Estadística I - Contaduría Pública y Finanzas by Cliffor Jerry Herrera Castrillo

DOCUMENTO DE APOYO PARA EL DESARROLLO DEL PROGRAMA DE ESTADÍSTICA I

FACULTAD REGIONAL MULTIDISCIPLINARIA ESTELI FAREM ESTELI RECINTO UNIVERSITARIO “LEONEL RUGAMA RUGAMA” Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas 2019: Año de la Reconciliación

Estadística I Documento de Referencia

Elaborado: M.Sc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Mayo, 2019

Índice Introducción_____________________________________________________________ 1 Unidad I. Estadística Descriptiva ____________________________________________ 2 Estadística ____________________________________________________________ 3 Ramas de la estadística __________________________________________________ 3 Estadística descriptiva ________________________________________________ 3 Estadística inferencial _________________________________________________ 3 Población _____________________________________________________________ 3 Muestra ______________________________________________________________ 4 Variable ______________________________________________________________ 4 Tipos de Variable ____________________________________________________ 5 Dato _________________________________________________________________ 5 Medición y escalas de medidas ___________________________________________ 6 Tipos de escalas ______________________________________________________ 6 Medición y escalas de medidas __________________________________________ 7 Distribución de frecuencias _____________________________________________ 12 Procedimiento a seguir en un estudio estadístico __________________________ 12 Tabla para datos no agrupados ________________________________________ 12 Tabla para datos agrupados ___________________________________________ 13 Tipos de Gráficos _____________________________________________________ 18 Medidas de tendencia central ___________________________________________ 27 Datos no agrupados __________________________________________________ 27 Datos agrupados ____________________________________________________ 30 Formas de la distribución_______________________________________________ 33 Medidas de variabilidad o dispersión _____________________________________ 33 Datos agrupados. ____________________________________________________ 34

Medidas de posición ___________________________________________________ 38 Coeficiente de curtosis (K) ______________________________________________ 40 UNIDAD II. PROBABILIDADES __________________________________________ 48 Definiciones __________________________________________________________ 49 Probabilidades ______________________________________________________ 49 Experimento________________________________________________________ 49 Espacio Muestral ____________________________________________________ 50 Suceso aleatorio _____________________________________________________ 52 Suceso elemental ____________________________________________________ 52 Suceso compuesto ___________________________________________________ 52 Algunas definiciones y operaciones con conjuntos _________________________ 52 Definición clásica de probabilidad (modelo clásico o a priori) _________________ 54 Tipos de probabilidad __________________________________________________ 54 Sucesos independientes _________________________________________________ 56 Sucesos dependientes __________________________________________________ 56 Probabilidad condicional _______________________________________________ 56 Regla de la multiplicación ______________________________________________ 58 Probabilidad total _____________________________________________________ 59 Regla de Bayes ________________________________________________________ 59 UNIDAD III. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD _______________________ 64 Concepto y definición de variable aleatoria ________________________________ 65 La distribución acumulada ____________________________________________ 68 Valor esperado ______________________________________________________ 69 Varianza ___________________________________________________________ 69 Distribución geométrica ______________________________________________ 71 Distribución híper – geométrica _______________________________________ 72 Teorema de Chebyshev _______________________________________________ 73

Distribución híper – geométrica multii - variada __________________________ 74 La distribución binomial _______________________________________________ 77 Proceso de Bernoulli _________________________________________________ 77 Distribución binomial ________________________________________________ 77 Media, varianza y desviación estándar de la distribución binomial _________ 78 Distribución binomial negativa. ________________________________________ 79 La distribución de Poisson ______________________________________________ 79 Media, varianza y desviación estándar de la distribución de Poisson ________ 81 UNIDAD IV. DISTRIBUCION NORMAL ___________________________________ 82 La distribución normal _________________________________________________ 83 Áreas bajo la curva normal ___________________________________________ 83 Estandarización _____________________________________________________ 84 Uso de la tabla ______________________________________________________ 84 Bibliografía ____________________________________________________________ 97

Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Introducción La estadística I está estrechamente relacionada con el método científico, en la recopilación, organización, presentación y análisis de datos; tanto para obtener conclusiones como para tomar decisiones con base en los análisis efectuados. La importancia de la estadística radica en su aplicación en todas las carreras que ofrece la Facultad de Ciencias Económicas, por lo que se pretende que el estudiante logre obtener las bases de la estadística descriptiva y las probabilidades para que en un futuro pueda realizar inferencias estadísticas. El módulo está organizado en contenidos que están relacionados entre sí como son: El Conceptual, las teorías, definiciones, propiedades y teoremas. El Procedimental, que desarrolla habilidades y destrezas tales como: capacidades para argumentar, analiza, criticar y tomar decisiones. El actitudinal que proporciona valores, como la responsabilidad, el orden, y compañerismo. (Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua, 2013) Se espera que este módulo pueda contribuir a tu formación profesional con una concepción científica y humanista, capaz de interpretar los fenómenos sociales y naturales con un sentido crítico, reflexivo y propositivo.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Objetivos conceptuales 

Explicar los conceptos, definiciones, propiedades fundamentales de la Estadística Descriptiva.

Objetivos procedimentales 

Aplicar conceptos, definiciones, y propiedades fundamentales de la Estadística descriptiva en la resolución de ejercicios.

Objetivos actitudinales 

Valorar la importancia de la Estadística descriptiva como herramienta para la solución de problemas de su entorno social.



Participar activamente en las distintas formas organizativas del proceso enseñanzaaprendizaje basada en la cooperación grupal.

Contenidos Cognitivos

Contenidos Procedimentales

Conceptos y definiciones de Recopilación, la estadística

organización, Valoración de la importancia

presentación y análisis de datos

Conceptos de población, Medios

que

permiten

variable, datos, parámetros, recopilación

estimación de un parámetro, publicaciones,

registros

muestreo y censo

Contenidos Actitudinales

de la Estadística descriptiva

la como herramienta para la

datos: solución de problemas de su

encuestas.

y entorno social. Participación activa en las

Datos agrupados en clases, datos distintas formas organizativas repetidos.

del

proceso

enseñanza-

Tablas y gráficos de datos: Tablas aprendizaje basada en la de

frecuencias,

histogramas, cooperación grupal.

polígonos de frecuencias, gráficas Medidas de barras, de sectores y lineales. Medidas

posición:

dispersión:

varianza, desviación estándar,

media coeficiente de variación.

aritmética, mediana, moda y Medidas percentiles.

asimetría

curtosis: Coeficientes de Fisher

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Estadística Es una rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar, y analizar datos numéricos a partir de la observación de diferentes fenómenos. Ofrece una serie de técnicas que posibilitan hacer conclusiones como el diseño de experimentos. El eje central en todo el campo de la estadística, es la toma de decisiones.

Ramas de la estadística Estadística descriptiva Consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales.

Estadística inferencial Se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra tomada. Para estudiar la estadística, se necesita estar en condiciones de hablar su lenguaje, es decir familiarizarse con los términos básicos que ella emplea tales como:

Población Una población es un conjunto de mediciones de interés en las que se estudia una característica dada. Puede estar referido a datos sobre personas, animales, empresas ciudades, inventarios, etc. Ejemplo: -

En un estudio sobe los costos de construcción, la población puede consistir en los precios unitarios de los materiales de construcción. 3

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

En un estudio socioeconómico, la población puede consistir en un conjunto de personas que habitan en una región o en un municipio.

En un estudio de control de calidad la población puede consistir en la valoración numérica o cualitativa de cada artículo que contiene un lote.

Muestra Es un subconjunto de la población que contiene las mediciones obtenidas mediante un experimento estadístico. La muestra debe ser representativa y tomada de manera aleatoria. Ejemplo: -

Tomar unos granos de frijol de un saco para averiguar la calidad del grano.

La muestra de sangre para estudiar sobre el tipo sanguíneo en una persona.

Una cucharadita de café para valorar su grado de acidez.

Individuo: Cualquier elemento que posea la propiedad o característica que se desea estudiar. Ejemplo: Si deseamos hacer un estudio con todos los estudiantes de nuevo ingreso de la FAREM-Estelí, esta será la población suponiendo que fueran mil estudiantes y de esto elegimos al azar a 200 estudiantes, entonces se ha elegido una muestra del 20% de la población.

Variable Característica que se desea estudiar. Las distintas observaciones de la variable constituyen los datos de la investigación. Una variable estadística es el conjunto de valores que puede tomar cierta característica de la población sobre la que se realiza el estudio estadístico y sobre la que es posible su medición. Ejemplo: El peso de un embarque, la rapidez de una impresora, el número de artículos defectuosos que se elaboran en una fábrica, la calidad de café que se produce en Nicaragua, etc.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Tipos de Variable 

Variable cualitativa

Son aquellas que se ordenan en categorías debido a su carácter subjetivo y absoluto. Pueden ser de dos tipos nominales y ordinales. Variables Nominales

Variables Ordinales Las variables pueden tomar distintos valores

Los valores no pueden ser sometidos a criterios de orden o importancia. Ejemplo: “El sexo de una persona”, La nacionalidad, etc.

ordenados siguiendo una escala estadística. Clasifica a los elementos en distintas categorías. Ejemplo: Los estratos sociales, (baja, media alta) La satisfacción al adquirir un artículo (No me gusta, es regular, bueno, muy bueno, excelente).



Variable cuantitativa

Son las que sus características están expresadas en valores numéricos. Se dividen en continuas y en discretas. Variables Continuas Pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado. Resultan del proceso de medición. Ejemplo; La estatura de una persona, los ingresos mensuales de los trabajadores, el consumo de energía eléctrica en un centro de trabajo, la duración de una llamada telefónica, Etc.

Variables Discretas Los valores de las variables son enteros y resultan del proceso del conteo. Ejemplo: El número de letras de una palabra, el número de estudiantes que asistieron hoy a clases, el número de llamadas telefónicas registradas en un teléfono celular, etc.

Dato Valor de una variable asociado a un elemento de una población o de una muestra. Ejemplo. Al lanzar una moneda cinco veces, obtenemos cinco datos: cara, cara, sol, sol, cara. 5

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Ejemplo: El costo unitario de los artículos producidos en una fábrica.

Medición y escalas de medidas La medición puede definirse como la asignación de números a objetos y eventos de acuerdo con ciertas reglas; la manera como se asignan esos números determina el tipo de escala de medición. Esto conduce a la existencia de diferentes tipos de escalas, por lo que el problema se transforma en explicitar a) Las reglas para asignar números b) Las propiedades matemáticas de las escalas resultantes c) Las operaciones estadísticas aplicables a las medidas hechas con cada tipo de escala. Las escalas de medición se clasifican en cuatro grupos: escala nominal, ordinal, intervalo y escala de razón. Tipos de escalas Escalas nominales Son aquellas que dividen a una población en dos o más grupos a partir de una categoría. Son mutuamente excluyentes. Se le puede asignar a cada clase o grupo, un número. Ejemplo: Variable discreta Sexo. Mujer 0 hombre 1 Escalas ordinales Las escalas ordinales son escalas nominales en donde existe una elación de orden. Ejemplo Ordenar los ingresos en tres niveles: “Alto 1, medio, 2, bajo 3” Ejemplo: El número de placa de los vehículos. Ejemplo: El número de carnet de los estudiantes matriculados en la Universidad.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Escalas de intervalo Las escalas de intervalo son escalas ordinales. Poseen un cero arbitrario el cual no indica ausencia del atributo en cuestión. Es relativa. Ejemplo. La temperatura registrada en los termómetros. Escalas de razones o proporciones Las escalas de razones o proporciones son escalas de intervalo. Poseen un cero absoluto el cual indica ausencia del atributo en cuestión. Ejemplo: Las medidas de longitud Ejemplo: Las medidas de peso Ejemplo: Las medidas de velocidad, etc.

Medición y escalas de medidas La medición puede definirse como la asignación de números a objetos y eventos de acuerdo con ciertas reglas; la manera como se asignan esos números determina el tipo de escala de medición. Esto conduce a la existencia de diferentes tipos de escalas, por lo que el problema se transforma en explicitar a) las reglas para asignar números b) las propiedades matemáticas de las escalas resultantes c) las operaciones estadísticas aplicables a las medidas hechas con cada tipo de escala. Las escalas de medición se clasifican en cuatro grupos: escala nominal, ordinal, intervalo y escala de razón. Escala nominal. El nivel nominal de medición, describe variables de naturaleza categórica que difieren en cualidad más que en cantidad. Ante las observaciones que se realizan de la realidad, es posible asignar cada una de ellas exclusivamente a una categoría o grupo. Cada grupo o categoría se denomina con un nombre o número de forma arbitraria, es decir, que se etiqueta en función de los deseos o conveniencia del investigador. Este nivel de medición es exclusivamente cualitativo y sus variables son por lo tanto cualitativas. 7

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Por ejemplo, los sujetos que son del curso de A de 2º de eso y los de B generan dos grupos. Cada sujeto se asigna a un grupo, y las variables son de tipo cualitativo (de cualidad) y no cuantitativo puesto que indica donde está cada sujeto y no "cuanto es de un curso y no de otro". En este ejemplo los números 2 y 3 pueden sustituir las letras A y B, de forma que 2 y 3 son simples etiquetas que no ofrecen una valoración numérica sino que actúan como nominativos. En esta escala hay que tener en cuenta dos condiciones: No es posible que un mismo valor o sujeto esté en dos grupos a la vez. No se puede ser de 2º y 3º a la vez. Por lo tanto este nivel exige que las categorías sean mutuamente excluyentes entre sí. Los números no tienen valor más que como nombres o etiquetas de los grupos. El concepto nominal sugiere su uso que es etiquetar o nombrar. El uso de un número es para identificar. Un número no tiene mayor valor que otro. Un ejemplo son los números de las camisetas de los jugadores de un equipo de béisbol. El número mayor no significa que tiene el mayor atributo que el número menor, es aleatorio o de capricho personal a quien otorga el número. Para el procesamiento de datos, los nombres pueden ser remplazados por números, pero en ese caso el valor numérico de los números dados es irrelevante. Los números se usan como identificadores o nombres. La operación matemática permitida es el conteo. Ejemplos de medidas nominales son algunas de estas variables: estado marital, género, raza, credo religioso, afiliación política, lugar de nacimiento, el número de seguro social, el sexo, los números de teléfono, entre otros. Escala ordinal: Surge a partir de la operación de ordenamiento; en esta escala se habla de primero, segundo, tercero. No se sabe si quien obtiene el primer puesto está cerca o lejos del segundo puesto. Los valores de la escala representan categorías o grupos de pertenencia, concierto orden asociado, pero no una cantidad mensurable. La escala ordinal tiene las propiedades de identidad y magnitud. Los números representan una cualidad que se está midiendo, y expresan si una observación tiene más de la cualidad medida que otra. La distancia entre puntos de la escala no es constante: no se puede determinar la distancia entre

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas las categorías, sólo es interpretable el orden entre sus valores. Ejemplos: situación socioeconómica, nivel educativo. Escala de intervalos. Esta escala representa magnitudes, con la propiedad de igualdad de la distancia entre puntos de escala de la misma amplitud. Aquí puede establecerse orden entre sus valores, hacerse comparaciones de igualdad, y medir la distancia existente entre cada valor de la escala. El valor cero de la escala no es absoluto, sino un cero arbitrario: no refleja ausencia de la magnitud medida, por lo que las operaciones aritméticas de multiplicación y división no son apropiadas. Cumple con las propiedades de identidad, magnitud e igual distancia. La igual distancia entre puntos de la escala significa que puede saberse cuántas unidades de más tiene una UO comparada con otra, con relación a cierta característica analizada. Por ejemplo, en la escala de temperatura centígrada puede decirse que la distancia entre 25° y 30°C es la misma que la existente entre 20° y 25° C, pero no puede afirmarse que una temperatura de 40° C equivale al doble de 20° C en cuanto a intensidad de calor se refiere, debido a la ausencia de cero absoluto. Escala de razón. Corresponde al nivel de medición más completo. Tiene las mismas propiedades que la escala intervalos, y además posee el cero absoluto. Aquí el valor cero no es arbitrario, pues representa la ausencia total de la magnitud que se está midiendo. Con esta escala se puede realizar cualquier operación lógica (ordenamiento, comparación) y aritmética. A iguales diferencias entre los números asignados corresponden iguales diferencias en el grado de atributo presente en el objeto de estudio. Ejemplos: longitud, peso, distancia, ingresos, precios. Por ejemplo; el ingreso; el cero representaría que no recibe ingreso en virtud de un trabajo, la velocidad; el cero significa ausencia de movimiento. Otros ejemplos de variables racionales son la edad, y otras medidas de tiempo. En otras palabras, la escala de razón comienza desde el cero y aumenta en números sucesivos iguales a cantidades del atributo que está siendo medido.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Resumen Tipos de variables

Cualitativas

Cuantitativas

Nominales

Ordinales

Continuas

Discretas

No orden

Existe orden

No entero

Entero

Ejercicios Ejercicios 1.1: Determine en cada una de las siguientes situaciones: la población y la muestra. Un fabricante de medicamentos desea conocer la proporción de personas cuya hipertensión (presión alta) puede ser controlada por un nuevo producto fabricado por la compañía. Al realizar un estudio a 5000 individuos hipertensos se obtuvo que el 80 % de ellos pudo controlar su hipertensión utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que estas 5000 personas son representativas del grupo de pacientes hipertensos. Ejercicios 1.2: Construya variables relacionadas con su carrera, 4 nominales, 4 ordinales, 4 continuas y 4 discretas. Ejercicio 1.3: Indica qué variables son cualitativas (ordinal o nominal) y cuales cuantitativas (continuas o discretas): a) Censo anual de los nicaragüenses: b) Temperaturas en grados Celsius registradas cada hora en un observatorio: c) Tu comida favorita: d) Cuántos goles ha marcados tu equipo favorito en la última temporada: e) El color de los ojos de tus compañeros de clase: 10

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas f) Coeficiente intelectual de los alumnos de esta clase: g) Asignatura favorita: h) Cuántas acciones se han vendido hoy en la Bolsa: i) Profesiones militares (tropa, suboficiales, oficiales, jefes, generales): j) Duración del viaje en coche a ciudades de Nicaragua: k) El diámetro de las ruedas de varios coches: l) La nacionalidad de una persona: m) Número de litros de agua contenidos en un depósito: n) La calificación de un examen (suspenso, aprobado, notable, sobresaliente): o) Número de libros en un estante de librería: p) Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados: q) La profesión de una persona: r) Cuántos estudiantes se han matriculado en este curso: s) La superficie de un edificio: t) Puesto conseguido en una prueba deportiva (1º, 2º, 3º,…): u) Número de hijos de 50 familias: v) Medallas de una prueba deportiva (oro, plata, bronce): Ejercicio. 1.4: Indique el nivel de medición de las siguientes variables. Teniendo en cuenta que las variables se pueden clasificar en nominales, ordinales, de intervalo y razón: a) Altura física en centímetros: b) Estatus laboral (inexperto/semiexperto/experto): c) Peso físico en Kilogramos: d) Sexo: e) Calidad percibida del cuidado proporcionado (excelente/bueno/suficiente/pobre): f) Diagnóstico “sobrecarga del rol del cuidador”: g) ¿Se puede bañar sólo? h) Temperatura corporal: i) Estado civil: j) ¿Tiene alguna preferencia religiosa? (católica/protestante/judía/islámica/protestante/otra):

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Distribución de frecuencias Después de la recopilación de los datos, es necesario resumirlos y presentarlos en forma tal, que faciliten su comprensión y su posterior análisis y utilización. Para ello, se ordenan en cuadros numéricos y luego se representan en gráficos. Todo cuadro numérico debe tener: -

Un título adecuado para evitar confusiones y para expresar brevemente su contenido.

La fuente de los datos, si no son datos propios.

Las unidades en que se expresan los datos.

Los cuadros numéricos de una sola variable estadística se denominan distribución de frecuencias. En el procedimiento para construir distribuciones de frecuencias

nos referiremos a

muestras, mientras no se diga lo contrario. Procedimiento a seguir en un estudio estadístico Recogida de datos: Planteado el test o encuesta oportuno y recogidos los datos que correspondan, el primer análisis que realizaremos es el del tipo de variable que pretendemos estudiar (Cualitativa o Cuantitativa; Discreta o Continua). Esto condicionará en gran medida su posterior tratamiento. Organización de los datos: determinado el modo de agrupamiento de las observaciones, procedemos a su recuento, construyendo la tabla de frecuencias. Posteriormente podremos visualizar tales frecuencias de forma gráfica con el diagrama estadístico apropiado. Análisis final: La obtención de muy diversas conclusiones respecto de la variable estudiada, se podrá realizar con auxilio de los diferentes parámetros estadísticos (de centralización, posición, dispersión, etc.) Tabla para datos no agrupados Frecuencias Frecuencia absoluta (f): Para datos no agrupados en intervalos, es el número de veces que se presenta cada valor de la variable. Si los datos se agrupan en intervalos, es el número de observaciones que pertenecen a dicho intervalo. 12

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Frecuencia absoluta acumulada (fa): Para un cierto valor de la variable, la frecuencia absoluta acumulada nos da el número de observaciones menores o iguales que dicho valor. Frecuencia relativa (fr): Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones (N). Frecuencia relativa porcentual (fr%): Frecuencia relativa multiplicada por 100 (es la expresión de las frecuencias en %). Frecuencias relativas acumuladas (fra): Es la relación de la frecuencia acumulada de una clase expresada respecto al total de observaciones

Ejemplo Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba de matemáticas han sido: 15; 20; 15; 18; 22; 13; 13; 16; 15; 19; 18; 15; 16; 20; 16; 15; 18; 16; 14; 13. Construir la tabla de distribución de frecuencias

Recuento

13 14 15 16 18 19 20 22 Σ

III I IIIII IIII III I II I

Frecuencia Absoluta (f) 3 1 5 4 3 1 2 1 20

Frecuencia absoluta acumulada 3 3+1=4 4+5=9 9+4=13 13+3=16 16+1=17 17+2=19 19+1=20

Frecuencia relativa 320=0,15 120=0,05 520=0,25 420=0,2 320=0,15 120=0,05 220=0,1 120=0,05 1

Frecuencia relativa porcentual 0,15x100=15 0,05x100=5 0,25x100=25 0,2x100=20 0,15x100=15 0,05x100=5 0,1x100=10 0,05x100=5 100

Frecuencia relativa acumulada

(fra%)

0,15 0,15+0,05=0,2 0,2+0,25=0,45 0,45+0,2=0,65 0,65+0,15=0,8 0,8+0,05=0,85 0,85+0,1=0,95 0,95+0,05=1

15 20 45 65 80 85 95 100

Tabla para datos agrupados Pasos para la construcción de una tabla de distribución de frecuencias 1) Ordenar los datos de menor a mayor. Se puede usar el diagrama de tallo y hojas. 2) Calcular el rango. Para esto se resta al valor mayor menos el valor menor. Es decir R = VM – Vm 13

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 3) Se determina el valor de K (número de clases o grupos que se desean) en caso de que no dispongamos de este dato se puede usar la fórmula K = 1 + 3.32 log(n). 4) Hallar el cociente

R k

5) Determinar la amplitud del intervalo de clases C.

R ( TRUNCADO )  U k

U significa las unidades decimales. Si los datos tienen cero cifras decimales, se usa u =1 Si los datos tienen una cifra decimal, se usa u = 0,1 Si los datos tienen dos cifras decimales, se usa u = 0,01

Otra manera de encontrar el valor de C es dividiendo R entre 5 y R entre 20. Después se escoge un valor entre esos dos cocientes, preferiblemente entero impar siempre y cuando sea posible. Esto es,

R R (Lo anterior se debe a que no es aconsejable hacer tablas C  5 20

con menos de 5 grupos ni mayor de 20. Cualquier cantidad de clases entre 5 y 20 es aceptable.

6) Construir la tabla de distribución de frecuencias Se toma el valor menor de los datos como el límite inferior de la primera clase. Para calcular el límite superior se aplica la fórmula

LS = Li + C -- U Nota 1: Para determinar los límites inferiores de las clases siguientes, sólo se le suma el valor de C al límite inferior anterior. De igual manera se trabaja con los límites superiores. La última clase debe contener al valor mayor de los datos. Ejemplo1. En una cooperativa de taxis de Managua se midió el rendimiento en el consumo de la gasolina en km / gal, a 40 unidades. Los resultados fueron. 45

38,4

44,3

44,2

43,6

45,3

44,5

39,8

44,2

44,4

43,2

44,0

43,8

45,5

44,5

44,6

45,2

38,7 14

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EstadĂstica I â&#x20AC;&#x201C; ContadurĂa PĂşblica y Finanzas 44,4

44.7

44,1

44,3

43,9

44,1

45,8

42,2

41,2

40,6

42,1

45,6

44,5

39,7

40,7

42,3

45,2

43,3

44,7

38,6

Agrupe estos datos en una tabla de distribuciĂłn de frecuencias TDF que tenga 7 clases.

Paso 1. Diagrama de tallo y hojas.

Tallo

hojas

4; 6; 7

7; 8

6; 7

1; 2; 3

2; 3; 6; 8; 8; 9

0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 7

0; 2; 2; 3; 5; 6; 8

38,4

39,8

42,1

43,3

43,9

44,1

44,3

44,5

44,7

45,3

38,6

40,6

42,2

43,6

44,0

44,2

44,4

44,5

45,0

45,5

38,7

40,7

42,3

43,8

44,0

44,2

44,4

44,6

45,2

45,6

39,7

41,2

43,2

43,8

44,1

44,3

44,5

44,7

45,2

45,8

Paso 2.

R = 45,8 â&#x20AC;&#x201C; 38,4 R = 7,4

Paso 3. El valor de K= 7 clases (dato proporcionado en el ejercicio) đ?&#x2018;&#x2026;

7,4

Paso 4.

Cociente

Paso 5.

C = 1.0 + 0.1 (ya que los datos tienen una cifra decimal u = 0.1) Resulta

đ?&#x2018;&#x2DC;

= 1,05714286 Se trunca a una cifra decimal, queda en 1.0

C = 1.1

Paso 6.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Kilómetros

por Cantidad

galón de gasolina Li

n =

vehículos

38,4

- 39,4

39,5

- 40,5

40,6

- 41,6

41,7

- 42,7

42,8

- 43,8

43,9

- 44,9

45,0

- 46,0

 f = 40

Para la primera clase, LS = 38,4+ 1,1 - 0,1 LS = 39.4 Se completa la tabla con la información de la nota 1. (Ver página anterior)

Se procede ahora a calcular la frecuencia acumulada, frecuencia relativa, porcentaje de frecuencia relativa, porcentaje de frecuencia acumulada, marca de clases y límites reales. Frecuencia acumulada: Se encuentra sumando a la frecuencia de la clase, la frecuencia de las clases anteriores.

Frecuencia relativa: Es la proporción de casos que hay en cada clase. Se encuentra dividiendo la frecuencia de la clase entre el total de datos n. fr =

f n

Porcentaje de frecuencia relativa: Para hallar el porcentaje de frecuencia relativa, se multiplica la frecuencia relativa por 100. . O sea: %fr = fr x 100 Porcentaje de frecuencia acumulada: Se puede calcular acumulando el porcentaje de la frecuencia relativa, o aplicando la expresión: 16

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

fa x 100 n

%fa =,

Marca de clases: Es el punto medio de la clase. Se representa por Xc Se encuentra aplicando la fórmula

xC = Li  LS 2

Límites reales: Para encontrar los límites reales se aplican las fórmulas: Lir = Li -

U 2

Lsr = Ls +

Kilómetros

Cantidad

Kilómetros

por galón de

gasolina

vehículos

%fr

%fa

gasolina Lir

Lsr

38.4

- 39.4

0.075

7.5

38.9

38.35 - 39.45

39.5

- 40.5

0.05

12.5

39.45 - 40.55

40.6

- 41.6

0.075

7.5

41.1

40.55 - 41.65

41.7

- 42.7

0.075

7.5

27.5

42.2

41.65 - 42.75

42.8

- 43.8

0.125

12.5

43.3

42.75 - 43.85

43.9

- 44.9

0.425

42.5

82.5

44.4

43.85 - 44.95

45.0

- 46.0

0.175

17.5

100

45.5

44.95 - 46.05

100

n =

 f = 40

En este ejemplo, los datos tienen una cifra decimal, por eso se toma u = 0.1 Interpretación de la quinta clase: Puede observarse que hay una frecuencia de 5 vehículos que tienen un rendimiento de 42.8 a 43,8 kilómetros por galón de gasolina, esto equivale al 12,5% de las unidades en estudio.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas En relación a la frecuencia acumulada, hay 16 unidades cuyo rendimiento es menor o igual a 43,8 kilómetros por galón. Dicho de otra manera, el 40%de las unidades estudiadas reflejan un rendimiento menor o igual a 43,8 kilómetros por galón.

Ejercicio 1.5 Construya una tabla de frecuencias para la edad en años cumplidos de 40 estudiantes de nuevo ingreso de la FAREM-Estelí. 21

Tipos de Gráficos Un gráfico (o gráfica) es el recurso de representar los datos numéricos por medio de líneas, diagramas, dibujos, etc. La representación gráfica es un importante suplemento al análisis y estudio estadístico. Los gráficos llaman la atención del lector y hacen que de un vistazo éste tenga una mayor comprensión de los datos. Un buen gráfico puede captar al lector para que a continuación lea todo el estudio. Si un estudio se compone únicamente de texto y tablas, posiblemente no todos los lectores lean el estudio.

Técnicas de representación gráfica El uso de gráficas permite al observador, tener una apreciación de manera rápida sobre los altibajos de la gráfica, para analizar luego, las causas posibles del comportamiento de la misma.

Regla de los ¾ de altura. Se aplica la ecuación Y = ¾ x 18

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Por ejemplo si el eje X mide 12 cm, entonces el eje Y mide ¾ de (12) = 9 cm.

Con los datos de la tabla de distribución de frecuencias se pueden construir:

1) Histograma de frecuencias Consiste en una serie de rectángulos continuos cuya base en el eje x está determinada por los límites reales y la altura de cada barra, es la frecuencia absoluta de la clase.

Rendimiento de la gasolina Coop. de Taxis de Managua I semestre 2016 17

18 16

Unidades de taxi

14 12

10 7

6 4

40.55

41.65

2 0 38.35

39.45

42.75

43.85

44.95

Km / Galón

2) Polígono de frecuencias Es un diagrama formado por segmentos de recta que une los puntos de las alturas (frecuencia de cada clase) Para graficar se escriben en el eje X, las marcas de clase y en el eje Y las frecuencias.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Rendimiento de la gasolina Coop. de Taxis de Managua I semestre 2016

Unidades de taxi

16 14 12 10 8

6 4 2

5 3

38.9

41.1

42.2 43.3 Km. / galón

44.4

45.5

3) Polígono de frecuencia acumulada Es un diagrama donde se ubican los límites reales superiores en el eje X y la frecuencia acumulada en el eje Y .La línea que se forma solamente crece.

Rendimiento de la gasolina Coop. de Taxis de Managua I Semestre 2016

Unidades de taxi

30 25 20

10 5

8 3

39.45 40.55 41.65 42.75 43.85 44.95 46.05 Km / galón

Los gráficos fueron construidos con el programa EXCEL

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Otros Gráficos En una gráfica de barras los datos de cada una de las modalidades C i se representan por una barra rectangular vertical (u horizontal), cuya altura (o largo) es proporcional a su frecuencia. Las barras se dibujan dejando un espacio entre ellas. Si la escala es nominal las categorías pueden ser colocadas en cualquier orden. Pero, si el nivel es ordinal las categorías deben ir ordenadas. En una gráfica circular, los datos de cada categoría C i se representan por un sector circular cuyo ángulo en el centro es igual a hi360. Si la gráfica por sectores circulares es tridimensional es denominada de pastel. Ejemplo: En una encuesta de opinión acerca de las preferencias de una marca de bebida gaseosa por sus colores: Negro (N), Blanco (B), Rojo (R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas: B, N, N, B, R, N, N, B, B, N, B, N, N, R, B, N, B, R, B, N. Construir la distribución de frecuencias. Graficar la distribución SOLUCION. La tabulación de estos datos, donde la variable cualitativa es X: Color de bebida gaseosa, es la distribución de frecuencias del cuadro 1.2. La figura 1.1 es la representación gráfica por medio de barras de la distribución de personas por el color de su bebida gaseosa preferida. .

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Cuadro 1.2. Distribución de personas por su color preferido de una marca de bebida gaseosa. Valores de

Frecuencias

Absolutas: f i Relativas: hi Porcentajes: pi

Negro (N)

0,45

Blanco (B)

0,40

Rojo (R)

0,15

Total

1,00

100

Personas 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0.45 0.40

0.15

Negro

Blanco

Rojo

Fig. 1.1 Gráfica de barras

La figura 1.2 es la representación mediante gráfica de sectores circulares del cuadro 1.2. La frecuencia 45% es equivalente a 0.45  360  162  , la frecuencia 40% es equivalente a 0. 40  360  144  , y la frecuencia 15% es equivalente a 0.15  360  54 

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 15% 40%

R B N 45%

Fig. 1.2 Gráfica circular Gráfica de barras agrupadas Si se trata de comparar solamente las componentes o las frecuencias en cada modalidad, se puede utilizar un gráfico de barras agrupadas. En cada modalidad se trazan tantas barras adjuntas como componentes hay. Por ejemplo, la figura 1.3 representa las frecuencias de cada componente en cada modalidad del cuadro 1.9. 30 25 20 Hombres Mujeres

15 10 5 0 1975

1980

1985

1990

Fig. 1.3. Población de una ciudad de 1975 a 1990

Gráfica de barras componentes a) Si se quiere resaltar a la vez el total y las frecuencias de cada componente en cada modalidad, entonces, conviene utilizar un gráfico de barras componentes como el de la figura 1.4. En cada modalidad se traza una barra cuyo largo es proporcional al total de sus datos. La gráfica 1.14 de barras componentes, del cuadro resume la variación de la población de una ciudad desde 1975 hasta 1990, resaltando el total y los parciales en cada modalidad.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 50 40 30

Mujeres Hombres

20 10 0 1975

1980

1985

1990

Fig. 1.4. Población de una ciudad de 1975 a 1990 b) Si se trata de destacar la importancia relativa de sus componentes, se puede utilizar un gráfico, como la figura 1.15, donde todas las barras son de igual longitud y equivalentes al 100% en cada categoría. El cuadro, tiene los mismos datos del cuadro, sólo que ahora se consideran los porcentajes o valores relativos, en vez de los valores absolutos. Cuadro. Población (en %) de una ciudad de 1975 a 1990 Año

Hombres Mujeres Total

1975

32,0

68,0

100

1980

37,5

62,5

100

1985

25,0

75,0

100

1990

40,0

60,0

100

La proporción de cada componente respecto al total en cada categoría, se representa en la figura 1.5.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

Mujeres Hombres

1975

1980

1985

1990

Fig. 1.5. Población de una ciudad de 1975 a 1990 en porcentajes Cuando se utilizan figuras de igual tamaño para reflejar la característica que se quiere representar, al gráfico estadístico, se denomina pictografía. En una pictografía el número de figuras en cada categoría o modalidad es proporcional a la frecuencia absoluta respectiva. Existe otra gran variedad de gráficas o diagramas para mostrar datos ó para mostrar relaciones entre varios grupos de datos. Aquí la imaginación del dibujante juega un papel muy importante. Ejercicio 1.6 Se realiza un estudio para conocer el número de computadoras que hay en cada vivienda del municipio de Ocotal, Nueva Segovia y se obtienen los siguientes datos: 0, 1, 2, 4, 2, 2, 0, 0, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1 Construye un diagrama de barras, con la información dada. Ejercicio 1.7 Los puntos obtenidos por los jugadores de dos equipos de baloncesto han sido los siguientes: 9 12 6 11 19 5 8 13 2 8 5 12 0 9 4 15 18 10 6 16 Construye el histograma asociado a dichos datos tomando las puntuaciones en intervalos de 5 puntos.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Ejercicio 1.8 La superficie arbolada afectada por incendios forestales en España, para el período 20052014, se da en la siguiente tabla:

Representa mediante un polígono de frecuencias la superficie arbolada afectada por los incendios.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central tienden a ocupar la parte central de la distribución de datos. Entre ellas tenemos la media aritmética, mediana y moda, y pueden ser calculadas tanto para datos no agrupados como para datos agrupados. Datos no agrupados 

Media aritmética:

Es el promedio de los valores de las observaciones, es decir, se suman los datos y se divide entre el número de datos. En símbolo, se escribe así: X 

x n

Ejemplo 2. Dado el conjunto de datos 3, 5,, 7, 4, 8, 4, 9, 6, 7, 4, 9

X 



 x X  3  5  7  4  8  4  9  6  7  4  9 X  66 X n

Mediana:

Es el puntaje central de la distribución de datos. Esto es que el 50% de los valores de la muestra se encuentra por encima del valor de la mediana y el otro 50%, se encuentra por debajo de ella.

Para calcular la mediana se busca el valor que se encuentra en el centro de los datos ordenados de menor a mayor. Si el número de datos (n) es impar, quedará un número solo en el centro. Ese valor es la mediana. Pero si (n) es par, quedarán dos valores centrales., entonces se promedian los dos valores y el resultado es el valor de la mediana.

Ejemplo 3. Dado el conjunto de datos 3, 5,, 7, 4, 8, 4, 9, 6, 7, 4, 9 Primero se ordena de menor a mayor. 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9

La mediana es

Me = 6

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Ejemplo 4. La mediana para el conjunto de datos 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 es

67 Me = 6.5ya que n es 2

par. 

Moda

De una serie de datos es el valor que ocurre con mayor frecuencia. Es decir, es el dato más repetido. La moda de una serie de datos es el valor Mo , que se define como el dato que más veces se repite. La moda no siempre existe y si existe, no siempre es única. En matemática, la moda es el valor de la variable en el que existe un máximo absoluto (o dos o más máximos relativos iguales). La moda es una medida promedio que se usa cuando se quiere señalar el valor más común de una serie de datos. Por ejemplo, los comerciantes se estoquean con productos que están de moda. La moda es el promedio menos importante debido a su ambigüedad. Ejemplo5. Dado el conjunto de datos 3, 5,, 7, 4, 8, 4, 9, 6, 7, 4, 9 Se repiten tres valores el 4, el 7 y el 9. Pero el 4 se repite más veces por tanto la moda es Mo = 4.

Ejercicios Propuestos Ejercicio 1.9 Calcular la mediana para las siguientes series de datos. a) 120, 3, 14, 1, 99, 7, 30, 2,000, 16 b) 30, 77, 3, 300, 36, 11, 10,000, 29 Ejercicio 1.10 28

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Determine la moda en la siguiente serie de datos: a) 7, 9, 7, 8, 7, 4, 7, 13, 7 b) 5, 3, 4, 5, 7, 3, 5, 6, 3 c) 31, 11, 12, 19 Ejercicio 1.11 Calcular la media aritmética de la distribución del número de hijos por familia, según la tabla presentada Valores de X

frecuencias

Productos

fi xi

Total

Calcular la moda de los 45 ingresos quincenales

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Datos agrupados

Donde:

Lir: Es el límite inferior real 

Media

 fX X

n: Es el tamaño de la muestra

fc: Frecuencia de la clase

faA: Frecuencia acumulada

n   2  fa A .C  Mediana Me = Lir +  f c     

Moda

anterior C: Amplitud del intervalo de clase

1 : Se resta la mayor frecuencia

 1  Mo = Lir +  .C    2  1

menos la frecuencia de la clase anterior.

 2 : Se resta la mayor frecuencia menos la frecuencia de la clase siguiente.

Ejemplo 6. Calcular la media aritmética, mediana y moda con los datos del ejemplo (1) sobre el combustible de la cooperativa de taxis de Managua.

Lir

Lsr

fXc

38,35

39,45

38,9

116,7

39,45

40,55

40,0

40,55

41,65

41,1

123,3

41,65

42,75

42,2

126,6

42,75

43,85

43,3

216,5

43,85

44,95

44,4

754,8

44,95

46,05

45,5

318,5

Total

1 736,40

M.Sc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

EstadĂstica I â&#x20AC;&#x201C; ContadurĂa PĂşblica y Finanzas

a) Media

Xď&#x20AC;˝

ď&#x192;Ľ fX

1 736,40 đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026; = 40

= 43.41 kilĂłmetros por galĂłn

b) Mediana: Se encuentra en la primera clase de arriba hacia abajo cuya frecuencia acumulada es mayor o igual que la mitad de los datos de la muestra

n n o sea ď&#x20AC;˝ 2 2

40 = 20 Se encuentra en la sexta clase. 2 Me = 43,85 +

ď&#x192;Š 20 ď&#x20AC; 16 ď&#x192;š ď&#x192;Şď&#x192;Ť 17 ď&#x192;şď&#x192;ť.(1.1) Me = 44,10kilĂłmetros por galĂłn

c) Moda: Se encuentra en la clase que tiene la mayor frecuencia.

ď &#x201E;1 : = 17 â&#x20AC;&#x201C; 5 = 12

Mo = 43,85 +

ď &#x201E; 2 : = 17 â&#x20AC;&#x201C; 7 = 10

ď&#x192;Š ď &#x201E;1 ď&#x192;š Mo = Lir + ď&#x192;Ş ď&#x192;ş.C ď&#x192;Ť ď &#x201E;1 ď&#x20AC;Ť ď &#x201E; 2 ď&#x192;ť

ď&#x192;Š 12 ď&#x192;š ď&#x192;Şď&#x192;Ť12 ď&#x20AC;Ť 10 ď&#x192;şď&#x192;ť.(1.1) = 44,45 Mo = 44,45 kilĂłmetros por galĂłn

Se puede concluir que el rendimiento promedio en el combustible es de 43.41 kilĂłmetros por galĂłn, que el 50% de las unidades muestreadas refleja un rendimiento menor o igual a 44.10 y el otro 50%mantiene un rendimiento superior a 44.10, kilĂłmetros por galĂłn y que el rendimiento mĂĄs repetido es de 44.45 kilĂłmetros por galĂłn.

Ejercicio 1.12 Calcular la mediana, moda y media aritmĂŠtica para la muestra de los 45 ingresos quincenales tabulados en la siguiente tabla:

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Ingresos

Número de personas

Frec. acumuladas

[26,34[

[34,42[

[42,50[

[50,58[

[58,66[

[66,74[

[74,82[

[82,90]

Total

Ejercicio 1.13 Calcular la media aritmética de la distribución del número de hijos por familia Valores de X

frecuencias

Productos

fi xi

Total

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Formas de la distribución Muchas distribuciones de variables continuas se pueden representar de manera gráfica mediante una curva en forma de campana.

Simétrica: Se dice que una distribución es simétrica, si se puede doblar a lo largo de un eje vertical de modo que los lados coincidan. En este caso la media, mediana y la moda coinciden con el eje de simetría. El sesgo es igual a cero.

= Me = Mo

Asimétrica Si la curva no es simétrica se dice que es sesgada, ya sea positiva o negativamente. 

Una distribución es “sesgada a la derecha” o tiene asimetría positiva, si < Me <

Mo < Me < X 

Una distribución es “sesgada a la izquierda” o tiene asimetría negativa, si

< Me< Mo

Respecto al problema (el caso de la gasolina) la media es menor que la mediana y menor que la moda, por tanto tiene una asimetría negativa.

Medidas de variabilidad o dispersión 33

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Datos agrupados.

 f X

a) La varianza: La varianza se calcula mediante la fórmula S2 =

u 1

 X

n 1

b) Desviación estándar:

Es la raíz cuadrada de la Varianza. S = c) Coeficiente de variación: Se calcula mediante la fórmula CV =

S x100 X

Es útil siempre que no será mayor del 20%.

d) Coeficiente de asimetría. Sesgo =

3 X  M e  S

Ejemplo 7. Con los datos del problema (6), calcular: a) La varianza b) La desviación estándar c) El coeficiente de variación d) El coeficiente de asimetría.

Lir

Lsr

fXc

( Xc- X)

( Xc- X)2

f ( Xc- X) 2

38,35

39,45

38,9

116,7

-4,51

20,3401

61,0203

39,45

40,55

40,0

80,0

-3,41

11,6281

23,2562

40,55

41,65

41,1

123,3

-2,31

5,3361

16,0083

41,65

42,75

42,2

126,6

-1,21

1,4641

4,3923

42,75

43,85

43,3

216,5

-0,11

0,0121

0,0605

43,85

44,95

44,4

754,8

0,99

0,9801

16,6617

44,95

46,05

45,5

318,5

2,09

4,3681

30,5767

Total

1 736,40

151,9760

M.Sc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

 f X

b) S = c) CV =

u 1

 X

S2 =

n 1

151.9760 39

3.8968

S2 = 3.8968 S = 1.97 km. por galón.

S 1.97 x100 CV = x100 Cv = 4.54 % X 43.41

3 X  M e 

d) Sesgo =

Sesgo =

343.41  44.10 1.97

Sesgo = - 1.05

Interpretación: La desviación estándar: La dispersión que presentan los datos es de 1,97 kilómetros por galón, con respecto al rendimiento promedio.

El coeficiente de variación: Representa en términos porcentuales la relación de la desviación estándar con respecto a la media, es decir, que los datos se desvían respecto a la media aritmética en un 4,54 %

Coeficiente de asimetría o Sesgo: Nos da un valor negativo lo que comprueba el análisis anterior, puesto que los datos tienen una mayor frecuencia al final de la distribución. Tiene asimetría negativa.

EJERCICIO (1)

En la zona baja de Managua hay 27 pozos para suministrar agua a la ciudad Capital. Los caudales de dichos pozos se miden en galones por minuto. (GPM) y sus mediciones son las siguientes.

800

2200

1212

1200

2230

1115

1100

511

1100

1000

800

1000

1200

800

750

710

700

1200

600

550

450

400

380

350

1200

1000

M.Sc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas a) Agrupe estos datos en una tabla de distribución de frecuencias TDF que tenga 6 clases. b) Calcular la media, mediana y moda c) Calcular la varianza y la desviación estándar d) Trazar el histograma de frecuencias.

Los datos son mediciones de la intensidad solar directas (en Watts / m2) realizados en diferentes días en una localidad.

562

869

708

775

704

775

809

856

655

806

878

909

918

558

768

870

918

940

946

661

820

898

935

952

957

693

835

905

a) Agrupe estos datos en una tabla de distribución de frecuencias TDF que tenga 5 clases. b) Calcular la media, mediana y moda c) Calcular la varianza y la desviación estándar d) Trazar el polígono de frecuencias.

Los contenidos de nicotina, en miligramos de 40 cigarrillos de cierta marca son:

1.09

1.79

2.03

1.63

1.69

0.85

1.64

1.51

1.74

1.37

1.86

2.31

1.88

2.17

1.75

1.82

1.58

1.75

0.72

1.97

1.40

1.68

2.28

1.67

2.11

1.92

2.46

1.70

2.37

1.85

1.24

2.09

1.64

1.47

1.93

1.90

1.79

2.08

2.55

1.69

a) Agrupe estos datos en una tabla de distribución de frecuencias TDF que tenga 6 clases. b) Calcular la media, mediana y moda 36

M.Sc. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas c) Calcular la varianza y la desviación estándar d) Trazar el polígono de frecuencia acumulada.

En la redacción de un diario, el tiempo requerido para formar la página completa fue registrada durante 50 días. El dato redondeado a la décima de un minuto más cercana se da a continuación.

20.8

22.8

21.9

20.7

20.9

22.2

22.8

20.1

25.3

20.7

22.5

21.2

23.8

20.9

22.9

23.3

23.5

19.5

23.7

20.3

23.6

25.1

19.5

24.1

24.2

21.8

21.3

21.5

23.1

19.9

24.2

24.1

19.8

23.9

22.8

22.7

19.7

24.5

23.8

20.7

23.8

24.3

21.1

20.9

21.6

22.7

a) Agrupe estos datos en una tabla de distribución de frecuencias TDF que tenga 7 clases. b) Interprete la quinta clase.

Los precios en dólares de un repuesto para computadora en una ciudad son: 32

35.4

47.8

36.7

38.3

36.7

41.5

39.6

41.52

15.7

43.6

39.4

45.6

49.4

43.7

42.6

45.6

48.6

34.2

31.2

47.6

43.5

30.4

a) Construya una tabla de distribución de frecuencias. b) Interprete la frecuencia absoluta y acumulada de la cuarta clase. c) Interprete el porcentaje de frecuencia relativa y el porcentaje acumulado de la clase de mayor frecuencia.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Medidas de posición 

Deciles: Son valores posicionales que dividen a la información en diez partes iguales. El primer decil deja 10% de la información por debajo de él y el 90% por encima de él. Los deciles se representan por Di donde i = 1, 2, 3, . . . 10



Cuartiles: Son valores posicionales que dividen a la información en cuatro partes iguales, el primer cuartil deja el 25% de la información por debajo y el 75% por encima. El segundo cuartil al igual que la mediana divide a la información en dos partes iguales. Por último, el tercer cuartil deja 75% por debajo y el 25% por encima. Los cuartiles se representan por Qi donde i= 1, 2, 3, 4.



Percentiles: Son valores posicionales que dividen a la información en cien partes iguales. Los percentiles se representan por Pi donde 1 < i < 100.

Representación gráfica

10%

20%

30%

40%

60%

70%

80%

90%

D10

100% Q1

25%

50%

75%

 in   10  f a A  .C Deciles Di = Lir +  f c    

 in   4  fa A .C Cuartiles Qi = Lir +  f c    

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 in   100  f a A  .C Percentiles Pi = Lir +  f c     Ejemplo 8. Con los datos de la tabla del ejemplo (7);

Lir

Lsr

38,35

39,45

40,55

41,65

42,75

43,85

44,95

46,05

Total

Calcular: a) El decil 2

d) Percemtil 10

b) Cuartil 1

e) Percentil 90

c) Cuartil 3

 in   10  f a A  .C D2 = 40.55 + a) Di = Lir +  f c    

 2(40)   10  5   .(1.1) 3    

D2 = 41.65

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

 3(40)   in   16  f A a  4  4  .(1.1) .C Q3= 43.85 +  b) Qi = Lir +  f 17 c        

 in   f A a 4  .C Q1= 41.65 + c) Qi= Lir +  f c    

 1(40)   4  8  .(1.1) 3    

 10(40)   in   3  f A a  100   100  . C  .(1.1)   d) Pi = Lir + P10 = 39.45 + f 2 c        

Q3 = 44.76

Q1 = 42.38

P10 = 40.00

 90(40)   in   33  f A a  100   100  . C  .(1.1) P90 = 45.42   e) Pi = Lir + P90 = 44.95 + f 7 c         Interpretación: El D2 significa que el 20% de los datos de la muestra, tienen un rendimiento de 41.65 km por galón o menos. El Q1indica que el 25% de los datos de la muestra tienen un rendimiento menor o igual a 42.38 km por galón. De manera similar se interpretan las otras medidas.

Coeficiente de curtosis (K) Otra manera de medir la forma de la distribución es con la curtosis, la cual nos dice qué tan puntiaguda es la gráfica de una distribución y se presenta en tres tipos: Platicúrtica: La forma geométrica es aplanada Mesocúrtica: Tiene una forma que no es ni aplanada ni puntiaguda. Leptocúrtica: La forma geométrica es puntiaguda o esbelta. 40

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Platicúrtica

Mesocúrtica

Q3  Q1 2

Leptocúrtica

44.76  42.38 Q = 1.19 2

Q P90  P10

1.19 K = 0,2195A Q se le conoce como rango semi intercuartil. 45.42  40

Ejemplo 9.La siguiente distribución de frecuencia representa el tiempo promedio en minutos que 20 clientes de un banco, llevan a cabo una transacción bancaria.

Tiempo en minutos Li

Lir

Lsr

Cantidad de

Tiempo

clientes (f) promedio 3 4

2,1

6 3 2

6,0

2 Total

a) Completar la tabla de distribución de frecuencias. b) Calcular la desviación estándar S e interpretarla. c) ¿Qué porcentaje de clientes realizó su transacción bancaria entre 1.95 y 5.50 minutos.

2,1 + C + C + C = 6,0 Lir = Xc -

C 2

3C = 6,0 – 2,1 = 3,9

C = 1,3

Se usa para calcular el límite inferior real. 41

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Lsr = Xc +

C 2

Se usa para calcular el límite superior real.

a) Li

Lir

Lsr

fXc

Xc - X

(Xc - X)2

f (Xc - X)2

0,2

1,4

0,15

1,45

0,8

2,4

-2,795

7,812

23,436

1,5

2,7

1,45

2,75

2,1

8,4

-1,495

2,235

8,9401

2,8

4,0

2,75

4,05

3,4

20,4

-0,195

0,038

0,2282

4,1

5,3

4,05

5,35

4,7

14,1

1,105

1,221

3,6631

5,4

6,6

5,35

6,65

2,405

5,784

11,568

6,7

7,9

6,65

7,95

7,3

14,6

3,705

13,727

27,454

71,9

75,29

b) Media aritmética X 

La varianza

 fX n

 f X

X 

71.9 X = 3,595 minutos 20

 X

n 1

S 2 = 3,9626

S = 1,9906 minutos

 in   f A a  100   .C 1.95 está en la segunda clase y 5.50 en la quinta. c) Pi = Lir + f c      i (20)   3  100   .(1.3) i = 22.69 % 1,95 = 1.45 + 4      i (20)   16  100   .(1.3) i = 81.15 % 5.50 = 5.35 + 2     Por tanto el porcentaje es 81.15% – 22.69 % = 58.46%

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Interpretación Inciso (b) El tiempo promedio que los clientes se tardan en realizar sus transacciones bancarias es de 3.595 minutos con una desviación estándar de 1.99. Esto quiere decir que la variación de los tiempos que se tardan los clientes en realizar sus operaciones bancarias es de 1.99 minutos con respecto al tiempo promedio.

Inciso (c) El 58.46 % de los clientes se tardan entre 1.95 y 5.50 minutos en realizar las operaciones bancarias.

EJERCICIO (2)

1) Una compañía de computadoras recopiló datos con respecto al tiempo (en minutos) que requerían cada uno de los 40 vendedores para realizar una venta. La siguiente tabla representa la distribución de tiempo requerido por vendedor. Li

0.375

0.225

0.075

a) Completar la tabla b) Calcular el coeficiente de asimetría c) Calcular el coeficiente de curtosis d) Interpretar la forma de la distribución.

2) Una fábrica de cremalleras manufactura 15 productos básicos. La compañía tiene registros del número de elementos de cada producto fabricado al mes con el fin de

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas examinar los niveles relativos de producción. A partir de los datos obtenidos, la dirección de la Compañía construyó la siguiente tabla.

Clases

frecuencia

9,700

9,899

9,900

10,099

10,100

10,299

10,300

10,499

10,500

10,699

a) ¿Qué nivel de producción excedió el 75% de sus productos durante ese mes? b) ¿Qué nivel de producción excedió el 90% de sus productos durante ese mes? c) Analice la forma de la distribución.

3) La responsable de la biblioteca de una Universidad ordenó un estudio del tiempo que un estudiante tiene que esperar (en minutos) para que le sea entregado el libro solicitado para consulta. Se tomó una muestra a 20 estudiantes en un día normal. Los datos fueron: 12, 16, 11, 10, 14, 3, 11, 17, 9, 18, 16, 4, 7, 14, 15, 16, 5, 6, 7, 7 a) Hallar la media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana y moda. b) ¿Cuánto tiempo máximo se debe suponer que el 75 % de los estudiantes debe esperar para obtener su libro de consulta?

8- Gráficas para datos que representan variables ordinales o nominales. 1- Diagramas de barras Se elabora mediante la utilización de barras rectangulares de ancho igual y con la misma distancia de separación entre una y otra. Puede ser simple o compuesto.

Ejemplo 10. La tabla siguiente muestra los datos sobre las preferencias de algunos deportes como Baloncesto, fútbol, natación y atletismo, para hombre y mujeres. 44

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Hombres

Mujeres

Baloncesto

31.58

68.42

Fútbol

78.95

21.05

Natación

57.89

42.11

Atletismo

42.11

57.89

Preferencia de algunos deportes según el sexo 16

Cant. de atletas

14 12 10 8 Homres

mujeres

4 2 0 Baloncesto

Fútbol

Natación

Atletismo

Disciplina

2- Diagrama Circular con los datos del ejemplo 10.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Preferencia por algunos deportes según el sexo Atletismo 20% Natación 28%

Baloncesto 15%

Fútbol 37%

Ejemplo 11. El Banco Central de Nicaragua registró las exportaciones en el período 2001 - 2004 (en millones de dólares)

Rubro Café Carne Mariscos Oro Azúcar

2001 103 66 76 30 49

Exportaciones 2002 2003 74 86 78 84 79 69 35 35 29 26

2004 124 110 88 47 29

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Exportaciones de Nicaragua Banco Central de Nicaragua

Fuente:

140 120 Café

MIllones $

100

Carne

Marisco 60

Oro

Azúcar

20 0

2001

2002

2003

2004

Años

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

UNIDAD II. PROBABILIDADES Objetivos conceptuales 

Explicar los conceptos y definiciones de las probabilidades



Identificar para cada situación el enfoque de probabilidad apropiado.

Objetivos procedimentales 

Aplicar las reglas básicas de probabilidad en la resolución de problemas reales



Resolver problemas de la vida real utilizando probabilidades condicionales

Objetivos actitudinales 

Valorar la importancia de las probabilidades, como herramienta para la solución de problemas de su entorno social

Contenidos Conceptuales

Contenidos Procedimentales

Conceptos y definiciones de Reglas básicas de probabilidad

Valoración de la importancia

Probabilidad del evento imposible de las probabilidades, como

las probabilidades Experimento

Contenidos Actitudinales

aleatorio, y seguro, valores que puede tomar herramienta para la solución

eventos, tipos de eventos

una

probabilidad,

regla

Probabilidad de un evento

complemento y la adición

del de problemas de su entorno social.

Enfoques de probabilidad: a Probabilidad condicional priori, subjetivo

posteriori

y Regla

independencia

multiplicación, estadística,

teorema de la probabilidad total, teorema de Bayes.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Introducción: Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, en algún momento se deben tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá que hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones. Por ejemplo, los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una acción en particular, con base a las expectativas sobre rendimientos futuros. Los empresarios, al decidir comercializar un producto, enfrentan la incertidumbre sobre la posibilidad de éxito. En la actualidad, vemos que la teoría de las probabilidades ocupa un lugar importante en asuntos de negocios. La póliza de seguros de vida, por ejemplo, se basa en tablas de mortalidad y éstas a su vez, se basan en la teoría de las probabilidades. Otras tasas de seguros tales como seguros de bienes raíces y de automóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juega un papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación. La probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar, las venta potenciales de un nuevo producto, los apostadores profesionales, un evento deportivo, etc son ejemplos de aplicación de la teoría de las probabilidades.

Definiciones Probabilidades Se define probabilidades como el estudio de experimentos aleatorios o de libre determinación Experimento En estadística la palabra experimento se utiliza para describir un proceso que genera un conjunto de datos cualitativos o cuantitativos. En la mayoría de los casos, los resultados del experimento dependen del azar, por lo tanto no pueden pronosticarse con exactitud.

Experimento aleatorio Definición. Un experimento aleatorio es todo proceso que consiste de la ejecución de un acto (o prueba) una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza.

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EstadĂstica I â&#x20AC;&#x201C; ContadurĂa PĂşblica y Finanzas Ejemplos 1, son experimentos aleatorios: lanzar un dado y observar el resultado, contar objetos defectuosos producidos diariamente por cierto proceso, aplicar una encuesta para obtener opiniones, etc. Experimento no aleatorio Son aquellos en donde el resultado sĂ puede predecirse con toda certeza Ejemplo 2. En condiciones normales elevamos la temperatura del agua a 100 grados en la escala centĂgrada, de hecho sabemos que se evaporarĂĄ. Ejemplo 3. Tomamos un dado y marcamos con un mismo nĂşmero en todas sus caras, al lanzarlo sabemos con toda seguridad cuĂĄl nĂşmero va a caer.

Espacio Muestral DefiniciĂłn. Se denomina espacio muestral al conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Este conjunto se denotarĂĄ por S. Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral. A cada elemento del espacio muestral se denomina tambiĂŠn punto muestral. Esto es, el espacio muestral se describe por đ?&#x2018;&#x2020; = {đ?&#x2018;Ľâ &#x201E;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;} Si el espacio muestral tiene un nĂşmero finito de elementos es posible enlistar a todos estos, y si el nĂşmero de elementos es grande o infinito el espacio muestral se describirĂĄ mediante un enunciado o regla.

Ejemplo 4. A continuaciĂłn se dan algunos experimentos aleatorios y sus correspondientes espacios muĂŠstrales: 1) El experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado obtenido, es de una sola prueba, cuyo espacio muestral se puede escribir como el siguiente conjunto de puntos muĂŠstrales: 50

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EstadĂstica I â&#x20AC;&#x201C; ContadurĂa PĂşblica y Finanzas S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2) El experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces, consiste de 3 pruebas, cuyo espacio muestral puede escribirse como el conjunto de ternas ordenadas: S2 = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}. NOTA. Los espacios muestrales de experimentos aleatorios que consisten de dos o mĂĄs pruebas sucesivas se obtienen tambiĂŠn de un diagrama tipo ĂĄrbol, como el de la figura para S2. 3a.prueba 2a.prueba 1a.Prueba

C C

Puntos muestrales CCC

S C

CCS CSC

S C

CSS SCC

S C

SCS

SSS

S C S S

SSC

Diagrama del ĂĄrbol. 3) Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que aparezca la primera cara, su espacio muestral es el conjunto: S4 = {C, SC, SSC, SSSC,...etc.}. 4) Si el experimento aleatorio es medir la vida Ăştil (en horas) de una marca de artefacto elĂŠctrico, su espacio muestral es el conjunto: đ?&#x2018;&#x2020;5 = {đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?/đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ľ 0} (AquĂ, â&#x201E;? representa a los nĂşmeros reales).

ClasificaciĂłn de los espacios muestrales. Por el nĂşmero de elementos o puntos muestrales, los espacios muestrales se clasifican en: 1) Discretos finitos, consisten de un nĂşmero finito de elementos, por ejemplo, los espacios S1, S2, S3.

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EstadĂstica I â&#x20AC;&#x201C; ContadurĂa PĂşblica y Finanzas 2) Discretos infinitos, consisten de un nĂşmero infinito numerable de elementos, por ejemplo, el espacio S4. 3) Continuos, consisten de un nĂşmero infinito no numerable de elementos, por ejemplo, los espacios S5, y S6 Suceso aleatorio Se llama suceso aleatorio a todo suceso que puede ocurrir o puede no ocurrir como resultado de la realizaciĂłn de un fenĂłmeno.

Suceso elemental Se llama suceso elemental a aquel suceso A que no se puede expresar como suma de dos sucesos diferentes de A. Los sucesos elementales se identifican con los elementos del espacio muestral y ĂŠstos son los resultados posibles del hecho o experimento. đ?&#x2018;&#x2020; = {đ?&#x2018;?, đ?&#x2018; } Ejemplo 5. {đ?&#x2018;?}

Suceso elemental

{đ?&#x2018; }

Suceso elemental Suceso compuesto

Es el resultado de dos o mĂĄs sucesos elementales.

Ejemplo 6. Al lanzar un dado corriente el espacio muestral, es S = 1 1,2

,2 3

1, 2, 3

1, 2, 3, 4, 5, 6

luego:

Son elementales: en cambio, los sucesos:

2, 3, 5 etc. Son sucesos compuestos.

Algunas definiciones y operaciones con conjuntos Conjunto universo: Comprende la totalidad de los elementos. Se representa por U. Ejemplo 7. a) El conjunto formado por las letras vocales.

b) El conjunto formado por los nĂşmeros dĂgitos. U =

a, e, i, o, u 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Conjunto unión: Se define como el conjunto formado por los elementos que pertenezcan al primer conjunto, al segundo conjunto y a ambos. Se denota por A U B =

x/ x Є A, x Є B y x Є (A∩B)

Conjunto intersección: Se define como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Se denota por A ∩ B = x / x Є A y x Є B

Conjunto complemento: Se define el complemento de A como el conjunto formado por los elementos que están en el universo pero que no están en el conjunto A. Se denota por Ac =

x/xЄU y xЄA

Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos denotada por A – B se define como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero que no pertenecen al conjunto B. A–B =

x/xЄA y xЄB

Conjunto vacío: El conjunto vacío se caracteriza por la carencia de elementos. Se denota por Ø o bien por.

Ejemplo 8. Sean los conjuntos: U = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9

A = 1, 4, 7

B = 3, 4, 5, 8

C = 1, 7, 8

Calcular: 1) A U B,

3) (A ∩ B) - (B ∩ C)

2) A U (B – C),

4) (A U B) c,

5) Ac ∩ Bc

Solución: 1) A U B =

1, 3, 4, 5, 7, 8

2) A u (B – C) =

1, 3, 4, 5, 7

3) (A ∩ B) - (B ∩ C) =

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 4) (A U B)c = 5) A ∩ B′ =

9 3, 5, 8, 9

∩

1, 7, 9

Definición clásica de probabilidad (modelo clásico o a priori) Si un experimento aleatorio tiene n resultados igualmente posibles (n > 0) de los cuales m son favorables a la ocurrencia de un suceso A, entonces se llama probabilidad de un suceso A al cociente m / n y se denota por P(A); es decir:

P(A) =

m n

m: Son casos favorables al suceso A n: Son casos posibles (o totales) del experimento. Propiedades 1-

0 ≤ P(A) ≤ 1

P (S) = 1

P (A U B) = P (A) + P (B)

P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

P (Ø) = 0

P (Ac) = 1 - P (A)

si (A ∩ B) = Ø si (A ∩ B) ≠ Ø

Tipos de probabilidad Probabilidad Objetiva: La probabilidad objetiva se divide en dos: 1) Probabilidad clásica (O A PRIORI): Esta se basa en la suposición de que los resultados de los experimentos son igualmente probables. Usando el punto de vista clásico la probabilidad de que un evento ocurra, se calcula dividiendo el número de casos favorables, entre el número de posibles resultados. Esto es: Número de casos favorables Probabilidad de un evento = ------------------------------------------Número de resultados posibles Ejemplo9.: Probabilidad de un evento =

----------------------------------------------

Número de resultados posibles

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Se lanza un dado corriente ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? Solución: P(par) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0.50 o bien 50 % Otros ejemplos cásicos son: 

Lotería estatal



Juegos de cartas, etc.

2) Probabilidad empírica (MODELO A POSTERIORI): Se basan en la frecuencia relativa histórica. Esto es, la probabilidad de que un evento ocurra a lo largo del tiempo, se determina observando el número de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado. Número de veces que ocurrió el evento en el pasado Probabilidad de que un evento ocurra = ---------------------------------------------Número de observaciones Ejemplo 10. Un estudio de 751 administradores graduados en una Universidad, mostraron que 383 no fueron empleados en su área principal de estudio.

Como ilustración, una persona

que se especializó en contabilidad, es ahora Gerente de mercadotecnia en una empresa procesadora de tomates. ¿Cuál es la probabilidad de de que un determinado graduado de negocios, sea empleado en un área distinta a su área principal de la escuela? P(A) =

383 751

Por tanto,

P(A) = 51 %

Otros ejemplos empíricos son: 

Establecer tasas de seguros



Reportear índices de curación de varias enfermedades y condiciones, etc.

3) Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que un evento particular ocurra, que es asignada por un individuo, basándose en la información que tenga disponible. 55

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas

Ejemplo 11. 

Apostar en eventos atléticos.



Estimar el futuro de una industria.

4) Probabilidad Conjunta: Es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran simultáneamente. No son mutuamente excluyentes: P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Ejemplo 12. Las probabilidades de que la recepcionista de un dentista, su asistente o ambos se enfermen cierto día son 0.04, 0.07 y 0.02 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos uno de los dos se enferme ese día? P(A U B) = 0,04 + 0,07 – 0,02 P(A U B) = 0,09 Sucesos independientes Si la ocurrencia de un suceso A no altera la probabilidad de ocurrencia de otro suceso B, se puede adoptar el término de independencia para describir esta situación y decir que A y B son independientes. Dos sucesos A y B de llaman independientes si y sólo si: P (A ∩ B) =

P (A) . P (B)

Sucesos dependientes Se dice que dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos, afecta la ocurrencia del otro.

Probabilidad condicional Se llama probabilidad condicional o probabilidad de un suceso A condicionada por la ocurrencia de otro suceso B al cociente.

P( A / B) 

P( A  B) P(B) ≠ 0.P(A / B): Léase “Probabilidad de A dado B”. P( B) 56

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Ejemplo 13. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es P(D) = 0,83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y la de que despegue y llegue a tiempo es P D  A = 0,78. Encuentre la probabilidad de que un avión: a) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo. b) Despegue a tiempo dado que llegó a tiempo. a) P(A / D) =

b)P(D / A) =

P A  D  P(A / D) = P D 

0,78 0,83

= 0,94

P D  A 0,78 P(D / A) = 0,82 = 0,9512 P  A

Ejemplo 14. Una universidad que proporciona educación para ambos sexos tiene tres carreras: ciencias, administración e ingeniería. La inscripción es la siguiente:

Ciencias

Administración

Ingeniería

Total

Hombre

250

350

200

800

Mujer

100

200

Total

350

400

250

1,000

Si se ha de seleccionar aleatoriamente un estudiante: a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie ciencias dado que es varón? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer dado que es estudiante de ingeniería?

250 PC  H  250 a) P(C / H) = P(C / H) = 1000 = = 0,3125 800 800 P H  1000

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b) P(M / I) =

P M  I  P I 

50 50 P(M / I) = 1000 = = 250 250 1000

0,20

Regla de la multiplicación Sean A y B dos eventos contenidos en S (espacio muestral), entonces la probabilidad de que se dé A y B es igual al producto de la probabilidad de B por la probabilidad de A dado B; es decir:

P (A ∩ B) =P(B) . P (A / B)

Ejemplo 15. Una urna contiene 5 pelotas rojas, 3 azules y 2 blancas. Si se extraen dos de ellas (primero una y después la otra) y sin remplazamiento. Hallar la probabilidad de que: a) ambas sean rojas b) una sea roja c) la primera sea roja d) al menos una sea roja e) ninguna sea roja.

R 4/9 R

3/9

5/10 2/9 5/9 2/9

3/10

B R A

A 2/9 B R

2/10 5/9 3/9 B

A 1/9 B

a) P (RR) = P(R) . P(R) = (5/10) . (4/9) = 20 / 90 = 2/9 58

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b) P (una sea roja) = P (RA) + P (RB) + P (AR) + P/BR) = (5/10) (3/9 ) + (5/10) ( 2/9 ) + (3/10) (5/9) + (2/10) (5/9) = 15/90 + 10/90 + 15/90 + 10/90 = 50/90 = 5/9

c) P (la primera es roja) = P(RR) + P/RA) + P(RB) = (5/10) (4/9) + (5/10) (3/9) + (5/10) (2/9) = 20/90 + 15/90 + 10/90 = 45/90= 1 / 2

d) P (al menos una sea roja) = P(1 roja) + P(2 rojas) = 5 / 9 + 2 / 9 = 7 / 9

e) P (ninguna sea roja) = P (AA) + P (AB) + P (BA) + P (BB) = (3/10) (2/9) + (3/10) (2/9) + (2/10) (3/9) + (2/10) (1/9) = 6 / 90 + 6 / 90 + 6 / 90 + 2 / 90 = 20 / 90 = 2/9

Probabilidad total Si B1, B2, . . . . .Bn representa una partición de S y se B es un evento arbitrario sobre S, entonces la probabilidad total sobre A está dado por:

P(A) = P(B1) . P/A / B1) + P(B2) . P/A / B2) + . . . . . P(Bk) . P/A / Bk) Este teorema es muy útil ya que existen numerosas situaciones prácticas en las cuales P(A) no puede calcularse directamente, sin embargo con la información de que B ha ocurrido, es posible evaluar P(A / B) y por tanto, determinar a P(A) cuando se obtienen los valores de P(B). Otro resultado importante de la ley total de probabilidad es conocida como teorema de Bayes.

Regla de Bayes Si B1, B2, . . . . Bk constituye una partición del espacio de muestreo S y si A es un evento arbitrario sobre S, entonces para r = 1, 2, . . . . . k.

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P (Br / A) =

PBr PA / Br 

 PB P A / B  k

o bien:

PBr PA / Br 

P(Br / A) =

P( B1 ).P( A / B1 )  P( B2 ) P( A / B2 )  .......... ...P( Bk ) P A / Bk 

Ejemplo 16. Tres compañías suministran transistores NPN a un fabricante de equipo de telemetría. Supuestamente todos los transistores están hechos de acuerdo a las mismas especificaciones. Sin embargo, el fabricante ha probado durante varios años dos parámetros de calidad de los transistores. Y los registros indican la siguiente información, declarándose defectuoso a un transistor si cualquiera de los parámetros está fuera de especificación. __________________________________________________________________ Firma

Proporción de defectuoso

Proporción suministrada por

_________________________________________________________________ 1

0,02

0,15

0,01

0,80

0,03

0,05

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Debido a los costos involucrados el fabricante ha cesado las pruebas, y puede considerarse de manera razonable que las fracciones de defectos y la mezcla en inventario son las mismas que durante el período en que se realizaron los registros. El director de producción selecciona aleatoriamente un transistor, lo lleva al departamento de prueba y descubre que es defectuoso. Si A es el evento de que un elemento es defectuoso, y si B es el evento de que el elemento proviene de la compañía i (i = 1, 2, 3), entonces es posible evaluar P (Bi /A). Por ejemplo, suponga que se desea determinar P(B3 / A). Entonces:

PB3 P A / B3  P (B3/ A) = P( B1 ).P( A / B1 )  P( B2 ) P( A / B2 )  ( B3 ) P A / B3 

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P (B3/ A) = P (B3/ A) =

0.050.03 0..150.02  0.800.01  0.050.03 3  0.12 25

Ejercicio

1.- Las probabilidades de que una estación de televisión reciba 0, 1, 2, 3, 4, . . . 7 o cuando menos 8 quejas después de transmitir un programa de controversia son, respectivamente 0.02, 0.04, 0.07, 0.12, 0.15, 0.19, 0.18, 0.14 y 0.09: ¿Cuáles son las probabilidades de que después de transmitir un programa la estación reciba: a) Cuando menos 5 quejas? b) Cuando mucho 3 quejas? c) De dos a cuatro quejas?.

2.-Las probabilidades de que la utilidad de una nueva máquina de escribir se clasifique como difícil, muy difícil, promedio, fácil o muy fácil son respectivamente 0,11; 0,16; 0,35; 0,28 y 0,10. Determine las probabilidades de que la utilidad de la nueva máquina de escribir se clasifique como: a) difícil o muy difícil. b) difícil, promedio o fácil. c) fácil o muy fácil.

3.- Un artista que ha introducido una pintura al óleo grande y una pequeña a una exposición, siente que las probabilidades son respectivamente 0,15; 0,18 y 0,11 de que venderá el óleo grande, el pequeño o ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que venderá alguna de las dos pinturas?.

4.- La probabilidad de que un conductor imprudente será multado, se le revocará la licencia o ambas son, respectivamente; 0,88; 0,60 y 0,55; ¿Cuál es la probabilidad de que será multado o de que se le revocará la licencia?. 61

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5.- La probabilidad de que un concierto dado reciba la publicidad adecuada es 0,80; y la probabilidad de que recibirá la publicidad adecuada y también será un gran éxito es 0,76. ¿Cuál es la probabilidad de que si el concierto recibe la publicidad adecuada será un gran éxito?.

6.- La profesora de inglés piensa que la probabilidad es 0,60 de que un examen final por escrito que recibe estará bien redactado. Si la probabilidad es 0,51 de que este examen final estará bien escrito y también recibirá una buena calificación. ¿Cuál es la probabilidad de que un examen final bien escrito recibirá una buena calificación?.

7.- En dos tiros de un dado equilibrado, determine las probabilidades de obtener: a) Dos seis. b) Primero un seis y después algún otro número. 8.- Un zoólogo tiene cuatro cerdos de guinea machos y ocho hembras y elige a dos de ellos al azar para realizar un experimento; ¿cuáles son las probabilidades de que: a) ambos animalitos sean machos. b) ambos animalitos sean hembras. c) habrá uno de cada sexo.

9.- La probabilidad es 0,70 de que una rara enfermedad tropical se diagnostique correctamente. Si ésta se diagnostica en forma correcta la probabilidad es 0,90 de que el paciente se sanará. Si no, la probabilidad es 0,40 de que el paciente se sanará. Si se cura un paciente que tiene esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya diagnosticado correctamente?.

10.- En una fábrica de zapatos se sabe por experiencia pasada que la probabilidad es 0,82 de que un trabajador que ha asistido a un programa de capacitación de la fábrica, cumplirá con la cuota de producción, y que la probabilidad correspondiente es 0,53 para un trabajador que no asistió al programa de capacitación. El 60 % de los trabajadores asisten al programa de 62

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas capacitación de la fábrica. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador que cumple con la cuota de producción habrá asistido al curso?.

11) En una ciudad se seleccionó una muestra de 500 personas para determinar diversas informaciones relacionadas con el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas hechas se encontraba ¿Prefiere comprar productos nacionales o importados?. De 240 hombres, 140 contestaron que prefieren comprar productos importados y 80 mujeres expresaron que prefieren productos nacionales. a) Elabore una tabla de contingencias en donde las variables cualitativas son sexo y preferencias por sus productos. b) Se selecciona una persona de manera aleatoria. Determinar la probabilidad de que el entrevistado: 1) Sea hombre 2) Sea mujer 3) Prefiera comprar productos importados 4) Prefiera comprar productos nacionales

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UNIDAD III. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Objetivos conceptuales 

Explicar el concepto de variable aleatoria.

Objetivos procedimentales 

Construir la distribución de probabilidad y la función de distribución acumulada de una variable aleatoria y calcular la esperanza y varianza de una variable aleatoria.



Aplicar los modelos: binomial, hipergeométrica y de Poisson en la resolución de problemas reales

Objetivos actitudinales 

Valorar la importancia de la aplicación de los modelos probabilidad en situaciones reales



Mostrar compromiso y cooperación en el trabajo grupal

Contenidos Conceptuales

Contenidos Procedimentales

Contenidos Actitudinales

Concepto y definición de Distribuciones de probabilidad Valoración de la importancia variable aleatoria

de variables aleatorias discretas

de las funciones en la vida

Variable aleatoria, eventos Función de distribución y función cotidiana. definidos aleatorias

por

variable de distribución acumulada de una Compromiso y cooperación en variable aleatoria. Esperanza y el trabajo grupal varianza de una variable aleatoria, propiedades. Modelos de probabilidad Distribución

binomial,

distribución hipergeométrica y distribución de Poisson.

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Concepto y definición de variable aleatoria Ejemplo 1. Lance una moneda al aire tres veces y anote el número de caras que se obtiene. El espacio muestral es S =

ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss

Suponga que la variable aleatoria está formada por el número de caras. Entonces los resultados posibles son 0 caras, 1 cara, 2 caras o 3 caras. Estos son los valores de la variable aleatoria. Ejemplo 2. Los pesos de envío de la leche en recipientes oscilan entre 10 a 25 kilogramos. Los pesos reales de los recipientes llenos de leche, en kilogramos, son los valores de la variable aleatoria “peso”.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Una variable aleatoria discreta puede asumir sólo ciertos valores. Con frecuencia son números enteros. Resultan principalmente del conteo.

El número de caras en el experimento de lanzamiento de la moneda es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. Los valores de la variable se restringen sólo a ciertos números: 0, 1, 2 y 3. Ejemplo 3. El empleado de un almacén regresa tres cascos de seguridad al azar a tres empleados de un taller siderúrgico que ya los había probado. Si Smith, Jones y Brown, en ese orden reciben uno de los tres cascos. Liste los puntos muestrales para los posibles órdenes de regreso de los cascos y encuentre el valor de la variable aleatoria X que representa el número de asociaciones correctas.

Solución: Si S, J y B representan los cascos de Smith, Jones y Brown, respectivamente, entonces los posibles arreglos en los que se pueden regresar los cascos y el número de asociaciones correctas son:

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Espacio muestral

SJB

SBJ

JSB

JBS

BSJ

BJS

Una variable aleatoria continua resulta principalmente de la medición y puede tomar cualquier valor, al menos dentro de un rango dado.

Un ejemplo son los pesos del agua mineral. Los recipientes llenos de agua pueden tomar cualquier valor entre 10 y 25 Kg.

Otros ejemplos: Estatura de clientes en una tienda de ropa Ingresos de los empleados de una camaronera Tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente en una granja agropecuaria.

Definición: Si un espacio muestral contiene un número finito den posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existen, se llama espacio muestral discreto. Definición: Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de línea, se llama espacio muestral continuo.

Distribuciones discretas de probabilidad Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con cierta probabilidad. En el caso de lanzar una moneda tres veces, la variable X que representa el número de caras, toma

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas el valor 2 con probabilidad de 3 , puestres de los ocho puntos muestrales igualmente posibles 8

tienen como resultado dos caras y un sol.

X P(x)

0 1 8

1 3 8

3 8

1 8

En el caso de los cascos (ejemplo 3), la distribución de probabilidad es: X P(x)

0 1 3

1 1 2

3 1

1 6

Ejemplo 4. Un embarque de ocho microcomputadoras similares para una tienda, contiene tres que están defectuosos. Si una escuela hace una compra al azar, de dos de estas computadoras, encuentre la distribución de probabilidad para el número de defectuosas.

La variable aleatoria puede tomar cualquiera de los números 0, 1, y 2.

 3  5   0   2      = 10 f(1) = P(X = 1) = f(0) = P(X = 0) = 28 8   2     3  5    2  0      = 3 f(1) = P(X = 2) = 28 8   2   

X P(x)

 3  5   1       1  = 15 28 8   2   

10 28

15 28

3 28

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas La distribución acumulada La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) es:

F(x) = P(X< x) =

 f (t )

para

< x <

tx

Ejemplo 5. Si una agencia de autos vende 50% de su inventario de cierto vehículo equipado con bolsas de aire, encuentre: a) Una fórmula para la distribución de probabilidad del número de autos con bolsas de aire entre los siguientes cuatro autos que venda la agencia. b) La distribución acumulada de la variable aleatoria X.

Solución a) El evento de vender x modelos con bolsas de aire y 4 – x modelos sin bolsas de aire,  4 puede ocurrir de   formas, donde x puede ser 0, 1, 2, 3, o 4. Entonces la  x

distribución de probabilidad es:

 4   x f(x) =   para0, 1, 2, 3, o 4 16 b) F(0) = f(0) = 1 / 16 F(1) = f(0) + f(1) = 5 / 16 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11 / 16 F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15 / 16 F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

P(x)

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

F(x)

1/16

5/16

11/16

15/16

1 68

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Histograma de probabilidad 0.40

0.38

0.35 0.30

0.25

0.25 0.20 0.15 0.10

0.06

0.05 0.00 0

Distribución acumulada discreta 16/16 12/16 8/16 4/16 0

Valor esperado El valor esperado (o media) se encuentra multiplicando cada resultado posible de la variable por su probabilidad y luego se suman esos productos.

  E ( X )   ( xi ) P( xi ) Varianza La varianza de una distribución de probabilidad es la suma del cuadrado de las desviaciones de cada valor de la variable aleatoria con respecto a la media, multiplicada por sus probabilidades respectivas.

 2   ( xi   ) 2  P( xi ) 69

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Ejemplo 6. La distribución de probabilidad de lanzar un dado se muestra en las primeras dos columnas de la siguiente tabla. Calcular el valor esperado (o media), varianza y desviación estándar.

(1)

(2)

(3)

(4)

Solución

P(xi)

(xi).P (xi)

1/6

(1-3.5) . 1/6= 1.04166

1/6

2/6

(2-3.5) . 1/6 = 0.37500

1/6

3/6

(3-3.5) . 1/6 = 0.04166

1/6

4/6

(4-3.5) . 1/6 = 0.04166

1/6

5/6

(5-3.5) . 1/6 = 0.37500

1/6

6/6

(6-3.5) . 1/6 =1.04166

21 = 3.5 6

( xi   ) 2 P( xi )

(xi)

a) Media =  3.5 E ( X ) 

b) Varianza

Σ = 2.91664

21 6

 2  2.91664

c) Desviación estándar

  1.7078

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Distribución geométrica Si pruebas independientes repetidas pueden tomar como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en el que ocurre el primer éxito, es:

G(x,p) = p . qx – 1 x = 1, 2, 3, . . . .

Ejemplo 7. Se sabe que en cierto proceso de fabricación, en promedio, uno de cada 100 artículos está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto artículo que se inspecciona, sea el primer defectuoso que se encuentra?. Solución p = 0.01, q = 0.99,

x = 5g(5, 0.01) = (0.0.1) (0,99) 5 – 1

= 0,0096

Ejemplo 8. En “tiempo ocupado” un conmutador telefónico está muy cerca de su capacidad, por lo que los usuarios tienen dificultad al hacer sus llamadas. Puede ser de interés conocer el número de intentos necesarios a fin de conseguir un enlace telefónico. Suponga que p = 0,05 es la probabilidad de conseguir un enlace durante el tiempo ocupado. Nos interesa conocer la probabilidad de que se necesiten 5 intentos para una llamada exitosa. Solución g(5, 0.05) = (0.05) (0.95) 5 – 1

= 0,0407

Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica.

Media



1 p2

Varianza

2 

1 p p2

Desviación estándar

  2 71

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Ejemplo 9. Calcular la media, la varianza y la desviación estándar con los datos del problema (8). Solución: P = 0.05

a) Media

b) Varianza



1  2 p

2 

1 p p2

c) Desviación estándar

1 0.052

1 0.05   0.052 2

  2

  380



= 400

2

= 380



= 19.49

Distribución híper – geométrica La distribución de probabilidad de la variable aleatoria híper geométrica x, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que K se denominan éxitos y N – K fracaso, es:

 k  N  k     x  n  x   h(x) = N   n

X = 0, 1, 2, . . . .n

Ejemplo 10. Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente 1 defectuoso en la muestra si hay 3 defectuosos en todo el lote? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya más de un defectuoso? 72

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos hayan dos defectuosos? Solución. N = 40,

n = 5,

K = 3,

 3  37     1 4 P(1) =    = 0,30111  40    5

 3  37     b) P(x < 1) = P(0) + P(1) =  0  5  +  40    5

 3  37      1  4  = 0,66245 + 0,30111 = 0,96356  40    5

 3  37     2 3 c) P(x > 2) = P(2) + P(3) =    +  40    5

 3  37      3  2  = 0,03543 + 0,00101 = 0,03644  40    5

Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria que sigue una distribución híper geométrica.

Media



Varianza

n.k N

Desviación estándar

N n k  k    n 1   N 1 N  N  2

  2

Teorema de Chebyshev Las probabilidades de que cualquier variable aleatoria X tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / k2, es decir: P(

  k  X    k )

1

1 k2

Ejemplo 11. Con respecto a los datos del ejemplo (10), calcular: a) La media, la varianza y la desviación estándar. b) Aplicare interpretar el teorema de Chebyshev. 73

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Solución N = 40,

n = 5,



2  0.5579

n.k N



53 40

N n k  k  n 1   N 1 N  N 



 = 0.5579 b)

K=3

2

  2

 2 

40  5 3  3 5 1   40  1 40  40 

2

= 0,311298



  0.311298 0.375  20.5579 

= 0,375

0.375 – 1.1158, 0.375 + 1.1158

-0.7408, 1.4908 Interpretación: El teorema de Chebyshev establece que el número de componentes defectuosos que se obtienen cuando se seleccionan al azar n de un lote de N componentes de los que k son defectuosos tiene una probabilidad de al menos 1 – 1/k2 de caer en el intervalo Es decir, para k = 2, hay ¾ de probabilidad de caer entre

  2

  k

O sea

“Al menos ¾ de las veces los cinco componentes incluirán 1.49, es decir, menos de dos componentes defectuosos”.

La parte izquierda del intervalo no interesa, por resultar

negativo. Distribución híper – geométrica multii - variada Si N artículos se pueden dividir en las k celdas A1, A2,. . . . Ak con a1, a2,. . . .ak elementos,, respectivamente, entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias

X1,

X2, . . . . Xk, que representan el número de elementos que se seleccionan de A1, A2 . . . . Ak en una muestra aleatoria de tamaño n es:

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas  a1  a 2   a k    ......  x x x f(X1, X2, . . . . Xk, a1, a2,. . . . ak, N, n) =  1  2   k  N   n

Ejemplo 12. Un grupo de 10 individuos se usa para un estudio biológico. El grupo contiene tres personas con sangre tipo O, cuatro con sangre tipo A y tres con sangre tipo B. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de cinco, contenga una persona con sangre tipo O, dos personas con tipo A y dos personas con tipo B.

Solución.

 3  4   3    .   1  2   2   3  0.21428 f(1, 2, 2; 3, 4, 3; 10; 5) = 14 10    5

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La distribución binomial Introducción Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con dos posibles resultados; éxito o fracaso.

Proceso de Bernoulli Propiedades: 1) El experimento consiste en n pruebas que se repiten. 2) Cada prueba produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso. 3) La probabilidad de un éxito que se denota como p permanece constante en cada prueba. 4) Las pruebas que se repiten son independientes. Distribución binomial Definición: Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad py un fracaso con probabilidad q, q = 1 – p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n pruebas independientes, es: n  x n x P(x) =     p q  x

o también

P(x) =

n! p xqn x x!n  x ! x = 0, 1, 2, 3, . . . . .

n Ejemplo 13. La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es 3/4.Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben. 2

4!  3 1 P(2) =     2!4  2.!  4   4 

42

P(2) = 27

128

P(2) = 0.2109

Ejemplo 14. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4.Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan: a) Al menos 10 pacientes 77

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas b) De 3 a 8 pacientes c) Exactamente 5.

a) P (X>10) = 1 – P(X<10) = 1 -

 b P (X> 10) = 1 – 0,9662P (X>10) = 0,0338 0

b) P (3<X <8) =

 b   b = 0,9050 – 0,0271 5

c) P(X = 5)

= b  0

P (3<X <8) = 0,8779

 b = 0,4032 – 0.2173

P (X=5) = 0,1859

Media, varianza y desviación estándar de la distribución binomial Media

  np Varianza  2  n. p.q Desviación estándar   n. p.q

Ejemplo 15. Encuentre la media, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria binomial para el problema de los pacientes (ejemplo 2). Después aplique el teorema de Chebyshev para el intervalo   2 Media

  np   150.4  6  = 6

Varianza 

 n. p.q  2  15(0.4).(0.6)  3.6  2  3.6

Desviación estándar 

 n. p.q   3.6   1.897

Teorema de Chebyshev   2 6 + 2 (1.897) (6 – 3.794, 6 + 3.794)

(2.206, 9.794)

El teorema de Chebyshev afirma que el número de recuperaciones entre 15 pacientes sujetos a la enfermedad mencionada, tiene una probabilidad de al menos 3 / 4 de caer entre 3 y 9 pacientes.

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Distribución binomial negativa. Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultados un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en la que ocurre el k ésimo éxito es:

 x  1   b* (x, k, p) =  k  1pk q x - kx = k,

k+1, k+2. . .

Ejemplo 16. Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza tres monedas obtenga sólo caras o sólo soles por segunda vez en el quinto lanzamiento. Solución: Al tomar los valores para X = 5, k = 2, p= ¼ se tiene: 2

 1  13 b (5, 2, 1/4) =   5     4   4 *

 2  1

5 2

= 27 = 0.1055 256

La distribución de Poisson Introducción Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llama experimento de Poisson.

El número dado puede ser de cualquier longitud, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. Por ello un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X, que representa el número de llamadas telefónicas, por hora que recibe una oficina, el número de días que la escuela permanece cerrada debido a la lluvia durante la temporada de invierno.

La región específica podría ser un segmento de línea, un área o quizá una pieza de material. En tales casos X puede representar el número de ratas de campo por acre, el número de bacterias en un cultivo dado o el número de errores mecanografiados por página. 79

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Propiedades: 1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. e esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria.

2. La probabilidad de que ocurra un sólo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña, es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. 3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

Definición: La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica que se denota con t es:

P X , t  

e  t t  , x = 0, 1, 2, . . . donde  es el número promedio de resultados x! x

por unidad de tiempo o región y e = 2.71828 . . . Ejemplo 17. Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo dado es 4, ¿cuál es la probabilidad de que 6 partículas entren al contador en un milisegundo dado?

e 4 4 P X   6!

P(X) = 0,1042

Ejemplo 18.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas El número promedio de camiones tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10.Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15 camiones tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que regresar? Solución 15

P X  15  1  P X  15  1   P P(X >15) = 1 – 0.9513 P(X>15) = 0.0487 0

Media, varianza y desviación estándar de la distribución de Poisson Media

   Varianza  2   Desviación estándar   

Ejemplo 19. En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1,000 de estos artículos que se producen tienen una o más burbujas, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8,000 tenga menos de 7 artículos con burbujas? 6 6  1     8 P X  7    b   P   np  = 8,000(   1,000  0 0

Usando la tabla encontramos que

P(X < 7) = 0,3134

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UNIDAD IV. DISTRIBUCION NORMAL Objetivos conceptuales 

Explicar conceptos y definiciones básicas de las distribuciones de variables continuas.



Definir el modelo Normal y explicar sus características.

Objetivos procedimentales 

Aplicar el modelo Normal en problemas de la vida real.

Objetivos actitudinales 

Valorar la importancia de la aplicación del modelo Normal en la Estadística

Contenidos Conceptuales

Contenidos Procedimentales

Contenidos Actitudinales

Función de densidad de Cálculo de probabilidades de Valoración de la importancia una

variable

aleatoria eventos definidos por variables de la aplicación del modelo

continua.

aleatorias normales

Normal en la Estadística

Probabilidades como áreas bajo una curva. Características,

modelo

matemático, estandarización

distribución Normal. Uso de la tabla. El modelo Normal

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La distribución normal Introducción La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística, es la distribución normal. Su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva en forma de campana, la cual describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación.

Las mediciones físicas en áreas como los

experimentos meteorológicos, estudios de lluvia y mediciones de partes fabricadas, a menudo se explican más que adecuadamente con una distribución normal. Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana se llama variable aleatoria normal.

La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal, depende de dos parámetros





, su media y desviación estándar. La gráfica para una

distribución que presenta mayor desviación estándar, es más baja y se extiende más sobre el eje horizontal.

Propiedades: 1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo, ocurre en X =

.

2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media 3. La curva tiene sus puntos de inflexión en X =

   x    

 

.

, es cóncava hacia abajo si

Y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto.

4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en ambas direcciones. 5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

Áreas bajo la curva normal Desde una desviación estándar a la izquierda de la media, hasta una desviación estándar a la derecha de la media, se encuentra cerca del 68,26 % de los valores. 83

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas Desde dos desviaciones estándar a la izquierda de la media, hasta dos desviaciones estándar a la derecha de la media, se encuentra cerca del 95,45 % de los valores.

Desde tres desviaciones estándar a la izquierda de la media, hasta tres desviaciones estándar a la derecha de la media, se encuentra cerca del 99,73 % de los valores.

  3

  2   1



  1   2   3

68,26 % 95,45 % 99.73 %

Estandarización Los valores de la variable aleatoria x, la media y la desviación estándar son grandes, sería una tarea sin fin intentar establecer tablas separadas para cada valor concebible de





. Afortunadamente somos capaces de transformar todas las observaciones de cualquier

variable aleatoria normal x, en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal z, con media cero y desviación estándar 1. Es decir, que convertimos los valores grandes en valores más pequeños para hacer posible el uso de la tabla. Este proceso recibe el nombre de estandarización y se hace mediante la ecuación.

z

x



La distribución de una variable aleatoria normal con media 0 y desviación estándar 1 se llama distribución normal estándar. Uso de la tabla Supongamos que ya tenemos el valor de Z. Para buscar el área en la tabla, se tiene que ubicar en la fila que corresponde al número entero y a la primera cifra decimal de Z, y en la

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas columna que encabeza la segunda cifra decimal. La tabla nos proporciona el área que se encuentra por la izquierda del valor de Z.

Para encontrar un valor de Z que corresponde a una probabilidad dada, el proceso se invierte.

Ejemplo 20. Suponga que Z = 1,23 entonces debe ubicarse en la fila 1.2 y en la columna encabezada por el número 03.Ahí encontramos el valor 0,8907 es decir 89,07 %.

Si el valor de Z es un número entero, se tienen que agregar dos ceros como cifras decimales.

Ejemplo 21. Suponga que Z = 1 entonces Z = 1,00debe ubicarse en la fila 1.0 y en la columna encabezada por el número 00.Ahí encontramos el valor 0,8413 es decir 84,13 %.

Si el valor de Z es negativo, se puede calcular el área de dos maneras: 

Se busca el área en la tabla como que si fuera positivo y después restamos de 1 el área encontrada.



Usar una tabla propiamente para valores negativos de Z de manera similar al que se usa para valores positivos.

Ejemplo 22. Suponga que Z = - 1 entonces buscamos el área para Z = 1debe ubicarse en la fila 1.0 y en la columna encabezada por el número 00.Ahí encontramos el valor 0,8413 y después restamos 1 – 0,8413 = 0,1587

En el cálculo de áreas se pueden presentar tres casos: Caso 1: Área a la izquierda de un valor de z. Caso 2: Área comprendida entre dos valores z1 y z2. Caso 3: Área a la derecha de un valor z. Caso 1:

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Para el primer caso, nos quedamos con el área que X



nos muestra la tabla.

Caso 2:

Para el segundo caso, buscamos las dos áreas X1



A(Z2) y A (Z1) y después restamos A (z2) – A (z1).

Caso 3:

Para el tercer caso, buscamos el área de Z, A(z)



y después la restamos de la unidad, es decir: 1 - A(z).

Ejemplo 23 Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que yace: a) A la derecha de z = 1,84 b) Entre z1 = -1,97 y z2 = 0,86

a) A (1.84) = 0.9671

Entonces A (z > 1,84) = 1 – 0,9671 = 0,0329

b) A (z2) = A (0.86) = 0,8051

A (z1) =A(-1.97) = 0,0244, entonces:

A (-1.97 < Z < 0.86) = A (0.86) - A (-1.97) = 0,8051- 0,0244= 0,7807 a)

0,0329

(Caso 3)

(Caso 2) 0,7807 86

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

1,84

- 1,97



0,86

Ejemplo24. Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que: a) P(Z > K) = 0,3015 b) P(K< Z < - 0,18) = 0,4197

Solución a) El valor de k deja por la derecha un área de 0.3015 entonces debe dejar por la izquierda un área de 1 – 0.3015 = 0.6985. Usando la tabla en sentido inverso se tiene que K = 0,52 b) El área a la izquierda de – 0.18 es igual a 0.4286, entonces el área entre dos valores es A(-0.18) – A(k) = 0.4286 – A(k) = 0.4197

Despejamos

A(k).

A(K) = 0.4286 –

0,4197 A(K) = 0,0089,

Usando la tabla en sentido inverso se tiene que K = - 2,37

Ejemplo 25. Dada una distribución normal con  = 50 y  = 10, encuentre la probabilidad de que X tome un valor entre 45 y 62.

z

x



20 30 40 50 60 70 80

z2 

62  50 12 z2  z  1.2 AZ 2   0.8849 10 10 2

z1 

45  50 5 z1  z  0.5 AZ1   0.3085 10 10 1

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas A(Z2) – A(Z1) = 0.8849 – 0.3085 = 0.5764

Ejemplo 26. De acuerdo al teorema de Chebyshev la probabilidad de que una variable aleatoria toma un valor dentro de dos desviaciones estándar es al menos 3 / 4. Si la variable aleatoria tiene una distribución normal, los valores z que corresponden

x1=   2

y x2=   2 se calculan así:

Z2  Z1 

  2    

  2    

 

  2   2  2  

  2    2   2  

A(2) = 0.9772

A(-2)=1–

(0.9772

)

0,0228

P(   2 ) < X < ((   2 ) = P ( - 2 < Z < 2 ) = P(Z < 2 ) – P (Z < - 2)

= 0,9772 - 0,0228 = 0,9544 Ejemplo 27. Dada una distribución normal con

 = 40

y  = 6, encuentre el valor de X que tiene:

a) 45% del área a la izquierda. b) 14 % del área a la derecha. Solución a) En la tabla encontramos que P (Z<- 0,13) = 0,45 por eso, el valor adecuado de z es – 0,13

z

x



x  Z   x  6( 0.13)  40 x  39.22

b) Esta vez requerimos un valor z que deje 0.14 del área a la derecha y por ello un área de 0,86 por la izquierda.

Nuevamente usamos la tabla y encontramos que

P (Z < 1.08) = 0.86 por lo cual el valor z que se desea es 1.08

Al sustituir en la

fórmula, resulta: 88

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x  Z  

x  6(1.08  40

x  46.48 a)

0.45

0,14

Ejemplo 28. Se utilizan mediciones para rechazar todos los componentes donde cierta dimensión no está dentro de la especificación 1,50 + d.

Se sabe que esta medición se distribuye de forma

normal con media 1.50 y desviación estándar 0.2

Determine el valor d tal que las

especificaciones “cubran” 95 % de las mediciones.

z

P (- 1,96 < Z < 1,96) = 0,95

1.96 

1.50  d   1.50 0.2

x 

d  0.2(1.96)  1.50  1.50 d= 0,392

Ejemplo 29. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración, antes de fundirse, que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si la empresa fabrica 900 unidades por día: a) Encuentre la probabilidad de que un foco se funda entre 778 y 834 horas. b) ¿Cuántos focos tendrán una duración entre 778 y 834 horas.

Solución a)

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z

x



778 800 834

z2 

834  800 34 z2  z  0.85 40 40 2

z1 

778  800  22 z1  z1  0.55 40 40

A(Z2) – A(Z1)

AZ 2   0.8023 AZ1   0.2912

= 0.8023 – 0.2912= 0.5111

b) x = 900(0.5111) = 459.99

X = 460 unidades

Ejemplo 30. Cierta máquina fabrica resistores eléctricos que tienen una resistencia media de 40 ohmios y una desviación estándar de 2 ohmios. Suponga que la resistencia sigue una distribución normal y se puede medir con cualquier grado de precisión: a) ¿Qué porcentaje de resistores tendrán una resistencia que exceda 43 ohmios? b) Encuentre el porcentaje de resistores que exceden 43 ohmios si la resistencia se mide al ohm más cercano. Solución a) z 

43  40 z  1.5 AZ   0.9332 2

P (X > 43) = 1 – P (Z < 1.5) = 1 – 0.9332 = 0.0668

6,68 %

b) Ahora asignamos una medida de 43 ohmios a todos los resistores cuyas resistencias sean mayores a 42.5 y menores que 43.5. Realmente aproximamos una distribución discreta por medio de una distribución continua normal. El área que se requiere es la región sombreada a la derecha de 43.5 al aplicar la fórmula tenemos:

z 

43.5  40 z  1.75 AZ   0.9599 2

P (X > 43,5) = 1 – P (Z < 1.75) = 1 – 0.9599= 0,0401

4,01 %

EJERCICIO 90

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A) (Variable aleatoria y distribución híper-geométrica) 1. La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por: x

P(x)

0.41

0.37

0.16

.0.05

0.01

a) Construya la distribución acumulada X. b) Construya el histograma de probabilidad y el polígono de distribución acumulada. c) Hallar el valor esperado, varianza y desviación estándar. d) Aplicar el teorema ce Chebishev.

2. El dueño de una casa planta seis bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narciso, ¿cuál es la probabilidad de que plante dos bulbos de narciso y cuatro de tulipán?

3. Se seleccionan al azar un comité de tres personas a partir de cuatro doctores y dos enfermeras. a) Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que represente el número de doctores en el comité. b) Encuentre P( 2 < x < 3)

4. Para evitar la detección en la aduana, un viajero coloca seis tabletas de narcótico en una botella que contiene nueve píldoras de vitamina similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona tres de las tabletas al azar para su análisis ¿cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?

5. Se estima 4,000 de los 10,000 residentes de una ciudad que votan están en contra de un nuevo impuesto sobre ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide su

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas opinión ¿cuál es la probabilidad de que a lo más siete estén a favor del nuevo impuesto?

6. Una fuerza de tarea gubernamental

sospecha que algunas fábricas violan los

reglamentos contra la contaminación ambiental con respecto a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospechas, pero no hay capacidad de inspeccionarlas a todas. Suponga que tres empresas violan los reglamentos: a) ¿Cual es la probabilidad de que la inspección de cinco empresas no encuentre ninguna violación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el plan anterior encuentre dos que violen el reglamento?

B) (Distribución Binomial) 7. Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso, se encuentra que 25 % de los camiones no completaban las pruebas sin ponchaduras. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que: a) de tres a cinco tengan pinchaduras b) menos de cuatro tengan pinchaduras c) más de cinco tengan pinchaduras.

8. Calcular la media, la varianza y la desviación estándar del problema (1) y aplique el teorema de Chebyshev

9. Suponga que 6 de10 accidentes laborales se deben principalmente a la falta de uso de los equipos de seguridad. Encuentre la probabilidad de que entre 8 accidentes laborales 6 se deban principalmente a la falta de uso de los equipos de seguridad. a) mediante el uso de la fórmula para la distribución binomial b) b) con el uso de la tabla binomial 10. En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta.Se sabe que, en promedio, uno de cada 1,000 de estos artículos que se producen tienen 92

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas una o más burbujas, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8,000 tenga menos de 7 artículos con burbujas? 11. La probabilidad de que una persona muera de cierta infección respiratoria es 0.002 Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de los siguientes 2,000 infectados de esta forma. Encuentre el intervalo usando el teorema de Chebyshev. 12. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en 0.3 Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tenga un perro.

C) (Distribución de Poisson) 13. Una secretaria comete dos errores por página en promedio ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa: a) 4 o más errores. b) Ningún error.

14. La probabilidad de que una persona muera de cierta enfermedad respiratoria es 0.002 Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de los siguientes 2,000 afectados de esta forma?

15. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los siguientes 7 pacientes intervenidos sobrevivan?

16. Se sabe que el 40% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos de cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que: a) Ninguno contraiga la enfermedad. b) Menos de 2 contraigan la enfermedad. c) Más de 3 contraigan la enfermedad

D) (Distribución normal)

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 17. Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3.0 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que las duraciones de la batería se distribuyen normalmente, encentre la probabilidad que una batería dada dure menos de 2.3 años.

18. En un proceso industrial el diámetro de un cojinete es una parte componente importante. El comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 + 0.01 cm.

La implicación es que ninguna parte que caiga fuera de estas

especificaciones se aceptará. Se sabe que en el proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución normal con media 3.0 y una desviación estándar 0.005En promedio, ¿cuántos cojinetes se descartarán?

19. El diámetro interior del anillo de un pistón ya terminado se distribuye normalmente con una media de 10 cm. y una desviación estándar de 0.03 centímetros. a) ¿Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan 10.075 centímetros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre 9.97 y 10.03 centímetros? c) ¿Por debajo de qué valor del diámetro interior caerá el 15 % de los anillos de pistón?

20. Un ingeniero va todos los días de su casa a los lugares donde se llevan a cabo los proyectos. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente. a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora? b) Si las oficinas de los proyectos abren a las 9.00 A:M: y él sale diario de su casa a las 8.45 A:M.¿Qué porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo? c) Si deja su casa a las 835 A.M. y en la oficina se sirve un café entre las 8.50 y las 9.00 A.M. ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? d) Encuentre el período arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos.

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas 21. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $ 9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos.

Si los salarios se distribuyen de forma

aproximadamente normal y se pagan al centavo más próximo: a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $ 8.75 y $ 9.69 por hora inclusive? b) ¿el 5 % más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?

22. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3 % de lo motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca?. Suponga que las vidas de los motores sigue una distribución normal. Clase practica Distribución binomial El 20% de los turistas que visitan el salto dela Estanzuela de Estelí es de origen nicaragüense. Si en un día determinado llegan 50 turistas ¿cuál es la probabilidad de que a) 2 sean nicaragüenses. b) Por lo menos 4 sean nicaragüenses. c) No más de 3 sean nicaragüenses. d) Todos sean extranjeros. Distribución de Poisson 1) Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con el Ayuntamiento para hacer mantenimiento a las vías de un gran Centro Turístico en Nicaragua. Las vías recientemente pavimentadas por esta compañía demostraron un promedio de dos defectos por milla, después de haber sido utilizada durante un año. Si la municipalidad sigue con esta compañía de pavimentación ¿cuál es la probabilidad de que se presenten tres defectos en cualquier milla de vía después de haber tenido tráfico durante un año? 2) Una institución de apoyo a los turistas extranjeros propone impartir clases básicas del idioma español. Para tal fin, contrata a un instructor. Se observa que la llegada de los turistas se ajusta a una distribución de Poisson con un promedio de 5.2 estudiantes 95

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Estadística I – Contaduría Pública y Finanzas cada 20 minutos. El instructor está preocupado porque si son demasiados estudiantes los que demandan sus servicios, no podrá atenderlos a todos. Por tal razón, pide ayuda al responsable de la institución, y éste le contesta que: a) Debe calcular la probabilidad de que 4 estudiantes lleguen en un intervalo de 20 minutos, y que, si el resultado es mayor que el 20%, le apoyaría nombrando un segundo instructor. b) Debe calcular la probabilidad de que más de 4 estudiantes lleguen durante algún período de 20 minutos, y que si el resultado es mayor de 50 %, las horas de clase del instructor se aumentarían permitiendo a los estudiantes extender sus horas de estudio. c) Debe calcular la probabilidad que más de 7 estudiantes lleguen durante cualquier intervalo de 30 minutos, y que, si el resultado excede el 50%, el mismo instructor que está, ofrecerá una tutoría adicional. La distribución normal 1) Se sabe que el 10% de los turistas que visitan Nicaragua provienen de Estados Unidos.

Si en un día determinado llegan al país 200 personas ¿Cuál es la probabilidad de que procedan de ese país: a) Exactamente 12. b) Entre 18 y 25 c) Más de 30 turistas.

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