Animate Matemática 6 by Marcela Lalia

Animate

Matemática

Recursos para el docente Matemática 6. Recursos para el docente –Serie Animate–

es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Viviana R. Chiesa • Claudia A. David • Carolina Giacumbo Adriana A. Santos • Gisela B. Serrano • Silvia S. Tabasco Matemática x deporte: Pablo J. Kaczor • Manuel J. Lois Edición: Ana Verónica Veltri • Raquel S. Kalizsky Jefa de edición: María Laura Latorre Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación, pág. 2 Soluciones de todas las actividades del libro, pág. 6 Matemática x deporte, pág. 17

Jefa de arte: Claudia Fano. Diagramación: Alejandro Pescatore. Corrección: Juan Sosa. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

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Matemática 6 : recursos para el docente / Viviana R. Chiesa ... [et.al.]. - a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 48 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2081-5 1. Formación Docente. I. Chiesa, Viviana R. CDD 371.1

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: enero de 2009. Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2009, en Grafisur S. H., Cortejarena 2943, Buenos Aires, República Argentina.

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Abril

Marzo

Módulo /tiempo estimado

Múltiplos y divisores. Reglas de divisibilidad. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

Cálculos combinados. Problemas de conteo. Potenciación.

Resolver cálculos combinados. Iniciarse en la noción de potencia.

Profundizar la reflexión y el conocimiento de la multiplicación y la división. Utilizar las nociones de múltiplos y divisores en la resolución de situaciones problemáticas.

Multiplicación. Propiedades. Algoritmo. División. Propiedades. Algoritmo. Relación entre los elementos de la división. Medidas de tiempo.

Números grandes. El billón. El sistema de numeración decimal. El sistema de numeración romano.

Contenidos

Resolver problemas que aborden distintos sentidos de la multiplicación y de la división. Conocer y utilizar propiedades de la multiplicación y de la división.

Leer y escribir números de más de 8 cifras. Explicitar las relaciones subyacentes en el sistema de numeración decimal. Conocer otros sistemas de numeración para comprender mejor el sistema decimal.

Expectativas de logro

Recursos para la planiﬁcación

Reconocimiento de múltiplos y divisores de un número. Elaboración de reglas de divisibilidad. Uso de las reglas de divisibilidad en la resolución de problemas. Descomposiciones multiplicativas de un número; descomposición en factores primos. Determinación del m.c.m. y el m.c.d. entre dos o más números; aplicación en la resolución de situaciones problemáticas.

Resolución de cálculos combinados a partir de problemas. Separación en términos. Ubicación de paréntesis. Reconocimiento del orden de resolución de las operaciones. Resolución de problemas de combinatoria para introducir la noción de potencia.

Resolución de situaciones problemáticas por medio de multiplicaciones. Problemas de proporcionalidad y de organización rectangular. Problemas de combinatoria. Reconocimiento del cálculo que permite resolver una situación. Uso de cálculos conocidos para resolver otros cálculos. Uso de la calculadora. Resolución de cálculos en los que se ponen en juego las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Resolución de situaciones problemáticas mediante una división. Análisis del algoritmo de la división. Reconocimiento de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto para resolver problemas y para calcular los elementos que faltan en una división. Resolución de problemas de iteraciones. Resolución de situaciones que involucren medidas de tiempo, pasajes de horas y minutos, y operaciones que requieran el uso de la multiplicación y la división.

Lectura y escritura de números de hasta 18 cifras. Composición y descomposición de números, apelando a sumas y multiplicaciones. Comparación de números grandes. Uso de la calculadora para obtener un número a partir de otro dado. Reflexión sobre las reglas de funcionamiento del sistema decimal. Interpretación de reglas del sistema romano. Pasaje de números en sistema romano al decimal y viceversa. Reflexión acerca de las diferencias entre los sistemas de numeración romano y decimal.

Estrategias didácticas

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Junio

Mayo

Abril

Sumas y restas de fracciones. Representación en la recta numérica.

Profundizar el trabajo con sumas y restas de fracciones. Resolver situaciones problemáticas de sumas y restas entre fracciones, o entre un entero y una fracción.

Fracciones decimales. Pesos y centavos. Sumas y restas de decimales. Gráficos circulares. Fracciones de una cantidad. Fracciones, porcentajes y proporcionalidad.

Concepto de fracción. Fracciones equivalentes. Comparaciones. Ubicación en la recta numérica. Sumas y restas.

Reconocer y usar fracciones equivalentes en distintas situaciones. Comparar fracciones. Representar fracciones en la recta numérica. Componer y descomponer un número entero o una fracción como suma o resta de fracciones de igual denominador, o de un entero y una fracción. Escribir fracciones como número mixto.

Profundizar el conocimiento de las fracciones decimales y su relación con los números decimales. Resolver situaciones problemáticas que requieran sumar o restar números decimales. Resolver situaciones problemáticas que requieran encontrar la fracción de una cantidad. Calcular porcentajes. Resolver situaciones de proporcionalidad con fracciones.

Usos del compás. Construcciones de triángulos y otros polígonos. Círculo y circunferencia. Alturas de un triángulo.

Utilizar el compás para trazar circunferencias, comparar segmentos y construir figuras. Reconocer la circunferencia como el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto. Reconocer el círculo como el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio. Trazar alturas de distintos triángulos.

Escritura de pesos y centavos con números decimales. Escritura de fracciones decimales como números decimales. Descomposición de números decimales usando fracciones decimales. Distintas formas de sumar y restar números decimales. Resolución de situaciones problemáticas que requieran sumar o restar números decimales. Lectura y análisis de gráficos circulares. Resolución de situaciones que requieran encontrar la fracción de una cantidad. Cálculo de porcentajes. Relación entre el porcentaje y las fracciones decimales. Resolución de situaciones problemáticas de proporcionalidad usando fracciones.

Resolución de cálculos de sumas y restas entre un entero y una fracción. Escritura de fracciones como suma de un entero y una fracción. Representación de sumas y restas de fracciones en la recta numérica. Análisis de distintos métodos de resolución de sumas y restas de fracciones de distinto denominador: a) búsqueda de fracciones equivalentes; b) búsqueda de un denominador común. Resolución de situaciones problemáticas por medio de sumas y restas de fracciones.

Representación de fracciones de la unidad. Reconstrucción de la unidad a partir de una fracción dada. Situaciones en las que las fracciones se relacionen con repartos y medidas. Búsqueda y reconocimiento de fracciones equivalentes. Comparación de fracciones. Identificación de fracciones menores que 1, iguales a 1 y mayores que 1. Encuadre de fracciones entre dos números enteros. Encuadre de números enteros entre dos fracciones, o de una fracción entre otras dos. Representación de fracciones en la recta numérica. Resolución de sumas y restas de fracciones de igual denominador. Escritura de fracciones como suma y resta de otras dos de igual denominador. Escritura de fracciones como número mixto.

Uso del compás para comparar y trazar segmentos, construir circunferencias, triángulos y otros polígonos. Trazado de círculos. Reconocimiento y uso del concepto de circunferencia como conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto. Reconocimiento y uso del concepto de círculo como conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio. Reconocimiento y trazado de las alturas de triángulos. Análisis de las alturas de triángulos rectángulos, obtusángulos y acutángulos.

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Septiembre

Agosto

Julio

Módulo /tiempo estimado

Resolución de situaciones problemáticas que impliquen operar con medidas angulares. Resolución de problemas que exijan conocer el valor de la suma de los ángulos interiores de polígonos.

Exploración de distintas estrategias para multiplicar un número decimal por 10, 100 o 1 000. Resolución de situaciones que requieran multiplicar números decimales. Resolución de problemas que requieran divisiones entre dos naturales, identificando si el resultado es un número decimal o una expresión decimal periódica. Análisis de distintas estrategias de división entre un número natural y uno decimal, o entre dos números decimales. Cálculo de promedios. Redondeo de expresiones decimales. Resolución de situaciones problemáticas en las que sea necesario hallar la fracción de una cantidad. Resolución de cálculos y problemas en los que haya que multiplicar fracciones. División de una fracción por un entero en situaciones de la vida cotidiana. Construcción de figuras mediante dobleces. Resolución de situaciones que pongan en juego distintas propiedades de los cuadriláteros. Análisis de las diagonales de los cuadriláteros. Construcción de cuadriláteros conociendo, por ejemplo, la medida de sus diagonales. Construcción de polígonos regulares. Análisis y cálculo de la amplitud de los ángulos interiores y del ángulo central de los polígonos regulares. Resolución de problemas que exigen conocer el valor del ángulo interior de un polígono en función de la cantidad de lados. Análisis de las figuras regulares que teselan un plano y de las condiciones que lo posibilitan. Resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa, conocido un par de números que se relacionan. Resolución de situaciones en las que la información se presenta en tablas. Búsqueda de la constante de proporcionalidad. Análisis de tablas para determinar si representan una relación de proporcionalidad directa, o inversa, o si la relación no es de proporcionalidad. Resolución de situaciones en las que intervengan unidades de almacenamiento de la información y sus equivalencias.

Operaciones con medidas angulares. Suma de ángulos interiores de polígonos.

Multiplicaciones con números decimales. División entre naturales: números decimales y expresiones decimales periódicas. División entre números decimales. Promedio. Redondeo.

Multiplicación de fracciones. División de una fracción por un entero.

Propiedades de figuras: cuadriláteros, polígonos regulares. Cubrimientos del plano.

Proporcionalidad directa. Propiedades. Unidades de almacenamiento de la información: B (byte), kB (kilobyte) y MB (megabyte). Proporcionalidad inversa. Propiedades.

Resolver situaciones problemáticas que requieran operar con medidas angulares. Resolver problemas que exijan conocer el valor de la suma de los ángulos interiores de polígonos. Abordar situaciones problemáticas que requieran multiplicar y dividir con números decimales. Calcular promedios. Realizar redondeos en distintas situaciones significativas.

Resolver situaciones que impliquen la multiplicación de fracciones. Dividir fracciones por un entero para resolver situaciones problemáticas.

Reconocer y resolver situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Resolver situaciones en las que la información se presente en tablas. Encontrar y usar la constante de proporcionalidad.

Resolver situaciones problemáticas que requieran conocer y usar las propiedades de cuadriláteros y polígonos regulares. Construir figuras y analizar la posibilidad de su construcción, según sus propiedades. Analizar y determinar las condiciones que posibilitan el cubrimiento del plano con una sola figura.

Estrategias didácticas

Contenidos

Expectativas de logro

Recursos para la planiﬁcación

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Noviembre

Octubre

Cálculo del perímetro de distintas figuras. Realización de mediciones reales de perímetros. Análisis del significado del número π. Cálculo de la longitud de la circunferencia. Resolución de situaciones problemáticas que involucran el cálculo del área de una figura. Reconocimiento y uso del m2, el cm2, el km2, y la ha como unidades de medida del área. Resolución de problemas que exijan establecer relaciones entre distintas unidades de medida para expresar la medida del área de una figura. Elaboración de fórmulas para el cálculo de áreas de cuadrados, paralelogramos, rectángulos, rombos, romboides y triángulos. Descomposición de figuras para calcular su área por medio de figuras conocidas. Cálculos de áreas de polígonos regulares como suma de las áreas de triángulos. Comparación de áreas y perímetros.

Perímetros de polígonos. Longitud de la circunferencia. Áreas. El m2, el cm2 y el km2, la ha. Fórmulas para el cálculo de áreas.

Resolver situaciones problemáticas que permitan construir la noción de área diferenciada de la de perímetro. Utilizar las unidades de medida más convenientes en diferentes situaciones. Elaborar las fórmulas que permitan calcular áreas de distintas figuras.

Armado de cuerpos geométricos a partir de un molde dado. Análisis de los cuerpos geométricos; caracterización según sus elementos. Reconocimiento de cuerpos de acuerdo con los elementos que los componen. Construcción del desarrollo de distintos cuerpos. Identificación del desarrollo que permite construir un cuerpo determinado. Dibujo de cuerpos geométricos en perspectiva.

Uso de escalas en planos, mapas y dibujos. Ampliación y reducción de dibujos. Averiguación de medidas reales a partir de un plano. Dibujo de planos y figuras dadas las medidas reales y la escala.

Escalas. Ampliación y reducción de figuras.

Iniciarse en el manejo de escalas.

Cuerpos: elementos, desarrollos y vistas.

Estimación de medidas de longitud. Reconocimiento y uso de medidas de longitud: km, hm, dam, m, dm, cm y mm. Llenado de tablas de proporcionalidad directa para encontrar equivalencias entre las medidas de longitud. Resolución de situaciones de la vida cotidiana en las que se ponen en juego las medidas de longitud. Uso de L, dl, cl, ml, dal, hl y kl en la vida cotidiana. Identificación de equivalencias entre distintas unidades de capacidad. Comparación de masas. Reconocimiento de diferentes unidades de masa: g, dg, cg, mg, dag, hg, kg y t.

Medidas de longitud. Equivalencias. Medidas de capacidad. Equivalencias. Medidas de masa. Equivalencias.

Usar medidas de longitud, capacidad y masa en contextos significativos. Manejar la equivalencia entre distintas unidades de longitud, capacidad y masa.

Reconocer y diferenciar cuerpos geométricos teniendo en cuenta los elementos que losa componen. Construir cuerpos geométricos.

Utilización, análisis y construcción de gráficos cartesianos para abordar situaciones problemáticas de proporcionalidad directa. Construcción de tablas a partir de un gráfico de proporcionalidad. Uso de las propiedades de la proporcionalidad directa para calcular porcentajes. Utilización de gráficos circulares para representar porcentajes. Construcción de gráficos circulares. Uso del gráfico de barras para mostrar información y analizarla a partir de la obtención de porcentajes.

Gráficos de proporcionalidad directa. Porcentaje. Gráfico circular. Gráfico de barras.

Analizar y construir gráficos de proporcionalidad directa. Analizar y construir gráficos circulares y de barras.

Soluciones Las respuestas de la actividad de apertura de cada módulo figuran en la sección Paro y reviso que se encuentra grisada.

Módulo • Mayor: 98 754 321 • 100 000

1 a) Porque X solo puede aparecer hasta 3 veces.

ser como suma del producto de cada dígito por una potencia de diez. La otra podría ser, en cada caso: a) 47 × 1 000 000 + 538 × 1 000 + 98 x 10 + 7 b) 129 × 1 000 000 + 357 000 + 168 15 Podría ser: 3 315 631 + 1 110 011. 16 Por ejemplo, restar 821 639 y al resultado, que es

45 000 000, dividirlo por 10 000. 17 a) 9 324 718 437 186

1 009 = MIX MMDXC = 2 590

2 • I se puede restar solo de V y de X. Ejemplos: CIX = 109;

LIV = 54; etc.; • X se puede restar solo de L y de C. Ejemplos: XC = 90; XLV = 45; etc.; • C se puede restar solo de D y de M. Ejemplos: CDV = 405; CML = 950; etc. Las restantes columnas se completan con más ejemplos (a cargo del alumno). 3 a) • 19 999 = XIX CMXCIX

• 548 712 = DXLVIIIDCCXII b) En general es más fácil usar el sistema decimal. 4 a) Se descompuso el 2 746 897 y está en los carteles

amarillo, verde y rosa. b) • 2 746 897: dos millones setecientos cuarenta y seis mil ochocientos noventa y siete. • 2 754 970: dos millones setecientos cincuenta y cuatro mil novecientos setenta. • 27 046 897: veintisiete millones cuarenta y seis mil ochocientos noventa y siete.

b) 7 324 718 439 186 c) Le falta 675 281 562 814. 18 En orden decreciente: 6 990 000 000 000;

6 909 000 000 000; seis billones novecientos mil millones; 6 × 1 000 000 000 001. 19 a) Treinta y cinco billones trescientos cincuenta y tres mil

treinta y tres millones doscientos treinta y un mil trescientos tres. b) De derecha a izquierda, representan: 3 u; 300 u; 30 000 u; 3 000 000 u; 30 000 000 u; 3 000 000 000 u; 300 000 000 000 u y 30 000 000 000 000 u. 20 • 38 → 7 símbolos

• 932 → 7 símbolos

• 1 257 → 7 símbolos • 805 → 5 símbolos

21 Tienen el mismo resultado el segundo, el cuarto y el quinto

cálculos.

Módulo

5 a) Más público: Los Simpsons; menos público: Ratatouille.

b) • El Hombre Araña 3: 4 100 000; • Shrek Tercero: 5 200 000; • Los Simpsons: 6 900 000. c) Por lo menos 1 100 001 espectadores más. 6 Tendrían que haber ingresado 20 000 turistas. 7 Se puede hacer, por ejemplo, restando sucesivamente:

87 000 000; 645 000; 300 y 12. 8 a) Se pasa del A al B dividiendo por 100, y del A al C multi-

plicando por 100. b) En A: 80 000 u; en B: 800 u; en C: 8 000 000 u. 9 En general, es más rápido armar el número con la descom-

posición de Lucía, que se hizo respetando el valor posicional de cada cifra. 10 • Por ejemplo, MC = 1 100; DI = 501, y CC = 200.

• No es cierto, por ejemplo, CM y M. • En general es más fácil trabajar con el sistema decimal. 11 Lo correcto es: 945 = CMXLV y 99 = XCIX. 12 a) 1 012 000

b) 260

c) 7 540 000 000

Repaso a) 725 x 84 = 60 900 y 1 279 : 35 = 36, resto 19. b) En el lugar de las unidades se pone un cero o una rayita porque se está multiplicando por la cifra de las decenas. En el ejemplo, el 2 representa 20 unidades. 1 La tabla se completa con: 300; 450; 600; 750 y 1 200, en la

primera fila; 125; 375; 500; 625 y 1 000, en la segunda; 1; 2; 4; 5 y 8, en la tercera, y 2; 4; 6; 8 y 10 en la última. 2 Correctas: 24 × 2 × 4; 24 × 8; 8 × 24 y 24 × 4 + 24 × 4. 3 Se pueden armar 3 × 2 × 3 = 18 postres diferentes. 4 Sí; aplica la propiedad conmutativa y hace 25 × 18. 5 a) Sí.

b) En 9 × 9 aparece el 81 y en 2 × 2, el 4.

6 • 24 × 30 = 24 × 15 × 2 = 720

• 30 × 48 = 2 × 15 × 24 × 2 = 1 440 • 15 × 25 = 15 × 24 + 15 = 375 7 a) Flor: 850 × 25 – 850

Matías: 2 × 850 × 4 × 3 b) Los dos son correctos. Flor hizo: 850 × (25 – 1) = 850 × 24; y Mati: 850 × 2 × 4 × 3 = 850 × 24.

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b) Significa que a 100 se le restan 10. c) 203 = CCIII 324 = CCCXXIV CMLXII = 962 DCXLIX = 649

14 Hay varias formas de descomponer un número; una podría

Repaso a) • Menor: 12 345 789 b) • 1 214

13 En el cartel azul y en el verde.

8 Son 48 masitas. Puede armar rectángulos de: 1 × 48; 2 ×

24; 3 × 16; 4 × 12 y 6 × 8 (o al revés). 9 Le alcanza para 31 días y sobran 2 tazas. 10 a) 15 fuentes.

b) 10 medialunas.

27 No podrían ser 3 chicos porque podría haber agarrado una

más cada uno; sí podrían ser 7. 28 • 105 : 3 = 35 porque 35 × 3 = 105.

• 35 × 4 = 35 × 3 + 35 = 140 • 210 : 35 = 6 porque 105 : 35 = 3 y 210 = 2 × 105.

11 Cocinó 412 alfajores. 12 a) Mati obtuvo el mayor tiempo y Sole, el menor.

b) Siguen: Ale, Vale y Mati.

Módulo

13 a) Trabaja 7 horas y media.

b) 45 horas semanales. Representan 1 día y 21 horas. 14 La segunda está mal resuelta porque el resto no puede ser

mayor que el divisor. • 425 : 28 = 15; resto 5 • 219 : 15 = 14; resto 9 • El resto puede ser cualquier número natural menor que 12, por ejemplo, 1. En ese caso sería 97 : 12 = 8; resto 1. • El cociente puede ser cualquier número natural, por ejemplo, 3. En ese caso sería 61 : 18 = 3; resto 7. 15 a) dividendo = divisor × cociente + resto. Para encontrar las

otras partes se puede usar la misma relación, considerando que el resto debe ser menor que el divisor. También se puede hallar el divisor, si se divide el dividendo por el cociente. b) En la celeste y en la verde.

A cargo del alumno: 5 a) y 13 . 1 a) Jazmín gastó $ 412 y Mariela, $ 328.

b) El primero es el de Mariela y el otro, de Jazmín. b) (4 × 6 + 10) : 2

2 a) Cada cuota es de $ 17. 3 a) • 5 × (3 – 1) + 2 = 12

• 9 – 6 : (2 × 3) = 8 • 3 × (7 – 2 × 2) = 9 b) • 16 •0

• 17

4 4 × 2 × 3 × 2 = 48 combos diferentes. 5 b) Se pueden formar 8 números. c) 2 × 2 × 2 6 Se necesitan 3 × 3 × 3 = 33 = 27 cubos pequeños. 7 a) 25 = 32 herramientas.

b) 27 = 128 herramientas.

16 Las que lo resolvieron bien son Daniela y Fernanda.

8 1.er globo: 25 = 32 y 26 = 64; 2.º globo: 53 = 125 y 54 = 625.

17 Fabiana pensó el 1 600.

9 • 5 × 4 = 20 barriletes distintos.

18 • 25 × 34 = 850

• 850 : 34 = 25 • 1 700 : 25 = 68 (1 700 es el doble de 850). 19 a) El último número es el 3 y se nombran 8.

b) 59 : 7 → el cociente indica cuántos números se nombran y el resto, cuál es el último número. 20 • No; podría darle 3 más a cada uno. • Elaboró 33 bombas. • Necesita 50 cajas; a una le faltan 10 galletitas. • No, porque podrían ser 33, 36 o 39 bombas. • Sí, porque al hacer 890 : 18 el cociente indica cuántas cajas se llenan y como el resto no es 0 sino 8, se necesita una caja más para esas 8 galletitas. 21 Pueden duplicar las filas y la cantidad de sillas por fila al

mismo tiempo; cuadruplicar solo las filas; o cuadruplicar solo la cantidad de sillas por fila. 22 a) $ 914

b) Faltan vender 50 rifas. 23 Se ocupan 9 filas: 8 están llenas y para completar la última

faltan 8 figuritas más. 24 De 2 × 3 × 4 = 24 formas diferentes. 25 Es correcto: 42 × 30 – 42 × 2 = 42 × (30 – 2). 26 Son 255 minutos, que equivalen a 15 300 segundos.

• Ganaron “Los aéreos” con 660 puntos, contra 285 de “Los voladores”. • A cargo del alumno. • 52 = 25 barriletes distintos. • Los voladores: 3 × 15 + 2 × 30 + 3 × 60 Los aéreos: 8 × 15 + 9 × 60 10 Usando la potencia sería 23 = 8. 11 a) El error es hacer 5 – 4. El cálculo azul da 32.

b) El error es sumar 12 y 18. El cálculo azul da 18. c) El error es sumar 2 y 57. El cálculo azul da 307. 12 a) 2 × 38 + 43 – 5 × 19 = 24

b) 8 × 6 × 12 = 576

14 Se pueden formar 32 = 9 números. 15 6 × 6 × 6 = 63 = 216 limones. 16 Llevan 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81 paquetes de chicles. 17 a) Falso; 23 = 2 × 2 × 2 = 8.

b) Verdadero. c) Falso; 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6. 18 • 2 × 75 – 15 : 3 = 145

• 2 × (75 – 15) : 3 = 40 • (2 × 75 – 15) : 3 = 45 19 Se pintan del mismo color: • 23 y 2 × 2 × 2;

• 3 × 2; 2 + 2 + 2 y 3 + 3; • 32 y 3 × 3.

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Módulo

Repaso a) Primeros múltiplos de: • 8: 0; 8; 16; 24 y 32. • 12: 0; 12; 24; 36 y 48. • 30: 0; 30; 60; 90 y 120. b) Divisores de: • 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. • 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36. • 5: 1; 5. 1 a) A cargo del alumno.

b) Verde y rojo coinciden en los múltiplos de 6; azul y anaranjado coinciden en los múltiplos de 12. c) Sí; todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2. 2 Divisible por… • 2: si termina en número par: 16; 18; 20;

30; 100; 108. • 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3: 15; 18; 21; 30; 57; 81; 108. • 4: si las dos últimas cifras son múltiplos de 4: 16; 20; 100; 108. • 5: si termina en 0 o 5: 15; 20; 30; 35; 100. • 6: si es divisible por 2 y por 3: 18; 30; 108. • 10: si termina en 0: 20; 30; 100. 3 a) 60 × 1; 30 × 2; 20 × 3; 15 × 4; 12 × 5; 10 × 6.

13 El primero, porque a 4 × 93 (que es múltiplo de 4) se le

suman 4, mientras que en el segundo se le suman 3. 14 El número pensado es 23. 15 1 501; 1 516; 1 531 y 1 546 (se buscan los múltiplos

comunes a 3 y 5, y se les suma 1). 16 No, por ejemplo, 6 es múltiplo de 3 y 20 es múltiplo de 5,

pero 6 + 20 = 26 no es múltiplo de 8. 17 a) 11 casillas (más la salida).

b) Sí, porque 99 es múltiplo de 3 y de 9. 18 12 premios con 5 lapiceras y 3 CD cada uno. 19 a) No; el m.c.d. entre 30 y 75 es 15.

b) El m.c.m. entre 30 y 75 es 150. 20 2; 8; 9; 12; 15; 36 y 45 son divisores de 360; 2 es uno de

los factores de la descomposición y los restantes pueden obtenerse multiplicando dos o más factores. 21 Los múltiplos de 6 son: 438 y 1 800. 22 Cada 12 días.

b) 17 × 1: solo hay una posibilidad porque 17 es primo. 4 a) Hay muchas formas de hacerlo, como:

caciones sin usar el 1 porque son primos. 6 a) • 8 × 18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

• 9 × 12 = 3 × 3 × 2 × 2 × 3 • 48 × 54 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 3 × 3 × 3 b) • 15 × 8 → 5 (3 × 5 = 15) • 6 × 21 → 7 (3 × 7 = 21) 7 Pasarán 24 horas porque 24 es el primer múltiplo que tie-

nen en común 6 y 8 (después de 0). 8 Cada 30 hojas (porque 30 es el m.c.m. entre 6 y 10). 9 a) La pueden recibir 1, 2, 3, 6, 9 o 18 escuelas.

b) 18 escuelas; cada una recibiría 10 libros y 9 cuadernos. 10 Tiene 8 sobrinos; cada uno recibe 5 alfajores, 4 chocolata-

das y 7 caramelos. 11 • Hay 72 fantasmas.

• Cada grupo tiene 6 integrantes. En total hay 14 grupos: 5 de nenas y 9 de nenes. • Tiene que buscar el m.c.d. entre 30 y 54. 12 Entre el 41 y el 79 hay 19 múltiplos de 2; 13 múltiplos de 3

y 6 múltiplos de 7.

A cargo del alumno: 2 a), 6 , 8 a), 9 a), 10 , 11 , 12 , 14 , 20 , 21 , 23 y 25 . 1 Tiene que trazar una circunferencia de 3 cm de radio con el

compás. 2 b) Hay que marcar los dos puntos que tienen en común las

dos circunferencias. 3 Paso 2.° Uno cada extremo del lado distinto con alguno

de los puntos por los que pasan las dos circunferencias, porque cada uno de ellos está a 2 cm de distancia de cada extremo. 4 Sí. Se mide uno de los lados con el compás y sin cambiar

su apertura se pincha con el compás uno de los extremos de otro de los lados y se ve si es más corto o más largo. Así, se van comparando los tres lados. 5 Tienen que dibujar un triángulo escaleno obtusángulo y otro

isósceles rectángulo. 7 Trapezoides: común y romboide. Trapecios: común, rectángu-

lo e isósceles. Paralelogramos: cómun, rombo, rectángulo y cuadrado. 8 b) Isósceles rectángulo. 9 b) Sí. 13 a) Dos catetos coinciden con dos alturas.

b) Sí. 15 La altura divide a la base en dos segmentos iguales.

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1/7/09 4:23:59 PM

5 El 11 y el 23 no se pueden descomponer a partir de multipli-

Módulo

4 × 4 × 3; 6 × 8; 2 × 3 × 8; 2 × 2 × 2 × 2 × 3, entre otras. b) Los factores de cada descomposición son divisores de 48 y también el producto de dos o más factores de cada descomposición. c) Puede descomponerse de varias formas: 2 × 18; 4 × 9; 2 × 2 × 3 × 3; etc. Los divisores de 36 son: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 y 36.

10 a) 5/4 porque 5/4 > 1 y 7/9 < 1.

16 Tienen una altura de la misma medida.

b) 24/5 porque 4 = 20/5. c) 2/5 pues los “quintos” son mayores que los “séptimos” y de los dos tomamos 2.

17 a) 27 mm.

b) Se puede trazar más de uno. 18 • Sí.

• Es un rombo. Porque tiene cuatro lados iguales. • Dos vértices del rombo coinciden con los centros de los círculos y los otros dos están en los bordes del círculo. Como los lados del rombo miden 15 mm, entonces los radios de los dos círculos tienen esa medida. 19 Sí, porque esa altura está dentro del triángulo y es perpendi-

cular a la base. 22 Isósceles. Sí, los puntos a, b y c podrían ser tres vértices de

un rombo, porque los segmentos ab y bc son iguales. 24 Uno de los catetos del triángulo rectángulo debe medir 3 cm

y el otro debe tener una medida distinta. 26 No pueden ser tres vértices de un rombo, pero sí podrían

ser los de un romboide. triángulo isósceles y lo divide en dos partes iguales.

Módulo

12 15/5 = 3; para representar 3/4 se divide cada unidad en 4

partes iguales y se cuentan 3 a partir de 0; para 11/3, se divide cada unidad en 3 y se cuentan 11. 13 a) Gana Valen (en el 7.º paso Guille anota 1/128).

b) Sí, por ejemplo, 1/128; 1/65; 1/100; 2/251; 7/705… 14 El 0 se ubica a la izquierda de 1/4 y a la misma distancia

de él que 1/2; después se ubica el 1 a la derecha de 1/2 y a la misma distancia de él que 0. 15 a) Todas dan 1.

Repaso 1/4; 3/8 y 5/8, respectivamente. 1 El triángulo se divide en 4 sectores iguales y se rayan 3. Los

restantes, a cargo del alumno. 2 El rectángulo se divide en 7 partes iguales y la unidad se

construye con 4 de esas partes; el triángulo se divide en 2 partes iguales (por ejemplo, trazando una altura) y se construye la unidad con 3 partes como esas. 3 Había 36 caramelos. 4 9/4 L, o sea, 2 1/4 L. 5 Las intrusas son: 27/64; 2/3 y 9/12. 6 Sí, está bien. 7 Compró 30 facturas, es decir 5/2 de docenas. 8 a) Entre 0 y 1: 3/7; 13/17 y 271/402; iguales a 1: 9/9 y

231/231; mayores que 1: 8/5; 73/28 y 902/308. b) En a/b con a y b números naturales y b ≠ 0: si a < b, a/b está entre 0 y 1; si a = b, es igual a 1; y si a > b, es mayor que 1. 9 a) Entre 1 y 2; entre 0 y 1; entre 4 y 5.

b) Sí, porque de lo contrario no serían consecutivos.

16 a) Hay distintas opciones, por ejemplo: 3/2 = 1 + 1/2;

2/3 = 1 – 1/3 y 7/4 = 1 + 3/4. b) No, 3/2 = 2 – 1/2; 2/3 = 2 – 4/3 y 7/4 = 2 – 1/4. c) 3/2 = 1 1/2 y 7/4 = 1 3/4 ; 2/3 no se puede.

Nota: las fracciones aparecen escritas en un solo renglón, pero es importante que a los alumnos se las presentemos en la forma habitual. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

20/3 < 7 < 22/3 y 1/2 < 11/4 < 50/9. b) No, por ejemplo, 1/4 < 1 < 25/7; 1/3 < 7 < 70/4 y 11/5 < 11/4 < 11/2.

b) Hay distintas opciones, por ejemplo: 1/3 + 2/3.

27 Es el violeta, porque es perpendicular al lado rojo o base del

11 a) Hay varias opciones, por ejemplo: 1/2 < 1 < 3/2;

17 • Arrojó primero la piedra verde.

• No es cierto porque 3/2 es mayor que 1, y por lo tanto, supera la longitud del camino. • Hay más de una opción, por ejemplo, 4/5. 18 Hay distintas opciones, por ejemplo:

8/12 > 1/3

3/12 < 1/3

4/12 = 1/3.

19 a) Dividir el rectángulo en 3 partes iguales y construir la

unidad con 4 de esas partes. b) Dividir el rectángulo en 6 partes iguales y construir la unidad con 5 de esas partes. 20 Por ejemplo: 1 1/4 kg de pan = 5/4 kg de pan; 2 1/2 m de

soga = 5/2 m de soga; 2

L de agua = 9/4 L de agua.

21 a) 1/2 = 50/100; 3/4 = …/15 no se puede; 3 = 45/15;

12/15 = 4/5. b) No se puede porque 15 no es múltiplo de 4. 22 a) Sí, en ambos casos.

b) Hay distintas opciones, por ejemplo: 1/6 < 1/5 < 1/2 y 3/10 < 8/7 < 5/3. 23 15/7 está entre 2 y 3; 125/11 está entre 11 y 12. 24 Hay varias formas de hacerlo, por ejemplo:

a) 4 + 1/2 b) 1 – 9/10 c) 1 + 1/4 25 1/6 < 1/2 < 2/3 < 5/3 < 7/4. 26 Por ejemplo: 1/2; 8/15; 17/30. 27 Hay que rodear: 3 + 2/5; 17/5; 3 2/5 y 34/10.

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1/7/09 4:24:02 PM

Módulo

Repaso a) No, porque las cortan en 8 porciones iguales. b) 15/9 c) 1/4

d) 1/6

28/8 = 3 + 1/2

4 Lado: 3 1/3 cm; Perímetro: 40 cm. 5 b) A = 1/4; C = 1/8; D = 1/8; E = 1/16.

c) 3/8 de rojo y 3/16 de verde. d) Por ejemplo, A y E. Se obtienen 5/16. e) 7/8 se puede obtener, por ejemplo, sacándole al cuadrado la pieza B. 6 Se representa 1/2 en la recta numérica y se divide cada

unidad en 8 partes iguales. A partir de 1/2 se retrocede tres octavos y se llega a 1/8. 7 a) Iguales, ya que 38/24 = 19/12.

b) 11/10

29/20

b) Sí, porque 15/24 es equivalente a 5/8 y 8/24, a 1/3. 9 • 1/2 + 1/15 = 17/30

4/28 = 1/7 3/4 = 1/2 + 1/4 y 7/8 = 1/4 + 1/8. No, porque 45 no es múltiplo de 2. 2/3 = 4/6 = 1/2 + 1/6 3/5 = 6/10 = 1/2 + 1/10

se pueden juntar las piezas F, D y E: 7/16 = 1/4 + 1/8 + 1/16; para 3/4, todas excepto la A (1/4). 13 a) Se representa 2/5 en la recta numérica y se divide cada

unidad en 10 partes iguales. A partir de 2/5 se avanza tres décimos y se llega a 7/10. b) Se representa 9/4 en la recta numérica; luego solo se considera cada unidad dividida en dos partes iguales y a partir de 9/4 se retrocede tres medios; se llega a 3/4.

b) 4/3

c) 37/15

b) 0,111

5 a) Expresa los 9 décimos como 8 décimos más 10 centési-

mos. b) Sumó los 10 centésimos a los 5 centésimos; ahora tiene 15 centésimos. c) Sí. 6 Está bien la de Paula, porque restar 3,15 es lo mismo que

restar 3 y después restar 0,15 (y no sumarlos).

0,4

0,9

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,1

0,6

b) 4/10; 192/100; 804/1 000 c) 3,5 = 3 + 5/10 0,67 = 6/10 + 7/100 0,218 = 2/10 + 1/100 + 8/1 000 b) Azul: 3/4; naranja: 1/4.

12 Hay muchas formas de obtenerlas, por ejemplo, para 7/16

15 a) 25/28

4 a) 0,011

9 a) Pizza: 50; milanesa: 25; hamburguesa: 25.

11 Da un número natural solo el a), que da 2.

b) 1/30

2,65. b) 2,40 m

8 a) 1,2; 0,08; 4,186

10 Cuatro formas: 1 + 13/4; 2 + 9/4; 3 + 5/4; 4 + 1/4.

14 a) 47/20

3 a) Sí porque 1,52 + 0,52 + 0,52 = 2,56, que es menor que

7 Por ejemplo:

11/18

8 a) 15/24 + 8/24 = 23/24

• • • • •

b) $ 36,35

d) 7/12

10 a) 82 chicos.

b) Un tercio es 41, entonces dos tercios es 2 × 41. 11 Voleibol: 15

Handball: 21

Fútbol: 24

12 3/4 → 75%

1/4 → 25% 2/5 → 40%

3/2 → 150% 1/2 → 50%

7/10 → 70%

13 a) $ 150 – $ 45 = $ 105

$ 90 – $ 27 = $ 63 $ 120 – $ 36 = $ 84 b) Le descontaron $ 80, o sea, el 40% de 200. 14 a) 1/2 hora = 30 minutos; 1/4 hora = 15 minutos.

b) 2 horas y cuarto o sea, 135 minutos.

16 Hay que sumarle 169/72. 17 Hay que intercambiar el 3 y el 5. 18 Quedaron 1 y 1/4 kg de pan. 19 No está bien la a) (no se pueden sumar los numeradores

por un lado y los denominadores por otro).

15 Harina: 1 ¼ tazas; azúcar: 1/4 taza; manteca: 75 g. 16 a) En 1/2 hora, 1/4 de la taza, y en 1 hora, 1/2.

b) Tardará 2 h en llenar 1 taza y 4 h en llenar 2. 17 En la 1.a fila: 1/4 y 2; en la 2.a fila: $ 1,50 y $ 2,25.

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9/4 = 2 + 1/4

1 a) $ 12,75 y $ 23,60

2 70 centavos y 40 centavos. En total, $ 1,10.

2 Quedaron 3/2 L, o sea, 1 1/2 L. 3 a) 7/2 = 3 + 1/2

a) 0,50 pesos; 50 centavos y 0,5 pesos. b) 1 centavo es la centésima parte del peso (1/100) y 10 centavos, la décima parte (1/10).

b) 5/3

Repaso

A cargo del alumno: 3 b) y 5 a).

1 a) 3/2

Módulo

18 • Le alcanza a los dos porque Diego gastó $ 4,55

11 Un cuadrilátero no puede tener sus 4 ángulos interiores

y Mirta, $ 6,80. • Diego: $ 5,45; Mirta: $ 3,20. • Mirta: $ 3,15; Diego: $ 1,05. 19 3,8 + 0,4 = 3 + 8/10 + 4/10 = 3 + 12/10

= 3 + 10/10 + 2/10 = 3 + 1 + 2/10 = 4 + 2/10 = 4,2

b) 2,05

22 a) 0,999

b) 0,545

23 No; el 40% de 15 es 6 y el 50% de 12 también es 6. 24 a) Le faltan $ 23,40.

b) Le faltan $ 7,80.

25 Es lo mismo porque 1/5 representa el 20%.

13 1 260°

26 6 horas y cuarto, o sea, 375 minutos.

14 Tiene 12 lados. Porque 1 800 : 180 es igual a 10, que es

la cantidad de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales desde un vértice, por lo tanto, el polígono tiene (10 + 2) lados.

27 2,65 – 1,67 = 0,98 28 96 personas, o sea, el 80%. 29 Se puede hacer 1 + 1 + 1 + 1 y a eso restarle lo que le falta

a cada número para llegar a 1, o sea, 0,01; 0,02; 0,03 y 0,04, respectivamente; en total hay que restar 0,10. Entonces es 4 – 0,10 = 3,9.

Módulo

A cargo del alumno: 1 a), 16 a) y 17 b).

Repaso

12 • Es el cartelito con estas medidas: 62°, 40° y 78°.

• Los tres ángulos del triángulo quedan en forma consecutiva y puede verse que forman un llano. Además, se puede ver que el paralelogramo está formado por dos triángulos, por lo tanto, sus ángulos interiores suman 2 veces 180°. • Sí, está bien. • Hay que marcar uno de los ángulos llanos formado por los ángulos consecutivos: azul, verde y rojo.

20 No hay diferencia (15 centavos = 150 milésimos). 21 a) 5,64

agudos, porque la suma de las medidas de esos ángulos es menor que 360°. Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos, porque los tres ángulos interiores deben sumar 180°.

16 b) 124° 30’. Se obtiene con esta cuenta: 180° - 55° 30’. 17 a) 69° 18 No puede tener dos ángulos interiores obtusos, porque la

suma de sus amplitudes superan los 180°. 19 Cada uno de los ángulos agudos mide 39° 45’. 20 Por ejemplo, 99° y 100° 15’. 21 a) 144° 30’

En el transportador de la izquierda, el lado del ángulo no está alineado con la rayita del 0, y en el otro, el vértice no coincide con el centro del transportador. 1 b) 83°

b) Pueden obtener un paralelogramo común, un rombo o un trapecio isósceles. 22 No, porque la suma de sus amplitudes supera los 360°. 23 Es un octógono; la suma es 1 080° (6 × 180°).

2 El verde mide lo mismo que el azul, porque es su opuesto

por el vértice. El anaranjado y el fucsia miden 52° 15’ (180° – 127° 45’) porque son adyacentes al azul. 3 El adyacente: 101° 33’ 45’’. Y el complementario:

11° 33’ 45’’. 4 a) 95° 24’

15 127° 30’

b) 19° 56’ 30’’

5 75° 44’ 6 Las medidas a rodear son: 90°, 38° 27’ y 51° 33’.

24 Tiene razón Julieta, porque 180 no entra un número entero

de veces en 560. 25 Sí, es cierto, porque si uno es recto, los otros dos deben

sumar 90°, por lo tanto, son agudos. 26 97° 10’ 27 No, porque la suma de los ángulos interiores de un heptá-

gono es 900° y al sumar las amplitudes de los cartelitos se obtiene 914°.

7 Sí. Los tres ángulos suman 180°, entonces, si uno es recto,

los otros dos suman 90°.

Módulo

8 90° y 44° 21’. 9 a) Al trazar una diagonal cada cuadrilátero queda dividido en

dos triángulos. Como la suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180°, la del cuadrilátero es el doble, o sea, 360°. b) Pentágono: 540°. Heptágono: 900°. 10 1 620°

Repaso a) 1,2

120

b) 5,14

0,514

10 0,0514

1 a) 10 cuestan $ 0,70 y 100, $ 7.

b) 10 000 caramelos. c) Si se multiplica por 10, 100, 1 000, … las unidades se transforman en decenas, centenas, unidades de mil, … (equivale a correr la coma 1, 2, 3, … lugares a la dere-

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1/7/09 4:24:08 PM

cha); si se divide por 10, 100, 1 000, … las unidades pasan a ser décimos, centésimos, milésimos, … (y la coma se corre hacia la izquierda). 2 a) $ 16,80

b) $ 168 c) $ 1,68 d) Se completa con: 16,80; 168; 1,68; 8,40 y 4,20.

3 951 × 0,21 = 199,50 y 951 + 199,50 = 1 149,50.

b) 7,1276

3,92

102,9

1 1 125 chicos. 2 a) y b) A cargo del alumno.

c) 1/10, que es lo que quedó pintado dos veces. 3 1/10 = 1/5 × 1/2

5 En total pagó $ 11,65. 6 Hay varios, por ejemplo, para el 1.er globo, 2,5 × 2,4 = 6, y

para el 2.º, 2,6 × 0,5 = 1,3.

4 a) 1/4

b) 1/16

c) 1/16 = 1/4 × 1/4

5 a) 7/8 del sachet.

b) 7/2 representa 3 tazas y media, y 1/4, la capacidad de la taza en litros.

7 $ 3,75 8 a) 2,6

6,5 4,333… 3,25 2,1666… b) Hay que rodear con rojo la 1.a, la 2.a y la 4.a. c) No, porque los restos empiezan a repetirse.

9 Lengua: 7,66… → 8; Matemática: 5,66… → 6;

Cs. Sociales: 7,33… → 7; Cs. Naturales: 8,66… → 9. 10 1,45 kg

6 a) 1 1/8 L

b) 1/8 de la torta.

7 • 1/8 de página. Costaría $ 750.

• Sí, porque 1/2 × 1/3 = 1/6 y 1/6 de $ 6 000 es $ 1 000. • $ 500. Hay varias opciones: 1/3 × 1/4; 1/2 × 1/6; 1 × 1/12; 1/9 × 3/4; 2/3 × 1/8; 1/10 × 5/6; 1/7 × 7/12; … 8 2/3 × 2/5; 1/3 × 4/5.

11 0,145 L de agua y 21,4 g de tierra. 12 4,2 cm 13 a) $ 6,25

b) 110 bidones.

b) 2,5

1,2

7,2

14 $ 5,20

9 a) 18 3/4

b) 4

10 a) 7 1/8 h

b) Sirve; 9/4 es lo que dura la película y 7/2, las veces que la vio.

11 a) Comió 52 7/8 g.

15 12,5 L 16 a) En centésimos porque se trabaja con números naturales

más chicos. b) En milésimos porque si se expresaran en centésimos seguiría quedando un número con coma. c) 4,03 0,03 17 • Sí, el precio es $ 4 259,20.

• $ 193,60 • 16 cuotas.

b) 35 1/4 × 5 1/2 = 141/4 × 11/2 = 1 551/8 = 193 7/8

12 200 × 11/5 = 440 13 Sí, porque si reparte 2 budines en tres partes iguales tiene

2/3 para cada día y todavía le sobra medio budín. 14 1/2 × 3/5 y 3/5 : 2. 15 a) 1 1/6

b) 7/8

18 Sí, porque dividir por 2 es lo mismo que considerar la mitad

y 0,5 = 1/2. 19 a) 27 minutos.

20 Pudo haber sido 2,1 porque entre 2,1 y 3,4 hay dos decima-

les y no se anulan al multiplicarlos. ! 17 : 5 = 3,4 21 22 : 9 = 2,4 . Aprox. 2,44 ! 64 : 3 = 21, 3 . Aprox. 21,33 81 : 15 = 5,4 ! ! . Aprox. 6,91 82 : 6 = 13,6 . Aprox. 13,67 76 : 11 = 6,90

A cargo del alumno: 5 b), 10 a), 14 b) y 28 . Repaso 540°, 720° y 900°. 1 Sí, porque con un pliegue se puede modificar el cuadrado de

manera que la nueva figura conserve un par de lados paralelos y dos ángulos rectos.

22 $ 2,45 23 a) $ 15,45

Módulo

b) $ 6,21

b) 5

2 Un trapecio isósceles. Tiene un par de lados paralelos. Los

24 750 g = 0,75 kg, entonces hace 2,60 × 0,75. 25 134,1 g

lados no parelelos son iguales. Tiene dos pares de ángulos iguales. 3 a) 180°

26 6,5 km

b) 50° y 130°.

c) iguales/180°.

4 Sí. Porque pueden diferir en las amplitudes de sus ángulos

27 Todas menos la segunda.

interiores.

BookGuiaDoc.A6M.indb 12

1/7/09 4:24:11 PM

Repaso a) 10 soldaditos.

4 a) 4

Módulo

5 a) Los ángulos opuestos del paralelogramo deben ser igua-

les. Los ángulos agudos del trapecio isósceles deben ser iguales. 6 Figura de la izquierda: 115° y 65°. Figura de la derecha: 30°

y 150°. 7 No, porque el rombo es un paralelogramo y sus ángulos

opuestos son iguales. No, porque en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los 4 suman 360°, por lo tanto, si dos fueran rectos, los otros dos también serían rectos.

24 No. Porque los segmentos no se cortan en su punto medio. 25 Porque una de ellas tiene que cortar a la otra en el punto

medio. 26 140° 27 5 lados. 29 a) 8 triángulos. 10 lados.

b) 144°

30 12 lados.

Módulo

Sí

No Sí No Sí No No Sí

Sí

9 Siempre se cortan en el punto medio. 10 b) Sí, será idéntica a la de Pedro. 11 Diagonales perpendiculares para las dos figuras; en el

rombo que se corten en el punto medio de ambas y para el romboide que solo una corte a la otra en el punto medio. 12 La suma es 720°, se divide por 6 y se obtiene la amplitud

de cada ángulo: 120°. Pueden ir trazando un segmento de 2 cm y un ángulo de 120°, y volver a hacerlo hasta que queden marcados los 6 vértices. 13 a) Es el hexágono. Al dividir 360° por 6 se obtiene 60°.

b) 72° y 36°.

14 a) 45° 15 Se hace 360: 36 y se obtiene 10; por lo tanto, el polígono

tiene 10 ángulos centrales, o sea, 10 lados. 16 360° 17 Con el pentágono regular no se puede cubrir la superficie,

porque su ángulo interior es de 108° y 108 no entra un número entero de veces en 360. Sí, se puede cubrir la superficie con las restantes figuras. 18 • A Poli le sirven los mosaicos con forma de triángulo equi-

látero o con forma de paralelogramo. El explorador pudo haber usado los que tienen forma de pentágono. • Los ángulos interiores de cada figura. • Usó triángulos equiláteros. 19 El eneágono. Como 9 ángulos de 40° suman 360°, el polígo-

no regular tiene 9 lados. 20 Que tenga ángulos rectos o que tenga las dos diagonales

iguales. 21 39°, 141° y 141°.

c) 36°

A cargo del alumno: 1 c) y 2 c). Repaso • 80 cuadras en 2 horas, 20 en ½ h y 60 en 1½ h. • 30 cuadras. 1 a) 20 kg → $ 160; 2½ kg → $ 20; 10 kg → $ 80.

b) 4 kg cuestan $ 32. 2 a) 3 kg → $ 21; 1½ kg → $ 10,50; 7½ kg → $ 52,50.

b) 4½ kg cuestan $ 31,50. 3 a) En “El gran mandarín”.

b) Sí, por ejemplo, 4 kg cuestan $ 32 en 1 , y 4½ kg cuestan $ 31,50 en 2 (más cantidad a menos precio). 4 En la verdulería “Pérez Gil”. 5 a) Para la primera tabla:

1/2 kg → 2 pizzas; 4 kg → 16; 1/4 kg → 1. Para la segunda tabla: 1/4 L → 1/2 kg; 4 L → 8 kg; 3/8 L → 3/4 kg. b) 4 en la primera y 2 en la segunda. 6 a) $ 4,50

b) 7 viajes; sobran $ 0,70. c) Para 22 viajes.

7 La tabla b) porque el precio es directamente proporcional a

la cantidad de caramelos. 8 a) $ 24

b) $ 48 c) Consumo: 400 kwh → $ 16. Total $ 37,75.

9 El perímetro es proporcional a la longitud de los lados, pero

el área no (si se duplica la longitud de cada lado se necesitan el cuádruplo de los cuadraditos para cubrirlo). 10 a) 500 novelas.

b) 74 500 kB

c) 72,75 MB. Sí le alcanza. 11 a) El tren de Tyncho es más veloz porque recorre más distan-

cia en igual tiempo. b) Sí, porque recorre en el mismo tiempo la mitad de distancia que el de Tyncho.

22 63°, 117° y 117°.

12 A 45 km/h tardaría 24 minutos y a 135 km/h, 8 minutos.

23 a) Azul: trapecio isósceles. Blanco: rombo.

13 a) Se completa con 4; 12; 24 y 16 (en ese orden).

b) En el azul: 65°, 115° y 115°. En el blanco: 115°, 65°, 115° y 65°.

b) Hay 240 alfajores. Se calcula multiplicando los valores de una columna, por ejemplo, 30 × 8.

BookGuiaDoc.A6M.indb 13

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cia que el viejo en el mismo tiempo. • Tardará 4 minutos y medio. • Corre a 288 metros por minuto. • No, porque el auto de Brasita puede recorrer una distancia menor en el mismo tiempo. 16 La primera es de proporcionalidad inversa, la segunda no

es de proporcionalidad y la tercera es de proporcionalidad directa. 17 El más económico es “El ternero alegre”. 18 El dulce de membrillo es más calórico porque 150 g tienen

450 calorías. 19 2 máquinas tardarán 45 minutos y 5 máquinas, 18 minutos. 20 Necesita 8 porta-CD de 105, 6 porta-CD de 140 y 5 porta-CD

de 168. 21 a) La primera tabla se completa con 4 horas y con 40 km/h.

Para la segunda tabla, 8 horas y 75 km. b) La primera tabla es de proporcionalidad inversa, porque al aumentar la velocidad se tarda menos, proporcionalmente. 22 En la primera tabla la constante representa el precio de

1 kg de manzanas y se completa con 15; 9; 45 y 3, en ese orden. En la segunda tabla la constante representa la cantidad total de alumnos y se completa con 6; 10; 2 y 30, en ese orden.

Módulo A cargo del alumno: 3 c) y gráficos de 12 y 16 c). 1 a) En 1 minuto hace 20 copias.

b) 5 minutos.

c) El punto une 4 minutos con 80 copias. 2 a) La tabla se completa con 120; 180; 240; 360 y 540, en

ese orden. b) Porque, por ejemplo, al duplicar los litros de nafta, se duplica la cantidad de kilómetros que pueden recorrerse. c) El punto une 25 litros con 300 km. d) El punto une 40 litros con 480 km. 3 a) La tabla se completa con 1¼; 1½ y 2, en ese orden.

b) Hay que marcar los puntos (2; ½), (5; 1¼), (6; 1½) y (8; 2). b) Sí, porque si un artículo cuesta, por ejemplo, la mitad que otro, el descuento también será de la mitad. b) 57,6

c) 4,8

9 La tabla se completa en la primera fila con 40%, y en la

segunda, con 90º, 72º, 54º y 144º, en ese orden. 10 a) 3 600 habitantes.

b) El 22,22% son niños, el 27,78% son adolescentes, el 40% son adultos y el 10% restante, adultos mayores. 11 • Gastó $ 127,50 en comida para gatos, $ 172,50 en

herramientas y $ 190 en camisones. Total: $ 490. • Sí, porque al aplicar 2 veces el descuento del 50% se obtiene el valor de un camisón. 12 Total encuestados: 1 300 adolescentes.

Bailar: 45% → 162º. Cine: 20% → 72º. Recitales: 35% → 126º. 13 a)

Tiempo (h) Alfajores envasados b) 5 horas. 14 a) 57,6

300

600

900

1 200

c) Sí. b) 62,37

c) 150,42

d) 546,24

15 La columna de descuentos se completa con 16,80; 216 y

96; la del precio “ahora”, con 123,20; 1 584 y 704. 16 a) Documentales: 75 chicos; ficción: 200.

b) Los de entretenimiento, porque a los dibujos animados solo los prefiere el 20%. c) Ficción: 144º; entretenimiento: 90º; documentales: 54º; dibujos animados: 72º. 17 El gráfico 1 porque la unión de los puntos determina una

semirrecta con origen en 0. 18 a) 100% ⎯→ 360º b) 75% ⎯→ 270º c) 12,5% ⎯→ 45º

Módulo

Repaso • A cargo del alumno. • Para ponernos de acuerdo y tener todos la misma medida. 1 Sacapuntas → largo: 3 cm; ancho: 20 mm; alto: 10 mm.

Bicicleta → 70 cm y 1,5 m.

4 a) Se completa con: 5; 2,5 y 20, en ese orden.

5 a) 96

8 A favor: 39; en contra: 21; no votaron: 12; ausentes: 3.

d) 480

6 Se completa con 50; 25; 5 y 20, en ese orden. 7 La constante entre el número y el porcentaje es 0,625; para

obtener el porcentaje y completar la tabla hay que multipli-

2 a) La segunda fila se completa con 25; 100; 250 y 1 000

(en m); la tercera, con: 0,025; 0,1; 0,25 y 1 (en km). b) Hay que multiplicar los metros por 0,001. c) 120 largos. 3 a) Para expresar 3 cm en m se divide por 100, y 7,5 mm en

m, se divide por 1 000. b) 1 dam = 100 dm.

BookGuiaDoc.A6M.indb 14

1/7/09 4:24:17 PM

b) 900 ml es la cantidad de perfume a envasar. 15 • Tardará menos porque el nuevo auto recorre más distan-

car cada número por 0,625. También podría emplearse la constante entre el porcentaje y el número, que es 1,6; en ese caso el porcentaje se obtiene dividiendo cada número por 1,6. De cualquier manera se obtiene que 20 es el 12,5% de 160.

14 a) Se completa con 90; 30; 15 y 9 (en ese orden).

4 a) Los otros lados medirán: 6 cm y 3 cm.

4 El único que no entra es el lápiz.

b) No cambia la amplitud de los ángulos.

5 78 445 km 6 a) 45 L

5 a) Dormitorio: 3,9 m × 3,6 m. Living-comedor: 6,9 m × 2,1 m.

b) 1 hl = 100 L = 10 dal

6 • Recorrerá 350 km.

• La escala del mapa es 1 : 12 500 000; si el tamaño fuera de la mitad, la escala sería 1 : 25 000 000, y si fuera el doble de tamaño, 1 : 6 250 000.

c) 1 kl = 1 000 L = 100 dal = 10 hl 7 Morena, porque 0,3 L = 30 cl. 8 Tabla: 4 dl en L → 4 : 10 → 4 dl = 0,4 L.

4 dl en hl → 4 : 1 000 → 4 dl = 0,004 hl. 15 kl en L → 15 × 1 000 → 15 kl = 15 000 L. 15 kl en cl → 15 × 100 000 → 15 kl = 1 500 000 cl. Machete: …multiplicar o dividir por 10, 100, 1 000, etcétera. 9 a) 1 ½ L

b) Con 12 vasos.

7 Distancia real: 705 km. Escala 1 : 15 000 000. 8 El árbol mide 7 m. 9 a) 0,82 km

b) Menos de 1 km.

c) A 1 cm.

11 La altura real es de 300 m.

10 50 000 mg; 4 000 g; 45 hg; 48 000 dg; 4,999 kg.

12 El plano tendrá 1,4 cm de largo × 0,75 cm de ancho.

11 a) 1 000 kg; 845 kg; 100 kg.

13 La medida es de 34,5 cm.

b) 3 055 kg

12 1. globo: No; pesan lo mismo; 2.º globo: Sí; 95 L × 2 = er

190 L = 19 000 cl; 3.er globo: Sí; 0,045 hl = 4,5 L y con eso recorre 75 km = 75 000 m. 13 • Uno mide 11 100 m y el otro, 1 999,9 m (casi 2 000 m). • Menor (1 dam = 10 m). • Caperucita recorrió 1 999,9 m, es decir, casi 2 000 m, y dio unos 4 000 pasos. • Está muy cerca, a solo 1 m. 14 a) 99,5 dag; 2 367,9 dg; 7,5 hg.

b) 99,52 dag se aproxima a 1 kg; 2 367,87 dg a 1/4 kg y 7,467 hg a 3/4 kg.

Repaso a) 64 cm b) Un ejemplo posible es alinear todos los cuadrados y formar un rectángulo cuyo perímetro es 48 cm. 1 Cuadrado: 8 cm; triángulo: 7,5 cm; paralelogramo: 14 cm y

rectángulo: 15 cm. triángulo equilátero: 2,5 cm × 3; paralelogramo: (4 cm + 3 cm) × 2.

16 Miraflores, Aromos, Naranjos y Lilas. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

2 Cuadrado: 2 cm × 4;

15 5 metros. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Módulo

17 2 400 dg; 20 000 cg; 2,00006 hg y 0,104 dag.

3 a) A cargo del alumno.

b) Sí, cercano a 3. La longitud de la circunferencia es igual a π × diámetro, o también a 2 × π × radio.

18 2 hl cuestan $ 400, 5 dl cuestan $ 1 y 600 cl, $ 12. 19 2,8 L 20 3 latas. 21 9 latas de 0,005 hl, o 5 latas de 10 dl (y le sobra media), o

4 a) 31,4 m

b) 34,54 m

5 a) 5 cm

b) 25 cm2

1 lata de 5 L (y le sobra medio litro).

6 Efectivamente, L2 = 25 cm2.

22 408 minutos (6 horas con 48 minutos).

7 a) 15 veces, o sea, 15 cm2.

b) Con la multiplicación de 3 cm × 5 cm. c) L1 × L2, o bien, base × altura.

23 73 000 m

8 a) 10 ha

Módulo

A cargo del alumno: 5 b), 6 primer inciso (correspondiente al “Animate a explorar” de pág. 109) y construcciones de 4 a), 10 y 14 . 1 Mide 1,20 cm. 2 a) 9 m de largo × 6 m de ancho.

b) 3,60 m de largo × 3 m de ancho, cada dormitorio. 3 a) Escala 1 : 1 500.

b) Ancho: 4 cm.

b) 2 000 000 m2 c) 420 000 000 m2 = 420 ha 9 a) Sí.

b) Porque puede transformarlo en un rectángulo de igual base e igual altura que el paralelogramo original. 10 32 cm2 11 Los catetos de cada triángulo rectángulo miden la mitad de

una diagonal. Por lo tanto, el área del rombo será cuatro veces la de cada triángulo; simplificando, el área es la mitad del producto de las diagonales.

BookGuiaDoc.A6M.indb 15

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Módulo

12 a) El dibujo muestra que el área del rectángulo de lados

iguales a las diagonales mayor y menor, es el doble del área del rombo. b) 16 cm2 13 a) Se forma un paralelogramo, habría que conocer un lado

del triángulo y su altura correspondiente. b) Sí. 14 Área de cada triángulo: 30 cm2.

Área del pentágono = 5 × Área del triángulo. 15 Base × 5 por perímetro del pentágono y altura del triángulo

por apotema del polígono. 16 Al trazar las diagonales del cuadrado de lado L queda dividi-

do en 4 triángulos iguales. El área de cada uno es (L × L/2)/2; el área total es cuatro veces la fórmula anterior; la altura del triángulo es la apotema del cuadrado: 4 × (L × L/2)/2 = (4 × L × apotema)/2 = (perímetro × apotema)/2. 17 Es importante que los alumnos se den cuenta de que cual-

quiera sea la figura que armen, si siempre usan todas las piezas, el área será la misma, pero no así el perímetro. 18 a) El rectángulo, porque la otra figura se obtiene de borrarle

partes de su superficie. b) La figura de la derecha, que reemplazó cada lado menor del rectángulo por otros dos lados iguales. 19 • Hay figuras de distinta forma que tienen igual perímetro;

el cuadrado mediría 6,5 fósforos de lado. • Sí, basta con tomar un cuadrado de 6 fósforos de lado.

A cargo del alumno: 1 a), 3 a), 6 a) y c), 8 c). Repaso 1. Cono. 2. Cubo. 3. Poliedro. 4. Pirámide. 5. Prisma. 6. Redondos. 7. Esfera. 1 b) Preguntas: ¿Tiene un vértice? ¿Tiene una sola base?

Respuestas: No/Sí. 2 No es verdad, un prisma puede tener bases triangulares. No

es verdad, la base de una pirámide pueden tener la forma de cualquier polígono. 3 b) El cuerpo puede tener bases de 3 cm de arista y aristas

laterales de 6 cm o viceversa. 4 Hay que rodear el II y el III. 5 Pirámide de base triangular. 6 b) Los segmentos son paralelos y de la misma longitud. 7 • Para armar el bonete pudo haber recortado un triángulo.

• La longitud del borde del círculo debe coincidir con la longitud de uno de los lados del rectángulo que se enrolló para armar la cara curva del cilindro. • Unos 12 cm. • Altura: 20 cm. Longitud del borde: 42 cm. 8 a) Es un prisma con 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. b) No. 9 a) Pirámide.

b) Pirámide.

c) Prisma.

gono: 12 cm; hexágono regular: 15 cm; triángulos: rectángulo 12 cm; isósceles 5 cm y equilátero 6 cm.

triangulares. Los ocho rectángulos sí pueden ser las caras laterales de un prisma. 11 Triangulares. Tres caras laterales. 12 a) 12 vértices.

b) 400 cm2

21 Rectángulo y cuadrado: 8 cm; paralelogramo, rombo y pentá-

b) 10 vértices.

c) Lo multiplico por 2.

13 a) La cantidad de caras es igual al número de lados de la

23 3,9 m 24 560 m 25 a) El rectángulo tiene mayor área que la figura formada por

él menos una parte de él. b) Ambas figuras tienen igual perímetro. 26 a) 11,3 cm

b) 8,5 cm

c) 6,8 cm

27 a) 95,4 cm2

b) La mitad; 47,7 cm2.

base más 1. b) La cantidad de caras es igual al número de lados de la base más 2. 14 Sí, es cierto. Habría que unir dos caras cuadradas. 15 Triángulos. Cualquier polígono. 16 Hay que marcar el borde de cada círculo y los lados de ma-

yor longitud del rectángulo.

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10 No pudo armar una pirámide, porque tiene caras laterales

20 4,7 cm

22 a) 80 cm

E A T M

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

A I C Á M T

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deporte

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Sección I

M A T I MU N D O No te olvides la clave… Para utilizar un cajero automático hay que colocar una tarjeta y tipiar una clave de 4 dígi tos. Eso da 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 posi bles claves para esa tarjeta, y así es extremada mente difícil que alguien “acierte” la clave en los tres intentos que permite el cajero. Para acceder a Internet la cantidad de cla ves es mayor, porque también se pueden usar letras. Muchas entidades exigen a los usuarios una clave alfanumérica, o sea con letras y números. Existe así la posibilidad de armar más de 1 200 000 claves con solo cuatro caracteres.

¡Un número muuuuuuuuuuuy grande!

Los colores en Internet Las páginas web que vemos en Internet están repletas de colores. Cada uno de ellos se identifica con un número hexadecimal, o sea un número escrito en base 16. En esa base los dígitos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Traducido a número decimal, al color rojo le correspon de: FF0000 = F × 165 + F × 164 = 15 × 165 + 15 × 164 = 16 711 680

Color

Hexadecimal Nombre

FFFFFF

blanco

000000

negro

0000FF

azul

008000

verde

808080

gris

FF0000

rojo

FFFF00

amarillo

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Alrededor del año 1940 dos matemáticos presentaron un número enorme: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Por ser un 1 seguido de cien ceros, podemos escribirlo así: 10100. En español podría leerse diez mil decisextillones, pero el hijo más pequeño de uno de los matemáticos lo llamó googol y así se lo conoce.

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1/7/09 4:24:25 PM

¿Sabías que... ...el sistema de numeración más utilizado es el decimal? Quizá se deba a que desde la Antigüedad se usaron los diez dedos de las manos para contar y operar con números. ...en algunas culturas el número 5 se simboliza con una mano? Eso llevó a sugerir que la representación del 5 en números roma nos se debe a la V que puede formarse entre el pulgar y el resto de los dedos. ...algunas tribus cuentan usando diferentes partes del cuerpo? En general usan los dedos de las manos y de los pies, pero otras van des de el dedo meñique de una mano hasta el meñique de la otra, pasando por las muñecas, los codos, los hombros y el pecho.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

El idioma de los números

La palabra ochenta viene del latín octoginta, que significa ocho veces diez.

En francés, 80 se dice quatre–vingts, que significa cuatro veces veinte.

Y noventa (del latín nonaginta) significa nueve veces diez.

En francés, los nombres de algunos números provienen de un antiguo sistema vigesimal (base 20):

En español nombramos las decenas como si fueran productos de 10: 80 = 8 × 10

Y 90 se dice quatre–vingt–dix, es decir, cuatro veces veinte más diez.

90 = 9 × 10

80 = 4 × 20

90 = 4 × 20 + 10

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1/7/09 4:24:28 PM

MA T I J U EG OS

Acertijo

Clave de cumpleaños

familiar

Tengo que elegir una clave de 4 dígitos. Si uso mi fecha de cumpleaños, que se escribe con cuatro dígitos distintos..., pero cambio de lugar el día con el mes..., queda un número formado por 4 dígitos consecutivos, ordenados de menor a mayor.

¿Quién es la nieta de tu bisabuela que no es tu tía?

¿Cuándo cumple años esa persona?

Dominó potenciado Juego para dos •

Se usan las 21 fichas del juego del dominó que no contienen casillas en blanco. Cada ficha representa una potencia; por ejemplo, puede representar 25 o 52.

aparta una (esta no juega) y se reparten las demás. Cada jugador mira las fichas que recibió. Se sortea quién comienza. Ese jugador da vuelta una de sus fichas y dice qué número hace de base y cuál de exponente. El otro jugador hace lo propio, tratando de lograr un resultado mayor. Por ejem plo, 33 le gana a 52, pero pierde frente a 25. El jugador que gana obtiene 2 puntos y el derecho a comenzar la mano siguiente. Si hay empate (por ejemplo: 26 con 43) le corresponde 1 punto a cada uno y recomienza el mismo jugador. Gana el que haya acumulado más puntos cuando no haya más fichas por jugar. Pueden ayudarse con una calculadora.

• • • •

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

• Se ponen las fichas boca abajo y se las mezcla. Sin mirarlas, se

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1/7/09 4:24:29 PM

¿Cuál sigue? ¿Cómo es la séptima bandera que continúa la secuencia?

Tres por todos lados

Capicúa potencial

A treinta millones trescientos tres mil treinta sumale tres millones treinta mil trescientos tres. ¿Qué te da?

Pensé dos números naturales distintos de un solo dígito. Si pongo uno como base y el otro como exponente, obtengo el mismo resultado que si los inter cambio. ¿Qué números pensé?

Dolor de cabeza...

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Entrenamiento olímpico ¿De dónde son?

¿Cómo hacen para contar?

Somos marcianos. Tenemos 6 dedos en cada mano.

Nuestro sistema de numeración es de base 12. Usamos los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A y B.

¿Cuántos vinieron en la nave?

¡BABA! 21

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¡Ayudame a descifrar cuántos son!

1/7/09 4:24:31 PM

Sección II

M A T I MU ND O ¿Por qué decimos “número primo”? ¿Por qué no “número tío”? Porque la palabra “primo” también signifi ca “primero”. Y en ese sentido decimos “números primos”, para remarcar que son los números primeros o principales a partir de los cuales obtenemos los demás. Tené pre sente que, salvo el 0 y el 1, cualquier núme ro natural es primo o es un producto de números primos.

53 59 41 47 43 31 37 73

El truco del cumpleaños Decile a una persona que vas a adivinar su fecha de cumpleaños.

El ¿temible? número 13 La gente supersticiosa le teme a varias cosas: pasar por debajo de una escalera, volcar la sal, un gato negro que se cruza. Y, en tren de cosas insólitas, le teme al número 13. Aunque parezca mentira, hay edificios donde no existe el departamento o la oficina 13 (aunque sí la 12 o la 14) e incluso se llegó al extremo de que no exista el piso 13. Al parecer ese rechazo se remonta a la tradición bíblica de la Última Cena, en la que el comensal número 13 fue Judas.

• Pedile que piense en su fecha de cumpleaños, que multiplique el día por 13 y que le sume el mes. Por ejemplo, si cumple el 18 de mayo (18/5) tiene que hacer: 13 × 18 + 5 • Que te diga el resultado (en este caso, 239). • Ahora tomá una calculadora que opere con fracciones y escribí el resultado que te dijo como numerador y 13 como denominador: 13. Después, pulsá la tecla . 239 Va a aparecer un número mixto. • Los dos primeros valores del número mixto te dan la fecha de su cumpleaños:

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1/7/09 4:24:33 PM

Los primos de Mersenne No, no se trata de los parientes de ese señor… Marin Mersenne (1588-1648) fue un monje francés que estu dió una fórmula capaz de generar números primos: se trata de elevar el 2 a un número primo y al resultado restarle 1. Por ejemplo, 23 – 1 = 7 es primo. Por provenir de esa fórmu la, se dice que es un primo de Mersenne. Pero no siempre funciona; por ejemplo, 211 – 1 = 2 047 no es primo porque 2 047 = 23 × 89. En el presente está en marcha un proyecto, que enlaza por Internet miles de computadoras en todo el mundo, para seguir descubriendo primos de Mersenne. En mayo de 2004 se descu brió el que ocupa el lugar 41 de esa lista: es el número 224 036 583 – 1, que tiene más de 7 200 000 dígitos. ¡Harían fal ta unos 18 libros de unas 200 páginas para poder escribirlo!

Los compuestos de Sophie Sophie Germain fue una gran matemática francesa que vivió a principios del siglo xix, cuando no estaba bien visto que una mujer se dedicara a algo que no fuese el hogar. Eso la obligó a hacerse pasar por hombre cuando se carteaba con otros grandes matemáticos de la época (firmaba sus cartas con el seudónimo de Antoine Le Blanc). Así como Mersenne estudió una fórmula que podría generar números primos, Sophie descubrió otra que siempre crea números compuestos: a cualquier número natural mayor que 1 lo elevás a la cuarta y al resultado le sumás 4. Ya sabemos que todos los números pares mayores que 2 son compuestos, pero la fórmula de Sophie también muestra impares que lo son. Por ejemplo, 34 + 4 = 85 es un número impar compuesto.

Calculadoras que no calculan Para escribir un trillón en una calculadora podés pensar que es 1 × 1018. A esta forma de escribirlo se la llama notación científica, y es útil, entre otras cosas, para ingresar en la cal culadora números que no entran en la pantalla. Para eso tenés que teclear , y te lo va a mostrar así: . Si le sumás 1 000 000, ya sabés que el resultado es 1 000 000 000 001 000 000, pero como no entra en la pantalla, la calculadora redondea el resultado y vuelve a mostrarte . O sea, ¡lo que estás viendo tiene un error de un millón de unidades! 23

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1/7/09 4:24:36 PM

MA T I J U EG OS

El misterioso caso de las cerezas asesinas El inspector Alex está investigando una misteriosa muerte ocurrida en una fiesta. El forense, Dr. José Rucho, atribuyó el deceso a la ingestión de unas cerezas que causaron una inesperada alergia mortal. —Por el tipo de alergia, tiene que haber comido media docena de cerezas, como mínimo —afirmó el forense. El inspector interroga al mayordomo: —¿Quién repartió las cerezas en la fiesta? —Yo mismo —dice el mayordomo—, repartí seis docenas de cerezas, en forma pareja, y sobraron dos. —¿A cuántos invitados les repartió las cerezas? —Hmm... no recuerdo bien... en ese momento serían entre doce y quince... —¿Está seguro de que no eran menos... digamos, diez u once? —Absolutamente. Había doce invitados o más. —¡Sargento, arreste a este hombre por falso testimonio! ¿Cómo supo el inspector Alex que el mayordomo mentía?

Cuando hay reparto quedo al final. Hasta mi nombre dice que sobro. Pero en cuestiones de divisores, contesto rápido y no te cobro.

Esta imagen puede ser solo un mosaico, pero también puede representar otras cosas: un patrón geométrico, un mensaje en clave, una división... Para Lucas representa una división. Él asoció los 4 números de una división entera (D, d, c y r) al cuadrado grande y a los cuadra ditos que lo componen. Descubrí cuáles son esos números.

Adivinanza matemática

Pensamiento lateral

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1/7/09 4:24:38 PM

Sopa de primos

X L O T E M I F Z J K Z S Z U C L L V A N V H V P N E X

En esta sopa de letras están ocultos los nombres de todos los números primos menores que 30.

B T D I E C I S I E T E R T

Pueden estar escritos en forma hori zontal, vertical o en diagonal, del dere cho o del revés. ¡A ver si los encontrás!

O N X Z I H G H U F N V T Y

F N Q R U G F I P R V P T L N A I E N X N C K E S Y I V K X E P T O S N H O C L N Q Y Y A Y N C I O A U M U I Z P H U W I C I S D S S E E I E C N O E D L N E G T W V J P S C I V G O R C E G O Y L U M D O O S T X I O W E R Y I

I T I L E W S K F H L Z W

P G V T R E C E W B N F I C

Un antiguo acertijo

¿Cómo se pueden ubicar 24 chicos en 6 filas, de manera que haya 5 chicos en cada fila? Pista: un chico puede formar parte de más de una fila.

Entrenamiento olímpico

? ??

Un beduino que tiene menos de un centenar de camellos decide repartirlos entre sus cinco hijos. Si los distribuye en partes iguales, le sobran tres camellos; pero no le sobra ninguno si a cada hijo le da el doble de lo que le dio al anterior. ¿Cuántos camellos tiene el beduino?

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1/7/09 4:24:39 PM

M A T I M U ND O Sección III

Tangram El tangram es un rompecabezas de sie te piezas de origen chino. Se desconoce quién lo creó, aunque hay varias leyen das, como la del azulejo roto en siete partes. Aunque según otras leyendas tiene más de 2 000 años, probablemente tenga solo 200 o 300 años de antigüedad. Con el tangram se pueden hacer miles de figuras. Según los chinos, la forma correcta de construirlas consiste en usar las siete piezas sin superponerlas. Estas son algunas:

Un emperador de la China encargó una fina pieza de azulejo de forma cuadrada a un artesano llamado Tang. Cuando se la fue a entregar, se le cayó al suelo y se rompió en siete pedazos. Al tratar de armar nuevamente el azulejo, vio que con sus trozos se podían armar figuras de objetos, de ani males y de personas. Así se dice que nació el tangram.

Construí tu propio tangram

Armar tu propio tangram es muy fácil. Podés hacerlo sobre una cartulina de color o, mejor aún, sobre un cartón grueso, para que las piezas tengan un poco de espesor y no se superpongan. Seguí los pasos que se indican:

Dibujá un cuadrado de 8 cm de lado. Usá una regla para marcar en cada lado los puntos correspondientes a 2, 4 y 6 cm.

Con los puntos que marcaste, trazá las líneas de guía que se indican en la figura.

Ahora trazá las líneas que están en color rojo. Cortá el cuadra do por esas líneas y ¡listo!

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1/7/09 4:24:47 PM

Espejito, espejito, ¿dónde está la vela? A simple vista, ¿serías capaz de ver la llama de una vela que estu viera a una distancia de 3 cuadras (300 m)? En 1976, en la región del Cáucaso, se puso en funcionamiento un telescopio que cuenta con un espejo principal de 6 m de diámetro, el más grande del mundo. Imaginate que el diámetro de ese espejo es tan grande como el de una calesita… Con ese telescopio podrías ver la llama de una vela ubicada a 24 000 km, es decir, a... ¡240 000 cuadras! Observatorio.

Tan presente y tan lejano

El Sol está a unos 150 000 000 km de nosotros. Si se pudie ra ir en auto, digamos a unos 150 km/h (bien rápido para un auto), se tardaría más de un siglo en llegar. Pero la luz viaja muchísimo más rápido: a 1 080 000 000 km/h. Así y todo, el Sol está tan lejos que su luz demora unos 8 minutos en llegar a nosotros. Así que cuan do mirás el Sol no ves cómo es en ese momento, sino cómo era 8 minutos antes.

¿Por qué 60? Cuando medimos en horas, minutos y segundos agrupamos de a 60 unidades, pero… ¿por qué 60? Heredamos esa costumbre de un antiquísimo pueblo –los sume rios– que vivieron en la misma época que los antiguos egipcios. Los sumerios agrupaban de a 10 unidades (como nosotros), pero también de a 60, y por eso tenían un símbolo para representar cada uno de los siguientes números:

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1/7/09 4:24:50 PM

¿Ya armaste tu tangram con las instrucciones de la página 26? Si aún no lo hiciste, éste es un buen momento, porque vas a usarlo como un ver dadero artista. Recordá que, según los chinos, la forma correcta de construir figuras con el tangram es usando todas las piezas sin superponerlas. Todas estas figuras están hechas de ese modo. ¿Podrás hacerlas con tu juego, sin mirar las soluciones?

p ida i e d z r a e p a L

Estas dos figuras parecen iguales, pero una tiene pies y la otra no. Sin embargo, cada una de ellas se formó con las siete piezas del tangram. ¿Cómo se hicieron las dos figuras?

MU T I J U E G O S

Con siete piezas, ni una más ni una menos

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1/7/09 4:24:51 PM

La oración escondida

En el párrafo siguiente se esconde una oración que indica la equivalencia entre dos unidades de capacidad. Ya te marcamos cómo comienza; no le prestes atención a la acentuación ni a la separación en sílabas y descubrí cómo sigue. UN SEÑOR VIENE DESDE CALI TROTANDO POR LA RUTA. ES UN DEPORTISTA Y LE DECIMOS PALABRAS ALENTADORAS. DE NOMBRE HÉCTOR, LO LLAMAMOS "LA LIEBRE TROTAMUNDOS".

En un mercado persa

o j e i v o j i t r e c a Un viejo...

El astuto Boabdil fue al mercado a comprar media botella de aceite. El mercader le ofreció una bote lla irregular y le aseguró que el

¿Qué pesa más: un kilo de plomo ? s a m lu p e d o il k n ou

aceite que contenía ocupaba la mitad de la capacidad del envase. ¿Cómo hizo Boab dil para comprobarlo sin

destapar la botella?

Entrenamiento olímpico Observá la secuencia y deducí cuántos vasos vacíos pesa la jarra vacía.

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1/7/09 4:24:52 PM

M A T I M U ND O Sección IV

Consultando el diccionario ¿De dónde proviene la palabra “fracción”? Del latín fractio, que a su vez deriva de frangere que significa romper, partir, quebrar. Hay muchas palabras que tie nen el mismo origen. Al vino se lo fracciona para venderlo en damajua nas o botellas de distinta capacidad; si nos caemos y nos rompemos un hueso, entonces sufrimos una frac tura; una infracción significa quebrar alguna ley o dis posición; en Ciencias Naturales se estudia la refracción de la luz blanca cuando atraviesa un prisma, o sea, cómo se forma el arco iris. Y en Matemática existen figuras geométricas llamadas fractales; en ellas, cualquier par te es una copia, en escala más pequeña, de toda la figura. Estas formas geométricas se encuentran en las hojas de los árboles, las caparazones de algunos animales, en las rocas y los cristales, en la nieve y en muchos otros elementos de la naturaleza. Así se construye el fractal “Copo de nieve”

1er. paso

2do. paso

3er. paso

Libras, chelines, peniques... ¡qué lío! bién se usaban los chelines y los peniques. El chelín valía 1 de libra esterlina y el penique 20

valía 1 de chelín, o sea que un penique equivalía a 1 de libra. Y para complicar más las 12

cosas, había otras monedas como la guinea, la coro na o la media corona. La guinea valía 21 chelines o 20 21

libras esterlinas; la corona valía 5 chelines o 1 4

de libra esterlina, y la media corona, equivalía a 2 chelines y 6 peniques, o sea 1 de libra esterlina. 8

240

En Gran Bretaña la unidad monetaria es la libra esterlina, pero hasta el año 1971 tam

¡Qué complicado! ¿no? Ahora usan un sistema más sencillo, la libra esterlina dividida en 100 peniques, igual que nuestros pesos y centavos.

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1/7/09 4:24:54 PM

El Ojo de Horus Horus, uno de los dioses del antiguo Egip to, quiso vengar el asesinato de su padre en un combate feroz con su tío Seth. En la pelea, este le arrancó un ojo, lo cortó en seis partes y lo esparció por Egipto. La asamblea de los dioses se apiadó de Horus y le encargó a Toth, gran maestro de los escribas, que le reconstruyera un ojo sano y completo. Por eso, el ojo de Horus significaba la integridad física, el conocimiento, la visión y la fertilidad. Se han encontrado joyas y adornos con esa figura, los que se consideraban amuletos mágicos. Ade más, los escribas utilizaban las distintas partes para representar las frac ciones del héqat, unidad de capacidad equivalente a unos 5 litros.

¿Sabías que... 97

... del total del agua de nuestro planeta no son aptos para el consumo humano porque 100 están constituidos por agua salada? 3

...de los que quedan, tampoco se pueden utilizar porque están en forma de hielo, en 10 100 los glaciares y en los casquetes polares? 3

Por lo tanto, el agua disponible apta para consumo humano es solo del total del agua 1 000 de nuestro planeta.

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1/7/09 4:24:56 PM

En esta suma de fracciones se borraron algunos números. Las dos pistas que siguen parecen pocas, sin embargo, son suficientes para completar las cifras que faltan. • La fracción de denominador 12 no se puede simplificar. • La fracción del medio es igual al triple de la de denominador 12.

Tatetí de cuatro Esta es una variante más entretenida del tatetí tradicional. Se juega sobre una hoja de papel cuadriculado y se puede usar toda la hoja. Un jugador dibuja cruces y otro, círculos, uno por vez, dentro de cual quier cuadradito de la hoja, tratando de colocar cuatro en línea horizon tal, vertical o diagonal. Cada vez que completa una línea de cuatro, la tacha y se anota un punto. Gana el que llega primero a cinco puntos. Las cruces o los círculos que pertenecen a una línea ya tachada no se pueden contar para formar otra línea. Para evitar discusiones: es conve niente, antes de empezar la partida, ponerse de acuerdo en los límites de la hoja y hasta qué cuadraditos del borde se pueden usar.

MA T I J U EG OS

Números borrados

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1/7/09 4:24:57 PM

El queso cortado Cortar un queso en ocho partes iguales con cuatro cortes rectos es muy fácil, pero también se puede hacer con solamente tres cortes rectos. ¿Cómo?

El fabricante de pesas A un fabricante de pesas para balanzas le encargaron un juego de pesas con el que se pudieran pesar cantidades 1 1 3 de 4 kg; 2 kg; 4 kg y 1 kg. La solución más fácil es hacer cuatro pesas, pero el fabricante resolvió el pedido haciendo solamente dos pesas. ¿Cómo hizo?

Entrenamiento olímpico De todas las fracciones mayores que 1 y menores que 1 , encontrá la que 3 2

tiene menor denominador.

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1/7/09 4:24:59 PM

Hexágonos y lagartijas Observá este dibujo del artista holandés M. C. Escher. En él se ven unas lagartijas que salen de la hoja, caminan sobre los objetos que hay sobre la mesa y después vuelven a entrar en la hoja, por el lado opuesto. En la parte ampliada se ve cómo pueden obtenerse estas imágenes: se divide la hoja en hexágonos regulares iguales y se los transforma en lagartijas agregándoles patas, cabezas y colas, de modo que cubran toda la hoja sin dejar espacios vacíos. ¿Querés hacer dibujos con la mis ma técnica? ¡Seguí este método y los obtendrás! Te conviene trabajar sobre papel cuadriculado, para usarlo como guía, y dibujar con lápiz para poder borrar las líneas sobrantes.

Dibujá un cuadrado en una hoja de papel cuadri culado.

Hacé un dibujo cualquiera sobre un lado y copialo en el lado opuesto.

Si ahora copiás varias veces el dibujo y lo coloreás, podés usarlo como guarda o motivo decorativo.

Ahora hacé lo mismo sobre el otro par de lados.

Borrá los trazos sobrantes, resaltá los del borde y ¡lis to! Parece un pájaro ¿no?

Sección V

M A T I M U ND O

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1/7/09 4:25:01 PM

Vitrales... ¡Casi seguro los conocés! A lo mejor los viste en las ventanas de una iglesia. Se fabrican con pequeños trozos de vidrio de distintos colores sujetos por varillas de plomo soldadas. Así se forman dibujos que dejan pasar la luz a través de ellos. La técnica del vitral es conocida desde la Edad Media. Los hermosos vitrales de la catedral de Nˆoˆ tre Dame de Paris, llama dos rosetones por su forma circular, fueron terminados en el siglo xiii. Algunos de ellos tienen más de 10 metros de diámetro (¡como un edificio de tres pisos!) y su construcción demandó unos 10 años.

...y más vitrales Se pueden hacer dibujos geométricos muy lindos, del mis mo tipo que los de los vitrales, usando distintos polígonos, regulares o no. El de la ilustración está hecho con pentágo nos regulares, decágonos regulares, triángulos isósceles y romboides.

π = 3,141592... ¿Por qué se llama pi? Desde muy antiguo se sabía que la longitud de una circunferencia, cual quiera que fuera su tamaño, era un poco más que el triple de su diámetro. A ese número algo mayor que 3 se lo llamó pi, la letra inicial en griego de periferia, nombre que daban los griegos a la circunferencia. Muchos matemáticos de la Antigüedad calcularon valores aproxi mados de pi, pero el primero que “atrapó” el valor de pi entre dos números fue Arquímedes, en el siglo iii a.C., quien enunció que era “menor que 22 y mayor que 223 ”. 7

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1/7/09 4:25:04 PM

Se juega con dos dados y dos fichas o botones sobre la pista dibujada. Cada jugador a su turno tira los dos dados, divide por 10 los puntos que sacó en cada dado, multiplica los dos resultados y avanza casillas de acuerdo con este producto. Por ejemplo, si sale un 3 y un 2, obtienen 0,3 y 0,2; se multiplican y da 0,06; por lo tan to, se avanza hasta una casilla cuyo número es 6 centésimos mayor. Como es una competencia de lentitud, el primero en llegar a la meta ¡pierde!

MA T I J U EG OS

La lenta carrera de caracoles

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1/7/09 4:25:10 PM

Colocando baldosas

Suponé que tenés que cubrir una superficie con baldosas iguales sin que queden espacios entre ellas y todas son polígonos regulares. En ese caso, solo podrías usar tres clases de bal dosas: las que tienen forma de triángulo equi látero, de cuadrado o de hexágono regular. ¿Y si pudieras usar dos tipos distintos de polí gonos regulares iguales para embaldosar? Tra tá de descubrir por lo menos dos formas. Hay una muy fácil y otra no tanto.

¿Faltan 10 centavos o no? La mamá de Abel, Blas y Carla tenía que darles $ 10,00 a los tres para comprar útiles para la escuela. Como era muy prolija, anotó cuánto le dio a cada uno y cuánto le quedó. Cuando sumó lo que les había dado y lo que le había quedado cada vez, pensó que había algún error en las cuentas, porque le faltaban $ 0,10; sin embargo, las cuentas están bien. ¿Podés explicar qué es lo que pasó con los diez centavos que faltan?

Entrenamiento olímpico A un trián gu lo equi lá te ro de 7,5 cm de pe rí me tro se le cor ta ron los 3 trian gu li tos, tam bién equi lá te ros pe ro de 1,5 cm de pe rí me tro. En el di bu jo se ve la fi gu ra ver de que que dó. ¿Cuál es su pe rí me tro?

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1/7/09 4:25:11 PM

Sección VI

M A T I M U ND O Nuestro peso y su historia En 1881 se estableció la unidad monetaria de nuestro país: el peso moneda nacional (m$n).

En 1970, como el peso había perdido valor, se lo reemplazó por una nueva unidad...

...en 1983 sucedió lo mismo. =

...otra vez en 1985. =

Esto quiere decir que... ...un peso moneda nacional era igual a 0,01 pesos Ley 18.188, aunque después... ...un peso Ley 18.188 era igual a 0,0001 pesos argentinos y, unos años más tarde, ... ...un peso argentino era igual a 0,001 austral; por último, ... ...un peso actual es igual a 0,0001 australes. Por lo tanto, un peso de los que usamos ahora equivale a diez billones de pesos moneda nacional ($ 1 = m$n 10 000 000 000 000). Podés hacer las cuentas para comprobarlo ¡y no te equivoques al contar los ceros!

...y nuevamente en 1992.

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1/7/09 4:25:13 PM

Datos: Diámetro en miles de km Tierra: 12,8 Sol: 1 400 Júpiter: 144 Distancia al Sol en millones de km Tierra: 150 Plutón: 5 850

El sistema solar Las ilustraciones del Sol y los planetas del sistema solar, que viste muchas veces en los libros, casi nunca están hechas a escala. Para que tengas una idea de sus tamaños y distancias reales, te presentamos una ilustración a escala: si en ese modelo el Sol fuera del tama ño de una naranja, Júpiter, el planeta más gran de, tendría el tamaño de un garbanzo y la Tie rra, el de la cabeza de un alfiler. En ese mismo modelo, la cabeza de alfiler que representa la Tierra estaría a más de 10 metros de distancia del Sol, mientras que Plu tón, el planeta más lejano, estaría a más de 400 metros del Sol. ¡Más de cuatro cuadras!

¿Somos muy estudiosos? Según datos del INDEC de 2001, de un total de 34 262 000 habitantes de nuestro país que tienen 3 años de edad o más, 11 171 000 asisten a algún establecimiento educacional (desde niños de preescolar hasta adultos que asisten a la universidad). ¿Son muchos o son pocos? ¿Cómo están distribuidos? Los siguientes gráficos te permiten verlo claramente. Región

Millones de habitantes

Metropolitana Pampeana Cuyo

Estudian

No estudian

Total del país

3,425 7,484 3,820 8,197 0,782

1,637 1,100

Noreste

2,028 1,455

Noroeste

2,697

Patagónica

0,589 1,048 Fuente: INDEC Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2001

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1/7/09 4:25:15 PM

MA T I J U EG OS

y s a las moscas ñ a j l u r e a go de las E

2) Las dos arañas tienen que atrapar las dos moscas y solo se pueden mover por los hilos de la telaraña, desde un punto a otro contiguo. 3) En la posición inicial de la ilustración, comienza el jugador de las arañas movi endo las dos, un paso cada una, en cualquier dirección. 4) Luego el otro jugador mueve las dos moscas, también un paso cada una en cual quier dirección. 5) Una araña atrapa una mosca cuando se mueve al punto que ocupa esta última.

1) Este es un juego para dos jugadores, uno “mueve” las arañas y el otro, las moscas.

Algunos jugadores dicen que en este juego las arañas nunca pueden atrapar las moscas, pero otros afirman que siempre terminan por atraparlas. ¿Quiénes tienen razón? Averigualo jugando con tus compañeros.

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1/7/09 4:25:16 PM

¿Cuál es cuál?

Adivinanza con trampita

Todos deberíamos conocer los billetes y las monedas de curso legal. Tendría que ser muy fácil reconocer el reverso de los billetes. A estos se les quitó el color y la denomina ción, pero es muy fácil reconocerlos… ¿o muy difícil? Intentá colocar el valor correcto de cada billete en el recuadro.

Ignacio estuvo jugando

con sus cubos numerados y los dejó como se ve en

la ilustración. Parecen

desordenados, sin embargo,

están ordenados de un

modo muy conocido. ¿De

cuál?

Entrenamiento olímpico Di cen que en tiem po de los pi ra tas, allá por 1585, los par ches pa ra ojos va lían 3 mo ne das de pla ta y las pa tas de pa lo, 12. Que en 1586, el pre cio de los par ches pa ra ojos fue el 400% del pre cio del año an te rior y en 1587 ocu rrió lo mis mo: fue el 400% del pre cio de 1586. El pre cio de las pa tas de pa lo tam bién au men tó un mis mo por cen ta je ca da año y en 1587, estas y los par ches va lían igual. ¿Qué por cen ta je au men tó ca da año el pre cio de las pa tas de pa lo? 41

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1/7/09 4:25:19 PM

Sección VII

M A T I M U ND O Un cubo realmente mágico El húngaro Erno Rubik siempre usó modelos –de papel, cartón, madera– para enseñar a sus alumnos de la Academia de Artes Plásticas. Así, experimentando y jugando, logró inventar uno de los rompecabezas más famosos de todos los tiempos: el cubo mágico. Su diseño es de lo más ingenioso: tres ejes perpendicula res entre sí contienen los cuadraditos que ocupan el centro de cada cara. Alrededor de cada pieza central se insertan las restantes de esa cara. Todo encastra perfectamente, lo que permite que cada cara gire alrededor de su centro y que las piezas periféricas puedan pasar de una cara a otra. ¿Sabías?… La cantidad de combinaciones posibles en un cubo mágico es de ¡varios trillones! Felizmente, hay libros y páginas en Internet que explican los movimientos para resolver el rompecabezas: lograr que el cubo tenga cada cara de un solo color.

En blanco y negro

Fuente: Perelmán, Yákov, Problemas y experimentos recreativos, Editorial Mir, Moscú, 1975.

El gramaje del papel Las hojas que utilizamos en una impresora tienen tamaños bien determinados (carta, A4, etc.), pero si observás el paquete con atención, vas a ver que aparece una indicación como 75 g/m2. ¿Sabés qué significa? Son los gramos que pesa una hoja de 1 m2 de ese mismo papel. Cuanto mayor es ese valor, más grueso es el papel (es menos “transparente”).

Las imágenes de colores claros impresionan nuestros ojos de manera distinta que las de colores oscuros. Por ejemplo, cada punto de color negro se ve como tal en nuestra retina, pero cada punto blanco se ve como un pequeño circulito. Eso hace que el color blanco dé la impresión de expandirse; por eso el cuadrado blanco de la figura se ve más grande que el negro, a pesar de que son iguales. Si alejás la imagen, vas a ver cómo la ilusión óptica se refuerza.

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1/7/09 4:25:21 PM

Amontonados o desparramados Según el censo de 2001, la población de la provincia de Buenos Aires es unas 10 veces la de Tucumán. Sin embargo, Tucumán –una de las provincias de menor superficie– tiene mayor densidad de población, o sea, más habitantes por km2. La Ciudad Autónoma de Buenos Aires es la zona más poblada, con unos 13 700 habitantes por km2, o sea unas 137 personas por man zana. La provincia más deshabitada es Santa Cruz, con 0,8 hab/km2. Podríamos interpretarlo como que hay 8 habitantes cada 1 000 man Calle Florida, en el microcentro de la Provincia de Santa Cruz. Ciudad Autónoma de Buenos Aires. zanas.

Un rectángulo que vale oro Desde la Antigüedad los artistas y los arquitectos buscaron las formas más armónicas para sus obras. Así se llegó al concepto del rectángulo áureo, no porque fuera de oro sino porque sus dimensiones le dan un aspecto sumamente armónico. Los rectángulos dibujados abajo se van aproximando al rectángulo áureo. Fijate cómo se van armando: a partir del rectángulo de 1 × 1, la base de cada uno pasa a ser la altura del siguiente y la nueva base es la suma de la altura y la base del anterior.

1+1=2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

El rectángulo áureo está presente en la naturaleza. Si metiésemos los rectángulos anteriores uno dentro de otro (como si fuesen cajas) podríamos dibujar una espiral. El caparazón del caracol Nautilus tie ne la forma de esa espiral. 43

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1/7/09 4:25:23 PM

MA T I J U EG OS

Rompecabezas cuadrado ¿Cómo se pueden encastrar todas estas piezas para que formen un cuadrado?

Cuadrado económico

¿Cuáles son las dimensiones del único cuadrado cuyo perímetro en centímetros tiene la misma medida que su área en cm2?

¡Ay, qué mareo!

ponde al cubo es rr co s llo o rr sa de ro ¿Cuál de los cuat centro? mágico que se ve en el

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1/7/09 4:25:25 PM

El juego del embaldosado Participan dos jugadores. Hace falta un dado, dos lapiceras de distinto color y una cuadrícula de 10 por 10, donde ya hay marcados un cuadradito de cada color, como se ve en la ilustración. Gana el jugador que cubre la mayor superficie. • Por turno cada jugador arroja el dado y dibuja en la cuadrícula una figura que tenga tantos cuadraditos como el número que salió, pero con dos con diciones: I) Los cuadraditos de la figura deben compartir un lado, no solo el vértice. Por ejemplo, para 4 cuadraditos: esta figura, sí → esta figura, no → II) La figura a dibujar debe tocar otra ya dibujada de igual color, con la que compartirá por lo menos un lado de un cuadradito. Ejemplos: así, sí → así, no → • El juego finaliza cuando un jugador debe “pasar” su turno dos veces segui das o cuando es obvio que uno de los jugadores no podrá superar la super ficie cubierta por el otro (en el ejemplo, la superficie total que podrá cubrir el rojo es mayor que la del azul).

Partamos desde la base

¿Qué cuadrado tendrá mayor perímetro: el que tenga por base el segmento azul de la izquierda o el de la derecha?

Entrenamiento olímpico Es te ta ble ro de aje drez tie ne una ex tra ña par ti cu la ri dad: la úl ti ma ca si lla de aba jo a la de re cha, que de bía ser de co lor cla ro, fue reem pla za da por la ima gen de un ta ble ro nor mal en mi nia tu ra. ¿Cuál es el área que ocu pa la par te os cu ra en to do el ta ble ro?

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X L O T E M I F Z J K Z S Z

ACERTIJO FAMILIAR Tu mamá.

U C L L V A N V H V P N E X B T D I

CLAVE DE CUMPLEAÑOS El 23 de enero.

E C I S I E T E R T

F N Q R U G F I P R V P T L N A I E N X N C K E S Y

I V

O N X Z I H G H U F N V T Y

¿CUÁL SIGUE?

K X E P T O S N H O C L N Q Y Y A Y N C I O A U M U I Z P H U W I C I S D S S E E I E C N O E D L N E G T W V J

Se puede pensar que la línea que divide cada ban dera en dos partes va girando alrededor del centro; la figura del centro sigue la secuencia triángulo, cír culo, rombo, …, y sus colores siguen la secuencia: azul, verde, rojo, amarillo, … TRES POR TODAS PARTES Treinta y tres millones trescientos treinta y tres mil trescientos treinta y tres (33 333 333). CAPICÚA POTENCIAL 2 y 4. ENTRENAMIENTO OLÍMPICO Son B × 123 + A × 122 + B × 12 + A = = 11 × 123 + 10 × 122 + 11 × 12 + 10 = = 20 590 marcianos. Sección II EL MISTERIOSO CASO DE LAS CEREZAS ASESINAS Si al repartir 72 cerezas sobraron 2, una posibilidad es que hubiera 14 invitados y otra es que solo fueran 10: 72 = 14 × 5 + 2 72 = 10 × 7 + 2 Como el forense aseguró que el occiso comió 6 cere zas o más, no es posible que hubiera 14 invitados.

P S C I V G O R C E G O Y L U M D O O S T X I O W E R Y I

I T I

L E W S K F H L Z W

P G V T R E C E W B N F

I C

Los números son estos diez: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. UN ANTIGUO ACERTIJO Una manera es formando un hexágono.

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO 93 camellos. Pueden pensar que la cantidad debe ser múltiplo de 31 (porque si al primero le dio una cantidad n, al segundo le dio 2 × n, al tercero, 4 × n, al cuarto, 8 × n y al quinto, 16 × n; o sea que repartió 31 × n came llos) y además, como al dividir el total por 5 el resto es 3, se sabe que el número termina en 3 o en 8. Sección III CON SIETE PIEZAS, NI UNA MÁS NI UNA MENOS

ADIVINANZA MATEMÁTICA Es el resto de la división. PENSAMIENTO LATERAL D = 25, d = 7, c = 3, r = 4, ya que 25 = 7 × 3 + 4. Se puede pensar que los 25 cuadraditos se dividie ron en 3 grupos de 7 y sobran 4.

N U I O C ES O L S G I U A J E OS T M

SOPA DE PRIMOS

Sección I

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LA PIEZA PERDIDA

Sección V COLOCANDO BALDOSAS 1) Con triángulos y hexágonos regulares.

2) Con octógonos regulares y cuadrados.

LA ORACIÓN ESCONDIDA UN SEÑOR VIENE DESDE CALI TROTANDO POR LA RUTA. ES UN DEPORTISTA Y LE DECIMOS PALABRAS ALENTADORAS. DE NOMBRE HÉCTOR, LO LLAMAMOS “LA LIEBRE TROTAMUNDOS”. La oración es: Un decalitro es un décimo de hectolitro.

EN UN MERCADO PERSA Marcó con la uña el nivel de aceite en la botella y luego la puso cabeza abajo. Como al girarla el acei te volvió a quedar al mismo nivel, comprobó que la botella estaba llena hasta la mitad. UN ACERTIJO VIEJO VIEJO... Pesan lo mismo: un kilo. ENTRENAMIENTO OLÍMPICO La jarra vacía pesa 4 vasos vacíos.

Di Me quedan Di Me quedan Di Me quedan a Abel 3,50 6,50 0,10 9,90 9,80 0,20 a Blas 3,00 3,50 0,10 9,80 0,20 0,10 a Carla 3,50 0,00 9,80 0,00 0,10 0,00 Total

10,00

19,70

10,00

0,30

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO El perímetro de la figura verde es 6 cm. Se puede pen sar de varias maneras; una de ellas es restarle 3 cm (seis lados de 0,5 cm) al perímetro del triángulo y sumarle 1,5 cm (tres lados de 0,5 cm). Sección VI

NÚMEROS BORRADOS

ARAÑAS Y MOSCAS Ninguna de las dos arañas puede capturar la mosca que tiene más cerca. En cambio, si cada araña persi gue la mosca que tiene más lejos, en pocos movi mientos se atrapan ambas.

2 1 1 + + =1 3 4 12

BILLETES Y MONEDAS

¿FALTAN 10 CENTAVOS O NO? No faltan 10 centavos. La suma de lo que fue que dando cada vez no tiene relación con la suma de lo que se le dio a cada uno; la cantidad de dinero pue de ser igual, mayor o menor, es casual que en este caso sea casi igual. Observá estos tres casos.

EL QUESO CORTADO $ 10

$ 100

$ 50

$ 20

EL FABRICANTE DE PESAS Solo necesita una pesa de

1 3 kg y otra de kg, ya 4 4

1 kg se puede poner la pesa de 2 3 1 kg en un platillo y la de kg en el otro. 4 4

que para pesar

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO 1 2 1 < < 3 5 2

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ADIVINANZA CON TRAMPITA Están ordenados en orden alfabético: cero, cinco, cuatro, dos, nueve, ocho, seis, siete, tres, uno. ENTRENAMIENTO OLÍMPICO Una de piratas El precio de las patas de palo fue cada año el 200% del precio del año anterior. 3 monedas × 400% × 400% = 48 monedas 12 monedas × 200% × 200% = 48 monedas Sección VII ROMPECABEZAS CUADRADO Una solución posible es:

CUADRADO ECONÓMICO Un cuadrado de 4 cm de lado. ¡AY, QUÉ MAREO! El desarrollo de arriba a la derecha.

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO Es la mitad del tablero grande más la mitad del tablerito, o sea, 1 1 1 × 32 cm × 32 cm + × × 32 cm × 32 cm = 520 cm2 2 2 64

PARTAMOS DESDE LA BASE Ambos cuadrados tendrán igual perímetro, porque los segmentos azules son iguales. La aparente dife rencia entre ambos es una ilusión óptica.

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