Resolución del ejercicio 5. b) de la hoja de repaso de sistemas de ecuaciones lineales. La matriz ampliada del sistema es: §a 1 1 a2 · ¸ ¨ A* = ¨ 1 1 − a a − 1 a 2 ¸ ¨a 1 a a 2 ¸¹ © Tanto el rango de A como el A* tiene que ser menor o igual que 3. Estudiamos el rango de A. El único menor de orden 3 es:
a
1
1
1 1 − a a − 1 = −a 3 + 2a 2 − 2a + 1 a 1 a Para saber para qué valores de a el menor es 0, resolvemos la ecuación − a 3 + 2a 2 − 2a + 1 = 0
(a − 1)( −a 2 + a − 1) = 0 a − 1 = 0 tiene como solución a = 1 − a 2 + a − 1 = 0 no tiene soluciones reales. Por lo tanto 1. Si a ≠ 1 Ran(A)=ran(A*)=3=número de incógnitas del sistema El sistema es compatible determinado. 2. Si a=1 Det(A)=0 La matriz ampliada del sistema es: §1 1 1 1 · ¨ ¸ A* = ¨1 0 0 1 ¸ ¨1 1 1 2 ¸ © ¹ Cogemos un menor de orden 2: 1 1 = −1 ≠ 0 1 0 Por lo tanto ran(A)=2 y 2 ≤ ran ( A*) ≤ 3 Cogemos otro menor de orden 3 de la matriz ampliada: 1 1 1
1 0 1 = −1 ≠ 0 1 1 2 ran ( A*) = 3 ≠ ran ( A ) El sistema es incompatible.