene muchas aplicaciones prácticas.

Definición de la multiplicación de matrices Si A ⫽ [aij] es una matriz de tamaño m ⫻ n y si B ⫽ [bij] es una matriz de tamaño n ⫻ p, entonces el producto AB es una matriz de tamaño m ⫻ p AB ⫽ [cij] donde n

cij

aik bkj k

ai1b1j

a i2 b2j

ai3 b3j

. . .

ain bnj .

1

Para 1 ⱕ i ⱕ m y 1 ⱕ j ⱕ p.

Esta definición significa que el elemento en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna del producto AB se obtiene al multiplicar los elementos del i-ésimo renglón de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y luego sumar los resultados. El siguiente ejemplo ilustra este proceso.

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50

Unidad 3

Matrices y determinantes

EJEMPLO 4

Determinación del producto de dos matrices

Encuentre el producto AB, donde 1 4 5

A

3 2 0

3 4

B

y

2 .

1

SOLUCIÓN Primero, observe que el producto AB está definido porque el tamaño de A es 3 ⫻ 2 y el de B es 2 ⫻ 2. Además, el producto AB es de tamaño 3 ⫻ 2 y tiene la forma 1 4 5

3 2 0

3 4

c11 c21 c31

2 1

c12 c22 . c32

Para determinar c11 (el elemento en el primer renglón y en la primera columna del producto), multiplique los elementos correspondientes en el primer renglón de A y la primera columna de B. Es decir c11

1 4 5

3 2 0

3 4

9

2 1

c21 c31

1

3

3

4

9

c12 c22 . c32

Similarmente, para determinar c12 multiplique los elementos correspondientes en el primer renglón de A y la segunda columna de B para obtener Arthur Cayley (1821-1895) El matemático inglés Arthur Cayley es reconocido por proporcionar una definición abstracta de una matriz. Cayley era egresado de la Universidad de Cambridge y era abogado de profesión. Comenzó su revolucionario trabajo en matrices mientras estudiaba la teoría de transformaciones.

Cayley también fue fundamental para el desarrollo de los determinantes (mismos que se discuten en el Capítulo 3). Se reconoce a Cayley y dos matemáticos estadounidenses, Benjamin Peirce (1809-1880) y su hijo, Charles S. Peirce (1839-1914), por el desarrollo del “álgebra matricial.”

c12

1 4 5

3 2 0

3 4

9

2 1

c21 c31

1 2

3 1

1

1 c22 . c32

Siguiendo este patrón obtenemos los siguientes resultados. c21 c22 c31 c32

4 3 4 2 5 3 5 2

2 4 2 1 0 4 0 1

4 6 15 10

El producto es 1 4 5

AB

3 2 0

3 4

2 1

9 4 15

1 6 .

10

Asegúrese de entender que el producto de dos matrices está definido cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz; es decir, A m

B n

n

AB. p

m

p

igual tamaño de AB

Así, el producto BA de las matrices del ejemplo 4 no está definido.

Bettmann/CORBIS

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3.1

51

Operaciones con matrices

El patrón general de la multiplicación de matrices es el siguiente. Para obtener el elemento del i-ésimo renglón y la j-ésima columna del producto AB, use el i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. a11 a21 . . . ai1 . . . am1

a12 a22 . . . ai2 . . . am2

a13 a23 . . . ai3 . . . am3

. . . a 1n . . . a .2n . . . . . a .in . . . . .a mn

b11 b21 b31 . . . bn1

b12 b22 b32 . . . bn2

. . . b1j . . . . b2j . . . . b3j . . . . . . . bnj . ai1b1j

c11 c21 . . . ci1 . . . cm1

. . b1p . . b2p . . b3p . . . . . bnp ai2 b2j

ai3 b3j

c12 c22 . . . ci2 . . . cm2

...

. . . c1j . . . . c2j . . . . . . . cij . . . . . . c. . mj

ainbnj

. . c1p . . c2p . . . . . cip . . . . c. mp

cij

D ES C UBR I M I E NTO Sea 1 3

A

2 4

0 1

B

y

1 .

2

Calcule A ⫹ B y B ⫹ A. ¿La suma de una matriz es conmutativa?

Calcule AB y BA. ¿La multiplicación de matrices es conmutativa?

EJEMPLO 5 1 2

a.

0 1 2

1 1

2

2 1 1 3

1 1

1

3

1

2 1

2

1

3 3

1 6 3

4 5 2

1 0 2

7 6 2

2

2 1 1

3

3

2

3

5 3

3 2

2 1

2

2 1

2 0 1

0 1

2

2

d. 1

e.

1 0

2 1

2

4 0 1 3

4 5

2

c.

2 1 1

3 2 3

3 2

b.

Multiplicación de matrices

0 1 2

1 1

1

2 1 1

4 2 2 3

6 3 3 3

Note la diferencia entre los dos productos en los incisos (d) y (e) del ejemplo 5. En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, casi nunca se cumple que el producto AB sea igual al producto BA. (Véase la sección 2.2 para un análisis más profundo de la no conmutatividad de la multiplicación de matrices.)

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52

Unidad 3

Matrices y determinantes

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una aplicación práctica de la multiplicación de matrices es la representación de un sistema de ecuaciones lineales. Observe cómo el sistema a11x 1 a21 x 1 a31x 1

a12 x 2 a22 x 2 a32 x 2

a13 x 3 a23 x 3 a33 x 3

b1 b2 b3

puede escribirse como la ecuación matricial Ax ⫽ b, donde A es la matriz de coeficientes del sistema y x y b son matrices columna. a11 a21 a31

a12 a22 a32 A

a13 a23 a33

x1 x2 x3 x

EJEMPLO 6

b1 b2 b3 b

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Resuelva la ecuación matricial Ax ⫽ 0, donde A

1 2

2 3

1 , 2

x1 x2 , x3

x

y

0

0 .

0

SOLUCIÓN Como un sistema de ecuaciones lineales, Ax ⫽ 0 lo representamos como x1 2x 1

x3 2x 3

2x 2 3x 2

0 0.

Utilizando la eliminación de Gauss-Jordan en la matriz aumentada de este sistema, obtenemos

NOTA TECNOLÓGICA

1

0

Muchas aplicaciones gráficas y programas de cómputo pueden ejecutar la suma de matrices, multiplicación escalar y la multiplicación de matrices. Si usted utiliza una aplicación gráfica, sus pantallas para el Ejemplo 6 se verán como:

0

1

1 7 4 7

0 0

.

Por tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. En este caso, una elección conveniente de parámetro es x3 ⫽ 7t, y puede escribir el conjunto solución como x1 ⫽ t,

x2 ⫽ 4t,

x3 ⫽ 7t,

t es cualquier número real.

En términos de matrices, encontramos que la ecuación matricial 1 2

2 3

1 2

x1 x2 x3

0 0

tiene un número infinito de soluciones, representado por x Los comandos y la sintaxis de programación para estas aplicaciones/programas del Ejemplo 6 están disponibles en Online Technology Guide, college.cengage.com/pic/ larsonEL6e.

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x1 x2 x3

t 4t 7t

1 t 4 , 7

t es cualquier escalar.

Esto es, cualquier múltiplo escalar de la matriz columna de la derecha es una solución. A continuación se muestran algunas soluciones: 1 2 0 4 , 8 , 0 ,y 7 14 0

1 4 .

7

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3.1

53

Operaciones con matrices

PARTICIÓN DE MATRICES El sistema Ax ⫽ b puede representarse de una forma más conveniente, dividiendo las matrices A y x de la siguiente manera. Si

A

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a 2n . . . , . . . . . . am1 am2 . . . a mn

x1 x2 . , . . xn

x

y

b

b1 b2 . . . bm

son las matrices de coeficientes, la matriz columna de incógnitas y la matriz del lado derecho, respectivamente, del sistema lineal Ax ⫽ b de tamaño m ⫻ n, entonces podemos escribir a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 amn a11x 1 a21x 1 am1x 1 a11 a x 1 .21 . . am1

x2

a12x 2 . . . a22x 2 . . . . . . am2x 2 . . . a12 a22 . . . am2

. . .

x 2 a2

. . .

x1 x2 . . . xn

b

a1nx n a2nx n

b

amnx n

xn

a1n a2n . . . amn

b.

En otras palabras Ax

x 1a1

x n an

b

donde a1, a2, . . . , an son las columnas de la matriz A. La expresión a11 a21 x 1 .. . am1

x2

a12 a22 . . . am2

. . .

xn

a1n a2n . . . amn

Se llama combinación lineal de las matrices columna a1, a2, . . . , an con coeficientes x1, x2, . . . , xn.

Combinaciones lineales de vectores columna La matriz producto Ax es una combinación lineal de los vectores columna a1, a2, … an que forman la matriz de coeficientes A. a11 a21 x1 . . . am1

x2

a12 a22 . . . am2

. . .

xn

a1n a2n . . . amn

Adicionalmente, el sistema Ax ⫽ b es consistente si y sólo si b se puede expresar como una combinación lineal tal, en la que los coeficientes de la combinación lineal son una solución del sistema.

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54

Unidad 3

Matrices y determinantes

EJEMPLO 7

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

El sistema lineal x1 4x 1 7x 1

2x 2 5x 2 8x 2

3x 3 6x 3 9x 3

0 3 6

puede reescribirse como una ecuación matricial Ax ⫽ b de la siguiente forma 1 x1 4 7

2 x2 5 8

3 x3 6 9

0 3 6

Aplicando la eliminación gaussiana podemos demostrar que este sistema tiene un número infinito de soluciones, una de las cuales es x1 ⫽ 1, x2 ⫽ 1 y x3 ⫽ –1.

1 1 4 7

2 1 5 8

3 1 6 9

0 3 6

Es decir, b puede expresarse como una combinación lineal de las columnas de A. Esta representación de un vector columna en función de otros es un tema fundamental del álgebra lineal.

El dividir A en columnas y x en renglones, se emplea a menudo para reducir una matriz de tamaño m ⫻ n a matrices más pequeñas. Por ejemplo, la matriz abajo a la izquierda puede dividirse como se muestra en la matriz a la derecha.

1 3 1

2 4 2

0 0 2

1 3 1

0 0 1

2 4 2

0 0 2

0 0 1

La matriz también puede dividirse en matrices columna 1 3 1

2 4 2

0 0 2

0 0 1

c1

0 0 2

0 0 1

r1 r2 . r3

c2

c3

c4

o matrices renglón 1 3 1

2 4 2

ÁLGEBRA LINEAL APLICADA

Muchas aplicaciones en la vida real de los sistemas lineales involucran enormes cantidades de ecuaciones y variables. Por ejemplo, un problema con los calendarios de la tripulación de vuelo de American Airlines requirió la manipulación de matrices con 837 renglones y más de 12,750,000 columnas. Esta aplicación de programación lineal exigía que el problema se dividiera en piezas más pequeñas y después se resolviera en una supercomputadora Cray. (Fuente: Very Large-Scale Lineal Programming. A Case Study in Combining Interior Point y Simplex Methods, Bixby, Robert E., et al., Operations Research, 40, no. 5)

© Sean Locke/iStockphoto.com

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3.1

3.1 Ejercicios Igualdad de matrices

Consulte www.CalcChat.com para las soluciones de los ejercicios nones.

En los ejercicios 1 a 4, encuentre

x e y 1.

x 7

2 y

4 2 7 22

2.

5 y

x 8

3.

16 3 0

4 13 2

x 4.

5 12

2 1 7

5 15 4 8 2y 2

15. Resuelva la ecuación matricial para x, y, y z. x y y z 4 x 4 2 2 . z 1 x 1 5 x 16. Resuelva la ecuación matricial para x, y, z, y w. w x 4 3 y w 2 . y x 2 z x 1

13 8

4 6 0

16 3 0

3 2x y 2

4 13 2

2x

1 15 3y 5

2x

6 1 7

4 3x 0

8 18 2

3 8 11

Determinación de los productos de dos matrices En

los ejercicios 17 a 30, halle (a) AB y (b) BA (si están definidas).

17. A

1 4

Operaciones con matrices En los ejercicios 5 a 12, deter-

mine (a) A ⫹ B, (b) A – B, (c) 2A, (d) 2A – B y (e) B ⫹ 12A. 5. A

1 2

1 , 1

B

2 1

1 8

6. A

1 2

2 , B 1

3 4

2 2

7. A

8. A

9. A

10. A

1 4 , B 5

2 1

1 1

1 1 1

1 , 4

4 5 10

3 2 0

2 4 1

1 5 , 2

2 0 2

3 1 0

4 1 , B 1

0 5 2

B

11. A

6 1

0 4

3 , 0

B

12. A

3 2 , B 1

4

6

3 1 2 4 1

0 4 1

6 1 2

19. A

3 2 , 3

20. A

1 2 3

1 1 1

7 8 , B 1

8 4

1 3

23. A

2 25. A

A

9 2 , y B 1

1 4 6

0 6 4

5 11 .

9

26. A

3 , 2

27. A

0 4 8

1 0 1

28. A

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1,

2 5

14. Encuentre (a) c23 y (b) c32, donde C ⫽ 5A ⫹ 2B, 11 3 1

2

2 3 2

1 1 1

B

1 8

4 2

1 2 0 4 4

1 1 1

1 2 1

2 1 2 0 2 7 2 1 2

1

3

2

1 0

2 7

B

2 3 2

1 1 3 1 0 1 1 2 1

0 4 8

2 3 0

B

1 2 , B 2 2 1 1 3 4 5 , B 0 2

24. A

13. Encuentre (a) c21 y (b) c13, donde C ⫽ 2A – 3B, 5 4 4 1 2 7 A , y B .

3 1 2 0 5 1 4 0 3

3

2 1

B

1 4 , B 6 2 1 0 4 , 2 4

2 3 1 3 3 4

22. A

2 0 4

B

1 1 2

4 2 1 2 0

2 , 4

2 5 2

21. A

2 3

B

2 , B 2 2 1

18. A

6 2 3

55

Ejercicios

2 1 2

0 2 , B 7 2 2 , B 2

1 3 1 2 3 1 4 1 2

0 2 1

1 3 4

3 1 3

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56

Unidad 3 6 2 , B 1 6 1 0 6 13

29. A

30. A

Matrices y determinantes

10

3 8

12

2 17

4 , 20

B

1 4

6 2

Escribir una combinación lineal En los ejercicios 49 a 52, exprese la matriz columna b como una combinación lineal de las columnas de A. 1 1 2 1 49. A , b 3 3 1 7

1 1 0

50. A Tamaño de la matriz En los ejercicios 31 a 38, sean A, B, C, D y E matrices con el tamaño dado.

A: 3 4 B: 3 4 C: 4 2 D: 4 2 E: 4 3

51. A

Si está definida, determine el tamaño de la matriz. Si no lo está, proporcione una explicación.

31.

33.

35.

37.

A

B

32. C E 34. 4A 36. BE 38. 2D C

1 2D

AC E 2A

40. A

1 0 1

3 1 , 2

x

x1 x2 , x3 x4

4 2 , 3

1 0 1 3 3 4

1 3 2

b

5 1 , b 1 5 4 , b 8

3 1 0 22 4 32

Resolución de una ecuación matricial En los ejercicios

53 y 54, resuelva la ecuación matricial para A.

39 y 40, resuelva la ecuación matricial Ax ⫽ 0. x1 2 1 1 0 , x x2 , 0 39. A 0 1 2 2 x3 2 1 1

1 1 2

52. A

Resolución de una ecuación matricial En los ejercicios

1 1 0

2 0 1

53.

54.

1 3 2 3

2 A 5 1 A 2

1 0 1 0

0 1 0 1

Resolución de una ecuación matricial En los ejercicios

0

0 0 0

55 y 56, resuelva la ecuación matricial para a, b, c y d.

55.

1 3

2 4

a c

b d

6 19

Resolución de una sistema de ecuaciones lineales En

56.

los ejercicios 41 a 48, escriba el sistema de ecuaciones lineales en la forma Ax ⫽ b y resuelva esta ecuación matricial para x.

a c

b d

2 3

1 1

3 4

Matriz diagonal Una matriz cuadrada

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

x1 2x 1 2x 1 x1 2x 1 6x 1 4x 1 x1 x1 x1 2x 1 x1 x1 x1 x1 3x 1

48. x 1 x1

x2 4 x2 0 3x 2 5 4x 2 10 3x 2 4 x2 36 9x 2 13 12 3x 2 2x 2 3x 3 9 3x 2 x3 6 5x 2 5x 3 17 x 2 3x 3 1 2x 2 1 x2 x3 2 5x 2 2x 3 20 x2 x3 8 2x 2 5x 3 16 x 2 4x 3 17 3x 2 11 6x 2 5x 3 40

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A

a 11 0 0 a 22 0 0 . . . . . .

0 0

0 0 a 33 . . .

0

3 2 17 1

. . . . . . . . .

0 0 0 . . . . . . a nn

se llama matriz diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. En los ejercicios 57 y 58, encuentre el producto AA para la matriz diagonal dada.

1 0 0 2 0 0 57. A 58. A 0 2 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 Determinación de los productos de matrices diagonal En los ejercicios 59 y 60, determine los productos AB y

BA para las matrices diagonales.

2 0 5 , B 59. A 0 3 0 60. A

3 0 0

0 5 0

0 0 , B 0

0 4 7 0 0

0 4 0

0 0 12

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3.1 61. Demostración guiada. Pruebe que si A y B son matrices diagonales (del mismo tamaño), entonces AB ⫽ BA. Inicio: Para demostrar que las matrices AB y BA son iguales, primero necesita demostrar que sus elementos correspondientes son iguales. (i) Empiece su demostración haciendo que A ⫽ [aij] y B ⫽ [bij] sean dos matrices diagonales n ⫻ n. (ii) El ij-ésimo elemento del producto AB es n

ci j

aikbk j k

1

(iii) Evalúe el elemento cij para los casos en los que i ⫽ j e i ⫽ j. (iv) Repita este análisis para el producto BA. 62. Escriba Sean A y B matrices de 3 ⫻ 3, donde A es diagonal. (a) Describa el producto AB. Ilustre su respuesta con ejemplos. (b) Describa el producto BA. Ilustre su respuesta con ejemplos. (c) ¿Cómo cambian los resultados de los incisos (a) y (b) si los elementos de la diagonal de A son iguales?

Traza de una matriz En los ejercicios 63 a 66, determine la traza de la matriz. La traza de una matriz A de n ⫻ n es la suma de los elementos de la diagonal principal. Es decir Tr(A) ⫽ a11 ⫹ a22 ⫹ . . . ⫹ ann.

1 63. 0 3

2 2 1

3 4 3

1 0 65.

4 0

0 1 2 0

2 1 1 5

1 2 0 1

1 64. 0 0

0 1 0

0 0 1

1 4 66.

3 2

4 0 6 1

3 6 2 1

2 1 1 3

67. Prueba Demuestre que cada una de las expresiones es verdadera si A y B son matrices cuadradas de tamaño n y c es un escalar.

Tr(A ⫹ B) ⫽ Tr(A) ⫹ Tr(B) Tr(cA)cTr(A) 68. Prueba Demuestre que si A y B son matrices cuadradas de tamaño n, entonces Tr(AB) ⫽ Tr(BA).

69. Determine las condiciones en w, x, y y z tales que AB ⫽ BA en las siguientes matrices. w x 1 1 y B A y z 1 1 70. Verifique AB ⫽ BA para las siguientes matrices.

A

Cos Sen

Sen Cos

y B

Cos Sen

Sen Cos

71. Demuestre que la ecuación matricial no tiene solución.

1 1

03LarsonTEC(045-090).indd 57

1 A 1

1 0

0 1

Ejercicios

57

72. Demuestre que no existen matrices de 2 ⫻ 2 que satisfagan la ecuación matricial 1 0 AB BA .

0 1 73. Exploración Sea i ⫽ 1 y sea i 0 0 i A . y B 0 i i 0 (a) Determine A2, A3 y A4. (Nota: A2 ⫽ AA, A3 ⫽ AAA ⫽ A2A, etc.) Identifique cualquier similitud entre i2, i3 e i4. (b) Determine e identifique B2.

74. Demostración guiada. Pruebe que si el producto AB es una matriz cuadrada, entonces el producto BA está definido.

Inicio: Para probar que el producto BA está definido, necesita demostrar que el número de columnas de B es igual al número de renglones de A. (i) Comience su demostración haciendo notar que el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. (ii) Después usted puede suponer que A es de tamaño m ⫻ n y B es de tamaño n ⫻ p. (iii) Utilice la hipótesis de que el producto AB es una matriz cuadrada.

75. Prueba Demuestre que si ambos productos: AB y BA están definidos, entonces AB y BA son matrices cuadradas.

76. Sean A y B dos matrices tales que el producto AB está definido. Demuestre que si A tiene dos renglones idénticos, entonces los dos renglones correspondientes AB también son idénticos.

77. Sean A y B matrices de n ⫻ n. Demuestre que si el i-ésimo renglón de A tiene todos sus elementos iguales a cero, entonces el i-ésimo renglón de AB tiene todos sus elementos iguales a cero. Proporcione un ejemplo utilizando matrices de 2 ⫻ 2 para demostrar que la conversión es falsa.

RE MATE Sean A y B matrices de tamaño 3 ⫻ 2 y 2 ⫻ 2, respectivamente. Responda las siguientes preguntas y explique su razonamiento. (a) ¿Es posible que A ⫽ B? (b) ¿A ⫹ B está definido? (c) ¿AB está definido? Si es así, ¿es posible que AB ⫽ BA? 78.

79. Agricultura Un agricultor tiene dos cosechas de fruta, manzanas y peras. Cada una de estas cosechas es enviada a tres diferentes mercados. El número de unidades de la cosecha i que es enviada al mercado j se representa por aij en la matriz 125 100 75 A 100 175 125 La ganancia por unidad es representada por la matriz B ⫽ [$3.50 $6.00] Determine el producto BA y explique qué representa cada elemento de este producto.

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58

Unidad 3

Matrices y determinantes

80. Manufactura Una corporación tiene tres fábricas, cada una de las cuales produce guitarras acústicas y guitarras eléctricas. El número de guitarras del tipo i producidas en la fábrica j en un día se representa por aij en la matriz 70 50 25 A 35 100 70 Determine los niveles de producción de cada fábrica, si la producción se incrementa 20%.

81. Política La matriz De R

D

I

0.6 0.1 0.1 R P 0.2 0.7 0.1 D A 0.2 0.2 0.8 I representa la proporción de votantes que cambió del partido i al partido j en una elección dada. Es decir, pij (i ⫽ j) representa la proporción de votantes que cambiaron del partido i al partido j y pii representa la proporción que permanece leal al partido i de una elección a la siguiente.

Determine el producto de P consigo mismo. ¿Qué representa este producto?

82. Población Las matrices muestran la población (en miles de personas) que vivía en diferentes regiones de Estados Unidos en 2009 y la población (en miles de personas) estimada que vivirá en estas regiones en 2015.

Las poblaciones regionales se separaron en tres categorías de edad. (Fuente: U.S. Census Bureau)

2009 Noreste Medio oeste Sur Montaña Pacífico

0–17

18–64

12,399 16,047 27,959 5791 12,352

35,137 41,902 70,571 13,716 31,381

65 7747 8888 14,608 2616 5712

2015 Noreste Medio oeste Sur Montaña Pacífico

0–17

18–64

12,441 16,363 29,373 6015 12,826

35,289 42,250 73,496 14,231 33,292

65 8835 9955 17,572 3337 7086

(a) La población total en 2009 fue 307 000 000 y la población total estimada para 2015 fue 322 000 000.

Reescriba las matrices para obtener la información como porcentajes de la población total. (b) Escriba una matriz que proporcione los porcentajes en cambios estimados de población por regiones y por grupos de edad de 2009 a 2015. (c) Basado en el resultado del inciso (b), ¿qué grupo(s) de edad se estima mostrará(n) un crecimiento relativo de 2009 a 2015?

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Multiplicación por bloques En los ejercicios 83 y 84, eje-

cute la multiplicación por bloques indicada de las matrices A y B. Si las matrices A y B se dividen en cuatro submatrices A 11 A 12 B 11 B 12 A y B A 21 A 22 B 21 B 22

[

]

[

]

entonces puede multiplicar por bloques A y B, asignando el tamaño de las submatrices para las cuales la suma y la multiplicación están definidas.

A 11 A 12 B 11 B 12 AB A 21 A 22 B 21 B 22 A 11B 11 A 12B 21 A 11B 12 A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21B 12 A 22B 22 1 2 0 1 2 0 0 1 1 0 83. A 0 1 0 0 , B 0 0 1 0 0 2 1 0 0 3

[ [

][

0 0 1 0

84. A

]

0 0 0 1

1 0 0 0

]

0 1 , B 0 0

1 5 1 5

2 6 2 6

3 7 3 7

4 8 4 8

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 85 y 86 determine

cuál de las expresiones es verdadera o falsa. Si la expresión es verdadera, dé una razón o cite una expresión adecuada del texto. Si la expresión es falsa, proporcione un ejemplo que demuestre que la expresión no es válida para todos los casos o cite del texto una expresión adecuada.

85. (a) Para que el producto de dos matrices esté definido, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de renglones de la segunda matriz. (b) El sistema Ax ⫽ b es consistente si y sólo si b puede ser expresada como una combinación lineal, donde los coeficientes de la combinación lineal son una solución del sistema.

86. (a) Si A es una matriz de m ⫻ n y B es una matriz de n ⫻ r, entonces el producto AB es una matriz de m ⫻ r. (b) La ecuación matricial Ax ⫽ b, donde A es la matriz de coeficientes y x y b son las matrices columna, puede utilizarse para representar un sistema de ecuaciones lineales.

87. Las columnas de la matriz T muestran las coordenadas de los vértices de un triángulo. La matriz A es una matriz de transformación.

A

0 1

1 , 0

T

1 1

2 4

3 2

(a) Encuentre AT y AAT. Después dibuje el triángulo original y los dos triángulos transformados. ¿Qué transformación representa A? (b) Un triángulo está determinado por AAT. Describa el proceso de transformación que produce el triángulo determinado por AT y luego el triángulo determinado por T.

16/03/17 20:58

59

3.2 Propiedades de las operaciones con matrices

3.2

Propiedades de las operaciones con matrices Use las propiedades de la suma de matrices, multiplicación escalar y matrices cero.

Use las propiedades de multiplicación de matrices y matriz identidad.

Encuentre la transpuesta de una matriz.

ÁLGEBRA DE MATRICES En la sección 3.1 su atención se centró en la mecánica de las tres operaciones básicas con matrices: suma de matrices, multiplicación escalar y multiplicación de matrices. Esta sección comienza con el desarrollo del álgebra de matrices. Observará que esta álgebra comparte muchas (pero no todas) de las propiedades del álgebra de los números reales.

Enseguida aparece una lista de algunas propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación escalar.

TEOREMA 3.1

Propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación por un escalar

Si A, B y C son matrices de m ⫻ n; c, d, 1, escalares, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.

Propiedad conmutativa de la suma 1. A B B A B C A B C Propiedad asociativa de la suma 2. A Propiedad asociativa de la multiplicación de escalares 3. cd A c dA Identidad multiplicativa 4. 1A A Propiedad distributiva izquierda cA cB 5. c A B Propiedad distributiva derecha 6. c d A cA dA DEMOSTRACIÓN La demostración de estas seis propiedades se concluyen directamente a partir de las definiciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar, así como de las propiedades correspondientes a los números reales. Por ejemplo, para demostrar la propiedad conmutativa de la suma de matrices, sean A ⫽ [aij] y B ⫽ [bij]. Entonces, aplicando la propiedad conmutativa de la suma de números reales, escribimos A B aij bij bij aij B A. De igual forma, para demostrar la propiedad 5, aplicamos la propiedad distributiva (de los números reales) de la multiplicación sobre la suma, para escribir cA B c aij bij caij cbij c A cB. Las demostraciones de las cuatro propiedades restantes se dejan como ejercicios (véase los ejercicios 57 a 60).

En la sección anterior, la suma de matrices se definió como la suma de dos matrices, haciéndola así una operación binaria. La propiedad asociativa de la suma de matrices ahora permite escribir expresiones como A ⫹ B ⫹ C como (A ⫹ B) ⫹ C o como A ⫹ (B ⫹ C).

Este mismo razonamiento se aplica a la suma de cuatro o más matrices.

EJEMPLO 1

Suma de más de dos matrices

Sumando los elementos correspondientes, podemos obtener la siguiente suma de cuatro matrices.

1 2

03LarsonTEC(045-090).indd 59

1 1

0 1

2 3

2 1

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60

Unidad 3

Matrices y determinantes Una propiedad importante de la suma de números reales es que el número 0 sirve como la identidad aditiva. Esto es, c ⫹ 0 ⫽ c para cualquier número real c. Para las matrices se cumple una propiedad semejante. Específicamente, si A es una matriz de m ⫻ n y 0mn es la matriz de m ⫻ n consistente únicamente de ceros, entonces A ⫹ 0mn ⫽ A. La matriz 0mn se denomina matriz cero y sirve como la identidad aditiva para el conjunto de todas las matrices de m ⫻ n. Por ejemplo, la siguiente matriz funciona como la identidad aditiva para el conjunto de todas las matrices de 2 ⫻ 3.

0 0

023

0 0

0 0

Cuando se sobreentiende el tamaño de la matriz, las matrices cero pueden denotarse simplemente por 0.

Las siguientes propiedades de las matrices cero son fáciles de probar, por lo que sus demostraciones se dejan como ejercicio. (Véase Ejercicio 61.)

COMENTARIO La propiedad 2 puede describirse diciendo que la matriz –A es el inverso aditivo de A.

TEOREMA 3.2 Propiedades de las matrices cero Si A es una matriz de m ⫻ n y c es un escalar, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.

1. A ⫹ 0mn ⫽ A 2. A ⫹ (–A) ⫽ 0mn 3. Si cA ⫽ 0mn, entonces c ⫽ 0 o A ⫽ 0mn El álgebra de los números reales y el álgebra de matrices tienen numerosas similitudes. Por ejemplo, compare las siguientes soluciones.

Matrices de m × n (resolver para X)

Números reales (resolver para x)

X x

a

a 0 x

x

b b b

a

X

a a

A X

A A 0 X

B B B B

A A A

El proceso de resolución de una ecuación matricial se muestra en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2

Resolución de una ecuación matricial

Resuelva para X en la ecuación 3X ⫹ A ⫽ B, donde 1 0

A

2 3

y

3 2

B

4 .

1

SOLUCIÓN Empecemos por resolver la ecuación para X, para obtener B

3X X

1 3

A B

A.

Ahora, utilizando las matrices dadas tiene X

3 2

1 3

4 2

1 3 4 3 2 3

03LarsonTEC(045-090).indd 60

4 1

1 0

2 3

6 2 2 2 3

.

16/03/17 20:58

61

3.2 Propiedades de las operaciones con matrices

COMENTARIO Observe que la propiedad conmutativa para la multiplicación de matrices no está en la lista que aparece en el teorema 3.3.

Aunque el producto AB está definido, podemos ver fácilmente que A y B no tienen el tamaño adecuado que defina el producto BA. Por ejemplo, si A es de tamaño 2 ⫻ 3 y B es de 3 ⫻ 3, entonces el producto AB está definido, no así el producto BA. El siguiente ejemplo muestra que incluso si los productos AB y BA están definidos, éstos pueden no ser iguales.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES En el siguiente teorema, el álgebra de matrices se extiende para incluir algunas propiedades más utilizadas de la multiplicación de matrices. La demostración de la propiedad 2 se presenta abajo. Las demostraciones de las propiedades restantes se dejan como ejercicio.

(Véase el Ejercicio 62.)

TEOREMA 3.3 Propiedades de la multiplicación de matrices Si A, B y C son matrices (con tamaños tales que los productos matriciales dados están definidos) y c es un escalar, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.

AB C 1. A BC Propiedad asociativa de la multiplicación AB AC 2. A B C Propiedad distributiva izquierda 3. A B C AC BC Propiedad distributiva derecha cA B A cB 4. c AB DEMOSTRACIÓN Para demostrar la propiedad 2, muestre que las matrices A(B ⫹ C) y AB ⫹ AC son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. Suponga que A es de tamaño m ⫻ n, B es de tamaño n ⫻ p y C es de tamaño n ⫻ p. Aplicando la definición de la multiplicación de matrices, el elemento en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A(B ⫹ C) es ai1(b1j ⫹ c1j) ⫹ . . . ⫹ ain(bnj ⫹ cnj).

Además, el elemento en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de AB ⫹ AC es ai1b1j

ai2b2j

. . .

ainbnj

ai1c1j

ai2c2j

. . .

aincnj .

Distribuyendo y reagrupando, puede ver que estos dos ij-ésimos elementos son iguales. Así AB

C

AB

AC.

La propiedad asociativa de la multiplicación de matrices le permite escribir estos productos matriciales como ABC sin ambigüedad, como se muestra en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3

La multiplicación de matrices es asociativa

Determine el producto matricial ABC agrupando primero los factores como (AB)C y luego como A(BC). Demuestre que se obtiene el mismo resultado con ambos procesos.

1 0 1 2 1 0 2 A , B , C 3 1 2 1 3 2 1 2 4 SOLUCIÓN Agrupando los factores como (AB)C, obtiene AB C

1 2

2 1

1 3

0 2

2 1

1 3 2

0 1 4

1 0 17 4 3 1 .

13 14 2 4 Agrupando los factores como A(BC), obtiene el mismo resultado 1 0 1 2 1 0 2 A BC 3 1 2 1 3 2 1 2 4 1 2 3 8 17 4 2 1 7 2 13 14 5 1

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