4 Lógica

Lógica

“Si tu padre fuera Dios me amarías, si no es así tu padre es el diablo.”

Jesucristo Jn 8:42

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal 

Sintaxis – que expresiones son legales

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal Sintaxis – que expresiones son legales  Semántica - que significado tiene una expresión legal. 

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal   

Sintaxis – que expresiones son legales Semántica - que significado tiene una expresión legal.

Sistema de prueba – una forma de manipular sintacticamente expresiones para obtener otras expresiones sintácticas ( lo cual nos dirá algo nuevo)

Por qué probar? Dos clases de inferencias podría querer hacer un agente:

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal   

Sintaxis – que expresiones son legales Semántica - que significado tiene una expresión legal.

Sistema de prueba – una forma de manipular sintacticamente expresiones para obtener otras expresiones sintácticas ( lo cual nos dirá algo nuevo)

Por qué probar? Dos clases de inferencias podría querer hacer un agente: 

Múltiples percepciones => conclusiones acerca del mundo

¿Qué es lógica?

Un lenguaje formal   

Sintaxis – que expresiones son legales Semántica - que significado tiene una expresión legal.

Sistema de prueba – una forma de manipular sintacticamente expresiones para obtener otras expresiones sintácticas ( lo cual nos dirá algo nuevo)

Por qué probar? Dos clases de inferencias podría querer hacer un agente:  

Múltiples percepciones => conclusiones acerca del mundo Estado actual & operador => propiedades del próximo estado

Sintaxis de l贸gica proposicional

Sintaxis de lĂłgica proposicional Sintaxis : lo que tiene permitido escribir ď Ź

For ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}

Sintaxis de lógica proposicional Sintaxis : lo que tiene permitido escribir For ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}  Ideas verdes descoloridas duermen furiosamente 

Sintaxis de lógica proposicional Sintaxis : lo que tiene permitido escribir For ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}  Ideas verdes descoloridas duermen furiosamente 

Sentencias (FBF : formulas bien formadas)

Sintaxis de lógica proposicional Sintaxis : lo que tiene permitido escribir For ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}  Ideas verdes descoloridas duermen furiosamente 

Sentencias (FBF : formulas bien formadas) Verdadero y falso son sentencias  Variables proposicionales son sentencias: P, Q, R, Z 

Sintaxis de lógica proposicional Sintaxis : lo que tiene permitido escribir For ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}  Ideas verdes descoloridas duermen furiosamente 

Sentencias (FBF : formulas bien formadas) Verdadero y falso son sentencias  Variables proposicionales son sentencias: P, Q, R, Z  Si Φ y Ψ son sentencias, entonces también lo son 

• (Φ), ¬Φ, Φ∧ Ψ, Φ∨ Ψ, Φ→ Ψ, Φ↔ Ψ

Sintaxis de lógica proposicional

Sintaxis : lo que tiene permitido escribir For ( thing t = fizz; t == fuzz; t++){...}  Ideas verdes descoloridas duermen furiosamente 

Sentencias (FBF : formulas bien formadas) Verdadero y falso son sentencias  Variables proposicionales son sentencias: P, Q, R, Z  Si Φ y Ψ son sentencias, entonces también lo son 

• (Φ), ¬Φ, Φ∧ Ψ, Φ∨ Ψ, Φ→ Ψ, Φ↔ Ψ 

Nada adicional a esto es una sentencia

Precedencia ¬

alta

∧ ∨ → ↔

A ∨B ∧C

A∨(B ∧C)

A∧B → C∨D

(A∧B) →(C∨D)

A → B∨C ↔ D

(A → (B∨C)) ↔ D

baja

•Las reglas de precedencia permiten “acortar” la forma de la sentencia, pero formalmente solo poner paréntesis es legal •Formas sintacticamente ambiguas permiten acortar solo cuando son semánticamente equivalentes: A ∧ B ∧ C es equivalente a (A ∧ B) ∧ C y A ∧ (B ∧ C)

Semรกntica

Semรกntica El significado de una sentencia es su valor de verdad {v, f}

Semántica El significado de una sentencia es su valor de verdad {v, f} Una Interpretación es asignar un valor de verdad a una variable proposicional 

Afirmar(Φ, i ) [la sentencia Φ es v en la interpretación i ]

Semántica El significado de una sentencia es su valor de verdad {v, f} Una Interpretación es asignar un valor de verdad a una variable proposicional Afirmar(Φ, i ) [la sentencia Φ es v en la interpretación i ]  Fallar(Φ, i) [la sentencia Φ es f en la interpretación i ] 

Reglas semรกnticas

Reglas semรกnticas Afirmar(verdad, i) para toda i

Reglas semรกnticas Afirmar(verdad, i) para toda i Fallar(falso, i)

Reglas semánticas Afirmar(verdad, i) para toda i Fallar(falso, i) para toda i Afirmar(¬Φ, i) si y solamente si fallar(Φ, i)

(negación)

Reglas semánticas Afirmar(verdad, i) para toda i Fallar(falso, i) para toda i Afirmar(¬Φ, i) si y solamente si fallar(Φ, i)

(negación) Afirmar(ΦΛΨ, i) ssi afirmar(Φ, i) y afirmar(Ψ, i) (conjunción)

Reglas semánticas Afirmar(verdad, i) para toda i Fallar(falso, i) para toda i Afirmar(¬Φ, i) si y solamente si fallar(Φ, i)

(negación) Afirmar(ΦΛΨ, i) ssi afirmar(Φ, i) y afirmar(Ψ, i) (conjunción) Afirmar(Φ v Ψ, i) ssi afirmar(Φ, i) or afirmar(Ψ, i) (disyunción)

Reglas semánticas Afirmar(verdad, i) para toda i Fallar(falso, i) para toda i Afirmar(¬Φ, i) si y solamente si fallar(Φ, i)

(negación)

Afirmar(ΦΛΨ, i) ssi afirmar(Φ, i) y afirmar(Ψ, i) (conjunción) Afirmar(Φ v Ψ, i) ssi afirmar(Φ, i) or afirmar(Ψ, i) (disyunción) Afirmar(P, i) Fallar(P, i)

ssi i(P) = v ssi i(P) = f

Algunos atajos importantes

Algunos atajos importantes Φ→Ψ ≡¬Φ v Ψ( condición, implicación) antecedente → consecuente

Algunos atajos importantes Φ→Ψ ≡¬Φ v Ψ( condición, implicación) antecedente → consecuente

Φ↔Ψ ≡ (Φ→Ψ) Λ (Ψ→Φ) (bicondicional, equivalencia)

Algunos atajos importantes Φ→Ψ ≡¬Φ v Ψ( condición, implicación) antecedente → consecuente

Φ↔Ψ ≡ (Φ→Ψ) Λ (Ψ→Φ) (bicondicional, equivalencia) Tablas de verdad P

Q

¬P

PΛQ

PvQ

P→ Q

Q→ P

P ↔Q

f

f

t

f

f

t

t

t

f

t

t

f

t

t

f

f

t

f

f

f

t

f

t

f

t

t

f

t

t

t

t

t

Algunos atajos importantes Φ→Ψ ≡¬Φ v Ψ( condición, implicación) antecedente → consecuente

Φ↔Ψ ≡ (Φ→Ψ) Λ (Ψ→Φ) (bicondicional, equivalencia) Tablas de verdad P

Q

¬P

PΛQ

PvQ

P→ Q

Q→ P

P ↔Q

f

f

t

f

f

t

t

t

f

t

t

f

t

t

f

f

t

f

f

f

t

f

t

f

t

t

f

t

t

t

t

t

Observe que la implicación no es “casualidad”, si P es f entonces P → Q es verdadera

TerminologĂ­a

Terminología Una sentencia es válida ssi su valor de verdad es v en todas las interpretaciones. 

Sentencias válidas: verdad, ¬falsa, P v ¬ P

Terminología Una sentencia es válida ssi su valor de verdad es v en todas las interpretaciones. 

Sentencias válidas: verdad, ¬falsa, P v ¬ P

Una sentencia es satisfactible ssi su valor de verdad es v en al menos una interpretación. 

Sentencias satisfactibles: P, verdad, ¬P

Terminología Una sentencia es válida ssi su valor de verdad es v en todas las interpretaciones. 

Sentencias válidas: verdad, ¬falsa, P v ¬ P

Una sentencia es satisfactible ssi su valor de verdad es v en al menos una interpretación. 

Sentencias satisfactibles: P, verdad, ¬P

Una sentencia es insatisfactible ssi su valor de verdad es f en todas las interpretaciones 

Sentencias insatisfactibles: P Λ ¬P, falso, ¬ verdadero

Terminología Una sentencia es válida ssi su valor de verdad es v en todas las interpretaciones. 

Sentencias válidas: verdad, ¬falsa, P v ¬ P

Una sentencia es satisfactible ssi su valor de verdad es v en al menos una interpretación. 

Sentencias satisfactibles: P, verdad, ¬P

Una sentencia es insatisfactible ssi su valor de verdad es f en todas las interpretaciones 

Sentencias insatisfactibles: P Λ ¬P, falso, ¬ verdadero

Todas son decidible finitamente

Ejemplos Sentencia lee → lee lee v ¬lee

valida?

Interpretación que hace el valor de verdad de la sentencia = f valida

Ejemplos Sentencia

valida?

Interpretación que hace el valor de verdad de la sentencia = f

lee → lee lee v ¬lee valida lee → aprende satisfactible, no válida

lee = t, aprende = f

Ejemplos Sentencia

valida?

lee → lee lee v ¬lee lee → aprende

Interpretación que hace el valor de verdad de la sentencia = f

valida satisfactible, lee = t, aprende = f no válida (l →a)→(¬l→¬a) satisfactible, l= f, a = t no válido l→a = t, ¬ l → ¬ a = f

Ejemplos Sentencia

valida?

Interpretación que hace el valor de verdad de la sentencia = f

lee → lee lee v ¬lee lee → aprende

valida satisfactible, lee = t, apende = f no válida (l →a)→(¬l→¬a) satisfactible, l= f, a = t no válido l→a = t, ¬ l → ¬ a = f Contrapositiva (l→a)→(¬l→¬a) válida

Ejemplos Sentencia

valida?

Interpretación que hace el valor de verdad de la sentencia = f

lee → lee lee v ¬ lee valida lee → aprende satisfactible, fuma = t, fuego = f no válida (s →f)→(¬s→¬f) satisfactible, s= f, f = t no válido s→f = t, ¬ s → ¬ f = f Contrapositiva (l→a)→(¬a→¬l) válida b v d v (b→d) válida b v d v ¬b v d

Satisfactible Relacionada a satisfacciรณn de restricciones Dada una sentencia S, trate de encontrar una interpretaciรณn i tal que afirme(S, i) Anรกlogo a encontrar una asignaciรณn de valores para variables tal que la restricciรณn la afirme

Satisfactible Relacionada a satisfacción de restricciones Dada una sentencia S, trate de encontrar una interpretación i tal que afirme(S, i) Análogo a encontrar una asignación de valores para variables tal que la restricción la afirme Método de la fuerza bruta: enumerar todas las interpretaciones y revisar

Satisfactible Relacionada a satisfacción de restricciones Dada una sentencia S, trate de encontrar una interpretación i tal que afirme(S, i) Análogo a encontrar una asignación de valores para variables tal que la restricción la afirme Método de la fuerza bruta: enumerar todas las interpretaciones y revisar Mejores métodos:   

Búsqueda heurística Propagación de restricciones Búsqueda estocástica

Problemas satisfactibles Calendarización de turnos de enfermería en un hospital 



Las variables proposicionales representarán, por ejemplo, que Pat esta trabajando el martes a las 2.

Las restricciones del calendario son representadas usando expresiones lógica s sobre las variables.

Problemas satisfactibles Calendarización de turnos de enfermería en un hospital  

Las variables proposicionales representarán, por ejemplo, que Pat esta trabajando el martes a las 2.

Las restricciones del calendario son representadas usando expresiones lógicas sobre las variables.

Encontrando errores(bug) en un software   

Variables proposicionales representan estados del programa Usando lógica para describir como el programa trabaja y afirmar que hay un error Si la sentencia es satisfactible , ud. ha encontrado un error!

Una buena clase?

Una buena clase?

Imagine que sabemos: 

 

Si hoy esta soleado, entonces Tomás estará feliz (SH) Si Tomas es feliz, la clase será buena (HG) Hoy está soleado

Debemos concluir que la clase será buena?

Chequeando interpretaciones

Chequeando interpretaciones S H

G

t

t

t

t

t

f

t

f

t

t

f

f

f

t

t

f

t

f

f

f

t

f

f

f

Chequeando interpretaciones S

H

G

S→ H

H→G

S

t

t

t

t

t

t

t

t

f

t

f

t

t

f

t

f

t

t

t

f

f

f

t

t

f

t

t

t

t

f

f

t

f

t

f

f

f

f

t

t

t

f

f

f

f

t

t

f

Chequeando interpretaciones S

H

G

S→ H

H→G

S

G

t

t

t

t

t

t

t

t

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

t

t

t

t

f

f

f

t

t

f

f

t

t

t

t

f

t

f

t

f

t

f

f

f

f

f

t

t

t

f

t

f

f

f

t

t

f

f

Buena clase

Agregando una variable L S H

G

S→ H

H→G

S

G

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

f

t

f

t

f

t

t

f

t

f

t

t

t

t

t

f

f

f

t

t

f

t

f

t

t

t

t

f

t

t

f

t

f

t

f

f

f

t

f

f

t

t

t

f

t

t

f

f

f

t

t

f

f

t

t

t

t

t

t

t

f

t

t

f

t

f

t

f

.. ... ... .

...

Derivaci贸n(emparejamiento) Una base de conocimiento (KB) deriva una sentencia S ssi cada interpretaci贸n que hace KB verdadera tambi茅n hace verdadera a S KB

deriva

afirma interpretaciones subconjunto

S afirma interpretaciones

Procesando la derivaci贸n Enumere todas las derivaciones Seleccione aquellas en las cuales todos los elementos de KB que son verdaderas Revise si S es verdadera en todas aquellas interpretaciones KB

deriva

afirma interpretaciones subconjunto

S afirma interpretaciones

En general, se tendr铆a una inmensa cantidad de interpretaciones

Procesando la derivaci贸n Una prueba es una forma de evaluar si una KB deriva una sentencia, sin enumerar todas las interpretaciones posibles. prueba KB

deriva

afirma interpretaciones subconjunto

S afirma interpretaciones

Prueba

Prueba Prueba es una secuencia de sentencias

Prueba Prueba es una secuencia de sentencias Las primeras son premisas (KB)

Prueba Prueba es una secuencia de sentencias Las primeras son premisas (KB) Luego, usted puede escribir en la siguiente lĂ­nea el resultado de aplicar una regla de inferencia a las lĂ­neas previas.

Prueba Prueba es una secuencia de sentencias Las primeras son premisas (KB) Luego, usted puede escribir en la siguiente línea el resultado de aplicar una regla de inferencia a las líneas previas.

Cuando S esta el la línea, usted ha probado S de KB

Prueba Prueba es una secuencia de sentencias Las primeras son premisas (KB) Luego, usted puede escribir en la siguiente línea el resultado de aplicar una regla de inferencia a las líneas previas.

Cuando S esta el la línea, usted ha probado S de KB Si las reglas de inferencia son contundentes, entonces cualquier S que pueda probar de KB podrá ser derivada de KB Si las reglas de inferencia son completas, entonces cualquier S que sea derivada de KB puede ser probada desde KB

Deducci贸n natural

Deducción natural Algunas reglas de inferencia: α→β α β Modus ponens

Deducción natural Algunas reglas de inferencia: α→β α β Modus ponens

α→β ¬β ¬α Modus tolens

Deducción natural Algunas reglas de inferencia: α→β α β Modus ponens

α→β ¬β ¬α Modus tolens

α β α^β Y - introducción

Deducción natural Algunas reglas de inferencia: α→β α β

Modus ponens

α→β β Modus tolens

¬β ¬α

α

β α^β

Y - introducción

α^ α Y - eliminación

Ejemplo de deducci贸n natural Pruebe S Paso Formula

Derivaci贸n

Ejemplo de deducción natural Pruebe S Paso

Formula

1 2 3

P^Q

Derivación

dada dada P→R (Q ^ R) → S dada

Ejemplo de deducción natural Pruebe S Paso Formula

Derivación

1 2 3 4

dada dada dada 1 y-elimaci

P^Q P→R (Q ^ R) → S P

Ejemplo de deducción natural Pruebe S paso formula

derivación

1

P^Q

dada

2

P→R

dada

3

dada

4

(Q ^ R) → S P

5

R

4, 2 Modus p

1 y-eliminación

Ejemplo de deducción natural Pruebe S paso formula

derivación

1

P^Q

dada

2

P→R

dada

3

dada

4

(Q ^ R) → S P

5

R

4, 2 Modus p

6

Q

1 y-elim

1 y-eliminación

Ejemplo de deducción natural Pruebe S paso formula

derivación

1

P^Q

dada

2

P→R

dada

3

dada

4

(Q ^ R) → S P

5

R

4, 2 Modus p

6

Q

1 y-elim

7

QΛR

5,6 Y-intro

1 y-eliminación

Ejemplo de deducción natural Pruebe S Paso Formula

Derivación

1

P^Q

dada

2

P→R

dada

3

dada

4

(Q ^ R) → S P

5

R

4, 2

6

Q

1

7

QΛR S

5,6

Y-intro

7, 3

Modus ponen

8

1

y-eliminación Modus p y-elim

Sistema de prueba Hay muchos sistemas de deducción natural; ellos son típicamente “chequeadores de prueba”, sólidas pero no completas.

Sistema de prueba Hay muchos sistemas de deducción natural; ellos son típicamente “chequeadores de prueba”, sólidas pero no completas.

La deducción natural usa grandes cantidades de reglas de inferencia las cuales presentan un factor grande de ramificación en la búsqueda de una prueba.

Sistema de prueba Hay muchos sistemas de deducción natural; ellos son típicamente “chequeadores de prueba”, sólidas pero no completas.

La deducción natural usa grandes cantidades de reglas de inferencia las cuales presentan un factor grande de ramificación en la búsqueda de una prueba.

En general, usted necesita hacer “casos de prueba” los cuales introducen muchas mas ramificaciones.

Probando R 1

PVQ

2

Q →R

3

P→R

No importa de donde se derive

Resolución proposicional Regla de resolución:

αvβ ¬β v γ α vγ Una única regla de inferencia es una prueba de sistema sólida y completa.

Requiere que todas las sentencias sean convertidas a forma normal conjuntiva.

L贸gica de Primer Orden

Lógica de Primer Orden La lógica proposicional trata con “hechos”, sentencias que pueden ser o no verdades del mundo, ej. “esta lloviendo”. Pero, no puede tener variables que puedan representar libros o mesas.

Lógica de Primer Orden La lógica proposicional trata con “hechos”, sentencias que pueden ser o no verdades del mundo, ej. “esta lloviendo”. Pero, no puede tener variables que puedan representar libros o mesas.

En la lógica de primer orden, las variables se refieren a cosas del mundo y, por tanto, usted puede cuantificar sobre ellas: hablar de todas ellas o algunas de ellas sin mencionarles el nombre explícitamente.

Motivación para la LPO Hay sentencias que no pueden ser hechas en lógica proposicional pero pueden ser escritas en LPO 

Cuando usted pinta un bloque con pintura verde , esta se vuelve verde. 



En lógica proposicional, necesitara una sentencia referida a cada bloque individual, no se puede hacer una sentencia general acerca de todos los bloques.

Cuando se esteriliza un jarrón, todas las bacterias son eliminadas. 

En LPO, podemos hablar acerca de todas las bacterias sin nombrarlas a ellas explícitamente.

- Una persona se le permite accesar a este sitio web si ella ha sido formalmente autorizado o ellas conocen a alguien que ha accesado.

Sintaxis de LPO TĂŠrminos

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39  Variables: x, y, a

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39  Variables: x, y, a  Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madre-de(Juan)

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39  Variables: x, y, a  Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madre-de(Juan)

Sentencia 

Un símbolo predicado aplicado a cero o mas términos: Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madrede(Juan), Juana)

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39  Variables: x, y, a  Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madre-de(Juan)

Sentencia 

Un símbolo predicado aplicado a cero o mas términos: Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madrede(Juan), Juana) t1 = t2

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39  Variables: x, y, a  Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madre-de(Juan)

Sentencia 

Un símbolo predicado aplicado a cero o mas términos: Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madrede(Juan), Juana) t1 = t2 Si v es una variable y Φ es una sentencia, entonces Para toda v. Φ y Existe v. Φ son sentencias.

Sintaxis de LPO Términos  Símbolos constantes: Fred, Japón, Bacteria39  Variables: x, y, a  Función símbolo aplicada a uno o más términos: f(x), f(f(x)), madrede(Juan)

Sentencia 

Un símbolo predicado aplicado a cero o mas términos: Sobre(a, b), Hermana(Juana, Maria), Hermana(madre-de(Juan), Juana) t1 = t2 Si v es una variable y Φ es una sentencia, entonces Para toda v. Φ y Existe v. Φ son sentencias.

Operadores: ^, v, ¬, =>, <=>, ( )

Tomado del Instituto Tecnol贸gico de Massachusetts www.owc.mit.edu 6.034 Artificial Intelligence 2004 Archivo ch9-logic1a Leer capitulo 7 del libro de Russell & Norvig

Ejercicios.

1. Transforme a lógica proposicional 1. Si la temperatura supera los treinta grados, sube el consumo de energía eléctrica. Sube el consumo de energía eléctrica. Por lo tanto, la temperatura supera los treinta grados.

2. Si gane la lotería, soy rico. No gane la lotería. Por lo tanto, no soy rico.

3. Si Dios no existe, todo esta permitido. Dios existe. Por lo tanto, no todo esta permitido.

4. Si hay seres inteligentes en otras galaxias y tienen una civilización mas avanzada que la nuestra, han visitado la Tierra. Hay seres inteligentes en otras galaxias. Por lo tanto, seres inteligentes de otras galaxias han visitado la Tierra.

2.Pruebe por las reglas de Deducción Natural i) ¬p v q v r ii) ¬p v r

¬q ¬r ∴¬p

¬r v q p ∴q

iii) ¬p v t

¬q v s ¬r v st pvqvrvu ∴s v t v u

iv) p→ q

pvq ∴q

v)

p↔r r ∴p

3. Todos los correntinos son argentinos. Algunos americanos son argentinos. Por lo tanto, algunos americanos son correntinos.

4. Todo verdadero artista es sensible. Ningún hombre de negocios es un verdadero artista.

Por lo tanto, ningún hombre de negocios es sensible. 5. Todos los comunistas admiran a Marx. Algunos profesores admiran a Marx. Por lo tanto, algunos profesores son comunistas.

6. todo político que no cumple sus promesas es un mentiroso. Gómez es un político. Por lo tanto, Gómez es un mentiroso.