Competencias clave: Competencia matemática - N2 by Certia Editorial

Competencia matemática - N2. 2018 Certia Editorial, Pontevedra Tel. 986869606 www.certiaeditorial.com Impreso en España - Printed in Spain Derechos reservados 2018, respecto a la primera edición en español, por Certia Editorial. Certia Editorial ha incorporado en la elaboración de este material didáctico citas y referencias de obras divulgadas y ha cumplido todos los requisitos establecidos por la Ley de Propiedad Intelectual. Por los posibles errores y omisiones, se excusa previamente y está dispuesta a introducir las correcciones pertinentes en próximas ediciones y reimpresiones. ISBN: 978-84-16019-53-3 Depósito legal: PO 22-2018 Autor: Daniel Regueiro Grela Editor: Cenepo Consult Formato: 170 x 240 mm - 179 páginas. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Fuente fotografia portada: MorgueFile, autoriza a copiar, distribuir, comunicar publicamente la obra y adaptar el trabajo.

Índice INTRODUCCIÓN.........................................................................................................9 1. UTILIZACIÓN DE LOS NÚMEROS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.................................................................................................................11 1.1. Sistema posicional de numeración decimal 1.1.1. Unidades, decenas y centenas 1.2. Números naturales 1.2.1. Representación y comparación de dos números naturales 1.2.2. Operaciones básicas con números naturales 1.3. Divisibilidad de números naturales 1.3.1. Múltiplos y divisores de un número. Uso de los criterios de divisibilidad 1.3.2. Números primos. Números compuestos. Descomposición de números en factores primos 1.3.3. Cálculo de múltiplos y divisores comunes a varios números 1.3.4. Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm). Procedimientos de cálculo y aplicaciones en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas 1.4. Números enteros 1.4.1. Representación y comparación de números enteros 1.4.2. Operaciones básicas con números enteros. Aplicación de la regla de signos en la multiplicación. 1.4.3. Necesidad de los números negativos para expresar estados y cambios. Reconocimiento y conceptualización en contextos reales 1.4.4. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos sencillos 1.4.5. Utilización de la calculadora para operar con números enteros 1.5. Fracciones y decimales en entornos cotidianos

1.5.1. Decimales en entornos cotidianos. Significados y usos de las fracciones en la vida real 1.5.2. Operaciones con números decimales 1.5.3. Fracciones equivalentes. Simplificación y amplificación de fracciones; identificación y obtención de fracciones equivalentes 1.5.4. Reducción de fracciones a común denominador. Comparación de fracciones 1.5.5. Operaciones con fracciones: suma, resta, producto y cociente 1.5.6. Relaciones entre fracciones y decimales 1.6. Porcentajes 1.6.1. Cálculo mental y escrito con porcentajes habituales 1.6.2. Aumentos y disminuciones porcentuales 1.6.3. Identificación y utilización en situaciones de la vida cotidiana de magnitudes directamente proporcionales 1.6.4. Aplicación a la resolución de problemas en los que intervenga la proporcionalidad directa. Repartos directamente proporcionales 1.6.5. Cálculo mental y escrito con porcentajes habituales 1.7. Utilización de la calculadora 1.7.1. Instrucciones de manejo de la calculadora estándar 1.7.2. Empleo de la calculadora como un instrumento para resolver operaciones 1.8. Actividades 2. UTILIZACIÓN DE LAS MEDIDAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.................................................................................................................59 2.1. Unidades monetarias 2.1.1. Identificación y comparación del euro y el dólar 2.1.2. Conversión de moneda 2.2. El sistema métrico decimal 2.2.1. Medidas de longitud. El metro, múltiplos y submúltiplos 2.2.2. Medidas de superficie. El metro cuadrado

2.2.3. Medidas de volumen. El metro cúbico 2.3. Actividades

3. APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS....73 3.1. Elementos básicos de la geometría del plano 3.1.1. El plano, la recta y el punto 3.1.2. Líneas y segmentos 3.1.3. El ángulo. Medida y operaciones con ángulos 3.2. Coordenadas cartesianas 3.2.1. Representación en ejes de coordenadas: abscisas y ordenadas 3.3. Polígonos 3.3.1. Propiedades y relaciones 3.3.2. Significado y cálculo de perímetros y áreas 3.4. La circunferencia y el círculo 3.4.1. Significado del número pi. Relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia 3.4.2. Cálculo de la longitud de la circunferencia 3.4.3. Cálculo del área del círculo 3.5. Cuerpos geométricos: prismas y pirámides 3.5.1. Cálculo del área y volumen del prisma 3.5.2. Cálculo del área y volumen de la pirámide 3.5.3. Comparación del volumen del prisma con la pirámide de igual base y altura 3.6. Resolución de problemas geométricos que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes 3.7. Empleo de herramientas informáticas para construir y simular relaciones entre elementos geométricos 3.8. Actividades

4. APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS...........111 4.1. Lenguaje algebraico para representar y comunicar situaciones de la vida cotidiana: situaciones de cambio 4.1.1. Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico. Empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos. Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas 4.1.2. Operaciones con expresiones algebraicas sencillas 4.1.3. Representación gráfica 4.2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 4.2.1. Significado de las ecuaciones 4.2.2. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado. Despejar la incógnita 4.3. Actividades 5. APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DE DATOS, LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.................................125 5.1. Recogida de datos provenientes de diferentes fuentes de información en tablas de valores 5.2. Técnicas elementales de recogida de datos (encuesta, observación, medición) 5.3. Tablas de doble entrada y tablas de frecuencia 5.4. Representación gráfica de los datos. Formas de representar la información: tipos de gráficos estadísticos (diagrama de barras, diagrama de sectores, pictogramas y polígono de frecuencias) 5.5. Obtención y utilización de información para la realización de gráficos y tablas de datos relativos a objetos, fenómenos y situaciones del entorno 5.6. Medidas de centralización: media aritmética, moda, mediana y rango 5.7. Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se presentan a través de gráficos estadísticos 5.8. Carácter aleatorio de algunas experiencias 5.9. Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso. Formulación y comprobación a nivel intuitivo de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos

5.10. Actividades 6. autoevaluaciĂłn final...................................................................................151 7. soluciones..........................................................................................................153 8. bibliografĂa.......................................................................................................179

Introducción A lo largo de este manual deberemos adquirir las competencias matemáticas suficientes para comprender y resolver algunos de los problemas matemáticos más habituales en nuestra vida diaria, lo que nos ayudará a mejorar nuestras relaciones sociales y capacidades laborales. Estudiaremos cómo conocer y manejar los elementos matemáticos básicos (números enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos), las unidades de medida, los símbolos, los elementos geométricos, cómo resolver problemas cotidianos sobre unidades monetarias y unidades de medida usuales y calcular longitudes, áreas, volúmenes y ángulos, así como elaborar e interpretar informaciones estadísticas más usuales e información gráfica sobre la vida cotidiana y fenómenos sencillos de probabilidad. Además, aprenderemos a resolver problemas utilizando adecuadamente los distintos números, las operaciones elementales, los procedimientos básicos de la proporcionalidad numérica (regla de tres, cálculo de porcentajes) y el lenguaje algebraico para resolver ecuaciones de primer grado. Por último, haremos hincapié en los aspectos de la competencia matemática que se tratan en este manual, y que son los correspondientes a los establecidos para el acceso a los certificados de profesionalidad de nivel 2 de cualificación profesional según el artículo 20.2 y el anexo IV del Real Decreto 34/2008, de 18 de enero, por el que se regulan los Certificados de Profesionalidad, y los reales decretos por los que se establecen certificados de profesionalidad dictados en su aplicación.

Competencia matemática - N2

1 - Utilización de los números para la resolución de problemas -

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La habilidad que tiene el ser humano para contar no es un fenómeno simple. La aparición de los números parece íntimamente asociada a la necesidad de comparar dos conjuntos de elementos o de contarlos. Así, las primeras sociedades humanas pronto se encontraron con el problema de determinar cuántos elementos constituían un conjunto, o cuál de entre dos era mayor. A menudo se conjetura con que alguna de estas necesidades acabó derivando en la creación de los números. Aunque la mayoría de las sociedades establecieron con el tiempo sistemas de cuenta que llegan hasta los millares, o las centenas al menos, unas pocas, bien porque no tuvieron la necesidad de establecer una cultura material compleja o por su contexto concreto, no disponen de sistemas de cuenta más allá de la decena. Sea como fuere, los números han sido utilizado por los seres humanos desde tiempos inmemoriales, y han supuesto una de las herramientas más potentes para su evolución tanto tecnológica como social. Hoy en día están tan íntimamente ligados a nosotros que casi parece inconcebible una sociedad o un individuo que no los maneje. • Contenidos: 1.1. Sistema posicional de numeración decimal 1.2. Números naturales 1.3. Divisibilidad de números naturales 1.4. Números enteros 1.5. Fracciones y decimales en entornos cotidianos 1.6. Porcentajes 1.7. Utilización de la calculadora

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• Objetivos:

Realizar cálculos en los que intervengan distintos tipos de números naturales y enteros, así como fraccionarios y decimales sencillos, realizando las cuatro operaciones básicas, y aplicando con seguridad a una amplia variedad de contextos de la vida cotidiana el modo de cálculo más adecuado (cálculo mental, cálculo aproximado, calculadora) y comprobando la coherencia y precisión de los resultados obtenidos.

Solucionar situaciones cotidianas relacionadas con el cálculo de porcentajes, aplicando las reglas básicas de la proporcionalidad numérica, identificando la equivalencia entre porcentajes y fracciones y verificando el ajuste de la solución a la situación planteada.

Utilizar con seguridad números naturales, enteros, fraccionarios y decimales sencillos, operando con ellos (también mediante el uso de la calculadora) de forma fluida y precisa en distintas situaciones del entorno, sometiendo los resultados a revisión sistemática.

Resolver diversas situaciones problemáticas de uso frecuente en la vida cotidiana, traduciendo situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticas, utilizando adecuadamente en su solución procedimientos y recursos matemáticos sencillos, realizando los cálculos y operaciones pertinentes con números naturales (cálculo mental, expresando matemáticamente la solución obtenida y comprobando el ajuste de la misma a la situación planteada).

Utilizar adecuadamente elementos matemáticos (números, símbolos, tablas, gráficos, figuras, etc.) presentes en diferentes contextos de la vida cotidiana para actuar de manera eficiente en situaciones reales cuya resolución requiere aplicar estrategias y herramientas matemáticas e interpretar y producir informaciones y mensajes coherentes sobre hechos y situaciones del medio social.

Identificar relaciones de proporcionalidad a través del análisis de información numérica, geométrica, gráfica y/o algebraica, utilizando procedimientos básicos de proporcionalidad numérica (como la regla de tres o el cálculo de porcentajes) para obtener cantidades proporcionales a otras.

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1.1. Sistema posicional de numeración decimal Cuando nos referimos a que nuestro sistema de numeración es decimal es porque está basado en 10 dígitos por todos conocidos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), y cuando decimos que es posicional es porque el valor de cada dígito en el número que forma depende de su posición. Así, no será lo mismo el 453 que el 543, aunque ambos estén formados por un 5, un 4 y un 3. En concreto, en nuestro sistema de numeración la posición del dígito dentro del número lleva implícita la potencia en base 10 que su posición representa. Aunque para nosotros es algo tan natural que raramente nos paramos a pensar en ello. Piensa ahora en el ejemplo que hemos puesto anteriormente con el 453 y el 543. Podríamos decir que el 453 es el resultado de la siguiente descomposición:

4 x 100 = 400

5 x 10 = 50

3x1=3

(400 + 50 + 3) = 453

Y de igual manera con el 543:

5 x 100 = 500

4 x 10 = 40

3x1=3

(500 + 40 + 3) = 543

Existen otros sistemas de numeración como el binario (basado en solo 2 dígitos) o el hexadecimal (basado en 6). Su sistema básico de funcionamiento es el mismo, pero no los abordaremos en el presente manual. Curiosidades: A menudo, se confunde el sistema de numeración decimal con el sistema arábigo. En realidad la idea de colocar 10 símbolos (números) que ordenados de diferentes formas indiquen una cantidad, actualmente se cree que proviene de la India, país al que también debemos el invento del 0. Los árabes tomaron esa genial idea y usaron sus propios símbolos, que a continuación introdujeron en Europa dando lugar a los actuales 1, 2, 3, 4…

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1.1.1. Unidades, decenas y centenas Como hemos adelantado en el apartado anterior, nuestro sistema de numeración se basa en agrupar unidades en grupos de diez, de cien, de mil, etc. Así, podemos definir la unidad como el elemento entero más pequeño que podemos contar. Si tenemos 10 unidades, entonces tenemos un decena y si tenemos cien una centena. Es decir, la posición del 5 en el 543 implica que hay 5 centenas, la del 4 que hay cuatro decenas y la del 3 que hay tres unidades.

1.2. Números naturales Los números naturales (designados por el símbolo N) y que forman el conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, 5…} son aquellos que sirven para contar los elementos de un conjunto («Hay 12 huevos en la cesta»), para expresar la posición que ocupa un elemento en un conjunto («Soy el 3º de la cola») o para diferenciar distintos elementos del conjunto («Soy el socio 5764 de mi equipo de fútbol»). Como ya hemos visto en el apartado anterior, los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos de ellos entre sí, y además son ilimitados, ya que si a un número natural le sumamos otro número natural, el resultado es otro número natural. 1.2.1. Representación y comparación de dos números naturales Los números naturales pueden representarse sobre una recta ordenados de menor a mayor. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 De esta forma resulta muy sencillo e intuitivo compararlos, pues todo número que esté a la izquierda de otro será más pequeño que este. Así, el 7 es más pequeño que el 8 pero más grande que el 6, o el 4 más grande que el 3 pero más pequeño que el 9, por ejemplo. 1.2.2. Operaciones básicas con números naturales Las operaciones básicas asociadas a los números naturales son la suma, representada por el símbolo «+» y que simboliza la adición de una cantidad a otra; la resta, representada por el símbolo «–» y que representa la quita o sustracción de un número a otro; la multiplicación, que representa la suma de una cantidad un número determinado de veces; y la división, que representa lo inverso a la multiplicación y es representada por

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el símbolo «/». • La suma: En toda suma de números existen los sumandos, que son los números que se adicionan, y el resultado de la operación, que se llama suma. Así, por ejemplo, podríamos decir que en el ejemplo anterior 453 es la suma de los sumandos 400, 50 y 3. 400 + 50 + 3 = 453 Sumandos

Suma

• La resta: En toda resta de números existen al menos tres elementos. El número inicial, es decir, aquel al que le vamos a quitar una cantidad y que va a disminuir, llamado minuendo; el sustraendo, que es aquel que vamos a restar al minuendo; y el resultado de la operación, llamado resta o diferencia. Por ejemplo, si en nuestra cuenta corriente disponemos de 500 euros (minuendo) y vamos a un cajero a retirar 50 (sustraendo), el resultado de la operación, será 450. La diferencia entre 500 y 50. Nótese que estas dos operaciones son inversas entre sí. Continuando con el ejemplo anterior, si en nuestra cuenta bancaria hay 450 euros e ingresamos (sumamos) 50, el resultado serán de nuevo los 500 euros iniciales. Vamos a continuar ahora con las otras operaciones básicas, que al igual que las anteriores también son inversas entre sí: la multiplicación, y la división. • La multiplicación: Supongamos que tenemos dos obreros, y que cada uno cobra 67 dinares por sus servicios. Resulta obvio, que hemos de gastar 67 + 67 dinares en total, mientras que si fuesen tres obreros gastaríamos 67 + 67 + 67, si fuesen cuatro 67 + 67 + 67 + 67, y así sucesivamente. Resulta obvio que cuando tengamos 425 trabajadores la cosa va a complicarse un poco. Si fuésemos capaces de idear una especie de algoritmo o método que nos permitiera realizar de una forma rápida y directa las 425 sumas de 67 dinares esto nos facilitaría mucho el problema. Ese método fue ideado hace ya muchos milenios, y es la multiplicación. En toda multiplicación existen al menos tres elementos: dos factores, que son los números que multiplicados entre sí dan como resultado el producto de ambos.

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Continuando con el ejemplo anterior: 425 x 67= 28475 Factores

Producto

• La división: La operación inversa a la anterior es la división, y se usa para repartir una cantidad en tantas partes iguales. Por ejemplo, repartir 30 dulces entre 5 personas. En toda división hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir, llamado dividendo; el número por el cual se divide, llamado divisor; el resultado de esa división, llamado cociente; y lo que sobra después de dividir, llamado resto.

En cualquier división se verifica que: cociente x divisor +resto= dividendo

1.3. Divisibilidad de números naturales Uno de los primeros problemas tratados por las matemáticas consiste en el reparto o distribución de cierta cantidad de objetos en partes iguales. Este reparto se realiza mediante la operación matemática de la división de números naturales. Esta operación, la de dividir un número natural entre otro, además de resolver el problema del reparto, es una importantísima fuente de estudio para abordar muchos otros problemas y para profundizar en el conocimiento de los números y sus propiedades. 1.3.1. Múltiplos y divisores de un número. Uso de los criterios de divisibilidad Imagina que tienes que dividir 93125 sacos de trigo entre 125 personas. ¿Podrían repartirse de tal forma que a todos les tocaran los mismos sacos?, ¿o la división no será exacta?. Podría resultar útil saber si la división va a ser exacta o no de antemano sin necesidad de tener que efectuarla, que es un proceso mucho más laborioso. Para ello, se han desarrollado una serie de criterios conocidos como «criterios de divisibilidad» que

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nos permiten saber si determinados números son divisibles exactamente por otros. A continuación presentamos los más importantes: • Múltiplos y divisores: Cómo ya hemos visto en el punto anterior, todo número natural puede multiplicarse por otro número natural. Los números que resultan de la multiplicación de ese número por cada uno de los naturales se llaman múltiplos de ese número. Por ejemplo, podemos decir que 21 es un múltiplo de 7, pues es el resultado de multiplicar 7 tres veces es 21 (7 x 3 = 21). De la misma manera, también podríamos decir que 21 es un múltiplo de 3, pues es el resultado de multiplicar 3 siete veces, 12 es un múltiplo de 4 (4 x 3 = 12), de 2 (2 x 6 = 12), de 3 (3 x 4 =12), de 6 (2 x 6 =12), de 1 (12 x 1 =12), y los ejemplos son infinitos, igual que los números naturales. Al igual que definimos los múltiplos de un número, existen también los divisores de ese número. Decimos que un número natural es divisor de otro número natural si al dividir uno por el otro da como resultado otro número natural y el resto de la división es cero. Así, por ejemplo, podemos decir que 3 es divisor de 21, pues 21 : 3 = 7. 7 también es divisor de 21, pues 21 : 7 = 3. De la misma manera, 1, 2, 3, 4, 6, y 12 serían divisores de 12, pues todos ellos dan como resultado un número natural (una división sin decimales) al dividirlos entre 12. •

Criterios de divisibilidad: -

Criterio de divisibilidad por 2:

Un número es divisible entre 2 si termina en 0 o en cifra par.

Ejemplo: 2, 4, 6, 12, 98…

Criterio de divisibilidad por 3:

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejemplo: 15, 16443…

1 + 5 = 6 (6 es múltiplo de 3) 1 + 6 + 4 + 4 + 3 = 18 (18 es múltiplo de 3)

Criterio de divisibilidad por 5:

Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.

Ejemplo: 15, 125, 165370…

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Criterio de divisibilidad por 7:

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 o un múltiplo de 7.

Ejemplo: 21, 406…

40 – (2 x 6) = 28

Criterio de divisibilidad por 11:

Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.

Ejemplo: 121, 528, 28479…

2 – (2 x 1) = 0 28 es múltiplo de 7 (4 x 7 = 28).

(1+1)-2 =0

(5+8)-2 =11 (2+4+9)-(8+7)=0

Criterio de divisibilidad por 25:

Un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

Ejemplo: 125, 100, 175..

Criterio de divisibilidad por 125:

Un número es divisible por 125 si sus tres últimas cifras son 0 o múltiplo de 125

Ejemplo: 125, 1250, 93125

Por lo tanto, con los criterios de divisibilidad podremos conocer si un número es divisible entre otro o no sin necesidad de efectuar la división completa. Esto resulta especialmente útil a la hora de descomponer cualquier número en factores primos, como veremos a continuación.

1.3.2. Números primos. Números compuestos. Descomposición de números en factores primos A continuación distinguiremos entre dos tipos de números: los números primos,

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que solo pueden ser divididos por sí mismos o por el 1, y los compuestos, que son aquellos que pueden descomponerse en varios factores formados por números primos. • Números primos: Como decíamos, existen una serie de números que solo pueden ser divididos por ellos mismos o por el uno para que la división sea exacta. Son los denominados números primos. El primer documento escrito conocido en el que aparecen por primera vez y de forma indiscutible los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). En ellos, Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos. Sin embargo, el conocimiento de estos números por parte del hombre se remonta mucho más atrás, ya que en tablillas egipcias y babilónicas ya se dan muestran del conocimiento, o al menos la intuición, del conocimiento de estos números. Pero un reciente y fascinante descubrimiento arqueológico, que tiene relación con el conocimiento de estos números desde tiempos ancestrales, es el hueso de Ishango, ¡datado en hace aproximadamente 20000 años!, en el que aparecen muescas que parecen aislar los números primos 11, 13, 17 y 19 y que algunos arqueólogos interpretan como la prueba del conocimiento de los números primos. Queda mucho por conocer sobre la vida y conocimientos de nuestros antepasados, pero sin duda el camino es maravilloso. Existen infinitos números primos. Los menores de 100 serían los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. • Números compuestos. Descomposición en factores primos: Los números compuestos naturales son aquellos que se pueden dividir exactamente por otros números naturales, además del 1 y él mismo, es decir, aquellos que no son primos. En síntesis, podríamos decir que los números compuestos naturales son todos ellos resultado de multiplicar los números primos entre sí, por lo que, realizando el proceso inverso, podríamos descomponer cualquier número natural en una serie de multiplicaciones de números primos. Es lo que se conoce como descomposición en factores primos. Tomemos por ejemplo cualquier número que no sea primo, como el 2310. ¿Podríamos descomponerlo en una serie de números primos multiplicados entre sí?

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Comprobémoslo, utilizando para ello los criterios de divisibilidad vistos en el punto anterior: Como el número termina en 0 será divisible entre 2: 2310 : 2 = 1155 Es decir, 2310 = 1155 x 2. ¿Pero podríamos continuar descomponiendo el 1155? Como termina en 5 no será divisible entre 2. La suma de sus cifras es 12, por lo que será divisible entre 3: 1155 : 3 = 385 Es decir, 2310 = 2 x 3 x 385. Continuemos ahora descomponiendo el 385. Como termina en 5 será divisible entre 5: 385 : 5 = 77 Es decir, ya tenemos que 2310 = 2 x 3 x 5 x 77, pero sigamos: 77 : 11 = 7 Este a su vez es un número primo, por lo que solo será divisible por él mismo, 7 : 7 = 1. Es decir, hemos llegado a una conclusión sorprendente: ¡2310, como cualquier número, es el resultado de multiplicar una serie de números primos entre sí! 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

1.3.3. Cálculo de múltiplos y divisores comunes a varios números Al observar un conjunto de múltiplos de varios números siempre podemos encontrar varios múltiplos comunes a esos números. Veámoslo con un ejemplo: • Múltiplos de 3 ={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60 ...} • Múltiplos de 4 ={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 42, 44, 48, 52, 56, 60, 64, ...} • Múltiplos de 8 ={0, 8, 16, 24, 32, 40, 44, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ...}

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• Múltiplos comunes de 3 y 4 = {0,12, 24, 36, 48, 60...} • Múltiplos comunes de 3, 4 y 8 = {0, 24, 48...} Del mismo modo, si observamos los divisores comunes a varios números siempre podremos encontrar al menos el 1, que es divisor de todos ellos, pero en ocasiones también encontraremos otros divisores comunes. Continuando con el ejemplo anterior nos encontramos lo siguiente: • Divisores de 3 = {1, 3} • Divisores de 4 = {1, 2, 4} • Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8} • Divisores comunes a 3 y 4 = {1} • Divisores comunes a 4 y 8 = {1, 2, 4} • Divisores comunes a 3, 4 y 8 = {1} Como es lógico, cualquier múltiplo de un número es divisible por ese mismo número. Por ejemplo, todos los múltiplos de 3 serán divisibles por él. 1.3.4. Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm). Procedimientos de cálculo y aplicaciones en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas Se define el mínimo común múltiplo como el más pequeño (mínimo) de todos los múltiplos comunes a dos o más números sin considerar el 0. Continuando con el ejemplo anterior, podríamos decir que el mcm de los números 3, 4, y 8 es 24, pues de todos sus múltiplos comunes, es el más pequeño. Se define máximo común divisor como el más grande (máximo) de todos los divisores comunes a varios números. Por ejemplo, el máximo de los divisores comunes de 4 y 8 es 4, pues es el más grande de todos los divisores que ambos números tienen en común. Veamos ahora un procedimiento de cálculo para mecanizar de el cálculo del mcd y el mcm de varios números. Para ello nos serviremos de un ejemplo. Tomemos los números 16, 18 y 20. Vamos a calcular tanto el mcd como el mcm a todos ellos.

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Comenzamos descomponiéndolos en factores primos:

16 = 2 x 2 x 2 x 2 x 1= 24 18 = 2 x 3 x 3 x 1= 2 x 32 20 = 2 x 2 x 5 x 1 = 22 x 5 A continuación, para calcular el mcm tomaremos los divisores comunes y no comunes con el mayor exponente: mcm = 24 x 32 x 5 = 720. Por su parte, para calcular el mcm tomaremos los divisores comunes con el exponente más pequeño: mcd = 2. Veamos otro ejemplo. Calcularemos el mcd y el mcm de los números 32, 25, y 3. Descomponemos en factores primos:

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1= 26 25 = 5 x 5 x 1= 52 3=3x1 mcm = 26 x 52 x 3 = 4800 mcd = 1 (es el único divisor que tienen en común) Veamos ahora algunas aplicaciones que el cálculo del mcd y el mcm pueden tener en algunos problemas asociados a situaciones cotidianas. Imagina que tú y un amigo vais de viaje de negocios a Pontevedra. Tú lo haces cada 18 días y tu amigo cada 24 días. Si hoy habéis coincidido, ¿Cuándo lo volveréis a hacer?

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Intuitivamente, seguramente comenzarás a contar los días que visitarás Pontevedra y tu amigo hará lo mismo. Hoy 24

Hoy 18

Y habréis llegado a la conclusión de que os veréis dentro de 72 días. Sin saberlo, habéis calculado el mínimo común múltiplo de 18 y 24, es decir, el número más pequeño que es múltiplo de ambos. Veámoslo ahora con otro ejemplo. Imagina que un autobús sale cada 5 minutos de una parada, otro lo hace cada 10 minutos y otro cada 15 minutos. Si acaban de salir los tres a la vez. ¿Cuándo volverán a coincidir en la misma parada los tres autobuses? La estrategia para resolver este problema será calcular el mcm de 5, 10 y 15, que es 30. Por lo tanto, los tres autobuses volverán a coincidir en media hora en la misma parada. Como ya habrás podido suponer, el máximo común divisor también resultará muy útil a la hora de resolver ciertos problemas aplicados a situaciones cotidianas. Imagina que tienes dos grandes garrafas de vino, una con 625 litros y otra con 240, y lo quieres envasar en garrafas, utilizando para ello las máximas garrafas posibles. En el mercado solo existen garrafas de 5 y de 10 litros. ¿Cuál de las dos escogerías para poder envasar todo el vino y que no sobre nada? ¿La de 5 litros o la de 10? La capacidad de la garrafa que nosotros escojamos debe ser un divisor común tanto a 625 como a 240, para que al dividir el contenido de los toneles en partes más pequeñas no sobre nada. Además debe ser lo más pequeña posible para poder envasar el contenido de los toneles en cuantas más garrafas mejor. ¿Qué operación nos da el número divisor a otros dos, y que además es máximo? Efectivamente, el mcd:

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625 = 54 240 = 24 x 3 x 5 Por lo tanto el mcd es 5. Debo escoger la garrafa de 5 litros, pues si escojo la de 10 es seguro que sobraría vino.

1.4. Números enteros A medida que las operaciones matemáticas se fueron haciendo más complejas, surgió la necesidad de poder expresar resultados de operaciones en las que el sustraendo es mayor que el minuendo. Por ejemplo, si yo tengo 500 euros en mi cuenta corriente y pago 600 por un ordenador:

500 - 600 = -100 Minuendo

Sustraendo

El resultado de esa operación no se podría expresar utilizando tan solo los números naturales (1, 2, 3, 4…), sino que necesitamos un nuevo grupo: los números enteros, que están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero, que no se considera ni positivo ni negativo. Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…} 1.4.1. Representación y comparación de números enteros Los números enteros se pueden representar y ordenar en una recta de una forma muy sencilla y gráfica. Comenzamos por dibujar una recta: A continuación marcamos un punto como 0:

0 A su derecha, se marcan los enteros positivos, y los negativos a su izquierda, conservando la misma distancia entre ellos:

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-4

-3

-2

-1

El número será menor cuanto más a la izquierda se sitúe en la recta numérica. 1.4.2. Operaciones básicas con números enteros. Aplicación de la regla de signos en la multiplicación. Supongamos que tenemos 1 euro, nos dan 3, y a continuación nos quitan 6. Si expresamos esa secuencia de operaciones en la recta anterior tendríamos:

Nos dan 3 €

-4

-3

-2

-1

Luego nos quitan 6 € 1 + 3 - 6 = -2 Es decir, si la cantidad que sustraemos (sustraendo) es más grande que la que tenemos inicialmente (minuendo), el número es negativo. Si es más pequeña, el número final será positivo. Por ejemplo: 4+5–8+3=4 2–5+1=–2 7 – 12 = – 5 A veces, por comodidad, para hacerlo más claro, o simplemente para remarcar que el número es negativo, se pone entre paréntesis. Por ejemplo: 7 – 12 = (– 5) Ahora que ya conocemos la suma y la resta de números enteros, veamos cómo sería la multiplicación y el criterio de signos que deberemos utilizar. • Imagina que tienes 15 euros. Si te dan tres veces 15 euros tendrás: 15 x 3 = 45 €

Cuando se multiplican dos números enteros positivos, el resultado es siempre positivo.

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• Imagina ahora que tiene que pagar una multa de 15 euros. Si le ponen tres veces esa multa será como pagar una de 45: (– 15) x 3 = (– 45) €

Cuando se multiplica un número entero positivo y otro entero negativo, el resultado es siempre negativo.

• Imagina ahora que te perdonan (no tienes que pagar) tres veces una multa de 15 euros. Eso es equivalente a ganar 45: (– 15) x (– 3) = 45 €

Cuando se multiplica un número entero positivo y otro entero negativo, el resultado es siempre positivo. Recuerda: • El producto o el cociente de dos enteros del mismo signo es siempre positivo. • El producto o cociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo.

De forma análoga se puede hablar del cociente entre dos números enteros. De esta forma, el cociente entre dos números enteros del mismo signo es siempre positivo y si tienen distinto signo es negativo 1.4.3. Necesidad de los números negativos para expresar estados y cambios. Reconocimiento y conceptualización en contextos reales Fíjese en la temperatura que marcan estos termómetros:

28ºC

10ºC -5 ºC

-5 Enteros negativos Expresan cantidades que son menores que cero

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10, 28 Enteros positivos Expresan cantidades que son mayores que cero

Si estipulamos el 0 como la temperatura a la cual se congela el agua, necesitamos números negativos para indicar los casos en los que la temperatura esté por debajo de ese 0 de referencia. Por ejemplo, si a la hora de marcar alturas consideramos el 0 como la altura al nivel del mar, necesitamos números positivos para indicar las que estén por encima, y negativos para las que estén por debajo, por ejemplo un submarino o una depresión. 2000 m

-200 m

Con estos ejemplos podemos ver la necesidad de los números enteros, tanto negativos como positivos para expresar conceptos como el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc. 1.4.4. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos sencillos Supón que tenemos una empresa de almacenamiento y producción de trigo. Inicialmente tenemos 1500 kg de trigo almacenado. En la época de siega, recogemos 5 fincas cada una de las cuales produce 4000 kg, a continuación vendemos 12000 kg y por último llega1 camión con 3000 kg más. ¿Cómo podríamos expresar todo lo anterior con una operación matemática que nos dé como resultado los kilos de trigo que nos quedan? 1500 + 5 x 4000 – 12000 + 3000 = ¿? Como vemos, tenemos una operación en la que tenemos que operar con números positivos y negativos, pero en la que además tendremos que tener otra cosa en cuenta: la jerarquía de las operaciones. Como habrás podido observar, el resultado será distinto si hacemos 1500 + 5 y luego multiplicamos el resultado por 4000 que si hacemos 5 x 4000 y al resultado le sumamos 1500. Siempre que veamos operaciones de este tipo, que aúnen en una sola fila multiplicaciones, sumas, restas y divisiones, realizaremos las operaciones por este orden:

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1º 2º

Multiplicaciones y divisiones Sumas y restas

De forma que si nos encontramos con una secuencia como la anterior, el orden correcto a la hora de operar será: 1500 + 5 x 4000 – 12000 + 3000 1500 + 20000 – 12000 + 3000 = 12500 kg En algunas ocasiones, encontraremos además paréntesis dentro de la misma línea de operación. En estos casos, el orden que se deberá seguir será: 1º 2º 2º 3º

Multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis Sumas y restas dentro de los paréntesis Multiplicaciones y divisiones fuera de los paréntesis Sumas y restas fuera de los paréntesis

Veamos los casos anteriores con algunos ejemplos: • (12 + 5 x 7 – 8) – (3 + 7 – 8 : 2) = (12 + 35 – 8) – (3 + 7 – 4) = 39 – 6 = 33 •

1 – 3 + (8 – 9 x 2) – 10 – (4 + 10 : (–2) ) = 1 – 3 + (8 – 18) – 10 – (4 + (–5 )) = 1 – 3 + (–10) – 10 – (–1) = 1 – 3 – 10 – 10 + 1 = – 21

1.4.5. Utilización de la calculadora para operar con números enteros En primer lugar, para poder operar con cualquier máquina debemos encenderla. Para ello, en las calculadoras suele ser necesario pulsar el botón «On». A continuación, se iluminará la pantalla a la espera de que introduzcamos los datos que queremos calcular. Para realizar las operaciones matemáticas vistas hasta ahora será necesario pulsar las teclas «+»,«–», «x» o «÷» en función de si queremos hacer una suma, una resta, una multiplicación o una división.Muchos modelos de calculadoras, permiten introducir

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también una serie de operaciones combinadas utilizando paréntesis. A la hora de introducir números negativos, en función del modelo de la calculadora, será necesario pulsar la tecla «+/–» antes o después de haber introducido el número.

Un vez introducida la secuencia de operaciones que queremos que realice la calculadora, en general, será necesario pulsar la tecla «=» para ordenar a la máquina que realice los cálculos introducidos y nos muestre el valor final de los mismos.

1.5. Fracciones y decimales en entornos cotidianos Hasta ahora, hemos visto dos conjuntos de números: los naturales N = {1, 2, 3, 4, 5…} y los enteros Z = {…–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…}. Pero, ¿qué pasa si el número que queremos representar no llega a una unidad? Por ejemplo, tenemos un kilo y medio de manzanas, hace 27,3ºC, o me he comido 1/7 de la tarta. Para todas estas situaciones, necesitamos un nuevo conjunto: los llamados números racionales, que se representan como «Q» y que engloban a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Los tres conjuntos vistos hasta ahora están siempre contenidos el uno dentro del otro. Así, dentro de los números racionales también se encuentran los enteros y los naturales. (Decimos que estos dos, son subconjuntos del primero), y a su vez, los enteros también engloban a los naturales. Es decir, N y Z son subconjuntos de Q.

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