PRODUCTOS NOTABLES
(a + b)
a
b
(a + b)
b a
b2
ab
(a + b)2
ab
a2
a2+2ab+b2
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a.a +a.b +b.a +b.b = a2+2ab +b2
Cuadrado de un binomio
(a + b ) = a + 2ab + b (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 2
2
2
Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Suma y diferencia de cubos
( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 Producto de binomios con un término común
(a + b ) ⋅ (a + c ) = a 2 + (b + c )a + bc Suma por diferencia (Diferencia de cuadrados)
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
( a 2 + b + 1)( a 2 − b + 1) = a 4 + b 2 + 1
(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2b2 + b4
Cubo de un binomio
( a + b) (a − b)
3
3
Identidad de Argand
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
Identidades de Legendre
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 = 2( a 2 + b 2 ) ( a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab
Cuadrado de un trinomio
( a + b + c)
2
= a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
( a − b − c)
2
= a + b + c − 2ab − 2ac + 2bc 2
2
2
Identidades de Lagrange
(ax + by)2 + (ay − bx) 2 = (a 2 + b2 )( x 2 + y 2 )
Lic. Carlos Gamonal
Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas
Factorizar y simplificar 1.
E=
( x + y) 4 − ( x − y) 4 8 x 3 y + 8 xy 3
Numerador
Denominador
( x + y) − ( x − y) 4
8 x 3 y + 8 xy 3
4
Por diferencia de cuadrados:
[( x + y) ] − [( x − y) ] [( x + y ) + ( x − y ) ][( x + y) Por Identidad e Legendre: 2(x + y )(4 xy ) 8(x + y )( xy ) 8(x + y )( xy ) E= =1 8(x + y )( xy ) 2 2 2
2.
E=
2
2
2
2
2
Por factor común:
2
2
2
2
(
)
2
− ( x − y)2
(
( x + y) x 3 − y 3 + ( x − y ) x 3 + y 3 x4 − y4
Numerador
(
)
(
( x + y) x − y + ( x − y) x + y 3
(
8 xy x 2 + y 2
2 2
3
3
3
]
)
(x + y )(x − y )(x
Denominador
)
Por suma y diferencia de cubos: 2
)
x4 − y4
(
+ xy + y + ( x − y )(x + y ) x − xy + y 2
2
Por factor común:
(x + y )(x − y )(x 2 + xy + y 2 + x 2 − xy + y 2 ) (x + y )(x − y )(2 x 2 + 2 y 2 ) 2( x + y )( x − y )(x 2 + y 2 ) 2( x + y )( x − y )(x 2 + y 2 ) E= =2 (x + y )(x − y )(x 2 + y 2 )
3.
)
Por diferencia de cuadrados:
2
) (x ) − (y ) (x + y )(x − y ) (x + y )(x + y )(x − y ) 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
x 2 − 12 x − 64 x 2 − 64 2 E = 2 x − 24 x + 128 x − 4 x − 32 x 2 − 64
x 2 − 24 x + 128
x 2 − 12 x − 64
x 2 − 4 x − 32
x 2 − 12 x − 16( 4)
x 2 − 4 x − 8( 4)
( x − 16)( x + 4)
( x − 8)( x + 4)
Por dif. de cuadrados:
Por el método del aspa simple
x 2 − (8) 2 ( x + 8)( x − 8)
x 2 − 24 x + 16(8)
( x − 16)( x − 8) ( x + 8)( x − 8)( x − 16)( x + 4) ( x + 8) E= = ( x − 16)( x − 8)( x − 8)( x + 4) (( x − 8)
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
2
Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas
4.
x 2 − xy − y − 1 x 2 − xy − 2 x + y + 1
E=
Numerador
Denominador
x − xy − y − 1
x 2 − xy − 2 x + y + 1
Por agrupación:
Por agrupación:
x − 1 − xy − y
x 2 − x − xy + y − x + 1
( x + 1)( x − 1) − y ( x + 1)
x( x − 1) − y ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1)( x − y − 1)
2
2
Por factor común:
( x + 1)(( x − 1) − y ) = ( x + 1)( x − 1 − y ) E=
( x + 1)( x − 1 − y ) ( x + 1) = ( x − 1)( x − 1 − y ) ( x − 1)
a 2 + 2ab + b 2 − c 2 a 2 − 2ac + c 2 − b 2 x a 2 − b 2 − c 2 − 2bc b 2 − 2bc + c 2 − a 2
5. E =
Numerador
(a
2
)(
+ 2ab + b − c a − 2ac + c − b 2
2
2
2
Por trinomio cuadrado perfecto:
[(a + b )
2
][
− c 2 (a − c ) − b 2 2
2
)
]
Denominador
(− b
2
)(
− 2bc − c 2 + a 2 b 2 − 2bc + c 2 − a 2
Por trinomio cuadrado perfecto:
[a
2
− (b + c )
2
][(b − c )
2
− a2
]
Por diferencia de cuadrados:
Por diferencia de cuadrados:
(a + b + c)(a + b − c)(a − c + b)(a − c − b)
(a + b + c)(a − b − c)(b − c + a)(b − c − a)
E=
)
( a + b + c)( a + b − c )( a − c + b)( a − c − b) a + b − c = ( a + b + c)( a − b − c )(b − c + a )(b − c − a ) b − c − a
a(a 3 − b 3 ) b(a 3 − b 3 ) =a+b + 3 3 3 3 a −b a −b
6. E =
7. E =
x6 + x3 − 2 x4 − x3y − x + y
Numerador
Denominador
x +x −2
x4 − x3 y − x + y
6
3
=a a + a − 2 = a −1+ a −1
Por agrupación:
Por diferencia de cuadrados
Por factor común:
( a + 1)( a − 1) + ( a − 1)
( x − y )( x3 − 1)
Por cambio de variable: x 2
3
2
x3 ( x − y ) − ( x − y )
Por factor común:
( a − 1)( a + 1 + 1) = ( a − 1)(a + 2) Reemplazando la variable:
x3 = a
( x 3 − 1)( x 3 + 2) E=
( x 3 − 1)( x 3 + 2) ( x 3 + 2) = ( x 3 − 1)( x − y ) ( x − y)
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
3
Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas
8. E =
(3x − 1) 3 − 27 x + 9 (3x + 2)(3x − 4)
Numerador
Denominador
(3 x − 1) − 27 x + 9
(3 x + 2)(3 x − 4)
3
Por agrupación:
(3 x − 1) 3 − 9(3x − 1) Por factor común:
[ (3 x − 1)[(3 x − 1)
] −3 ]
(3 x − 1) (3 x − 1) 2 − 9
Por diferencia de cuadrados: 2
2
(3 x − 1)[(3 x − 1 + 3)(3 x − 1 − 3) ] (3 x − 1)(3 x + 2)(3 x − 4) (3 x − 1)(3 x + 2)(3 x − 4) E= = 3x − 1 (3 x + 2)(3 x − 4)
9. E =
(3x 3 − 3x )( x 3 − 1) ( x 4 + x 3 + x 2 )( x 2 − 1)
Numerador
Denominador
(3 x − 3 x)( x − 1)
( x 4 + x 3 + x 2 )( x 2 − 1)
Por factor común:
Por factor común
3 x( x − 1)( x − 1)
x 2 ( x 2 + x + 1)( x 2 − 1)
3
3
2
3
Por diferencia de cubos:
3 x( x 2 − 1)( x − 1)( x 2 + x + 1)
E=
10. E =
3x( x 2 − 1)( x − 1)( x 2 + x + 1) 3( x − 1) = x 2 ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1) x
(1 + xy) 2 − ( x + y) 2 1− x2
Numerador
Denominador
(1 + xy ) − ( x + y ) 2
1 − x2
2
Por diferencia de cuadrados:
Por binomio al cuadrado:
1 + 2 xy + x y − x − 2 xy − y 2
2
2
2
(1 − x)(1 + x)
1 + x2 y 2 − x2 − y 2 Por agrupación y factor común:
x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 = x 2 ( y 2 − 1) − ( y 2 − 1) ( y 2 − 1)( x 2 − 1) Por diferencia de cuadrados:
( y − 1)( x − 1)( y + 1)( x + 1) ( y − 1)( x − 1)( y + 1)( x + 1) E= = −( y − 1)( y + 1) − ( x − 1)( x + 1) Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
4
Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas
11. E =
(1 + x 2 ) 4 + (1 − x 4 ) 2 (1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 4
Numerador
Denominador
(1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 4
(1 + x ) + (1 − x ) 2 4
4 2
Por diferencia de cuadrados:
[
( )] + [(1 + x )(1 − x )] + (1 + x ) (1 − x )
(1 + x 2 ) 4 + 1 2 − x (1 + x 2 ) 4 (1 + x 2 ) 4
Por diferencia de cuadrados:
2 2 2
2
2 2
2
2
2
( ) (1 + x + x + x )(1 + x (1 + 2 x + x )(1 + x ) (1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 2
2 2
4
2
2
2
4
2
+ x4 − x2
)
4
Por factor común:
(1 + x ) [(1 + x ) + (1 − x ) ] 2
2
2
2
2
2
Por identidad de Legendre:
(1 + x ) [2 (1 + x )] Por binomio al cuadrado: (1 + 2 x + x )[2 (1 + x )] 2 (1 + 2 x + x )(1 + x ) 2 (1 + 2 x + x )(1 + x ) E = (1 + 2 x + x )(1 + x ) = 2 2
2
4
2
4
2
2
4
2
4
2
12. E =
4
4
4
x ( y 2 + z 2 − x 2 ) + y( z 2 + x 2 − y 2 ) z 2 − x ( x − 2 y) − y 2
Numerador
Denominador
x( y + z − x ) + y ( z + x − y )
z 2 − x( x − 2 y ) − y 2
xy 2 + xz 2 − x 3 + yz 2 + yx 2 − y 3
z 2 − x 2 + 2 xy − y 2
2
2
2
2
2
2
Por binomio al cuadrado:
Por agrupación:
− y + xy − x + yx + xz + yz 3
2
3
2
2
2
z 2 − ( x − y)2
y 2 ( x − y) − x 2 ( x − y ) + z 2 ( x + y ) Por factor común:
( x − y )( y 2 − x 2 ) + z 2 ( x + y ) Por diferencia de cuadrados:
( x − y )( y − x)( y + x) + z 2 ( x + y ) Por factor común:
[ ] ( x + y )[− ( x − y ) + z ] ( x + y )[z − ( x − y ) ] E= = x+ y
( x + y ) ( x − y )( y − x) + z 2 Factorizando -1
2
2
2
2
z 2 − ( x − y) 2
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
5
Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas
( m + n ) 2 ( x + y) 2 − ( m − n ) 2 ( x − y ) 2 mn ( x 2 + y 2 ) + xy(m 2 + n 2 )
13. E =
Numerador
Denominador
( m + n) ( x + y ) − ( m − n) ( x − y ) 2
2
2
mn( x 2 + y 2 ) + xy (m 2 + n 2 )
2
[(m + n)( x + y)]2 − [(m − n)( x − y )]2
mnx 2 + mny 2 + xym 2 + xyn 2
Por diferencia de cuadrados:
xm( xn + ym) + yn( ym + xn)
[(m + n)(x + y) + (m − n)(x − y)][(m + n)(x + y) − (m − n)(x − y)] (2 xm + 2 yn)(2 ym + 2 xn) 4( xm + yn )( ym + xn ) E=
( ym + xn)( xm + yn)
4( ym + xn)( xm + yn) =4 ( ym + xn)( xm + yn) a 4 − 3a 2 b 2 + b 4 a 2 − ab − b 2
14. E =
Numerador
Denominador
a − 3a b + b 4
2
2
a 2 − ab − b 2
4
Por quita y pon:
Por agrupación:
a − 2a b + b − 3a b + 2a b 4
2
2
4
2
2
2
a 2 − b 2 − ab
2
Por trinomio cuadrado perfecto
Por diferencia de cuadrados:
(a 2 − b 2 ) 2 − a 2 b 2
(a + b)(a − b) − ab
Por diferencia de cuadrados:
(a 2 − b 2 ) 2 − (ab) 2
[a
][
]
− b 2 + ab a 2 − b 2 − ab [(a + b)(a − b) + ab][(a + b)(a − b) − ab] 2
E=
[(a + b)(a − b) + ab][(a + b)(a − b) − ab] = a 2 − b 2 + ab (a + b)(a − b) − ab
[ (m + n ) 15. E =
]
2
+ ( m − n ) 2 − 4( m 2 − n 2 ) 2 (m 2 + n 2 ) 2 − (n 2 − m 2 ) 2 2
Numerador
[ ( m + n)
2
Denominador
+ ( m − n)
2
]
2
− 4( m − n ) 2
[ 2( m
+n ) 2
]
2
− 4( m − n ) 2
( m 2 + n 2 ) 2 − (n 2 − m 2 ) 2 Por Identidad de Legendre:
Por Identidad de Legendre: 2
2 2
2 2
4m 2 n 2
4( m 2 + n 2 ) 2 − 4( m 2 − n 2 ) 2
[
4 (m 2 + n 2 ) 2 − ( m 2 − n 2 ) 2
]
16(m 2 n 2 ) E=
16m 2 n 2 =4 4m 2 n 2
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
6
Taller de Álgebra Básica Factorización y Simplificación de Expresiones Algebraicas
2
a b 2 a b 2 a 2 b 2 16. E = + + − − 4 − a b a b a b
2
Por diferencia de cuadrados 2 2 a b 2 a b a b 2 a b E = + + − − 4 + − b a b a b a b a
Cambio de variables:
a b a b + = x∧ − = y b a b a
(
)
E = x 2 + y 2 − 4( xy ) 2
2
Por diferencia de cuadrados:
( E = (x
)
E = x 2 + y 2 − (2 xy ) 2
2
2
)(
+ y 2 + 2 xy x 2 + y 2 − 2 xy
)
Por trinomio cuadrado perfecto:
E = ( x + y ) (x − y ) 2
2
Reemplazando variables: 2
a b a b a b a b E = + + − + − + b a b a b a b a 2
2a 2b E = b a E = 4(4) = 16
2
2
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
7