Matemáticas Aplicadas a los Negocios, las Ciencias Sociales y de la Vida. 6a Ed. Soo T. Tan. Cengage by Cengage

S O O T.

TA N SEXTA EDICIÓN

MATEMÁTICAS APLICADAS A LOS NEGOCIOS, LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA

MATEMÁTICAS APLICADAS A LOS NEGOCIOS, LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA SEXTA EDICIÓN

SOO T. TAN STONEHILL COLLEGE

Traducción Mtro. Javier León Cárdenas 'PSNBDJØO CÈTJDB &4*2*& t *1/

Revisión técnica Dra. Ana Elizabeth García Hernández *OTUJUVUP 1PMJUÏDOJDP /BDJPOBM

$XVWUDOLD ê %UDVLO ê &RUHD ê (VSD³D ê (VWDGRV 8QLGRV ê -DSµQ ê 0«[LFR ê 5HLQR 8QLGR ê 6LQJDSXU

MatemÃ¡ticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida. Sexta ediciÃ³n 6RR 7 7DQ Gerente Editorial de Contenidos en EspaÃ±ol: -HVÂ¼V 0DUHV &KDFÂµQ Editora de Adquisiciones para LatinoamÃ©rica: &ODXGLD & *DUD\ &DVWUR Gerente de Manufactura para LatinoamÃ©rica: $QWRQLR 0DWHRV 0DUWÂ¯QH] Gerente de Desarrollo Editorial en EspaÃ±ol: 3LODU +HUQÂ£QGH] 6DQWDPDULQD Gerente de Proyectos Especiales: /XFLDQD 5DEXIIHWWL Coordinador de Manufactura: 5DIDHO 3Â«UH] *RQ]Â£OH] Editora: $EULO 9HJD 2UR]FR DiseÃ±o de portada: $QQHOL 'DQLHOD 7RUUHV $UUR\R Imagen de portada: 0DULQD 6XQ $UWKXU6WRFN 1H[XVE\ 6KXWWHUVWRFN ComposiciÃ³n tipogrÃ¡fica: +XPEHUWR 1Â¼Â³H] 5DPRV

k ' 5 2018 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 XQD FRPSDÂ³Â¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ ,QF &DUUHWHUD 0Â«[LFR 7ROXFD QÂ¼P 5420 RILFLQD 2301. &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 05320 &LXGDG GH 0Â«[LFR &HQJDJH /HDUQLQJÂ® HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU SRGUÂ£ VHU UHSURGXFLGD WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD JUÂ£ILFR HOHFWUÂµQLFR R PHFÂ£QLFR LQFOX\HQGR SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR UHSURGXFFLÂµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂµQ JUDEDFLÂµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLÂµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLÂµQ D H[FHSFLÂµQ GH OR SHUPLWLGR HQ HO &DSÂ¯WXOR ,,, $UWÂ¯FXOR 27 GH OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO 7UDGXFLGR GHO OLEUR Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences 6HYHQWK (GLWLRQ 6RR 7 7DQ 3XEOLFDGR HQ LQJOÂ«V SRU &HQJDJH /HDUQLQJ Â©2016. ,6%1 978-1-305-10790-8 'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂµQ ELEOLRJUÂ£ILFD 7DQ 6RR 7 MatemÃ¡ticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida. 6H[WD HGLFLÂµQ ,6%1 978-607-526-530-8 9LVLWH QXHVWUR VLWLR HQ KWWS ODWLQRDPHULFD FHQJDJH FRP

Impreso en MÃ©xico 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

ACERCA DEL AUTOR SOO T. TAN obtuvo su grado universitario en el Massachusetts

Institute of Technology, su grado de maestría en la University of Wisconsin–Madison y su doctorado en la University of California en Los Angeles. Ha publicado numerosos artículos acerca de teoría de control óptimo, análisis numérico y matemáticas financieras. También es autor de una serie de libros de texto de Cálculo.

CONTENIDO Prefacio

CAPÍTULO 1

Fundamentos de álgebra 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

CAPÍTULO 2

Números reales 2 Polinomios 7 Factorización de polinomios 14 Expresiones racionales 20 Exponentes enteros 27 Solución de ecuaciones 31 Exponentes racionales y radicales 37 Ecuaciones cuadráticas 46 Desigualdades y valor absoluto 56 Capítulo 1 Resumen de fórmulas y términos principales Capítulo 1 Preguntas de revisión de conceptos 66 Capítulo 1 Ejercicios de repaso 67 Capítulo 1 Antes de continuar 69

Funciones y sus gráficas 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Sistema de coordenadas cartesianas y líneas rectas 72 Ecuaciones de la recta 78 Uso de la tecnología: Trazo de la gráfica de una línea recta 89 Funciones y sus gráficas 92 Uso de la tecnología: Trazo de la gráfica de una función 104 El álgebra de funciones 107 Funciones lineales 116 Uso de la tecnología: Funciones lineales 128 Funciones cuadráticas 131 PORTAFOLIO: TODD KODET

2.7

2.8

135

Uso de la tecnología: Localización de los puntos de intersección de dos gráficas 141 Funciones y modelos matemáticos 142 Uso de la tecnología: Construcción de modelos matemáticos a partir de datos en bruto 154 El método de mínimos cuadrados (Opcional) 157 PORTAFOLIO: MELISSA RICH

158

Uso de la tecnología: Encontrar una ecuación de una recta de mínimos cuadrados 165

CONTENIDO

Capítulo 2 Resumen de fórmulas y términos principales Capítulo 2 Preguntas de revisión de conceptos 168 Capítulo 2 Ejercicios de repaso 168 Capítulo 2 Antes de continuar 171

CAPÍTULO 3

Funciones exponenciales y logarítmicas

167

173

3.1

Funciones exponenciales 174 Uso de la tecnología 179

3.2 3.3

Funciones logarítmicas 181 Funciones exponenciales como modelos matemáticos 190 PORTAFOLIO: CAROL A. REEB, PH. D.

191

Uso de la tecnología: Análisis de modelos matemáticos 200 Capítulo 3 Resumen de fórmulas y términos principales 201 Capítulo 3 Preguntas de revisión de conceptos 201 Capítulo 3 Ejercicios de repaso 202 Capítulo 3 Antes de continuar 203

CAPÍTULO 4

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 4.1 4.2 4.3

4.4 4.5 4.6

CAPÍTULO 5

205

Sistemas de ecuaciones lineales: una introducción 206 Sistemas de ecuaciones lineales: soluciones únicas 215 Uso de la tecnología: Sistemas de ecuaciones lineales: soluciones únicas 229 Sistemas de ecuaciones lineales: sistemas sobredeterminados e indeterminados 231 Uso de la tecnología: Sistemas de ecuaciones lineales: indeterminados y sobredeterminados 241 Matrices 243 Uso de la tecnología: Operaciones con matrices 254 Multiplicación de matrices 257 Uso de la tecnología: Multiplicación de matrices 270 La inversa de una matriz cuadrada 272 Uso de la tecnología: Encontrar la inversa de una matriz cuadrada 285 Capítulo 4 Resumen de fórmulas y términos principales 287 Capítulo 4 Preguntas de revisión de conceptos 288 Capítulo 4 Ejercicios de repaso 288 Capítulo 4 Antes de continuar 290

Conjuntos 291 5.1 5.2 5.3

Conjuntos y operaciones de conjuntos 292 El número de elementos en un conjunto finito 302 El principio de multiplicación 312 Capítulo 5 Resumen de fórmulas y términos principales Capítulo 5 Preguntas de revisión de conceptos 318 Capítulo 5 Ejercicios de repaso 319 Capítulo 5 Antes de continuar 320

318

CONTENIDO

CAPÍTULO 6

La derivada 6.1 6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7 6.8

CAPÍTULO 7

321

Límites 322 Uso de la tecnología: Determinación del límite de una función 340 Límites laterales y continuidad 342 Uso de la tecnología: Determinación de los puntos de discontinuidad de una función 355 La derivada 358 Uso de la tecnología: Determinación de la derivada de una función para un valor dado de x 375 Reglas básicas de derivación 376 Uso de la tecnología: Determinación de la tasa de cambio de una función 387 Reglas del producto y del cociente; derivadas de orden superior Uso de la tecnología: Las reglas del producto y del cociente; derivadas de orden superior 403

389

La regla de la cadena 405 Uso de la tecnología: Determinación de la derivada de una función compuesta 416 Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas 417 Uso de la tecnología 427 Funciones marginales en economía 428 Capítulo 6 Resumen de fórmulas y términos principales 439 Capítulo 6 Preguntas de revisión de conceptos 440 Capítulo 6 Ejercicios de repaso 441 Capítulo 6 Antes de continuar 444

Aplicaciones de la derivada 445 7.1

7.2 7.3 7.4

7.5

Aplicaciones de la primera derivada 446 Uso de la tecnología: Uso de la primera derivada para analizar una función 465 Aplicaciones de la segunda derivada 467 Trazo de la curva 485 Uso de la tecnología: Análisis de las propiedades de una función Optimización I 500 Uso de la tecnología: Determinación de los extremos absolutos de una función 515 Optimización II 516 Capítulo 7 Resumen de fórmulas y términos principales 528 Capítulo 7 Preguntas de revisión de conceptos 528 Capítulo 7 Ejercicios de repaso 529 Capítulo 7 Antes de continuar 533

498

vii

viii

CONTENIDO

CAPÍTULO 8

Integración 8.1 8.2 8.3 8.4

535

Antiderivadas y las reglas de integración 536 Integración por sustitución 550 El área y la integral definida 559 El teorema fundamental del cálculo 570 PORTAFOLIO: MOLLY H. FISHER, DAVID C. ROYSTER Y DIANDRA LESLIE-PELECKY 571

Uso de la tecnología: Evaluación de integrales definidas 8.5

8.6 8.7

CAPÍTULO 9

Evaluación de integrales definidas 582 Uso de la tecnología: Evaluación de las integrales definidas con funciones definidas por partes 593 El área entre dos curvas 594 Uso de la tecnología: Determinación del área entre dos curvas 606 Aplicaciones de la integral definida en los negocios y la economía 606 Uso de la tecnología: Aplicaciones en los negocios y la economía: ejercicios con tecnología 619 Capítulo 8 Resumen de fórmulas y términos principales 620 Capítulo 8 Preguntas de revisión de conceptos 622 Capítulo 8 Ejercicios de repaso 622 Capítulo 8 Antes de continuar 626

Cálculo de varias variables 9.1 9.2

627

Funciones de varias variables Derivadas parciales 640

628

PORTAFOLIO: KARTHIK RAMACHANDRAN

9.3

582

642

Uso de la tecnología: Determinar derivadas parciales en un punto dado Máximos y mínimos de las funciones de varias variables 655 Capítulo 9 Resumen de términos principales 666 Capítulo 9 Preguntas de revisión de conceptos 666 Capítulo 9 Ejercicios de repaso 666 Capítulo 9 Antes de continuar 668 Respuestas

669

Índice de aplicaciones Índice analítico

715

719

Índice de uso de la tecnología

722

654

PREFACIO

Las matemáticas son una parte integral de nuestra cada vez más compleja vida cotidiana. Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida, ilustra este punto con un enfoque aplicado. Los estudiantes tienen una mejor apreciación del material de estudio cuando las aplicaciones se toman de sus campos de interés y de situaciones que ocurren en el mundo real. Esta es una razón por la que en mis libros verá muchos ejercicios basados en datos recopilados de periódicos, revistas, semanarios y otros medios de comunicación. Por otra parte, muchos estudiantes llegan a este curso con cierto grado de aprehensión, por lo que he adoptado un enfoque intuitivo para introducir cada concepto matemático abstracto a partir de un ejemplo de la experiencia cotidiana. Una vez que se ha transmitido la idea, realizamos una aproximación más exacta, garantizo que no se pierde el rigor matemático a partir de este tratamiento intuitivo del tema. Este libro contiene material más que suficiente para cursos de dos o tres semestres. En el siguiente cuadro se muestra la correlación de los capítulos para ayudarle en el diseño de un curso más adecuado para la audiencia prevista.

Fundamentos de álgebra

Conjuntos

Funciones y sus gráficas

Funciones exponenciales y logarítmicas

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

La derivada

Aplicaciones de la derivada

Integración

Cálculo de varias variables

Observe que las funciones exponenciales y logarítmicas se abordan en los primeros capítulos del libro. ix A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

PREFACIO

El enfoque Presentación Consistente con mi enfoque intuitivo, establezco los resultados de manera informal. Sin embargo, he tenido especial cuidado en garantizar que este enfoque no compromete el rigor matemático ni la exactitud.

Enfoque de solución de problemas Se hace especial hincapié en ayudar al estudiante a formular, resolver e interpretar los resultados de los problemas involucrados en las aplicaciones. Debido a que los estudiantes suelen tener dificultades para configurar y resolver problemas a partir de palabras, se ha puesto especial cuidado en ayudarlos a dominar las siguientes habilidades: ■

■

Al principio del libro, se presentan pautas para ayudar al estudiante a formular y resolver problemas a partir de palabras (véase la sección 2.7). Posteriormente, se proporcionan varios ejemplos y ejercicios para ayudar a los estudiantes a dominar está habilidad. Al iniciar la sección 7.4 se usan técnicas de cálculo para resolver problemas de optimización a partir de la función que ahí se indica. Más adelante, en la sección 7.5 se requiere avanzar en el planteamiento de los problemas de optimización a partir de la problemática que plantean.

Motivación Extremos absolutos en un intervalo cerrado trarios no siempre tiene un máximo o un mínimo absolutos. Pero un caso importante muy a menudo surge de las aplicaciones prácticas en las que está garantizado que tanto el máximo como el mínimo absolutos de una función existan. Esto sucede cuando una función conticerrado. Antes de establecer formalmente este importante resultado, veamos un ejemplo de la vida real. La gráfica de la función f en la figura 60 muestra el precio promedio, f(t), en dólares, de boletos de avión nacionales por días antes del vuelo. El dominio de f es el intervalo cerrado [2210, 21], donde 2210 se interpreta como 210 días antes de vuelo y 21 se interpreta como el día antes de vuelo.

y ($) 700 600

Ilustrar el valor práctico de las matemáticas en áreas aplicadas es un objetivo importante de mi enfoque, por lo que los conceptos se introducen en el momento más apropiado a partir de ejemplos concretos, de la vida real. Los ejemplos y otras aplicaciones se han elegido de temas de actualidad y cuestiones relacionadas con los medios de comunicación, y sirven para responder a una pregunta planteada frecuentemente por los estudiantes: “¿Alguna vez utilizaré esto?” En esta nueva edición, por ejemplo, el concepto de encontrar el extremo absoluto en un intervalo cerrado se introduce como se muestra en el recuadro de la izquierda.

500 400

Modelado

300 t (días) –200 –150 –100 –50 FIGURA 60 Precio promedio antes del vuelo. Fuente: Cheapair.com.

Observe que f alcanza el valor mínimo de 395 cuando t 5 249 y el valor máximo de 614 cuando t 5 21. Este resultado nos indica que el mejor momento para reservar un vuelo nacional son siete semanas por adelantado y el peor día para reservarlo es el día antes del vuelo. Pero tal vez lo más sorprendente de todo es que reservar demasiado pronto puede ser casi tan costoso como reservar demasiado tarde. Observe que la función f es continua en un intervalo cerrado.

Una de las importantes habilidades que el estudiante debe adquirir es la capacidad de traducir un problema real en un modelo matemático que pueda proporcionar información sobre el problema. En la sección 2.7 se analiza el proceso de modelado, y se le pide al lector que utilice modelos (funciones) construidos a partir de datos reales para responder a las preguntas. Los estudiantes obtienen experiencia práctica en la construcción de estos modelos en las secciones de Uso de la tecnología.

A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

PREFACIO

Lo nuevo en esta edición En esta revisión de Matemáticas aplicadas se ha proseguido con el énfasis de ilustrar los conceptos matemáticos mediante el uso de más aplicaciones de la vida real que son importantes en la vida cotidiana de los estudiantes y en sus campos de estudio, como los negocios, la vida y las ciencias sociales. Se han agregado más de 300 nuevas aplicaciones en ejemplos y ejercicios. Se han renovado muchos de los ejercicios. En particular, se reestructuraron los ejercicios de aprendizaje para dar un seguimiento más ordenado al material en cada sección y progresar de manera más uniforme, es decir, de los problemas más fáciles a los más difíciles en las secciones de ejercicios de aprendizaje y de aplicaciones. Se agregaron preguntas sobre los conceptos, ejercicios de aprendizaje y preguntas de falso o verdadero.

Cambios de contenido más específicos Capítulos 1 y 2 En la sección 1.1, la introducción a los números reales fue reescrita para mayor claridad. También se agregaron nuevos ejercicios de aprendizaje, de concepto y de aplicación. En la sección 2.2, el ejemplo recién agregado 8b-c ilustra cómo determinar si un punto se encuentra en una recta. También, se ha agregado una nueva aplicación: Fumadores en Estados Unidos, a los ejercicios de autoevaluación 2.2. En la sección 2.4 se han actualizado las gráficas de déficit presupuestario federal de Estados Unidos para introducir el tema “Álgebra de funciones” y exponer la situación actual del déficit. En la sección 2.5, se ha agregado el ejemplo de aplicación 1, Erosión de la clase media. La construcción del modelo para esta aplicación se explica en la nueva sección 2.8, titulada El método de mínimos cuadrados. En la sección 2.7 se presentan nuevos modelos y gráficos para las aplicaciones Calentamiento Global, Activos del fondo de Seguridad Social y Costos de manejo de un automóvil. Capítulos 3 y 4 En el capítulo 3 se agregaron nuevos ejercicios de aplicación. Entre estos se incluyen El declive de American Idol, Energías renovables, Bancos quebrados y Obesidad al paso del tiempo, entre otras. En el capítulo 4, se han agregado nuevos ejercicios de aplicación, y se han actualizado muchos ejemplos y ejercicios. Estos incluyen el Uso de la tecnología Digital y Encuesta sobre terrorismo, entre otros.

Capítulo 5 En este capítulo se tratan los conjuntos. Aquí se hace hincapié en proporcionar datos de marketing, economía, consumo y encuestas científicas que son pertinentes, actuales y de interés para motivar a los estudiantes a estudiar los conceptos matemáticos que se presentan. Los temas en estos ejercicios y los ejemplos incluyen desafíos como las causas más comunes de las distracciones en el trabajo. Se agregaron varios ejemplos nuevos a este capítulo. El ejemplo 13 de la sección 5.1, acerca de la Privacidad cibernética, ilustra las operaciones de conjuntos. El ejemplo 5 en la sección 5.2 ilustra cómo se puede utilizar la solución de un sistema de ecuaciones lineales para dibujar un diagrama de Venn.

Capítulos 6 y 7 En estos capítulos se ha agregado una gran cantidad de nuevos ejercicios de aplicación. En la sección 6.7 se ha agregado el modelo y gráfica Ingresos de las familias estadounidenses, como una introducción a los modelos exponenciales. Esto es seguido por un análisis de la función que describe la gráfica en los ejercicios con Uso de la tecnología. En la sección 6.8 se ha agregado una nueva subdivisión sobre tasas de cambio relativas y una nueva aplicación, Inflación. En la sección 7.1, se ha actualizado la gráfica Excedente (o déficit) en el presupuesto de Estados Unidos, el cual se utiliza

xii

PREFACIO

para introducir el tema extremos relativos. El problema 72 de los ejercicios de la sección 7.4 aborda el extremo absoluto para la misma función de déficit. En la sección 7.4 se ha agregado también una nueva aplicación, Precio promedio antes del vuelo, para introducir el concepto de extremo absoluto en un intervalo cerrado.

Capítulos 8 y 9 Se han agregado muchas nuevas aplicaciones a estos capítulos. El análisis intuitivo de área y de la integral definida al principio de la sección 8.3, se ilustra a partir del consumo diario de petróleo en el estado de Nueva Inglaterra; al final de la sección se demuestra que el consumo de petróleo del estado está dado por el área bajo la curva. Se ha mejorado el arte 3D en el libro y en los ejercicios del capítulo 9.

1 E

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

STE CAPÍTULO contiene un breve repaso del álgebra que utilizará en el curso. En el proceso

de resolver numerosos problemas prácticos tendrá que solucionar ecuaciones algebraicas

y simplificar expresiones algebraicas. El capítulo contiene, además, un breve repaso de las desigualdades y el valor absoluto; sus usos van desde la descripción de dominios de funciones hasta la fórmulación de problemas prácticos.

¿Cuánto dinero se necesita para comprar por lo menos 100 000 acciones de la compañía de comunicaciones Starr? Corbyco, un gran conglomerado de comunicaciones, desea adquirir un mínimo de 100 000 acciones de la empresa. En el ejemplo 8, en la página 60, verá cómo es que los administradores de Corbyco determinan

cuánto dinero será necesario para la adquisición.

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

1.1

Números reales El conjunto de los números reales En la vida diaria utilizamos números reales para describir varias cantidades, como temperatura, sueldos, tasa de porcentaje anual, el tamaño del calzado, el promedio de calificaciones, etc. Algunos de los símbolos que empleamos para representar números reales son: 3,

217,

!2, 0.666. . . , 113, 3.9, 0.12875

Para construir el conjunto de los números reales, comenzamos con el conjunto de números naturales (también conocidos como números para contar): 1, 2, 3, 4, . . . Si agregamos el número 0 a los números naturales, obtenemos el conjunto de los números enteros positivos: 0, 1, 2, 3, . . . Si adjuntamos los negativos de los números naturales al conjunto de los números enteros positivos, obtenemos el conjunto de los números enteros . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . . Ahora consideremos el conjunto de los números racionales, como los números de la forma ab, donde a y b son enteros, con b Z 0. Observe que cada entero es también un a número racional, ya que cada entero se puede escribir en la forma b , con b 5 1. Por 6 ejemplo, el entero 6 se puede escribir en la forma 1. Pero un número racional no es nece1 23 sariamente un entero, pues fracciones tales como 2 y 25 no son enteros. Por último, agregar el conjunto de números irracionales, que son los números que no se pueden representar en la forma ab, donde a y b son enteros (b Z 0). Ejemplos de números irracionales son !2, !3, p, etc. Por tanto, el conjunto que comprende tanto todos los números racionales como los números irracionales se llama conjunto de los números reales (véase la figura 1.) Q

W N

Q = Racionales I = Enteros W = Números enteros positivos N = Números naturales Ir = Irracionales

FIGURA 1 El conjunto de los números reales se compone del conjunto de números racionales más el conjunto de los números irracionales.

Representación de los números reales como decimales Todo número real se puede escribir como decimal. Un número racional se puede representar como un decimal repetido o terminal. Por ejemplo, 23 está representado por el decimal periódico: 0.66666666. . .

Decimal periódico; observe que el entero 6 se repite.

y también se puede escribir como 0.6, donde la raya sobre el 6 indica que se repite de forma indefinida. El número 12 está representado por el decimal terminal: 0.5

Decimal terminal

Cuando un número irracional se representa como decimal, ni se termina ni se repite. Por ejemplo:

!2 5 1.41421. . . y p 5 3.14159. . . A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

1.1 NÚMEROS REALES

La tabla 1 resume la clasificación de los números reales. TABLA 1 Los números reales Tipo

Descripción

Ejemplos

Representación decimal

Números naturales Números enteros positivos Números enteros

Números para contar Números para contar y 0 Números naturales, sus negativos y 0 Números que se pueden escribir en la forma ab, donde a y b son enteros y b Z 0 Números que no se pueden escribir en la forma ab, donde a y b son enteros y b Z 0 Números racionales e irracionales

1, 2, 3, . . . 0, 1, 2, 3, . . . . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . . 23, 234, 20.222, 0, 56, 2, 4.3111

Decimales terminales Decimales terminales Decimales terminales

Números racionales

Números irracionales

Números reales

Decimales terminales o periódicos

!2, !3, p,

Decimales no terminales, no periódicos

1.414213. . . , 1.732050. . . Todos los anteriores

Todos los tipos de decimales

Representación de números reales en una recta numérica Los números reales pueden estar geométricamente representados por puntos sobre una recta. Esta recta de números reales o coordenadas se construye como sigue: seleccione arbitrariamente un punto sobre una línea recta para representar el número 0. Este punto se llama origen. Si la recta es horizontal, seleccione un punto a una distancia conveniente a la derecha del origen para representar el número 1. De esta manera se determina la escala de la recta numérica. El punto que representa cada número real positivo x se encuentra a x unidades a la derecha de 0, y el punto que representa cada número real negativo x se encuentra a 2x unidades a la izquierda de 0. Por tanto, los números reales pueden estar representados por puntos sobre una recta, de modo que a cada número real corresponda exactamente un punto sobre una recta y viceversa (figura 2). 2ULJHQ Dirección positiva

Dirección negativa ²

[

FIGURA 2 La recta de números reales.

Operaciones con números reales Dos números reales se pueden combinar para obtener un número real. La operación de adición, que se escribe con un 1, permite combinar dos números cualesquiera a y b para obtener su suma, denotada por a 1 b. Otra operación, la multiplicación, escrita ?, permite combinar dos números reales cualesquiera a y b para formar su producto, el número a ? b (que se representa de manera más simple como ab). Estas dos operaciones están sujetas a las reglas de operación enunciadas en la tabla 2. La operación de sustracción se define en función de la adición. Por tanto: a 1 12b2 donde 2b es el inverso aditivo de b, se puede escribir en la forma más conocida a – b, y decimos que b se sustrae de a. De manera similar, la operación de división se define en términos de la multiplicación. Recuerde que el inverso multiplicativo de un número real 1 distinto de cero b es b, que también se escribe como b21. Entonces:

1 aa b b A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA a

se escribe b, y decimos que a está dividido entre b. Por tanto, 4A 13 B 5 43. Recuerde que el cero no tiene un inverso multiplicativo porque la división entre cero no está definida. TABLA 2 Leyes de las operaciones con números reales Ley

Ejemplo

Adición 1. a 1 b 5 b 1 a 2. a 1 1b 1 c2 5 1a 1 b2 1 c 3. a 1 0 5 a 4. a 1 12a2 5 0

Ley conmutativa de la adición Ley asociativa de la adición Ley de identidad de la adición Ley inversa de la adición

2135312 4 1 12 1 32 5 14 1 22 1 3 61056 5 1 1252 5 0

Multiplicación 1. ab 5 ba 2. a1bc2 5 1ab2c 3. a # 1 5 1 # a

Ley conmutativa de la multiplicación Ley asociativa de la multiplicación Ley de identidad de la multiplicación

3#252#3 413 # 22 5 14 # 322 4#151#4

4. aa b 5 1 1a 2 02

Ley inversa de la multiplicación

1 3a b 5 1 3

Adición y multiplicación 1. a1b 1 c2 5 ab 1 ac

Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

314 1 52 5 3 # 4 1 3 # 5

1 a

¿Son válidas las leyes asociativas y conmutativas para la sustracción y la división? Viendo primero la ley asociativa, la respuesta es no, puesto que: a 2 1b 2 c2 2 1a 2 b2 2 c

7 2 14 2 22 2 17 2 42 2 2, o 5 2 1

a 4 1b 4 c2 2 1a 4 b2 4 c

8 4 14 4 22 2 18 4 42 4 2, o 4 2 1

y Asimismo, la ley conmutativa no es válida, porque: a2b2b2a

7 2 4 2 4 2 7, o 3 2 23

y a4b2b4a

8 4 4 2 4 4 8, o 2 2

1 2

EJEMPLO 1 Exprese la propiedad de los números reales que justifica cada enunciado.

Enunciado

Ley

a. 4 1 1x 2 22 5 4 1 122 1 x2

Ley conmutativa de la adición Ley asociativa de la adición Ley conmutativa de la multiplicación Ley asociativa de la multiplicación Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

b. 1a 1 2b2 1 c 5 a 1 12b 1 c2 c. x1y 2 z 1 22 5 1y 2 z 1 22 x d. 41xy22 5 114x2y2 e. x1y 2 22 5 xy 2 2x

A partir de las leyes de los números reales enunciadas arriba, podemos deducir todas las propiedades algebraicas de los números reales. Algunas de las leyes más importantes se presentan en las tablas 3 a 5. TABLA 3 Leyes de los números negativos Ley 1. 2. 3. 4.

212a2 5 a 12a2b 5 21ab2 5 a12b2 12a212b2 5 ab 1212a 5 2a

Ejemplo 21262 5 6 1232 4 5 213 42 5 31242 12321242 5 3 4 1212 5 5 25

# #

A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

1.1 NÚMEROS REALES

TABLA 4 Leyes que involucran al cero Ley

1. a 0 5 0 2. Si ab 5 0, entonces ya sea a 5 0 o b 5 0, o ambos a y b son iguales a 0.

TABLA 5 Leyes de los cocientes Ley 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

a c 5 si ad 5 bc b d ca a 5 cb b a a 2a 5 52 2b b b a#c ac 5 b d bd c a d ad a 4 5 # 5 b d b c bc c ad 1 bc a 1 5 b d bd c ad 2 bc a 2 5 b d bd

Ejemplo

3 9 5 porque 3 # 12 5 9 # 4 4 12 4#3 3 5 # 4 8 8 4 4 24 5 52 23 3 3 15 3#5 5 4 2 8 5 3 2 3 3 4 5 # 5 4 2 4 5 10 5 3#214#5 13 3 1 5 5 4 2 8 4 5 3#224#5 7 3 2 5 52 4 2 8 4

Nota A partir de este momento y en el resto del libro supondremos que todas las variables del denominador en un cociente son distintas de cero.

EJEMPLO 2 Indique la ley de los números reales que justifica cada enunciado

Enunciado

Ley

a. 21242 5 4

Ley 1 de los números negativos

b. c. d. e.

1.1

1 Si 14x 2 121x 1 32 5 0, entonces x 5 o x 5 23. 4 x 2 1 x 1 1

x11 5 x 2 1 x 2 3

x23 y x x 2 1

x21 y11 x21 4 5 ? 5 y11 y y 1 1

y x y x y 2 1 1 xy x x 1 5 y y 1 1

y y11 xy 1 x 1 xy 2xy 1 x 5 5 y y 1 1

y y 1 1

Ley 2 del cero Ley 2 de los cocientes Ley 5 de los cocientes Ley 6 de los cocientes Ley distributiva

Ejercicios de autoevaluación

Indique la propiedad (o propiedades) que justifique cada expresión.

3. 212s 1 t2 5 s 2 t

1. 13√ 1 22 2 w 5 3√ 1 12 2 w2 2. 13s214t2 5 33s14t24 A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

2 2 52 2 u 2 √

u1√

Las soluciones a los ejercicios de autoevaluación 1.1 se pueden encontrar en la página 7.

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

1.1

Preguntas sobre los conceptos

1. Ejemplifique lo que se le pide: a. Un número natural b. Un número entero positivo que no es un número natural c. Un número racional que no es un entero d. Un número irracional 2. Ejemplifique lo que se le pide: a. Un número racional que se representa por un decimal terminal b. Un número racional que se representa por un decimal periódico c. Un número irracional representado por un decimal

1.1

3. a. La ley asociativa de la adición establace que a 1 (b 1 c) 5 . b. La ley distributiva establace que ab 1 ac 5 . 4. a. ¿Es la ley asociativa válida para la resta? ¿Y para la división? Explique. b. ¿El cero tiene un inverso multiplicativo? Explique. 5. ¿Qué podemos decir sobre a y b si ab 2 0? ¿Qué tal a, b y c, si abc 2 0?

Ejercicios

En los ejercicios 1-10, clasifique el número en cuanto a tipo (por ejemplo, 12 es racional y real, mientras que "5 es irracional y real).

1. 23

2. 2420

3 8

4. 2

5. !11

6. 2 !5

p 2

9. 2.421

4 125

2 p

26. 212x 1 y2 3 213x 1 2y2 4 5 12x 1 y213x 1 2y2 27. 012a 1 3b2 5 0 28. Si 1x 2 y21x 1 y2 5 0, entonces x 5 y o x 5 2y. 29. Si 1x 2 2212x 1 52 5 0, entonces x 5 2 o x 5 252. 30. Si x12x 2 92 5 0, entonces x 5 0 o x 5 92.

10. 2.71828. . . 31.

x 1 1 x 2 3

x11 5 2x 1 1 x 2 1 2x 1 1

32.

2x 1 1 x 1 3 2x 1 1 5 2x 2 1 x 2 3 2x 2 1

33.

a 1 b a 2 b a a 1 b

4 5 b ab a2b

34.

x 1 2y x x 1 2y 2 3x 1 y 2 x 1 2y

4 5 ? 5 3x 1 y 6x 1 2y 3x 1 y x x

35.

a c ab 1 bc 1 c2 1 5 b1c b b b 1 c

36.

x1y y x2 2 y 1 5 x 1 1 x x x 1 1

En los ejercicios 11-16, indique si el enunciado es verdadero o falso.

11. Todo entero es un número entero positivo. 12. Todo entero es un número racional. 13. Todo número natural es un entero. 14. Todo número racional es un número real. 15. Todo número natural es un número irracional. 16. Todo número irracional es un número real. En los ejercicios 17-36, exprese la propiedad de número real que justifica el enunciado.

17. 12x 1 y2 1 z 5 z 1 12x 1 y2 18. 3x 1 12y 1 z2 5 13x 1 2y2 1 z

En los ejercicios 37-42, indique si el enunciado es verdadero o falso.

19. u13√ 1 w2 5 13√ 1 w2u

37. Si ab 5 1, entonces a 5 1 o b 5 1.

20. a 21b 2c2 5 1a 2b 22c

38. Si ab 5 0 y a 2 0, entonces b 5 0.

21. u12√ 1 w2 5 2u√ 1 uw 22. 12u 1 √2w 5 2uw 1 √w 23. 12x 1 3y2 1 1x 1 4y2 5 2x 1 3 3y 1 1x 1 4y2 4 24. 1a 1 2b21a 2 3b2 5 a1a 2 3b2 1 2b1a 2 3b2 25. a 2 3 21c 1 d 2 4 5 a 1 1c 1 d2

39. a 2 b 5 b 2 av 40. a 4 b 5 b 4 a 41. 1a 2 b2 2 c 5 a 2 1b 2 c2 42. a 4 1b 4 c2 5 1a 4 b2 4 c

A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

1. 2 POLINOMIOS

1.1

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación

1. Ley asociativa de la adición: a 1 1b 1 c2 5 1a 1 b2 1 c

4. Ley 3 de los cocientes:

2. Ley asociativa de la multiplicación: a 1bc2 5 1ab2 c

a a 2a 5 52 2b b b

3. Ley distributiva de la multiplicación: a 1b 1 c2 5 ab 1 ac Leyes 1 y 4 de los números negativos: 212a2 5 a; 1212 a 5 2a

1. 2

Polinomios Exponentes Expresiones como 25, 12322 y A 14 B son expresiones exponenciales. De forma más general, si n es un número natural y a es un número real, entonces an representa el producto del número real a por sí mismo n veces. 4

Notación exponencial Si a es un número real y n es un número natural, entonces: an 5 a # a # a # . . . # a

n factores

34 5 3 # 3 # 3 # 3

4 factores

El número natural n se llama exponente y el número real a se llama base.

EJEMPLO 1 a. 44 5 142142142142 5 256 b. 12523 5 125212521252 5 2125

1 2

1 1 2 8 1 2 1 1 1 d. a2 b 5 a2 b a2 b 5 3 3 3 9 c. a b 5 a b a b a b 5

Cuando evaluamos expresiones como 32 ? 33 se utiliza la siguiente ley de los exponentes para escribir el producto de forma exponencial.

Ley 1 Si m y n son números naturales y a es cualquier número real, entonces:

a m # a n 5 a m1n

32 33 5 3213 5 35

Para verificar que la ley 1 se deduce de la definición de una expresión exponencial, observamos que el número de factores en la expresión exponencial am # an 5 a # a # a # . . . # a # a # a # a # . . . # a es m 1 n.

A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

m factores

n factores

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

EJEMPLO 2

a. 32 33 5 3213 5 35 5 243

b. 12222 12225 5 1222215 5 12227 5 2128

c. 13x2 13x23 5 13x2113 5 13x24 5 81x 4

Tenga cuidado de aplicar el exponente solo a la base indicada. Observe que: ↓

El exponente se aplica a 4x.

4 # x 2 5 4x 2 2 14x22 5 42 # x 2 5 16x 2 ↑

El exponente se aplica solo a la base x.

y ↓

El exponente se aplica a 23.

23 5 29 2 1232 5 9 2

↑

El exponente se aplica solo a la base 3.

Polinomios Recuerde que una variable es una letra que se utiliza para representar cualquier elemento de un conjunto. Sin embargo, a menos que se especifique lo contrario, las variables en este libro representarán números reales. En ocasiones las consideraciones físicas restringen los valores que una variable puede tener. Por ejemplo, si la variable x denota el número de televisores LCD vendidos cada día en una tienda de electrónica, entonces x debe ser un entero no negativo. En otras ocasiones x debe restringirse para que una expresión tenga sentido. Por ejemplo, en la expresión x 11 2, x no puede tomar el valor 22, ya que la división entre 0 no está permitida. El conjunto de todos los números reales que puede tomar una variable se llama el dominio de la variable. Al contrario que una variable, una constante es un número fijo o letra cuyo valor permanece fijo a lo largo de un análisis particular. Por ejemplo, en la expresión 12 gt2, la cual da la distancia en pies recorrida por un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra en t segundos a partir del reposo, la letra g representa la aceleración constante de la gravedad (aproximadamente 32 pies/segundo/segundo), mientras que la letra t es una variable cuyo dominio consiste de números reales no negativos. Combinando constantes y variables mediante el uso de la adición, sustracción, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces, se obtienen expresiones algebraicas. Ejemplos de expresiones algebraicas son: 3x 2 4y

2x 2 2 y 1

1 xy

ax 2 b 1 2 x2

3xy 22 1 p x 2 1 y2 1 z 2

donde a y b son constantes y x, y y z son variables. Por intimidantes que puedan parecer algunas de estas expresiones, recuerde que son solo números reales. Por ejemplo, si x 5 1 y y 5 4, entonces la segunda expresión representa el número: 2 1 2 2 4 1

1 4

2 74,

obtenido al reemplazar x y y en la expresión por los valores apropiados. Los polinomios son una clase importante de expresiones algebraicas. Los polinomios más simples son los de una variable. o

Polinomio en una variable Un polinomio en x es una expresión de la forma: an x n 1 an21x n21 1 . . . 1 a1x 1 a0

donde n es un entero no negativo y a 0, a 1, . . . , an son números reales, con an 2 0. A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

3 L

Funciones exponenciales y logarítmicas

A FUNCIÓN EXPONENCIAL es sin duda la función más importante en las matemáticas y sus aplicaciones. Después de una breve introducción a la función exponencial y su inversa, la

función logarítmica, exploraremos algunas de las muchas aplicaciones que involucran funciones

exponenciales, como la tasa de crecimiento de una población de bacterias en el laboratorio, la forma en que decae la materia radiactiva, la velocidad a la que un trabajador de una fábrica aprende un proceso determinado y la velocidad a la que una enfermedad transmisible se propaga a través del tiempo.

¿Cuántas cámaras puede ensamblar un nuevo empleado de Eastman Optical luego de completar el programa básico de entrenamiento, y cuántas cámaras puede ensamblar después de permanecer seis meses en el puesto? En el ejemplo 5 de la página 194 verá cómo responder

a estas preguntas.

173

3.1

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Funciones exponenciales Las funciones exponenciales y sus gráficas Suponga que hace un depósito de $1000 en una cuenta en la que al año ganará una tasa de interés compuesto continuo de 10% (la forma en que la mayoría de las instituciones financieras calculan los intereses). Entonces, el monto acumulado al final de t años (0 # t # 20) está descrito por la función f, cuya gráfica aparece en la figura 1. Esta función se llama función exponencial. Observe que la gráfica de f crece más lentamente al principio y con mayor rapidez a medida que pasa el tiempo. Para fines de comparación, también se muestra la gráfica de la función y 5 g(t) 5 1000(1 1 0.10t), obteniendo el monto acumulado para el mismo capital ($1000) pero ganando un interés simple a una tasa de 10% anual. La moraleja de la historia: nunca es demasiado pronto para ahorrar.

y 7000

y = f(t)

6000 Dólares

174

5000 4000 3000

y = g(t)

2000 1000 5

10 Años

FIGURA 1 En una composición continua, una suma de dinero crece de manera exponencial.

Como se verá a lo largo de este capítulo, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en muchas aplicaciones del mundo real. Recuerde que si b es un número positivo y r es cualquier número real, la expresión br es un número real. Se puede demostrar, aunque aquí no lo haremos, que si x es cualquier número real, entonces bx también es un número real. Esto nos permite definir una función exponencial de la siguiente manera:

Función exponencial La función definida por: f 1x2 5 b x

1b . 0, b ? 12

se llama función exponencial con base b y exponente x. El dominio de f es el conjunto de los números reales.

Por ejemplo, la función exponencial con base 2 es la función: f 1x 2 5 2 x A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

3.1 FUNCIONES EXPONENCIALES

175

con dominio (2`, `). Los valores de f(x) para valores seleccionados de x son:

3 f a b 5 23/2 5 2 # 21/2 5 2 !2 f 1 02 5 20 5 1 2 1 1 1 2 f a2 b 5 222/3 5 2/3 5 3 f 1 21 2 5 221 5 2 3 2 "4 Los cálculos que implican funciones exponenciales se facilitan por las leyes de los exponentes. Estas leyes se establecieron en la sección 1.5. Tal vez desee repasar ese material. Usaremos una de estas leyes en el siguiente ejemplo. f 1 3 2 5 23 5 8

EJEMPLO 1 Sea f(x) 5 22x-1. Encuentre el valor de x para el cual f(x) 5 16. Solución

Queremos resolver la ecuación: 22x21 5 16 5 24

Pero esta ecuación es válida si y solo si: 2x 2 1 5 4

bm 5 bn ⇒ m 5 n

lo que da x 5 52. Las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el análisis matemático. Debido a sus características especiales, son de las funciones más útiles y se encuentran en prácticamente todos los campos donde se aplican las matemáticas. Por mencionar algunos ejemplos: en condiciones ideales, el número de bacterias presente en cualquier momento t en un cultivo se puede describir con una función exponencial de t; la desintegración de sustancias radiactivas en el tiempo se comporta de acuerdo con una ley “exponencial” del decaimiento; el dinero depositado a plazo fijo gana intereses compuestos que crecen exponencialmente, y algunas de las funciones de distribución más importantes encontradas en estadística son exponenciales. Vamos a comenzar nuestro análisis de las propiedades de las funciones exponenciales mediante el estudio de sus gráficas.

EJEMPLO 2 Trace la gráfica de la función exponencial y 5 2x. En primer lugar, como se explicó antes, el dominio de la función exponencial y 5 f(x) 5 2x es el conjunto de los números reales. Luego, si suponemos x 5 0 se obtiene y 5 20 5 1, la intersección de f en el eje y. No hay intersección en el eje x, ya que no hay valor de x para el cual y 5 0. Para encontrar el rango de f, considere la siguiente tabla de valores: Solución

–2 FIGURA 2 La gráfica de y 5 2x.

1 }} 32

1 }} 16

1 }8}

1 }4}

1 }2}

Vemos en estos cálculos que 2x disminuye y se aproxima a cero cuando x decrece sin límite y que 2x aumenta sin límite a medida que x se incrementa sin límite. Así, el rango de f es el intervalo (0, `); es decir, el conjunto de números reales positivos. Por último, se traza la gráfica de y 5 f(x) 5 2x en la figura 2.

EJEMPLO 3 Trace la gráfica de la función exponencial y 5 (1>2)x. El dominio de la función exponencial y 5 (1>2)x es el conjunto de todos los números reales. La intersección con el eje y es (1>2)0 5 1; no hay intersección en el eje x, ya que no hay un valor de x para el cual y 5 0. De la siguiente tabla de valores: Solución

x y

25 32

24 16

A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

23 8

22 4

21 2

1 }2}

1 }4}

1 }8}

1 } 16}

1 } 3} 2

176

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

se deduce que (1>2)x 5 1>2x aumenta sin límite cuando x decrece sin límite, y que (1>2)x disminuye y se aproxima a cero cuando x se incrementa sin límite. Por tanto, el rango de f es el intervalo (0, `). La gráfica de y 5 f(x) 5 (1>2)x se muestra en la figura 3.

–2

FIGURA 3 x

1 2

Las funciones y 5 2x y y 5(1>2)x, cuyas gráficas se estudiaron en los ejemplos 2 y 3, son casos especiales de la función exponencial y 5 f(x) 5 bx, obtenidos al considerar b 5 2 y b 5 1>2, respectivamente. En general, la función exponencial y 5 bx con b . 1 tiene una gráfica similar a y 5 2x, mientras que la gráfica de y 5 bx para 0 , b , 1 es similar a la de y 5 (1>2)x (ejercicios 11 y 12 de la página 177). Cuando b 5 1, la función y 5 bx se reduce a la función constante y 5 1. Con fines de comparación, en la figura 4 se muestran las gráficas de las tres funciones.

La gráfica de y 5 a b

Propiedades de la función exponencial La función exponencial y 5 bx (b . 0, b ? 1) tiene las siguientes propiedades:

y = bx (0 < b < 1)

1. 2. 3. 4. 5.

y = bx (b > 1) y =1 x

Su dominio es (-`, `). Su rango es (0, `). Su gráfica pasa por el punto (0, 1). Su gráfica es una curva ininterrumpida que carece de valles o crestas. Su gráfica aumenta de izquierda a derecha si b . 1 y cae de izquierda a derecha si b , 1.

La base e

FIGURA 4 y 5 bx es una función creciente de x si b . 1, una función constante si b 5 1 y una función decreciente si 0 , b , 1.

Se puede demostrar, aunque no se hará aquí, que a medida que m se hace más y más grande, el valor de la expresión:

a1 1

se aproxima al número irracional 2.7182818..., que se denota como e. Se puede convencer de la veracidad de esta definición del número examinando la tabla 1, la cual se puede elaborar con ayuda de una calculadora. (Además, revise el siguiente ejercicio de la sección Explorando con tecnología.)

TABLA 1 a1 1

m 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000

1 m b m

2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828

Explorando con TECNOLOGÍA Para obtener una confirmación visual de que la expresión (1 1 1>m)m se aproxima al número e 5 2.71828... a medida que m se hace más y más grande, trace la gráfica de f(x) 5 (1 1 1>x)x en una ventana de tamaño adecuado y observe que f(x) se acerca a 2.71828... cuando x se hace más y más grande. Utilice zoom y trace para encontrar el valor de f(x) para valores grandes de x.

EJEMPLO 4 Trace la gráfica de la función y 5 ex.

Dado que e . 1, del análisis anterior se deduce que la gráfica de y 5 ex es similar a la gráfica de y 5 2x (figura 2). Con ayuda de una calculadora, obtenemos la siguiente tabla:

Solución 3

1 –3

–1

FIGURA 5 La gráfica de y 5 ex.

0.05

0.14

0.37

2.72

7.39

20.09

La gráfica de y 5 ex se muestra en la figura 5. A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

3.1 FUNCIONES EXPONENCIALES

177

Ahora, consideremos otra función exponencial de base e estrechamente relacionada con la función anterior, la cual es muy útil en la construcción de modelos que describen el “decaimiento exponencial”.

EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función y 5 e2x.

Dado que e . 1, se deduce que 0 , 1>e , 1, así que f(x) 5 e2x 5 1>ex 5(1>e)x es una función exponencial con base menor que 1. Por tanto, tiene una gráfica similar a la de la función exponencial y 5(1>2)x. Al igual que antes, elaboramos la siguiente tabla de valores de y 5 e-x para valores seleccionados de x:

Solución

1 –3

–1

FIGURA 6 La gráfica de y 5 e-x.

3.1

20.09

7.39

2.72

0.37

0.14

0.05

Usando esta tabla, elaboramos la gráfica de y 5 e-x que se muestra en la figura 6.

Ejercicios de autoevaluación

1. Resuelva la ecuación 22x11 ? 2235 2x21

Las soluciones a los ejercicios de autoevaluación 3.1 se encuentran en la página 179.

2. Trace la gráfica de y 5 e0.4x.

3.1

Preguntas sobre los conceptos

1. Defina la función exponencial f con base b y exponente x. ¿Qué restricciones, en su caso, se consideran para b?

3.1

Ejercicios 13. y 5 22x, y 5 32x y y 5 42x

En los ejercicios 1-10, resuelva la ecuación para x.

1. 6 2x 5 66

2. 52x 5 53

3. 33x24 5 35

4. 102x21 5 10 x13

5. 12.12

x12

7. 8x 5 a

5 12.1 2

1 x22 b 32

6. 11.32

x22

8. 3x2x 5

14. y 5 40.5x y y 5 420.5x

5 11.3 2

15. y 5 40.5x, y 5 4x y y 5 42x 2x11

1 9x

9. 32x 2 12 # 3 x 1 27 5 0 2x

10. 2

2. Para la función exponencial y 5 bx (b . 0, b ? 1), indique (a) su dominio y su rango, (b) la intersección en el eje y, (c) cuándo se eleva su gráfica y cuándo desciende para los casos en que b . 1 y b , 1.

2 4 # 2x 1 4 5 0

En los ejercicios 11-20, realice las gráficas de las funciones sobre el mismo plano coordenado.

11. y 5 2x, y 5 3x y y 5 4x 1 x 1 x 1 x 12. y 5 a b , y 5 a b y y 5 a b 2 3 4 A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

16. y 5 e x, y 5 2e x y y 5 3e x 17. y 5 e0.5x, y 5 e x y y 5 e1.5x 18. y 5 e20.5x, y 5 e2x y y 5 e21.5x 19. y 5 0.5e2x, y 5 e2x y y 5 2e2x 20. y 5 1 2 e2x y y 5 1 2 e20.5x 21. Una función f tiene la forma f(x) 5 Ae kx. Determine f si se sabe que f(0) 5 100 y f(1) 5 120. Sugerencia: ekx 5 (ek)x

22. Si f(x) 5 Axe2kx, determine f(3) si f(1) 5 5 y f(2) 5 7. Sugerencia: ekx 5 (ek)x.

178

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

27. USUARIOS DE INTERNET EN CHINA El número de usuarios de

23. Si tenemos la ecuación: f 1 t2 5

internet en China se aproxima por:

1000 1 1 Be2kt

N1t2 5 94.5e0.2t

determine f(5) dado que f(0) 5 20 y f(2) 5 30. Sugerencia: ekx 5 (ek)x.

24. EL DECLIVE DE AMERICAN IDOL Después de estar al aire durante más de una década, American Idol, la serie de Fox Broadcasting Company, parece haber agotado a los televidentes. El número promedio de espectadores de la temporada 2011 a la temporada 2013 se aproxima por: f 1t2 5 32.744e

20.252t

1 1 # t # 32

donde f(t) se mide en millones, y t 5 1 corresponde a la temporada 2011. a. ¿Cuál fue el promedio de espectadores en la temporada 2011? b. ¿Cuál fue el promedio de espectadores en la temporada 2014, suponiendo que la tendencia continuó en esa temporada? Fuente: Nielsen Ratings.

25. ENERGÍAS RENOVABLES Los países en desarrollo están aumentando el ritmo de sus inversiones en energías renovables. De acuerdo con un informe de la Escuela de Finanzas y Administración de Frankfurt, el monto de la inversión en energías renovables (en miles de millones de dólares) de los países en desarrollo entre 2009 (t 5 0) y 2012 está dado por: f 1 t2 5 64e0.188t

1 0 # t # 32

a. Determine el monto de inversión en energías renovables de los países en desarrollo en los años 2009 a 2012 completando la siguiente tabla: t

f 1 t2

b. Utilice la información del inciso anterior para trazar la gráfica de f. Fuente: Escuela de Finanzas y Administración de Frankfurt.

26. COMPRADORES EN LÍNEA De acuerdo con un estudio realizado por Forrester Research, Inc., la cantidad de dinero gastado por los compradores en línea en los Estados Unidos se proyecta en: 1 1 # t # 62

miles de millones de dólares en el año t, donde t 5 1 corresponde a 2011. a. Determine el gasto proyectado en cada uno de los años de 2011 a 2016 completando la siguiente tabla: t

donde N(t) se mide en millones y t se mide en años, con t 5 5 correspondiente a 2005. a. ¿Cuántos usuarios de internet hubo en 2005? ¿En 2006? ¿En 2010? b. Trace la gráfica de N. Fuente: C. E. Unterberg.

28. SUSCRIPTORES DE TELÉFONO CELULAR EN ESTADOS UNIDOS El número de suscriptores de teléfono celular en Estados Unidos entre los años 2000 y 2010 se aproxima por la función: N 1t2 5

385.474 1 1 2.521e20.214t

1 0 # t # 102

donde N(t) se mide en millones y t se mide en años, con t 5 0, correspondiente al año 2000. ¿Cuántos suscriptores de teléfono celular hubo en Estados Unidos en el año 2000? Si la tendencia continuó, ¿cuántos suscriptores hubo en 2012? Fuente: CTIA—The Wireless Association.

29. IMPUESTO MÍNIMO ALTERNO El impuesto mínimo alterno se creó en 1969 para evitar que los muy ricos utilizaran deducciones creativas y se protegieran para no pagar nada al Sistema de Administración Tributaria (Internal Revenue Service). Pero esta práctica tiene cada vez más éxito entre la clase media. El número de contribuyentes sujetos a un impuesto mínimo alterno se prevé como: N 1 t2 5

35.5 1 1 6.89e20.8674t

1 0 # t # 72

donde N(t) se mide en millones y t en años, con t 5 0 correspondiente a 2004. ¿Cuál es el número de contribuyentes sujetos a un impuesto mínimo alterno en 2010?

f 1 t2 5 105e0.095t

11 # t # 62

f 1 t2

b. Utilizando la información del inciso (a), trace la gráfica de f.

Fuente: Brookings Institution.

30. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS La concentración de un medicamento en un órgano en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por: x1t2 5 0.08 1 0.1211 2 e20.02t 2 donde x(t) se mide en gramos por centímetro cúbico (g>cm3). a. ¿Cuál es la concentración inicial del medicamento en el órgano? b. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano después de 20 segundos.

31. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS La concentración de un medicamento en un órgano en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por: C 1 t2 5 e

0.3t 2 181 1 2 e2t/60 2 18e2t/60 2 12e21t2202/60

si 0 # t # 20 si t . 20

donde C(t) se mide en gramos por centímetro cúbico (g>cm3).

Fuente: Forrester Research, Inc. A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

3.1 FUNCIONES EXPONENCIALES

a. ¿Cuál es la concentración inicial del medicamento en el órgano? b. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano después de 10 segundos? c. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano después de 30 segundos?

32. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS Jane tomó 100 mg de un medicamento en la mañana y otros 100 mg del mismo medicamento a la misma hora a la mañana siguiente. La cantidad del medicamento en su cuerpo t días después de que tomó la primera dosis está dada por:

A 1 t2 5 e

100e21.4t 1001 1 1 e1.4 2 e21.4t

179

En los ejercicios 33 a 36, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué lo es. Si es falso, dé un ejemplo para demostrar por qué lo es.

33. Si a y b son números positivos, entonces (a 1 b)x 5 ax 1 bx. 34. Si x , y, entonces ex , ey. 35. Si 0 , b , 1 y x , y, entonces bx . by. 36. Si ekx . 1, entonces k . 0 y x . 0.

si 0 # t , 1 si t $ 1

¿Cuál fue la cantidad de medicamento en el cuerpo de Jane inmediatamente después de tomar la segunda dosis? ¿Después de dos días?

3.1

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación 22x11 # 223 5 2x21

22x11 # 23 2 51 2x21

Enseguida se trazan los puntos y se unen con una curva suave para obtener la gráfica de f que se muestra en la siguiente figura.

Ambos lados se dividen entre 2 x21.

2(2x 1 1)2(x 1 1)23 5 1 x21

Esto es verdadero si y solo si x 2 1 5 0 o x 5 1.

5 4

2. Primero se elabora la siguiente tabla de valores:

y = e 0.4 x

y 5 e0.4x

0.3

0.4

0.7

1.5

2.2

3.3

2 1 –4 –3 –2 –1

USO DE LA TECNOLOGÍA

Aunque la prueba está fuera del alcance de este libro, se puede demostrar que una función exponencial de la forma f(x) 5 bx, donde b . 1, en última instancia, crecerá más rápido que la función de potencia g(x) 5 xn para cualquier número real positivo n. Para hacer una demostración visual de este resultado en el caso especial de la función exponencial f(x) 5 ex, podemos utilizar una herramienta de graficación para trazar las gráficas de f y g (para valores seleccionados de n) sobre el mismo conjunto de ejes en una ventana de visualización adecuada y observar que la gráfica de f, en última instancia, está por encima de la de g.

EJEMPLO 1 Utilice una calculadora graficadora para trazar las gráficas de (a) f(x) 5 ex y g(x) 5 x3 sobre el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización [0, 6] 3 [0, 250] y (b) f(x) 5 ex y g(x) 5 x5 en la ventana de visualización [0, 20] 3 [0, 1 000 000]. Solución

a. Las gráficas de f(x) 5 ex y g(x) 5 x3 en la ventana de visualización [0, 6] 3 [0, 250] se muestran en la figura T1a. b. Las gráficas de f(x) 5 ex y g(x) 5 x5 en la ventana de visualización [0, 20] 3 [0, 1 000 000] se muestran en la figura T1b. A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

180

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

250

1 000 000

6 0 x a. Las gráficas de f(x) 5 e y g(x) 5 x3 en la ventana de visualización [0, 6] 3 [0, 250]

20 0 x b. Las gráficas de f(x) 5 e y g(x) 5 x3 en la ventana de visualización [0, 20] 3 [0, 1 000 000]

FIGURA T1

En los siguientes ejercicios se pide usar una calculadora graficadora para mostrar las propiedades de las funciones exponenciales.

EJERCICIOS CON TECNOLOGÍA En los ejercicios 1 y 2, trace las gráficas de las funciones f y g sobre el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización indicada.

1. f(x) 5 ex y g(x) 5 x2; [0, 4] 3[0, 30] 2. f(x) 5 ex y g(x) 5 x4; [0, 15] 3[0, 20 000] En los ejercicios 3 y 4, trace las gráficas de las funciones f y g en el mismo conjunto de ejes en una ventana de visualización apropiada para demostrar que f, en última instancia, crece más rápido que g. (Nota: su respuesta no será única.)

3. f(x) 5 2x y g(x) 5 x2.5 4. f(x) 5 3x y g(x) 5 x3 5. Trace las gráficas de f(x) 5 2x, g(x) 5 3x y h(x) 5 4x en el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización [0, 5] 3 [0, 100]. Comente la relación entre la base b y el crecimiento de la función f(x) 5 bx. 6. Trace las gráficas de f(x) 5 (1>2)x, g(x) 5 (1>3)x y h(x) 5 (1>4)x en el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización [0, 4] 3 [0, 1]. Comente la relación entre la base b y el crecimiento de la función f(x) 5 bx. 7. Trace las gráficas de f(x) 5 ex, g(x) 5 2ex y h(x) 5 3ex en el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización [23, 3] 3 [0, 10]. Comente el papel que desempeña la constante k en la gráfica de f(x) 5 kex. 8. Trace las gráficas de f(x) 5 2ex, g(x) 5 22ex y h(x) 5 23ex en el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización [23, 3] 3 [210, 0]. Comente el papel que desempeña la constante k en la gráfica de f(x) 5 kex. 9. Trace las gráficas de f(x) 5 e0.5x, g(x) 5 ex y h(x) 5 e1.5x en el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización [22, 2] 3 [0, 4]. Comente el papel que desempeña la constante k en la gráfica de f(x) 5 ekx. 10. Trace las gráficas de f(x) 5 e-0.5x, g(x) 5 e-x y h(x)5 e-1.5x en el mismo conjunto de ejes en la ventana de visualización

[22, 2] 3[0, 4]. Comente el papel que desempeña la constante k en la gráfica de f(x) 5 ekx.

11. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS La concentración de un medicamento en un órgano en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por: x 1t2 5 0.08 1 0.12 11 2 e20.02t 2 donde x(t) se mide en gramos por centímetro cúbico (g>cm3). a. Trace la gráfica de la función x en la ventana de visualización [0, 200] 3 [0, 0.2]. b. ¿Cuál es la concentración inicial del medicamento en el órgano? c. ¿Cuál es la concentración del fármaco en el órgano después de 20 segundos?

12. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS Jane tomó una dosis de 100 mg de un medicamento en la mañana y otra dosis de 100 mg a la misma hora de la mañana siguiente. La cantidad de medicamento en su cuerpo después de t días luego de la primera dosis está dada por:

A 1 t2 5 e

100e21.4t 1001 1 1 e1.4 2 e21.4t

si 0 # t , 1 si t $ 1

a. Trace la gráfica de la función A en la ventana de visualización [0, 5] 3 [0, 140]. b. Compruebe los resultados del ejercicio 32 en la página 179.

13. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS La concentración de un medicamento en un órgano en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por:

C 1 t2 5 e

0.3t 2 181 1 2 e2t/60 2 18e2t/60 2 12e21t2202/60

si 0 # t # 20 si t . 20

donde C(t) se mide en gramos por centímetro cúbico (g>cm3). a. Trace la gráfica de la función C en la ventana de visualización [0, 120] 3 [0, 1]. A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

181

3.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

b. ¿Cuánto tiempo, después de que es introducido por primera vez, se necesita para que la concentración del medicamento alcance un punto máximo? c. Después de que la concentración del medicamento ha alcanzado su máximo, ¿cuánto tiempo se necesita para que decaiga a 0.5 g>cm3?

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Número

116.1

141.9

169.0

209.0

258.1

314.8

a. Utilice ExpReg para encontrar un modelo de regresión exponencial de los datos. Sea t 5 1 correspondiente a 2005.

Sugerencia: Trace las gráficas de y1 5 C(x) y y2 5 0.5, y utilice la función ISECT de su calculadora graficadora.

Sugerencia: a x 5 e x ln a

b. Trace el diagrama de dispersión y la gráfica de la función f que encontró en el inciso anterior.

14. MODELADO CON DATOS El número estimado de usuarios de internet en China (en millones) de 2005 a 2010 se muestra en la siguiente tabla:

3.2

Año

Funciones logarítmicas Logaritmos Usted ya está familiarizado con las ecuaciones exponenciales de la forma: 1b . 0, b ? 12

by 5 x

donde la variable x se expresa en términos de un número real b y una variable y. Pero, ¿qué pasa con la solución de esta misma ecuación para y? Quizá recuerde de sus cursos de álgebra que el número y se llama el logaritmo de x en base b y se denota como logbx. Es la potencia a la cual se debe elevar la base b para obtener el número x.

Logaritmo de x de base b y 5 logb x si y solo si

x 5 by

1b . 0, b ? 1 y x . 02

Observe que el logaritmo logb x se define solo para los valores positivos de x.

EJEMPLO 1 a. log10 100 5 2, ya que 100 5 102 b. log5 125 5 3, ya que 125 5 53 1 1 1 5 23, ya que 5 3 5 323 c. log3 27 27 3 d. log20 20 5 1, ya que 20 5 201

EJEMPLO 2 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x. a. log3 x 5 4

b. log16 4 5 x

c. log x 8 5 3

Solución

a. Por definición, log3 x 5 4 implica x 5 34 5 81. b. log164 5 x equivale a 4 5 16x 5(42)x 5 42x, o 41 5 42x, de la cual se deduce que:

2x 5 1 1 x5 2 A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

bm 5 bn 1 m 5 n

182

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

c. Refiriéndonos una vez más a la definición, vemos que la ecuación logx 8 5 3 es equivalente a: 8 5 23 5 x 3 x52 am 5 bm 1 a 5 b Los dos sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de logaritmos comunes, que utiliza el número 10 como su base, y el sistema de logaritmos naturales, que utiliza el número irracional e 5 2.71828. . . como su base. Además, es habitual escribir log para el log10 y ln para el loge.

Notación logarítmica

log x 5 log10 x ln x 5 loge x

Logaritmo común Logaritmo natural

El sistema de logaritmos naturales se utiliza ampliamente en el trabajo teórico. El uso de logaritmos naturales en lugar de logaritmos de otras bases suele conducir a expresiones más sencillas.

Leyes de logaritmos Los cálculos que implican logaritmos se facilitan con las siguientes leyes de los logaritmos.

Leyes de logaritmos Si m y n son números positivos y b . 0, b ? 1, entonces: 1. log b mn 5 log b m 1 log b n

m 5 logb m 2 logb n n 3. logb mn 5 n logb m 4. logb 1 5 0 5. logb b 5 1 2. logb

No confunda la expresión log m>n (ley 2) con la expresión log m>log n. Por ejemplo:

log

100 log 100 2 5 log 100 2 log 10 5 2 2 1 5 1 2 5 52 10 log 10 1

Se le pedirá demostrar estas leyes en los ejercicios 78-80 en la página 189. Sus deducciones deberán basarse en la definición de logaritmo y en las leyes de los exponentes que correspondan. Los siguientes ejemplos ilustran las propiedades de los logaritmos.

EJEMPLO 3

a. log= 2 # 3 5 log 2 1 log 3 c. log "7 5 log 71/2 5

b. ln

1 log 7 2

5 5 ln 5 2 ln 3 3

d. log5 1 5 0

3.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

183

EJEMPLO 4 Dado que log 2 < 0.3010, log 3 < 0.4771 y log 5 < 0.6990, utilice las leyes de los logaritmos para encontrar: a. log 15

b. log 7.5

c. log 81

d. log 50

Solución

a. Observe que 15 5 3 ? 5, así que por la ley 1 de los logaritmos:

log 15 5 5 < 5

log 3 # 5 log 3 1 log 5 0.4771 1 0.6990 1.1761

b. Considerando que 7.5 5 15>2 5(3 ? 5)>2, aplicamos las leyes 1 y 2 para obtener: 1 32 1 5 2 2 5 log 3 1 log 5 2 log 2 < 0.4771 1 0.6990 2 0.3010 5 0.8751

log 7.5 5 log

c. Puesto que 81 534, se aplica la ley 3 para obtener: log 81 5 5 < 5

log 34 4 log 3 4 1 0.47712 1.9084

d. Escribimos 50 5 5 ? 10 y se encuentra que: log 50 5 5 log 50 < 5

log 1 52 1 10 2 log 5 1 log 10 Use la ley 5 0.6990 1 1 1.6990

EJEMPLO 5 Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a. log3 x 2y 3

b. log2

x2 1 1 2x

c. ln

x 2"x 2 2 1 ex

Solución

a. log3 x 2y 3 5 log3 x 2 1 log3 y 3 5 2 log3 x 1 3 log3 y

Ley 1 Ley 3

x 11 5 log2 1 x 2 1 12 2 log2 2x 2x 5 log2 1 x 2 1 12 2 x log2 2 2

b. log2

5 log2 1 x 1 12 2 x 2

c. ln

x 2 1 x 2 2 12 1/2 x 2"x 2 2 1 5 ln ex ex

Ley 2 Ley 3 Ley 5

Reescriba

5 ln x 2 1 ln 1 x 2 2 12 1/2 2 ln ex

Leyes 1 y 2

5 2 ln x 1

1 ln1 x 2 2 12 2 x ln e 2

Ley 3

5 2 ln x 1

1 ln1 x 2 2 12 2 x 2

Ley 5

184

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Solución de ecuaciones que implican logaritmos Los ejemplos 6 y 7 ilustran cómo se utilizan las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones.

EJEMPLO 6 Resuelva log3 (x 1 1) 2 log3 (x 2 1) 5 1 para x. Solución

Al utilizar las propiedades de los logaritmos, obtenemos: log3 1 x 1 12 2 log3 1 x 2 12 5 1 x11 log3 51 x21 x11 5 31 5 3 x21

Ley 2 Definición de logaritmos

Entonces: x115 x115 45 x5

31 x 2 12 3x 2 3 2x 2

EJEMPLO 7 Resuelva logx 5 log(2x 2 1) 5 log 6. Solución

Tenemos: log x 1 log 1 2x 2 12 5 log 6 log x 1 log1 2x 2 12 2 log 6 5 0 x 1 2x 2 1 2 log c d 50 6 x 1 2x 2 12 5 100 5 1 6

Leyes 1 y 2

Definición de logaritmos

Por lo tanto: x 1 2x 2 12 5 6 2x 2 2 x 2 6 5 0 1 2x 1 32 1 x 2 22 5 0 x52

3 2

Dado que (2x 2 1) está definido para 2x 2 1 . 0, o x . 12, el dominio de log(2x – 1) es el intervalo A 12, `B. Así, rechazamos la raíz 232 de la ecuación cuadrática y concluimos que la solución de la ecuación dada es x 5 2. Si se considera que log a 5 log b si y solo si a 5 b, también podemos resolver la ecuación del ejemplo 7 como sigue:

Nota

log x 1 log 1 2x 2 12 5 log 6 log x1 2x 2 12 5 log 6 x 1 2x 2 12 5 6

El resto de la solución es la misma que en el ejemplo 7. A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

3.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

185

Funciones logarítmicas y sus gráficas La definición de un logaritmo significa que si b y n son números positivos y b es diferente de 1, entonces la expresión de logb n es un número real. Esto nos permite definir una función logarítmica de la siguiente manera.

Función logarítmica La función definida por: f 1x2 5 logb x

1b . 0, b 2 12

se llama función logarítmica con base b. El dominio de f es el conjunto de todos los números positivos.

Una forma fácil de obtener la gráfica de la función logarítmica y 5 logb x es elaborar una tabla de valores del logaritmo (base b). Sin embargo, otro método más instructivo se basa en la explotación de la íntima relación entre las funciones exponencial y logarítmica. Si un punto (u, √) se encuentra en la gráfica de y 5 logb x, entonces:

y=x

(√, u)

√ 5 log b u

(u, √ )

√

Pero también se puede escribir esta ecuación en forma exponencial como: √

FIGURA 7 Los puntos (u, v) son el reflejo de (v, u). y

y = bx y=x

y = log b x x

y = ex

1. 2. 3. 4. 5.

y=x

y = ln x 1

Así, el punto (√, u) también se encuentra en la gráfica de la función y 5 bx. Ahora se analizará la relación entre los puntos (u, √) y (√, u) y la recta y 5 x (figura 7). Si se piensa en la recta y 5 x como en un espejo, entonces el punto (√, u) es el reflejo del punto (u, √). Del mismo modo, el punto (u, √) es un reflejo del punto de (√, u). Podemos aprovechar esta relación para trazar la gráfica de las funciones logarítmicas. Por ejemplo, si la gráfica de y 5 logb x, donde b . 1, entonces solo necesitamos trazar la imagen espejo de la gráfica de y 5 bx con respecto a la recta y 5 x (figura 8). Usted puede descubrir las siguientes propiedades de la función logarítmica considerando el reflejo de la gráfica de una función exponencial adecuada (ejercicios 47 y 48 en la página 188).

Propiedades de la función logarítmica La función logarítmica y 5 logb x (b . 0, b ? 1) tiene las siguientes propiedades:

FIGURA 8 La gráfica de y 5 bx es el reflejo de la gráfica de y 5 logb x. y

u 5 b√

Su dominio es (0, `). Su rango es (2 `, `). Su gráfica pasa por el punto (1, 0). Su gráfica es una curva ininterrumpida que carece de valles y crestas. Su gráfica aumenta de izquierda a derecha si b . 1 y cae de izquierda a derecha si b , 1.

EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función y 5 ln x. FIGURA 9 La gráfica de y 5 ln x es el reflejo de la gráfica de y 5 ex.

En primer lugar, se traza la gráfica de y 5 ex. Luego, se obtiene la gráfica requerida trazando el reflejo de la gráfica de y 5 ex con respecto a la recta y 5 x (figura 9). Solución

186

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Propiedades relativas a las funciones exponenciales y logarítmicas Se utilizó la relación que existe entre la función exponencial f(x) 5 ex y la función logarítmica g(x) 5 ln x al trazar la gráfica de g en el ejemplo 8. Esta relación se describe con más detalle a través de las siguientes propiedades, que son una consecuencia inmediata de la definición del logaritmo de un número.

Propiedades relativas a ex y ln x eln x 5 x ln ex 5 x

(para x . 0) (para cualquier número real x)

(1) (2)

(Trate de verificar estas propiedades). A partir de las propiedades 1 y 2, concluimos que la función compuesta satisface: 1 f + t2 1x2 5 5 1t + f 2 1x2 5 5

f 3t 1 x 2 4 eln x 5 x t3 f 1x2 4 ln ex 5 x

(para toda x . 0) (para toda x . 0)

Se dice que si cualesquiera dos funciones f y g satisfacen esta relación, son inversas entre sí. Observe que la función f deshace lo que hace la función g, y viceversa, por lo que la composición de las dos funciones en cualquier orden resulta en la función identidad F(x) 5 x. Las relaciones expresadas en las ecuaciones (1) y (2) son útiles para resolver ecuaciones que involucran exponenciales y logaritmos.

Explorando con TECNOLOGÍA Usted puede demostrar la validez de las propiedades 1 y 2, las cuales establecen que la función exponencial f(x) 5 ex y la función logarítmica g(x) 5 ln x son inversas entre sí, como se explica a continuación: 1. Trace la gráfica de (f + g)(x) 5 eln x, utilizando la ventana de visualización [0, 10] 3 [0, 10]. Interprete el resultado. 2. Trace la gráfica de (g + f)(x) 5 ln ex, utilizando la ventana de visualización estándar. Interprete el resultado.

EJEMPLO 9 Resuelva la ecuación 2ex12 5 5.

Explore y analice Considere la ecuación y 5 y0bkx, donde y0 y k son constantes positivas y b . 0, b ? 1. Suponga que queremos expresar y en la forma y 5 y0epx. Utilice las leyes de los logaritmos para demostrar que p 5 k ln b y, por tanto, que y 5 y0 e(kln b)x es una forma alterna de y 5 y0 bkx utilizando la base e.

Solución

Primero se dividen ambos lados de la ecuación entre 2 para obtener:

ex12 5

5 5 2.5 2

Luego, se toma el logaritmo natural de cada lado de la ecuación y se utiliza la ecuación (2) para obtener:

ln ex12 5 x125 x5 <

ln 2.5 ln 2.5 22 1 ln 2.5 21.08

3.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

187

EJEMPLO 10 Resuelva la ecuación 5 ln x 1 3 5 0. Solución

Al sumar 23 a ambos lados de la ecuación se obtiene:

5 ln x 5 23 3 ln x 5 2 5 20.6 5 y, por tanto: eln x 5 e20.6 Se utiliza la ecuación (1) para concluir que:

x 5 e20.6 < 0.55

3.2

Ejercicios de autoevaluación

1. Trace la gráfica de y 5 3x y y 5log3x en el mismo conjunto de ejes.

3.2

2. Para la función logarítmica y 5 logb x (b . 0, b ? 1), establezca: (a) su dominio y el rango, (b) su intersección en x, (c) cuándo crece su gráfica y cuándo decrece para el caso en que b , 1.

1. 2 5 64

4. Sea f(x) 5 ln x2 y g(x) 5 2 ln x. ¿Son f y g idénticas? Sugerencia: Revise los dominios.

1 16

14. log!3

15. log 48

16. log

2. 3 5 243 4. 523 5

1 125

1 24 6. a b 5 16 2

7. 324/5 5 16

8. 813/4 5 27

9. 1023 5 0.001

13. log 16

1 1 1 5. a b 5 3 3

10. 1621/4 5 0.5

En los ejercicios 11-16, dado que log 3 < 0.4771 y log 4 < 0.6021, encuentre el valor de cada logaritmo.

11. log 12

3. a. Si x . 0, ¿qué es eln x? b. Si x es cualquier número real, ¿qué es ln ex?

Ejercicios

En los ejercicios 1-10, exprese cada ecuación en forma logarítmica.

3. 422 5

Las soluciones a los ejercicios de autoevaluación 3.2 se encuentran en la página 190

Preguntas sobre los conceptos

1. a. Defina y 5 logb x. b. Defina la función logarítmica f con base b. ¿Qué restricciones, en su caso, se consideran para b?

3.2

2. Resuelva la ecuación 3ex11 2 2 5 4.

12. log

3 4

1 300

En los ejercicios 17-20, escriba la expresión como el logaritmo de una cantidad simple.

17. 2 ln a 1 3 ln b

18.

1 ln x 1 2 ln y 2 3 ln z 2

19. ln 3 1

1 1 ln x 1 ln y 2 ln z 2 3

20. ln 2 1

1 ln 1 x 1 12 2 2 ln 1 1 1 !x2 2

188

CAPÍTULO 3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

En los ejercicios 21-28, utilice las leyes de los logaritmos para desarrollar y simplificar cada expresión.

21. log x 1x 1 1 2 4 23. log

!x 1 1 x2 1 1 2

25. ln xe2x 27. ln

x 1/2 x 2"1 1 x 2

22. log x1x 2 1 1 2 21/2 24. ln

ex 1 1 ex

26. ln x1x 1 1 2 1x 1 2 2 28. ln

x2 !x 1 1 1 x 2 2

En los ejercicios 29-42, utilice las leyes de los logaritmos para resolver cada ecuación.

29. log2 x 5 3

30. log3 x 5 2

31. log2 8 5 x

32. log3 27 5 2x

33. logx 103 5 3

34. logx

60. PROMEDIO DE DURACIÓN DE LA VIDA Una de las razones del aumento de la esperanza de vida en los últimos años han sido los avances en la tecnología médica. El promedio de vida de las mujeres estadounidenses desde 1907 hasta 2007 está dado por: W 1t2 5 49.9 1 17.1 ln t

11 # t # 62

donde W(t) se mide en años y t se mide en intervalos de 20 años, con t 5 1 correspondiente a 1907. a. ¿Cuál era la esperanza de vida de las mujeres en 1907? b. Si la tendencia continúa, ¿cuál será la esperanza de vida de las mujeres en 2027? Fuente: American Association of Retired People (AARP).

61. PRESIÓN ARTERIAL La presión arterial sistólica normal de un menor se puede aproximar con la función:

1 5 22 16

p1x 2 5 m1ln x2 1 b

35. log2 2x 1 5 5 4 donde p(x) se mide en milímetros de mercurio, x se mide en libras y m y b son constantes. Teniendo en cuenta que m 5 19.4 y b 5 18, determine la presión arterial sistólica de un niño que pesa 92 libras.

36. log4 5x 2 4 5 2 37. log2 x 2 log2 x 2 2 5 3 38. log x 2 log x 1 6 5 21

62. MAGNITUD DE LOS TERREMOTOS En la escala de Richter, la

39. log5 2x 1 1 2 log5 x 2 2 5 1

magnitud R de un terremoto está dada por la fórmula:

40. log x 1 7 2 log x 2 2 5 1

R 5 log

41. log x 1 log 2 x 2 5 5 log 3 42. log3 x 1 1 1 log3 2x 2 3 5 1 En los ejercicios 43-46, trace la gráfica de cada ecuación.

43. y 5 log 3 x

44. y 5 log 1/3 x

45. y 5 ln 2x

46. y 5 ln

1 x 2

En los ejercicios 47 y 48, trace las gráficas de las ecuaciones en los mismos ejes de coordenadas.

47. y 5 2 x y y 5 log2 x

48. y 5 e 3x y y 5

1 ln x 3

En los ejercicios 49-58, utilice logaritmos para resolver cada ecuación para t.

49. e

0.4t

1 50. e23t 5 0.9 3

51. 5e22t 5 6

52. 4e t21 5 4

53. 2e20.2t 2 4 5 6

54. 12 2 e0.4t 5 3

55.

50 5 20 1 1 4e0.2t

57. A 5 Be2t/2

56.

200 5 100 1 1 3e20.3t A 5C 1 1 Bet /2

58. }

59. Una función f tiene la forma f(x) 5 a 1 b ln x. Encuentre f si se sabe que f(1) 5 2 y f(2) 5 4.

I I0

donde I es la intensidad del terremoto que se está midiendo e I0 es la intensidad de referencia estándar. a. Exprese la intensidad I de un terremoto de magnitud R 5 5 en términos de la intensidad estándar I0. b. Exprese la intensidad I de un terremoto de magnitud R 5 8 en términos de la intensidad estándar I0. ¿Cuál es la diferencia entre la intensidad de un terremoto de magnitud 8 y uno de magnitud 5? c. En tiempos recientes, la mayor pérdida de vidas humanas atribuible a un terremoto ocurrió en Haití en 2010. El terremoto de Haití registró 7.0 en la escala de Richter. ¿De qué manera se compara la intensidad de este terremoto con la de uno de magnitud R 5 5?

63. INTENSIDAD DEL SONIDO La intensidad relativa de un sonido D de intensidad I se mide en decibeles (db), donde:

D 5 10 log

I I0

e I0 es el umbral de nivel de audibilidad. a. Exprese la intensidad I de un sonido de 30 db (el nivel de sonido de una conversación normal) en términos de I0. b. Determine la diferencia entre la intensidad de un sonido de 80 db respecto de un sonido de 30 db. c. El ruido prolongado por encima de 150 db causa sordera permanente. ¿De qué manera la intensidad de un sonido de 150 db se compara con la de uno de 80 db? A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

3.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

64. PRESIÓN BAROMÉTRICA La ley de Halley establece que la presión barométrica (en pulgadas de mercurio) a una altura x por encima del nivel del mar se aproxima por la ecuación: p 1x 2 5 29.92e

20.2x

1x $ 0 2

Si la presión barométrica medida en un globo de aire caliente es de 20 pulgadas de mercurio, ¿a qué altitud está el globo?

65. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON La temperatura de una taza de café t minutos después de que se sirve está dada por: T 5 70 1 100e20.0446t donde T se mide en grados Fahrenheit. a. ¿Cuál era la temperatura del café cuando se sirvió? b. ¿Cuándo se enfriará el café lo suficiente (digamos, a 120 °F) como para beberlo?

66. ALTURA DE LOS ÁRBOLES La altura (en pies) de cierto tipo de árbol se calcula por: h 1 t2 5

160 1 1 240e20.2t

donde t es la edad del árbol en años. Calcule la edad de un árbol de 80 pies.

67. OBESIDAD AL PASO DEL TIEMPO El porcentaje de adultos obesos de 20 a 74 años de edad se proyecta como: f 1 t2 5

46.5 1 1 2.324e20.05113t

1 0 # t # 602

en el año t, con t 5 0 correspondiente a 1970. Calcule el año cuando el porcentaje alcanzó el 40%. Fuente: Centers for Disease Control and Prevention.

68. LONGITUD DE UN PEZ La longitud (en centímetros) de un mero típico del Pacífico con t años de edad es aproximadamente de: f 1t 2 5 200 11 2 0.956e20.18t 2 Suponga que un mero del Pacífico capturado por Mike mide 140 cm. ¿Cuál es su edad aproximada?

69. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS La concentración de un medicamento en un órgano en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por: x 1t2 5 0.08 1 0.12e20.02t donde x(t) se mide en gramos por centímetro cúbico (g>cm3). a. ¿Cuánto tiempo haría falta para que la concentración del medicamento en el órgano llegara a 0.18 g>cm3? b. ¿Cuánto tiempo haría falta para que la concentración del medicamento en el órgano llegara a 0.16 g>cm3? A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.

189

70. ABSORCIÓN DE MEDICAMENTOS La concentración de un medicamento en un órgano en cualquier tiempo t segundos está dada por: x 1t 2 5 0.0811 2 e20.02t 2 donde x(t) se mide en gramos por centímetro cúbico (g>cm3). a. ¿Cuánto tiempo haría falta para que la concentración del medicamento en el órgano llegara a 0.02 g>cm3? b. ¿Cuánto tiempo haría falta para que la concentración del medicamento en el órgano llegara a 0.04 g>cm3?

71. CIENCIA FORENSE Los científicos forenses utilizan la siguiente ley para determinar el momento de la muerte de las víctimas de accidentes o asesinatos. Si T denota la temperatura de un cuerpo t horas después de la muerte, entonces: T 5 T0 1 1T1 2 T0 2 10.97 2 t donde T0 es la temperatura del aire y T1 es la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte. John Doe fue encontrado muerto a media noche en su casa, cuando la temperatura ambiente era de 70 °F y su temperatura corporal de 80 °F. ¿Cuándo lo mataron? Suponga que la temperatura normal del cuerpo es de 98.6 °F. En los ejercicios 72-76, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, dé un ejemplo para demostrar por qué lo es.

72. (ln x)3 5 3 ln x para todo x en (0, `). 73. Si a . 0 y b . 0, entonces ln (a 1 b) 5 ln a 1 ln b. 74. Si b . 0, entonces eln b 5 ln eb. 75. ln a 2 ln b 5 ln(a 2 b) para todos los números reales positivos a y b. 76. (log2 3)(log3 2) 5 1 77. a. Dado que 2x 5 ekx, encuentre k. b. Demuestre que, en general, si b es un número real positivo, entonces cualquier ecuación de la forma y 5 bx se puede escribir en la forma y 5 ekx, para algún número real k. 78. Utilice la definición de logaritmo para demostrar que: a. logb mn 5 logb m 1 logb n b. logb

m 5 logb m 2 logb n n

Sugerencia: Sea logbm 5 p y logbn 5 q. Entonces, bp 5 m y bq 5 n.

79. Utilice la definición de logaritmo para demostrar que: logb m n 5 n log b m 80. Utilice la definición de logaritmo para demostrar que: a. log b 1 5 0 b. log b b 5 1

GOBIERNO Q Q

Distribución del presupuesto federal p. 309 Déficit del gobierno federal Utilice la derivada para determinar el déficit del gobierno federal más largo ocurrido entre los años 2006 a 2012. p. 512

FINANZAS PERSONALES Costo de televisión por cable p. 13 Quiebra personal p. 579 Q Deuda por tarjetas de crédito p. 580 Q Q

REDES SOCIALES SALUD Q Q

Fumadores en Estados Unidos p. 84 Enfermedad de Alzheimer p. 401

Usuarios de Facebook p. 163 Privacidad cibernética Utilice operaciones de conjuntos para clasificar las empresas acerca de cómo mantener la información personal segura. p. 297 Q Redes sociales Utilice antiderivación para encontrar un modelo que describa el porcentaje de personas que usan sitios de redes sociales. p. 548 Q Q

TECNOLOGÍA

NOTICIAS Erosión de la clase media Utilice una función lineal para modelar el porcentaje de adultos con ingreso medio en Estados Unidos p. 117 Q Encuesta sobre terrorismo p. 251 Q Costos del cuidado de salud p. 579 Q

Uso de dispositivos móviles p. 149 Creación de la información digital Utilice regla de la cadena para encontrar que tan rápido se crea la información digital. p. 413 Q Medidores inteligentes p. 462 Q Fin de la era del Ipod p. 510 Q Q

VIAJES

EN EL TRABAJO Q Q

Expectativas de los trabajadores p. 150 Distracciones en el trabajo p. 308

Ciudades de Estados Unidos con los mejores restaurantes italianos p. 301 Q Turismo en Hawái p. 462 Q Precio promedio antes del vuelo p. 502 Q

Para encontrar más vea el índice completo de aplicaciones al ﬁnal del libro ... Businessman with Laptop: © Odua Images / Shutterstock.com; College Graduates: © gui jun peng / Shutterstock.com; Businessman Stealing Money: © Maryna Pleshkun / Shutterstock.com; Crowd of People: © Dariush M / Shutterstock.com; Gas Prices: © justasc / Shutterstock.com; Climate Change: © kwest / Shutterstock.com; Concert Attendance: © swinner / Shutterstock.com; Accounting with Calculator: © Zadorozhnyi Viktor / Shutterstock.com; Government Columns: © Ambient Ideas / Shutterstock.com; Medical Tests: © Hero Images / Getty Images; U.S. Tax Form: © Robyn Mackenzie / Shutterstock.com; New Job Workplace: © Pressmaster / Shutterstock.com; Credit Card: © luchunyu / Shutterstock.com; Social Media Connections: © Mathias Rosenthal / Shutterstock.com; Smartphone: © bloomua / Shutterstock.com; New York Tourism: © upthebanner / Shutterstock.com

Las matemáticas son una parte integral de la vida cotidiana, Matemáticas aplicadas a

los negocios, las ciencias sociales y de la vida, sexta edición, ilustra este punto con un enfoque aplicado. Ya que los estudiantes tienen una mejor apreciación del material de estudio cuando las aplicaciones se toman de sus campos de interés y de situaciones que ocurren en el día a día, el autor introduce los conceptos a partir de ejemplos concretos de la vida real. La obra adopta un enfoque intuitivo para detallar cada concepto matemático abstracto a partir de una experiencia habitual. Una vez que se ha presentado la idea general se profundiza en el tema, lo que garantiza que el rigor matemático no se pierda a partir del tratamiento intuitivo, sino que enriquece la perspectiva de los estudiantes. El texto ilustra el valor práctico de las matemáticas mediante las múltiples aplicaciones de los conceptos matemáticos, tanto en la vida cotidiana de los estudiantes como en sus diferentes campos de estudio, como los negocios, las ciencias sociales y de la vida.

ISBN-13: 978-607-526-530-8 ISBN-10: 607-526-530-9

Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

9 786075 265308