Animate Matemática 6

Animate

6

Matemática

Recursos para el docente Matemática 6. Recursos para el docente –Serie Animate–

es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Viviana R. Chiesa • Claudia A. David • Carolina Giacumbo Adriana A. Santos • Gisela B. Serrano • Silvia S. Tabasco Matemática x deporte: Pablo J. Kaczor • Manuel J. Lois Edición: Ana Verónica Veltri • Raquel S. Kalizsky Jefa de edición: María Laura Latorre Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación, pág. 2 Soluciones de todas las actividades del libro, pág. 6 Matemática x deporte, pág. 17

Jefa de arte: Claudia Fano.

Diagramación: Alejandro Pescatore.

Corrección: Juan Sosa.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera.

Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

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© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN Libro del alumno: 978-950-46-2080-8 ISBN Recursos para el docente: 978-950-46-2081-5

Matemática 6 : recursos para el docente / Viviana R. Chiesa ... [et.al.]. - a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008.

48 p. ; 28x22 cm.

ISBN 978-950-46-2081-5 1. Formación Docente. I. Chiesa, Viviana R. CDD 371.1

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.

Impreso en Argentina. Printed in Argentina.

Primera edición: enero de 2009.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2009, en Grafisur S. H., Cortejarena 2943, Buenos Aires, República Argentina.

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Abril

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Abril

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Marzo

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Marzo

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Módulo /tiempo estimado

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

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Múltiplos y divisores.

Reglas de divisibilidad.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

Cálculos combinados.

Problemas de conteo.

Potenciación.

Resolver cálculos combinados.

Iniciarse en la noción de potencia.

Profundizar la reflexión y el conocimiento de la multiplicación y la división.

Utilizar las nociones de múltiplos y divisores en la resolución de situaciones problemáticas.

Multiplicación. Propiedades.

Algoritmo.

División. Propiedades. Algoritmo.

Relación entre los elementos de la división.

Medidas de tiempo.

Números grandes. El billón.

El sistema de numeración decimal.

El sistema de numeración romano.

Contenidos

Resolver problemas que aborden distintos sentidos de la multiplicación y de la división.

Conocer y utilizar propiedades de la multiplicación y de la división.

Leer y escribir números de más de 8 cifras.

Explicitar las relaciones subyacentes en el sistema de numeración decimal.

Conocer otros sistemas de numeración para comprender mejor el sistema decimal.

Expectativas de logro

Recursos para la planificación

Reconocimiento de múltiplos y divisores de un número.

Elaboración de reglas de divisibilidad. Uso de las reglas de divisibilidad en la resolución de problemas.

Descomposiciones multiplicativas de un número; descomposición en factores primos.

Determinación del m.c.m. y el m.c.d. entre dos o más números; aplicación en la resolución de situaciones problemáticas.

Resolución de cálculos combinados a partir de problemas.

Separación en términos. Ubicación de paréntesis. Reconocimiento del orden de resolución de las operaciones.

Resolución de problemas de combinatoria para introducir la noción de potencia.

Resolución de situaciones problemáticas por medio de multiplicaciones. Problemas de proporcionalidad y de organización rectangular.

Problemas de combinatoria.

Reconocimiento del cálculo que permite resolver una situación.

Uso de cálculos conocidos para resolver otros cálculos. Uso de la calculadora.

Resolución de cálculos en los que se ponen en juego las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

Resolución de situaciones problemáticas mediante una división.

Análisis del algoritmo de la división. Reconocimiento de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto para resolver problemas y para calcular los elementos que faltan en una división.

Resolución de problemas de iteraciones.

Resolución de situaciones que involucren medidas de tiempo, pasajes de horas y minutos, y operaciones que requieran el uso de la multiplicación y la división.

Lectura y escritura de números de hasta 18 cifras.

Composición y descomposición de números, apelando a sumas y multiplicaciones.

Comparación de números grandes.

Uso de la calculadora para obtener un número a partir de otro dado.

Reflexión sobre las reglas de funcionamiento del sistema decimal.

Interpretación de reglas del sistema romano.

Pasaje de números en sistema romano al decimal y viceversa.

Reflexión acerca de las diferencias entre los sistemas de numeración romano y decimal.

Estrategias didácticas

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Junio

8

Junio

Mayo

7

Mayo

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Abril

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Sumas y restas de fracciones.

Representación en la recta numérica.

Profundizar el trabajo con sumas y restas de fracciones.

Resolver situaciones problemáticas de sumas y restas entre fracciones, o entre un entero y una fracción.

Fracciones decimales. Pesos y centavos.

Sumas y restas de decimales.

Gráficos circulares.

Fracciones de una cantidad.

Fracciones, porcentajes y proporcionalidad.

Concepto de fracción.

Fracciones equivalentes.

Comparaciones.

Ubicación en la recta numérica.

Sumas y restas.

Reconocer y usar fracciones equivalentes en distintas situaciones.

Comparar fracciones.

Representar fracciones en la recta numérica.

Componer y descomponer un número entero o una fracción como suma o resta de fracciones de igual denominador, o de un entero y una fracción. Escribir fracciones como número mixto.

Profundizar el conocimiento de las fracciones decimales y su relación con los números decimales.

Resolver situaciones problemáticas que requieran sumar o restar números decimales.

Resolver situaciones problemáticas que requieran encontrar la fracción de una cantidad.

Calcular porcentajes.

Resolver situaciones de proporcionalidad con fracciones.

Usos del compás.

Construcciones de triángulos y otros polígonos.

Círculo y circunferencia.

Alturas de un triángulo.

Utilizar el compás para trazar circunferencias, comparar segmentos y construir figuras.

Reconocer la circunferencia como el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto.

Reconocer el círculo como el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio.

Trazar alturas de distintos triángulos.

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Escritura de pesos y centavos con números decimales.

Escritura de fracciones decimales como números decimales.

Descomposición de números decimales usando fracciones decimales.

Distintas formas de sumar y restar números decimales. Resolución de situaciones problemáticas que requieran sumar o restar números decimales.

Lectura y análisis de gráficos circulares.

Resolución de situaciones que requieran encontrar la fracción de una cantidad.

Cálculo de porcentajes. Relación entre el porcentaje y las fracciones decimales.

Resolución de situaciones problemáticas de proporcionalidad usando fracciones.

Resolución de cálculos de sumas y restas entre un entero y una fracción.

Escritura de fracciones como suma de un entero y una fracción.

Representación de sumas y restas de fracciones en la recta numérica.

Análisis de distintos métodos de resolución de sumas y restas de fracciones de distinto denominador: a) búsqueda de fracciones equivalentes; b) búsqueda de un denominador común.

Resolución de situaciones problemáticas por medio de sumas y restas de fracciones.

Representación de fracciones de la unidad.

Reconstrucción de la unidad a partir de una fracción dada.

Situaciones en las que las fracciones se relacionen con repartos y medidas.

Búsqueda y reconocimiento de fracciones equivalentes.

Comparación de fracciones. Identificación de fracciones menores que 1, iguales a 1 y mayores que 1. Encuadre de fracciones entre dos números enteros. Encuadre de números enteros entre dos fracciones, o de una fracción entre otras dos.

Representación de fracciones en la recta numérica.

Resolución de sumas y restas de fracciones de igual denominador.

Escritura de fracciones como suma y resta de otras dos de igual denominador.

Escritura de fracciones como número mixto.

Uso del compás para comparar y trazar segmentos, construir circunferencias, triángulos y otros polígonos. Trazado de círculos.

Reconocimiento y uso del concepto de circunferencia como conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto.

Reconocimiento y uso del concepto de círculo como conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio.

Reconocimiento y trazado de las alturas de triángulos.

Análisis de las alturas de triángulos rectángulos, obtusángulos y acutángulos.

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Septiembre

13

Septiembre

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Agosto

11

Agosto

10

Julio

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Módulo /tiempo estimado

Resolución de situaciones problemáticas que impliquen operar con medidas angulares.

Resolución de problemas que exijan conocer el valor de la suma de los ángulos interiores de polígonos.

Exploración de distintas estrategias para multiplicar un número decimal por 10, 100 o 1 000.

Resolución de situaciones que requieran multiplicar números decimales.

Resolución de problemas que requieran divisiones entre dos naturales, identificando si el resultado es un número decimal o una expresión decimal periódica.

Análisis de distintas estrategias de división entre un número natural y uno decimal, o entre dos números decimales. Cálculo de promedios.

Redondeo de expresiones decimales.

Resolución de situaciones problemáticas en las que sea necesario hallar la fracción de una cantidad.

Resolución de cálculos y problemas en los que haya que multiplicar fracciones.

División de una fracción por un entero en situaciones de la vida cotidiana.

Construcción de figuras mediante dobleces.

Resolución de situaciones que pongan en juego distintas propiedades de los cuadriláteros. Análisis de las diagonales de los cuadriláteros.

Construcción de cuadriláteros conociendo, por ejemplo, la medida de sus diagonales.

Construcción de polígonos regulares.

Análisis y cálculo de la amplitud de los ángulos interiores y del ángulo central de los polígonos regulares.

Resolución de problemas que exigen conocer el valor del ángulo interior de un polígono en función de la cantidad de lados.

Análisis de las figuras regulares que teselan un plano y de las condiciones que lo posibilitan.

Resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa, conocido un par de números que se relacionan.

Resolución de situaciones en las que la información se presenta en tablas. Búsqueda de la constante de proporcionalidad.

Análisis de tablas para determinar si representan una relación de proporcionalidad directa, o inversa, o si la relación no es de proporcionalidad.

Resolución de situaciones en las que intervengan unidades de almacenamiento de la información y sus equivalencias.

Operaciones con medidas angulares.

Suma de ángulos interiores de polígonos.

Multiplicaciones con números decimales.

División entre naturales: números decimales y expresiones decimales periódicas.

División entre números decimales.

Promedio.

Redondeo.

Multiplicación de fracciones.

División de una fracción por un entero.

Propiedades de figuras: cuadriláteros, polígonos regulares.

Cubrimientos del plano.

Proporcionalidad directa. Propiedades.

Unidades de almacenamiento de la información: B (byte), kB (kilobyte) y MB (megabyte).

Proporcionalidad inversa. Propiedades.

Resolver situaciones problemáticas que requieran operar con medidas angulares.

Resolver problemas que exijan conocer el valor de la suma de los ángulos interiores de polígonos.

Abordar situaciones problemáticas que requieran multiplicar y dividir con números decimales.

Calcular promedios.

Realizar redondeos en distintas situaciones significativas.

Resolver situaciones que impliquen la multiplicación de fracciones.

Dividir fracciones por un entero para resolver situaciones problemáticas.

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Reconocer y resolver situaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Resolver situaciones en las que la información se presente en tablas.

Encontrar y usar la constante de proporcionalidad.

Resolver situaciones problemáticas que requieran conocer y usar las propiedades de cuadriláteros y polígonos regulares.

Construir figuras y analizar la posibilidad de su construcción, según sus propiedades.

Analizar y determinar las condiciones que posibilitan el cubrimiento del plano con una sola figura.

Estrategias didácticas

Contenidos

Expectativas de logro

Recursos para la planificación

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Noviembre

18

Noviembre

17

Noviembre

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Octubre

15

Octubre

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Cálculo del perímetro de distintas figuras. Realización de mediciones reales de perímetros.

Análisis del significado del número π. Cálculo de la longitud de la circunferencia.

Resolución de situaciones problemáticas que involucran el cálculo del área de una figura.

Reconocimiento y uso del m2, el cm2, el km2, y la ha como unidades de medida del área. Resolución de problemas que exijan establecer relaciones entre distintas unidades de medida para expresar la medida del área de una figura.

Elaboración de fórmulas para el cálculo de áreas de cuadrados, paralelogramos, rectángulos, rombos, romboides y triángulos.

Descomposición de figuras para calcular su área por medio de figuras conocidas. Cálculos de áreas de polígonos regulares como suma de las áreas de triángulos. Comparación de áreas y perímetros.

Perímetros de polígonos. Longitud de la circunferencia. Áreas. El m2, el cm2 y el km2, la ha.

Fórmulas para el cálculo de áreas.

Resolver situaciones problemáticas que permitan construir la noción de área diferenciada de la de perímetro.

Utilizar las unidades de medida más convenientes en diferentes situaciones.

Elaborar las fórmulas que permitan calcular áreas de distintas figuras.

Armado de cuerpos geométricos a partir de un molde dado.

Análisis de los cuerpos geométricos; caracterización según sus elementos.

Reconocimiento de cuerpos de acuerdo con los elementos que los componen.

Construcción del desarrollo de distintos cuerpos.

Identificación del desarrollo que permite construir un cuerpo determinado.

Dibujo de cuerpos geométricos en perspectiva.

Uso de escalas en planos, mapas y dibujos.

Ampliación y reducción de dibujos.

Averiguación de medidas reales a partir de un plano.

Dibujo de planos y figuras dadas las medidas reales y la escala.

Escalas.

Ampliación y reducción de figuras.

Iniciarse en el manejo de escalas.

Cuerpos: elementos, desarrollos y vistas.

Estimación de medidas de longitud.

Reconocimiento y uso de medidas de longitud: km, hm, dam, m, dm, cm y mm.

Llenado de tablas de proporcionalidad directa para encontrar equivalencias entre las medidas de longitud.

Resolución de situaciones de la vida cotidiana en las que se ponen en juego las medidas de longitud.

Uso de L, dl, cl, ml, dal, hl y kl en la vida cotidiana. Identificación de equivalencias entre distintas unidades de capacidad.

Comparación de masas. Reconocimiento de diferentes unidades de masa: g, dg, cg, mg, dag, hg, kg y t.

Medidas de longitud. Equivalencias.

Medidas de capacidad. Equivalencias.

Medidas de masa. Equivalencias.

Usar medidas de longitud, capacidad y masa en contextos significativos.

Manejar la equivalencia entre distintas unidades de longitud, capacidad y masa.

Reconocer y diferenciar cuerpos geométricos teniendo en cuenta los elementos que losa componen.

Construir cuerpos geométricos.

Utilización, análisis y construcción de gráficos cartesianos para abordar situaciones problemáticas de proporcionalidad directa.

Construcción de tablas a partir de un gráfico de proporcionalidad.

Uso de las propiedades de la proporcionalidad directa para calcular porcentajes.

Utilización de gráficos circulares para representar porcentajes. Construcción de gráficos circulares.

Uso del gráfico de barras para mostrar información y analizarla a partir de la obtención de porcentajes.

Gráficos de proporcionalidad directa.

Porcentaje.

Gráfico circular.

Gráfico de barras.

Analizar y construir gráficos de proporcionalidad directa.

Analizar y construir gráficos circulares y de barras.

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Soluciones Las respuestas de la actividad de apertura de cada módulo figuran en la sección Paro y reviso que se encuentra grisada.

Módulo • Mayor: 98 754 321 • 100 000

1 a) Porque X solo puede aparecer hasta 3 veces.

ser como suma del producto de cada dígito por una potencia de diez. La otra podría ser, en cada caso: a) 47 × 1 000 000 + 538 × 1 000 + 98 x 10 + 7 b) 129 × 1 000 000 + 357 000 + 168 15 Podría ser: 3 315 631 + 1 110 011.

16 Por ejemplo, restar 821 639 y al resultado, que es

45 000 000, dividirlo por 10 000.

17 a) 9 324 718 437 186

1 009 = MIX MMDXC = 2 590

2 • I se puede restar solo de V y de X. Ejemplos: CIX = 109;

LIV = 54; etc.; • X se puede restar solo de L y de C. Ejemplos: XC = 90; XLV = 45; etc.; • C se puede restar solo de D y de M. Ejemplos: CDV = 405; CML = 950; etc. Las restantes columnas se completan con más ejemplos (a cargo del alumno).

3 a) • 19 999 = XIX CMXCIX

• 548 712 = DXLVIIIDCCXII b) En general es más fácil usar el sistema decimal.

4 a) Se descompuso el 2 746 897 y está en los carteles

amarillo, verde y rosa. b) • 2 746 897: dos millones setecientos cuarenta y seis mil ochocientos noventa y siete.

• 2 754 970: dos millones setecientos cincuenta y cuatro mil novecientos setenta.

• 27 046 897: veintisiete millones cuarenta y seis mil ochocientos noventa y siete.

b) 7 324 718 439 186 c) Le falta 675 281 562 814.

18 En orden decreciente: 6 990 000 000 000;

6 909 000 000 000; seis billones novecientos mil millones; 6 × 1 000 000 000 001.

19 a) Treinta y cinco billones trescientos cincuenta y tres mil

treinta y tres millones doscientos treinta y un mil trescientos tres. b) De derecha a izquierda, representan: 3 u; 300 u; 30 000 u; 3 000 000 u; 30 000 000 u; 3 000 000 000 u; 300 000 000 000 u y 30 000 000 000 000 u.

20 • 38 → 7 símbolos

• 932 → 7 símbolos

• 1 257 → 7 símbolos • 805 → 5 símbolos

21 Tienen el mismo resultado el segundo, el cuarto y el quinto

cálculos.

Módulo

5 a) Más público: Los Simpsons; menos público: Ratatouille.

b) • El Hombre Araña 3: 4 100 000; • Shrek Tercero: 5 200 000; • Los Simpsons: 6 900 000. c) Por lo menos 1 100 001 espectadores más.

6 Tendrían que haber ingresado 20 000 turistas.

7 Se puede hacer, por ejemplo, restando sucesivamente:

87 000 000; 645 000; 300 y 12.

8 a) Se pasa del A al B dividiendo por 100, y del A al C multi-

plicando por 100. b) En A: 80 000 u; en B: 800 u; en C: 8 000 000 u.

9 En general, es más rápido armar el número con la descom-

posición de Lucía, que se hizo respetando el valor posicional de cada cifra.

10 • Por ejemplo, MC = 1 100; DI = 501, y CC = 200.

• No es cierto, por ejemplo, CM y M. • En general es más fácil trabajar con el sistema decimal.

11 Lo correcto es: 945 = CMXLV y 99 = XCIX. 12 a) 1 012 000

b) 260

c) 7 540 000 000

2

Repaso a) 725 x 84 = 60 900 y 1 279 : 35 = 36, resto 19. b) En el lugar de las unidades se pone un cero o una rayita porque se está multiplicando por la cifra de las decenas. En el ejemplo, el 2 representa 20 unidades.

1 La tabla se completa con: 300; 450; 600; 750 y 1 200, en la

primera fila; 125; 375; 500; 625 y 1 000, en la segunda; 1; 2; 4; 5 y 8, en la tercera, y 2; 4; 6; 8 y 10 en la última.

2 Correctas: 24 × 2 × 4; 24 × 8; 8 × 24 y 24 × 4 + 24 × 4.

3 Se pueden armar 3 × 2 × 3 = 18 postres diferentes.

4 Sí; aplica la propiedad conmutativa y hace 25 × 18.

5 a) Sí.

b) En 9 × 9 aparece el 81 y en 2 × 2, el 4.

6 • 24 × 30 = 24 × 15 × 2 = 720

• 30 × 48 = 2 × 15 × 24 × 2 = 1 440 • 15 × 25 = 15 × 24 + 15 = 375 7 a) Flor: 850 × 25 – 850

Matías: 2 × 850 × 4 × 3 b) Los dos son correctos. Flor hizo: 850 × (25 – 1) = 850 × 24; y Mati: 850 × 2 × 4 × 3 = 850 × 24.

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b) Significa que a 100 se le restan 10. c) 203 = CCIII 324 = CCCXXIV CMLXII = 962 DCXLIX = 649

14 Hay varias formas de descomponer un número; una podría

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Repaso a) • Menor: 12 345 789 b) • 1 214

1

13 En el cartel azul y en el verde.

8 Son 48 masitas. Puede armar rectángulos de: 1 × 48; 2 ×

24; 3 × 16; 4 × 12 y 6 × 8 (o al revés).

9 Le alcanza para 31 días y sobran 2 tazas.

10 a) 15 fuentes.

b) 10 medialunas.

27 No podrían ser 3 chicos porque podría haber agarrado una

más cada uno; sí podrían ser 7.

28 • 105 : 3 = 35 porque 35 × 3 = 105.

• 35 × 4 = 35 × 3 + 35 = 140 • 210 : 35 = 6 porque 105 : 35 = 3 y 210 = 2 × 105.

11 Cocinó 412 alfajores.

12 a) Mati obtuvo el mayor tiempo y Sole, el menor.

b) Siguen: Ale, Vale y Mati.

Módulo

13 a) Trabaja 7 horas y media.

b) 45 horas semanales. Representan 1 día y 21 horas.

14 La segunda está mal resuelta porque el resto no puede ser

mayor que el divisor.

• 425 : 28 = 15; resto 5 • 219 : 15 = 14; resto 9 • El resto puede ser cualquier número natural menor que 12, por ejemplo, 1. En ese caso sería 97 : 12 = 8; resto 1.

• El cociente puede ser cualquier número natural, por ejemplo, 3. En ese caso sería 61 : 18 = 3; resto 7.

15 a) dividendo = divisor × cociente + resto. Para encontrar las

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otras partes se puede usar la misma relación, considerando que el resto debe ser menor que el divisor. También se puede hallar el divisor, si se divide el dividendo por el cociente. b) En la celeste y en la verde.

3

A cargo del alumno: 5 a) y 13 .

1 a) Jazmín gastó $ 412 y Mariela, $ 328.

b) El primero es el de Mariela y el otro, de Jazmín. b) (4 × 6 + 10) : 2

2 a) Cada cuota es de $ 17.

3 a) • 5 × (3 – 1) + 2 = 12

• 9 – 6 : (2 × 3) = 8 • 3 × (7 – 2 × 2) = 9 b) • 16 •0

• 17

4 4 × 2 × 3 × 2 = 48 combos diferentes.

5 b) Se pueden formar 8 números. c) 2 × 2 × 2 6 Se necesitan 3 × 3 × 3 = 33 = 27 cubos pequeños.

7 a) 25 = 32 herramientas.

b) 27 = 128 herramientas.

16 Las que lo resolvieron bien son Daniela y Fernanda.

8 1.er globo: 25 = 32 y 26 = 64; 2.º globo: 53 = 125 y 54 = 625.

17 Fabiana pensó el 1 600.

9 • 5 × 4 = 20 barriletes distintos.

18 • 25 × 34 = 850

• 850 : 34 = 25 • 1 700 : 25 = 68 (1 700 es el doble de 850).

19 a) El último número es el 3 y se nombran 8.

b) 59 : 7 → el cociente indica cuántos números se nombran y el resto, cuál es el último número.

20 • No; podría darle 3 más a cada uno.

• Elaboró 33 bombas.

• Necesita 50 cajas; a una le faltan 10 galletitas.

• No, porque podrían ser 33, 36 o 39 bombas.

• Sí, porque al hacer 890 : 18 el cociente indica cuántas cajas se llenan y como el resto no es 0 sino 8, se necesita una caja más para esas 8 galletitas.

21 Pueden duplicar las filas y la cantidad de sillas por fila al

mismo tiempo; cuadruplicar solo las filas; o cuadruplicar solo la cantidad de sillas por fila.

22 a) $ 914

b) Faltan vender 50 rifas.

23 Se ocupan 9 filas: 8 están llenas y para completar la última

faltan 8 figuritas más.

24 De 2 × 3 × 4 = 24 formas diferentes.

25 Es correcto: 42 × 30 – 42 × 2 = 42 × (30 – 2).

26 Son 255 minutos, que equivalen a 15 300 segundos.

• Ganaron “Los aéreos” con 660 puntos, contra 285 de “Los voladores”.

• A cargo del alumno.

• 52 = 25 barriletes distintos.

• Los voladores: 3 × 15 + 2 × 30 + 3 × 60 Los aéreos: 8 × 15 + 9 × 60 10 Usando la potencia sería 23 = 8.

11 a) El error es hacer 5 – 4. El cálculo azul da 32.

b) El error es sumar 12 y 18. El cálculo azul da 18. c) El error es sumar 2 y 57. El cálculo azul da 307.

12 a) 2 × 38 + 43 – 5 × 19 = 24

b) 8 × 6 × 12 = 576

14 Se pueden formar 32 = 9 números.

15 6 × 6 × 6 = 63 = 216 limones.

16 Llevan 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81 paquetes de chicles.

17 a) Falso; 23 = 2 × 2 × 2 = 8.

b) Verdadero. c) Falso; 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6.

18 • 2 × 75 – 15 : 3 = 145

• 2 × (75 – 15) : 3 = 40 • (2 × 75 – 15) : 3 = 45 19 Se pintan del mismo color: • 23 y 2 × 2 × 2;

• 3 × 2; 2 + 2 + 2 y 3 + 3; • 32 y 3 × 3.

7

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1/7/09 4:23:55 PM

Módulo

4

Repaso a) Primeros múltiplos de: • 8: 0; 8; 16; 24 y 32.

• 12: 0; 12; 24; 36 y 48.

• 30: 0; 30; 60; 90 y 120. b) Divisores de: • 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

• 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

• 5: 1; 5.

1 a) A cargo del alumno.

b) Verde y rojo coinciden en los múltiplos de 6; azul y anaranjado coinciden en los múltiplos de 12. c) Sí; todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2.

2 Divisible por… • 2: si termina en número par: 16; 18; 20;

30; 100; 108. • 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3: 15; 18; 21; 30; 57; 81; 108. • 4: si las dos últimas cifras son múltiplos de 4: 16; 20; 100; 108. • 5: si termina en 0 o 5: 15; 20; 30; 35; 100. • 6: si es divisible por 2 y por 3: 18; 30; 108. • 10: si termina en 0: 20; 30; 100.

3 a) 60 × 1; 30 × 2; 20 × 3; 15 × 4; 12 × 5; 10 × 6.

13 El primero, porque a 4 × 93 (que es múltiplo de 4) se le

suman 4, mientras que en el segundo se le suman 3.

14 El número pensado es 23.

15 1 501; 1 516; 1 531 y 1 546 (se buscan los múltiplos

comunes a 3 y 5, y se les suma 1).

16 No, por ejemplo, 6 es múltiplo de 3 y 20 es múltiplo de 5,

pero 6 + 20 = 26 no es múltiplo de 8.

17 a) 11 casillas (más la salida).

b) Sí, porque 99 es múltiplo de 3 y de 9.

18 12 premios con 5 lapiceras y 3 CD cada uno.

19 a) No; el m.c.d. entre 30 y 75 es 15.

b) El m.c.m. entre 30 y 75 es 150.

20 2; 8; 9; 12; 15; 36 y 45 son divisores de 360; 2 es uno de

los factores de la descomposición y los restantes pueden obtenerse multiplicando dos o más factores.

21 Los múltiplos de 6 son: 438 y 1 800.

22 Cada 12 días.

b) 17 × 1: solo hay una posibilidad porque 17 es primo.

4 a) Hay muchas formas de hacerlo, como:

caciones sin usar el 1 porque son primos.

6 a) • 8 × 18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

• 9 × 12 = 3 × 3 × 2 × 2 × 3 • 48 × 54 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 3 × 3 × 3 b) • 15 × 8 → 5 (3 × 5 = 15) • 6 × 21 → 7 (3 × 7 = 21) 7 Pasarán 24 horas porque 24 es el primer múltiplo que tie-

nen en común 6 y 8 (después de 0).

8 Cada 30 hojas (porque 30 es el m.c.m. entre 6 y 10).

9 a) La pueden recibir 1, 2, 3, 6, 9 o 18 escuelas.

b) 18 escuelas; cada una recibiría 10 libros y 9 cuadernos.

10 Tiene 8 sobrinos; cada uno recibe 5 alfajores, 4 chocolata-

das y 7 caramelos.

11 • Hay 72 fantasmas.

• Cada grupo tiene 6 integrantes. En total hay 14 grupos: 5 de nenas y 9 de nenes.

• Tiene que buscar el m.c.d. entre 30 y 54.

12 Entre el 41 y el 79 hay 19 múltiplos de 2; 13 múltiplos de 3

y 6 múltiplos de 7.

5

A cargo del alumno: 2 a), 6 , 8 a), 9 a), 10 , 11 , 12 , 14 , 20 , 21 , 23 y 25 .

1 Tiene que trazar una circunferencia de 3 cm de radio con el

compás.

2 b) Hay que marcar los dos puntos que tienen en común las

dos circunferencias.

3 Paso 2.° Uno cada extremo del lado distinto con alguno

de los puntos por los que pasan las dos circunferencias, porque cada uno de ellos está a 2 cm de distancia de cada extremo.

4 Sí. Se mide uno de los lados con el compás y sin cambiar

su apertura se pincha con el compás uno de los extremos de otro de los lados y se ve si es más corto o más largo.

Así, se van comparando los tres lados.

5 Tienen que dibujar un triángulo escaleno obtusángulo y otro

isósceles rectángulo.

7 Trapezoides: común y romboide. Trapecios: común, rectángu-

lo e isósceles. Paralelogramos: cómun, rombo, rectángulo y cuadrado.

8 b) Isósceles rectángulo.

9 b) Sí.

13 a) Dos catetos coinciden con dos alturas.

b) Sí.

15 La altura divide a la base en dos segmentos iguales.

8

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1/7/09 4:23:59 PM

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

5 El 11 y el 23 no se pueden descomponer a partir de multipli-

Módulo

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

4 × 4 × 3; 6 × 8; 2 × 3 × 8; 2 × 2 × 2 × 2 × 3, entre otras. b) Los factores de cada descomposición son divisores de 48 y también el producto de dos o más factores de cada descomposición. c) Puede descomponerse de varias formas: 2 × 18; 4 × 9; 2 × 2 × 3 × 3; etc. Los divisores de 36 son: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 y 36.

10 a) 5/4 porque 5/4 > 1 y 7/9 < 1.

16 Tienen una altura de la misma medida.

b) 24/5 porque 4 = 20/5. c) 2/5 pues los “quintos” son mayores que los “séptimos” y de los dos tomamos 2.

17 a) 27 mm.

b) Se puede trazar más de uno.

18 • Sí.

• Es un rombo. Porque tiene cuatro lados iguales.

• Dos vértices del rombo coinciden con los centros de los círculos y los otros dos están en los bordes del círculo.

Como los lados del rombo miden 15 mm, entonces los radios de los dos círculos tienen esa medida.

19 Sí, porque esa altura está dentro del triángulo y es perpendi-

cular a la base.

22 Isósceles. Sí, los puntos a, b y c podrían ser tres vértices de

un rombo, porque los segmentos ab y bc son iguales.

24 Uno de los catetos del triángulo rectángulo debe medir 3 cm

y el otro debe tener una medida distinta.

26 No pueden ser tres vértices de un rombo, pero sí podrían

ser los de un romboide. triángulo isósceles y lo divide en dos partes iguales.

Módulo

12 15/5 = 3; para representar 3/4 se divide cada unidad en 4

partes iguales y se cuentan 3 a partir de 0; para 11/3, se divide cada unidad en 3 y se cuentan 11.

13 a) Gana Valen (en el 7.º paso Guille anota 1/128).

b) Sí, por ejemplo, 1/128; 1/65; 1/100; 2/251; 7/705…

14 El 0 se ubica a la izquierda de 1/4 y a la misma distancia

de él que 1/2; después se ubica el 1 a la derecha de 1/2 y a la misma distancia de él que 0.

15 a) Todas dan 1.

6

Repaso 1/4; 3/8 y 5/8, respectivamente.

1 El triángulo se divide en 4 sectores iguales y se rayan 3. Los

restantes, a cargo del alumno.

2 El rectángulo se divide en 7 partes iguales y la unidad se

construye con 4 de esas partes; el triángulo se divide en 2 partes iguales (por ejemplo, trazando una altura) y se construye la unidad con 3 partes como esas.

3 Había 36 caramelos.

4 9/4 L, o sea, 2 1/4 L. 5 Las intrusas son: 27/64; 2/3 y 9/12.

6 Sí, está bien.

7 Compró 30 facturas, es decir 5/2 de docenas.

8 a) Entre 0 y 1: 3/7; 13/17 y 271/402; iguales a 1: 9/9 y

231/231; mayores que 1: 8/5; 73/28 y 902/308. b) En a/b con a y b números naturales y b ≠ 0: si a < b, a/b está entre 0 y 1; si a = b, es igual a 1; y si a > b, es mayor que 1.

9 a) Entre 1 y 2; entre 0 y 1; entre 4 y 5.

b) Sí, porque de lo contrario no serían consecutivos.

16 a) Hay distintas opciones, por ejemplo: 3/2 = 1 + 1/2;

2/3 = 1 – 1/3 y 7/4 = 1 + 3/4. b) No, 3/2 = 2 – 1/2; 2/3 = 2 – 4/3 y 7/4 = 2 – 1/4. c) 3/2 = 1 1/2 y 7/4 = 1 3/4 ; 2/3 no se puede.

Nota: las fracciones aparecen escritas en un solo renglón, pero es importante que a los alumnos se las presentemos en la forma habitual. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

20/3 < 7 < 22/3 y 1/2 < 11/4 < 50/9. b) No, por ejemplo, 1/4 < 1 < 25/7; 1/3 < 7 < 70/4 y 11/5 < 11/4 < 11/2.

b) Hay distintas opciones, por ejemplo: 1/3 + 2/3.

27 Es el violeta, porque es perpendicular al lado rojo o base del

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

11 a) Hay varias opciones, por ejemplo: 1/2 < 1 < 3/2;

17 • Arrojó primero la piedra verde.

• No es cierto porque 3/2 es mayor que 1, y por lo tanto, supera la longitud del camino.

• Hay más de una opción, por ejemplo, 4/5.

18 Hay distintas opciones, por ejemplo:

8/12 > 1/3

3/12 < 1/3

4/12 = 1/3.

19 a) Dividir el rectángulo en 3 partes iguales y construir la

unidad con 4 de esas partes. b) Dividir el rectángulo en 6 partes iguales y construir la unidad con 5 de esas partes.

20 Por ejemplo: 1 1/4 kg de pan = 5/4 kg de pan; 2 1/2 m de

soga = 5/2 m de soga; 2

1

/4

L de agua = 9/4 L de agua.

21 a) 1/2 = 50/100; 3/4 = …/15 no se puede; 3 = 45/15;

12/15 = 4/5. b) No se puede porque 15 no es múltiplo de 4.

22 a) Sí, en ambos casos.

b) Hay distintas opciones, por ejemplo: 1/6 < 1/5 < 1/2 y 3/10 < 8/7 < 5/3.

23 15/7 está entre 2 y 3; 125/11 está entre 11 y 12.

24 Hay varias formas de hacerlo, por ejemplo:

a) 4 + 1/2 b) 1 – 9/10 c) 1 + 1/4 25 1/6 < 1/2 < 2/3 < 5/3 < 7/4.

26 Por ejemplo: 1/2; 8/15; 17/30.

27 Hay que rodear: 3 + 2/5; 17/5; 3 2/5 y 34/10.

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1/7/09 4:24:02 PM

Módulo

7

Repaso a) No, porque las cortan en 8 porciones iguales. b) 15/9 c) 1/4

d) 1/6

28/8 = 3 + 1/2

4 Lado: 3 1/3 cm; Perímetro: 40 cm.

5 b) A = 1/4; C = 1/8; D = 1/8; E = 1/16.

c) 3/8 de rojo y 3/16 de verde. d) Por ejemplo, A y E. Se obtienen 5/16. e) 7/8 se puede obtener, por ejemplo, sacándole al cuadrado la pieza B. 6 Se representa 1/2 en la recta numérica y se divide cada

unidad en 8 partes iguales. A partir de 1/2 se retrocede tres octavos y se llega a 1/8.

7 a) Iguales, ya que 38/24 = 19/12.

b) 11/10

29/20

b) Sí, porque 15/24 es equivalente a 5/8 y 8/24, a 1/3.

9 • 1/2 + 1/15 = 17/30

4/28 = 1/7 3/4 = 1/2 + 1/4 y 7/8 = 1/4 + 1/8.

No, porque 45 no es múltiplo de 2.

2/3 = 4/6 = 1/2 + 1/6 3/5 = 6/10 = 1/2 + 1/10

se pueden juntar las piezas F, D y E: 7/16 = 1/4 + 1/8 + 1/16; para 3/4, todas excepto la A (1/4).

13 a) Se representa 2/5 en la recta numérica y se divide cada

unidad en 10 partes iguales. A partir de 2/5 se avanza tres décimos y se llega a 7/10. b) Se representa 9/4 en la recta numérica; luego solo se considera cada unidad dividida en dos partes iguales y a partir de 9/4 se retrocede tres medios; se llega a 3/4.

b) 4/3

c) 37/15

b) 0,111

5 a) Expresa los 9 décimos como 8 décimos más 10 centési-

mos. b) Sumó los 10 centésimos a los 5 centésimos; ahora tiene 15 centésimos. c) Sí.

6 Está bien la de Paula, porque restar 3,15 es lo mismo que

restar 3 y después restar 0,15 (y no sumarlos).

0,4

0,9

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,1

0,6

b) 4/10; 192/100; 804/1 000 c) 3,5 = 3 + 5/10 0,67 = 6/10 + 7/100 0,218 = 2/10 + 1/100 + 8/1 000 b) Azul: 3/4; naranja: 1/4.

12 Hay muchas formas de obtenerlas, por ejemplo, para 7/16

15 a) 25/28

4 a) 0,011

9 a) Pizza: 50; milanesa: 25; hamburguesa: 25.

11 Da un número natural solo el a), que da 2.

b) 1/30

2,65. b) 2,40 m

8 a) 1,2; 0,08; 4,186

10 Cuatro formas: 1 + 13/4; 2 + 9/4; 3 + 5/4; 4 + 1/4.

14 a) 47/20

3 a) Sí porque 1,52 + 0,52 + 0,52 = 2,56, que es menor que

7 Por ejemplo:

11/18

8 a) 15/24 + 8/24 = 23/24

• • • • •

b) $ 36,35

d) 7/12

10 a) 82 chicos.

b) Un tercio es 41, entonces dos tercios es 2 × 41.

11 Voleibol: 15

Handball: 21

Fútbol: 24

12 3/4 → 75%

1/4 → 25% 2/5 → 40%

3/2 → 150% 1/2 → 50%

7/10 → 70%

13 a) $ 150 – $ 45 = $ 105

$ 90 – $ 27 = $ 63 $ 120 – $ 36 = $ 84 b) Le descontaron $ 80, o sea, el 40% de 200.

14 a) 1/2 hora = 30 minutos; 1/4 hora = 15 minutos.

b) 2 horas y cuarto o sea, 135 minutos.

16 Hay que sumarle 169/72.

17 Hay que intercambiar el 3 y el 5.

18 Quedaron 1 y 1/4 kg de pan.

19 No está bien la a) (no se pueden sumar los numeradores

por un lado y los denominadores por otro).

15 Harina: 1 ¼ tazas; azúcar: 1/4 taza; manteca: 75 g.

16 a) En 1/2 hora, 1/4 de la taza, y en 1 hora, 1/2.

b) Tardará 2 h en llenar 1 taza y 4 h en llenar 2.

17 En la 1.a fila: 1/4 y 2; en la 2.a fila: $ 1,50 y $ 2,25.

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9/4 = 2 + 1/4

1 a) $ 12,75 y $ 23,60

2 70 centavos y 40 centavos. En total, $ 1,10.

2 Quedaron 3/2 L, o sea, 1 1/2 L. 3 a) 7/2 = 3 + 1/2

a) 0,50 pesos; 50 centavos y 0,5 pesos. b) 1 centavo es la centésima parte del peso (1/100) y 10 centavos, la décima parte (1/10).

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b) 5/3

8

Repaso

A cargo del alumno: 3 b) y 5 a).

1 a) 3/2

Módulo

18 • Le alcanza a los dos porque Diego gastó $ 4,55

11 Un cuadrilátero no puede tener sus 4 ángulos interiores

y Mirta, $ 6,80.

• Diego: $ 5,45; Mirta: $ 3,20.

• Mirta: $ 3,15; Diego: $ 1,05.

19 3,8 + 0,4 = 3 + 8/10 + 4/10 = 3 + 12/10

= 3 + 10/10 + 2/10 = 3 + 1 + 2/10 = 4 + 2/10 = 4,2

b) 2,05

22 a) 0,999

b) 0,545

23 No; el 40% de 15 es 6 y el 50% de 12 también es 6.

24 a) Le faltan $ 23,40.

b) Le faltan $ 7,80.

25 Es lo mismo porque 1/5 representa el 20%.

13 1 260°

26 6 horas y cuarto, o sea, 375 minutos.

14 Tiene 12 lados. Porque 1 800 : 180 es igual a 10, que es

la cantidad de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales desde un vértice, por lo tanto, el polígono tiene (10 + 2) lados.

27 2,65 – 1,67 = 0,98 28 96 personas, o sea, el 80%.

29 Se puede hacer 1 + 1 + 1 + 1 y a eso restarle lo que le falta

a cada número para llegar a 1, o sea, 0,01; 0,02; 0,03 y 0,04, respectivamente; en total hay que restar 0,10. Entonces es 4 – 0,10 = 3,9.

Módulo

9

A cargo del alumno: 1 a), 16 a) y 17 b).

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Repaso

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12 • Es el cartelito con estas medidas: 62°, 40° y 78°.

• Los tres ángulos del triángulo quedan en forma consecutiva y puede verse que forman un llano. Además, se puede ver que el paralelogramo está formado por dos triángulos, por lo tanto, sus ángulos interiores suman 2 veces 180°.

• Sí, está bien.

• Hay que marcar uno de los ángulos llanos formado por los ángulos consecutivos: azul, verde y rojo.

20 No hay diferencia (15 centavos = 150 milésimos).

21 a) 5,64

agudos, porque la suma de las medidas de esos ángulos es menor que 360°.

Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos, porque los tres ángulos interiores deben sumar 180°.

16 b) 124° 30’. Se obtiene con esta cuenta: 180° - 55° 30’.

17 a) 69° 18 No puede tener dos ángulos interiores obtusos, porque la

suma de sus amplitudes superan los 180°.

19 Cada uno de los ángulos agudos mide 39° 45’.

20 Por ejemplo, 99° y 100° 15’.

21 a) 144° 30’

En el transportador de la izquierda, el lado del ángulo no está alineado con la rayita del 0, y en el otro, el vértice no coincide con el centro del transportador.

1 b) 83°

b) Pueden obtener un paralelogramo común, un rombo o un trapecio isósceles.

22 No, porque la suma de sus amplitudes supera los 360°.

23 Es un octógono; la suma es 1 080° (6 × 180°).

2 El verde mide lo mismo que el azul, porque es su opuesto

por el vértice. El anaranjado y el fucsia miden 52° 15’ (180° – 127° 45’) porque son adyacentes al azul.

3 El adyacente: 101° 33’ 45’’. Y el complementario:

11° 33’ 45’’.

4 a) 95° 24’

15 127° 30’

b) 19° 56’ 30’’

5 75° 44’ 6 Las medidas a rodear son: 90°, 38° 27’ y 51° 33’.

24 Tiene razón Julieta, porque 180 no entra un número entero

de veces en 560.

25 Sí, es cierto, porque si uno es recto, los otros dos deben

sumar 90°, por lo tanto, son agudos.

26 97° 10’ 27 No, porque la suma de los ángulos interiores de un heptá-

gono es 900° y al sumar las amplitudes de los cartelitos se obtiene 914°.

7 Sí. Los tres ángulos suman 180°, entonces, si uno es recto,

los otros dos suman 90°.

Módulo

8 90° y 44° 21’.

9 a) Al trazar una diagonal cada cuadrilátero queda dividido en

dos triángulos. Como la suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180°, la del cuadrilátero es el doble, o sea, 360°. b) Pentágono: 540°. Heptágono: 900°.

10 1 620°

Repaso a) 1,2

12

120

b) 5,14

0,514

10 0,0514

1 a) 10 cuestan $ 0,70 y 100, $ 7.

b) 10 000 caramelos. c) Si se multiplica por 10, 100, 1 000, … las unidades se transforman en decenas, centenas, unidades de mil, … (equivale a correr la coma 1, 2, 3, … lugares a la dere-

11

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1/7/09 4:24:08 PM

cha); si se divide por 10, 100, 1 000, … las unidades pasan a ser décimos, centésimos, milésimos, … (y la coma se corre hacia la izquierda).

2 a) $ 16,80

b) $ 168 c) $ 1,68 d) Se completa con: 16,80; 168; 1,68; 8,40 y 4,20.

3 951 × 0,21 = 199,50 y 951 + 199,50 = 1 149,50.

b) 7,1276

1

3,92

102,9

1 1 125 chicos.

2 a) y b) A cargo del alumno.

c) 1/10, que es lo que quedó pintado dos veces.

3 1/10 = 1/5 × 1/2

5 En total pagó $ 11,65.

6 Hay varios, por ejemplo, para el 1.er globo, 2,5 × 2,4 = 6, y

para el 2.º, 2,6 × 0,5 = 1,3.

4 a) 1/4

b) 1/16

c) 1/16 = 1/4 × 1/4

5 a) 7/8 del sachet.

b) 7/2 representa 3 tazas y media, y 1/4, la capacidad de la taza en litros.

7 $ 3,75 8 a) 2,6

6,5 4,333… 3,25 2,1666… b) Hay que rodear con rojo la 1.a, la 2.a y la 4.a. c) No, porque los restos empiezan a repetirse.

9 Lengua: 7,66… → 8; Matemática: 5,66… → 6;

Cs. Sociales: 7,33… → 7; Cs. Naturales: 8,66… → 9.

10 1,45 kg

6 a) 1 1/8 L

b) 1/8 de la torta.

7 • 1/8 de página. Costaría $ 750.

• Sí, porque 1/2 × 1/3 = 1/6 y 1/6 de $ 6 000 es $ 1 000.

• $ 500. Hay varias opciones: 1/3 × 1/4; 1/2 × 1/6; 1 × 1/12; 1/9 × 3/4; 2/3 × 1/8; 1/10 × 5/6; 1/7 × 7/12; …

8 2/3 × 2/5; 1/3 × 4/5.

11 0,145 L de agua y 21,4 g de tierra.

12 4,2 cm 13 a) $ 6,25

b) 110 bidones.

b) 2,5

1,2

7,2

14 $ 5,20

9 a) 18 3/4

b) 4

7

/8

L

10 a) 7 1/8 h

b) Sirve; 9/4 es lo que dura la película y 7/2, las veces que la vio.

11 a) Comió 52 7/8 g.

15 12,5 L 16 a) En centésimos porque se trabaja con números naturales

más chicos. b) En milésimos porque si se expresaran en centésimos seguiría quedando un número con coma. c) 4,03 0,03 17 • Sí, el precio es $ 4 259,20.

• $ 193,60 • 16 cuotas.

b) 35 1/4 × 5 1/2 = 141/4 × 11/2 = 1 551/8 = 193 7/8

12 200 × 11/5 = 440 13 Sí, porque si reparte 2 budines en tres partes iguales tiene

2/3 para cada día y todavía le sobra medio budín.

14 1/2 × 3/5 y 3/5 : 2.

15 a) 1 1/6

b) 7/8

18 Sí, porque dividir por 2 es lo mismo que considerar la mitad

y 0,5 = 1/2.

19 a) 27 minutos.

20 Pudo haber sido 2,1 porque entre 2,1 y 3,4 hay dos decima-

les y no se anulan al multiplicarlos. !

17 : 5 = 3,4 21 22 : 9 = 2,4 . Aprox. 2,44 !

64 : 3 = 21, 3 . Aprox. 21,33 81 : 15 = 5,4 ! ! . Aprox. 6,91 82 : 6 = 13,6 . Aprox. 13,67 76 : 11 = 6,90

12

A cargo del alumno: 5 b), 10 a), 14 b) y 28 .

Repaso 540°, 720° y 900°.

1 Sí, porque con un pliegue se puede modificar el cuadrado de

manera que la nueva figura conserve un par de lados paralelos y dos ángulos rectos.

22 $ 2,45 23 a) $ 15,45

Módulo

b) $ 6,21

b) 5

2 Un trapecio isósceles. Tiene un par de lados paralelos. Los

24 750 g = 0,75 kg, entonces hace 2,60 × 0,75.

25 134,1 g

lados no parelelos son iguales. Tiene dos pares de ángulos iguales.

3 a) 180°

26 6,5 km

b) 50° y 130°.

c) iguales/180°.

4 Sí. Porque pueden diferir en las amplitudes de sus ángulos

27 Todas menos la segunda.

interiores.

12

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2

Repaso a) 10 soldaditos.

11

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4 a) 4

Módulo

5 a) Los ángulos opuestos del paralelogramo deben ser igua-

les. Los ángulos agudos del trapecio isósceles deben ser iguales.

6 Figura de la izquierda: 115° y 65°. Figura de la derecha: 30°

y 150°.

7 No, porque el rombo es un paralelogramo y sus ángulos

opuestos son iguales. No, porque en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los 4 suman 360°, por lo tanto, si dos fueran rectos, los otros dos también serían rectos.

24 No. Porque los segmentos no se cortan en su punto medio.

25 Porque una de ellas tiene que cortar a la otra en el punto

medio.

26 140° 27 5 lados.

29 a) 8 triángulos. 10 lados.

b) 144°

30 12 lados.

Módulo

8

Sí

Sí

Sí

Sí

No Sí No Sí No No Sí

Sí

9 Siempre se cortan en el punto medio.

10 b) Sí, será idéntica a la de Pedro.

11 Diagonales perpendiculares para las dos figuras; en el

rombo que se corten en el punto medio de ambas y para el romboide que solo una corte a la otra en el punto medio.

12 La suma es 720°, se divide por 6 y se obtiene la amplitud

de cada ángulo: 120°. Pueden ir trazando un segmento de 2 cm y un ángulo de 120°, y volver a hacerlo hasta que queden marcados los 6 vértices.

13 a) Es el hexágono. Al dividir 360° por 6 se obtiene 60°.

b) 72° y 36°.

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14 a) 45° 15 Se hace 360: 36 y se obtiene 10; por lo tanto, el polígono

tiene 10 ángulos centrales, o sea, 10 lados.

16 360° 17 Con el pentágono regular no se puede cubrir la superficie,

porque su ángulo interior es de 108° y 108 no entra un número entero de veces en 360. Sí, se puede cubrir la superficie con las restantes figuras.

18 • A Poli le sirven los mosaicos con forma de triángulo equi-

látero o con forma de paralelogramo. El explorador pudo haber usado los que tienen forma de pentágono.

• Los ángulos interiores de cada figura.

• Usó triángulos equiláteros.

19 El eneágono. Como 9 ángulos de 40° suman 360°, el polígo-

no regular tiene 9 lados.

20 Que tenga ángulos rectos o que tenga las dos diagonales

iguales.

21 39°, 141° y 141°.

c) 36°

13

A cargo del alumno: 1 c) y 2 c).

Repaso • 80 cuadras en 2 horas, 20 en ½ h y 60 en 1½ h.

• 30 cuadras.

1 a) 20 kg → $ 160; 2½ kg → $ 20; 10 kg → $ 80.

b) 4 kg cuestan $ 32.

2 a) 3 kg → $ 21; 1½ kg → $ 10,50; 7½ kg → $ 52,50.

b) 4½ kg cuestan $ 31,50.

3 a) En “El gran mandarín”.

b) Sí, por ejemplo, 4 kg cuestan $ 32 en 1 , y 4½ kg cuestan $ 31,50 en 2 (más cantidad a menos precio).

4 En la verdulería “Pérez Gil”.

5 a) Para la primera tabla:

1/2 kg → 2 pizzas; 4 kg → 16; 1/4 kg → 1.

Para la segunda tabla: 1/4 L → 1/2 kg; 4 L → 8 kg; 3/8 L → 3/4 kg. b) 4 en la primera y 2 en la segunda.

6 a) $ 4,50

b) 7 viajes; sobran $ 0,70. c) Para 22 viajes.

7 La tabla b) porque el precio es directamente proporcional a

la cantidad de caramelos.

8 a) $ 24

b) $ 48 c) Consumo: 400 kwh → $ 16. Total $ 37,75.

9 El perímetro es proporcional a la longitud de los lados, pero

el área no (si se duplica la longitud de cada lado se necesitan el cuádruplo de los cuadraditos para cubrirlo).

10 a) 500 novelas.

b) 74 500 kB

c) 72,75 MB. Sí le alcanza.

11 a) El tren de Tyncho es más veloz porque recorre más distan-

cia en igual tiempo. b) Sí, porque recorre en el mismo tiempo la mitad de distancia que el de Tyncho.

22 63°, 117° y 117°.

12 A 45 km/h tardaría 24 minutos y a 135 km/h, 8 minutos.

23 a) Azul: trapecio isósceles. Blanco: rombo.

13 a) Se completa con 4; 12; 24 y 16 (en ese orden).

b) En el azul: 65°, 115° y 115°. En el blanco: 115°, 65°, 115° y 65°.

b) Hay 240 alfajores. Se calcula multiplicando los valores de una columna, por ejemplo, 30 × 8.

13

BookGuiaDoc.A6M.indb 13

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cia que el viejo en el mismo tiempo.

• Tardará 4 minutos y medio.

• Corre a 288 metros por minuto.

• No, porque el auto de Brasita puede recorrer una distancia menor en el mismo tiempo.

16 La primera es de proporcionalidad inversa, la segunda no

es de proporcionalidad y la tercera es de proporcionalidad directa.

17 El más económico es “El ternero alegre”.

18 El dulce de membrillo es más calórico porque 150 g tienen

450 calorías.

19 2 máquinas tardarán 45 minutos y 5 máquinas, 18 minutos.

20 Necesita 8 porta-CD de 105, 6 porta-CD de 140 y 5 porta-CD

de 168.

21 a) La primera tabla se completa con 4 horas y con 40 km/h.

Para la segunda tabla, 8 horas y 75 km. b) La primera tabla es de proporcionalidad inversa, porque al aumentar la velocidad se tarda menos, proporcionalmente.

22 En la primera tabla la constante representa el precio de

1 kg de manzanas y se completa con 15; 9; 45 y 3, en ese orden.

En la segunda tabla la constante representa la cantidad total de alumnos y se completa con 6; 10; 2 y 30, en ese orden.

14

Módulo A cargo del alumno: 3 c) y gráficos de 12 y 16 c).

1 a) En 1 minuto hace 20 copias.

b) 5 minutos.

c) El punto une 4 minutos con 80 copias.

2 a) La tabla se completa con 120; 180; 240; 360 y 540, en

ese orden. b) Porque, por ejemplo, al duplicar los litros de nafta, se duplica la cantidad de kilómetros que pueden recorrerse. c) El punto une 25 litros con 300 km. d) El punto une 40 litros con 480 km.

3 a) La tabla se completa con 1¼; 1½ y 2, en ese orden.

b) Hay que marcar los puntos (2; ½), (5; 1¼), (6; 1½) y (8; 2). b) Sí, porque si un artículo cuesta, por ejemplo, la mitad que otro, el descuento también será de la mitad. b) 57,6

c) 4,8

9 La tabla se completa en la primera fila con 40%, y en la

segunda, con 90º, 72º, 54º y 144º, en ese orden.

10 a) 3 600 habitantes.

b) El 22,22% son niños, el 27,78% son adolescentes, el 40% son adultos y el 10% restante, adultos mayores.

11 • Gastó $ 127,50 en comida para gatos, $ 172,50 en

herramientas y $ 190 en camisones. Total: $ 490.

• Sí, porque al aplicar 2 veces el descuento del 50% se obtiene el valor de un camisón.

12 Total encuestados: 1 300 adolescentes.

Bailar: 45% → 162º. Cine: 20% → 72º.

Recitales: 35% → 126º.

13 a)

Tiempo (h) Alfajores envasados b) 5 horas.

14 a) 57,6

2

4

6

8

300

600

900

1 200

c) Sí. b) 62,37

c) 150,42

d) 546,24

15 La columna de descuentos se completa con 16,80; 216 y

96; la del precio “ahora”, con 123,20; 1 584 y 704.

16 a) Documentales: 75 chicos; ficción: 200.

b) Los de entretenimiento, porque a los dibujos animados solo los prefiere el 20%. c) Ficción: 144º; entretenimiento: 90º; documentales: 54º; dibujos animados: 72º.

17 El gráfico 1 porque la unión de los puntos determina una

semirrecta con origen en 0.

18 a) 100% ⎯→ 360º b) 75% ⎯→ 270º c) 12,5% ⎯→ 45º

Módulo

15

Repaso • A cargo del alumno.

• Para ponernos de acuerdo y tener todos la misma medida.

1 Sacapuntas → largo: 3 cm; ancho: 20 mm; alto: 10 mm.

Bicicleta → 70 cm y 1,5 m.

4 a) Se completa con: 5; 2,5 y 20, en ese orden.

5 a) 96

8 A favor: 39; en contra: 21; no votaron: 12; ausentes: 3.

d) 480

6 Se completa con 50; 25; 5 y 20, en ese orden.

7 La constante entre el número y el porcentaje es 0,625; para

obtener el porcentaje y completar la tabla hay que multipli-

2 a) La segunda fila se completa con 25; 100; 250 y 1 000

(en m); la tercera, con: 0,025; 0,1; 0,25 y 1 (en km). b) Hay que multiplicar los metros por 0,001. c) 120 largos.

3 a) Para expresar 3 cm en m se divide por 100, y 7,5 mm en

m, se divide por 1 000. b) 1 dam = 100 dm.

14

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b) 900 ml es la cantidad de perfume a envasar.

15 • Tardará menos porque el nuevo auto recorre más distan-

car cada número por 0,625. También podría emplearse la constante entre el porcentaje y el número, que es 1,6; en ese caso el porcentaje se obtiene dividiendo cada número por 1,6.

De cualquier manera se obtiene que 20 es el 12,5% de 160.

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

14 a) Se completa con 90; 30; 15 y 9 (en ese orden).

4 a) Los otros lados medirán: 6 cm y 3 cm.

4 El único que no entra es el lápiz.

b) No cambia la amplitud de los ángulos.

5 78 445 km 6 a) 45 L

5 a) Dormitorio: 3,9 m × 3,6 m. Living-comedor: 6,9 m × 2,1 m.

b) 1 hl = 100 L = 10 dal

6 • Recorrerá 350 km.

• La escala del mapa es 1 : 12 500 000; si el tamaño fuera de la mitad, la escala sería 1 : 25 000 000, y si fuera el doble de tamaño, 1 : 6 250 000.

c) 1 kl = 1 000 L = 100 dal = 10 hl 7 Morena, porque 0,3 L = 30 cl.

8 Tabla: 4 dl en L → 4 : 10 → 4 dl = 0,4 L.

4 dl en hl → 4 : 1 000 → 4 dl = 0,004 hl.

15 kl en L → 15 × 1 000 → 15 kl = 15 000 L. 15 kl en cl → 15 × 100 000 → 15 kl = 1 500 000 cl.

Machete: …multiplicar o dividir por 10, 100, 1 000, etcétera.

9 a) 1 ½ L

b) Con 12 vasos.

7 Distancia real: 705 km. Escala 1 : 15 000 000.

8 El árbol mide 7 m.

9 a) 0,82 km

b) Menos de 1 km.

c) A 1 cm.

11 La altura real es de 300 m.

10 50 000 mg; 4 000 g; 45 hg; 48 000 dg; 4,999 kg.

12 El plano tendrá 1,4 cm de largo × 0,75 cm de ancho.

11 a) 1 000 kg; 845 kg; 100 kg.

13 La medida es de 34,5 cm.

b) 3 055 kg

12 1. globo: No; pesan lo mismo; 2.º globo: Sí; 95 L × 2 = er

190 L = 19 000 cl; 3.er globo: Sí; 0,045 hl = 4,5 L y con eso recorre 75 km = 75 000 m.

13 • Uno mide 11 100 m y el otro, 1 999,9 m (casi 2 000 m).

• Menor (1 dam = 10 m).

• Caperucita recorrió 1 999,9 m, es decir, casi 2 000 m, y dio unos 4 000 pasos.

• Está muy cerca, a solo 1 m.

14 a) 99,5 dag; 2 367,9 dg; 7,5 hg.

b) 99,52 dag se aproxima a 1 kg; 2 367,87 dg a 1/4 kg y 7,467 hg a 3/4 kg.

Repaso a) 64 cm b) Un ejemplo posible es alinear todos los cuadrados y formar un rectángulo cuyo perímetro es 48 cm.

1 Cuadrado: 8 cm; triángulo: 7,5 cm; paralelogramo: 14 cm y

rectángulo: 15 cm. triángulo equilátero: 2,5 cm × 3; paralelogramo: (4 cm + 3 cm) × 2.

16 Miraflores, Aromos, Naranjos y Lilas. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

17

2 Cuadrado: 2 cm × 4;

15 5 metros. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Módulo

17 2 400 dg; 20 000 cg; 2,00006 hg y 0,104 dag.

3 a) A cargo del alumno.

b) Sí, cercano a 3. La longitud de la circunferencia es igual a π × diámetro, o también a 2 × π × radio.

18 2 hl cuestan $ 400, 5 dl cuestan $ 1 y 600 cl, $ 12.

19 2,8 L 20 3 latas.

21 9 latas de 0,005 hl, o 5 latas de 10 dl (y le sobra media), o

4 a) 31,4 m

b) 34,54 m

5 a) 5 cm

b) 25 cm2

1 lata de 5 L (y le sobra medio litro).

6 Efectivamente, L2 = 25 cm2.

22 408 minutos (6 horas con 48 minutos).

7 a) 15 veces, o sea, 15 cm2.

b) Con la multiplicación de 3 cm × 5 cm. c) L1 × L2, o bien, base × altura.

23 73 000 m

8 a) 10 ha

Módulo

16

A cargo del alumno: 5 b), 6 primer inciso (correspondiente al “Animate a explorar” de pág. 109) y construcciones de 4 a), 10 y 14 .

1 Mide 1,20 cm.

2 a) 9 m de largo × 6 m de ancho.

b) 3,60 m de largo × 3 m de ancho, cada dormitorio.

3 a) Escala 1 : 1 500.

b) Ancho: 4 cm.

b) 2 000 000 m2 c) 420 000 000 m2 = 420 ha 9 a) Sí.

b) Porque puede transformarlo en un rectángulo de igual base e igual altura que el paralelogramo original.

10 32 cm2 11 Los catetos de cada triángulo rectángulo miden la mitad de

una diagonal. Por lo tanto, el área del rombo será cuatro veces la de cada triángulo; simplificando, el área es la mitad del producto de las diagonales.

15

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Módulo

12 a) El dibujo muestra que el área del rectángulo de lados

iguales a las diagonales mayor y menor, es el doble del área del rombo. b) 16 cm2 13 a) Se forma un paralelogramo, habría que conocer un lado

del triángulo y su altura correspondiente. b) Sí.

14 Área de cada triángulo: 30 cm2.

Área del pentágono = 5 × Área del triángulo.

15 Base × 5 por perímetro del pentágono y altura del triángulo

por apotema del polígono.

16 Al trazar las diagonales del cuadrado de lado L queda dividi-

do en 4 triángulos iguales. El área de cada uno es (L × L/2)/2; el área total es cuatro veces la fórmula anterior; la altura del triángulo es la apotema del cuadrado: 4 × (L × L/2)/2 = (4 × L × apotema)/2 = (perímetro × apotema)/2.

17 Es importante que los alumnos se den cuenta de que cual-

quiera sea la figura que armen, si siempre usan todas las piezas, el área será la misma, pero no así el perímetro.

18 a) El rectángulo, porque la otra figura se obtiene de borrarle

partes de su superficie. b) La figura de la derecha, que reemplazó cada lado menor del rectángulo por otros dos lados iguales.

19 • Hay figuras de distinta forma que tienen igual perímetro;

el cuadrado mediría 6,5 fósforos de lado.

• Sí, basta con tomar un cuadrado de 6 fósforos de lado.

A cargo del alumno: 1 a), 3 a), 6 a) y c), 8 c).

Repaso 1. Cono. 2. Cubo. 3. Poliedro. 4. Pirámide. 5. Prisma.

6. Redondos. 7. Esfera.

1 b) Preguntas: ¿Tiene un vértice? ¿Tiene una sola base?

Respuestas: No/Sí.

2 No es verdad, un prisma puede tener bases triangulares. No

es verdad, la base de una pirámide pueden tener la forma de cualquier polígono.

3 b) El cuerpo puede tener bases de 3 cm de arista y aristas

laterales de 6 cm o viceversa.

4 Hay que rodear el II y el III. 5 Pirámide de base triangular.

6 b) Los segmentos son paralelos y de la misma longitud.

7 • Para armar el bonete pudo haber recortado un triángulo.

• La longitud del borde del círculo debe coincidir con la longitud de uno de los lados del rectángulo que se enrolló para armar la cara curva del cilindro.

• Unos 12 cm.

• Altura: 20 cm. Longitud del borde: 42 cm.

8 a) Es un prisma con 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. b) No. 9 a) Pirámide.

b) Pirámide.

c) Prisma.

gono: 12 cm; hexágono regular: 15 cm; triángulos: rectángulo 12 cm; isósceles 5 cm y equilátero 6 cm.

triangulares. Los ocho rectángulos sí pueden ser las caras laterales de un prisma.

11 Triangulares. Tres caras laterales.

12 a) 12 vértices.

b) 400 cm2

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21 Rectángulo y cuadrado: 8 cm; paralelogramo, rombo y pentá-

b) 10 vértices.

c) Lo multiplico por 2.

13 a) La cantidad de caras es igual al número de lados de la

23 3,9 m 24 560 m 25 a) El rectángulo tiene mayor área que la figura formada por

él menos una parte de él. b) Ambas figuras tienen igual perímetro.

26 a) 11,3 cm

b) 8,5 cm

c) 6,8 cm

27 a) 95,4 cm2

b) La mitad; 47,7 cm2.

base más 1. b) La cantidad de caras es igual al número de lados de la base más 2.

14 Sí, es cierto. Habría que unir dos caras cuadradas.

15 Triángulos. Cualquier polígono.

16 Hay que marcar el borde de cada círculo y los lados de ma-

yor longitud del rectángulo.

16

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© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

10 No pudo armar una pirámide, porque tiene caras laterales

20 4,7 cm

22 a) 80 cm

18

E A T M

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A I C Á M T

BookGuiaDoc.A6M.indb 17

deporte

1/7/09 4:24:23 PM

Sección I

M A T I MU N D O No te olvides la clave…

Pa­ra uti­li­zar un ca­je­ro au­to­má­ti­co hay que co­lo­car una tar­je­ta y ti­piar una cla­ve de 4 dí­gi­ tos. Eso da 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 po­si­ bles cla­ves pa­ra esa tar­je­ta, y así es ex­tre­ma­da­ men­te di­fí­cil que al­guien “acier­te” la cla­ve en los tres in­ten­tos que per­mi­te el ca­je­ro.

Pa­ra ac­ce­der a In­ter­net la can­ti­dad de cla­ ves es ma­yor, por­que tam­bién se pue­den usar le­tras. Mu­chas en­ti­da­des exi­gen a los usua­rios una cla­ve al­fa­nu­mé­ri­ca, o sea con le­tras y nú­me­ros. Exis­te así la po­si­bi­li­dad de ar­mar más de 1 200 000 cla­ves con so­lo cua­tro ca­rac­te­res.

¡Un número muuuuuuuuuuuy grande!

Los colores en Internet Las pá­gi­nas web que ve­mos en In­ter­net es­tán re­ple­tas de co­lo­res. Ca­da uno de ellos se iden­ti­fi­ca con un nú­me­ro he­xa­de­ci­mal, o sea un nú­me­ro es­cri­to en ba­se 16.

En esa ba­se los dí­gi­tos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Tra­du­ci­do a nú­me­ro de­ci­mal, al co­lor ro­jo le co­rres­pon­ de: FF0000 = F × 165 + F × 164 = 15 × 165 + 15 × 164 = 16 711 680

Color

Hexadecimal Nombre

FFFFFF

blanco

000000

negro

0000FF

azul

008000

verde

808080

gris

FF0000

rojo

FFFF00

amarillo

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Alrededor del año 1940 dos matemáticos presentaron un número enorme: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Por ser un 1 seguido de cien ceros, podemos escribirlo así: 10100.

En español podría leerse diez mil decisextillones, pero el hijo más pequeño de uno de los matemáticos lo llamó googol y así se lo conoce.

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BookGuiaDoc.A6M.indb 18

1/7/09 4:24:25 PM

¿Sabías que... ...el sis­te­ma de nu­me­ra­ción más uti­li­za­do es el de­ci­mal?

Qui­zá se de­ba a que des­de la An­ti­güe­dad se usa­ron los diez de­dos de las ma­nos pa­ra con­tar y ope­rar con nú­me­ros. ...en al­gu­nas cul­tu­ras el nú­me­ro 5 se sim­bo­li­za con una ma­no?

Eso lle­vó a su­ge­rir que la re­pre­sen­ta­ción del 5 en nú­me­ros ro­ma­ nos se de­be a la V que pue­de for­mar­se en­tre el pul­gar y el res­to de los de­dos. ...al­gu­nas tri­bus cuen­tan usan­do di­fe­ren­tes par­tes del cuer­po?

En ge­ne­ral usan los de­dos de las ma­nos y de los pies, pe­ro otras van des­ de el de­do me­ñi­que de una ma­no has­ta el me­ñi­que de la otra, pa­san­do por las mu­ñe­cas, los co­dos, los hom­bros y el pe­cho.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

El idioma de los números

La pa­la­bra ochen­ta vie­ne del la­tín oc­to­gin­ta, que sig­ni­fi­ca ocho ve­ces diez.

En francés, 80 se dice quatre–vingts, que significa cuatro veces veinte.

Y noventa (del latín nonaginta) significa nueve veces diez.

En fran­cés, los nom­bres de al­gu­nos nú­me­ros pro­vie­nen de un an­ti­guo sis­te­ma vi­ge­si­mal (ba­se 20):

En es­pa­ñol nom­bra­mos las de­ce­nas co­mo si fue­ran pro­duc­tos de 10: 80 = 8 × 10

Y 90 se dice quatre–vingt–dix, es decir, cuatro veces veinte más diez.

90 = 9 × 10

80 = 4 × 20

90 = 4 × 20 + 10

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1/7/09 4:24:28 PM

MA T I J U EG OS

Acertijo

Clave de cumpleaños

familiar

Tengo que elegir una clave de 4 dígitos. Si uso mi fecha de cumpleaños, que se escribe con cuatro dígitos distintos..., pero cambio de lugar el día con el mes..., queda un número formado por 4 dígitos consecutivos, ordenados de menor a mayor.

¿Quién es la nieta de tu bisabuela que no es tu tía?

¿Cuándo cumple años esa persona?

Do­mi­nó po­ten­cia­do Juego para dos •

Se usan las 21 fi­chas del jue­go del do­mi­nó que no con­tie­nen ca­si­llas en blan­co. Ca­da fi­cha re­pre­sen­ta una po­ten­cia; por ejem­plo, pue­de re­pre­sen­tar 25 o 52.

apar­ta una (es­ta no jue­ga) y se re­par­ten las de­más. Ca­da ju­ga­dor mi­ra las fi­chas que re­ci­bió.

Se sor­tea quién co­mien­za. Ese ju­ga­dor da vuel­ta una de sus fi­chas y di­ce qué nú­me­ro ha­ce de ba­se y cuál de ex­po­nen­te. El otro ju­ga­dor ha­ce lo pro­pio, tra­tan­do de lo­grar un re­sul­ta­do ma­yor. Por ejem­ plo, 33 le ga­na a 52, pe­ro pier­de fren­te a 25.

El ju­ga­dor que ga­na ob­tie­ne 2 pun­tos y el de­re­cho a co­men­zar la ma­no si­guien­te. Si hay em­pa­te (por ejem­plo: 26 con 43) le co­rres­pon­de 1 pun­to a ca­da uno y re­co­mien­za el mis­mo ju­ga­dor.

Ga­na el que ha­ya acu­mu­la­do más pun­tos cuan­do no ha­ya más fi­chas por ju­gar.

Pue­den ayu­dar­se con una cal­cu­la­do­ra.

• • • •

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

• Se po­nen las fi­chas bo­ca aba­jo y se las mez­cla. Sin mi­rar­las, se

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BookGuiaDoc.A6M.indb 20

1/7/09 4:24:29 PM

¿Cuál sigue? ¿Cómo es la séptima bandera que continúa la secuencia?

Tres por todos lados

Capicúa potencial

A treinta millones trescientos tres mil treinta sumale tres millones treinta mil trescientos tres. ¿Qué te da?

Pen­sé dos nú­me­ros na­tu­ra­les dis­tin­tos de un so­lo dí­gi­to. Si pon­go uno co­mo ba­se y el otro co­mo ex­po­nen­te, ob­ten­go el mis­mo re­sul­ta­do que si los in­ter­ cam­bio. ¿Qué nú­me­ros pen­sé?

Dolor de cabeza...

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Entrenamiento olímpico ¿De dónde son?

¿Cómo hacen para contar?

Somos marcianos.

Tenemos 6 dedos en cada mano.

Nuestro sistema de numeración es de base 12.

Usamos los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A y B.

¿Cuántos vinieron en la nave?

¡BABA! 21

BookGuiaDoc.A6M.indb 21

¡Ayudame a descifrar cuántos son!

1/7/09 4:24:31 PM

Sección II

M A T I MU ND O ¿Por qué decimos “número primo”? ¿Por qué no “número tío”?

Por­que la pa­la­bra “pri­mo” tam­bién sig­ni­fi­ ca “pri­me­ro”. Y en ese sen­ti­do de­ci­mos “nú­me­ros pri­mos”, pa­ra re­mar­car que son los nú­me­ros pri­me­ros o prin­ci­pa­les a par­tir de los cua­les ob­te­ne­mos los de­más. Te­né pre­ sen­te que, sal­vo el 0 y el 1, cual­quier nú­me­ ro na­tu­ral es pri­mo o es un pro­duc­to de nú­me­ros pri­mos.

53 59

41 47 43 31

37 73

El truco del cumpleaños De­ci­le a una per­so­na que vas a adi­vi­nar su fe­cha de cum­plea­ños.

El ¿temible? número 13 La gen­te su­pers­ti­cio­sa le te­me a va­rias co­sas: pa­sar por de­ba­jo de una es­ca­le­ra, vol­car la sal, un ga­to ne­gro que se cru­za. Y, en tren de co­sas in­só­li­tas, le te­me al nú­me­ro 13.

Aun­que pa­rez­ca men­ti­ra, hay edi­fi­cios don­de no exis­te el de­par­ta­men­to o la ofi­ci­na 13 (aun­que sí la 12 o la 14) e in­clu­so se lle­gó al ex­tre­mo de que no exis­ta el pi­so 13.

Al pa­re­cer ese re­cha­zo se re­mon­ta a la tra­di­ción bí­bli­ca de la Úl­ti­ma Ce­na, en la que el co­men­sal nú­me­ro 13 fue Ju­das.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

• Pe­di­le que pien­se en su fe­cha de cum­plea­ños, que mul­ti­pli­que el día por 13 y que le su­me el mes.

Por ejem­plo, si cum­ple el 18 de ma­yo (18/5) tie­ne que ha­cer: 13 × 18 + 5 • Que te di­ga el re­sul­ta­do (en es­te ca­so, 239).

• Aho­ra to­má una cal­cu­la­do­ra que ope­re con frac­cio­nes y es­cri­bí el re­sul­ta­do que te di­jo co­mo nu­me­ra­dor y 13 co­mo de­no­mi­na­dor: 13. Des­pués, pul­sá la te­cla .

239 Va a apa­re­cer un nú­me­ro mix­to.

• Los dos pri­me­ros va­lo­res del nú­me­ro mix­to te dan la fe­cha de su cum­plea­ños:

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BookGuiaDoc.A6M.indb 22

1/7/09 4:24:33 PM

Los primos de Mersenne No, no se tra­ta de los pa­rien­tes de ese se­ñor…

Ma­rin Mer­sen­ne (1588-1648) fue un mon­je fran­cés que es­tu­ dió una fór­mu­la ca­paz de ge­ne­rar nú­me­ros pri­mos: se tra­ta de ele­var el 2 a un nú­me­ro pri­mo y al re­sul­ta­do res­tar­le 1.

Por ejem­plo, 23 – 1 = 7 es pri­mo. Por pro­ve­nir de esa fór­mu­ la, se di­ce que es un pri­mo de Mer­sen­ne.

Pe­ro no siem­pre fun­cio­na; por ejem­plo, 211 – 1 = 2 047 no es pri­mo por­que 2 047 = 23 × 89.

En el pre­sen­te es­tá en mar­cha un pro­yec­to, que en­la­za por In­ter­net mi­les de com­pu­ta­do­ras en to­do el mun­do, pa­ra se­guir des­cu­brien­do pri­mos de Mer­sen­ne. En ma­yo de 2004 se des­cu­ brió el que ocu­pa el lu­gar 41 de esa lis­ta: es el nú­me­ro 224 036 583 – 1, que tie­ne más de 7 200 000 dí­gi­tos. ¡Ha­rían fal­ ta unos 18 li­bros de unas 200 páginas pa­ra po­der es­cri­bir­lo!

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Los compuestos de Sophie Sop­hie Ger­main fue una gran ma­te­má­ti­ca fran­ce­sa que vi­vió a prin­ci­pios del siglo xix, cuan­do no es­ta­ba bien vis­to que una mu­jer se de­di­ca­ra a al­go que no fue­se el ho­gar. Eso la obli­gó a ha­cer­se pa­sar por hom­bre cuan­do se car­tea­ba con otros gran­des ma­te­má­ti­cos de la épo­ca (fir­ma­ba sus car­tas con el seu­dó­ni­mo de An­toi­ne Le Blanc).

Así co­mo Mer­sen­ne es­tu­dió una fór­mu­la que po­dría ge­ne­rar nú­me­ros pri­mos, Sop­hie des­cu­brió otra que siem­pre crea nú­me­ros com­pues­tos: a cual­quier nú­me­ro na­tu­ral ma­yor que 1 lo ele­vás a la cuar­ta y al re­sul­ta­do le su­más 4.

Ya sa­be­mos que to­dos los nú­me­ros pa­res ma­yo­res que 2 son com­pues­tos, pe­ro la fór­mu­la de Sop­hie tam­bién mues­tra im­pa­res que lo son. Por ejem­plo, 34 + 4 = 85 es un nú­me­ro im­par com­pues­to.

Calculadoras que no calculan Para escribir un trillón en una calculadora podés pensar que es 1 × 1018. A esta forma de escribirlo se la llama notación científica, y es útil, entre otras cosas, para ingresar en la cal­ culadora números que no entran en la pantalla.

Para eso tenés que teclear , y te lo va a mostrar así: .

Si le sumás 1 000 000, ya sabés que el resultado es 1 000 000 000 001 000 000, pero como no entra en la pantalla, la calculadora redondea el resultado y vuelve a mostrarte

. O sea, ¡lo que estás viendo tiene un error de un millón de unidades!

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1/7/09 4:24:36 PM

MA T I J U EG OS

El misterioso caso de las cerezas asesinas El inspector Alex está investigando una misteriosa muerte ocurrida en una fiesta.

El forense, Dr. José Rucho, atribuyó el deceso a la ingestión de unas cerezas que causaron una inesperada alergia mortal.

—Por el tipo de alergia, tiene que haber comido media docena de cerezas, como mínimo —afirmó el forense.

El inspector interroga al mayordomo: —¿Quién repartió las cerezas en la fiesta?

—Yo mismo —dice el mayordomo—, repartí seis docenas de cerezas, en forma pareja, y sobraron dos.

—¿A cuántos invitados les repartió las cerezas?

—Hmm... no recuerdo bien... en ese momento serían entre doce y quince...

—¿Está seguro de que no eran menos... digamos, diez u once?

—Absolutamente. Había doce invitados o más.

—¡Sargento, arreste a este hombre por falso testimonio! ¿Cómo supo el inspector Alex que el mayordomo mentía?

Cuando hay reparto quedo al final.

Hasta mi nombre dice que sobro.

Pero en cuestiones de divisores, contesto rápido y no te cobro.

Es­ta ima­gen pue­de ser solo un mo­sai­co, pe­ro tam­bién pue­de re­pre­sen­tar otras co­sas: un pa­trón geo­mé­tri­co, un men­sa­je en cla­ve, una di­vi­sión...

Pa­ra Lu­cas re­pre­sen­ta una di­vi­sión. Él aso­ció los 4 nú­me­ros de una di­vi­sión en­te­ra (D, d, c y r) al cua­dra­do gran­de y a los cua­dra­ di­tos que lo com­po­nen. Des­cu­brí cuá­les son esos nú­me­ros.

D

d

r

c

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Adivinanza matemática

Pensamiento lateral

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BookGuiaDoc.A6M.indb 24

1/7/09 4:24:38 PM

Sopa de primos

X L O T E M I F Z J K Z S Z U C L L V A N V H V P N E X

En es­ta so­pa de le­tras es­tán ocul­tos los nom­bres de to­dos los nú­me­ros pri­mos me­no­res que 30.

B T D I E C I S I E T E R T

Pue­den es­tar es­cri­tos en for­ma ho­ri­ zon­tal, ver­ti­cal o en dia­go­nal, del de­re­ cho o del re­vés. ¡A ver si los en­con­trás!

O N X Z I H G H U F N V T Y

F N Q R U G F I P R V P T L N A I E N X N C K E S Y I V K X E P T O S N H O C L N Q Y Y A Y N C I O A U M U I Z P H U W I C I S D S S E E I E C N O E D L N E G T W V J P S C I V G O R C E G O Y L U M D O O S T X I O W E R Y I

I T I L E W S K F H L Z W

P G V T R E C E W B N F I C

Un antiguo acertijo

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

¿Cómo se pueden ubicar 24 chicos en 6 filas, de manera que haya 5 chicos en cada fila?

Pista: un chico puede formar parte de más de una fila.

Entrenamiento olímpico

? ??

Un beduino que tiene menos de un centenar de camellos decide repartirlos entre sus cinco hijos. Si los distribuye en partes iguales, le sobran tres camellos; pero no le sobra ninguno si a cada hijo le da el doble de lo que le dio al anterior. ¿Cuántos camellos tiene el beduino?

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BookGuiaDoc.A6M.indb 25

1/7/09 4:24:39 PM

M A T I M U ND O Sección III

Tangram El tan­gram es un rom­pe­ca­be­zas de sie­ te pie­zas de ori­gen chi­no. Se des­co­no­ce quién lo creó, aun­que hay va­rias le­yen­ das, co­mo la del azu­le­jo ro­to en sie­te par­tes. Aun­que se­gún otras le­yen­das tie­ne más de 2 000 años, pro­ba­ble­men­te ten­ga so­lo 200 o 300 años de an­ti­güe­dad.

Con el tan­gram se pue­den ha­cer mi­les de fi­gu­ras. Se­gún los chi­nos, la for­ma co­rrec­ta de cons­truir­las con­sis­te en usar las sie­te pie­zas sin su­per­po­ner­las.

Es­tas son al­gu­nas:

Un em­pe­ra­dor de la Chi­na en­car­gó una fi­na pie­za de azu­le­jo de for­ma cua­dra­da a un ar­te­sa­no lla­ma­do Tang. Cuan­do se la fue a en­tre­gar, se le ca­yó al sue­lo y se rom­pió en sie­te pe­da­zos. Al tra­tar de ar­mar nue­va­men­te el azu­le­jo, vio que con sus tro­zos se po­dían ar­mar fi­gu­ras de ob­je­tos, de ani­ ma­les y de per­so­nas. Así se di­ce que na­ció el tan­gram.

Construí tu propio tangram

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Ar­mar tu pro­pio tan­gram es muy fá­cil. Po­dés ha­cer­lo so­bre una car­tu­li­na de co­lor o, me­jor aún, so­bre un car­tón grue­so, pa­ra que las pie­zas ten­gan un po­co de es­pe­sor y no se su­per­pon­gan.

Se­guí los pa­sos que se in­di­can:

Di­bu­já un cua­dra­do de 8 cm de la­do. Usá una re­gla pa­ra mar­car en ca­da la­do los pun­tos co­rres­pon­dien­tes a 2, 4 y 6 cm.

Con los pun­tos que mar­cas­te, tra­zá las lí­neas de guía que se in­di­can en la fi­gu­ra.

Aho­ra tra­zá las lí­neas que es­tán en co­lor ro­jo. Cor­tá el cua­dra­ do por esas lí­neas y ¡lis­to!

26

BookGuiaDoc.A6M.indb 26

1/7/09 4:24:47 PM

Espejito, espejito, ¿dónde está la vela?

A sim­ple vis­ta, ¿se­rías ca­paz de ver la lla­ma de una ve­la que es­tu­ vie­ra a una dis­tan­cia de 3 cua­dras (300 m)?

En 1976, en la re­gión del Cáu­ca­so, se pu­so en fun­cio­na­mien­to un te­les­co­pio que cuen­ta con un es­pe­jo prin­ci­pal de 6 m de diá­me­tro, el más gran­de del mun­do. Ima­gi­na­te que el diá­me­tro de ese es­pe­jo es tan gran­de co­mo el de una ca­le­si­ta…

Con ese te­les­co­pio po­drías ver la lla­ma de una ve­la ubi­ca­da a 24 000 km, es de­cir, a... ¡240 000 cua­dras!

Observatorio.

Tan presente y tan lejano

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

El Sol es­tá a unos 150 000 000 km de no­so­tros. Si se pu­die­ ra ir en au­to, di­ga­mos a unos 150 km/h (bien rá­pi­do pa­ra un au­to), se tar­da­ría más de un si­glo en lle­gar.

Pe­ro la luz via­ja mu­chí­si­mo más rá­pi­do: a 1 080 000 000 km/h. Así y to­do, el Sol es­tá tan le­jos que su luz de­mo­ra unos 8 mi­nu­tos en lle­gar a no­so­tros. Así que cuan­ do mi­rás el Sol no ves có­mo es en ese mo­men­to, si­no có­mo era 8 mi­nu­tos an­tes.

¿Por qué 60?

Cuan­do me­di­mos en ho­ras, mi­nu­tos y se­gun­dos agru­pa­mos de a 60 uni­da­des, pe­ro… ¿por qué 60?

He­re­da­mos esa cos­tum­bre de un an­ti­quí­si­mo pue­blo –los su­me­ rios– que vi­vie­ron en la mis­ma épo­ca que los an­ti­guos egip­cios. Los su­me­rios agru­pa­ban de a 10 uni­da­des (co­mo no­so­tros), pe­ro tam­bién de a 60, y por eso te­nían un sím­bo­lo pa­ra re­pre­sen­tar ca­da uno de los si­guien­tes nú­me­ros:

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BookGuiaDoc.A6M.indb 27

1/7/09 4:24:50 PM

¿Ya ar­mas­te tu tan­gram con las ins­truc­cio­nes de la pá­gi­na 26? Si aún no lo hi­cis­te, és­te es un buen mo­men­to, por­que vas a usar­lo co­mo un ver­ da­de­ro ar­tis­ta.

Re­cor­dá que, se­gún los chi­nos, la for­ma co­rrec­ta de cons­truir fi­gu­ras con el tan­gram es usan­do to­das las pie­zas sin su­per­po­ner­las.

To­das es­tas fi­gu­ras es­tán he­chas de ese mo­do. ¿Po­drás ha­cer­las con tu jue­go, sin mi­rar las so­lu­cio­nes?

p ida i e d z r a e p a L

Es­tas dos fi­gu­ras pa­re­cen igua­les, pe­ro una tie­ne pies y la otra no. Sin em­bar­go, ca­da una de ellas se for­mó con las sie­te pie­zas del tan­gram. ¿Có­mo se hi­cie­ron las dos fi­gu­ras?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

MU T I J U E G O S

Con siete piezas, ni una más ni una menos

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BookGuiaDoc.A6M.indb 28

1/7/09 4:24:51 PM

La oración escondida

En el párrafo siguiente se esconde una oración que indica la equivalencia entre dos unidades de capacidad. Ya te marcamos cómo comienza; no le prestes atención a la acentuación ni a la separación en sílabas y descubrí cómo sigue.

UN SEÑOR VIENE DESDE CALI TROTANDO POR LA RUTA. ES UN DEPORTISTA Y LE DECIMOS PALABRAS ALENTADORAS. DE NOMBRE HÉCTOR, LO LLAMAMOS "LA LIEBRE TROTAMUNDOS".

En un mer­ca­do per­sa

o j e i v o j i t r e c a Un viejo...

El as­tu­to Boab­dil fue al mer­ca­do a com­prar me­dia bo­te­lla de acei­te.

El mer­ca­der le ofre­ció una bo­te­ lla irre­gu­lar y le ase­gu­ró que el

¿Qué pesa más: un kilo de plomo ? s a m lu p e d o il k n ou

acei­te que con­te­nía ocu­pa­ba la mi­tad de la ca­pa­ci­dad del en­va­se. ¿Có­mo hi­zo Boab­ dil pa­ra com­pro­bar­lo sin

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

des­ta­par la bo­te­lla?

Entrenamiento olímpico Observá la secuencia y deducí cuántos vasos vacíos pesa la jarra vacía.

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BookGuiaDoc.A6M.indb 29

1/7/09 4:24:52 PM

M A T I M U ND O Sección IV

Consultando el diccionario ¿De dón­de pro­vie­ne la pa­la­bra “frac­ción”? Del la­tín frac­tio, que a su vez de­ri­va de fran­ge­re que sig­ni­fi­ca rom­per, par­tir, que­brar. Hay mu­chas pa­la­bras que tie­ nen el mis­mo ori­gen.

Al vi­no se lo frac­cio­na pa­ra ven­der­lo en da­ma­jua­ nas o bo­te­llas de dis­tin­ta ca­pa­ci­dad; si nos cae­mos y nos rom­pe­mos un hue­so, en­ton­ces su­fri­mos una frac­ tu­ra; una in­frac­ción sig­ni­fi­ca que­brar al­gu­na ley o dis­ po­si­ción; en Cien­cias Na­tu­ra­les se es­tu­dia la re­frac­ción de la luz blan­ca cuan­do atra­vie­sa un pris­ma, o sea, có­mo se for­ma el ar­co iris.

Y en Ma­te­má­ti­ca exis­ten fi­gu­ras geo­mé­tri­cas lla­ma­das frac­ta­les; en ellas, cual­quier par­ te es una co­pia, en es­ca­la más pe­que­ña, de to­da la fi­gu­ra. Es­tas for­mas geo­mé­tri­cas se en­cuen­tran en las ho­jas de los ár­bo­les, las ca­pa­ra­zo­nes de al­gu­nos ani­ma­les, en las ro­cas y los cris­ta­les, en la nie­ve y en mu­chos otros ele­men­tos de la na­tu­ra­le­za.

Así se construye el fractal “Copo de nieve”

1er. paso

2do. paso

3er. paso

Libras, chelines, peniques... ¡qué lío! bién se usa­ban los che­li­nes y los pe­ni­ques. El che­lín va­lía 1 de li­bra es­ter­li­na y el pe­ni­que 20

va­lía 1 de che­lín, o sea que un pe­ni­que equi­va­lía a 1 de li­bra. Y pa­ra com­pli­car más las 12

co­sas, ha­bía otras mo­ne­das co­mo la gui­nea, la co­ro­ na o la me­dia co­ro­na. La gui­nea va­lía 21 che­li­nes o 20 21

li­bras es­ter­li­nas; la co­ro­na va­lía 5 che­li­nes o 1 4

de li­bra es­ter­li­na, y la me­dia co­ro­na, equi­va­lía a 2 che­li­nes y 6 pe­ni­ques, o sea 1 de li­bra es­ter­li­na.

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

En Gran Bre­ta­ña la uni­dad mo­ne­ta­ria es la li­bra es­ter­li­na, pe­ro has­ta el año 1971 tam­

¡Qué com­pli­ca­do! ¿no? Aho­ra usan un sis­te­ma más sen­ci­llo, la li­bra es­ter­li­na di­vi­di­da en 100 pe­ni­ques, igual que nues­tros pe­sos y cen­ta­vos.

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1/7/09 4:24:54 PM

El Ojo de Horus Ho­rus, uno de los dio­ses del an­ti­guo Egip­ to, qui­so ven­gar el ase­si­na­to de su pa­dre en un com­ba­te fe­roz con su tío Seth. En la pe­lea, es­te le arran­có un ojo, lo cor­tó en seis par­tes y lo es­par­ció por Egip­to.

La asam­blea de los dio­ses se apia­dó de Ho­rus y le en­car­gó a Toth, gran maes­tro de los es­cri­bas, que le re­cons­tru­ye­ra un ojo sa­no y com­ple­to. Por eso, el ojo de Ho­rus sig­ni­fi­ca­ba la in­te­gri­dad fí­si­ca, el co­no­ci­mien­to, la vi­sión y la fer­ti­li­dad. Se han en­con­tra­do jo­yas y ador­nos con esa fi­gu­ra, los que se con­si­de­ra­ban amu­le­tos má­gi­cos. Ade­ más, los es­cri­bas uti­li­za­ban las dis­tin­tas par­tes pa­ra re­pre­sen­tar las frac­ cio­nes del hé­qat, uni­dad de ca­pa­ci­dad equi­va­len­te a unos 5 li­tros.

¿Sabías que...

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... del to­tal del agua de nues­tro pla­ne­ta no son ap­tos pa­ra el con­su­mo hu­ma­no por­que 100 es­tán cons­ti­tui­dos por agua sa­la­da?

3

9

...de los que que­dan, tam­po­co se pue­den uti­li­zar por­que es­tán en for­ma de hie­lo, en 10 100 los gla­cia­res y en los cas­que­tes po­la­res?

3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Por lo tan­to, el agua dis­po­ni­ble ap­ta pa­ra con­su­mo hu­ma­no es so­lo del to­tal del agua 1 000 de nues­tro pla­ne­ta.

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1/7/09 4:24:56 PM

En es­ta su­ma de frac­cio­nes se bo­rra­ron al­gu­nos nú­me­ros. Las dos pis­tas que si­guen pa­re­cen po­cas, sin em­bar­go, son su­fi­cien­tes pa­ra com­ple­tar las ci­fras que fal­tan.

• La frac­ción de de­no­mi­na­dor 12 no se pue­de sim­pli­fi­car.

• La frac­ción del me­dio es igual al tri­ple de la de de­no­mi­na­dor 12.

Tatetí de cuatro Es­ta es una va­rian­te más en­tre­te­ni­da del ta­te­tí tra­di­cio­nal. Se jue­ga so­bre una ho­ja de pa­pel cua­dri­cu­la­do y se pue­de usar to­da la ho­ja.

Un ju­ga­dor di­bu­ja cru­ces y otro, cír­cu­los, uno por vez, den­tro de cual­ quier cua­dra­di­to de la ho­ja, tra­tan­do de co­lo­car cua­tro en lí­nea ho­ri­zon­ tal, ver­ti­cal o dia­go­nal.

Ca­da vez que com­ple­ta una lí­nea de cua­tro, la ta­cha y se ano­ta un pun­to.

Ga­na el que lle­ga pri­me­ro a cin­co pun­tos.

Las cru­ces o los cír­cu­los que per­te­ne­cen a una lí­nea ya ta­cha­da no se pue­den con­tar pa­ra for­mar otra lí­nea.

Pa­ra evi­tar dis­cu­sio­nes: es con­ve­ nien­te, an­tes de em­pe­zar la par­ti­da, po­ner­se de acuer­do en los lí­mi­tes de la ho­ja y has­ta qué cua­dra­di­tos del bor­de se pue­den usar.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

MA T I J U EG OS

Números borrados

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1/7/09 4:24:57 PM

El queso cortado Cor­tar un que­so en ocho par­tes igua­les con cua­tro cor­tes rec­tos es muy fá­cil, pe­ro tam­bién se pue­de ha­cer con so­la­men­te tres cor­tes rec­tos. ¿Có­mo?

El fabricante de pesas A un fabricante de pesas para balanzas le encargaron un juego de pesas con el que se pudieran pesar cantidades 1 1 3 de 4 kg; 2 kg; 4 kg y 1 kg. La solución más fácil es hacer cuatro pesas, pero el fabricante resolvió el pedido haciendo solamente dos pesas. ¿Cómo hizo?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Entrenamiento olímpico De todas las fracciones mayores que 1 y menores que 1 , encontrá la que 3 2

tiene menor denominador.

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1/7/09 4:24:59 PM

Hexágonos y lagartijas Ob­ser­vá es­te di­bu­jo del ar­tis­ta ho­lan­dés M. C. Es­cher. En él se ven unas la­gar­ti­jas que sa­len de la ho­ja, ca­mi­nan so­bre los ob­je­tos que hay so­bre la me­sa y des­pués vuel­ven a en­trar en la ho­ja, por el la­do opues­to.

En la par­te am­plia­da se ve có­mo pue­den ob­te­ner­se es­tas imá­ge­nes: se di­vi­de la ho­ja en he­xá­go­nos re­gu­la­res igua­les y se los trans­for­ma en la­gar­ti­jas agre­gán­do­les pa­tas, ca­be­zas y co­las, de mo­do que cu­bran to­da la ho­ja sin de­jar es­pa­cios va­cíos. ¿Que­rés ha­cer di­bu­jos con la mis­ ma téc­ni­ca? ¡Se­guí es­te mé­to­do y los ob­ten­drás! Te con­vie­ne tra­ba­jar so­bre pa­pel cua­dri­cu­la­do, pa­ra usar­lo co­mo guía, y di­bu­jar con lá­piz pa­ra po­der bo­rrar las lí­neas so­bran­tes.

Di­bu­já un cua­dra­do en una ho­ja de pa­pel cua­dri­ cu­la­do.

Ha­cé un di­bu­jo cual­quie­ra so­bre un la­do y co­pia­lo en el la­do opues­to.

Si ahora copiás varias veces el dibujo y lo coloreás, podés usarlo como guarda o motivo decorativo.

Aho­ra ha­cé lo mis­mo so­bre el otro par de la­dos.

Bo­rrá los tra­zos so­bran­tes, re­sal­tá los del bor­de y ¡lis­ to! Pa­re­ce un pá­ja­ro ¿no?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Sección V

M A T I M U ND O

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1/7/09 4:25:01 PM

Vitrales... ¡Ca­si se­gu­ro los co­no­cés! A lo me­jor los vis­te en las ven­ta­nas de una igle­sia. Se fa­bri­can con pe­que­ños tro­zos de vi­drio de dis­tin­tos co­lo­res su­je­tos por va­ri­llas de plo­mo sol­da­das. Así se for­man di­bu­jos que de­jan pa­sar la luz a tra­vés de ellos.

La téc­ni­ca del vi­tral es co­no­ci­da des­de la Edad Me­dia. Los her­mo­sos vi­tra­les de la ca­te­dral de Nˆoˆ tre Da­me de Pa­ris, lla­ma­ dos ro­se­to­nes por su for­ma cir­cu­lar, fue­ron ter­mi­na­dos en el si­glo xiii. Al­gu­nos de ellos tie­nen más de 10 me­tros de diá­me­tro (¡co­mo un edi­fi­cio de tres pi­sos!) y su cons­truc­ción de­man­dó unos 10 años.

...y más vitrales Se pue­den ha­cer di­bu­jos geo­mé­tri­cos muy lin­dos, del mis­ mo ti­po que los de los vi­tra­les, usan­do dis­tin­tos po­lí­go­nos, re­gu­la­res o no. El de la ilus­tra­ción es­tá he­cho con pen­tá­go­ nos re­gu­la­res, de­cá­go­nos re­gu­la­res, trián­gu­los isós­ce­les y rom­boi­des.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

π = 3,141592... ¿Por qué se llama pi?

Des­de muy an­ti­guo se sa­bía que la lon­gi­tud de una cir­cun­fe­ren­cia, cual­ quie­ra que fue­ra su ta­ma­ño, era un po­co más que el tri­ple de su diá­me­tro.

A ese nú­me­ro al­go ma­yor que 3 se lo lla­mó pi, la le­tra ini­cial en grie­go de pe­ri­fe­ria, nom­bre que da­ban los grie­gos a la cir­cun­fe­ren­cia.

Mu­chos ma­te­má­ti­cos de la An­ti­güe­dad cal­cu­la­ron va­lo­res apro­xi­ ma­dos de pi, pe­ro el pri­me­ro que “atra­pó” el va­lor de pi en­tre dos nú­me­ros fue Ar­quí­me­des, en el si­glo iii a.C., quien enun­ció que era “me­nor que 22 y ma­yor que 223 ”.

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Se jue­ga con dos da­dos y dos fi­chas o bo­to­nes so­bre la pis­ta di­bu­ja­da.

Ca­da ju­ga­dor a su tur­no ti­ra los dos da­dos, di­vi­de por 10 los pun­tos que sa­có en ca­da da­do, mul­ti­pli­ca los dos re­sul­ta­dos y avan­za ca­si­llas de acuerdo con es­te pro­duc­to.

Por ejem­plo, si sa­le un 3 y un 2, obtienen 0,3 y 0,2; se mul­ti­pli­can y da 0,06; por lo tan­ to, se avanza hasta una casilla cuyo número es 6 centésimos mayor.

Co­mo es una com­pe­ten­cia de len­ti­tud, el pri­me­ro en lle­gar a la me­ta ¡pier­de!

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

MA T I J U EG OS

La lenta carrera de caracoles

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BookGuiaDoc.A6M.indb 36

1/7/09 4:25:10 PM

Colocando baldosas

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Su­po­né que te­nés que cu­brir una su­per­fi­cie con bal­do­sas igua­les sin que que­den es­pa­cios en­tre ellas y to­das son po­lí­go­nos re­gu­la­res. En ese ca­so, so­lo po­drías usar tres cla­ses de bal­ do­sas: las que tie­nen for­ma de trián­gu­lo equi­ lá­te­ro, de cua­dra­do o de he­xá­go­no re­gu­lar. ¿Y si pu­die­ras usar dos ti­pos dis­tin­tos de po­lí­ go­nos re­gu­la­res igua­les pa­ra em­bal­do­sar? Tra­ tá de des­cu­brir por lo me­nos dos for­mas. Hay una muy fá­cil y otra no tan­to.

¿Faltan 10 centavos o no?

La ma­má de Abel, Blas y Carla te­nía que dar­les $ 10,00 a los tres pa­ra com­prar úti­les pa­ra la es­cue­la. Co­mo era muy pro­li­ja, ano­tó cuán­to le dio a ca­da uno y cuán­to le que­dó.

Cuan­do su­mó lo que les ha­bía da­do y lo que le ha­bía que­da­do ca­da vez, pen­só que ha­bía al­gún error en las cuen­tas, por­que le fal­ta­ban $ 0,10; sin em­bar­go, las cuen­tas es­tán bien. ¿Po­dés ex­pli­car qué es lo que pa­só con los diez cen­ta­vos que fal­tan?

Entrenamiento olímpico A un trián­ gu­ lo equi­ lá­ te­ ro de 7,5 cm de pe­ rí­ me­ tro se le cor­ ta­ ron los 3 trian­ gu­ li­ tos, tam­ bién equi­ lá­ te­ ros pe­ ro de 1,5 cm de pe­ rí­ me­ tro. En el di­ bu­ jo se ve la fi­ gu­ ra ver­ de que que­ dó. ¿Cuál es su pe­ rí­ me­ tro?

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1/7/09 4:25:11 PM

Sección VI

M A T I M U ND O Nuestro peso y su historia En 1881 se es­ta­ble­ció la uni­dad mo­ne­ta­ria de nues­tro país: el pe­so mo­ne­da na­cio­nal (m$n).

En 1970, co­mo el pe­so ha­bía per­di­do va­lor, se lo reem­pla­zó por una nue­va uni­dad...

=

...en 1983 su­ce­dió lo mis­mo. =

...otra vez en 1985. =

=

Esto quiere decir que... ...un peso moneda nacional era igual a 0,01 pesos Ley 18.188, aunque después... ...un peso Ley 18.188 era igual a 0,0001 pesos argentinos y, unos años más tarde, ... ...un peso argentino era igual a 0,001 austral; por último, ... ...un peso actual es igual a 0,0001 australes.

Por lo tanto, un peso de los que usamos ahora equivale a diez billones de pesos moneda nacional ($ 1 = m$n 10 000 000 000 000). Podés hacer las cuentas para comprobarlo ¡y no te equivoques al contar los ceros!

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

...y nue­va­men­te en 1992.

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1/7/09 4:25:13 PM

Datos: Diámetro en miles de km Tierra: 12,8 Sol: 1 400 Júpiter: 144 Distancia al Sol en millones de km Tierra: 150 Plutón: 5 850

El sistema solar Las ilus­tra­cio­nes del Sol y los pla­ne­tas del sis­te­ma so­lar, que vis­te mu­chas ve­ces en los li­bros, ca­si nun­ca es­tán he­chas a es­ca­la.

Pa­ra que ten­gas una idea de sus ta­ma­ños y dis­tan­cias rea­les, te pre­sen­ta­mos una ilus­tra­ción a es­ca­la: si en ese mo­de­lo el Sol fue­ra del ta­ma­ ño de una na­ran­ja, Jú­pi­ter, el pla­ne­ta más gran­ de, ten­dría el ta­ma­ño de un gar­ban­zo y la Tie­ rra, el de la ca­be­za de un al­fi­ler.

En ese mis­mo mo­de­lo, la ca­be­za de al­fi­ler que re­pre­sen­ta la Tie­rra es­ta­ría a más de 10 me­tros de dis­tan­cia del Sol, mien­tras que Plu­ tón, el pla­ne­ta más le­ja­no, es­ta­ría a más de 400 me­tros del Sol. ¡Más de cua­tro cua­dras!

¿Somos muy estudiosos?

Según datos del INDEC de 2001, de un total de 34 262 000 habitantes de nuestro país que tienen 3 años de edad o más, 11 171 000 asisten a algún establecimiento educacional (desde niños de preescolar hasta adultos que asisten a la universidad). ¿Son muchos o son pocos? ¿Cómo están distribuidos? Los siguientes gráficos te permiten verlo claramente.

Región

Millones de habitantes

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Metropolitana

Pampeana

Cuyo

Estudian

No estudian

Total del país

3,425 7,484 3,820 8,197 0,782

1,637 1,100

Noreste

2,028 1,455

Noroeste

2,697

Patagónica

0,589 1,048 Fuente: INDEC Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2001

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1/7/09 4:25:15 PM

MA T I J U EG OS

y s a las moscas ñ a j l u r e a go de las E

2) Las dos arañas tienen que atrapar las dos moscas y solo se pueden mover por los hilos de la telaraña, desde un punto a otro contiguo.

3) En la posición inicial de la ilustración, comienza el jugador de las arañas movi­ endo las dos, un paso cada una, en cualquier dirección.

4) Luego el otro jugador mueve las dos moscas, también un paso cada una en cual­ quier dirección.

5) Una araña atrapa una mosca cuando se mueve al punto que ocupa esta última.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

1) Este es un juego para dos jugadores, uno “mueve” las arañas y el otro, las moscas.

Algunos jugadores dicen que en este juego las arañas nunca pueden atrapar las moscas, pero otros afirman que siempre terminan por atraparlas. ¿Quiénes tienen razón? Averigualo jugando con tus compañeros.

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1/7/09 4:25:16 PM

¿Cuál es cuál?

Adivinanza con trampita

To­dos de­be­ría­mos co­no­cer los bi­lle­tes y las mo­ne­das de cur­so le­gal. Ten­dría que ser muy fá­cil re­co­no­cer el re­ver­so de los bi­lle­tes. A es­tos se les qui­tó el co­lor y la de­no­mi­na­ ción, pe­ro es muy fá­cil re­co­no­cer­los… ¿o muy di­fí­cil?

In­ten­tá co­lo­car el va­lor co­rrec­to de ca­da bi­lle­te en el re­cua­dro.

Ignacio estuvo jugando

con sus cubos numerados y los dejó como se ve en

la ilustración. Parecen

desordenados, sin embargo,

están ordenados de un

modo muy conocido. ¿De

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

cuál?

Entrenamiento olímpico Di­ cen que en tiem­ po de los pi­ ra­ tas, allá por 1585, los par­ ches pa­ ra ojos va­ lían 3 mo­ ne­ das de pla­ ta y las pa­ tas de pa­ lo, 12. Que en 1586, el pre­ cio de los par­ ches pa­ ra ojos fue el 400% del pre­ cio del año an­ te­ rior y en 1587 ocu­ rrió lo mis­ mo: fue el 400% del pre­ cio de 1586.

El pre­ cio de las pa­ tas de pa­ lo tam­ bién au­ men­ tó un mis­ mo por­ cen­ ta­ je ca­ da año y en 1587, estas y los par­ ches va­ lían igual. ¿Qué por­ cen­ ta­ je au­ men­ tó ca­ da año el pre­ cio de las pa­ tas de pa­ lo?

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1/7/09 4:25:19 PM

Sección VII

M A T I M U ND O Un cubo realmente mágico El hún­ga­ro Er­no Ru­bik siem­pre usó mo­de­los –de pa­pel, car­tón, ma­de­ra– pa­ra en­se­ñar a sus alum­nos de la Aca­de­mia de Ar­tes Plás­ti­cas.

Así, ex­pe­ri­men­tan­do y ju­gan­do, lo­gró in­ven­tar uno de los rom­pe­ca­be­zas más fa­mo­sos de to­dos los tiem­pos: el cu­bo má­gi­co.

Su di­se­ño es de lo más in­ge­nio­so: tres ejes per­pen­di­cu­la­ res en­tre sí con­tie­nen los cua­dra­di­tos que ocu­pan el cen­tro de ca­da ca­ra. Al­re­de­dor de ca­da pie­za cen­tral se in­ser­tan las res­tan­tes de esa ca­ra. To­do en­cas­tra per­fec­ta­men­te, lo que per­mi­te que ca­da ca­ra gi­re al­re­de­dor de su cen­tro y que las pie­zas pe­ri­fé­ri­cas pue­dan pa­sar de una ca­ra a otra. ¿Sa­bías?… La can­ti­dad de com­bi­na­cio­nes po­si­bles en un cu­bo má­gi­co es de ¡va­rios tri­llo­nes!

Fe­liz­men­te, hay li­bros y pá­gi­nas en In­ter­net que ex­pli­can los mo­vi­mien­tos pa­ra re­sol­ver el rom­pe­ca­be­zas: lo­grar que el cu­bo ten­ga ca­da ca­ra de un so­lo co­lor.

En blanco y negro

Fuen­te: Pe­rel­mán, Yá­kov, Pro­ble­mas y ex­pe­ri­men­tos re­crea­ti­vos, Edi­to­rial Mir, Mos­cú, 1975.

El gramaje del papel Las hojas que utilizamos en una impresora tienen tamaños bien determinados (carta, A4, etc.), pero si observás el paquete con atención, vas a ver que aparece una indicación como 75 g/m2. ¿Sabés qué significa? Son los gramos que pesa una hoja de 1 m2 de ese mismo papel.

Cuanto mayor es ese valor, más grueso es el papel (es menos “transparente”).

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Las imá­ge­nes de co­lo­res cla­ros im­pre­sio­nan nues­tros ojos de ma­ne­ra dis­tin­ta que las de co­lo­res os­cu­ros. Por ejem­plo, ca­da pun­to de co­lor ne­gro se ve co­mo tal en nues­tra re­ti­na, pe­ro ca­da pun­to blan­co se ve co­mo un pe­que­ño cir­cu­li­to.

Eso ha­ce que el co­lor blan­co dé la im­pre­sión de ex­pan­dir­se; por eso el cua­dra­do blan­co de la fi­gu­ra se ve más gran­de que el ne­gro, a pe­sar de que son igua­les.

Si ale­jás la ima­gen, vas a ver có­mo la ilu­sión óp­ti­ca se re­fuer­za.

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1/7/09 4:25:21 PM

Amontonados o desparramados Se­gún el cen­so de 2001, la po­bla­ción de la pro­vin­cia de Bue­nos Ai­res es unas 10 ve­ces la de Tu­cu­mán.

Sin em­bar­go, Tu­cu­mán –una de las pro­vin­cias de me­nor su­per­fi­cie– tie­ne ma­yor den­si­dad de po­bla­ción, o sea, más ha­bi­tan­tes por km2.

La Ciu­dad Au­tó­no­ma de Bue­nos Ai­res es la zo­na más po­bla­da, con unos 13 700 ha­bi­tan­tes por km2, o sea unas 137 per­so­nas por man­ za­na.

La pro­vin­cia más des­ha­bi­ta­da es San­ta Cruz, con 0,8 hab/km2.

Po­dría­mos in­ter­pre­tar­lo co­mo que hay 8 ha­bi­tan­tes ca­da 1 000 man­ Calle Florida, en el microcentro de la Provincia de Santa Cruz.

Ciudad Autónoma de Buenos Aires. za­nas.

Un rectángulo que vale oro Des­de la An­ti­güe­dad los ar­tis­tas y los ar­qui­tec­tos bus­ca­ron las for­mas más ar­mó­ni­cas pa­ra sus obras. Así se lle­gó al con­cep­to del rec­tán­gu­lo áu­reo, no por­que fue­ra de oro si­no por­que sus di­men­sio­nes le dan un as­pec­to su­ma­men­te ar­mó­ni­co.

Los rec­tán­gu­los di­bu­ja­dos aba­jo se van apro­xi­man­do al rec­tán­gu­lo áu­reo. Fi­ja­te có­mo se van ar­man­do: a par­tir del rec­tán­gu­lo de 1 × 1, la ba­se de ca­da uno pa­sa a ser la al­tu­ra del si­guien­te y la nue­va ba­se es la su­ma de la al­tu­ra y la ba­se del an­te­rior.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

1+1=2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

El rec­tán­gu­lo áu­reo es­tá pre­sen­te en la na­tu­ra­le­za. Si me­tié­se­mos los rec­tán­gu­los an­te­rio­res uno den­tro de otro (co­mo si fue­sen ca­jas) po­dría­mos di­bu­jar una es­pi­ral. El ca­pa­ra­zón del ca­ra­col Nau­ti­lus tie­ ne la for­ma de esa es­pi­ral.

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1/7/09 4:25:23 PM

MA T I J U EG OS

Rompecabezas cuadrado ¿Cómo se pueden encastrar todas estas piezas para que formen un cuadrado?

Cuadrado económico

¿Cuá­les son las di­men­sio­nes del úni­co cua­dra­do cu­yo pe­rí­me­tro en cen­tí­me­tros ­tie­ne la mis­ma me­di­da que su área en cm2?

¡Ay, qué mareo!

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

ponde al cubo es rr co s llo o rr sa de ro ¿Cuál de los cuat centro? mágico que se ve en el

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El juego del embaldosado Participan dos jugadores. Hace falta un dado, dos lapiceras de distinto color y una cuadrícula de 10 por 10, donde ya hay marcados un cuadradito de cada color, como se ve en la ilustración. Gana el jugador que cubre la mayor su­per­fi­cie.

• Por tur­no ca­da ju­ga­dor arro­ja el da­do y di­bu­ja en la cua­drí­cu­la una fi­gu­ra que ten­ga tan­tos cua­dra­di­tos co­mo el nú­me­ro que sa­lió, pe­ro con dos con­ di­cio­nes: I) Los cuadraditos de la figura deben compartir un lado, no solo el vértice.

Por ejemplo, para 4 cuadraditos: esta figura, sí → esta figura, no → II) La figura a dibujar debe tocar otra ya dibujada de igual color, con la que compartirá por lo menos un lado de un cuadradito.

Ejemplos: así, sí → así, no → • El juego finaliza cuando un jugador debe “pasar” su turno dos veces segui­ das o cuando es obvio que uno de los jugadores no podrá superar la super­ ficie cubierta por el otro (en el ejemplo, la superficie total que podrá cubrir el rojo es mayor que la del azul).

Partamos desde la base

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

¿Qué cuadrado tendrá mayor perímetro: el que tenga por base el segmento azul de la izquierda o el de la derecha?

Entrenamiento olímpico Es­ te ta­ ble­ ro de aje­ drez tie­ ne una ex­ tra­ ña par­ ti­ cu­ la­ ri­ dad: la úl­ ti­ ma ca­ si­ lla de aba­ jo a la de­ re­ cha, que de­ bía ser de co­ lor cla­ ro, fue reem­ pla­ za­ da por la ima­ gen de un ta­ ble­ ro nor­ mal en mi­ nia­ tu­ ra. ¿Cuál es el área que ocu­ pa la par­ te os­ cu­ ra en to­ do el ta­ ble­ ro?

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X L O T E M I F Z J K Z S Z

ACER­TI­JO FA­MI­LIAR Tu ma­má.

U C L L V A N V H V P N E X B T D I

CLA­VE DE CUM­PLEA­ÑOS El 23 de ene­ro.

E C I S I E T E R T

F N Q R U G F I P R V P T L N A I E N X N C K E S Y

I V

O N X Z I H G H U F N V T Y

¿CUÁL SI­GUE?

K X E P T O S N H O C L N Q Y Y A Y N C I O A U M U I Z P H U W I C I S D S S E E I E C N O E D L N E G T W V J

Se pue­de pen­sar que la lí­nea que di­vi­de ca­da ban­ de­ra en dos par­tes va gi­ran­do al­re­de­dor del cen­tro; la fi­gu­ra del cen­tro si­gue la se­cuen­cia trián­gu­lo, cír­ cu­lo, rom­bo, …, y sus co­lo­res si­guen la se­cuen­cia: azul, ver­de, ro­jo, ama­ri­llo, …

TRES POR TO­DAS PAR­TES Trein­ta y tres mi­llo­nes tres­cien­tos trein­ta y tres mil tres­cien­tos trein­ta y tres (33 333 333).

CA­PI­CÚA PO­TEN­CIAL 2 y 4.

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO Son B × 123 + A × 122 + B × 12 + A = = 11 × 123 + 10 × 122 + 11 × 12 + 10 = = 20 590 mar­cia­nos.

Sección II EL MIS­TE­RIO­SO CA­SO DE LAS CE­RE­ZAS ASE­SI­NAS Si al re­par­tir 72 ce­re­zas so­bra­ron 2, una po­si­bi­li­dad es que hu­bie­ra 14 in­vi­ta­dos y otra es que so­lo fue­ran 10: 72 = 14 × 5 + 2 72 = 10 × 7 + 2 Co­mo el fo­ren­se ase­gu­ró que el oc­ci­so co­mió 6 ce­re­ zas o más, no es po­si­ble que hu­bie­ra 14 in­vi­ta­dos.

P S C I V G O R C E G O Y L U M D O O S T X I O W E R Y I

I T I

L E W S K F H L Z W

P G V T R E C E W B N F

I C

Los nú­me­ros son es­tos diez: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

UN AN­TI­GUO ACER­TI­JO Una ma­ne­ra es for­man­do un he­xá­go­no.

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO 93 ca­me­llos.

Pue­den pen­sar que la can­ti­dad de­be ser múl­ti­plo de 31 (por­que si al pri­me­ro le dio una can­ti­dad n, al se­gun­do le dio 2 × n, al ter­ce­ro, 4 × n, al cuar­to, 8 × n y al quinto, 16 × n; o sea que re­par­tió 31 × n ca­me­ llos) y ade­más, co­mo al di­vi­dir el to­tal por 5 el res­to es 3, se sa­be que el nú­me­ro ter­mi­na en 3 o en 8.

Sección III CON SIE­TE PIE­ZAS, NI UNA MÁS NI UNA ME­NOS

ADI­VI­NAN­ZA MA­TE­MÁ­TI­CA Es el res­to de la di­vi­sión.

PEN­SA­MIEN­TO LA­TE­RAL D = 25, d = 7, c = 3, r = 4, ya que 25 = 7 × 3 + 4.

Se pue­de pen­sar que los 25 cua­dra­di­tos se di­vi­die­ ron en 3 gru­pos de 7 y so­bran 4.

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N U I O C ES O L S G I U A J E OS T M

SO­PA DE PRI­MOS

Sección I

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LA PIE­ZA PER­DI­DA

Sección V CO­LO­CAN­DO BAL­DO­SAS 1) Con trián­gu­los y he­xá­go­nos re­gu­la­res.

2) Con oc­tó­go­nos re­gu­la­res y cua­dra­dos.

LA ORA­CIÓN ES­CON­DI­DA UN SE­ÑOR VIE­NE DES­DE CA­LI TRO­TAN­DO POR LA RU­TA. ES UN DE­POR­TIS­TA Y LE DE­CI­MOS PA­LA­BRAS ALEN­TA­DO­RAS. DE NOM­BRE HÉC­TOR, LO LLA­MA­MOS “LA LIE­BRE TRO­TA­MUN­DOS”.

La ora­ción es: Un de­ca­li­tro es un dé­ci­mo de hec­to­li­tro.

EN UN MER­CA­DO PER­SA Mar­có con la uña el ni­vel de acei­te en la bo­te­lla y lue­go la pu­so ca­be­za aba­jo. Co­mo al gi­rar­la el acei­ te vol­vió a que­dar al mis­mo ni­vel, com­pro­bó que la bo­te­lla es­ta­ba lle­na has­ta la mi­tad.

UN ACER­TI­JO VIE­JO VIE­JO...

Pe­san lo mis­mo: un ki­lo.

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO La ja­rra va­cía pe­sa 4 va­sos va­cíos.

Di Me que­dan Di Me que­dan Di Me que­dan a Abel 3,50 6,50 0,10 9,90 9,80 0,20 a Blas 3,00 3,50 0,10 9,80 0,20 0,10 a Ca­rla 3,50 0,00 9,80 0,00 0,10 0,00 To­tal

10,00

10,00

10,00

19,70

10,00

0,30

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO El pe­rí­me­tro de la fi­gu­ra ver­de es 6 cm. Se pue­de pen­ sar de va­rias ma­ne­ras; una de ellas es res­tar­le 3 cm (seis la­dos de 0,5 cm) al pe­rí­me­tro del trián­gu­lo y su­mar­le 1,5 cm (tres la­dos de 0,5 cm).

Sección VI

NÚ­ME­ROS BO­RRA­DOS

ARA­ÑAS Y MOS­CAS Ninguna de las dos arañas pue­de cap­tu­rar la mos­ca que tiene más cerca. En cam­bio, si cada ara­ña per­si­ gue la mos­ca que tiene más lejos, en po­cos mo­vi­ mien­tos se atra­pan am­bas.

2 1 1 + + =1 3 4 12

BI­LLE­TES Y MO­NE­DAS

Sección IV ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

¿FAL­TAN 10 CEN­TA­VOS O NO? No fal­tan 10 cen­ta­vos. La su­ma de lo que fue que­ dan­do ca­da vez no tie­ne re­la­ción con la su­ma de lo que se le dio a ca­da uno; la can­ti­dad de di­ne­ro pue­ de ser igual, ma­yor o me­nor, es ca­sual que en es­te ca­so sea ca­si igual. Ob­ser­vá es­tos tres ca­sos.

EL QUE­SO COR­TA­DO $ 10

$5

$2

$ 100

$ 50

$ 20

EL FA­BRI­CAN­TE DE PE­SAS So­lo ne­ce­si­ta una pe­sa de

1 3 kg y otra de kg, ya 4 4

1 kg se pue­de po­ner la pe­sa de 2 3 1 kg en un pla­ti­llo y la de kg en el otro.

4 4

que pa­ra pe­sar

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO 1 2 1 < < 3 5 2

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ADI­VI­NAN­ZA CON TRAM­PI­TA Es­tán or­de­na­dos en or­den al­fa­bé­ti­co: ce­ro, cin­co, cua­tro, dos, nue­ve, ocho, seis, sie­te, tres, uno.

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO Una de pi­ra­tas El pre­cio de las pa­tas de pa­lo fue ca­da año el 200% del pre­cio del año an­te­rior.

3 mo­ne­das × 400% × 400% = 48 mo­ne­das 12 mo­ne­das × 200% × 200% = 48 mo­ne­das Sección VII ROM­PE­CA­BE­ZAS CUA­DRA­DO Una so­lu­ción po­si­ble es:

CUA­DRA­DO ECO­NÓ­MI­CO Un cua­dra­do de 4 cm de la­do. ¡AY, QUÉ MA­REO! El de­sa­rro­llo de arri­ba a la de­re­cha.

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO Es la mi­tad del ta­ble­ro gran­de más la mi­tad del ta­ble­ri­to, o sea, 1 1 1 × 32 cm × 32 cm + × × 32 cm × 32 cm = 520 cm2 2 2 64

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

PAR­TA­MOS DES­DE LA BA­SE Am­bos cua­dra­dos ten­drán igual pe­rí­me­tro, por­que los seg­men­tos azu­les son igua­les. La apa­ren­te di­fe­ ren­cia en­tre am­bos es una ilu­sión óp­ti­ca.

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