ELIPSE 01 – Determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico. a) x2/36 + y2/100 = 1 Solução:- O centro da elipse é o ponto (0, 0). O semieixo maior é b, tal que b2 = 100 b = 10. Vértices: (0, + b) = (0, + 10) O semi-eixo menor é a, tal que a2 = 36 a = 6. Neste caso, a elipse tem eixo maior vertical, estando o foco sobre tal eixo. A distância focal “c” , distância de cada foco ao centro é dada por c2 = b2 – a2 c2 = 100 – 36 = 64 c = 8. Excentricidade e = c/b = 8/10 = 4/5. Resposta: Vértices (0, + 10); Focos (0, + 8), Excentricidade 4/5. b) 9x2 + 25y2 = 25 Solução:- Transformando a equação temos: 9x2/25 + 25y2/25 = 25/25 x2/(25/9) + y2/1 = 1 Semi-eixo maior a2 = 25/9 a = 5/3 Semi-eixo menor b2 = 1 b = 1 Como a > b os focos estão sobre o eixo maior que é horizontal. Assim, c2 = a2 – b2 = 25/9 – 1 = 16/9 c = 4/3 Excentricidade: e = c/a = (4/3)/(5/3) = 4/5 Resposta: Vértices: (+ 5/3, 0); Focos (+ 4/3, 0); Excentricidade: e = c/a = (4/3)/(5/3) = 4/5.
02 - Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas: a) Centro (0, 0), eixo menor igual a 6, foco no eixo dos x e passa pelo ponto P(-25, 2). Solução:- eixo maior a horizontal pois os focos estão no eixo dos x. O semi-eixo menor é b = 6/2 = 3. A equação terá então a forma x2/a2 + y2/32 = 1. Como a elipse passa pelo ponto P(-25, 2), devemos ter: (-25)2/a2 + 22/32 = 1 20/a2 + 4/9 = 1 180 + 4a2 = 9a2 5a2 = 180 a2 = 36. Portanto, a equação é: x2/36 + y2/9 = 1 ou x2 + 4y2 – 36 = 0. Resposta:x2/36 + y2/9 = 1 b) Vértices A (0, + 6) e passando por P (3, 2). Solução:- o eixo maior é vertical, sendo então b = 6 o semi-eixo maior. Como os vértices são simétricos em relação à origem, o centro é a origem (0, 0) Portanto, x2/a2 + y2/62 = 1. Passando pelo ponto (3, 2), 9/a2 + 4/36 = 1 a2 = 81/8. A equação é então: x2/(81/8) + y2/36 = 1 8x2/81 + y2/36 = 1. Resposta: 8x2/81 + y2/36 = 1. c) Centro (2, -1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria
paralelos aos eixos coordenados. Solução: Pela figura nota-se que o semi-eixo maior, horizontal, vale 2 unidade e o semi-eixo menor vale 1 unidade. A equação é então: (x – 2)2/22 + (y + 1)2/12 = 1 (x2 – 4x + 4)/4 + (y2 + 2y + 1)1 = 1 x2 – 4x + 4 + 4y2 + 8y + 4 = 1 x2 + 4y2 – 4x + 8y + 7 = 0. Resposta: x2 + 4y2 – 4x + 8y + 7 = 0. 03 - Determinar o centro, os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses. Esboçar os gráficos. a) (x – 2)2/16 + (y + 3)2/9 = 1. Solução:- Centro (2, -3). Semi-eixos a = 16 = 4 e b = 9 = 3. Distância focal: c2 = a2 – b2 = 16 – 9 = 7 c = 7 Focos (2 + 7, -3) e (2 - 7, -3) Vértices: (2 – 4, -3) = (-2, -3) e (2 + 4, -3) = (6, - 3). Excentricidade e = c/a = 7/4. Resposta: Vértices (-2, -3) e (6, -3); focos (2 + 7, -3) e (2 - 7, -3); excentricidade 7/4.
b) 16x2 + y2 + 64x – 4y + 52 = 0 Solução:- Transformando para a forma reduzida teremos: 16.(x2 + 4x + 4) + (y2 – 4y + 4) = -52 + 16.4 + 4 16.(x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 (x + 2)2/1 + (y – 2)2/16 = 1. Da equação tiramos: centro (-2, 2). Semi-eixo maior b = 16 = 4 e semi-eixo menor a = 1 = 1. O eixo maior é então vertical. Distância focal c2 = b2 – a2 = 16 – 1 c = 15. Focos: (-2, 2 + 15) , vértices (-2, 2 – 4) = (-2, -2) e (-2, 2 + 4) = (-2, 6).
Excentricidade: e = c/b = 15/4. Resposta: Vértices (-2, -2) e (-2, 6), focos (-2, 2 + 15), excentricidade 15/4.