Matemáticas II con enfoque en competencias. 2a. edición. Patricia Ibáñez by Cengage

Matemáticas II Segunda edición

Patricia P ric Ibáñez áñe Carrasco

Gerardo García Torres

Segundo semestre

Matemáticas II Segunda edición

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres

Revisión técnica: Ing. Edgar González Yebra Jefe del Departamento de Matemáticas Dirección de Medios y Métodos Educativos Secretaría de Educación de Guanajuato

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Matemáticas II, segunda edición Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director editorial, de producción y de plataformas digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Gerente de procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona Gerente de manufactura para Latinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel Gerente editorial de contenidos en español Pilar Hernández Santamarina Coordinador de manufactura Rafael Pérez González Editoras Ivonne Arciniega Torres Gloria Luz Olguín Sarmiento Diseño de portada Gerardo Larios García Imagen de portada 1. Goma de dibujo: © Photographer/Dreamstime.com 2. Riesgo: © Espion/Dreamstime.com 3. Recorte de una gráﬁca de personas y negocios: © Jannoon028/Dreamstime.com 4. Vector que construye una bisectriz: © Olgacov/ Dreamstime.com Composición tipográﬁca Gerardo Larios García Luis Ángel Arroyo Hernández Fotografías de interiores: Dreamstime Shutterstock

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráﬁco, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Datos para catalogación bibliográﬁca: Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres Matemáticas II, segunda edición ISBN 13: 978-607-481-935-9 ISBN 10: 607-481-935-1 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Contenido general Bloque I Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Ángulos

Concepto Clasiﬁcación de ángulos Por su abertura (medida) Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante)

Triángulos Concepto Clasiﬁcación Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos

Propiedades relativas de los triángulos Desigualdad triangular

6 8 8 10 16

24 24 24 24 25

28 28

Amplía tus saberes

Mi competencia ﬁnal

Evaluación formativa por proyectos

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

Bloque II Comprendes la congruencia de triángulos Criterios de congruencia

Amplía tus saberes

38 42

Estructura Socioeconómica de México

Mi competencia ﬁnal

Evaluación formativa por proyectos

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

Bloque III Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras Criterios de semejanza Criterio Lado, Lado, Lado (LLL) Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) Criterio Ángulo, Ángulo (AA)

54 58 59 59 59

Teorema de Tales

Aplicación del concepto de semejanza

Teorema de Pitágoras

Amplía tus saberes

El concepto de semejanza en las matemáticas

Mi competencia ﬁnal

Evaluación formativa por proyectos

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

Bloque IV Reconoces las propiedades de los polígonos Polígonos Deﬁnición Clasiﬁcación

88 92 92 93

Elementos y propiedades de un polígono

Ángulos interiores Ángulo central Otros elementos de un polígono Otras clasiﬁcaciones para los polígonos

94 95 95 97

Contenido general

Suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores de un polígono Suma de ángulos interiores Suma de los ángulos exteriores y centrales Ángulo central Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares Triángulo Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado Trapecio Polígono regular de n lados

100 100 106 107 108 108 109 109 109 109 110 110

Amplía tus saberes

114

Mi competencia ﬁnal

115

Evaluación formativa por proyectos

117

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

118

Bloque V Reconoces las propiedades de la circunferencia Circunferencia Rectas y segmentos en una circunferencia Rectas tangentes a un círculo Ángulos en la circunferencia Propiedades de los ángulos de la circunferencia Aplicación de los ángulos exteriores en la vida cotidiana

120 124 124 126 127 129 133

Perímetros y áreas

136

Amplía tus saberes

142

Mi competencia ﬁnal

144

Evaluación formativa por proyectos

146

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

147

Matemáticas II

Bloque VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

150

Sistema sexagesimal y circular

154

Funciones trigonométricas directas y recíprocas

159

Relación fundamental de la trigonometría Ángulo de elevación y ángulo de depresión Funciones trigonométricas inversas

161 164 166

Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos

170

Resolución de triángulos rectángulos

174

Amplía tus saberes

182

Mi competencia ﬁnal

184

Evaluación formativa por proyectos

185

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

186

Bloque VII Aplicas las funciones trigonométricas

188

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

192

Signos de las funciones trigonométricas Funciones y cofunciones trigonométricas de cualquier ángulo Ángulos de referencia Funciones de un segmento

192 193 194 198

Círculo unitario

202

Gráﬁcas de las funciones seno, coseno y tangente

205

Longitud de arco Funciones periódicas Identidades trigonométricas

205 207 213

Amplía tus saberes

218

Mi competencia ﬁnal

220

Contenido general

vii

Evaluación formativa por proyectos

221

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

221

Bloque VIII Aplicas las leyes de los senos y cosenos Leyes de los senos y cosenos Ley de senos Comprobación de la ley de senos Ley de cosenos Comprobación de la ley de cosenos Resolución de triángulos oblicuángulos Aplicaciones prácticas

224 228 228 229 230 230 231 235

Amplía tus saberes

240

Mi competencia ﬁnal

241

Evaluación formativa por proyectos

242

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

242

Bloque IX Aplicas la estadística elemental

244

Estadística

248

Población

249

Muestra

249

Datos no agrupados Datos agrupados Representación de datos

Medidas de tendencia central para datos no agrupados y agrupados Medidas de tendencia central para datos no agrupados Media aritmética Mediana Moda Medidas de tendencia central para datos agrupados Media

253 254 257

261 262 262 263 264 265 265

viii

Matemáticas II

Mediana Moda

266 268

Medidas de dispersión para datos no agrupados y agrupados 270 Medidas de dispersión Rango Desviación estándar Varianza Desviación media

270 270 270 271 273

Amplía tus saberes

277

Mi competencia ﬁnal

278

Evaluación formativa por proyectos

279

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

279

Bloque X Empleas los conceptos elementales de la probabilidad Probabilidad clásica Deﬁniciones básicas Probabilidad clásica Reglas de la adición Regla especial de la adición Regla general de la adición Reglas de la multiplicación Regla especial de multiplicación Regla general de la multiplicación

282 286 286 287 290 290 291 294 294 295

Amplía tus saberes

298

Mi competencia ﬁnal

299

Evaluación formativa por proyectos

300

Reactivos tipo enlace para entrenamiento

300

Respuestas

302

Material para el docente

331

Matemáticas II

Bloque l Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Ángulos

Por su abertura

Complementarios

a b c d

Suplementarios

e f g h

Por la posición que ocupan entre dos rectas paralelas

Por la suma de sus medidas

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Triángulos

Por la medida de sus lados

Propiedades

Por la suma de sus ángulos

BLOQUE I Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Propósito: Que el (la) estudiante identiﬁque los diferentes tipos de ángulos y triángulos, y ubique sus características en contextos de su comunidad; asimismo, que sea capaz de resolver ejercicios en torno a la aplicación de la suma de ángulos de los triángulos.

Desempeños del estudiante Objetos de aprendizaje: al concluir el bloque: r Ángulos UÊ Identiﬁca los diferentes tipos de ángulos y triángulos. UÊ Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identiﬁca en su comunidad. UÊ Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.

Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal) Por la suma de sus medidas Complementarios Suplementarios UÊ Triángulos Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos UÊ Propiedades relativas de los triángulos

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Competencias a desarrollar: UÊÊ Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. UÊÊ Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. UÊÊ Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez. UÊÊ Utiliza las tecnologías de la información y la comunicación para procesar e interpretar información. UÊÊ Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

UÊÊ Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. UÊÊ Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. UÊÊ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. UÊÊ Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Matemáticas II

Ángulos Los ángulos y sus medidas, además de ser fundamentales en el estudio de la geometría, desempeñan un papel fundamental ya que se encuentran casi en todos los aspectos de tu vida. Observa a tu alrededor: los movimientos de tu cuerpo, los diseños de las construcciones, las manecillas del reloj, la forma de las canchas de juegos y muchas cosas más. © Gary Blakeley /Shutterstock

Concepto

Definimos un ángulo como la abertura que se forma entre dos segmentos de recta (llamados rayos) que inician en el mismo punto denominado vértice.

Lados o rayos

Vértice

Ángulo

Para designar un ángulo usaremos el símbolo ∠ (que significa “ángulo”), los puntos marcados en cada lado y el vértice. Es importante notar que el nombre de un ángulo, el que indica el vértice, siempre queda entre los puntos que marcan los lados. En la figura siguiente, el ángulo se representa como ∠ABC o ∠CBA y se lee: “ángulo ABC” o “ángulo CBA”. Si deseamos indicar la medida de un ángulo, anteponemos una letra m; así, m∠ABC se lee “la medida del ángulo ABC”. Designamos a los lados del ángulo como AB y BC (la raya encima se lee como “segmento”). A

Otra forma de designar los ángulos es colocar la letra del vértice, ∠B pero debes tener cuidado porque si, como en la siguiente figura, tiene más ángulos con vértices B entonces no puedes usarla.

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

E D C

Una tercera forma de identificar los ángulos es usar letras minúsculas dentro del ángulo.

Observa que la medida de un ángulo es siempre la misma, no importa a qué altura se tome. Por ejemplo, la medida del siguiente ángulo es la misma si se toma desde A hasta B que si se toma desde C hasta D, pues hablamos de la misma abertura entre dos rectas. D B A

Trabaj

equip o

Consolida tus competencias Forma un equipo con dos de tus compañeros y realicen lo que se indica a continuación. H

Escriban cuatro formas distintas de nombrar el ángulo que se presenta. Recuerda que mostrar tolerancia y disposición al trabajo con otros compañeros es un aspecto muy importante para el trabajo colaborativo.

n F

2. 3. 4. De acuerdo con la figura de la derecha: 5. ¿Qué otros nombres pueden utilizar para identificar el ∠ABC?

B 2 C

Matemáticas II

6. ¿Qué otros nombres puede tener el ∠ABD? 7. ¿Qué otro nombre o letra tiene el vértice 2? 8. ¿Cuáles son los lados del ∠1? 9. ¿Cuáles son los lados del ∠2? 10. ¿Cuáles son los lados del ∠C? 11. ¿Cuáles son los lados del ∠B? 12. Si un ángulo de 45° es visto con un aparato que tiene una lente que aumenta nueve veces el tamaño de las cosas, ¿qué medida tendrá el ángulo cuando se vea a través de este aparato? _______________________

Clasiﬁcación de ángulos Los ángulos se clasifican de acuerdo con varios criterios: r Por su abertura (medida). r La suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos). r Su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante). Ahora conoceremos cada una de ellas.

Por su abertura (medida) r Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0º y menos de 90º. Por ejemplo, el soporte del columpio de la figura.

35° O

En la figura, el ángulo que se muestra es agudo porque 35° es mayor que 0° y menor que 90°.

r Ángulo recto: Mide 90°; las rectas que lo forman se llaman perpendiculares (dos líneas perpendiculares se simbolizan con C). Por ejemplo, en la figura se muestra el ángulo de 90° que forman la esquina del piso y una pared de tu salón.

90°

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Un ángulo recto se representa de dos formas, como se muestra en la figura: a) Escribiendo 90° dentro de él. b) Con el símbolo de ángulo recto (un pequeño cuadrito en la esquina) entre los lados.

Ángulo obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º; digamos, el panal de abejas de la figura.

120°

El ángulo en la figura es obtuso porque mide 120°, es mayor que 90° y menor que 180°.

r Ángulo cóncavo: Mide más de 0º y menos de 180º; como el que forma el techo de la casa que se observa en la figura . 150°

Aquí se trata de un ángulo cóncavo porque 150° es mayor que 0° y menor que 180°. Nota que todos los ángulos que hemos definido hasta ahora son cóncavos. r

Ángulo colineal: Mide 180º y cada lado constituye la prolongación de otro. También se denomina ángulo llano y se ve como el que forma un sube y baja.

180°

Ángulo convexo: Mide más de 180º y menos de 360º; observa el ángulo entre la escalera y el descanso que se muestra en la imagen.

210° 0

Matemáticas II

El ángulo de la figura anterior es convexo porque 210° es mayor que 180° y menor que 360°

rr Ángulo de una vuelta: Mide 360º y sus lados coinciden. También se denomina perigonal; digamos, la rueda de la imagen.

360°

En muchas situaciones encontraremos ángulos que forman parejas de acuerdo con su configuración geométrica: r Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, los otros dos lados se sitúan en una y otra partes del lado común. B

Los ∠AOC y ∠BOC son adyacentes.

Esta pareja de ángulos es útil para la siguiente clasificación de ángulos.

Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) r Ángulos complementarios: Dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 90º. C

Si m∠AOB + m∠BOC = 90°, A

entonces ∠AOB y ∠BOC son complementarios.

Observa que los ángulos complementarios forman un ángulo recto. r Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º. B

Si m∠AOB + m∠BOC = 180°, entonces ∠AOB y ∠BOC

son suplementarios.

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Observa que dos ángulos suplementarios forman un ángulo colineal. Además de los ángulos adyacentes, existen situaciones en las que dos ángulos se encuentran uno frente a otro, a partir de su vértice: r Ángulos opuestos por el vértice: Tienen el vértice común y los lados de uno son prolongación de los del otro. En dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios. 110° c

b d

Recuerda que m quiere decir “medida”

70˚

m∠a = m∠c; m∠b = m∠d 70° = 70°; 110° = 110° m∠a + m∠b = m∠b + m∠c = m∠c + m∠d = 180º. 70° + 110° = 110° + 70° = 70° + 110° = 180° Observa que siempre que dos rectas se corten se forman dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. Para resolver los ejercicios y problemas que se presentarán de aquí en adelante, te sugerimos que uses un procedimiento que consta de tres partes ordenadas: r

Parte geométrica

Parte analítica

Conclusión

Ejemplos 1. En la siguiente figura, m∠FGH = 15°, m∠FGJ = 55°. Calcula m∠HGJ. J

H G

Matemáticas II

Solución

r Parte geométrica: 55°

Coloca los datos en el dibujo.

15° G

r Parte analítica: Observa que debemos buscar un número que, sumado con 15°, nos dé cómo resultado 55°: x + 15° = 55° Resolviendo:

x = 55° – 15° 55°

x = 40°

40°

Conclusión

15°

m∠HGJ = 40°

2. Calcula el valor de x y de cada ángulo en la figura, si m∠AOD = x + 10° y m∠BOC = 45°: B

A O D

Solución r Parte geométrica: B

A 45°

x + 10° O D

r Parte analítica: Observa que los ∠AOD y ∠BOC son ángulos opuestos por el vértice, esto quiere decir que sus medidas son iguales, por lo que podemos formular: x + 10° = 45° Resolviendo: x = 45° – 10° x = 35°

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Entonces ∠DOA = 45° Además, observa que ∠COB y ∠BOA son suplementarios por lo que su suma es 180°. ∠COB + ∠BOA = 180° 45° + ∠BOA = 180° ∠BOA = 180° – 45° ∠BOA = 135° Como ∠BOA y ∠DOC son opuestos por el vértice, entonces sus medidas son iguales.

Conclusión El ∠AOD = ∠BOC = 45° El ∠AOB = ∠DOC = 135° A

B 135° 45°

45°

O 135°

3. Ahora veamos un ejemplo de aplicación. Felipe construye dos rampas para patineta como las de la imagen. Si coloca una sobre la otra éstas tendrán los siguientes ángulos de elevación: la m∠BAC = 12°, la m∠CAD = 4x y la m∠BAD = 68°. ¿Podrías ayudarle a encontrar el valor de x y la elevación de las rampas?

Solución

r Parte geométrica:

68° 4x C A

12°

Matemáticas II

r Parte analítica: 12° + 4x = 68° Resolviendo: x=

(68° – 12°) 4 x = 14°

Conclusión Las elevaciones de las rampas deben ser de 12° y 56°.

Resulta de multiplicar 14 por 4 (ya que es 4x)

68° 56° 12°

Consolida tus competencias Trabaj

individua l

En cada uno de los siguientes ejercicios calcula las medidas para el ángulo y en grados (utiliza los espacios disponibles). 1. y° 45°

m∠y = ____________________ 2. y° 70°

m∠y = ____________________

3. 45°

y°

m∠y = ____________________

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

y°

4. 50°

m∠y = ____________________

5. 20° y° 10°

m∠y = ____________________

6. Calcula la medida del ∠SOT en la siguiente figura, si m∠ROT = 25°. T

En cada uno de los siguientes ejercicios calcula el valor de g y de cada ángulo faltante. Utiliza los espacios disponibles para hacer tus operaciones. E

7. AO ⊥ EO

m∠AOB = 15°

C B

m∠BOC = 2g m∠COD = 10°

m∠DOE = 15°

8. m∠FOJ = 88°

m∠FOG = 15° m∠GOH = 25°

G F

m∠HOJ = 4g M

9. m∠KOL = 45° m∠LOM = 5g m∠MON = 50°

O R

10. m∠QOS = 90°

m∠QOR = 24° m∠POQ = 2g m∠SOT = 40°

Matemáticas II

11. m∠COD = 55°

m∠AOC = 2g + 15 O

B E F

12. m∠KLH = 75°

m∠FLH = g m∠JMH =

g 5

M J H

Por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante) Dos rectas paralelas cortadas por una secante (o transversal) forman los siguientes ángulos: Transversal

l1 l2 a b c d e f g h

l1 l2

Esto quiere decir “es paralelo a”

Por su posición, podemos clasificar estos ángulos en externos e internos, y a su vez en alternos externos, alternos internos, correspondientes, colaterales internos y colaterales externos. Veamos cada uno. r Ángulos externos: Quedan fuera de las rectas paralelas. ∠a y ∠b son ángulos externos

a b c d e f g h

∠g y ∠h también lo son

a b c d

r Ángulos internos: Quedan entre las rectas paralelas. ∠c y ∠d son ángulos internos ∠e y ∠f también lo son

e f g h

Bloque I

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

9. El perímetro de la cruz mide 36 unidades. ¿Cuál es el área del cuadrado? a) 36

b) 63

c) 72

d) 81

10. Un cuadrado tiene un área de 225 unidades cuadradas; si cada lado de éste se aumenta en 7 unidades, ¿cuál es el área en unidades cuadradas del nuevo cuadrado? a) 232

b) 274

c) 484

d) 1 575

Bloque Vl Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

Sistema sexagesimal y circular

Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos

Cálculo de valores de las funciones trigonométricas de 30º, 45º, 60º y sus múltiplos

Resolución de triángulos R rectángulos

BLOQUE V I Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Propósito: Que el (la) estudiante identiﬁque diferentes sistemas de medida de ángulos y describa las razones trigonométricas para ángulos agudos: Finalmente, que aplique las razones trigonométricas en ejercicios teórico prácticos.

Desempeños del estudiante Objetos de aprendizaje: al concluir el bloque: UÊ Funciones trigonométricas UÊ Identiﬁca diferentes sistemas de medidas de ángulos. UÊ Describe las razones trigonométricas para ángulos agudos. UÊ Aplica las razones trigonométricas en ejercicios teórico prácticos.

UÊ Sistema sexagesimal y circular UÊ Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulso agudos. UÊ Cálculo de los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos.

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

153

Competencias a desarrollar: UÊ Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. UÊ Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. UÊ Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. UÊ Utiliza las tecnologías de la información y la comunicación para procesar e interpretar información. UÊ Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

UÊ Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. UÊ Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. UÊ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. UÊ Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

154

Matemáticas II

Sistema sexagesimal y circular Antes que otra cosa debemos comentarte que el origen de la palabra trigonometría proviene del griego y es la composición de las palabras trigonon: triángulo y metron: medida; entonces, trigonometría quiere decir “medida de los triángulos”. Hasta aquí hemos medido los ángulos utilizando sólo grados sexagesimales. Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto, y se denota con 1°. Esto significa que un ángulo recto tiene 90° y que el ángulo completo cuyo arco es toda la circunferencia tiene 360°. Además, recordemos que en el sistema sexagesimal (base 60) tenemos las siguientes equivalencias: 1 grado son 60 minutos. Se escribe: 1° = 60' 1 minuto son 60 segundos. Se escribe: 1' = 60'' Podemos medir un ángulo con precisión en grados, minutos y segundos. Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes que pertenecen al sistema circular. Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados intersecan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. Por lo que concluimos que ambas son unidades de medida de ángulos. Gráficamente:

Radián r

La longitud de la circunferencia = 2π (radianes) y se entiende que forma un ángulo de 360º, de donde: π radianes = 180º Despejando: 180 1 radián = p = 57.296º = 57º17’45” p 1º = = 0.017453 radianes aprox. 180 Considerando p = 3.141592… Un proceso muy útil es la conversión o expresión de grados sexagesimales a radianes y viceversa. Ilustremos esto con algunos ejemplos.

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

155

Ejemplos 1. Convierte 60° sexagesimales a radianes.

Solución Aplicando una regla de tres: 1º 60° 60° =

60°, o bien, 1.0472 rad

p radianes 180 x radianes

rad

60 p p se le saca sesentava 60° = radianes 180° 3

Conclusión

60° = 1.047 radianes p 60° = radianes 3

2. Convierte 45º sexagesimales a radianes.

Solución 1º 45° 45°=

p radianes 180 x radianes

45° 0.78 rad

45p p radianes = radianes = 0.78 radianes 4 180

Conclusión 45° = 0.78 radianes, o bien,

p rad 4

3. Convierte 90º sexagesimales a radianes.

Solución 90° =

90° p p = = 1.5708 rad 180 2

4. Convierte 180º sexagesimales a radianes.

Solución 180° =

180 p = = 3.1416 radianes 180 1

156

Matemáticas II

5. Convierte 360º sexagesimales a radianes.

Solución 360° =

360°p = 6.2832 radianes 180

p 6. Convierte 6 = rad a grados sexagesimales.

Solución Aplicando una regla de tres: 180 grados sexagesimales p x grados sexagesimales

1 rad p rad 6

x grados sexagesimales

Conclusión

180 p ( rad )( ) p 6 1 rad p

rad

30 º

rad o 30º

30°

7. Convierte 62° 5' 25'' sexagesimales a radianes.

Solución Lo primero que tenemos que hacer es convertir los segundos a minutos y sumarlos a los minutos ya existentes, a continuación convertir los minutos a grados y sumarlos a los existentes (utilizamos la regla de tres). 1' x' x=

25'' 1' 60'

60'' 25''

= 0.416’ entonces, 62°5' 25'' = 62° 5.416' 1° x°

60' 5.416'

5.416' 1°

= 0.09026° entonces, 62° 5.416' = 62.09026° 60' Ahora, procedemos a encontrar la equivalencia de estos 62.09026° a radianes: p radianes x

3.1416 62.09026 180

180° 62.09026°

= 1.0836 rad

Conclusión Los 62° 5' 25'' equivalen a 1.0836 radianes.

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

157

8. Convierte 5 radianes a grados, minutos y segundos.

Solución Aplicando una regla de tres: 1 rad

180 grados sexagesimales p

5 rad

x grados sexagesimales

x grados sexagesimales =

180 ) p =286.4782° 1 rad

( 5 rad )(

Ahora convertimos a minutos los 0.4782° (utilizamos la regla de tres) 1° 0.4782° x=

0.4782 60° 1°

60' x

= 28.692° entonces, 286.4782° = 286° 28.692

Ahora convertimos a segundos los 0.692' (utilizamos una regla de tres) ␲ 2

3␲ 4

90°

60°

45°

135°

␲

␲ 3 ␲ 4 30° 0° 360°

180°

225°

x ␲ 6

270°

3␲ 2

Conclusión 5 radianes equivalen a 286° 28' 41''

2␲

315°

5␲ 4

0.692' 60 ''

1' 60'' 0.692' x 41.52'' entonces, 286.4782 = 286° 28' 41''

La gráfica nos muestra algunos ángulos marcados en un círculo unitario tanto en grados sexagesimales como en radianes.

7␲ 4

Trabaj

equip o

Consolida tus competencias 1. En equipo, discutan cuál es otra forma de escribir el siguiente ángulo. Escriban aquí sus conclusiones:

35°

158

Matemáticas II

2. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos. Utiliza los espacios disponibles. a) 210°

e) 42° 45'

b) 160°

f) 45° 25' 55''

c) 25° 30'

g) 115°

d) 650°

h) 89° 42' 39''

3. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes:

p rad 5 1 rad b) 5

c) 3 rad d) 3p rad

5p rad 7 5 f) rad 7 11p rad g) 9 11 h) rad 9 e)

4. Expresa en grados, minutos y segundos cada uno de los ángulos siguientes:

p rad 5 1 b) rad 5

c) 3 rad d) 3p rad

5p rad 7 5 f) rad 7 11p g) rad 9 11 rad h) 9 e)

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

159

Funciones trigonométricas directas y recíprocas Una función es una razón directa entre dos cantidades, en este caso esas cantidades son los lados de un triángulo, si nos basamos en un triángulo rectángulo, respecto del ángulo. Tendríamos que: X y

z = hipotenusa

y = cateto opuesto Z

x = cateto adyacente

Decimos, entonces, que las funciones que se forman son las razones (divisiones) que existen entre x y y, entre x y z, o bien entre y y z; por ejemplo, tenemos que hay relaciones a las que se llama funciones directas: y r Seno: es la división del cateto opuesto entre la hipotenusa, sen Y = . z r Coseno: es la división del cateto adyacente entre la hipotenusa, x cos Y = . z r Tangente: es la división del cateto opuesto entre el cateto adyacente, y tan Y = . x Pero también existen otras relaciones a las que se conoce como funciones recíprocas y son: r Cosecante: es la división entre la hipotenusa y el cateto opuesto, z csc Y = . y r Secante: es la división entre la hipotenusa y el cateto adyacente, z sec Y = . x r Cotangente: Es la división entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, cot Y =

x . y

160

Matemáticas II

Consolida tus competencias Trabaj

individua l

En el espacio en blanco y con la ayuda de tu profesor(a) y tus compañeros, define las funciones trigonométricas para el ángulo X de la figura siguiente. X y

Observa que los ángulos X y Y del triángulo anterior son complementarios (es decir, suman 90°), y que además: El seno del ángulo X es igual al coseno del ángulo Y y viceversa: sen X = cos Y sen Y = cos X La tangente del ángulo X es igual a la cotangente del ángulo Y y viceversa: tan X = cot Y tan Y = cot X La secante del ángulo X es igual a la cosecante del ángulo Y y viceversa: sec X = csc Y sec Y = csc X

Bloque VI

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

161

Las razones trigonométricas seno y cosecante del mismo ángulo son recíprocas entre sí; al igual que el coseno y la secante; la tangente y la cotangente. Es decir, respecto al triángulo rectángulo XYZ anterior, tenemos: (sen Y) (csc Y) =

y z ( ) =1 z y

(cos Y) (sec Y) =

x z ( )=1 z x

(tan Y) (cot Y) =

y x ( )=1 x y

Observa que el hecho de que sean recíprocas quiere decir que sus componentes se invierten; en otras palabras, lo que tenemos como numerador en una se convierte en denominador en la otra y viceversa. Ahora haremos algunos cálculos de funciones directas y recíprocas. Como último detalle: op tan Y =

sen Y cos Y

hip ad

op ady

hip Análogamente, la cotangente de Y es el coseno de Y entre el seno de Y.

Relación fundamental de la trigonometría Teniendo en cuenta un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 1, si aplicamos el teorema de Pitágoras, se debe cumplir la que se conoce como relación fundamental de la trigonometría: sen2 ␣ + cos2 ␣ = 1 Mostremos cómo funciona esta relación: r Parte geométrica:

Hipotenusa Cateto opuesto α Cateto adyacente

r Parte analítica: A partir de la misma relación y sustituyendo su valor:

Campo matemático

Matemáticas II, segunda edición, es un texto que se basa en el enfoque por competencias y cubre la orientación curricular de la Direccion General de Bachillerato. Está integrado por 10 bloques que corresponden al Programa de Estudios de Matemáticas II, de la Reforma Integral: • Bloque I. Utilizas triángulos, ángulos y relaciones métricas • Bloque II. Comprendes la congruencia de triángulos • Bloque III. Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras • Bloque IV. Reconoces las propiedades de los polígonos • Bloque V. Reconoces las propiedades de la circunferencia • Bloque VI. Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos • Bloque VII. Aplicas funciones trigonométricas • Bloque VIII. Aplicas las leyes de los senos y cosenos • Bloque IX. Aplicas la estadística elemental • Bloque X. Empleas los conceptos elementales de probabilidad Cada bloque está estructurado de acuerdo con una estrategia didáctica que permite que los estudiantes desarrollen y practiquen los saberes aprendidos, con abundancia de ejemplos y ejercicios que serán útiles para que el aprendizaje se convierta en herramientas que puedan aplicarse en situaciones de la vida diaria.

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