Factorización de polinomios

PRODUCTOS NOTABLES

(a + b)

a

b

(a + b)

b a

b2

ab

(a + b)2

ab

a2

a2+2ab+b2

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a.a +a.b +b.a +b.b = a2+2ab +b2

Cuadrado de un binomio

(a + b ) = a + 2ab + b (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 2

2

2

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Suma y diferencia de cubos

( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 Producto de binomios con un término común

(a + b ) ⋅ (a + c ) = a 2 + (b + c )a + bc Suma por diferencia (Diferencia de cuadrados)

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

( a 2 + b + 1)( a 2 − b + 1) = a 4 + b 2 + 1

(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2b2 + b4

Cubo de un binomio

( a + b) (a − b)

3

3

Identidad de Argand

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

Identidades de Legendre

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3

( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 = 2( a 2 + b 2 ) ( a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab

Cuadrado de un trinomio

( a + b + c)

2

= a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

( a − b − c)

2

= a + b + c − 2ab − 2ac + 2bc 2

2

2

Identidades de Lagrange

(ax + by)2 + (ay − bx) 2 = (a 2 + b2 )( x 2 + y 2 )

Lic. Carlos Gamonal

Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas

Factorizar y simplificar 1.

E=

( x + y) 4 − ( x − y) 4 8 x 3 y + 8 xy 3

Numerador

Denominador

( x + y) − ( x − y) 4

8 x 3 y + 8 xy 3

4

Por diferencia de cuadrados:

[( x + y) ] − [( x − y) ] [( x + y ) + ( x − y ) ][( x + y) Por Identidad e Legendre: 2(x + y )(4 xy ) 8(x + y )( xy ) 8(x + y )( xy ) E= =1 8(x + y )( xy ) 2 2 2

2.

E=

2

2

2

2

2

Por factor común:

2

2

2

2

(

)

2

− ( x − y)2

(

( x + y) x 3 − y 3 + ( x − y ) x 3 + y 3 x4 − y4

Numerador

(

)

(

( x + y) x − y + ( x − y) x + y 3

(

8 xy x 2 + y 2

2 2

3

3

3

]

)

(x + y )(x − y )(x

Denominador

)

Por suma y diferencia de cubos: 2

)

x4 − y4

(

+ xy + y + ( x − y )(x + y ) x − xy + y 2

2

Por factor común:

(x + y )(x − y )(x 2 + xy + y 2 + x 2 − xy + y 2 ) (x + y )(x − y )(2 x 2 + 2 y 2 ) 2( x + y )( x − y )(x 2 + y 2 ) 2( x + y )( x − y )(x 2 + y 2 ) E= =2 (x + y )(x − y )(x 2 + y 2 )

3.

)

Por diferencia de cuadrados:

2

) (x ) − (y ) (x + y )(x − y ) (x + y )(x + y )(x − y ) 2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

  x 2 − 12 x − 64  x 2 − 64  2  E =  2  x − 24 x + 128  x − 4 x − 32  x 2 − 64

x 2 − 24 x + 128

x 2 − 12 x − 64

x 2 − 4 x − 32

x 2 − 12 x − 16( 4)

x 2 − 4 x − 8( 4)

( x − 16)( x + 4)

( x − 8)( x + 4)

Por dif. de cuadrados:

Por el método del aspa simple

x 2 − (8) 2 ( x + 8)( x − 8)

x 2 − 24 x + 16(8)

( x − 16)( x − 8) ( x + 8)( x − 8)( x − 16)( x + 4) ( x + 8) E= = ( x − 16)( x − 8)( x − 8)( x + 4) (( x − 8)

Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe

2

Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas

4.

x 2 − xy − y − 1 x 2 − xy − 2 x + y + 1

E=

Numerador

Denominador

x − xy − y − 1

x 2 − xy − 2 x + y + 1

Por agrupación:

Por agrupación:

x − 1 − xy − y

x 2 − x − xy + y − x + 1

( x + 1)( x − 1) − y ( x + 1)

x( x − 1) − y ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1)( x − y − 1)

2

2

Por factor común:

( x + 1)(( x − 1) − y ) = ( x + 1)( x − 1 − y ) E=

( x + 1)( x − 1 − y ) ( x + 1) = ( x − 1)( x − 1 − y ) ( x − 1)

a 2 + 2ab + b 2 − c 2 a 2 − 2ac + c 2 − b 2 x a 2 − b 2 − c 2 − 2bc b 2 − 2bc + c 2 − a 2

5. E =

Numerador

(a

2

)(

+ 2ab + b − c a − 2ac + c − b 2

2

2

2

Por trinomio cuadrado perfecto:

[(a + b )

2

][

− c 2 (a − c ) − b 2 2

2

)

]

Denominador

(− b

2

)(

− 2bc − c 2 + a 2 b 2 − 2bc + c 2 − a 2

Por trinomio cuadrado perfecto:

[a

2

− (b + c )

2

][(b − c )

2

− a2

]

Por diferencia de cuadrados:

Por diferencia de cuadrados:

(a + b + c)(a + b − c)(a − c + b)(a − c − b)

(a + b + c)(a − b − c)(b − c + a)(b − c − a)

E=

)

( a + b + c)( a + b − c )( a − c + b)( a − c − b) a + b − c = ( a + b + c)( a − b − c )(b − c + a )(b − c − a ) b − c − a

 a(a 3 − b 3 )   b(a 3 − b 3 )  =a+b +  3 3 3  3   a −b   a −b 

6. E = 

7. E =

x6 + x3 − 2 x4 − x3y − x + y

Numerador

Denominador

x +x −2

x4 − x3 y − x + y

6

3

=a a + a − 2 = a −1+ a −1

Por agrupación:

Por diferencia de cuadrados

Por factor común:

( a + 1)( a − 1) + ( a − 1)

( x − y )( x3 − 1)

Por cambio de variable: x 2

3

2

x3 ( x − y ) − ( x − y )

Por factor común:

( a − 1)( a + 1 + 1) = ( a − 1)(a + 2) Reemplazando la variable:

x3 = a

( x 3 − 1)( x 3 + 2) E=

( x 3 − 1)( x 3 + 2) ( x 3 + 2) = ( x 3 − 1)( x − y ) ( x − y)

Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe

3

Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas

8. E =

(3x − 1) 3 − 27 x + 9 (3x + 2)(3x − 4)

Numerador

Denominador

(3 x − 1) − 27 x + 9

(3 x + 2)(3 x − 4)

3

Por agrupación:

(3 x − 1) 3 − 9(3x − 1) Por factor común:

[ (3 x − 1)[(3 x − 1)

] −3 ]

(3 x − 1) (3 x − 1) 2 − 9

Por diferencia de cuadrados: 2

2

(3 x − 1)[(3 x − 1 + 3)(3 x − 1 − 3) ] (3 x − 1)(3 x + 2)(3 x − 4) (3 x − 1)(3 x + 2)(3 x − 4) E= = 3x − 1 (3 x + 2)(3 x − 4)

9. E =

(3x 3 − 3x )( x 3 − 1) ( x 4 + x 3 + x 2 )( x 2 − 1)

Numerador

Denominador

(3 x − 3 x)( x − 1)

( x 4 + x 3 + x 2 )( x 2 − 1)

Por factor común:

Por factor común

3 x( x − 1)( x − 1)

x 2 ( x 2 + x + 1)( x 2 − 1)

3

3

2

3

Por diferencia de cubos:

3 x( x 2 − 1)( x − 1)( x 2 + x + 1)

E=

10. E =

3x( x 2 − 1)( x − 1)( x 2 + x + 1) 3( x − 1) = x 2 ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1) x

(1 + xy) 2 − ( x + y) 2 1− x2

Numerador

Denominador

(1 + xy ) − ( x + y ) 2

1 − x2

2

Por diferencia de cuadrados:

Por binomio al cuadrado:

1 + 2 xy + x y − x − 2 xy − y 2

2

2

2

(1 − x)(1 + x)

1 + x2 y 2 − x2 − y 2 Por agrupación y factor común:

x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 = x 2 ( y 2 − 1) − ( y 2 − 1) ( y 2 − 1)( x 2 − 1) Por diferencia de cuadrados:

( y − 1)( x − 1)( y + 1)( x + 1) ( y − 1)( x − 1)( y + 1)( x + 1) E= = −( y − 1)( y + 1) − ( x − 1)( x + 1) Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe

4

Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas

11. E =

(1 + x 2 ) 4 + (1 − x 4 ) 2 (1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 4

Numerador

Denominador

(1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 4

(1 + x ) + (1 − x ) 2 4

4 2

Por diferencia de cuadrados:

[

( )] + [(1 + x )(1 − x )] + (1 + x ) (1 − x )

(1 + x 2 ) 4 + 1 2 − x (1 + x 2 ) 4 (1 + x 2 ) 4

Por diferencia de cuadrados:

2 2 2

2

2 2

2

2

2

( ) (1 + x + x + x )(1 + x (1 + 2 x + x )(1 + x ) (1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 2

2 2

4

2

2

2

4

2

+ x4 − x2

)

4

Por factor común:

(1 + x ) [(1 + x ) + (1 − x ) ] 2

2

2

2

2

2

Por identidad de Legendre:

(1 + x ) [2 (1 + x )] Por binomio al cuadrado: (1 + 2 x + x )[2 (1 + x )] 2 (1 + 2 x + x )(1 + x ) 2 (1 + 2 x + x )(1 + x ) E = (1 + 2 x + x )(1 + x ) = 2 2

2

4

2

4

2

2

4

2

4

2

12. E =

4

4

4

x ( y 2 + z 2 − x 2 ) + y( z 2 + x 2 − y 2 ) z 2 − x ( x − 2 y) − y 2

Numerador

Denominador

x( y + z − x ) + y ( z + x − y )

z 2 − x( x − 2 y ) − y 2

xy 2 + xz 2 − x 3 + yz 2 + yx 2 − y 3

z 2 − x 2 + 2 xy − y 2

2

2

2

2

2

2

Por binomio al cuadrado:

Por agrupación:

− y + xy − x + yx + xz + yz 3

2

3

2

2

2

z 2 − ( x − y)2

y 2 ( x − y) − x 2 ( x − y ) + z 2 ( x + y ) Por factor común:

( x − y )( y 2 − x 2 ) + z 2 ( x + y ) Por diferencia de cuadrados:

( x − y )( y − x)( y + x) + z 2 ( x + y ) Por factor común:

[ ] ( x + y )[− ( x − y ) + z ] ( x + y )[z − ( x − y ) ] E= = x+ y

( x + y ) ( x − y )( y − x) + z 2 Factorizando -1

2

2

2

2

z 2 − ( x − y) 2

Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe

5

Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas

( m + n ) 2 ( x + y) 2 − ( m − n ) 2 ( x − y ) 2 mn ( x 2 + y 2 ) + xy(m 2 + n 2 )

13. E =

Numerador

Denominador

( m + n) ( x + y ) − ( m − n) ( x − y ) 2

2

2

mn( x 2 + y 2 ) + xy (m 2 + n 2 )

2

[(m + n)( x + y)]2 − [(m − n)( x − y )]2

mnx 2 + mny 2 + xym 2 + xyn 2

Por diferencia de cuadrados:

xm( xn + ym) + yn( ym + xn)

[(m + n)(x + y) + (m − n)(x − y)][(m + n)(x + y) − (m − n)(x − y)] (2 xm + 2 yn)(2 ym + 2 xn) 4( xm + yn )( ym + xn ) E=

( ym + xn)( xm + yn)

4( ym + xn)( xm + yn) =4 ( ym + xn)( xm + yn) a 4 − 3a 2 b 2 + b 4 a 2 − ab − b 2

14. E =

Numerador

Denominador

a − 3a b + b 4

2

2

a 2 − ab − b 2

4

Por quita y pon:

Por agrupación:

a − 2a b + b − 3a b + 2a b 4

2

2

4

2

2

2

a 2 − b 2 − ab

2

Por trinomio cuadrado perfecto

Por diferencia de cuadrados:

(a 2 − b 2 ) 2 − a 2 b 2

(a + b)(a − b) − ab

Por diferencia de cuadrados:

(a 2 − b 2 ) 2 − (ab) 2

[a

][

]

− b 2 + ab a 2 − b 2 − ab [(a + b)(a − b) + ab][(a + b)(a − b) − ab] 2

E=

[(a + b)(a − b) + ab][(a + b)(a − b) − ab] = a 2 − b 2 + ab (a + b)(a − b) − ab

[ (m + n ) 15. E =

]

2

+ ( m − n ) 2 − 4( m 2 − n 2 ) 2 (m 2 + n 2 ) 2 − (n 2 − m 2 ) 2 2

Numerador

[ ( m + n)

2

Denominador

+ ( m − n)

2

]

2

− 4( m − n ) 2

[ 2( m

+n ) 2

]

2

− 4( m − n ) 2

( m 2 + n 2 ) 2 − (n 2 − m 2 ) 2 Por Identidad de Legendre:

Por Identidad de Legendre: 2

2 2

2 2

4m 2 n 2

4( m 2 + n 2 ) 2 − 4( m 2 − n 2 ) 2

[

4 (m 2 + n 2 ) 2 − ( m 2 − n 2 ) 2

]

16(m 2 n 2 ) E=

16m 2 n 2 =4 4m 2 n 2

Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe

6

Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas

2

 a b  2  a b  2   a  2  b  2  16. E =  +  +  −   − 4   −     a    b a   b a    b 

2

Por diferencia de cuadrados 2 2  a b 2  a b  a b  2  a b     E =   +  +  −   − 4  +  −    b a   b a    b a  b a  

Cambio de variables:

a b a b  +  = x∧ −  = y b a   b a

(

)

E = x 2 + y 2 − 4( xy ) 2

2

Por diferencia de cuadrados:

( E = (x

)

E = x 2 + y 2 − (2 xy ) 2

2

2

)(

+ y 2 + 2 xy x 2 + y 2 − 2 xy

)

Por trinomio cuadrado perfecto:

E = ( x + y ) (x − y ) 2

2

Reemplazando variables: 2

a b a b a b a b E = + + −   + − +  b a b a b a b a 2

 2a   2b  E =     b   a  E = 4(4) = 16

2

2

Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe

7