9786074817256 Matemáticas IV Con Enfoque en Competencias. 2a. Ed. Patricia Ibáñez. Cengage

Matemáticas IV Segunda edición

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres

Cuarto semestre

Matemáticas IV Segunda edición Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres

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Matemáticas IV Segunda edición Patricia Ibáñez Carrasco/ Gerardo García Torres Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Gerente editorial para Latinoamérica: Patricia La Rosa Gerente de procesos para Latinoamérica: Claudia Islas Licona Gerente de manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Coordinadora de producción editorial: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Editores: Pablo Miguel Guerrero Timoteo Eliosa García

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Datos para catalogación bibliográfica: Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres Matemáticas IV, Segunda edición ISBN: 978-607-481-725-6

Diseño de portada: Estudio 2.0 Imagen de portada: Dreamstime Composición tipográfica: Ediciones OVA

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

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Presentación institucional

Q

v

Contenido general Presentación institucional Presentación

xii xviii

Bloque I. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones 2 “En dónde se usa”

4

Para agilizar tu cerebro

5

Mi competencia inicial

6

Problemas integradores

7

Comprende la diferencia entre relaciones y funciones: Enuncia las características de una relación y de una función Identifica el dominio y el rango de una función Representa y resuelve funciones de formas distintas y equivalentes Clasifica las funciones como: • Algebraicas y trascendentales • Continuas y discontinuas • Uno-uno, sobre y biunívocas Resuelve operaciones con funciones

9 18 26

34 39

Mi competencia final

45

Evaluación de las competencias

46

Carrera a la universidad

51

v

vi

Q

Matemáticas IV

Bloque II. Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas 54 “En dónde se usa”

56

Para agilizar tu cerebro

56

Mi competencia inicial

57

Problemas integradores

59

Reconoce las características de funciones que son inversas de otras Describe en forma geométrica y algebraica la inversa de una función Reconoce las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas Aplica translaciones verticales y horizontales o reflexiones sobre los ejes o sobre la recta x = y, a gráficas de funciones

61 62 67 73

Mi competencia final

81

Evaluación de las competencias

83

Carrera a la universidad

88

Bloque III. Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

90

“En dónde se usa”

92

Para agilizar tu cerebro

93

Mi competencia inicial

94

Problemas integradores

95

Caracteriza las funciones polinomiales en una variable Describe las características algebraicas y gráficas de las funciones polinomiales de grado cero Define las funciones polinomiales de grado uno y las particularidades de los modelos lineales

97 102 105

Contenido general

Define las funciones polinomiales de grado dos y las particularidades de los modelos cuadráticos

Q

vii

119

Mi competencia final

142

Evaluación de las competencias

143

Carrera a la universidad

147

Bloque IV. Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

150

“En dónde se usa”

152

Para agilizar tu cerebro

153

Mi competencia inicial

154

Problemas integradores

155

Caracteriza el comportamiento general, algebraico y gráfico, de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro Soluciona ecuaciones factorizables

157 167

Mi competencia final

171

Evaluación de las competencias

172

Carrera a la universidad

176

Bloque V. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

178

“En dónde se usa”

180

Para agilizar tu cerebro

181

Mi competencia inicial

182

Problemas integradores

183

Obtiene el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x – a, valiéndose del teorema del residuo

185

viii

Q

Matemáticas IV

Identifica si un binomio de la forma x – a, es factor de un polinomio, valiéndose del teorema del factor Comprende el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x – a Describe la prueba del cero racional y define los teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal. Además reconoce los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables

189 192

195

Mi competencia final

202

Evaluación de las competencias

203

Carrera a la universidad

207

Bloque VI. Aplicas funciones racionales

210

“En dónde se usa”

212

Para agilizar tu cerebro

213

Mi competencia inicial

214

Problemas integradores

215

Define los componentes polinomiales de una función racional Identifica las posibles asíntotas de funciones racionales (horizontales, verticales, oblicuas)

217 222

Mi competencia final

237

Evaluación de las competencias

238

Carrera a la universidad

242

Bloque VII. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

244

“En dónde se usa”

246

Para agilizar tu cerebro

247

Mi competencia inicial

248

Problemas integradores

249

Contenido general

Identifica la forma de las funciones exponenciales (crecientes, decrecientes) Variación exponencial Tasa y factor de crecimiento Reconoce la función exponencial natural (número e, crecimiento o decrecimiento en base e) Interpreta algebraica y gráficamente a la función logarítmica como la inversa de la función exponencial Identifica las propiedades de los logaritmos (inherentes a su definición, operativas) Comprende las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Q

ix

251 258 259 261 266 270 273

Mi competencia final

278

Evaluación de las competencias

279

Carrera a la universidad

283

Bloque VIII. Aplicas funciones periódicas

286

“En dónde se usa”

288

Para agilizar tu cerebro

289

Mi competencia inicial

290

Problemas integradores

291

Comprende las funciones senoidales: y = A sen Bx + C y = A cos Bx + C Define la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de una función senoidal Reconoce e interpreta la gráfica de una función senoidal

293 298 305

Mi competencia final

311

Evaluación de las competencias

312

Carrera a la universidad

316

Soluciones a los problemas integradores

319

Matemรกticas IV

BLOQUE I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Unidades de competencia: 1. Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

2. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

3. Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Objetos de aprendizaje Funciones Relaciones Dominio

Contradominio Imagen Regla de correspondencia

Competencias a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

3. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

4. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

5. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

6. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

7. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

8. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

9. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

10. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

4

Q

Matemáticas IV

“En dónde se usa” Las funciones tienen su aplicación prácticamente en todos los ámbitos de nuestra vida, quizá no te hayas dado cuenta pero todo en nuestra realidad está en relación o en función a otra cosa.

Por ejemplo, piensa en la lluvia, ésta se encuentra en función de la cantidad de evaporación que exista en la atmósfera. Ahora imaginemos a las flores de primavera que están en función de la cantidad de lluvia y así sucesivamente. Pero no sólo se encuentran ahí las funciones; podemos hablar también de la cantidad de gusto que tienes por las matemáticas que está en función de los maestros que has tenido anteriormente. Una tarde de cine con los amigos depende del permiso de tus padres. El tiempo que tengas para dormir dependerá de la cantidad de trabajo que tienes en la escuela, etc.

Si te fijas puedes encontrar infinidad de ejemplos, ya sea en la naturaleza o en la vida de la gran urbe, todo está siempre en relación a algo o a alguien. Empecemos con el estudio de las funciones y hagamos de éstas nuestras mejores aliadas en el uso de las matemáticas.

Las relaciones son el primer paso para introducirte a las funciones. Si entiendes lo que implica una relación entonces no tendrás problemas para diferenciar aquellas relaciones que son funciones, pues esa es una premisa fundamental, todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Así como lo oyes, te encontrarás con infinidad de relaciones, pero sólo una parte de ellas son funciones.

f A a b c

Precipitación

Condensación

Evaporación

B 1 2 3 5

d

7

e

9

f

15

En esta unidad aprenderás qué es una relación, cómo se denota y cuáles son los elementos que se encuentran íntimamente ligados a cada uno de ellos, además también sabrás diferenciar aquellas relaciones que al final de cuentas son funciones y cuáles son las características que las hacen tan especiales.

Para agilizar tu cerebro 1. La reina Victoria de Inglaterra guarda sus joyas más preciadas en un joyero en forma de caja con tapa corrediza. Para disuadir a los ladrones, dentro de la caja hay una serpiente viva cuya mordedura es letal.

Un día, una persona de la servidumbre se quedó sola durante unos pocos minutos en la estancia donde estaban las joyas, y fue capaz de robar unos cuantos diamantes de enorme valor, sin sacar la serpiente de la caja, y sin tocar ni influir en la serpiente de ninguna forma. Tampoco tuvo que hacer nada para protegerse las manos. Empleó tan sólo unos cuantos segundos en el robo. Cuando el sirviente salió de la habitación, el joyero en forma de caja y la serpiente se encontraban exactamente en el mismo estado que antes, salvo por los diamantes robados. ¿De qué ingenioso método se valió el sirviente?

2. Dana, una exitosa empresaria, salió en un viaje de negocios relámpago. Queriendo sorprender a su padre, un afamado maestro de matemáticas, lo llama por teléfono preguntándole: ¿Papá dónde crees que estoy en Canadá o en Argentina? Su padre astutamente le pide que valla al lavamanos y abra la llave y que le diga en qué sentido gira el agua. Con esta respuesta el maestro supo dónde estaba. ¿Por qué crees que lo adivina?

3. Un preso intenta escapar de una prisión en las Islas Marías por la ventana de una torre que está a 50 metros de altura. Sólo dispone de una cuerda muy resistente de aproximadamente 25 metros. Si ata la cuerda a los barrotes de la ventana, se desliza 25 metros y después salta los restantes 25 metros se haría puré. Entonces, dividió la cuerda en dos, hizo un nudo con ambas mitades y consiguió su propósito. ¿Cómo crees que lo pudo hacer?

4. El profesor de Física pretende medir el tiempo de caída de un pequeño objeto, soltándolo libremente desde un elevador de la Torre Latinoamericana que se mueve hacia arriba. A la altura del quinto piso y tras dejarlo caer, el pequeño objeto queda flotando a unos cuantos centímetros del profesor. ¿Cuál fue la explicación que encontró el profesor para tan extraordinario suceso?

5. Miguel Ángel, después de escribir en una hoja de papel una larga fila de cifras (40 o 50) dice que puede repetirla, sin equivocarse, cifra a cifra. Y, en efecto lo hace, a pesar de que en la sucesión de cifras no se nota ninguna regularidad, ni tampoco mira el papel. ¿Cómo puede hacer esto?

6

Q

Matemáticas IV

Mi competencia inicial Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________

Lugar y Fecha:_________________________ Grupo:___________ Núm. Lista:_________ Resuelve los siguientes problemas: 1. Si A = {2, 3, 4} y B = {–1, –2, –3, –4} calcula el producto cartesiano A × B.

2. Expresa la siguiente relación como una tabla de valores, un diagrama sagital, parejas ordenadas y una gráfica: y = x 2.

3. Encuentra el dominio y el rango de f (x) =

1 . x − 1

4. Describe la siguiente función de acuerdo a los criterios de clasificación: f (x) =

5. Dadas las funciones f (x) = x 2 + 4x – 6 y g(x) = x + 2. Calcula: a) f + g b) f – g c) f × g d)

f g

e) f ° g f) g ° f

x + 1 . x

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Problemas integradores Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________

Lugar y Fecha:_________________________ Grupo:___________ Núm. Lista:_________ Los siguientes ejercicios están relacionados con el cálculo de límites: 1. Para f (x) = 2x2 – x, encuentra y simplifica: a) f (4)

b) f (4 + h)

c) f (4 + h) – f (4)

d)

f (4 + h) f (4) h

2. Para j( x ) = a)

3 , encuentra y simplifica: x

j(3 + h) j(3) h

Q

7

8

Q

Matemáticas IV

b)

j (a + h) j (a) h

3. Si f(x) =

x + 2 y g(x) = x2, calcula (g ° f ) y su dominio.

4. Sean f(x) = x2 − x y g(x) = x + 2. Encuentra las funciones compuestas: a) (f ° g)(x)

b) (g ° f )(x) y sus dominios

5. En el Polo Norte, los osos polares se alimentan de focas y las focas de peces. Supongamos que el tamaño de la población de osos es una función o(n) del número n de focas en su territorio, y el número de focas es una función f(x) de la cantidad x de peces en el mar. Expresa el tamaño de la población de osos como una función de la cantidad de focas, si o(n) = 20 +

n 100

y

f (x) = x + 8

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Q

9

Comprende la diferencia entre relaciones y funciones: Enuncia las características de una relación y de una función En binas, escribe todas las posibles combinaciones de las colecciones de objetos siguientes:

MATEMÁTICOS DE LA ANTIGÜEDAD: Thales de Mileto (640 a.C.-560 a.C.) Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.

Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

a) Camisas = {Blanca, Azul, Amarilla, Café} Pantalones = {Negro, Azul Marino, Marrón, Blanco} b) A = {1, 2, 3, 4} B = {a, b, c} Lo que has hecho es obtener las parejas que se forman con dos conjuntos. Esto nos lleva a una definición:

Un conjunto es una colección de objetos que comparten una característica.

Esta definición será útil a lo largo del libro. Iniciemos hablando de lo que son las relaciones y una de las formas más comunes de representarlas: Las parejas ordenadas o pares ordenados. Ya nos imaginamos lo que estás pensando, pero no te alarmes, mira, te lo vamos a explicar de manera muy fácil.

Ejemplo Supón que Danaé tiene 3 tipos de blusas y 4 tipos de faldas en su tienda y las ordena enumeradas de acuerdo a las siguientes claves: 1. Blusa rosa

1. Falda verde

2. Blusa azul

2. Falda amarilla

3. Blusa blanca

3. Falda azul 4. Falda negra

Danaé se dedica a hacer combinaciones de estas prendas para ofrecerlas como uniformes escolares. El método de Danaé consiste en formar parejas con las claves

10

Q

Matemáticas IV

y presentarlo a las escuelas para que las pidan con esos números y en ese orden.

Se propone que el primer número identifique la blusa y el segundo a la falda. Si llamamos B al conjunto de las blusas y F al conjunto de las faldas, entonces: B = {1, 2, 3} y F = {1, 2, 3, 4} Seleccionando un elemento de cada conjunto obtenemos parejas de elementos que indican qué blusa y qué falda se han seleccionado. Así, 2 y 1 indican blusa azul y falda verde, 3 y 4 corresponde a blusa blanca y falda negra, 1 y 2 indican blusa rosa y falda amarilla, etc. En total son 12 uniformes distintos.

Una forma de encontrar todas las posibles combinaciones es la siguiente: Blusa

Falda Parejas ordenadas

1

1

(1, 1)

2

(1, 2)

3

(1, 3)

4

(1, 4)

Faltarían las combinaciones de las blusas 2 y 3 con todas las faldas, eso te lo dejamos como ejercicio, así que, realiza la lista completa.

Esta forma de trabajar se llama Diagrama de árbol y es muy útil para encontrar las combinaciones posibles entre dos conjuntos.

Observa que en estos pares de números el orden de los elementos es importante.

En cada uniforme, el primer número representa a la blusa y el segundo a la falda.

Estas parejas se llaman Parejas ordenadas o Pares ordenados.

Las parejas ordenadas tienen dos elementos, uno de ellos ocupa el primer lugar y otro el segundo, y si se cambian de lugar el sentido varía.

Las parejas ordenadas se representan encerrando sus elementos entre paréntesis.

Observa que si cambias los números en la blusa y la falda, no quiere decir lo mismo, o sea, 3 y 4 quiere decir blusa blanca con falda negra, pero 4 y 3 no tiene sentido ya que no hay una cuarta blusa. En general, las parejas ordenadas cumplen que: (a, b) ≠ (b, a) y (a, b) = (b, a) si y sólo si a = b Otra forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas entre dos conjuntos es por medio del Producto cartesiano, procedimiento muy parecido al que empleaste en el ejercicio introductorio al tema. Éste se representa A × B y se define como:

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Q

11

Dado un conjunto A y un conjunto B, entonces A × B es la colección de todas las relaciones (combinaciones) de los elementos de A con los elementos de B.

Observa que si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 4 elementos entonces el conjunto A × B tiene 12 que es 3 × 4 elementos, que pueden ser representados en un plano cartesiano, colocando en el eje de las abscisas a los elementos del primer conjunto y en el eje de las ordenadas a los elementos del segundo conjunto; de ahí la razón de llamarlo Producto cartesiano.

Relaciones Una manera de identificar las relaciones que se establecen entre un conjunto A en un conjunto B es con la ayuda del producto cartesiano A × B y después tomamos algunas parejas, éste sin embargo casi nunca da buenos resultados, así que decidimos que es mejor establecer un criterio de selección que permita observar algunas propiedades en la relación.

En la mayoría de los casos, hablaremos de relaciones binarias, en donde la relación se da entre dos conjuntos. Un ejemplo de tal relación ocurre en tu salón, pongámosle el nombre E, y es la que ocurre entre alumnos y sillas, en donde un alumno a y una silla s están “E-relacionados” si y sólo si a está sentado en s.

Diremos que E es una relación entre los conjuntos A y S (conjuntos de todos los alumnos de tu salón y todos las sillas, respectivamente).

Lo anterior sugiere que la relación E es un conjunto de parejas ordenadas. En nuestro caso, conocer la relación E consiste en conocer dos cosas: 1. Los dos conjuntos entre los cuales se da la relación en este caso, A y S. 2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación E. Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relación E por sí sola nos da la información esencial de la relación. Así que convertimos a E en el conjunto de parejas relacionadas que teníamos en mente. Esto se observa mejor en un diagrama sagital: A

B

a

1

b

2

c

3

d

4 E = {(a, 1), (d, 1), (b, 2), (d, 3)}

12

Q

Matemáticas IV

Observa que E es sólo una parte de todas las posibles combinaciones (producto cartesiano) de A × B, es decir es un subconjunto de este último: E⊆A×B Veamos una relación matemática: ser el doble de…

Sea D la relación entre números reales: ser el doble de. Veamos algunas características de esta relación: • Sabemos que para todo x, (x, x) no pertenece a D, pues ningún número es su propio doble.

• Además si (x, y) pertenecen a D entonces (y, x) no pertenece a D. Observamos entonces que el concepto de relación no es simétrico, de modo que al referirnos a los objetos que se relacionan, importa el orden en que se mencionan. Claro que existen relaciones simétricas, como por ejemplo el valor absoluto para números positivos.

Entonces la relación D se representa así:

A

B

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

6

12

7

14

D = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)…} Entonces una relación se define como:

Regla de asociación o correspondencia entre dos conjuntos.

Y hemos visto que se puede obtener de cuatro maneras distintas: 1. Mediante un producto cartesiano 2. Mediante un diagrama de árbol 3. Mediante un diagrama sagital 4. Mediante un criterio de selección o regla de asociación Recuerda que esto se retoma adelante.

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Q

13

Funciones Explicaremos esto con un ejemplo muy sencillo:

Ejemplo Supongamos que A es el conjunto de alumnos de tu salón de clases y P es un subconjunto de los números reales. Una manera de relacionarlos es asignar a cada estudiante su peso en kilogramos. El conjunto formado por todas las parejas cuyas primera y segunda componentes son el alumno y su peso respectivamente, es un subconjunto del producto cartesiano A × P. Tenemos entonces que es una relación del conjunto A en el conjunto P. Analicemos las características de esta relación.

• Cada estudiante aparece como primera componente de una pareja por lo menos una vez; o sea aparece en la pareja cuya primera componente es él y cuya segunda componente es su peso.

• Además esta es la única pareja en la cual el estudiante aparece como primera componente, cada estudiante tiene únicamente un peso. Así cada elemento de A está relacionado con uno y solamente un elemento de P.

A

P

Juan

56

Pedro

54.5

Anita

48.5

Ceci

58

Beto

60.5

Una relación de un conjunto X en un conjunto Y que satisfaga esta condición se llama función y la definimos como:

Una función ƒ de un conjunto X en un conjunto Y es una relación entre éstos que cumple la condición de que cada elemento de X está relacionado con uno y solamente uno de Y. Además una función describe la manera en que el valor de una incógnita depende de otra.

14

Matemáticas IV

Q

Ejemplo X

Y

1

A

2

B

3

C

4

F

5

R

6 f (x) = {(1, A), (2, B), (3, C), (4, F), (5, R), (6, C)} Observa que una función se denota como f (x) y generalmente es igual a y, es decir: f (x) = y Una regla de asociación se puede escribir como una función o viceversa. Ejemplos: 1. Si la regla de asociación es “el cuadrado de un número más tres”, entonces la función que la representa es: f (x) = x2 + 3 2. Si la regla de asociación es “el triple de un número menos seis” entonces la función que la representa es: f (x) = 3x – 6 3. Ahora si la función es f (x) = 2x , entonces la regla de asociación es “el doble de un número” 4. Si la función es f (x) = x3 – 9, entonces la regla de asociación es “el cubo de un número menos nueve” Como ves es fácil hacer esto, sólo es cuestión de recordar un poco de lo que viste en Matemáticas I sobre lenguaje algebraico. Ahora te proponemos algunos ejercicios.

Desarrolla tu competencia Trabaj

individua

l

o

1. Escribe el producto cartesiano A × B, si A = {matemáticas, física, química, historia}, B = {inglés, español, civismo} 2. Escribe el producto cartesiano C × D, si C = {x, y, z} y D = {1, 2, 3, 4, 5} 3. Escribe el producto cartesiano E × E, si E = {María, Pedro, Gerardo, Patricia}

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Q

15

Establece la regla de asociación entre los siguientes conjuntos de números: 4. A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}, B = {–10, –5, 0, 5, 10, 15} 5. C = {–10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}, D = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 6. E = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}, F = {14, 7, 2, –1, –2, –1, 2, 7, 14} 7. G = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, H = {–27, –8, –1, 0, 1, 8, 27} 8. I = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, J = {–30, –11, –4, –3, – 2, 5, 24} Identifica cuáles de las siguientes relaciones son funciones:

9.

10.

2

3

1

9

3

6

Japón

Europa

Italia

América

Cuba

Asia

Canadá

África

Japón Italia 11.

Cuba Canadá Namibia

12.

Europa América Asia África

Frijol

Cereal

Avena

Fruta

Naranja

Leguminosa

Lechuga

Verdura

Apio

Cítrico

16

Q

Matemáticas IV

13.

Tlaxcala

Sinaloa

Jalapa

Tamaulipas

Puebla

Tlaxcala

Tampico

Veracruz

Culiacán

Puebla

Ana

14.

Pedro

María

Axel

Paty

Andrés

Luis

Gael

Ceci

Escribe la función representada por cada una de las siguientes reglas de asociación.

15. El doble de un número: __________________________________________ 16. El triple de un número: __________________________________________ 17. El doble del cuadrado de un número menos ocho: _____________________ 18. La mitad de un número más cinco: _________________________________ 19. La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado más tres: ___________ Expresa la función como una regla de asociación: x 20. f (x) = – 8: ___________________________________________________ 4 21. r (x) = 5x3 + 6: ________________________________________________ 22. s( x ) = 6 x + 9 : ________________________________________________ 23. En un pequeño teatro hay 7 filas numeradas del 1 al 7, cada fila tiene 8 asientos numerados del 1 al 8. Escribe las parejas ordenadas (fila, asiento) para las filas impares y asientos pares.

24. María vende helados a $5 cada uno. Escribe las parejas ordenadas que indican el número de helados vendidos y lo que María recibe cuando sus ventas han sido de 5, 10, 15, 20 y 35 helados por día.

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Q

17

25. Calcula T × S y S × T, si S = {1, 2, 3, 4} y T = {x ∈ Z –4 ≤ x ≤ 5} (esto quiere decir los números enteros que están entre –4 y 5 incluyendo a éstos).

Identifica las dos magnitudes (variables) que se están relacionando en las siguientes expresiones.

26. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado: ____________ y _______________ 27. El tiempo que tarda un móvil en recorrer una distancia depende de su velocidad: ____________________ y ____________________ 28. El perímetro del círculo depende de su radio:_______________________ y _________________________________ 29. El cuadrado de un número real:________________ y ______________ 30. Si durante 5 horas se mantiene una velocidad uniforme de 85 km/h, ¿cuáles son las parejas ordenadas formadas por horas y distancia recorrida?

31. La compañía telefónica “García e Hijos” tiene el costo de una llamada en $1.50 por las primeras 30 que se hagan en una semana y $2.00 por llamada adicional. ¿Cuáles son las parejas ordenadas que asocian el costo por llamada a 25, 34, 42, 50 y 60 llamadas en una semana?

Escribe la expresión algebraica de las siguientes funciones.

32. El perímetro p de un rectángulo es 2 veces el largo l más 2 veces el ancho a.

33. El costo c de la renta de una habitación en el hotel Central durante d días es de $100 más $30 por día.

34. El cine Avenida tiene 300 asientos y cada boleto cuesta $35. Los ingresos i están determinados por el número n de boletos vendidos para cada función.

B L O Q U E II Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Unidades de competencia: 1. Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

2. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

3. Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Objetos de aprendizaje Función inversa Función escalonada Función valor absoluto

Función identidad Función constante

Competencias a desarrollar: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

3. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

4. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

5. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

6. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

7. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

8. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

9. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

10. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

56

Q

Matemáticas IV

“En dónde se usa” De manera intuitiva las funciones se presentan en problemas de la vida cotidiana de muchas personas, por ejemplo: 1. El pago de impuestos está en función de los ingresos.

2. Las calificaciones que obtienes están en función del tiempo dedicado a estudiar.

3. Un auto consume gasolina en función de los kilómetros recorridos, es decir, la gasolina depende de los kilómetros recorridos.

4. Generalmente la estatura está en función de la edad.

5. El área de un rectángulo está en función del largo y ancho.

6. El volumen de agua que contiene una alberca está en función de sus medidas.

recoge la cantidad que se consumiría de un bien ante un precio dado, o a la inversa, la disposición a pagar de los consumidores sobre un bien en concreto, así podemos referirnos a la función directa de demanda o a la función inversa de demanda, dependiendo de que la dispongamos en función del precio o de la cantidad del bien.

Así pues dependiendo del mercado será el resultado de la función; por ejemplo, en cuanto al mercado podemos hablar del mercado de la leche, y a su vez del mercado de leche deslactosada y, por qué no, del mercado de la leche deslactosada de una marca específica, o de cada una de sus variantes; cada uno nos dará una precisión distinta en cuanto a los resultados de nuestra función, ya sea directa o inversa.

Por otro lado, la función inversa, no es un concepto tan claro, pero podemos dar un ejemplo de este tipo de función: la demanda que se define como aquella que

Para agilizar tu cerebro 1. Rafa, un tenista reconocido a nivel mundial, tiene una jugada especial: le pega a una pelota de tenis de forma que recorra una pequeña distancia, se detenga y regrese por el camino de ida. ¿Cómo crees que lo haga?

2. Un lector de un libro estaba tan enojado que arrancó las páginas 6, 7, 84, 85, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?

3. María, Rosario y Rosario, tres compañeras del bachillerato realmente gruesas, cruzaban por la explanada del plantel debajo de un paraguas de tamaño normal. ¿Cómo es posible que no se mojaran?

4. En el restaurante “La Vaca Loca”, Alex encontró una mosca en la sopa. El mesero, conciliador, se llevó el plato a la cocina y regresó con (aparentemente) otro plato de sopa. Un instante más tarde Alex lo llamaba otra vez. “¡La sopa de este plato es la misma que le mandé llevarse!”, le gritó ásperamente. ¿Cómo lo supo?

5. Teófilo y Otilia nacieron el mismo día, a la misma hora del mismo año, y de los mismos padres; pero no son mellizos, ¿cómo puede ser eso?

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Q

57

Mi competencia inicial Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________

Lugar y Fecha:_________________________ Grupo:___________ Núm. Lista:_________ Resuelve los siguientes problemas:

1. Encuentra la inversa de la función f (x) =

x+1 x

2. Identifica las funciones representadas por las gráficas siguientes: y

y

10

10

9

9

8 7

8 7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

x 1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

6

6

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 5

x 1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

x 1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

58

Q

Matemáticas IV

3. Tomando en cuenta la función f (x) = x + 2 cómo transformas la función para que la gráfica se traslade: a) 2 unidades hacia arriba de su posición original b) 3 unidades hacia abajo de su posición original c) 4 unidades hacia la derecha de su posición original d) 2 unidades hacia la izquierda de su posición original

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Problemas integradores Nombre:________________________________________________________ Calif.:_________

Lugar y Fecha:_________________________ Grupo:___________ Núm. Lista:_________ 1. Graficar h(x) = 3(x – 2)2 + 4, utilizando transformaciones.

Q

59

60

Q

Matemáticas IV

2. Traza la gráfica de la función f (x) = − x2 + 8x − 10 utilizando transformaciones.

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Q

61

Reconoce las características de funciones que son inversas de otras En equipo traten de resolver el siguiente problema: La función de demanda de un mercado es lineal y se representa como: p = –5q + 7 Donde p es el precio y q es la demanda: a) Expresa la demanda en función del precio. b) Realiza la gráfica.

Existen problemas matemáticos que necesitan de la inversa de una función, esto se logra prácticamente mediante la inversión de los papeles del Dominio y el Rango de la función.

MATEMÁTICOS DE LA ANTIGÜEDAD: Teodoro de Cirene (456 a.C.-398 a.C.) Teodoro fue profesor de Platón; es recordado por su contribución a las matemáticas con el desarrollo de los números irracionales.

Teodoro era también uno de los principales filósofos en la escuela de filosofía moral de Cirene.

Creía que ninguno de los placeres y dolores eran buenos ni malos.

Creía que la alegría y el juicio eran suficientes para la felicidad.

La función inversa se define de la manera siguiente:

Sea f una función de A en B, entonces su inversa (f −1) es una relación de B en A tal que: f −1 = {(y, x) tal que (x, y) ∊ f } .

Por ejemplo si f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e)} Entonces f −1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5)} Ahora te diremos algunas condiciones que debe cubrir una función para que pueda tener una inversa: • Sea f función de A en B y además inyectiva, entonces f −1 es una función de B en A. • Además, bajo esta condición, f −1 es también una función inyectiva.

Consideremos las funciones: f (x) = x + 2 y g (x) = x – 2; podemos comprobar que son inversas si éstas se cancelan: f (g(x)) = f (x – 2) = (x – 2 + 2) = x g( f (x)) = g(x + 2) = x + 2 – 2 = x Por lo tanto, f y g son inversas.

El caso que generalmente se presenta es que se nos da una función en forma de regla de correspondencia y nosotros debemos encontrar la inversa, para ello debemos seguir estos pasos:

62

Q

Matemáticas IV

1. Comprueba que la función es uno a uno.

2. Escribe la función colocando en lugar de f (x) una y.

3. Despeja la x de la función.

4. Reescribe esta última cambiando las x por y y viceversa.

Describe en forma geométrica y algebraica la inversa de una función Ejemplos 1. Supongamos la función f (x) = 2x + 6; encontremos la función inversa.

Solución: • Comprobemos que la función es uno a uno, haciendo su gráfica: MATEMÁTICOS DE LA ANTIGÜEDAD: Platón (427 a.C.-347 a.C.) Platón se veía como un hombre joven que ha sido puesto en una carrera política. Los excesos de una vida política del ateniense parecen haberlo persuadido a rendirse a las ambiciones políticas. En particular la ejecución de Sócrates en el año 399 a.C. tuvo un efecto muy profundo en él.

Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestro Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. A su regreso continúa

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

–2 –3 –4 –5 –6 –7

Como vemos es uno a uno, entonces podemos encontrar su inversa.

Observa que el dominio y el rango de la función son el conjunto de los números reales.

• Escribe y en lugar de f (x): f (x) = 2x + 6 y = 2x + 6

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

continuación fundó en Atenas su famosa escuela filosófica: la Academia.

Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable.

Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “no entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”, nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas.

Primeramente se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aun en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados.

Q

63

• Despeja x de la función: y = 2x + 6 y – 6 = 2x y−6 =x 2 x=

y−6 2

• Reescribe esta última cambiando las x por las y y viceversa: Si obtuvimos: x =

y−6 y−6 entonces y = 2 2

Esta es la función inversa y para graficarla podemos hacer una tabla de valores: x−6 2

y=

x –2

–4

–1

–3.5

0

–3

1

–2.5

2

–2

Y así obtenemos la siguiente gráfica: y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

x 1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

64

Q

Matemáticas IV

Las gráficas de una función y su inversa se pueden ver así: y 10 9

y = 2x + 6

8 7 6 5 4 3 2

45˚

1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2

3

x 4

5

6

7

8

9 10

y=x−6 2

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

Observa que si colocamos una línea a 45° del eje X, ésta se comporta como espejo entre dos funciones inversas. Otro ejemplo es el siguiente: 2. Grafica las funciones: f (x) = x3 y g(x) =

3

x

Solución: y 10 9 8 7 6

f (x) = x3

5 4 3

g(x) = 3sx

2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

3. Resolvamos el problema planteado en un inicio. La función de demanda de un mercado es lineal y se representa como: p = –5q + 7

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Q

65

Donde p es el precio y q es la demanda: a) Expresa la demanda en función del precio. b) Realiza la gráfica.

Solución: a) Para resolver el primer inciso debemos encontrar la inversa de la función: p = –5q + 7 p – 7 = –5q p−7 −5

q= b) La gráfica de la función es: 8

y

x

0

Desarrolla tu competencia Trabaj

individua

l

o

Toma en cuenta la siguiente función f (3) = 5, f (6) = 4, f (7) = 3 y f (9) = 0; calcula lo siguiente: 1. f –1(0) =

3. f –1(5) =

2. f –1(4) =

4. f –1(3) =

Encuentra la inversa de las siguientes funciones: 5. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

10. f (x) =

1 x

11. f (x) =

3− x x +2

6. {(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} 7. {(1, 3), (2, 6), (3, 9)} 8. f (x) = x + 3 9. f (x) = 2x – 8

12. f (x) =

5+x

Campo matemático

Con base en las adecuaciones de los Programas de estudio de la Dirección General del Bachillerato de la Secretaría de Educación Pública, presentamos la segunda edición de Matemáticas IV. Su objetivo principal es acompañar al estudiante a desarrollar y fortalecer competencias relacionadas con el conocimiento, la comprensión y la aplicación de las funciones matemáticas en los diferentes entornos en los que se desenvuelven.

El contenido de los bloques, las actividades, los problemas para ejercitar el razonamiento mental, las evaluaciones y algunos datos relevantes para aplicar las matemáticas en la vida cotidiana permiten a los lectores construir, desarrollar, analizar e interpretar procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales desde diferentes enfoques, de forma que al enfrentarse ante un problema puedan decidir, con base en fundamentos sólidos, el método para su resolución.

Algunos de los temas que se pueden encontrar al interior son: operaciones con distintas funciones, funciones especiales y transformaciones gráficas, funciones polinomiales de grados cero, uno, dos, tres y cuatro, funciones factorizables, racionales, exponenciales, logarítmicas y periódicas.