Guía de Aprendizaje UNAN MANAGUA 2019 RESUELTA

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AritmĂŠtica

4. ÂżCuĂĄl de las siguientes fracciones es mayor que 1?

1. ÂżCuĂĄl de las siguientes expresiones es verdadera? a) −5 < −2

b) −2 > −1

c) −3 > 2

d) 6 < 6

1

e) −1 > 0

2. Al calcular [3(2 − 5) + 5(3 − 1)] Ă— [2(8 + 6) − 5(4 − 1)] el resultado es: a) 10

b) 12

c) 14

2

a) 1

d) 16

e) 13

b) 6

7

24

25

a) 25

b) 24

[3(− 3) + 5(2)] Ă— [2(14) − 5(3)]

1 (28 − 3) 2 [ Ă— ]á 4 12 4

[−9 + 10] Ă— [28 − 15] [1] Ă— [13] = 13 2 8

b)−

1 12

1 3

c)

110 4

d) −

55 4

e)

4.

3 5 15 + ( ) Ă— (− ) 4 3

1

c) −

25 24

13

d) 24

24

e) − 25

0,25 =

25 1 = 100 4

0,75 =

75 3 = 100 4

1 25 1 [ Ă— ]á 4 12 2 25 1 50 25 á = = 48 2 48 24

ganarse C$ 11 900?

55 4

a) 80 horas

1 1 15 + (1 − ) Ă— ( − 2) 4 3

1

ÂżcuĂĄntas horas de asesorĂ­a debe dar el maestro para

SoluciĂłn 2 1 15 + (1 − ) Ă— ( − 2) 8 3

2

e) 21

6. Por dar asesorĂ­a un maestro cobra C$ 140 la hora.

3. Al calcular 15 + (1 − ) Ă— ( − 2) 1 12

8

d) 14

SoluciĂłn

1 7 1 3 1 [ Ă— ( − )] á ( − ) 4 3 4 4 4

[3(2 − 5) + 5(3 − 1)] Ă— [2(8 + 6) − 5(4 − 1)]

4 3

5. Al calcular [0,25 Ă— (3 − 4)] á (0,75 − 4)

7 1 1 [0,25 Ă— ( − )] á (0,75 − ) 3 4 4

SoluciĂłn

a)

c)

b) 81 horas

c) 83 horas

d) 85 horas

horas 15 + (−

15 ) 12

5 60 − 5 55 15 − = = 4 4 4

SoluciĂłn 1â„Ž − − − − − − − −C$ 140 đ?‘Ľ − − − − − − − − − C$ 11 900 11 900 đ?‘Ľ= = 85 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ 140

e) 87

7. Un empleado que trabaja siete dĂ­as a la semana, gana C$

9. TenĂ­a $ 90. PerdĂ­ los

350 diarios y gasta C$ 900 semanales. ÂżCuĂĄntos dĂ­as tendrĂĄ que trabajar para comprar un auto de C$ 74 400? a) 336

b) 612

c) 412

d) 256

e) 375

SoluciĂłn

a) $ 4

b) $ 5

del resto.

d) $ 7

e) $ 8

3

3 270 90 ( ) = = 54 5 5

5

36 (6) =

180 6

90 − 54 = 36 â†? đ?‘…đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ Queda: 90 − 54 − 30 = 6

= 30

10. Un hombre deja al morir $ 4 500 para repartir entre sus

el padre $ 550 menos que la madre, y el hijo $ 200 menos que el padre. ÂżCuĂĄles son los ingresos totales de la familia? b) $ 8 513

5 6

SoluciĂłn: PerdĂ­ los 5 de 90

5

8. En una familia de tres miembros la madre gana $ 3 205,

a) $ 8 315

c) $ 6

Di prestados los 6 del resto

7 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘ − − − − − − − − 1 550 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘ − − − − − − − 74 400 520 800 đ?‘Ľ= = 336 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ 1 550

y di prestados los

ÂżCuĂĄnto dinero me queda?

Gana Semanalmente: 350 Ă— 7 = 2 450 Gasta Semanalmente: 900 Queda Semanalmente: 2 450 − 900 = 1 550

3 5

tres hijos. El mayor debe recibir 2/9 de la herencia, el segundo 1/5 de la parte del mayor y el tercero lo restante. ÂżCuĂĄnto recibirĂĄ cada uno? a) Mayor $ 2 200, segundo $ 100, tercero $ 2 200 b) Mayor $ 1 000, segundo $ 200, tercero $ 3 300

c) $ 8 113

d) $ 8 351

e) $ 8 531

c) Mayor $ 2 000, segundo $ 100, tercero $ 2 400 d) Mayor $ 2 000, segundo $ 200, tercero $ 2 300

SoluciĂłn:

e) Mayor $ 1 000, segundo $ 100, tercero $ 3 400 đ?‘€đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘’: $ 3 205 đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘’: $ 3 205 − $ 550 = $ 2 655 đ??ťđ?‘–đ?‘—đ?‘œ: $ 2 655 − $ 200 = $ 2 455

SoluciĂłn: Mayor: 9 (4500) =

đ?‘‡đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™: $ 8 315

El segundo: 5 (1000) = 200

2

1

9 000 9

= 1 000

Tercero: 4 500 − 1000 − 200 = 3 300

2

13. Un sexto de los alumnos de un curso reprobĂł un examen,

1

11. De una finca de 4 200 hectĂĄreas se venden los 3 de 7 y se 3

y la mitad lo aprobĂł con una excelente calificaciĂłn.

4

alquilan los 4 de 5 de la finca. ÂżCuĂĄntas hectĂĄreas quedan? a) 1 260

b) 1 280

c) 1 270

d) 2 260

Entonces la fracciĂłn que representa al resto de alumnos

e) 3 150

que aprobaron el examen, aunque no con excelente calificaciĂłn, es:

SoluciĂłn: Se venden los

Se alquilan los

de 7

a) 1/12

2 1 2 (4 200 ) ( ) ( ) = (4 200 ) ( ) = 400 3 7 21

SoluciĂłn:

2 3

1

3 4

de

b) 1/8

d) 1/4

e) 1/5

1 1 6−1−3 2 1 1− − = = = 6 2 6 6 3

4 5

14. Se adquiere un libro por $ 4,50, un par de revistas por $

3 4 3 (4 200 ) ( ) ( ) = (4 200 ) ( ) = 2 520 4 5 5

2 menos que el libro, un lapicero por la mitad de lo que costaron el libro y las revistas juntos. ÂżCuĂĄnto sobrarĂĄ al

200 − 400 − 2 520 = 1 280 2 5

12. Un hombre gasta en alimentaciĂłn de su familia los de su

comprador despuĂŠs de hacer estos pagos, si tenĂ­a $ 15,83?

sueldo mensual. Si un mes gasta por ese concepto $ 82. ÂżCuĂĄl ha sido su sueldo ese mes? a) $ 200

c) 1/3

b) $ 210

c) $ 205

SoluciĂłn:

a) $ 1,81 d) $ 215

e) $ 220

b) $ 2,80

c) $ 5,33

SoluciĂłn: Precio de libro $ 4,50

2 đ?‘Ľ = 82 5 5 đ?‘Ľ = 82 ( ) = 205 2

Precio de la revista $ 2,50 Precio del lapicero $ 3,50 Total: $ 10,50

d) $ 3,81

e) $ 4,33

$ 15,83  $ 10,50 = $ 5,33

=

15. đ??´, đ??ľ y đ??ś han realizado una carrera de 200 đ?‘š. đ??´ tardĂł un minuto y medio, đ??ľ llegĂł 25 segundos mĂĄs tarde y đ??ś ha

17. Al efectuar [

empleado medio minuto menos que đ??ľ. El orden de llegada a) 81

es: a) đ??ś, đ??ľ, đ??´

b) đ??´, đ??ľ, đ??ś

c) đ??ś, đ??´, đ??ľ

d) đ??ľ, đ??ś, đ??´

e) đ??ľ, đ??´, đ??ś

42√45 7√5 = 108 6

1 3 3 1 3 1 2 23 Ă—( ) Ă—( ) 2 3

33 Ă—( )

b) 80

2

] el resultado es:

c) 90

d) 92

e) 91

SoluciĂłn: 1 3 33 Ă— (3)

2

1 2 2 1 ] = [9] = [9]2 = 81 = = [ ] [ ] [ 1 1 1 1 3 1 2 1Ă—9 23 Ă— ( ) Ă— ( ) 9 2 3

Solución A: Tardo minuto y medio ósea. 90 seg B: llegó 25 segundos mås tarde 90  25 = 115 seg.

2

1

0,5 Ă— 0,3 Ă— 3 1/2

18. Al efectuar las operaciones ( 22 Ă— 0,4 Ă— 10 )

C: ha empleado medio minuto menos que đ??ľ 115  30= 85 seg.

a)

Los Lugares quedaron: C, A, B

√3 30

b)

27 59√2

c)

√2 17

d)

3 8√5

resulta: e)

27√5 320

SoluciĂłn: 16. Al efectuar las operaciones a)

7√5 6

b)

3√3 5

c)

15 Ă—49 1â „2 ( 2 3) 2 Ă—3

√2 3

d)

SoluciĂłn: 15 Ă— 49 1 ( 2 ) 2 Ă— 33

=

â „2

3√5 5

Pasar todos los decimales a decimales e)

5√2 6

1 3 3 1/2 9 1/2 9 1/2 Ă— Ă— 0,5 Ă— 0,3 Ă— 3 1/2 ( 2 ) = (2 10 1) = ( 20 ) = ( 20 ) 4 2 10 80 16 2 Ă— 0,4 Ă— 10 Ă— Ă— 1 5 1 1 5 1

15 Ă— 72 =√ 2 2 Ă— 32 Ă— 3

7√15 6√3

Ă—

6√3 6√3

9 2 √9 ( ) = 320 √320 =

3 √22 Ă— 22 Ă— 22 Ă— 5

=

3

48 = 15 3,2

8√5 22.

ÂżcuĂĄl es dicha cantidad?

3

19. Al simplificar la expresiĂłn √737 − √64 el resultado es: a) 15

b) 6

c) 9

d) 12

e) 18

Si sabes que el 10% del 30% de una cantidad es 525,

a) 28 700

b) 19 500

c) 17 500 d) 23 500

e) 21 725

SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

0,3(0,1 đ?‘Ľ) = 525 3

√737 − √64 = 2√737 − 8 = 3√729 = 9 4

20.

625

3

0,03 đ?‘Ľ = 525

8

Al efectuar √256 − √27 el resultado es:

4

2

a) 15

b) − 15

c)

7 15

d)

2 15

23. Si los e)

de un nĂşmero es 45% de los

a) 18/3

b) 18/9

c) 18/2

SoluciĂłn: 4

√

21.

625 3 8 5 2 15 − 8 7 −√ = − = = 256 27 4 3 12 12

6 15 đ?‘Ľ = 0,45 ( ) 4 4 9

En una isla desierta, cuatro nĂĄufragos consumen diariamente 0,8 litros de agua cada uno. Si la reserva de agua que les queda es de 48 litros, Âżdurante cuantos dĂ­as podrĂĄn seguir bebiendo agua?

6 đ?‘Ľ=2 4 đ?‘Ľ=

2Ă—4 4

đ?‘Ľ=2 a) 15 dĂ­as

b) 18 dĂ­as

c) 21 dĂ­as

d) 24 dĂ­as

e) 27 días �≥

SoluciĂłn:

(4)(0,8) = 3,2

15 9

de 4, ÂżCuĂĄl es el

nĂşmero?

7 12

SoluciĂłn:

6 4

525

→ � = 0,03 = 17 500

18 9

d) 18/4

e) 18/5

24.

Si Carlos midiera un 15% menos, su estatura seria de

26. El 70% del tanque de un aviĂłn corresponde a una

1,45 đ?‘š. ÂżCuĂĄnto mide la altura de Carlos? a) 1,60 đ?‘š

b) 1,70 đ?‘š

c) 1,75 đ?‘š

d) 1,9 đ?‘š

capacidad de 140 litros. ÂżCuĂĄl es la cantidad de combustible con que aterriza el aviĂłn, si lo hizo con el 5%

e) 1,55 đ?‘š

SoluciĂłn:

del tanque lleno? a) 55 đ?‘™đ?‘Ąđ?‘

b) 49 đ?‘™đ?‘Ąđ?‘

c) 10 đ?‘™đ?‘Ąđ?‘

d) 21 đ?‘™đ?‘Ąđ?‘

e) 70 đ?‘™đ?‘Ąđ?‘

100% − 15% = 85% SoluciĂłn:

85 % − − − − − 1,45 đ?‘š 100 % − − − − − đ?‘Ľ _____________________________ 100 Ă— 1,45 đ?‘Ľ= = 1,70 85

70% − − − − − 140 đ?‘™ 5 % − − − − − −đ?‘Ľ __________________________ đ?‘Ľ=

25. En un curso hay el doble de mujeres que hombres, y los

27. Una cuadrilla de obreros emplea 14 dĂ­as, trabajando ocho

hombres son una decena. El 30% de los alumnos del curso

horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubiera

es: a) 30

(140)(5) 700 = = 10 70 70

b) 10

c) 9

d) 11

trabajado una hora menos al dĂ­a, el nĂşmero de dĂ­as en que

e) 22

SoluciĂłn:

habrĂ­an terminado la obra es: a) 10

Hombres: 1 Decena: 10 estudiantes

y

Total: 30 estudiantes 30 − − − − − 100% đ?‘Ľ − − − − − 30% _____________________________ 30 Ă— 0,3 đ?‘Ľ= =9 1

Mujeres: 20

b) 11

c) 14

SoluciĂłn: 14 đ?‘‘ − − − − − −8â„Ž đ?‘Ľ −−−−−−−7â„Ž ___________________________ đ?‘Ľ 8 = 14 7 đ?‘Ľ=

(14)(8) = 16 â„Ž 7

d) 13

e) 16

28. Cuarenta y seis obreros de la constructora “MEYMITO�

30. Una calle de 50đ?‘š de largo y 8đ?‘š de ancho se halla

se demoran 6 dĂ­as en construir una casa. El nĂşmero de

pavimentada con 20 000 adoquines ÂżCuĂĄntos adoquines

dĂ­as que demorarĂ­an 69 obreros es:

serĂĄn necesarios para pavimentar otra calle de doble 3

a) 9

b) 8

c) 4

d) 15

largo y cuyo ancho es los 4 del ancho anterior?

e) 5 a) 10 000

SoluciĂłn: 46 đ?‘œđ?‘? − − − − − −6 đ?‘‘ 69 đ?‘œđ?‘? − − − − − −đ?‘Ľ ___________________________ 46 đ?‘Ľ = 69 6 đ?‘Ľ=

b) 15 000

đ??´ = (50 đ?‘š)(8 đ?‘š) = 400 đ?‘š2 400 đ?‘š2 = 0,02 đ?‘š2 đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘™đ?‘™đ?‘œ 20 000 adoquines Se vuelve a sacar el ĂĄrea de la calle:

ocupa los 11 de la parcela y paga anual đ??ś$6 000 de alquiler

Largo: 2(50 đ?‘š) = 100 đ?‘š

al aĂąo. ÂżCuĂĄnto paga de alquiler anual Misael?

Ancho: 8 ( ) = 6 đ?‘š

5

a) đ??ś$12 000 b) đ??ś$ 7 200 c) đ??ś$36 000 d) đ??ś$3 272 e) đ??ś$18 000 SoluciĂłn Llamemos “xâ€? el total del arriendo 5 đ?‘Ľ = 6 000 11 11 đ?‘Ľ = 6 000 ( ) = 13 200 5 13 200 − 6 000 = 7 200

d) 35 000

SoluciĂłn:

(46)(6) =4 69

29. ElĂ­as y Misael arriendan la totalidad de una parcela. ElĂ­as

c) 25 000

3 4

Ă rea: (100 đ?‘š)(6 đ?‘š) = 600 đ?‘š2 đ?‘š2 = 30 000 0,02 đ?‘š2

e) 30 000

31. En un corral por cada 3 patos hay 2 conejos y por cada

33. Los capitales de Marlene y Natalia estĂĄn en la razĂłn siete

conejo 2 gallinas. Si hay 12 patos, ÂżCuĂĄntas gallinas hay?

es a cuatro y suman đ??ś$ 55 000 ÂżCuĂĄnto capital tiene

a) 12

b) 40

c) 14

d) 16

Natalia?

e) 18

a) đ??ś$20 000 b) đ??ś$ 10 000 c) đ??ś$25 000 d) đ??ś$5 000 e) đ??ś$1 000

SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

3đ?‘ƒâˆ’−−−−2đ??ś 1đ??ś −−−−−2đ??ş

đ?‘€ + đ?‘ = C$ 55 000 Entonces đ?‘€ = C$ 55 000 − N 12 đ?‘ƒ − − − − − đ?‘‹ đ??ś 3đ?‘ƒ −−−−−2đ??ś

7 C$ 55 000 − N = 4 đ?‘

đ?‘Ľ =8đ??ś 7đ?‘ = 220 000 − 4đ?‘ Por cada conejo hay 2 Gallinas 2(8) = 16 11đ?‘ = 220 000 32. Se sabe para una proporciĂłn geomĂŠtrica que el producto de los extremos es 100. Si los tĂŠrminos medios son

34. ÂżQuĂŠ hora del dĂ­a serĂĄ cuando el nĂşmero de horas transcurridas y el nĂşmero de horas que faltan por

positivos e iguales, ÂżCuĂĄl es la suma de los tĂŠrminos

transcurrir se encuentren en la razĂłn de cinco es a tres?

medios? a) 5

b) −10

c) 20

d) 30

e) 46

a) 10 đ?‘Ž.đ?‘š

b) 3 đ?‘?.đ?‘š

c) 8 đ?‘?.đ?‘š

d) 9:45 đ?‘Ž.đ?‘š

e) 3:50 đ?‘?.đ?‘š

SoluciĂłn:

SoluciĂłn: đ?‘Ž đ?‘? = đ?‘? đ?‘‘ đ?‘Žđ?‘‘ = đ?‘?đ?‘? 100 = đ?‘› đ?‘›

đ?‘ = 20 000

100 = đ?‘›2

10 = đ?‘›

đ??¸đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘› + đ?‘› = 10 + 10 = 20

Horas trascurridas: đ?‘Ľ

Horas que faltan por transcurrir: 24 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ 5 = 24 − đ?‘Ľ 3 3đ?‘Ľ = 5(24 − đ?‘Ľ)

đ?‘Ľ = 15 â„Ž = 3 đ?‘?. đ?‘š 35.

Elsa tuvo su hijo enrique a los 25 aĂąos y hoy sus edades estĂĄn en la razĂłn ocho es a tres. ÂżQuĂŠ edad tiene hoy enrique?

a) 10 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘

b) 2 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘

c) 9 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘

d) 4 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘

e) 15 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘

à lgebra 1. Si a = -1, b = 3, c = 5, entonces A. – 1/9

đ?‘Ž+đ?‘?−|đ?‘Žâˆ’đ?‘?| |đ?‘Ž|+|đ?‘?|+|đ?‘?|

B. 1

C. 1/9

D.

– 2/9

SoluciĂłn

SoluciĂłn

−1 + 3 − |−1 − 3| −1 + 3 − |−4| 2 − 4 2 = = =− |−1| + |3| + |5| 1+3+5 9 9

đ?‘Ľ + 25 8 = đ?‘Ľ 3 8đ?‘Ľ = 3(đ?‘Ľ + 25) 8đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ + 75 5đ?‘Ľ = 75

2. El valor numĂŠrico de la expresiĂłn A. - 1/27

đ?‘Ž 2 (đ?‘Ž+đ?‘?) (đ?‘Žâˆ’đ?‘?)3

B. 1/27

para đ?‘Ž = 1 y đ?‘? = −2

C. -1/3

D. 15/17

SoluciĂłn

75 đ?‘Ľ= 5

(1)2 (1 + (−2)) 1(1 − 2) 1(−1) = = (1 − (−2))3 (1 + 2)3 (3)3

đ?‘Ľ = 15

=−

1 27

3. El resultado de (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś2) (đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2) es A. đ?‘Ľ4 + đ?‘Ś4

B. đ?‘Ľ4 − đ?‘Ś4

SoluciĂłn (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś2) (đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2) = đ?‘Ľ4 − đ?‘Ś4

C. 2đ?‘Ľ2 − 2đ?‘Ś2

D. 2đ?‘Ľ2 + 2đ?‘Ś2

4. La descomposición en factores de la expresión 3�2 – 2� – 8 es: A. (3� + 4) (� + 2)

B. (3đ?‘Ľ + 4) (đ?‘Ľ − 2)

C. (3đ?‘Ľ – 4) (đ?‘Ľ − 2)

D. (3� – 4) (� + 2)

SoluciĂłn

A.

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľâˆ’1)

B.

4đ?‘Ľ 2 −1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľâˆ’1)

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľâˆ’1)(đ?‘Ľâˆ’1)

D.

Factor ComĂşn 12đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ(3đ?‘Ľ − 1)

A. (x – 4y)

B. (4xy + x2 + 16y2)

C. (x + 4y) (4xy + x2 + 16y2)

D. (x – 4y) (4xy + x2 +16y2)

SoluciĂłn

Trinomio de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 4đ?‘Ľ 2 − 11đ?‘Ľ − 3 =

đ?‘Ľ3– 64đ?‘Ś3 = ( đ?‘Ľ – 4đ?‘Ś ) (đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľđ?‘Ś + 16đ?‘Ś 2 ) 3đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ − 3 = đ?‘Ž 2 −4đ?‘?2

6. La simplificaciĂłn de đ?‘Žđ?‘?+2đ?‘?2 á B.

đ?‘? đ?‘Ž

3đ?‘Ž 2 −5đ?‘Žđ?‘?−2đ?‘?2 3đ?‘Ž 2 +đ?‘Žđ?‘?

es: C.

đ?‘Ž đ?‘?

D.1

(4đ?‘Ľ − 12)(4đ?‘Ľ + 1) â&#x;š (đ?‘Ľ − 3)(4đ?‘Ľ + 1) 4 (3đ?‘Ľ + 9)(3đ?‘Ľ − 1) â&#x;š (đ?‘Ľ + 3)(3đ?‘Ľ − 1) 3

Diferencia de cuadrados đ?‘Ľ 2 − 9 = (đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ + 3)

SoluciĂłn

Aplicar inverso multiplicativo y resolver:

Aplicando inverso multiplicativo đ?‘Ž2 − 4đ?‘? 2 3đ?‘Ž2 + đ?‘Žđ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘? + 2đ?‘? 2 3đ?‘Ž2 − 5đ?‘Žđ?‘? − 2đ?‘? 2 Factorizando (đ?‘Ž − 2đ?‘?)(đ?‘Ž + 2đ?‘?) đ?‘Ž(3đ?‘Ž + đ?‘?) đ?‘Ž Ă— = (đ?‘Ž − 2đ?‘?)(3đ?‘Ž + đ?‘?) đ?‘? đ?‘?(đ?‘Ž + 2đ?‘?)

es:

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+1)

Al efectuar las factorizaciones necesarias:

5. La descomposición en factores de la expresión �3– 64�3 es:

đ?‘Ž đ?‘?(3đ?‘Ž+đ?‘?)

C.

3đ?‘Ľ 2 +8đ?‘Ľâˆ’3 ) đ?‘Ľ 2 −9

SoluciĂłn (3đ?‘Ľ − 6)(3đ?‘Ľ + 4) = (đ?‘Ľ − 2)(3đ?‘Ľ + 4) 3

A.

12đ?‘Ľ 2 −4đ?‘Ľ

1

7. El resultado de la operaciĂłn đ?‘Ľâˆ’1 + (4đ?‘Ľ2 −11đ?‘Ľâˆ’3 á

1 12đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 − 9 +( 2 Ă— ) đ?‘Ľâˆ’1 4đ?‘Ľ − 11đ?‘Ľ − 3 3đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ − 3 (đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ + 3) 1 4đ?‘Ľ(3đ?‘Ľ − 1) +( Ă— ) (đ?‘Ľ − 3)(4đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ + 3)(3đ?‘Ľ − 1) đ?‘Ľâˆ’1 1 4đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ + 1 + 4đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ 2 + 1 + = = (đ?‘Ľ − 1)(4đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ − 1)(4đ?‘Ľ + 1) đ?‘Ľ − 1 4đ?‘Ľ + 1

đ?‘Ľ đ?‘Ś

10.

đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ

8. Al Desarrollar ( − ) se obtiene A.

đ?‘Ľ 4 +2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 +đ?‘Ś 4 đ?‘Ľ 2đ?‘Ś2

B.

đ?‘Ľ 4 −2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 −đ?‘Ś 4 đ?‘Ľ 2đ?‘Ś2

C.

đ?‘Ľ 4 −2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 +đ?‘Ś 4 đ?‘Ľ2đ?‘Ś2

D.

đ?‘Ľ 4 +2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 −đ?‘Ś 4 đ?‘Ľ 2đ?‘Ś2

SoluciĂłn

A.

5

B.

1

C. 0

D.  1

discrimĂ­nate la cual establece: đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0

=(

Para encontrar đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? hay que llevar la ecuaciĂłn a la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ +

2 2

2

đ?‘Ľ −đ?‘Ś ) đ?‘Ľđ?‘Ś

đ?‘?=0 Para ello se realizan los despejes necesarios:

(đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 )2 = (đ?‘Ľđ?‘Ś)2 =

đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜ = −2 − 3đ?‘Ľ

đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 4 đ?‘Ľ2đ?‘Ś2

đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ + đ?‘˜ + 2 = 0

9. Al racionalizar el denominador de la fracciĂłn √2đ?‘Ľ+5−3 4

ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜ = −2 − 3đ?‘Ľ es:

SoluciĂłn: Para encontrar la soluciĂłn real se utiliza la ecuaciĂłn del đ?‘Ľ đ?‘Ś 2 ( − ) đ?‘Ś đ?‘Ľ

A.

El valor de đ?‘˜ que proporciona sola una soluciĂłn real de la

B. −√3 − 2

C.

√2đ?‘Ľ+5−3 2

1 3−2 √

D.

đ?‘Ľ 2 + (đ?‘˜ + 3)đ?‘Ľ + (đ?‘˜ + 2) = 0

se obtiene

√2đ?‘Ľ+5−3 2

Entonces: đ?‘Ž = 1 ,

đ?‘? = đ?‘˜+3,

Aplicando la ecuaciĂłn:

đ?‘? =đ?‘˜+2 đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0

SoluciĂłn (đ?‘˜ + 3)2 − 4(1)(đ?‘˜ + 2) = 0 1

.

√3 + 2

√3 − 2 √3 + 2 √3 + 2 = 3−4 =

√3 + 2 −1

= −√3 − 2

đ?‘˜ 2 + 6đ?‘˜ + 9 − 4đ?‘˜ − 8 = 0 đ?‘˜ 2 + 2đ?‘˜ + 1 = 0

â&#x;š đ??šđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x;

(đ?‘˜ + 1)(đ?‘˜ + 1) = 0 đ?‘˜+1= 0; đ?‘˜+1 = 0 đ?‘˜ = −1 ; đ?‘˜ = −1

11.

Al resolver la ecuaciĂłn

đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľâˆ’1

+

2đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+1

= 4 se obtiene que la

diferencia entre el mayor y el menor de las raĂ­ces es: A.

5

B. 5

C. 1

SoluciĂłn

D.  1

12.

El conjunto soluciĂłn de la desigualdad đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 8 > 0

A. (– 2; 1) âˆŞ (1;+ ∞)

B. [– 2;0) âˆŞ [1; +∞)

C. (−∞, 2) âˆŞ (4, ∞)

D. [– 2, 0) âˆŞ (1, +∞)

SoluciĂłn đ?‘Ľ + 1 2đ?‘Ľ − 1 + =4 đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+1

đ?‘Ľ2 − 6đ?‘Ľ + 8 > 0

(đ?‘Ľ + 1)2 + (đ?‘Ľ − 1)(2đ?‘Ľ − 1) =4 đ?‘Ľ2 − 1

(đ?‘Ľ − 4)(đ?‘Ľ − 2) > 0 đ?‘Ľ − 4 > 0 ,đ?‘Ľ − 2 > 0

đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ + 1 + 2đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ + 1 = 4(đ?‘Ľ 2 − 1) 2

đ?‘Ľ > 4;đ?‘Ľ > 2

2

3đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 2 = 4đ?‘Ľ − 4 2

Intervalos: (−∞, 2), (2, 4), (4, ∞)

2

4đ?‘Ľ − 4 = 3đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ − 6 = 0 (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 2) = 0 đ?‘Ľ+3=0 ; đ?‘Ľ = −3

;

Valores

de

(đ?&#x;?, đ?&#x;’),

(đ?&#x;?, đ?&#x;’),

1

3

5

Prueba

đ?‘Ľâˆ’2=0

(đ?’™ − đ?&#x;’)

−

−

+

đ?‘Ľ=2

(đ?’™ − đ?&#x;?)

−

+

+

(đ?’™ − đ?&#x;’)(đ?’™ − đ?&#x;?)

+

−

+

SI

NO

SI

La diferencia entre las soluciones seria: 2 − (−3 ) =2+3 =5

(−∞, đ?&#x;?)

C.s: (−∞, 2) âˆŞ (4, ∞)

A.

15.

2

13.

El conjunto soluciĂłn de la desigualdad |đ?‘Ľ + 3| ≤ 2 es: 8 −3

≤�≤

4 3

B.

8 3

4 3

≤�≤

C.

8 −3

≤�≤

4 −3

D.

8 −9

4

�≤3

El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 estå dado por el intervalo

≤ A. (–1; 0)

B. (1, 6)

SoluciĂłn

SoluciĂłn

2−

−7 − 5 < – 2đ?‘Ľ < 7 − 5 −12 < – 2đ?‘Ľ < 2

2 2 2 ≤đ?‘Ľ+ ≤2− 3 3 3

−

8 4 − ≤đ?‘Ľâ‰¤ 3 3

B. [−1; 5]

12 2 < –� < 2 2

−6 < – đ?‘Ľ < 1

El conjunto solución de la desigualdad 1 ≤

A. [1; 5]

D. (–1; 2)

−7 < 5 – 2đ?‘Ľ < 7

2 −2 ≤ đ?‘Ľ + ≤ 2 3

14.

C. (-1, 6)

B. [−1; 0]

7−đ?‘Ľ 2

−1 > đ?‘Ľ > 6

≤ 3 es;

B. [1; 2]

C.s: (-1, 6) 16.

SoluciĂłn

Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es:

7−đ?‘Ľ 1 ≤ 2

C-s: [1; 5]

;

7−đ?‘Ľ ≤3 2

7−đ?‘Ľ ≤2

;

7−đ?‘Ľ ≤6

−đ?‘Ľ ≤ 2 − 7

;

−đ?‘Ľ ≤ 6 − 7

−đ?‘Ľ ≤ −5

;

−đ?‘Ľ ≤ −1

�≼5

;

� ≼1

A. – 3

B. 3

C. 1

D. – 1

SoluciĂłn

đ?‘Ľ>2

;

2� – 1 > 3

;

2đ?‘Ľ – 1 < −3

2đ?‘Ľ > 3 + 1

;

2đ?‘Ľ < −3 + 1

đ?‘Ľ < −1 Por tanto, el conjunto soluciĂłn es

(−∞, −1) âˆŞ (2, ∞), es decir đ?‘Ľ ∉ [−1,2], por lo cual el valor de đ?‘Ľ = −1

17. Al factorizar la expresiĂłn −12 đ?‘Ľ 3 + 36 đ?‘Ľ 2 − 27 đ?‘Ľ, uno de los factores es: A) -2

A. -1

B) (2 đ?‘Ľ − 3)2

C) 5đ?‘Ľ2

D) (2 đ?‘Ľ + 3)2

SoluciĂłn

Si đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1; đ?‘Ľđ?‘Ś = 1

ÂżCuĂĄl serĂĄ el valor de x3 + y3?

B. -2

C. -3

D. -4

SoluciĂłn: Elevando al cubo la expresiĂłn (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene

18. Al simplificar ( A. x y6 z4

19.

−3đ?‘Ľ(4đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ + 9)

(đ?‘Ľ + đ?‘Ś)3 = đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 3 = 1

= −3đ?‘Ľ(2đ?‘Ľ − 3)2

đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 3 = 1

2

4

1 − đ?‘Ľ 3

2 đ?‘Ś3

− − đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 3 đ?‘§ −4 7 − đ?‘§ 3

Factorizando tĂŠrminos medios

−3

) resulta:

đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + đ?‘Ś 3 = 1

B. x y3 z5

C. x y6 z5

D. x2 y6 z5

Reemplazando đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 y đ?‘Ľđ?‘Ś = 1

SoluciĂłn

đ?‘Ľ 3 + 3(1)(1) + đ?‘Ś 3 = 1

(

2

4

1 3

2 đ?‘Ś3

đ?‘Ľ −3 đ?‘Ś −3 đ?‘§ −4 đ?‘Ľ

−

�

−

−3

7) 3

1

đ?‘Ś3 + 3 + đ?‘Ś3 = 1 20.

đ?‘Ś 3 + đ?‘Ś 3 = −2

Mi hijo es ahora tres veces mĂĄs joven que yo, pero hace cinco aĂąos era cuatro veces mĂĄs joven. ÂżCuĂĄntos aĂąos tiene?

5 −3

= (đ?‘Ľ −3 đ?‘Ś −2 đ?‘§ −3 ) = đ?‘Ľđ?‘Ś 6 đ?‘§ 5

→

A. 10

B. 5

C. 25

D. 15

3â„Ž = đ?‘? 4(â„Ž − 5) = đ?‘? − 5 4â„Ž − 20 = 3â„Ž − 5 4â„Ž − 3â„Ž = −5 + 20

→ ℎ = 15

SoluciĂłn:

21.

El producto de tres enteros positivos consecutivos es

Resolver la ecuaciĂłn

3360 y su suma es 45. ÂżCuĂĄl es el mayor de esos tres

2 đ?‘Ľ+8 đ?‘Ľ 3 +2= 2 2

nĂşmeros? A. 27

B. 16

SoluciĂłn

C. 15

D. 14

2 3đ?‘Ľ + 8 = đ?‘Ľ − 2 2 2

đ?‘Ž + đ?‘Ž + 1 + đ?‘Ž + 2 = 45

2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ + 8 = 2 ( − 2) â&#x;š đ?‘Ľ + 8 = đ?‘Ľ − 4 3 2 3

3đ?‘Ž = 45 − 3 đ?‘Ž=

1 − đ?‘Ľ = −12 3

42 = 14 3

â&#x;š đ?‘Ľ = 12(3)

â&#x;š

2 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = −4 − 8 3

â&#x;š đ?‘Ľ = 36

22. Un autobĂşs comienza su trayecto con un cierto nĂşmero de

23. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si

pasajeros. En la primera parada descienden 1/3 de los

hace 6 aĂąos la edad del padre era el quĂ­ntuple de la edad de su

pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1/2 de

hijo. ÂżCuĂĄnto es la suma de las cifras de edad del padre?

los pasajeros y suben 2 nuevos. En este momento, el autobĂşs

A. 8

B. 6

C. 10

D. 9

lleva la mitad del nĂşmero de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ÂżCuĂĄntos pasajeros habĂ­a al principio? A. 18

B. 36

C. 30

D. 42

SoluciĂłn: Sea đ?‘?: edad del padre y â„Ž: edad del hijo 3â„Ž = đ?‘? 5(â„Ž − 6) = đ?‘? − 6

SoluciĂłn: Sea x el nĂşmero de pasajeros

Entonces

el

tiene:

5ℎ − 30 = 3ℎ − 6

3â„Ž = đ?‘?

5ℎ − 3ℎ = −6 + 30

3(12) = đ?‘?

2â„Ž = 24

36 = đ?‘?

â„Ž=

24 2

La suma de sus cifras: 3+6=9

â„Ž = 12

padre

24. En Navidad, en cierta empresa todos los empleados se

(

ofrecen regalos. En esta ocasiĂłn las mujeres se han dado

(2đ?‘Ś − 6)(2đ?‘Ś − 7) 2đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ś + + đ?‘Ś 2 − đ?‘Ś = 318) ∗ 2 2 2

mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la

4đ?‘Ś 2 − 14đ?‘Ś − 12đ?‘Ś + 42 + 2đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ś + 2đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś − 636 = 0

mitad han dado un regalo a sus compaĂąeros y la otra mitad lo

(8đ?‘Ś 2 − 34đ?‘Ś − 594 = 0) á 2 → 4đ?‘Ś 2 − 17đ?‘Ś − 297 = 0

han ofrecido a cada una de sus compaĂąeras. Sabemos que el doble del nĂşmero de mujeres excede en 6 al nĂşmero de

(4đ?‘Ś − 44)(4đ?‘Ś − 27) 4(đ?‘Ś − 11)(4đ?‘Ś − 27) =0 → → (đ?‘Ś − 11)(4đ?‘Ś − 27) 4 4 =0

hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ÂżcuĂĄntos empleados tiene la empresa? A. 37

B. 16

C. 11

đ?‘Ś = 11 ∧ D. 27

đ?‘Ś=

27 4

por lo tanto, la cantidad de las mujeres serĂĄn 11.

Sustituir el valor de “y� en la E1 para obtener “x�

SoluciĂłn

đ?‘Ľ = 2(11) − 6 → x = 22 − 6 đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ľ = 16

đ?‘Ľ = đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘

đ?‘Ľ = 16 ; đ?‘Ś = 11

đ?‘Ś = đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘šđ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘

đ?‘… = đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘“đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘Žđ?‘—đ?‘Žđ?‘› đ?‘’đ?‘› đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ 37 đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘

đ??ˇđ?‘œđ?‘?đ?‘™đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘šđ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ = 2đ?‘Ś − 6

25. Un factor de 5đ?‘Ą − 12 + 2đ?‘Ą 2 es đ?‘Ą + 4 y el otro es:

đ??śđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘šđ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘™đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘˘đ?‘› đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘™đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘œđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž = đ?‘Ś(đ?‘Ś − 1)

A. (đ?‘Ą + 4)

đ??żđ?‘Ž đ?‘šđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘› đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś đ?‘™đ?‘Ž đ?‘œđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘šđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘ đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘šđ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ = đ?‘Ľ (đ?‘Ľ 2

đ?‘Ľ

− 1) + 2 đ?‘Ś

Las ecuaciones son:

đ?‘Ľ = 2đ?‘Ś − 6 đ??¸1

đ?‘Ľ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ − 1) + (đ?‘Ś) + đ?‘Ś(đ?‘Ś − 1) = 318 đ??¸2 2 2 Sustituir el valor de “xâ€? en la E2 para encontrar “yâ€? 2đ?‘Ś − 6 2đ?‘Ś − 6 (2đ?‘Ś − 6 − 1) + (đ?‘Ś) + đ?‘Ś(đ?‘Ś − 1) = 318 2 2

B. (2đ?‘Ą − 3)

C. (3 − 2đ?‘Ą)

SoluciĂłn: Al Factorizar el polinomio dado es: 2đ?‘Ą 2 + 5đ?‘Ą − 12 = (đ?‘Ą + 4)(2đ?‘Ą − 3) Por lo tanto, el otro factor es (2đ?‘Ą − 3)

D. (2đ?‘Ą + 3)

GeometrĂ­a Euclidiana

3. Dos ĂĄngulos son complementarios. Tres veces la medida de

1. Se tienen cuatro rectas en el plano: đ?‘š, đ?‘›, đ?‘? y đ?‘ž. Si đ?‘š es paralela a đ?‘›, que, a su vez, lo es de đ?‘?, mientras que đ?‘ž es perpendicular a đ?‘›, ÂżcuĂĄl de las siguientes respuestas es verdadera? a. đ?‘ž tambiĂŠn debe ser perpendicular a đ?‘š y đ?‘?. b. đ?‘? y đ?‘ž son paralelas. c. Podemos encontrar una recta đ?‘ que sea paralela a đ?‘› y no perpendicular a đ?‘ž.

2. Dos ångulos adyacentes forman un ångulo de 135°. Si uno es 15° mayor que tres veces el otro, las medidas de estos ångulos son: b. 30°, 105°

c. 75°, 60°

d. 80°, 55°

SoluciĂłn Primer ĂĄngulo: x x = 15 + 3y Sabes que x + y = 135 Reemplazas x en esta ecuaciĂłn: 15 + 3y + y = 135 15 + 4y = 135 y = 30

medidas de los ångulos de dichos ångulos son: a. 45°, 45°

b. 60°, 30°

c. 73°, 17°

Sea: “xâ€? el primer ĂĄngulo, “yâ€? el segundo ĂĄngulo 3x + 30 = 2y x + y = 90 Ordenar el sistema y resolverlo, mĂŠtodo de reducciĂłn

x + y = 90 (2) ---------------3x – 2y = -30 2x + 2y = 180 ---------------5x = 150

Segundo ĂĄngulo: y

x = 150/5

Encontrar x x + y = 135 x + 30 = 135 x = 135 – 30

x = 30 Encontrar el segundo ångulo x + y = 90 30 + y = 90 y = 90 – 30

x = 105

d. 42°, 48°

SoluciĂłn

3x – 2y = -30

d. Ninguna de las respuestas anteriores.

a. 35°, 100°

uno de ellos es 30° mås que el doble de la del otro. Las

y = 60

4. El ĂĄrea del triĂĄngulo de la figura dada es

Siendo 5k (por ser el mayor) la hipotenusa del triĂĄngulo rectĂĄngulo,

5√39 2

asumimos como base (o altura) a 3k y como altura (o base) a 4k,

a. √12

b.

c.

√12 2

d. 1

reemplazando obtenemos:

SoluciĂłn Encontrar la altura “câ€?, utilizando el teorema de

3đ?‘˜ 4đ?‘˜ 12 đ?‘˜ 2 = 24 → = 24 2 2

PitĂĄgoras.

→ đ?‘˜2 = 4 → đ?‘˜ = 2

Siendo k=2m, la longitud de cada lado del triĂĄngulo serĂĄ:

đ?‘? = √đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 đ?‘? = √(8 đ?‘?đ?‘š)2 − (5 đ?‘?đ?‘š)2 = √64 đ?‘?đ?‘š2 − 25 đ?‘?đ?‘š2 = √39 đ?‘?đ?‘š2 = √39 đ?‘?đ?‘š Aplicando la ecuaciĂłn para el ĂĄrea de triĂĄngulos rectĂĄngulos đ?‘?â„Ž (5)(√39) 5√39 đ??´= = = 2 2 2 5. Los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo son proporcionales a los nĂşmeros 3, 4, 5 y tiene un ĂĄrea de 24 đ?‘š2. Las medidas de sus

L1=3k=3(2m) = 6m L2=4k=4(2m) = 8m L3=5k=5(2m) = 10m 6. Para el ∆đ??´đ??ľđ??ś, đ??ˇđ??¸ âˆĽ đ??ľđ??ś, đ??´đ??ˇ = đ??ˇđ??ľ, đ??´đ??¸ = đ??¸đ??ś. Hallar en centĂ­metros a BC

lados son: a. 13, 12, 10

→ 6đ?‘˜ 2 = 24

b. 10, 6 y 8

c. 8, 6, 12

d. 6, 10, 14

a. 30 đ?‘?đ?‘š

b. 25 đ?‘?đ?‘š

c. 34 đ?‘?đ?‘š

d. 28 đ?‘?đ?‘š

SoluciĂłn

SoluciĂłn Los lados del triĂĄngulo rectĂĄngulo estarĂĄn dados por 3k,4k y 5k, donde k es una constante. El ĂĄrea de un triĂĄngulo rectĂĄngulo, o de un triĂĄngulo en general, estĂĄ

đ??´đ??ˇ đ??´đ??ľ = đ??ˇđ??¸ đ??ľđ??ś

→

đ??´đ??ˇ 2đ??´đ??ˇ = 2đ?‘Ľ − 1 3đ?‘Ľ + 6

đ??´đ??ˇ đ??´đ??ˇ + đ??ˇđ??ľ = 2đ?‘Ľ − 1 3đ?‘Ľ + 6 →

1 2 = 2đ?‘Ľ − 1 3đ?‘Ľ + 6

4đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ = 6 + 2

dado por: đ??´=

đ?‘?â„Ž 2

→

đ??´đ??ˇ đ??´đ??ˇ + đ??´đ??ˇ = 2đ?‘Ľ − 1 3đ?‘Ľ + 6

→

→

4đ?‘Ľ − 2 = 3đ?‘Ľ + 6

đ?‘Ľ=8

Entonces đ??ľđ??ś = 3đ?‘Ľ + 6 = 3(8) + 6 = 24 + 6 = 30

⃡ ∥ ⃡𝐸𝐻 𝑦 𝐸𝐺 ∥ 𝐷𝐻 Los valores de 𝑥 y 𝑦 son: 7. En la figura,𝐹𝐺

9. El área del polígono de la derecha es:

a. 𝑥 = 10, 𝑦 = 30 b. 𝑥 = 20, 𝑦 = 12 c. 𝑥 = 20, 𝑦 = 10 d. 𝑥 = 30, 𝑦 = 10

a. 70 𝑐𝑚2

b. 92 𝑐𝑚2

Solución

c. 90 𝑐𝑚2

d. 45 𝑐𝑚2

Solución

𝑦 15 = 30 45 𝑦 1 = 30 3 3𝑦 = 30

→

30 = 10 3

𝑦=

𝑦 𝑥 10 𝑥 = → = 30 40 + 𝑥 30 40 + 𝑥 3𝑥 = 40 + 𝑥

→ 2𝑥 = 40

→

→

1 𝑥 = 3 40 + 𝑥 𝑥=

40 = 20 2

8. En la figura, ⃡𝐴𝐵 ∥ ⃡𝐷𝐶 ∥ ⃡𝐸𝐹 El valor de 𝑥 es a. 𝑥 = 3,5

b. 𝑥 = 1,5

c. 3

d. 4,5

Área de un rectángulo es base por altura 𝐴1 = (15 𝑐𝑚)(2,5 𝑐𝑚)

Solución

𝐴1 = 37,5 𝑐𝑚2 𝐴𝐶 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 𝐷𝐹 4 2𝑥 + 1 = 7 5𝑥 − 5

→ 20𝑥 − 20 = 14𝑥 + 7

𝐴2 = (7,5 𝑐𝑚)(2 𝑐𝑚) 𝐴2 = 15 𝑐𝑚2 𝐴 𝑇 = 2𝐴1 + 𝐴2

20𝑥 − 14𝑥 = 7 + 20 6𝑥 = 27

→

𝑥 = 27⁄6 = 4,5

𝐴 𝑇 = 2(37,5 𝑐𝑚2 ) + 15 𝑐𝑚2 𝐴 𝑇 = 75 𝑐𝑚2 + 15 𝑐𝑚2 = 90 𝑐𝑚2

10. En un rectĂĄngulo ABCD, AB = 20 Y BC = 15 La distancia del

y las diferencias entre las medidas del ancho y el largo es 6

vĂŠrtice A a la diagonal đ??ľđ??ˇ es: a. 12

b. 15

c. 17

11. Javier tiene un terreno rectangular cuyo perĂ­metro es 64 m

d. 21

m, las dimensiones del terreno son: a. 19m, 13m

SoluciĂłn đ??ľđ??ˇ = √202 + 152 = √400 + 225

b. 25m, 7m

c. 20m, 12m

SoluciĂłn 2a + 2b = 64 m

đ??ľđ??ˇ = √625 = 25

a – b = 6 entonces, a = b + 6 Calcular el ĂĄrea del triĂĄngulo ABD đ??´=

đ??´=

2 a + 2b = 64 đ?‘?â„Ž 2

2 (b + 6) + 2b = 64 2b + 12 + 2b = 64

(15)(20) 2

4b = 64 – 12

đ??´ = 150 4b = 52

Encontrar la altura del triĂĄngulo

b = 52/4

2đ??´ â„Ž= đ?‘? â„Ž=

2(150) 25

â„Ž=

300 25

â„Ž = 12

b = 13 Encontrar a “a� a=b+6 a = 13 + 6

a = 19

d. 14m, 36m

12. Sea đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ un rectĂĄngulo con ĂĄrea igual a 36 đ?‘˘2. Los puntos đ??¸, đ??š, đ??ş son los puntos medios de los lados donde se localizan. El ĂĄrea del ∆đ??¸đ??šđ??ş es: a. 7 đ?‘˘2

b. 9 �2

c. 8 �2

d. 10 �2

SoluciĂłn A1 = b h = 9u * 4u = 36u2 Entonces el ĂĄrea del triĂĄngulo es đ??´=2

đ?‘?â„Ž 2

đ??´ = (4,5 đ?‘˘)(2đ?‘˘) = 9đ?‘˘2 13. Una cabra se amarrada en la esquina de una bodega mediante una cuerda de 12 metros de longitud (ver figura). El exterior

Ě‚ Sector del sector circular đ??šđ??śđ??ť Ă đ?‘†đ??ś =

de la bodega posee abundante pasto y la cabra permanece

= đ?œ‹ đ?‘š2

por un tiempo suficiente, de modo que le permita comer todo el pasto que estĂĄ a su alcance. El ĂĄrea de la superficie de pasto que se comiĂł es: a. 118đ?œ‹

c. 100đ?œ‹

b. 142đ?œ‹

Ě‚ Sector del sector circular đ??˝đ??ś Ă đ?‘†đ??ś =

d. 100đ?œ‹

SoluciĂłn En primer lugar, se calcula de cada sector y luego se suman

đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?œ‹(2)2 4đ?œ‹ = = 4 4 4

đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?œ‹(12)2 144đ?œ‹ = = 2 2 2 = 72 đ?œ‹ đ?‘š2

Ě‚ Sector del sector circular đ??˝đ??´đ??ş Ă đ?‘†đ??ś =

đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?œ‹(12)2 144đ?œ‹ = = 4 4 4

Ě‚ Sector del sector circular đ??şđ??ˇđ??ľ

La medida del Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ = 20đ?‘š

= 36đ?œ‹ đ?‘š2 Ă đ?‘†đ??ś =

đ?œ‹đ?‘&#x; 2 4

=

Ě…Ě…Ě…Ě… = 20đ?‘š La medida del đ??ˇđ??š đ?œ‹(6)2 4

=

36đ?œ‹ 4

= 9 đ?œ‹ đ?‘š2

La longitud del arco seria: đ??ż =

Por lo tanto, al sumar todas las ĂĄreas encontradas el resultado es: đ??żđ??¸đ??š =

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = đ??´ + đ??ľ + đ??ś + đ??ˇ

2∗đ?œ‹âˆ—đ?‘&#x;∗đ?›ź đ?‘œ 360đ?‘œ

2 ∗ đ?œ‹ ∗ 20 ∗ 120đ?‘œ = 41,8879 360đ?‘œ đ??żđ??¸đ??š ≈ 41,89đ?‘š

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = đ?œ‹ đ?‘š2 + 72 đ?œ‹ đ?‘š2 + 36đ?œ‹ đ?‘š2 + 9 đ?œ‹ đ?‘š2 Ă đ?‘‡ = 118 đ?œ‹ đ?‘š2 14. Un jardĂ­n de forma circular necesita ser dividido en dos zonas: una para el cĂŠsped y otra para plantar flores. La zona de las flores debe ser un tercio del jardĂ­n, y para protegerlas, se necesita cerrar esta ĂĄrea con una malla que tiene un costo de $2.5 por metro. Si el radio del cĂ­rculo mide 20 đ?‘š, el costo de cerrar el terreno destinado a las flores en

Ě…Ě…Ě…Ě… + đ??ˇđ??š Ě…Ě…Ě…Ě… + đ??żđ??¸đ??š Por lo tanto, el perĂ­metro a enmallar seria: đ?‘ƒ = đ??ˇđ??¸ đ?‘ƒ = 20 + 20 + 41,89 ≈ 81,89m Entonces lo que gastara para enmallar es: 81,89đ?‘š ∗ $ 2.5 = 204.72 dĂłlares 15. El lado mayor del rectĂĄngulo de la figura mide 20 đ?‘š. La curva

dĂłlares es: a. 114,21 SoluciĂłn

trazada b. 204,72

c. 321,81

en

su

interior

estĂĄ

formada

semicircunferencias. La longitud de la curva es:

d. 189,31 a. 12đ?œ‹

b. 10đ?œ‹

c. 7đ?œ‹

d. 21đ?œ‹

por

cinco

SoluciĂłn

La altura del triĂĄngulo isĂłsceles es igual al radio de la

Como la distancia total del rectĂĄngulo es de 20 m y en total se

circunferencia. Es decir:

encuentran 5 semicircunferencia entonces cada una tiene como đ?‘&#x; =

đ?‘&#x; = â„Ž = 3,872993346đ?‘˘

2đ?‘š y la longitud de una semicircunferencia es:

Aplicando el Teorema de PitĂĄgoras

đ??ż = đ?œ‹ ∗ đ?‘&#x; = đ?œ‹ ∗ 2 = 2đ?œ‹ đ?‘Ś đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘œ â„Žđ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘œ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘›đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž 5 ∗ 2đ?œ‹

đ?‘Ž2 = â„Ž2 +đ?‘&#x; 2

= 10đ?œ‹ 16. Sea el triĂĄngulo rectĂĄngulo isĂłsceles đ??´đ??ľđ??ś. Si (AC) Ě… es un diĂĄmetro de la circunferencia y su longitud es √60, entonces el ĂĄrea del triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś es: a. 11u2

b. 17u2

c. 15u2

d. 31u2

đ?‘Ž2 = (3,872983346đ?‘˘)2 +(3,872983346đ?‘˘)2 √đ?‘Ž2 = √(15 + 15)đ?‘˘2 → đ?‘Ž = √30đ?‘˘2 = 5,477115575đ?‘˘ Aplicando la ecuaciĂłn del ĂĄrea de un triĂĄngulo isĂłsceles:

SoluciĂłn

đ?‘? √đ?‘Ž 2 − Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =

đ?‘?2 4

2

7,745966692đ?‘˘ √(5,477115575đ?‘˘)2 − Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =

2 7,745966692đ?‘˘ √(30 − Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =

√60 2

= 3,872983346�

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =

59,99 2 )� 4

2 7,745966692đ?‘˘ √(30 − 15)đ?‘˘2 2

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = đ??ˇ = √60 → đ?‘&#x; =

(7,745966692�)2 4

7,745966692đ?‘˘ √15đ?‘˘2 2

7,745966692∗3,872983346 2

�2

→

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =

30 2 � 2

= 15�2

Ě‚ = 1300, đ?‘šđ??ˇđ??ľ Ě‚ = 650 Los Ě‚ = 1150 , đ?‘šđ??´đ??ś 17. En la figura, đ?‘šđ??´đ??ľ valores de đ?‘ , đ?›ź, đ?›˝ y đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ son:

18. El polĂ­gono de la figura tiene todos sus lados congruentes de longitud 8, sus lados consecutivos son perpendiculares y los

a. đ?‘ = 500 , đ?›ź = 650 , đ?›˝ = 900 y đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ = 400

ocho vĂŠrtices estĂĄn sobre la circunferencia. El ĂĄrea de la

b. đ?‘ = 650 , đ?›ź = 60 0 , đ?›˝ = 700 y đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ = 450

regiĂłn sombreada es aproximadamente

c. đ?‘ = 500 , đ?›ź = 900 , đ?›˝ = 650 y đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ = 400 d. đ?‘ = 45 , đ?›ź = 65 , đ?›˝ = 35 y đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ = 100 0

0

0

0

a. 202,75 �2

b. 180 �2

c. 182,65 �2

d. 292,33 �2

SoluciĂłn

SoluciĂłn

Se traza una diagonal de un vĂŠrtice a otro para calcular el diĂĄmetro Ě‚ − đ?‘šđ??ˇđ??ľ Ě‚ Ě‚ − đ?‘šđ??´đ??ś đ?‘ = 360 − đ?‘šđ??´đ??ľ đ?‘ = 360 − 130 − 115 − 65 = 50 đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ =

Ě‚ − đ?‘šđ??śđ??ˇ Ě‚ 130 − 50 đ?‘šđ??´đ??ľ = = 40 2 2 Ě‚ + đ?‘šđ??śđ??ˇ Ě‚ đ?‘šđ??´đ??ľ đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ = 2 đ?‘šâˆĄđ?‘ƒ =

130 + 50 = 90 2

de la circunferencia, tomando en cuenta que se forma un rectĂĄngulo con los puntos extremos ubicados sobre la circunferencia, por lo tanto, se aplica el teorema de PitĂĄgoras para encontrar dicho valor. đ??ˇ = đ?‘? → đ??ˇ = √(đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 )đ?‘˘2 → đ??ˇ = √((24)2 + (8)2 )đ?‘˘2 đ??ˇ = √(576 + 64)đ?‘˘2 = √640đ?‘˘2 = 25,29822128đ?‘˘ đ??ˇ = 2đ?‘&#x; → đ?‘&#x; =

đ??ˇ 2

=

25,29822128� 2

= 12,64911064�

Encontramos ahora el Ă rea de la Circunferencia

20. El ĂĄrea total de un prisma cuya base es un triĂĄngulo

đ??´đ?‘? = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 = đ?œ‹(12,64911064đ?‘˘)2 = đ?œ‹ ∗ 160đ?‘˘2

es 12 cm es:

đ??´đ?‘? = 502, 6548245đ?‘˘2 Encontramos el Ă rea de uno de los 5 cuadrados que se forman

đ??´đ?‘?đ?‘˘đ?‘‘. = 64đ?‘˘ ∗ 5 = 320đ?‘˘

a. 22√3

c. 8 + 32√3

Ă rea total de prisma triangular regular es

2

đ??´đ?‘Ą = 2đ??´đ?‘? + đ??´đ?‘™

Se restan las dos ĂĄreas encontradas para encontrar el ĂĄrea

â„“2 √3 đ??´đ?‘? = 4

sombreada

(8)2 √3 đ??´đ?‘? = 4

đ??´đ?‘ = đ??´đ?‘? − đ??´đ?‘?đ?‘˘đ?‘‘. đ??´đ?‘ = 502, 6548245đ?‘˘2 − 320đ?‘˘2

đ??´đ?‘? =

đ??´đ?‘ = 182,6548đ?‘˘2

b. 2√2

c. 5√3

SoluciĂłn

64√3 4

đ??´đ?‘? = 16√2 đ??´đ?‘™ = đ?‘?â„Ž = 3(8)(12)

19. La arista de un cubo cuya ĂĄrea total es 300 cm2 es a. 5√2

b. 288 + 32√3

SoluciĂłn

đ??´đ?‘?đ?‘˘đ?‘‘. = đ?‘™ 2 = (8đ?‘˘)2 2

equilĂĄtero para el cual su lado mide 8 cm y la arista lateral

d. √3

đ??´đ?‘™ = 288 Entonces đ??´đ?‘Ą = 2đ??´đ?‘? + đ??´đ?‘™ đ??´đ?‘Ą = 2(16√2) + 288

đ??´ 300 đ?‘Ž=√ =√ = √50 6 6

đ??´đ?‘Ą = 32√3 + 288 đ??´đ?‘Ą = 288 + 32√3

đ?‘Ž = √52 ∗ 2 đ?‘Ž = 5√2

d. 200 + 32√3

21. El ĂĄrea lateral y total de una pirĂĄmide regular de base un

22. El ĂĄrea total de un cilindro es 366 m2 y su altura es el triple

triĂĄngulo equilĂĄtero sabiendo que el lado de la base mide 10

del radio de su

m y la altura de la pirĂĄmide 20 m es aproximadamente:

aproximadamente:

a. 446,3 đ?‘š2

b. 326,3 đ?‘š2

c. 343,3 đ?‘š2

d. 346,2 đ?‘š2

SoluciĂłn

a. 525,09 đ?‘?đ?‘š3

base. El volumen del

b. 522,82 đ?‘?đ?‘š3

đ??´đ?‘™ =

đ??´đ?‘Ą = 2đ?œ‹đ?‘&#x;(â„Ž + đ?‘&#x;)

đ?‘?. đ?‘Žđ?‘? 10(20) = = 100 2 2

đ??´đ?‘Ą = 2đ?œ‹đ?‘&#x;(3đ?‘&#x; + đ?‘&#x;)

đ??´đ?‘™ = 3(100) = 300

366 = 2đ?œ‹đ?‘&#x;(4đ?‘&#x;)

â„“2 √3 (10)2 √3 đ??´đ?‘? = = = 25√3 = 43,30 4 4

366 = 8đ?œ‹đ?‘&#x; 2 366 = đ?‘&#x;2 8đ?œ‹

đ??´đ?‘Ą = đ??´đ?‘™ + đ??´đ?‘?

đ?‘&#x; 2 = 14,56

đ??´đ?‘Ą = 300 + 43,30 = 343,3

es

c. 542,82 đ?‘?đ?‘š3 d. 512,82 đ?‘?đ?‘š3

SoluciĂłn đ??´đ?‘Ą = đ??´đ?‘™ + đ??´đ?‘?

cilindro

đ?‘&#x; = 3,82 Entonces đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 â„Ž đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 (3đ?‘&#x;) đ?‘‰ = 3đ?œ‹đ?‘&#x; 2 đ?‘‰ = 3(3,1416)(3,82)2 đ?‘‰ = 525,09

23. En un cono recto cuya altura mide 6 unidades, la mediatriz

24. El volumen de la porciĂłn cĂłnica de un helado si la altura es

de una de sus generatrices intercepta a la altura tal que el

de 7 cm y el radio de la base 4 cm es

segmento de mediatriz determinado mide 2 unidades. El ĂĄrea lateral del cono es: a. 4đ?œ‹

b 18đ?œ‹

c. 2đ?œ‹

d. 24đ?œ‹

a. 117,28 đ?‘?đ?‘š3

b. 12,8 đ?‘?đ?‘š3

c. 211,28 đ?‘?đ?‘š3

d. 29,2 đ?‘?đ?‘š3

SoluciĂłn 1 1 đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 â„Ž = (3,1416)(4 đ?‘?đ?‘š)2 (7 đ?‘?đ?‘š) = 117,28 đ?‘?đ?‘š3 3 3

SoluciĂłn ∆đ??´đ??śđ?‘‰ ~∆đ??ˇđ??ľđ?‘‰ Ambos triĂĄngulos rectĂĄngulos đ??´đ??ś ↔ đ??ľđ??ˇ đ??śđ?‘‰ ↔ đ??ľđ?‘‰ đ??´đ?‘‰ ↔ đ?‘‰đ??ˇ

25. La Luna es el Ăşnico satĂŠlite natural de la Tierra y su radio es de 1 734,4 km. Asumiendo de que este es un cuerpo esfĂŠrico, el valor de la superficie lunar y el volumen respectivo es aproximadamente: a. 37 801 532,71 km2, 21 854 326 116 km3 b. 21 854 326 116 km2, 37 801 532,71 km3 c. 7 812 632,71 km2, 724 326 116 km3

Por principio de semejanza d. 41 801 112,71 km2, 924 126 227 km3

đ?‘” â „2 2 = 6 đ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x; = 12 2

SoluciĂłn

→ đ?‘”đ?‘&#x; = 24

đ??´đ?‘Ą = đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘” = 24đ?œ‹

Superficie

Volumen

đ??´ = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2

4 đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘&#x; 3 3

đ??´ = 4(3,14)(1 734,4 đ?‘˜đ?‘š)2 đ??´ = 37 801 532,71 đ?‘˜đ?‘š2

4 đ?‘‰ = (3,14)(1 734,4 đ?‘˜đ?‘š)3 3 đ?‘‰ = 21 854 326 116 đ?‘˜đ?‘š3

6

g/2

r

2

FUNCIONES REALES Y TRIGONOMETRĂ?A

c. ℎ(�) = �2 + 6� – 2

1. Determinar dominio rango y la grĂĄfica de las siguientes funciones: đ??ˇđ?‘“ : â„?

a. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ − 2

đ?‘…đ?‘“ : {đ?‘Ś ∈ â„?; đ?‘Ś ≼ −11}

SoluciĂłn

đ??ˇđ?‘“ : â„? đ?‘…đ?‘“ : â„? d. đ?‘ (đ?‘Ľ) = |đ?‘Ľ + 6|

đ??ˇđ?‘“ : â„? đ?‘…đ?‘“ : {đ?‘Ś ∈ â„?; đ?‘Ś ≼ 0} b. đ?‘”(đ?‘Ľ) = 4 SoluciĂłn đ??ˇđ?‘“ : â„? đ?‘…đ?‘“ : {4}

2. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza

3. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es

rectangular de cartĂłn, cuyas dimensiones son 20 Ă— 30

directamente proporcional al nĂşmero de trabajadores. Si una

centĂ­metros, cortando en las esquinas cuadrados idĂŠnticos

cuadrilla de 12 trabajadores gana đ??ś$ 5,400 diario. El pago

de årea �2, y doblando los lados hacia arriba. El volumen �,

diario en funciĂłn del nĂşmero de trabajadores đ?‘Ľ estĂĄ dado por

de la caja en funciĂłn de đ?‘Ľ es:

la expresiĂłn:

a) 4đ?‘Ľ3 − 100đ?‘Ľ2 + 600đ?‘Ľ

b) −4đ?‘Ľ3 − 20đ?‘Ľ2 + 600đ?‘Ľ

a) đ?‘“(đ?‘Ľ) = 450đ?‘Ľ

c) −4đ?‘Ľ3 + 20đ?‘Ľ2 + 600đ?‘Ľ

d) −4đ?‘Ľ3 + 100đ?‘Ľ2 − 600đ?‘Ľ

c) đ?‘“(đ?‘Ľ) = −450đ?‘Ľ

SoluciĂłn

b) đ?‘“(đ?‘Ľ) =

1

d) đ?‘“(đ?‘Ľ) = − 450 đ?‘Ľ

SoluciĂłn

El cuadrado que va a haber en las esquinas va a tener un largo đ?‘Ľ, đ?‘Ś por lo tanto, su ĂĄrea đ?‘Ľ entonces:

đ?‘Ľ: NĂşmero de trabajadores

2

20 − 2đ?‘Ľ Es la medida de uno de los lados y la medida del otro lado 30 − 2đ?‘Ľ

đ?‘“: Pago diario de la cuadrilla, en cĂłrdobas đ?‘˜: Constante de proporcionalidad

đ?‘‰ = đ??´đ?‘? â„Ž

đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘˜đ?‘Ľ

đ??´đ?‘? = đ?‘?â„Ž

đ?‘“(12) = 5400

đ??´đ?‘? = (20 − 2đ?‘Ľ )(30 − 2đ?‘Ľ)

5400 = 12đ?‘˜ 5400 12

đ??´đ?‘? = 600 − 100 đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ 2

đ?‘˜=

đ??´đ?‘? = 4đ?‘Ľ 2 − 100 đ?‘Ľ + 600

đ?‘˜ = 450

đ?‘‰ = (4đ?‘Ľ 2 − 100 đ?‘Ľ + 600)đ?‘Ľ đ?‘‰ = 4đ?‘Ľ 3 − 100 đ?‘Ľ 2 + 600đ?‘Ľ

1 đ?‘Ľ 450

đ?‘“(đ?‘Ľ) = 450đ?‘Ľ

4. Transforme de forma exponencial a logarĂ­tmica y viceversa, segĂşn el caso

b. log đ?‘Ž √đ?‘Ľâˆšđ?‘Śđ?‘§ 3 SoluciĂłn

a. 43 = 643

1â „2

SoluciĂłn

đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž (đ?‘Ľâˆšđ?‘Śđ?‘§ 3 ) log 4 643 = 3

1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ľ √đ?‘Śđ?‘§ 3 2

1

b. log 3 243 = −5

1 1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž √đ?‘Śđ?‘§ 3 2 2

SoluciĂłn 3−5

1 1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Śđ?‘§3 2 4

1 = 243

1 1 1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘§3 2 4 4

5. Reescriba las siguientes expresiones como combinaciĂłn de logaritmos en đ?‘Ľ a. log đ?‘Ž

1 1 3 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘Ś + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Žđ?‘§ 2 4 4

√đ?‘Ľđ?‘§ 2 đ?‘Ś4

6. Reescriba los siguientes logaritmos como uno solo en funciĂłn

SoluciĂłn

de đ?‘Ľ, y đ?‘§. log đ?‘Ž √đ?‘Ľđ?‘§ 2 − log đ?‘Ž đ?‘Ś 4 log đ?‘Ž đ?‘Ľ 1â „2 đ?‘§ 2 − log đ?‘Ž đ?‘Ś 4 log đ?‘Ž đ?‘Ľ 1â „2 + log đ?‘Ž đ?‘§ 2 − đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘Ś 4 1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘Ľ + 2đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘§ − 4đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘Ś 2

1

a. 2 log đ?‘Ž đ?‘Ľ + 3 log đ?‘Ž (đ?‘Ľ − 2) − 5 log đ?‘Ž (2đ?‘Ľ + 3) SoluciĂłn 1

= log đ?‘Ž đ?‘Ľ 2 + log đ?‘Ž (đ?‘Ľ − 2)3 − log đ?‘Ž (2đ?‘Ľ + 3)5 = log đ?‘Ž (đ?‘Ľ 2 ) (2đ?‘Ľ + 3)5 − log đ?‘Ž (2đ?‘Ľ + 3)5 1

(đ?‘Ľ 2 )(đ?‘Ľ − 2)3 = (2đ?‘Ľ + 3)5

b. log đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 2 − 2 log đ?‘Ľ 3√đ?‘Ś + 3 log

đ?‘Ľ đ?‘Ś

8. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 105đ?‘Ľâˆ’2 = 348

SoluciĂłn đ?‘Ľ 3 = log đ?‘Ľ đ?‘Ľ − log (đ?‘Ľ √đ?‘Ś) + log ( ) đ?‘Ś 3 2

3

2

SoluciĂłn log 105đ?‘Ľâˆ’2 = log 348

3 2

= log

đ?‘Ľ 3 + log ( ) đ?‘Ś (đ?‘Ľ 3√đ?‘Ś) đ?‘Ľ đ?‘Ľ

5đ?‘Ľ − 2 log 10 = log 348

2

15đ?‘Ľ − 2 =

đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ 3 = log [ . ( ) ] 2 đ?‘Ś (đ?‘Ľ 3√đ?‘Ś)

7. Trace la grĂĄfica de las funciones reales a. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ

b. đ?‘”(đ?‘Ľ) = 3−đ?‘Ľ

log 348 log 10

5đ?‘Ľ =

log 348 +2 log 10

5đ?‘Ľ =

2,5416 +2 1

đ?‘Ľ=

c. đ?‘Ś = log4 đ?‘Ľ

4,5416 5 đ?‘Ľ = 0,90

b. log(đ?‘Ľ − 9) + log100đ?‘Ľ = 3 SoluciĂłn log(đ?‘Ľ − 9)(100đ?‘Ľ) = 3 log(100đ?‘Ľ 2 − 900đ?‘Ľ) = 3 log(đ?‘Ľ − 9) + log 100đ?‘Ľ = log 1000 log(100đ?‘Ľ 2 − 900đ?‘Ľ) = log 1000 100đ?‘Ľ 2 − 900đ?‘Ľ − 1000 = 0 (á 100) đ?‘Ľ 2 − 9đ?‘Ľ − 10 = 0

(đ?‘Ľ − 10)(đ?‘Ľ + 1) = 0 đ?‘Ľ − 10 = 0 ∧ đ?‘Ľ + 1 = 0 đ?‘Ľ = 10 ∧ đ?‘Ľ = −1 La soluciĂłn es đ?‘Ľ = 10, ya que si se toma đ?‘Ľ = −1 no es vĂĄlido, ya que

10. Si

el caso.

a. csc đ?œƒ = 4 SoluciĂłn csc đ?œƒ = 4 =

4 â&#x;š đ??ťđ?‘–đ?‘? 1 â&#x;š đ??ś. đ?‘œ

Encontrar el cateto adyacente mediante el teorema de PitĂĄgoras. đ??ś. đ?‘Ž = √ℎđ?‘–đ?‘?2 − đ??ś. đ?‘œ 2

a. 6300

đ??ś. đ?‘Ž = √(4)2 − (1)2

đ?œ‹ 7 630 ( ) = đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 180 2 b.

es un ĂĄngulo agudo, halle las seis funciones

trigonomĂŠtricas si:

no existen logaritmos negativos. 9. Convertir los ĂĄngulos en grados a radianes y viceversa segĂşn

đ?œƒ

đ??ś. đ?‘Ž = √15

11 đ?œ‹ 6

Entonces: 11 180 đ?œ‹( đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘) = 3300 6 đ?œ‹

đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?œƒ =

đ??ś. đ?‘œ 1 = â„Žđ?‘–đ?‘? 4

c. 7200 đ?œ‹ 720 ( ) = 4đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 180

đ??śđ?‘œđ?‘ đ?œƒ =

đ?‘‡đ?‘Žđ?‘› đ?œƒ = 7 2

d. − đ?œ‹ 7 180 − đ?œ‹( đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘) = −6300 2 đ?œ‹

đ?‘†đ?‘’đ?‘? đ?œƒ =

đ?‘?. đ?‘Ž √15 = â„Žđ?‘–đ?‘? 4

đ??ś. đ?‘œ 1 √15 = = đ??ś. đ?‘Ž √15 15

đ??ťđ?‘–đ?‘? 4 4√15 = = đ??ś. đ?‘Ž √15 15

đ??śđ?‘Ąđ?‘” đ?œƒ =

đ??ś. đ?‘Ž = √15 đ??ś. đ?‘œ

11. Sea P(𝑥,y) el lado terminal de 𝜃. Calcule las seis funciones

5

b. tan 𝜃 = 12

trigonométricas de 𝜃.

Solución

a. 𝑃(−6,2) tan 𝜃 =

5 ⟹ 𝐶. 𝑜 12 ⟹ 𝐶. 𝑎

Solución

Encontrar la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras. 𝐻𝑖𝑝 = √𝐶. 𝑎2 + 𝐶. 𝑜 2

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √(−6)2 + (2)2 = √40 = 2√10 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝑦 2 √10 = = 𝑟 2√10 10

𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝑥 6 3√10 =− =− 𝑟 10 2√10

𝑇𝑎𝑛 𝜃 =

𝑦 2 1 =− =− 𝑥 6 3

𝐻𝑖𝑝 = √(12)2 + (5)2 𝐻𝑖𝑝 = 13 Entonces: 𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝐶. 𝑜 5 = ℎ𝑖𝑝 4

𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝑐. 𝑎 12 = ℎ𝑖𝑝 13

𝐶𝑠𝑐 𝜃 =

𝑆𝑒𝑐 𝜃 =

𝑟 2√10 = = √10 𝑦 2

𝑟 2√10 √10 =− = 𝑥 6 3

𝐶𝑡𝑔 𝜃 =

b. 𝑃(−4, −3) c. Solución

𝐶𝑠𝑐 𝜃 =

𝐻𝑖𝑝 13 = 𝐶. 𝑜 5

𝑆𝑒𝑐 𝜃 =

𝐻𝑖𝑝 13 = 𝐶. 𝑎 12

𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝑦 3 =− 𝑟 5

𝐶𝑠𝑐 𝜃 =

𝑟 5 =− 𝑦 3

𝐶𝑡𝑔 𝜃 =

𝐶. 𝑎 12 = 𝐶. 𝑜 5

𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝑥 4 =− 𝑟 5

𝑆𝑒𝑐 𝜃 =

𝑟 4 =− 𝑥 3

𝑇𝑎𝑛 𝜃 =

𝑦 3 = 𝑥 4

r = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √(−4)2 + (−3)2 = √25 = 5

𝐶𝑡𝑔 𝜃 =

𝑥 4 = 𝑦 3

𝑥 6 = − = −3 𝑦 2

d. 𝑃(5, −2)

12. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado:

Solución

a. 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑟=

√𝑥 2

+

𝑦2

=

√(5)2

+

(−2)2

= √29

𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝑦 2 2√29 =− =− 𝑟 29 √29

𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝑥 5 5√29 = = 𝑟 √29 29

𝑟 √29 𝑆𝑒𝑐 𝜃 = = 𝑥 5

𝑦 2 =− 𝑥 5

𝐶𝑡𝑔 𝜃 =

𝑇𝑎𝑛 𝜃 =

𝐶𝑠𝑐 𝜃 =

Solución

𝑟 √29 =− 𝑦 2

𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0 −𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0 (−1) 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0

𝑥 5 =− 𝑦 2

Dado que 𝑆𝑒𝑛 𝑡 = 𝑆𝑒𝑛(𝜋 − 𝑡) la ecuación tiene dos soluciones 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0

3

e. 𝑃(−1, 8 ) Solución 𝑟=

√𝑥 2

+

3 𝑦 3√73 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = = 8 = 𝑟 √73 73 8 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝑥 1 8√73 =− = 𝑟 73 √73 8

3 𝑦 3 𝑇𝑎𝑛 𝜃 = = − 8 = − 𝑥 1 8

𝑦2

=

√(−1)2

+

(3/8)2

= √73/8

√73 𝑟 8√73 √78 𝐶𝑠𝑐 𝜃 = = 8 = = 3 𝑦 24 3 8 √73 √73 𝑆𝑒𝑐 𝜃 = 8 = − −1 8 𝐶𝑡𝑔 𝜃 = −

1 8 =− 3 3 8

;

𝑆𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥) = 0

𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0)

;

𝜋 − 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0)

𝑥=0

;

𝜋−𝑥 =0

Como 𝑆𝑒𝑛 𝑥 es periódico, se suma el periodo de 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝑥 = 0 + 2𝑘𝜋, 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑥 = 2𝑘𝜋,

𝑘∈ℤ 𝑘∈ℤ

𝑘∈ℤ

𝑥 = 2𝑘𝜋,

𝑘∈ℤ

La unión seria: 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

;

𝜋 − 𝑥 = 0 + 2𝑘𝜋,

𝑘∈ℤ

;

−𝑥 = −𝜋 + 2𝑘𝜋,

;

−𝑥 = −𝜋 + 2𝑘𝜋 (−1), ;

𝑥 = 𝜋 − 2𝑘𝜋,

𝑘∈ℤ

𝑘∈ℤ

𝑘∈ℤ

b. 2 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 = 0

𝑥=

𝜋 + 𝑘𝜋, 4

𝑘∈ℤ

;

−2𝑥 = −

Solución 𝜋 𝑥 = + 𝑘𝜋, 4

Determinar el intervalo. 2 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 = 0, 𝑥 ≠

2( 2 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 − 1 =0 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥

⟹

𝜋 + 𝑘𝜋, 2

𝑘∈ℤ

𝑥=

𝑆𝑒𝑛2 𝑥 1 =0 )− 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 −1 + 2 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 =0 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥

⟹

−(1 − 2 𝑆𝑒𝑛2 𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥

𝑥=

⟹

−

𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) = 0 (−1) 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 ⟹

⟹

𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) =0 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥

𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) = 0

𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) = 0

;

𝐶𝑜𝑠 (2𝜋 − 2𝑥) = 0

2𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0)

;

2𝜋 − 2𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0)

;

𝜋 2𝜋 − 2𝑥 = 2

𝜋 2𝑥 = 2

𝑘∈ℤ

;

𝑥=

3𝜋 − 𝑘𝜋, 4

𝑘∈ℤ

𝑘∈ℤ

;

𝑥=

3𝜋 + 𝑘𝜋, 4

𝑘∈ℤ

𝑘∈ℤ

𝑘∈ℤ

;

;

2𝜋 − 2𝑥 =

−2𝑥 = −

𝜋 + 2𝑘𝜋, 2

2𝜋 𝜋 + + 2𝑘𝜋, 1 2

𝜋 𝑘𝜋 + , 4 2

𝑘 ∈ ℤ,

𝑥≠

𝜋 + 𝑘𝜋, 2

La intersección 𝑥=

𝜋 𝑘𝜋 + , 4 2

𝑘∈ℤ

13. Resuelvan el triángulo 𝐴𝐵𝐶 si: a. 𝑎 = 15 𝑐𝑚, 𝑏 = 18 𝑐𝑚 y 𝛼 = 33° 30′. Solución

Como 𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) es periódico, se suma el periodo de 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝜋 2𝑘𝜋 𝑥= 2 + , 2 2 1

𝑘∈ℤ

𝜋 + 𝑘𝜋, 4

𝑥=

Dado que 𝐶𝑜𝑠 𝑡 = 2(𝜋 − 𝑡), la ecuación tiene dos soluciones

𝜋 + 2𝑘𝜋, 2

;

Encontrando la unión

𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) = 0(𝐶𝑜𝑠 2 𝑥)

2𝑥 =

𝜋 + 𝑘𝜋, 4

3𝜋 2𝑘𝜋 𝑥=− 2 + , −2 −2 1

𝑘∈ℤ

Como −𝑘𝜋 = 𝑘𝜋, entonces 𝑘 ∈ ℤ

=0 −𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) =0 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥

𝑘∈ℤ

3𝜋 + 2𝑘𝜋, 2

Convertir de grados y minutos a grados

𝑘∈ℤ 330 30′ = 33 + 𝑘∈ℤ

30 = 33,5 60

𝑘∈ℤ



Hacer

la

ilustraciĂłn

grĂĄfica

y

aplicar

el

teorema

đ?›ž = 180 − đ?›ź − đ?›˝

correspondiente

đ?›ž = 180 − 33,5 − 41,47 đ?›ž = 105,03 đ??ľ

ďƒ˜ Encontrar el lado faltante

đ?‘? đ?›˝

đ??´

đ?›ź = 33,5 đ?‘? = 18 đ?‘?đ?‘š

đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ź đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ž = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ž đ?‘?= đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ź 15 đ?‘†đ?‘’đ?‘› 105,03 đ?‘?= đ?‘†đ?‘’đ?‘› 33,5

đ?‘Ž = 15 đ?‘?đ?‘š

đ?›ž đ??ś

đ?‘? = 26,24 Como se muestran se dan dos lados y un ĂĄngulo, entonces se puede aplicar el teorema del seno para encontrar đ?‘?, đ?›˝, đ?›ž. ďƒ˜ Encontrar el ĂĄngulo đ?›˝

b. đ?‘Ž = 40 đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 50 đ?‘?đ?‘š y đ?‘? = 60 đ?‘?đ?‘š. SoluciĂłn

đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ź đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›˝ = đ?‘Ž đ?‘?

đ??ľ đ?‘? = 60 đ?‘?đ?‘š

đ?‘? đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ź đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›˝ = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?›ź đ?›˝ = đ?‘†đ?‘’đ?‘›âˆ’1 ( ) đ?‘Ž

đ?›˝

đ??´

đ?‘? = 50 đ?‘?đ?‘š

18 đ?‘†đ?‘’đ?‘› 33,5 đ?›˝ = đ?‘†đ?‘’đ?‘›âˆ’1 ( ) 15 đ?›˝ = 41,47 ďƒ˜ Encontrar el ĂĄngulo đ?›ž

�

đ?‘Ž = 40 đ?‘?đ?‘š

đ?›ž đ??ś

Como se dan todos los lados hay que encontrar los ĂĄngulos, para ello se utilizarĂĄ la ley del coseno. ďƒ˜ Encontrar đ?›ź

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛼

14. La altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano,

𝑎2 − 𝑏 2 − 𝑐 2 ) −2𝑏𝑐

sabiendo que desde un punto del suelo se observa su copa

𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (

𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (

bajo un ángulo de elevación de 45° y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un ángulo de 60° es:

(40)2 − (50)2 − (60)2 ) −2(50)(60)

1600 − 2500 − 3600 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 ( ) −6000

a. 30.5 𝑚

b. 45 𝑚

c. 31.7 𝑚

Solución

−4500 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 ( ) −6000

15

𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0,75) 𝛼 = 41,40 120

45

 Encontrar 𝛽 Ley del Seno

Ley del Coseno

𝑺𝒆𝒏 𝜶 𝑺𝒆𝒏 𝜷 = 𝒂 𝒃 𝒃 𝑺𝒆𝒏 𝜶 𝑺𝒆𝒏 𝜷 = 𝒂 𝒃 𝑺𝒆𝒏 𝜶 𝜷 = 𝑺𝒆𝒏 −𝟏 ( ) 𝒂 𝟓𝟎 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝟏, 𝟒𝟎 𝜷 = 𝑺𝒆𝒏 −𝟏 ( ) 𝟒𝟎

15 𝑚

ℎ

60

𝑥

𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛽 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐 2 𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 −1 ( ) −2𝑎𝑐

15 𝐿 15 𝑆𝑒𝑛 45 = →𝐿= 𝑆𝑒𝑛 15 𝑆𝑒𝑛 45 𝑆𝑒𝑛 15

(50)2 − (40)2 − (60)2 𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 −1 ( ) −2(40)(60)

𝐿 = 40,98

𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (

2500 − 1600 − 3600 ) −4800

𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0,5625)

𝜷 = 𝟓𝟓, 𝟕

𝜷 = 𝟓𝟓, 𝟕

 Encontrar 𝛾 𝛾 = 180 − 𝛼 − 𝛽 𝛾 = 180 − 41,40 − 𝟓𝟓, 𝟕 = 82,9

𝑆𝑒𝑛 60 =

ℎ ℎ = 𝐿 40,98

ℎ = (𝑆𝑒𝑛 60)(40,98) = 35,49

d. 35.49 𝑚

UNIDAD DE GEOMETRĂ?A ANALĂ?TICA

2. Los vĂŠrtices de un cuadrado son (−1,3), (3,−1), (−1,−1) y (3,3). La longitud de sus diagonales es:

1. El triĂĄngulo de vĂŠrtices đ??´ (−5,−1), đ??ľ (2, 3) y đ??ś (3,−2) es: a) IsĂłsceles isĂłsceles

b) EquilĂĄtero

c) RectĂĄngulo

d) RectĂĄngulo

a) 2

b) 4

c) 4√2

d) 3√2

SoluciĂłn

SoluciĂłn

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 + (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2

Basta con encontrar la distancia entre los vĂŠrtices del triĂĄngulo y luego comparar los resultados

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(−1 − 3)2 + (3 + 1)2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 + (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(−4)2 + (4)2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(3 + 1)2 + (2 + 5)2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √16 + 16

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(4)2 + (7)2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √32 = 4√2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √16 + 49 đ?‘‘đ??´đ??ľ = √đ?&#x;”đ?&#x;“

3. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,−2). Si la abscisa del otro extremo es 6, su ordenada es:

đ?‘‘đ??ľđ??ś = √(−2 − 3)2 + (3 − 2)2 đ?‘‘đ??ľđ??ś = √(−5)2 + (1)2

a) 3

b) 2

c) −6

d) b y c son verdaderos

đ?‘‘đ??ľđ??ś = √25 + 1 = √đ?&#x;?đ?&#x;” đ?‘‘đ??´đ??ś = √(−2 + 1)2 + (3 + 5)2 đ?‘‘đ??´đ??ś = √(−1)2 + (8)2

SoluciĂłn Puntos (3; −2)(6; đ?‘Ś)

đ?‘‘=5

đ?‘‘đ??´đ??ś = √1 + 64 = √đ?&#x;”đ?&#x;“

√(đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 + (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 = đ?‘‘

De donde claramente se ve que d(A; B) = d(A; C) y se puede decir que dicho triĂĄngulo es isĂłsceles

√(đ?‘Ś + 2)2 + (6 − 3)2 = 5 √(đ?‘Ś + 2)2 + 9 = 5 2

(√(đ?‘Ś + 2)2 + 9) = (5)2

a) (6,1); (−2,−1)

(đ?‘Ś + 2)2 + 9 = 25 đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 4 + 9 = 25

b) (6,3); (−2,−1)

c) (6,−3); (−2; −1)

đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 13 − 25 = 0

d) (6,−1); (2; −1)

SoluciĂłn

đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś − 12 = 0

Datos

(đ?‘Ś + 6)(đ?‘Ś − 2) = 0 đ?’‘đ?’Ž = (đ?&#x;?, đ?&#x;?) đ?‘Ś+6 = 0

;

đ?‘Ś = −6 ;

đ?‘Ś=2

đ??´ (5,4) y đ??ľ (−3,8) b) (6,1)

c) (−1,6)

d) (1,−6)

SoluciĂłn đ?‘Ľđ?‘š =

đ?’‘đ?&#x;? = (đ?’™, −đ?&#x;?)

đ?‘Śâˆ’2=0

4. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son

a) (1,6)

đ?’‘đ?&#x;? = (đ?&#x;”, đ?’š)

đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 5 − 3 2 = = =1 2 2 2

đ?‘Ľđ?‘š =

đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 2

đ?‘Śđ?‘š =

đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 2

2đ?‘Ľđ?‘š = đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2

2đ?‘Śđ?‘š = đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2

2đ?‘Ľđ?‘š − 6 = đ?‘Ľ2

2đ?‘Śđ?‘š − đ?‘Ś2 = đ?‘Ś1

2(2) − 6 = đ?‘Ľ2

2(1) + 1 = đ?‘Ś1

4 − 6 = đ?‘Ľ2

2 + 1 = đ?‘Ś1

−2 = đ?‘Ľ2

3 = đ?‘Ś1

Se forman los puntos đ?’‘đ?&#x;? = (đ?&#x;”, đ?&#x;‘)

đ?’‘đ?&#x;? = (−đ?&#x;?, −đ?&#x;?)

đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 8 + 4 12 đ?‘Śđ?‘š = = = =6 2 2 2

5.

Encuentre los extremos del segmento cuyo punto medio es

6. Hallar la ecuaciĂłn de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa

(2,1), si la abscisa de uno de ellos es 6 y la ordenada del otro

por el punto de intersecciĂłn de las rectas 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 8 = 0 y

es −1.

3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 9 = 0.

a) 4đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − 10 = 0

b) 4đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 9 = 0

c) đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 8 = 0

d) 4đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 10 = 0

7. los puntos đ??ś (−2,2) y đ??ˇ (3,−4). Su ecuaciĂłn es: a) đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 82 = 0

SoluciĂłn

b) c) đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś − 82 = 0

Encontremos el punto de intersecciĂłn de las rectas 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 8 = 0 y

SoluciĂłn

b) 6đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś − 82 = 0 d) 6đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś + 82 = 0

3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 9 = 0 lo cual es equivalente a resolver el sistema đ?‘š= {

2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 8 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = −9

đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 )

Resolver el sistema 

Eliminar đ?‘Ś en la EcuaciĂłn 1 y 2



đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 −4 − 2 6 = =− đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 3+2 5

6 đ?‘Ś − 8 = − (đ?‘Ľ − 7) 5

Encontrar el valor de đ?‘Ś 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = −9

2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 8(2) 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = −9 _____________________ 4đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 16 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = −9 _____________________ 7đ?‘Ľ = 7 7 đ?‘Ľ= 7 đ?‘Ľ=1

5(đ?‘Ś − 8) = −6(đ?‘Ľ − 7)

3(1) − 2đ?‘Ś = −9

5đ?‘Ś − 40 = −6đ?‘Ľ + 42

3 − 2đ?‘Ś = −9 6đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś − 40 − 42 = 0

− 2đ?‘Ś = −9 − 3

6đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś − 82 = 0

− 2đ?‘Ś = −12 đ?‘Ś=

−12 =6 −2

8. Una recta đ?‘™â‚ pasa por los puntos (3,2) y (−4,−6) y la otra recta

đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 )

pasa por el punto (−7,1) y el punto đ??´ cuya ordenada es −6. Hallar la abscisa del punto đ??´, sabiendo que đ?‘™â‚ es

đ?‘Ś − 6 = −4(đ?‘Ľ − 1)

perpendicular a �₂.

đ?‘Ś − 6 = −4đ?‘Ľ + 4 4đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 6 − 4 = 0 4đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 10 = 0

a) 1 SoluciĂłn

b) 5

c) −1

d) −5

Aplicando la fĂłrmula de la pendiente para ambas rectas (x, -6) đ?‘š= đ?‘š1 =

đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1

−6 − 2 −8 8 = = −4 − 3 −7 7

đ?‘š1 =

−6 − 1 −7 = đ?‘Ľ+7 đ?‘Ľ+7

Como đ?‘™1 ⊼ đ?‘™2 entonces đ?‘š1 đ?‘š2 = −1 8 −7 ( )( ) = −1 7 đ?‘Ľ+7 −56 −1 = 7đ?‘Ľ + 49 1 −7đ?‘Ľ − 49 = −56 −7đ?‘Ľ = −56 + 49 −7đ?‘Ľ = −7 đ?‘Ľ=

−7 −7

đ?‘Ľ=1

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