Matemática 4º - Soluciones by Marcela Lalia

Soluciones

8 Solo la primera afirmación es verdadera.

Capítulo 1

9 a. Para empezar a. x 3 _. 7 b. x ^. 8

x 0 _.

x 3 26 ).

234 117 1.000 500

6.754 3.377 900 450

167 e. 99

408.889 90.000

2.343.434 1.000.000

134 99

2 La correcta es la d. n n a. 30,83 b. 3,057

p c. 3,029

3 a. Es la sucesión de los naturales positivos. Las seis cifras que siguen son 121314. b. Es la sucesión de los pares. Las seis cifras que siguen son 161820. c. Es la sucesión formada por un uno, un cero, un uno, dos ceros, un uno, tres ceros, etc. Las seis cifras que siguen son 000010. 4 a. Representa el número 5, porque su distancia al 0 mide lo mismo que la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 4 y 3. b. Para representar 2, se puede usar un triángulo rectángulo de catetos 1; para 5, uno de catetos 2 y 1; para 8, uno de catetos 2, y para 11, uno de catetos 2 y 3. 5

_: 5 7 \: 5; ; 6.

7 9 ^: 5; 3,2; 9,6; 1,3; ; ; 4,8; 6; 7,9. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

): 3; 15 . [: todos. 6 El número 6. 7

a. Por ejemplo, 3. 9.601 n. b. Por ejemplo, 0,9697 9.900 c. Por ejemplo, 3. d. No se puede, porque el conjunto de los números racionales es denso; entre dos racionales siempre hay otro racional.

b. Irracional.

1 2 2 4

1 3 3 27

1 3 4 81

1 ( 5) 3 125

11 Opuesto: 4 11 1; 9; ; 0; 3 ; ; 1,4 ; P; 5. 3 4 Inverso: 1 3 4 9 1 5 3 1; ; ; no tiene; ; ; ; ; . 9 4 11 13 P 5 3 V. w 12 a. I. w II. w VI. III. VII. IV. VIII. b. Las respuestas serían las mismas, salvo en los casos VII. y VIII., porque las raíces de índice par de a y b deben ser números reales, o sea, a y b deben ser no negativos para poder aplicar la propiedad distributiva. 13 1.er renglón: 2.do renglón:

27 25

3.er renglón:

27 64

27 25

27 64

25 4

4 25

4.to renglón:

27 25

8 125

125 8

14 a. 2 b. 2 c. No existe la raíz real de índice par de un número negativo. d. 3 5 3 11, 18033989

15 a. b.

2 1,25992105

34 1,87344401

7 1,24136582

4 3 2,82842713

( 6)4 4,19296271

16 a. 55

z2 y

b. 27

2x 2

17 a. b.

13 6 3 2

d. 3 4 12

54 7 6

e. 9

c. 1 3 2

3 y 3 z4 52 4 2

2 54

133

5 1 3 3 3

d. 3 2 2

1 3

1 16 5 3 3 2 3 3 6

18 a.

diagonal es d' 2 a2 b 2 .

24 4 10 13 31 a.

1 b. 36

8 19 a. 27

e. Es correcta, porque la medida de la nueva

9 c. 16

b. d 2L; área 2L2.

2 16 d. 25

32 a. ( 2; 1) b. ( c; 4]

e. [ 7; 2) f. (4; 12]

c. [1; 3] d. ( 5; c)

33 A cargo de los alumnos. b.

21 a. 5 5

2 3 7 3 10

11 2 24

34 a. ( 2; c) b. (2,3; c)

4 2 3 15

4 8 4, mientras

que 32 1,78... .

b. 3

4 8 w 32 2.

b. Es falsa. Por ejemplo,

c. Es falsa. Por ejemplo, 5 72 w 3 (5 7)2 .

28 32 22 3 w 2 3.

160 30.271

26 Sí, porque al aplicar el teorema de Pitágoras, la medida de la diagonal del cuadrado de lado a es 2 a y la del cuadrado de lado (2a) es 2 2 a.

37 a. x 4,2 o x 4,2. b. x 7,5 o x 7,5. c. x 5 o x 5. Las representaciones, a cargo de los alumnos.

39 a. [ 5; 5] b. ( c; 5) (5; c) c. ( 5; 5) d. ( c; 5] [5; c) Las representaciones, a cargo de los alumnos. 40 a. Por ejemplo, d 8 12 4 4.

27 Con 6 L de pintura blanca hacen falta aproximadamente 11,1 L de pintura negra, y con 5 L de pintura negra, aproximadamente 2,7 L de pintura blanca.

b. Por ejemplo, d 8 ( 12) 20 20.

28 a. 6,6%

d. Por ejemplo, d 8 ( 12) 4 4.

b. 4,16%

c. Por ejemplo, d 8 12 20 20.

41 a. 29 937,5

c. Es incorrecta, porque d a2 b 2 , y al hacer las transformaciones que se indican, la medida de la 2

nueva diagonal es d' 4a 9b w 5 a b . d. Es correcta, porque d 68.

x : y x : y

c. Se usa la propiedad que afirma que si x q a l x q a o x a a.

b. Es incorrecta, porque d 52.

x y x y

b. Se usa la propiedad que afirma que si x a l x a y x a.

30 a. Es correcta, por el teorema de Pitágoras.

134

4 4

38 A cargo de los alumnos.

943 24 495 25 11

[x [ / x q 5]

Los valores absolutos de dos números opuestos son iguales. Se puede expresar así: x x .

e. Es verdadera.

9 16 w 9 16 .

d. Es falsa. Por ejemplo,

¤7´3 23 a. ¥¥ µµµ ¦5¶

[x [ / 72 x a 8]

36 4 4

e. ( c; 2,5] f. [3; c)

¤1 · c. ¥¥ ; 1¸ ¦2 ¸¹

35 a. [3; 7)

22 a. Es falsa. Por ejemplo,

f. Es falsa. Por ejemplo,

c. (0; 45) d. [ 4; 6)

42 a. S [x [ / 2 x 2] ( 2; 2) b. S [x [ / x a 4 o x q 4] ( c; 4] [4; c)

[

c. S x [ /

]

¤ 16 16´µ 16 16 x ¥¥ ; µ ¦ 3 3 µ¶ 3 3

20 a.

1 5

d. S [x [ / x 2 o x 8] ( c; 2) (8; c) e. S [x [ / 18 a x a 30] [ 18; 30]

[

f. S x [ / x a ¤ 10· ¥¥ c ¸ ¦ 3 ¸¹

]

10 14 oxq 3 3

§14 ¨ ©¨ 3

´µ µµ ¶

43 Redondeado es 35,543; truncado es 35,542. La diferencia es mayor al truncar. 44 Truncamiento

Redondeo

24,15

24,16

24,15

24,92

24,15

24,16

Error relativo

0,00045

0,000000059

2.º caso

35,27145

0,0046

46 Truncamiento

Ea < 0,0005

3,141

Ea < 0,0006

3 1,732 Ea < 0,00006 1,732 Ea < 0,00006 47 Algunos ejemplos posibles: n a. 5,67 b. 0,97

550 10.000

48 © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

51 a.

23 9

252 63 100 25

2.273 900

255 51 100 20

227 90

250 99

0,00004. 0,000006. 0,00002. 0,000007.

53 ); \; ^; ^; ), respectivamente. La representación, a cargo de los alumnos.

Error absoluto

Redondeo

3,1463. Ea < 3,5029. Ea < 0,5040. Ea < 3,0951. Ea <

52 a. La parte decimal tiene un 5, un 2, dos 5, dos 2, tres 5, tres 2, etcétera. b. La parte decimal tiene un 5, un 2, un 5, dos 2, un 5, tres 2, un 5, cuatro 2, etcétera.

1.er caso

3,142

50 a. b. c. d.

45 a. 7.686,669 m3 b. 7.721,94 m3. Es mayor que el anterior. c.

c. 1.ª forma: 36,45. Redondeado es 36,5. 2.ª forma: 36,45. Se comete menor error con la 2.ª forma. d. 1.ª forma: 7,720754717. Redondeado es 7,7. 2.ª forma: 7,716981132. Se comete menor error con la 2.ª forma.

4 decimales

5 decimales

11,8797

11,87968

0,6667

0,66666

8,9877

8,98766

15,9080

15,90801

49 a. 1.ª forma: 11,703. Redondeado es 11,7. 2.ª forma: 11,8. Se comete menor error con la 1.ª forma. b. 1.ª forma: 34,39. Redondeado es 34,4. 2.ª forma: 34,4. Se comete el mismo error.

54 a. Verdadera. b. Falsa. 55 a. Hay dos:

c. Verdadera. d. Falsa.

16 17 y . 3 3

e. Falsa. f. Falsa.

b. Hay una:

11 . 2

c. Hay seis, las de numerador 36, 37, 38, 39, 40 y 41. 56 Sí,

1 1 y , respectivamente. 3 2

57 Para 6, se puede dibujar un triángulo rectángulo, de modo que la medida de cada cateto sea 1, y así se obtiene 2 como medida de su hipotenusa. Luego se dibuja otro triángulo rectángulo de modo que las medidas de sus catetos sean 2 y 2. La medida de su hipotenusa es 6. Para 18 , se puede dibujar un triángulo rectángulo de modo que la medida de cada cateto sea 3, y así se obtiene 18 como medida de su hipotenusa. Para 12, se puede dibujar un triángulo rectángulo, de modo que la medida de cada cateto sea 1, para obtener 2 como medida de su hipotenusa. Luego se dibuja un triángulo rectángulo, de modo que las medidas de sus catetos sean 2 y 1, y así se obtiene 3 como medida de su hipotenusa. Finalmente se dibuja otro triángulo rectángulo, de modo que las medidas de sus catetos sean 3 y 3. La medida de su hipotenusa es 12.

135

58 Inverso

990 403

( 5,4) 1 59 a.

23 118

60 a. 46

61 a. x 2 62 a.

88 2 15

403 990

5 5

54 10

10 54

b. 12 23 52

c. 2

Para empezar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. 1

b. 2 3 5

15 2

Área

5 3 4

64 a. Verdadero. b. Falso, porque no se puede escribir como fracción; tiene infinitas cifras decimales no periódicas. c. Falso, porque es 320. d. Falso, porque es 0,01. e. Falso, porque 24 16 y ( 5)2 25. f. Falso, porque, por ejemplo, 1,5 no lo es. g. Falso; por ejemplo, 2,45 está entre ellos. h. Verdadero. 65 Perímetro

2 a. 146; 109; 108; 86. b. 57; 39; 59. 3 a. 6.174. b. En no más de siete pasos se llega al número 6.174. c. En algún momento la sucesión llega a 6.174 y desde allí no varía.

109 b. x 210 26 b. 9

63 Medida de la altura

Triángulo

Rectángulo

2 5 7

2 7 7

4 9, 45, 55, 99. 5 a. 4 no es un número feliz: Julieta obtiene los números 16, 37, 58, 89, 136, 46, 52, 29, 85 y 89; como este último valor se repite, a partir de ahí todos los valores que siguen van a repetirse y el ciclo no termina. 7 es un número feliz: Hernán obtiene los números 49, 97, 130, 10 y 1. b. 1, 7, 10, 13, 19. 6 a. En la 7.ª hora habrá 128 bacterias, en la 8.ª, 256 bacterias y en la 9.ª, 512 bacterias. b. 227 134.217.728 c. Cn 2n, donde Cn es la cantidad de bacterias y n es la cantidad de horas que transcurrieron. 7

Área

7 13 4

21 7 2

66 a. ( 0,5; 2) b. ( ∞; 1] [1; ∞) ´ ¤ 10 · § 2 c. ¥¥ c; ¸ ¨ ; cµµµ ¶ ¦ 3 ¸¹ ¨© 3 Los gráficos, a cargo de los alumnos. 67 a. Redondeado: 5,25. Truncado: 5,24. b. Redondeado: 5,246. Truncado: 5,246. 68 a. Por redondeo: 2,7183. Por truncamiento: 2,7182. b. En el redondeo, el error absoluto es menor que 0,00002; mientras que en el truncamiento es menor que 0,00009.

136

Al finalizar el tercer mes habrá 3 parejas; al finalizar el cuarto mes, 5 parejas; al finalizar el quinto mes, 8 parejas; y al finalizar el sexto mes, 13 parejas.

a. La tabla se completa con 1, 4, 9, 16, 25 y 36, en ese orden. b. an n2 c. Ocupa el lugar 12 (n 12). d. 2.500 puntos.

8 A cargo de los alumnos. 9 a. En la 6.ª figura habrá 729 triángulos y en la 7.ª, 2.187 triángulos. b. an 3n c. La figura número 10 (n 10). 1 1 1 d. ; ; . n 2 4 8 ¤1´ e. Medida del lado de la figura n ¥¥ µµµ ¦2¶ 10 a. 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5. b. 41 días. c. Cada número de la sucesión puede obtenerse a partir del anterior, sumando 0,5 km por día.

n 0,407

Capítulo 2

Opuesto

También puede obtenerse a partir de los 5 km que recorre el primer día llamando n a la cantidad de días y usando la fórmula an 5 0,5 · (n 1). 11 a. Los cuatro números que siguen en la sucesión 13 7 15 son ; ; ; 4. 4 2 4 23 b. El número que ocupa la posición 20 es , y el 4 103 que ocupa la posición 100, . 4 c. El término general de la sucesión es 1 an 1 n 1 . 4 12 a. En la primera semana el ahorro será de $ 120, por lo que tendré un total de $ 1.120; la segunda semana tendré $ 1.240; la tercera, $ 1.360; la cuarta, $ 1.480; la quinta, $ 1.600; la sexta, $ 1.720; la séptima, $ 1.840; y la octava y última semana tendré $ 1.960. b. Sí; se puede hacer $ 120 · 4 y sumárselo a $ 1.000. c. Para calcular el total ahorrado en los dos meses sin hacer la cuenta semana a semana se puede hacer $ 1.000 $ 120 · 8 $ 1.960. 1 1 13 a. Los números que siguen son ; ; 625 3.125 1 1 ; . 15.625 78.125 n 1

¤1´ b. an ¥¥ µµµ ¦5¶

c. Ocupa el 6.º lugar. d. El décimo lugar 9 ¤ 1 ´µ 1 ¥¥ µ . µ ¦ 5 ¶ 1.953.125

primero: 255; 342; 278; 350; 435). 17 a. Los dos términos que siguen son 0,0001; 0,00001. n ¤1´ El término general es an ¥¥ µµµ . ¦ 10 ¶ 5 6 b. Los dos términos que siguen son y . 6 7 n c. El término general es an . n 1 18 a. La 46.ª revisión será en enero de 2003. b. Contando las revisiones de junio de 2011, serán 248. 19 a. El primer año se pagarán $ 1.100 mensuales; el segundo año, $ 1.250; el tercero, $ 1.400; el cuarto, $ 1.550; y el quinto se pagarán $ 1.700 por mes. b. El contrato debería durar por lo menos 8 años. 20 a. 4.800, 4.797, 4.794, 4.791, 4.788, 4.785, 4.782, 4.779, 4.776, 4.773. b. an 4.800 3 · (n 1) c. En vaciarse tardará 1.601 horas, es decir, más de dos meses (seguramente no llegará a vaciarse por esta pérdida porque se limpiará antes). 21 a. A las diez de la noche les llegará a 19.683 personas. b. Tienen que pasar por lo menos 13 horas. 1 1 1 2 3 22 a. Para 4 la sucesión es: 0; ; ; ; ; ; 1. 4 3 2 3 4

ocupa

número

14 a. 8, 64, 512, 4.096, 32.768. b. an 8n. c. Se necesitarán más de 15.000.000; más precisamente, 16.777.216 cuadrados de color. d. Si n 6 la figura se forma con 262.144 cuadrados de color. En cambio, no es posible armar una figura con 515 cuadrados de color porque la 3.ª tiene 512 y la 4.ª, 4.096. 15 a. Al hacer a1 a3 se obtiene a4, es decir, a1 a3 a4. Además, a1 a3 a5 a6. b. Podrían ser: a8 a9 a10; a1 a3 a5 a7 a9 a10. 16 a. La obtuvo restando al primer número, el segundo. b. A cargo de los alumnos. c. A cargo de los alumnos (podría armarse intercalando el segundo número entre los dígitos del

A partir de 5 la sucesión que se forma es 1 1 1 2 1 3 2 3 4 0; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1. 5 4 3 5 2 5 3 4 5 b. Hay varias propiedades; una de ellas es, por ejemplo, que la sucesión correspondiente a 4 está incluida en la sucesión correspondiente a 5. 23 a. Luciana lo hizo bien. b. Pedro hizo, por ejemplo, 102 1, es decir, primero elevó a n y después restó 1. El término general de la sucesión escrita por Pedro es an 10n 1. 24 a. I. 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625; 0,0078125. II. 1; 1; 1; 1; 1. III. 55; 65; 75; 85; 95. IV. 729; 2.187; 6.561; 19.683; 59.049. b. I. Sí, multiplicando por 0,5. II. Sí, multiplicando por 1. III. No. IV. Sí, multiplicando por 3.

137

n 1

¤1´ c. I. an 4 ¥¥ µµµ ¦2¶

n 1

II. an 1 III. an 5 10(n 1) IV. an ( 3)n 1

III. Dom f ( c; 4] Im f [0; c) 5 a. Porque el denominador sería igual a 0, y no se puede dividir por 0. 2 b. Dom f1 ° { 5} Dom f3 [ 3

[ ]

Dom f2 ° {1}

Dom f4 ° {0,25}

25 A cargo de los alumnos. 26 a. La medida de los lados de la primera figura es 1 1 1 y la de las dos siguientes, y respecti27 3 9 vamente. b.

1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; . 3 9 27 81 243 729 n

¤1´ c. an ¥¥ µµµ ¦ 3¶

6 a. De crecimiento: (0; 3) (4; 5) (6; 7). De decrecimiento: (3; 4) (5; 6) (7; 9). b. Se mantuvo constante en 37 ºC. c. Por ejemplo: ¿Cuál fue la temperatura máxima que alcanzó el paciente? f(3) f(5) 40 son máximos absolutos. f(7) 39 es un máximo relativo. f(4) 39 y f(6) 38,5 son mínimos relativos. 37 es un mínimo absoluto; lo alcanza para cualquier x perteneciente al intervalo [9; 10]. 7

Capítulo 3

a. A cargo de los alumnos. b. Máximo relativo: f(1). Mínimo relativo: f( 3).

8 a.

Solo el b. y el d. Para el b.: f(2) 2; f( 3) 0 y f(0) 1. Para el d.: f(2) 1; f( 3) 3 y f(0) 0.

2 El segundo es una curva continua, mientras que el primero está formado por puntos aislados de esa curva (sus coordenadas son números enteros). El punto ( 2; 2) pertenece solo al segundo gráfico. Dom f [ 2; 6] Im f [ 2; 2] Dom f [ 4; 4] Im f [2; 4] Dom f [ 4; 2] [0; 6] Im f [ 1; 2] Dom f [ 1; 2) (3; 6) (6; 8] Im f [0; 5] Dom f [ 2; 1] [2; 5) [6; 8] Im f [0; 3] {4} f. Dom f [ 5; 0] [2; 5] [6; 9] Im f { 1} [0; 3]

3 a. b. c. d. e.

4 a. Porque la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. b. [0; c) c. I. Dom f ( c; 3] Im f [0; c) II. Dom f [ 5; c) Im f [0; c)

138

f1(x)

Ord. al origen

Raíces

Crecimiento

Decrecimiento

( 4; 4)

f2(x)

(0; 2)

( 2; 0)

f3(x)

2; 3 y 8

(0; 5)

( 3; 0) (5; 9)

f4(x)

2 y 4

( 3; 1) (2; 3) (1; 2) (3; 5)

b. f1( 4) 1 es un máximo absoluto; f1(4) 3 es un mínimo absoluto. f2( 2) f2(2) 6 son máximos absolutos; f2(0) 2 es un mínimo relativo y absoluto. f3( 3) 3 es un máximo absoluto; f3(5) 2 es un máximo relativo; f3(9) 3 es un mínimo absoluto; f3(0) 2 es un mínimo relativo. f4(1) 3 es un máximo absoluto; f4(3) 2 es un máximo relativo; f4( 3) f4(5) 1 es un mínimo absoluto; f4(2) 1 es un mínimo relativo. 9 a. Sí, porque la ordenada al origen es la ordenada del punto de abscisa 0, o sea, la imagen de x 0. b. En el punto (0; 2). c. La de f1 es 4; la de f2 es 4 y la de f3 es 3. 10 a. Sí, porque en esos puntos la ordenada es 0. b. x 3 125 l x 5 Lo corta una sola vez, en x 5. c. El de f1 lo corta en x 2; el de f2, en x 3, y el de f3, en x 3 y en x 3. 11 Solo la tercera afirmación es verdadera.

Para empezar t Porque muestran los pesos promedio para niñas de contextura grande (curva azul), mediana (curva roja) y pequeña (curva verde). t Sí, porque su peso está entre lo que indican la curva roja y la azul. t El de una nena de 10 años, entre 26 kg y 46 kg. El de una chica de 18, entre 51 kg y 68 kg. t Porque a medida que aumenta la edad, se incrementa el peso promedio.

12 El dibujo, a cargo de los alumnos. Im f [ 3; 3].

f. A $ 14.250. g. Cuanto mayor es el monto de sus ventas, mayor es su sueldo.

13 Positividad

al Raíces Ord. origen

Negatividad

f1 ( 5; 0) (3; c) ( c; 5) (0; 3) 5; 0 y 3

( 4; 2)

( c; 4) (2; c)

4 y 2

(2; c)

( c; 1) ( 1; 2)

1 y 2

23 a. A cargo de los alumnos. b. f1 es creciente; f2 es creciente; f3 es decreciente; f4 es constante; f5 es decreciente. al Pend. Ord. origen

Positividad

Negatividad

( 2; c) ¤ 2 ´ ¥¥ ; cµµ µ¶ ¦ 3

( c; 2) ¤ ´ ¥¥ c; 2µµ ¦ 3µ¶

( c; 0)

(0; c)

2 2

( c; c) ( c; 2)

No tiene. (2; c)

1,5

Positividad

Negatividad

( 2; c)

( c; 2)

(3; c)

( c; 3)

( c; 2)

( 2; c)

f4 f5

1 3 0 1

15 El primero (período: 3) y el tercero (período: 10). 16 a. El menor es 3; lo alcanza para x 3 9k, siendo k un número entero. El mayor es 6, lo alcanza para x 0 9k, siendo k un número entero. El período es 9. b. Sí, porque como lo alcanza para x 0 9k (con k entero), cuando k 1, x 9, y cuando k 3, x 27. c. Sí, porque f( 10) f( 10 9k) para k entero, y cuando k 3, f( 10 9k) f(17). f( 11) f(25) f(52) 1.

18 Hay que hacer un dibujo simétrico con respecto al eje y. 19 En el primero hay que hacer un dibujo simétrico con respecto al eje y; en el segundo, con respecto al origen de coordenadas. b. Es impar.

21 Por simetría, 4 es otra de sus raíces y f(2) 5. 22 a. Ventas del mes ($)

Comisión ($)

5.000

1.000

2.000

10.000

2.000

3.000

Sueldo ($)

15.000

3.000

4.000

20.000

4.000

5.000

25.000

5.000

6.000

b. c. d. e.

25 a. Es f2. b. Para f1: la pendiente es 1,5; corta el eje y en 3 y el eje x en 2, y es decreciente. Para f3: la pendiente es 3; corta el eje y en 1,5 y el eje x en 0,5, y es creciente. 26 a. x

17 Impar; par; par; impar.

20 a. Sí, se cumple.

24 Si la pendiente es positiva, la función es creciente; si es negativa, la función es decreciente, y si es 0, la función es constante.

Cobrará $ 1.000. Es la ordenada al origen. Hay que completar con: 1.000; 0,20; 0,2. f1, f4 y f5. $ 4.500

b. Cuando n es par, el gráfico tiene forma de parábola y es simétrico respecto del eje y (la función es par); cuando n es impar, el gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas (la función es impar). 27 f1 corresponde al 4.º gráfico; f2, al 3.º; f3, al 1.º, y f4, al 2.º. 28 a. La tabla se completa desde arriba hacia abajo con: 0, 1, 2, 3, 1, 2, 3. b. No, porque el módulo de un número no puede ser negativo, ya que es una distancia. c. Dom f ° Im f [0; c) d. La función es par. Crec.

Decrec.

Posit.

Negat.

(0; c)

( c; 0)

( c; 0) (0; c)

No tiene.

ª x si x q 0 e. f ( x ) « ¬ x si x 0

139

29 a. Que el de f1 está desplazado 2 unidades hacia arriba; el de f2, 3 unidades hacia abajo. b. f ( x ) x 6 y f ( x ) x 4 , respectivamente. 30 a. Que, con respecto al de f, el de f1 está desplazado 2 unidades hacia la izquierda, y el de f2, 3 unidades hacia la derecha. b. f ( x ) x 5 y f ( x ) x 7 , respectivamente.

0,5 8

1 4

2 2

4 1

8 0,5

x y

0,5 8

1 4

2 2

4 1

8 0,5

4 ; es una función de proporcionalidad x

inversa, porque el producto entre cada valor de la variable independiente y su imagen es constante. c. Es así, ya que el 0 no pertenece al dominio y ningún valor de x anula la función. Dom f ° {0} Im f ° {0} d. Cuando x toma valores muy próximos a 0, las imágenes, en valor absoluto, toman valores muy grandes; cuando x toma valores muy grandes, las imágenes se aproximan a 0. Las asíntotas son los ejes x e y. 32 A f1 le corresponde el 4.º gráfico; a f2, el 3.º; a f3, el 1.º; y a f4, el 2.º .

33 Dom f1 Dom f2 Dom f3 Dom f4 34

° ° ° °

Imagen ° {0} ° {0} ° {2} ° {0}

f1 2

f2 3

f3 9 y 9

f4 No tiene

36 f4 No hay

39 a. El mayor valor que alcanza la función es 3; el menor es 2; el período es 6. b. f(32) es un máximo absoluto, ya que como f(2) lo es, f(2 6k) siendo k un número entero también lo es (en este caso, es k 5). f( 13) es un mínimo absoluto, ya que como f(5) lo es, f(5 6k) siendo k un número entero también lo es (en este caso, es k 3). c. Sí, porque como f( 6) lo es, f( 6 6k) siendo k un número entero también lo es (en este caso, es k 1). Dos raíces del intervalo (20; 25) son 22 y 24. d. Positivo, porque f( 11) f(1) y f(15) f(3). e. Por ejemplo, 19, porque f( 19) f(5). f. Está equivocado; el gráfico no es simétrico respecto del origen de coordenadas. 40 a.

7 4

b. f(x) 1,75x 2,5 c. Corta el eje x en

10 ; f(2) 1; 7

f( 2) 1,75 · ( 2) 2,5 6, por lo tanto, el punto ( 2; 6) pertenece al gráfico. d. A cargo de los alumnos.

{ 3} { 12} { 2; 2} {0} f1

Dom

[ 5; 3]

[ 6; 4]

[ 3; 2]

[ 3; 3]

Crec.

( 4; 2) ( 1; 0) (1; 3)

( 5; 3) (0; 2)

Decrec.

( 5; 4) (0; 1)

( 3; 0) (2; 4)

Máximos f1(0) 2 f2( 3) 3 y f2(2) 3 relativos Mínimos f2(0) 1 relativos f1( 4) 3 y f1(1) 1

140

f3 7 2

41 Cualquiera de la forma f(x) kx, siendo k un número real distinto de 0. 42 a. f1 es par; su gráfico es una parábola con las ramas hacia abajo; algunos de sus puntos son (0; 0), (2; 4) y ( 2; 4). f2 es impar; algunos puntos de su gráfico son (0; 0), (2; 2) y ( 2; 2). b. f3(x) (x 2)3 3 c. f1(x) x3 1

Dominio ° {0} ° {2} ° {0} ° { 2}

f1 f2 f3 f4

f2 5 36

38 f(0) 3; f(2) 0 y f( 3) 1.

El gráfico, a cargo de los alumnos. b. Es f ( x )

f1 2 3

37 a. El gráfico debe cortar el eje x en 4, 6 y 12, y el eje y en 3. b. Positividad: ( 4; 6) (12; c). Negatividad: ( c; 4) (6; 12).

31 a. x y

c. f(x) (x 2)2 d. Sufre el mismo desplazamiento. e. Para f2 es x 1, para f3 es x 4 y para f4 es x 3. Para la f(x) del ítem c. es x 2, y para la del ítem d. es x 5.

43 f1

Dom ° ° ° Im [ 3; c) [1; c) ( c; 2] Crec . ( 1; c) (2; c) ( c; 3) ( c; 1) ( c; 2) ( 3; c) Decrec. Posit. ( c; 4) (2; c) ° ( 5; 1) Negat. No hay ( c; 5) ( 1; c) ( 4; 2)

44 Los gráficos, a cargo de los alumnos. f1 f2 f3 f4 f5 f6

Asíntota horiz.

Asíntota vertical

Dom

y 0 y 0 y 3 y 0 y 0 y 3

x 0 x 0 x 0 x 3 x 3 x 0

° {0} ° {0} ° {0} ° {3} ° { 3} ° {0}

° {0} ° {0} ° {3} ° {0} ° {0} ° { 3}

b. c. d. e.

3 2 1 0,5 0 0,5 1 9 4 1 0,25 0 0,25 1

x1 3, x2 3. x1 0, x2 5. x1 2, x2 2.

8 a

2 1 3 1

4 0 6 8

6 1 0 20

b 2a x 1 x 0 x 1 x 4 x

Máx.

Mín.

— — 3 36

8 1 — —

10 a. x1 2, x2 3. b. x1 10, x2 2. c. x1 2, x2 1.

Para empezar t A 6 m, en el centro de la calzada. t A 4 m.

x y

x2 9 0 l 2x2 10x 0 l x2 4 0 l

c. x1 3, x2 3. d. x1 5, x2 0.

9 x1 3, x2 1.

Capítulo 4

6 a. x1 0, x2 2. b. x 0

2 4

3 9

Dom f ° Im f [0; c) Crece en (0; c); decrece en ( c; 0). El mínimo es y 0. Corresponde a x 0. Una parábola abierta hacia arriba.

2 a. A cargo de los alumnos. b. f4 tiene las ramas más separadas y f1, más juntas. A un mismo valor de x, la imagen de f1 está más alejada de ese eje que las imágenes de las demás funciones, pues f1 tiene mayor coeficiente principal (en módulo). c. f2 y f3, ya que tienen el coeficiente principal negativo. 3 a. A cargo de los alumnos. b. Al sumarle un número positivo se desplaza hacia arriba tantas unidades como indica ese valor; o hacia abajo, si el número es negativo. c. [1; c) y [ 4; c), respectivamente. 4 I con d., II con e., III con a., IV con b. y V con c. 5 a. A cargo de los alumnos. b. f2 está desplazada una unidad hacia la izquierda; f3, cuatro hacia la derecha; y f4, tres hacia la izquierda.

11 a. Raíces de f1: 5 y 3. Raíces de f2: 2 y 0,5. Raíces de f3: 3 (raíz doble). Raíces de f4: no tiene. b. Con dos raíces reales: D > 0. Con una raíz doble: D 0. c. Porque no corta el eje x. 12 I. II. III. IV. V. VI.

a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0

c>0 c<0 c>0 c<0 c 0 c<0

D>0 D 0 D<0 D<0 D 0 D>0

En todos los casos, a > 0 si la parábola está abierta hacia arriba, o a < 0 si está abierta hacia abajo; c > 0 si la parábola corta el eje y sobre el eje x, c < 0 si lo corta debajo del eje x, o c 0 si corta en el origen de coordenadas; D > 0 si la parábola corta dos veces el eje x, D 0 si lo corta una vez, o D < 0 si no lo corta. 13 Sí. 14 a. m 2

b. m

1 8

15 a. Raíces de f1: 4 y 2. Raíces de f2: 1 y 3. Raíces de f3: 5 (raíz doble).

141

RaĂces de f4: 0 y 3. b. f1(x) x2 2x 8 f2(x) 2x2 8x 6 f3(x) x2 10x 25 f4(x) x2 3x

17 a. p representa el coeficiente principal, mientras que q y r, las raĂces. b. f1(x) (x 5)(x 1) f2(x)

1 (x 2)(x 4) 2

f3(x) (x 6)2 18 a. El coeficiente principal y las coordenadas del vĂŠrtice. b. f1(x) (x 2)2 16 f2(x) 2(x 3)2 2 f3(x) 4(x 0,5)2 19 PolinĂłmica

Factorizada

CanĂłnica

0,5x2 x 12

0,5(x 6)(x 4) 0,5(x 1)2 12,5

3x 9x 6

3(x 2)(x 1) 3(x 1,5) 0,75

3x2 12x 9

3(x 3)(x 1)

3(x 2)2 3

x2 2x 1

(x 1)2

20 B t Ordenada al origen: 4. t RaĂces: 2 y 4. t EcuaciĂłn del eje de simetrĂa: x 1. t MĂnimo: y 4,5. t Abscisa del mĂnimo: x 1. b. A cargo de los alumnos. c. t La funciĂłn crece para los valores de x > 1, esto es, en el intervalo (1; c). t La funciĂłn decrece para los valores de x < 1, o sea, en el intervalo ( c; 1). t La funciĂłn tiene imĂĄgenes positivas para los valores de x menores que 2, y para los valores de x > 4. O sea que el conjunto de positividad es ( c; 2) Â&#x2020; (4; c). t La funciĂłn tiene imĂĄgenes negativas para los valores de x > 2 y x < 4. O sea que el conjunto de negatividad es ( 2; 4). d. Factorizada: f(x) 0,5(x 2)(x 4). CanĂłnica: f(x) 0,5(x 1)2 4,5.

142

f1(x)

f2(x)

f3(x)

5 y 1

4 y 0

3 y 3

x 2

x 0

( 2; 9)

( 2; 8)

(0; 9)

( 2; c)

( c; --2)

(0; c)

( c; --2)

( 2; c)

( c; 0)

( c; 5) Â&#x2020; (1; c)

( 4; 0)

( c; 3) Â&#x2020; (3; c)

( 5; 1)

( c; 4) Â&#x2020; (0; c)

( 3 ; 3)

22 a.

Â¤ b b 2 4ac Â´Âľ Â¤ b b 2 4ac Â´Âľ ÂľÂľ ÂľÂľ ÂĽÂĽ x 1 x 2 ÂĽÂĽÂĽ ÂľÂľÂś ÂľÂľÂś ÂĽÂĽÂŚ ÂĽÂŚ 2a 2a

b b 2 4ac b b 2 4ac 2b b a 2a 2a

b. Â¤ b b 2 4ac Â´Âľ Â¤ b b 2 4ac Â´Âľ ÂľÂľ ÂľÂľ Â&#x2022; ÂĽÂĽ x 1 Â&#x2022; x 2 ÂĽÂĽÂĽ ÂľÂľÂś ÂľÂľÂś ÂĽÂĽÂŚ ÂĽÂŚ 2a 2a

b 2 b b 2 4ac b b 2 4ac

4ac

4a2 b 2 b 2 4ac 4ac c 2 a 4a2 4a

23 A cargo de los alumnos. 24 Un par es 12 y 11. El otro, 11 y 12. 25 16 cm 26 a. x2 (x 10)2 2.500 27 A 24; P 24.

b. 220 m

ÂŠ Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

16 Hay infinitas. Son de la forma y ax2 ax 12a, con a real y no nula. Por ejemplo: y x2 x 12, o y 2x2 2x 24.

Eje de Ord. al Negat. Positiv. Decrec. Crec. VĂŠrtice (oMĂĄx. mĂn.) simet. RaĂces origen

28 P 104 cm; A 480 cm2.

t Ordenada al origen: 6. t Raíces: 1 y 3. t Intervalo de crecimiento: (1; c). Intervalo de decrecimiento: ( c; 1). t Conjunto de positividad: ( c; 1) (3; c). Conjunto de negatividad: ( 1; 3). b. A cargo de los alumnos.

29 a. Por ejemplo:

b. c. d.

Ancho

Largo

Área

4m 6m 4,5 m 3,5 m

3m 1m 2,5 m 3,5 m

12 m2 6 m2 11,25 m2 12,25 m2

A(x) x · (7 x) Debe ser un cuadrado de 3,5 m de lado. t Sí. t Es la máxima posible.

30 Las funciones de los ítems a., d., f., g. y h.

42 A 60; P 34.

31 Para el ítem a.: a 1; b 0. Para el ítem d.: a 1; b 2 ; c 4. Para el ítem f.: a 1; b 1; c 0. Para el ítem g.: a 1; b 2; c 15. Para el ítem h.: a

41 a. A cargo de los alumnos. b. Llega al máximo de 900 bacterias al cabo de 20 minutos. c. A los 20 minutos. d. Sí. e. Se extingue a los 50 minutos.

43 Debe medir 12 dm de lado.

1 ; b 1; c 22. 2

Capítulo 5

32 La función pasa a ser lineal. 33 Corta el eje x, ya que la 2(x 2)2 8 0 tiene solución real. 34 f x

ecuación

2 2 x 3

35 c 4

36 Fucsia: y 3x2 2; verde: y 3x2 2.

37 a. A cargo de los alumnos. b. En II. se desplazó 2 unidades hacia arriba; en III., 3 unidades hacia la izquierda. c. Es similar, pero desplazado 4 unidades hacia abajo. d. Es similar, pero desplazado 2 unidades hacia la derecha. 38 En la primera se desplazó la parábola 3 unidades hacia la derecha y 1 hacia arriba: y (x 3)2 1. En la segunda, se aplicó a la parábola una simetría con respecto al eje x, y se la desplazó 2 unidades hacia arriba: y x2 2. 39 a. x1 4, x2 2. b. x

Para empezar t Opción 1: 125 cm3. Opción 2: 250 cm3. t Opción 1: x3. Opción 2: 2x3. t El de la opción 2 tiene el doble de capacidad que el de la opción 1.

13 2

c. No tiene solución real. 40 a. t Ecuación del eje de simetría: x 1. Mínimo: y 8. t Abscisa del mínimo: x 1.

a. 27x3 b. Perímetro de toda la figura: 18x 24. Área de la figura celeste: 10x2 15x. c. Área total del prisma: 22x2 10x. Volumen del prisma: 6x3 6x2.

2 a. b. c. d.

Ancho: x 1; alto: x 2. x3 3x2 2x 24 cm3 Se modificaron los coeficientes.

3 a. Diámetro de la base: 2x. Perímetro de la base: 2Px. Altura del cuerpo: 2x. b. Área lateral: II. Volumen: III. 4 a. Por ejemplo: 9x2 3x. b. Por ejemplo: 16x2 8x. 5 a. 9x4 0,3x3 6 b. Por ejemplo: P(x) es un trinomio de grado 5, su coeficiente principal es ( 7), tiene un término cúbico con coeficiente 6 y el término independiente es raíz cuadrada de 2. Q(x) es un trinomio de grado 2, su coeficiente

143

6 V; V; F; F. 7

Tiene razón.

8 a. Son polinomios: P(x); Q(x); T(x); U(x) y W(x). R(x) no es polinomio porque el exponente de la variable x es 0,5; ni S(x), porque es la expresión del cociente entre dos polinomios; y tampoco V(x), porque la variable x tiene exponente negativo. b. Grado Coef. principal

P(x)

Q(x)

T(x)

U(x)

W(x)

7 0,4

2,5

9 a. P(x) Q(x) 9x2 7x 2 P(x) Q(x) 4x3 x2 5x 12 2P(x) 3R(x) 3x4 6x3 2x2 0,25x 14 1 1 1 1 11 2 17 7 R( x ) P ( x ) x 4 x 3 x x 2 3 2 3 3 24 3 b. P(1) 2 5 1 7 13; Q(1) 2 4 6 5 9 P(1) Q(1) 4 (P Q) (1) 9 7 2 4

13 a. Área verde: 2x2 1,5x. Área celeste: 2x2 1,5x 42. b. Verde: 6,75 m2; celeste: 35,25 m2. 14 a. x2 2x 2x 22 x2 4x 4 b. (x 2)2 x2 4x 4 c. L2(x) x2 4x 4; la diferencia es que el término lineal tiene un coeficiente negativo. d. L2(x) x2 2xn n2 15 a. I III. Dimensiones: ancho a; alto (x a). Dimensiones de II: ancho alto (x a). Base de la figura B (x a) a a x a b. 1.ª) Área 2(x a) · a (x a)2 x2 a2 2.ª) Área (x a)(x a) x2 a2 El producto entre la diferencia y la suma de dos números es igual a la diferencia de los cuadrados de esos números. c. (x 3)(x 3) x2 9 16 II.; II.; III. 17 a. b. c. d.

III. 2 x 8

2 5 1 x 2x 3 4 x 2 5 3 3 5 3 2 Q( x ) x 0 x 7 x 2 5

8 10 x 3 3

12 t Verdadera. Por ejemplo, si P(x) x2 x y Q(x) x2 5, P(x) Q(x) x 5. t Falsa. Por ejemplo, para los polinomios anteriores, P(x) Q(x) 2x2 x 5. t Verdadera. Por ejemplo, si R(x) x3 1 y Q(x) x2 5, R(x) Q(x) x3 x2 6.

144

12 6 22 4 x x 25 5

11 P ( x )

T ( x ) 6 x 3 0,4 x 2

x4 6x2 9 9x6 42x3 49 4x2 1 x6 16

IV. 3,2x8 4x7

b. Iguales.

S( x ) 6 x 3 0,6 x 2 x 1

e. f. g. h.

18 a. I. x5 4x4 24x3 II. 4x3 2x2 5x

c. No es lo mismo, ya que los resultados son polinomios opuestos (la resta de polinomios no cumple la propiedad conmutativa). 10 a. Opuestos.

x2 14x 49 4x2 20x 25 25x2 20x 4 25 20x 4x2

19 a. b. c. d. e. f.

gr[P(x)]

gr[Q(x)]

gr[P(x) · Q(x)]

III

n r

4x4 12x2 9 8x4 8x3 10x2 12x 3 x4 6,5x3 3x2 2x 1 6x7 36x6 18x5 120x4 13,5x3 117x2 27 x5 6x4 1,5x3 11x2 3 4x2 4x 1

20 a. 360x3 3.750x2 21.500x 100.000 b. 20x3 136x2 129x 101 21 t Falsa, porque para obtener el polinomio nulo

principal es 1, al igual que su término independiente; además, tiene un término lineal con coeficiente ( 5). R(x) es un cuatrinomio de grado 6, su coeficiente principal es ( 2,5); tiene un término de grado 4 con coeficiente 3 quintos y uno cúbico con coeficiente ( 1); el término independiente es ( 1). S(x) es un binomio de grado 1 con coeficiente principal y término independiente iguales a 1.

como producto, es necesario que alguno de los factores sea nulo. t Verdadera. Ejemplo: (x3 1)2 x6 2x3 1. 22 a. 9x 6

c. 2x 1

b. 2x 1

23 a. C( x )

3 3 x x 8

b. C( x ) x 5 c. C( x ) 2 x

R(x) x 6

1 3

9 8 x 9x 4 16

R( x ) 5 x 2 6 x 1

9 8 9 6 x x 9x 4 16 2

b. 4x 1

25 a. C(x) 4x3 2x b. C(x) x4 2x3 2x2 4x 4 R(x) 8x2 14x 1 c. C(x) 3x3 6x2 15x 30 d. C( x ) x 3 3 x 2 26 a. b. c. d. e.

29 x 30 3

c. x 6 R(x) x 6

R(x) 40 R(x) 92

Dividendo: x2 16. Cociente: 3x2 10. Resto: 0. Cociente: x 6. Resto: 0. Dividendo: 6x3 15x2 12x 35. Dividendo: 0,3x3 9,2x2 6,1x 1.

27 a. Q(x) es igual que P(x). b. Q(x) es el opuesto de P(x). 28 Solo la última afirmación es verdadera.

29 8,5x 284 30 P(x) porque la variable está elevada a un exponente negativo y Q(x), porque la variable está en el radicando de una raíz cuadrada. 31 a. 2 b. Grado 42. c. No, porque el exponente sería negativo. 32 Para a 2 y b 3. 33 101 x 3 154 x 2

36 a. x 2 b. C(x) 0,5x 1 R(x) 0 c. x3 6x2 12x 8

R(x) 0

d. C( x ) 2 x 5 6 x 2 12 R(x) 0 24 a. x

El desarrollo es: (x 1)5 x5 5x4 10x3 10x2 5x 1 35 4, 6, 8, y 2n, respectivamente.

1 1 x 2 4

1 3 1 x 2 6

Los coeficientes de (x 1)5 son: 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1

106 40 x 3 3

34 Cada fila de la pirámide empieza y termina con 1. Al sumar dos coeficientes consecutivos se obtiene el número de la fila siguiente que se ubica entre ellos.

37 4x 6 38 a. P(x) x4 6 b. P(x) 0,5x3 c. P(x) 2x 1 39 a. Como al hacer la división se obtiene como resto m 3, debe ser m 1. b. Para que el resto sea 0 debe ser m 3. c. Para que el resto sea negativo m debe ser menor que 3. 40 a. El polinomio puede ser, por ejemplo: P(x) 3x3 x2 6x 2. En ese caso, el resto de la división es cero. b. Sí, porque el resto puede ser cualquier polinomio de grado 1. Por ejemplo, si R(x) 4, debe ser P(x) 3x3 x2 6x 6. 41 Para que solo pueda escribirse un polinomio podría darse el resto de la división o indicarse el término independiente de P(x). 42 a. Falso, porque puede anularse el término de mayor grado. Por ejemplo, si P(x) 2x3 x2 1 y Q(x) 2x3 2x 3, ambos son de grado 3 y, sin embargo, P(x) Q(x) x2 2x 4, que es de grado 2. b. Falso; el grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. Por ejemplo, si P(x) x3 1 y Q(x) 3x2 2, entonces P(x) · Q(x) 3x5 2x3 3x2 2, por lo que: gr[P(x) · Q(x)] 5 y gr[P(x)] gr[Q(x)] 3 2 5. c. Verdadero. Porque, como P2(x) P(x) · P(x), entonces gr[P2(x)] gr[P(x)] gr[P(x)] 2 · gr[P(x)]. d. Falso, porque el grado del resto también puede ser de grado 0. Por ejemplo, si P(x) 3x 1 y Q(x) x 2, entonces el cociente de hacer P(x) : Q(x) es C(x) 3 y R(x) 5.

145

b. No se puede porque para que 2 fuese raíz, debería completarse con 3,5, pero en ese caso, 3 no sería raíz.

Capítulo 6 Para empezar t Volumen x(x 2)(x 6) t El alto de la caja tiene que ser mayor que 2 cm, porque de lo contrario no podría formarse el lado que mide x 2. t Si la altura fuese 15 cm, el volumen sería 4.095 cm3. a. P(1) 4 P( 1) 4 P(0) 0 l 0 es raíz de P(x). P( 5 ) 0 l

5 es raíz de P(x).

P( 6) 864 P( 2) 0 l 2 y 2 son raíces. P( 3) 0 l 3 y 3 son raíces. 36

c. P(1) 12,5 P( 1) 7,5 P(2) 0 l 2 es raíz de P(x). P( 2) 20 P(5) 1.537,5 P( 5) 1.557,5 P(0) 10 d. P(6) P(2) P(3) P(0)

P(x) (x a) · C(x) R(x) R(a) Vale 2; representa el resto de la división. No, porque P(1) no es 0.

8 a. P(2) w 0 l No es divisible. b. P( 6) w 0 l No es divisible. c. P( 1) 0 l Es divisible. 9 Como el resto es 0, 5 es raíz de P(x).

P( 5 ) 0 l ( 5 ) es raíz de P(x). P(5) 100 b. P(6) P(2) P(3) P(0)

a. b. c. d.

10 a. Cociente: x3 2x2 6x 25. Resto: 72. Teorema del resto: ( 3)4 5( 3)3 7( 3) 3 72. b. No, porque el resto no es 0. 11 a. I. 2 b. I. 1

II. 4 II. 4

12 a. Se completa con x2 9. b. Sí, son raíces de P(x); 2 es raíz de (x 2), en tanto que 3 y 3 son raíces de (x2 9). 13 a. C(x) 2x2 4x 5 b. C(x) x 14 c. C(x) 2x2 5

P( 6) 864 P( 2) 0 l 2 y 2 son raíces. P( 3) 0 l 3 y 3 son raíces 36

2 Tiene razón, porque como x6 es una potencia par, cualquiera sea el valor de x, x6 es un número mayor o igual que 0, y al sumarle 8, se obtiene un número mayor o igual que 8.

14 a. I. II. III. IV.

R(x) 12 R(x) 72 R(x) 0

C(x) 2x3 x 3 C(x) x3 1,5x2 1,5x 0,5 C(x) 3x 1 C(x) x 0,25

b. En los casos II. y III., porque el resto es 0. 15 a. El divisor es (x 5). 6

3 Los polinomios que tienen 0 como raíz son P(x), S(x), M(x) y R(x), porque son los que tienen término independiente nulo.

5 6

140

720

144

719

C(x) 6x 28x 144 2

4 a. 1 y 1.

c. No tiene.

1 1 e. y 3 3

b. 1,5

d. No tiene.

146

6 a. Se completa con 7.

Resto: 719.

El dividendo es 2x3 ( 1)x2 3x 1.

0,2

5 a. Se completa con 3. b. Se completa con 45. c. Se puede completar con un número par mayor o igual que 2 como exponente y un número positivo como término independiente. d. Se completa con 3.

R(x) 7 R(x) 0 R(x) 0 65 R( x ) 16

2 3 2

C(x) 2x2 5x 12 16 a. (x 4) 17 m 40

Resto: 37.

b. (x 3) y (x 3).

c. (x 2)

29 a. x 3 y x 3. b. x 10 y x 10.

18 a. Hay que rodear la 2.ª y la 3.ª. b. Hay que rodear la 1.ª y la 3.ª. c. Hay que rodear P(x) x · (4x4 8x 1). 19 a. La I. y la III. b. x

x2 · (x 3) x · (x 3)2

1 dm

2 dm

3 dm

108

4 dm

112

196

112

d. (2x 1) e. (2x2 4)

20 a. 5x2 b. 3x c. (x 3)

21 a. 2,5(2x b.

x3 3x2

1)x

5x2

2,5x

1 ( x 1)2 x 1 x 3 2 x 2 1 x 3 3 3 3

22 a. Anaranjada: (3x 3)(2x 2) 6x2 12x 6. Azul: (2x 2)(x 1) 2x2 4x 2. Verde: (3x 3)(x 1) 3x2 6x 3. b. Hay que rodear I., III. y IV. 23 a. Área

Base

Altura

x 5

6x2 4x

3x 2

15x 10x

3x 2

x2 5x 2

b. Sí.

c. 2x 1 y 2x 1. d. 4x 7 y 4x 7.

30 a. (2x 9)(2x 9) b. No es. c. (0,5 x2)(0,5 x2) d. (3 x 7 )(3 x 7 ) e. (10 5x)(10 5x) f. (x3 6)(x3 6) 31 En el primero: I: 3x 2 II: 3x 2 III: 3x 2 Caras cuadradas: A. Caras no cuadradas: B y C. En el segundo: I: 0,5x 6 II: 0,5x 6 III: 0,5x 6 Caras cuadradas: F. Caras no cuadradas: D y E. 32 Se puede dividir P(x) por (x 5) aplicando la regla de Ruffini y luego buscar las raíces del cociente. P(x) 16 (x 5)(x 0,75)(x 1,25) 33 a. P(x) 2x3 12x2 18x 28 b. P(x) 2(x 2)(x 1)(x 7) 34 a. P(x) l 6, 6, 3, 3 , 2 , 2, 1 , 1. ª Q(x) l « ¬

3 3 3 3 1 1 , , , , 3, 3, , , 4 4 2 2 4 4 1 1 , , 1, 1 . 2 2

T(x) l 4, 4, 2 , 2, 1 , 1.

24 a. b. c. d. e. f.

6 x3(x2 2) 5 x (x4 5x2 1) 11 x2(x4 2x 3) m x3(x2 3) 7 m x7(x 2) m2 x2 (mx2 x m2)

V(x) l 12, 12, 6, 6, 4, 4, 3, 3, 2 , 2, 1, 1. b. P(x) (x 2)(x 3)(x 1) ¤ 3´ ¤ 1´ Q( x ) 4 ¥¥x µµµ ¥¥x µµµ x 1 ¦ ¶ ¦ 2 2¶

25 Juli escribió 3 (x 2) x (x 2). Zoe tiene razón; el factor común al que se refiere es (x 2); al extraerlo se obtiene (x 2)(3 x).

b. 3x 1

28 a. No es.

¤ 1´ b. P ( x ) 3 x 3 x 1 ¥¥x µµµ ¦ 3¶ c. 2x 0,5 d. No es.

b. (5x 4)

x 5

¤ 3´ c. ¥¥x µµµ ¦ 5¶

V(x) (x 2)2(x 3) 35 a. P(x) (x 2)(x 3)(x 1)

26 a. (x 7)(5 x) b. (x 2)(x 4) 27 a. x 8

T(x) (x 2)(x 2)(x 1)(x 1)

f. No es.

d. x a

c. P(x) (x2 1)(x 2)(x 2) d. P(x) (x2 3)(x 3)(x 1)(x 1) ¤ 1´ ¤ 1´ e. P ( x ) 6 x 2 1 x 2 ¥¥x µµµ ¥¥x µµµ ¦ 3¶ ¦ 2¶

147

1 4 ; en II., es ; en III., es 3 5 11; y en IV., 3. En todos los casos es el valor que hace que la medida del lado sea 0; x debe ser mayor que ese valor para que se forme el cuadrado.

36 a. P(x) x2 (x3 3x2 4)

b. En I. la raíz es

P(x) x2 (x 2) 2 (x 1) 1 2 x 4 5 x 3 5 x 2 5 x 3 5

P(x )

´ ¤ 1 ¤¥ 1´ ¥2 x 1 x 1 ¥¥¦ x µµµ¶ x 3 µµµ ¶ 5 ¥¦ 2

P(x )

¤ 2 1´ x 1 x 1 ¥¥ x µµµ x 3 ¦ 5 2¶

48 A(x) 42x2 84x 49 Por ejemplo: Base

Altura

4x 2x x

x 8 2x 16 4x 32

37 P(x)

Q(x)

Raíces

1,5

Multiplicidad

38 Dani tiene razón, porque se pueden escribir diferentes polinomios con las mismas raíces y distinto coeficiente principal, por ejemplo: P(x) 3(x 1)(x 4)(x 5) y Q(x) 2(x 1)(x 4)(x 5). 39 a. P(x) x(x 1)(x 1) b. P(x) 4(x 7)2(x 7)2(x 3)2 No es el único; otro podría ser: Q(x) 4(x 7)(x 7)(x 3)4 40 Las raíces son 1 y 41 a. 3 y 3. b. 1

2 . 3

c. No tiene. d.

2y 2.

42 El coeficiente que falta es 5.

43 a. 0,8 b. 2 44 a. Sí, porque es raíz de uno de sus factores. b. Sí, porque algún factor tiene que ser 0. 45 P(1) 0 l P(x) es divisible por (x 1), por el teorema del resto. 46 P ( x ) 12 x 3 3 x 2 6 x

8 2 ; Q( x ) x ; 9 3

4 C(x) 12 x 11 x ; R(x) 0. 3

50 a. P(x) 10 x (x 3) b. P(x) 0,5 x3(x 0,5)(x 0,5) 51 P(x) 4 (x 0,5)(x 0,5) Q(x) 4 (x 0,5)2 W (x) T (x)

148

III. L(x) x 11 IV. A(x) 5x2 30x 45

1 ( x 50)( x 50) 25

R(x) (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) 52 a. b. c. d. e.

Bien. Mal, porque (x 5)2 x2 10x 52. Bien. Bien. Mal, porque (x 5)2 x2 10x 25.

53 a. P(x) x2(x 3)2 Raíces: 3(doble) y 0 (doble). b. P(x) (x 1)(x 6)(x 6) Raíces: 6, 1 y 6. c. P(x) 2 x (x 2)(x 2)(x2 4) Raíces: 2, 0 y 2. d. P(x) 2 (x 1)(x 4)(x 0,5) Raíces: 4, 0,5 y 1. 54 a b

47 a. I. A(x) 9x2 6x 1 P(x) 12x 4 II. L(x) 2,5x 2

2 1 ¤¥ 2 1µ´ x µ 3 ¥¦ 5µ¶

Raíces

Multiplicidad

1,4

b. P ( x )

55 a. Sí, porque si 3 es raíz de Q(x), Q(3) 0, entonces también es 2Q(3) 0. b. Sí, porque si 3 es raíz de P(x), P(3) 0, entonces también es P2(3) 0. 56 a. b. c. d.

P(x) 2(x 2)(x 4)(x 6) P(x) 4(x 1)(x 2)2 Podría ser P(x) (x 1)3(x 3)2. Podría ser P(x) x(x 1)4.

57 En el ítem c hay más de un polinomio con esas características, porque no se indica el coeficiente principal ni se dice cuál es la raiz doble y cuál la triple. Algo similar ocurre en el ítem d, porque no se conocen el coeficiente principal ni las restantes raíces con su orden de multiplicidad. 58 a. m 3 b. La otra raíz es 2.

Capítulo 7 Para empezar Podría ser: 2x 1 2x 3 l no tiene solución; 2x 1 x 3 l tiene una solución; 2x 1 2x 3 4 l tiene más de una solución (infinitas). 1

a. Son equivalentes; la solución de ambas es x 3. b. No son equivalentes; x 3 y x 3 son soluciones de la primera, pero solo x 3 satisface la segunda.

2 Se pueden completar con: a. 6 c. 4 b. 3 d. 3 3 Pueden ser, por ejemplo: a. x 2 e y 1; x 0 e y 3; x 1,5 e y 0. b. x 4 e y 1; x 1 e y 1; x 2,5 e y 0. En estas ecuaciones hay dos incógnitas, mientras en las anteriores hay solo una.

b. x 3; x 6 y x 6. c. x 2,5; x 0 y x 1. d. x 3 e y 6; x 0 e y 4; x 1 e y 10. e. x 2 e y 0; x 0 e y 4; x 1 e y 1. f. x 0 e y 6; x 2 e y 0; x 1 e y 6. 6 Las soluciones de las inecuaciones de la primera columna se corresponden con puntos de la recta, mientras que las de la segunda, con puntos del plano (por eso hay que dar un valor de x y uno de y). 7

Representaciones a cargo de los alumnos. ¤ 6 6´ a. x l ¥¥ c; µµµ ¦ 7 7¶ b. x > 1 l ( 1; ∞). c. x ≤ 1 o bien x ≥ 3 l ( ∞; 1] ∪ [3; ∞). d. 2 < x < 2 l ( 2; 2).

8 Representaciones a cargo de los alumnos. a. Las soluciones se corresponden con los puntos del plano que están debajo de la recta y 2x 1. b. Las soluciones se corresponden con los puntos de la recta y 1,5x 1 o están debajo de ella. c. Las soluciones se corresponden con los puntos del plano que están debajo de la parábola y 0,5x2, por ejemplo, x 2 e y 1. d. Las soluciones se corresponden con los puntos del plano que están por arriba de la parábola y 0,5x2, por ejemplo, x 2 e y 3. 9 a. Se puede plantear la ecuación x2 2x 8 8. Para encontrar la solución en forma gráfica puede trazarse una recta paralela al eje x que pase por 8 y observar para qué valores de x se producen las intersecciones entre la recta y la parábola. b. Se puede plantear la inecuación 4x 8 > 0. c. La inecuación es x2 2x 8 ≥ 4x 8. La solución es 6 ≤ x ≤ 0, que corresponde al intervalo [ 6; 0]. 10 a. Pudo resolver la ecuación f(x) 3, cuyas soluciones son x 2,5 y x 1. b. f(x) ≤ 0 en el intervalo [ 2; 0,5]. c. f(x) ≥ 3 en ( ∞; 2,5] ∪ [1; ∞). x > 2 l ( 2; ∞). x 0; x 1. 3 ≤ x ≤ 1 l [ 3; 1]. x > 2 l ( 2; ∞).

4 En la recta, x 3 representa un punto; en el plano, representa una recta vertical. Representaciones a cargo de los alumnos.

11 a. b. c. d.

5 Pueden ser, por ejemplo: 7 a. x ; x 0 y x 3. 5

12 a. Podría haber comprado 1 libro y 12 CD, 2 libros y 11 CD, 3 libros y 10 CD, 4 libros y 9 CD, 5 libros y 8 CD, 6 libros y 7 CD, 7 libros y 6 CD, 8 libros y

149

ª x y 13 d. « ¬ 17 x 22y 246 La solución del sistema es x 8 e y 5. Por cualquier método se llega al mismo resultado. 13 a. 2 · (83 y) y 178 b. y 4 c. Podría hallarse el valor de x reemplazando el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. x 87 14 a. x 22,5 2,5 x b. x 12,5 c. Podría hallarse el valor de y reemplazando el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. y 10 15 a. Sustitución, porque en una sola ecuación aparece la y despejada. x 2; y 1. b. Igualación, porque la x está despejada en ambas ecuaciones. x 2; y 0,5. c. Sustitución, porque en la segunda ecuación la y está despejada. x 12,5; y 25. 16 La solución es la misma con cualquiera de los métodos; x 300; y 75. 17 a. El segundo sistema corresponde al peso de las valijas de María Laura y Nicolás, mientras que el tercero, al de las valijas de Romina y Julián. b. Porque en el primer caso solo la x está despejada en la segunda ecuación, mientras que en el segundo caso, aparece despejada en ambas ecuaciones. c. La valija de María Laura pesa 20 kg y la de Nicolás, 35 kg. La de Romina pesa 18 kg y la de Julián, 30 kg.

150

18 a. Gráfico a cargo de los alumnos. x 3; y 2. b. Gráfico a cargo de los alumnos. I. x 0,5; y 0,5. II. No tiene solución. III. Tiene infinitas soluciones. IV. Tiene infinitas soluciones. V. x 1; y 3. VI. No tiene solución. c. Los sistemas I. y V. son compatibles determina-

dos y las rectas, secantes. Los sistemas III. y IV. son compatibles indeterminados y las rectas coinciden. Los sistemas II. y VI. son incompatibles y las rectas son paralelas. 19 a. Se llega a una falsedad; significa que el sistema es incompatible. Las rectas son paralelas. b. Se llega a una identidad (una igualdad independiente de los valores de x e y); significa que el sistema es compatible indeterminado. Las rectas coinciden. 20 Se pueden completar de infinitas formas. Se muestra solo un ejemplo. a. x y 1. Alcanza con escribir la ecuación de una recta secante a la dada. b. y 0,5x 2,5. Se completa con una ecuación equivalente a la dada. c. 2y x 1. Se completa con la ecuación de una recta paralela a la dada. 21 a. Lo primero que hizo fue multiplicar la segunda ecuación por 4; así logró que la y tenga coeficientes opuestos en las dos ecuaciones; después sumó las dos ecuaciones para que los términos con y se cancelen, obteniendo una ecuación con la x como única incógnita; finalmente, halló el valor de x. 2 ; puede hallarse reemplazando el valor 3 de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema (y despejando el valor de y), o puede realizarse un procedimiento similar al que se hizo para hallar el valor de x.

b. y

22 a. x 5; y 8. b. x 0,5; y 1. c. x 0,5; y 0,75. 23 a. x 10; y 15. 2 5 b. x ; y . 3 6 c. x

2 ; y 2. 3

24 a. x 3; y 1; z 1. b. x 1; y 1; z 3. c. x 0,5; y 1,5; z 2. 25 a. b. c. d.

x 2 e y 1; x 2 e y 5. x 1,5 e y 2; x 0,5 e y 1. x 1 e y 0. x 0 e y 2; x 1 e y 4.

26 a. x ≤ 2. b. x ≥ 7,5.

5 CD, 9 libros y 4 CD, 10 libros y 3 CD, 11 libros y 2 CD, o 12 libros y 1 CD. b. Si comprase 1 libro y 12 CD, pagaría $ 226; por 2 libros y 11 CD, $ 231; por 3 libros y 10 CD, $ 236; por 4 libros y 9 CD, $ 241; por 5 libros y 8 CD, $ 246; por 6 libros y 7 CD, $ 251; por 7 libros y 6 CD, $ 256; por 8 libros y 5 CD, $ 261; por 9 libros y 4 CD, $ 266; por 10 libros y 3 CD, $ 271; por 11 libros y 2 CD, $ 276; y por 12 libros y 1 CD, $ 281. c. Compró 8 CD y 5 libros.

27 La solución del sistema a se representa en el gráfico IV; la del sistema b, en el gráfico I; la del sistema c, en el gráfico II; y la del sistema d, en el gráfico III. 28 Representaciones a cargo de los alumnos. Algunas soluciones pueden ser: a. x 4 e y 4; x 8 e y 3,5. b. x 6 e y 8; x 11 e y 16. c. x 0 e y 2,5; x 1 e y 3,5. d. x 1 e y 5; x 4 e y 15. 29 Representaciones a cargo de los alumnos. Algunas soluciones pueden ser: a. x 2 e y 0; x 4 e y 2. b. x 4 e y 2; x 6 e y 1. c. x 1 e y 1; x 2 e y 0. d. x 1 e y 1; x 2 e y 0. 30 Se completan con: a. ≤; ≥ y ≥ (en ese orden). b. ≥; ≥ y ≤ (en ese orden). 31 Puede medir hasta 5,08 m de ancho, aproximadamente (el largo siempre tiene que ser 2 metros más que el ancho). Por ejemplo, podría ser de 5 m por 7 m. ª15 x 25 y 2.500 32 a. « ¬ x 25 b. Al menos 84 abonos mensuales. c. Más de 40 abonos mensuales. d. Al menos 167 abonos semanales. 33 Hay más de una forma de hacerlo. Se pueden completar con: a. 3 y 3. b. 2 y 2x (en ese orden). 34 x 1.

35 Las ecuaciones b y d. 36 Pueden ser: a. x 0 e y 0; x 1 e y 3; x 1 e y 2. b. x 0 e y 0; x 1 e y 1; x 1 e y 2. c. x 0 e y 1; x 1 e y 0; x 1 e y 1. d. x 0 e y 5; x 2 e y 5; x 1 e y 4. 37 Las soluciones comunes a ambas pueden ser x 1 e y 1; x 0 e y 1; x 1 e y 1; las soluciones de la primera inecuación, que no son soluciones de la segunda, pueden ser x 0 e y 4; x 2 e y 0. 38 A cargo de los alumnos.

39 Todos menos el a. x 2,5; y 1,5. x 1; y 1. x 5; y 1. x 3; y 1. No tiene solución. 1 2 f. x ; y . 3 3

40 a. b. c. d. e.

g. h. i. j.

x x x x

1; y 3,5. 3; y 2. 3; y 1. 2,5; y 1,5.

41 a. Todos son compatibles determinados, excepto el e, que es incompatible. b. Representaciones a cargo de los alumnos. 42 Se obtiene una falsedad. 43 Es un sistema compatible indeterminado porque tiene infinitas soluciones. 44 Se puede completar de infinitas formas, por ejemplo: a. x y 0 (o la ecuación de cualquier recta secante a la que se da). b. 3x 4 y (o cualquier ecuación equivalente a la que se da). c. 3x y 0 (o la ecuación de cualquier recta paralela a la que se da). 45 a. x 2; y 1,5; z 0,5. 2 3 b. x ; y ; z 1. 5 5 ª 20 x 50 y 610 46 a. « ¬ x y 20 x: cantidad de billetes de $ 20; y: cantidad de billetes de $ 50. Tiene 13 billetes de $ 20 y 7 de $ 50. ª h m 60 b. « m 3 1 h 3 3 ¬ m: cantidad de mujeres; h: cantidad de hombres. Concurrieron 12 mujeres y 48 hombres. ª x y z 40 c. « x 2z 3 ¬ y x 4 x: edad del mayor; y: edad del mediano; z: edad del menor. El mayor tiene 17 años, el del medio, 13, y el menor, 10.

151

ª y x 2 2 x 1 b. « y ( x 5) 4 ¬ x 1 e y 2; x 2 e y 1. c. A cargo de los alumnos. 48 A cargo de los alumnos.

Capítulo 8

10 32 m 11 40,2 m, aproximadamente. 12 a. A 14,24 m, aproximadamente. b. A 6,64 m, aproximadamente. 13 I. Con a. y b. II. Con b. III. Con b.

14 a. 44,31 cm c. 33,94 cm b. 22,01 cm d. 89,13 cm Todos los resultados son aproximados. 15 a.

Todos los resultados de los cálculos han sido redondeados a los centésimos.

AMD

CMD

ABC

sen A

MD AD

CM CD

AB AC

cos A

AM AD

MD CD

BC AC

tg A

DM AM

CM DM

AB CB

cotg A

AM DM

DM CM

CB AB

sec A

AD AM

CD MD

AC BC

cosec A

AD MD

CD CM

AC AB

Para empezar t BC 14 cm; CD 21 cm t Los triángulos son semejantes, por el criterio AA: todos tienen un ángulo recto y comparten el ángulo A. 1

a. d ; 6,43 cm. b. x 9 m; y 2,25 m. Los resultados se obtienen a partir de las semejanzas de triángulos.

2 Se precisan, aproximadamente, 50,3 cm para el armazón grande y 12,6 cm para el pequeño. 3 Son semejantes, por criterio LLL.

b. Son inversas: sen y cosec, cos y sec, tg y cotg. c. Por el criterio AA: cada uno tiene un ángulo recto y otro de amplitud A.

4 a. Con el criterio AA. b. AB 13,75 cm; AC 15,87 cm. 5 a. Por ejemplo,

AC AB CB . DE DB EB

16 a. x 2 y 2 h2 l

6 a. Son semejantes. b. 31 m

152

b. tg A

9 a. A 1.229 m del extremo izquierdo, y a 1.065 km del extremo derecho, aproximadamente. b. 2.063 m, aproximadamente. c. 13º 37’ 25,73”.

h sen A sen A y y l l tg A x x h cos A cos A

c. A 45º, y los catetos x e y son iguales.

Mide 15 m de ancho, y se puede calcular a partir de la semejanza de los triángulos ABC y A’B’C.

8 a. A 37,1 cm, aproximadamente. b. 10 cm y 20 cm. c. 22º 1’ 27,53”.

x2 y2 x2 y2 1l 2 2 1l 2 h h h

¤ x ´2 ¤ y ´2 2 2 l ¥¥ µµµ ¥¥ µµµ 1 l cos A sen A 1 ¦ h ¶ ¦ h¶

b. 8,11 m, aproximadamente.

IV. Con a. V. Con a. y b. VI. Con a.

sen 45º cos 45º

2 2

17 1 sec 2 A 1

1 cos2A 1 sen2A tg 2A 2 2 cos A cos A cos2 A

18 A cargo de los alumnos.

ª y x 5 47 a. « y x 2 2 x 1 ¬ x 2 e y 7; x 3 e y 2.

¤1´2 19 cos A 1 sen2A 1 ¥¥ µµµ ¦2¶ 1 sen A 1 3 tg A 2 cos A 3 3 3

3 3 4 2

b. sen B

2 c. A 23º 34’ 41,44” d. A 26º 33’ 54,18”

20 a. No existe. b. No existe.

21 8,66 m, aproximadamente. 22 a. 90º b. sen A y h x sen B h

cos A

x h y cos B h

c. sen A cos B

cos A sen B tg A cotg B

23 a. cotg A b. tg A

cosec A

y x x tg B y tg A

c. sec (90º A) d. cosec (90º A)

5 5 4 ; sec A ; cotg A 3 4 3

3 4 3 ; cos B ; tg B 5 5 4

cosec B

5 5 4 ; sec B ; cotg B 3 4 3

31 a. y b. sen 48º sen 132º 0,7431448 cos 48º cos 132º 0,6691306 tg 48º tg 132º 1,1106125 cosec 48º cosec 132º 1,3456327 sec 48º sec 132º 1,4944765 cotg 48º cotg 132º 0,900404 32 sen ( ), cos ( ), tg ( ). 33 Teniendo en cuenta que las ordenadas en el 1.º y 2.º cuadrante son positivas y que las abscisas del 1.er cuadrante son positivas en tanto las del 2.º son negativas, las igualdades resultan en la 1.ª columna: V, F y F y en la 2.ª columna: F, F y V.

24 A

sen A

cos A

tg A

30º

1 2 3 2 2 2

3 2 1 2 2 2

3 3

60º 45º 25

tangente

A 33º

0,545

0,839

0,649

90º A

0,839

0,545

1,540

B 75º

0,966

0,259

3,732

90º B

0,259

0,966

0,268

c. 0,208 d. 4,702

36 8,66 m 37 7,87 m

coseno

28 a. Puede ser cualquier triángulo rectángulo. b. Tiene que ser un triángulo rectángulo isósceles. c. Tiene que ser un triángulo rectángulo isósceles. 29 a. 27,32 cm b. 22,94 cm c. 39,01 cm Todos los resultados son aproximados. 30 a. Lado OP 5 sen A

35 En los casos b., c., e. y f.

seno

26 a. 0,978 b. 0,978

34 Lados AC 9,58 cm y BC 5,24 cm. Área 16,22 cm2

3 4 3 ; cos A ; tg A 5 5 4

38 h 3,99 cm y el lado BC 6,39 cm 39 a. Los ángulos miden A 74º 24’ 36’’; B 44º 28’ 6’’ y C 61º 7’ 18’’. b. Lado NP 15,98 cm y ángulos: P 21º 13’ 27,61’’ y N 18º 46’ 32,39’’. c. Lado RS 7,26 cm y ángulos: R 36º 28’ 36’’, S 97º 31’ 23’’. d. Ángulos X 83º 20’ 4’’; Y 52º 37’, Z 44º 2’ 56’’. 40 A partir del teorema del coseno se plantean las igualdades correspondientes a cada lado, se suman miembro a miembro, se despeja la suma a2 b2 c2 y se divide ambos miembros por el producto 2abc. 41 289,65 m 42 Perímetro 28,28 cm, área 41,4 cm2. 43 4,33 cm. 44 sen B 0,98; tg B 4,90. 45 a. sen A 0,86; cos A 0,51; tg A 1,70;

153

sec A 1,97; cosec A 1,16; cotg A 0,59. b. Si B 90º A, entonces sen B 0,51; cos B 0,86; tg B 0,59; sec B 1,16; cosec B 1,97; cotg B 1,70. 46 a. 1 b.

c. 1 4

2 2 3 2 3 4 13 3 12

10 3 cm 3

48 En el triángulo rectángulo escaleno el cateto menor mide 6,47 cm y el mayor, 24,15 cm; el otro ángulo agudo es de 15º. El triángulo rectángulo isósceles tiene sus ángulos agudos y sus catetos respectivamente iguales; la hipotenusa mide 12,73 cm. 49 a. A cargo del alumno. b. sen 130º sen 50º; cos 130º cos 50º; tg 130º tg 50º. 50 a. Ángulo B 102º; lados c 5,43 cm y b 7,38 cm. b. Ángulos B 38º 33’ 15’’; C 23º 26’ 44’’. Lado c 7,66 cm. c. Ángulos A 102º 58’ 20’’; C 32º 1’ 40’’. Lado a 22,05 cm 51 22,36 m y 20,15 m, respectivamente. 52 Los ángulos miden: A 57º 7’ 18’’; B 78º 27’ 46’’; C 44º 24’ 55’’; R 123º 44’ P 29º 55’ 35’’; Q 26º 20’ 24’’. 53 31,29 m 54 68,36 m

3 a. Los puntos forman dos rectas paralelas a la recta AB. b. Los puntos forman una circunferencia de centro A y radio 3. c. Los puntos forman una recta perpendicular al segmento AB que contiene su punto medio, es decir, forman la mediatriz del segmento. 4 a. Construcción a cargo de los alumnos. b. Los ángulos miden 60° y 120° porque los triángulos SPR y QRP son equiláteros. 5 a. b. c. d.

A cargo de los alumnos. A cargo de los alumnos. A cargo de los alumnos. m está incluida en la mediaLa bisectriz de BAD triz de BE .

6 a. A cargo de los alumnos. b. A cargo de los alumnos. c. Se forma una parábola. Cada uno de sus puntos equidista del punto F y de la recta r. Además, la recta perpendicular a r que contiene al punto F es el eje de simetría de la parábola. Algunas parábolas pueden relacionarse con funciones cuadráticas. d. La recta r se llama directriz, y el punto F, foco. 7

a. El punto V está ubicado en la mitad entre F y la intersección entre r y la perpendicular a r que pasa por F. b. Obtendría una parábola (V resulta el vértice de la parábola). c. A cargo de los alumnos. Para visualizar la figura que se va formando en el GeoGebra puede ayudarte activar el rastro de los puntos A y B, y desplazar el C sobre la perpendicular.

8 La parábola “cierra” sus ramas cuanto más cerca está el foco de la directriz.

Capítulo 9 Para empezar Existen varios casos, por ejemplo las geometrías no euclidianas. 1

a. d( A, C) 29 ; d(B, D) 13 . b. Perímetro ( ABCD) 8 2 5 . c. hAD 2 ; área ( ABCD) 8 .

2 Gráfico a cargo de los alumnos. Los puntos son (4; 2) y (4; 6).

154

9 Gráfico a cargo de los alumnos (corresponde a una parábola de eje horizontal, con las ramas hacia la derecha). El vértice se ubica en el (0; 0). 10 a. Sí es posible. Gráfico a cargo de los alumnos (corresponde a una parábola de eje vertical, es cóncava hacia abajo y vértice en el (0; 1)). b. No es posible, porque el eje de simetría debe ser perpendicular a la directriz. c. Sí es posible; hay infinitas parábolas que cumplen esas condiciones. d. Sí es posible; el foco es el (1; 4). e. No es posible; el foco estaría sobre la directriz y el único punto que equidistaría de ambos sería

55 3,32 m

vería a acercarse a la Tierra.

el (0; 0). ¤ 1´ 1 11 a. Foco: ¥¥0; µµµ ; directriz: y . ¦ 4¶ 4 ¤ 5 ´ 5 b. Foco: ¥¥ ; 0µµµ ; directriz: x . ¦ 4 ¶ 4 12 a. Representa una función cuadrática. b. No representa una función, ya que existen dos imágenes para cada abscisa mayor que 1. c. No es función, ya que existen valores de abscisa con más de una imagen. Solo las parábolas de directriz horizontal (y eje vertical) representan parábolas.

24 a. x 2 20 y . Representa una función. b. y 2 16 x . No representa una función. c. x 2 12 y . Representa una función. 25 El foco estará a 40 metros de altura, pues la distancia entre el foco y el vértice es la misma que la distancia entre el vértice y la directriz. 26 Gráficos a cargo de los alumnos. Solo el b representa una función. 27 15 metros.

13 a. A 112,5 cm. 1 2 b. f ( x ) x ; Dom f [ 150; 150]. 450 14 a. x 2 4 y . Representa una función. b. y 2 8 x . No representa una función. c. x 2 12 y . Representa una función. 15 La distancia entre A y B es 10 en b y c.

Capítulo 10 Para empezar t 10 fichas. t 3 fichas: anaranjado, azul y verde; anaranjado, azul y lila; anaranjado, verde y lila. 1

16 a. k 1,5 o k 10,5. 9 b. k . 5

b. 36 piezas. c.

17 Área: 24. Perímetro: 6 2 17 4 5 23, 19 . 18 a. El punto equidista de los lados del triángulo y, en consecuencia, es el centro de la circunferencia inscripta. b. A cargo de los alumnos.

19 a. El punto equidista de los vértices del triángulo y, en consecuencia, es el centro de la circunferencia circunscripta. b. A cargo de los alumnos. 20 Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia de A menor o igual que 2, pero mayor o igual que 1,5 cm. 21 Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a 2 cm de la recta r. 22 Gráficos a cargo de los alumnos. (En todas el vértice es el (0; 0); la única de eje de simetría horizontal es la b). 23 a. El cometa estará más cerca cuando pase por el vértice de la parábola ya que es el punto que está más cerca de la directriz. b. No, ya que la parábola es una curva abierta. Si la trayectoria fuese parabólica, el cometa no vol-

a. A cargo de los alumnos.

Cantidad de formas

Cantidad de colores

Cantidad de tamaños Total de piezas 3

4 · 5 · 3 60

2 3! 6 3 4! 24 4 a. 10! 3.628.800 b. 9! · 2! 725.760 5 a. 5! 120 b. 55 3.125 c. En a. hay 4 · 3 · 2 · 1 · 2 48 pares. En b. hay 54 · 2 1.250 pares. 6 a. 5! 120 10! 3.628.800 6! 720 7! 5.040 3! 6 0! 1 b. w; w; . c. Hay que rodear la 1.ª, la 2.ª, la 3.ª y la 5.ª. 7

a. n 1

b. (n 1)!

c. n

8 V(4, 3) 24

155

9 a. V(5, 3) 60

b. 53 125

20 a. Se puede completar aplicando la propiedad ¤ 8 ´ ¤ 8 ´ ¤ 9 ´ enunciada en 19 c.: ¥¥ µµµ ¥¥¥ µµµ ¥¥¥ µµµ . También ¥¦ 5 µ¶ ¦ 6 µ¶ ¦ 6 µ¶

10 a. V(26, 3) · V(10, 2) 1.404.000 b. 263 · 102 1.757.600

podría haberse completado usando la simetría ¤ 9 ´ analizada en 19 b., con ¥¥¥ µµµ . ¦ 3 µ¶

11 A, D y B, respectivamente.

12 Hay que rodear el 2.º y el 4.º.

b. Hay varias formas de completarlo, por ejemplo: ¤ 7 ´µ ¤ 7 ´µ ¤ 8 ´µ ¤ ´ ¤ ´ ¤ ´ ¥¥ µ ¥¥ µ ¥¥ µ , o ¥¥ 7 µµ ¥¥ 7 µµ ¥¥ 8 µµ , o usando ¥¦ 2 µµ¶ ¥¦ 3 µµ¶ ¥¦ 3 µµ¶ ¥¦ 2 µµ¶ ¥¦ 1 µµ¶ ¥¦ 2 µµ¶

13 C(5, 3) 10

14 a. C(8, 2) 8 20 n(n 1) n(n 3) b. C (n, 2) n n 2 2

las simetrías. c. Hay varias formas de completarlo, por ejemplo: ¤ 13 ´µ ¤ 13 ´µ ¤ 14´µ ¥¥ µ ¥¥ µ ¥¥ µ , o usando las simetrías. ¥¦ 8 µµ¶ ¥¦ 9 µµ¶ ¥¦ 9 µµ¶

15 Es cierto, porque C(10, 3) C(10, 7) 120.

16 a. 10

b. 56

c. 792

d. 792

d. Hay varias formas de completarlo, por ejemplo: ¤ 12 ´µ ¤ 11 ´µ ¤ 11´µ ¤ ´ ¤ ´ ¥¥ µ ¥¥ µ ¥¥ µ , o ¥¥ 12 µµ ¤¥¥ 11 ´µµ ¥¥ 11µµ , o ¥¦ 9 µµ¶ ¥¦ 9 µµ¶ ¥¦ 8 µµ¶ ¥¦ 8 µµ¶ ¥¦ 7 µµ¶ ¥¦ 8 µµ¶

17 a. I. II. III. IV. b. I. II. III. IV.

8 2 Por ejemplo: 7 y 15, respectivamente. n r

22 a. x 1 x 2 2 x 1 x 1 3 x 3 3 x 2 3 x 1 x 1 4 x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1 x 1 5 x 5 5 x 4 10 x 3 10 x 2 5 x 1 b. Los coeficientes del desarrollo de la potencia 2 corresponden al tercer renglón del triángulo, los de la potencia 3, al cuarto renglón, etcétera. c. x 1 6 x 6 6 x 5 15 x 4 20 x 3 15 x 2 6 x 1

1 1 1

1 2

3 4

21 El resultado es el mismo: x 3 6 x 2 12 x 8 .

usando las simetrías.

1 n 1 n

1 3

6 10

1 4

1 5

1 6

6 5 4 3 23 x 2 x 12 x 60 x 160 x

¤ 3 ´ ¤ 3 ´ b. Por ejemplo, ¥¥¥ µµµ ¥¥¥ µµµ ; ¦ 1 µ¶ ¦ 2 µ¶

¤ 5 ´µ ¤ 5 ´µ ¥¥ µ ¥¥ µ ; ¥¦ 2 µµ¶ ¥¦ 3 µµ¶

24 a. 1,17 (1 0,1)7 ; 1,9485 (si se considera a 1 y b 0,1 en el desarrollo del binomio). Si se hubieran empleado todos los términos se hubiera obtenido el resultado exacto. b. (1 0,1)

¤ n ´µ ¤ n ´µ µµ ¥¥ µµ , con 0 ≤ m ≤ n. en general ¥¥¥ ¦ n m µ¶ ¥¦m µ¶ c. Se obtiene sumando los dos números que están en la fila anterior a su izquierda y a su derecha. Por ejemplo, el segundo número de la próxima fila se ¤ 5 ´ ¤ 5 ´ ¤ 6 ´ obtiene haciendo 1 5, o sea, ¥¥ µµµ ¥¥¥ µµµ ¥¥¥ µµµ . ¥¦ 0 µ¶ ¦ 1 µ¶ ¦ 1 µ¶

¤ n ´ ¤ n ´µ ¤ n 1 ´µ µµ ¥¥ µµ , En general ¥¥¥ µµµ ¥¥¥ ¦ m µ¶ ¦ m 1µ¶ ¥¦ m 1µ¶

156

con 0 ≤ m ≤ n. El siguiente renglón del triángulo sería: 1 6 15 20 15 6 1

25 a. El desarrollo de la potencia 2 tiene 3 términos, el de la potencia 3 tiene 4 términos, etcétera. En general, si el binomio se eleva a n, su desarrollo tiene n 1 términos. b. Tendría 10 términos. c. En todos los casos el tercer término correspon¤ n ´ de al combinatorio ¥¥¥ µµµ , siendo n la potencia. En ¦ 2 µ¶

ese término la potencia de x es n 2 y la de 1 es 2.

240 x 2 192 x 64

19 a. Es el 1.

26 En todos los casos se puede encontrar el quinto término; cuando la potencia es 4, el quinto término ¤ n ´ es el último. Se trabaja con el combinatorio ¥¥ µµµ y ¥¦ 4 µ¶ la potencia de x es n 4. a. 1.215 x2 b. 1.296 c. 1.120 x4 d. 0,0035 x3

llegar a tiempo en bicicleta. Como ambos sucesos son incompatibles (pues se viaja en un transporte o en el otro), esas probabilidades se suman: 0,5 · 0,7 0,5 · 0,8 0,75.

36 a. Mujeres

¤ 9 ´ 3 27 Es el cuarto término: ¥¥¥ µµµ x 6 3 2.268 x 6 . ¦ 3 µ¶

28 F

Como uno de los términos del binomio es negativo, al desarrollar cualquier potencia algunos términos resultan negativos. V Como los dos términos del binomio son positivos, todos los términos del desarrollo de cualquier potencia son positivos. F En el tercer término del desarrollo, la potencia de x es 4 y la de ( 2) es 2, por lo que el coeficiente es positivo.

Claro

Oscuro

Total

280

120

400

Hombres

320

400

Total

360

440

800

80 0,2 400

37 a. 6! 720

b. 5! · 2! 240

38 V(14, 2) 182 39 C(14, 2) 91 40 a. V(12, 3) 1.320

b. V(11, 2) 110

41 C(12, 3) 220 29 a.

2 6

1 1 1 6 6 36

30 Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo; en ese caso P(A o B) P(A) P(B). Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no incide en la ocurrencia del otro; en ese caso P(A y B) P(A) · P(B).

42 C(12, 3) 220 43 10! 3.628.800 44 32 9 45 C(10, 2) · C(26, 3) · P5 14.040.000 46 a.

31 a. Independientes. b. Incompatibles. c. Incompatibles. 32 0,15 0,35 0,50

91 144

b. 1

c. 7

¤ n ´ 47 a. Falso; también los combinatorios ¥¥¥ µµµ valen 1. ¦ 0 µ¶ ¤ 5 ´µ ¤ 5 ´µ b. Verdadero; por ejemplo, ¥¥¥ µµ ¥¥¥ µµ . ¦ 2 ¶µ ¦ 3 ¶µ ¤ n ´µ ¥ c. Falso; ¥¥ µµ n . ¦ 1 µ¶

33 a. Es más probable que haya sacado dos verdes.

¤10´3 b. ¥¥ µµµ 0,17 ¦18¶ 34 a. I. II. b.

30 0,06 500 150 0,30 500

270 0,90 300

35 a. En la primera ramificación se completa con 0,5 y 0,5. En la siguiente se completa con 0,7 y 0,2, respectivamente. b. 0,2 c. Es la probabilidad de llegar a tiempo en auto o

d. Verdadero; 0 es el único número natural que no puede expresarse como un número combinatorio. 48 En los desarrollos se redondean los coeficientes a los centésimos. 7 a. x 1, 2 x 7 8, 4 x 6 30, 24 x 5 60, 48 x 4 72, 58 x 3 52, 25 x 2 20, 90 x 3, 58 5

b. 2 x 1 32 x 5 80 x 4 80 x 3 40 x 2 10 x 1 4

c. x 3 1 x 12 4 x 9 6 x 6 4 x 3 1 4

d. x 2 x x 8 4 x 7 6 x 6 4 x 5 x 4 49 En los desarrollos se redondean los coeficientes a los centésimos.

157

a. x 2, 5 x 6 15 x 5 93, 75 x 4 312, 5 x 3 585, 94 x 2 585, 94 x 244, 14 7

b. 3 x 1 2.187 x 7 5.103 x 6 5.103 x 5 2.835 x 4 945 x 3 189 x 2 21 x 1 4

x 2 1

x8 4x6 6x4 4x2 1

50 a. 0,4x

b. 54x

7 12

54 a

. Caminan

No caminan

Total

Nenas

Nenes

Total

23 40

b. 4

51 1.215 x

52 No puede ser, porque en el quinto término la potencia de ( 0,5) es 4; por lo tanto, el coeficiente es positivo.

158

c. No son incompatibles porque ambos sucesos tienen resultados en común (por ejemplo, el 3 es impar y primo).

d. 5 2 x 2 1 32 x 10 80 x 8 80 x 6 40 x 4 10 x 2 1 3

6 12

12 23

55 a. A cargo de los alumnos. b. 0,50 · 0,95 0,50 · 0,88 0,915 56 0,88 · 0,15 0,12 · 0,20 0,156

53 a.

Soluciones de las autoevaluaciones 2 El gráfico debe ser simétrico con respecto al origen

Capítulo 1 1

10.000 ^ 121

de coordenadas y pasar por ese punto y por b.

(2; –1), (–3; 2), (–2; 1) y (3; –2).

7 ^ 31

f(–2) 1 y f(3) –2.

2 2,24. Ea < 0,004. 3 Im f [–3: 2]; período: 3; f(15) –3; f(–8) 2;

ª3 3º 3 a. S « ; » ¬2 2 ¼ b. S [3; 5]

f(14) f(5), por lo tanto, es negativo.

c. S [x [ / 36 a x a 18] ; 36; 18= ª 5 15º d. S «x ° / x o x > » ¬ 2 2 ¼ ( c ; 2,,5) (75 , ; c)

Capítulo 4 1

Capítulo 2

a. Forma polinómica: f(x) 3x2 6x. Forma factorizada: f(x) 3 x (x 2). b. El gráfico corta el eje x en 0 y 2; el vértice es el punto (1; 3); los puntos ( 1; 9) y (3; 9) pertenecen al gráfico.

2 F-V-F-V-V 1

a. Cada término puede obtenerse multiplicando el 1 término anterior por . 3 b. El término general puede expresarse de varias n 2 ¤1´ formas; podría ser an ¥¥ µµµ . 3 ¦ 3¶ 2 c. a10 177.147

3 Hay dos respuestas posibles: los números son 6 y 8, o bien 6 y 8.

2 a. Para la sexta fila se necesitarían 1.024 personas. b. En la quinta fila. c. an 4n 1

Capítulo 5 1

Área: 2x2 6x 9.

Perímetro: 6x 12.

2 a. x3 4x2 30x 2 b.

1 5 5 4 41 3 x x x 24 x 2 x 4 2 4 4

c. Cociente: 0,25x2 0,5x 4. Resto: 8.

Capítulo 3 1

a. Dom f [–10; 6]

d. Im f [–8; 6]

b. –4 c. Crecimiento: (–10; –8) (–6; –4) (–1; 2). Decrecimiento: (–8; –6) (–4; –1) (2; 4). © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

1 6 x 25 x 2 16

d. (4; 6) e. Positividad: (–5; –2) (1; 3). Negatividad: [–10; –8) (–8; –5) (–2; 1) (3; 6]. f. Para x 10 alcanza un mínimo absoluto; para x –8, un máximo relativo; para x –6, un mínimo relativo;

3 a. El grado de P(x) es 5, porque el grado del cociente es igual a la resta entre el grado de P(x) y el de Q(x). b. El resto R(x) podría ser el polinomio nulo (que no tiene grado). Si no lo es, el grado de R(x) es menor que el del divisor, por lo que puede ser 2, 1 o 0. 4 El cociente es el mismo porque P(x) Q(x) · C(x) R(x) y también P(x) C(x) · Q(x) R(x).

para x –4, un máximo relativo y absoluto; para x –1, un mínimo relativo; para x 2, un máximo relativo.

159

2,5x2 7x

¤ 1´ ¤ 1´ 2 a. 9 ¥¥x µµµ ¥¥x µµµ ¥¦ 6¶ ¥¦ 6¶ 2 ¤ 2´ b. 5 x ¥¥x µµµ ¥¦ 5¶

3 a. b. c. d. e. f.

4 Perímetro 43,69 cm Área 63,3 cm2

¤ 1´ ¤ 1 1´ c. 2 x ¥¥x µµµ ¥¥x 2 x µµµ ¥¦ ¥ 3¶ ¦ 3 9¶ 3 a. Las raíces son: 0, 1 y 1, todas de multiplicidad 1, y 2, de multiplicidad 3. b. El resto es 0 porque 1 es raíz y, en consecuencia, (x 1) divide a P(x).

Capítulo 7 1

Es incompatible. Las rectas son paralelas.

2 El a., por igualación, porque ya está despejada la x en ambas ecuaciones; el b., por sustitución, porque en la segunda ecuación ya está despejada la y. a. x 4; y 2,5. b. x 1; y 1. 3 x 1 e y 2. 4 Los puntos (1; 2) y (1; 1) indican soluciones del sistema. Esto puede observarse en el gráfico porque son los puntos que quedan en la región que satisfacen ambas inecuaciones; en forma analítica puede verificarse que son los dos únicos puntos de la lista cuyas coordenadas satisfacen ambas inecuaciones.

Capítulo 8 1

391 m aproximadamente.

cos A

2 2 3 1 tg A 2 4

cotg A 2 2 sec A

3 2 4

cosec A 3

160

0,92 0,4 2,29 0,4 0,92 0,44

Capítulo 9 1

Área SPQR 10. Perímetro SPQR 6 5 .

2 a. Queda una corona circular. b. Quedan dos “franjas” comprendidas entre rectas paralelas a la recta b, una de cada lado de b. 3 a. Falso. El foco lo tiene en (1; 0). b. Verdadero, el vértice equidista del foco y de la directriz, y además están alineados. c. Falso. Siempre que la directriz sea vertical habrá abscisas con dos imágenes (el eje de simetría será horizontal). 4 a. x 2 8 y . b. y 2 4 x .

Capítulo 10 1

a. Hay 126 formas; se puede calcular haciendo C(9, 4) 126. b. Hay 24 formas; se puede calcular haciendo P4 4! 24. c. Hay 360 formas; se puede calcular haciendo V(6, 4) 360. d. Hay 1.296 formas; se puede calcular haciendo V(6, 4) con repetición 64 1.296.

2 5.103x 3 La probabilidad es

5 . 64

4 La probabilidad de que un chico tenga ojos claros es 0,28 · 0,12 0,72 · 0,25 0,2136.

Capítulo 6