Simplificación de Polinomios

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PRODUCTOS NOTABLES

(a + b)

a

b

(a + b)

b a

b2

ab

(a + b)2

ab

a2

a2+2ab+b2

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a.a +a.b +b.a +b.b = a2+2ab +b2

Cuadrado de un binomio

(a + b ) = a + 2ab + b (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 2

2

2

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Suma y diferencia de cubos

( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 Producto de binomios con un término común

(a + b ) ⋅ (a + c ) = a 2 + (b + c )a + bc Suma por diferencia (Diferencia de cuadrados)

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

( a 2 + b + 1)( a 2 − b + 1) = a 4 + b 2 + 1

(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2b2 + b4

Cubo de un binomio

( a + b) (a − b)

3

3

Identidad de Argand

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

Identidades de Legendre

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3

( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 = 2( a 2 + b 2 ) ( a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab

Cuadrado de un trinomio

( a + b + c)

2

= a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

( a − b − c)

2

= a + b + c − 2ab − 2ac + 2bc 2

2

2

Identidades de Lagrange

(ax + by)2 + (ay − bx) 2 = (a 2 + b2 )( x 2 + y 2 )

Lic. Carlos Gamonal


Taller de Álgebra Básica Simplificación de Expresiones Algebraicas

Simplificar 1. E = ( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) Solución:

= ( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) = ( x 2 − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) Diferencia de cuadrados

= ( x 4 − 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)

(a + b)(a − b) = a 2 − b 2

= ( x − 1)( x + 1) 8

8

= x 16 + 1 2. E = ( y − k )( y + k )( y 2 + ky + k 2 )( y 2 − ky + k 2 ) Solución:

Agrupando : = ( y − k )( y 2 + ky + k 2 )( y + k )( y 2 − ky + k 2 ) = ( y3 − k 3 )( y3 + k ) = y −k 6

Suma y diferencia de cubos : (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

3

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

6

Diferencia de cuadrados :

3. E = ( x + 1) 2 ( x − 2) 2 − ( x − 5) 2 ( x + 4) 2 − 36( x 2 − x ) Solución:

= [( x + 1)( x − 2) ] − [( x − 5)( x + 4) ] − 36 ( x 2 − x ) 2

[

2

] [

]

2

2

= x 2 − x − 2 − x 2 − x − 20 − 36 ( x 2 − x ) Re emplazando : x 2 − x = y = [y − 2 ] − [y − 20 ] − 36 y 2

Pr opiedad : (ab) 2 = a 2 b 2 Binomio al cuadrado :

2

[

] [

]

= y 2 − 4 y + 4 − y 2 − 40 y + 400 − 36 y = 36 y − 396 − 36 y = −396

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

4. E = ( x + 2) 2 ( x − 1) 2 − ( x + 1) 2 ( x − 2) 2 Solución:

= [( x + 2)( x − 1)] − [( x + 1)( x − 2)] 2

[ = [x

] [ − 2 + x ] − [x

2

2

] − 2 − x]

= x2 + x − 2 − x2 − x − 2

2

2

2

2

2

Identidad de Legendre : (a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab

= 4 x ( x 2 − 2) 5. E = ( x y + x − y )( x y − x − y )( x 4 y + 1 + x −4 y ) Solución:

= ( x 2 y − x −2 y )( x 4 y + 1 + x −4 y ) = ( x 2 y − x − 2 y )( x 4 y + 1 + x − 4 y )

Diferencia de cuadrados

= x 6y − x −6y

Diferencia de cubos

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2


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[

]

6. E = ( x y + y − y ) 2 + ( x y − y − y ) 2 (x 2y − y − 2 y )( x 8 y + x 4 y y − 4 y + y − 8 y ) Solución:

[

]

= 2( x 2 y + y −2 y ) (x 2y − y −2 y )( x 8 y + x 4 y y −4 y + y −8 y ) = 2( x − y 4y

−4y

)( x + x y 8y

4y

−4 y

+y

−8 y

Identidad de Legendre : (a + b) 2 + (a − b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) Diferencia de cuadrados

)

= 2( x12y − y −12 y )

Diferencia de cubos

7. E = ( 4 x + 1)( x + 1)( x + 1)( 4 x − 1)( x 4 + x 2 + 1) Solución: = ( 4 x + 1)( 4 x − 1)( x + 1)( x + 1)( x 4 + x 2 + 1)

= ( x − 1)( x + 1)( x + 1)( x 4 + x 2 + 1) Diferencia de cuadrados

= ( x − 1)( x + 1)( x 4 + x 2 + 1)

Diferencia de cubos

= ( x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1) = x6 −1

[

]

8. E = ( 2 x + 3y) 2 + (2 y − 3x ) 2 ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) Solución: = [ ( 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 ) + ( 4 y 2 − 12 xy + 9 x 2 ) ] ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 )

[

]

= 13 x 2 + 13 y 2 ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) Diferencia de cuadrados

= 13 ( y 2 + x 2 )( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 )

Diferencia de cubos

= 13 ( y 4 − x 4 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) = 13 ( y 12 − x 12 )

9. E = ( x 4 − y 2 )( x 4 + x 2 y + y 2 )( x 4 − x 2 y + y 2 ) Solución: = ( x 2 + y )( x 2 − y )( x 4 + x 2 y + y 2 )( x 4 − x 2 y + y 2 ) = ( x 2 + y )( x 4 − x 2 y + y 2 )( x 2 − y )( x 4 + x 2 y + y 2 )

Diferencia de cuadrados

= ( x + y )( x − y )

Diferencia de cubos

6

3

6

3

= x 12 − y 6

10. E = ( x 2 + xy + y 2 )( x − y )( x + Solución:

y)

= ( x 2 + xy + y 2 )( x − y)

Diferencia de cuadrados

=x +y

Diferencia de cubos

3

3

11. E = ( x 3 − 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) Solución:

= ( x 3 − 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) = ( x 3 − 1)( x 3 + 1) = ( x 6 − 1)

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Diferencia de cubos Diferencia de cuadrados

3


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[

][

12. E = (8m3 − n 6 )(8m3 + n 6 ) − (2m − n 2 )(2m + n 2 ) 2m(2m + n 2 ) + n 4 4m2 − n 2 (2m − n 2 ) Solución: Diferenciade cuadrados:

[

][

= (8m3 − n 6 )(8m3 + n 6 ) − (2m − n 2 )(2m + n 2 ) 2m(2m + n 2 ) + n 4 4m2 − n 2 (2m − n 2 )

[

][

= (64m6 − n12 ) − (2m − n 2 )(2m + n 2 ) 4m2 + 2mn2 + n 4 4m2 − 2mn2 + n 4 Suma y diferenciade cubos:

[

]

[

= (64m6 − n12 ) − (2m − n 2 ) 4m2 + 2mn2 + n 4 (2m + n 2 ) 4m2 − 2mn2 + n 4

]

]

]

]

= (64m6 − n12 ) − (8m3 − n 6 )(8m3 + n 6 ) = (64m6 − n12 ) − (64m6 − n12 ) =0 13. E = ( x + y + z) 2 + ( x + y − z) 2 + ( x − y + z) 2 + ( − x + y + z) 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) Solución:

Identidad de Legendre : 2

= ( x + y + z ) 2 + ( x + y − z ) + ( x − y + z ) 2 + ( − x + y + z ) 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) 2

= 2(( x + y) 2 + z 2 ) + (z + x − y) 2 + (z − ( x − y)) − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) 2

= 2( ( x + y ) 2 + z ) + 2( z 2 + ( x − y ) 2 ) − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) Binomio al cuadrado : = 2( x 2 + 2 xy + y 2 + z 2 ) + 2(z 2 + x 2 − 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 2z 2 + 2z 2 + 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 x 2 + 4 y 2 + 4z 2 − 4x 2 − 4 y 2 − 4z 2 =0 2

2

2

1  1 1  1     14. E =  x +   x 2 + 2 − 1 −  x −   x 2 + 2 + 1 x  x x  x    

2

Solución:

Pr opiedad : (ab) 2 = a 2 b 2 2

 1  1    1 1  =  x +   x 2 − 1 + 2  −  x −   x 2 + 1 + 2   x  x    x x   Suma y diferencia de cubos : 2

1  1  = x3 + 3  − x3 − 3  x   x   Binomio al cuadrado :

2

2

1  1  = x 6 + 2 + 6  − x 6 − 2 + 6  x   x   =4

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15. E = ( b + c − a ) (a + c - b) + (a + b + c)(a + b − c) Solución:

Agrupando y aplicando diferencia de cuadrados : = (c + (b − a )) (c − (b − a )) + ((a + b) + c)((a + b) − c) = (c 2 − (b − a ) 2 ) + ((a + b) 2 − c2 ) Identidad de Legendre : = (b + a ) 2 − (b − a )2 = 4ab 16. E =

( x 2 − y 2 ) 7 (x + y) 4 ( y − x ) 5 (-x - y)10 (x - y) 2

Solución:

=

( x + y)7 ( x − y)7 (x + y)4 ( y − x )5 (-x − y)10 (x − y)2

( x + y)11 ( x − y)7 = − ( x + y)5 (x + y)10 (x − y)2

(−a − b)impar = −(a + b)impar (−a − b) par = (a + b) par

= −( x + y ) − 4 ( x − y ) 5 17. E = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)( x 4 − x 2 + 1)( x 8 − x 4 + 1) . . . hasta n factores Solución:

Identidad de Argand :

= ( x 4 + x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1)( x 8 − x 4 + 1) . . . = ( x 8 + x 4 + 1)( x 8 − x 4 + 1)... n

= x2 + x2

n −1

+1

Resolver 18. Si x + y = 8 y Solución:

xy = 16 , hallar x 2 + y 2

Binomio al cuadrado : ( x + y) 2 = 82 ⇒ x 2 + 2xy + y 2 = 64 x 2 + 2(16) + y 2 = 64 x 2 + y 2 = 32 19. Si x −

1 = 2 hallar x 4 + x −4 x

Solución: 2

1 1  2 2  x −  = ( 2) ⇒ x − 2 + 2 = 4 x x  1 x2 + 2 = 6 x

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2

1  2 1  2 4  x + 2  = (6) ⇒ x − 2 + 4 = 36 x  x  1 x 4 + 4 = 34 x

5


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20. Si a + b = 5 y ab = 2 calcular E = (a 2 + b 2 ) + (a 3 + b 3 ) + (a 4 + b 4 ) Solución:

(a + b) 2 = (5)2 a + 2ab + b = 25 2

2

a + 2(2) + b = 25 2

2

a 2 + b 2 = 21

a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

(a 2 + b 2 ) 2 = 441

a 3 + b3 = (5)(21 − 2)

a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 = 441

a 3 + b3 = 95

a 4 + 2(ab) 2 + b 4 = 441 a 4 + b 4 = 433

E = (21) + (95) + (433) = 549 21. Si x + y + z = 12 Solución:

y

xy + xz + yz = 60 , hallar M = ( x + y) 2 + ( x + z) 2 + ( y + z) 2 Trabajando con el dato :

M = ( x + y) 2 + ( x + z) 2 + ( y + z) 2 M = x 2 + 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xz + z 2 + y 2 + 2 yz + z 2

( x + y + z) 2 = (12) 2

M = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz

x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz = 144

M = 2( x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz )

x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) = 144 x 2 + y 2 + z 2 + 2(60) = 144 x 2 + y 2 + z 2 = 24 Re emplazando : M = 2(24 + 60) = 168

22. Si p + q + r = 20 y p 2 + q 2 + r 2 = 300 , hallar el valor de E = (p + q)2 + (p + r)2 + (q + r)2 Solución: Trabajando con el dato :

E = ( p + q ) 2 + ( p + r ) 2 + (q + r ) 2

(p + q + r) 2 = (20) 2

E = p 2 + 2pq + q 2 + p 2 + 2pr + r 2 + q 2 + 2qr + r 2

p 2 + q 2 + r 2 + 2pq + 2pr + 2qr = 400 300 + 2(pq + pr + qr ) = 400

E = 2(p 2 + q 2 + r 2 + pq + pr + qr )

pq + pr + qr = 50 Re emplazando : E = 2(300 + 50) = 700

23. Si x + y + z = 0 simplificar E = Solución: 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy + yz + zx ) E= xy + yz + zx Trabajando con el dato : (x + y + z) 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2zx = 0 x 2 + y 2 + z 2 = −2( xy + yz + zx )

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( x + y) 2 + ( y + z ) 2 + ( z + x ) 2 xy + yz + zx

Reemplazando : 2(−2( xy + yz + zx )) + 2( xy + yz + zx ) xy + yz + zx − 2( xy + yz + zx ) E= = −2 xy + yz + zx

E=

6


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