algebra completo

y=

2 x

+ ... +

à lgebra 6to grado – I Bimestre

3 x

Índice Índice

Pág

l

Historia del Álgebra – Simbología algebraica

75

l

Expresiones algebraicas

81

l

Términos semejantes

87

l

Reducción de términos semejantes con coeficiente entero 93

l

Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario 101

l

Repaso

109

l

Potenciación: Propiedades I

113

l

Propiedades de la potenciación II

117

l

Repaso

121

Historia del Álgebra "El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide"

Jean le Rond D'alembert Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII

Introducción

A lo largo de la historia, la Matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas, permitiendo al hombre hacer frente a problemas que en principio fueron originados por situaciones cotidianas y que, posteriormente, surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia.

del Álgebra". Escribió varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.

En uno de sus libros "Al - jabr - wa'l muqäbala", aparece la palabra "Al Jabr", de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA". "Al Jabr" significa "restauración", refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de

El Álgebra, siendo una de las principales términos. "Muqäbala" significa "simplificación", áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se refiriéndose a la reducción de términos semeremonta aproximadamente al año 3000 a.C. jantes en cada miembro de una ecuación.

Fue la cultura babilónica la que dejó indicios, Otros matemáticos que dieron gran imen sus "tablas cuneiformes", sobre las nociones pulso al desarrollo del Álgebra fueron: Niccolo básicas para la resolución de ecuaciones de Fontana, llamado TARTAGLIA ("El Tartamudo"); primer y segundo grado. matemático italiano que centró su trabajo en

Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) la ecuación cúbica. en su obra "Aritméticas", difunde la teoría sobre Girolamo Cardano, en su obra "Ars las ecuaciones de primer y segundo grado, in- Magna" publica un resultado similar a TARTAfluenciado por los trabajos de los babilonios.

GLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las

Luego, durante la Edad de Oro del ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté, mundo musulmán, que corresponde a la emplea las letras en el Álgebra; utilizando las Edad Media del Mundo Occidental, aproxi- primeras (a, b, c, ...) para representar cantimadamente 700 - 1200 d.C., el árabe fue la dades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ....) lengua internacional de las matemáticas. Los como incógnitas. matemáticos árabes conservaron el patrimoComo habrás visto, todos los matemátinio matemático de los griegos, divulgaron cos mencionados son extranjeros; sin embarlos conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar go, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del Álgebra; tanto el Álgebra como la Trigonometría. podemos mencionar a Cristóbal de Losada y

Es durante esta época que surge la Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel y figura de Mohammed Ibn Musa Al - Khwarizmi principalmente Federico Villareal.

(780 - 850 d.C.) llamado por algunos el "Padre

CUESTIONARIO •

De la lectura anterior, responde a las siguientes preguntas:

1.

¿Qué cultura es considerada como la 8. iniciadora del Álgebra?

___________________________________

¿En qué temas basó su investigación 9.

DIOFANTO?

2.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

3.

¿Cuándo nació aproximadamente Al - Khwarizmi?

___________________________________

___________________________________

4.

5.

6.

7.

¿Qué significa la palabra "Al - jabr"? ___________________________________ ___________________________________ ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo del Álgebra?

___________________________________

___________________________________

10. Escribe el nombre de matemáticos peruanos investigadores del Álgebra.

___________________________________

___________________________________

11. ¿Por qué crees que es importante la Del año 700 al 1200 d.C., la lengua Matemática para el ser humano? internacional de la Matemática fue:

___________________________________ ___________________________________

___________________________________ ___________________________________ 12. R e s u m e b r e v e m e n t e l a l e c t u r a ¿Quién es considerado "Padre del Álgeanterior: bra"?

___________________________________ ___________________________________

___________________________________ ___________________________________

___________________________________ ¿Sobre qué materias escribió Al - Khwarizmi?

___________________________________ ___________________________________

___________________________________ ______________________________

___________________________________ ¿De dónde se deriva la palabra

___________________________________ ÁLGEBRA?

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Simbología Algebraica SÍMBOLO x; •; ( )

÷; :; –

SIGNIFICADO Operadores de la multiplicación.

Operadores de la división.

Operador radical.

( ); [ ]; { }

Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente.

M(x;y) = 2xy2

Monomio de variables "x" e "y".

P(x) = x2 + 2x + 1

Polinomio de variable "x".

x

Variable, es decir, letra que puede tomar varios valores.

∀

Para todo.

≠

Diferente.

¡Listos, a trabajar!

Utilizamos los operadores de multiplicación y división en los siguientes ejemplos: *

La multiplicación de 3 por 8

se escribe:

*

3 × 8 = 24

La división de 14 entre 2 se escribe:

3 . 8 = 24

(3) (8) = 24

1.

Completa según los ejemplos anteriores:

I.

La multiplicación de 5 por 7

se escribe:

A.

14 ÷ 2 = 7 14 : 2 = 7 14 =7 2

La división de 35 entre 5

_______ = _______

se escribe:

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

II.

La multiplicación de 9 por 8

se escribe:

B.

La división de 48 entre 6

_______ = _______

se escribe:

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

III.

La multiplicación de 6 por 9

se escribe:

C.

La división de 63 entre 7

_______ = _______

se escribe:

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

2.

Completa según los ejemplos:

•

M(x;y;z) = 3x6y5z4a

•

Las variables son: x; y; z

Las variables son: x; y

El coeficiente es: 3a

R(a;b;c) = 7a6b9c7

I.

P(x;y) = –7x6y5

El coeficiente es : -7 II. Q(m;n;p) = –4m7n3p2

Las variables son: _______

Las variables son: _______

El coeficiente es : _______

El coeficiente es : _______

III. F(x;y) = 31x4y8a

IV.

S(x;y) = 2abx9y12

Las variables son: _______

Las variables son: _______

El coeficiente es : _______

El coeficiente es : _______

V. P(y) = 7y7 + ay6

VI.

R(z) = bz9 + 7z5 – 3z

Las variables son: _______

Las variables son: _______

Los coeficientes son: _______

Los coeficientes son: _______

⇒

Diviértete completando el siguiente cruciálgebra:

1.

El Álgebra, la Aritmética y la Geometría forman parte de la ...

2.

Es una parte de la matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.

3.

El padre del Álgebra es ...

4.

Matemático griego, autor de "Aritméticas".

5.

Niccolo Fontana era llamado ...

3

2

5

4

1

Demuestra lo aprendido 1.

Completa utilizando operadores matemáticos, según sea el caso:

I.

La multiplicación de 8 por 10

se escribe:

II.

_______ = _______

La división de 100 entre 20 se escribe: _______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

III.

La multiplicación de 9 por 12

se escribe:

IV.

_______ = _______

La división de 49 entre 7 se escribe: _______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

_______ = _______

2.

Completa:

I.

A(x;y) = 3x2y

Las variables son: _________

Las variables son: _________

El coeficiente es: _________

El coeficiente es : _________

III.

I(x;y;w) = –

Las variables son: _________

Las variables son: _________

El coeficiente es: _________

El coeficiente es : _________

V.

N(x) = 5x2 + 7x - 1

A(a;b;c) = 15a2b + 7abc + 8ac2

Las variables son: _________

Las variables son: _________

El coeficiente es: _________

El coeficiente es : _________

1 4 6 7 xyw 2

II.

IV.

VI.

R(a;b;c) = –7a4b5c6

A(x;y;z) = 14x + 15y + 7z

Desafío 1.

Dado el polinomio:

C(x;y;z) = 8x2y + 5xy2z3 - 10y3z - 3z3

señala la suma de sus coeficientes.

Expresiones algebraicas Se llama expresión algebraica a aquella en la cual las variables (letras) y constantes (números) están relacionados por las operaciones de adición ( + ), sustracción ( – ), multiplicación ( • , × , ( ) ) y división ( : , ÷ , / ).

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la unidad de la expresión algebraica, está conformado por números y letras relacionadas por signos operativos de multiplicación, división, potenciación y radicación.

•

Partes de un término algebraico

Presenta dos partes: parte numérica y parte literal.

coeficiente

exponente

11 –7x PARTE NUMÉRICA

1.

Completa correctamente:

En: -5x9

variable PARTE LITERAL

En: 31z12

Parte numérica: _______

Parte numérica: _______

Parte literal: _______

Parte literal: _______

Variable: ________

Variable: ________

Exponente: ________

Exponente: ________

En: –43x4

En: +75x3/4

Parte numérica: _______

Parte numérica: _______

Parte literal: _______

Parte literal: _______

Variable: ________

Variable: ________

Exponente: ________

Exponente: ________

2.

Crea tu término algebraico:

y completa:

coeficiente: _______ Variable: ________

parte literal: _______

Exponente: ________

Notación de un término algebraico Es la representación simbólica de un término, la cual nos indica las variables de dicho término.

P(x) =

–4x3

M(x,y)

=

41x7y3

NOTACIÓN

NOTACIÓN

* Se lee "P" de "x"

* Se lee "M" de "x" e "y"

* Variable: x

* Variable: x,y

¡Listos, a trabajar...!

1.

Completa:

•

R(x,y,z) = ax7y3z4

variables: _____________

•

Q(m;n) = a2b3m17n16

variables: _____________

•

R(x;y) = –4x6y11

•

•

F(a,b) = 45a7b2 variables: _____________

N(c;x) = 2m3c4x7

Parte literal: __________

Parte numérica: __________

Variable: __________

Exponente: __________

variables: _____________

Diviértete completando el siguiente cruciálgebra:

Dado el término algebraico: B

3x2y3

A

C

Son signos de agrupación o colección:

D

→ ___________________________

E

→ ___________________________ B D C

A

E

Clasificación de términos algebraicos El término algebraico se clasifica en: 1.

Término racional

Cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros y pueden ser:

a. Término Racional Entero

Cuando todos los exponentes de sus variables son enteros no negativos.

b. Término Racional Fraccionario

Cuando al menos un exponente de sus variables es entero negativo.

2.

Término irracional

Cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario.

¡Listos, a trabajar...!

•

P(x;y) = 4x4y3

⇒

_________________________________________________

•

F(x;y;z) = 3x9y6z–2

⇒

_________________________________________________

•

R(x;y) = –4x1/3y–3

⇒

_________________________________________________

•

A(a;b) =

4 3 –5 4 3 x y a b 3

⇒

_________________________________________________

•

B(m;n) =

3 x 2m n

⇒

_________________________________________________

3

–2 4

Demuestra lo aprendido 1.

En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señala con un círculo su respectiva parte literal.

•

•

2.

En las siguientes expresiones algebraicas, señala con un círculo cuáles son los exponentes de cada una de sus variables.

•

x2

•

•

5x4z5

•

•

100x15z

3.

En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes:

Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2

•

2x

•

4y2

•

5xy

•

7x5y6

4.

En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes.

Ejemplo: x2y3 = x.x.y.y.y

•

x3

•

x2y4

•

x5y2z

•

83x4y3

x2y

•

5 x3y4z5 8

•

3xy2z3

•

5z8

400 x 100

y3 3 8 z 5

•

x3y4

•

7xyz2

Desafío 1.

Da el menor valor que puede tomar "a", si la expresión:

P(x;y) = x y + x

es un polinomio.

7

8

a –2 3

y

a –1 y

+ xy 7

Términos semejantes I.

Completa lo siguiente:

1.

El __________________ es una de las partes de la Matemática que estudia las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.

2.

Las ___________________ se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

3.

____________________________, son aquellos que tienen la misma parte literal.

4.

Son ____________________________ o signos de _________________________ los corchetes, ______________________ y ________________________.

Términos semejantes Son aquellos que presentan la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

Son los únicos que se pueden sumar o restar.

Ejemplos:

1 2 3 4 a b x ; –8a2b3x4 2

a.

4a2b3x4 ; –6a2b3x4 ;

b.

6x2m4 ; 5m4x2 ; –

c.

7x3 ; x3 ; –7x3 ; –5x3 ; 6x3

d.

5x ; –9x ; 17x ;

1 4 2 m x 3

3x

Reducción de términos semejantes Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un solo término; mediante la adición o sustracción.

Ejemplos: a)

2a + 5a = 7a

b)

8b - 3b = 5b

c)

5x2 – 2x2 = 3x2

Recuerda: *

Cantidades del mismo signo se suman y se pone el mismo signo.

Ej.: –7 –4 = –11

*

Cantidades de signos contrarios se restan y se pone el signo del mayor.

Ej.: –9 +7 = –2

¡Listos, a trabajar...!

I.

Reduce los siguientes términos semejantes:

1)

5x – 2x – 10x + 3x – 6x

2)

–15m + 7m – 4m + 10m – m

3)

–8y2 – 3y2 – 2y2 – y2 – 10y2

4)

14xy + 14xy + 7xy + 2xy

5)

–16x3 – 3x3 – x3 – 2x3 – 100x3

Reducción de términos semejantes suprimiendo signos de agrupación -

Se suprimen sucesivamente dichos signos empezando de preferencia por el signo de agrupación más interno.

-

En una expresión, al suprimir signos de agrupación precedidos del signo más (+), deberá escribirse con su mismo signo cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.

-

E n u n a e x p re s i ó n , a l s u p r i m i r s i g n o s d e a g r u p a c i ó n p re c e d i d o s d e l s i g n o menos (-), deberá escribirse con signo cambiado cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.

Ejemplos:

a. 3x + (4x + 6x)

b.

3x + 10x 13x

–2m – [3m + 4m – (6m + 8m) – 4m + m]

c.

–2m – [3m + 4m – 6m – 8m – 4m + m]

–2m – 3m – 4m + 6m + 8m + 4m – m

8m

3m – (6m – 4m) + 2m 3m – 6m + 4m + 2m 3m

¡Listos, a trabajar!

1.

Reduce los siguientes términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación.

a. 3x + (2x + 5x)

b. 4m – (3y – 10m)

c.

d. –[3x – 2x + x] + 4x – x + (2x – x + 4x)

e. –m3 + 3x4 – [3x4 + 8m3]

f.

g. (–m + 3n) – {–n + 4m}

h. –3z – [–2z + 8z] + [8x – 5m + 9z] – 15x

i.

8a2 + {5a + 6p3} – (4a2 – 8a) – [9p3 + 5a2]

j.

– {[3a + 6x – (2m – 5x)] – [5z – 8m + 6a – (7x – 6m)]}

–2a – (3a + 2a – a) + 8a

–4y3 – {7a3 + [–5x4 – (7y3 – 9a3 – 12x4) – 8m2] + y3}

Diviértete completando el siguiente cruciálgebra: 1.

Es una de las partes de la Matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.

2.

Las ............ se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas.

3.

Términos .........., son aquellos que tienen la misma parte literal, afectada de los mismos exponentes.

4.

Son signos de colección o agrupación:

a) ______________________

b) ______________________

c) ______________________

1

4c

2

4a

3

4b

Demuestra lo aprendido 1.

Reduce los siguientes términos semejantes:

a) b6 + 5b6 + 2b6 – 5b6 – b6

b)

7xy3 + 18xy3 – 10xy3 – 7xy3

c) 33ab – 17ab – 8ab – 33ab + 5ab

d)

8z4 + 2z4 + 6z4 – 8z4 – 13z4 + z4

2.

Reduce los términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación:

a) 10x – (5x + 2x)

b) 14x2y + (25x2y – 12x2y)

c) (–15m + 7n) – (3n – 20m)

d) 15a2 + (7a – 8a2) – (4a2 + 8a) – (–10a2 – 10a)

e) – { – [ – (–20ab + 15ab)]}

f ) 10x2 – {5x2 – [–3x2 – (8x2 – 9x2)] – 15x2}

Desafío 1.

Si los términos:

t1(x;y) = 8x2a+1y7

t2(x;y) = –15x15y3b–2

son semejantes, halla "a + b"

Reducción de términos semejantes con coeficiente entero Recordemos la adición de números enteros.

Observa: • (+1) + (+2) = +3

(+) + (+)

• (–4) + (–3) = –7

(–) + (–)

• (+7) + (–2) = +5

(+) + (–)

• (–4) + (+1) = –3

(–) + (+)

SUMA ⇒ Se coloca el mismo signo.

SUMA ⇒ Se coloca el signo del número mayor.

Camino a casa

Ayuda a nuestro amigo "Pingüis" a encontrar el camino de llegada a su casa y colorearlo. Para esto, tendrás que sumar los números y seguir operando sobre el número que en ese momento hayas obtenido.

6

–7

2 +7 –9

+3

+1

–1 +12

–10

–4

+5

–5 6

–1

Ahora observa los siguientes ejemplos: •

(+3x) + (+2x)

= [(+3) + (+2)]x

= +5x

•

(–4y) + (–6y)

= [(–4) + (–6)]y

= –10y

•

(10x) + (–3x)

= [(10) + (–3)]x

= 7x

•

(–20y) + (12y)

= [(–20) + (12)]y = –8y

–15

¡Listos, a trabajar!

I.

Con ayuda de tu profesora resuelve los siguientes ejercicios:

(3x) + (–2y) + (–4y) + (+10x) 1.

(3x) + (+10x) + (+2y) + (–4y) (+13x)

+ (–6y)

Recuerda: 1º

Reconocer los términos semejantes.

2º

Reducir los términos teniendo en cuenta los signos.

2.

(–10z) + (4y2) + (6y2) + (–8y2)

3.

(5z) + (–12z) + (3y) + (4y)

4.

(–4ab2) + (–6a) + (+12ab2) + (+8a) + (3b)

5.

(13m) + (–2n) + (–13m) + (–10n)

¡A jugar con el dominó algebraico!

Para jugar y aprender sigue los siguientes pasos: ⇒

Recorta cada pieza del dominó algebraico.

⇒

Realiza tus operaciones en la cara indicada de la siguiente hoja.

⇒

Cuando ya hayas obtenido los resultados, arma en forma de número con las piezas del dominó. ¿Qué número formaste?

⇒

Pega cada pieza en la hoja indicada.

–2x – 14y

–7x2 – 2y

y

INICIO

(–x3) + 7y2

+3xy

(–6x2) + (2y)

(–3xy) + (6xy)

(4z) + (+2xy) + (–4z) + (xy) (3x 2 ) + (–2y) + (–10x2)

(6x2) + (–y) +

(–2x 3 ) + (y 2 ) + (6y2) + x3

(3x) + (–6x) + (–4y) + (10y) + x

RECort indica a como te la prof esora

Dominó algebraico •

Resuelve aquí tus operaciones para que puedas armar tu dominó algebraico:

•

¡Ahora intenta formar con las piezas la forma de un número y pégalo!

¿Qué número formaste?

Rpta.: ____________________

Demuestra lo aprendido I.

En tu cuaderno, reduce los siguientes términos semejantes:

a) (–4z2) + (+6yx) + (–10xy) + (20z)

b) (10x3) + (–100x3) + y + (–8y)

c) (3ab) + (–8ba) + 3a

d) (6x) + (10y) + 4z + (–10y)

e) (5m) + –4n + (–12m) + 4n

II. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y halla las respuestas en la "sopa algebraica":

a) (–3x) + (–2x) + (3y) + (–10y)

b) (6xy2) + (–4xy2) + x2y + 1

c) (6y2) + 4y2 + (–12y2) + y2 – 6

d) 4xy + –3x + 8x + 3y2 – 2y2

e) 80x + –60y + –72x + 50y – 3

–3x

4y3

–10

y2x

–3

–7y

2xy2

x2y

1

–10y

–8x

–6

–6

y2

8x

y4

–y2

+6

5x

0

–5x

–8

x2

y2

–7y

–14y

6x

7y

5x

y3

1

–1y

0

4xy

1

x

Desafío 1. Halla la suma de coeficientes de la siguiente expresión (después de reducirla):

(–4x2) + (5xy) + (–12x2) + (–6xy) + y

Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario Observación: Para reducir términos semejantes con coeficiente fraccionario tenemos que recordar cómo resolver las operaciones básicas con fracciones.

Adición y Sustracción de fracciones A.

Fracciones homogéneas

•

1

•

7 2 5 – = =1 5 5 5

B.

Fracciones heterogéneas

1 3 3 7 10 +2 = + = =5 2 2 2 2 2

MÉTODO 1 •

3 +4 4 5 3.5 + 4.4 4.5

MÉTODO 2 3 4 + • 4 5 3.5 4.4

+ 4.5 5.4

15 + 16 20

31 20

15 16 + 20 20 31 20

Estos tres métodos estudiados, también te ayudarán a resolver las fracciones heterogéneas.

MÉTODO 3 •

3 4 + 4 5 5.3 + 4.4 20 15 + 16 20 31 20

4

–

5

2

2

–

5

2

1

–

5

5

1

–

1

MCM (4;5) = 22.5 MCM (4;5) = 20

Recuerda como se resuelven las operaciones de multiplicación y división de fracciones:

•

•

3 4 7 2

•

3.1 1 1 = = 4.6 6 8

•

1

2

•

3 7x3 21 = = 2 2x2 4

2

1

7 14 7 ÷ = 6 12 6

•

•

12 = 1 14 1 2

•

2 =1 2

1 3 1 4 3 ÷ = 3 = 1•9 = 3 9 4 4 3•4 9

¡Listos, a trabajar!

•

Resuelve los siguientes ejercicios:

1.

2   13 1   1 2    13 4x2    3   13 8   – –  x =  x + x  +  x – 4x  =  +  x  +   x  =  x  +  4   2 4   4 4    2 1x2    4   2 2  

13 3  5  3 5 3 5  3 5x2   3 10  x  x +  x =  +  x =  +  x =  + x =  + x = 4 4  2  4 2 4 2  4 2x2  4 4 

2.

1  1 1  1  x + x +  x – x 3  2 3  2

3.

1  2 3  3  y + y+ y – y 3  3 5  5

4.

 7  9  2  9.1 7  9  2  9 7  9  2  2 9  2  2 9  2 2 2 1– 9  . 7  x =  9.1 – 9  . 2  x =  9 – 9  . 2  x =  9 . 2  x =  9 . 2  x = 1.x = x             

5.

 2 1 1  7   5 . 3 + 2  ÷ 30  b   

6.

3  1  1 3 m – 2 m + 5 m 4  4  3

7.

  1 4  9 1    2 1   +  ÷   a –  –  a 4 4   3 3  5 2  

8.

1  5 1  n + n ÷ n 3  6 2

9.

3 5  +  a + 4a 4 4

2   10  3 10.  m + m  .  m  10   8  5

¡Arma y pega aquí tu algexágono!

1.

En la siguiente página encontrarás las piezas para armar la figura.

y2

 2 18 x 2  ÷ 5   4 – 5   

2

1x

3 1a  7 –  1a 1 2 + a  3  

5 t   3t – 7   t– 5 t  + 2  4     t +  2t – 7   2  

30 42 7 0 x2

t2

2

2 y 1  . 3    2 – 2   

2 13 42 a  2 x2  2  x + 7  – 4 2 x2   2 + 3 3 x  5 

15 t 4

Reduce las siguientes operaciones y arma el correctamente el exágono.

 1 1 1  . .  1   4 2 3  ÷  t 2 24 

2.

RECort indica a como te la prof esora

Demuestra lo aprendido Resuelve:

1.

1  n n 1  n + n – –  6  3 6 3

2.

 x 3x   x 5x   – + +   2 10   2 10 

3.

 2 3   3 3   4  3 ÷ 9  ÷  5 ÷ 7   y    

4.

2   3 4   1 3 x – 2 x + 4 x – 3 x 5   5 5   5

5.

 1 1  1 1   2  2 + 3  3 + 4   y   

6.

 1 1  1  2  +  ÷  m  7 5  3 

7.

 1 1   p p   4 p + 3 p  –  3 – 4      

8.

 2 1  1   9 + 7  ÷ 2  m   

Desafío Reduce la siguiente expresión algebraica:  1 5  4   1 2 ∈ E =  ÷  1–  x – ( –4 + 3 – 5 ) x +  –  x 4 8 5 5 3 4











4

1  –  –6 +  x 2 

Repaso Reducción de términos semejantes con coeficiente entero Recuerda: a)

(+8) + (+12) = +20

b)

(–6) + (–9) = –15

c)

(–24) + (+15) = –9

d)

(32) + (–10) = 22

¡Listos, a trabajar!

Reduce los siguientes términos semejantes:

1. (150x – 5x) – {14x + (9x – 6x + 3x)}

2. [30 ÷ {(15 – 6) ÷ 3 + (18 – 3) ÷ 5}]m

3. (7a + 9a + 4a) + 25a – 3a

4. [(30 – 20) ÷ 2]y + {[(6 + 5) + 3 + (40 – 15)] ÷ (9 – 6)}y

5. 500p – {6p + [(14p – 6p) – (7p – 2p) + (4p – p)]}

6. 60y + [(4y + 2y) – 5y]

7. {(55 ÷ 11)m + (66 ÷ 11)m + (77 ÷ 11 – 11)m}

8. [(30 – 20) ÷ 2]a + [(6 × 5) ÷ 3]a + [(40 – 25) ÷ (9 – 6)]a

9. {(15 + (8 – 3) – 7] ÷ [(8 – 2) ÷ 3 + 11]}x

10. [a + b + (2a – 3b)] + [5b – 4a – (3b – 7a)]

Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario Recuerda: a)

8 3 8 + 3 11 + = = 15 15 15 15

b)

6 5 42 + 15 57 + = = 3 7 21 21

¡Listos, a trabajar!

Reduce los siguientes términos semejantes:

1.

3  6 2  9  x + x +  x – x 4  4 4  4

2.

8   1 3   32  m + m – 2 – m 7   7 7   7

3.

7   1 3  18  a – a  + 3 – 2  5   5 5  7

4.

3   1 1  2 5 x – 3 x ÷ 3 + 2  9   9 9  9

5.

30  4  6 y+2 12 y – 7  7  7

6.

1  1 1  1  m – m +  m + m 5  5 4  4

7.

1  1 1  1  x + x –  x – m 6  5 6  5

8.

 2 1  1   9 + 7  ÷ 2  a   

9.

1  1 1  1 1  1  y – y+ y – y+ y – y 5  2 4  2 3  2

1 1  7 10.  2 x +  + x 3 2  3

Demuestra lo aprendido Reduce los siguientes términos semejantes:

1. –4y3 – [2y3 + y3 + (3y3 – 4y3)]

2. 4a + (7a – a + 5a)

3. -3z – {–2x + 8z} + [8x – 5m + 9z] – 15x

4. +10x – 20x + [3x5 – 10x + 3x5] – 6x5 + 20x

5. {10a2 – 3a + 1 – (5a2 – a – 4)} – {5a2 – 1 + a2 – [(6a2 – a + 1]}

6.

1 3 8 3 6 3 10 3 x + x + x – x 12 12 12 12

7.

2  3 4  x – x + 2 x 5  5 5

8.

3   1 2   2 4 a + a  + 8 a + a  7   7 7   7

9.

 3 2  2   2 + 6  ÷ 3  x   

 1 2  2 1  10.  7 + 4  ÷  5 – 2   m 3  4 3   2

Desafío 1.

En la siguiente expresión se tienen tres términos semejantes: 5xa+b+ 3x3 – 7xb+1

al reducir a un solo término se obtiene: _____

2.

Une los puntos: De un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz o bolígrafo, une 9 puntos como los de la figura con 4 líneas rectas.

Propiedades de la potenciación I La potenciación es una multiplicación de un mismo número, una cantidad limitada de veces.

DEFINICIÓN am = a . a . a . . . a

; m ≥ 1; m ∈ N

"m" factores

El resultado: am se denomina potencia, en donde:

a = base

m = exponente

Ejemplos: a)

35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243

b)

43 = 4 . 4 . 4 = 64

c)

25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

d)

63 = _______________________

e)

53 = _______________________

f )

104 = _______________________

Expresa simbólicamente los siguientes enunciados: •

Seis elevado al cuadrado:

___________________

•

Ocho elevado al cuadrado:

___________________

•

"x" elevado al cuadrado:

___________________

•

Cuatro elevado al cubo:

___________________

•

Cinco elevado al cubo:

___________________

•

Nueve elevado al cubo:

___________________

•

Tres elevado a la cinco:

___________________

•

Cinco elevado a la seis:

___________________

•

"x" elevado a la cuatro:

___________________

EXPONENTE NULO a0 = 1 ; ∀ a ≠ 0

Ejemplos:

*

(5x)0 = 1

*

(2

*

8 3  x  = 1 9 

2a

)

0

= 1

*

(1023x4)0 = ____________

*

(

*

(259y5)0 = ____________

0

4x

)

0

= ____________

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am . an = am+n

Ejemplos:

*

43 . 42 = 45

*

a4 . a3 . a = _________

*

x9 . x3 = x12

*

p4 . p5 . p6 = _________

*

m6 . m7 . m2 = m15

*

z5 . z5 . z4 = _________

*

y4 . y7 . y3 = _________

*

b3 . b10 . b . b5 = _________

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am am

=a

m–n

;a≠0

Ejemplos:

*

78 = 72 6 7

*

m13 = m3 10 m

*

y6 = y2 4 y

*

a 16 = ___________________ a 12

*

x5 = ___________________ x4

*

b9 = ___________________ b3

¡Listos, a trabajar!

1.

Resuelve los siguientes ejercicios:

a)

(4

c)

0 7  P =  x  + ( 2x ) – 3 

2.

Reduce:

3x

)

0

+ (7x ) – ( 3m ) + 4 0

0

G=

0

(

)

0

4x

b)

M = ( y 5 ) + ( 8a ) + (12x )

d)

R = (79x

b)

G = a.a.a.a...a  =

Expresa como potencia cada caso:

a)

G = m.m.m...m  = 18 fac tores

Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:

0 5 4 A =  y + ( 2y ) + ( y .y )  –

(

3

125a

O = 9x5 –

R=

) – ( 5m )

4 0

20 fac tores

4.

0

m 8 .m 4 .m 3 m 2 .m

3.

M=

0

)

0

(

3y

+ 2a 7 + ( a 3 .a 4 )

x9 .x6 x10

m7 .m 4 .m 6 m12 .m 5 .m 3 + m 2 .m 3 m8

)

0

3 0

0

1  +  x 2 

0

5.

Expresa como potencia:

a)

( 5m ) . ( 5m ) . ( 5m ) 2 ( 5m ) 4

3

( 2a ) . ( 2a ) 8 ( 2a ) 7

2

b)

4

( 2b ) . ( 2b ) . ( 2b ) + 7 ( 2b ) 8

Demuestra lo aprendido 1.

Reduce:

a)

2.

Expresa como potencia cada caso:

a)

(7x )

0

+ ( 2x4 ) – 0

(

)

0

16x

x.x.x....x   

b)

0 2 4 5 0  y  + ( 3m ) + (16a ) 9 

b)

b.b.b.b....b 

25 fac tores

13 fac tores

3.

Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:

a)

6 8 9 9 3 2 b) I = y .y .y + x .x .x y 5 .y 7 x5 .x6

0 B = m 8 + ( 2m ) – ( m 5 . m3 )   

( 3m ) . ( 3m ) . ( 3m ) E= 5 ( 3m ) . ( 3m ) 6

8

c)

d) N = ( 9a ) . ( 5a ) . ( 5a ) 5 2 ( 5a ) . ( 5a )

4.

Resuelve:

7

a)

x9 .x4 .x5 x7 + x12 x

4

2

3

b)

y 3 .y 9 .y .y 5 y 8 .y 7 .y 6 + y3 y 5 .y

Propiedades de la potenciación II Sabías que...

Las propiedades de la potencia son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia.

POTENCIA DE UN PRODUCTO Su regla de correspondencia es: n

n

n

(ab) = a .b

¡Ahora, hazlo tú!

•

(7.8)2 = 72.82 •

(5.9)3 =

•

(x.y)2 = x2.y2

•

(x.z)3 =

•

(3.z)3 = 33.z3

•

(2.x.y)2 =

POTENCIA DE UNA DIVISIÓN Su regla de correspondencia es:

a a

n

=

an an

¡Ahora, hazlo tú!

3

2

•

22 2 =

  32 3

•

x3  x =

y y3  

•

x2  x

=   82 8

•

5   = 7

•

 z y =  

•

 10    =  x 

3

2

2

3

POTENCIA DE POTENCIA Su regla de correspondencia es: m n

m.n

(a ) = a

¡Ahora, hazlo tú!

•

(52)3 = 52.3 = 56

•

(72)3 =

•

(x2)3 = x2.3 = x6

•

(y4)2 =

•

((y3)2)4 = y3.2.4 = y24

•

((x2)3)5 =

también:

•

( x .y )

•

( a .b

•

 x3  x3.2 x6 = =

 2 z2.2 z4 z 

•

 a5   3 = b 

2

3 2

= x2.2 .y 3.2 = x4 .y 6

3

.c 2 ) = 2

2

2

2

¡Listos, a trabajar!

1.

Simplifica las siguientes expresiones:

a) (2.3)2x – 42x

c)

–3(z3y2)3 – 10z9y6

b) 18(x3y2)2 + 3x6y4

d)

(3.x.y)3 – (4xy)3

2.

Simplifica las siguientes expresiones:

c)

1  3   x  x +  x –   2  2  2

d)

 6a 3b 2  6 3   + 3a b  2ab 

2

2

2

2  3  1   x +  x –  x 4  4  4 

a)

 3x + 2x   5x – x  b)   +  x   x  

2

3

2

3

3

3.

Simplifica las siguientes expresiones:

a) 3(x2)3 – 9(x3)2 + 3x6

b)

8 – ((x0)2)10 – 6((x2)5)0

d)

 3.x3   x3   3 2  + 3   2 .3   2 .3 

2

180(x6)2 – 150(x3)4 – 6x12

2

c)

4.

Colorea todas las fichas de modo que cada grupo tenga el mismo valor, usa diferente color para cada grupo.

x+x

x/x

0

2.x

x3

x.x

x÷x

x+1

x.0

x.1

x dividido por x

2x

x–x

x.2

x+2

x

2x –x

1

Demuestra lo aprendido Simplifica las siguientes expresiones:

a) (4.2)2x – 10x

b)

–5(a3b3)3 – 6a9b9

c) 6(x2y)2 + 7x4y2

d)

(7.x.z)2 – 40(xz)2

f )

 3x   2x   x    +  –   5   5  5

2

2

3

2

3

3

e)

 1x   7x   5x    +  –  3  3   3 

g)

 7x – 3x   2x + 5x  –  –  x   x  

h)

 125a 5b 4  – 20a 6b 4  2 2   5a b 

i)

(2x2)3 – 3(x3)2 + x6

j)

510((x3)3)0 – 220(((x4)5)0)6 – 5x0

l)

  x 3x 2  6 6   +   –12x – x  4 4  

2

2

3

k) 15(x3)4 – 3(x6)2 – 17x12

Desafío El número desconocido Sigue la clave: –

cifra en su lugar.

–

cifra descolocada.

–

cifra que no es del número desconocido.

•

•

Averigua el número desconocido:

9

3

8

8

7

4

0

8

5

El número desconocido es:

Repaso 1.

En cada uno de los siguientes casos, encuentra el valor de "a", si se sabe que son semejantes al primer término de cada lista.

a)

2.

Reduce los siguientes términos semejantes:

a) –x0 + 2x0 – 8 + 5

d) 2x2y3 + 5x2y3 – 10x2y3

b) +10x – 20x – 3x + 5x

e) +10xy2 – 20xy2 – 3xy2

c) –16x2 + 7x2 – 2x2 + 6x2

f ) –3z + 5z – 8z – 2z

3.

Reduce:

a)

1 3 5 x + x + x 2 2 2

d)

1 1 y– y 2 8

b)

3 2 1 2 x2 x + x – 5 5 5

e)

1 1 z– z 3 4

c)

7 3 4 3 5 3 x – x + x 3 3 3

f )

7 2 1 2 x + x 8 4

4.

Simplifica:

a) – 3x + 6x – [–2x + 5]}

d) +[–13x2 + 5y – 2x2] – [x2 + 3y – 7x2]

b) –{–3y + 5x – (–8y + 5x) – y}

e) –{–8a2 + 3b} + {5a2 – 3b} – {–a2 – b}

c) –(4z + 5x) + (3z + 10x)

f ) –{–4 + [5x – 6 + (–2 + 7x + 8x)]}

5.

Simplifica las siguientes expresiones:

a) –8(a2b2)3 – 3(a3b3)2

c)

b) (5.x.y)2 – (10.x.y)2

d) 18 + 3((x2)3)0 – 5

3x5 ;–3x2a +1;180xa

2

+1

a

b) –7x3 ; x9 ÷a ; x2

2

–5

 1   3x   x +   4   4 

2

Desafío Problemita de ajedrez y matemática El ajedrez es un juego muy antiguo. A lo largo de la historia los jugadores de ajedrez han ido inventándose distintos problemas que, además de ser divertidos, nos ayudan a entender mejor el juego.

¡Ojalá los disfrutes!

Una torre se mueve en el tablero de ajedrez siguiendo la fila o la columna en la que está.

Para que sea más fácil expresar el problemita, llamaremos a las casillas del tablero de la siguiente manera: 8 7 6 5 4 3 2 1 A

B

C

D

E

F

G

H

Así por ejemplo, esta torre está en la casilla D5.

¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla, empezando en la casilla A1 y terminando en la casilla H1?

Glosario -

IN

:

Símbolo que representa al Conjunto de Números Naturales.

-

ZZ

:

Símbolo que representa al Conjunto de Números Enteros.

-

Coeficiente

:

Elemento incluido en la parte numérica de una expresión algebraica. (número)

-

Variable

:

Letra del abecedario escrita en minúscula, que puede tomar varios valores.

-

Exponente

:

Número de veces en que se va a repetir la base (número o variable).

-

Monomio

:

Expresión algebraica de un solo término.

-

Polinomio

:

Expresión algebraica de 2 o más términos.

-

Numerador

:

Partes que se toma de la unidad.

-

Denominador

:

Partes en que se divide la unidad.

-

Fracciones Homogéneas

:

Aquellas que tienen igual denominador.

-

Fracciones Heterogéneas

:

Aquellas que tiene diferente denominador.

-

Factores

:

Elementos de la multiplicación.

-

Potencia

:

Es el resultado de multiplicar la base tantas veces como indica el exponente.

y=

2 x

+ ... +

à lgebra 6to grado – II Bimestre

3 x

Índice Índice

Pág

l

Radicación

75

l

Operaciones Combinadas

79

l

Monomios: Grado relativo y absoluto

83

l

Adición y sustracción algebraica de monomios

87

l

Polinomios: Grado relativo y absoluto – Homogeneidad

93

l

Valor numérico de un polinomio

99

l

Adición de polinomios con coeficiente entero

105

l

Adición de polinomios con coeficiente fraccionario

111

l

Repaso

115

Álgebra – 6to. grado

53

Radicación Raíz enésima de un número Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a". ∴ n a =×

si:

×n = a ; n ≥ 2

de donde: a = base o radicando n = índice × = raíz (número real) = operador radical

índice 4

81 = 3

raíz radicando

operador matemático radical La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81.

Ejemplos: *

3 125

=

5

→

53 = 125

*

3 27

=

3

→

debido a que:

33 = 27

*

4 16

=

2

→

debido a que:

24 = 16

*

5 32

=

2

→

debido a que:

25 = 32

*

10

1 024 =

2

→

debido a que:

210 = 1 024

196

14

→

debido a que:

142 = 196

*

=

1 2 16 =

⇒

2

16 = 4

"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobreentiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".

9

→

raíz cuadrada de 9

= _________

3 512

→

raíz cúbica de 512

= _________

5 3 125 →

raíz quinta de 3 125

= _________

PROPIEDADES

1.

Raíz de un producto:

n

•

Raíz de un cociente:

n

AB = n A . n B

2.

3 ( 8 )( 27 )

=

3 8 3 27

.

=

2.3

=

6

nA A = nB B

4 256 • 256 4 4 = 4 = 2 16 16

=

2

Exponente fraccionario: m n m ×n = ×

•

3 4 3 ×4 = ×

•

1 2 16 =

, m ∧ n ∈ IN, n ≥ 2

16 = 4

Álgebra – 6to. grado

•

•

1 3 1 83 = 8 = 3 8 = 2

50 100

3

100

= 3 50 = 32 = 9

55

2

Observación: n n

× =×

42 = 4

•

3 3

5

•

= 5

15 15

3

•

=3

¡Listos, a trabajar!

1.

Halla cada una de las raíces.

16 =

4 =

3 64

9 =

38

25 =

3 125

36 =

31

49 =

3 216

81 =

4 16

1 =

4 625

2.

5 32

100 =

3 3

2

=

=

5

5 = 5 =

4 (16 )( 81)

=

=

( 81)(121)

=

3 ( 8 )( 64 )

=

30 1

=

=

=

(16 )( 64 )

=

=

=

Representa cada raíz, usando el exponente fraccionario: 3 5

4

30 3

×

= =

27 = 5 7

× =

3.

Representa cada expresión mediante radicales:

1 27 =

56

=

2 3 5 =

1 5 9 =

3 77 =

Álgebra – 6to. grado

4.

Reduce:

A = 16 +

B = 3 125 + 3 64 + 5 32

C = 3 8 + 7 1 +

D=

E=

F=

G=

25 +

2

36

64

121– 16 4+ 9 5 32 + 6 64 + 4 81

9 + 25 –100 1

5 + 16 30 60

2

+

40 120

3

+

50 100

4

Demuestra lo aprendido Reduce cada una de las siguientes expresiones: 1. A = 225 + 196 + 169 6 64

+ 121 – 100

3.

C=

5.

3 6 E = 64 + 64 + 64

7.

G=

52 +

3 3

3

7

7 + 2

3 + 6 + 5 36

9.

I=

•

Desafío final:

Simplifica:

2 2  3 5 5  A = 32 –32     

2. B = 4 + 16 + 4. D =

81 – 121

36 + 64 + 100 196 – 144

6. F = 4 81 + 5 32 8. H = 10. J =

3 125 + 3 27 3 64 – 5 32

532 530

+

647 646

–

3100 397

1

Álgebra – 6to. grado

57

Operaciones combinadas POTENCIACIÓN – RADICACIÓN Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto, poseen la misma jerarquía.

Hay que respetar las siguientes reglas: 1º

Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación.

2º

Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando.

3º

Luego, se reducen las sumas y restas, respetando los signos.

4º

Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde las operaciones más internos hacia las más externas.

5º

Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.

Ejemplo: 5

E=

 33 – 121  7 7 2   + 4 +2  81 + 14 ÷ 2 

E=

 27 –11  9 +7  + 4 + 4  

E=

16  5 16  + 8 = 1 + 8

E = 1+ 8 = 9 = 3

⇒

5

5

¡Listos, a trabajar!

Reduce en tu cuaderno cada caso: 3 2

2 2 9 + 10 –8

1.

A=

2.

B = 122 + 5 2 + 102 –43

3.

C=

4.

D = 33 –42 + 25

5.

E=

3

242 + 72 – 32

3 7 3 + 4 6 4 + 5 35

53 –102

3 +2

6.

F=

7.

4 G = 3 729 –23 +

8.

H=

9.

I=

10. J =

2

2 – 9

(

) (

)

1 121

0

2

625 + 42 + 22 + 34

62 + 82 +

32 + 42

2 + 22 + 23 + 24 + 61

Álgebra – 6to. grado

59

2

2

Demuestra lo aprendido Reduce cada una de las siguientes expresiones: 4 3

2 2 4 + 10 –6

1.

A=

2.

B=

3.

2 C = 122 + 5 2 – 3

4.

D=

3 3

5.

E=

30 30 30

6.

F=

541 732 38 + – 5 40 731 37

7.

G= 4

8.

H=

9.

I=

10. J =

60

2

2 2 42 + 32 + 10 –8

7

4

5 + 7 7 + 44

527 523

5

0

+ 5 5 + (10 000 )

+4

 314 +  4 10 12  3 2 

216

   

32 + 42 + 02 38+

64

23 + 42 + 5 2 38 + 121

0

121 + 3 125 + 2 006 + 6 + 6 0 + 1

Álgebra – 6to. grado

Desafío

Simplifica:

A=

480 vec es   12 a .12 a .12 a ...12 a 3 a .3 a .3 a ...3 a

 30 vec es

Álgebra – 6to. grado

61

2

Monomios: Grado relativo y absoluto 1.

MONOMIOS

Un monomio es un polinomio de un solo término, donde los exponentes de sus variables son números naturales.

Ejemplo:

12x7y3 ; –3x4z ;

2.

3 8 2 x y 4 GRADOS DE UN MONOMIO

Cuando el monomio presenta dos o más variables, se consideran dos grados, que son:

a. Grado absoluto (GA)

Cuando se refiere a todas las variables y está dada por la suma de los exponentes de las variables.

b. Grado relativo (GR)

Cuando se refiere a una sola variable y está dado por el exponente de la variable indicada.

Ejemplo:

En: M(x;y) = 2x8y5

En: P(x;y;z) = 3ax4y6z9

GA = 8 + 5 = 13

GA = 4 + 6 + 9 = 19

GR(x) = 8

GR(x) = 4

GR(y) = 5

GR(y) = 6

GR(z) = 9

En: F(x;y) = –5x10y6

En: R(x;y;z) = 2a4xy3z6

GA = 10 + 6 = 16

GA = 1 + 3 + 6 = 10

GR(x) = 10

GR(x) = 1

GR(y) = 6

GR(y) = 3

GR(z) = 6

Observación: Si el monomio presenta una sola variable el grado absoluto y el grado relativo son iguales.

M(x) = 3x8

P(x) = –12x5

GA = 8

GA = 5

GR(x) = 8

GR(x) = 5

¡Listos, a trabajar!

1.

D a d o s l o s s i g u i e n t e s m o n o m i o s , 4. determina el valor pedido:

a. M(x) = 3x7 GA = ______

3 6 b. P(x;y) = –4x y GA = ______

c.

d. J(x;y;z) = 15x2y8z3 GA = ______

Q(x;y) =

3 8 4 x y 2

GA = ______

2.

Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:

a. M(x) = 13x5

b. P(x;y) = –4x2y7

c.

R(x;y) = 2x3(y4)2

GR(x) = ______ GR(x) = ______

Halla "a" si el G.A. en: P(x;y) = 7xa+3 y7 es 16 Rpta.: ________

5.

Para el siguiente monomio:

A(x;y) = xa+1ya–1

halla "a" si el GA = 12 Rpta.: ________

6.

Si en el siguiente monomio:

P(a;b) = 5anb3n

halla "n" si el GA = 20

GR(y) = ______

Rpta.: ________

GR(x) = ______

7.

Si en el siguiente monomio:

GR(y) = ______

P(a;b) = 2a5bn+3

se sabe que GA = 12, calcula GR(b)

3.

Para el siguiente monomio:

Q(x;y) = –5x3a+1y2a+1

se sabe que GR (y) = 11, determina el valor de "a".

Rpta.: ________ 8.

Para el siguiente monomio:

Q(x;y) = xnyn+5

Rpta.: ________

se cumple que: GA = 9, calcula GR(x) Rpta.: ________

Álgebra – 6to. grado

63

2

2

9.

Para el siguiente monomio:

Q(x;y) = 2xa+1yb+6

se cumple que: GR(x) = 5; GR(y) = 8, calcula "a.b".

Rpta.: ________

10. Calcula el grado absoluto del siguiente monomio:

M(x;y) =

2 10–m m+2 x y 3

Rpta.: ________

Demuestra lo aprendido 1.

Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:

a) M(x) = –5x9

GA = ___________________________

b) P(x,y) = 7x9y10

GA = ___________________________

c) Q(x,y) = 8x2y3z9

GA = ___________________________

d) R(x,y,z) =

2.

Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:

a) M(x) = –3x10

GR(x) = ___________________________

b) P(x,y) = –7x8y7

GR(x) = ___________________________

c) Q(x,y) =

7 8 5 4 x y z 4

8 9 3 4 x y z 3

GA = ___________________________

GR(x) = ___________________________

GR(y) = ___________________________

GR(z) = ___________________________

d) R (x,y,z) = 3x3(y4)2z

GR(x) = ___________________________

GR(y) = ___________________________

GR(z) = ___________________________

64

Álgebra – 6to. grado

3.

Si en el siguiente monomio:

P(a;b) = 5a2n+1bn

se sabe que: GA = 10, calcula: GR(b)

8.

Si: GR(z) = 4, determina el GA de M(x;y;z), si: M(x;y;z)

= –7xa+2y2az3a+1 Rpta.: ________

Rpta.: ________ 4.

Si: GR (y) = 5, determina el GA de M (x;y), si: M(x;y) = 2axa+6ya

9.

Rpta.: ________

Si: GR (x) = m + 2, determina el GA de M(x;y), si: M(x;y) = 2008x16ym–10 Rpta.: ________

5.

Si: GR(x) = 30, determina el GA de P(x;y), si: P(x;y) = x3aya+1 Rpta.: ________

10. Si: GR (y) = n + 5, determina el GA de M(x;y), si:

6.

Halla el grado del siguiente monomio:

M(x;y;z) = (x2y3)5z2

M(x;y) = 2a4xn+5ya Rpta.: ________

Rpta.: ________ 7.

Para el siguiente monomio:

P(x;y) = 2xn+1y4n+1

se cumple que: GA = 12. Calcula GR(x).

Rpta.: ________

Desafío

Halla el grado absoluto:

A(x,y) = 3 x4 y 2 7 x35 y 28

Álgebra – 6to. grado

65

2

Adición y sustracción algebraica de monomios *

ADICIÓN DE MONOMIOS

Para sumar dos o más monomios se escribe uno a continuación de otro, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes.

Ejemplo:

1.

Suma: 3a ; 8b y c

2.

Suma: 9a y –5b

3a = +3a ; 8b = +8b ; c = +1c

9a = +9a ; –5b = –5b

La suma será: 3a + 8b + c

La suma será: 9a –5b

¡Listos, a trabajar!

1.

*

SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS

Para restar dos monomios, primero se escribe el monomio minuendo con su respectivo signo y a continuación se escribe el monomio sustraendo, con el signo cambiado o inverso. Si son semejantes se reducen.

Ejemplo:

1.

Suma: 6x; 2y; 3x

Resta: 5x3 de 25x3

2.

2.

Suma: 5y; –4b; b; y

Resta: 12x2y – (5x2y)

25x3 – 5x3

12x2y – 5x2y

20x3

7x2y

3.

Resta: –4b de –10b

–10b – (–4b)

–10b + 4b

–6b

¡Listos, a trabajar!

1.

Resta: 6xy de 32xy

3.

Resta: –y de –21y

2.

3pq2 – (10pq2)

Demuestra lo aprendido 1.

Suma los monomios: 8m; +5n; 8n; +10m; y

2.

Suma: Q(x) + M(x) + N(x), si:

Q(x) = –5x2

M(x) = 6x2

N(x) = 10x2

3.

Suma los monomios:

E(x) = x2 + 2x2 + 3x2 + 4x2 + ... + 30x2

4.

Resta:

3x de –12x

5.

De 5p restarle –5p

6.

Resta 12a de 31a

7.

Efectúa:

–12xy2 – (15xy2)

8.

Si: A(x;y) = 5xy4

B(x;y) = –12xy4

C(x;y) = –7xy4

D(x;y) = +3xy4

Álgebra – 6to. grado

67

2

2

Halla el valor de :

a) N = A(x;y) + B(x;y)

b) M = A(x;y) + D(x;y) – C(x;y)

c) P = D(x;y) + C(x;y) + A(x;y)

d) Q = D(x;y) – B(x;y) – C(x;y) – A(x;y)

9.

Interpreta y efectúa correctamente:

a) Adicionar 8 veces "x" con 12 veces "x".

b) El número de pollos en una granja es de 12x 2 . Si se venden 2x 2 , se regalan 3x 2 y se mueren x2, ¿cuántos pollos quedan aún?

10. Recorta las fichas del dominó polinómico, resuelve y pega en tu cuaderno.

1

2 Halla el perímetro:

12x3

Halla el perímetro:

30x3

5x

3xy3 12xy3

6y

3

4

Suma M(x;y) = 5x2y3

–53x3

con N(x;y) = –10x2y3

Quita el triple de "x" al cubo a 15 veces "x" al cubo.

23xy3

5

–5x2y3

8xy3

6 Halla su perímetro si es un hexágono regular:

12y + 10x

Resta +33x3 de –20x3

5x3

68

Álgebra – 6to. grado

Desafío A 1.

Halla el polinomio: P(x;y) + Q (x;y) + R (x;y) + S (x;y)

Si:

P(x;y) = x3y

Q(x;y) = 5x3y

R(x;y) = –10x2y

S(x;y) = 30x2y

2.

Suma:

x1 008 + 2x1 008 + 3x1 008 + ... + 41x1 008

3.

Interpreta y efectúa:

a) Adiciona 8 veces "x" a la cuarta a 301 veces "x" a la cuarta.

b) Aumenta a 15 veces "p" al cubo, 6 veces al cubo y el triple de "p" al cubo.

c) A 15x2y3 agrégale –6x2y3 con 2b.

Álgebra – 6to. grado

69

2

Desafío B

2 Monograma •

Resuelve y completa el monograma:

Horizontal

Vertical

1. 5x2 – 10x2 + 2x2

1.

–12y + 9y

2. 52xy2 + 10xy2 – 20xy2

2.

Adiciona a 7m3; 8m3

4. 6xyz – 13xyz

3.

Aumenta a 7xyz; 10xyz

5. Halla el perímetro de: mx

3mx

y quítale –6xyz.

4.

2 2 6. –12x n + 7x n

Quítale 10 veces "x" al cubo a tres veces "x" al cubo.

7. –7xn – (–3xn)

5.

22xn + 32xn – 5nx

8. 21x2y – (–12x2y)

6.

–6x2 + 7x2 + 2x2

1

2

3 4 5

8 6

70

7

Álgebra – 6to. grado

Polinomios: Grado relativo y absoluto - Homogeneidad •

Recuerda:

Halla lo que se requiere conocer de cada figura plana:

b

8n

4y

a

Perímetro

Área

_____________

_____________

Área = a.b Perímetro = 2a + 2b

4y

2x 4y

6x

Perímetro

Área

_____________

_____________

Perímetro total

Área total

a

c

b

d

d .c 2 Perímetro = a + b + d

Área =

A partir de los ejemplos anteriores, podemos observar que hemos hallado algunas expresiones algebraicas, como por ejemplo:

a)

16n + 8y

Tiene 2 términos: _______ y _______.

b)

16n + 16y + 6x

Tiene ___ términos: _______, _______ y _______.

c)

32yn + 36x2

Tiene ___ términos: _______ y _______.

d)

32yn

Tiene ___ término: _______.

e)

36x2

Tiene ___ término: _______.

Recuerda: Una expresión algebraica con un término se llama MONOMIO.

Ejemplo:

a)

32yn

c)

________

b)

36x2

d)

________

POLINOMIO:

Un polinomio es una expresión algebraica con dos o más términos algebraicos, cuyos exponentes de sus variables son números enteros positivos incluido el cero.

Ejemplo:

a)

16n + 8y

d)

____________

3 términos.

b)

16n +16y + 6x

e)

____________

4 términos.

c)

32yn + 36x2

f )

____________

2 términos.

Grados de un polinomio: a)

Grado Relativo:

Está dado por el mayor exponente de cada una de las variables del polinomio.

b)

Grado Absoluto:

Está dado por el mayor grado absoluto de un término del polinomio.

Ejemplo:

a)

Dado el siguiente polinomio: 1er términ o

b)

P(x;y) =

 6x2 y 3

GA =

2do términ o

2+3=5

c)

2+4=6

Exponentes de la variable "x"=2 y 2 GR(x) = 2 Exponentes de la variable "y"=3 y 4 GR(y) = 4 El mayor GA es del segundo término: GA= 6 Dado el polinomio:

 P(x,y,z) = –6x21yz3 + GA =

   2 4 12x y

+

1er términ o

2

21+1+3=25

2do términ o

   3 2 6xz y

3er términ o

 – 13x10 y 3 z

1+3+2=6

10+3+1=14

Exponentes de la variable "x"=21; 1; 10 GR(x) = 21 Exponentes de la variable "y"=1; 2; 3 GR(y) = 3 Exponentes de la variable "z"=3; 3; 1 GR(z) = 3 El mayor GA es del primer término: GA = 25 Dado el siguiente polinomio, completa:

       2 3 4 P(m,n) = –13m n – 2n m + 40m10n6 GA =

__+__=__

Álgebra – 6to. grado

__+__=__

__+__=__

73

2

Exponentes de la variable "m"= __ , __ y __.

GR(m) = ___ Exponentes de la variable "n"= __ , __ y __.

GR(n) = ___ El mayor GA es del __ término.

GA = ___

Polinomio Homogéneo

Es aquel polinomio cuyos términos están constituidos por uno o más variables y cada término tiene el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

a)

Dado el polinomio: P(x,y) = 8x6 + 6x2y4 – 12y6 GA = 6

2+4=6

6

El polinomio P(x,y) es homogéneo de grado "6".

b)

Dado el siguiente polinomio, hallar (a + b)2, si P(x,y) es homogéneo.

P(x,y) = –6x3y2 + 3xay4 + ybx5 GA = 3+2 = 5

a+4 = 5

b+5 = 5

a = 1

b=0

(a + b)2 = (1 + 0)2 = 1

¡Listos, a trabajar!

1.

Indica el grado relativo de "x" en el siguiente polinomio:

P(x;y) = x6y + 8xy3 – 12xy

2.

Indica el grado relativo de "y" en el siguiente polinomio:

P(z;y) = z3 + y12 – 8xy7z4 – 16xy6

3.

Dado el polinomio: U(x;y;z) = 25x4y16 + 13x7y2z2 + 4xy2z5. Indicar el G.A.

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

4.

Sea: Q(x;y) = a+5 –7y2b

Si: GR(x) =6, GR(y) = 12; calcular "a+ b"

74

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________ Álgebra – 6to. grado

5.

Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x20y10 + x19y11 + x5ya + x4yb

Halla el valor de "a+b"

6.

Halla el GR(x) en el polinomio que tiene 2 006 términos:

A(x;y) = y + xy + xy2 + xy3 + xy4 + ...

7.

Encuentra el GA de P(x;y) = xn+4yn+5 + xn+1yn+7 ; n ∈ IN

si: GR(x) = 10

8.

Indica la suma de coeficientes del polinomio:

Q(x;y) = axa–2yb–3 + bxa+1yb , siendo: GR(x) = 10 y GA = 16

9.

Sea: P(x;y) = 4x2yb + 7x4y7 – 5x5y3; se sabe que: GR(y) = 11.

Determina el GA de P(x;y)

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

10. Si: GR(y) = 16 en el siguiente polinomio:

R (x;y) = 3x2aya+2 + 5x10ya+9. Halla el GR(x)

Ahora, busca las respuestas y colorea. Encontrarás una clave: 1

11

8 2

3

16

14

12

6

13

07

7

24

26

51 20

26

1

18

25

9

23

27

20

22

Rpta.: ______________

13

21 17

10

4 5

19

¿Cuál es la frase? ______________________________________________________

Álgebra – 6to. grado

75

2

¡Demuestra lo aprendido!

2

Resuelve los ejercicios, luego busca y pinta la frase secreta: 1.

Indica el GR(p) en el siguiente polinomio:

S(p;m) = –3p6 + 2p4m7 + 5p7m2

2.

Indica el GR(y) en:

Q(x;y) = 16x6y5 – 100x9y3 + 13xy6

3.

En S(x;y;z) = x9 + 12x7y4 – 3z8y5 + 7x11y3z7

Indica el valor de E = GA + GR(y) + GR(z)

4.

Dado el polinomio homogéneo: D(x;y) = 4x5ya + 7x7y4 + 3xby3 – xcy2 – 4xyd

Indica el valor de "a + b + c + d"

5.

Halla "2m+n", en el polinomio:

Q(x;y) = 13 xm+2 + 9xm+1yn+2 + 2xmyn+3

Si se cumple que: GR(y) = 8; GR(x) = 4

6.

Halla "m", si P(x) = 5mxm+1 –2xm+3 –xm+5

posee GA = 10

7.

Si: GR(x) = 35; en: P(x) = xm+30yn + xm+25y10–n

halla el GA si el exponente de "y"es el mismo en ambos términos.

8.

Si: P(a;b) =

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

a 8b 3 1 5 4 7 – a b + ab9, calcula GR(a) + GR(b) 3 2 5

9.

Si: "P(x)" tiene un GA = 36, halla "m ∈ IN"

P(x) = 0,5 (x5m+3)2 + 7,2 (xm+1)3

Rpta.: ______________

Rpta.: ______________

10. Si el polinomio es homogéneo:

P(x;y;z) = xm+4yn+6 + xm+20z15 + xn–1z32

halla: n–m

76

Rpta.: ______________ Álgebra – 6to. grado

Ahora encuentra la frase secreta y coloréala.

7

2 100

6 18 1

11

19

2 0

41

5

33

9

44

40 30

21

81

36

101

22 3

8

31

Responde la pregunta:

¿Qué significado tiene para ti este año en que realizas tu promoción?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Álgebra – 6to. grado

77

Valor numérico de un polinomio NOTACIÓN POLINÓMICA Le llamamos a una forma abreviada de representación de polinomios. Si "x" es la única variable de un polinomio, este puede ser representado así: P(x) Se lee: "P de x" o "P en x".

Significa: Polinomio cuya única variable es "x".

Por lo tanto: 1.

M(x;y) = –2x4y5

será un monomio de variables "x" e "y".

2.

P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3

será un monomio de variables "x", "y", "z".

Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio.

3.

P(x) = 3x4 + 2x3 – 2x2 + x – 7

será un polinomio de cinco términos, cuya variable es "x".

4.

P(x;y) = –x2 + y3x4 – 7x2y7

será un polinomio de tres términos cuyas variables son "x" e "y".

VALOR NUMÉRICO (V.N.) Se llama así al número que resulta de efectuar las operaciones indicadas en el polinomio o en cualquier expresión algebraica dada, al reemplazar valores dados a sus variables.

Ejemplo:

a.

Si: P(x) = 3x2 + 1; halla P(2)

Resolución:

Como:

P(x) = 3x2 + 1

entonces:

P(2) = 3(2)2 + 1

P(2) = 13

b.

Si: P(x;y) = –x2y + 3x; halla P(1;2)

Resolución:

Como:

P(x;y) = –x2y + 3x

entonces:

P(1;2) = –(1)2(2) + 3(1)

P(1;2) = 1

c.

Si: M(x) = 7b2x3; halla: M(5)

Resolución:

Como:

M(x) = 7b2x3

entonces:

M(5) = 7b2(5)3

2

M(5) = 875b2

¡Listos, a trabajar!

1.

Sean los polinomios:

P(x) = 2x2 – x + 1

Q(x) = x + 3

H(x) = 2x – 3x2

halla:

a)

P(2) =

b)

Q(–1) =

c)

H(2) =

d)

A = P(1) + Q(1)

e)

B = Q(6) – H(3)

Álgebra – 6to. grado

79

2

2.

Resuelve los siguientes ejercicios en el cuaderno:

a. Si: P(x) = 3x – 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)

b. Si: Q(x;y) = 2xy – y2, calcula: Q(3;2)

c.

d. Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy – y2

Sabiendo que: M(x) = 3x2 – x + 1 y N(x) = 5x – x2 + 3, calcula: M(3) + N(4)

calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(–1; –1)

e. Dado: H(x) = 3x – (x – 2)2; halla: H(4) – H(12)

f.

Para qué valor de "n" se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5) donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x – 5y

g. Calcula el valor de: E = P

 PP     (1)  

Si se conoce el polinomio: P(x) = 3x2 – x – 3

h. Calcula: M =

P 2 + P –1 ( ) ( ) P 0 –P1

( )

()

Sabiendo que: P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1

Si: F(x) = 3x3 + 2x2 – 1; calcula el valor de: F(5)

i.

Demuestra lo aprendido 1.

Sean los polinomios:

P(x) = 7x4 – 5x2 – 1

Q(x) = 3x3 + 5x

R(x) = 4x – 2

calcula:

a) P(2) =

80

b)

Q(3) =

Álgebra – 6to. grado

c) P(1) + R(1) =

d)

Q(2) – R(3)

2.

Si: F(x) = 5x – 3; calcula: F(3) + F(1)

3.

Si: P(x;y) = x2 + 2xy –1; calcula: P(3;4)

4.

Si: Q(x) = 3x2 – x – 3 calcula: Q(3;2)

5.

Si se sabe que: P(x) = 2x – 3; G(x) = 3x + 2 calcula: MP

6.

Dado: P(x) = 7x +(x + 2)2 – 6; halla: P(4) – P(2)

7.

Halla P(2) + P(0); sabiendo que: P(x) = 7x2 + 5x – 10

8.

Si: F(2x–5) = 3x2; halla el valor de: F(13)

9.

1 4 1 5  Halla el valor numérico de: P = 3  x + y  para: x=–2; y=–1 3  2

+ G( 2 )   (1) 

2

, donde M(x) = x

10. Calcula "PP  " ; si: P(x) = x2 – x + 1  (0 ) 

Álgebra – 6to. grado

81

Desafío

2 1.

Calcula el V.N. de "E" para: x=0,4

si: E =

2.

Criptosuma.

Cada símbolo representa un dígito diferente del 1 al 9. Se muestra el valor de la suma de los elementos de cada columna y cada fila. ¿Cuál es la suma de la diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha?

( 5x –1)3 + ( 5x –1)2 –1

Ω   

       16

82

27

28

16

20 18 23 26 ?

Álgebra – 6to. grado

Adición de polinomios con coeficiente entero Para sumar polinomios nos limitamos a reducir términos semejantes; para esto ponemos un polinomio bajo el otro o también un polinomio a continuación del otro.

1.

2.

3.

Suma: a + b ; 2a + 3b + 5c ; 4a – 2b + c (a + b)

+

(2a + 3b + 5c)

+

(4a – 2b + c)

a + b

a + b

+

2a + 3b + 5c

+

4a – 2b + c

2a + 3b + 5c

+

2b

+

6c

7a

ó

4a – 2b + c 7a + 2b + 6c

Suma: 2x3 + 5x ; 6x3 – 2x ; x3 – x (2x3 + 5x) + (6x3 – 2x) + (x3 – x)

2x3 + 5x

2x3 + 5x +

6x3 – 2x

6x3 – 2x

3

+

9x

+ x3 – x

ó

2x

x3 – x 9x3 + 2x

Suma: 3x2 + 8x + 1 ; 2x2 – 3x + 7 ; –x2 – 2x ; 4x2 – 3 (3x2 + 8x + 1) + (2x2 – 3x + 7) + (–x2 – 2x) + (4x2 – 3)

3x2 + 8x + 1

3x2 + 8x + 1

2x2 – 3x + 7

+ 2

8x

2x2 – 3x + 7

–

x2 – 2x

+

3x

+

+ 4x2 – 3

ó

5

4x2

Suma: 7x4 + 2x – 1 ; 3x4 + 6x + 4 y –10x4 – 8x + 2 (7x4 + 2x – 1)

+

(3x4 + 6x + 4)

+

(–10x4 – 8x + 2)

7x4 + 2x – 1

+

3x4 + 6x + 4

–

10x4 – 8x + 2

– 3

8x2 + 3x + 5

4.

–x2 – 2x

5

7x4 + 2x – 1 ó

3x4 + 6x + 4 –10x4 – 8x + 2

5

¡Listos, a trabajar!

1.

Considerando los siguientes polinomios:

A(x) = 3x2 – 5x + 2

B(x) = 4x3 + 3x2 + 2x – 5

C(x) = –4x + x3 + 3

D(x) = 2x4 + 5x2 – 7

calcula:

a)

B(x) + C(x)

b)

A(x) + D(x)

c)

B(x) + D(x)

d)

A(x) + C(x)

e)

A(x) + B(x) + C(x)

f )

B(x) + 2C(x)

g)

B(x) + 2C(x)

h)

2D(x) + C(x)

Álgebra – 6to. grado

85

2

2

i)

2.

Si: A = 4a + 3b – 2c + 6d

2A(x) + 5B(x)

j)

2C(x) + D(x) + A(x)

B = 5a – 2b + c – 4d

halla: 2A + 3B

3.

Dados los polinomios:

A = x2 + x + 1

B = x2 – x + 1

C = –x2 + 1

halla: A + B + 2C

4.

Suma:

3a + 5b + c ; 4a + 2b – c

Rpta.: ___________________________

5.

Suma:

p + q + r ; –2p – 6q + 3r ; p + 5q – 8r

Rpta.: ___________________________

86

Álgebra – 6to. grado

6.

Resuelve las siguientes adiciones de polinomios: a.

2

El resultado de sumar: 3x2 – 8x + 1 con el doble de: x2 + 4x + 2 es:

Rpta.: ___________________________

b.

¿Cuál será el resultado de sumar el triple de: a 2 – 4ab – b 2 con el doble de: a2 + 3ab + b2 Rpta.: ___________________________

7.

Si: P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 3

Q(x) = –2x3 – 4x2 – 4x + 2

determina el valor de:

A = 2P(x) + Q(x)

8.

Rpta.: ___________________________ Si: P(x) = 5 – 9x + 8x2 – 7x3 + 6x4

Q(x) = – 5x4 + 8x3 – 7x2 + 3x – 4

calcula: P(x) + Q(x)

9.

Rpta.: ___________________________ Si: P(x) = x2 + x+ 5

Q(x) = 5x2 + 2x – 3

R(x) = –3x3 – 4x + 1

calcula:

2P(x) + Q(x) + R(x)

Rpta.: ___________________________

10. Si: A(x) = 2x3 – x2 + 6x – 1

B(x) = x3 + x2 + 3x – 2

C(x) = –x3 + 5x2 + 4

calcula:

3A(x) + 4B(x) + 10C(x)

Álgebra – 6to. grado

Rpta.: ___________________________

87

Demuestra lo aprendido

2 1.

Dado los polinomios:

P(x) = 7x5 + 3x3 – x2 + 1

Q(x) = 8x3 + 5x2 + 9

R(x) = 9x4 + 2x2 – 5

calcula:

a)

P(x) + Q(x)

b)

Q(x) + R(x)

c)

P(x) + R(x)

d)

P(x) + 2R(x)

2.

Halla A + B sabiendo que:

A = 4x3 + 5x2 + x + 8

B = 3x2 + 6

3.

Dados los polinomios:

A = 3x4 + 8x2 + 2x3 + x + 6

B = 6x2 – x3 + 8 + 5x4

C = 9x4 – 7x2 + 13x + 4

halla: 2a + b + 3c

88

Álgebra – 6to. grado

4.

Suma:

10x2 – 7x4 + 6x3 + 9; 4x2 + 5x4 – 6x3 + 8; 10x3 – 4x4 + 5x2

5.

Suma:

a + b + c; –2a + 2b +3p + 5c; 7a + 4p – 3c

6.

Resuelve:

El doble de (3x2 + 5x + 10) más (7x2 – 6x – 2)

7.

Si: P(x) = 5x5 + 2x4 + 6x + 16

2

Q(x) = 10x4 + 2x3 + 5x + 4

determina el valor de: A = P(x) + 2Q(x)

8.

Dado los polinomios:

A = 3x4 + 2x2 + 6x3 + 8

B = 7x2 + 9x + 11 + 6x3

calcula: A + B

Desafío FIGURAS ORIENTALES •

¿Cuál de las siguientes figuras sobra en la serie?

A

Álgebra – 6to. grado

B

C

D

E

89

Adición de polinomios con coeficiente fraccionario Raíces de un polinomio Sabías que las raíces de un polinomio hace que este valga cero. En un plano cartesiano esto lo identificaremos con las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas). Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tiene como abscisa la raíz del polinomio graficado.

Función Polinominal

Raíces

Gráfica f(x) 15

10

f(x) = x2 + x – 12

5

–4 y 3

(–4;0) –4

(3;0) 0

–2

2

x

4

5

10

f(x) 6 4

(3;0)

2

3

2

f(x) = x – 4x + x + 6

–1; 2 y 3

0

(–1;0)

–2

2

4

4

x

(2;0)

–4 –6 –8

Ejemplo

1. Suma:

1 3 1 x + x2 + x3 y 2 4 5

3 3 2 x – x2 + x3 2 4 5

Resolución:

Se ordena los polinomios uno debajo de otro, haciendo corresponder los monomios semejantes.

1 x+ 2 3 x– 2

2

2 3 4 x + x2 + x3 4 5 2

3 2 1 3 x + x 4 5 3 2 2 3 x + x 4 5

También es resultado:

2. Halla P(x) + Q(x) si P(x) =

2x +

1 2 3 3 x + x 2 5

1 1 x + x2 y 6 5

Q(x) =

1 2 x + x2 4 3

Resolución:

Se procede como en el caso anterior, ubicando cada polinomio debajo del otro.

P(x) =

1 4 x + x2 6 5 1 2 Q(x) = x + x2 4 3  1 1 P(x) + Q(x) =  +  x + 6 4

 1 2  2 10 13 2 x+ x  + x = 24 15 5 3

¡Listos, a trabajar!

1.

Halla el resultado de:

a)

2.

1 3 1 2 1 x + x + x 3 2 2

b)

3 2 5 x + x 2 2

Suma:

1 2 5 x + x + x2 4 3 2 1 1 1 x + x + x2 8 4 2

3 5 1 2 3 x + x2 ; x + x2 – x2 7 8 4 7 8

Álgebra – 6to. grado

91

2

3.

Suma:

3 2 1 2 1 2 1 1 3 + x + x2 ; – x + x2; – x + x2 5 3 4 10 3 4 5 3 4

4.

Suma:

5 2 3 1 3 1 1 x + x + ; x2 – x – 8 2 3 4 2 3

5.

Si: P(x) =

R(x) =

1 3 3 1 x + x2 ; Q(x) = x + x2 2 4 7 2 2 3 1 1 2 1 1 + x + x3 ; S(x) = x3 + x2 + x + 5 8 5 4 4 8 5

halla:

a)

P(x) + Q(x)

d)

P(x) + R(x) + S(x)

b)

P(x) + R(x)

e)

Q(x) + S(x)

c)

R(x) + S(x)

Demuestra lo aprendido 1.

Halla el resultado de:

a)

1 3 1 2 1 x + x + x 3 3 3

2 2 5 x + x 3 3

2.

Suma:

2 5 1 2 1 + x ; – x + x2 6 3 2 3 4

3.

Suma:

2 –2 1 1 3 2 3 1 + x + x3 ; + x + x2 ; + x 9 9 5 3 9 10 2 5

4.

Suma:

2 3 1 2 3 –3 1 2 x + x + x; x – x2 – x3 5 3 2 5 2 3

5.

Si: F(x) =

92

b)

1 2 5 + x + x2 4 3 4 2 1 3 – x – x2 4 3 4

5 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 x + ; G(x) = x3 – ; H(x) = x + x2 + x3 ; I(x) = + x2 + x3 8 7 4 7 5 4 7 2 3 4 Álgebra – 6to. grado

halla:

a)

F(x) + G(x)

d)

F(x) + H(x) + I(x)

b)

F(x) + G(x) + H(x)

e)

G(x) + I(x)

c)

H(x) + I(x)

2

Desafío •

Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que para el primer caso las raíces aparecen representadas en el gráfico y en el segundo caso se recomienda elaborar una gráfica aproximada.

Función Polinominal

Raíces

Gráfica f(x) 6 4

(–1,0)

F(x)= x3 + 4x2 + 3x

–3

–2

–1

(–3,0)

2 0

x

–2 –4 –6 –8

F(x) F(x)= x3 – 2x2 – 5x + 6

Álgebra – 6to. grado

1; –2 y 3

x

93

Repaso POLINOMIOS

Sabías que... ...un polinomio es una suma de términos llamados monomios.

Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre "x "o "y") elevada a un exponente (entero positivo).

Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo: •

Monomio (un término): 5x2

En este caso el coeficiente es 5, la variable es x; y el exponente es 2.

•

Binomio (dos términos):

6x7 – 2

•

Trinomio (tres términos):

3x5 + 4x3 – x2

¡Listos, a trabajar!

1.

Resta:

a)

3x2 de 5x2

c)

–18x de 18x

b)

–7x3 de –19x3

d)

180x2 de – 300x2

2.

Si: A(x) = 16x ; B(x) = –15x ; C(x) = 13x

halla:

a)

b)

A (x) – B (x)

3.

El siguiente polinomio es homogéneo:

P(x;y) = 3xay3 + x3yb, indica el valor de: T = a . b

A(x) + B(x) + C(x)

P(1) – P( –1)

Calcula: L =

6.

Si: F(x) = 5x3 + 3x2 – 4x + 1; G(x) = –7x2 + 2x – 3 ; H(x) = 18 + 3x3

halla:

a)

7.

Si: M(x) =

halla:

a)

P(0 )

2

, sabiendo que: P(x) = x2 + 2x + 1

5.

F(x) + G(x)

b)

F(x) + G(x) +H(x)

1 3 1 1 4 3 1 3 + x + x2 ; N(x) = + x2 ; P(x) = + x + x2 2 2 5 3 5 4 4 5

M(x) + N(x)

b)

M(x) + N(x) + P(x)

Demuestra lo aprendido 1.

Resta:

a)

5x2y3 de –5x2y3

c)

–17x de – 200x

b)

13xy2 de 10xy2

d)

–150x2 de – 150x2

2.

Si: M(x) = 12x3 ; N(x) = – 36x3 ; S(x) = –9x3

halla:

a)

b)

M(x) – N(x) + S(x)

3.

Dado el polinomio homogéneo:

P(x;y) = x2 – y13 + 3x10ya + 7x7yb

Halla el valor de: R = a.b

4.

Si: P(x;y) = x3 – y3 , halla el valor numérico de: P(4;3) – P(6;5)

5.

Si: A(x) = –7 + 8x + 3x2 ; B(x) = –16 –8x + 7x2 ; C(x) = 16x + 30x2

halla:

a)

6.

Si: F(x) =

halla:

a)

M(x) + N(x) – S(x)

A(x) + B(x) + C(x)

b)

A(x) – B(x) – C(x)

b)

F(x) – G(x)

1 3 3 2 5 1 1 2 x + x + x ; G(x) = x3 – x2 – x 3 4 8 3 4 4

F(x) + G(x)

Álgebra – 6to. grado

95

Desafío

2 El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:

5x2

96

Es un polinomio de grado 2

6x7 – 2

Es de grado 7

3x5 + 4x3 – x2

Es de grado 5

2x4 – x3 – x2

¿De qué grado es?

2x4 + 4x2 – 19x

¿De qué grado es?

3x15 + x13 – x2

¿De qué grado es?

13

¿De qué grado es?

Álgebra – 6to. grado

2

y=

2 x

+ ... +

3 x

Álgebra 6to grado – III Bimestre Álgebra – 6to. grado

97

2

Índice Índice

Pág

l

Sustracción de polinomios

49

l

Multiplicación de un monomio por un polinomio

53

l

División de un polinomio entre un monomio

59

l

Resolución de ecuaciones con coeficiente entero

63

l

Resolución de ecuaciones con coeficiente fraccionario

67

l

Planteo de ecuaciones

71

l

Sistema de ecuaciones lineales

73

l

Repaso

79

98

Álgebra – 6to. grado

Sustracción de polinomios

2

Para restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se reducen. Ejemplo: a.

De: (4x – 2y + 5z) restar: (3x + 4y + z)

(4x – 2y + 5z)

–

4x – 2y + 5z

–

b.

(3x + 4y + z) 3x – 4y – z

ó

x – 6y + 4z

4x

–

2y

+

5z

–3x –

4y

–

z

6y

+

4z

x

–

Restar: (4a3 + 6b2 + a – 5) de: (8a3 + 10b2 + 6a)

(8a3 + 10b2 + 6a) – (4a3 + 6b3 + a – 5)

8a3 + 10b2 + 6a

8a3 + 10b2 + 6a

–4a3 – 6b2 –

– 4a3 – 6b2 – a +5

4a3 + 4b2 + 5a + 5

c.

Si: P(x) = 4x3 + 3x2 – 2x – 1 ; Q(x) = –5x2 + 3x + 2

determinar el valor de: P(x) – Q(x).

ó 4a3

4x3 + 3x2 – 2x – 1 – (–5x2 + 3x + 2) 4x3 + 3x2 – 2x – 1 + 5x2 – 3x – 2

d.

Si: P(x) = x2 + 3x + 2 ; Q(x) = x2 + x – 1

determinar el valor de: P(x) – 3Q(x).

(x2 + 3x + 2) – 3(x2 + x – 1)

x2 + 3x + 2 – 3x2 – 3x + 3

ó

–2x2 + 5

Álgebra – 6to. grado

+ 5

5a +

5

4x3 + 3x2

–

2x

– 1

– 5x2

–

3x

– 2

4x3 + 8x2

–

5x

– 3

x2

ó

4x3 + 8x2 – 5x – 3

+ 4b2 +

a

+

3x

+

2

–3x2 –

3x

+

3

+

5

–2x2

99

2

Ejercicios 1.

Considerando los siguientes polinomios:

A(x) = 3x2 + 4x – 6

B(x) = x2 – 2x + 3

C(x) = 2x2 + x + 2

calcula:

a. A(x) – B(x)

b. C(x) – B(x)

c. A(x) – C(x)

d. A(x) – B(x) – C(x)

e.

f. 2A(x) – 3C(x)

g. A(x) – 3B(x)

h. A(x) – 4C(x)

j.

2.

Efectúa: (6a3b4 + 2x3 + 3mn) – (–mn + 2x3 – a3b4)

3.

Efectúa las siguientes operaciones:

a. De (5m3 – 9n3 + 6m2n – 8mn2) resta (14mn2 – 21m2n + 5m3 – 18)

b. De (–a5b + 6a3b3 – 18ab5 + 42) resta (–8a6 + 9b6 – 11ab5 – 11a5b)

4.

Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios:

a. Resta el polinomio: (2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 2) del polinomio:

3C(x) – 2B(x)

i.

2A(x) – 4B(x) – C(x)

A(x) – [B(x) – C(x)]

(3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 3)

b. Indica el resultado de restar la suma de (x3 + 3x 2 + x + 2) con: (x2 – 3x 2 + x – 2); de la suma de (2x3 + x2 + x + 1) con: (x3 + x2 + 2x – 6)

5.

Si: A(x) = x2 + 6x + 1 ; B(x) = 3x2 – 5x + 2 ; C(x) = 4x2 – 6x – 1

calcula: C(x) – A(x) – B(x)

6.

Si: P(x) = 5x4 + 2x3 – 3x2 + x + 5 ; R(x) = –5x3 + 2x2 – 6x – 6

calcula: P(x) – R(x)

7.

Si: P(x) = 4x2 – 5x2 + x ; R(x) = 6x2 – 3x – (x2 – x)

calcula: P(x) – R(x)

100

Álgebra – 6to. grado

8.

Si: M(x) = 2x2 – 5x + 4; N(x) = 3x2 – 7x + 6

calcula: 3M(x) – 2N(x)

9.

Si: P = 5x – 7t + 30

Q = –10t + x – 4t + 20

R = x – t + x – 11 + 12t

calcula: P – Q – R

2

10. Si: M(x) = 2x2 – 5x + 4 ; N(x) = 3x2 – 7x + 6 ; P(x) = 5x2 – 2x + 1

calcula: 5M(x) – N(x) – P(x)

¡Ahora, hazlo tú!

1.

Efectúa:

a. De (5a2 + 4ab – 8b2) resta (4a2 – 4ab + 8b2)

b. De (4xy – 5x2y2 + 8) resta (8xy + 10x2y2 – 15)

2.

Efectúa:

a. Resta (4x2 + 5xy + 10) de (8x2 – 10xy + 10)

b. Resta (9a3 + 10a2 + 7a) de (8a3 + 4a2 + 6a)

3.

Si: A(x) = 4x2 + 5x + 3; B(x) = 3x2 – 3x + 4; C(x) = 5x2 + 4x – 1

calcula: A(x) – B(x) – C(x)

4.

Si: A(x) = 5x5 + 7x3 + 8x – 1; M(x) = 10x5 – 7x3 + 15x – 9

calcula:

a. A(x) – M(x)

5.

Dados los polinomios:

A(x) = x4 + 6x – 1; B(x) = x4 – 2x3 – x2 + 6; C(x) = –4x3 + x2 + 6x + 11

calcula:

a. A(x) – B(x)

b. A(x) – C(x)

c.

d. B(x) – A(x)

B(x) – C(x)

Álgebra – 6to. grado

b. M(x) – A(x)

101

2

6.

Dados los polinomios: A(x) = x4 – (2x3 – x + 1); B(x) = x3 + 5x2 – (6x – 3)

calcula: A(x) – B(x)

7.

Efectúa: (5a3 + b4 + 8ab) – (–8ab + 4a3 – 7b4)

8.

Si: M(x) = 4x2 + 5x + 3; N(x) = 3x2 – 5x – 7

calcula: 5M(x) – 4N(x)

9.

Si: A(x) = 4x5 – x – 1; B(x) = 7x5 + 2x – 4

calcula: 7A(x) – 4B(x)

10. Dados los polinomios:

A(x) = 4x2 – 3x + 9; B(x) = x2 + 5x – 3; C(x) = 4x2 – 4x + 1

calcula:

a. A(x) – 4B(x)

b. 2A(x) – 3B(x)

c.

d. 4A(x) – 8C(x)

A(x) – 9C(x)

Desafío Sea: A(x) = 2(5x + 3x5) – 4(x2 + 5x); B(x) = –7(2x5 – 8x) + 5(3x – 4x2) calcula: 5A(x) – 4B(x)

102

Álgebra – 6to. grado

Multiplicación de un monomio por un polinomio

2

Amiguito: de la atención en clase depende el conocimiento. ¡Tú puedes!

Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma: Propiedad Distributiva:

se hace uso de la

Además de considerar: Ley de los signos:

Conclusión:

(+) . (+)

= +

*

(+) . (–)

= –

Si se multiplica dos expresiones del mismo signo se obtiene siempre "+".

(–) . (–)

= +

*

Si se multiplica dos expresiones de signos contrarios, se obtiene siempre "–".

(–) . (+)

= –

–

Ejemplos:

Efectuar en cada caso:

a.

2x(x + 2y)

Recuerda que: x

= 2x1(1x1 + 2y1)

tiene características: +1 x1

= 2x2 + 4xy

b.

–3x2y3(x3 – y)

Recuerda: xa . xb = xa+b

= –3x2y3(1x3 – 1y1)

Además: (–) . (–) = +

= –3x5y3 + 3x2y4

Álgebra – 6to. grado

(bases iguales los exponentes se suman)

103

2

c.

d.

–3x4(2x – 5x5 + 1)

e.

2x4(x5 – 3x2 – 2)

=

2x4(

=

x

=

–3x4( 2x

=

–

x4y2z3 (xyz2 – 2x4y4z)

x5 – 3x2 – 2) –

x

x

x4

–

– 5x5 + 1) +

x

–

x

=

x4y2z3(x y z2 – 2x4y4z )

=

x y z

–

x y z

Ejercicios 1.

Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada expresión:

a. 4(5x + 3)

h. 4xy3(x7 + 2x4 – 3x7 + x4)

b. –3(5xy – 2)

i.

–x4y(x4 – 5x3 + y3 + 2x4)

c.

7x(x2 – yx2)

j.

3x2y3(x3 – z4 + x3)

d. –3x2y3(x3 – y2)

k. 2x2y2(x2 + x2 + y2)

e. 4x2(x3 – x7 + 2x4)

l.

f.

g. 5(x + 2y – 3z)

2.

Reduce cada caso en el cuaderno:

a. P(x) = 2x(x2 + 1) – 2x3

b. G(x) = 3x2(x – 1) + 3x2

c.

d. E(x) = 7x3(x2 – x4) + x4(7x3 + x)

e. M(x) = 3x4 – 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)

104

–3xy2(x – y + 2xy)

–5xy(xy – 3xy + 5x2y)

m. 2x2y3(3x3y – 2x4y3) n. –5x4(2x2 – 3x3 + 5x3)

F(x) = -5x(2 – 3x) + x(10 – 6x)

Álgebra – 6to. grado

3.

Simplifica: Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x – 3x2)

4.

Simplifica: Q(x) = x(7x – 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x

5.

Simplifica y luego halla: P(x) + Q(x)

si: P(x) = 3x(6x – 8) + 4x(9 – 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 – 2x)

6.

Calcula: P(x) – Q(x); si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 – 3x)

7.

Si: R (x) = 7x 3 (5x 3 – 3) + 4(2x 6 – x 3 ); halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

8.

Halla el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado, si:

P(x) = 7x2(5x3 + 8x4) + 8x5(x2 – 3x3)

9.

Representa algebraicamente el perímetro (P) de cada figura que se muestra a continuación:

a.

2

P = _______________________ 4x + 8 12x – 5

_______________________

3x + 4

b.

P = _______________________ 2x + 5

_______________________

2x + 5

c.

2 + 3x

P = _______________________ _______________________

2 + 3x 5x – 1

Álgebra – 6to. grado

105

2

10. Halla la expresión algebraica que represente el área (A) de cada figura:

a.

A = _______________________ _______________________

2x

2x

b.

A = _______________________ 4x

_______________________

3xy

c.

A = _______________________ 3x2

_______________________

4x

e.

A = _______________________

10xy 9xy

4xy

_______________________ _______________________

12xy

¡Ahora, hazlo tú!

1.

Efectúa:

a) 5x(x – 3)

e) –2x3y4(x2y + xy2)

b) –4x2(5x2 + 7x – 1)

f ) –8x4(x4 + 3x2 + 5)

c) 4x2y3(xy + 7xy3)

g) 4xy3z2(8xyz3 – 4xyz + x2y)

d) 4x(x + y – z)

h) –2xy3(x2 + y2 + x + y)

106

Álgebra – 6to. grado

2.

Simplifica:

A(x) = 5x(x2 – 7x) + 3x(–4x + 8x2)

3.

Simplifica:

B(x) = –x(8x – 4) + 7x2(–2 + 5x) + 8x2

4.

Simplifica y luego, halla: P(x) + Q(x)

si: P(x) = 3x(–3x + 8) + 5x(4 – x) y Q(x) = 5x2 + 8(5x2 – 3x)

5.

Calcula: P(x) – Q(x)

si: P(x) = 5x3 + 5(x2 – 2x3) y Q(x) = 5x2(3 – 4x)

6.

Calcula el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado en:

P(x;y) = 4x2y3(y2 – 2x2y5 – 8x) + 7x4y8

7.

Dado el polinomio P(x;y;z) definido como:

P(x;y;z) = 8a3b4x3y4z5 – 4b4a3z5x3y4

Encuentra:

a. GA =

b.

GR(x) =

d. GR(z) =

e.

Coeficientes

8.

Halla el valor numérico (VN) de P(2); si:

P(x) = 7x(x2 – 3x) – 4x3 + 21x2 + 5x(2x – 3x2)

9.

Representa algebraicamente el perímetro de cada figura que se muestra a continuación:

a.

2

c. GR(y) =

Perímetro: 4x + 10 9x – 10

3x + 2

Álgebra – 6to. grado

107

2

b.

Perímetro: 3x + 1

3x + 1

10. Halla la expresión algebraica que representa el área de cada figura:

a.

Área: 5x 5x

b.

Área: 2xy4 5x2y

108

Álgebra – 6to. grado

División de un polinomio entre un monomio

2

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. Además, se debe considerar:

Ley de los signos: (+) ÷ (+) = +

Al dividir dos expresiones con el mismo signo,

(–) ÷ (–) = +

el resultado tiene signo "+".

(+) ÷ (–) = –

Al dividir dos expresiones con signos contrarios,

(–) ÷ (+) = –

el resultado tiene signo "–".

Ejemplos:

a. b.

c.

32 x6 y7 32x6y7 . . = = –8x5y6 1 1 –4xy –4 x y (32x8 – 4x6 – 12x5) ÷ (4x4) = 8x4 – x2 – 3x

36x5y7 – 12x6y5 – 24x8y5 12x5y5

=

4m3n6

x2

= x6–2 = x4

12x6y5 24x8y5 – – 12x5y5 12x5y5 12x5y5

= 3y 24m8n9

x6

36x5y7

= 3x0y2 – xy0 – 2x3y0

d.

Recuerda:

2 – x – 2x3

Recuerda:

y0 = 1

=

Álgebra – 6to. grado

109

2

–20x9y4z8 + 4x6z8y9

e. f.

4x5z7y4

(2n4 – 4n6 + 6n5) ÷ (–2n4) =

¡Listos, a trabajar!

I.

Resuelve cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno:

a)

b)

c) {2 (162n9m8 – 36n6m10)} ÷ (–6n5m8)

d) x(7x – 7) + 7

12x6y7 – 32x5y8 –4x4y6 12x13y10 – 3x14y9 + 9x10y8 3x10y8

7x2 (8 + 3x) + 7x

5x 5x

II. Relaciona luego de resolver los ejercicios en tu cuaderno.

16x7y8 8x4y5

a)

b)

c) Halla el GA del polinomio simplificado:

P(x) =

32x6y14 8y8x5

)

6xy6

(

)

2

(

)

2x3y3

(

)

17x – 6x2

(

)

54

4x(3x2 + 2x3) + 2(7x3 + 5x4) 2x2 8x2y4 + 6xy2 – 2x2y4 – 3xy2

2x

halla: P(1;2)

e) Simplifica:

110

12x5y3

+

d) Si: P(x;y) =

24x6y9

(

5x(5x – 3x2) + 3x(x2 + 3x) 2x Álgebra – 6to. grado

¡Ahora, hazlo tú!

1.

Resuelve los ejercicios y según las letras, encuentra la frase correcta.

L.

A. (16x4y9 – 32x6y9) ÷ (4x3y8)

S.

D. Halla el valor numérico (VN) de P(1;1) si:

15x9y3 –3x6y2

20x6y9 – 44x5y8 + 2x6y9 + 50x5y8 2x5y8

18x6y8 + 36x8y6 – 6x10y10

P(x;y) =

–6x5y5

V. Calcula "A(1) + B(2)", si:

A(x) =

B(x) =

8x2(4x + 3x2 –5x3) 4x2 3x5 + 6x(4x4 – 2x2 + x3) 3x3

N. (16x6y6 – 36x9y5) ÷ (4x5y5)

G. Del ejercicio "S", halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

E. Del polinomio simplificado del ejercicio "L"; halla: GR(x) + GR(y)

I.

Halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

Si: R(x) =

7x3(5x3 – 3) + 4(5x6 – x3) 15x2 – (10x2 + 5x2 + 5x2)

Álgebra – 6to. grado

111

2

2

O. Al simplificar, calcula el GA del polinomio.

12x4y5 – 6x3y2 3xy

C. Halla P(2;2) si:

B. Al dividir: resultante.

R. Divide:

–100x7y12 –10x6y10 18x10 + 24x12 – 6x9 6x8

, halla la suma de coeficientes del polinomio

45x10y4z6 9x8y2z4

"

–5x3y

4xy–8x3y

–8

–6

40

–6

11xy+3

–6

7

4xy–9x4

"

4xy–8x3y

–5x3y

14

4

6

5x2y2z2

4xy–8x3y

–6

80

4xy–8x3y

Desafío Resuelve el siguiente ejercicio:

112

P(x;y;z) =

50x4y4 + 100x8y8z6 – 60x10y10z10 3(x + x2) + 7x2 –3x

Álgebra – 6to. grado

Resolución de ecuaciones con coeficiente entero

2

Recuerda que: 

ECUACIÓN: Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.

Ejemplos:

a. 3x – 2 = 7

c.

b. x – 1 = 8

d. __________________



SOLUCIÓN: Es el valor que verifica a toda la ecuación.

Ejemplo: 2x + 3x – 8 =

x

+ 4

__________________

Verificando la solución:

5x – x = 4 + 8

2x + 3x – 8 =

4x = 12

si: x

12 4

x

=

x

= 3

x

+ 4

=3

→ 2(3) + 3(3) – 8 = 3 + 4

6 + 9 – 8 = 3 + 4

15 – 8 = 7 7 = 7

*

Según los signos de colección o agrupación se trabajarán los paréntesis, las llaves y los corchetes (en ese orden).

*

Se transponen los términos de un miembro a otro de acuerdo a su semejanza cambiando de signo.

*

Se reducen los términos semejantes.

*

Se despeja la incógnita (puedes verificar).

Álgebra – 6to. grado

113

¡Listos... a trabajar!

2 I.

Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones y escribe (V) si es verdadero o (F) si es falso.

1. 3x + (5 – 2x) + 4 = 6

→

x = –3

(

)

2. 4x – (5 – 7x) – 6 = 11

→

x = 1

(

)

3. 5 – (3y – 6y – 8) – 7y = 2y + 16 – 9

→

y = 2

(

)

4. 3(y – 4) = (3y – 5 – 4y) – (2 – 5y + 10)

→

y = –5

(

)

5. 5z – 7(z – 1) = –{2(z – 3) + z}

→

z = –1

(

)

6. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(–2x + 8)

→

x = –3

(

)

7. Si: x = 3, calcula "a" en:

→

a = 15

(

)

→

m = –12

(

)

3(x + a) – (5x + 2a) = 8

8. Calcula "m", si: x = 4 en:

3(x – 4m) + 4m = 6x – 7m

9. 3(x – 6) + 3 = 3 + 5(x –4)

→

x = 19

(

)

4x – 5x – 6 4x – 5x – 6 2x = 2x 10.

8 – 4x + 1 8 – 4x + 1 3 x+1

→

x = –4

(

)

114

Álgebra – 6to. grado

¡Demuestra lo aprendido!

I.

Busca en los semicírculos las ecuaciones y resuélvelas en tu cuaderno, halla la respuesta en otro semicírculo y píntalas del mismo color.

1.

2.

3x + 2 = 5

4.

3.

5

5.

6x – x = 22 + 21

7.

6.

4 + 5x – (3 – 3x) = 6x – 7

8.

–35

10.

13.

8 – 5x + 3(2 + x) = – (x + 6)

9.

1

11.

–1

–3x + 2 – (x – 3)= –5x + 4

–3

12.

9 – 3x + 2(3 – x) = –5(x + 4) – x

14.

20

15.

Si: x = 2; halla "a" en:

11+[3(x+2)+4]=[6(–2x–2 )+1]–13

Álgebra – 6to. grado

–4

2x – a + (5x – a) = 3x – a

115

2

16.

2

17.

18.

7x + 1 15 4x+ 3x – 1 = 3x – 1 5 5 7x + 4 + 7x + 4 + x x

4x+ – 3 7

19.

20.

–6

21.

Halla "a" si: x = –2; en 4 – (5x – 3a) = 3 – 4(x + a)

4

22.

23.

(3x – 6)x 5x + 4 4x – x–3

=

8

24.

–6(–6 + 3x) 4x –

5x + 4 –3 + x

3(x + 1) – 5(x+5) = 4(1–2x) – 2(x–3)

2

Desafío Resuelve el siguiente ejercicio:

(3x – 6) 2x +

116

5(x + 4) x–1

=

5x + 20 + 2x 8 3x – 6

–1

Recuerda: –1

a b = b a

Álgebra – 6to. grado

Resolución de ecuaciones con coeficiente fraccionario

2

Para resolver este tipo de problemas, se tiene en cuenta lo siguiente: 1º

Calcular el m.c.m. de los denominadores.

2º

Se multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.

3º

Se reducen términos semejantes (transponiendo términos)

4º

Se despeja la incógnita.

¡Ahora, hazlo tú!

Halla el valor de "x" en cada caso: 1.

2x x 7 + = 3 2 6

2.

x 5 x + = +1 6 2 4

3.

x 1 x 4 + + + = x+1 2 2 3 3

4.

x 1 x+2 + + = x 3 3 4

5.

4x 1 3x 1 = + – 3 2 2 4

6.

x –

7.

6x+1 x = + 2x 6 3

8.

x–3 +

9.

2x – 9 2

10. 3x + 7 + 2

–

x–2 13 – 3x = 3 4

Álgebra – 6to. grado

5 x 1 = – 4 12 4

5(x – 4) 2 2x – 10 + = 6 3 3

5x + 12 6

=

4x + 10 3

117

2

¡Demuestra lo aprendido!

Halla el valor de "x" en cada caso: 1.

x 1 2 – = 2 3 3

2.

x 1 x + = 6 2 3

3.

2x 1 3x 1 + + + = 2x 3 3 4 4

4.

2x 1 – = 5 5 5

5.

3x+1 1 – = 0 2 4

6.

x–1 x+1 + = 2 4 6

7.

4x+3 5x+7 – = 0 3 4

8.

2x 3 4x 5 + = – 3 4 3 4

9.

2x – 9 =

3x – 4 2x + 7 – 2 3

10. 4x + 7x = 13x – 5 3 4 8 4

Desafío •

Una señora tuvo a los 24 años hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos?

118

Álgebra – 6to. grado

Recortar y dividir Recorta cada una de estas regiones de tal manera que al superponer coincidan. (Observa el ejemplo)

Ejemplo:

à lgebra – 6to. grado

119

2

2

RECort indica a como te la prof esora

120

à lgebra – 6to. grado

Planteo de ecuaciones

2

Método para la resolución de un problema El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable y para esto se sugiere lo siguiente: 1º

Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea.

2º

Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas.

3º

Planteo del problema: se elige la incógnita por una letra "x" por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

4º

Resolución de la ecuación. Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron.

¡Ahora, hazlo tú!

En tu cuaderno, resuelve los siguientes problemas: 1.

Si ganara 395 nuevos soles más de lo que recibo podría comprar una radio que cuesta 1 200 nuevos soles, ¿cuánto gano?

2.

Lo que gana Alberto, excede en 175 nuevos soles a lo que gana Armando y es igual a 850 nuevos soles. ¿Cuánto gana Armando?

3.

Al vender mi computadora perdí 235 soles. Si el comprador me pagó 847 soles, ¿cuánto me costó la computadora?

4.

Encontrar un número tal que al dividirlo por 10 y a este cociente dividirlo por 3, la suma de estos cocientes es 40.

5.

Al preguntar una madre a su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio, ella respondió: "Si no hubiera comprado un chocolate, que me costó 10 soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado". ¿Cuánto gastó?

6.

La edad de Hugo aumentada en nueve años es igual a la de su esposa que tiene 38 años. ¿Qué edad tiene Hugo?

7.

Lo que le prestan a María con los 547 nuevos soles que tiene, es igual a 650. Si aún le falta 250 para comprar un artefacto eléctrico, ¿cuánto le prestan y cuánto cuesta el artefacto?

8.

Juan le dice a Pedro: "Dame S/.18 y así tendré el doble del dinero que tú tienes" y Pedro le contesta: "Más justo es que tú me des S/.15 y así tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto tenía Pedro?

9.

Se ha comprado por S/.6 000 cierto número de enciclopedias, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcula el número de enciclopedias.

Álgebra – 6to. grado

121

2

10. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la de su hijo?

11. Miguel tiene cinco años menos que Doris. Si hace cuatro años la suma de sus edades era 21 años, ¿qué edad tiene Doris?

12. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre; si dentro de cinco años, la mitad de la edad del padre sería igual a la del hijo, ¿cuál es la edad del padre?

¡Demuestra lo aprendido!

En tu cuaderno, resuelve los siguientes problemas: 1.

Al vender una radio gané 60 soles; si el comprador me pagó 273 soles, ¿cuánto me costó la radio?

2.

Encuentra un número que multiplicado por 3 y sumado con su tercera parte resulta 40.

3.

Se compra cier to número de relojes por S/.144; sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles, ¿cuántos relojes se han comprado?

4.

Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el contenido del primer recipiente sea los 2/3 del segundo?

5.

Si al comprar una docena de lapiceros me regalan un lapicero, ¿cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros?

6.

Si al triple de la edad que tengo se quita mi edad aumentado en ocho años, tendría 36 años, ¿qué edad tengo?

7.

Julia tiene tres años más que María. Si el duplo de la edad de Julia menos los 5/6 de la edad de María es 20 años, ¿qué edad tiene María?

8.

Elsa es seis años más joven que Juan. Hace tres años Juan tenía el triple de la edad que Elsa tenía. Entonces, encuentra la edad de Juan.

9.

Hace 30 años, María tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora, ¿qué edad tendrá dentro de cuatro años?

10. Dentro de 40 años, Arturo tendrá el quíntuple de su edad actual. ¿Cuántos años tenía hace tres años?

Desafío *

¿Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que le siguen, dé un total de 905?

122

Álgebra – 6to. grado

Sistema de Ecuaciones Lineales

2

Se llama así al conjunto formado por dos ecuaciones con dos incognitas, las cuales se verifican para valores asignados a sus variables.

Forma:

ax + by = c.......(1)

mx + ny = P.......(2)

donde:

"a", "b", "m", "n": son los coeficientes de las variables

"c" y "p": son los términos independientes

"x" y "y": son las incógnitas o variables.

Ejemplos:

1) 3x + 2y = 5

x + y = 2

2) 4x – y = 7 x + y = 3

3) x + y = 8 x – y = 6

Conjunto Solución del Sistema (C.S.)

Son los valores de las variables "x" y "y" que cumplen con ambas ecuaciones en el sistema.

Ejemplo:

En el sistema:

Los valores de x = 3; y = 2 que cumplen con ambas ecuaciones por lo tanto será su conjunto solución, es decir:

3x – y = 7 ............. (1) x + y = 5 ............. (2)

C.S. = {x = 3; y = 2}

¿Cómo se resuelve un Sistema?

Para hallar el conjunto solución se puede resolver por varios métodos, estudiaremos el método de REDUCCIÓN.

Método de REDUCCIÓN.

Ejemplo 1:

Resolver el sistema:

Álgebra – 6to. grado

x + y = 9 ............. (1) x – y = 5 ............. (2)

123

2

Resolución: *

Si sumamos algebraicamente en forma vertical ambas ecuaciones tendremos: x + y = 9 ............. (1)

(+)

x – y = 5 ............. (2)

x + y + x – y = 9 + 5

x + x = 14

2x = 14

14 2 x = 7 x =

*

Como: x = 7 en la ecuación (1):

x + y = 9, entonces: 7 + y = 9

y = 9 – 7

y = 2

*

Luego: x = 7; y = 2, será el conjunto solución. → C.S. {x = 7; y = 2}

Ejemplo 2:

Hallar los valores de "x" y "y" en:

5x – y = 8 .............. (1) 3x – y = 4 .............. (2)

Resolución: Si restamos algebraicamente en forma vertical tendremos: 5x – y = 8 (–)

3x – y = 4

(–)

(5x + y) – (3y – y) = 8 – 4 5x – y – 3x + y = 4 5x – 3x = 4 2x = 4

4 2 x = 2 x =

Como: x = 2, en la ecuación (1) tendremos:

124

Álgebra – 6to. grado

5x – y = 8

2

5(2) – y = 8 10 – y = 8 10 – 8 = y

2 = y ó y = 2

Luego: x=2, y=2, su conjunto solución será: C.S. {x=2; y=2}

¡Ahora, hazlo tú!

I.

Marca correctamente la alternativa:

1. Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

a)

3x + 2y = 5

x + y = 0

x + y + z = 0

a)

x + 2y = 3

2x + y = 4

x – 3y – z = 5 x + y = 5

b) x – y = 5

c)

x + y = 7

2x – y = 5 x + y = 4

3. En el sistema los términos independientes son iguales:

a)

x + y = 12 x – y = 6

c)

2. En el sistema los coeficientes de una de sus variables son iguales:

b) 4x + 3y + 2z = 9

b) x + y = 5

c)

x + y = 7

2x – y = 5 x + y = 5

4. En el sistema el conjunto solución es: C.S. {x=1; y=1}

a)

x + y = 5 x – y = 3

Álgebra – 6to. grado

b) 2x + y = 3 x + y = 2

c)

3x + y = 4 x – y = 1

125

2

II. Relaciona correctamente los sistemas con su conjunto solución:

A)

B)

C)

D)

E)

x + y = 5 x – y = 1 2x + y = 3 x – y = 0 2x – y = 5 x – y = 2 3x + 2y = 7 x + 2y = 5 x + 4y = 8 x + 5y = 10

(

)

C.S. {x=3 ; y=1}

(

)

C.S. {x=3 ; y=2}

(

)

C.S. {x=0 ; y=2}

(

)

C.S. {x=1 ; y=2}

(

)

C.S. {x=1 ; y=1}

III. Resuelve los sistemas:

1.

2x + y = 8

5.

2x – y = 4

2.

3x + 2y = 11

3x + 2y = 5

6.

3x – 2y = 7

3.

x + y = 12

4.

2x – y = 7 3x – y = 11

126

5x – y = 8 2x – y = 6

7.

x – y = 8

x + 2y = 3

4x + 3y = 7 2x + 3y = 5

8.

5x – y = 16 2x + y = 12

Álgebra – 6to. grado

Retos para el hogar 1.

Resuelve los sistemas:

1.

5x + y = 8

5.

3x – y = 0

2.

4x + 3y = 1

5x + y = 6

6.

5x + 3y = 8

3.

x + y = 15

4.

3x – y = 10 2x – y = 6

7x – 2y = 9 3x + 2y = 11

7.

x – y = 7

2x + y = 3

8x + y = 8 6x + y = 6

8.

3x – y = 10 2x – y = 6

Desafío Sin resolver el sistema, explica cómo los valores: x=9; y=10 son soluciones para el sistema:

11x – 3y = 69 –3x + 3y = 3

Álgebra – 6to. grado

127

2

2

128

à lgebra – 6to. grado

Repaso 1.

2

Si: P(x) = 6x2 + 12x + 36

Q(x) = 4x2 – 17x – 28

R(x) =

S(x) =

1 3 2 4

1 4 1 x3 + 3 x3 +

1 1 x+ 5 6 1 1 x2 + x + 4 5 x2 +

Calcula:

a) P(x) + Q(x)

c) R(x) + S(x)

b) P(x) – Q(x)

d) S(x) – R(x)

2.

Resuelve:

a) 3x2(5x3 + 5x2 + 3x + 3)

Álgebra – 6to. grado

b)

25x4 + 75x3 + 50x2 5x2

129

2

3.

Resuelve:

a) 2(y + 1) + 3(y – 2) = 3 + y

c) y – 22 =

4.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

y y y + + 4 8 6

x + y = 14

b)

y y y – = –1 2 4 3

d)

y y y 1 – = + 3 5 15 3

b)

x – y = 6

c)

2x – 3y = –14 3x + 3y = 39

130

4x + 4y = 4 4x + 5y = 3

d)

5x + y = 8 4x + y = 6

Álgebra – 6to. grado

2

y=

2 x

+ ... +

3 x

Algebra 6to grado – IV Bimestre Álgebra – 6to. grado

131

2

Índice Índice

Pág.

l

Inecuaciones en Z

51

l

Intervalos acotados en Z

55

l

Intervalos no acotados en Z

59

l

Resolución de inecuaciones I

63

l

Resolución de inecuaciones II

67

l

Situaciones problemáticas de desigualdades

71

132

Álgebra – 6to. grado

2

Inecuaciones en Z Sabías que ...

Pafnuti Lvovich Chebyshev

... los sellos matemáticos son empleados en los correos. Ello propone un excelente medio para la difusión de la historia de la MATEMÁTICA.

Aquí un ejemplo:

• Okatovo (1821 - 1894) Matemático ruso

Datos técnicos:

Rusia 1946 Tras cursar sus estudios universitarios en Moscú y doctorarse llegó a ser catedrático de la Universidad de San Petersburgo. Fue nombrado miembro de la Academia de la CC. de Berlín, Bolonia, París y Suecia.

Abarcó: Teoría de números, donde estudió propiedades de los números primos; Cálculo de probabilidades, realizando investigaciones sobre los conceptos de variable aleatoria y de esperanza matemática. Formuló, además el Teorema de Chebyshev; Teoría de la aproximación en conexión con la teoría de polinomios y teoría de integración.

Introducción A veces se dan unas condiciones en las que en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad, estos son:

">, mayor que"

"<, menor que"

 Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman DESIGUALDADES y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman INECUACIONES.

Álgebra – 6to. grado

133

2

Características generales de las inecuaciones: Ejemplo: 8x + 4 > 20

1. M iembros de una inecuación, son las partes separadas por el signo de la desigualdad.

*

La parte que está a la izquierda se llama primer miembro: (8x + 4).

*

El segundo miembro es 20.

2. Términos de una inecuación, son cada una de las expresiones literales (8x) o numéricas (4 y 20).

3. Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto solución es: {3; 4; 5; 6; 7; ...}

Procedimiento para resolver una inecuación: 5x - 9 ≤ 2x + 18 5x - 2x ≤ 18 + 9 3x ≤ 27 27 x≤ 3 x≤ 9

3x - 9 < 6 3x < 6 + 9 3x < 1 5 15 x< 3 x<5 C.S.(x) = {...;-1;0;1;2;3;4

134

}

C.S.(x) = {...;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Álgebra – 6to. grado

5(x - 2) + 2 >

7

5x - 10 + 2 >

7

5x > 7 - 2 + 1

2x - 1 x-3 9 4 0

5x > 1 5 x>3 C.S.(x) = {4;5;6;7;8; ...}

2

1 > 4

mcm(9;4) = 3 6 4

9

9

36 (2x - 1 ) 36 (x - 3 ) 36 1 > 9 4 4 4(2x - 1) - 9(x - 3) >

9

8x - 4 - 9x + 27 >

9

por (-1 )

-x > 9 + 4 - 2 -x > -1 4 x<1 4

7

C.S.(x) = {...; 10;11;12;13}

¡Listos, a trabajar ...!

1. Escribe la desigualdad correspondiente entre:

- Tu edad y la de tu papá.

- Tu edad y la de tu compañero.

2. Expresa algebraicamente:

- Todos los números mayores a 4.

- Todos los números menores a 8.

3. Expresa los números mayores que 5, pero que no sobrepasan a 10.

4. Resuelve y halla el conjunto solución de:

a) 3x < 15

Álgebra – 6to. grado

b) 3x + 6 > 2x + 12

135

Demuestra lo aprendido

2 1. Escribe la desigualdad correspondiente entre:

- Tu edad y la de tu profesor(a).

- La cantidad de alumnos de tu aula y la de primaria.

2. Expresa algebraicamente:

a. Todos los números mayores a -2.

b. Todos los números menores e iguales a -8.

3. Expresa los números mayores que -1, pero que no sobrepasen a 6.

4. Resuelve e indica el conjunto solución de:

Desafío

OTRO PROBLEMITA DE ACOMODAR NÚMEROS. Acomoda los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de la siguiente forma: - 3; 6 y 8 están en el primer renglón.

136

Álgebra – 6to. grado

2

Intervalos acotados en Z Los intervalos en Z son conjuntos de números enteros y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados y no acotados.

Los intervalos ACOTADOS pueden ser:

• Intervalo abierto: <a;b> a, b ∈ Z Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b", excluidos ambos.

Se expresa:

a<x<b

• Intervalo cerrado: [a;b] a, b ∈ Z Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b" incluidos ambos.

Se expresa:

a≤x≤b

• Intervalo abierto a la derecha: [a;b> a, b ∈ Z Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b", incluido "a".

Se expresa:

a≤x<b

• Intervalo abierto a la izquierda: <a;b] a, b ∈ Z Está formado por los números enteros "x" comprendidos entre "a" y "b", incluido "b".

Se expresa:

a<x≤b

Álgebra – 6to. grado

137

2 a)

<2;6 >

b)

<2;6 ]

se define:

se define:

{x/ 2 < x < 6

{x/ 2 < x ≤ 6 }

}

se representa:

0

c)

2

se representa:

6

[2;6 >

0

d)

6

[2;6 ]

se define:

se define:

{x/ 2 ≤ x < 6 }

{x/ 2 ≤ x ≤ 6 }

se representa:

0

2

2

se representa:

6

0

2

6

¡Listos, a trabajar ...!

1. Con los signos que se te da, expresa en forma de intervalo:

a)

-76 < x ≤ -5

b)

138

[

<

]

>

+∞

-5

-76

-∞

-46 < x < -43

Álgebra – 6to. grado

2

[

<

]

>

-46

-43

+∞

-∞

2. C ompleta las siguientes columnas según lo indicado. Recuerda trabajar con orden y puntualidad.

Intervalo

Notación

Representación Conjuntista

Representación Gráfica

(C.S.)

Abierto

<2;5> <-1;6> <-7;-2> <-10;0>

Demuestra lo aprendido 1. Con los signos que se te da, expresa en forma de intervalo:

a)

-22 < x < -6

x

Álgebra – 6to. grado

[

<

]

>

+∞

-22

-6

-∞

≤

<

≤

<

-83

94

139

2

2. C ompleta las siguientes columnas según lo indicado. Recuerda trabajar con orden y limpieza.

Notación

a)

<-2;2>

b)

<-2;1]

c)

[-3;0>

d)

[4;10]

e)

<-7;-1>

f)

[-6;-4]

g)

<2;10]

h)

[5;0>

i)

[-10;-2]

j)

<-2;8]

k)

[4;10>

l)

[7;9]

m)

<0;3>

Desigualdades

Gráfica

Desafío

Una araña cayó en un pozo de 30 m de profundidad. Cada día subía tres metros y cada

140

Álgebra – 6to. grado

Intervalos no acotados en Z Se denomina así, si por lo menos uno de los extremos tiende a "+∞" o "-∞" (extremos ideales), donde: IR es el conjunto de los números reales. Así tenemos:

Por definición:

a) -∞

a

x

+∞

Por definición:

b) -∞

x

b

+∞

Por definición:

c) -∞

x

+∞

• Ejemplos: Expresa en forma de intervalo y gráficamente:

a)

x>3

En forma de intervalo: x ∈ <3;+∞>. Gráficamente:

-∞

Álgebra – 6to. grado

0 1 2 3 4

+∞

141

2

2

¡Listos, a trabajar ...!

Expresa en forma de intervalo y gráficamente:

1)

x > 5

2)

x≥2

3)

x < 6

4)

x≤2

5)

x > -2

6)

x ≥ -4

142

Álgebra – 6to. grado

Demuestra lo aprendido Expresa en forma de intervalo y gráficamente:

1)

x < 5

3)

x ≥ 7

5)

x < -9

Álgebra – 6to. grado

2)

6)

x≤8

4)

x > 12

x > 10

143

2

2

Desafío

¿Qué vista del cubo es la correcta?

Selecciona la única vista posible del cubo anterior, entre las siguientes cuatro posibilidades.

a)

144

b)

c)

d)

Álgebra – 6to. grado

Resolución de inecuaciones I en N Inecuaciones de la forma:

x+a>b

2

x-a>b

y

 Ejemplos:

a) x + 54 - 72 > 43 ÷ 8

b) x - 36 ÷ 32 > 126 - 112

x + 54 - 49 > 64 ÷ 8

x - 36 ÷ 9 > 126 - 121

x + 5 > 8

x > 8 - 5

x>5+4

x > 3

x>9

C.S. = {4; 5; 6; 7; ...}

c) y + 36 ÷ 9 > 56 ÷ 7

Álgebra – 6to. grado

x-4>5

C.S. = {10; 11; 12; ...}

d) m - 120 × 6 > 72 ÷ 8

145

2

¡Listos, a trabajar ...!

Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones:

1)

x - 90 × 3 > 48 ÷ 2

2)

y - 15 × 70 > 130 - 112

3)

y + 128 - 112 > 122 - 128

4)

x + 82 - 72 > 102 - 92

5)

x - 1 < 25 - 33

6)

y - 40 < 36 ÷ 32

146

Álgebra – 6to. grado

Demuestra lo aprendido Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones:

1) x + 52 + 80 < 25.90

2) m - 100 < 102 ÷ 52

3) x - 33 ÷ 9 < 64 ÷ 24 + 2

4) y + 36 ÷ 9 > 56 ÷ 7

5) m - 120.6 > 72 ÷ 8

6) y - 41.40 > 125 ÷ 52

Desafío

Otra cifra perdida

8

6

9

1 4 Álgebra – 6to. grado

6

8

8 3

2

7

9

2 7

7

5 ?

8

8

6

147

2

2

148

Ă lgebra â&#x20AC;&#x201C; 6to. grado

Resolución de inecuaciones II en N Inecuaciones de la forma:

ax ± b > c

;

ax ± b < c

Recuerda: Si un número entero positivo pasa a dividir al otro miembro de la desigualdad, dicha desigualdad no se altera.

 Ejemplos:

¡Listos, a trabajar ...!

1)

Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números naturales.

a) 3x > 12

b) 3x < 12

c) 3x ≥ 12

d) 3x ≤ 12

Álgebra – 6to. grado

149

2

2

4)

6x - 7 > 17

5)

5x + 14 ≤ 19

6)

2x - 5 > 3

7)

5x + 12 < x + 16

8)

4x + 14 > x + 29

9)

3x + 4 ≤ x + 16

150

Álgebra – 6to. grado

Demuestra lo aprendido 1)

Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números naturales.

a) 5x > 20

b) 5x < 20

c) 5x ≥ 20

d) 5x ≤ 20

Resuelve en el conjunto de los números naturales, las siguientes inecuaciones:

2)

4x - 5 > 35

Álgebra – 6to. grado

3)

5x + 1 < 16

151

2

2

6)

10x + 2 > 192

7)

3x - 8 < 25

8)

4x - 15 ≥ 9

9)

11x + 4 ≤ 37

Desafío

Resuelve y da el menor valor entero que satisfaga dicha inecuación: 2(3x - 5) 3(2x + 5) ≥

152

Álgebra – 6to. grado

Situaciones problemáticas de desigualdades

2

En el presente capítulo veremos el planteo de desigualdades; para lo cual, debes recordar:

se simboliza

• Mayor que

se simboliza

• Menor que

> <

se simboliza

• No es mayor que

se simboliza

≤

 Ejemplos: •

"m" es mayor que 2

 m>2

¡Listos, a trabajar ...!

En tu cuaderno: Resuelve los siguientes problemas:

1. Un número aumentado en 7 es menor que 24. Indica el mayor natural que verifica.

2. La edad de José disminuida en 5 es mayor que 9. Halla la edad mínima de José.

3. El número de globos que contiene una bolsa no es menor que 17. Halla el menor número Álgebra – 6to. grado

153

2

5. L a edad del hermanito de María disminuido en 3 es mayor que 1, y aumentado en 3 es menor que 9. Halla la edad del hermanito de María.

6. H alla el menor número natural, cuyo duplo disminuido en 3 es mayor que el número aumentado en 4.

7. El triple de caramelos, que hay en una bolsa, aumentado en 12 es menor que el número de caramelos de la bolsa aumentado en 42. Señala el mayor número natural de caramelos que tiene la bolsa.

8. D etermina el mayor número natural, si el quíntuplo del número, disminuido en 11 no es mayor que el duplo del número aumentado en 7.

9. E l cuádruplo de la edad de mi abuelo, aumentado en 97 no es menor que el duplo de su edad, aumentado en 235. Halla la edad de mi abuelo si es el menor natural que

154

Álgebra – 6to. grado

Demuestra lo aprendido 1. Un número disminuido en tres es menor que siete. Calcula el mayor número natural.

2. L a edad de Ariana aumentada en cuatro es menor que doce. Halla la máxima edad que puede tener Ariana.

3. En una bolsa, el número de chocolates que contiene no es mayor a 30. Halla el máximo número de chocolates que contiene la bolsa.

4. E n un jarrón, el número de flores aumentado en 3 no es menor a 12. Halla el mínimo número de flores que contiene el jarrón.

5. L a edad de mi profesor de Álgebra disminuido en dos es mayor que 32 años y dicha edad aumentada en cinco es menor que 41. ¿Cuál es la edad de mi profesor?

6. Halla el menor número natural, cuyo triple aumentado en cuatro es mayor a 16.

7. El doble de mi edad, disminuido en tres es mayor que 21. Señala cuál es la mínima edad que puedo tener.

Álgebra – 6to. grado

155

2