9786075265568 Matemáticas V. Ecuaciones Diferenciales. 1a. Ed. Dennis G. Zill y Warren S. Wright.

ZILL • WRIGHT

Matemáticas V ECUACIONES DIFERENCIALES

En Matemáticas V. Ecuaciones diferenciales el estudiante hallará abundantes ejemplos, explicaciones, recuadros, tablas, definiciones y ejemplos para hacer más fácil el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo de ecuaciones diferenciales.

Aunadas al estilo directo, legible y provechoso del texto, estas características hacen que el libro sea un clásico instantáneo.

Matemáticas V • ECUACIONES DIFERENCIALES

Matemáticas V. Ecuaciones diferenciales, ha sido adaptado por el maestro Joel Ibarra para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México a partir de las páginas del ya famoso Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera de Zill y Wright.

Matemáticas V ECUACIONES DIFERENCIALES

ISBN-13: 978-607-526-556-8 ISBN-10: 607-526-556-2

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ECUACIONES DIFERENCIALES Matemáticas 5

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University

WARREN S. WRIGHT Loyola Marymount University

JOEL IBARRA ESCUTIA Instituto Tecnológico de Toluca MICHAEL R. CULLEN Antiguo miembro de la Loyola Marymount University TRADUCCIÓN Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Lic. Rafael Salvador Gardea Talamantes Instituto Tecnológico de Querétaro

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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Ecuaciones diferenciales Matemáticas 5 Dennis G. Zill, Warren S. Wright y Joel Ibarra Gerente Editorial de Contenidos en Español: Jesús Mares Chacón Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente de Desarrollo Editorial en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Omegar Martínez Diseño de portada:

Imagen de portada: ©Shutterstock Composición tipográfica:

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301.

Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa.

C.P. 05320. Ciudad de México.

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DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo iii, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro: Differential Equations with Boundary-Value Problems, Eighth Edition Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-1-111-82706-9 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G., Warren S. Wright y Joel Ibarra Ecuaciones diferenciales. Matemáticas 5 ISBN: 978-607-526-556-8 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

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CONTENIDO Prefacio vii

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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1.1 Definiciones y terminología 2 1.2 Problemas con valores iniciales 13 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 19 1.4 Variables separables 32 1.5 Ecuaciones lineales 39 1.6 Ecuaciones exactas 48 1.7 Soluciones por sustitución 55

2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

61

2.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 62 2.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 62 2.1.2 Ecuaciones homogéneas 64 2.1.3 Ecuaciones no homogéneas 69 2.2 Reducción de orden 74 2.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 77 2.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 83 2.5 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 92 2.6 Variación de parámetros 99 2.7 Ecuación de Cauchy-Euler 105

3

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

112

3.1 Definición de la transformada de Laplace 113 3.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 120 3.2.1 Transformadas inversas 120 3.2.2 Transformadas de derivadas 123 3.3 Propiedades operacionales I 128 3.3.1 Traslación en el eje s 129 v

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CONTENIDO

3.3.2 Traslación en el eje t 132 3.4 Propiedades operacionales II 140 3.4.1 Derivadas de una transformada 140 3.4.2 Transformadas de integrales 141 3.4.3 Transformada de una función periódica 146 3.5 La función delta de Dirac 151

4

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 155 4.1 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 156 4.2 Solución de sistemas de ED lineales por transformada de Laplace 160 4.3 Introducción a la solución matricial de sistemas de ED lineales 165 4.4 Sistemas lineales homógeneos 173 4.4.1 Eigenvalores reales distintos 174 4.4.2 Eigenvalores repetidos 177 4.4.3 Eigenvalores complejos 182

5

SERIES DE FOURIER

189 5.1 Funciones ortogonales 190 5.2 Series de Fourier 195 5.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 201

APÉNDICES I

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Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares 208 I.1

Ecuaciones diferenciales parciales separables 209

I.2

EDO clásicas y problemas con valores en la frontera 213

I.3

Ecuación de calor 219

I.4

Ecuación de onda 221

I.5

Ecuación de Laplace 226

II

Función gamma 232

III

Transformadas de Laplace 234

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PREFACIO Ecuaciones diferenciales. Matemáticas 5 es una adaptación del muy reconocido Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera de Dennis G. Zill y Warren S. Wright. La adaptación fue hecha por el maestro Joel Ibarra del Instituto Tecnológico de Toluca para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México. Este libro incluye una sección de proyectos con ejemplos de aplicaciones prácticas para un sinfín de ecuaciones diferenciales. Adicionalmente, en esta entrega se han mejorado por completo varios capítulos del libro y se han agregado y actualizado ejercicios, ejemplos, casos y definiciones en todas sus secciones. A la vez que ha sido completamente replanteado, el volumen conserva, amplía y da énfasis a los ejercicios y al sistema que ha dado tanto reconocimiento a los libros de los autores originales, haciéndolo más enfocado sin perder valor.

Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles únicamente en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor información, póngase en contacto con el área de servicio al cliente en las siguientes direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica Cengage Learning Caribe Cengage Learning Cono Sur Cengage Learning Pacto Andino

clientes.mexicoca@cengage.com clientes.caribe@cengage.com clientes.conosur@cengage.com clientes.pactoandino@cengage.com

Al igual que los recursos impresos adicionales, las direcciones de los sitios web señaladas a lo largo del texto, y que se incluyen a modo de referencia, no son administradas por Cengage Learning Latinoamerica, por lo que ésta no es responsable de los cambios y actualizaciones de las mismas.

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Definiciones y terminología Problemas con valores iniciales Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Variables separables Ecuaciones lineales Ecuaciones exactas Soluciones por sustitución

Es cierto que las palabras ecuaciones y diferenciales sugieren alguna clase de ecuación que contiene derivadas y9, y0, . . . Al igual que en un curso de álgebra y trigonometría, en los que se invierte bastante tiempo en la solución de ecuaciones tales como x2 1 5x 1 4 5 0 para la incógnita x, en este curso una de las tareas será resolver ecuaciones diferenciales del tipo y0 1 2y9 1 y 5 0 para la función incógnita y 5 f (x).

El párrafo anterior nos dice algo, pero no la historia completa sobre el curso que está por iniciar. Conforme el curso se desarrolle, verá que hay más en el estudio de las ecuaciones diferenciales que solamente dominar los métodos que alguien ha inventado para resolverlas.

Pero vamos en orden. Para leer, estudiar y platicar sobre un tema especializado, es necesario aprender la terminología de esta disciplina. Esa es la intención de las dos primeras secciones de este capítulo. En la última sección examinaremos brevemente el vínculo entre las ecuaciones diferenciales y el mundo real. Las preguntas prácticas como ¿qué tan rápido se propaga una enfermedad? y ¿qué tan rápido cambia una población? implican razones de cambio o derivadas. Así, la descripción matemática —o modelo matemático— de experimentos, observaciones o teorías puede ser una ecuación diferencial.

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UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA INTRODUCCIÓN La derivada dyydx de una función y 5 f (x) es otra función f 9(x) que se encuentra con una regla apropiada. La función y 5 e0.1x2 es derivable en el intervalo (2`, `), y usando 2 la regla de la cadena, su derivada es dyydx 5 0.2xe0.1x . Si sustituimos e0.1x2 en el lado derecho de la última ecuación por y, la derivada será

dy dx

(1) 0.2xy. (1)

Ahora imaginemos que un amigo construyó su ecuación (1) ; usted no tiene idea de cómo la hizo y se pregunta ¿cuál es la función representada con el símbolo y? Se enfrenta entonces a uno de los problemas básicos de este curso: ¿Cómo resolver una ecuación para la función desconocida y 5 f (x)?

UNA DEFINICIÓN A la ecuación (1) se le denomina ecuación diferencial. Antes de proseguir, consideremos una definición más exacta de este concepto.

DEFINICIÓN 1.1.1 Ecuación diferencial Se denomina ecuación diferencial (ED) a la ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.

Para hablar acerca de ellas clasificaremos a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.

CLASIFICACIÓN POR TIPO Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Nuestro primer ejemplo ilustra varias ecuaciones diferenciales de cada tipo.

EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales a)

Las ecuaciones

UnaEDO ED puede Una puedecontener contener másmás de de unauna variable dependiente, 2=y variable dependiente

↓

dy d y dy 5y ex, 6y 0, y dx dx2 dx son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

dx dt

2

↓

dy dt

2x

y (2) (2)

b) Las siguientes son ecuaciones diferenciales parciales:

2

u x2

2

u y2

2

0,

u x2

2

u t2

2

u , t

y

u y

v (3) (3) x

Observe que en la tercera ecuación hay dos variables dependientes y dos variables independientes en la EDP. Esto significa que u y v deben ser funciones de dos o más variables independientes.

NOTACIÓN A lo largo del libro las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leibniz dyydx, d 2yydx 2, d 3yydx 3, . . . o la notación prima y9, y0, y, . . . Usando esta última notación, las primeras dos ecuaciones diferenciales en (2) se pueden escribir en

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1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

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una forma un poco más compacta como y9 1 5y 5 ex y y0 2 y9 1 6y 5 0. En realidad, la notación prima se usa para denotar sólo las primeras tres derivadas: la cuarta derivada se denota y(4) en lugar de y00. En general, la n-ésima derivada de y se escribe como dnyydxn o y(n). Aunque es menos conveniente para escribir o componer tipográficamente, la notación de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación prima: muestra claramente ambas variables, las dependientes y las independientes. Por ejemplo, en la ecuación función incógnita o variable dependiente

d 2x –––2 16x 0 dt

variable independiente

se aprecia de inmediato que ahora el símbolo x representa una variable dependiente, mientras que la variable independiente es t. También se debe considerar que en ingeniería y en ciencias físicas, la notación de punto de Newton (nombrada despectivamente notación de “puntito”) algunas veces se usa para denotar derivadas respecto al tiem¨ po t. Así la ecuación diferencial d 2sydt 2 5 232 será s 5 232.

Con frecuencia las derivadas parciales se denotan mediante una notación de subíndice que indica las variables independientes. Por ejemplo, con la notación de subíndices la segunda ecuación en (3) será u xx 5 u tt 2 2u t.

CLASIFICACIÓN POR ORDEN El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP*) es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Por ejemplo, segundo orden

primer orden

( )

d 2y dy 3 ––––2 5 ––– 4y ex dx dx

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. En el ejemplo 1, la primera y la tercera ecuación en (2) son EDO de primer orden, mientras que en (3) las primeras dos ecuaciones son EDP de segundo orden. A veces las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben en la forma diferencial M(x, y) dx 1 N(x, y) dy 5 0. Por ejemplo, si suponemos que y denota la variable dependiente en (y 2 x) dx 1 4xdy 5 0, entonces y95 dyydx, por lo que al dividir entre la diferencial dx, obtenemos la forma alterna 4xy9 1 y 5 x.

Simbólicamente podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una variable dependiente por la forma general

F(x, y, y , . . . , y(n))

0, (4) (4)

donde F es una función con valores reales de n 1 2 variables: x, y, y9, …, y(n). Por razones tanto prácticas como teóricas, de ahora en adelante supondremos que es posible resolver una ecuación diferencial ordinaria en la forma de la ecuación (4) únicamente para la mayor derivada y(n) en términos de las n 1 1 variables restantes. La ecuación diferencial

d ny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5) (5) dxn donde f es una función continua con valores reales, se conoce como la forma normal de la ecuación (4). Así que para nuestros propósitos, usaremos las formas normales cuando sea adecuado

dy dx

f (x, y)

y

d 2y dx2

f (x, y, y )

para representar en general las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Por ejemplo, la forma normal de la ecuación de primer orden 4xy9 1 y 5 x es y9 5 (x 2 y)y4x; la forma normal de la ecuación de segundo orden y0 2 y9 1 6y 5 0 es y0 5 y9 2 6y. Vea el inciso iv) en los Comentarios.

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UNIDAD 1   ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

CLASIFICACIĂ“N POR LINEALIDAD  Se dice que una ecuaciĂłn diferencial de n-ĂŠsimo orden (4) es lineal si F es lineal en y, y9, . . . , y (n). Esto significa que una EDO de n-ĂŠsimo orden es lineal cuando la ecuaciĂłn (4) es a n(x)y (n) 1 a n21(x)y (n21) 1 ? ? ? 1 a1 (x)y9 1 a 0(x)y 2 g(x) 5 0 o

an(x)

dny dx n

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy dx

a0(x)y

g(x). (6) (6)

Dos casos especiales importantes de la ecuaciĂłn (6) son las ED lineales de primer orden (n 5 1) y de segundo orden (n 5 2):

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

y

g(x)

a2 (x)

d 2y dx2

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x). (7) (7)

En la combinación de la suma del lado izquierdo de la ecuación (6) vemos que las dos propiedades características de una EDO son las siguientes: • La variable dependiente y y todas sus derivadas y9, y0, . . . , y (n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada tÊrmino que contiene y es igual a 1. • Los coeficientes de a0, a1, . . . , an de y, y9, . . . , y(n) dependen de la variable independiente x.

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas tales como sen y o e y’, no pueden aparecer en una ecuación lineal.

EJEMPLO 2   EDO lineal y no lineal a) Las ecuaciones

d 3y dy x 5y ex dx3 dx son, respectivamente, ecuaciones diferenciales lineales de primer, segundo y tercer orden.

Acabamos de mostrar que la primera ecuaciĂłn es lineal en la variable y cuando se escribe en la forma alternativa 4xy9 1 y 5 x.

(y

x)dx

4xy dy

0,

y

2y

y

0,

y

x3

b) Las ecuaciones tĂŠrmino no lineal: coeficiente depende de y

tĂŠrmino no lineal: funciĂłn no lineal de y

(1 y)y 2y e x,

d 2y ––––2 sen y 0, dx

tĂŠrmino no lineal: el exponente es diferente de 1

y

d 4y ––––4 y 2 0 dx

son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer, segundo y cuarto orden, respectivamente.

SOLUCIONES  Como ya se ha establecido, uno de los objetivos de este curso es resolver o encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales. En la siguiente definición consideramos el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria.

DEFINICIÓN 1.1.2   Solución de una EDO Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo a cualquier función f, definida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-Êsimo orden reducen la ecuación a una identidad.

En otras palabras, una soluciĂłn de una ecuaciĂłn diferencial ordinaria de n-ĂŠsimo orden (4) es una funciĂłn f que posee al menos n derivadas para las que

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1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

F(x, (x),

(n)

(x), . . . ,

(x))

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para toda x en I.

0

Decimos que f satisface la ecuación diferencial en I. Para nuestros propósitos supondremos que una solución f es una función con valores reales. En nuestro análisis de introducción vimos que y 5 e0.1x 2 es una solución de dyydx 5 0.2xy en el intervalo (2`, `).

Ocasionalmente será conveniente denotar una solución con el símbolo alternativo y (x).

INTERVALO DE DEFINICIÓN No podemos pensar en la solución de una ecuación diferencial ordinaria sin pensar simultáneamente en un intervalo. El intervalo I en la definición 1.1.2 también se conoce con otros nombres, como son intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito (a, `), etcétera.

EJEMPLO 3 Verificación de una solución Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada en el intervalo (2`, `).

1 1 1 dydy xx b) (a) a()a)dxdx xyxy2 2; ; y y 161 16x4x4 (b(b ) )y y 2y2y y y 0;0; y y xexe SOLUCIÓN Una forma de verificar que la función dada es una solución, consiste en

observar, una vez que se ha sustituido, si cada lado de la ecuación es el mismo para toda x en el intervalo. a) En

lado izquierdo:

dy dx

lado derecho:

xy1/2

1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16

1 2 x 4

1 3 x, 4

vemos que cada lado de la ecuación es el mismo para todo número real x. Observe 1 4 que y1/2 14 x 2 es, por definición, la raíz cuadrada no negativa de 16 x. b) En las derivadas y9 5 xe x 1 e x y y0 5 xe x 1 2e x tenemos que para todo número real x,

lado izquierdo: lado derecho:

y 0.

2y

y

(xe x

2e x )

2(xe x

e x)

xe x

0,

En el ejemplo 3, observe también que cada ecuación diferencial tiene la solución constante y 5 0, 2`  x  `. A la solución de una ecuación diferencial que es igual a cero en un intervalo I se le conoce como la solución trivial.

CURVA SOLUCIÓN La gráfica de una solución f de una EDO se llama curva solución. Puesto que f es una función derivable, es continua en su intervalo de definición I. Puede haber diferencia entre la gráfica de la función f y la gráfica de la solución f. Es decir, el dominio de la función f no necesita ser igual al intervalo de definición I (o dominio) de la solución f. El ejemplo 4 muestra la diferencia.

EJEMPLO 4 Función contra solución El dominio de y 5 1yx, considerado simplemente como una función, es el conjunto de todos los números reales x excepto el 0. Cuando trazamos la gráfica de y 5 1yx, dibujamos los puntos en el plano xy correspondientes a un juicioso muestreo de números tomados del dominio. La función racional y 5 1yx es discontinua en 0, en la figura 1.1.1(a) se

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UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

muestra su gráfica en una vecindad del origen. La función y 5 1yx no es derivable en x 5 0, ya que el eje y (cuya ecuación es x 5 0) es una asíntota vertical de la gráfica.

Ahora y 5 1yx es también una solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden xy9 1 y 5 0 (compruebe). Pero cuando decimos que y 5 1yx es una solución de esta ED, significa que es una función definida en un intervalo I en el que es derivable y satisface la ecuación. En otras palabras, y 5 1yx es una solución de la ED en cualquier intervalo que no contenga 0, tal como (23, 21), (12, 10), (2`, 0), o (0, `). Porque las curvas solución definidas por y 5 1yx para 23  x 21 y 12  x  10 son simplemente tramos, o partes, de las curvas solución definidas por y 5 1yx para 2` , x , 0 y 0 , x , `, respectivamente, esto hace que tenga sentido tomar el intervalo I tan grande como sea posible. Así tomamos I ya sea como (2`, 0) o (0, `). La curva solución en (0, `) es como se muestra en la figura 1.1.1(b).

y 1 1

x

a) función y 5 1/x, x

0

y 1 1

x

b) solución y 5 1/x, (0, ∞ )

FIGURA 1.1.1 La función y 5 1yx no

SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS Debe estar familiarizado con los términos funciones explícitas y funciones implícitas de su curso de cálculo. A una solución en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y las constantes se le conoce como solución explícita. Para nuestros propósitos, consideremos una solución explícita como una fórmula explícita y 5 f (x) que podamos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. Acabamos de ver en los dos últimos ejemplos que y 161 x4 , y 5 xe x, y y 5 1yx son soluciones explícitas, respectivamente, de dyydx 5 xy 1/2, y0 2 2y9 1 y 5 0, y xy9 1 y 5 0. Además, la solución trivial y 5 0 es una solución explícita de cada una de estas tres ecuaciones.

Cuando lleguemos al punto de realmente resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias veremos que los métodos de solución no siempre conducen directamente a una solución explícita y 5 f (x). Esto es particularmente cierto cuando intentamos resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Con frecuencia tenemos que conformarnos con una relación o expresión G(x, y) 5 0 que define una solución f implícitamente.

es la misma que la solución y 5 1yx.

DEFINICIÓN 1.1.3 Solución implícita de una EDO Se dice que una relación G(x, y) 5 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria (4) en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función f que satisface la relación así como la ecuación diferencial en I. Está fuera del alcance de este curso investigar la condición bajo la cual la relación G(x, y) 5 0 define una función derivable f. Por lo que supondremos que si implementar formalmente un método de solución nos conduce a una relación G(x, y) 5 0, entonces existe al menos una función f que satisface tanto la relación (que es G(x, f(x)) 5 0) como la ecuación diferencial en el intervalo I. Si la solución implícita G(x, y) 5 0 es bastante simple, podemos ser capaces de despejar a y en términos de x y obtener una o más soluciones explícitas. Vea en inciso i) en los Comentarios.

EJEMPLO 5 Comprobación de una solución implícita La relación x 2 1 y 2 5 25 es una solución implícita de la ecuación diferencial

dy dx

x (8) y (8)

en el intervalo abierto (25, 5). Derivando implícitamente obtenemos

y

1(x)

25 d 2 x2 ydy 2 x y dx dx

2(x)

25 d 25 o dx

x2

2x

2y

dy dx

0.

Resolviendo la última ecuación para dyydx se obtiene (8). Además, resolviendo x 2 1 y 2 5 25 para y en términos de x se obtiene y 225 x2 . Las dos funciones satisfacen la relación (que es,

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1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

y

Cualquier relación del tipo x2 1 y2 – c 5 0 es formalmente satisfactoria (8) para cualquier constante c. Sin embargo, se sobrentiende que la relación siempre tendrá sentido en el sistema de los números reales; así, por ejemplo, si c 5 225, no podemos decir que x2 1 y2 1 25 5 0 es una solución implícita de la ecuación. (¿Por qué no?)

Debido a que la diferencia entre una solución explícita y una solución implícita debería ser intuitivamente clara, no discutiremos el tema diciendo siempre: “Aquí está una solución explícita (implícita)”.

x

solución implícita x 2 y 2 25 y

FAMILIAS DE SOLUCIONES El estudio de ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. En algunos libros, a una solución f ese le llama a veces integral de la ecuación y a su gráfica se le llama curva integral. Cuando obtenemos una antiderivada o una integral indefinida en cálculo, usamos una sola constante c de integración. De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden F(x, y, y9) 5 0, normalmente obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro c. Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) 5 0 de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica. Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n, F(x, y, y9, . . . , y (n)) 5 0, buscamos una familia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) 5 0. Esto significa que una sola ecuación diferencial puede tener un número infinito de soluciones que corresponden a un número ilimitado de elecciones de los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que está libre de la elección de parámetros se llama solución particular.

5

5

x

b) solución explícita y1 25 x 2, 5 x 5 y 5 5

EJEMPLO 6 Soluciones particulares x

−5

c) solución explícita y2 25 x 2, 5 x 5

FIGURA 1.1.2 Una solución implícita y dos soluciones explícitas de (8) en el ejemplo 5. y c>0 c=0 c<0

x

FIGURA 1.1.3 Algunas soluciones de la ED del inciso a) del ejemplo 6.

a) La familia uniparamétrica y 5 cx 2 x cos x es una solución explícita de la ecuación lineal de primer orden xy9 2 y 5 x 2 sen x en el intervalo (2`, `) (compruebe). La figura 1.1.3 muestra las gráficas de algunas de las soluciones en esta familia para diferentes elecciones de c. La solución y 5 2x cos x, la curva en la figura, es una solución particular correspondiente a c 5 0. b) La familia de soluciones de dos parámetros y 5 c1e x 1 c 2xe x es una solución explícita de la ecuación lineal de segundo orden y0 2 2y9 1 y 5 0 del inciso b) del ejemplo 3 (compruebe). En la figura 1.1.4 hemos mostrado siete de las “doblemente infinitas” soluciones de la familia. Las curvas solución son las gráficas de las soluciones particulares y 5 5xe x (c1 5 0, c 2 5 5), y 5 3xe x (c1 5 3, c 2 5 0) y y 5 5e x 2 2xe x (c1 5 5, c2 5 2).

Algunas veces una ecuación diferencial tiene una solución que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuación, es decir, una solución que no se puede obtener usando un parámetro específico de la familia de soluciones. Esa solución extra se llama solución singular. Por ejemplo, vemos que y 161 x4 y y 5 0 son soluciones de la ecuación diferencial dyydx 5 xy1/2 en (2`, `). En la sección 1.4 demostraremos, al resolverla realmente, que la ecuación diferencial dyydx 5 xy1/2 ­tiene la familia de soluciones uniparamétrica y 14 x2 c 2. Cuando c 5 0, la solución particular resultante es y 161 x4 . Pero observe que la solución trivial y 5 0 es una solución singular, ya que no es un miembro de la familia y 14 x2 c 2 porque no hay manera de asignarle un valor a la constante c para obtener y 5 0.

(

)

(

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7

x 2 1 f12 5 25) y x 2 1 f22 5 25) y son las soluciones explícitas definidas en el intervalo (25, 5). Las curvas solución dadas en las figuras 1.1.2(b) y 1.1.2(c) son tramos de la gráfica de la solución implícita de la figura 1.1.2(a).

5

5

a)

l

)

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8

l

UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

En todos los ejemplos anteriores, hemos usado x y y para denotar las variables independiente y dependiente, respectivamente. Pero debería acostumbrarse a ver y trabajar con otros símbolos que denotan estas variables. Por ejemplo, podríamos denotar la variable independiente por t y la variable dependiente por x.

y

x

FIGURA 1.1.4 Algunas soluciones de la ED del inciso b) del ejemplo 6.

EJEMPLO 7 Usando diferentes símbolos Las funciones x 5 c1 cos 4t y x 5 c2 sen 4t, donde c1 y c2 son constantes arbitrarias o parámetros, son ambas soluciones de la ecuación diferencial lineal

0.

16x

x

Para x 5 c1 cos 4t las dos primeras derivadas respecto a t son x9 5 24c1 sen 4t y x0 5 216c1 cos 4t. Sustituyendo entonces a x0 y x se obtiene

x

16x

16c1 cos 4t

16(c1 cos 4t)

0.

De manera parecida, para x 5 c2 sen 4t tenemos x0 5 216c 2 sen 4t, y así

x

16x

16c2 sen 4t

16(c2 sen 4t)

0.

Finalmente, es sencillo comprobar directamente que la combinación lineal de soluciones, o la familia de dos parámetros x 5 c1 cos 4t 1 c2 sen 4t, es también una solución de la ecuación diferencial.

El siguiente ejemplo muestra que la solución de una ecuación diferencial puede ser una función definida por partes.

EJEMPLO 8 Una solución definida por partes La familia uniparamétrica de funciones monomiales cuárticas y 5 cx4 es una solución explícita de la ecuación lineal de primer orden xy9 2 4y 5 0 en el intervalo (2`, `). (Compruebe.) Las curvas solución que se muestran en la figura 1.1.5(a) son las gráficas de y = x4 y y = 2 x4 y corresponden a las elecciones de c = 1 y c = 2 1, respectivamente.

y

La función derivable definida por tramos c=1 x c = −1

a) dos soluciones explicitas y c = 1, x≤0 c = −1, x<0

x

b) solución definida en partes

FIGURA 1.1.5 Algunas soluciones de la ED del ejemplo 8.

9786075265568_BBK_01-60_VRF01_PRT.indd 8

x4, x4,

y

x x

0 0

es también una solución particular de la ecuación pero no se puede obtener de la familia y 5 cx4 por una sola elección de c; la solución se construye a partir de la familia eligiendo c 5 21 para x  0 y c 5 1 para x $ 0. Vea la figura 1.1.5(b).

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Hasta este momento hemos analizado sólo ecuaciones diferenciales que contienen una función incógnita. Pero con frecuencia en la teoría, así como en muchas aplicaciones, debemos tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias tiene dos o más ecuaciones que implican derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variable independiente. Por ejemplo, si x y y denotan a las variables dependientes y t denota a la variable independiente, entonces un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden está dado por

dx dt

f(t, x, y)

(9) (9) dy

g(t, x, y). dt

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1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

l

9

Una solución de un sistema tal como el de la ecuación (9) es un par de funciones derivables x 5 f 1(t), y 5 f 2(t), definidas en un intervalo común I, que satisface cada ecuación del sistema en este intervalo.

COMENTARIOS i) Algunos comentarios finales respecto a las soluciones implícitas de las ecuaciones diferenciales. En el ejemplo 5 pudimos despejar fácilmente a y de la relación x 2 1 y 2 5 25 en términos de x para obtener las dos soluciones explícitas, 1(x) 125 x2 y 2(x) 125 x2, de la ecuación diferencial (8). Pero no debemos engañarnos con este único ejemplo. A menos que sea fácil o importante o que se le indique, en general no es necesario tratar de despejar y explícitamente en términos de x, de una solución implícita G(x, y) 5 0. Tampoco debemos malinterpretar el enunciado posterior a la definición 1.1.3. Una solución implícita G(x, y) 5 0 puede definir perfectamente bien a una función derivable f que es una solución de una ecuación diferencial, aunque no se pueda despejar a y de G(x, y) 5 0 con métodos analíticos como los algebraicos. La curva solución de f puede ser un tramo o parte de la gráfica de G(x, y) 5 0. Véanse los problemas 45 y 46 en los ejercicios 1.1. También lea el análisis siguiente al ejemplo 4 de la sección 1.4. ii) Aunque se ha enfatizado el concepto de una solución en esta sección, también debería considerar que una ED no necesariamente tiene una solución. Vea el problema 39 de los ejercicios 1.1. El tema de si existe una solución se tratará en la siguiente sección. iii) Podría no ser evidente si una EDO de primer orden escrita en su forma diferencial M(x, y)dx 1 N(x, y)dy 5 0 es lineal o no lineal porque no hay nada en esta forma que nos muestre qué símbolos denotan a la variable dependiente.

Véanse los problemas 9 y 10 de los ejercicios 1.1. iv) Podría parecer poco importante suponer que F(x, y, y9, . . . , y (n)) 5 0 puede resolver para y(n), pero hay que ser cuidadoso con esto. Existen excepciones y hay realmente algunos problemas conectados con esta suposición. Véanse los problemas 52 y 53 de los ejercicios 1.1. v) Puede encontrar el término soluciones de forma cerrada en libros de ED o en clases de ecuaciones diferenciales. La traducción de esta frase normalmente se refiere a las soluciones explícitas que son expresables en términos de funciones elementales (o conocidas): combinaciones finitas de potencias enteras de x, raíces, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. vi) Si toda solución de una EDO de n-ésimo orden F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 en un intervalo I se puede obtener a partir de una familia n-parámetros G(x, y, c1, c2,…, cn) = 0 eligiendo apropiadamente los parámetros ci, i = 1, 2, …, n, entonces diremos que la familia es la solución general de la ED. Al resolver EDO lineales imponemos algunas restricciones relativamente simples en los coeficientes de la ecuación; con estas restricciones podemos asegurar no sólo que existe una solución en un intervalo sino también que una familia de soluciones produce todas las posibles soluciones. Las EDO no lineales, con excepción de algunas ecuaciones de primer orden, son normalmente difíciles o imposibles de resolver en términos de funciones elementales. Además, si obtenemos una familia de soluciones para una ecuación no lineal, no es obvio si la familia contiene todas las soluciones.

Entonces, a nivel práctico, la designación de “solución general” se aplica sólo a las EDO lineales. Este concepto será retomado en la sección 1.5 y en la unidad 2.

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10

l

UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIOS 1.1

En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no 1. (1comparando x)y 4xy cos x (6). lineal, con la5yecuación 1. (1 (1 3 x)y x)y 4xy 4xy 5y cos x 1.

5y cos 4 1.

5y 1. (1 (1d yx)y x)y dy4xy 4xy 5y cos cos xxx 1. (1 x)y dy4xy 4xy 5y 0 cos cos xx 1.

1.

2. y 5y x(1d333yx)y 4 333y 4444 dy ddx dx y dy d 2. y 0 x y dy d 2.

33 33 2.

2. xxx ddx dx 44 yyy 000 dy ddx dy 3yy dx 33 dx dx 5dx (4) 3dx 2. x 2. yy 00 x 2.

3. t dx ydx33 t ydx dx 6y 0 5 (4) (4) 3 5 3 3. t y t y 6y 0 55 (4) (4) 3.

6y (4) 3. ttt333yyy 6y 3. ttdt555y2yyu(4) 6y 000 (4) du 33 3. tt yy2 6y 00 3. tt yy 6y 3.

4. d2222u2u du du u cos(r u) dddr dr d u du 4. u cos(r u) u) u du 4. cos(r 2222 4. dr uuu cos(r 4. dr cos(r u) u) ddr u22 dr du ddr du 2u dr 4. dr2 22 dr uu cos(r cos(r u) u) 4.

4. ddr dy 2 dry dr dr 5. d222y 1 2 dy 222 dd222yyy dy dx B1 dy 5. ddx dy 222 5.

1 2 2 2 5.

1 5. ddx 1 dx B ddxy2 dy dy dx B dx dx2y222 B dx B11 5.

5. dx 5.

R22 B k ddx dx dx dx B 6. d222R k2 2 R kkk R2 6. ddddt2222RR 6.

2 6.

22 dt2RR R 6. dt k k dddt 2222 R 2 R 6. dt R 6.

6.

7. (sen 2 dt22 )y RR22(cos )y dt 7. (sen (sen )y )y (cos )y )y 22 7. (cos 7. )y 22 7. (sen (sen )y )y x. (cos 2(cos )y . )y 7.

7. x(sen (cos )yx 202 7. ¨(sen )y 8.

1)y ..x..2(cos 2 x .

2 8. x¨ 1 xx322 ..x. x 0 8.

8.

111 xxx.3.322 xxx.. xxx 000 8. x¨xx¨¨ 3 3 8.

8. x¨x¨ 8.

11 xx xx 00 33 En los problemas 9 y 10 determine si la ecuación diferencial dada de primer orden es lineal en la variable dependiente indicada al ajustar ésta con la primera ecuación diferencial dada en9.(7). (y 2 1) dx x dy 0; en y; en x 9. (y222222 1) 1) dx dx x dy dy 0; 0;en en y;en enxx 9. (y 9.

1) en en xxxv; en u eny;y; 10. u(ydv )0;du 9. (y 2 1) dx 1 x dy 5 0; en 9. (y 1)(vdx dx uvxxx dy dyue u0; y;0; enen 22 u0; 9. (y 1) dx x dy 0; en y; en 9. (y 1) dx x dy en y; en xx v; en u u 10. udv dv (v (v uv uv ue ue ) du du 0; 0;en en 10. v; en 10.

10. uuudv dv (v (v uv uv ue ueuuu))) du du 0; 0;en env; v;en enuuu 10. uu 10. uu dv dv (v (v uv uv ue ue )) du du 0; 0; en env; v; en enuu 10.

En los problemas del 11 al 14 compruebe que la función indicada es una solución explícita de la ecuación diferencial dada.

Tome un intervalo I de definición apropiado para cada solución.

11. 2y y 0; y e x/2 x/2 x/2 11. 2y 2y y 0; 0; yy ee2x/2 x/2 11. x/2 11. 2y9 1 y 5 0; 11.

11. 2y 2y yyy 0; 0; yy 5 e y ee x/2 dy 6 6 20t x/2 11. 2y 2y 20y 0;24;yy yee x/2 11. yy 0; 12. e dy dy 6 dt 566 66566 e 20t 20t dy 6 12.

20y 24; y dy 20t 12.

20y 24; yy 665 665eee 20t 12.

20t 12.

20y 24; y 12. dy 20y 24; dt dy 20t 2x 20t dt 6y 13. ydt 12. dt 20y 13y 24; y0; y 5y55 e5553xeecos 12.

20y 24; dt 53x3x3x cos 2x dt 5y5 e53x 13. y 6y 13y 0; 3xcos 13. yy 6y 13y 0; yy(cos cos 2x 2x x tan x) 13.

13.

6y 13y eee 3x cos 2x 14. y6y tan x; y0; x)ln(sec 13. yy0 2 6y9 1 13y 5 0; 13y 0; yy 5 e 3x cos 2x 3x 13. y 6y 13y 0; y e cos 2x x tan x) 13. y 6y 13y 0; y e cos 2x 14. yy yy tan tanx; x; yy (cosx)ln(sec x)ln(sec 14. x; (cos xx tan tan x) 14. x) 14. (cos 14. yy0 1 y 5 tan y yy tan tanx; x; yy 5 2(cos y (cosx)ln(sec x)ln(secxx 1 tan tanx) x) 14. yy tan x; x; yy (cos x)ln(sec x)ln(sec xx tan tan x) x) 14. yy tan (cos En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada y 5 f (x) es una solución explícita de la ecuación diferencial dada de primer orden. Proceda como en el ejemplo 2, considerado a f simplemente como una función y dé su dominio.

Luego considere a f como una solución de la ecuación diferencial y dé al menos un intervalo I de definición.

15. (y x)y y x 8; y x 4 2x 2 15.

15. (y (y x)y x)y y x 8; 8; y x 42x 2x 2 15. y 15. yy xxx 8; 15. (y (y x)y x)y 8; yyy xxx 4442x 2x 222 15. (y (y x)y x)y 2; 8; 5x 2x 22 15. yy y 5 5 xx tan 8; yy xx 442x 16. y9 5 25 1 y

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2

25 con y ; número y 5impar tan 5xcomienzan en la página RES-1.

16.seleccionados y Las respuestas a los problemas

25 y22; y 55tan tan5x 16. y 25 16.

25x 55tan 16.

25 2;yyy222;y;; yyy1 (4 tanx5x 5x 16. yyy 25 17.

2xy ) 2 2 y22; 25x 16. y 25 y 5 tan 25 y ; y 5 tan 5x 16. y 17. ; y 5 1y(4 2 x 17. y9 5 2xy y 2xy 2xy 1 (4 (4 xx22)222)) 2222;; yy 17. y 1 3 1/2 17. ; yx; 1y1 (4 18. y3 2cos 17. y2y y 2xy 2xy (4(1 xx22)senx) ) 2; y 21/21/2 3 17. y 2xy ; y 1 (4 x ) 17. y 2xy ; y 1 (4 x ) 18. 2y9 5 y cos x; y 5 (1 2 sen x) 18. 2y 2y y3 cos cosx;x; yy (1 (1 senx) senx) 1/2 1/2 18.

1/2 18.

18. 2y 2y yyy333cos cosx; x; yy (1 (1 senx) senx) 1/2 1/2 33 1/2 18.

2y y cos x; y (1 senx) 18.

2y y cos x; y (1 senx) En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresión indicada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada de primer orden. Encuentre al menos una solución explícita y 5 f (x) en cada caso. Utilice alguna aplicación para trazar gráficas para obtener la gráfica de una solución explícita. Dé un intervalo I de definición de cada solución f . dX 2X 1 19. dX (X 1)(1 2X); ln 2X 1 t dX 2X dt X 1111 dX 2X dX 2X 19.

(X 1)(1 2X); ln t 19.

(X 1)(1 2X); ln t 19.

19. tt 19. dX (X 1)(1 1)(1 2X); 2X); ln ln 2X dt (X X 111 dX 2X dt X dt X 21)(1 2 11 2 tt dt X 19.

(X 2X); ln 19.

(X 1)(1 2X); ln 20. 2xy dt dx (x 2 y) dy 0; dt XX2x 2y11 y 2 1 22 2 20.

2xy dx (x y) dy 0; 2x22yy y2y2 5 1 1 2 20.

2xy dx (x y) dy 0; 2x 20. 2xy dx 1 (x 20. y) dy 2x yy yy22 111 20. 2xy 2xy dx dx (x (x2 2 y) y)dy 5 0; dy 0; 0; 22x 2x222y 1 y 20. 2xy 2xy dx dx (x (x22 y) y) dy dy 0; 0; 2x22yy yy22 11 20.

2x En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.

Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada soludP c1et ción.

21. dP P(1 P); P c ett t t dP dt dP 21. dP P(1 P); P); PP 1 ccc1111e1eectttt1e t 21.

P(1 21. dt P(1 21. dt P(1 P); P); PP 111 cc11ececc1e1eetttt dP dP 21. dt 21. dt P(1 P); P); PP 1 xc111ett 21.

P(1 dy dt dt 11 2 cc e2e 2 22. dy 2xy 1; y e x xxe11t dt c1e x 2 xx 2 2 dy dx 22. dy 2xy 1; 1; yy ee xxxx2x222 0xxx eettt2t2t22 dt dt cc11ee xxxx2x222 dy 2xy 22.

2xy 22.

1; y e e dt c e dx 1 22. dx 2xy 1; y e e dt c e dy 1 dy 0 22 22 22 1 22.

22. dx 2xydy 1; 1; yy ee xx 0000 eett dt dt cc11ee xx 22.

2 y 2xy ddx dx dx 2x 00 23. d222y 4 dy 4y 0; y c1e c2 xe2x 222y dy d dx dx 2x 2x y dy d y dy d 23. 22 2 44 4y 0; 0; y c e2x c2xe xe2x 2x 2x 23.

4y 23. ccc2222xe 23. ddx 4y 0; 0; yyy ccc1111e1ee2x2x xe2x2x dx2y22y2 44 dy dx 4y dy d dx 2x 2x 2x 2x 23. dx2d2 3y 44dx dx d4y 23. dx 4y 0;dy yy cc11ee xe 23. cc22xe 2 y 0; dx dx 3 2 2 24. dx xdx 2x x y 12x ; 3 2 d333 3y d2222y2y dy dy dx yy xxdy 24. x33dddx 2x22222ddddx 12x22; d333yyy3 2x dy yyy 12x 24.

2x 2 2 2 24. x 24. xxx333 ddx 2x x y 12x 12x222;;; 3y 2y dx dx dx dy d d y d y dy 3 2 3 2 dx dx 24. dxc3 x 12x dxx2 cxxxdx dx yy 4x12x 212x22;; 24. xyx33dx 2x22 cdx 24.

2 22 3 ln x dx331 11 dx dx dx dx dx c x c xln ln x 4x 4x22 y cx yyy ccc1111x1xx 111 ccc2222x2xx ccc3333x3xxln lnxxx 4x 4x222

11 ln xx 4x 4x22 cc22xx cc33xx ln 25. yy cc11xx 25.

25.

25.

25. Compruebe que la función definida en partes 25.

25.

25. x2, x 0 y 2 xxx2222,,,, xxxx 0000 x y 2222 yyy xxxxx222,,,,, xxxxx 00000 yy xx22,, xxdiferencial 00 es una solución de la ecuación xy9 2 2y 5 0 en (2`, `).

26. En el ejemplo 3 vimos que yy 11(x) (x) 125 125 xx22 26.

26.

2 26.

26.

26. y y 2(x) 125 x son soluciones de dyydx 5 26. 2xyy en el intervalo (25, 5). Explique por qué la función 26. definida en partes 5 x 0 125 x2 , y 125 xx2222,2,, 5505 xxx 0050 125 125 5 x 0 y 125 xx222, yyy 125 xxx2222,,,, 50050 xxxxxx 505505 125 125 0 125 x 125 x , ,

no es una solución de la ecuación diferencial en el interyy 125 xx22,, 00 xx 55 125 valo (25, 5).

En los problemas 27 a 30 determine los valores de m para que la función y 5 emx sea una solución de la ecuación diferencial dada.

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1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

27. y9 1 2y 5 0 28. 5y9 5 2y 27. y 2y 0 28. 5y 2y 29. y0 2 5y9 1 6y 5 0 30. 2y0 1 7y9 2 4y 5 0 5y 6y 0 30. 2y 7y 4y 0 29. y 2y 031 y 32 determine 28. los 5y valores 2y de m para que En27. los yproblemas la 29. función 5 xm sea diferencial 6y una 0 solución 30.de2yla ecuación 7y 4y 0 y y5y dada.

31. xy0 1 2y9 5 0 2y 0 31. xy 32. x222y0 2 7xy9 1 15y 5 0 y 7xy 32.

2y 015y 0 31.x xy En los problemas del 33 al 36 emplee el concepto de que y 5 c, 7xy 15y 0constante si y sólo si y9 5 0 para 32. x2y 2` , x , `, es una función determinar si la ecuación diferencial dada tiene soluciones constantes.

33. 3xy9 1 5y 5 10 5y 10 33. 3xy 34. y9 5 y 222 1 2y 2 3 2y 10 3 34.

33.y 3xyy 5y 35. (y 2 1)y9 5 1 1 35. y 2 2y 3 34.(yy 1)y 36. y0 1 4y9 1 6y 5 10 36.

35.y (y 4y1)y 6y 1 10 En los problemas 37 y 38 compruebe que el par de funciones 4yes una 6y solución 10 del sistema dado de ecuaciones 36.seyindica que diferenciales en el intervalo (2`, `).

dx 37.

37. x 3y dt dx 37.dy 5xx 3y; 3y

dtdt

En los problemas 45 y 46 la figura dada representa la gráfica de una solución implícita G(x, y) 5 0 de una ecuación diferencial dyydx 5 f (x, y). En cada caso la relación G(x, y) 5 0 define implícitamente varias soluciones de la ED. Reproduzca cuidadosamente cada figura en una hoja. Use lápices de diferentes colores para señalar los segmentos o partes de cada gráfica que corresponda a las gráficas de las soluciones. Recuerde que una solución f debe ser una función y ser derivable. Utilice la curva solución para estimar un intervalo de definición I de cada solución f. y 45.

45.

45.

cos 2t

y y

1 1

sen 2 t

x

1

FIGURA 1.1.5 Gráfica x x 1 problema 45 1 del

11 tt 55 e , 11 tt 155 et 5 e, 1 5

et

39. Construya una ecuación diferencial que no tenga alguna solución real.

40. Construya una ecuación diferencial que esté seguro que solamente tiene la solución trivial y 5 0. Explique su razonamiento.

41. ¿Qué función conoce de cálculo cuya primera derivada sea ella misma? ¿Su primera derivada es un múltiplo constante k de sí misma? Escriba cada respuesta en forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución.

42. ¿Qué función (o funciones) de cálculo conoce cuya segunda derivada sea ella misma? ¿Su segunda derivada es la negativa de sí misma? Escriba cada respuesta en forma de una ecuación diferencial de segundo orden con una solución.

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44. Analice por qué intuitivamente se supone que la ecuación diferencial lineal y0 1 2y9 1 4y 5 5 sen t tiene una solución de la forma y 5 A sen t 1 B cos t, donde A y B son constantes. Después determine las constantes específicas A y B tales que y 5 A sen t 1 B cos t es una solución particular de la ED.

1

2 6t x dye 2t2t5x 3e6t3y; , x d ycos 2t 4 x sen et; 2 t dt dt 2 y cos 2t sen 2 t e 2t2t 5e6t6t y x e 2t 3e6t, x cos 2t sen 2 t

y

11

43. Dado que y 5 sen x es una solución explícita de la ecuación dy diferencial de primer orden 11 y2 , encuentre dx un intervalo de definición I. [Sugerencia: I no es el intervalo (2`, `).]

d 22x 38.

38. 22 4y ett dt 2 22d x 38.d y 2 4 x4y ette; t 22 dtdt

y e 2t 5e6t Problemas para analizar

l

46.

Gráfica delelproblema FIGURA 1.1.5 Gráfica FIGURA 1.1.6 para problema4545. y

46.

46.

1y 1

y

1

x

1

1

1

x

x

FIGURA 1.1.6 Gráfica del problema 46 FIGURA 1.1.6 Gráfica del problema 46 FIGURA 1.1.7 Gráfica para el problema 46.

47. Las gráficas de los miembros de una familia uniparamétrica x31 y3 5 3cxy se llaman folium de Descartes.

Compruebe que esta y(y33es una 2x33)solución implícita de dyfamilia . la ecuación diferencial de primer orden dx x(2y33 x33) 3 2x3) dy y(y . dx x(2y3 x3)

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12

l

UNIDAD 1â&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A; ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

48. La grĂĄfica de la figura 1.1.7 es el miembro de la familia del folium del problema 47 correspondiente a c = 1. Analice: ÂżcĂłmo puede la ED del problema 47 ayudar a determinar los puntos de la grĂĄfica de x3 1 y3 5 3xy donde la recta tangente es vertical? ÂżCĂłmo saber dĂłnde una recta tangente que es vertical ayuda a determinar un intervalo I de definiciĂłn de una soluciĂłn f de la ED? Elabore sus ideas y compare con sus estimaciones de los intervalos en el problema 46.

49. En el ejemplo 5, el intervalo I mĂĄs grande sobre el cual las soluciones explĂ­citas y 5 f1(x) y y 5 f2(x) se encuentran definidas es el intervalo abierto (25, 5). ÂżPor quĂŠ I no puede ser el intervalo cerrado I definido por [25, 5]?

50. En el problema 21 se da una familia uniparamĂŠtrica de soluciones de la ED P9 5 P(12P). ÂżCualquier curva soluciĂłn pasa por el punto (0, 3)? ÂżY por el punto (0, 1)?

51. Analice y muestre con ejemplos cĂłmo resolver ecuaciones diferenciales de las formas dyydx 5 fâ&#x20AC;&#x2030;(x) y dâ&#x20AC;&#x160;â&#x20AC;&#x2030;2yydxâ&#x20AC;&#x2030;2 5 fâ&#x20AC;&#x2030;(x).

52. La ecuaciĂłn diferencial x(y9)2 2 4y9 2 12x3 5 0 tiene la forma dada en la ecuaciĂłn (4). Determine si la ecuaciĂłn se puede poner en su forma normal dyydx 5 fâ&#x20AC;&#x2030;(x, y).

53. La forma normal (5) de una ecuaciĂłn diferencial de n-ĂŠsimo orden es equivalente a la ecuaciĂłn (4) si las dos formas tienen exactamente las mismas soluciones. Forme una ecuaciĂłn diferencial de primer orden para la que F(x, y, y9) 5 0 no sea equivalente a la forma normal dyydx 5 fâ&#x20AC;&#x2030;(x, y).

54. Determine una ecuaciĂłn diferencial de segundo orden F(x, y, y9, y0)â&#x20AC;&#x2C6;5â&#x20AC;&#x2C6;0 para la cual yâ&#x20AC;&#x2C6;5â&#x20AC;&#x2C6;c1xâ&#x20AC;&#x2C6;1â&#x20AC;&#x2C6;c 2x 2 es una familia de soluciones de dos parĂĄmetros. AsegĂşrese de que su ecuaciĂłn estĂŠ libre de los parĂĄmetros c1 y c2.

A menudo se puede obtener informaciĂłn cualitativa sobre una soluciĂłn y 5 f(x) de una ecuaciĂłn diferencial de la ecuaciĂłn misma. Antes de trabajar con los problemas 55â&#x20AC;&#x201C; 58, recuerde el significado geomĂŠtrico de las derivadas dyydx y dâ&#x20AC;&#x2030;2yydxâ&#x20AC;&#x2030;2. dy 2 55. Considere la ecuaciĂłn diferencial 5 eâ&#x2C6;&#x2019;xâ&#x20AC;&#x160; . dx a) Explique por quĂŠ una soluciĂłn de la ED debe ser una funciĂłn creciente en cualquier intervalo del eje de las x. b) ÂżA quĂŠ son iguales lĂ­m dy> dx y lĂ­m dy> dx ?ÂżQuĂŠ

x:

x:

l e sugiere esto respecto a una curva soluciĂłn conforme x : ? c) Determine un intervalo sobre el cual una soluciĂłn es una curva cĂłncava hacia abajo, y un intervalo sobre el cual la curva es cĂłncava hacia arriba. d) Bosqueje la grĂĄfica de una soluciĂłn y 5 f (x) de la ecuaciĂłn diferencial cuya forma se sugiere en los incisos a) al c).

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56. Considere la ecuaciĂłn diferencial dyydx 5 5 â&#x20AC;&#x201C; y. a) Ya sea por inspecciĂłn o a travĂŠs del mĂŠtodo que se sugiere en los problemas 33 a 36, encuentre una soluciĂłn constante de la ED. b) Utilizando sĂłlo la ecuaciĂłn diferencial, determine los intervalos en el eje y en los que una soluciĂłn no constante y 5 f(x) sea creciente. Determine los intervalos en el eje y en los cuales y 5 f(x) es decreciente.

57. Considere la ecuaciĂłn diferencial dyydx 5 y(a â&#x20AC;&#x201C; by), donde a y b son constantes positivas. a) Ya sea por inspecciĂłn o a travĂŠs del mĂŠtodo que se sugiere en los problemas 33 a 36, determine dos soluciones constantes de la ED. b) Usando sĂłlo la ecuaciĂłn diferencial, determine los intervalos en el eje y en los que una soluciĂłn no constante y 5 f (x) es creciente. Determine los intervalos en los que y 5 f (x) es decreciente. c) Utilizando sĂłlo la ecuaciĂłn diferencial, explique por quĂŠ y 5 ay2b es la coordenada y de un punto de inflexiĂłn de la grĂĄfica de una soluciĂłn no constante y 5 f(x). d) En los mismos ejes coordenados, trace las grĂĄficas de las dos soluciones constantes en el inciso a). Estas soluciones constantes parten el plano xy en tres regiones. En cada regiĂłn, trace la grĂĄfica de una soluciĂłn no constante y 5 f(x) cuya forma se sugiere por los resultados de los incisos b) y c).

58. Considere la ecuaciĂłn diferencial y9 5 y2 1 4. a) Explique por quĂŠ no existen soluciones constantes de la ecuaciĂłn diferencial. b) Describa la grĂĄfica de una soluciĂłn y 5 f(x). Por ejemplo, Âżpuede una curva soluciĂłn tener un extremo relativo? c) Explique por quĂŠ y 5 0 es la coordenada y de un punto de inflexiĂłn de una curva soluciĂłn. d) Trace la grĂĄfica de una soluciĂłn y 5 f(x) de la ecuaciĂłn diferencial cuya forma se sugiere en los incisos a) al c).

Tarea para el laboratorio de computaciĂłn En los problemas 59 y 60 use un CAS (por sus siglas en inglĂŠs, Sistema Algebraico Computacional) para calcular todas las derivadas y realice las simplificaciones necesarias para comprobar que la funciĂłn indicada es una soluciĂłn particular de la ecuaciĂłn diferencial.

59. y (4)(4)â&#x20AC;&#x2C6;2â&#x20AC;&#x2C6;20y999â&#x20AC;&#x2C6;1â&#x20AC;&#x2C6;158y0â&#x20AC;&#x2C6;2â&#x20AC;&#x2C6;580y9â&#x20AC;&#x2C6;1â&#x20AC;&#x2C6;841yâ&#x20AC;&#x2C6;5â&#x20AC;&#x2C6;0; 59. y 5x20y 158y 580y 841y 0; yâ&#x20AC;&#x2C6;5â&#x20AC;&#x2C6;xe y xe 5xcos cos2x 2x

60. x3y 2x2y 20xy 78y 0; 60. sen(5 ln x) cos(5 ln x) 3 y 20 x x

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1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

1.2

l

13

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES INTRODUCCIÓN Con frecuencia nos interesan problemas en los que buscamos una solución y(x) de una ecuación diferencial en la que que y(x) satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas sobre una y(x) desconocida o sus derivadas. En algún intervalo I que contiene a x0 el problema de resolver una ecuación diferencial de n-ésimo orden sujeto a las n condiciones que lo acompañan especificadas en x0: Resolver:

Sujeto a:

d ny f x, y, y , . . . , y(n 1) dxn y(x0) y0, y (x0) y1, . . . , y

(1) (1) (n 1)

(x0) yn 1,

donde y 0, y1, . . . , yn21 son constantes reales arbitrarias dadas, se llama problema con valores iniciales (PVI) en n-ésimo orden. Los valores de y(x) y de sus primeras n – 1 derivadas en un solo punto x 0, y(x 0) 5 y 0, y9(x 0) 5 y1, . . . , y (n21)(x 0) 5 yn21, se llaman condiciones iniciales (CI).

Resolver un problema de valor inicial de n-ésimo orden tal como (1) con frecuencia implica encontrar primero una familia n-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada y luego usar las condiciones iniciales en x0 para determinar las n constantes en esta familia. La solución particular resultante está definida en algún intervalo I que contiene el primer punto x0.

y

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS PVI Los casos n = 1 y n = 2 en (1), dy f (x, y) Resolver:

dx (2) (2) y(x0) y0 Sujeto a:

soluciones de la ED

y y

(x0, y0) I

x

FIGURA 1.2.1 Solución del PVI de

primer orden. y

soluciones de la ED

m = y1 (x0, y0) I

x

FIGURA 1.2.2 Solución del PVI de segundo orden.

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Resolver: Sujeto a:

d 2y dx 2 y(x0)

f (x, y, y ) y0, y (x0)

y1

(3) (3)

son problemas con valores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. Estos dos problemas son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para la ecuación (2) estamos buscando una solución y(x) de la ecuación diferencial y9 5 f(x, y) en un intervalo I que contenga a x0, de forma que su gráfica pase por el punto dado (x0, y0). En la figura 1.2.1 se muestra una curva solución. Para la ecuación (3) queremos determinar una solución y(x) de la ecuación diferencial y0 5 f (x, y, y9) en un intervalo I que contenga a x0 de tal manera que su gráfica no sólo pase por el punto dado (x0, y0), sino que también la pendiente a la curva en ese punto sea el número y1. En la figura 1.2.2 se muestra una curva solución. Las palabras condiciones iniciales surgen de los sistemas físicos donde la variable independiente es el tiempo t y donde y(t0) 5 y0 y y9(t0) 5 y1 representan la posición y la velocidad respectivamente de un objeto al comienzo o al tiempo inicial t0.

EJEMPLO 1 Dos PVI de primer orden a) En el problema 41 de los ejercicios 1.1 se le pidió que dedujera que y 5 cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación de primer orden y9 5 y. Todas las soluciones en esta familia están definidas en el intervalo (2`, `). Si imponemos una condición inicial, digamos, y(0) 5 3, entonces al sustituir x 5 0, y 5 3 en la familia se determina la constante 3 5 ce0 5 c por lo que y 5 3e x es una solución del PVI y y, y(0) 3.

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14

l

UNIDAD 1â&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A; ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

y

(0, 3)

b) Ahora, si hacemos que la curva soluciĂłn pase por el punto (1, 22) en lugar de (0, 3), entonces y(1) 5 22 se obtendrĂĄ 22 5 ce o c 5 22e21. En este caso yâ&#x20AC;&#x2C6;5â&#x20AC;&#x2C6;22e x21 es una soluciĂłn del PVI y y, y(1) 2.

x (1, â&#x2C6;&#x2019;2)

En la figura 1.2.3 se muestran las dos curvas soluciĂłn.

El siguiente ejemplo muestra otro problema con valores iniciales de primer orden. En este ejemplo observe cĂłmo el intervalo de definiciĂłn I de la soluciĂłn y(x) depende de la condiciĂłn inicial y(x0) 5 y0.

EJEMPLO 2 â&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A;Intervalo I de definiciĂłn de una soluciĂłn

FIGURA 1.2.3â&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A; Soluciones de los dos PVI.

y

1

â&#x2C6;&#x2019;1

x

a) funciĂłn definida para toda x excepto en x = Âą1 y

En el problema 6 de los ejercicios 1.4 se le pedirå mostrar que una familia uniparamÊtrica de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden y9 1 2xy2 5 0 es y 5 1y(x2 1 c). Si establecemos la condición inicial y(0) 5 21, entonces al sustituir x 5 0 y y 5 21 en la familia de soluciones, se obtiene 21 5 1yc o c 5 21. Así y 5 1y(x221).

Ahora enfatizamos las siguientes tres diferencias: â&#x20AC;˘ Considerada como una funciĂłn, el dominio de y 5 1y(x2 21) es el conjunto de todos los nĂşmeros reales x para los cuales y(x) estĂĄ definida, excepto en x 5 21 y en x 5 1. Vea la figura 1.2.4(a). â&#x20AC;˘ Considerada como una soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial y9 1 2xy2 5 0, el intervalo I de definiciĂłn de y 5 1y(x2 2 1) podrĂ­a tomarse como cualquier intervalo en el cual y(x) estĂĄ definida y es derivable. Como se puede ver en la figura 1.2.4(a), los intervalos mĂĄs largos en los que y 5 1y(x2 2 1) es una soluciĂłn son (2`, 21), (21, 1) y (1, `). â&#x20AC;˘ Considerada como una soluciĂłn del problema con valores iniciales y9 1 2xy2 5 0, y(0) 5 21, el intervalo I de definiciĂłn de y 5 1y(x2 2 1) podrĂ­a ser cualquier intervalo en el cual y(x) estĂĄ definida, es derivable y contiene al punto inicial x 5 0; el intervalo mĂĄs largo para el cual esto es vĂĄlido es (21, 1).

Vea la curva roja en la figura 1.2.4(b).

VĂŠanse los problemas 3 a 6 en los ejercicios 1.2 para continuar con el ejemplo 2.

EJEMPLO 3 â&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A; PVI de segundo orden

1 x

â&#x2C6;&#x2019;1 (0, â&#x2C6;&#x2019;1)

En el ejemplo 7 de la secciĂłn 1.1 vimos que x 5 c1 cos 4t 1 c2 sen 4t es una familia de soluciones de dos parĂĄmetros de x0â&#x20AC;&#x2C6;1â&#x20AC;&#x2C6;16xâ&#x20AC;&#x2C6;5â&#x20AC;&#x2C6;0. Determine una soluciĂłn del problema con valores iniciales

x 16x 0,

x

(4) 2 2, x 2 1. (4)

SOLUCIĂ&#x201C;Nâ&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A;Primero aplicamos x(Ď&#x20AC;y2) 5 22 en la familia de soluciones:

b) soluciĂłn definida en el intervalo que contiene x = 0

FIGURA 1.2.4â&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A; GrĂĄficas de la funciĂłn y de la soluciĂłn del PVI del ejemplo 2.

c1 cos 2Ď&#x20AC; 1  c2 sen 2Ď&#x20AC; 5 22. Puesto que cos 2Ď&#x20AC; 5 1 y sen 2Ď&#x20AC; 5 0, encontramos que c1 5 22. DespuĂŠs aplicamos x9(Ď&#x20AC;y2) 5 1 en la familia uniparamĂŠtrica de soluciones x(t) 5 22 cos 4t 1 c2 sen 4t. Derivando y despuĂŠs haciendo t 5 Ď&#x20AC;y2 y x9 5 1 se ob1 tiene 8â&#x20AC;&#x2030;sen 2Ď&#x20AC; 1 4c2 cosâ&#x20AC;&#x2030;2Ď&#x20AC; 5 1, a partir de lo cual vemos que c2 4 . Por lo tanto x 2 cos 4t 14 sen 4t es una soluciĂłn de (4).

EXISTENCIA Y UNICIDADâ&#x20AC;&#x201A;â&#x20AC;&#x201A; Al considerar un problema con valores iniciales surgen dos importantes preguntas: ÂżExiste la soluciĂłn del problema?

Si existe la soluciĂłn, Âżes Ăşnica?

Para el problema con valores iniciales de la ecuaciĂłn (2) pedimos:

{

ÂżLa ecuaciĂłn diferencial dyydx 5 fâ&#x20AC;&#x2030;(x, y) tiene soluciones?

Existencia â&#x20AC;&#x201A; ÂżAlguna de las curvas soluciĂłn pasa por el punto (x 0, y 0)?

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1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Unicidad

l

15

Cuándo podemos estar seguros de que hay precisamente una { ¿curva solución que pasa a través del punto (x , y )?

0

0

Observe que en los ejemplos 1 y 3 se usa la frase “una solución” en lugar de “la solución” del problema. El artículo indefinido “una” se usa deliberadamente para sugerir la posibilidad de que pueden existir otras soluciones. Hasta el momento no se ha demostrado que existe una única solución de cada problema. El ejemplo siguiente muestra un problema con valores iniciales con dos soluciones.

EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones 1 4 Cada una de las funciones y 5 0 ydyy 16 la ecuación diferencial dyydx 5 xy 1/2 xyx1/2satisface , y(0) 0 dx y la condición inicial y(0) 5 0, por lo que el problema con valores iniciales

y y = x 4/16

x

(0, 0)

y(0) 0

tiene al menos dos soluciones. Como se muestra en la figura 1.2.5, las gráficas de las dos soluciones pasan por el mismo punto (0, 0).

1 y=0

dy xy1/2, dx

FIGURA 1.2.5 Dos soluciones del mismo PVI en el ejemplo 4.

Dentro de los límites de seguridad de un curso formal de ecuaciones diferenciales uno puede confiar en que la mayoría de las ecuaciones diferenciales tendrán soluciones y que las soluciones de los problemas con valores iniciales probablemente serán únicas. Sin embargo, en la vida real no es así. Por lo tanto, antes de tratar de resolver un problema con valores iniciales es deseable saber si existe una solución y, cuando así sea, si ésta es la única solución del problema. Puesto que vamos a considerar ecuaciones diferenciales de primer orden en los dos capítulos siguientes, estableceremos aquí, sin demostrarlo, un teorema directo que da las condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema con valores iniciales de primer orden de la forma dada en la ecuación (2). Esperaremos hasta el capítulo 4 para retomar la pregunta de la existencia y unicidad de un problema con valores iniciales de segundo orden.

TEOREMA 1.2.1 Existencia de una solución única Pensemos en R como una región rectangular en el plano xy definida por a # x # b, c # y # d que contiene al punto (x0, y0) en su interior. Si f (x, y) y ∂fy∂y son continuas en R, entonces existe algún intervalo I 0: (x 0 2 h, x 0 1 h), h . 0, contenido en [a, b], y una función única y(x), definida en I0, que es una solución del problema con valores iniciales (2).

y d

El resultado anterior es uno de los teoremas de existencia y unicidad más populares para ecuaciones diferenciales de primer orden ya que el criterio de continuidad de f (x, y) y de ∂fy∂y es relativamente fácil de comprobar. En la figura 1.2.6 se muestra la geometría del teorema 1.2.1.

R

(x0 , y0) c

EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4 a

I0

b x

FIGURA 1.2.6 Región rectangular R.

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Como vimos en el ejemplo 4 la ecuación diferencial dyydx 5 xy 1/2 tiene al menos dos soluciones cuyas gráficas pasan por el punto (0, 0). Analizando las funciones f x f (x, y) xy1/2 y

y 2y1/2 vemos que son continuas en la mitad superior del plano definido por y  0. Por tanto el teorema 1.2.1 nos permite concluir que a través de cualquier punto (x0, y0), y0  0 en la mitad superior del plano existe algún intervalo centrado en x0 en el cual la ecuación diferencial dada tiene una solución única. Así, por ejemplo, aún sin resolverla, sabemos que existe algún intervalo centrado en 2 en el cual el problema con valores iniciales dyydx 5 xy1/2, y(2) 5 1 tiene una solución única.

3/8/17 12:47

3

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.1 Definición de la transformada de Laplace 3.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 3.2.1 Transformadas inversas 3.2.2 Transformadas de derivadas 3.3 Propiedades operacionales I 3.3.1 Traslación en el eje s 3.3.2 Traslación en el eje t 3.4 Propiedades operacionales II 3.4.1 Derivadas de una transformada 3.4.2 Transformadas de integrales 3.4.3 Transformada de una función periódica 3.5 La función delta de Dirac

En los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos tales como un sistema resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho o entrada, de las ecuaciones diferenciales m

d 2x dt 2

b

dx dt

kx

f(t)

o

L

d 2q dt 2

R

dq dt

1 q C

E(t)

es una función de conducción y representa ya sea una fuerza externa f (t) o un voltaje aplicado E(t). Existen problemas en los que las funciones f y E son continuas. Sin embargo, las funciones de conducción discontinuas son comunes. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser continuo en tramos y periódico tal como la función “diente de sierra” que se muestra arriba. En este caso, resolver la ecuación diferencial del circuito es difícil usando las técnicas de la unidad 2. La transformada de Laplace que se estudia en este capítulo es una valiosa herramienta que simplifica la solución de problemas como éste.

112

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3/8/17 12:52

3.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

3.1

l

113

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son transformadas; esto significa, a grandes rasgos, que estas operaciones transforman una función en otra.

Por ejemplo, la función f(x) 5 dx2 se transforma, a su vez, en una 1función lineal y en una familia de x2 las2x x2 dx x3 c. funciones polinomiales cúbicas operaciones de derivación dcon 2d 2 3 1 dx 311exintegración: d 1 d 1 c. x 2x x dx d dd 22 xx22 x22x 1x312 dx 33 3 22 dxxx22dx 33 xxc. x c.c. c.

2x 2x dx ddx 1 2x x x xx2x2dx 2x x dx x 2x2 dx 3x3 33 c. dx dx 2x c.

2x y x dx c.3 dxx dx 33x dx dx 33 Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una d combinación lineal de funciones una combinación lineal Para α y β constantes f (x) g(x)] f (x) de lasg transformadas. (x) d [ es dx d g(x)] f (x) g (x) d [ dfd(x) d [[ f f[(x) (x) g(x)] f g(x) g (x) (x)fg(x)] g(x)] (x) (x) d [[ ff(x) ddx (x) g(x)]g(x)] (x) f f (x) g(x) (x)gg(x) ff (x)

dx g(x)] f (x) g(x)] (x) (x) fdx (x) f f(x) gg(x) dx[ [ dx dx dx [dxf (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx [ f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx [[ f f(x) [(x)fg(x)] (x) dx f f(x) (x) g(x) dx g(x)] dx dx (x)fdx dx dx g(x)g(x) dx dx (x) g(x)]g(x)] dx g(x)] f(x) (x)dx dx g(x)dx dx y [[[ fff(x) dx f g(x) (x) g(x)]dx dx f (x)dx dx g(x)dx dx [ f (x) g(x)] f (x) g(x) siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales.

Supondremos que s es una variable real

TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces 2 2 2 3yfunción 1 2xy dx una integral definida de f respecto a una de las variables conduce a una de la otra 2 2 2 b t) f (t)ydt 12 2xy222 dx2 22 3y 2 22 22 2 a K(s, 2 2 2xy 2xy dx dx 3y 3y variable. Por ejemplo, si se conserva constante, se ve que .

De igual 2xy dx 3y 1 1 2xy2 12dx dx 3y 3y2 2 b 21122xy a K(s, dxfunción dx 3y3y bbt) bf (t) dt 1 2xy 1 2xy bb como K(s, K(s, t) f (t) t) f dt (t) dt modo, una integral definida transforma una f de la variable K(s, t) f (t) dt a a K(s,at)t) ff(t) (t)dt dt baabK(s, K(s,t)t)s. f Tenemos (t)dtdt f (t) a aK(s, t en una función F de la variable en particular interés en una transformada t) fel(t)intervalo dt 0 K(s, es integral, donde el intervalo de integración no acotado [0, `). Si f (t) se define 0 K(s, t) f (t) dt K(s, K(s, t) f (t) t) f dt (t) dt define como un límite: para t $ 0, entonces la integral impropia se K(s, t) f (t) dt 0 0 K(s,0t)t) ff(t) (t)dt dt b 00 K(s, K(s,t)t)f (t) f (t)dt dt 0 0K(s, K(s, t) f (t) dt lím b K(s, t) f (t) dt b→ 0 K(s, t) f (t) dt

lím 0bbbb K(s,bbt) bf (t) dt . (1) K(s, t)t)dt f f(t) t)(t)fdt (t) lím t)K(s, K(s, t)t)dt f f(t) t)(t)fdt (t) blím →dt lím dt lím dt dt 0 K(s, 0 K(s, K(s, t)K(s, t)K(s, f(t) (t) dt K(s, t)K(s, (t) dt f lím fff(t) →00t)t)f0 (t) → bK(s, K(s, t) f (t) dt lím lím (t)dt dt → bb0→ bb→ 0 K(s, 00 K(s,00t) f0(t) dt b → b → 0 0 entonces se dice que la 0 0integral existe o es convergente; si no Si existe el límite en (1), existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá sólo para ciertos valores de la variable s.

UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la transformada. La elección de K(s, t) 5 e2st como el núcleo nos proporciona una transformada integral especialmente importante. La transformada de Laplace se llama así en honor del matemático y astrónomo francés Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827).

DEFINICIÓN 3.1.1 Transformada de Laplace Sea f una función definida para t $ 0. Entonces se dice que la integral { f (t)} e st f (t) dt (2) 0 { f (t)} e stst f (t)ststdt st {{f f(t)} { f 0(t)} edt f f(t) (t) (t)} e dt (t)fdt dt dt (t)} e stststffe(t) (t) {{{fff(t)} e (t)} e 0f0(t) fque (t) es la transformada de Laplace de f, siempre la integral converja. { f (t)} 0 dtdt 00 e

00

Cuando la integral de la definición (2) converge, el resultado es una función de s. En el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo, {f (t)} F(s), {g(t)} G(s), {y(t)} Y(s).

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Evaluate

{1}.

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114

{f (t)} F(s), {f (t)} F(s), {f(t)} (t)} F(s), F(s), {f (t)} F(s), {f{f (t)} F(s),

l

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

{y(t)} Y(s). {g(t)} {y(t)} G(s), Y(s). . {y(t)} Y(s) {y(t)} {y(t)} Y(s) Y(s) . .. {y(t)} Y(s)

{g(t)} G(s), {f{g(t)} (t)} F(s), G(s), {g(t)} G(s), {g(t)} G(s), {g(t)} G(s), G(s), {g(t)}

{y(t)}

Y(s).

{f (t)} F(s), {g(t)} G(s), {y(t)} Y(s). {f (t)}{f (t)} F(s), F(s), {g(t)}{g(t)} G(s), G(s), {y(t)}{y(t)} Y(s). Y(s).

Evaluate {1} . {f (t)} F(s), {g(t)} G(s), {y(t)} Y(s).

Como muestran los de la función {f (t)} F(s), cuatro {g(t)} G(s),el dominio {y(t)} Y(s). F(s) Evaluate . ejemplos, {1} Evaluate . siguientes {1} Evaluate . {1} depende de la función f (t).

Evaluate {1} Evaluate {1} {1} Evaluate . .. b

st EJEMPLO la 3.1.1 b e st dt b Evaluate {1}. 1 Aplicando {1} e definición (1) dt lím Evaluate Evaluate {1}. {1}. st b→ b e 0 e st(1) dt{1} lím 0 est(1) dt lím e st dt {1} dt Evaluate {1}. st b→ b → b0bb0e st dt 0 0 {1} e (1) dt lím Evalúe {1}.

Evaluate st {1} ee stst(1) lím eestststsbdt {1} (1) dt dt b lím dt 1 1 blím → 0 e st(1)e dt {1} b→ →lím000e sbdtst b 00 lím e st b b b→ e e sb 1 1 e 1 1s 0 b→ 0 b 0 b → s s SOLUCIÓN De (2), sb lím lím est ststst b b lím b lím e 1 1 st sb sb b b 0 0 b→ bst → b→ s s {1} (1) lím 11 111 sb → s b dt steeeest lím lím eeee0bsbstesdtss 1dt {1} {1} e st(1) e→ lím0 límelím → dt lím 0 dt(1) blím bblím → s dt s b st st lím b →00dt b0→lím b → b → 0 0 0 b → b → s s s s s s {1} e (1) lím e dt

0 b→ s st s b→ {1} b →0 e sts(1) 0 e sb dt 1 e stdtb blím 1 sb sbe be st b 0 e 0stlím e → e 1 1 1 lím st b0 límb → sb lím límb → es lím s s 0 s e st0b → b→ bs → lím b → lím s esesb s 11 s 11 b b s b→ b→ lím s 0 b lím s

0 b→ b→ → ( ) b0s s 0 s ) b0 es negativo y ( ) 0 b → (2sb 0 s . 0. En otras palabras, b→ s . siempre que cuando b 00, el exponente b b 0 b → ((( e 1 )))b 0st00 s , 0. e2sb → 0 0conforme b → `. La integral diverge para bb→ → 0 0 b → ( )e 0st s e 0st. {1} e st (1) dt 1 1, 0 st s st s 0 st {1} etedioso, e (1) dt s 0. . , s {1} se vuelve e (1) dtpoco El uso del signo de límite un por lo que se 0adopta la, notación 1 stst b 0 st 0 s s e 1 s s e 1 0e stst (1) dt bb→ (stb )0 0 , s 000... {1} 0 e 1 como abreviatura para escribir lím .

Por ejemplo, , s {1} e (1) dt {1} e (1) dt , s ( ) ( ) st 0 0 b → dtb → 0 0 0 0e s 0. {1} (1) sss 00b s,ss 00 0 b → s ( )0b 0 s 0 st ( ) 0 1 stb → ste 0 st

{1} (1)edt e 1 st 1 , s 0. ste , 0 ,s 1s 0s. 0. {1} {1} e st (1) e0 dt (1) dt s e st st 0 0 s s s s 0{1} 0 e 1 , est (1) dt s 0. {1}se sobreentiende (1) dt s 0. t → ` para s . 0.

En el límite superior, lo que significa s 0 e2st,s→ 0 conforme 0e 0 s s 0

{t} 2 Aplicando la definición 3.1.1 EJEMPLO {t} {t}

{t} st {t} {t} {t} t dt 0 e . {t} st st st t dt {t} e t dt {t} 0 e 0 lím te 0, s st {t} e t dt st st t → 0 ee stst tt dt lím te SOLUCIÓN definición se tiene 0, s{t} .

Al integrar por partes lím 0, s 3.1.1 {t}Detela {t} dt 00 st t dt {t} {t} {t} t→ t → te st 0 e lím 0,sss 0, stst y usando lím st junto con el resultado del ejemplo 1, se obtiene te 0, lím te 0, st {t} t → 1 1 1 1 1 lím 0, s te st tt→ → te st st st {t} t →{t} t 1dt tedt{t} 10{1} 11s2.

1 1 tes 0 1s {t} e st{t} 1 st1 ste st s e t e dt t dt s s 0 st 0 0 {t} st tessstst 0 111 s{t} est dt 10 s {1} 1t dt 1 dt 1ss2. {1} s s st e te 0, {t} e st lím st s s te 1 1 1 1 s s te 1 1 1 1 0 0 e stst dt 0 st {t} {1} s 0, ste st lím telímt → te 0,{t} 1 1t sdt1 s 1s2... ee dt {1} {t} dt{t}1 s {1} {1} 0 e .22 t → t → lím{t} test st 0,ssss 000 sss 000 e st dt s s s s s s s 0 s s s ss2s t → te lím 0, ss st0 te 1 1 1 1 1 t→ te st te st 1 1 st 1st dt 1 1 {1} 1 1 11 1 . {t} ste 2 . . {t} {t} 3 Aplicando dt {1}3.1.1 {1} EJEMPLO sst st 0 e 1sladte0definición s s s s te 1 1 1 1 s 3t 0s te s0 0 s 10 s s 1 ss21 s2 1 . {t} estsst dt s 1 s {1} {e } {t} s 0 s 0 e dt s {1} s s s.2 0 s{e s s s s2 Evalúe a) {e 3t}. s b) {e05t}3t} {e 3t3t3t}}} {e {e 3t SOLUCIÓN {e De } la definición 3.1.1 se tiene Evalúe

1 . s2

{e } {e 3t} e st e 3t dt e (s 3)t dt {e 3t}{e 3t} 3t st 3t 3t 0 0 3t a) e (s 3)t dt {e } e e {edt } e e(s st3)te dt3t dt {e } 3t st 3t (s 3)t 0 0e stst 0e 0(s(s {e 3t} {e e dt 3t 3t 3)t 3t } 3t dt 3)t {e ee ee dt ee (s 3)tdt {e 3t}}} dt dt 0e st e 3t dt 0e e(s 3)t dt {e 00 00 e (s 3)t e (s 3)t 0 0 s(s 3)t3 0

e (s3)t 3)t3)t 0 s 3 0 {e 3t} e st e 3t dt ee(s(sse(s(s3)t 3)t3 dt {e 3t}{e 3t} e st e e3t0 stdte 3t dt e (s 3)t ee0sdt 1 (s3 dt 0 3t st 3t 3)t {e 0 } 0 est e3t 0 dt 0 sss e1(s3333)t , 0 00dt s 3.

1 {e 3t} e dt (s 33)t dt se 3)t 0e 0e

, s 3. s 3. , (s 3)t (s 1 0 e e0 s11 ,3 2(s13)t s 3 s 0 3)t 5 0 3. para s 1 3 . 0 (s,,3 3)ts El resultado se deduce del hecho de quelímlím e o 1 (s s 3. s 3. e t →` e0s (s,3 3)t 3. 0 03 s 3sssset → s . 23. lím 0 t → e (s 3)t 0 s t →s 333e3 (s 03)t lím (s 3)t 1 5t 5t st lím t → (s 5)t e 0 0 s 3 (s 3)t (s 3)t {e } e e 1lím dt 1 eee , s dt 003. límtt→ lím ,t →→ss 0 e, 3(ss 3.3)t 3.0 0 b) s 3s 131 (s, 5)ts 3. s e e,3 (ss 3)t 3.0 lím t →3)t 3 (s (s 3)t s

lím t →lím et → es 05 0 0 lím t → e(s(s 3)t3)t 0 lím 0 t→ 1e

s 5

A diferencia del inciso a), este resultado es válido para s  5 ya que lím t →` e2(s15)t 5 0 requiere que s – 5 > 0 o s > 5.

3t

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3.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

l

115

EJEMPLO 4 Aplicando la definición 3.1.1 {sen 2t} {sen 2t} {sen2t} 2t} {sen . {sen {sen 2t} 2t} SOLUCIÓN De la definición 3.1.1 e integrando por partes se tiene que

Evalúe

ststst sen sen 2t2t sen2t 2t ststst ststst eeeest sen 22–2–2– –––––––––––– –––––––––––– e sen 2t dt cos e sen 2t dt cos 2t2t dtdt –––––––––––– st e sen 2t dt cos2t 2tdt dt st –––––––––––– ss22s 000eeeest cos 000 – sen 2t dt sts sen e 2t s 000e e sen 2t s s 0 st st s 0 0 –––––––––––– – st cos ee st sen 2t dt e 2t dt –––––––––––– – sen 2t dt e cos 2t dt ss 00 00 ss 22200 ststst 2 – – e cos 2t dt, s 0 e cos 2t dt, s 0 {sen 2t}–ss2–s 00 e est cos cos 2t dt, s 0 s 2– 0 0 e stst cos2t2tdt,dt, s s 0 0 – e cos 2t dt, s 0 s st stcos2t lím Transformada de Laplace de sen lím eeestst cos s00ss 000 Transformada de Laplace de sen 2t2t2t lím cos2t2ts 0,0,0, Transformada de Laplace de sen

{sen 2t} {sen 2t} {sen2t} 2t} {sen {sen {sen 2t} 2t}

lím t→e t→ t →t → lím ttlím → →

ee

cos 2t 0, s 0 st st cos 2t s 00 cos 2t 0, cos 222 0,eeesststststcos cos2t2t 2t

Transformada de Laplace de sen 2t Transformada Transformada de de Laplace Laplace de de sen sen 2t 2t

[[[[

]]]]

ststst e cos 2t 2––––––––––––––– –––––––––––– 22–e2–2–st sen sen 2dtdt sen 2t2t –––––––––––– st sen sen2t 2tdt st –––––––––––– – s 00 –––––––––––– st s 0 st –ss22s 000eeee2t e cos 2t 2 s –s dt e st cos 2t dt s s {sen 2t} s 2– e–––––––––––– 2t 2t dt0 e sen scos st s s 0 0 st e sen 2t – s –s0 –––––––––––– dt 0 –s 0 e sen 2t dt 00 ss s s 0 2 4 2 4 2 4 2–––– 4–– {sen –– 22 –– 2t}.

2t}. {sen 2 st{sen 2– –– s2s2–– cos2t}.

2t2t}. dt, s 0 s2s22 0–– se442 {sen

ss2s–– s –– {sen 2t}.

–– –– {sen 2t}.

2 2 ss2 ss2 {sen 2t} st tiene una ecuación con {sen 2t} En este punto en ambos de lados de de la sen igualdad.

Si {sen2t} 2t} lím e se cos 2t 0, s 0 Transformada Laplace 2t {sen se despejat →esa cantidad el resultado es {sen 2t} {sen 2t} 2 e st cos 2t 2222– – –––––––––––– e ssts sen00.2t dt {sen 2t} s 0 22 s , , ,0 {sen 2t}

s {sen 2t} 2 , s s 0.0.. {sen 2t} 2 2 ss2ss 24444 ss 00.. {sen {sen 2t} 2t} s22 4,, 2 4 s 4 LINEAL Para una combinación lineal de fun+ ES UNA TRANSFORMACIÓN ––2 ––2 {sen 2t}. s s ciones pode­mos escribir

[

]

ststst (t) f(t) (t) eeeest [st[[[ ff f(t) st ee [[ ff (t) (t)

stst (t) dt stg(t)dt (t) dtdt eeestststg(t) g(t) est ffstf(t) f2t} (t)dt g(t)dtdt dt eee{sen e 0 0 st st 0 st st ee ff (t) ee g(t) 0 (t) dt dt g(t) dt dt 00

2 , s {sen 2t} 0 . siempre que ambas integrales converjan . c. Por lo F(s) que se tiene que g(t)} {g(t)} F(s) G(s) s2para4s {g(t)} (t) g(t)} (t)} {g(t)} G(s) f(t) (t) g(t)} g(t)} f(t)} (t)} {g(t)} F(s) F(s) G(s) G(s) {{{{ ff f(t) {{{f{f f(t)} {{ ff (t) g(t)} {{ ff (t)} {g(t)} F(s) G(s) (t) g(t)} (t)} {g(t)} F(s) G(s) .

g(t)] dt g(t)] dt g(t)]dt dt g(t)] g(t)] g(t)] dt dt

00 0 0 00

00 0 0 00

(3)

Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que + es una transformación li­neal. e st [ f (t) g(t)] dt e st f (t) dt11 55 e st g(t) dt 1 5 0 0 55 {t} {1 5t} {1} {t} {1 5t} {1} {1 5t} {1} {t} 1ss1 s5s2,5,22,0, {1 5t} {1} 5 5 {t} 1 2s5 s EJEMPLO 5 Linealidad de la transformada de Laplace {1 {1} {1 5t} 5t} {1} 55 {t} {t} s s s s22,, s s { f (t) { f (t)} {g(t)}anteriores F(s)para ilustrar G(s) la linealiEn este ejemplo usamosg(t)} los resultados de los ejemplos 20 444 20 20 .

3t3t3t 3t3t3t} 4 dad de{4e la transformada de Laplace. {4e 10 sen 2t} 4 {e 10 {sen 2t} {4e 10 sen 2t} 4 {e } 10 {sen 2t} {4e3t 1010sen sen2t} 2t} 4 4 {e{e3t} } 1010 {sen {sen2t} 2t} ss 433 ss220 22 20 .. .

4 20 2 3t 3t s 3 s 444 3t {4e 10 44 para {e a) De los ejemplos y 2 2t} tenemos {4e 101sen sen 2t} {e s3t}} 0 10 10 {sen {sen 2t} 2t} s s 3 3 s s 22 4 4.. s 3 s 4 1 5 , {1 5t} {1} 5 {t} s s2

b) De los ejemplos 3 y 4 tenemos para s  5. {4e{4e3t5t

10 10sen sen2t} 2t}

3t 44 {e {e5t}}

10 {sen2t} {sen 2t} 10

44 2020 .

2 . s 3 2s s 5 s 44

c) De los ejemplos 1, 2 y 3 tenemos(a) para {1} s{1}  0, 111 (a) (a) {1} {1} 1ss1 (a) 1s (a) {1} {1}3t}s s 7 {t} 9 {1} 3t {20e n!

7t 9} (a) 20 {e s n!n! nnn atatat} n!

1111 (b) (c) .......... {e (b) (c) {t{t{t ,1,, nnnn 1, 1,1,1,2, 2,2,2,3, 3,3,3,..20 {e n }} at } (b) {t (c) {e 7 9{e 1 (b) (c) }n} ssnnsnn! , }at } sss 11aaa n1 1 n! (b) (b) {t (c) s {e {t n}} s s nn 11,, nn 1, 1, 2, 2, 3, 3, {eat}} s s a a

s .. .. 3.. s2 (c) s s ass

k k k s s (d) (e) {sen kt} {cos kt} (d) (e) {sen kt} {cos kt} (d) {sen (e) anteriores {sen kt} ss222k kkk222de algunos ejemplos {coskt} kt}porssmedio 22 (d) (e) kt} {cos Se establece la generalización si­guiente 2 skkk22k2del 2s k 2k 2s2 s s k s (d) (e) {sen kt} {cos kt} (d) (e) {sen kt} {cos kt} 1 2 2 2 22 teorema. A partir de este se deja de expresar cualquier restricción en s ; se 2 2 ss2 momento k s k s ss k (a) {1} kk k ksuficientemente s convergencia s {cosh k s sobreentiende que s está lo restringida para garantizar la (f ) (g) {senh kt} {cosh kt} (f ) (g) {senh kt} kt} {senhkt} kt} ss222 kkk222 {coshkt} kt} ss222 skk222 (f(f ) ) {senh (g)(g) {cosh s2 2k Laplace.

2 de la adecuada transformada s2s2 kkde (f (g) kt} {cosh kt} n!

1s s22 k k22 (f )) {senh (g) {senh kt} {cosh kt} 2 at ss2 n kk21, 2, 3, . . . ss kk (b) {t n} (c) , {e } sn 1 s a

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(d)

{sen kt}

(f )

{senh kt}

s2

k k

k2

(e)

{cos kt}

(g)

{cosh kt}

s2

s

k2 s

3/8/17 12:52

{4e 3t3t {4e {4e

116

10sen sen2t} 2t} 444 {e {e 3t3t}}} 10 10 {sen {sen2t} 2t} 10 10 sen 2t} {e 10 {sen 2t}

.. . sss 333 ss22s2 2 444

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

l

TEOREMA 3.1.1 Transformada de algunas funciones básicas 111 (a) {1} {1} (a) a) (a) {1} sss n! n!n! , , nn 1, 1,1,2, 2,2,3, 3,3,.. ... ... . nnn n 111,1 n sss

(b) {t (b) b) (b) {t{tnnn}}n}

(d) {sen {senkt} kt} (d) d) (d) {sen kt} (f)) ) {senh {senhkt} kt} (f f) {senh kt} (f) (f

at at atat (c) {e {e (c) }}} c) (c) {e

111 sss aaa

kkk sss (e) {cos {coskt} kt} 222 2 222 2 (e) e) (e) {cos kt} 222 2 kkk sss kkk ss

s22s2 2

kkk

kk2k22 2 ss

(g) {cosh {coshkt} kt} (g) g) (g) {cosh kt}

s22s2 2

sss kk2k22 2 ss

s22s2 2

Este resultado en b) del teorema 3.1.1 se puede justificar formalmente para n un entero positivo usando integración por partes para demostrar primero que {t n}

n s

{t n 1}

Entonces para n = 0, 1 y 3, tenemos, respectivamente,

f(t)

a

t2

t1

t3 b

t

FIGURA 3.1.1 Función continua por tramos.

{t}

1 s

{1}

1 1 s s

1 s2

{t2}

2 s

{t}

2 1 s s2

2 1 s3

{t3}

3 s

{t2}

3 2 1 s s3

3 2 1 s4

Si sigue con la secuencia, al final deberá estar convencido de que n...3 2 1 sn 1

{t n}

n! {f (t)}

s 1 2 {et } {1>t} {f (t)} CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA (t)} +{f(t)} La integral {f ({tf)}DE que define la transformada de Laplace no tiene que converger. Por ejemplo, no {1>t} existe 2 2 {1>t} ni {et {e } condiciones suficientes que garantizan la existencia de {f (t)} {1>t} }.t Las son {fque (t)} f sea continua por tramos en [0, `) y que f sea de orden exponencial para t . {f (t)} T. Recuerde que la función es continua por tramos en [0, `) si, en cualquier intervalo 0  a  t  b, hay un número finito de puntos tk, k 5 1, 2, . . . , n (tk2l , tk) en los que f tiene discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto (tk2l, tk). Vea la figura 3.1.1. El concepto de orden exponencial se define de la siguiente manera.

Me ct (c > 0)

f(t)

2

{et }

DEFINICIÓN 3.1.2 Orden exponencial

f(t)

T

n

Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M . 0 y T .

0 tales que u f (t) u  Mect para toda t . T. t

FIGURA 3.1.2 f es de orden exponencial c.

Si f es una función creciente, entonces la condición u f (t)u  Mect, t . T, simplemente establece que la gráfica de f en el intervalo (T, `) no crece más rápido que la gráfica de la función exponencial Mect, donde c es una constante positiva. Vea la figura 3.1.2. Las funciones f (t) 5 t, f (t) 5 e2t y f (t) 5 2 cos t son de orden exponencial porque para c 5 1, M 5 1, T 5 1 se tiene, respectivamente, para t . 0

et,

t

t

et,

te t

e, e,

e

y

2 cos t

2et.

t

t

t t e, e, e t

9786075265568_BBK_112-154_VRF01_PRT.indd 116

t

t

y y

t2et.

2 cos 2 cos t t 2e .

3/8/17 12:52

et,

t et,

t

t

e

et,

et, t e t et, ete, t yet, y 2 cos t 2et.

2et.

2ycos t 2 cos 2et. t

3.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

et,

t

e

t

et,

y

2et.

2 cos t et,

t

f (t)

e

t

t et, e

f (t) t

y

2 cos t

f (t)

2ete.

2et

t

e −t

t

a)

f (t)f(t) eett2

2

tn

e ct

Mect

tn ect

o c

lím t : t >e n

ct

t

FIGURA 3.1.4 et2 no es de orden exponencial.

117

l

2 cos t

t

t

b)

c)

FIGURA 3.1.3 Tres funciones de orden exponencial 2 2 f (t) et f (t) et 2 Una comparación de las gráficas en el intervalo (0, `) se muestra en la figura 3.1.3. f (t) et Un exponente entero positivo de t siempre es de orden exponencial puesto que, para c . 0, tn tn Me o t nn Metctn o ct M paraM t para T t T t ect ect tn Mect o M para t T ect

n ct es equivalente a demostrarlím que >e t : t n>ect es finito para n 5 1, 2, 3, . . . El t : elt lím ct resultado deduce con n aplicaciones de la regla de L'Hôpital. Una función como lím t : 2set n>e f (t) et no es de orden exponencial puesto que, como se muestra en la figura 3.1.4, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e para t . c . 0.

Estot también se puede ver, mientras t → `, en la forma M para T tn

e

Mect t2

et2

tn ect

o

lím t : t >e TEOREMA 3.1.2 n

et 2 M para tet ctT ect 2

et(t

c)

{ f (t)} { f (t)}

→

{ f (t)}

ct

Condiciones suficientes para la existencia

Si f es una función continua por tramos en [0, `) y de orden exponencial, entonces { f (t)} existe para s . c.

et2

{ f (t)}

et2

DEMOSTRACIÓN Por la propiedad aditiva del intervalo de integrales definidas po-

demos escribir

T

eT stT f(t) e st f(t) dt I1 I2. { f (t)} T dt T st st st st st I I I . I .

T 0 st T f (t)} { f (t)}{ fe(t)} e f(t) e f(t)dt f(t) dt est stf(t) ef(t) f(t) dt e dtf(t)e dt e dt { f{(t)} dt If(t) I12. 2 I21 1 1 dt { f(t)} 0 0 0 e st f(t) dt T T T e st f(t) dt I1 I2.

T 0 0

I2.

T

La integral I1 existe ya que se puede escribir como la suma de integrales en los intervalos en los que e2s t f (t) es continua. Ahora puesto que f es de orden exponencial, existen constantes c, M . 0, T . 0 tales que u f (t)u  Mect para t . T. Entonces podemos escribir e (s c)T I2 (s c)T (s c)T e st f (t) dt M e st ect dt M e (s c)t dt M e e(s (sec)Tc)T st ctst ct stT ct (s c)t (ss c)t c (s c)Te T M est ste ct M edt dt e edtMM M e(s (sM ec)tc)t dte dtMM M fst(t) fdt(t) Ie2est fste(t) dte eM e dt dt M I2I2 IT2 e dt e edt stdt fM(t) st ct (s c)t sMs cs c cs c I2 T T T e Tf (t) dt M eT dt M T dt T T Te T T Te s c T T st T (s c)t dt f (t) dt T Me T e (s c)tc)t (s c)t (s c)t st st st (s st MeMe T dt dt dt converge, f (t) (t) dt para s . c. Puesto que la integral T Te eT fe(t) Me dt edt converge f (t) dt T fdt T TMeT (s c)t dt ef (t)st fdt (t) dt que I T Me para integrales T stvez, por la prueba de comparación impropias. significa {f (t)}Esto,0aesu 2 st st est0 stfe(t) f (t) f dt (t) dtf (t) dt {f(t)} (t)} {f (t)}{f existe para s . c. La existencia de I1 e I2 implica que{fexiste e dt 0 0 0e(t)} st f (t) dt {f (t)} 0 e para s . c.

EJEMPLO 6 Transformada de una función continua por tramos 0, 0 t 3 {f(t)} (t )} donde f (t) Evalúe +{f t 3t 03 3 t 00,03. 0t 0, 2, 0,0, (t{f)}(t )}{f (t)} f (t)f (t) ft (t) {f{f (t)} f (t) 0, 0 t 3 t 3.

2, 3.t 3. {f (t)} f (t) 2,2, t2,t 3.

2, t 3.

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{f (t)} e 0 {f (t)} {f (t)}

st

3

3

f (t) dt e3 st3 (0)3 dt 3 e st st st est stef (t) f dt (t) st0dt e3st ste(0) (0) dt 3dt

st

(2) dt st st est ste(2) (2) dt dt

3/8/17 12:52

118

l

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA DE

{f (t )} LAPLACE {f (t )}

f (t) f (t)

0, 0 t 3 0, 0 t 3 2, t 3.

2, t 3.

SOLUCIÓN La función que se muestra en la figura 3.1.5, es continua por tramos y de

orden exponencial para t . 0. Puesto que f se define en dos tramos, +{f (t)} se expresa como la suma de dos integrales: 3

3 e st (0) dt {f (t)} e stst f (t) dt e stst (2) dt st {f (t)} e f (t) dt e (0) dt e (2) dt 0 0 3

0 0 3 st 2e 0 2e st s 3 0

s 3 3s 2e s 0.

2e 3s , s , s 0. s

y 2

3

Concluye esta sección con un poco más de teoría relacionada con los tipos de funciones de s con las que en general se estará trabajando. El siguiente teorema indica que no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial.

t

FIGURA 3.1.5 Función continua por tramos.

TEOREMA 3.1.3 Comportamiento de F(s) conforme s → ` Si f es continua por partes en (0, `) y de orden exponencial y F(s) 5 +{ f (t)}, entonces el{ flím 0. F(s) 0.

F(s) (t)}F(s) 5lim s→` s : F(s) F(s) { f (t)} lim 0. s:

DEMOSTRACIÓN Puesto que f es de orden exponencial, existen constantes γ, M1 .

0 y T . 0 tales que u f (t)u  M1eγ t para t . T. También, puesto que f es continua por tramos en el intervalo 0  t  T, está necesariamente acotada en el intervalo; es decir, u f (t)u  M2 5 M2e0t Si M denota el máximo del conjunto {M1, M2} y c denota el máximo de {0, γ}, entonces F(s) F(s)

0

e st f (t) dt e st f (t) dt

0

M M

0 0

e stect dt e stect dt

M M

0 0

e (s c)t dt e (s c)t dt

s s

M M c c

para s . c. Conforme s → `, se tiene uF(s)u → 0 y por tanto F(s) 5 +{ F(s) { f (t)} : f0.(t)} → 0.

F(s) { f (t)} : 0.

COMENTARIOS i) En este capítulo nos dedicaremos principalmente a funciones que son continuas por tramos y de orden exponencial. Sin embargo, se observa que estas dos condiciones son suficientes pero no necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. La función f (t) 5 t21/2 no es continua por tramos en el intervalo [0, `), pero existe su transformada de Laplace. La función f (t) 5 2te t 2 cos e t 2 no es de orden exponencial pero se puede demostrar que su transformada de Laplace existe. Vea los problemas 43 y 54 en los ejercicios 3.1. ii) Como consecuencia del teorema 3.1.3 se puede decir que las funciones de s como F1(s) 5 1 y F2(s) 5 s y (s 1 1) no son las transformadas de Laplace / 0 de fun­cio­nes continuas por tramos de orden exponencial, puesto que F1(s) : as / 0 conforme y F2 (s) : s → `. Pero no se debe concluir de esto que F1(s) y F2(s) no son transformadas de Laplace. Hay otras clases de funciones.

F1(s) : / 0

1, 1,

1. f (t) 2. f (t)

9786075265568_BBK_112-154_VRF01_PRT.indd 118

4, 0,

0 0

1 1

t t t t

F2 (s) : / 0 as

2 2

3/8/17 12:52

2. f (t)1,

2.

3.

4.

5.

6.

0, t 1t 2 4, 0 t, t 0 2 t 1 f (t) 3. f (t) 12. f (t) e 2t 5 11. f (t) e t 7 0, F2 (s) : F1(s) : / 0 / 0 as 1, t 2 t 1 4t 2 2t 13. f (t) te 14. f (t) t e t, 0 2t t 1,1 0 t 1 12. f (t) e 2t 5 t 11. f (t) e t 7 f (t) 4. f (t) t LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.1 DEFINICIÓN 119 1, 15. f (t) e DE sen t 16. f (t) e cos t l 0, t 1 t 1 4t 13. f (t) te 14. f (t) t 2 e 2t 2t 1,sen0t, 0t 1t 17. f (t) t cos t 18. f (t) t sen t f (t) 5. f (t) 15. f (t) e t sen t 16. f (t) e t cos t 0, t 1 0, t seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4.

EJERCICIOS 3.1 Las respuestas a los problemas { f (t)}.

17. f (t) t cos t 18. f (t) t sen t sen t, 0 t 0, 0 t >2 f (t) 6. f (t) 0, t 19. f (t) 2t 4 20. f (t) t 5 cos t,l a 18 use t la definición 2 19. f (t) 5 2t 4 20. f (t) 5 t{5 f (t)}.

En los problemas 3.1 para encontrar 0, 0 t >2 21. f (t) 4t 10 22. f (t) 7t 3 +{f (t)}. f (t) 4 5 21. f2t (t) 5 4t 2 10 22. ft(t) 5 7t 1 3 19. f (t) 20. f (t) cos t, t 2 1, 0 t 1 23. f (t) t22 6t 3 24. f (t) 4t22 16t 9 1. f (t) 1.

23. f4t (t) 5 t 24. f7t(t) 5 24t 1 16t 1 9 21. f (t) 10 1 6t 2 3 22. f (t) 3 1, t 1 26. f (t) (2t 1)33 25. f (t) (t 1)33 2 25. ft(t) 5 (t 1 1) 26. f (t) 5 (2t 2 1) 23. f (t) 6t 3 24. f (t) 4t 2 16t 9 4, 0 t 2 27. f (t) 1 e4t4t 28. f (t) t22 e29t9t 5 2. f (t) 2.

3 27. f(t(t) 5 1 1 e

28. f(2t (t) 5 t1) 2 e 1 5 0, t 2 26. f (t) 25. f (t) 1)3 29. f (t) (1 e2t2t2)2 30. f (t) (et t e2t t2)2 2 29. f1(t) 5 (1 1 e 30. ft(t) 5 (e ) t, 0 t 1 27. f (t) e 4te t 2 7 ) 28. f (t) e e9t 2 e 2t 5 5 11. ff (t) 12. ff (t) 3. f (t) 3.

31. (t) 4t 5 sen 3t 32. (t) cos 5t sen 2t 2 1, t 1 2 2 5 sen 3t t 31. f(1 (t) 5 4t 32. f(e(t) 5 cos 2t 29. f (t) e 2tte)4t 30. f (t) et 2te)25t 1 sen 2t 13. f (t) 14. f (t) 33. f (t) senh kt 34. f (t) cosh kt 2t 1, 0 t 1 2 33. f4t(t) 5 senh kt 34. fcos (t) 5 cosh kt2t 31. f (t) 5 sen 32. f (t) 5t t sen t 3t 4. f (t) 4. t 15. sen tt 16. t t 35. ff (t) (t) eet t senh 36. ff (t) (t) ee2t cos cosh 0, t 1 35. fsenh (t) 5 e senh t 36. fcosh (t) 5 e cosh t 33. f (t) kt 34. f (t) kt 17. f (t) t cos t 18. f (t) t sen t sen t, 0 t {f (t)} e t cosh t t 5. f (t) 5.

35. f (t) e senh t 36. f (t) En los problemas 37 a 40 encuentre +{f (t)} usando primero 0, t { f (t)}. una identidad trigonométrica.

0, 0 t >2 {f (t)} 2 6. f (t) 6.

5 2t t 37. fff(t) 5 sen (t) 2t sen4 2t 2tcos cos2t 2t 38. fff(t) 5 cos (t) tcos 37.

38.

19. (t) 20. (t) cos t, t 2 21. ff(t) 5 sen(4t 1 5) (t) 4t 10 5) 22. f(t) (t)2 10 7t cos3 t f(t) 7.

39. fsen (t) 2t cos sen(4t 40. fcos 39.

40. t 37. f (t) 2t 38. f (t) (2, 2) 6 23. f (t) t 2 6t 3 24. f (t) 4t 2 16t 9 1 41. La función5)gamma G(α)f (t) aparece en de las fun39. f (t) sen(4t 40. cosel(2t testudio 26. 10 f de (t) 1)3 está dada 25. ciones f (t) de (t Bessel.

1)3 Una 6 1 esta t definición función ( ) e dt, 0.

0 t t 1 27. por f (t)la integral 1 e 4timpropia 28. f (t) t 2 e 9t 5 t 1 FIGURA 3.1.6 Gráfica para el problema 7. e t dt, 29. f (t) (1 e(2t )2 30. f (t) (e0. e t )2 0 t f(t)

8.

2 31. Use G(α 1 1) 5 αG(α). f (t) esta4tdefinición 5 sen para 3t demostrar 32. f (t)que cos 5t sen 2t

(2, 2)

42. el problema 41 y un 34. cambio variable 33. Utilice f (t) senh kt f (t) de cosh kt para obtener la generalización (at 1) a (a).

35. f (t) e t senh 36. f (t) e t cosh t ( 1) {t } , 1 {f (t)} 1 s (a 1) a (a).

del resultado en1 el teorema 3.1.1(b) ((a 1) aa a(a). (a (a 1) 11) a (a).

1) (a). {e (a ib)t} (a). {t } 2 (a1 1) , 1 2 37. f (t) sen 2t cos 2t 38. f (t) cos t s En los problemas 43 a 46 (utilice problemas 41 y 42 y el ((1)(los1) 1) 1) }} } 1 1/2, 11 1,, , 1 113/21 {t } {t {t {t 1/2 1 1 s s s (a) f (t) t (b) f (t) t (c) f (t) t . s la transformada de {e (a ib)t} 1 para encontrar hecho que sen(4t 2 39. f (t) 5) 40. f (t) 10 cos t (s 111 1 1 6 (a ib)t (a 1 1 11 (a {e (a {e } {e Laplace de la función 222 2 2 dada {e 1/2 3/2 1/2f (t) (a) f43. (t) f (t) 5 t t 1/2 21/2(b) f (t) t (c) t .

44. f (t) 5 t 1 t 1/2 1/2 1/2 1/2 3/2 ((b) dt, 0.. tt3/2 1/2 f(b) 1/2 1/2 3/2 0 t tt1/2 ff(t) (a) f (t) t (a) f (t) t (b) (t))(b) tf1/2 (c) tf3/2 (a) f (t) t f(t) (t) (c)t(c) (t) . .

3/2 21/2 5/2 (a) f (t). t (t) te1/2 (t) t.3/2 45. f (t) 5 t 46. f f(t) 5 2t 1f(c) 8(t) {eat Problemas para analizar

1 t

1

FIGURA 3.1.7 Gráfica para el problema 8.

9.

()

f(t) 1

()

t

1

FIGURA 3.1.8 Gráfica para el problema 9. f (t)

10.

c a

b

47. Construya una función F(t) que sea de orden exponens c1 {f (t)} F1(s) cial pero donde 1f(t) 5 F9(t) no sea de orden exponencial. {f2(t)} F2(s) Construya una función f que no sea de orden exponen{f1(t)transformada Fde cial, pero{fcuya Laplace exista.

1s(s) c1 F2(s)?

Ff21(t)} (s) 1(t)} {f248. Suponga (t)} F2(s) que{f (t)} (t)} s paracss1 s cc111 c1 y que F1(s)FF111(s) {f111{f (t)} (s)1(s) F 1 {f 1(t)} t2 f (t) e {f (t)} F (s) F (s) {f2(t)} (t)} F (s) {f22{f para s . c . ¿Cuándo {f2(t)} (t)2 (t)} F (s) F (s)?

2f2F 2(s)

t

FIGURA 3.1.9 Gráfica para el problema 10.

11. f (t) 5 e t17

12. f (t) 5 e22t25

13. f (t) 5 te 4t

14. f (t) 5 t 2e22t

15. f (t) 5 e2t sen t

16. f (t) 5 e t cos t

17. f (t) 5 t cos t

18. f (t) 5 t sen t

2 1

1

9786075265568_BBK_112-154_VRF01_PRT.indd 119

1/2

1

2

2

3/2

{eat

{t n 1} {t n} n

{t n 1} (n n t2 n 1 snnnn f (t) La figura e } {t {t 49.

3.1.4 indica, pero no demuestra, que la función {t } {t n!{t 222 2 nnn n t tt t 2 t {t }n} {t } {t {t f (t) ff(t) (t)f e(t) noeeese de orden exponencial. ¿Cómo demuestra 2 la observación de que t . ln M 1 ct, para M . 0 y t sufi2 cientemente grande, que et Mect para cualquier c?

{e (a 1/2

22

FF222(s)? {f1(t){f f12(t) (t)}ff222(t)} F1(s) {f111(t) (t) (t)} F111(s) (s) (s)? {f f2F(t)} F F 1(s)F 2(s)?

2(s)?

En los problemas(a19 a1) 36 use teorema 3.1.1 para encontrar a el(a). +{ f (t)}. ( 1) {t } , 1 s 1

( 12 )

( ) (( ))( )

ib)t

}

s (s

a ib a)2 b2 3/8/17 12:52

120

l

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA t2 ct DE LAPLACE

e2 et

1

Me Mect

2

et Mect 54. Demuestre que la transformada de Laplace 50. Utilice el inciso c) del teorema 3.1.1 para demostrar que 1 s a ib 2 2 (a ib)t {e(a(a1ib)t } s a ib {2te t cose t } existe. [Sugerencia: Comience inte(s a)2 2 b2 2, donde a y b son reales {e ib)t} 5 }

+{e (s a) bs a ib grando por partes.] {e (a ib)t} 2 3/2 e i2 5 21. Demuestre cómo (s sea)puede b2usar la fórmula de t3/2 .

55. Si +{f(t)} 5 F(s) y a  0 es una constante, demuestre que t .

Euler para deducir los resultados (c) f (t) t 3/2. s a 1 s {eatat cos bt} s 2a {f(at)} F (s a)2 b2 2 {e cos bt} a a (s a) b s a {eat cos bt}b (a 1) a (a).

2 b2 Este resultado se conoce como el teorema de cambio {eatat sen bt} b 2 (s 2. a) (a 1) a (a). ( 1) b. (s a)2 2 {e sen bt} de escala. {t } , 1 et Mect a) b2 b 1 at(s ( 1) s senfunción bt} . }1 51. ¿Bajo qué condiciones {e es una lineal f(x) 5{t 2 2 mx , 1 (s a) b 1 s56. s Utilice la 1transformada de Laplace dada y el resultado b, m  0, una transformada lineal?

1 {e (a ib)t} 2 del problema 55 para encontrar la(a transformada s ade ib 1 (s ib)t 52. Explique por qué la función 1 } 2 s c1 2 2 Laplace indicada. Suponga que a y{ek son constantes po(s a) b )? t, 0 t 2 (a) f (t) sitivas. t 1/2 (b) f (t) t 1/2 (c) f (t) t 3/2. ?

1/2 1/2 3/2 2 (a)t f (t) 5 t (b) f (t) t (c) f (t) t . {t n 1} f(t) (n 4,1)! sn n s) F2(s)? s {t{tn n}1} n!(ns n 1)!

1 1 (t 5), t 5 1 {eat cos {t n} n! {t s nn 11} (n 1)! s n (a) {et} ; {eat} s a at s 1 {e cos bt} No es una función {t n} en n! partes s n 1 continua en [0, `). (s a)2 b2 2 1 53. Demuestre que la función f(t) 5 1t no tiene una trans{eat sen (b) {sen t} ; {sen kt} b s2 1 formada de Laplace [Sugerencia: escriba +{1t 2)} at {e sen bt} . (s a)2 b2 como dos integrales impropias, como la ecuación si1 (c) {1 cos t} ; {1 cos kt} guiente; demuestre que I1 diverge.] {f1(t)} F1s(s (s)2 1)s c1 F2(s) s c1 {f1(t)} {fF 1 2(t)} 2s 1(s) e st e st (d) {sen t senh t} ; {sen kt senh kt} {1 t 2} dt dt I I 1 {f (t)} F (s) 4 2 2 2 2 2 s {f (t) f (t)} F F2(s)?

1 2 1(s)4 1 t 0 t

{f1(t) f2(t)} F1(s) F2(s)? {t n 1} (n 1) 2 {t n 1} (n 1)! s n {t n} n! s n 1 f (t) et 2 {t n} n! s n 1 f (t) et

()

3.2

()

TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

{f(t)} {f(t)} f(t) f(t)

INTRODUCCIÓN En esta sección se dan algunos pasos hacia un estudio de cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida.

Se empieza el análisis con el concepto de transformada de Laplace inversa o, más exactamente, la inversa de una transformada de Laplace F(s). Después de algunos antecedentes preliminares importantes sobre la transformada de Laplace de derivadas f 9(t), f 99(t), . . . , se ilustra cómo entran en F(s) F(s) 1{F(s)} juego la transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa para resolver ciertas ecua1 {F(s)}F(s) {f(t)} ciones diferenciales ordinarias sencillas.

1 f(t) {F(s)}

1 1Transformada s 1 s {1} s 1 {t} 1 2 s {t} 1 s2 {t} 2 s 1

{e 3t3t} 1 s 3 {e } 1 s 33t {e } s {1} {1}

1 1 t

t

e 3t e 3t 3

1 1 s s 1 1 1 1 1 s2 s2 t 1

1Transformada

1 1

e

1

1

1 1 s 3 s3t 3

inversa

1 s 1 s2 1

1

s

3

3.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS EL PROBLEMA INVERSO Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir, {f(t)} F(s) se dice entonces que f (t) es la transformada de Laplace in-1{F(s)} f(t) {f(t)} F(s) 1 versa de F(s) y se escribe f(t) {F(s)}. En el caso de los ejemplos 1, 2 y 3 de la sección 3.1 tenemos las tablas a la izquierda, respectivamente.

{1} 9786075265568_BBK_112-154_VRF01_PRT.indd 120

1 s 1

{1} 1 {t}

1 s 1 s2

1

1 s 3/8/17 12:53

1

1 t

3.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

F(s)

(a) 1 (b) tn

1

(d) sen kt (f) senh kt

n! , sn 1 1

s

2

1

s2

1, 2, 3, . . .

n k k

k2 k2

121

Pronto veremos que en la aplicación1de la transformada de Laplace a ecuaciones 1 1 11 11{F(s)} (t) directa funa (t)f (t) {F(s)} (t) {F(s)} (t)ff (t) {F(s)} {F(s)} no se puede determinar de ffmanera función{F(s)} desconocida f (t); más bien, 2s 2s 2s 6 6 de Laplace F(s) o f (t); pero a partir de ese co2s 66 66 la transformada 2s2s se puede despejar F(s) 2 2 F(s) {f (t)} F(s).

F(s).

11 {f (t)} F(s) 2 2 ff(t) {f (t)} F(s).

F(s).

F(s) {f (t)} F(s) {f {f (t)} F(s). {F(s)} F(s) (t)} F(s). f{F(s)} (t) f (t)1{F(s)} .1{F(s)} s s f 4calculando nocimiento, La idea es simplemente 4(t) ss2 ss22 44se44 determina 2s 66 2s 2s 6 2s 6 F(s) {fencuentre (t)} F(s).

F(s).

F(s) (t)} 1 {f (t)} {fF(s). (t)} F( esta: suponga es una transformada de Laplace;{f una {F(s)} ss22 F(s) 44que F(s) s2 4 s2 4 función f (t) tal que {f (t)} F(s). En el ejemplo 2 se muestra cómo resolver este último problema.

Para futuras referencias el análogo del teorema 3.1.1 para la transformada inversa se presenta como nuestro siguiente teorema.

f (t)

2s 6 s2 4

l

TEOREMA 3.2.1 Algunas transformadas 111 11inversas 1 11 1 11 1 (a) 1 1 1 (a)(a) 11 11 (a) (a)(a) s s ss ss 11 1 1 1 1 a) 11 (a) (a) 1 (a) ss1 (a) 11 n!

1 n!

1 1 n! n!

1 n!

1 n 1 at 1 1 1 11 11(b)n!tn , n n 1 1,1 2, 3, at.. . . s11 (c) e.at (b) (c) 2, 3, e1sat eat 11 (c) 1,(c) (b) ttnn ttnn , nt 1, 2, e2, (b) 2,n3, 3,1n.3, .,.1. ... ,..n.. n 1,(c) eatat.3, (b)(b) (c) 2, e nn s11nnn ,111 , n n 1, 1, 1 s a s s s sa a s s a s s s s a a 1 n!

1 n!

1 s (b) at 1 1 1 11 at 11 b) ttnn c) 1, 2, 2,, 13, 3,nn! (b) (c) 1 ,, nnt1n n!

1, .. .. .. 1, at . 1, . .ee2, 3, . .(c) (b) sstnnn 11 (b) , 2,n 3,(c) . essat (c) k sa sse s 1a 1 ss sa 11 kk k sn 1 1 1sn k1 k 11 sa 1 1 1 1 sen kt (d)(d) (d) sen kt22 kt22 kt kt 1coscos sen kt cos kt (d) (e) sensen kt kt coscos kt kt (e) (e) (d)(d) (e)(e) 1ss122 s222sen s2 s2 k2 k2 (e) cos kt s2 s2 k2 k2 ss22 ss222 kk22 kk222 1 s kk kk2 (c) eat k s k s k 1 s 1 11 a 11 k (e) s d) sen e) cos sen kt kt (d) ssen cos kt kt (e) cos (d) (e) 1 1 (d) kt22 sen kt 22 cos (d) (e) k 22 kt s21 1 k2k 2k s 22 kt s2 1 1k2s 2 s 2 2 11ss kk kkk 11ss ss skk 1 1 1 1 s k s k senh kt (f) (f) (f (g) cosh kt (g)(g) senh kt kt cosh kt kt 1 senh 1 cosh senh kt (f) cosh kt (f) senh kt kt (f )(f cosh kt kt 2 2 2 (g) 2 2 2 2 )) senh cosh 2(g)(g) 22 s222 22 k222 22 s222 22 k222 s k s k s k s k k s k s k s k 1 ss s k s k (e) cos kt ss s112 kkk2 k 1 k (g) s 1 11 s f) ) senh g) senh kt kt(f) senh cosh kt (f (g) 1 1 (f) cosh kt (g) cosh(g) (fskt s2)2 senh s22 cosh kk22 kt s2 k2 s2 k2 skt kk22 kt s2 k2 s2 k2 s 1 (g) cosh kt 2 s k2 Al evaluar las transformadas inversas, suele suceder que una función de s que estamos considerando no concuerda exactamente con la forma de una transformada de Laplace F(s) que se presenta en la tabla. Es posible que sea necesario “arreglar” la función de s multiplicando y dividiendo entre una constante apropiada.

EJEMPLO 1 Aplicando el teorema 3.2.1 1 1 11(b) . 1 12 2 . . .. (b) . s s 7 7 s s 77 77 11 11 1 1 11 11 1 1 (a) (b) 1 (a) (b) .. 1(b) 1 22(b) 1 . (a)5 la forma . s 7 2 el inciso ss55(a) coincidir s 7 5 2 SOLUCIÓN a) Para hacer dada en s s 7 s b)7del teorema 3.2.1, s 1 1 se identifica n 1 1 5 5 o n 5 4 y luego se multiplica y divide entre 4!: 1 1 (a) (b) . s5 s2 7 4!

1 4! 4! 1 14 4 1 1 11 11 111 4!

4!

11 4!1 11 141 11 1111 1 t .t .

11 15 5 tt 4..tt 4441.. 15 5

55 s555 5s5 s55 5 24 s s 24 24 ss s 4! ss s s 24 4!

24 4!24 4!

4! 4!

4! 1 1 11 444!

11 11 1 11 4!

14! 4 11 1 4 1 1tt 1 ..

1 1 5 t . identificamos 5 t. b) Para que coincida con la forma teorema 3.2.1, k2 24 5 ss dada4! ss55 4!d) 24 5 del 5 4!en els5inciso s 24s s 24 4! k 1 7 1 7 k 1 7 1 7 17 . Se arregla la expresión multiplicando y 1 kk4!k51 717y, dividiendo entre 1: 7 1 1 711por 17717 7 t 4.tanto, k 1 1 5 s5 s 24 4!

171 1 111 11 1 1717 1 1 1 11 11 111 11 1 111 111 17 1717 177 k kk 1 1117k1112 2 1 1 sen1 7t1 . 77 sen1 7 7t7. 7t. 17 sen1 sen1 7t sen1 7t..7t 2 2 122 s22 2 sen1 .

2 7 7 1 7 s 7 s 1 717 2 s 7 s 7 ss2 ss22 77 77 17 s 7 1 7 17 s 7 1 7 1717 s 17 717 17 17 11 111 17 1117 1 7 11 11 1 1 17 1 sen1 7t..1 1 11 sen1 7t 1 1 7t. sen17t.

22 22 s 7 s 7 1 2 2 s 7 s 7 1 77 7 s2 177 sen1 2 1 1 17 17 1 11211 1 ES UNA TRANSFORMADA s 7 s s 7 1 7 17 17 LINEAL La transformada de Laplace inversa es + 1 1 17 1 1 1 a b a b a b a b también una transformada lineal para las constantes α y β sen1 7t . a b a b s2 7 s2 7 11 17 1 17 1 1 1 1 1 1 1 11 111{ F(s) 111{F(s)} G(s)} { F(s) G(s)} {G(s)} 11{F(s)} 111{G(s)} { F(s) 11{F(s)} G(s)} {F(s)} , (1) {G(s)} {{ {F(s) {G(s)} F(s) G(s)} {G(s)} F(s) G(s)} {F(s)} {G(s)}

a aG(s)} bb a {F(s)} ba b donde F y G son11las transformadas de algunas 11 funciones f y11g. Como en la ecuación F(s) 1{G(s)} G(s)} {F(s)} {G(s)} 1 {{ F(s) {F(s)} {G(s)} 1 1 1 F(s) G(s)} {G(s)} { F(s) G(s)} 1{F(s)} {F(s)}lineal (3) de la sección 3.1, la ecuación 1 se extiende a cualquier combinación finita{G(s)} de a b 1 1 transformadas1 de Laplace. { F(s) G(s)} {F(s)} {G(s)} (a) (a) Evalúe a) (a)(a)

17

k

1

9786075265568_BBK_112-154_VRF01_PRT.indd 121

1

1 111 1 1 11 1111 1 (b) 1 1115 1112 5 2 (a) (a) (b) b) (b) (b) 55 s555 s sss2 s22 ss

3/8/17 12:53

122

l

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

EJEMPLO 22s 62sDivisión 2s2s2s 666 6 término a término y linealidad Evalúe

1 1 11 1 2s 6 12 2s 2 6 2 224 s 6 4 2s 2 444 1 1s s ss s2 464 22s 4 .

1 ss 2

s 4 SOLUCIÓN Primero se reescribe la función dada de s como dos expresiones dividiendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador y después se usa la ecuación (1): termwise termwise linearity linearity and fixing and fixing termwise termwise linearity linearity and and fixing fixing termwise linearity and fixing

termwise linearity and fixing termwise linearity andfixing fixing division division upup constants up and constants division division up constants constants division up constants termwise linearity division up constants linealidad y arreglo de division up constants división de cada uno de los términos division up constants termwise linearity and fixing 6 6666 6 s 1s slas s 6 666 6 11 2 12222 2 2s2s 6 1el 1denominador 2s 2s 6666entre 2s2s 2s62s 2s ss constantes 2s 2s 1 1––––––––– 1 2s 1 ––––––– 11––––––––– 11––––––– 11 ––––––– ––––––––– ––––––– ––––––– ––––––– 2 21 12––––––– –––––––– – –6–6– 1–1––––––– ––––––– ––––––– ––––––– ––––––– ––––––– ––––––––– ––––––– ––––––– ––––––– ––––––– division up constants 1 ––––––––– 1 ––––––– 1––––––– 2s ––––––––– 2 2 2 ––––––– 211 2 ––––––– 2ss22s 222s 26 2s 22 224 s424 2246s4244 4 222 224ss4244 4 2242s4244 (2) 2s 646 4 1s2s––––––––– (2) s12s2s––––––– s 4(2) (2)(2) s s s––––––– s s s––––––– 24 s444 s 4s s ––––––– ––––––– 2 262–2 2 s12s2s–––––––

{ {{{{{ { 2s } }}}}}6 } { {{{{{ {––––––– } 6}}}}} } { {{{{{ {––––––– } s}}}}} } 6–{ {{{{{ {––––––– } 2}}}}} } 2s ––––––––– ––––––– { { s }4 } { { s 4 s } 4 } 2 { {s } 4 } 2 { { s } 4 } 1

1

––––––––– 1 ss2 24 464 s22s ––––––––– s2 4

s 4 ––––––– s 4 s 4 ––––––– 2 2 1 ––––––– 1 1 2s2 2s4 4 2s26 4 4 2s2s 4 4 s––––––– s––––––– 2 2 ) 2 1 s ––––––– 2 ( 2 parts (e)(e) parts and (d) (e)(d) and 2t 2t. sin parts parts (e) and and parts (e) and 2cos 2cos 2t 3sin 3sin 2t.

22cos cos 2t 33sin sin 2t.

2(d) parts (e) and (d) (d) cos 2t342t sin 2t.42t. s222tcos s322t. s(d) 4 1

2

1

–2 26–2 2

parts and (d) 2cos cos2t2t 3 3sin sin 2t. of of Theorem of(e) Theorem 7.2.1 with 7.2.1 k kwith of Theorem Theorem 7.2.1 7.2.1 with with k2kk 2 2k22 of Theorem 7.2.1 with (e) and of Theorem 7.2.1 with incisos e)(d) y d) del 2 2 cos 2t 3 2t. sen 2t. parts ofTheorem Theorem 7.2.1 withk k 2 2 of 7.2.1 with parts (e) and (d) 2 cos 2t 3 sin 2t. teorema 7.2.1 3.2.1 con k 2 of Theorem 7.2.1 with k

1

1

2

s 4 ––––––– 1 2s22 4 4 s––––––– 2 s2 4

2

(2) (2) (2) (2)

FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales juegan un papel importante en la determinación de transformadas de Laplace inversas. La descomposición de una expresión racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente usando una sola instrucción en la mayoría de los sistemas algebraicos de computadora. De hecho, algunos SAC tienen paquetes implementados de transformada de Laplace y transformada de Laplace inversa. Pero para quienes no cuentan con este tipo de software, en esta sección y en las subsecuentes revisaremos un poco de álgebra básica en los casos importantes donde el denominador de una transformada de Laplace F(s) contiene factores lineales distintos, factores lineales repetidos y polinomios cuadráticos sin factores reales. Aunque examinaremos cada uno de estos casos conforme se desarrolla este capítulo, podría ser buena idea que consultara un libro de cálculo o uno de precálculo para una revisión más completa de esta teoría.

En el siguiente ejemplo se muestra la descomposición en fracciones parciales en el caso en que el denominador de F(s) se puede descomponer en diferentes factores lineales.

EJEMPLO 3 Fracciones parciales: diferentes factores lineales Evalúe

2 s2 2 s22226ss6s 6s 9999 9 6s 1 1 11 1 s ss 6s96s 1 2s 6s s 6s 9 92)(s 1)(s (s 1)(s 2)(s 4)4)4) 1)(s 1)(s 2)(s 2)(s (s 1)(s 2)(s 4) 1(s1(s(s (s s21)(s 1)(s6s 2)(s 2)(s 4). 4) (s 1)(s 2)(s9 4)4) 1 (s

(s

1)(s

2)(s

4)

SOLUCIÓN Existen constantes reales A, B y C, por lo que 2 s 2s 2sss22226ss6s A AAA 6s 9999 9 6s 6s96s A A B BBB B B C CCC C C 2s 6s 9 s1)(s 6s 9 2)(s A1A1s11s s1ssB2B2s22s s2ssC4C4s44 4 (s(s(s(s 1)(s (s 1)(s 2)(s 4) s 4) 1)(s 2)(s 2)(s 4) 4) s s 1)(s 2)(s 4) s (s 21)(s 1)(s6s 2)(s 2)(s 4) s 1 s 2 s 4

(s(s s1)(s 2)(s9 4)4) s sA 1 1 s sB 2 2 s sC 4 4 4)24)4) 1)(s 4)4)4) 4) 1)(s 2)2)2) 2) A(s 2)(s 2)(s B(s B(s 1)(s 1)(s C(s C(s 1)(s 1)(s A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2) A(sA(s 2)(s 4)B(s B(s 1)(s1)(s 4)C(s C(sC(s 1)(s1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 4) A(s sA(s 12)(s s 2)(s s4) 4B(s . 2) . ... .

A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s A(s 2)(s 4)(s B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2) 1)(s (s 1)(s 2)(s 2)(s 4) 4) (s(s(s 1)(s 1)(s 2)(s 2)(s 4) 4) 1)(s 2)(s 4) (sB(s 1)(s 1)(s 2)(s 2)(s4) 4) 4) ..

A(s 2)(s 4) (s(s 1)(s 1)(s2)(s 4) C(s 1)(s 2).

Puesto que los denominadores son idénticos, numeradores (s los1)(s 2)(s son 4) idénticos: 2 2 22 2 9A(s 2)(s 4)4)4) 4) 1)(s 4)4)4) 4) 1)(s 2)2) . 2) .(3) (3) (3) 9999A(s A(s 2)(s 2)(s B(s B(s 1)(s 1)(s C(s C(s 1)(s 1)(s . (3) ... 2) (3) (3) 6s A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2) (3) s s sss226ss6s6s 6s96s A(sA(s 2)(s2)(s 4)B(s B(sB(s 1)(s1)(s 4)C(s C(sC(s 1)(s1)(s 2) A(s 2)(s B(s 1)(s C(s 1)(s (3) 2)(s 4)4) B(s 1)(s 4)4) C(s 1)(s 2)2) s 2s 6s6s 9 9 A(s . . (3) Comparando de las4)potencias s en ambos la igualdad, sabes 2 6s los9 coeficientes A(s 2)(s B(s de1)(s 4) lados C(s de1)(s 2). (3) mos que (3) es equivalente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C. Sin embargo, hay un atajo para determinar estas incógnitas. Si se hace s 5 1, s 5 2 y s 5 24 en (3) se obtiene, respectivamente,

161616 16 1)(5), A( 1)(5), 252525 25 B(1)(6), y 1 1111C(C( 1C( 5)(5)( C( 6)5)( , 6) A(A( 1)(5), 1)(5), B(1)(6), B(1)(6), 5)( 6) , ,,, 6), 16 A( 1)(5), 25 B(1)(6), C( 5)( 6) 16A( A( 1)(5), 25B(1)(6), B(1)(6), C( 5)( 6) A( 1)(5), 25 B(1)(6), 1 C( C( 5)( 6) 161616 16A( 1)(5), 25 B(1)(6), 1 5)( 6) ,, 16 25 2525 25 1 1 11 1 16 16 25 , , 16,B 25, y 1 Por lo que la descomposición en fracciones par, , A AAA A B B C C y así, .

B C C B C 5 5A( 6 6 25 30 55 , 5B 66 6 25 C30 303030 16 1B(1)(6), 1)(5), 1 C( 5)( 6), AA16 16 ,5, B 256 66 CC 301 3030 cialesAes 5 5 B2 16 25 2 1 2 2 2 >25 >16 >>>30 > 6>>>25 > 5>>>16 1616 516 525 625 1 > 30 , s s sss2266ss6s6s 9999 309 55 >25 66 >16>130 1>130 6s 16 25 30 A 6s9C6s 30 5 B > 30 > 66 1 1>130 > 55 2525 2s 6s 9 16 > > 6s 9 16 5 6 s (s(s(s(s (s 2)(s 2)(s 4)4)4) 4

1)(s 1)(s 2)(s 2)(s sss1 1s111s s1sss2 2s222s s2sss4 4s444, (4) 1)(s1)(s 2)(s 4) (s1)(s 2)(s 4) 4)s s16 2 1)(s 9 4)4) 1)(s6s2)(s 2)(s s > 62 2 s1s> 304 4 (s(s s1)(s s s > 51 1 s25 (s 1)(s 2)(s 4) s 1 s 2 s 4

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3.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

1

(s

l

123

11 11 11 11 de + 21 1

y, por2 tanto, de la linealidad y del inciso c) del teorema 3.2.1, 1 1 1 ss22 ss2226s 99 99 16 25 11 11 11 11 11 2 11 1 11 1 1 11 6s 6s 1616 2525 6s 16 25 sss22 6s 16 25 1111 11 s 111 6s 9 6s 999 16 11 111 111 25 11 111 1111 6s 16 25 (s 1)(s 2)(s 4) 5 s 1 6 s 2 s 9 6s 6s2)(s 94) 11 ss11 ss 1441 44 21)(s 1)(s 2)(s 551616 ss11 s 1125 ss11 s 12211 2 30 1)(s 2)(s 4) 4) 11 1 662525 30130 (s 5 6 30 6s 16 1 1 s 9 (s 1)(s 2)(s 4) 1 2 (s 1)(s 2)(s 4) 1 2 30 (s1 ss1)(s44 2)(s 1 55 1 66 1 30 1 ss 1 ss (s 1)(s 2)(s 55 ss 11 66 ss 22 30 1)(s 4) 2)(s 4)4) 4) 30 4 sss 444 1)(s 5 1 s25 61 s 2 30 s (s(s 2)(s 1)(s 2)(s 5s16 6 s 2 30 1 4t 16 t 25 2t 11 1 16 16 25 25 ee 4t 16 1e114t4t 16 25 e16 e25 e5t t eettt 25 e62t2tee2t2t2t e30 e e e e e e 4t4t4t 16 1 tt 66 25 2t 5 30 5 30 5 6 30 16 t 16 25 555eet2t 30 ee4t4t. e 256616ee2t e2t4t 130

(5) e e 30 e 6 5 565 630 3030

1 11 1 11 2(s (s s1 11

4)

3.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este {dy>dt} {dy>dt} {dy>dt} {dy>dt} capítulo, el ecuaciones 2 2objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver {dy>dt} {dy>dt} 2{d 22 2} 2y>dt 2 y>dt {dy>dt} {d }} 22} Para tal fin, es necesario evaluar cantidades como {d y>dt {d 22y>dt diferenciales. y{dy>dt} {dy>dt}{dy>dt} {d {d y>dt {d 2 y>dt 2}.

22y>dt 22}} {d2 y>dt } y>dt 2 {d 2 } si f 9 es continua para t $ 0, entonces integrando por partes se obtiene ejemplo, {d 2 y>dtPor } {d y>dt }

st st st f (t)} ff dt (t) (t) st f (t) st f dt {{ff {{(t)} ee0 stesteffststst(t) ee steste ff(t) (t)} (t) dt dt (t)f (t) 0 ss ss ee0 stesteff(t) dt dt (t)} (t) dt dt stst st(t) st f (t)

{{{ffff (t)} e f (t) dt e f (t) s e (t)} e f (t) dt e f (t) s e (t)dt dt { f (t)} e 0 0 0 st st 0 0 0 0 e st f (t) dt 0 0 e ststfff(t) st f (t) 00 (t)} e s (t) dt { f (t)} e 00 e st f (t)stdt st st s 00 e st f (t) dt 0 st f (t) 0 { f (t)} { f (t)}e f (t) dt f (t) es dt{ff(t) s e f (t) dt e f (t) s e f (t) dt 00fe(0) 0 0 0 0 ff(0) ss {{ff(t)} (t)}(t)} (0) (t)} 0 00 0(0) 0

ffff(0) (0) ssss {{{{ffff(t)} (t)} f (0 (0) (t)} f (0) s { {f (t)} f (t)} {(t)} ff (t)} sF(s) fsf (0). f (0)sF(s) sf (0) { ff(0). (t)} { f { f (t)} sF(s) (0). { (t)} sF(s) (0). o

(6) { f (t)} sF(s {{{fff (t)} (t)} sF(s) sF(s) fff(0).

(0). (t)} sF(s) f(t)} (t)} sF(s) f(0).

(0). { f (t)} { {fsF(s) fsF(s) (0). st f (0).

Aquí hemos supuesto que e2 f (t) → 0 conforme t → `. De manera similar, con la ayuda de la ecuación (6), stste st f (t) dt stste st f (t) f (t)} s ststeeff stst(t) ff dt (t) {{ff {{(t)} ee0 effststst(t) dt (t)} (t) dt dt ee effstst(t) dt dt (t)} ff (t) (t) ff (t) (t) (t) dt st(t) st(t) 0 ss sss ee 0 e st {{{ffff (t)} e f dt e f (t)} e (t) dt e (t) (t)dt dt { f (t)} e stst 00 0 ststff (t) 00 0 e stst f (t) dt 0s0 0 e (t)} e f (t) e f (t) 00 st s 00 est f (t) dt { f (t)} e f (t) dt 00 est f (t)stdt st 0 st 0

{ f (t)} { f (t)}e f (t) dt e f (t) s e f (t) dt e f (t) dt e f (t) s e f (t) dt 00f (0) 00 0 ff (t)} 0 ff 0(0) ss ss{{ff {(t)} (0) (0) {{(t)} (t)} 0 00 0 ffff (0) s { f (t)} (0) s f (t)} f (0 (0) ssf (0)] { f (t)} (0)

s[sF(s) ff (0) de f (0)s[sF(s) { f (t)} fs f(0) s(0)] { {f f(t)} → de ff(0)] ff(t)} (0) s[sF(s) (0) →→ de(6) (6) s[sF(s) f (0)] (0) → de (6) (6) s[sF(s) → de de(6) (6) s[sF(s) fff(0)] (0)] fff (0) (0) → s[sF( (0)] (0) → (6) 2s[sF(s) f(0) (0)] f(0) (0) → dede de(6) (6) ffs[sF(s) (t)} sss[sF(s) sf ff (0).

2F(s)

→ de (6) f (0)] f (0) s[sF(s) f (0)] → {{ ff {{(t)} ss22F(s) sf (0) f (0). (t)} F(s) sf (0) f (0). (t)} F(s) sf (0) (0). {{ff (t)} (t)} sss2222F(s) F(s) sf sf(0) (0) fff (0).

(0). { f (t)} s 2F(s (t)} F(s) sf (0) (0).

F(s) sf (0) f (0).

2 (t)} o { f (t)} {{{f fsf(t)} (7)

F(s) s 2ssf (0) f (0).

F(s) sf (0) f (0).

2 De igual manera se puede demostrar que 22 s 2 f (0) { f ss33F(s) sf ff (0). {{ff {(t)} ss33F(s) ff (0). (t)}(t)} F(s) (0) sf (0) (0)(0) (0). (t)} s sf (0) (0).

33F(s) ss ff(0) 22f (0) sf {{{ffff (t)} s F(s) s sf (0) f (t)} s s (0) sf (0) f (0).

(0). { f (t)} 33F(s) 22ff(0) (t)} s F(s) s f (0) sf (0) f (0).

(8) (t)} s3ssF(s) f (0) (0) sffsf(0) (0) f f(0).

(0).

2F(s) { f (t)} { {f sf 3(t)} F(s) f (0) s2ssf (0). f (0) La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración.

TEOREMA 3.2.2 Transformada de una derivada Si f, f 9, . . . , f (n21) son continuas en [0, `) y son de orden exponencial y si f (n) (t) es continua por tramos en [0, `), entonces (n) n 1 n 2 (n 1) nn 1s1n 1 f(0) nn 2s2n 2 f (0) {(n)f(t)} ssnnF(s) (n) (t)} snnF(s) 1) (0), {{ff(n) ff(n(nff 1)(n(n1)(n(0), (t)} (0), nnF(s) ss snf(0) 11f(0) ss snfnf (0) 2(0) 1)1)(0), (n)(t)} s F(s) nf(0) 2f (0) {{{{ffff(n) (t)} s F(s) s f(0) s f (0) f (0), (t)} s F(s) s f(0) s f (0) f (0), (n) nn nn 11 nn 22 (n 1) (n)(t)} (n 1)(0), sns nF(s) sns 1 nf(0) sns 2 ff (0) f(n { f F(s) f(0) (0) f n (t)} 1 2 (n 1) (n) 1) (0), F(s) { f(t)} { f (n) (t)} s F(s) s f(0) s f (0) f (0), { f (t)} s F(s) s f(0) s f (0) f (0), F(s) { f(t)} F(s) { f(t)} F(s) f(t)} donde F(s) {{{{f(t)} F(s) f(t)}.

F(s) f(t)} F(s) { f(t)} F(s) { f(t)} { f(t)} F(s)

{ f (n) (t)}

{ f (t)}

F(s)

SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teon n Y(s) {y(t)} nn n} ny>dt n y>dt {y(t)} Y(s) {y(t)} Y(s) {y(t)} rema 3.2.2 que {d deY(s) y las n 2 1 derivadas de y(t) }} depende {dn{d y>dt {d nny>dt nn} Y(s) {y(t)} Y(s) {y(t)} {d y>dt {d y>dt nn nn}} Y(s) {y(t)} {d y>dt } evaluadas en t 5 hace que la transformada Y(s) {y(t)} y>dt n 0. Esta n {d n propiedad n } Y(s) {y(t)} {y(t)} de Laplace sea adecuada Y(s) {d y>dt{d } y>dt } para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una combinación lineal de términos y, y9, y0, . . . , y (n):

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n n 1 ddnnyyddnnnyy a ddnn dd11nynny 111yy g(t), dnnynyyaann a11nn 11 dddnnn 11yy1y aa00yyaa00 yy g(t), aann aann ndnddt g(t), g(t), nndt aaa00yyy g(t), adt g(t), dn ynnnyd n 1aaaynndt dn11nn1ny11y1 dt nnddt 11ddt d n y aadt g(t), nn dt nn 11 dt 00 y dt dt a a g(t), a nn nn 11 an n ay(0) a y g(t), dt a a y g(t), (n 1) 1 0 n andt n 1 0 ,,(0) yy1 (0) y,n, 1,, 1) (0) dty(0) dtdt dtydt yyn00,dt y(0) ,yyy00n(0) y1n1,,yy1..11.,,. ... ,..,y..y(n(n,, yy1)(n(n1)(n(0) (0) y(0) (0) 1)1)(0) yynn y 11n 1 y(0) y(0) yyy00,,,yyy(0) (0) yyy11,,, ... ... ... ,,,yyy(n(n 1)1)(0) (0) yyynn 11,,, y(0) (0) (0) 11 , 1) y(0) y,00y, y(0) (0) y(n . (0) . ,. y, (ny 1) (0) y ynn ,11, y(0) yy(0) , y (0) , . . . , y y y y , . . .

(0) 0 1 n 1, 0 1 n 1

sn F

{d n y>dt

an

d ny dt n

y(0)

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y0

124

l

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

donde las ai, i 5 0, 1, . . . , n y y0, y1, . . . , yn21 son constantes. Por la propiedad de li­ nea­li­dad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace: d nny d nn 11y aan dddddnnnnyynynyy aan 1 dddddnnnnnn1111yy1y1yy a {y} {g(t)}. {y} {g(t)}. {y} {g(t)}. aaanannnn dt aaanannnn11111 dt aaaa0a00000 {y} {y} {g(t)}. {g(t)}. (9)

nnnnn nnnnn11111 dt dt {y} {g(t)}. n n 1 0 dt dt dt dt dt dt n n 1 dt dt Del teorema 3.2.2, la ecuación (9) se convierte en n 1) (n 1) 1)(0)] a [s ssnnnnnn 111111y(0) yy(n(n(n nnnnY(s) nY(s) [s[s y(0) (0)] (n(n 1) 1)1) Y(s) s y(0) y (0)] aaaanannnn[s Y(s) s s y(0) y y (0)] nY(s) n 1y(0) (n 1)(0)] n[s y(0) n 2 y (0)] n [s Y(s) n s1 2) (10) nn111Y(s) nn2222y(0) (n 2) 2)(0)] aan 1[s s y(n a Y(s) G(s) , n n n 1 n [sn 1Y(s) Y(s) y(0) (0)] Y(s) G(s) (n(n2) 2)2) 1[s y(0) (0)] Y(s) G(s) aaanannnn111[s Y(s) sssssnn 22y(0) y(0) yyyy(ny(n(n (0)] aaaa0a0000Y(s) Y(s) G(s) G(s) ,,,,, 2)(0)] 1[sn 1Y(s) 0Y(s) [s Y(s) y(0) (0)] G(s) n 1 0 {y(t)} Y(s) {g(t)} G(s) {y(t)} Y(s) {g(t)} G(s) {y(t)} Y(s) {g(t)} G(s) {y(t)} Y(s) Y(s) {g(t)} {g(t)} G(s) G(s) donde {y(t)} y 5 G(s).

En otras palabras, la transformada de {y(t)} Y(s) {g(t)} G(s) Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se convierte en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10) para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s) 5 Q(s) 1 G(s) y después se escribe Q(s) G(s) Q(s) G(s) Q(s) G(s) Q(s) Q(s) G(s) G(s) Y(s) Y(s) Q(s) G(s) Y(s) Y(s) Y(s) , (11) P(s) P(s) P(s) P(s) Y(s) P(s) P(s) P(s) P(s) P(s) P(s)

P(s) P(s) donde P(s) 5 ansn 1 an21sn21 1 . . . 1 a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n 2 1 que consiste en varios productos de los coeficientes ai, i 5 1, . . . , n y las condiciones iniciales prescritas y0, y1, . . . , yn21 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es y(t) 5 + 21{Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término.

El procedimiento se resume en el siguiente diagrama.

Find unknown y(t) Find unknown y(t) Encuentre lay(t) y(t) Find unknown y(t) Find Find unknown unknown y(t) Find unknown y(t) Apply Laplace Transform that satisfies DE Find unknown y(t) Apply Laplace Transform that satisfies DE desconocida que Aplique la transformada Apply Laplace Transform that satisfies DE Apply Apply Laplace Laplace Transform Transform that that satisfies satisfies DE DE Apply Laplace Transform that satisfies DE and initial conditions Apply Laplace Transform thatinitial satisfies DE and conditions satisface la ED y las de Laplace and initial conditions and and initial initial conditions conditions and initial conditions and initial conditions condiciones iniciales

Solution y(t) Solution y(t) Solución y(t) Solution y(t) Solution Solution y(t) y(t) Solution y(t) of original IVP Solution y(t) of original IVP del PVI original of original IVP of of original original IVP IVP of original IVP of original IVP

−1 −1 Apply Inverse Transform −−−11− Apply Inverse Transform 11 Aplique laTransform transformada Apply Inverse Transform Apply Apply Inverse Inverse Transform −1 Apply Inverse Transform Apply Inverse Transform −1 inversa de Laplace

Transformed DE Transformed DE La ED transformada Transformed DE Transformed Transformed DE DE Transformed DE becomes an algebraic Transformed DE becomes an algebraic se convierte en una becomes an algebraic becomes becomes an an algebraic algebraic becomes an algebraic equation in Y(s) becomes an algebraic equation ininY(s) Y(s) ecuación algebraica equation in Y(s) equation equation in Y(s) equation in Y(s) equation in Y(s) en Y(s)

Solve transformed Resuelva la ecuación Solve transformed Solve transformed Solve Solvetransformed transformed Solve transformed equation for Y(s) Solve transformed transformada para equation for Y(s) equation for Y(s) equation equationfor forY(s) Y(s) equation for Y(s) equation for Y(s) Y(s)

En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s) contenga un polinomio cuadrático sin factores reales.

EJEMPLO 4 Solución de un PVI de primer orden Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dy dy dy dy dy 3y 13 sen 2t, y(0) 6.

3y 13 sen 2t, dy 3y 13 sen 2t, y(0) 3y 3y 13 13sen sen2t, 2t, y(0) y(0) dt yy(0) (0) 6666.6... . dt 3y 13 sen 2t, y(0)

dt dt dt dt SOLUCIÓN Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación dife-

rencial.

dy dy dy dy dy dy dt dt dt dt dtdt

3 {y} 13 {sen 2t}. {y} 13 {sen 2t}. {y} 13 {sen 2t}.

33333 {y} {y} 13 13 {sen {sen2t}.

2t}. (12) {y} 13 {sen 2t}.

El polinomio P(s) es igual al polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la sección 2.3 donde el símbolo m usual se sustituye por s. *

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3.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

l

125

{dy>dt} sY(s) sY(s) y(0) y(0) sY(s) sY(s) 666 {dy>dt} {dy>dt} sY(s) y(0) sY(s) {dy>dt} sY(s) y(0) sY(s) 6 222 4) {sen 2t} 2>(s 2 4) {sen 2>(s {dy>dt} sY(s) y(0) sY(s) 6 4) {sen 2t} 2t}{dy>dt} 2>(s 2 sY(s) {dy>dt} sY(s)y(0) y(0)sY(s) sY(s)666, 6y del inciso d) del teorema 3.1.1, 4) {sen 2t} 2>(s {dy>dt} sY(s) y(0) sY(s) 2 De{sen (6),2t} {dy>dt} sY(s) y(0) sY(s) 2>(s 2 2 2 4) 26 26 26 {sen {sen 2t} 2t}2>(s 2>(s 2 4) 4)4) {sen 2t} 2>(s 26 26 que la ecuación (s (12) igual que 4) , por lo226 {sen 2t} 2>(s (s es 3)Y(s) sY(s) 3Y(s) ..

3)Y(s) 666 sY(s) 666 3Y(s) 26 26 (s 3)Y(s) sY(s) 3Y(s) 2226 22226 s s 4 2 2 44 444.. (s 3)Y(s) 6 ss26 sY(s) 6 3Y(s) ss26 2 26 2 26 26 26 . sY(s) 6 3Y(s) (s 3)Y(s) 6

o (s(s(s(s3)Y(s) sY(s)666 63Y(s) 3Y(s) 2ss2262 44 3)Y(s)666 6 2ss2262 .44 . . . sY(s) sY(s) 3Y(s) 3)Y(s) 3)Y(s) sY(s) 3Y(s) s s2s2s 444 4 s s2s2s 444 4 Resolviendo la última ecuación para Y(s), 50 26 obtenemos 6s 6s2222 50 666 26 50 26 6s 2 Y(s) Y(s) 6 26 6s 2 250 2 Y(s) 2 2 2 2 (s 6s 3)(s (s 3)(s 3)(s 4) (s 4) 26 2 4) 250 4) Y(s) ss6s 6 6333 (s 2 3)(s (s 3)(s (s 3)(s 4) 4) 2 250 2 2 50

.

(13) 504) 26 6s6s Y(s) 2626 6s26s (s 3)(s s 66 3 (s 3)(s 4) 26 2 250 Y(s) Y(s) s 3 (s 3)(s 4) (s 3)(s 4) Y(s) s s3 3(s (s3)(s3)(s 2 22 2 22 Y(s) 3)(s 2 4) 4)4)(s (s(s3)(s 2 4) 4)4) s 33 (s(s 3)(s 3)(s 4) (s usando 4) reales, se supone Puesto que el polinomioscuadrático s2 13)(s 43)(s no se factoriza números que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s: 6s2222 50 50 A Bs C C 6s A Bs 50 6s A Bs C 2 ..

6s 50 A Bs C 2 22250 222

(s 3)(s 4) s 3 s 4 A Bs C 6s 2 (s 4) ss 33 ss22 44 ..

2 3)(s (s 3)(s 4) 2 250 2 50 6s 6s A A Bs Bs C 2 .

50 4) s AA 3 Bs Bs (s 6s3)(s250 s 4CC (s 6s 3)(s s 3 2s22 2 C 4. . . .

2 2 2 4) (s (s 3)(s 3)(s 4) 4) s s 3 3 s s 4 2 3)(s (s(s de3)(s 4)4) sobre s s un 33 común s2s denominador 44 4 Poniendo el lado derecho la igualdad e igualando los numeradores, se obtiene 6s2 1 50 5 A(s2 1 4) 1 (Bs 1 C)(s 1 3). Haciendo s 5 23 se obtiene inmediatamente que A 5 8. Puesto que el denominador no tiene más raíces reales, se igualan los coeficientes de s2 y s : 6 5 A 1 B y 0 5 3B 1 C. Si en la primera ecuación se usa el valor de A se encuentra que B 5 22, y con este valor aplicado a la segunda ecuación, se obtiene C 5 6. Por lo que, 6s2222 50 50 2s 666 6s 888 2s 6s 50 2s 2 Y(s) Y(s) 6s 8 2s 6..

250 2 2

Y(s) 2 2 2 (s 6s 3)(s 4) sss 8 333 250 4) 22 sss2s 4446 ..

Y(s) (s 2 3)(s (s 3)(s 4) 2 250 2 2 6s 6s 50 8 8 2s 2s 6 2 .6 Y(s) 50 4) s 88 3 (s 6s6s3)(s250 s2s 22s 4.66 .

Y(s) Y(s) (s 3)(s sracional 3 . escribir como dos Y(s) 2 expresión 2 4) 2s tiene 2 4 que .

Y(s) Aún no se termina porque la última se 2 2 (s(s(s(s3)(s 3)(s 2 4) 4)4)s s s3 3 3 s 2s s 4 4 4 3)(s 3)(s 4) s 3 s 4 fracciones. Esto se hizo con la división término a término entre el denominador del ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo, 11 ss 22

y(t) 888 1111 11 y(t) ..

222 11111 222 ss 333 11111 222 22 y(t) 1 ss 1 3 y(t) 8 1 s1 133 2 1 ssss22 s s444 3 1 sss222 2 2444 .. y(t) 8 1 1 1s 11 3 2 1 1 1s2 s s 4 3 1s 22 4 . y(t)incisos .

888 8 1c),s d) y3e) del 222teorema 2 1 2s 3.2.1, 333la31solución . . .problema 1 1 s2 y(t) Se deduce y(t) de los con 2 4 que 2 22 4 y(t) 2 s s s 3ts23t 333 3 s s2s s 444 4 s s2s s 44del 44 3t valores iniciales es y(t) 5 8e cos 2t 1 3 sen 2t.

2 cos 2t 3 sen 2t. y(t) 8e 3t 2 2 y(t) 8e 2 cos 2t 3 sen 2t. cos 2t 2t 33 sen sen 2t.

2t. y(t) 8e 8e 3t 22 cos y(t) y(t) 8e3t 3t3t3t 2 cos 2t 3 sen 2t.

2cos cos 2t2t2t2t33sen 3sen sen 2t.2t.2t.2t. y(t)8e8e8e8e3t 22cos y(t) 2cos 3sen y(t) y(t) EJEMPLO 5 Solución de un PVI de segundo orden

24t Resuelva y0 2 3y9 1 2y 5 e , y(0) 5 1, y9(0) 5 5.

4t y(0) 1, 1, yyy (0) (0) 5.

3y 2y eee 4t 4t,, y(0) 5. yyy 3y 2y 1, (0) 5.

3y 2y 4t , y(0) y (0) 5. y 3y 2y e 4t , y(0) 1, y 3y 2y e4t 4t,4t y(0) 1, y (0) 5.

SOLUCIÓN Procediendo en 1, el1,1,ejemplo se5.transforma la ED. Se toma la ,y(0) y(0) 1, y y(0) y(0) (0)4, 5.5.5. y yy y 3y3y3y3y 2y2y e, como y(0) y(0) 2y2ye ee 4t , ,y(0) suma de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condiciones iniciales dadas, el inciso c) del teorema 3.1.1 y entonces se resuelve para Y(s):

dy ddd22222yyy dy 4t dy 4t {y} {e 4t 4t 333 dy 222 {y} {e }}

ddt 2y {y} {e 222 4t } dt d dy y 22 dt 3 2 {y} {e } 2dt 4t dt dt dddt yd2 yd222y y 3 dydy dy 2 {y} {e } dy 2 {y} dt 4t 4t4t 3 3 2 {y} {e {e } 4t dt dt 3 2 {y} {e 3 dt dt 2 {y} {e 111 }} } 22 dtdt2dt2dt dt Y(s) sy(0) y (0) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s) ss2222Y(s) dt sy(0) y (0) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s) s Y(s) sy(0) sy(0) yy (0) (0) 3[sY(s) 3[sY(s) y(0)] y(0)] 2Y(s) 2Y(s) ss 11 44 s22Y(s) s1 14 s Y(s) sy(0) y (0) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s) 2 s 2sY(s) Y(s)sysy(0) (0) sy(0)y y(0) y(0) (0)3[sY(s) 3[sY(s)y(0)] y(0)]2Y(s) 2Y(s) ss 11 44 2s 2sY(s) sy(0) y(0) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s) Y(s) 3[sY(s) y(0)] 2Y(s) 111 (s2222 3s 3s 2)Y(s) 2)Y(s) s ssss s442224 4 (s

1 (s 3s 2)Y(s) (s22 3s 2)Y(s) s 2 ss1s 1 1444 (s 2)Y(s) s 2 s 2 2 2 3s 1 3s2)Y(s) 2)Y(s)s s s s222s2222 s 6s1 44 9 (s(s(s2(s 3s3s3s 2)Y(s) sss 222 111 2)Y(s) s 22 s s s6s s444 499 6s Y(s) (14) Y(s) .. (14) (14)

s 3s2 2 (s222 3s 1 2)(s 4) (s ss1)(s 6s 2 Y(s) (14) 2)(s99 4) 4).. (14) 2 1 s 6s 2 sss22222 s 3s 2 (s 3s 2)(s 4) (s 1)(s 2)(s Y(s) 2 1)(s 2 3s 2 (s 3s 2)(s 4) (s 2)(s 4) 2 2 s s 2 2 1 1 s s 6s 6s 9 9 Y(s) . (14) s 6s2)(s9 4) 3s22 2 (s2 3s 11 2)(s 4) (s s 21)(s Y(s) Y(s) 2ss2 s2s 3s . .(14) .(14) (14) 2 (s 2)(s 4) (s 1)(s 6s 2)(s9 4) Y(s) .(14) 2 2 2 3s Y(s) 2s 3s sde 3s 2 2 (s (s 3s 3s 2)(s 2)(s 4) 4) (s (s 1)(s 1)(s 2)(s 2)(s 4) 2sla 2 Los detalles descomposición en fracciones parciales de Y(s) ya se presentaron 2)(s 4)4) (s(s 1)(s 1)(s 2)(s 2)(s 4)4)4) en s 3s3s 22 (s(s 3s3s 2)(s el ejemplo 3. En vista de los resultados en (4) y (5), se tiene la solución del problema con valores iniciales

9786075265568_BBK_112-154_VRF01_PRT.indd 125

yyy(t) (t) (t) y(t) y (t) y y(t) y(t) (t)y (t)

111{Y(s)} 1{Y(s)} 1 {Y(s)} 1 {Y(s)} 1 1{Y(s)} 1 {Y(s)} {Y(s)} 1

{Y(s)} {Y(s)}

16 ttt 25 25 2t2t2t 16 111 4t4t4t 16 25 2t eeett 25 eee2t 16 1 ee 4t..

30 16 1 ee 4t4t..

555 et 25 666 e2t 30 30 1616 16 25 25 1 e e 16 25 1 1e .e4t. 4t.

5 6 2te2t 130 5etetetet 25 6e2te2t 30e ee4t4t e ..

555 5 666 6 3030 3030

3/8/17 12:53

126

UNIDAD 3 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

l

En los ejemplos 4 y 5, se ilustra el procedimiento básico de cómo usar la transformada de Laplace para resolver un problema lineal con valores iniciales, pero podría parecer que estos ejemplos demuestran un método que no es mucho mejor que el aplicado a los problemas descritos en las secciones 1.5 y 2.3 a 2.6. No saque conclusiones negativas de sólo dos ejemplos. Sí, hay una gran cantidad de álgebra inherente al uso de la transformada de Laplace, pero observe que no se tiene que usar la variación de parámetros o preocuparse acerca de los casos y el álgebra en el método de coeficientes indeterminados. Además, puesto que el método incorpora las condiciones iniciales prescritas directamente en la solución, no se requiere la operación separada de aplicar las condiciones iniciales a la solución general y 5 c1y1 1 c2y2 1    1 cn yn 1 yp de la ED para determinar constantes específicas en una solución particular del PVI. La transformada de Laplace tiene muchas propiedades operacionales. En las secciones que siguen se examinan algunas de estas propiedades y se ve cómo permiten resolver problemas de mayor complejidad.

COMENTARIOS

{ f1(t)}

{ f1(t)}

i) La transformada de Laplace inversa de una función F(s) podría no ser única; f1(t)} {{ f{f12{(t)} f2(t)} { f2(t)} { {f1{(t)} (t)} f1f(t)} f2f(t)} en otras palabras, es posible que sin embargo { f1y(t)} { f2(t)}f1  f2.

1{(t)} 2{(t)} Para nuestros propósitos, esto no es algo que nos deba preocupar. Si f1 y f2 son continuas por tramos en [0, `) y de orden exponencial, entonces f1 y f2 son esencialmente iguales. Vea el problema 44 en los ejercicios 3.2. Sin embargo, si f1 y f1(t)} {{ f{f12{(t)} f2(t)} (t)} {f1{(t)} f1f(t)} (t)} fen f{2 son continuas [0, `){yf2(t)} { f1(t)} { f2(t)}, entonces f1 5 f2 en el intervalo.

1{ 2f(t)} 2{(t)} ii) Este comentario es para quienes tengan la necesidad de hacer a mano descomposiciones en fracciones parciales. Hay otra forma de determinar los coefi{F(s) f (t)} { f(t)} F(s) F(s) { {f(t)} F(s) {f(t)} f(t)} F(s) cientes en una descomposición de fracciones parciales en el caso especial cuando { f(t)} F(s) es una función racional de s y el denominador de F es un producto de distintos factores lineales. Esto se ilustra al analizar de nuevo el ejemplo 3. Suponga que se multiplican ambos lados de la supuesta descomposición

{ f2(t)}

{ f2(t)}

s 6s 9 1)(s 2)(s 2

(s

s2 6s (s 2)(s

9 4)

4)

s 1

6s 9 s 1) (s 2)(s

s

A

1

s

A

4)

C

2

2 16 s2s2s2 s6s 9s92 9 96s 9 6s6s 6s 1616 s2 6s 9 1616 .

AAA A o A AAA A . .A. .A 16 (s4)4)4) 5 2)(s (s(s(s (s 2)(s 2)(s 2)(s 2)(s 4) 5s551 5 s 2)(s 1s 1 1s 1 4) s (s1 s4) .

5 Escrita de otra forma,

16 5

s 1

s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) s 2 s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) s2 6s 9 –––––––––––––––––––––– (s 1)(s 2)(s 4) s 4

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25 ––– 6

s

s 4 digamos, por s 2 1, se simplifica y entonces se hace s 5 1. Puesto que los coeficientes de B y C en el lado derecho de la igualdad son cero, se obtiene

A

2

(s

B

2 AB B 9 CCB s2s2s2 s6s 9s92 9 96s 9AAA As2 BB6s 6s6s 6s C C AC B (15) (s 1)(s 2)(s 4) s 1 s 2 s 4 1)(s 2)(s s44 4s 1 s 2 (s(s(s (s 1)(s 2)(s 4)4)4) 4) s s s(s1s111)(s s1s s 2s22)(s 1)(s 1)(s 2)(s 2)(s 2 s2s s 44)

2 2 16 s2s2s2 s6s 9s92 9 96s 9 16s16 6s6s 6s 16 6s 16 9 A,AA, , A, 1)2)(s (s4)4)4) 2)(s 4) 5 4) 5 (s(s(s (s 1)1)(s 2)(s 5 1)(s1) (s(s(s 2)(s 2)(s 5 5 (s 1) (s 2)(s s 1 s s1s 1 1s 1

A,

A, 4) s

1

C

F(s)

4

16 .

5

A

16 5

{ f (t)}

A,

donde se ha sombreado o cubierto, el factor que se elimina cuando el lado izquierdo se multiplica por s 2 1. Ahora, para obtener B y C, simplemente se evalúa el lado izquierdo de (15) mientras se cubre, a su vez, s 2 2 y s 1 4:

s2 6s 9 s2 6s 9 25 ––25 – s225 –––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––– B6s 25y9 s26s6s 6s 9s929 96s s 29 2525 s2s2s2 6s 25 2)(s 4) (s–––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––– 1)(s 2)(s 4) –––––––––––––––––––––– – BB B––– ––––6–––– ––B –––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––– ––– –––––––––––––––––––––– B (s 1)(s B s6 2 s 2)(s 2s 2 2s(s26 4) s4) (s2)(s 1)(s (s1)(s 1)(s 2)(s 6 (s(s(s 1)(s 4)4)4) 1)(s 2)(s 2)(s 2)(s 4) s 2 661)(s 6

B

25 ––– B s 2 6 1 ––– C. 30

y

s2 6s 9 1 –––––––––––––––––––––– C. 19 s26s6s 6s s2s2s2 6s 9s2 96s 9 1–1–s–12 1 6s (s–––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––– 1)(s 2)(s99 4) s 4–––––––––––––––––––––– ––– –––––––––––––––––––––– – C.C. C. –––30 –––––––––––––––––––––– ––––– ––C. –––––––––––––––––––––– C. s 304 2)(s 4 30 s 2)(s s4) s4 4s(s 4 30 (s 1)(s 4) (s1)(s 1)(s 2)(s 30 4) s (s(s(s 1)(s 2)(s 4)4)4) 1)(s 2)(s 2)(s 1)(s 30

4

1 ––– 30

C.

3/8/17 12:53

s 4

3.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

l

127

La descomposición deseada (15) se da en (4). Esta técnica especial para determinar coeficientes se conoce desde luego como método de cubrimiento. iii) En este comentario continuamos con la introducción a la terminología de sistemas dinámicos. Como resultado de las ecuaciones (9) y (10) la transformada de Laplace se adapta bien a sistemas dinámicos lineales. El polinomio P(s) 5 ansn 1 an21sn21 1    1 a0 en (11) es el coeficiente total de Y(s) en (10) y es simplemente el lado izquierdo de la ED en donde las derivadas d kyydt k se sustituyen por potencias sk, k 5 0, 1, . . . , n. Es común llamar al recíproco de P(s), en particular W(s) 5 1yP(s), función de transferenciaY(s) del sistema y escribirW(s)G(s) la ecuación (11) como W(s)Q(s) Y(s) W(s)Q(s) W(s)G(s) Y(s) W(s)Q(s) W(s)Q(s) W(s)G(s) W(s)G(s) .W(s)G(s) (16) Y(s) W(s)Q(s) Y(s)W(s)Q(s) W(s)Q(s) W(s)G(s) Y(s) W(s)G(s) Y(s)

Y(s) W(s)Q(s) W(s)G(s)

y0y(t) 0 (t)

Y(s)

De esta manera se han separado, en un sentido aditivo, los efectos de la respuesta debidos a las condiciones iniciales (es decir, W(s)Q(s)) de los causados por la función de entrada g (es decir, W(s)G(s)). Vea (13) y (14). Por tanto la respuesta y(t) del sistema 11 superposición de 11dos respuestas: 1 y(t) es una {W(s)Q(s)} {W(s)G(s)} y00(t) y11(t). y(t) {W(s)Q(s)} 1 1 1{W(s)Q(s)} 11111{W(s)Q(s)} 1 1 y (t)1.{W(s)G(s)} 111{W(s)G(s)} . y(t) y (t) y (t) y(t) {W(s)G(s)} y (t) . {W(s)Q(s)} y (t) y (t) y(t) y(t) {W(s)Q(s)} {W(s)Q(s)} y0 (t) y1{W(s)G(s)} (t) .y.1 (t). 1 y(t) {W(s)Q(s)} yy000(t) y(t)y(t) {W(s)G(s)} {W(s)Q(s)} 0 {W(s)G(s)} {W(s)G(s)} 1 . (t)y0 (t)yy111(t) 0(t) 11 1 y (t) {W(s)Q(s)} {W(s)Q(s)} Si00 la entrada es g(t) 5 0, entonces la solución del problema es y0 (t) 11 11 1 1 1{W(s)Q(s)} 1 1 y (t) {W(s)G(s)} (t) {W(s)Q(s)} Esta solución se llama respuesta11 de entrada cero del sistema. Por otro y0 (t) {W(s)Q(s)} {W(s)Q(s)} {W(s)Q(s)} yyy000(t) {W(s)Q(s)} (t)y0. (t) {W(s)Q(s)} 1 1 1{W(s)G(s)} 1 debida 111{W(s)G(s)} lado, la función y1y(t) a la entrada g(t). {W(s)G(s)} {W(s)G(s)} {W(s)G(s)} yyy1(t) {W(s)G(s)} 11(t) 1(t) (t)yes1(t)laysalida {W(s)G(s)} 1(t) Entonces, si la condición inicial del sistema es el estado cero (todas las condiciones iniciales son cero), entonces Q(s) 5 0 y, por tanto, la única solución del problema con valores iniciales es y1(t). La última solución se llama respuesta de estado cero del sistema. Tanto y0(t) como y1(t) son soluciones particulares: y0(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación homogénea relacionada con las condiciones iniciales dadas y y1(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación no homogénea con condiciones iniciales cero. En el ejemplo 5 se ve de (14) que la 2 función de transferencia es W(s) 5 1y(s de entrada cero es s 22 3s 1 2), la respuesta s 11 1 y00(t) 3ett 4e2t2t, y0(t) s 2 (s 1)(s 2) s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 (s 1)( 1 t 2t 1 t 2t 1 t 2t 1 1 3e t 2t , t4e 1 3e 2t ,, 2t, 4e , 3e , y0y(t) 4e4e ,4e yyy0(t) 3e 00(t) 0(t) (t)y0(t)2)y01(t) 3et t 3e4e 4e2t3e 1)(s 1)(s (s(s 1)(s 2) 1)(s2)2) 2) 2) (s(s (s (s1)(s 1)(s(s 2)1)(s

y1y(t) 1(t)

1

y la respuesta de estado cero es 1 1 tt 1 2t2t 1 4t4t 11 1 y11(t) e e e .

1 1 1 11y1(t) (s 1)(s 2)(s 4) 5 6 30 1 1 1 1 1 1 1 4t(s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 tt 2t 4t 1 t 2t 4t 1 t 2t 1 t 2t 4t t 2t 4t 1 t 2t 4t e ee e e .eee. e eee2te e eeee 4t.e.. . e . yyy1(t) 11(t) (t)y1(t) y1(t) (s 1)(s e 2)(s 30 1)(s 2)(s 4) 1)(s 6 30 30 (s(s 1)(s 2)(s 1)(s 5 52)(s 2)(s 6 64)4) 4) 3030 4)555 5 666 5 6 30 (s(s4) (s1)(s 1)(s(s 2)(s 4)2)(s 30

1 1)(s

y11(0) y 00(0) 1, y0que 5 0. de y(t)yen 0(0) la suma 1(0) 1, y0 (0)5 y 5 Compruebe de y0(t) y y1(t)0,esy1la solución el ejemplo 0 (0) y (0) 1, y (0) 0, y . y (0) 5 (0) 0 (0) 1, y (0) 0, y . y y (0) 5 (0) 0 que , mientras que (0) 1, y (0) 0, y . y y (0) 5 (0) 0 1, y0 (0) y 0 (0)1,1,y0y1y0(0) 0,55y01(0) y1(0)0,0,1yy1(0) y (0) . .1 0. y 0 (0) 5yy000(0) y0 (0) 51 0y. y11(0) 01, 10, 0 1(0) (0) 0 1(0) 0(0) 1(0)1 00

EJERCICIOS 3.2

1

3.3.

1

5.5.

1

1 1 1 4 6 1 11 11 1 7.

8.

7.

8.

7.

2 5 2 5 1 11 1 1 1 111 1s111 11s111 11s 14111412 16 6 1 1 1 111 4s44 1 46s66 1 64s 11168 1 11 1 7.7.

7.7.

8.8.

En los problemas 1 a 30 use el álgebra apropiada y el teorema 7. 7. 7. 8.8.

8. 8. 8. s2s2 s s s s 2 2 sss222 1s2sss ss2ss s ss2s22 s5s25s s s2 8 8 sss 1 sss555 sss5ss ss8588 8s 8 3.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada.

11 11 1 9.

10.

9.

10.

9.

1 1 1 4s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 5s111 21 1 1 1 1 1 1 1 1 10.

10.

10.

9.9.

10.

9. 9. 9.

10. 10. 10.

1 1 9.9.

4s 5s 1 4s 1 5s 2 4s4s 1 1 1 5s5s1 2 2 5s222 5s 2 11 11 4s 54s111 4s 5s10s 1 1 1. 2.

1.

2.

1.

2.

1 1 11 33 44 1 3 4 11.

12.

11.

12.

1 1 s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11.

1 1 s s 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 1 1 1 5 15 1 1 5 10s 10s 16 10s 10s 55 10s 2. 1 1 2.

1.1.

2.2.

10s 11 s 1 55 49 11 s 10s 1. 1. 1 1 1.

2.

1 1 33 2.2.

44 11.

1 1 1 1 4 3 4 3 s3 3 4 4 3 4 11.

12.

12.2 12.

11.

12. s ss s s s sss s sss 11.

11. 11. 11.

12. 12. 12.2 216 2 2 2 ss222 4ss49 49 1 48 2 1 22 s 2s 2 4949 49 s49s 2s 491616 1 2 sss212 12s16 16 s16 16 1 11 s48 11 11 1 3. 4.

11 3.

4.

1 4. 14.

13. 2 14.

22 55 33 222 2 2 2 1 2 3. 13.

13.

5 22 322 1 48 2 1 s s s s 1 48 2 1 1 48 2 1 48 1 48 2 1 2 1 1 48 2 1 11 48 11 s 1 4s s 4s s 1 4s s 111 111 4s 14s 4s 1 1 1 1 4s4s 1 1 1 1 111 4.2 111 3.

4s 3.

4.

1 1 1 4.

1 1 1 1 1 1 3.

4.

4.

3.

4.

1 1 3.

4.

13.

14.

13.

14.

13.

14.

3 13. 13. 13.

14. 14. 14.

214.

2 2 2 2 2s 2 2 222 s2 s2 s5 s5 ss333 ss3 4s4s sss222 s2sss55533 ss25 s s5 s3s3 ss13.

4s 4s 1 11 1 11 4s 4s 4s232 4s61211 4s14s4s 2s s4s2 4s 1 111 4s1 (s 1) (s s 2)s22 (s 1) (s 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5.

6.

15.

16.

5.

6.

15.

16.

15.

5.

6.

33 22 2 2 4 3 2 2 4 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 4 s2s 2s 3 s (s 1)1) (s 2)2) (s 1)1) (s (s 2) 6 6 6 1 s s6 1 1 1) (s(s1) 2)2) 2)1 12s2s 69661 2s 1211 1 1s 1 2s 1) 2) s s 11 2s 11 s s1 s 11 (s(s1 s(s 11 (s(s1 s(s 1(s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15.

16.

15.

16.

16.

15.

16.

5.5.

6.6.

15. 15. 15.

16. 16. 16.

5. 5. 5. 6.s446.

6. 6. 6. 15. s4s4 sss222 s9299 s92 s 2s 29 2 2 sss222 s2222 s22 2 ss4 s4 s4 s3s3 sss333 s3 ss32s 2 9 9

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2)(s y1(0)

Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4.

3.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS

1.1.

W(s)Q

3/8/17 12:53

1 s2

1 s 1

4s

1 5

s

2

4 4s

4s 2s s2

2

6 9

ZILL • WRIGHT

Matemáticas V ECUACIONES DIFERENCIALES

En Matemáticas V. Ecuaciones diferenciales el estudiante hallará abundantes ejemplos, explicaciones, recuadros, tablas, definiciones y ejemplos para hacer más fácil el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo de ecuaciones diferenciales.

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