INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LERDO
Lic. En Informรกtica
ALUMNO: Cesar Gonzalo Escobedo Yaverino.
MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES II
PROFESOR: Ricardo Bustamante
FECHA: 22 de mayo de 2011.
TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. La teoría de colas estudia modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera con diferentes características. Los modelos nos ayudan a encontrar un equilibrio entre los costos del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado
TERMINOLOGIA Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: • Estado del sistema : Número de clientes en el sistema. • Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. • N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0). • Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. • s : Número de servidores en el sistema de colas.
• n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. • n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. n: Cuando n es constante para toda n n : Cuando n es constante para toda n 1
NOTACION La siguiente notación supone la condición de estado estable: • Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema • L: Número esperado de clientes en el sistema. • Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio). • W : Tiempo de espera en el sistema para cada cliente • W : E(W ) • W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente. • Wq: E (Wq ) Relaciones entre L , W , Lq y Wq
MODELO MM1 Este
sistema
tratade una distribución de llegada
Markoviano, tiempo de servicio
Markoviano, y un servidor. Características importantes: •En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema. •En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo específico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. MODELO MG1 Es un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera. En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio. Si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse formula para el valor de Lq a partir de la siguiente ecuación.
Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:
Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:
MODELO MEk1 Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de Erlang, también llamada distribución K. Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro , es decir, es una distribución gamma de parámetros . Medidas del desempeño del sistema de colas Número esperado de clientes en la cola Lq Número esperado de clientes en el sistema Ls Tiempo esperado de espera en la cola Wq Tiempo esperado de espera en el sistema Ws