38 Capítulo 3 Límites y sus propiedades En el ejemplo 6 encontró un valor d para una e dada. Esto no prueba la existencia del límite. Para hacer eso, debe demostrar que se puede encontrar una d para cualquier e, como se muestra en el siguiente ejemplo. Usar la deﬁnición E-D de límite EJEMPLO 7 Utilice la definición e-d de límite para demostrar que 4+ε lím 3x 2 x→2 4 4−ε Demuestre que para todo e > 0, existe una d > 0 tal que Solución 3x 2+δ 2 2−δ y 4. 4 < 2 siempre que 0 < x 4 2 < . Puesto que la elección d depende de e, necesita establecer una relación entre los valores absolutos (3x – 2) – 4 y x – 2 3 3x 2 4 3x 6 3x 2 Por tanto, para cada e > 0 dado, se puede tomar d > 0. Esta opción funciona porque 2 1 x 1 2 3 2 < 0 < x f(x) = 3x − 2 4 El límite de f x cuando x se aproxima a 2 es 4. Figura 3.14 3 implica que 3x 2 4 3x 2 < 3 . 3 Como puede ver en la figura 3.14, para valores de x en d de 2(x ≠ 2), los valores de f(x) se encuentran en e de 4. Usar la deﬁnición E-D de límite EJEMPLO 8 Utilice la definición e-d de límite, para demostrar que lím x 2 x→2 f(x) = Demuestre que para cada e > 0 existe una d > 0, de tal forma que Solución 4+ε (2 + δ 4. x2 4 < )2 x2 4 siempre que (2 − δ )2 0 < x 4−ε 2+δ 2 2−δ El límite de f x cuando x se aproxima a 2 es 4. Figura 3.15 2 < . x 2 x 2 . Para Para encontrar una d adecuada, comience escribiendo x2 4 todo x del intervalo (1, 3), x + 2 < 5, se sabe que x 2 < 5. De tal manera, haciendo que d sea el mínimo entre e/5 y 1 resulta que, siempre que 0 < x 2 < , se tiene x2 4 x 2 x 2 < 5 5 . Como se muestra en la figura 3.15, para valores de x en d de 2(x ≠ z), los valores de f(x) se encuentran en e de 4. A lo largo de este capítulo se utilizará la definición e-d de límite, principalmente para demostrar teoremas relativos a los límites y para establecer la existencia o inexistencia de tipos de límites específicos. Para calcular límites, se describirán técnicas más fáciles de usar que la definición e-d de límite.

9786075228945 Matemáticas I Cálculo diferencial. Ron Larson/Bruce Edwards. Cengage