Estudo Dirigido - Elipse 1. Definição
P
Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertences a um plano . Elipse é o lugar geométrico de um ponto P, pertencente ao mesmo plano, que se move de maneira que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F1 e F2 é sempre igual a uma constante (Figura 1).
F1
α
F2
Figura 1
d(P, F1) + d(P, F2) = k i
2. Elementos da Elipse Com base na Figura 2, tem-se:
Figura 2
Focos: são os pontos F1 e F2. Distância focal: é o segmento . Centro: é o ponto médio C do segmento . Eixo maior: é o segmento , este segmento contém os focos. Eixo menor: é o segmento , e perpendicular ao eixo maior no ponto C. Vértices: são os pontos A1, A2, B1, B2, de intersecção da elipse com os eixos. Do triângulo B2CF2, temos uma relação notável:
Medida da distância focal, d(F1, F2) = 2c Medida do eixo menor, d(B1, B2) = 2b Medida do eixo menor, d(A1, A2) = ? (usaremos a definição da elipse para deduzi-la)
André, Claudia e Edivan
Página 1
Se o ponto P coincide com o vertice B2 (Figura 2), então d(P, F2) = a, pela definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2a i E se o ponto coincide com o vértice A1, d(A1, F1) + d(A1, F2) = 2a, e sejam d(A1, F1) = x
e
d(A1, F2) = x + 2c
Então, x + (x + 2c) = 2a
2x + 2c = 2a
2(x + c) = 2a (x + c) = a
Desta maneira, deduzimos que a Medida do eixo menor, d(A1, A2) = 2a Uma importante característica da elipse é sua excentricidade, que é definida pela relação e usualmente é representada pela letra e. Logo, temos:
A 1ª lei do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) é expressa por: “qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”. A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Jupiter 0,05, a de Marte 0,09, para citar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, respectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O “campeão” de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com excentricidade 0,967 (quase 1) e leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do Sol. A Figura 3 dá uma ideia das trajetórias de Júpiter e de Halley com o Sol em um dos focos. Cometa Halley
Júpiter
Sol
Figura 3
André, Claudia e Edivan
Página 2
3. Equações Reduzidas Com a finalidade de obtermos uma equação da elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples. Seja a elipse de centro C
. Consideramos dois casos:
1º) O eixo maior está sobre Ox y
Seja P um ponto qualquer da elipse de focos F1 e F2 (Figura 4).
P(x, y)
Pela definição, tem-se x F1(-c, 0)
F2(c, 0)
ou
Figura 4
ou, em coordenadas
Como pela relação notável, tem-se
, resulta
Dividindo ambos os termos da equação por
, vem
que é a equação reduzida da elipse para este caso. André, Claudia e Edivan
Página 3
y
2º) O eixo maior está sobre Oy Observando a Figura 5, com procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação
(0, c) F2 P(x, y)
que é a equação reduzida da elipse para este caso.
x
A demonstração deste caso da equação da elipse fica como exercício
F1 (0, -c)
Figura 5
Observação Como em toda elipse tem-se (ou ), para saber se a elipse tem o seu eixo maior sobre ou sobre , basta observar onde está o maior denominador na sua equação reduzida. Se esse for denominador de , o eixo maior está sobre . Caso contrário, estará sobre . y
Por exemplo, na equação reduzida 3
o maior denominador é 9. Como ele é denominador de , o eixo maior da elipse está sobre (Figura 6). No caso temos -2
2
e, portanto, as intersecções com os eixos são os quatro pontos e . -3
Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos , vem e para , vem que confirma as intersecções com os eixos em .
André, Claudia e Edivan
,o e
Figura 6
Página 4
x
Exemplos Nos problemas de 1 a 3, para cada uma das elipses, determinar a) a medida dos eixos; b) os focos; c) um esboço do gráfico; d) a excentricidade. 1) a) Para expressar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os membros da equação por 144:
Maior denominador: 16. Logo, Então,
e ao eixo maior da elipse está sobre o eixo
e e y
b) 3
Logo, os focos são F1 c) Gráfico: Figura 7
e F2 4
-4 F1(-√7, 0)
F2(√7, 0)
d) -3
Figura 7
2) a) Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem
André, Claudia e Edivan
Página 5
x
b)
y
c) Gráfico: Figura 8 x
d)
Figura 8
3) a) A forma reduzida desta equação é
b)
y
x
c) Gráfico: Figura 9
d) Figura 9
A circunferência pode ser considera uma elipse de excentricidade nula.
André, Claudia e Edivan
Página 6
4) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação. Como o foco é ponto do eixo
, a equação é da forma
Como o eixo maior mede 8, isto é, e Tendo em vista que o centro da elipse é
e um dos focos é
, conclui-se que
Mas
Logo, a equação procurada é
5) Uma elipse de centro na origem tem a medida do eixo menor igual a 6, focos no eixo passando pelo ponto . Determinar sua equação.
André, Claudia e Edivan
e
Página 7
4. Outras Formas da Equação da Elipse Seja uma elipse de centro . Consideraremos somente os casos de os eixos da elipse serem paralelos aos eixos coordenados. y
1º) O eixo maior é paralelo a Ox
y’
Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema (Figura 10) em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo . Logo, sua equação reduzida é
P y’ A1 y
A2 O’ = C
F1
x’
k
Para expressá-la em relação ao sistema , utilizamos as fórmulas de
O
x’
F2
x h
translação de eixos
x
Figura 10
e que substituídas na equação anterior, resulta
que é a forma padrão para este caso.
2º) O eixo maior é paralelo a Oy De modo análogo ao 1º caso, temos
(
Assim por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto , e eixo menor medindo 8 ( , apresenta a equação: se
A1A2 //
se
A1A2 //
, eixo maior medindo 10
ou
Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.
André, Claudia e Edivan
Página 8
Exemplos 1) Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo , tem centro C e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse. Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo
com
, excentricidade
, sua equação é da forma
e
Precisamos determinar
Sendo
, vem
De
, resulta
e . Mas
ou
Donde
. Logo a equação da elipse é
Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos, obteremos outra forma da equação da elipse:
ou ou
que é uma equação geral desta elipse. Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma
com e de mesmo sinal. Em particular, quando circunferência.
André, Claudia e Edivan
esta equação poderá representar uma
Página 9
2) Dada a elipse de equação
, determinar:
a) sua equação na forma padrão b) o centro c) a medida dos eixos
d) os focos e) um esboço do gráfico f) a excentricidade
Solução a) Iniciemos reescrevendo a equação agrupando os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores em comum para facilitar na construção dos trinômios quadrados
b) Como
e
são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:
c) Como sabemos o valor de
e
, da equação obtida acima, temos:
d) Para determinar os precisamos do valor de . De
focos
y
x
e) Gráfico: Figura 11
Figura 11
f)
André, Claudia e Edivan
Página 10
5. Equações Paramétricas Consideremos a elipse de equação
y
A
Tracemos a circunferência de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse (Figura 12).
b P θ
Seja P um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela ao eixo , intercepta a circunferência em A e o eixo em A’, e o raio AO determina com o eixo um ângulo .
O
A’
a
x
Figura 12
Do triângulo
vem
ou
Como é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada substituindo o valor de na equação da elipse:
do mesmo ponto é calculada
e
Observamos que para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse, e quando varia de a , o ponto P parte de e “descreve” a elipse na sentido antihorário. Então, é o parâmetro e o sistema
constitui as equações paramétricas dessa elipse.
André, Claudia e Edivan
Página 11
No caso da elipse ser
com eixo maior sobre
, suas equações paramétricas são
Quando o centro da elipse for C
, pela translação de eixos obtemos
ou
eixo maior paralelo a
ou
eixo maior paralelo a
e
Exemplos Obter as equações paramétricas da elipse de equação: 1) 2) Solução 1) A forma reduzida da equação
e, portanto
e
2) Iniciaremos escrevendo
André, Claudia e Edivan
é
. Logo,
na sua forma padrão
Página 12
6. Exercícios Propostos 1) Demonstrar a equação reduzida da elipse no caso em que o eixo maior está sobre o eixo
.
2) Determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas: a) Vértices A b) Vértices A
e excentricidade e passando por P
3) Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas: a) Focos F1 b) Centro C
e F2 , e excentricidade , um foco F e tangente ao eixo
4) Obter as equações paramétricas da elipse de equação 5) Obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas 6) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade viaja ao redor de um planeta situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 , calcular a maior distância.
Respostas 1) 2) a) b) 3) a) b)
ou ou
4) 5) 6) 600
André, Claudia e Edivan
Página 13