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Estudo Dirigido Elipse 1. Definição α
P
Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertences a um plano . Elipse é o lugar geométrico de um ponto P, pertencente ao mesmo plano, que se move de maneira que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F1 e F2 é sempre igual a uma constante.
F2
F1
d(P, F1) + d(P, F2) = k i
2. Principais Elementos da Elipse B2
a b A1
A2 F1
C
c
F2
B1
Focos Centro Vértices Eixo maior Eixo menor
Se
pontos F1 e F2 ponto médio C do segmento pontos A1, A2, B1, B2, de intersecção da elipse com os eixos segmento , este segmento contém os focos segmento , e perpendicular ao eixo maior no ponto C
,
Do triângulo
, teremos uma relação notável:
Medida da distância focal, Medida do eixo menor, Medida do eixo maior,
? (usaremos a definição da elipse para deduzi-la)
1
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Observe que
, então pela definição temos:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a i E se
,
d(A1, F1) = x
e
d(A1, F2) = x + 2c
Então,
Desta maneira, deduzimos que a medida do eixo maior, Uma importante característica da elipse é sua excentricidade, que é definida pela relação e usualmente é representada pela letra e. Logo, temos:
Curiosidade: 1ª Lei de Kepler “Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”. A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Jupiter 0,05, a de Marte 0,09, para citar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, respectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O “campeão” de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com excentricidade 0,967 (quase 1) e leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do Sol. Cometa Halley
Júpiter
2
Sol
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3. Equações Reduzidas Com a finalidade de obtermos uma equação da elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples. Seja a elipse de centro C
. Consideramos dois casos:
1º) O eixo maior está sobre Ox y
Seja P um ponto qualquer da elipse de focos F1 e F2 .
B2
P(x, y)
Pela definição, tem-se A1
C(0, 0) F1(-c, 0)
ou
F2(c, 0)
B1
ou, em coordenadas
Como pela relação notável, tem-se
, resulta
Dividindo ambos os termos da equação por
, vem
que é a equação reduzida da elipse para este caso.
3
A2
x
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2º) O eixo maior está sobre Oy Com procedimento análogo ao 1º caso, com os focos F1 e F2 , obteremos a equação
A2
(0, c)
F2 P(x, y)
que é a equação reduzida da elipse para este caso.
C(0, 0) B1
x
B2
F1 (0, -c)
A1
Observação Como em toda elipse tem-se , para saber se a elipse tem o seu eixo maior sobre ou sobre , basta observar onde está o maior denominador na sua equação reduzida. Se esse for denominador de , o eixo maior está sobre . Caso contrário, estará sobre . y
Por exemplo, na equação reduzida 3
o maior denominador é 9. Como ele é denominador de eixo maior da elipse está sobre . No caso temos
,o
-2
2
e, portanto, as intersecções com os eixos são os quatro pontos e . -3
Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos , vem e para , vem ,o que confirma as intersecções com os eixos em e
4
.
x
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Exemplos Nos problemas 1 e 2, para cada uma das elipses, determinar a) a medida dos eixos; b) os focos; c) um esboço do gráfico; d) a excentricidade. 1) a) Para expressar a equação para a forma reduzida, dividimos todos os termos da equação por 16
Maior denominador: 16. Logo, Então,
e o eixo maior da elipse está sobre o eixo
e e b) 4
Logo, os focos são F1
e F2
F2(0, √12)
c) Gráfico: 2
-2
d)
F1(0, -√12)
-4
2) a) A forma reduzida desta equação é
Neste caso
. Logo, não há eixo maior ou menor
5
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Então, e e b) 3
Logo, os dois focos coincidem com o centro 3
-3
c) Gráfico:
d) -3
A circunferência pode ser considera uma elipse de excentricidade nula.
3) Uma elipse de centro na origem tem a medida do eixo menor igual a 6, focos no eixo passando pelo ponto . Determinar sua equação. Como os focos estão no eixo
, a equação da elipse é do tipo
E como o eixo menor mede 6, isto é
E o ponto P
pertence a elipse, as suas coordenadas devem verificar a equação
Logo, a equação procurada é
6
e
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4. Outras Formas da Equação da Elipse Seja uma elipse de centro . Consideraremos somente os casos de os eixos da elipse serem paralelos aos eixos coordenados. y
1º) O eixo maior é paralelo a Ox
y’
Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo . Logo, sua equação reduzida é
P y’ A1 y
A2 O’ = C
F1
x’
k
O
Para expressá-la em relação ao sistema , utilizamos as fórmulas de translação de eixos
x’
F2
x h x
e que substituídas na equação anterior, resulta
que é a forma padrão para este caso.
2º) O eixo maior é paralelo a Oy De modo análogo ao 1º caso, temos
(
Assim por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto , e eixo menor medindo 8 ( , apresenta a equação: se
A1A2 //
se
A1A2 //
, eixo maior medindo 10
ou
Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.
7
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Exemplos 1) Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo , tem centro C e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse. Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo
com
, excentricidade
, sua equação é da forma
e
Precisamos determinar
e . Mas e
Sendo
, vem
De
, resulta
Donde
. Logo a equação da elipse é
Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos, obteremos outra forma da equação da elipse:
que é uma equação geral desta elipse. Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma
com e de mesmo sinal. Em particular, quando circunferência.
8
esta equação poderá representar uma
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2) Dada a elipse de equação
, determinar:
a) sua equação na forma padrão b) o centro c) a medida dos eixos
d) os focos e) um esboço do gráfico f) a excentricidade
Solução a) Iniciemos escrevendo a equação na forma padrão
b) Como
e
são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:
C c) Como sabemos o valor de
e
, da equação obtida acima, temos: e e
d) Para determinar os focos precisamos do valor de . De
Logo, os focos são F1
e F2
e) Gráfico:
f)
(1, 4)
(1+√5, 2)
(1-√5, 2)
(1, 0)
9
(4, 2)
(1, 2)
(-2, 2)
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5. Equações Paramétricas Consideremos a elipse de equação
y
A
Tracemos a circunferência de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse (Figura 12).
b P θ
Seja P um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela ao eixo , intercepta a circunferência em A e o eixo em A’, e o raio AO determina com o eixo um ângulo .
O
A’
a
x
Figura 1
Do triângulo
vem
Como é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada substituindo o valor de na equação da elipse:
do mesmo ponto é calculada
e
Observamos que para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse, e quando varia de a , o ponto P parte de e “descreve” a elipse na sentido antihorário. Então, é o parâmetro e o sistema
constitui as equações paramétricas dessa elipse.
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No caso da elipse ser
com eixo maior sobre
, suas equações paramétricas são
Quando o centro da elipse for C
, pela translação de eixos obtemos
ou
eixo maior paralelo a
ou
eixo maior paralelo a
e
Exemplo Obter as equações paramétricas da elipse de equação Solução
Como
e
são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:
C Como sabemos o valor de
e
, da equação obtida acima, temos: (eixo maior sobre
Logo, as equações paramétricas procuradas são
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6. Exercícios Propostos 1) Determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. a) Vértices A b) Vértices A
e excentricidade e passando por P
2) Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. a) Focos F1 b) Centro C
e F2 , e excentricidade , um foco F e tangente ao eixo
3) Obter as equações paramétricas da elipse de equação 4) Obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas 5) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade viaja ao redor de um planeta situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 , calcular a maior distância.
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