ВЕСЕЛАЯ МАТЕМАТИКА Мукул Патель Иллюстрации Суприи Сахай
Научно-популярное издание Для чтения взрослыми детям
Мукул Патель/Веселая математика. — Москва: «Клевер-Медиа-Групп», 2014. — 91 [5] с.: ил. — (Энциклопедии) Иллюстрации Суприи Сахай Перевод с английского Татьяны Покидаевой ISBN 978‑5‑91982‑349‑0 Впервые опубликовано издательством «Кингфишер», подразделением «Макмиллан Чилдренс Букс». Оригинальное название WE'VE GOT YOUR NUMBER Copyright © Macmillan Children’s Books 2013 © ООО «Клевер-Медиа-Групп», 2014 Тираж 3000 экз. Отпечатано в Китае.
Издательство Clever Генеральный директор Александр Альперович Главный редактор Елена Измайлова Арт-директор Лилу Рами Ведущий редактор Тонконогова Мария Младший редактор Ирина Данэльян В соответствии с Федеральным законом № 436 от 29 декабря 2010 года маркируется знаком 6+
ООО «Клевер-Медиа-Групп» 115054, г. Москва, ул. Пятницкая, д. 71/5, стр. 2
www.clever-media.ru clever-media-ru.livejournal.com facebook.com/cleverbook.org vk.com/clever_media_group @cleverbook Книги – наш хлѣбъ
Наша миссия: мы создаем мир идей для счастья детей и взрослых
В книге использованы фотографии: Редакция благодарит всех, кто любезно разрешил использовать принадлежащие им материалы. Мы очень старались найти всех владельцев авторских прав. Если мы кого‑то забыли или не нашли, это произошло не по злому умыслу. Приносим свои извинения и обещаем исправить ошибку в последующих изданиях. Interior: Getty Images: Захари Дженсен 39 (в центре); istockphoto: 89; NASA: GRIN 91; Public Domain: 17 (внизу, справа), 21, 37; Robert Hunt Library: 27, 52, 90: Science Photo Library: 31; Shutterstock: Bennyartist 64 (внизу), Юрий Бойко 69, Алексей Брагин 64 – 65, Сандра Колдуэлл 53, Concept 51, Coprid 64 – 65, Клаудио Дивизиа 35, Микеле Дрей 56, Георгиос Коллидас 42 (внизу), Эдуард Кизлинский 54, Nagel Photography 54, М. Панченко 45 (внизу слева), 45 (внизу справа), 85, Ingram Publishing 40 (сверху), istockphoto 17 (внизу в центре), 40, 45 (внизу справа), 83, Photosobjects.net 39 (вверху), Photos.com 46; Topfoto: 70, The Granger Collection 76. Все рисунки: Brown Bear Books Ltd. Компания Brown Bear Books Ltd. пыталась связаться со всеми владельцами авторских прав. Если у вас есть какая‑то информация, пишите на smortimer@windmillbooks.co.uk
Содержание 4 Что такое математика?
36 Мнимый мир
74 На стройке
38 Все не той формы
76 Игра словами
Отсюда до бесконечности 8
40 Мозаика
78 Спорт, спорт, спорт
42 Выход в четвертое измерение
Язык Вселенной 80
10 Как сосчитать все вокруг 12 Числовая ось 14 Системы счисления 16 Ничего, ничегошеньки, ноль без палочки 18 Рождение математики 20 Невероятно большие числа 22 Бесконечность бесконечностей 24 Простые числа 26 Дом мод N! 28 Множества и логика
44 Невозможные объекты 46 Теория графов
Живой мир 48 50 Все дело в размере 52 Как кролики
82 Законы движения 84 Орбиты 86 Время 88 Предельная скорость 90 Форма Вселенной
54 Популяции животных
92 Ответы и решения
56 Твое тело в числах
93 Биографии
58 Что такое жизнь?
94 Словарь
Математика на каждый день 60 62 Как сделать выбор? 64 Шансы и риски
30 Математическое доказательство
66 Средние величины
Странные фигуры, невероятные пространства 32
68 Алгоритмы
34 Какова длина береговой линии?
72 В полете
70 Совершенно секретно
95 Что еще почитать 96 Указатель
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей». Годфри Харолд Харди (1877–1947)
Что такое математика? Ч
то такое математика? Безусловно, это не только сложение и вычитание. И даже не только деление в столбик. Это не наука, хотя на нее полагаются все науки. Математика – это скорее искусство. Она чем-то напоминает живое существо, которое постоянно развивается, накапливая новый опыт, новые изобретения и открытия, новые идеи и представления.
Само название «математика» происходит от древнегреческого слова mathema, что значит «знание». Арифметика, алгебра и геометрия – очень важные разделы математики, но более общее определение математики звучало бы примерно так: «Это создание узоров и игры с ними». В XIX веке французский математик, физик и астроном Анри Пуанкаре описал математику, как «искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Когда вы берете отдельные вещи, выявляете те, что подходят друг к другу, В этой книге страницы пронумерованы необычно. У каждой есть номер в привычной и даете им общее имя, тем самым вы для нас десятичной системе счисления, в которой создаете узор. используется десять цифр от 0 до 9.
нумерация страниц
4 4
Но эта система – далеко не единственный способ счета. Поэтому мы решили пронумеровать страницы еще и в шестнадцатеричной системе счисления, которая используется в компьютерах (стр. 14–15). Для записи чисел в этой системе мы используем цифры от 0 до 9 и еще шесть символов – букв латинского алфавита: A, B, C, D, E и F. Число 1В в шестнадцатеричной системе соответствует числу 27 в десятичной: 1В = 1 х 16 плюс 1 х 11 = 27.
«Удовольствие, которое мы получаем от музыки, заключается в исчислении пропорций, но исчислении неосознанном. Музыка есть бессознательное упражнение души в арифметике». Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716)
«Не переживайте из-за своих трудностей в математике. Уверяю вас, у меня их больше». Альберт Эйнштейн (1879–1955)
«В математике умение поставить задачу ценится выше умения ее решить». Георг Кантор (1845–1918)
Карл Фридрих Гаусс, которого называли «королем математики», не раз говорил, что математика – царица наук. Но является ли наукой она сама? В науке эксперименты и факты приводят к созданию теорий, предполагающих дальнейшие эксперименты. В математике эксперименты и факты тоже небесполезны, но в конечном итоге они не имеют большого значения – что нам действительно нужно, так это найти абсолютное доказательство. Доказать что-либо можно только путем логических рассуждений, начатых с некоей несом ненной отправной точки. Создание таких доказательств похоже на рисование сложной карты или узора. Причем логические аргументы могут строиться самыми разными способами, создавая все новые и новые узоры.
«Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая; она может быть только более удобной». Анри Пуанкаре (1854–1912)
Наука или искусство?
Домашнее задание Лучший способ прочувствовать красоту математики – это заняться ей самостоятельно. В разделе «Домашнее задание» мы подобрали вопросы, над которыми надо подумать. Не волнуйся: это не контрольная и не экзамен. Эти задания мы разместили здесь лишь для того, чтобы тебе стало понятно, над какими вопросами думают математики и как именно они думают. Не переживай, если ты где-то «застрянешь»: ответы на все задания даны в конце книги на стр. 92. Кстати, не хочешь заняться математическими исследованиями? В Интернете есть сайты, организующие совместную работу многих людей со всего мира. Для участия в некоторых проектах вовсе не обязательно быть профессором математики. Ты вполне можешь присоединиться к интернет-поиску простых чисел Мерсенна и поучаствовать в охоте на большие простые числа. Завтрашние математики – это сегодняшние дети, и кто сказал, что ты не станешь одним из них? Даже если сейчас математика дается тебе с трудом, это еще ничего не значит. У Эйнштейна тоже были сложности с математикой.
А оно мн е надо?
5
5
«Хороший математик должен быть как минимум наполовину философом, а хороший философ – как минимум наполовину математиком». Фридрих Людвиг Готлоб Фреге (1848–1925) «Математика – это игра, в которую играют согласно определенным правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями». Давид Гильберт (1862–1943) 6 6
«Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, и молния не распространяется по прямой линии». Бенуа Мандельброт (1924–2010)
Пуанкаре называл математику искусством, потому что это не просто набор правил, следуя которым мы получаем ответ. Это творческое исследование, жонглирование идеями, а иногда даже битва с идеями. Математики – это художники, искатели приключений, акробаты и рыцари, слитые воедино. Если спросить кого-нибудь из них, что они ищут, в ответ мы, скорее всего, услышим: «красивое решение» или «элегантное решение».
Чем занимаются математики Математики ищут закономерности, или математические узоры повсюду вокруг: в ветках деревьев и мыльных пузырях, в архитектуре и музыке, и даже в автобусных маршрутах. Среди прочего математики объясняют, как меняется климат и как развеваются волосы на ветру.
Открытие или изобретение? Люди открыли математику или все-таки изобрели? Математические теоремы верны всегда и везде: теорема Пифагора будет истинной и в Греции, и в Китае – ее вывели независимо друг от друга в обеих странах и еще во многих других. Однако люди изобретают самые разные способы математических расчетов. Математики Древнего Китая мастерски решали задачи, а древние греки искали красивые доказательства математических утверждений. Так что, похоже, математические законы действительно существуют «сами по себе», но люди изобретают свои собственные пути (а иногда даже целые пространства), чтобы добраться до этих законов.
«Интересна лишь та задача, которая не дается сразу». Пит Хейн (1905–1996)
«Математика – это не осторожное движение по расчищенному шоссе; это опасный поход в дикие дебри, где очень легко потеряться». У. С. Англин
последовательности Одна из важнейших идей математики – это идея о последовательностях, то есть о рядах чисел, расставленных в определенном порядке. В каждой главе этой книги ты найдешь последовательность чисел, связанных друг с другом особым образом. Попробуй понять, в чем заключается эта связь. В начале каждой главы есть подсказки, а ответы можно посмотреть в конце книги.
«Математика – это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов, и в данной сфере ее возможности неограниченны». Поль Дирак (1902–1984)
Они наблюдают за ростом растений и за текущей водой, создают и взламывают секретные коды и управляют движением космических аппаратов, отправленных к другим планетам. Они знают несколько способов, как завязать шнурки, и распределяют цены на авиабилеты. И они хорошо разбираются в бесконечности! Математика нужна практически везде, вот почему математики часто Конь или осел? работают совместно с другими специалистами: Все относительно! физиками, инженерами, биологами, программистами, нейрохирургами, архитекторами – и даже модельерами! Эта книга расскажет тебе о том, что такое математика на самом деле: яркое, причудливое и красивое создание, которое можно найти везде – и у тебя дома, и в бескрайних просторах Вселенной.
«Математик, в котором нет ничего от поэта, никогда не будет полноценным математиком». Карл Вейерштрасс (1815–1897) 7
7
Отсюда
до бес-
конечности
подк-а! сказ
(Стр. 10–19) Тут важно положение чисел в ряду. (Стр. 20–31) Тут важна геометрическая фигура
М
атематические теоремы (теорема – это истинное утверждение, например: самого большого простого числа не существует) верны всегда. Однако сама математика появилась сравнительно недавно, примерно 2500 лет назад – но она развивается неимоверными темпами. Все математические знания столетней давности можно было бы уместить в 100 больших толстых книгах. Сегодня для наших математических знаний не хватит и 100 000 книг. А сколько всего нам еще предстоит узнать! Сколько задач нам еще предстоит решить! Некоторые из этих задач появились совсем недавно, а некоторым уже несколько сотен лет. Математики древности занимались в основном числами и счетом – кроме древних греков, которых больше интересовали фигуры и геометрия. В Азии математику использовали для решения практических задач. В Средние века, когда исламская культура достигла своего наивысшего расцвета, знания Востока и Запада объединились, в результате чего появились новые разделы математики – например, алгебра. В XVII веке Европа сделалась центром математических исследований, и эти исследования не закончены и по сей день. А сколько у него сторон?
Кто знает? Но он же красивый, да?
Как сосчитать
все вокруг Черточки – медленный способ подсчета.
Счет появился в доисторические времена, когда людям понадобилось следить за количеством предметов или событий. Со временем люди научились отделять способ счета от предметов, которые надо было сосчитать.
П
римерно 35 000 лет назад люди считали, ставя черточки на костях или камнях. Мы не знаем, что именно они считали. Возможно, убитых на охоте животных или количество раз, когда на небе появлялась полная луна. Каждому предмету или событию соответствовала одна черточка. Но это медленный способ счета – все равно, что считать, используя лишь одну цифру 1. Чтобы изобразить число 20, нам пришлось бы написать двадцать единиц (или поставить 20 отдельных черточек).
Как появились цифры
Все изменилось примерно 10 000 лет назад, когда у жителей Междуречья
(современный Ирак) появилось земледелие. Земледельцам надо было следить за сменой времен года и подсчитывать урожаи – у них не было времени на то, чтобы считать по черточкам. Шумеры Междуречья придумали специальные знаки для групп единичных черточек. , Они записывали 1, как , 9 – как а 10 – как . Это стало началом абстрактного счета. Теперь можно было считать предметы, используя символы, обозначавшие числа, вместо того, чтобы отмечать каждый предмет по отдельности.
И охота ему возиться!
Шумеры писали, выдавлив ая знаки на глиняных табличках.
10 a
1
16
15 14 12 11 13 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Познание мира
С помощью счета люди решали самые разные практические задачи, например, измеряли длину и вес. Но счет был еще и инструментом познания мира. Древние наблюдатели замечали, что Солнце и Луна движутся по небу циклично. Эти периодические Вавилоняне, майя и древние движения стали клюжители Индии наблюдали чом к пониманию за звездным небом. Их храмы того, как устрослужили также обсерваториями, ена Вселенная с вершин которых было удобно следить и как измеза движением небесных тел. Наблюдения за движением Солнца и Луны помогли создать рять время.
Многие древние люди считали на пальцах – отсюда, собственно, и происходит привычная нам десятичная система счисления. Индийские музыканты до сих пор отмеряют ритм до 16 по пальцам одной руки (вверху). Существуют и другие способы счета: у саамов, коренного народа Финляндии, была мера длины поронкусема – расстояние, которое проходит олень, пока не остановится помочиться (около 8 км).
Небо Над головой
точные, достоверные календари. Это было особенно важно для земледельцев, которым необходимо знать, когда надо сеять, а когда собирать урожай.
Считающие муравьи Муравьи находят дорогу домой, «считая», сколько шагов они делают в том или ином направлении. Это не значит, что муравьи знают числа – просто у них от природы есть внутренний шагомер.
11 b
А мне пирога?
Числовая ось
Когда ты задумываешься о числах, то, наверное, думаешь о целых числах, например, 1 или 43. Может быть, ты уже знаешь, что бывают отрицательные числа: –1 и –43. Но это еще далеко не все!
Отри цател ьн ы е ч и с ла
Древние гр еки не пони ма ли и не призна вали отриц ательных чисел. На св ете нет тако й вещи, к ак –3 яб ло к а! Но ес ли о бращаться с эт ими чис лам и, к ак с любыми д ругими, и со блюдать прави ла ма тематики, то с ними м ож н о п р е красно раб отать.
З
наешь ли ты, что сами числа нельзя посчитать, потому что они бесконечны? Представь, что все натуральные (целые) числа, 1, 2, 3 и т.д., расположены на прямой линии, уходящей в ∞ (бесконечность). Поставим на линии ноль, а слева от него расположим все отрицательные натуральные числа. Мы построили числовую ось, которая тянется бесконечно в обоих направлениях, от – ∞ к ∞. Да, это ОЧЕНЬ длинная линия, но теперь на ней располагаются все до единого возможные числа. Правильно? Нет, не правильно. Между 0 и 1 располагается бесконечное количество дробных чисел, ведь любую половину числа всегда можно разделить еще пополам. А можно взять 1/3 и делить ее на 3 до бесконечности… Если пеК дому ребирать все варианты, мы никогда не доберемся от 0 до 1. 29
-
100 ... 1/2 ...
1
1
Беско нечно колич е ество дробе распо й ла 0 и 1… гается меж ду и меж д остал ьным у всеми и цел ыми числа ми.
20
. ... 2/3 . 3/4 ...
c
7 1 - 0
.
. 28/
00
-126,33
Математики Древней Индии и Древнего Китая решали практические задачи и не пытались понять, как устроена Вселенная. Они использовали отрицательные числа в повседневной жизни – например, для учета долгов.
12
..
-585
. 1 /4
/4
Полезные инструменты
-1 329
178
106
7 7564
0 ..9/3
- 43
-21 1
1
1
Именитые числа
π
М-м-м!
Число пи (π) – отношение длины окружности к длине ее диаметра – является иррациональным. Его нельзя точно выразить в виде обычной дроби или конечной десятичной дроби, а можно выразить лишь приблизительно, как 22/7, или 355/113, или 3,14159. π появляется всюду, где есть круги и углы. На данный момент удалось вычислить значение π до 10 триллионов знаков после запятой, однако практически для всех расчетов – например, для проектирования зданий и даже для управления космическим аппаратом, запущенным к Марсу, – достаточно всего нескольких знаков после запятой.
897,5
75 9
2
53
167,9
5 2
2
4
у и жд Ме льным а ла ион ми рац числа ся чис . ют ые ага альн л о п он рас раци р и
9 647
К дому
83750205735375827
90164792893810
353
89 479 289 504
Иррациональные числа
35,7 3
4
5
Но на нашей числовой оси все еще многого не хватает, а именно, иррациональных чисел – таких, как π. Эти числа нельзя представить в виде обыкновенной дроби, но можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Между любыми двумя рациональными числами на числовой оси всегда стоит иррациональное число. А между двумя иррациональными числами стоит рациональное число. Вот теперь наша числовая ось укомплектована полностью. Уф! Нелегкая это работа – расставлять числа!
13 d
системы счисления
01 110011 011 0 0 1 1 0 100 00 0 1 0 0 0 11111 1010 Мы привыкли считать в десятичной системе: десятками, 011 сотнями, тысячами, миллионами и т.д. Но это не единственная 001100 001 1 1 0 0 1 система счисления. Если бы у нас на обеих руках было не 10, 01111 0011 а 8 пальцев, возможно, мы бы считали по основанию 8.
В
позиционных системах счисления значение каждой цифры в записи числа определяется ее разрядом, то есть позицией в записи. Например, цифра 1 в числе 10 означает совсем не то, что в числе 100. Основание позиционной системы счисления – это количество разных цифр, которые используются для записи чисел. К примеру, десятичная система счисления использует 10 цифр (от 0 до 9), поэтому ее основание 10. Это значит, что каждый следующий разряд всегда в 10 раз больше предыдущего, причем разряды считаются справа налево.
Следы других оснований
Вавилонское основание Мы измеряем время (минуты и секунды), углы (градусы, минуты и секунды) и географические координаты (градусы, минуты и секунды широты и долготы) долями числа 60. Эти измерения происходят от шестидесятеричной (по основанию 60) системы счисления древнего Вавилона.
14 e
Отголоски других систем счисления дошли до наших дней. В некоторых странах яйца продаются не десятками, а дю жинами, и во всем мире год делится на 12 месяцев. Ну, вот... В древности люди считали пятерками, шестерками, воськалькулятор мерками, дюжинами и даже двадцатками. Четверичная сломался... система счисления (с основанием 4) была очень распространенной, потому что 4 – это количество ног у коровы. Двоичная (с основанием 2) и шестнадцатеричная (с основанием 16) системы счисления используются до сих пор, но только в компьютерном программировании.
Как показать основание
Чтобы обозначить, какую систему счисления мы используем, нужно поставить нижний значок.
1 4
10 101111 100011 00 010 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 100 1 0 011 В к л 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 100 001 0 0 011 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 010001 0101011111 1011111 11 011 000001 010000 000 11 1 Выкл 011 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0111 0 0 1 1 0 10
Например, 100₂ – это 100 в двоичной системе, а 4 в десятичной (4₁₀). Основание любой системы внутри самой этой системы всегда записывается как единица и ноль. Например, 10 в двоичной системе (10₂) – это 2 в десятичной, а 10 в шестнадцатеричной (10₁₆) – это 16 в десятичной системе.
9
Числа для компьютеров В двоичной системе счисления используются всего две цифры — 0 и 1, называемые битами. Каждый следующий разряд в два раза больше предыдущего (двигаясь справа налево, по аналогии с единицами, десятками, сотнями, тысячами и т.д. в десятичной системе):
8 1
4 0
2 0
1 1
1×1 +0×2 +0×4 +1×8 = 9 в десятичном исчислении Поскольку числа двоичной системы записываются всего двумя знаками, эти числа можно представить в виде абсолютно любой системы с двумя различными состояниями, например, включая и выключая электрический ток. Цифровые компьютеры представляют все данные в виде чисел двоичной системы – потому что компьютер на самом деле не что иное, как совокупность миллионов переключателей тока. У двоичной системы счисления есть один очень существенный недостаток. Для записи больших чисел нужно большое количество битов. Для записи числа 1025 нам понадобится 11 битов: 100 0000 0001. И тут нам на помощь приходит шестнадцатеричная система. Числа двоичной системы легко преобразовать в числа шестнадцатеричной, потому что ее основание 16 – степень числа 2, основания двоичной системы. В шестнадцатеричной системе используется 16 знаков: цифры от 0 до 9 и еще 6 символов – букв латинского алфавита: A, B, C, D, E и F, которые обозначают числа 10, 11, 12, 13, 14 и 15. Для записи больших чисел в шестнадцатеричной системе требуется меньше знаков, чем в десятичной, и намного меньше, чем в двоичной системе. Например, число F4623, записанное 5 знаками в шестнадцатеричной системе, в десятичной записывается 7 знаками (1 000 995), а в двоичной – 20 знаками: 1111 0100 0110 0010 0011.
Домашнее задание Думай, как компьютер
Переводить числа из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно очень легко. Каждую цифру шестнадцатеричной системы можно записать в виде группы из 4 битов. Если ты знаешь двоичный эквивалент шестнадцатеричных цифр, преобразование чисел пойдет без труда: F3 – это 1111 0011, потому что F₁₆ = 1111₂ и 3₁₆ = 0011₂.
Гм... что-то я как-то плохо считаю...
15 f
б ь л о
ал и, о
Ноль без палочки – это и есть ноль, а с палочкой – уже 01 или 10. Думаешь, ноль был всегда? Как бы не так!
Что здесь есть? НИЧЕГО!
и чк
н
Н
ч и
е ч г о и ш н е , н о ь г к е ез п
Н
оль обозначает ничто, пустоту. Вроде бы все понятно, но как представить себе ничто и как его посчитать? Например, думать об отсутствии апельсинов и вообще не думать об апельсинах – это совсем не одно и то же. Древние греки не понимали, как можно считать ничто, ведь если оно поддается счету, значит, это уже не ничто, а что-то. В первых системах счисления ноля не было вообще. Но примерно в 3000 году до н.э. в Вавилоне появилась позиционная числовая система.
И здесь тоже...
Домаш нее задание О со б
Докажи, что 2 = 1 ые св
С ле д
16 10
о й с тв а
В озьме
н о л я п о з в о л я ют с о в е р ш и т ь н е в о з м
м р а в е н с тв а 1 х 0 = 0 и 2 х 0 = 0 .
ож н о
ь, на но л 2 х 0 . Де л и м о б е ч а с ти то ест 2. ь со к р а щ Пок аем ноли. У нас остается 1 = ажи и. это ур е м ати к авнение д рузьям и учителю мат овател
ьно, 1 х 0 =
То-то они удивятся!
е.
Знакомьтесь: это ноль... Ноль располагается посередине числовой оси, а все остальные числа слева или справа от него. Ноль считается целым четным числом (как 2 или –2), но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Когда мы прибавляем ноль к любому числу, число не меняется. Оно остается таким же, как было. При умножении любого числа на ноль всегда получается ноль, а вот вопрос о делении на ноль все
1 4 9
16
Что делает ноль:
еще остается открытым. 5 x 0 = 0 Раньше считалось, что 5 – 0 = 5 при делении на ноль 5 + 0 = 5 получается бесконеч5 ÷ 0 = ???!! ность, но сегодня мы говорим, что деление на ноль «не определено». Если бы в арифметике разрешалось делить на ноль, тогда нам пришлось бы признать, что 1 = 2. Но ты, наверное, понимаешь, почему так нельзя…
Значение числа определяется не только цифрами, но и расположением этих цифр. Древние вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления. В ряду цифр, обозначавших число, они оставляли пробел на том месте, где мы поставили бы ноль. Позже на месте пробела стали ставить метку-заполнитель, выполнявшую ту же роль, что теперь выполняет 0 в числах типа 101.
Вопрос деления
Считается, что впервые ноль стал использоваться как число в Индии, примерно в 600 году нашей эры. Индийские математики складывали, вычитали и умножали числа, включая ноль. Но они так и не пришли к единому мнению о том, что означает деление на ноль. Майя, жившие в Центральной Америке, тоже использовали ноль в своей системе счисления. Но мир узнал об идее ноля именно от индийцев.
агупта м х а Бр Индийский математик и астроном Брахмагупта, живший в VII веке, одним из первых начал использовать ноль в арифметических расчетах. В Европе ноль начали применять значительно позже, только в XII–XIII веках.
17
11
е н д и ж е о Р
математики Когда появились числа, считать стало просто. Но математика – это не только действия с числами. Во многих древних культурах люди использовали математику, чтобы понять и объяснить устройство Вселенной.
В
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
18 12
каждой древней культуре были свои достижения в области математики. Например, ученые Древнего Китая усовершенствовали методы счета и смогли очень точно вычислить значение числа π. Но самый большой вклад в развитие математики внесли древнегреческие мыслители. Во-первых, они изучали свойства чисел и фигур не только ради практического применения, но и ради чистого знания. Во-вторых, они разработали методы доказательства своих идей. Древние греки рассматривали математику как способ познания мира. Само слово «математика» происходит от древнегреческого слова, означавшего «знание».
1 4 9 16
Евклид
25 ...
Теорема Пифагора
Теорема – это доказанное утверждение. Самая знаменитая математическая теорема названа в честь древнегреческого философа и математика Пифагора. В VI веке до н.э. Пифагор так сформулировал эту теорему: «В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе (самой длинной стороне), равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (двух других сторонах)». Пифагор и его ученики считали, что числа – это первооснова мира. «Все сущее есть число», – утверждал Пифагор. Он говорил, что у всеЧто общего го в мире есть своя мера, и что любые две меры можно записать, у Пи-фагора как отношение величин, типа ½ или ¾. (Хотя один из последоваи пи-сьменного телей Пифагора открыл иррациональные числа, которые нельзя стола? записать в виде обыкновенной дроби.)
Древнегреческий математик Евклид (325–265 до н.э.), автор монументального труда по геометрии, состоящего из 13 книг. Методы, разработанные Евклидом – например, доказательство теорем с помощью правил логики, – применяются в математике по сей день.
Знаменитая теорема Теорема, названная именем древнегреческого математика, была известна в других культурах задолго до Пифагора. Возможно, наглядное доказательство этой теоремы первыми придумали китайцы. Возьмем четыре одинаковых прямоугольных треугольника и расположим их таким образом, чтобы в центре образовался квадрат площадью с². Расположим треугольники по-другому – и получим два квадрата с площадями а² и b². Мы видим, что площадь этих двух квадратов должна быть равна площади первого большого квадрата, следовательно а² + b² = с², где с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника.
Ох, китайцы...
a
a2 c2
b
b2 c
Архимед из Сиракуз (287–212 до н.э.) Древнегреческий ученый Архимед совершил много важных математических открытий. Он придумал способ записи очень больших чисел и, таким образом, смог называть числа, превосходящие «число песчинок в куче, равной целой Вселенной». Он вывел формулы для вычисления площадей и объемов круга, конуса и шара и достаточно точно вычислил значение числа π.
19
13
10,000,000,000,000,000,000,0 Невероятно 000
0000
000000
00000
000
0
00
00
0 0 0 0 0 0 000 00
5 4 3 2 . . . . .1
0000 9 8 7 6
0000
е и ш ь болчисла
0 0 0 0 000
Математики и физики часто работают с очень большими числами, причем у многих из этих чисел даже нет своего названия. Название «гугол» было придумано для того, чтобы различать очень большие числа и бесконечность.
Именитые числа Гугол Название «гугол» придумал девятилетний мальчик в разговоре с дядей-математиком, когда речь зашла о безымянном числе, которое представляет собой 1 со 100 нолями: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. С помощью степеней 10 один гугол можно представить, как 10¹°°. Это настолько большое число, что им пользуются очень редко. Но есть числа намного больше. Например, гуголплекс: 10gоogol или 1 с гугол нолями. Даже не пробуй записать это число – оно больше числа всех атомов во Вселенной! Это значит, что нет ничего, что можно было бы досчитать до гуголплекса. Но по сравнению с бесконечностью даже невообразимо огромный гуголплекс кажется крошечным.
14
Факториалы
Башни степеней
24 = 4! Восклицательный знак не означает, что надо кричать. Он означает «факториал» или «умножим это число на все натуральные положительные числа меньше его самого». То есть 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24. Факториалы используют там, где числа растут очень быстро – например, при расчете количества вариантов возможного выбора.
Для записи очень больших чисел удобно использовать «многоэтажные» степени: 10¹° = 10 000 000 000, но 10¹° ^ ¹° – это уже 1 с 10 триллионами нолей. 10googol можно записать, как 10¹° ^ ¹°°. «Этажей» можно добавлять сколько угодно. Такие башни степеней вычисляются сверху вниз.
00,000,000,000,000
20
У
подавляющего количества больших чисел вообще нет названий. Такие числа математики записывают в виде факториалов или степеней, для которых нужно совсем мало знаков. Это удобно, потому что очень большое число записывать сложно и долго, а очень-очень большое число вообще невозможно записать за целую жизнь – причем такое число может и не поместиться во Вселенной!
000,000,000,000,000,000,000,000 1
, В следующий раз, когда будешь обсуждать с родителями карманные деньги, предложи им такой вариант: на первую клетку шахматной доски они кладут 1 копейку, на вторую – 2 коп., на третью – 4 коп. и т.д. То есть на каждую следующую клетку нужно класть в 2 раза больше, чем на предыдущую. На последней клетке родителей ждет сюрприз! На эти 100 триллионов старых долларов Зимб абве можно было купить ра зве что банку газиров ки.
Мне бы карманы побольше!
Древние астрономические числа
В древних индийских текстах говорится о том, что Будда сумел назвать все числа до 10⁴²¹ (1 с 421 нолями). Самое большое число, для которого у древних греков было название, именовалось мириадой (10 000). Когда Архимед взялся подсчитывать количество песчинок, которые могли бы заполнить Вселенную, он перемножил мириаду мириад (100 миллионов) на саму себя мириаду мириад раз, — и получил в результате число 10⁶³, то есть 1 с 63 нолями. Система счета, предложенная Архимедом, могла оперировать и еще более крупными числами.
Экспоненты Если родители согласятся на твое предложение с шахматной доской (см. домашнее задание), то уже на 27-й клетке ты станешь миллионером: получишь 2²⁷ – 1 копеек, то есть 1 342 177 руб. 27 коп. А когда вы дойдете до последней клетки, у тебя будет 2⁶⁴ – 1 копеек, или 184 467 440 737 095 516 руб. 15 коп. Это больше 184 тысяч триллионов рублей. (Не исключено, что теперь тебе придется давать карманные деньги родителям.) Такое возрастание числа, возводимого в степень х, то есть умножаемого само на себя х раз, называется экспоненциальным ростом. Например, 10² = 10 х 10 = 100, а 2⁵ = 2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 32. Один миллион – это 10⁶, один миллиард – 10⁹, один триллион – 10¹². Твое тело состоит из более 10¹³ клеток, а сверхмощные компьютеры производят 10¹⁶ вычислений в секунду.
000,000,000,000,000,000,000,00
Домашнее задание
0,000,000,000,000,000,000,
21
15
...7.......8.......9........10............
..3
.
2..
Бесконечность
5 .. . . .
бесконечностей и ник беск Бес ак он ко их еч н бес а ко не р чн от
о и не место. не числ Назов о т э и е з н м т е – е р и д мо бо и люб у б ь о т . .о.е4о.г.р. . 5 . . . . . 6 . . . . н л2ь.ш 3 с . . в о а е . .7... р н . ла . С ней омно ствий. Она рас1по й е ч е с д ....8 е гаетс в е чи нел их к ь с я ..... ст тиче оси и одновременно – на на обо ьзя пр сло, й о ..9. о в н ме их « оиз кажд о л . .... к с ом м онц вод оси й иф чи и и кро ах» ть то ско ой ке э пич з е то такое бесконечность (∞), понятно еск р ом уже из ее названия: это нечто такое, у чего
.
.1 . . . 1.
Ч
нет конца. Натуральные числа бесконечны, потому что самого большого натурального числа не существует. К любому сколь угодно большому числу всегда можно прибавить 1. Древнегреческий философ Зенон Элейский (ок. 490–430 до н.э.) первым стал рассуждать о бесконечности с математической точки зрения. Он использовал парадоксы, то есть логически верные утверждения, противоречащие здравому смыслу. Вот его парадокс об Ахиллесе и черепахе. Ахиллес (отменный бегун) состязается в беге с черепахой (очень медленным существом). Ахиллес дает черепахе фору, но все равно должен выиграть гонку, потому что бегает намного быстрее, правильно? А Зенон утверждал, что Ахиллес не сможет догнать черепаху, потому что сначала ему нужно преодолеть половину расстояния между ним и черепахой, а чтобы преодолеть половину, нужно сначала преодолеть половину этой половины – и т. д. до бесконечности. Разумеется, в реальной жизни Ахиллес без труда до1 гонит – и перегонит! – черепаху. Хотя ему и придется преодолеть бесконечное количество расстояний, эти расстояния уменьшаются очень быстро, а их сумма (то есть весь путь целиком) не бесконечна.
.....2.....
..3
....
...
5.
...
..
22 16
½
она Пара докс Зен
..8
...
е между е расстояни ап эт м о д ается На каж пахой сокращ е р е ч и м со Ахилле ллес Но когда Ахи паха, наполовину. е была чере гд а, ст е м о д доберется , и Ахиллечуть вперед я тс е н и в д о та пр гонять. идется ее до су снова пр
.....
¼
.....7.......11....
..... 17..........
Домашнее задание
∞
..
1
Отель Гильберта может вместить бесконечное количество новых гостей, хотя все номера уже заняты. Как такое может быть?
Отель Гильберта
0....
∞
3
Я хочу комнату с видом... Отель Гильберта
Мест нет х мест Свободны
Немецкий математик Давид Гильберт придумал отель с бесконечным количеством комнат, пронумерованных 1, 2, 3 и т.д. В каждом номере живет постоялец. Свободных мест нет, но когда прибывает еще один гость, его без проблем размещают в отдельном номере. Каждый гость переселяется в следующую по счету комнату: гость из номера 1 – в номер 2, гость из номера 2 – в номер 3 и т. д. Поскольку в отеле бесконечное количество номеров, ни один гость не останется без комнаты, а новоприбывший поселится в освободившемся номере 1.
Безумный счет Кантора
.
Немецкий математик Георг Кантор (1845– 1918) утверждал, что существует бесконечное количество бесконечностей. Многие математики считали его сумасшедшим, но некоторые из них – например, Давид Гильберт – сразу поняли, что идеи Кантора навсегда изменили наши представления о математике. Кантор открыл, что мы можем сосчитать бесконечно большие группы, или множества, состоящие из бесконечного количества натуральных чисел. Все эти множества имеют одинаковый (бесконечный) размер. Такую бесконечность Кантор назвал счетной и обозначил, как алеф-ноль. Потом он показал, что невозможно сосчитать все вещественные числа, даже между 0 и 1. Эту более крупную бесконечность он назвал несчетной и обозначил как алеф-один. Кантор также отметил, что существует бесконечное количество еще более крупных бесконечностей: алеф-два, алеф-три и т. д. Не удиРазмер ти вительно, что многие считали его б е с ко н е ч н о с безумцем!
.7
Положительные дроби
Отрицательные дроби
Простые числа
Числа Фибоначчи
∞
...1 7..........
....
... . . 9 . . . . . 1 1
Нечетные целые числа
5.
Четные Кантор показал, что многие целые числа бесконечно большие счетные бесконечности имеют одинаковый размер. Это значит, что существует столько же натуральных чисел, сколько четных натуральных чисел, или нечетных натуральных чисел, или чисел Фибоначчи, или простых чисел, или чисел, кратных 100. Есть от чего завернуться мозгам!
...
....1
5.. 1 . ..
.......13.......1
Кантор показал, что все счетные бесконечности имеют одинаковый размер.
23
17
23 21710713 6597 29 11
37 3
Простые числа
Простые числа – это такие числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Простые числа издревле интересуют математиков, потому что из этих чисел складывается немало загадочных узоров.
Вход
только для членов клуба
П
ростые числа – это «кирпичики» для строительства всех натуральных чисел. Каждое натуральное число больше 1 представляет собой либо произведение простых чисел, либо простое число. Числа, не являющиеся простыми, называются составными. Быстрого способа факторизации очень большого составного числа (разложения этого числа на простые множители) не существует. Поэтому произведения больших простых чисел используют для шифрования секретных сообщений. Если ты изобретешь быстрый способ факторизации больших чисел, держи его в ие н а д а з е е тайне! Коды, которые используются в Интернете для защиты Домашмнула Эйлера данных – например, при обмене информацией между банФор 2 1 ками, – будут надежными лишь до тех пор, пока неn +n+4 кий злой гений не найдет алгоритм быстрой полумент для у р т с н и факторизации 200-значных чисел (мы ни е ула – рем любо Эта форм Вас нет в списке... е Б . л е с и на что не намекаем, мы знаем, что ты – не ых ч и т с р о п , р 1 п с я чени чиная злой гений…). число, на том е о н ь л а драт, а по тур на ква у его же м 1, е н к м если n = В поисках простых чисел , р е бавляе м и р Нап . 1 4 2 м е = я Поиск больших простых чисел – исло; n прибавл ростое ч п , 3 у 4 д = ы т 1 это задача для компьютера. о. Как 1² + 1 + 4 тое числ с о р п е е р ж о ула пе дает 47, т сла форм и ч о г о к ка маешь, с ботать? Он что, не в тех станет ра тапочках?
24 18
17 11 59
37
7
3 5 19 7 Решето Эратосфена
Эратосфен Киренский (ок. 276–195 до н.э.) предложил алгоритм нахождения простых чисел через «отсев» составных чисел из списка. Допустим, мы ищем простые числа от 2 до 100. Выпишем все числа подряд. Смотрим на первое число в списке (у нас это 2) и зачеркиваем все кратные ему числа, начиная с его квадрата: 4, 6, 8... Перейдем к следующему после 2 незачерк нутому числу (3) и зачеркнем все кратные ему числа, опять начиная с его квадрата: 9, 12, 15… Поскольку наш список заканчивается на 100, а 11² больше 100, то на 11 можно остановиться. Числа, оставшиеся в решете (оставшиеся незачеркнутыми) и есть простые числа меньше 100. 2861 2879 2803 2887 2819 2753 3 7 3 6 8 2897 7 2 2 7 7 2903 283 277 3 9 4 8 8 2909 7 2 2 1 1 5 2917 28 279 2857 2797 1 0 28
1 3
2
3
4
5
6
11 12 0 1 9 17 18 7 8 6 1 иями 5 1 2 4 Лин ены 4 1 3 2 3 1 о з н ач 21 22 3 0 о б в е де н и я 0 2 9 2 9 1 прои з 27 28 6 3 6 2 5 3 точек 25 33 34 2 4 2 3 1 4 31 39 40 8 3 47 48 37 6 4 5 4 54 43 44 52 53 1 5 59 60 49 50 8 5 57 65 66 55 56 4 6 63 71 72 61 62 0 7 9 6 77 78 67 68 6 7 5 7 84 73 74 82 83 1 8 90 79 80 88 89 7 8 95 96 85 86 4 9 93 0 91 92 99 10 8 9 97
6
113 109 53 89
Для многих и многих компьютеров. До того как у нас появились компьютеры, самые большим из известных простых чисел было 30-значное число (то есть число, записанное 30 цифрами). Сегодня самое большое известное простое число – это ять п о с а 2⁴³¹¹²⁶°⁹ – 1, число почти в 13 миллионов знаков! Но и это еще У н сь а л и ч н не предел. Больше 2000 лет назад древнегреческий матемазако ! а г а м у б тик Евклид доказал, что каким бы огромным ни было простое число, всегда можно найти простое число еще больше. Вот его доказательство: Допустим, есть некое очень большое простое число (назовем его р). Значит, последовательность простых е чисел будет выглядеть так: 2, 3, 5… и далее до р. ПереИз дось л е с множим все эти числа между собой и добавим 1. Наых чие простое просмот ко х ь се н в е ал зовем получившее число n. еди • 2 – са е м ое число ср енное четн св и ч ст е н о и д ст е о и р п Если n – простое число, значит, мы нашли простое число е большое сел. А само простых чи число больше р. Если n – составное число, оно должостых личество пр ло – это?.. ко е о н еч н ь но делиться на простое число, расположенное межт беско сел, разност • Существуе простых чи ар п ь . ст 3 е 4 и то , 1 ду 1 и n. Но такого числа нет в последовательности р, 4 близнецов 2. Наприме воеными равна р уд то го е ко у и д 2 ж ме 2, 3, 5 … р, потому что если разделить n на любое больше дно бым числом минимум о к ка • Между лю т и о ст из этих чисел, мы получим в остатке 1. Значит, мы ной всегда 6 стоит 5. ной величи р, между 3 и е м и р ап уг Н р . нашли простое число больше р. Причем данное яд д сло простое чи дущих подр р, ых чисел, и е н м и ав р ст ап со Н . и доказательство применимо к любому значению р. длины • Списк ыть любой
29
подогут б т 13 идущих за другом, м ае ч ю л к в 6 2 14 до 1 список от 1 ых чисел. н ряд состав
7
25
19
Это все на помой ку!
Дом мод N! 22
21
18
12
7
на льные чис ла и др ацио о б и. мы тебя удивим
20
ирр
13 14
15
16
1
√2
се
-73
в ! час им Сей ? ен ет 7 8 9 1 0
1/4
ва
Давай разберемся, что происходит, когда мы считаем по кругу. Допустим, наши 24-часовые часы показывают 21:00. Через 8 часов они будут показывать 05:00. Как мы это узнали? Прибавили 8 к 21, разделили полученный результат (29) на 24 (число делений на циферблате) и получили в остатке 5. Но если записать это в виде суммы, она и вправду получится странной: 21 + 8 = 5.
11
1a
одулярная арифметика похожа на счет по кольцу или на определение времени по часам с круговым циферблатом и стрелками. Каждый раз, доходя до 12, стрелки переходят на следующий круг, начинающийся с 1. (Чтобы было удобнее считать, лучше взять не обычный циферблат с делениями от 1 до 12, а 24-часовой циферблат с делениями от 0 до 23.)
бы
π
Пионером модулярной арифметики считается швейцарский математик Леонард Эйлер, живший в XVIII веке. Ее иногда называют «арифметикой на часах», потому что когда мы при счете доходим до определенного числа (модуля), счет «обрывается» и вновь начинается с начала.
26
М
4
е
-18 26 3/4-4
∞
1 2 3
5 6
1/2
24
23
Буд ьу на И в се см отр ен иц ат е л ь ше ьн ы
-59
тм
л а б ы п р о ще ка ста , пр и т а авд м е т ь л ш о а? б е 23. Д с ла и ма Да ч у , мае се л в ва е шь с ,и й и а , л ч та о с кн чи е
1 3 6
Берем и делим!
ание д а з е ашне с ти
Дом аки делимо ся ли число т ризн ло м , де л и П
л яе и чис опреде ь, делится л лярная а д у р т т а з м од у Мы бе 10. А к ак у зн м ож е т о п и м 5 а , на 2 ? Ту т н и ли 11 9 , 3 а н я на 3 е ти к а ! делитс фр, о арифм л с и се х ц и на 3: ч мости огда сумма в 3. и л е д к ак Призн олько тогда, о, делится на т и и ч сл тогда их это щ ю я л состав
10
Призн а тогда к делимос ти и соста только тог на 9: чис л в л яющ о да их это , когда сум делится на м 9 чис ло Призн , д е л и а в се х ц и ф тся на р, а к де л на лев имос т 9. о и п о п е р , от п о с л е д н а 1 1 : д в и не га е ры. Ес менно выч й цифры ч ясь справа итаем ли по ис ла к лу ( к о н гр и п уэнте ченный ре ск ладывае ервой, н0m з на 11 м у л в се ьта od 11 .Н ), то и т делится цифпотом апример: на са ч у что 9 – 8 + ис ло 1089 мо чис ло д 11 д е ли ел 0 – 1 = 0 mod ится на 11 тся , 11.
Конгруэнтность по модулю
При сравнении чисел по модулю математики используют значок конгруэнтности , чтобы сразу было понятно, что это модульная арифметика. Запись 21 + 8 5 mod 24 означает, что 21 + 8 «равно» пяти по модулю 24. 5 – это остаток, получившийся при делении 29 на 24. Прибавляя к этому остатку и вычитая из него числа, кратные 24, мы получим другие числа, конгруэнтные 5 по модулю 24. Например, – 19 (5 – 24) и 53 (5 + 24 х 2) конгруэнтны 5 по модулю 24. Это значит, что при вычислении по модулю 24 число – 19, или 29, или 53 можно заменить числом 5.
Карл Гаусс Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) вывел теорию сравнения по модулю, когда ему было 19 лет. Еще в младшей школе он поразил учителя математики, мгновенно подсчитав сумму всех чисел от 1 до 100. (Он разбил эти числа на 50 пар с одинаковой суммой: 1 + 100, 2 + 99 и т.д.). «Король математики» не всегда публиковал свои открытия, поэтому слава за эти открытия досталась другим.
Просто счет
В модулярной арифметике можно складывать, вычитать, умножать и возводить числа в степень. Поскольку здесь мы работаем только с остатками (как правило, это совсем небольшие числа), вычисления происходят намного проще, чем в обычной арифметике. В качестве модуля можно выбрать абсолютно любое число. Например, когда мы считаем семерками (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2…), мы сравниваем числа по модулю 7.
Для чего это нужно?
Модульная арифметика применяется, например, для оцифровки аудиозаписей или для вычисления «контрольной суммы» в штриховых кодах. Одна цифра штрих-кода не содержит никакой информации о товаре, но сумма всех цифр дает определенное число (в модульной арифметике). Если сканер не считывает это число, значит, штрих-код неправильный. 27
1b
Множества и логика
Что лежит в основании математики? Вовсе не числа, а множества (наборы объектов, или элементов) и логика (правила построения рассуждений). Элементом множества может быть что угодно: число, цвет и даже другое множество.
К
огда мы составляем список элементов множества, нам не важно, в каком порядке располагаются эти элементы. Множество S = { невидимый, розовый, единорог } – точно такое же, как множество Т = { розовый, невидимый, единорог }. Эти множества равнозначны, так как они состоят из одинаковых элементов. Все элементы множества U = { невидимый, единорог } входят в множество S. Таким образом, U «содержится в S» и является его подмножеством. А множество V = { невидимый, синий } не является подмножеством S, поскольку «синий» не входит в число элементов S.
Задача о трех шляпах Три человека – назовем их А, В и С – сидят в ряд, один за другим. С видит перед собой В и А; В видит только А; А сидит впереди и не видит ни В, ни С. Теперь все трое закроют глаза, а мы достанем из сумки три шляпы и наденем их на головы А, В и С. Никто из них не знает, какая шляпа на нем надета, но известно, что в сумке лежали 3 зеленых и 2 оранжевых шляпы. Теперь каждый по очереди должен сказать, сможет ли он назвать цвет своей шляпы. С говорит «нет». В говорит «нет». А говорит: «Да, могу. Моя шляпа…» Какого она цвета? И как А сумел найти правильный ответ? 28 1c
Мы любим зебр
1 3 6 10 Хочешь к нам?
15
Современная логика строится на исследованиях английского математика Джорджа Буля (1815–1864), посвященных словам, которыми соединяются утверждения: «и», «или», «если», «значит» и т.д. Булева логика используется в цифровых компьютерах: процессоры содержат группы элементов, так называемые «логические вентили». Вентиль НЕ в сцепке с вентилем И обраДа вот зует вентиль НЕ-И. А несколько миллионов думаю... НЕ-И образуют... компьютер. Математики записывают логические рассуждения не словами, а символами – так получается быстрее и эффективнее.
Логические рассуждения Во многих древних культурах правила построения рассуждений были практически одинаковыми. Наиболее широкое распространение получила логическая система, предложенная древнегреческим философом Аристотелем. Мы до сих пор применяем три основных правила логики Аристотеля:
Диаграмма Венна Схематические изображения множеств помогают в решении задач. Допустим, в компании из 21 человека 13 человек любят зебр, 7 любят носорогов и 5 любят и тех и других. Сколько человек не любит ни зебр, ни носорогов?
• Закон тождества: каждое понятие должно употребляться только в одном значении. • Закон противоречия: из двух противоположных суждений истинно только одно. • Закон исключенного третьего: каждое суждение либо истинно, либо ложно, третьего не дано. Применив эти правила, Аристотель разработал учение о силлогизмах – рассуждениях, в которых мы делаем вывод на основании двух утверждений. Например: (1) Все единороги розовые. Никакой ты (2) Некоторые единороги невидимы. Следовательно, (3) некоторые розовые не единорог! единороги невидимы. В данном случае нам не важно, истинны или ложны два первых утверждения. Нам важен ход рассуждений. Если (1) и (2) оба истинны, значит, (3) тоже должно быть истинным. Но есть и неправильные силлогизмы. Например: (1) Все единороги розовые. (2) Некоторые розовые существа – носороги. Следовательно, (3) некоторые единороги – носороги.
29
1d
Математическое доказательство Чтобы доказать, что математическое утверждение истинно, необходимо построить цепочку логически верных умозаключений, опираясь в своих рассуждениях на аксиомы, то есть бесспорные истины, не требующие доказательств.
В
математике часто используется доказательство от противного. Чтобы доказать истинность утверждения, нужно предположить, что оно ложно. Это значит, что обратное ему утверждение должно быть истинным, но доказывая его истинность, мы придем к явно нелепому выводу. Поскольку мы рассуждали логически правильно, значит, предположение (что первое утверждение ложно) должно быть ложным. Следовательно, первое утверждение должно быть истинным. Этот метод можно использовать, например, для доказательства, что самого маленького положительного числа не существует. Какое самое маленькое положительное число? А теперь раздели его пополам.
30
1e
Нашел! Нашел!
Черт!
Принцип домино
Математическая индукция – еще один метод доказательства – напоминает цепочку косточек домино, выставленных в ряд таким образом, что каждая падающая косточка опрокидывает следующую. Если мы опрокинем первую косточку, то упадет вся цепочка. Чтобы доказать, что некая формула верна для всех натуральных чисел, сначала докажем, что она верна для любого взятого наугад числа х. В этом случае она будет верна и для х + 1. Теперь проверим, верна ли она для числа 1. Если да, значит, мы опрокинули первую косточку – и все остальные за ней.
Домашнее задани е Контрпример
Нельзя доказать ут верждение, подкре пляя его примерами, – чтобы доказать, что утверж дение верно всегда, нам пр ишлось бы привести бесконечное количество примеров. Но можно оп ровергнуть утверждение (доказать, что оно ло жно), подобрав контрприме р, противоречащий данному утверждению. Попробуй опроверг нуть утверждение: «Все простые числа – нечетные».
3 6 10 15
21...
Домашнее задание
Ты здесь
Теорема о четырех красках Теорема о четырех красках утверждает, что возможно раскрасить любую плоскую карту всего четырьмя красками так, чтобы любые две области, граничащие друг с другом, были раскрашены в разные цвета (если области соприкасаются только одним уголком, или точкой, их цвета могут быть одинаковыми). Хочешь попробовать? Скопируй эту карту штатов США и постарайся раскрасить ее согласно теореме о четырех красках.
Доказательство на компьютере Утверждение, которое кажется истинным, но еще не доказано, называется гипотезой. Доказанное утверждение называется теоремой. Возьмем, например, теорему о четырех красках. Доказательство теоремы о пяти красках занимает одну страницу, а для четырех красок короткое доказательство не найдено до сих пор. В 1976 году двое математиков доказали эту теорему с помощью компьютера. Доказательство проверяли другие компьютеры – у людей это заняло бы слишком много времени.
Курт Гедель В 1931 году австрийский логик Курт Гедель (1906-1978) заявил, что могут существовать истинные теоремы, которые нельзя доказать. Не потому, что это слишком сложно, а потому, что вообще невозможно. Также он заявил о невозможности доказательства того, что аксиомы, которые мы используем, никогда не противоречат друг другу. К счастью, математикам приходится сталкиваться с подобными проблемами не слишком часто.
31 1f
Странные фигуры, невероятные пространства
Биографии Эварист Галуа (1811–1832) Свою первую работу по математике Эварист Галуа опубликовал, когда учился в школе. Он сделал немало интересных открытий, однако они не нашли понимания у современников. Галуа дважды сидел в тюрьме за свою политическую активность и погиб на дуэли в возрасте 21 года. Признание пришло к нему уже после смерти, а предложенный им способ решения уравнений дал начало новому разделу алгебры, известному как Теория Галуа. Джон фон Нейман (1903–1957) Выдающийся американский физик и математик венгерского происхождения Джон фон Нейман в 1930-х годах работал вместе с Эйнштейном. Больше всего он известен как создатель вычислительных систем, легших в основу архитектуры современных компьютеров. У Неймана был такой мощный ум, что он не мог размышлять без помех, поэтому ученый работал, включив телевизор на полную громкость. Амалия Эмми Нетер (1882–1935) Научная карьера Амалии Нетер складывалась очень непросто. Несмотря на выдающиеся достижения в математике и на поддержку ведущих ученых мира, она долго не могла занять подобающую ей должность в родной Германии, где женщин вообще не пускали во многие университеты. Математические исследования Нетер помогли Эйнштейну в разработке общей теории относительности, а работы в области алгебры способствовали созданию нового направления, изучающего алгебраические системы. Анри Пуанкаре (1854–1912) Французский математик, физик и астроном Анри Пуанкаре занимался исследованиями во многих областях физики и математики. Он работал над решением задачи трех тел (задача, призванная определить траектории движения трех небесных тел, взаимно притягивающих друг друга), создал математические основы теории относительности Эйнштейна и выдвинул идеи, на основе которых была создана математическая теория хаоса. Алан Тьюринг (1912–1954) Английский математик Алан Тьюринг известен, прежде всего, как создатель абстрактной вычислительной машины Тьюринга и теста Тьюринга, цель которого заключается в том, чтобы определить, может ли машина «мыслить». Идеи Тьюринга легли в основу современных компьютерных наук и разработок в области искусственного интеллекта. Во время Второй мировой войны Тьюринг создал вычислительное устройство, взломавшее коды немецкой шифровальной машины «Энигма».
Эндрю Уайлс (1953) Английский математик Эндрю Уайлс узнал о Великой теореме Ферма в десятилетнем возрасте и сразу же загорелся идеей ее доказать. В 1993 году он представил доказательство теоремы, однако другие математики нашли в нем ошибку. Уайлс попытался ее исправить, но у него ничего не получалось. Он уже был готов сдаться, но год спустя неожиданно нашел решение. Уайлс доказал теорему Ферма с помощью современных математических методов; если Ферма действительно доказал свою теорему, это должно было быть совершенно другое доказательство. Пьер де Ферма (1601–1665) Ферма учился на адвоката, но ближе к 30 годам увлекся математикой. Всем, кто интересуется математикой, известна Великая теорема Ферма, утверждающая, что невозможно найти отличные от ноля значения для x, y и z, которые отвечали бы равенству xn + yn = zn при условии, что n больше 2. Сам Ферма написал, что «нашел этому поистине чудесное доказательство», но у него не было места на листе, чтобы записать это доказательство. Теорему Ферма удалось доказать больше 300 лет спустя, в 1994 году. Филиппа Фосетт (1868–1948) В 1909 году женщинам не давали ученые степени в Кембридже, однако Фосетт блестяще сдала экзамен по математике и всетаки получила степень. Об этом событии написали в газетах по всему миру, объявив, что Фосетт доказала: женщины не глупее мужчин ни в чем, даже в математике. Филиппа Фоссет работала преподавателем в Кембридже и занималась реформой системы образования в Англии и ЮАР. Альберт Эйнштейн (1879–1955) В юности Эйнштейн хотел стать преподавателем физики и математики, но обстоятельства сложились так, что ему пришлось поступить на работу в Бюро патентования изобретений. В свободное время он занимался наукой. Даже теперь, по прошествии стольких лет, теории Эйнштейна дают самое лучшее объяснение тому, как устроена Вселенная. Хотя Эйнштейн подписал письмо президенту США, убеждая его в необходимости создания атомной бомбы, позже ученый переменил мнение и начал выступать за мир и отмену ядерного оружия. Пал Эрдеш (1913–1996) Венгерский математик Пал Эрдеш посвятил этой науке всю жизнь. У него почти никогда не было постоянной работы и даже собственного дома: он путешествовал по всему миру и искал людей, с кем можно было бы проводить совместные исследования. Он написал более 1500 научных статей о простых числах, теории графов, комбинаторике и теории чисел. Получив премию в $50 000, Эрдеш потратил почти все деньги на учреждение призового фонда для других математиков.
Словарь терминов и понятий Алгебра – раздел математики, изучающий свойства операций с числами, способы решения уравнений, а также взаимосвязи между математическими идеями и объектами. Арифметика – раздел математики, изучающий числа и операции с числами. Бесконечность – условная величина, не имеющая конечного значения. Бесконечность не является числом, с ней нельзя производить арифметические действия. Бесконечности могут быть разных размеров: существует бесконечное множество натуральных чисел и бесконечное множество вещественных чисел, однако вещественных чисел гораздо больше, чем натуральных! Вектор скорости – скорость тела, движущегося в определенном направлении. Два тела, движущиеся с одинаковой скоростью, но в разных направлениях, имеют разные векторы скорости. Вещественное число – число, которое можно расположить на числовой прямой. К вещественным числам относятся все рациональные и все иррациональные числа. Геометрия – раздел математики, изучающий фигуры. Гипотеза – утверждение, которое кажется истинным, но еще не подкреплено доказательствами. Доказанное утверждение называется теоремой. Действие с двумя величинами – математическое действие, в результате которого из двух чисел получается одно. Четыре действия арифметики – это сложение, вычитание, умножение и деление. Доля – часть целого. Иррациональное число – вещественное число, его нельзя представить обыкновенной дробью, в числителе и знаменателе которой стоят целые числа. К иррациональным числам относятся, например, √2 и π. Эти числа можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Квадрат числа (вторая степень) – результат умножения числа на само себя. Например, число 64 – это квадрат числа 8, потому что 64 = 8 х 8. Квадратный корень – число, которое при умножении само на себя дает в результате первоначальное число. Например, квадратный корень из 9 будет 3, потому что 32 = 3 х 3 = 9. Комплексное число – «парное» число, состоящее из вещественного и мнимого чисел. Конечный – имеющий конец, не бесконечный.
Координаты – величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. Для определения положения точки на двухмерной плоскости нам нужно знать две координаты, а в трехмерном пространстве – три. Кратный – делящийся без остатка на какоелибо число. Например, 16 кратно 4, потому что 16 делится на 4 без остатка. Куб числа (третья степень) – результат умножения числа на само себя дважды. Например, число 64 – это куб числа 4, потому что 64 = 4 х 4 х 4. Мнимое число – квадратный корень из отрицательного числа. √–1 называется числом i, а все остальные мнимые числа обозначаются умножением на i. Например, √–49 = 7i, а √–1/4 = 1/2i. Многогранник – объемная (трехмерная) замкнутая фигура со сторонами в виде многоугольников. Существует всего пять правильных выпуклых многогранников. Их называют платоновыми телами. Это тетраэдр (треугольная пирамида), куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Многоугольник – плоская замкнутая фигура с прямыми сторонами. К многоугольникам относятся, например, треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Множество – совокупность объектов, называемых элементами. Элементом множества может быть что угодно, даже другое множество. Порядок элементов в составе множества не имеет значения. Множество без элементов называется пустым множеством и обозначается знаком Ø. Модель математическая – «картинка» реального мира, построенная с помощью математических расчетов. Хорошая модель позволяет объяснять явления, которые мы наблюдаем в реальности, и делать точные прогнозы на будущее. Натуральное число – положительное число, используемое при счете предметов: 1, 2, 3... Множество натуральных чисел является бесконечным. Иногда к натуральным числам относят 0 (ноль). Объем – величина, которая показывает, сколько места занимает тело в пространстве. Обыкновенная дробь – число, состоящее из нескольких долей единицы. Например, дробь 3/5 означает, что единицу разделили на пять частей и взяли три таких части. Верхнее значение дроби называется числителем, а нижнее – знаменателем.
Остаток – число, которое остается при делении целого числа на другое целое число, когда результат деления не может быть выражен целым числом. Например, 10 : 3 = 3 с остатком 1. Отношение – частное, получаемое от деления одного числа на другое. Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрицательное число – число меньше ноля. Ноль не является ни отрицательным, ни положительным числом. Периодичность – повторяемость какого-либо действия или явления через определенные промежутки времени. Плоскость – неискривленная двумерная поверхность, уходящая в бесконечность во всех направлениях. Площадь поверхности – величина, которая показывает «размер» поверхности. Чем больше площадь поверхности, тем больше нам нужно краски, чтобы закрасить ее целиком. Поверхность – пространство с двумя измерениями. Для определения местоположения точки на любом месте поверхности нам достаточно знать всего две координаты. Плоскость – это поверхность, однако поверхности бывают не только плоскими, но и искривленными (как, например, сфера), и еще более сложными. Подмножество – множество, которое является элементом другого множества. Положительное число – число больше ноля. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Последовательность числовая – список чисел, стоящих в определенном порядке, например, 1, 2, 3, 2, 1. Последовательности могут быть бесконечно длинными. В последовательности, называемой арифметической прогрессией, каждое следующее число получается из предыдущего путем прибавления к нему определенного числа (это прибавляемое число всегда остается одним и тем же). Например: 1, 5, 9, 13... В геометрической прогрессии каждое следующее число получается из предыдущего путем умножения его на определенное число, которое всегда остается одним и тем же. Например: 1, 5, 25, 125... Правильная фигура – фигура, стороны и углы которой равны между собой. Квадрат – это правильный четырехугольник. Произведение – результат умножения чисел. Простое число – натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. См. Составное число.
Пространство – место, обладающее определенными свойствами, включая количество измерений (два для плоскости, три для объемных тел и т.д.). Прямая – в математике прямой называют одномерный объект, который имеет бесконечную длину, но не имеет ширины – почти то же, что и линия. Прямые и точки являются основными понятиями геометрии. Равносторонний треугольник – правильный треугольник, стороны которого равны между собой, а все углы равны 60 градусов. Разложение числа на множители – нахождение чисел, которые при умножении друг на друга дают исходное число. Например, число 12 можно разложить на множители 1 и 12, или 6 и 2, или 4 и 3, или 2, 2 и 3. Разложение числа на простые множители называется факторизацией числа. Расстояние – величина, которая показывает, насколько две точки в пространстве удалены друг от друга. Рациональное число – число, которое можно представить обыкновенной дробью, где в числителе стоит целое число, а в знаменателе – любое другое целое число, кроме ноля.
Система обозначений – «язык математики», определенные символы и правила их расстановки. Скорость – расстояние, которое тело проходит за определенный отрезок времени. Скорость тела, движущегося в определенном направлении, называется вектором скорости. Случайный – неопределенный, непредсказуемый. Например, когда ты кидаешь игральный кубик, ты не можешь заранее знать, какое выпадет число. Результат броска кубика будет случайным. Совершенное число – число, равное сумме своих собственных делителей. Например, число 6 – совершенное число. Потому что сумма его собственных делителей (1, 2 и 3) равна ему самому: 1 + 2 + 3 = 6. Составное число – натуральное число больше 1, которое не является простым. Обрати внимание, что 1 не является ни простым, ни составным числом. Сумма – результат сложения чисел. Точка – в математике точкой называется объект, не имеющий измерения (у точки нет ни длины, ни площади, ни объема). Точки и прямые являются основными понятиями геометрии.
Угол – фигура, образованная двумя прямыми, исходящими из одной точки. Обычно углы измеряют в градусах, но в математике их иногда измеряют в радианах: 360 градусов = 2 π радиан. Уравнение – равенство, содержащее неизвестную величину. Решив уравнение, мы узнаем, какому числу равна эта неизвестная величина. Например, в уравнении х + 7 = 11, х – это неизвестная величина, и уравнение имеет только одно решение: х = 4. Ускорение – величина, которая показывает изменение скорости движения за единицу времени. Например, за одну секунду. Целое число – множество целых чисел включает все натуральные числа (1, 2, 3...), соответствующие им отрицательные числа (–1, –2, –3...) и ноль. Частное – результат деления одного числа на другое. Четырехугольник – многоугольник с четырьмя сторонами. Все прямоугольники – четырех угольники, однако не все четырехугольники – прямоугольники.
Что еще почитать Теперь ты знаешь, что математика – не скучный школьный предмет, а увлекательное исследование. Если хочешь продолжить знакомство с ней, вот список книг, которые могут тебя заинтересовать. В этом списке есть и математические сказки, и занимательные задачи, и игры с числами, и серьезные «взрослые» работы, которые наверняка покажутся тебе сложными и непонятными, но их и не надо читать целиком – достаточно прочитать лишь несколько страниц, чтобы узнать что-то новое и интересное. 1. В. А. Левшин «Магистр рассеянных наук: Математическая трилогия» 2. В. А. Левшин «Три дня в Карликании» 3. В. А. Левшин «Черная Маска из Аль-Джебры» 4. В. А. Левшин «Нулик-мореход» 5. Лев Генденштейн «Алиса в Стране математики» 6. Я. И. Перельман «Математика в занимательных рассказах» 7. Я. И. Перельман «Живая математика» 8. Д. А. Гусев «Удивительная логика» 9. Рэймонд Смаллиан «Принцесса или тигр?» 10. Рэймонд Смаллиан «Как же называется эта книга?» 11. Льюис Кэрролл «История с узелками» 12. Мартин Гарднер «Математические головоломки и развлечения» 13. Мартин Гарднер «Математические новеллы»
Указатель GPS 87 i (число) 36 алгоритм 68–69 Алиса в Стране чудес 76 Альгамбра 33, 40 Аль–Хорезми 69 анализ математический 83 Архимед 19, 21, 83 бесконечность 12, 22–23, 77 большие числа 20–21 Брахмагупта 17 Буль Джордж 29 бутылка Клейна 45 Вавилон 14 вероятность 62–63, 64–65 вибрация 74–75 время 11, 86, 88 Вселенная 11, 19, 80, 90–91 выбор 62–63 вычисления 18, 27 Галилей Галилео 82, 83, 88 Гаусс Карл Фридрих 5, 27 Гедель Курт 31 геодезический купол 74 губка Менгера 34–35 гугол 20 двоичная система счисления 14, 15 Декарт Рене 33, 36, 42 десятичная система счисления 14 длина 34–35 ДНК 49, 58, 59 доказательство 5, 18, 30–31 Древняя Греция 4, 8, 12, 16, 18, 19, 21, 22, 29, 33, 36, 82 Евклид 19, 25
«Жизнь» (игра) 59 жизнь 58–59 задача о кенигсбергских мостах 46 задача о коммунальных услугах 47 задача о трех шляпах 28 закон всемирного тяготения 84 закон обратных квадратов 85 законы движения 82–83 золотое сечение 53 измерения 33, 42–43, 90–91 иррациональные числа 13, 19, 37 искусственная жизнь 58–59 Кантор Георг 23 квадратичный закон 50–51 Кеплер Иоганн 85 код 24 колесо 38 комбинация 63 комплексные числа 37 компьютер 15, 25, 58–59, 68–69 кривая провеса 38, 75 кубический закон 50–51 Кэрролл Льюис 76 лабиринт 69 Лейбниц Готфрид 83 лента Мебиуса 44 логика 29 Мандельброт Бенуа 34–35 масштабирование 50–51 мнимое число 36–37 множество 28 множество Жюлиа 37 модель 49, 54, 61 модель Boids 59 модулярная арифметика 26–27 мозаика 40–41 музыка 77 мыльные пузыри 39
натуральные числа 12, 24 небоскреб 74–75 ноль 16–17 Ньютон Исаак 82–83, 85, 88, 90 объем 50–51 орбита 84–85 отрицательные числа 12, 37 парадокс близнецов 87 парадокс Гильберта 23 парадокс Зенона (парадокс про Ахиллеса и черепаху) 22 пи (π) 13 писатель 76 Пифагор 6, 19 популяция 54–55 последовательность Фибоначчи 52–53 пространство–время 90–91 простые числа 24–25
тело человека 56–57 теорема 6, 9, 19 теорема о четырех красках 31 теорема Пифагора 19 теория графов 46–47 теория относительности 87–89 теория относительности специальная 89–90 треугольник Рело 39 Тьюринг Алан 58–59 тяготение 84–85, 87, 90–91 факториал 20, 63 фи (φ) 53 фигуры геометрические 33, 38–39 фракталы 35, 37, 56 хаос 49, 55 цифры и числа 10, 12–13, 17
размер 33, 50–51 расстановка 62–63 решето Эратосфена 25 риск 64–65
часы 86–87, 88 черные дыры 85, 91 четвертое измерение 42–43 число Эйлера (е) 55
сила 20–21 силлогизм 29 симметрия 49, 56 системы счисления 14–15 скорость света 88–89 снежинка Коха 35, 57 составные числа 24 сочетание 62–63 спорт 78–79 сравнение чисел по модулю 26–27 средние величины 66–67 статистика 66–67 степень 20–21 строительство 74–75 супермаркет 66–67 счет 10–11, 14, 18
шестнадцатеричная система счисления 14–15 шифр 70–71 шифрование с общим ключом 71 штрих–код 27 Эйлер Леонард 24, 26, 36, 46, 55 Эйнштейн Альберт 5, 87, 89–90 экспоненциальный рост 21, 54–55 Эратосфен 25
«Природа говорит языком математики», — сказал Галилео Галилей. И он был прав. Математика — это не только сложение и вычитание. Она повсюду вокруг нас. Она объясняет, почему мы похожи на наших родителей, почему луны вращаются вокруг планет и почему так непросто выбирать сорта мороженого.
А мне пирога?
Читая эту энциклопедию, ты не раз удивишься тому, что практически вся наша жизнь определяется математикой. Ты узнаешь много нового, неожиданного и интересного. Познакомишься с великими математиками прошлого и хитроумными математическими задачами, которые на протяжении многих веков не давались даже великим ученым. Эта книга откроет тебе удивительный мир, где футбольные мячи вовсе не круглые, колеса у велосипедов — квадратные, а самолеты держатся в воздухе с помощью мнимых чисел. Ты узнаешь, как сделать фигуру, у которой вообще нет обратной стороны, и как сразить всех друзей в школе своими стремительными математическими вычислениями. Добро пожаловать в мир чисел! И уже очень скоро ты убедишься, что это твой мир.
www.clever-media.ru
10+ лет
Читаю сам
Познаю мир
9 785919 823490