Cálculo, Tomo II. 10 Ed. Ron Larson y Bruce H. Edwards

CÁLCULO TOMO II DÉCIMA EDICIÓN

Ron Larson Bruce Edwards

Cálculo Décima edición Tomo II

Cálculo Décima edición Tomo II Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College

Bruce Edwards University of Florida

Traducción: Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Revisión técnica: Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor visitante UAM-Azcapotzalco

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Cálculo, Tomo II. Décima edición Ron Larson/Bruce Edwards Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Sergio R. Cervantes González Diseño de portada: Sergio Bergocce Imagen de portada: © diez artwork/Shutterstock Composición tipográfica: Ediciones OVA

© D.R. 2016 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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Traducido del libro Calculus, 10th Edition Ron Larson/Bruce Edwards Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2014 ISBN: 978-1-285-05709-5 Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron/Bruce Edwards Cálculo, Tomo II. Décima edición ISBN 978-607-522-017-8 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16

Contenido 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

11

Cónicas y cálculo 682 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 696 Proyecto de trabajo: Cicloides 705 Ecuaciones paramétricas y cálculo 706 Coordenadas polares y gráficas polares 715 Proyecto de trabajo: Arte anamórfico 724 Área y longitud de arco en coordenadas polares 725 Ecuaciones polares de cónicas y leyes de Kepler 734 Ejercicios de repaso 742 Solución de problemas 745

Vectores y la geometría del espacio 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

12

681

Vectores en el plano 748 Coordenadas y vectores en el espacio 758 El producto escalar de dos vectores 766 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 775 Rectas y planos en el espacio 783 Proyecto de trabajo: Distancias en el espacio Superficies en el espacio 794 Coordenadas cilíndricas y esféricas 804 Ejercicios de repaso 811 Solución de problemas 813

Funciones vectoriales 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Funciones vectoriales 816 Proyecto de trabajo: Bruja de Agnesi 823 Derivación e integración de funciones vectoriales 824 Velocidad y aceleración 832 Vectores tangentes y vectores normales 841 Longitud de arco y curvatura 851 Ejercicios de repaso 863 Solución de problemas 865

747

793

815

vi

Contenido

13

Funciones de varias variables

867

13.1

Introducción a las funciones de varias variables 868 13.2 Límites y continuidad 880 13.3 Derivadas parciales 890 Proyecto de trabajo: Franjas de Moiré 899 13.4 Diferenciales 900 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 907 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 915 13.7 Planos tangentes y rectas normales 927 Proyecto de trabajo: Flora silvestre 935 13.8 Extremos de funciones de dos variables 936 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 944 Proyecto de trabajo: Construcción de un oleoducto 951 13.10 Multiplicadores de Lagrange 952 Ejercicios de repaso 960 Solución de problemas 963

14

Integración múltiple 14.1 14.2 14.3 14.4

14.5 14.6 14.7

14.8

Integrales iteradas y área en el plano 966 Integrales dobles y volumen 974 Cambio de variables: coordenadas polares 986 Centro de masa y momentos de inercia 994 Proyecto de trabajo: Centro de presión sobre una vela 1001 Área de una superficie 1002 Proyecto de trabajo: Capilaridad 1008 Integrales triples y aplicaciones 1009 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1020 Proyecto de trabajo: Esferas deformadas 1026 Cambio de variables: jacobianos 1027 Ejercicios de repaso 1034 Solución de problemas 1037

965

vii

Contenido

15

Análisis vectorial 15.1 15.2 15.3 15.4

15.5 15.6 15.7 15.8

Campos vectoriales 1040 Integrales de línea 1051 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1065 Teorema de Green 1075 Proyecto de trabajo: Funciones hiperbólicas y trigonométricas 1083 Superficies paramétricas 1084 Integrales de superficie 1094 Proyecto de trabajo: Hiperboloide de una hoja Teorema de la divergencia 1106 Teorema de Stokes 1114 Ejercicios de repaso 1120 Proyecto de trabajo: El planímetro 1122 Solución de problemas 1123

1039

1105

Apéndices Apéndice A Apéndice B Apéndice C

Apéndice D Apéndice E Apéndice F

Demostración de teoremas seleccionados A-2 Tablas de integración A-4 Repaso de precálculo (en línea) C.1 Números reales y recta numérica C.2 El plano cartesiano C.3 Repaso de funciones trigonométricas Rotación y la ecuación general de segundo grado (en línea) Números complejos (en línea) Negocios y aplicaciones económicas (en línea)

Respuestas a los problemas con numeración impar Índice I1

A7

*Disponible en el sitio especifico del libro www.cengagebrain.com

Cálculo Décima edición Tomo II

10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Cónicas y cálculo Curvas planas y ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas y cálculo Coordenadas polares y gráficas polares Área y longitud de arco en coordenadas polares Ecuaciones polares de cónicas y leyes de Kepler

Radiación de antena (Ejercicio 47, p. 732) Movimiento planetario (Ejercicio 67, p. 741)

Arte anamórfico (Proyecto de trabajo, p. 724)

Cometa Halley (Ejercicio 77, p. 694) Arquitectura (Ejercicio 71, p. 694) En sentido horario desde la parte superior izquierda, BESTWEB/Shutterstock.com; NASA; NASA; Palette7/Shutterstock.com; De Millington & Barnard Collection of Scientific Apparatus, ca. 1855 The University of Mississippi Museum, Oxford, Mississippi

681

682

Capítulo 10

10.1

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Cónicas y cálculo Entender la definición de una sección cónica.

Analizar y escribir las ecuaciones de la parábola utilizando las propiedades de la parábola.

Analizar y escribir las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.

Analizar y escribir ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola

Secciones cónicas Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede describirse como la intersección de un plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el vértice, la figura que resulta es una cónica degenerada, como se muestra en la figura 10.2.

HYPATIA (370-415 D.C.) Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a.C. A principios del periodo Alejandrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para que Apolonio (262-190 a.C.) escribiera una obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más tarde, hacia finales del periodo Alejandrino, Hypatia escribió un texto titulado Sobre las cónicas de Apolonio. Su muerte marcó el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos.

Los primeros griegos se interesaron mucho por las propiedades geométricas de las cónicas. No fue sino 1900 años después, a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias posibilidades de aplicación de las cónicas, las cuales llegaron a jugar un papel prominente en el desarrollo del cálculo.

Consulte LarsonCalculus.com para leer más acerca de esta biografía.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para conocer más sobre las actividades de esta matemática, consulte el artículo “Hypatia and her Mathematics”, de Michael A. B. Deakin, en The American Mathematical Monthly. Para ver este artículo, vaya a MathArticles.com.

Parábola

Circunferencia Secciones cónicas Figura 10.1

Punto Cónicas degeneradas Figura 10.2

Elipse

Recta

Hipérbola

Dos rectas que se cortan

Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron los griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o se pueden definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado.

Ax2

Bxy

Cy2

Dx

Ey

F

0.

Ecuación general de segundo grado

Sin embargo, un tercer método en el que cada una de las cónicas está definida como el lugar geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición en términos del lugar geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia x

h

2

y

k

2

r2.

Ecuación estándar o canónica de la circunferencia

Para información acerca de la rotación de ecuaciones de segundo grado en dos variables, ver el apéndice D. Bettmann/Corbis

10.1

683

Parábolas

Eje Parábola d2

Foco p

Cónicas y cálculo

(x, y)

d1

Vértice

Una parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) equidistantes de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice, y la recta que pasa por el foco y el vértice es el eje de la parábola. Obsérvese en la figura 10.3 que la parábola es simétrica respecto de su eje.

d2

d1

TEOREMA 10.1 Ecuación estándar o canónica de una parábola

Directriz

La forma estándar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice (h, k) y directriz y = k – p es

Figura 10.3

x

h

2

4p y

k.

Eje vertical

Para la directriz x = h – p, la ecuación es y

k

2

4p x

h.

Eje horizontal

El foco se encuentra en el eje a p unidades (distancia dirigida) del vértice. Las coordenadas del foco son las siguientes. h, k p h p, k

Eje vertical Eje horizontal

Hallar el foco de una parábola

EJEMPLO 1

Halle el foco de la parábola dada por y

1 2

1 2 x.

2

x

Solución Para hallar el foco, convierta a la forma canónica o estándar completando el cuadrado. y

y

y=

1 2

− x − 12 x 2

Vértice p = − 12 −1, − Foco

)

x2

1 1 2

)

2y 2y 2y 2x 1 x 12

1 2 1 1 2

1 2 x 2 x2 2x 2x

x 2x x2 x2

Reescriba la ecuación original.

Multiplique cada lado por 2.

Agrupe términos.

1

2y 2 2 y 1

Sume y reste 1 en el lado derecho.

Exprese en la forma estándar o canónica.

Si compara esta ecuación con x

−2

−1

x

h

2

4p y

k

k

y

se concluye que −1

Parábola con un eje vertical p < 0.

Figura 10.4

h

1,

1

p

1 .

2

Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4.

Por tanto, el foco de la parábola se encuentra a p unidades del vértice, o sea h, k

p

1,

1 .

2

Foco

A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extremos en la parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cómo determinar la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco intersecado.

684

Capítulo 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Longitud de la cuerda focal y longitud de arco

EJEMPLO 2

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Encuentre la longitud del lado recto de la parábola x2

4py.

Después, halle la longitud del arco parabólico intersecado por el lado recto.

Solución Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y, las coordenadas de sus extremos son

y

x 2 = 4py

x, p

x, p .

y

Al sustituir p en lugar de y, en la ecuación de la parábola, obtiene (− 2p, p)

Lado recto

x2 (2p, p) x

(0, p) Longitud del lado recto: 4p.

Figura 10.5

± 2p.

x

4p p

Entonces, los extremos del lado recto son (–2p, p) y (2p, p), y se concluye que su longitud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco intersecado es 2p

s

1

y

2

dx

Emplee la fórmula de longitud del arco.

2p 2p

2

x 2p

4p 2

x 2 dx

0

1 p

2

1

dx

y

x2 4p

y

x 2p

2p

Simplifique.

0 2p

1 x 4p 2 x 2 4p 2 ln x 4p 2 x 2 2p 0 1 2p 8p 2 4p 2 ln 2p 8p 2 4p 2 ln 2p 2p 2p 2 ln 1 2 4.59p.

Fuente de luz en el foco

Teorema 8.2

Una propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se dice que una superficie es reflectora si la tangente a cualquier punto de la superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante. El ángulo correspondiente al rayo incidente es el ángulo de incidencia, y el ángulo correspondiente al rayo que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo plano es un ejemplo de una superficie reflectora.

Otro tipo de superficie reflectora es la que se forma por revolución de una parábola alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permiten dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al eje. Éste es el principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que se utilizan en los telescopios de reflexión. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linterna con reflector parabólico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6.

Eje

TEOREMA 10.2 Propiedad de reflexión de una parábola Sea P un punto de una parábola. La tangente a la parábola en el punto P produce ángulos iguales con las dos rectas siguientes.

Reflector parabólico: la luz se refleja en rayos paralelos.

Figura 10.6

1. La recta que pasa por P y por el foco 2. La recta paralela al eje de la parábola que pasa por P

10.1

Cónicas y cálculo

685

Elipses

NICOLÁS COPÉRNICO (1473-1543) Copérnico comenzó el estudio del movimiento planetario cuando se le pidió que corrigiera el calendario.

En aquella época, el uso de la teoría de que la Tierra era el centro del Universo no permitía predecir con exactitud la longitud de un año.

Consulte LarsonCalculus.com para leer más de esta biografía.

Más de mil años después de terminar el periodo Alejandrino de la matemática griega, comienza un renacimiento de la matemática y del descubrimiento científico en la civilización occidental. Nicolás Copérnico, astrónomo polaco, fue figura principal en este renacimiento. En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Copérnico sostenía que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en órbitas circulares, alrededor del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas, la controversia desatada por su teoría heliocéntrica motivó a que los astrónomos buscaran un modelo matemático para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podían observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630). Kepler descubrió que los planetas se mueven alrededor del Sol, en órbitas elípticas, teniendo al Sol no como centro, sino como uno de los puntos focales de la órbita.

El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es sólo una de sus aplicaciones prácticas y estéticas. Como con la parábola, el estudio de este segundo tipo de cónica empieza definiéndola como lugar geométrico de puntos. Sin embargo, ahora se tienen dos puntos focales en lugar de uno.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Vea la figura 10.7.) La recta que une a los focos interseca la elipse en dos puntos, llamados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Vea la figura 10.8.) (x, y) d1

d2

Vértice Foco

Foco

Eje mayor Foco

(h, k)

Centro

Vértice Foco

Eje menor

Figura 10.7

Figura 10.8

TEOREMA 10.3 Ecuación estándar o canónica de una elipse La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a > b, es x

h a

2

b

2

2

y b

2

a

2

k

2

k

2

1

El eje mayor es horizontal.

1.

El eje mayor es vertical.

o x

h

2

y

Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con Si los extremos de una cuerda se atan a los alfileres y se tensa la cuerda con un lápiz, la trayectoria trazada con el lápiz será una elipse.

Figura 10.9

c2

a2

b 2.

La definición de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en los focos, como se muestra en la figura 10.9.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para saber más acerca de cómo “hacer explotar” una elipse para convertirla en una parábola, consulte el artículo “Exploding the Ellipse”, de Arnold Good, en Mathematics Teacher. Para ver este artículo, vaya a MathArticles.com.

Bettmann/Corbis

686

Capítulo 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Análisis de una elipse

EJEMPLO 3

Encuentre el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por 4x 2

y2

8x

4y

8

0.

Ecuación general de segundo grado

Solución Al completar el cuadrado puede expresar la ecuación original en la forma estándar o canónica. (x − 1)2 (y + 2)2 =1 + 4 16

4x 2

y

2

Vértice

4 x2

Foco x

−4

−2

2

4

4y 8 y 2 4y 4y 4 y 22 y 22 16

0 8 8 4 16

Escriba la ecuación original.

4

1

Escriba la forma estándar o canónica.

Así, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h = 1, k = –2, a = 4, b = 2 y 16 4 2 3. Por tanto, se obtiene: c

Centro

Centro: 1, Vértices: 1, Focos: 1,

Foco −6

y 2 8x 4x 2 8x 2x 1 y2 4x 12 x 12 4

Vértice

Elipse con eje mayor vertical.

Figura 10.10

2

h, k

6 y 1, 2 2 2 3 y 1,

h, k ± a

2

2 3

h, k ± c

La gráfica de la elipse se muestra en la figura 10.10.

En el ejemplo 3, el término constante en la ecuación de segundo grado es F = –8.

Si el término constante hubiese sido mayor o igual a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.

1. F

8, un solo punto, 1,

2:

x

1

2

y

4

2. F > 8, no existen puntos solución:

x

1

2

4

2

2

0

16 y

2 16

2

< 0

La órbita de la Luna

EJEMPLO 4

La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la que el centro de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de los ejes mayor y menor de la órbita son 768,800 kilómetros y 767,640 kilómetros, respectivamente. Encuentre las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.

Solución Luna

Tierra

2a a 2b b

Para comenzar, encuentre a y b.

768,800 384,400 767,640 383,820

Longitud del eje mayor Despeje a.

Longitud del eje menor Despeje b.

Ahora, al emplear estos valores, despeje c como sigue. a2

c

b2

21,108

La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es Perigeo

Apogeo No está dibujado a escala

Figura 10.11

a

c

405,508 kilómetros

y la distancia menor es a

c

363,292 kilómetros.

10.1 PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para más información acerca de algunos usos de las propiedades de reflexión de las cónicas, consulte el artículo “Parabolic Mirrors, Elliptic and Hyperbolic Lenses”, de Mohsen Maesumi, en The American Mathematical Monthly. Consulte también el artículo “The Geometry of Microwave Antennas”, de William R. Parzynski, en Mathematics Teacher.

Cónicas y cálculo

687

En el teorema 10.2 se presentó la propiedad de reflexión de la parábola. La elipse tiene una propiedad semejante. En el ejercicio 84 se pide demostrar el siguiente teorema.

TEOREMA 10.4 Propiedad de reflexión de la elipse Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos.

Uno de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas planetarias están relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las órbitas ser casi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el concepto de excentricidad.

Definición de la excentricidad de una elipse La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente c . a

e

Para ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse, observe que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre los vértices y el centro, se tiene que

Focos

0 < c < a.

a

En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c a es pequeño, mientras que en una elipse alargada los focos se encuentran cerca de los vértices y el cociente c a está cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Observe que

c

0 < e < 1 (a)

c es pequeño. a

para toda elipse.

La excentricidad de la órbita de la Luna es e ≈ 0.0549, y las excentricidades de las nueve órbitas planetarias son las siguientes.

Focos

Mercurio: Venus: Tierra: Marte:

a c

(b)

0.2056

e e e

0.0068 0.0167 0.0934

Júpiter: Saturno: Urano: Neptuno:

e e e e

0.0484 0.0542 0.0472 0.0086

Por integración puede demostrar que el área de una elipse es A = pab. Por ejemplo, el área de la elipse x2 a2

c es casi 1. a

c Excentricidad es el cociente . a Figura 10.12

e

y2 b2

1

es a

A

4 0

4b a

b a

a2

x 2 dx

2

a 2 cos 2 d .

Sustitución trigonométrica x

a sen

0

Sin embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente ejemplo muestra cómo usar la excentricidad para establecer una “integral elíptica” para el perímetro de una elipse.

688

Capítulo 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Encontrar el perímetro de una elipse

EJEMPLO 5

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Demuestre que el perímetro de una elipse x 2 a 2 2

4a

e 2 sen 2 d .

1

y 2 b2

1 es

c a

e

0

Solución Como la elipse dada es simétrica respecto al eje x y al eje y, sabe que su perímetro C es el cuádruplo de la longitud de arco de y

b a

a2

x2

en el primer cuadrante. La función y es derivable para toda x en el intervalo [0, a], excepto en x = a. Entonces, el perímetro está dado por la integral impropia d

C

a

lim 4

d→a

1

2

y

dx

a

4

0

1

y

2

dx

0

4

1 0

a2

b 2x 2 dx. a2 x2

Al usar la sustitución trigonométrica x = a sen u, obtiene 2

C

4

b 2 sen 2 a 2 cos 2

1 0

a cos

d

2

a 2 cos 2

4

b 2 sen 2 d

0 2

4

ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA ELIPSE

a2 1

sen 2

a2

a2

b 2 sen 2

d

0 2

4

En su trabajo con órbitas elípticas, a principios del siglo XVII, Johannes Kepler desarrolló una fórmula para encontrar el área de una elipse A = pab. Sin embargo, tuvo menos éxito en hallar una fórmula para el perímetro de una elipse, para el cual sólo dio la siguiente fórmula de aproximación C = p(a + b).

b 2 sen 2

d .

0

Debido a que e 2

c2 a2

a2

b 2 a 2, puede escribir esta integral como

2

C

4a

e 2 sen 2 d .

1 0

Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elípticas. En general dichas integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el perímetro de una elipse, por lo general hay que recurrir a una técnica de aproximación.

Aproximar el valor de una integral elíptica

EJEMPLO 6

Use la integral elíptica del ejemplo 5 para aproximar el perímetro de la elipse x2 25

y 6

x2 25

+

y2 16

=1

y2 16

Solución

1.

Como e 2

c2 a2

2

C

2

4 5

1 0

x

−6

−4

−2

2

4

6

C −6

Figura 10.13

b 2 a2

9 25, tiene

9 sen 2 d .

25

Aplicando la regla de Simpson con n = 4 obtiene

−2

C ≈ 28.36 unidades

a2

20

6 28.36.

1 1 4

4 0.9733

2 0.9055

4 0.8323

0.8

Por tanto, el perímetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra en la figura 10.13.

10.1

Cónicas y cálculo

689

Hipérbolas (x, y)

d2

d1 Foco

Foco

⏐d2 − d1⏐ es constante. ⏐d2 − d1⏐ = 2a

c a

La definición de hipérbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hipérbola, el valor absoluto de la diferencia entre estas distancias es fijo.

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

(Vea la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola. Un rasgo distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos ramas separadas.

Vértice Centro

TEOREMA 10.5 Ecuación estándar o canónica de una hipérbola

Vértice

La forma estándar o canónica de la ecuación de una hipérbola con centro (h, k) es

Eje transversal

x

h

2

y

a2

Figura 10.14

k

2

h

2

b2

1

El eje transversal es horizontal.

1.

El eje transversal es vertical.

o y

k

2

x

a2

b2

Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del centro, con c2 = a2 + b2.

Asíntota

Eje conjugado (h, k + b) (h − a, k)

(h, k)

a

b (h + a, k)

(h, k − b)

(h, k + b) Asíntota

Figura 10.15

Observe que en la hipérbola no existe la misma relación entre las constantes a, b y c, que en la elipse. En la hipérbola, c2 = a2 + b2, mientras que en la elipse, c2 = a2 – b2.

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola es determinar sus asíntotas, como se ilustra en la figura 10.15. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en el centro de la hipérbola. Las asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b que une

y (h, k – b) se le conoce como eje conjugado de la hipérbola.

TEOREMA 10.6 Asíntotas de una hipérbola Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son y

k

b x a

h

y

y

k

b x a

h.

Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son y

k

a x b

h

y

y

k

a x b

h.

En la figura 10.15 se puede ver que las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rápida de trazar las asíntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hipérbola.

690

Capítulo 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

EJEMPLO 7

Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola

Consulte LarsonCalculus.com para leer más acerca de esta biografía.

Trace la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x 2

y2

Solución x2 4

16.

Para empezar, escriba la ecuación en la forma estándar o canónica.

y2 16

1

El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en (–2, 0) y (2, 0). Los extremos del eje conjugado se encuentran en (0, –4) y (0, 4). Con estos cuatro puntos, puede trazar el rectángulo que se muestra en la figura 10.16(a). Al dibujar las asíntotas a través de las esquinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura 10.16(b). y

TECNOLOGÍA

Para verificar la gráfica obtenida en el ejemplo 7 puede emplear una herramienta de graficación y despejar y de la ecuación original para representar gráficamente las ecuaciones siguientes. y1 y2

y

6

6

(0, 4) 4

(− 2, 0)

x2 y2 − =1 4 16

(2, 0) x

−6

−4

4x2 16 4x2 16

4

x

−6

6

−4

4

6

−4

(0, −4) −6

−6

(a)

(b)

Figura 10.16

Definición de la excentricidad de una hipérbola La excentricidad e de una hipérbola es dada por el cociente e

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para leer acerca del uso de una cuerda que traza arcos, tanto elípticos como hiperbólicos, teniendo los mismos focos, vea el artículo “Ellipse to Hyperbola: With This String I Thee Wed”, de Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian, en Mathematics Magazine. Para ver este artículo vaya a MathArticles.com.

c . a

Como en la elipse, la excentricidad de una hipérbola es e = c a. Dado que en la hipérbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hipérbola son más puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17.

La excentricidad es grande.

y

y

La excentricidad se acerca a 1.

Vértice Foco

Vértice Foco

c e= a

Foco

Foco Vértice

x

x

e= c

Vértice

c a

a c

a

Figura 10.17

12

Funciones vectoriales

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Funciones vectoriales Derivación e integración de funciones vectoriales Velocidad y aceleración Vectores tangentes y vectores normales Longitud de arco y curvatura

Rapidez (Ejercicio 68, p. 861)

Control de tráfico aéreo (Ejercicio 65, p. 850)

Futbol (Ejercicio 32, p. 839)

Tiro de lanzamiento de bala (Ejercicio 42, p. 839) Resbaladilla (Ejercicio 81, p. 823) En sentido horario desde la parte superior izquierda, Elena Aliaga/Shutterstock.com; Jamie Roach/Shutterstock.com; Jack. Q/Shutterstock.com; Nicholas Moore/Shutterstock.com

815

816

Capítulo 12

12.1

Funciones vectoriales

Funciones vectoriales Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial.

Extender los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.

Curvas en el espacio y funciones vectoriales En la sección 10.2 se definió una curva plana como un conjunto de pares ordenados (f(t), g(t)) junto con sus ecuaciones paramétricas x

f t

gt

y y

donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenderse de manera natural al espacio tridimensional como sigue. Una curva en el espacio C es un conjunto de todas las demás ordenadas (f(t), g(t), h(t)) junto con sus ecuaciones paramétricas x

f t,

y

gt y z

ht

donde f, g y h son funciones continuas de t en un intervalo I. Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de función, llamada función vectorial. Este tipo de función asigna vectores a números reales.

Definición de función vectorial Una función de la forma rt

f ti

gtj

rt

f ti

gtj

Plano

o

y

Espacio

es una función vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como

r(t2) C

r(t1)

htk

rt

f t ,g t

Plano

rt

f t ,g t ,h t .

Espacio

o

r(t0)

x

Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por

Curva en un plano

rt

sen t i

cos t j y r t

sen t 2 i

cos t 2 j

z

Curva en el espacio r(t2) r(t1) r(t0)

C y

x

La curva C es trazada por el punto final del vector posición r t .

Figura 12.1

tiene como gráfica el círculo unitario, pero estas ecuaciones no representan la misma curva, porque el círculo está trazado de diferentes maneras.

Es importante que se asegure de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mientras que f(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas.

Tomando como parámetro t, que representa el tiempo, se puede usar una función vectorial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos el punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes de t.

12.1

Funciones vectoriales

817

A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes f, g y h. Por ln t i 1 t j tk es el intervalo (0, 1]. ejemplo, el dominio de r t

y

Trazar una curva plana

EJEMPLO 1 2

Dibujar la curva plana representada por la función vectorial

1

rt

2 cos t i

3 sen tj, 0

t

2 .

Función vectorial

x

−3

−1

1

3

Solución A partir del vector de posición r(t), se pueden dar las ecuaciones paramétricas x

2 cos t y y

3 sen t.

Despejando cos t y sen t, y utilizando la identidad cos2 t + sen2 t = 1, se obtiene la ecuación rectangular r(t) = 2 cos ti − 3 sen tj

La elipse es trazada en el sentido de las manecillas del reloj a medida que t aumenta de 0 a 2 .

Figura 12.2

x2 22

y2 32

1.

Ecuación rectangular

La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva está orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando t aumenta de 0 a 2p, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos finales describen la elipse.

Trazar una curva en el espacio

EJEMPLO 2

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Dibuje la curva en el espacio representada por la función vectorial rt

4 cos t i

4 sen tj

tk, 0

t

4 .

Solución De las dos primeras ecuaciones paramétricas x

4 cos t y y

Función vectorial z

(4, 0, 4 π )

4 sen t

Cilindro: x 2 + y 2 = 16

4π

obtiene x2

En 1953, Francis Crick y James D. Watson descubrieron la estructura de doble hélice del ADN.

y2

16.

Función vectorial

Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar en este cilindro la curva, use la tercera ecuación paramétrica z = t.

En la figura 12.3, observe que a medida que t crece de 0 a 4p el punto sube en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real se muestra en el dibujo de la izquierda.

(4, 0, 0) x

4

y

r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + tk

A medida que t crece de 0 a 4 , se describen dos espirales sobre la hélice.

Figura 12.3

En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se le pidió dibujar la curva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por x = 2 + t, y = 3t y z = 4 – t, use simplemente la función vectorial dada por rt

2

ti

3tj

4

t k.

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar la gráfica mediante una función vectorial se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas.

818

Capítulo 12

Funciones vectoriales

Representar una gráfica mediante una función vectorial

EJEMPLO 3

Represente la parábola

y

t = −2

Solución Aunque usted tiene muchas maneras de elegir el parámetro t, una opción natural es tomar x = t. Entonces y = t2 + 1 y tiene

3

t=1

2

t=0

y=

x2

rt

+1 x

−2

−1

1

mediante una función vectorial.

4

t = −1

x2

y

t=2

5

1

2

Hay muchas maneras de parametrizar esta gráfica. Una de ellas es tomar x t.

Figura 12.4

t2

ti

1 j.

Función vectorial

Observe en la figura 12.4 la orientación obtenida con esta elección particular de parámetro. Si hubiera elegido como parámetro x = –t, la curva habría estado orientada en dirección opuesta.

Representar una gráfica mediante una función vectorial

EJEMPLO 4

Dibuje la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide x2 12

y2 24

z2 4

1, z

0

y el cilindro parabólico y = x2. Después, halle una función vectorial que represente la gráfica.

Solución En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el ejemplo 3, una opción natural para el parámetro es x = t. Con esta opción, se usa la ecuación dada y = x2 para obtener y = t2. Entonces z2 4

x2 12

1

y2 24

t2 12

1

t4 24

2t 2 24

24

t4

6

t2 4 24

t2

.

Como la curva se encuentra sobre el plano xy, debe elegir para z la raíz cuadrada positiva. Así obtiene las ecuaciones paramétricas siguientes. x

t, y

t2 y z

6

t2 4 6

t2 4 6

t2

t2

.

La función vectorial resultante es rt

ti

6

t 2j

k,

2

t

2.

Función vectorial

(Observe que el componente k de r(t) implica –2 ≤ t ≤ 2.) De los puntos (–2, 4, 0) y (2, 4, 0) que se muestran en la figura 12.5, puede ver que la curva es trazada a medida que t crece de –2 a 2. z

Cilindro parabólico

C: x = t y = t2

(0, 0, 2) 2

COMENTARIO

Las curvas en el espacio pueden especificarse de varias maneras. Por ejemplo, la curva del ejemplo 4 se describe como la intersección de dos superficies en el espacio.

z=

Elipsoide

(6 + t 2 )(4 − t 2 ) 6

Curva en el espacio (−2, 4, 0)

4 x

(2, 4, 0)

5

y

La curva C es la intersección del semielipsoide y el cilindro parabólico.

Figura 12.5

12.1

Funciones vectoriales

819

Límites y continuidad Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, usted puede sumar y restar funciones vectoriales, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente.

La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), tiene r1 t

r2 t

f1 t i

g1 t j

f1 t

f2 t i

f2 t i g1 t

g2 t j

Suma

g2 t j.

Para restar dos funciones vectoriales, puede escribir r1 t

r2 t

f1 t i

g1 t j

f1 t

f2 t i

f2 t i g1 t

g2 t j

Resta

g2 t j.

De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar tiene cr t

c f1 t i

g1 t j

cf1 t i

cg1 t j.

Multiplicación escalar

Para dividir una función vectorial entre un escalar, rt c

f1 t i

g1 t j c

f1 t i c

, c

0

División escalar

g1 t j. c

Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de una función vectorial.

Definición del límite de una función vectorial −L

L

1. Si r es una función vectorial tal que r(t) = f(t)i + g(t)j, entonces

r (t)

O

lím r t t→a

r(t)

lím f t i

t→a

lím g t j

Plano

t→a

siempre que existan los límites de f y g cuando t → a.

2. Si r es una función vectorial tal que r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, entonces lím r t t→a

lím f t i t→a

lím g t j t→a

lím h t k t→a

Espacio

siempre que existan los límites de f, g y h cuando t → a.

L O r(t)

Si r(t) tiende al vector L cuando t → a, entonces la longitud del vector r(t) – L tiende a 0. Es decir, rt

A medida que t tiende a a, r t tiende al límite L. Para que el límite L exista, no es necesario que r a esté definida o que r a sea igual a L. Figura 12.6

L → 0 cuando t → a.

Esto se ilustra de manera gráfica en la figura 12.6. Con esta definición del límite de una función vectorial, usted puede desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones vectoriales es la suma de sus límites individuales. También puede usar la orientación de la curva r(t) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.

820

Capítulo 12

Funciones vectoriales

Definición de continuidad de una función vectorial Una función vectorial r es continua en un punto dado por t = a si el límite de r(t) cuando t → a existe y lím r t

ra.

t→a

Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo.

De acuerdo con esta definición, una función vectorial es continua en t = a si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua en t = a.

z 16

a = −4

Continuidad de funciones vectoriales

EJEMPLO 5 a=4

14

Analice la continuidad de la función vectorial rt

12

ti

a2

aj

t2 k

a es una constante.

cuando t = 0.

10

Solución

8

Cuando t tiende a 0, el límite es

lím r t

6

lím t i

t→0

t→0

t→0

t→0

t2 k

aj a 2 k a 2k.

0i aj

4

lím a 2

lím a j

2

Como

−4

2

4

y

r0

x

a=0 a = −2

a=2

Para todo a, la curva representada por la función vectorial t i aj a2 t2 k rt es una parábola.

Figura 12.7

TECNOLOGÍA

Casi cualquier tipo de dibujo tridimensional es difícil hacerlo a mano, pero trazar curvas en el espacio es especialmente difícil.

El problema consiste en crear la impresión de tres dimensiones.

Las herramientas de graficación usan diversas técnicas para dar la “impresión de tres dimensiones” en gráficas de curvas en el espacio: una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.

a2 k

0i aj 2 aj a k

4

puede concluir que r es continua en t = 0. Mediante un razonamiento similar, concluye que la función vectorial r es continua para todo valor real de t.

Para cada valor de a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5, rt

ti

a2

aj

t2 k

a es una constante.

es una parábola. Usted puede imaginar cada una de estas parábolas como la intersección del plano vertical con el paraboloide hiperbólico y2

x2

z

como se muestra en la figura 12.7.

Continuidad de funciones vectoriales

EJEMPLO 6

Determine los intervalo(s) en los cuales la función vectorial rt

ti

t

1j

t2

1k

es continua. t, g t t 1 y ht Solución Las funciones componentes son f t t 2 1 . Tanto f como h son continuas para todos los valores de t. Sin embargo, la función g es continua sólo para t ≥ –1. Por lo que r es continua en el intervalo [–1, f).

12.1

Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar.

12.1 Ejercicios

Determinar el dominio En los ejercicios 1 a 8, halle el dominio de la función vectorial.

1

1. r t

t

1

t j 2

i

2. r t

4

t2 i

3. r t

ln t i

et j

4. r t

sen t i

5. r t

Ft

Ft

7. r t

Ft

Ft

3t 2 k,

Gt

Gt

Ft

G t , donde

Ft

t 3i

tj

cos t i

i

sen t j

10. r t

t

1

sen t j

1 3

ti

1 t

1

j

t

2k

11. r t

(b) r

4

6

t

r

ln t i

1 j t

3t k

(b) r

(d) r 1

t

12. r t (a) r 0

6

(c) r t e

(b) r 4

(d) r 9

(c) r

3

t3 2 j t

21. r t

t 2 k,

2t j

cos ti ti

ti

sen

t2j

e0.75t

4

t 4

k

(c) r c

t i 4

t

25. r t

t3i

t 2j

27. r

cos i

28. r t

2 cos t i

29. r

3 sec i t

1i

32. r t

ti

33. r t

2 cos t i

34. r t

ti

35. r t

2 sen t i

2t

5j

3 cos t j

2 5

Piénselo En los ejercicios 17 y 18, halle r(t) ∙ u(t). ¿Es el resultado una función vectorial? Explique.

17. r t

3t

1 3 4t j

4k, u t

t2i

18. r t

3 cos t, 2 sen t, t

2, ut

4 sen t,

8j

t3k 6 cos t, t 2

t i

5

ti

26. r t

t2

ti

tj t2

tj

2t

3k

3t k tk

3 sen t k e

t

k

3 2 tk

cos t

2, 5

2

24. r t

2j

2 cos t j

38. r t

1, 4, 9

4t 2 sen t j

t, t 2, 23 t 3

1i

t

1

2 sen 3 tj

2 cos t i

37. r t

3,

t

t

2 tan j

36. r t

1 , Q 4, 7, 2 3 ,Q

2

1

2 sen t j

3

31. r t

r9

6, 8 , Q

2

3 sen j

14. P 0, 2, 2, 5,

t

k,

y

4

t 2 k,

tj

1j

13. P 0, 0, 0 , Q 3, 1, 2

16. P 1,

2

2t k, 0.1 3

ln t j

23. r t

30. r t 2

Escribir una función vectorial En los ejercicios 13 a 16, represente el segmento de recta desde P hasta Q mediante una función vectorial y mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas.

15. P

x

Trazar una curva En los ejercicios 23 a 28, dibuje la curva representada por la función vectorial y dé la orientación de la curva.

r1

ti

20. r t

ti

2

y

1

1

2 sen t j

(a) r 2

19. r t

22. r t (c) r s

r2

cos t i

(d) r

4

cos t k

1j

t

(a) r 0

z

(d)

x

t k, G t

(b) r 0

(d) r 2

z

(c)

3t 2 k

4t j

Evaluar una función En los ejercicios 9 a 12, evalúe (si es posible) la función vectorial en cada valor dado de t.

1 2 2t i

y

2

2

x

2

cos t j, G t

8. r t

(a) r 1

−2

4

G t , donde

sen t i

9. r t

2

−2

t k,

5t j

2 y

x

sen t j

ln t i

4

2

G t , donde G t , donde

z

(b) 4

tk

Ft

Ft

z

6t k

4 cos t j

cos t i

6. r t

tk

Relacionar En los ejercicios 19 a 22, relacione cada ecuación con su gráfica. [Las gráficas están marcadas(a), (b), (c) y (d).] (a)

3tk t 2j

821

Funciones vectoriales

2tj

t sen t, sen t

t cos t, t

Identificar una curva común En los ejercicios 39 a 42, use un sistema algebraico por computadora a fin de representar gráficamente la función vectorial e identifique la curva común.

39. r t

1 2 t i 2

tj

3 2 t k 2

822

Capítulo 12

40. r t

ti

41. r t

sen t i

Funciones vectoriales

3 2 t j 2

42. r t

62. Dibujar una curva Demuestre que la función vectorial

1 2 t k 2

3 cos t 2

2 sen t i

1 t j 2

2 cos t j

1 cos t 2

3 k 2

2 sen t k

Piénselo En los ejercicios 43 y 44, use un sistema algebraico por computadora a fin de representar gráficamente la función vectorial r(t). Para cada u(t), haga una conjetura sobre la transformación (si la hay) de la gráfica de r(t). Use un sistema algebraico por computadora para verificar su conjetura.

43. r t

2 cos t i

(a) u t

2 cos t

(b) u t

2 cos t i

1i

(c) u t

2 cos

(d) u t

1 2t i

(e) u t

6 cos t i

44. r t

2 sen t j

2t k

2 sen

2 sen t j

t2

2 j

1 3 2t k

(b) u t

t2i

tj

(c) u t

ti

t 2j

4k

(d) u t

ti

t 2j

1 3 2t k 1 3 2t 1 3 8t k

t 2j

1 2

(e) u t

ti

69. r t

71. r t

t 3k

72. r t

x

47. y 49. x

x 2 2

51.

x 16

46. 2x

5 2

2

y

2

48. y

25

y2

2

1

4

52.

3y

x 9

5

0

x2

4

50. x

2

2

y2 16

y

2

4

Parámetro

53. z

x2

2

y ,

x

y

x

t

54. z

x2

y 2,

z

4

x

2 cos t

4,

z

x2

x

2 sen t

z2

16,

z

t

55. x 2

y2

56. 4x 2 57.

x2

4y 2 y

2

z

2

58. x 2

y2

z2

59. x 2

z2

4,

60. x 2

y2

z2

4, 10,

0

z2

x

x

1

sen t

x

2

sen t

4

x

t primer octante

4

x

t primer octante

2 y

z2

16, xy

y2

4

ti 2e

t

1j

arcsen t j ti

t

tj

e

1k

ln t

1 k

e t, t 2, tan t

74. r t

8,

t,

3

t

DESARROLLO DE CONCEPTOS Escribir una transformación En los ejercicios 75 a 78, considere la función vectorial

Dé una función vectorial s(t) que sea la transformación especificada de r.

75. Una traslación vertical tres unidades hacia arriba.

76. Una traslación vertical dos unidades hacia abajo.

77. Una traslación horizontal dos unidades en dirección del eje x negativo.

78. Una traslación horizontal cinco unidades en dirección del eje y positivo.

79. Continuidad de una función vectorial Escriba la

x

z x

73. r t

ti

r(t) = t2i + (t – 3)j + tk.

1

Representar una gráfica mediante una función vectorial En los ejercicios 53 a 60, dibuje la curva en el espacio representada por la intersección de las superficies. Después represente la curva por una función vectorial utilizando el parámetro dado.

Superficies

j

1 j t

ti

70. r t

Representar una gráfica mediante una función vectorial En los ejercicios 45 a 52, represente la curva plana por medio de una función vectorial. (Hay muchas respuestas correctas.)

45. y

1

Continuidad de una función vectorial En los ejercicios 69 a 74, determine el (los) intervalo(s) en que la función vectorial es continua.

1 3 2t k

ti

1 k t 1 cos t lím t 2 i 3t j k t→0 t ln t 1 lím ti j k t→1 t2 1 t 1 sen t lím e t i j e tk t→0 t 1 t j k lím e t i t→ t t2 1 t2

t→2

65.

sen t k

2

64. lím 3ti

68.

1 2t k

cos t j

t→

tk

2 cos t k

(a) u t

63. lím t i

67.

1 2

tj

6 sen t j

Determinar un límite En los ejercicios 63 a 68, evalúe el límite (si existe).

66.

1 2t k

2 sen t j

ti

t 2j

ti

1 2 tk

2 sen tj

r(t) = e–t cos ti + e–t sen tj + e–tk se encuentra en el cono z2 = x2 + y2. Dibuje la curva.

61. Dibujar una curva Demuestre que la función vectorial r(t) = ti + 2t cos tj + 2t sen tk se encuentra en el cono 4x2 = y2 + z2. Dibuje la curva.

definición de continuidad para una función vectorial.

Dé un ejemplo de una función vectorial que esté definida pero no sea continua en t = 2.

80. Comparar funciones ¿Cuáles de las siguientes gráfi-

cas representa la misma gráfica? (a) r t

3 cos t

(b) r t

4i

(c) r t

3 cos t

(d) r t

1i

3 cos t 1i

3 cos 2t

5 sen t 1j

2j

4k

5 sen t

2k

5 sen t 1i

5 sen 2t

2j

4k 2j

4k

12.1 81. Resbaladilla

t2i

ut

3t

ut

ti

9t 4i t2j 2t

20 j

t2k

t2j

5t

4k

t3k 3i

8tj

12t

2k

PiĂŠnselo En los ejercicios 89 y 90, dos partĂ­culas viajan a lo largo de las curvas de espacio r(t) y u(t).

z

(b)

87. r t 88. r t

ÂżCĂ&#x201C;MO LO VE? Las cuatro figuras que se muestran a continuaciĂłn son las grĂĄficas de la funciĂłn vectorial r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + (t/4)k.

Relacione cada una de las cuatro grĂĄficas con el punto en el espacio desde el cual se ve la hĂŠlice.

Los cuatro puntos son (0, 0, 20), (20, 0, 0), (â&#x20AC;&#x201C;20, 0, 0) y (10, 20, 10). z

823

Movimiento de una partĂ­cula En los ejercicios 87 y 88, dos partĂ­culas viajan a lo largo de las curvas de espacio r(t) y u(t).

Una colisiĂłn ocurrirĂĄ en el punto de intersecciĂłn P si ambas partĂ­culas estĂĄn en P al mismo tiempo. ÂżColisionan las partĂ­culas? ÂżSe intersecan sus trayectorias?

El borde exterior de una resbaladilla tiene forma de una hĂŠlice de 1.5 metros de radio. La resbaladilla tiene una altura de 2 metros y hace una revoluciĂłn completa desde arriba hacia abajo. Encuentre una funciĂłn vectorial para la hĂŠlice. Use un sistema algebraico por computadora para graficar la funciĂłn.

(Existen muchas respuestas correctas.)

(a)

Funciones vectoriales

x y

89. Si r(t) y u(t) se intersecan, ÂżcolisionarĂĄn las partĂ­culas?

90. Si las partĂ­culas colisionan, Âżse intersecan sus trayectorias r(t) y u(t)? ÂżVerdadero o falso? En los ejercicios 91 a 94, determine si la declaraciĂłn es verdadera o falsa. Si es falsa, explique por quĂŠ o dĂŠ un ejemplo que pruebe que es falsa.

91. Si f, g y h son funciones polinomiales de primer grado, entonces la curva dada por x = f(t), y = g(t) y z = h(t) es una recta.

92. Si la curva dada por x = f(t), y = g(t) y z = h(t) es una recta, entonces f, g y h son funciones polinomiales de primer grado de t.

93. Dos partĂ­culas viajan a travĂŠs de las curvas de espacio r(t) y u(t). La intersecciĂłn de sus trayectorias depende sĂłlo de las curvas trazadas por r(t) y u(t) en tanto la colisiĂłn depende de la parametrizaciĂłn.

94. La funciĂłn vectorial r(t) = t2i + t sen tj + cos tk se encuentra en el paraboloide x = y2 + z2.

y Generada con Mathematica

Generada con Mathematica

(c)

PROYECTO DE TRABAJO

z

(d)

Bruja de Agnesi En la secciĂłn 3.5 estudiĂł una curva famosa llamada bruja de Agnesi. En este proyecto se profundiza sobre esta funciĂłn.

y

y

x Generada con Mathematica

Generada con Mathematica

83. DemostraciĂłn Sean r(t) y u(t) funciones vectoriales

cuyos lĂ­mites existen cuando t â&#x2020;&#x2019; c. Demuestre que lĂ­m r t tâ&#x2020;&#x2019;c

ut

lĂ­m r t tâ&#x2020;&#x2019;c

lĂ­m u t . tâ&#x2020;&#x2019;c

84. DemostraciĂłn Sean r(t) y u(t) funciones vectoriales

cuyos lĂ­mites existen cuando t â&#x2020;&#x2019; c. Demuestre que lĂ­m r t tâ&#x2020;&#x2019;c

ut

lĂ­m r t tâ&#x2020;&#x2019;c

lĂ­m u t . tâ&#x2020;&#x2019;c

85. DemostraciĂłn Demuestre que si r es una funciĂłn

vectorial continua en c, entonces r es continua en c.

86. Comprobar un inverso

Verifique que el recĂ­proco de lo que se afirma en el ejercicio 85 no es verdad encontrando una funciĂłn vectorial r tal que r sea continua en c pero r no sea continua en c.

Considere un cĂ­rculo de radio a centrado en el punto (0, a) del eje y. Sea A un punto en la recta horizontal y = 2a, O el origen y B el punto donde el segmento OA corta el cĂ­rculo. Un punto P estĂĄ en la bruja de Agnesi si P se encuentra en la recta horizontal que pasa por B y en la recta vertical que pasa por A. (a) Demuestre que el punto A estĂĄ descrito por la funciĂłn vectorial donde rA(u) = 2a cot ui + 2aj para 0 < u < p, donde u es el ĂĄngulo formado por OA con el eje x positivo. (b) Demuestre que el punto B estĂĄ descrito por la funciĂłn vectorial rB(u) = a sen 2ui + a(1 â&#x20AC;&#x201C; cos 2u)j para 0 < u < p. (c) Combine los resultados de los incisos (a) y (b) para hallar la funciĂłn vectorial r(u) para la bruja de Agnesi. Use una herramienta de graficaciĂłn para representar esta curva para a = 1. (d) Describa los lĂ­mites lĂ­m r y lĂ­m r . â&#x2020;&#x2019;0

â&#x2020;&#x2019;

(e) Elimine el parĂĄmetro u y determine la ecuaciĂłn rectangular de la bruja de Agnesi. Use una herramienta de graficaciĂłn para representar esta funciĂłn para a = 1 y compare la grĂĄfica con la obtenida en el inciso (c).

Jack.Q/Shutterstock.com

824

Capítulo 12

12.2

Funciones vectoriales

Derivación e integración de funciones vectoriales Derivar una función vectorial.

Integrar una función vectorial.

Derivación de funciones vectoriales En las secciones 12.3 a 12.5 estudiará varias aplicaciones importantes que emplean cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales.

La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones reales.

Definición de la derivada de una función vectorial La derivada de una función vectorial r se define como r t

COMENTARIO Además de la notación r′(t), otras notaciones para la derivada de una función vectorial son d rt , dt

t

La derivación de funciones vectoriales puede hacerse componente por componente.

Para ver que esto es cierto, considere la función dada por r(t) = f(t)i + g(t)j. Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente. r t

lím

rt

t

f t

t ti

t→0

lím

r(t + Δt) − r(t)

gt

f t

t t t t

t→0

r(t + Δt)

lím

f t

t→0

y

t j

f ti

gt j

t

lím

r(t)

Figura 12.8

rt

t→0

r′(t)

x

rt t

t→0

para todo t para el cual existe el límite. Si r′(t) existe, entonces r es derivable en t.

Si r′(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.

dr y Dt r t . dt

z

rt

lím

f ti

f t f t

gt

i i

t

lím

t gt

t→0

gt t

j gt

t

j

g t j

Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Observe que la derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 puede ver que r′(t) es un vector tangente a la curva dada por r(t) y que apunta en la dirección de los valores crecientes de t.

TEOREMA 12.1 Derivación de funciones vectoriales 1. Si r(t) = f(t)i + g(t)j, donde f y g son funciones derivables de t, entonces r t

f ti

g t j.

Plano

2. Si r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, donde f, g y h son funciones derivables de t, entonces r t

f ti

g t j

h t k.

Espacio

12.2 y

r(t) = ti + (t 2 + 2)j

825

Derivación de funciones vectoriales

EJEMPLO 1

6

Derivación e integración de funciones vectoriales

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

5

Para la función vectorial dada por r′(1)

4

rt

2j

encuentre r′(t). A continuación, bosqueje la curva plana representada por r(t) y las gráficas de r(1) y r′(1).

(1, 3)

3

t2

ti

r(1)

Solución

Derive cada una de las componentes base para obtener

1

r t x −3

−2

−1

Figura 12.9

1

2

3

i

2tj.

Derivada

Del vector de posición r(t), puede escribir las ecuaciones paramétricas x = t y y = t2 + 2.

La ecuación rectangular correspondiente es y = x2 + 2. Cuando t = 1, r1

i

3j

y r 1

i

2j.

En la figura 12.9, r(1) se dibuja iniciando en el origen, y r′(1) se dibuja en el punto final de r(1).

Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las funciones componentes.

Derivadas de orden superior

EJEMPLO 2

Para la función vectorial dada por rt

cos t i

sen tj

2tk

encuentre a. b. c. d.

r r r r

t t t t

r t r t

Solución a. r t b. r t c. r t d. r t

sen ti

cos tj

2k

cos ti sen tj cos ti sen tj r t sen t cos t

0k

r t

i sen t cos t cos t sen t 2 sen ti

Primera derivada

Segunda derivada

sen t cos t

0

j k cos t 2 sen t 0 2 i 0 2 cos tj

Producto escalar

Producto vectorial

sen t cos t k

2 j 0

sen t cos t

cos t k sen t

En el inciso 2(c) observe que el producto escalar es una función real, no una función vectorial.

826

Capítulo 12

Funciones vectoriales

La parametrización de la curva representada por la función vectorial rt

f ti

gtj

htk

es suave en un intervalo abierto I si f′, g′ y h′ son continuas en I y r′(t) ≠ 0 para todo valor de t en el intervalo I.

Intervalos en los que una curva es suave

EJEMPLO 3 y

Halle los intervalos en los que la epicicloide C dada por rt

6 4

π t= 2

−6

−4

Solución

t=0 x

−2

2 −2 −4

cos 5t i

sen 5t j, 0

5 sen t

t

2

es suave.

2

t=π

5 cos t

4

t = 2π

r t

6

π t=3 2

−6

r(t) = (5 cos t − cos 5 t)i + (5 sen t − sen 5t)j

La epicicloide no es suave en los puntos en los que corta los ejes.

Figura 12.10

La derivada de r es 5 sen t

5 sen 5t i

5 cos t

5 cos 5t j.

En el intervalo [0, 2p] los únicos valores de t para los cuales r t

0i

0j

son t = 0, p 2, p, 3p 2 y 2p. Por consiguiente, puede concluir que C es suave en los intervalos 0,

2

,

2

,

,

,

3 2

3 , 2 2

y

como se muestra en la figura 12.10.

En la figura 12.10, observe que la curva no es suave en los puntos en los que tiene cambios abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos.

La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tienen sus análogas para funciones vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Observe que el teorema contiene tres versiones de “reglas del producto”. La propiedad 3 da la derivada del producto de una función real w y por una función vectorial r, la propiedad 4 da la derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio).

TEOREMA 12.2 Propiedades de la derivada Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c un escalar.

1.

COMENTARIO

Observe que la propiedad 5 sólo se aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales.

2.

3.

4.

5.

6.

d dt d dt d dt d dt d dt d dt

cr t

cr t

rt ±ut wtrt rt

ut

rt

ut

rw t

7. Si r t

rt

r t ±u t wtr t rt rt

w trt u t u t

r t

ut

r t

ut

r t

0.

r w t w t c, entonces r t

12.2

Derivación e integración de funciones vectoriales

827

Demostración Para demostrar la propiedad 4, sea rt

f1 t i

g1 t j y u t

f2 t i

g2 t j

donde f1, f2, g1 y g2 son funciones derivables de t. Entonces, rt

Exploración Sea r(t) = cos ti + sen tj.

Dibuje la gráfica de r(t).

Explique por qué la gráfica es un círculo de radio 1 centrado en el origen. Calcule r(p 4) y r′(p 4). Coloque el vector r′(p 4) de manera que su punto inicial esté en el punto final de r(p 4). ¿Qué observa?

Demuestre que r(t) ∙ r(t) es constante y que r(t) ∙ r′(t) = 0 para todo t. ¿Qué relación tiene este ejemplo con la propiedad 7 del teorema 12.2?

ut

f1 t f2 t

g1 t g2 t

y se deduce que d rt dt

ut

f1 t f2 t

f1 t f2 t

f1 t f2 t rt u t

g1 t g2 t

g1 t g2 t r t ut.

g1 t g2 t

f1 t f2 t

g1 t g2 t

Consulte LarsonCalculus.com para el video de Bruce Edwards de esta demostración.

Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (vea los ejercicios 67 a 71 y el ejercicio 74).

Aplicar las propiedades de la derivada

EJEMPLO 4 1 i t

Para r t a.

d rt dt

ut

t2 i

ln tk y u t

j

d ut dt

y b.

k, halle

2tj

u t .

Solución 1 i t2

a. Como r t d rt dt

1 ky u t t

ut rt u t r t 1 i j ln tk t 2

2

3

1 . t

b. Como u t d ut dt

2j, tiene

2ti

u t

2ti

1 k t

t2i

2tj

k

2i, tiene

2j y u t ut i t2 2

u t j 2t 0

2t 0 0i 2j

1 i t2

2j

1 t

1

2ti

ut

u t k 1 0

1 i 0 2j 4tk.

u t

0 t2 2

1 j 0

t2 2

2t k 0

4tk

Haga de nuevo los incisos (a) y (b) del ejemplo 4 pero formando primero los productos escalar y vectorial, y derivando después para comprobar que obtiene los mismos resultados.

828

Capítulo 12

Funciones vectoriales

Integración de funciones vectoriales La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una función vectorial.

Definición de integración de funciones vectoriales 1. Si r(t) = f(t)i + g(t)j, donde f y g son continuas en [a, b], entonces la integral indefinida (antiderivada) de r es r t dt

f t dt i

g t dt j

Plano

y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es b

b

r t dt

b

f t dt i

a

g t dt j.

a

a

2. Si r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, donde f, g y h son continuas en [a, b], entonces la integral indefinida (antiderivada) de r es r t dt

f t dt i

g t dt j

h t dt k

Espacio

y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es b

b

r t dt

b

f t dt i

a

b

g t dt j

a

h t dt k.

a

a

La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones vectoriales que difieren entre sí en un vector constante C. Por ejemplo, si es una función vectorial tridimensional, entonces al hallar la integral indefinida r t dt, se obtienen tres constantes de integración f t dt

Ft

C1,

g t dt

Gt

C2,

h t dt

Ht

C3

donde F′(t) = f(t), G′(t) = g(t) y H′(t) = h(t). Estas tres constantes escalares forman un vector como constante de integración, r t dt

Ft

C1 i

Fti Gt j Rt C

Gt Htk

C2 j C1i

Ht C2 j

C3 k C3k

donde R′(t) = r(t).

EJEMPLO 5

Integrar una función vectorial

Encuentre la integral indefinida ti Solución ti

3j dt.

Integrando componente por componente obtiene 3j dt

t2 i 2

3tj

C.

12.2

Derivación e integración de funciones vectoriales

829

El ejemplo 6 muestra cómo evaluar la integral definida de una función vectorial.

Integral definida de una función vectorial

EJEMPLO 6 Evalúe la integral 1

1 3

r t dt 0

1

ti

t

0

1

j

t

e

k dt.

Solución 1

1

1

t1 3 dt i

r t dt 0

0

0

3 43 t 4 3 i 4

1

1 t

1

e t dt k

dt j 0

1

1

i

ln t

1

1

j

0

t

e

k

0

ln 2 j

0

1 k e

1

Como ocurre con las funciones reales, puede reducir la familia de primitivas de una función vectorial r′ a una sola primitiva imponiendo una condición inicial a la función vectorial r, como muestra el ejemplo siguiente.

La primitiva de una función vectorial

EJEMPLO 7

Encuentre la primitiva de r t

cos 2ti

1

2 sen tj

1

t2

k

que satisface la condición inicial r0

3i

2j

k.

Solución rt

r t dt cos 2t dt i 1 sen 2t 2

1

2 sen t dt j

C1 i

2 cos t

t2

1

C2 j

dt k

arctan t

C3 k

Haciendo t = 0, r0

0

C1 i

2

C2 j

0

C3 k.

Usando el hecho que r(0) = 3i – 2j + k, tiene 0

C1 i

2

C2 j

0

C3 k

3i

2j

k.

Igualando los componentes correspondientes obtiene C1

3,

2

C2

2 y C3

1.

Por tanto, la primitiva que satisface la condición inicial dada es rt

1 sen 2t 2

3 i

2 cos t

4j

arctan t

1 k.

830

Capítulo 12

12.2

Funciones vectoriales Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar.

Ejercicios

Derivación de funciones vectoriales En los ejercicios 1 a 6, halle r′(t), r(t0) y r′(t0) para el valor dado de t0. Después dibuje la curva plana representada por la función vectorial, y dibuje los vectores r(t0) y r′(t0). Coloque los vectores de manera que el punto inicial de r(t0) esté en el origen y el punto inicial de r′(t0) esté en el punto final de r(t0). ¿Qué relación hay entre r′(t0) y la curva?

1. r t

t2 i

2. r t

1

3. r t

cos ti

4. r t 5. r t 6. r t

t0

tj,

t 3j,

t0

sen tj,

t0

ti

e2t t

1

t0

,

2

ti

t 2j

9. r t 11. r t

ti

0

2 sen tj

tk, t0

3 2 k,

2

3 2

10. r t 12. r t

7t 2j

14. r t

15. r t

a cos 3 t i

16. r t

4 ti

17. r t

e

t

a sen3 tj t

i

t3k

2

1 i t

t2 k 2

k

ln t k

5tet k

19. r t

t sen t, t cos t, t

20. r t

arcsen t, arccos t, 0

18. r t

t3, cos 3t, sen 3t

Derivadas de orden superior En los ejercicios 21 a 24, halle (a) r′(t), (b) r″(t), y (c) r′(t) ∙ r″(t).

21. r t

t 3i

22. r t

t2

1 2 2t j

t2

ti

tj

23. r t

4 cos ti

4 sen tj

24. r t

8 cos t i

3 sen tj

Derivadas de orden superior En los ejercicios 25 a 28, halle (a) r′(t), (b) r″(t), (c) r′(t) ∙ r″(t), y (d) r′(t) × r″(t).

25. r t 26. r t 27. r t 28. r t

1 2 2t i 3

tj

cos t t

3j

t sen t, sen t 2

e , t , tan t

3t

5k

cos 1

t3

8

e tj

i

3tj

j

2 cos

j

j 35. r t

t

1 j t

1i

t 2k

3tk

3tj

tan tk t2

1 4 tk

1 j

(b)

d [3r t dt

(e)

d [r t dt

ut]

t 2k,

ti

3tj

40. r t

ti

2 sen tj

1 i t

ut

ut]

4ti

d 5t u t dt

(c)

ut]

ut

d r 2t dt

(f) t 2j

t 3k

2 cos tk

2 sen tj

2 cos tk

Utilizar dos métodos En los ejercicios 41 y 42, halle d d (a) [r t u t ] y (b) [r t u t ] en dos diferentes formas. dt dt (i) Encuentre primero el producto y luego derive. (ii) Aplique las propiedades del teorema 12.2.

2t 2 j

41. r t

ti

42. r t

cos t i

t 3k, u t sen t j

t 4k

t k, u t

j

tk

Determinar una integral indefinida En los ejercicios 43 a 50, encuentre la integral indefinida.

43.

2ti

j

k dt

44.

4t 3 i

6tj

4 t k dt

45.

1 i t

j

t 3 2 k dt

46.

ln ti

1 j t

k dt

47.

2t

48.

et i

49.

sec2 ti

50.

e

4t 3j

1i sen tj

1 3 6t k

2t 2

t i

d [r t dt

2 sen t

16tj

1 i

39. r t

t j

2

tj

4j

t cos t,

i 2t 2

(a) r t

3

1

1

3 sen3 j

i

ti

t

Usar las propiedades de la derivada En los ejercicios 39 y 40, use las propiedades de la derivada para encontrar lo siguiente.

(d)

ti

t3

8

1

30. r t

2 sen

ti

t0

t 3j

2t

38. r t

2 cos t, 5 sen t 6ti

sen

37. r t

3tj

13. r t

32. r

0

2

Hallar una derivada En los ejercicios 11 a 22, halle r′(t).

3

2 cos 3 i

34. r t

Derivar funciones vectoriales En los ejercicios 7 y 8, halle r′(t), r(t0) y r′(t0) para el valor dado de t0. Después dibuje la curva plana representada por la función vectorial, y dibuje los vectores r(t0) y r′(t0).

8. r t

31. r

et i

e , e , t0

2 cos ti

t2 i

36. r t

t

7. r t

29. r t

33. r

4 cos tj, t0

3 sen ti et,

2

Determinar los intervalos en los que la curva es suave En los ejercicios 29 a 38, halle el (los) intervalo(s) abierto(s) en que la curva dada por la función vectorial es suave.

3 t k dt

cos tk dt 1 t2

1

j dt

t cos t, t t

sen ti

e

t

cos tj dt

12.2 Calcular una integral indeďŹ nida En los ejercicios 51 a 56, evalĂşe la integral definida.

1

73.

1

8ti

51.

DerivaciĂłn e integraciĂłn de funciones vectoriales

tj

k dt

t 3j

ti

52.

0

3

t k dt

1 2

53.

a cos t i

a sen t j

4

sec t tan t i

tan t j

2 sen t cos t k dt

2

te t k dt

56.

t 2 j dt

ti

0

57. r t

4e2t i

3et j, r 0

58. r t

3t 2 j

6 t k,

59. r t

32j,

60. r t

4 cos tj

62. r t

r 0

t2 i

te

1 t2

1

e i

2i

r0

i

ut

v t

600 3i 3 sen tk,

t

j

1 j t2

600j, r 0 3k, r 0

r 0 1 2i

r0

k,

(a) Describa la curva. (b) Halle los valores mĂ­nimo y mĂĄximo de r y râ&#x20AC;ł .

2j

1 k, r 1 t

j

0 4j

77. Vectores perpendiculares Considere la funciĂłn vec-

torial r(t) = (et sen t)i + (et cos t)j. Demuestre que r(t) y r â&#x20AC;ł(t) son siempre perpendiculares a cada uno.

k

2i

ÂżCĂ&#x201C;MO LO VE? La grĂĄfica muestra una funciĂłn vectorial r(t) para 0 â&#x2030;¤ t â&#x2030;¤ 2p y su derivada râ&#x20AC;˛(t) para diferentes valores de t.

63. Derivar Escriba la definiciĂłn de derivada de una funciĂłn vectorial. Describa cĂłmo hallar la derivada de una funciĂłn vectorial y dĂŠ su interpretaciĂłn geomĂŠtrica.

y 4

64. Integrar ÂżCĂłmo encuentra la integral de una funciĂłn vectorial?

Ď&#x20AC; t=5 6

â&#x2C6;&#x2019;5

d rt Âąut dt

r t Âąu t

d wtrt 69. dt

wtr t

d rt dt

rt

71.

d rwt dt

72.

d rt dt

ut

w trt u t

r t

ut

2

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1

Ď&#x20AC; t=5 4

r t

rt

r t

1

2

Ď&#x20AC; 4

x

3

â&#x2C6;&#x2019;4

(a) Para cada derivada que se muestra en la grĂĄfica, determine si cada componente es positiva o negativa. (b) ÂżEs suave la curva en el intervalo [0, 2p]? Explique su razonamiento. ÂżVerdadero o falso? En los ejercicios 79 a 82, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por quĂŠ o dĂŠ un ejemplo que muestre que es falso.

79. Si una partĂ­cula se mueve a lo largo de una esfera centrada en el origen, entonces su vector derivada es siempre tangente a la esfera.

80. La integral definida de una funciĂłn vectorial es un nĂşmero real. d rt r t dt 82. Si r y u son funciones vectoriales derivables de t, entonces 81.

r wt w t

t=

â&#x2C6;&#x2019;2

66. Usar una derivada La componente z de la derivada de una funciĂłn vectorial u es 0 para t en el dominio de la funciĂłn. ÂżQuĂŠ implica esta informaciĂłn acerca de la grĂĄfica de u?

DemostraciĂłn En los ejercicios 67 a 74, demuestre la propiedad. En todos los casos, suponga que r, u y v son funciones vectoriales derivables de t, que w es una funciĂłn real derivable de t, y que c es un escalar. d 67. cr t cr t dt

3

1

65. Usar una derivada Las tres componentes de la derivada de una funciĂłn vectorial u son positivas en t = t0.

Describa el comportamiento de u en t = t0.

70.

rt

vt

76. Movimiento de una partĂ­cula Una partĂ­cula se mueve en el plano yz a lo largo de la curva representada por la funciĂłn vectorial r(t) = (2 cos t)j + (3 sen t)k.

DESARROLLO DE CONCEPTOS

68.

vt

ut

0

Determinar una antiderivada En los ejercicios 57 a 62, determine r(t) que satisfaga las condiciones iniciales.

61. r t

r t

(a) Use una herramienta de graficaciĂłn para representar r.

Describa la curva. (b) Halle los valores mĂ­nimo y mĂĄximo de r y râ&#x20AC;ł .

3

et j

ti

u t

vt

74. Si r(t) â&#x2039;&#x2026; r(t) es una constante, entonces r(t) â&#x2039;&#x2026; râ&#x20AC;˛(t) = 0.

0

55.

ut

75. Movimiento de una partĂ­cula Una partĂ­cula se mueve en el plano xy a lo largo de la curva representada por la funciĂłn vectorial r(t) = (t â&#x20AC;&#x201C; sen t)i + (1 â&#x20AC;&#x201C; cos t)j.

k dt

0

54.

d rt dt rt

831

d rt dt

ut

r t

u t.

832

Capítulo 12

12.3

Funciones vectoriales

Velocidad y aceleración Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial.

Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.

Velocidad y aceleración Exploración de velocidad Considere el círculo dado por rt

cos t i

sen t j.

(El símbolo v es la letra griega omega.) Use una herramienta de graficación en modo paramétrico para representar este círculo para varios valores de v. ¿Cómo afecta v a la velocidad del punto terminal cuando se traza la curva? Para un valor dado de v, ¿parece ser constante la velocidad? ¿Parece ser constante la aceleración?

Explique su razonamiento.

Ahora combinará el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales, a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva.

Empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en el espacio puede desarrollarse de manera similar.)

Conforme el objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar las letras f y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x = x(t) y y = y(t). Por tanto, el vector de posición r(t) toma la forma rt

xti

3

−2

Vector de posición

Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que puede usar la primera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración del objeto. (Recuerde del capítulo anterior que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considere un punto Q(x(t + ∆t), y(t + ∆t)) que se aproxima al punto P(x(t), y(t)) a lo largo de la curva C dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, como se muestra en la figura 12.11. A medida que ∆t → 0, la dirección del vector PQ (denotada por ∆r) se aproxima a la dirección del movimiento en el instante t. \

2

−3

y t j.

lím

t→0

r r t r t

rt rt

t t

rt rt t

lím

rt

t

rt t

t→0

Si este límite existe, se define como vector velocidad o vector tangente a la curva en el punto P. Observe que éste es el mismo límite usado en la definición de r′(t). Por tanto, la dirección de r′(t) da la dirección del movimiento en el instante t. Además, la magnitud del vector r′(t) r t

x ti

y tj

x t

2

y t

2

da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, puede usar r″(t) para hallar la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes. y

y

Vector velocidad en el instante t P C

Δr

Vector velocidad en el instante t

Δt → 0

Exploración

Q

r(t) r(t + Δt) x

Conforme t → 0, Figura 12.11

r se aproxima al vector velocidad. t

x

12.3

Velocidad y aceleración

833

Definiciones de velocidad y aceleración Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivadas, y r es una función vectorial dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como sigue Velocidad Aceleración Rapidez

vt at vt

r t r t r t

x ti y tj x ti y tj x t 2 y t

2

Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son similares. Es decir, para r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, se tiene Velocidad Aceleración Rapidez

vt at vt

x ti y tj z tk x ti y tj z tk x t 2 y t 2 z t

2.

Hallar la velocidad y la aceleración a lo largo de una curva plana

EJEMPLO 1

COMENTARIO En el ejemplo 1, observe que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales en todo punto y en cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante.

(Vea el ejercicio 53.)

r t r t r t

Encuentre el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por t 2 sen i 2

rt

t 2 cos j.

2

Vector de posición

Solución El vector velocidad es vt

t cos i 2

r t

t sen j.

2

Vector velocidad

La rapidez (en cualquier tiempo) es cos2

r t Círculo:

x2

+

y2

t 2

1.

Rapidez

El vector aceleración es at

2

a(t)

x

2 sen

x 2

−1

−2

t t r(t) = 2 sen i + 2 cos j 2 2

La partícula se mueve alrededor del círculo con rapidez constante.

Figura 12.12

1 t cos j.

2 2

Vector aceleración

Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son

v(t)

1

1 t sen i 2 2

r t

1

−1

sen2

=4

y

−2

t 2

t y y 2

t 2 cos .

2

Eliminando el parámetro t, obtiene la ecuación rectangular x2

y2

4.

Ecuación rectangular

Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en la figura 12.12. Como el vector velocidad vt

t cos i 2

t sen j 2

tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante

834

Capítulo 12

Funciones vectoriales

r(t) = (t 2 − 4)i + tj

Vectores velocidad y aceleración en el plano

EJEMPLO 2

y

Dibuje la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por 4

x − 3 −2 − 1 −1

1

2

3

tj

Vector posición

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x = t2 – 4 y y = t, puede determinar que la curva es una parábola dada por

1

a(0)

4i

y encuentre los vectores velocidad y aceleración cuando t = 0 y t = 2.

a(2)

v(0)

t2

rt

v(2)

3

4

x

y2

4

Ecuación rectangular

como se muestra en la figura 12.13. El vector velocidad (en cualquier instante) es

−3

vt

x = y2 − 4

−4

r t

2t i

j

Vector velocidad

y el vector aceleración (en cualquier instante) es

En todo punto en la curva, el vector aceleración apunta a la derecha.

Figura 12.13

at

r t

2i.

Vector aceleración

Cuando t = 0, los vectores velocidad y aceleración están dados por v0

y

20i

j

j y a0

2i.

Cuando t = 2, los vectores velocidad y aceleración están dados por v2 Sol

22i

j

4i

j y a2

2i.

Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.13, observe que el vector aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha).

Esto implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la parábola.

Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectorias parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas el vector aceleración apunta siempre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Vea la figura 12.14.)

x

a

En todo punto de la órbita del cometa, el vector aceleración apunta hacia el Sol. Figura 12.14

Vectores velocidad y aceleración en el espacio

EJEMPLO 3

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Dibuje la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada por rt

ti

t 3j

3t k, t

0

Vector posición

y encuentre los vectores velocidad y aceleración cuando t = 1.

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x = t y y = t3, puede determinar que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por

Curva: r(t) = ti + t 3 j + 3tk, t ≥ 0 C

z

y

v(1)

6

(1, 1, 3) 4

y

a(1)

Ecuación rectangular

Como z = 3t, el objeto parte de (0, 0, 0) y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como se muestra en la figura 12.15. Como r(t) = ti + t3j + 3tk, tiene

10

2

x3.

3t 2j

vt

r t

i

at

r t

6tj.

3k

Vector velocidad

y y = x3

2 4 x

Figura 12.15

Vector aceleración

Cuando t = 1, los vectores velocidad y aceleración están dados por v1

r 1

i

3j

3k y a 1

r 1

6j.

12.3

Velocidad y aceleraciรณn

835

Hasta aquรญ usted ha tratado de hallar la velocidad y la aceleraciรณn derivando la funciรณn de posiciรณn. En muchas aplicaciones prรกcticas se tiene el problema inverso, halle la funciรณn de posiciรณn dada una velocidad o una aceleraciรณn. Esto se ejemplifica en el ejemplo siguiente.

Hallar una funciรณn posiciรณn por integraciรณn

EJEMPLO 4

Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleraciรณn de at

j

2k

Vector aceleraciรณn

donde a(t) se mide en pies por segundo al cuadrado. Determine la posiciรณn del objeto despuรฉs de t = 2 segundos.

Soluciรณn A partir de la descripciรณn del movimiento del objeto, se pueden deducir las condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene v0

0.

Como el objeto parte del punto (x, y, z) = (1, 2, 0), tiene r0

x0i

y0j

z0k

1i

2j

0k

i

2j.

Para hallar la funciรณn de posiciรณn, debe integrar dos veces, usando cada vez una de las condiciones iniciales para hallar la constante de integraciรณn. El vector velocidad es vt

a t dt j

2k dt

tj

2tk

C

donde C = C1i + C2j + C3k. Haciendo t = 0 y aplicando la condiciรณn inicial v(0) = 0, obtiene v0

C1i

C2 j

C3k

0

C1

C2

C3

0.

Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es vt Curva:

r(t) = i +

tj

( (

rt

v t dt tj

6

t2 j 2

4

2 4

r(2)

(1, 4, 4) t=2

(1, 2, 0) t=0

6 x

El objeto tarda 2 segundos en moverse del punto 1, 2, 0 al punto 1, 4, 4 a lo largo de la curva.

Figura 12.16

Vector velocidad

Integrando una vez mรกs se obtiene

t2 + 2 j + t 2k 2

z

2

2tk.

6

y

2t k dt t2k

C

donde C = C4i + C5j + C6k. Haciendo t = 0 y aplicando la condiciรณn inicial r(0) = i + 2j, tiene r0

C4i

C5 j

C6k

i

2j

C4

1, C5

Por tanto, el vector posiciรณn es rt

i

t2 2

2 j

t 2 k.

Vector posiciรณn

La posiciรณn del objeto despuรฉs de t = 2 segundos estรก dada por r2

i

4j

4k

como se muestra en la figura 12.16.

2, C6

0.

CÁLCULO TOMO II 10e

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E

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