Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá FEG - UNESP Departamento de Engenharia Civil
Momentos de Inércia Raphael Bastos, graduando de Engenharia Civil
Guaratinguetá Outubro de 2009
Momentos de Inércia 1. Introdução e Definições Ao analisarmos a distribuição de forças ou tensões em elementos estruturais, como vigas e seções transversais, é comum encontramos um tipo de integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de área. Essa integral é chamada Momento de Inércia ou Momento de Segunda Ordem, tal que o momento de inércia tem usos na análise estrutural, mecânica dos fluidos entre outros. Para exemplificar, vamos considerar uma viga sob ação de momento M e tensão, tal que as forças aplicadas estão comprimindo a viga, conforme mostrado na figura. Considerando que a força aplicada esteja a uma altura y do eixo x, temos que, dF
kydA
FR
dF
FR
kydA A
FR
k ydA A
A integral
ydA se refere ao centro de gravidade A
da viga, isso, ao momento estático, tal que, FR y
k ydA 0
Conforme visto, temos que a viga está em equilíbrio de forças, analisando o momento que atua na viga, M
ydF
M
ky 2 dA A
M
k y 2 dA A
Portanto, conforme falado anteriormente,temos uma integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de área, isso é o momento de Inércia. Nos resta definir esse conceito de momento de inércia.
Seja a área A, situada no plano xy, definimos como momento de inércia de um elemento de área dA, em relação aos eixos xy, como sendo dI x y 2 (em
x 2 (em relação ao eixo y). Portanto integrando as
relação ao eixo x) e dI y funções, temos que,
y 2 dA (em relação ao eixo x)
Ix A
x 2 dA (em relação ao eixo y)
Iy A
Podemos expressar o momento de inércia de outras formas, na forma polar ou na forma de integral dupla. Forma Polar A forma polar é usada quando se quer analisar barras sob torção ou elementos estruturais que tendam a ter torção. Para o cálculo do momento de inércia polar, consideraremos os eixos xy, tal que, o elemento de área dA, está distante de da origem. Conforme visto o momento de inércia relaciona o quadrado da posição com o elemento de área. Como a posição é , temos que, o momento de inércia polar, J 0 , 2
J0
dA
A
Mas, se quisermos relacionar as posições em x,y, temos que, 2
x2
y2 2
J0
dA
A
x2
J0
y 2 dA
A
x 2 dA
J0 A
y 2 dA A
Como as integrais são o momento de inércia em relação a x e y, J0
Ix
Iy
O momento polar de inércia é, portanto, a soma dos produtos de inércia em relação aos eixos x e y.
Forma de Integral Dupla Uma forma de determinarmos o momento de inércia é usarmos integrais duplas, sendo que, esse processo é usado quando tivermos uma região definida no plano, como em figuras geométricas (como triângulos, quadrados e outros). Para tanto, consideremos, a região limitada por D {( x, y) | 0
x
x´, 0
y
y´} ,
sendo x´ pode ser função de y ou um ponto na região e y´ pode ser função de x ou um ponto na região, tal que, x´ y ´
y 2 dxdy
Ix 0 0 x´ y ´
x 2 dxdy
Iy 0 0
Exemplo 1.1 Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h, em relação ao eixo x. Repostas Como a base é b e a altura é h, temos que a região é D {( x, y) | 0 x b, 0 y h} , portanto, o momento de inércia em relação ao eixo x é, b h
y 2 dxdy
Ix 0 0 b
h
y 2 dy dx
Ix 0
0
b
Ix
1 3 h dx 3 0
Ix
1 3 bh 3
Então, um retângulo qualquer tem momento de inércia(em relação ao eixo x),
Ix
1 3 bh 3
Exemplo 1.2 Determinar o momento polar de inércia para uma seção circular de raio r. Respostas Podemos considerar um elemento circular, distante
do centro, tal que, a
distância desse elemento percorre do centro até o a distância do raio r e considerando que o ângulo percorrido é de 2 . Temos que, a região é D {( , ) | 0 r, 0 2 } , portanto, 2
r 2
J0
dA
0 0
Usando o jacobiano (transformação de sistema de coordenadas), temos que,
dA
.d .d 2
r 2
J0
.d .d
0 0 2
r 3
J0
d .d
0 0 2
1 4 r d 4
J0 0
J0
J0
2
4
1 4 r 4
r4
2. Teorema dos Eixos Paralelos Quando queremos determinar o momento de inércia, muitas vezes é necessário analisarmos o momento de inércia em uma geometria particular do elemento estrutural, visto que normalmente, os momentos de inércia são calculados tendo como referencial eixos traçados usando o centróde. Para termos práticos, o teorema dos eixos paralelos é usado para o cálculo do momento de inércia quando temos translação de eixos coordenados. Para o cálculo do momento de inércia usando o elemento de área dA, localizado em (x´,y´) tendo como referencial o centróide que dista d da origem.
A localização do elemento dA é, portanto, dA ( x´ x, y´ y )
Para o momento de inércia em relação a x, temos que, o elemento de momento de inércia é, 2
dI x
y´ y dA
O momento de inércia, portanto, é, 2
Ix
y´ y dA A
y´2 2. y´. y
Ix
2
y dA
A
A
Como
2
y´2 dA 2 y y´dA
Ix
A
y dA A
y´dA é o momento estático de x´ em relação ao centróide, mas A
como, x´ passa no centróide temos que o momento estático é 0, portanto,
y´2 dA y
Ix A
2
dA A
Como a primeira integral é o momento de inércia de x´ em relação ao centróide, temos que,
Ix
I x´
Ay
2
Podemos deduzir analogamente as expressões para o momento de inércia em relação a y, Iy
I y´
Ax
2
Na forma polar, analogamente, a expressão deve manter a forma, portanto, temos a expressão,
J0
JC
Ar 2
3. Raio de Giração Definimos como raio de giração de uma área A, em relação a um eixo x, conhecido o momento de inércia em relação a esse eixo, temos que, Ix
ix 2 A
ix 2
Ix A
ix
Ix A
Para o eixo y, temos a expressão, iy
Iy A
Se for conhecido o momento polar de inércia, temos a expressão para o raio de giração,
i0
J0 A
Exercícios Definições 1) Determine o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h, em relação ao eixo x´ do centróide (considere o eixo x´, o eixo que passa pelo centro de gravidade, como mostrado). 1 3 (Resposta: I x´ bh ¨) 12 Figura 1 - Problema 1
2) Determine o momento de inércia para um triângulo de base b e altura h em relação ao eixo x. 1 3 (Resposta: I x´ bh ) 12
3) Determine o momento polar de inércia de um semi círculo de raio r. 1 4 (Resposta: J 0 r ) 4 4) Determine o momento polar de inércia de uma elipse com pólo medindo a e vértice (semi eixo menor) b e pólo (semi eixo maior) a em relação ao centro. 1 (Resposta: J 0 ab(a 2 b 2 ) ) 4 5) Determine o momento de inércia da figura mostrada, em relação ao eixo x e ao eixo y. (Resposta: I x
ab3 e Iy 21
a 3b ) 5
Figura 2 - Problema 5
Teorema dos Eixos Paralelos 6) Determine o momento de inércia da área abaixo da curva na figura mostrada em relação ao eixo y. (Resposta: I y 9, 25.106 mm4 ) 7) Determine os momentos de inércia da figura mostrada em relação Figura 3 - Problema 6
ao baricentro, considerando que 2 I x de inércia no ponto A é J A (Resposta: I x
Figura 5 - Problema 7
1,5.106 mm 4 e I y
I y e que o momento polar
22,5.106 mm 4 .
3.106 mm 4 )
Figura 4 - Problema 8
8) Determine o momento polar de inércia da figura mostrada em relação ao centro O e ao centróide. (Reposta: 150,5.106 mm4 e 31,8.106 mm4 )
Raio de Giração 9) Determine o momento polar de inércia de um triângulo eqüilátero de lado a e o seu raio de giração em relação a um dos vértices. (Resposta: J 0
Figura 6 - Problema 10
7 3 4 a e i0 96
7 2 a ) 24
10) Determine o momento polar de inércia e o raio polar de giração na figura mostrada em relação ao ponto médio do menor lado e do maior lado. (Resposta: J 0
17 4 a , i0 6
a
17 e J0 12
4 4 a , i0 3
a
2 ) 3