Ejercicios Matemáticas I. Derivadas. Curso 17-18

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Derivadas

Primero bach MATEMÁTICAS 2 EVALUACIÓN

El cuaderno de ejercicios de Derivadas ha sido

elaborado

por

los

alumnos

de

Matemáticas I de 1º de Bachillerato del curso 2017-18 del Colegio San Pedro Pascual. La hoja en la que se escribe cada ejercicio es una plantilla realizada en Microsoft Word por Luis Baeza y las portadas y contraportadas son de Mar Meseguer, Lucía Lloret y Ángela Ramón en la asignatura TIC.

Muchas gracias por vuestra colaboración.

MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Tasa de VariaciĂłn Media DefiniciĂłn de la tasa de variaciĂłn media y ejemplos El valor que nos proporciona la TVM es la pendiente de la recta que va del punto con la x 1 al de la x 2 del intervalo dado, su signo nos indicarĂĄ si la recta es creciente o decreciente. Ejemplo: - Intervalo [2,3] -f(x) =x3 TVM=

đ?‘“(đ?‘?)−đ?‘“(đ?‘Ž) đ?‘?−đ?‘Ž

đ?‘“(3)−đ?‘“(2)

=

3−2

=

33−23 1

=19

m=19 19 es la pendiente que hay entre los puntos cuyas x son 2y 3.

Miguel Alegre FernĂĄndez

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

DE TVM A TVI La Tasa de VariaciĂłn Media de una funciĂłn f(x) entre a y b (siendo a<b) la definimos como:

Y el resultado serĂ­a la pendiente de la recta que une los dos puntos. Ejemplo: f(x)= x2 .Calcula la TVM de la funciĂłn en el intervalo (0,2). TVM (0,2)

đ?‘“(2)−đ?‘“(0) 2−0

=

4−0 2

=2

Si hacemos h muy pequeùo, obtenemos una información precisa de lo que ocurre en el punto de abscisa a. Y hacer h muy pequeùo, es hacerlo tender a cero. Pues bien cuando hacemos h tender a cero en la tasa de variación media, llegamos al concepto de tasa de variación instantånea. Es decir, la tasa de variación instantånea en un punto, es el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación media en el intervalo [a, a+h] TVI = cómo varía mi función en un instante determinado. Ejemplo: f(x) = x2 ¿Cómo varía mi función en x = 1? TVI f(1 )lim �→1

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) − đ?‘“ (1) đ?‘Ľâˆ’1 (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 1) = lim = lim = lim đ?‘Ľ + 1 = 2 đ?‘Ľâ†’1 đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľâ†’1 đ?‘Ľâ†’1 đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľâˆ’1

El resultado es la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Lara Ă vila

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

TVM Y TVI La TVM (tasa de variaciĂłn media) en el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?] se calcula con la siguiente fĂłrmula đ?‘“(đ?‘?)−đ?‘“(đ?‘Ž)

��� =

đ?‘?−đ?‘Ž

La TVI (tasa de variación instantånea) en x=a se cacula de dos maneras - Con la derivada de f(x) y luego sustituyes x=1 - Con el límite lim�→�

đ?‘“(đ?‘Ľ)−đ?‘“(đ?‘Ž) đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž

Ejemplo 1: Calcula la TVM en el intervalo [1,2] de la �(� ) = � 2 Aplico la fórmula ��� =

đ?‘“(2)−đ?‘“(1) 2−1

=

4−1 1

=3

Ejemplo 2: Calcula la TVI en x=1 de la �(� ) = � 2 Aplico la fórmula ����→1

đ?‘“(đ?‘Ľ)−đ?‘“(1) đ?‘Ľâˆ’1

= ����→1

đ?‘Ľ 2−1 đ?‘Ľâˆ’1

Hago la derivada de � 2 = 2� Si x=1 → 2x=2

Tu nombre

0

= 0 đ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘œ đ?‘…đ?‘˘đ?‘“đ?‘“đ?‘–đ?‘›đ?‘– = đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’1

(đ?‘Ľâˆ’1)(đ?‘Ľ+1) đ?‘Ľâˆ’1

= đ?‘Ľ+1= 2

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

DERIVADAS đ?‘Ľ đ?‘›

Resolver la derivada de y= 3x3 Para ello aplicaremos la fĂłrmula đ?‘› ∙ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 y´=3 ∙ 3đ?‘Ľ 2 = 9đ?‘Ľ 2

Resolver la derivada de y=

2

đ?‘Ľ

Primero subimos la “xâ€? para poder aplicar la fĂłrmula: đ?‘› ∙ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 Aplicamos la fĂłrmula, las propiedades de las potencias y operamos: đ?‘ŚÂ´ = −1 ∙ 2đ?‘Ľ −1−1 = −2đ?‘Ľ −2 =

Resolver la derivada de đ?‘Ś = (đ?‘Ľ 2 − 3)2

−2 đ?‘Ľ2

Aplicamos la misma fĂłrmula, pero despuĂŠs multiplicamos por la derivada del parĂŠntesis (regla de la cadena) y´= 2(đ?‘Ľ 2 − 3)2−1 ∙ 2đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ (đ?‘Ľ 2 − 3) = 4đ?‘Ľ 3 − 12đ?‘Ľ

Resolver la derivada de y= 3ďż˝(2đ?‘Ľ + 1)6

Primero quitamos la raĂ­z para poder aplicar la fĂłrmula đ?‘› ∙ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 Utilizamos las propiedades de las potencias y operamos: 6

y=(2đ?‘Ľ + 1)3 = (2đ?‘Ľ + 1)2 y´= 2(2đ?‘Ľ + 1) ∙ 2 = 4(2đ?‘Ľ + 1) = 8đ?‘Ľ +4

Marc Bau

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Regla de la cadena En esta parte vamos a explicar cĂłmo se resuelve una derivada cuando tiene dentro dos funciones que sabrĂ­amos derivar por separado pero no en conjunto. Para hacerlo hacemos la derivada de la funciĂłn principal considerando la segunda como una variable y luego lo multiplicamos por la derivada de la segunda. SegĂşn lo que sabemos (modelo a seguir). f(x)= đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘›

f’(x)= đ?‘˜đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1

Ejemplo 1: y= (� 2 + 3)2 Primera forma: Lo resolvemos desarrollando el cuadrado de la suma, derivamos y sacamos factor común. y=� 4 + 6� 2 + 9 � ′ = 4�(� 2 + 3) Segunda forma (regla de la cadena): Intentamos imitar la formula de arriba (modelo) . y’=2 (� 2 + 3)1

Vemos como nos falta multiplicar por 2x para que nos dĂŠ el mismo resultado que en la primera forma. Este valor coincide con la derivada de (đ?‘Ľ 2 + 3) que es 2x. Ejemplo 2:

y=2 (đ?‘Ľ 2 + 3)1 2x y=

3

(đ?‘Ľ 2+2)

y=4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 + 3)

Derivamos aplicando la regla de la cadena.

y=3(đ?‘Ľ 2 + 2)−1 y’=3(-1) (đ?‘Ľ 2 + 2)−2 (2đ?‘Ľ) y’=

−6đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ 2+2)2

Ejemplo 3:

y=√2đ?‘Ľ − 3=(2đ?‘Ľ − 3)1/2 1 y’= (2đ?‘Ľ − 3)−1/2 (2) y’=

Ejemplo 4:

2

1

√2đ?‘Ľâˆ’3

y=đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ) y’=đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ) . 1/đ?‘Ľ

LucĂ­a Belenguer de la AsunciĂłn

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MATEMĂ TICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

DERIVADA DE RESUELVE?

UN

PRODUCTO‌

ÂżCĂ“MO

SE

Dada la funciĂłn √đ?‘Ľ ¡ (4đ?‘Ľ 2 + 5), calcula su derivada.

f(x) = √đ?‘Ľ ¡ (4đ?‘Ľ2 + 5) PRODUCTO ďƒ Primero arreglaremos la funciĂłn para mantener la forma xn. 1

1. f(x) = đ?‘Ľ 2 ¡ (4đ?‘Ľ2 + 5) ďƒ Ahora derivamos cada una por separado aplicando las reglas de las derivadas. Donde llamaremos “fâ€? al primer tĂŠrmino que se multiplica (x1/2) y “gâ€? al segundo tĂŠrmino que se multiplica ((4x2 + 5)). 1

f = đ?‘Ľ 2 ďƒ xn-1¡n ďƒ f’ = 2

1

2√đ?‘Ľ

g = (4đ?‘Ľ + 5) ďƒ derivada de una suma‌ Se deriva por separado cada uno ďƒ g’ = 8x UNA VEZ DERIVADAS POR SEPARADO, AHORA APLICAREMOS LA FĂ“RMULA DE LA DERIVADA DEL PRODUCTO:

đ?‘Ś ′ = đ?‘“ ′ ¡ đ?‘” + đ?‘“ ¡ đ?‘”′

Sustituimos la f y f’ y la g y g’ y’ =

1

2 √đ?‘Ľ

1

¡(4đ?‘Ľ 2 + 5) + đ?‘Ľ 2 ¡ 8x

ďƒ Como no hay nada que estĂŠ en

común, pues multiplicamos lo que se puede. y’ = y’ =

(4đ?‘Ľ2 + 5) 2√đ?‘Ľ

+8√đ?‘Ľ 3 ďƒ Se puede simplificar con denominador comĂşn.

4đ?‘Ľ2 + 5+16√đ?‘Ľ 4

2√đ?‘Ľ

Fareeh Talha Dar

=

4đ?‘Ľ2 + 5+16đ?‘Ľ 2

2√đ?‘Ľ

ďƒ y’ =

20đ?‘Ľ2 + 5

2 √đ?‘Ľ

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

DivisiĂłn. Averigua la derivada de la siguiente funciĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľ) =

x+1 đ?‘Ľ2+đ?‘Ľâˆ’2

Para poder resolverla identificamos como es la funciĂłn, para saber con quĂŠ mĂŠtodo averiguamos su derivada. En este caso, vemos que es una divisiĂłn de dos funciones tanto en el numerador como en el denominador. Por tanto, usamos la fĂłrmula de la divisiĂłn:

�´ =

đ?‘“ Ă— đ?‘”´ − đ?‘“´ Ă— đ?‘” đ?‘”2

Identificamos el valor de las letras de tal forma que: f = x+1 g= đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 2

f´=1 sacamos sus derivadas g´=2x+1-0

đ?‘“

đ?‘”

Sustituimos: 1Ă—ďż˝đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2ďż˝âˆ’(đ?‘Ľ+1)Ă—(2đ?‘Ľ+1) f´(x)= (đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2)2 No podemos sacar factor comĂşn, ya que no existe nada comĂşn entre los dos tĂŠrminos.

(đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2)−(2đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ+2đ?‘Ľ+1) đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2−2đ?‘Ľ 2 −3đ?‘Ľâˆ’1 −đ?‘Ľ 2 −2đ?‘Ľâˆ’3 = = (đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2)2 (đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2)2 (đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2)2 Agrupamos tĂŠrminos semejantes.

Patricia CarlĂłn DĂ­az

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Derivadas funciones trigonomĂŠtricas Calcula la derivada de las siguientes funciones razonando lo que haces. a) đ?‘“ (đ?‘Ľ) =

-

2 đ?‘ đ?‘–đ?‘› √đ?‘Ľ 3

2

đ?‘“ (đ?‘Ľ) = 3 đ?‘ đ?‘–đ?‘› √đ?‘Ľ 1

1

đ?‘Ś = đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ľ 2 su derivada es: đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘ √đ?‘Ľ ∙ 2√đ?‘Ľ = 2

Multiplico por 3: đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ √đ?‘Ľ 6√đ?‘Ľ

=

đ?‘?đ?‘œđ?‘ √đ?‘Ľ 2√đ?‘Ľ

đ?‘?đ?‘œđ?‘ √đ?‘Ľ 3√đ?‘Ľ

1

b) đ?‘“ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘› ďż˝đ?‘Ľ ďż˝ es un producto -

-

đ?‘“ = đ?‘Ľ 2 y su derivada es: đ?‘“´ = 2đ?‘Ľ 1

1

−1

đ?‘” = đ?‘ đ?‘–đ?‘› ďż˝đ?‘Ľ ďż˝ y su derivada es: đ?‘”´ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ ďż˝đ?‘Ľ ďż˝ ďż˝ đ?‘Ľ 2 ďż˝

Por tanto: Derivada de f por g mĂĄs la derivada de g por f 1 1 −1 1 1 đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘› ďż˝ ďż˝ + đ?‘?đ?‘œđ?‘ ďż˝ ďż˝ ďż˝ 2 ďż˝ đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘› ďż˝ ďż˝ − đ?‘?đ?‘œđ?‘ ďż˝ ďż˝ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ 1

c) đ?‘“ (đ?‘Ľ) = ďż˝đ?‘ đ?‘–đ?‘›(2đ?‘Ľ) = (đ?‘ đ?‘–đ?‘›(2đ?‘Ľ))2 -

Derivo, regla de la cadena: −1 1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ) đ?‘“´(đ?‘Ľ) = (đ?‘ đ?‘–đ?‘›(2đ?‘Ľ )) 2 ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ )2 = 2 ďż˝đ?‘ đ?‘–đ?‘›(2đ?‘Ľ)

d) đ?‘“ (đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (3đ?‘Ľ + 1) = (đ?‘ đ?‘–đ?‘›(3đ?‘Ľ + 1))2

-

Derivo, regla de la cadena: đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘›(3đ?‘Ľ + 1) đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ľ + 1) 3 = 6 đ?‘ đ?‘–đ?‘›(3đ?‘Ľ + 1) đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ľ + 1)

Carlos Cuevas VillarmĂ­n

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Coseno Dada la funciĂłn f(x) = đ?‘“(đ?‘Ľ ) = (đ?‘Ľ 2 + 5) ¡ cos(5đ?‘Ľ)

đ?œ‹

a) Halla la tasa de variaciĂłn media en el intervalo [0, ]

TVM=

đ?œ‹ 5 đ?œ‹ −0 5

đ?‘“ďż˝ ďż˝âˆ’đ?‘“(0)

=

đ?œ‹ 2 5

đ?œ‹ 5

�� ďż˝ +5�¡đ?‘?đ?‘œđ?‘ ďż˝5¡ ďż˝âˆ’(5¡đ?‘?đ?‘œđ?‘ 0) đ?œ‹ 5

=

đ?œ‹ 2

âˆ’ďż˝ ďż˝ 5 đ?œ‹ 5

= −

đ?œ‹ 2 5

�� ďż˝ +5�¡(−1)−5

10 đ?œ‹ 5

=

đ?œ‹ 5

−đ?œ‹ 50 − 5 đ?œ‹

5

=

đ?œ‹ 2 5 đ?œ‹ 5

−�� ďż˝ +5ďż˝âˆ’5

=

đ?œ‹ 2 5 đ?œ‹ 5

âˆ’ďż˝ ďż˝ −10

=

Que la pendiente sea negativa implica que la recta estĂĄ descendiendo

b) Halla la tasa de variaciĂłn instantĂĄnea de la funciĂłn en x =

f(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ 2 + 5) ¡ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (5đ?‘Ľ) PROD. f=đ?‘Ľ2 + 5 f’=2 đ?‘Ľ g=đ?‘?đ?‘œđ?‘ (5đ?‘Ľ) g’=-đ?‘ đ?‘–đ?‘›(5đ?‘Ľ) ¡ 5 đ?œ‹ 2

đ?œ‹

đ?œ‹

TVI= 2 ¡ 5 ¡ đ?‘?đ?‘œđ?‘ ďż˝5 ¡ 5 ďż˝ + �� 5 ďż˝ + 5ďż˝ ¡ ďż˝âˆ’ đ?‘ đ?‘–đ?‘› ďż˝5 ¡ 5 ďż˝ ¡ 5ďż˝= 2đ?œ‹

đ?œ‹ 2

5

Para hallar la TVI en un punto tenemos que calcular la derivada y sustituir en ella el valor de x

y’= 2đ?‘Ľ ¡ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (5đ?‘Ľ) + (đ?‘Ľ 2 + 5)(−đ?‘ đ?‘–đ?‘›(5đ?‘Ľ) ¡ 5) đ?œ‹

đ?œ‹

2đ?œ‹

đ?œ‹ 2

2đ?œ‹

= 5 ¡ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ‹) + ��5ďż˝ + 5ďż˝ ¡ [− đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?œ‹) ¡ 5]= 5 ¡ (−1) + �� 5ďż˝ + 5ďż˝ ¡ (0 ¡ 5) = −5 cos(đ?œ‹)=-1 -sin(đ?œ‹) = 0

c) Halla la recta tangente en x=0

Como hemos averiguado la derivada en el apartado anterior Ăşnicamente tenemos que sustituir la x por el 0 y’=2¡0¡đ?‘?đ?‘œđ?‘ (5 ¡ 0) + (02 + 5) ¡ [− đ?‘ đ?‘–đ?‘›(5 ¡ 0) ¡ 5] = 0 = đ?‘š y=mx+n Sustituimos el punto que P(0,5) nos da el enunciado para 5=0¡0+n obtener la ordenada 5=n Recta tangente

Blanca DomĂŠnech AntĂłn

Como nos da que la pendiente es 0, significa que es una tangente horizontal

y=5

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MATEMĂ TICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 08/03/18

Derivadas de funciones trigonomÊtricas 1. Calcula la variación de la función � =

4

, cuando đ?œ’ = 7

FĂłrmula de derivaciĂłn de la tangente.

đ?‘Ąđ?‘”(2đ?‘Ľ)

� = ��� � ′ =

Primero tengo que calcular la derivada. Debo de tener en cuenta que para derivar la tangente debe de estar en el denominador asĂ­ que : đ?›ž = 4 ∙ (đ?‘Ąđ?‘”2đ?‘Ľ)−1 Una vez la derivada arreglada puedo derivar aplicando la fĂłrmula de la 2

tangente : đ?›ž ′ = −4 ∙ đ?‘Ąđ?‘”2đ?‘Ľ −2 ∙ 2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ

DespuĂŠs tendrĂ­amos que operar todo esto. đ?›ž ′ = Sabiendo que đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘“) = −8

đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 (2đ?‘Ľ)∙đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ)/đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ)

đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘“)

cos (đ?‘“)

−8

đ?‘Ąđ?‘” 2(2đ?‘Ľ)∙đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ)

, sustituimos la tangente en la derivada

, despuĂŠs de operar,

−8

đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 (2đ?‘Ľ)

Ahora para saber como varĂ­a la funciĂłn para un valor de x, debo de sustituir el valor en la x para obtener la pendiente de la funciĂłn en ese punto. −8

đ?‘š = đ?‘ đ?‘’đ?‘›2

(2∙7)

đ?‘š = −136,69

2.Calcula la derivada de la función � = 3��2 (2� 2 + 2�)

Para calcular la derivada tengo que aplicar la regla de la cadena. 4đ?‘Ľ+2

đ?›ž ′ = 3 ∙ 2 ∙ đ?‘Ąđ?‘”(2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ) ∙ (đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ))

Y despuĂŠs operar todo lo que se pueda 4đ?‘Ľ+2

đ?›ž ′ = (đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ) ) ∙ đ?‘Ąđ?‘”(2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ) ∙ 6 ′

� =

đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 (2đ?‘Ľ2 +2đ?‘Ľ)∙(24đ?‘Ľ+12) đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ2 +2đ?‘Ľ) đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ)

Adriana Esquinas

�′ = �′ =

24đ?‘Ľ+12

đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ)

∙ đ?‘Ąđ?‘”(2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ)

đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 (2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ)∙(24đ?‘Ľ+12) đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ)

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đ?‘“′ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?‘“

MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Derivadas funciones trigonomĂŠtricas CĂĄlculo de la derivada de la funciĂłn: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆšđ?‘Ľ 2 − 6

A partir de la fórmula de la derivada de un arcsen: �´ =

1

ďż˝1−đ?‘“2

. đ?‘“´

Se calcula la derivada de nuestra función(arcsen)anterior teniendo en cuenta que antes se debe calcular la derivada de f. Hallamos f´: 1

đ?‘Ś = √đ?‘Ľ 2 − 6

Simplificamos:

�´ =

�´ = �´ = �´ =

1

đ?‘ŚÂ´ = (đ?‘Ľ 2 − 6)2

ďż˝1−(√đ?‘Ľ 2 −6)2

.

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

√7−đ?‘Ľ 2

√đ?‘Ľ2 −6

LucĂ­a GarcĂ­a GarcĂ­a

2

�´ =

2đ?‘Ľ

2√đ?‘Ľ 2 −6

√đ?‘Ľ 2 −6

ďż˝1−(đ?‘Ľ 2 −6) √đ?‘Ľ 2 −6 √1−đ?‘Ľ 2 +6 √đ?‘Ľ 2 −6

đ?‘Ľ

1

đ?‘ŚÂ´ = (đ?‘Ľ 2 − 6) 2đ?‘Ľ

Una vez derivada, empezamos a simplificar:

�´ =

đ?‘Ľ

√đ?‘Ľ 2−6

1.Se quita la raĂ­z porque esta elevada al cuadrado 2.Se multiplican los numeradores y los denominadores 3.Se calcula el denominador de la derivada y se obtiene el resultado final

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Derivadas funciones trigonomĂŠtricas đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = arccos (√1 − đ?‘Ľ)

Aplico la fórmula de arccos f que es : � ′ = Calculo la derivada de f(x) �′ =

1 −1 ∙ ∙ (1 − đ?‘Ľ) ďż˝2 ∙ (−1) 2 2

1

1 1 ( ) ∙ ∙ 1 ∙ −1 2 2 (1 − đ?‘Ľ) ďż˝2

ďż˝1 − ďż˝âˆš1 − đ?‘Ľďż˝

Coloco en una sola fracción: �′ = Multiplico:

Simplifico:

−1

ďż˝1 − (√1 − đ?‘Ľ)2 ∙ 2 ∙ (1 − đ?‘Ľ)1ďż˝2 đ?‘Śâ€˛ =

−1

√1 − 1 + đ?‘Ľ ∙ 2√1 − đ?‘Ľ

�′ = �′ =

Natalia GarcĂ­a Morant

∙ đ?‘“′

1

ďż˝1 − ďż˝âˆš1 − đ?‘Ľďż˝

�′ =

1

ďż˝1−đ?‘“ 2

−1

√đ?‘Ľ ∙ 2√1 − đ?‘Ľ −1

2ďż˝đ?‘Ľ ∙ (1 − đ?‘Ľ)

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 08/03/18

Derivadas funciones trigonomĂŠtricas FĂłrmula general para derivar el arco tangente de una funciĂłn Y = arc tg f

Y’ =

�′

1+đ?‘“

2

Ejemplos: 1.- Deriva la función Y = arc tg��2 �y exprÊsala en su forma mås simple. Sabiendo que f =�2 aplico la fórmula anterior para deribarla: Y’ =

2đ?‘Ľ 1+(đ?‘Ľ 2 )2

Para simplificarla, multiplico los exponentes, puesto que un exponente elevado a otro es igual a su producto: Y’ =

2đ?‘Ľ

1+đ?‘Ľ4 3

2.- Deriva la función Y = arc tg���y exprÊsala en su forma mås simple.

Viendo que me resultarĂ­a mĂĄs fĂĄcil derivarla en otra forma la cambio. 3

Y =arc tgďż˝đ?‘Ľďż˝=arc tgďż˝3 Ă— −1 ďż˝

En esta forma si aplico la fĂłrmula del arc tg f, recordando el nuevo valor de f.

Y’ =

(−1)Ă—3Ă—âˆ’2 1+(3Ă—âˆ’1 )2

Opero para simplificarlo. −3Ă—âˆ’2 −3 −3 Y’ = = = 1+9Ă—âˆ’2 (1+9)Ă—2 đ?‘Ľ2 +9 2 Quique Ghelfi Palomar

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

DERIVADAS EXPONENCIALES Deriva la siguiente funciĂłn f(x) = đ?‘’ đ?‘“ La derivada de la funciĂłn exponencial es igual a la misma funciĂłn por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente. AquĂ­ muestro un ejemplo de cĂłmo realizarlo:

Ejemplos:

đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘’ 3−đ?‘Ľ

2

f’= −2đ?‘Ľ ∙ đ?‘’ 3−đ?‘Ľ

2

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 10√đ?‘Ľ f’ =

đ?‘™đ?‘›(10)∙10√đ?‘Ľ 2√đ?‘Ľ

Paula GimĂŠnez Espinar

Como la derivada de 3-x² es: -2x, multiplicamos esto por la función.

Como la derivada de √đ?‘Ľ es

1

2√đ?‘Ľ

al derivar y tomar logaritmos, obtenemos el siguiente resultado.

âˆś

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M​ATEMÁTICAS​ -​ D​ERIVADAS San Pedro Pascual - 1º Bachillerato - 08/03/18

Logaritmo Neperiano (lnx) Dada las siguientes funciones calcula razonadamente su derivada indicando los pasos que das. Para todas la derivadas que haga con logaritmos neperianos aplicaré la siguiente fórmula: lnf = 1f · f ′

1) y = ln(1 − 3x)2 = Aplico las propiedades de los logaritmos para pasar el 2 elevado a multiplicarse con el ln = 2ln (1 − 3x) Realizo la derivada 1 · (− 3) = y ′ = 2 · 1−3x Multiplico −6 y ′ = 1−3x

2) y = ln ( 3−x 4 ) Lo de dentro es una división por tanto aplico la fórmula de la división f = 3 − x|g = 4 f ′ =− 1 | g ′ = 0 Realizo la derivada y′ =

(−1)·(4)+(3−x)·0 42

=

Multiplico = −4 16 = Simplifico(dividiendo entre 4) = −1 4 Ahora que tengo derivado lo de dentro ya lo puedo introducir en la derivada de ln 1 · −1 = y ′ = 3−x 4 4

Multiplico =

4(−1) 4(3−x)

=

Despejo los 4 −1 = 3−x

Rafa Giménez

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1º Bachillerato - 20/03/18

Derivadas logarítmicas 1 Calcula la derivada de esta función y=x5x lo más simplificada posible.

y=x5x Primero, aplicamos logaritmos a los dos términos de la ecuación: ln y=ln x5x Una vez hemos tomado logaritmos, en este caso, neperianos, ya podemos aplicar la propiedad 3 de los logaritmos, para quitar el exponente de la (x) y pasarlo delante multiplicando al neperiano de (x). ln y=5x·ln x Ahora derivo los distintos términos aplicando la fórmula: y=ln f y´= 1·f´ f 1 · y´=5· ln x+5x · 1 y x Las (x) del extremo se van 1· y´= 5·ln x+5 y Despejamos( y´)Para ello,Pasamos multiplicando (y) a todo el segundo miembro y´=y·(5·ln x+5 ) Por ultimo, sustituimos el valo de (y)

y=x5x en la ecuación

y´= x5x ·(5·ln x+5)

Blanca Llinares Puig

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Derivadas logarĂ­tmicas Derivar los siguientes logaritmos neperianos đ?‘Ś =

đ?’š=

đ?’?đ?’? (đ?’™) đ?’™

ln (đ?‘Ľ) đ?‘Ľ

đ?‘Ś = 5đ?‘Ľ

2

. Es una divisiĂłn dividiendo a otra. Por lo tanto aplico la formula

de la división de derivadas �′

y=ln(f) y’= �

�′ =

đ?‘“′ ∙đ?‘”−đ?‘”â€˛âˆ™đ?‘“ đ?‘”2

1

f=ln(x) f’=� g=x g’=1

1

∙đ?‘Ľâˆ’1∙đ?‘™đ?‘› (đ?‘Ľ) đ?‘Śâ€˛ = đ?‘Ľ Simplificamos la ecuaciĂłn al mĂĄximo. đ?‘Ľ2 đ?‘Śâ€˛ =

1−đ?‘™đ?‘› (đ?‘Ľ) Ya no podemos simplificar mĂĄs. đ?‘Ľ2

đ?’š = đ?&#x;“đ?’™

đ?&#x;?

Podemos observar en la base un nĂşmero con un exponente con

una x. Por lo tanto tomo logaritmos en ambos lados para quitar del exponente la x. 2

đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ś) = đ?‘™đ?‘›ďż˝5đ?‘Ľ ďż˝ por la propiedad 3Âş de los logaritmos đ?‘Ľ 2 lo podemos dejar multiplicando a đ?‘™đ?‘› (5) por đ?‘Ľ 2 đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ś) = đ?‘™đ?‘›(5) ∙ đ?‘Ľ 2

ln(5) es un nĂşmero.

Derivamos

�′ �

= đ?‘™đ?‘› (5) ∙ đ?‘Ľ 2 es un producto por lo tanto aplico la fĂłrmula del producto en

las derivadas

đ?‘Ś ′ = đ?‘“ ′ ∙ đ?‘” + đ?‘”′ ∙ đ?‘“

đ?‘Ś ′ = đ?‘Ś ∙ (đ?‘™đ?‘› (5) ∙ 2đ?‘Ľ)

đ?‘Ś ′ = 0 ∙ đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ ∙ đ?‘™đ?‘› (5)

2

đ?‘Ś ′ = 5 đ?‘Ľ ∙ (đ?‘™đ?‘› (5) ∙ 2đ?‘Ľ) LucĂ­a Lloret Tendillo

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

DERIVADA LOGARTIMICA ¿QuÊ es una derivada logarítmica? En el åmbito de las matemåticas, específicamente en el cålculo y el anålisis complejo, la derivada logarítmica de una función f, donde f ′ es la derivada de f. Sus descubridores fueron Leibniz y Newton. Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f) ′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena. Queda definida por la fórmula

ÂżCuĂĄndo aplicamos logarĂ­tmos en este tema de derivadas? (Usando la regla de la cadena general de la derivada donde podemos consultarla en las pĂĄginas anteriores del libro) Usaremos un ejemplo como este, para explicarlo pero valdrĂ­a cualquier otro)

đ?‘Ś = 5^đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3đ?‘Ľ)

Podemos ver que es una funciĂłn con una base distinta de el nĂşmero “eâ€? (en este caso es un nĂşmero real como es el cinco pero perfectamente podrĂ­a ser una funciĂłn elevada a una funciĂłn y se harĂ­a prĂĄcticamente igual, usando logaritmos, ya que hablamos de exponenciales y la inversa son los logaritmos) Para poder derivarla tenemos que aplicar logaritmos y para eso hay que tener muy claras las propiedades de estos. Log y=log 5 ^cos (3x) log y= cos (3x) ¡ log5 y’/y = log 5 ¡ (-sen (3x)) y’ = log 5 ¡ (-sen (3x))¡ y y’ = log 5¡ (-sen (3x)) ¡ 5^cos (3x) En primer lugar aplico logaritmos para poder derivarla adecuadamente, aplico la tercera propiedad y me encuentro que el log de cinco es un nĂşmero, derivo aplicando la fĂłrmula general para derivar logaritmos y por Ăşltimo como la “yâ€? este dividendo la paso al otro tĂŠrmino multiplicando y resuelvo.

Marina MartĂ­nez Cabrejas

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Recta Tangente ObtĂŠn razonadamente la ecuaciĂłn de la recta tangente a la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ ) = (2đ?‘Ľâˆ’1)2 2

en el punto x = 2

Para hallar la ecuaciĂłn de la recta tangente (đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘›) a una funciĂłn en un punto necesito saber la pendiente y el punto para despejar n

Sustituyo en la funciĂłn por x = 3 y opero đ?‘“ (2) =

(2 ∙ 2 − 1)2 (4 − 1)2 32 9 = = = 2 2 2 2

P (2, 4’5)

Para hallar la pendiente derivo la funciĂłn y la igualo a 0. Aplico la regla de la cadena. Multiplico todo lo que hay fuera del parĂŠntesis y luego el parĂŠntesis.

đ?‘Ś = đ?‘˜ ∙ đ?‘“đ?‘›

đ?‘Śâ€˛ = đ?‘˜ ∙ đ?‘› ∙ đ?‘“ đ?‘›âˆ’1 ∙ đ?‘“′ đ?‘Śâ€˛ =

1 ∙ 2 ∙ (2đ?‘Ľ − 1) ∙ 2 2

đ?‘Śâ€˛ = 2 ∙ (2đ?‘Ľ − 1) đ?‘Śâ€˛ = 4đ?‘Ľ − 2

Sustituyo la x por 2 para averiguar el valor de la pendiente.

Hallo la ordenada en el origen (n):

đ?‘š = 4∙2−2 đ?‘š=6

4′ 5 = 2 ∙ 6 + đ?‘› −7′5 = đ?‘›

EcuaciĂłn de la recta tangente a la funciĂłn en el punto x = 2: đ?‘Ś = 6đ?‘Ľ − 7′5

Marina YibĂł MartĂ­nez Segarra

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Aplicaciones a) Calcula cuando la funciĂłn f(x)=√đ?‘Ľ (3 − √đ?‘Ľ)tiene tangente horizontal:

Cuando me piden que calcule la tangente horizontal de una funciĂłn, lo que me estĂĄn diciendo es que halle el valor de “xâ€? en que esa funciĂłn no varĂ­a, es decir, que averigĂźe en quĂŠ valor de “xâ€? la derivada es igual a “0â€? y por lo tanto la recta tangente a la funciĂłn que pasa por ese punto “xâ€? es paralela al eje horizontal. Para ello seguiremos los siguientes pasos: 1Âş) Sacamos la derivada de la funciĂłn.

f(x)=√đ?‘Ľ (3 − √đ?‘Ľ) − − −→ No es un producto ya que podemos

simplificar

⇒

⇒ arreglamos la funciĂłn ⇒ f(x)=3√đ?‘Ľ

⇒derivamos

usando la regla de la cadena

⇒

−đ?‘Ľ

1

→

f’(x)=3( )(� 2

−

1 2

1 f(x)= 3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ )-1

→

f’(x)=

3

−1

2√đ?‘Ľ

2Âş)Una vez sacada la derivada de la funciĂłn, la igualo a cero ya que eso indica cuando la funciĂłn no varĂ­a.

f’(x)=

3

2√đ?‘Ľ

− 1= 0

→

3

2√đ?‘Ľ

= 1 → 3 = 2√đ?‘Ľ

→ √đ?‘Ľ

= 32

→

3

đ?‘Ľ = ( )2 = 2

⇒ahora ya sabemos que la funciĂłn tiene tangente horizontal en “x=

9

4 9

⇒

�.

4

3Âş) Para saber el punto exacto por el que pasa la recta tangente horizontal debemos sustituir en la funciĂłn inicial el valor de “xâ€? obtenido.

9

f(x)=√đ?‘Ľ (3 − √đ?‘Ľ) → f( )= ďż˝4 (3 − ďż˝4) =

4

+ REPRESENTACIĂ“N GRĂ FICA:

Gonzalo Mateu Valls

9

9

9 ⇒P(9 , 9) 4 4 4

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b) Calcula cuando la funciĂłn

4

đ?‘Ľ2

tiene tangente horizontal:

1Âş) Sacamos la derivada de la funciĂłn.

4

f(x)= 2 ⇒ Arreglo la función para poder derivar � derivamos

⇒ f(x)=4 Ă— đ?‘Ľ −2 ⇒

usando la regla de la cadena ⇒ f’(x)=4 Ă— (−2) Ă— đ?‘Ľ −3 → f’(x)=

−8 đ?‘Ľ3

2º)Una vez sacada la derivada de la función, la igualo a cero ya que eso indica cuando la función no varía. f’(x)=

−8 đ?‘Ľ3

=0

→

−8 ≠0 ⇒

como la derivada de la funciĂłn nunca puede

ser igual a cero sabemos que esta funciĂłn nunca tiene tangente horizontal ya que siempre estĂĄ variando.

+REPRESENTACIĂ“N GRĂ FICA:

Gonzalo Mateu Valls

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1º Bachillerato - 08/03/18

Variación de la función en un punto. El movimiento de un móvil se puede describir como f(x)=x3-3x2, calcula la variación de la función en los puntos: x=0, x=3.

Lo primero es entender el enunciado. Dice que calculemos la variación de la función en los puntos que indica; esto significa que queremos saber cuál es la variación de la función en esos puntos. Recordemos, ¿qué era la variación de una función? Era la pendiente de la recta tangente en un punto o lo que pasa con la función en un instante determinado. Así que debemos hallar la derivada de la función en cualquier punto, en x. f(x)= x -3x 3

2

→

f´(x)=3x2-6x

Y ahora que tenemos la derivada de la función, en general, debemos sustituir la x por cada uno de los valores que nos han dado, ya que lo que queremos saber es cuál es la variación de la función en cada uno de los puntos que nos han dado: f´(x)= 3x2-6x → f´(0)= 3(0)2-6(0)=0 f´(x)= 3x2-6x → f´(3)= 3(3)2-6(3)= 27 - 18=9 Ahora, para comprobar los resultados obtenidos, podemos dibujar nuestra función. Para averiguar la recta tangente en ese punto, usaremos la ecuación punto-pendiente, y=mx+n: -f´(0)=0 → y=mx+n → 0=0(0)+n → 0=n → y=0x+n → y=0 -f´(3)=9→0=9(3)+n→-27=n→y=9x-2

Ana Megías Mairena

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Aplicaciones 2

Realiza la derivada de la funciĂłn: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘” ďż˝ ďż˝ lo mĂĄs simplificada posible.

ÂżCuĂĄndo la variaciĂłn de la funciĂłn es

đ?‘Ľ

−1 6

?

Lo primero que hago es realizar la derivada del arco tangente que es la siguiente: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘“) es đ?‘Ś ′ = Para derivar

2

đ?‘Ľ

1

(đ?‘“)2 +1

¡ đ?‘“′

subo la x al numerador 2 ¡ đ?‘Ľ −1 = 2 ¡ (−1) ¡ đ?‘Ľ −2 = −2 ¡ đ?‘Ľ −2

Por ultimo bajo la x al denominador para que el exponente se convierta en −2

positivo

đ?‘Ľ2

Con lo cual � ′ =

1

2 2 ďż˝ ďż˝ +1 đ?‘Ľ

¡

−2

đ?‘Ľ2

opero � ′ =

−2

4 ďż˝ 2 +1�¡đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ

simplificada posible ahora igualo la funciĂłn a

=

−1 6

−2

4+đ?‘Ľ 2

ya la tengo lo mĂĄs

porque me pide la

variaciĂłn de la funciĂłn en un valor y ya que la variaciĂłn de la funciĂłn es la derivada lo que quiero saber es en que valores de x la variaciĂłn de la funciĂłn es igual a −2

4+đ?‘Ľ 2

−1

=

6

−1 6

.

multiplico en cruz −12 = −4 − đ?‘Ľ 2

Obtener la derivada de đ?‘Ś = variaciĂłn de la funciĂłn es 2

(1−2đ?‘Ľ) 2 2

→

2

−8 = −đ?‘Ľ

→

đ?‘Ľ = Âąâˆš8

lo mĂĄs simplificada posible y cuĂĄndo la

No lo tomo como una divisiĂłn ya que en el denominador hay un nĂşmero y no una funciĂłn, con lo cual derivo con la regla de la cadena đ?‘Ś ′ = −4+8đ?‘Ľ

opero = −4¡(1−2đ?‘Ľ) 2

2

−4¡(1−2đ?‘Ľ) 2

ya la tengo lo mas simplificada posible igualo la funciĂłn a 2

= 2 opero −4 + 8đ?‘Ľ = 4 → 8đ?‘Ľ = 4 + 4

Mar Meseguer Bravo

8

→ �=8=1

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Sustituir x en funciones trigonomĂŠtricas Deriva las funciones a) y b) y calcula su variaciĂłn en x=30Âş, x=Ď€/6 rad a) đ?‘Ś = đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľ

Derivo la funciĂłn đ?‘Śâ€˛ = 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ)

Sustituyo x=30Âş , pero siempre es mejor en radianes đ?‘“′(30) = 2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2 ∙ 30)=2 cos(2(Ď€/6)) đ?‘“′(30) = 1

3

b) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ 2

Arreglo la funciĂłn

đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3 ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ 2 )

Derivo la funciĂłn

đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = −3 ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ 2 ) ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’2 (đ?‘Ľ 2 ) ∙ 2đ?‘Ľ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) =

−6đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ 2 ) đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 (đ?‘Ľ 2 )

Sustituyo, como hay x lo pongo en radianes 30º= π/6 rad π

�′( ) = 6

Ď€

Ď€

6 ∙ Ď€/6 ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ ((6)2 )

Ď€

đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 ((6)2 )

�′( ) = 41,26 6

Pepe Palomar

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Crecimiento y Decrecimiento 2đ?‘Ľâˆ’1

Calcula el crecimiento y decrecimiento de esta funciĂłn đ?‘Ś = (đ?‘Ľ+

1) 3

.

Para calcular el crecimiento y decrecimiento de la funciĂłn dada, primero tenemos que saber su dominio: D = â„? − {−1} Como ya sabemos el dominio, tenemos que calcular la derivada de la 2đ?‘Ľâˆ’1

funciĂłn: đ?‘Ś = (đ?‘Ľ+

1)3

Es una divisiĂłn porque sus dos tĂŠrminos son funciĂłnes,

por lo tanto, đ?‘“ = 2đ?‘Ľ + 1 → đ?‘“ ′ = 2/đ?‘” = (đ?‘Ľ +1)3 → đ?‘”′ = 3(đ?‘Ľ +1)2 Aplico la fĂłrmula de la divisiĂłn: 2đ?‘Ľâˆ’1

� = (�+1)3 → � ′ =

2Ă—(đ?‘Ľ+1)3 −(2đ?‘Ľ+1)Ă—ďż˝3Ă—(đ?‘Ľ+1)2 ďż˝ [(đ?‘Ľ+1)3 ]2

=

(đ?‘Ľ+1)2 Ă—[2Ă—(đ?‘Ľ+1)−(2đ?‘Ľ+1)Ă—3] (đ?‘Ľ+1)6

=

[(2đ?‘Ľ+2)−(6đ?‘Ľ+3)] (đ?‘Ľ+1)4

−4đ?‘Ľâˆ’1

= (đ?‘Ľ+1)4

En el proceso hemos sacado factor comun en el numerador, luego hemos simplificado en los dos factores y por último hemos resuelto las operaciónes. A continuación, igualamos a 0 la derivada para saber cuando estå parada: �′ =

−4đ?‘Ľ − 1 1 = 0 → −4đ?‘Ľ − 1 = 0 → −1 = 4đ?‘Ľ → − = đ?‘Ľ = −0.25 4 (đ?‘Ľ + 1) 4

Miramos el signo de la derivada sustituyendo un punto en la misma:

x=-2

x=-0.5

x=0

-1 ďż˝âˆ’4Ă—(−2)ďż˝âˆ’1 (−2+1)4

= +

Al ser positivo el resultado la funciĂłn es creciente

MarĂ­a Pascual

-0.25 ďż˝âˆ’4Ă—(−0.5)ďż˝âˆ’1 (−0.5+1)4

= +

Al ser positivo el resultado la funciĂłn es creciente

(−4 Ă— 0) − 1 = − (0 + 1)4

Al ser negativo el resultado la funciĂłn es decreciente

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MATEMĂ TICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Crecimiento y decrecimiento de una funciĂłn Halla el crecimiento y decrecimiento de la funciĂłn: đ?‘Ś =

đ?‘Ľ 2+4đ?‘Ľ

2đ?‘Ľ 2+2đ?‘Ľ

Para calcular el crecimiento y decrecimiento, debo derivar la funciĂłn. Como es una divisiĂłn ya que tiene funciĂłn en el numerador y en el denominador, derivo primero cada una por separado aplicando las reglas de las derivadas donde llamaremos “fâ€? al numerador y “gâ€? al denominador: f = x2 + 4x ďƒ f’ = 2x + 4 g = 2x2 + 2x ďƒ g’ = 4x + 2 Una vez que ya tengo derivadas cada una, pues lo que hago a continuaciĂłn es aplicar la fĂłrmula de la derivada de una divisiĂłn. đ?‘Śâ€˛ =

đ?‘“ ′ ¡đ?‘”−đ?‘“¡đ?‘”′ đ?‘”2

ďƒ đ?‘Śâ€˛ =

(2đ?‘Ľ+4)¡�2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľďż˝âˆ’ (đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ)¡(4đ?‘Ľ+2) (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ )2

Como no hay nada en

comĂşn, tendremos que operar, es decir, realizar las multiplicaciones que hay: (4đ?‘Ľ 3 + 12đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ) − (4đ?‘Ľ 3 + 18đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ) đ?‘Śâ€˛ = (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ )2 đ?‘Śâ€˛ =

(4đ?‘Ľ 3 + 12đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ) − 4đ?‘Ľ 3 − 18đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ) (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ )2

La derivada final sería: ′

đ?‘Ś =

0=

(2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ )2

−6x2

(2x2

x = -2

-

Para saber el crecimiento y el decrecimiento de una funciĂłn, despuĂŠs de calcular la derivada, se iguala a 0 para obtener los valores que indican desde y hasta donde crece o decrece.

−6đ?‘Ľ 2

+ 2x )2

-1

ďƒ x 1 = 0 , x 2 = -1 x = -0.5

-

x=1 0

-

Signo y’

SUSTITUIMOS EN LA DERIVADA Y SI DA POSITIVO ES CRECIENTE Y SI DA NEGATIVO ES DECRECIENTE. Como en el numerador hay signo negativo y el denominador siempre da positivo (porque estĂĄ al cuadrado), la funciĂłn siempre serĂĄ negativa, es decir, decreciente.

Lucas PavĂ­a Muriel

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Concavidad y Convexidad Averigua si la funciĂłn f(x)=

2đ?‘Ľ

đ?‘Ľ+1

Para averiguar si la funciĂłn

es cĂłncava o convexa:

2đ?‘Ľ

đ?‘Ľ+1

es cĂłncava o convexa tenemos que hacer la

segunda derivada de la funciĂłn y hacer la recta real de la funciĂłn. f(x)=

2đ?‘Ľ

đ?‘Ľ+1

→ f´(x)=

2

(đ?‘Ľ+1)2

→ f�(x)=

−4

(đ?‘Ľ+1)3

Para hacer la recta real de la función tenemos que averiguar si hay algún punto de inflexión, se averigua igualando la segunda derivada a 0. f�(x)=

−4

(đ?‘Ľ+1)3

= 0 → -4=0(� + 1)3 → -4=0

Significa que no tiene puntos de inflexión, ahora hacemos la recta real de la función, sabemos que el dominio = todos los reales menos el -1, lo averiguamos ya que el denominador no puede ser 0, así que lo igualamos a 0. X+1=0 → x=-1 Por último, hacemos la recta y sustituimos en la segunda derivada la x por un número mayor y uno menor que -1.

+ X=-2

f�(x)=

(đ?‘Ľ+1)3

f�(x)=

Tu nombre

−4

−4

→

(đ?‘Ľ+1)3

-1 −4

→

−4

→

(−2+1)3

→

(0+1)3

−4

−13

X=0

→ 4 → Es positivo así que serå cóncava.

−4 1

→ -4 →Es negativo así que serå convexa.

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1º Bachillerato - 20/03/18

Demostración Demostración de la tan x La derivada de la tan x se puede explicar sabiendo que la tangente es cociente entre el seno y el coseno. 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑓´ = 𝑡𝑎𝑛𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 + cos 𝑥 2 cos 𝑥 2

=

1

cos 𝑥 2

Es un cociente, por lo tanto la derivada del seno por el coseno, menos la derivada del coseno por el seno. Eso lo podemos simplificar a 1 Y el 1 esta dividido por el denominador al cuadrado.

Demostración del ln x Trabajamos a partir de la función inversa al ln 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 𝑦´ = 1 1 1 𝑦´ = 𝑦 = 𝑥 𝑒 De esta forma, aplicando lo que sabemos de logaritmos y sabiendo derivar e elevado a algo, sabemos como derivar lnx

Carlos Tapp Monfort

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

RepresentaciĂłn grĂĄfica Realiza la representaciĂłn grĂĄfica de la siguiente funciĂłn siguiendo todos los pasos de su estudio f(x) =

1 đ?‘Ľ2 +9

Dominio: đ??ˇ = ∈ Puntos de corte: x = 0 / y = 1/9 Crecimiento y decrecimiento:

y=0/x=∄

đ?‘Ś = 1(đ?‘Ľ 2 + 9)−1 đ?‘Śâ€™ = 1 ∙ −1 ∙ (đ?‘Ľ 2 + 9)−2 ∙ 2đ?‘Ľ

Igualo a 0 para ver cuåndo tiene variación nula: �′ =

−2đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ 2+9)Âł

= 0 ďƒ x=0

Signo y’

x=-1

x=1

+ Creciente

0 Decreciente

Concavidad y convexidad: �′ =

−2đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ 2+9)Âł

DivisiĂłn ďƒ

y'’ =

6đ?‘ĽÂ˛âˆ’18

(đ?‘Ľ ² +9)Âł

Igualo a 0 para ver cuĂĄndo tiene variaciĂłn nula: x= Âą √3 x=-2 Signo y’’ -

x=2

-

+

Convexa - √3 Convexa √3 CĂłncava

LĂ­mites: đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’+∞ ďż˝

x= 0

1

�²+9

ďż˝ =

1

+∞

= 0+

RepresentaciĂłn grĂĄfica:

Ă ngela RamĂłn Calabuig

1

đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’−∞ ďż˝đ?‘ĽÂ˛+9ďż˝ =

1

+∞

= 0+

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

RepresentaciĂłn grĂĄfica đ?‘Ś=

đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ2

đ??ˇ = â„? − {0}

El dominio es este debido a que x puede tomar todos los valores menos 0, ya que si el denominador fuese 0, no tendrĂ­a soluciĂłn. -Puntos de corte: 0−1 =∄ 0 đ?‘Ľâˆ’1 0= đ?‘Ľâˆ’1 =0 đ?‘Ľ =1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ=0

đ?‘Ś=

đ?‘Ś=0

-Creciente/Decreciente:

(đ?&#x;?, đ?&#x;Ž)

Se deriva la funciĂłn para saber dĂłnde es creciente y decreciente la funciĂłn, ademĂĄs de saber los mĂĄximos y mĂ­nimos. đ?‘Ľâˆ’1 = đ?‘Ľ2

đ??¸đ?‘† đ??ˇđ??źđ?‘‰đ??źđ?‘†đ??źĂ“đ?‘ ( đ?‘“ = đ?‘Ľ − 1 đ?‘“ ′ = 1) đ?‘Ś (đ?‘” = đ?‘Ľ 2 đ?‘”′ = 2đ?‘Ľ)

Aplico la fĂłrmula de la divisiĂłn:

đ?‘Ľ 2 − (đ?‘Ľ − 1) ¡ 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 + (−2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ ) đ?‘Ľ ¡ (đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ + 2) ( ) = = đ?‘†đ??šđ??ś đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ ¡ (+đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ + 2) = đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ + 2 đ??źđ?‘”đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘‚ = 0 đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ + 2 = 0 − đ?‘Ľ = −2 đ?’™ = đ?&#x;? đ?‘Ľ3

Para saber dónde es creciente y decreciente, se sustituirån valores en y’ teniendo en cuenta 0 y 2, y el punto måximo sustituyendo en y. x=-1

x=1

Decreciente (-)

x=3

Creciente (+) 0

Alejandro Quetglas Blancher

Decreciente (-)

Signo y’ Mà X (2, 1/4)

2

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

-Concavidad/convexidad: Se deriva la primera derivada para saber dónde es cóncava o convexa la función y sus puntos de inflexión. �′ =

−đ?‘Ľ + 2 đ??¸đ?‘† đ??ˇđ??źđ?‘‰đ??źđ?‘†đ??źĂ“đ?‘ (đ?‘“ = −đ?‘Ľ + 2 đ?‘“ ′ = −1) đ?‘Ś (đ?‘” = đ?‘Ľ 3 đ?‘”′ = 3đ?‘Ľ 2 ) đ?‘Ľ3

Aplico la fĂłrmula de la divisiĂłn:

−đ?‘Ľ 3 − (−đ?‘Ľ + 2) ¡ 3đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 3 − 6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 2 ¡ (−đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ − 6) đ?‘Ś = = = (đ?‘†đ??šđ??ś ) đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ6 ′′

đ??źđ?‘”đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘‚

−đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ − 6 = 0 2đ?‘Ľ − 6 = 0 đ?’™ = đ?&#x;‘ đ?‘Ľ4

Para saber dĂłnde es cĂłncava y convexa, sustituiremos valores en la segunda derivada teniendo en cuenta el 0 y el 3. x=-1 Convexa (-)

x=1 Convexa (-) 0

x=4 CĂłncava (+)

Signo y’’ PI (3, 2/9)

3

-LĂ­mites: A continuaciĂłn, averiguaremos a quĂŠ tiende y cuando x tiende a +/- ∞. đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľâˆ’1 ∞ 2 − đ?‘Ľ2 0+ − 0+ đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ??´đ?‘ƒđ??żđ??źđ??śđ?‘‚ = đ?‘™đ?‘–đ?‘š = = đ?&#x;Ž+ đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ 2 ∞ đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ 2 1 đ?‘Ľ2 −đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľâˆ’1 −đ?‘Ľ − 1 2 − đ?‘Ľ2 0− + 0− đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ??śđ??´đ?‘€đ??ľđ??źđ?‘‚ đ?‘†đ??źđ??şđ?‘ đ?‘‚ đ?‘‹ = đ?‘™đ?‘–đ?‘š = đ?‘™đ?‘–đ?‘š = = đ?&#x;Žâˆ’ đ?‘Ľâ†’−∞ đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľâ†’∞ (−đ?‘Ľ)2 đ?‘Ľâ†’∞ (−đ?‘Ľ)2 1 đ?‘Ľ2

Alejandro Quetglas Blancher

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

-Continuidad: A continuaciĂłn, como sĂŠ que no es continua en x=0, averiguamos a quĂŠ tiende y cuando x tiende a 0+/−.

đ?‘Ľ − 1 0+ − 1 −1+ = + 2 = + = −∞ đ?‘Ľâ†’0 đ?‘Ľ2 (0 ) 0 − đ?‘Ľ − 1 0 − 1 −1− đ?‘™đ?‘–đ?‘šâˆ’ 2 = − 2 = + = −∞ đ?‘Ľâ†’0 đ?‘Ľ (0 ) 0 đ?‘™đ?‘–đ?‘š+

Discontinuidad de salto infinito.

-GrĂĄfica:

Tras el estudio, la representaciĂłn grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ la siguiente:

ď‚&#x;Punto de corte (1,0) ď‚&#x;MĂĄximo (2,1/4) ď‚&#x;Pto. de inflexiĂłn (3,2/9)

y=0

x=0

Alejandro Quetglas Blancher

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1º Bachillerato - 20/03/18

Representación gráfica 𝑥2

y =𝑥−1

DOMINIO = R - {1}

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO y’ = DIV. f = 𝑥2 g =x - 1 y’ =

2𝑥 (𝑥−1)−𝑥 2 (𝑥−1)2

=

f’ = 2x g’ = 1

2𝑥 2−2𝑥−𝑥 2 (𝑥−1)2

=

𝑥 2−2𝑥

(𝑥−1)2

= 0 → 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = −2

+(𝑓. 𝑐𝑟𝑒𝑐. )/+(𝑓. 𝑐𝑟𝑒𝑐. )/−(𝑓. 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐. )/+(𝑓. 𝑐𝑟𝑒𝑐. ) (𝑥 = −3)/−2/(𝑥 = −1)/0/ (𝑥 = 0.5)/1 /(𝑥 = 2) x=0 (máximo) → (0,0)

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

y’’ = DIV. f = 𝑥 2 − 2𝑥 g = (𝑥 − 1)2 y’’ =

f’ = 2x – 2 g’ = 2 (x – 1) = (2x-2)

(2𝑥−2)(𝑥−1)2−(𝑥 2−2𝑥)(2𝑥−2) (𝑥−1)4

=

2 (𝑥−1)�(𝑥−1)2−(𝑥 2−2𝑥)� (𝑥−1)4

=

2 (𝑥 2−2𝑥+1−𝑥 2+2𝑥) (𝑥−1)3

2

= (𝑥−1)3 = 0

→ 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 −(𝑓.𝑐𝑜𝑣𝑒𝑥)/−(𝑓.𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥.)/−(𝑓.𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥.)/+(𝑓.𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣.)

ASÍNTOTA HORIZONTAL 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑥2

𝑥−1

=

𝑥2 𝑥2

𝑥 1 − 𝑥2 𝑥2

CONTINUIDAD 𝑥2

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ 𝑥−1 =

1+

0+

1

= 0= +∞

= +∞

María Torrijo Gómez

(𝑥=−3)/−2/(𝑥=−1)/0/ (𝑥=0.5)/1 /(𝑥=2)

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

𝑥2

𝑥−1

𝑥2

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑙𝑖𝑚𝑥→1− 𝑥−1 =

1−

−0+

−𝑥 2

−𝑥−1

=

−𝑥2 𝑥2 −𝑥 1 − 𝑥2 𝑥2

=

−1 0−

= −∞

= −∞

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1º Bachillerato - 20/03/18

María Torrijo Gómez

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

RepresentaciĂłn GrĂĄfica 9 Calcula la representaciĂłn grĂĄfica de la siguiente funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2−9 haciendo

todo el estudio.

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =

9

đ?‘Ľ2 −9

D=R-(3,-3)

- Puntos de corte

x= 0 x= E

y= -1 y= 0

P (0,-1)

-Crecimiento y Decrecimiento de la funciĂłn. Analizamos el signo de la derivada 1 (y’) 9 = 9 ∗ (đ?‘Ľ 2 − 9)−1 −9 đ?‘“′(đ?‘Ľ) = −9 ∗ (đ?‘Ľ 2 − 9)−2 ∗ 2đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) =

Derivamos la funciĂłn y simplificamos

đ?‘Ľ2

−18đ?‘Ľ

đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = −18đ?‘Ľ ∗ (đ?‘Ľ 2 − 9)−2 =

x=-4 x=-1 + -3 + f es creciente

ďż˝đ?‘Ľ2 −9ďż˝

x=1

x=4 0 3 f es decreciente

2

= 0 ďƒ x=0 Igualamos a 0 para analizar el signo

Signo y’

MĂ XIMO P (0, -1)

-Concavidad y convexidad. Analizamos el signo de la derivada 2 (y’’) đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = −18đ?‘Ľ ∗ (đ?‘Ľ 2 − 9)−2 −18âˆ—ďż˝âˆ’3đ?‘Ľ2 −9ďż˝ đ?‘“ ′′ (đ?‘Ľ) = =0 3 (đ?‘Ľ2 −9)

x= +√−3/ - √−3

x=-4 x=1 + -3 f es cĂłncava f es convexa

���

đ?‘Ľ2

9 9 = = 0+ − 9 +∞

Es un Producto, hacemos la derivada aplicando la fĂłrmula.

Igualamos a 0 para analizar el signo x=4 3 + f es cĂłncava

Signo y’’

xďƒ +∞ đ?‘™đ?‘–đ?‘š

đ?‘Ľ2

9 9 = = 0+ − 9 +∞

xďƒ âˆ’âˆž 9

lim đ?‘Ľ 2−9 xďƒ 3

9

lim đ?‘Ľ 2 −9= +∞ xďƒ 3+

9

limđ?‘Ľ 2−9= −∞

xďƒ 3−

Discontinuidad

de salto infinito

Lo mismo, pero cuando tiende a -3 (−3+ ; −3− )

Carmen Torrijos Saiz

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

RepresentaciĂłn grĂĄfica de una ecuaciĂłn Representa grĂĄficamente la siguiente ecuaciĂłn:(đ?‘Ś = đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 2 )

Primero averiguamos el dominio de la ecuaciĂłn para ver si es continua o no, despuĂŠs igualamos a 0 las x y las y en la ecuaciĂłn para averiguar los puntos principales de la ecuaciĂłn. DOMINIO=Todos los nĂşmeros reales X=0-------Y=0 Y=0-------x=0 Averiguamos la derivada de la ecuaciĂłn y la igualamos a 0 para averiguar cuando es creciente o decreciente.

đ?‘Ś = đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 2 ----------Derivada-------y’=4đ?‘Ľ 3 − 4đ?‘Ľ

Igualamos a 0 y despejamos x para saber cuĂĄndo hay cambios en la ecuaciĂłn.

4đ?‘Ľ 3 − 4đ?‘Ľ=0-----Saco factor comĂşn

4x(đ?‘Ľ 2 − 1) = 0----Igualo a 0 cada tĂŠrmino 0

4x=0------x= 4------x=0

đ?‘Ľ 2 − 1 = 0------đ?‘Ľ 2 = 1-----x=√1/- √1

Observo q pasa cuando la x toma valores entre estos intervalos, es de decir, doy valores a la x mĂĄs grandes o mĂĄs pequeĂąo en la derivada para averiguar cuando es creciente o decreciente. X=-2

-

−√1

x=-0,5

X=2

X=0,5 0

+

Sergio Vicente BarberĂĄ

-

√1

SIGNO DE Y’

+=CRECIENTE -=DECRECIENTE

+

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1Âş Bachillerato - 20/03/18

Averiguamos

la

derivada

de

la

derivada

y

realizamos

el

mismo

procedimiento anteriormente realizado igualando la segunda derivada a 0 para saber si es cóncava o convexa. y’’=12� 2 -4------Igualo a 0 4

1

1

12� 2 -4=0-------------� 2 = 12----------x=�3 / -�3 ( -0,58, 0,58 ) X=-1

X=0

X=1 SIGNO DE Y’’ 0,58

-0,58

-

+ PI

+

+=CĂ“NCAVA -=CONVEXA PI=Punto de inflexiĂłn

PI

Averiguamos los puntos mĂĄximos y los puntos mĂ­nimos de la ecuaciĂłn con los datos de la primera grĂĄfica. Cogemos los valores que toma x y sustituimos en la ecuaciĂłn principal para averiguar y. MĂ XIMOS: cuando pasa de creciente a decreciente. X=0-----------Y=0 MĂ?NIMOS: cuando pasa de decreciente a creciente. X=-1--------y=-1 X=1---------y=-1 Por Ăşltimo averiguamos los lĂ­mites de la ecuaciĂłn para saber que valores toma y cuando las x toman valores muy grandes o muy pequeĂąos. Sustituimos las x en la ecuaciĂłn principal por +∞ o -∞

X

X

Lim-- đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 2 =∞-∞=∞ +∞

Lim-- đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 2 =∞-∞=∞ -∞

Sergio Vicente BarberĂĄ

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MATEMATICAS - DERIVADAS San Pedro Pascual - 1ยบ Bachillerato - 20/03/18

Grรกfica de la ecuaciรณn

Sergio Vicente Barberรก

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