Matemática 5º -Soluciones

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Soluciones

CapĂ­tulo 1 Para empezar y Una paradoja es un razonamiento aparentemente vĂĄlido, pero que genera una contradicciĂłn. y El conjunto de los nĂşmeros reales es un conjunto denso, es decir, entre dos nĂşmeros distintos siempre hay otro nĂşmero. Lo mismo pasa en la paradoja. y A cargo de los alumnos. 1

a. Mariana, porque –0,000000001 = –10 –9. b. Puede ser, por ejemplo –10 –11 o 2 ¡ 10 –15. c. No, ya que al ser un conjunto denso, para cualquiera que se proponga siempre habrĂĄ uno entre este nĂşmero y 0.

11 a. (< 3; 0) b. [–2; 2] c. {2}

d. ’ e. (0; 2) f. (–2; 2]

12 A = (9; +∞) B = (–∞; 6) ‰ {8} C = (–∞; 0]

D = (–∞; –5) ‰ (5; +∞) E = (–1; 0) F=’

13 a. (–2; 5] b. [0; 5]

c. (–/; –1] ‰ [/; 5) d. {–1; 0; 1; 2; 3; 4}

14 a. Â’ b. ^

c. ^ – {–5} d. ^

15 a. x = − 2; x = 0; x = 2 b.

2 a. Sí, siempre. b. No, la división por 0 no se puede efectuar. c. Sí, por ejemplo ( 1 2 ) y ( < 2 ), que suman 1. La suma de racionales da siempre un número racional. d. No siempre; por ejemplo, 2 ⋅ 8 = 4. 3 a. Serå mayor. b. Sería irracional, ya que es improbable que a partir de cierto momento se forme un período arrojando infinitas veces el dado. 4 a. Para todo t ≠0. b. t ≤ 3. c. Vale para todos los números reales, así que t puede tomar cualquier valor. d. t > 0. 5 Las respuestas no son únicas. Algunos ejemplos: a. 3,991. c. 2,6456. b. 3,1409. d. 1,45. 6 –3,3045; –/;

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7

8

3

<28 ;

a. 2 2 < 1 b. 2

(

−2

)

2

3

28 ; /;

c. 3,15 d. –2,7

d. x = − 7 − 3; x = 7 − 3 ⎛ 16 a. ⎜⎜ −∞; �

2 −5⎞ âŽ&#x; 3 âŽ&#x;âŽ

⎥ 8 ⎞ b. ⎢ − ; + ∞ âŽ&#x; ⎣ 9 âŽ

y ( −16 ) , que puede escribirse 4 ( −16 ) , por3

1

3

9 a. 3 2

c. a 7

d. –3 e. No es posible. f. No es posible.

18 a. x = 4

9 4 d. x = 4; x = –2.

b. x = 3 19 a. A cargo del alumno. b. A cargo del alumno.

21 a. b. c. d.

3 –3 1 1

22 a. Entre 3 y 4. b. Entre 0 y 1.

2

1

b. 5 3

d. 11 3 c. (1 a )2 d. 3x

d. Â’ (No tiene soluciĂłn).

17 a. 4 b. –2 c. 0

e. 2

cia par dĂŠ un resultado negativo.

1

' c. – ' –3 , ²² ¤3

c. x = −

c. 2,7182 y 2,7183.

4

que no hay ningĂşn nĂşmero que elevado a una poten-

10 a. 5 b. 2a2

c. No tiene soluciĂłn real.

20 b. log11 121 = 2 c. log 2 0,5 = –1 d. log 1 64 = −3

20 ; 2 2 . 6

3 4

x = − 5; x = 3; x = 5

f. g. h. i. j.

3 0 0 2 1 2

c. Entre –2 y –1.

23 a. Es correcto. Por ejemplo, 2log2 8 8. b. Tiene razĂłn Fernando. Puede demostrarse asĂ­: si loga x = c, entonces ac = x, y si loga y = b, entonces ab = y.

119

Entonces, x ¡ y = ac ¡ ab = ac + b. Luego, loga (x ¡ y) = c + b = loga x + loga y. Un ejemplo puede ser log2 (8 ¡ 16) = log2 128 = 7 y log2 8 + log2 16 = 3 + 4 = 7. c. loga (x : y) = loga x – loga y (porque en la divisiĂłn de potencias de igual base los exponentes se restan). d. Se pudo basar en la propiedad del logaritmo de la multiplicaciĂłn, o bien, en la de potencia de otra potencia. Por ejemplo, log3 (94) = log3 6.561 = 8 y log3 (94) = 4 ¡ log3 9 = 4 ¡ 2 = 8. e. Es cierto. Por ejemplo, log 3 (3) log 3 (32 ) 2 . 24 a. log2 32 = 5

1 b. log 3 = −3 27

9 25 a. < 2

b. –4

27 Ă cida: 10 −7 < x < 1 Neutra: x = 10 −7 BĂĄsica: 10 −14 < x < 10 −7

1 64 1 = 36

33 a. 4 −3 = b. 6−2

log2 [x ¡ (x + 1) : 6] = 0 o Usó las propiedades de la multiplicación y de la división.

34 a. (0; 2] b. (–∞; 0] ‰ {4}

c. (–∞; 0) ‰ (1; +∞) d. (–∞; 0) ‰ {4}

35 a. ^

⎥ 4 4⎤ c. ⎢ − ; ⎼ ⎣ 3 3⎌

b. Â’ (No tiene soluciĂłn). 10 7

c. Entre –3 y –2. d. Entre 0 y 1.

39 a. 1

c. <

b. 0

d. 3

x2 + x – 6 = 0 o Desarrolló el producto e igualó a cero. x = 2 o bien x = –3 o Usó la fórmula resolvente. b. Solo el 2 es solución de la ecuación; –3 se descarta porque log 2 (–3) no existe.

b. x = 1 o bien x = 0.

d. –5

f.

–2

8 3

41 Para escribirlo con un solo logaritmo se emplea la propiedad de la divisiĂłn y luego la del cambio de base. ⎛m⎞ Queda asĂ­: log ( m − n) ⎜ âŽ&#x;. âŽ?nâŽ

43 a. 2,995

6 = x ¡ (x + 1) o Multiplicó por 6.

5 2

25 4 d. x = 3

b. 6,213

c. –5,520

44 A cargo del alumno (los resultados pueden cambiar en las milĂŠsimas debido al error que se comete al aproximar ln 2 y ln 5). 45 a. 2,37 b. 3,85 46 a. x = 0

c. x = 9

c. x

c. x = 1

38 a. Entre 2 y 3. b. Entre 3 y 4.

1 = [x ¡ (x + 1) : 6] o Calculó 20.

30 a. x = log 5

b. x = –4

e. 1

42 a = 1

d. x = −

d. (–∞; –4) ‰ (0; +∞)

37 a. 3 1 b. 3 c. –2

20 = [x ¡ (x + 1) : 6] o Aplicó la definición de logaritmo.

b. x = 1

d. 1

c. –2,32 d. 0,87 b. x = 104

c. x = –2

47 a. Verdadero, con a > 0 y b > 0. b. Falso; por ejemplo, si x = 8, log (8 + 2) = 1, mientras que log 8 ¡ log 2 0,27. c. Verdadero, con a > 0, a ≠1, b > 0 y b ≠1; para demostrarlo tenĂŠ en cuenta la propiedad de cambio de base.

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log2 x + log2 (x + 1) – log2 6 = 0 o Restó log2 6.

44 9

c. (n + k)0 = 1

40 a > 0 y a ≠1; b > 0 y b ≠1; x > –2.

28 a. log2 x + log2 (x + 1) = log2 6

29 a. x

d. (6; +∞) e. (0; +∞) f. [–1; 1]

32 Un ejemplo es − Ď€ − 1, 3 .

36 a. x

26 a. log3 2 0,63 b. ln 6,5 1,87 log2 3 1,58 log 278 2,44 log6 5 0,90 c. Se podrĂ­a verificar realizando las correspondientes potencias. d. Primero confundiĂł las bases de los logaritmos, pues deben ser las mismas; y en el segundo intento escribiĂł al revĂŠs la divisiĂłn.

120

31 a. ^ b. (–∞; –3] ‰ [3; +∞) c. ^ – {0}

CapĂ­tulo 2 Para empezar y 0; 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192. y La tabla se completa con: 0,4; 0,7; 1; 1,6; 2,8; 5,2; 10; 19,6. 1

3 3 3 3 3 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 2 8 32 128 512 3 3 b. A10 19 ; A22 43 2 2 3 En general An = 2 n −1 . 2

a. A1

2 a. La tabla se completa con: 2; 3; 5; 8; 13. b. A partir del tercer mes, la cantidad de parejas de conejos de cada mes es la suma de las cantidades de los dos meses inmediatamente anteriores. 3 a.

1 1 1 ; ; 5 6 7

an =

b.

5; 6; 7

c.

32 64 128 ; ; 15 18 21

4 La y y y

1 n+1

2n 3â‹…n

tabla se completa con: –0,4; –1,8; –5,6; –13; –25,2; –43,4. Decrece. 0; 1,5; 2, 6 ; 3,75; 4,8; 5, 83 . Crece. –1; 1; –1; 1; –1; 1. No crece ni decrece.

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6 a. Sí es cierto, porque cada tÊrmino se obtiene sumando 7 al anterior. b. 42; 49; 56; 63; 70. an = 42 + 7(n – 1). c. Hay 66. a. an; bn y dn.

8 a. an – 1 + r b. an – an – 1 c. an = a1 + r(n – 1) 9 a. Mes

1

2

3

4

5

6

Dinero

50

70

90

110

130

150

b. c. d. e.

En los tres casos suma $ 200. 3 ¡ 200 = 600 $ 770. $ 1.920; $ 2.850.

Tiempo transcurrido (en horas) Cantidad de microorganismos

0

1

2

3

4

5

3

6

12

24

48

96

t

b. C(t) = 3 ¡ 2 C(10) = 3 ¡ 210 = 3.072 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2 . 12 a. b. Es aritmĂŠtica, ya que cada tĂŠrmino se obtiene sumando 2 al anterior. Su fĂłrmula general puede expresarse como an = 2 + (n − 1) â‹… 2 . c. a9 = 9 2 n −1

5 a. 65 minutos. b. T(n) = 20 + 5(n – 1) (n es la cantidad de días). c. No, porque no hay ninguna cantidad de días (n) para la cual la cuenta dÊ 72.

7

11 a.

1 6 3 ⎛1⎞ ; a n = 6 â‹… ⎜ âŽ&#x; ; a10 9 4 4 131.072 âŽ?4⎠n −1 1 ⎛ 1 ⎞ b. q = < ; an = −4 â‹… ⎜ − âŽ&#x; ; 10 âŽ? 10 ⎠9 ⎛ 1 ⎞ a10 = −4 â‹… ⎜ − âŽ&#x; = 0, 000000004 âŽ? 10 âŽ

13 a. q =

an n an =

10 a. 24 para la quinta y 149 para la última. b. an = 4 + 5(n – 1) c. Para las 10 primeras filas se necesitan 265 deportistas y para la formación completa (de 30 filas), 2.295. n d. Sn = ( a1 + an ) ⋅ 2

9 c. q = 5; a = ⎛ 1 ⎞ â‹… 5n −1 ; a 5 1.953.125 n 10 ⎜ âŽ&#x; 2 2 âŽ?2âŽ

14 a. SĂ­, tiene razĂłn, ya que cuando su hijo cumpla 12 aĂąos tendrĂ­a que darle $ 4.194.304. b. En total deberĂ­a haberle dado, durante todos estos aĂąos, $ 5.592.405. 15 a. Se podrĂ­an hacer 10 rectĂĄngulos. 1 b. cm de alto y 512 cm de ancho. 3 1 1 1 1 . ; ; ; 2 4 8 16 b. SĂ­, es una sucesiĂłn geomĂŠtrica; su fĂłrmula general n −1 ⎛1⎞ es A = ⎜ âŽ&#x; . âŽ?2⎠c. S10 1,998046875 S20 1,999998093 S30 1,999999998

16 a. 1;

17 Cuando n toma valores cada vez mås grandes‌ 5 y ‌ se aproxima a 0. n 5 y ‌ 4 se aproxima a 4. n y ‌4n + 6 toma valores cada vez mås grandes (tiende a infinito).

121

n −1

⎛1⎞ â€ŚâŽœ âŽ&#x; âŽ?2âŽ

y

‌(n + 3)2 toma valores cada vez mås grandes.

se aproxima a 0.

18 an tiende a 0. bn tiende a –6.

cn tiende a infinito. dn tiende a 0.

19 a. an se corresponde con el primer gråfico y bn con el segundo. b. II. y IV. se corresponden con an; I. con bn y III. con las dos sucesiones. 4 4 2 4 1 4 2 4 1 4 2 ; 1; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 3 5 3 7 2 9 5 11 3 13 7 4 b. a n n c. Es decreciente. d. Estå acotada. Cotas superiores: 4; 5; 10 (o cualquier número mayor o igual a 4). Cotas inferiores: 0; –1; –6 (o cualquier número menor o igual a 0). Supremo: 4. �nfimo: 0.

20 a. 4; 2;

21 a. El grĂĄfico queda “atrapadoâ€? entre las rectas horizontales y = 1 e y = 3. b. Cotas superiores: 3; 4; 7. Cotas inferiores: 1; 0; –3. Supremo: 3. Ă?nfimo: 1. c. No es creciente, ni decreciente. 22 a. El cuarto de los grĂĄficos no tiene cota inferior, pero si cota superior. El segundo tiene cota inferior y no tiene cota superior. b. El primero de los grĂĄficos no estĂĄ acotado. 23 Se obtiene una secuencia numĂŠrica que se repite cada 6 tĂŠrminos. La secuencia es 2; 7; 5; –2; –7; –5‌ 24 Hay que escribir 10 tĂŠrminos ya que el dĂŠcimo es igual al segundo. 25 a. En la quinta figura, 15 puntos, y en la sexta, 21. n â‹… (n + 1) ; tambiĂŠn b. El tĂŠrmino general es a n = 2 puede definirse por recurrencia: an + 1 = an + (n + 1), con a1 = 1. 26 603 27 Hay 377 mĂşltiplos de 13. Se puede calcular considerando a1 = 104 como el primer tĂŠrmino de la sucesiĂłn de mĂşltiplos de 13 mayores que 100, y an = 4.992, porque es el mĂşltiplo de 13 mĂĄs cercano a 5.000. Entonces se calcula n a partir de la fĂłrmula an = 104 + 13(n – 1).

122

28 A partir de la fila 11.

29 a. A cargo del alumno. b. EstĂĄn alineados. c. SĂ­, la representaciĂłn de los tĂŠrminos de cualquier sucesiĂłn aritmĂŠtica es una sucesiĂłn de puntos alineados. 30 El dĂ­a 11 quedan 2 litros en el barril. 31 q

1 3

32 a. SĂ­, todos los productos dan 576. b. SĂ­, se verifica en todas las sucesiones geomĂŠtricas. 33 Beto recorriĂł mĂĄs, porque al dĂŠcimo dĂ­a acumula 20.460, mientras que Lucas acumula 18.500. 34 a. b. c. d. e. f.

AritmĂŠtica. Ni aritmĂŠtica ni geomĂŠtrica. AritmĂŠtica. GeomĂŠtrica. GeomĂŠtrica. Ni aritmĂŠtica ni geomĂŠtrica.

35 an tiende a infinito (los tĂŠrminos de la sucesiĂłn crecen indefinidamente). bn tiende a 0 (el numerador siempre es 5 y el denominador crece, entonces el resultado de la divisiĂłn es cada vez mĂĄs pequeĂąo y se acerca a 0). cn tiende a infinito (los tĂŠrminos de la sucesiĂłn crecen indefinidamente). 1 dn tiende a 10 (porque tiende a cero). n 36 a. A cargo del alumno. b. Cotas superiores: 5; 6; 7. Cotas inferiores: 2, 3, 4. El supremo es 5 y el Ă­nfimo, 4. c. Es decreciente. 1 8n 37 a. PodrĂ­a ser a n = , o tambiĂŠn a n = 8 − n n+3 (entre otras). 1 b. PodrĂ­a ser a n = 8 + . n

38 No tiene cotas superiores porque a medida que el valor de n aumenta, los tĂŠrminos de la sucesiĂłn toman valores cada vez mĂĄs grandes; entonces tiende a infinito. Tiene cotas inferiores, por ejemplo, 2; 3; 4. El Ă­nfimo es 4,5.

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y

Capítulo 3 Para empezar y El día 1 la variación fue de 6 mm; el día 6, de 1 mm. y Los días 2, 5 y 7 la viga volvió a tener la longitud inicial. y El día 3 la viga tuvo una contracción de 4 mm. y Se produjo poco antes de finalizar el primer día; fue de poco más de 6 mm. 1

a. Entre las 6 y las 10, y entre las 20 y las 24. b. 4, 10 y 18. En esos momentos el nivel del agua era el óptimo para la pesca. c. El agua estuvo por encima del nivel óptimo desde las 0 hasta las 4 y desde las 10 hasta las 18, y por debajo, desde las 4 hasta las 6 y desde las 18 hasta las 20. d. El nivel del agua estuvo en aumento desde las 10 hasta las 14, y en descenso, desde las 0 hasta las 6 y desde las 14 hasta las 20.

2 a. Se pueden realizar distintos gráficos (a cargo del alumno). b. Pasa cuatro veces por Los Sauces. c. De 0 a 3, de 6 a 8, de 11 a 13, de 16 a 18 y de 21 a 24. Son los períodos en los que el tren permanece en cada estación. d. Se pueden realizar distintos gráficos. 3 FVVVV VVFFV 4 A cargo del alumno. La representación gráfica no es única. Hay infinitas representaciones que cumplen con esas condiciones. Por ejemplo, podría ser que f(0) = 2 o f(0) = 10, o f(0) = 58, etcétera. 5 a. Los precios se aproximaron al centavo (para encontrar la fórmula del precio se multiplica el volumen por 0,5, que es el costo del cm3).

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Precio R M L

1 3 x 6 1 3 x 2

x3

x=2 $ 1,33

$ 4,5

x=4 $ 10,67

$4

$ 13,5

$ 32

$8

$ 27

$ 64

b. A cargo del alumno. c. x = 1,5

x=3

x = 2,5

R

$ 0,56

$ 2,60

M

$ 1,69

$ 7,81

L

$ 3,38

$ 15,63

6 Todas estas funciones son del tipo f(x) = k x3. Si k > 0 la función es creciente y si k < 0 la función es decreciente. A medida que aumenta el valor absoluto de k la curva se acerca al eje de ordenadas. Todas estas funciones tienen un cero. 7

a. f4(x) = (x – 3)5; puede identificarse porque 3 es el cero de la función. b. f2(x) = x5 + 3; puede identificarse porque la ordenada al origen es 3. c. f3(x) = –3x5; puede identificarse porque el coeficiente es negativo y f(1) = –3. d. f1(x) = x5, el gráfico no ha sufrido ningún desplazamiento y además f(1) = 1.

8 Todas estas funciones son de la forma f(x) = axn + c, con a ≠ 0. a. Las funciones f5 y f8 son crecientes en todo su dominio, mientras que f6 y f7 son decrecientes. En todas ellas n es impar; además, si a > 0, la función es creciente, y si a < 0, es decreciente. b. Las funciones f1; f2; f3 y f4; si n es par, la función es creciente en un intervalo de su dominio y decreciente en otro. c. Si n es impar, la imagen de la función es ^. d. Im f1 = [0; +∞); Im f2 = (–∞; 0]; Im f3 = [–2; +∞); Im f4 = [1; +∞). En todas ellas n es par; además, si a > 0, Im f = [c; +∞), y si a < 0, Im f = (–∞; c]. e. Si n es par la función tiene un máximo o un mínimo. f1; f3 y f4 tienen un mínimo porque a > 0, y f2 tiene un máximo porque a < 0. 9 a. Las raíces son: –3; 0; 1; 3. 1 b. Las raíces son: –3; 2; . 3 c. Las raíces son: 4; 8; –1; 0. 10 La función f no tiene raíces reales; g tiene dos raíces simples, 2 y –2; además, 0 es raíz simple de h y 6, raíz doble; j tiene tres raíces simples: –3; –8 y 8. 11 a. Usa la regla de Ruffini para dividir f por (x – 1) y así obtener un polinomio de grado 2. Luego usa la fórmula resolvente para hallar las raíces de ese polinomio. b. f(x) = (x – 1)(x + 2)2, por lo que 1 es raíz simple y –2 es raíz doble. 12 a. Las posibles raíces son: 1 1 1 1 1 1 2 2 < ; ; < ; ; < ; ; < ; ; 1; < 1; 2; < 2. 6 6 3 3 2 2 3 3 b. Por ejemplo, –1 es raíz de f. 1 ⎞⎛ 2⎞ ⎛ c. f ( x ) = 6 ( x + 1 ) ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ ; las raíces son 2⎠⎝ 3⎠ ⎝ 1 2 <1; < ; . 2 3

123

13 a. b. c. d.

simples y son: 0; –2 y 5. Como h(x) = x4(x + 4)(x – 1) sus raíces son: 0; –4 y 1, con 0 de cuarto orden.

Sí. No, porque 5 no es divisor de 6. No, porque 4 no es divisor de 2. Sí.

14 La imagen de todas las funciones polinómicas de grado impar es ^, por lo que la función debe tomar el valor cero al menos una vez (su gráfico debe cortar el eje x al menos una vez). 15 a. f(10) no puede ser negativa porque f es positiva en el intervalo (5; +∞). Si f(10) tomara algún valor negativo, f, que es continua, debería cortar el eje de abscisas una vez más, y como es de grado 3, no puede tener más de tres raíces. f(–5) no puede ser positiva porque pertenece al intervalo de negatividad de la función. b. Raíces: –1; 2 y 5. Ordenada al origen: 10. Intervalos de positivad: (–1; 2) U (5; +∞). Intervalos de negatividad: (–∞; –1) U (2; 5). 16 El gráfico azul es el que se corresponde con la descripción. El rojo no puede ser porque la ordenada al origen es positiva; el lila tampoco, porque no tiene raíces dobles. 17 a. Pensó en los valores de x que hacen cero a cada factor. b. Se descarta el gráfico verde, porque tiene una raíz doble, y el gráfico rojo, porque f(1) es positiva y debe ser negativa. c. El gráfico naranja se corresponde con la fórmula. Se puede calcular alguna imagen para descartar uno de los dos. Por ejemplo f(1) = –0,8, y en el gráfico azul la imagen de 1 está próxima a –2 y no a –1. 18 Primer gráfico, fórmula III; segundo gráfico, fórmula II; y tercer gráfico, fórmula I.

Ord

C+

C-

–1; 3 y 5

15

(–1; 3) U (5; +∞)

(–∞; –1) U (3; 5)

II –3; 0 y 2

0

(–3; 0) U (2; +∞)

(–∞; –3) U (0; 2)

12

(–2; 5)

(–∞; –2) U (5; +∞)

–2 y 5

IV –3,5 y 1

3,5 (–3,5; 1) U (1; +∞)

(–∞; –3,5)

Gráficos a cargo del alumno.

124

23 a. Las raíces son –2 (doble) y 1 (simple); la ordenada al origen es –4. b. C+ refiere a los intervalos de positividad y C–, a los de negatividad, es decir, los valores de x para los que la función es positiva o negativa. Con esta información puede representar. c. Gráfico a cargo del alumno. 24 Ceros

Ord

C+

–6; 0 y 6

0

(–∞; –6) U (6; +∞)

(–6; 0) U (0; 6)

g –6; 0 y 6

0

(–6; 0) U (0; 6)

(–∞; –6) U (6; +∞)

f

h –2; 0 y 1

C-

0

(–2; 0) U (1; +∞)

(–∞; –2) U (0; 1)

s

–3 y 1

–18

(1; +∞)

(–∞; –3) U (–3; 1)

t

0y2

0

(2; +∞)

(–∞; 0) U (0; 2)

(–∞; –2) U (0; 1) U (3; +∞)

(–2; 0) U (1; 3)

w –2; 0; 1 y 3 0

20 Gráficos a cargo del alumno. Al extraer todos los factores comunes y simplificar, 1 2 2 resulta f(x) = ( x + 2) ( x − 3 ) , por lo que f tiene 9 dos raíces dobles: –2 y 3. 1 g ( x ) = x ( x + 2) ( x − 5 ) , con todas sus raíces 4

25 Los gráficos de f y g son simétricos respecto del eje de abscisas. Poseen las mismas raíces. En sus fór1 mulas se puede ver que es uno de los factores, 7 mientras que en el otro factor los términos tienen signos opuestos. Resulta, entonces, que g(x) = –f(x). 1 26 a. f ( x ) = − ( x − 1)( x − 3)( x − 8); desarrollando se 6 1 35 obtiene: f ( x ) = − x 3 + 2 x 2 − x+4. 6 6

b. A cargo del alumno. 27 a. Dom f = [0; 7] b. (0; 2)

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Ceros

III

22 a. Hay infinitas posibilidades que surgen de variar el coeficiente principal, por ejemplo, f(x) = 3(x – 5)3 y g(x) = –4(x – 5)3. b. Hay una única. c. Hay dos posibilidades: f(x) = –2 (x + 1)2 (x – 2) o f(x) = (x + 1)(x – 2)2.

Gráficos a cargo del alumno.

19 I

21 F, porque al ser de grado 4 y tener una raíz triple, solo lo corta dos veces. V, porque el producto de dos cuadrados no puede ser negativo. F, porque 0 también es raíz de f. V, porque f(0) = 36. V, porque no hay ningún valor real que anule el factor (x2 + 1).

c. (2; 6) U (6; 7) 1 d. P (t ) = x ( x − 2)( x − 6)2 5

b. Hay infinitas posibilidades porque puede variar el grado de multiplicidad de cada raíz y el coeficiente principal.

28 a. Grado 4, porque tiene al menos dos raíces dobles. 100 b. A(t ) = ( x − 1)2 ( x − 7)2 49 c. Aproximando al centilitro, 1.487,76 litros.

37 f(x) = 2(x – 2)( x + 1) 38 Sí: si la pendiente no es cero, su fórmula es un polinomio de grado 1; si es una función constante no nula, el grado es 0, y si es la función f(x) = 0, no tiene grado (es el polinomio nulo). 39 Sí; sus fórmulas son polinomios de grado 2.

29 Gráfico a cargo de los alumnos; la fórmula es 1 f (t ) = t (t − 6)(t − 17)(t − 24) . 576

40 No; por ejemplo, f(x) = (x – 1)(x2 + 5) es de grado 3 y su única raíz real es 1.

30 a.

41 a. Curva azul: f ( x ) = 1

Total en tn

Verdes en tn

Rojas en tn

1,4

0,35

1,05

2

5,2

1,3

3,9

3

13,8

3,45

10,35

4

29,6

7,4

22,2

3 3 3 t + t 10 4 3 15 c. En 2010 es Mrojas (t ) = t 3 + t. 4 8 625 31 a. Curva roja f ( x ) = − ( x − 2)2 ( x − 8) 4 .

b. Mrojas (t ) =

Curva azul g ( x ) = 1.000( x − 3)2. b. Que en esos meses no se registraron ingresos por esas ventas. c. Si continuase con esa tendencia, seguiría creciendo indefinidamente (aunque eso es improbable; seguramente en algún momento las ventas se estacionarían o empezarían a descender). d. No es posible, porque la curva roja toma valores negativos después del 8.º mes y carece de sentido para este problema, pues representaría un ingreso negativo.

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32 Gráfico a cargo del alumno. No puede ser, porque las funciones polinómicas son continuas y, además, su dominio es todo ^. 33 a. Por lo menos un máximo. b. Como máximo 8 raíces. 34 f ( x ) = −

10 3 2 ( x − 3 ) ( x − 2) 27

5 35 f ( x ) = − x ( x − 2) ( x − 1 ) ( x − 6 ) 9 g(x) = 2(x + 2) (x – 1)2 Gráficos a cargo del alumno.

36 a. Por ejemplo, f(x) = (x + 2)2 (x – 1)2; f(x) = 3(x +2)2 (x – 1)2; f(x) = –5(x + 2) ( x – 1)3; f(x) = 0,3 (x + 2)3 (x – 1)…

1 2 ( x + 2) ( x − 1 ) . 2 Curva verde: g(x) = (x + 2) (x – 1) 2. Curva roja: h(x) = 2(x + 2) (x – 1) 2. b. Solo varía el coeficiente principal; tienen en común los factores (x + 2) y (x – 1) 2.

42 Si n es par C+ = (–∞; 5) U (5; +∞) y C– = . Si n es impar C+ = (5; +∞) y C- = (–∞; 5). 43 a. No; por ejemplo, f(x) = –2(x – 2)2 (x – 3)2 es de grado 4, tiene dos raíces dobles y tiene imágenes negativas (f(0) = –72). b. No; por ejemplo, f(x) = (x – 3)5 es de grado 5 y tiene solo una raíz; también podría ser, por ejemplo, g(x) = (x – 1)(x4 + 5). 44 a. No es cierto, porque el gráfico de f(x) + 3 está desplazado respecto del de f(x) tres lugares hacia arriba, y cambian los ceros. Además, si f(–2) = 0, entonces f(–2) + 3 = 3. Por ejemplo, si f(x) = x(x – 2)(x + 5), f(–2) = 0 y f(–2) + 3 = 3; por lo tanto, –2 no es raíz de f(x) + 3. b. Es cierto; porque si f(–2) = 0, entonces 3 · f(–2) = 3 · 0 = 0. Por ejemplo, si f(x) = x(x – 2)(x + 5), f(–2) = 0 y 3 · f(–2)= 3 · 0 = 0; por lo tanto, –2 también es raíz de 3f(x). 45 a

Ceros

Ord

C+

C-

–3 y 1

–18

(1; +∞)

(–∞;–3) U (–3; 1)

(1; 2)

(–∞; –0,5) U (–0,5; 1) U (2; +∞)

b –0,5; 1 y 2 –0,5

Gráficos a cargo del alumno. 46 Ceros

Ord

C+

C-

a

–2 y 2,5

–20

(2,5; +∞)

(–∞;–2) U (–2; 2,5)

b

–0,5 y 5

–5

(–∞; –0,5) U (5; +∞)

(–0,5; 5)

Gráficos a cargo del alumno.

125

47 a. Se puede expresar asĂ­: 1 f ( x ) = ( x 3 − 4 x 2 − 11 x + 30 ) y usar el teorema 2 en el segundo factor. b. Se puede expresar asĂ­: f ( x ) = x 2 ( 3 x 3 − x 2 − 12 x + 4 ) y usar el teorema en el segundo factor. 48 a. Las raĂ­ces son –2; –0,5 y 2; la ordenada al origen es –4. C+ = (–2; –0,5) U (2; +∞); C– = (–0,5; 2) GrĂĄfico a cargo del alumno. b. A cargo del alumno. Para controlar los grĂĄficos puede observarse que las raĂ­ces de todas estas funciones coinciden con las de f y que la ordenada al origen de – f es 4, la de 2f es –8 y la de 1 f es –2. 2 49 a. m = 3 y f(x) = x4 – 3x3 + 8x – 24. b. RaĂ­ces: –2 y 3; ordenada al origen: –24. C+ = (–∞; –2) U (3; +∞); C– = (–2; 3). GrĂĄfico a cargo del alumno. 50 Entre 10 y 50 sillas.

CapĂ­tulo 4 Para empezar y La tabla se completa con: 1.666; 1.388; 1.190; 1.041; 925; 833 y 757, en ese orden (los valores se aproximan al entero anterior porque no tiene sentido realizar solo una parte de la rampa). y Debe pagarse no mĂĄs de $227,27 por cada una. y PodrĂ­an hacerse 1.250 rampas. 1

a. Largo

6

7,5

10 11,43 15

20

Ancho

20

16

12

6

10,5

8

120 a c. Dom L = [1,2; 100]; Im L = [100; 1,2].

b. L(a)

2 a. Vel. m.

72 66,67 60

Tiempo 4,17

4,5

5

54,5

50

40

5,50

6

7,5

b. Recorre 300 km, porque viajando a 60 km/h tarda 5 horas. 300 c. T(v ) v d. Dom T = [30; 80]; Im T = [3,75; 10]. 3 a. MatĂ­as tiene razĂłn; en ambas a medida que aumenta una variable, la otra desciende proporcionalmente. b. A cargo del alumno.

126

5 a. No es polinómica porque la variable estå en el denominador. b. Dom f = ^ – {0}, ya que cero no tendría imagen porque no se puede dividir por cero. c. Como 0 no pertenece al dominio, no se puede hacer f(0) y por eso no tiene ordenada al origen. d. A cargo de los alumnos. (Algunos pares podrían ser (–2; –0,5), (0,25; 4), (1; 1)‌) e. Cuando x toma valores cada vez mås próximos a cero, la función toma valores cada vez mås grandes en valor absoluto. Y si x toma valores cada vez mås grandes en valor absoluto, la función

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4 a. A cargo del alumno. b. Los 9 voltios de la pila representan la constante de proporcionalidad. c. La relaciĂłn entre ambas puede expresarse de 9 varias formas, por ejemplo, R . I d. Si R = 2,5 1, I = 3,6 amperes; y si R = 9 1, I = 1 amper.

toma valores cada vez mĂĄs prĂłximos a cero. f. A cargo del alumno. g. Esta funciĂłn no es continua. Im f = ^ – {0}. La recta y = 0 es la asĂ­ntota horizontal de la funciĂłn, y la recta x = 0, su asĂ­ntota vertical. AdemĂĄs, la funciĂłn no tiene raĂ­ces porque al dividir 1 por cualquier nĂşmero nunca se obtiene cero. h. C– = (–∞; 0). C+ = (0; +∞). 6 a. Dom f1 = ^ – {2}; Dom f2 = ^ – {–3}; Dom f3 = ^ – {0}; Dom f4 = ^ – {0}. b. A cargo de los alumnos. c. Los grĂĄficos de las funciones del tipo g ( x ) =

1 x −a estĂĄn desplazados a unidades hacia la derecha 1 o hacia la izquierda respecto del de f ( x ) . Si x a es positivo, como en f1, el desplazamiento es hacia la derecha; mientras que si a es negativo, como en f2, se desplaza hacia la izquierda. 1 d. Los grĂĄficos de las funciones del tipo g ( x ) = + b x estĂĄn desplazados b unidades hacia arriba (si b es positivo) o hacia abajo (si b es negativo) 1 respecto del de f ( x ) . x e. Las asĂ­ntotas son las rectas x = a (vertical) e y = b (horizontal). AdemĂĄs, Dom g = ^ – {a} e Im h = ^ – {b}. f. Las funciones f3 y f4 tienen una raĂ­z cada una, mientras que f1 y f2 tienen ordenada al origen.

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7

a. A cargo de los alumnos. b. Dom f = ^ – {4} y Im f = ^ – {2}. Sus asíntotas son las rectas x = 4 (vertical) e y = 2 (horizontal). c. La raíz es 3,5 y la ordenada al origen, 1,75.

8 a. A cargo del alumno. Puede observarse que los grĂĄficos tienen un comportamiento similar al de f, que no estĂĄn desplazados respecto del de f y que g(1) = c. b. El dominio de todas es ^ – {0} y la imagen, ^ – {0}. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 0 (vertical) e y = 0 (horizontal). c. g(5) = c ¡ f(5); g(–2) = c ¡ f(–2). En general, g(x) = c ¡ f(x). d. Si c > 0, los intervalos de positividad y negatividad de f y g coinciden; mientras que si c < 0, se invierten. 1 x +2 2 b. f ( x ) x 1 c. f ( x ) = +2 x +2

9 a. f ( x ) =

10 a. PodrĂ­a dividirse el numerador por el denominador: el cociente es el nĂşmero que queda su-

mando, y el resto, el nĂşmero que queda como numerador. b. Al escribirla de esta forma se visualizan las asĂ­ntotas. c. GrĂĄfico a cargo del alumno. Dom f = ^ – {–2}; Im f = ^ – {1}. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = –2 (vertical) e y = 1 (horizontal). La raĂ­z es –3 y la ordenada al origen, 1,5. AdemĂĄs, C+ = (–∞; –3) ‰ (–2; +∞) y C– = (–3; –2). 3 d. I. f ( x ) = +1 x −1 10 II. f ( x ) = +2 x −3 III. f ( x ) =

5 4 1 x+ 2

−

1 2

11 a. Dom f1 = ^ – {2}; Dom f2 = ^ – {–1; 1}; Dom f3 = ^; Dom f4 = ^ – {–2; 2}. b. f3 es continua; las demĂĄs funciones son discontinuas en los valores que no pertenecen al dominio. c. DespuĂŠs de simplificar no cambia el dominio; f3 y f4 no pueden simplificarse; la fĂłrmula de las otras quedan asĂ­: 1 . f1 ( x ) = x + 2 ; f2 ( x ) = x −1 d. f1 tiene una discontinuidad evitable en x = 2; f2 tiene una discontinuidad esencial en x = 1 y una evitable en x = –1; y f4 tiene una discontinuidad esencial en x = 2 y otra en x = –2. e. La raĂ­z de f1 es –2 y la de f3 es 1; las restantes no tienen raĂ­ces. La ordenada al origen de f1 es 2, la de f2 es –1, la de f3 es –1 y la de f4 es –0,25. f. Para f1: C+ = (–2; 2) ‰ (2; +∞) y C– = (–∞; –2). Para f2: C+ = (1; +∞) y C– = (–∞; –1) ‰ (–1; 1). Para f3: C+ = (1; +∞) y C– = (–∞; 1). Para f4: C+ = (–∞; –2) ‰ (2; +∞) y C– = (–2; 2). g. El grĂĄfico de f1 es el IV; el de f2, es el III; el grĂĄfico de f3 es el I y el de f4 es el II. 12 A 1,9 metros, aproximadamente. 13 La menor fuerza de atracciĂłn entre la Tierra y Marte es 1,60 ¡ 1015 N y la mayor, 8,14 ¡ 1016 N. 14 La b. es de proporcionalidad inversa. Se completa con 6 en la primera fila, y con 60 y 7,5, en la segunda. 15 a. VenderĂ­a 50 rifas cada uno. b. Si fueran 50 personas, cada uno tendrĂ­a que vender 20. Y si fuesen 125 personas, venderĂ­a 8 cada una. c. R( p)

1.000 p

127

17 Las fĂłrmulas a. y c. corresponden a situaciones de proporcionalidad inversa. SituaciĂłn y representaciĂłn a cargo del alumno. 18 Representaciones a cargo del alumno. a. Dom f = ^ – {0} e Im f = ^ – {0}. No tiene raĂ­z ni ordenada al origen. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 0 (vertical) e y = 0 (horizontal). AdemĂĄs, C+ = (0; +∞) y C– = (–∞; 0). b. Dom f = ^ – {0} e Im f = ^ – {0}. No tiene raĂ­z ni ordenada al origen. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 0 (vertical) e y = 0 (horizontal). AdemĂĄs, C+ = (–∞; 0) y C– = (0; +∞). c. Dom f = ^ – {3} e Im f = ^ – {0}. No tiene raĂ­z; 1 la ordenada al origen es < . Sus asĂ­ntotas son 3 las rectas x = 3 (vertical) e y = 0 (horizontal). AdemĂĄs, C+ = (3; +∞) y C– = (–∞; 3). d. Dom f = ^ – {0} e Im f = ^ – {–3}. No tiene ordenada 1 . Sus asĂ­ntotas son las al origen; la raĂ­z es 3 rectas x = 0 (vertical) e y = –3 (horizontal). ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ AdemĂĄs, C+ = ⎜ 0; âŽ&#x; y C– = (–∞; 0) ‰ ⎜ ; +∞âŽ&#x;. âŽ?3 âŽ? 3⎠⎠e. Dom f = ^ – {–0,5} e Im f = ^ – {1}. La raĂ­z es –1,5; la ordenada al origen es 3. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = –0,5 (vertical) e y = 1 (horizontal). AdemĂĄs, C+ = (–∞; –1,5) ‰ (–0,5; +∞) y C– = (–1,5; –0,5). f. Dom f = ^ – {0} e Im f = ^ – {2}. No tiene ordenada 1 al origen; la raĂ­z es < . Sus asĂ­ntotas son 4 las rectas x = 0 (vertical) e y = 2 (horizontal). AdemĂĄs, C+ = (–∞; –0,25) ‰ (0; +∞) y C– = (–0,25; 0). 19 a. Juan tiene razĂłn: a y b pueden ser cero. Si a = 0, x no puede tomar el valor cero, por lo que la funciĂłn no tendrĂĄ ordenada al origen. Y si b = 0, la imagen nunca va a ser cero y la funciĂłn no va a tener raĂ­z. b. Otra vez Juan es el que tiene razĂłn. Para que tenga raĂ­z alcanza con que b no sea cero. c. Ahora es LucĂ­a la que tiene razĂłn; si a no es cero, entonces x puede tomar el valor cero y la funciĂłn tiene ordenada al origen. d. LucĂ­a tiene razĂłn porque la asĂ­ntota horizontal es y = b y la funciĂłn no vale b para ningĂşn valor de x.

128

20 Representaciones a cargo del alumno. a. Dom f = ^ – {0} b. Dom f = ^ – {1,5}

21 a. Im f = ^ – {0}. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 0 (vertical) e y = 0 (horizontal). No tiene raĂ­z ni ordenada al origen. AdemĂĄs, C+ = (–∞; 0) y C– = (0; +∞). b. Im f = ^ – {0}. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 1,5 (vertical) e y = 0 (horizontal). No tiene raĂ­z; la 1 ordenada al origen es < . AdemĂĄs, 3 C+ = (1,5; +∞) y C– = (–∞; 1,5). 22 Representaciones a cargo del alumno. (−7) a. f ( x ) = + 1 . Dom f = ^ – {–3}; Im f = ^ – {1}. x+3 Sus asĂ­ntotas son las rectas x = –3 (vertical) e y = 1 (horizontal). La raĂ­z es 4 y la ordenada al 4 origen, < . AdemĂĄs, C+ = (–∞; –3) ‰ (4; +∞) y 3 C– = (–3; 4). (−1) 1 ⎧1 ⎍ b. f ( x ) = + . Dom f = ^ – {2}; Im f = ^ – ⎨ ⎏. x −2 2 ⎊2⎭ Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 2 (vertical) e 1 (horizontal). La raĂ­z es 4 y la ordenada al y= 2 origen, 1. AdemĂĄs, C+ = (–∞; 2) ‰ (4; +∞) y C– = (2; 4). x +2 . Dom f = ^ – {–2; 2}; Im f = ^ – {0; 1}. x −2 Sus asĂ­ntotas son las rectas x = 2 (vertical) e y = 1 (horizontal). No tiene raĂ­z; la ordenada al origen es –1. AdemĂĄs, C+ = (–∞; –2) ‰ (2; +∞) y C– = (–2; 2). b. No se puede simplificar. Dom f = ^ – {–3; 3}; Im f = ^. Sus asĂ­ntotas son las rectas x = –3 y x = 3 (verticales) e y = 0 (horizontal). La raĂ­z es 0 y la ordenada al origen tambiĂŠn es 0. AdemĂĄs, C+ = (–3; 0) ‰ (3; +∞) y C– = (–∞; –3) ‰ (0; 3).

23 a. f ( x ) =

10 P b. A cargo del alumno.

24 a. V

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120 h b. Se parece a la actividad 1, en la que el sector destinado a las hortalizas es un rectĂĄngulo de base y altura variables, pero ĂĄrea constante de 120 m2.

16 a. B(h)

Capítulo 5 Para empezar y A cargo del alumno. y Podría ser una función que a cada natural (número de tiro) le asigna el resultado que sale al tirar un dado; otro ejemplo podría ser la función que a cada persona le hace corresponder el nombre de su madre biológica. 1

a. P’ también está sobre la curva. b. Ocurre lo mismo: el simétrico de un punto de la curva respecto del eje y es otro punto de la curva. c. A valores opuestos del dominio les corresponde la misma imagen, es decir, f(x) = f(–x). En este caso es: f(x) = x4 + 2x2 + 1 y f(–x) = (–x)4 + 2(–x)2 + 1= x4 + 2x2 + 1 = f(x). d. Las funciones I y III son pares.

2 a. P’ también está sobre la curva. b. Ocurre lo mismo: el simétrico de un punto de la curva respecto del (0; 0) es otro punto de la curva. c. Su simétrico es (–a; –b). d. Las funciones I y II son impares. 3 El primer gráfico corresponde a una función par; el segundo no es par ni impar; el tercero corresponde a una función impar.

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4 a. h(–x) = 2(–x)3 + (–x) = –2x3 – x = –[2x3 + x] = –h(x) b. f(–x) = 3(–x) = –x = –(3x) = –f(x) 7 7 c. k (− x ) = = − = −k ( x ) −x x 5 a. Todas son pares. b. Son impares f1, f4 y f5. Todas las funciones de la forma f(x) = axn + c, con n par, son pares. En cambio, si n es impar, las funciones son impares solo si c = 0. (Al desplazar verticalmente una función par se obtiene otra función par, mientras que al desplazar verticalmente una función impar la función obtenida ya no es impar.) 6 Es par, porque si un número es racional, su opuesto también lo es y la imagen de ambos es 1; y si un número es irracional, su opuesto también lo es y la imagen de ambos es cero. 7

a. Es inyectiva, pero no sobreyectiva porque los reales negativos no tienen preimagen. b. No es inyectiva, porque cada real positivo tiene dos preimágenes, ni sobreyectiva, porque los reales negativos no tienen preimagen. c. Es inyectiva pero no sobreyectiva, porque el cero no tiene preimagen.

d. A diferencia de la función anterior, esta es biyectiva: además de inyectiva es sobreyectiva, porque el codominio no incluye el cero. 8 a. Una función no puede ser par e inyectiva porque si fuese par y f(x) = c, entonces la imagen de –x también sería c, por lo que c tendría dos preimágenes y no sería inyectiva. b. Sí es posible encontrar una función impar e inyectiva; por ejemplo, f(x) = x3. 9 Las funciones lineales no constantes y las homográficas siempre son inyectivas; las funciones lineales y las polinómicas de grado impar siempre son sobreyectivas. 10 a. Puede completarse de manera que la función siga creciendo. b. Puede completarse de varias formas; por ejemplo, con una semirrecta creciente a partir de (0; 3). c. La parte que falta del gráfico debe ser simétrica a la representada respecto de (0; 0). d. Puede completarse de varias maneras, pero siempre en forma creciente. 11 a. Las funciones polinómicas de grado par no son biyectivas porque sus ramas son ambas hacia arriba o ambas hacia abajo, y tienen al menos un extremo (mínimo, máximo), por lo que no son inyectivas ni sobreyectivas. b. Tiene razón; las funciones polinómicas de grado impar tienen una rama hacia arriba y una hacia abajo, por lo que siempre son sobreyectivas (aunque pueden no ser inyectivas). 12 a. Las soluciones de la ecuación son las preimágenes 15 según la función f. Por eso, la ecuación tiede 4 ne dos soluciones que pueden obtenerse buscando esas preimágenes a través del gráfico, o sea, 15 . buscando los valores de x para los que y = 4 1 b. Puede verse en el gráfico que < tiene solo 6 una preimagen (aproximadamente –0,7). c. La segunda función es inyectiva, mientras que la primera no lo es. Si la función es inyectiva, la ecuación asociada no puede tener más de una solución. 13 a. Para que la ecuación tenga solución c tiene que ser mayor o igual que –1: si c = –1, tiene una solución; si c > –1, tiene dos. b. k puede tomar cualquier valor porque la función es sobreyectiva (en el gráfico puede verse que la imagen es ^).

129

15 Gráfico a cargo del alumno. La función representada no 1 puede ser inyectiva, ya que tiene infinitas preimágenes. 2 16 Si la función es biyectiva, la ecuación tiene una solución, cualquiera sea el valor de k (por ser sobreyectiva tiene al menos una, y por ser inyectiva no tiene más de una, por lo que tendrá exactamente una). 17 a. Sí; por ejemplo, si g(x) = x4 – x2 y k = 0. b. Sí; por ejemplo, para la función anterior y k = –1. c. Sí; siguiendo con la misma función, para k = –0,1. 18 A cargo del alumno. 19 a. Tienen un punto en común, el (2; 2). b. Son simétricos respecto de la recta y = x. c. A cargo del alumno. 20 a. No, porque hay algunos valores reales que no tienen imágenes y otros que tienen dos. b. No es inyectiva ni sobreyectiva. c. Podrían restringirse el dominio y el codominio de g, de manera que al representarla solo se obtenga una rama de la parábola. Por ejemplo, tomando como dominio [0; +∞), y como codominio, [1; +∞). La nueva función es biyectiva. 21 No siempre. Para que la inversa de una función f también sea función, f debe ser biyectiva. 22 a. No es inversible; una restricción podría ser Dom = [3; +∞) y codominio = [1; +∞). b. Es inversible. c. No es inversible. Una restricción posible sería ⎛ π π⎞ Dom = ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 2 2⎠ d. No es inversible. Podría restringirse tomando Dom = {2} y codominio = {4}. 23 a. f es biyectiva (no hace falta restringir). x +1 . Como los gráficos de b. f–1: ^ A ^/ f −1 ( x ) = 2 ambas funciones son simétricos respecto de la recta y = x, la fórmula de f–1 puede obtenerse cambiando x por y en la fórmula de f y despejando y.

130

24 a. g es inversible; f no es inversible porque no es sobreyectiva; por eso se restringe su codominio: ^ – {2};

h no es inversible porque no es sobreyectiva; por eso se restringe su codominio: [0; +∞). b. g −1 ( x ) =

3 x + 8 ; Dom g–1 = ^; Im g–1 = ^. − x −6 ; Dom f–1 = ^ – {2}; f −1 ( x ) = x −2 Im f–1 = ^ – {–1}. x2 + 5 h−1 ( x ) = ; Dom h–1 = [0; +∞); 2 Im h–1 = [2,5; +∞).

25 a. Es biyectiva porque cada valor de temperatura en grados Fahrenheit puede expresarse en forma única en grados Celsius. b. C–1 es la función que permite expresar en grados Fahrenheit la temperatura dada en grados Celsius; por eso a su fórmula se la suele escribír así: 9 F (C ) = C + 32 . 5 1 1 , y la de –3 es . 26 a. La imagen de 2 es 4 9 b. A cero. c. Del dominio de g debe excluirse la preimagen de cero, que es cero. d. A cargo del alumno. ⎡2 ⎞ 27 a. Dom f = ^; Im f = ^; Dom g = ^; Im g = ⎢ ; + ∞ ⎟. ⎣3 ⎠ (g F f)(x) = 12x2 + 4x + 1 (no hace falta restringir); Dom (g F f) = ^. (f F g)(x) = 6x2 + 4x + 2; Dom (f F g) = ^. b. Dom f = ^; Im f = [0; +∞); Dom g = ^; Im g = ^. (g F f)(x) = x6; Dom (g F f) = ^. (f F g)(x) = x6 (no se restringe); Dom (f F g) = ^. ⎞ ⎡ 1 c. Dom f = ^; Im f = ^; Dom g = ^; Im g = ⎢ − ; ∞ ⎟. ⎣ 4 ⎠ (g F f)(x) = x2 – 5x + 6 (no se restringe); Dom (g F f) = ^. (f F g)(x) = x2 – x – 2; Dom (f F g) = ^. d. Dom f = ^; Im f = ^; Dom g = [0; +∞); Im g = [0; +∞). (g F f)(x) = x 3 (se restringe el dominio de f al intervalo [0; +∞); Dom (g F f) = [0; +∞). (f F g)(x) =

x 3 ; Dom (f F g) = [0; +∞).

28 Los gráficos no son iguales. 29 a. No es inyectiva ni sobreyectiva. Se restringe de manera que solo quede una rama de la parábola: puede tomarse como dominio el intervalo [–1; +∞), y como imagen, [–2; +∞). b. Para la restricción realizada la inversa es f–1: [–2; +∞) A [–1; +∞)/f −1 ( x ) = x + 2 − 1 . Cabe aclarar que si se hubiese tomado como restricción del dominio el intervalo (–∞; –1], la inversa hubiese sido f–1: [–2; +∞) A (–∞; –1]/ f −1 ( x ) = − x + 2 − 1 .

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14 a. Hay infinitas posibilidades; por ejemplo, la función de la actividad anterior: f(x) = (x + 3)2 – 1. Cualquiera que cumpla con esta condición no puede ser inyectiva, ya que habría dos valores de x para los que la función toma valor 5. b. La ecuación tiene dos soluciones.

c. Al componer se obtiene la función identidad: (f F g)(x) = x y (g F f)(x) = x (aunque no siempre el dominio es todo el conjunto de los números reales). 30 a. Es impar porque las ramas del gráfico son simétricas respecto de (0; 0). b. Es par porque las dos ramas del gráfico son simétricas respecto del eje de ordenadas. c. Es impar porque las ramas del gráfico son simétricas respecto de (0; 0).

42 La función no es sobreyectiva; para que sea biyectiva se excluye 0 del codominio. 3 f–1: ^ – {0} o ^ – {0}/ f–1(x) = . x Además, la composición da la función identidad. 43 Siempre que se compone una función con su inversa se obtiene la función identidad porque si se parte de un valor de x y se halla su imagen, al aplicarle a este valor la función inversa se vuelve a obtener el valor de x.

3 3 = 2 = f (x) . 2 (− x ) x b. Es par; h(–x) = |3(–x)| – 1 = |–3x| – 1 = |3x| – 1 = h(x). c. No es par ni impar porque, por ejemplo, g(1) = |3 – 1| = 2 y g(–1) = |–3 – 1| = 4 (no son iguales ni opuestas). c. No es par ni impar porque, por ejemplo, i(2) = 0, i(–2) = 12 (no son iguales ni opuestas).

31 a. Es par porque f (− x ) =

32 La función f(x) = 0 es par e impar. 33 a. A cargo del alumno. b. No son sobreyectivas; para que lo sean debería tomarse como codominio la imagen de la función (se excluye del codominio el valor de la asíntota horizontal). 34 a. No es inyectiva ni sobreyectiva. b. Es sobreyectiva, pero no inyectiva. c. Es biyectiva. 35 a. Se puede tomar como dominio el intervalo [0; +∞) y como imagen el mismo intervalo. b. Sí, se puede tomar el mismo codominio, pero cambiar el dominio por (–∞; 0]. 36 A cargo del alumno.

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37 a. Puede tener dos, una o niguna, dependiendo del valor de c. 5 b. Las soluciones son < y 1. 3 38 Debe ser biyectiva. 39 a. (g F f)(x) = 6x2 + 3 4 b. (g F f)(x) = < x 1 c. (f F g)(x) = < x 40 La fórmula es f(x) = 4x2. 41 a. Es biyectiva. x <5 . b. f–1: ^ o ^/ f–1(x) = 3 c. Al componerlas se obtiene la función identidad.

131

Para empezar y La curva verde corresponde al proceso de desintegración del yodo-131 y la roja al del radón-222. y Si la tendencia continúa, en 16 días habrá 25 g de yodo y 6,25 g de radón. 1

a. Tiempo (días) 0 Área (m2) b. A(t) = 2t

1

1

2

3

4

5

6

2

4

8

16

32

64 128

7

A(12) = 212 = 4.096 m2

2 a. x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

b. La función no tiene ceros, porque 2x ≠ 0 para todo valor de x (al elevar el 2 a cualquier valor, el resultado siempre es positivo y nunca se hace cero). c. Las imágenes se acercan cada vez más a 0. d. Im f = (0; +∞). 3 a. A cargo del alumno. b. I. V; porque todas las gráficas cortan el eje de ordenadas en el punto (0; 1), ya que f(0) = 1 para toda función del tipo f(x) = ax (todo número elevado a cero da uno). II. F; ninguna de las funciones corta el eje x. III. V; la asíntota de todas las funciones de ese tipo es la recta horizontal de ecuación y = 0. IV. F; si bien todas son positivas, no todas son crecientes. Solo son crecientes si la base es mayor que 1. −x ⎛1⎞ V. V; porque ax = ⎜ ⎟ . ⎝a⎠ VI. F; los gráficos son simétricos respecto del eje y; además, las imágenes no son negativas. 4 Gráfico a cargo del alumno. Ord. al Asíntota Imagen origen Horiz. 1 f y=0 (0; +∞)

¿Creciente o decreciente? Decreciente

g

–1

y=0

(–∞; 0)

Creciente

h

4

y=3

(3; +∞)

Decreciente

5 a. Tiempo

0

1

2

3

Bacterias

10

30

90

270

t

132

4

5

6

810 2.430 7.290

b. B(t) = 10 · 3 porque la población inicial es 10 bacterias y cada día se triplican.

6 a. b. c. d. e. 7

500 langostas. Nacieron 100 el primer mes y 120 el segundo. Siempre es el 20% de la cantidad del mes anterior. c = 500; a = 1,2; L(t) = 500 · 1,2t. Habría 4.458 langostas, aproximando al entero.

a.

0 1 2 Tiempo (meses) Plantas 4.000 2.000 1.000 enfermas (m2)

3

4

500

250

t

⎛1⎞ b. P (t ) = 4.000 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ c. Ocupan 15,625 m2. d. Deberán pasar 12 meses, porque P(11) 1,95 y P(12) 0,98. 8 a. El primer gráfico es el correcto. En él se ve que para el mes 1 hay 6.000 insectos vivos, debido a que han muerto 4.000 (40% de 10.000). b. I (t ) = 10.000 ⋅ 0, 6t . c. A los 3 días quedarán vivos 2.160 insectos. 9 a. Había 50 peces. b. 300 peces; en el gráfico se ve que en y = 300 hay una asíntota, por lo tanto la cantidad de peces no puede superar ese valor. c. En el mes 15 habrá 299 peces. Si bien la cuenta da 299,9587…, por tratarse de seres vivos se considera el entero menor más próximo. 10 a. R(t ) =

2.000 1 + 19 ⋅ e −0,5.t

b. Tiempo (meses)

10

Roedores

20

50

100

500

1.773 1.998 1.999 1.999 1.999

Como son seres vivos se aproximaron los últimos valores al entero menor más cercano. 11 a. x Área (m2) y Tiempo (días)

1

2

4

8

16

32

0

1

2

3

4

5

64 128 6

7

b. Lo que dice Juan es cierto; por ejemplo, en la cuarta columna de la tabla se ve que 23 = 8. Para calcular el valor de y se pueden usar logaritmos; en este caso con base 2. Por ejemplo, log2 8 = 3. c. y = log2 x 12 f(x) = 5x y h(x) = log5 x son inversas. Si se invierten los valores de la tabla de f, se obtiene la tabla de valores de h.

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Capítulo 6

13 a. La raĂ­z de h tomarĂĄ el mismo valor que la ordenada al origen de f. 2 b. Como son funciones inversas y f (1 ) = , entonces 3 2 ⎛2⎞ h ⎜ âŽ&#x; = 1 . AdemĂĄs, como f (1 ) = , entonces 3 âŽ?3⎠3 ⎛3⎞ , por lo que h = − 1 . f ( −1 ) = ⎜ âŽ&#x; 2 âŽ?2âŽ

20 a. Hay infinitas fĂłrmulas que se ajustan a las condiciones dadas. Por ejemplo, f(x) = log3 (x – 2); f(x) = 5 log3 (x – 2); f(x) = 4 + log3 (x – 2). b. Hay infinitas fĂłrmulas que se ajustan a las condiciones dadas. Por ejemplo, g ( x ) = log 1 ( x + 6 ) ; g ( x ) = −0, 2 log 1 ( x + 6 ) ; 3

g ( x ) = 10 − log 1 ( x + 6 ) .

3

3

14 a. x

y

x

y

–2

4

4

–2

–1

2

2

–1

1 1 2 1 4

0

c. Hay infinitas fĂłrmulas que se ajustan a las condiciones dadas. Por ejemplo, h( x ) log 1 x ; 5 h(x) = –2 log25 x. 21 Ambas son correctas, porque log a x = − log 1 x . a

0

1 1 1 2 1 2 4 b. A cargo del alumno. c. Ceros Dominio Imagen g

No

f

1

^ (0; +∞)

1 2

Ord. al ÂżCrec. Asint. origen o dec.?

(0; +∞)

1

Dec.

y=0

^

No

Dec.

x=0

d. Dom f = Im g; Dom g = Im f. e. El cero de f tiene el mismo valor que la ordenada al origen de g; uno tiene asĂ­ntota vertical, mientras que la otra tiene asĂ­ntota horizontal; ambas son decrecientes.

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15 a. A cargo de alumno b. SimĂŠtrico respecto del eje x. c. Si dos funciones logarĂ­tmicas tienen sus bases inversas, e iguales sus argumentos, sus grĂĄficos son simĂŠtricos respecto del eje de las abscisas. 16 Para j, a = 1,5; para h, a = 0,5; para g, a = –1. Como log2 2 = 1, entonces f(2) = a ¡ log2 2 = a; entonces, para saber el valor de a alcanza con ver la imagen de 2.

22 a. Las estimaciones pueden variar, pues dependen del observador y de las limitaciones de la representación. Por ejemplo, ln 0,5 = –0,7; ln 1,5 = 0,4; ln 5 = 1,6. b. x 0,1; x 1,6; x 3,3. c. Para estimar un valor de y, dado el de x, se busca su imagen a travÊs de la función. Para estimar un valor de x, dado el de y, se busca la preimagen de ese valor a travÊs de la función. d. Aproximando a los centÊsimos: ln 0,5 = –0,69; ln 1,5 = 0,41; ln 5 = 1,61; x = 0,14; x = 1,65; x = 3,32. 23 a. b. c. d.

x = –1 x –1,68 x 0,17 (se busca la preimagen de 8). x 2,58 (se busca la preimagen de 5 y se le suma 3).

24 a. I. f(x) = 45x – 2 (buscando la preimagen de 64). ⎛ x +1⎞ II. f ( x ) = log ⎜ âŽ&#x; (viendo la preimagen de 0,5). âŽ? x ⎠b. A cargo del alumno. c. I. x = 1 II. x 0,46

18 A cargo del alumno.

25 a. f es decreciente (porque la base es menor que 1). Im f = (–5; +∞); asĂ­ntota horizontal: y = –5; ordenada al origen: –4. b. g es creciente (la base es mayor que 1). Im g = (1; +∞); asĂ­ntota horizontal: y = 1; ordenada al origen: 2. c. h es creciente (porque la base es mayor que 1 y estĂĄ multiplicada por un nĂşmero positivo). Im h = (–0,5; +∞); asĂ­ntota horizontal: y = –0,5; ordenada al origen: 2,5. d. j es creciente (porque la base es menor que 1 y estĂĄ multiplicada por un nĂşmero negativo). Im j = (–∞; 10); asĂ­ntota horizontal: y = 10; ordenada al origen: 8.

19 Gråfico 1: B – III. Gråfico 2: C – I. Gråfico 3: A – IV.

26 A cargo del alumno.

17 a. A cargo del alumno. b. Dominio Imagen AsĂ­ntota Ceros x=0

Ordenada al origen

(0; +∞)

^

g

(5; +∞)

^

x=5

6

No

h

(–4; +∞)

^

x = –4

–3

log 4 0,6

f

1

No

133

c. h es creciente; Dom h = (11; +∞). Asíntota vertical: x = 11. El cero de h es 12.

27 a. Puede ser f(x) = 3x + 4. x

⎛1⎞ b. Puede ser f ( x ) = ⎜ ⎟ + 4 . ⎝3⎠

38 a. x –0,9 b. x 2,3

x

⎛2⎞ c. Puede ser f ( x ) = ⎜ ⎟ − 5 . ⎝9⎠ 28 Hay infinitas fórmulas que cumplen las condiciones pedidas en cada ítem. En a. puede ser cualquiera de la forma f(x) = ax + 4, con a > 1. En b. puede ser cualquier fórmula de la forma f(x) = ax + 4, con 0 < a < 1. En c. puede ser cualquiera de la forma f(x) = ax – 5, con 0 < a < 1.

39 a. Podría ser f(x) = 3x – 1. b. x 2,8 x 2,5

c. x 12,7 d. x 30,0 x 0,6

40 a. Habrá $ 7.428 (aproximando al entero). b. D(t) = 3.000 · 1,12t c. Deberán pasar 10 años.

29 f(x) = 3x + 7 x

⎛1⎞ 30 Un ejemplo puede ser f ( x ) = −2 ⎜ ⎟ + 1; en este caso ⎝3⎠ la función es creciente. Otro ejemplo puede ser f(x) = –2 · 4x + 1; esta función es decreciente. En ambos casos el conjunto imagen es (–∞; 1). 31 No es cierto; por ejemplo f(x) = –3 · (0,5)x + 4 es una función creciente y 0 < a < 1. 32 a. Habrá unos 10.293 m3 de madera. b. Habrá que esperar entre 29 y 30 años. 33 a. Habrá 200 ranas. b. Se muere el 20% por mes. c. R(t) = 200 · 0,8t.

35 Las curvas son simétricas respecto de la recta y = x. Ambas funciones son crecientes: la exponencial crece muy rápido, mientras la logarítmica lo hace lentamente. Además, Dom f = Im g = ^; Im f = Dom g = (0; +∞). Por otra parte, mientras la asíntota horizontal de f es y = 0, la asíntota de g es vertical y su ecuación es x = 0. Por último, la ordenada al origen de f tiene el mismo valor que la raíz de g (ambas son 1). 36 a. f ( x ) = log 1 ( x + 2) 2

b. f ( x ) = log 3 ( x − 6 ) c. f ( x ) = log 2 ( x + 1 ) 3

134

37 a. f es creciente; Dom f = (9; +∞). Asíntota vertical: x = 9. El cero de f es 10. b. g es decreciente; Dom g = (–4; +∞). Asíntota vertical: x = –4. El cero de g es –3.

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34 a. 10 iguanas. b. 200 c. 73 iguanas.

b. Eje focal: x = 0; centro: (0; –2); vértices: 2 3; − 2 , (0; 2), −2 3; − 2 y (0; –6); semidiámetro mayor: 4; semidiámetro menor: 2 3 . c. Eje focal: x = 0; centro: (0; 3); vértices: 3; 3 , (0; 5), − 3; 3 y (0; 1); semidiámetro mayor: 2; semidiámetro menor: 3 . d. Eje focal: x = 3; centro: (3; 3); vértices: 3 + 2 2; 3 , (3; 6), 3 − 2 2; 3 y (3; 0); semidiámetro mayor: 3; semidiámetro menor: 2 2 .

(

Capítulo 7 Para empezar y A cargo de los alumnos. 1

(

)

b. P’ = 2 3; 1 . c. d(P’, F1) + d(P’, F2) = 1 + 7 = 8. d. Todas las sumas dan 8. 2 a. La recta coincide con el eje x. En ese caso, la distancia entre P’ y F1 es el semidiámetro mayor de la elipse. b. Cuando se trabaja a partir de la recta y = 2 o de la recta y = –2. En ese caso, la distancia entre P’ y F1 es el semidiámetro menor de la elipse. 3 a. A cargo del alumno. b. Se esconde una elipse. c. Las elipses tienen dos focos, F1 y F2, que en este caso son M y el centro de la circunferencia. Además, el punto medio entre los focos es el centro de la elipse y la recta que los contiene es el eje focal. Los puntos de la elipse que están sobre el eje focal son vértices de la elipse, y la distancia entre ellos es su diámetro mayor (2a). También son vértices los puntos de la elipse que están en la perpendicular a la recta que contiene los focos y pasa por su centro, y la distancia entre ellos es el diámetro menor de la elipse (2b). La distancia entre los focos es la distancia focal (2c). 4 a. A cargo del alumno. b. La recta que formaría el doblez es la mediatriz del segmento PM. c. Deja ver una elipse, como en la actividad anterior.

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5 Una elipse.

a. Eje focal: y = 0; centro: (0; 0); vértices:

(

)

(

)

)

8 a. Eje focal: y = (0; 1), (–2; 0) semidiámetro b. Eje focal: x = (0; 4), (–3; 0) semidiámetro c. Eje focal: x = (0; 4), (–2; 0) semidiámetro

(

)

(

)

2; 0 ,

(0; 1), − 2; 0 y (0; –1); semidiámetro mayor: 2 ; semidiámetro menor: 1.

)

)

0; centro: (0; 0); vértices: (2; 0), y (0; –1); semidiámetro mayor: 2; menor: 1. 0; centro: (0; 0); vértices: (3; 0), y (0; –4); semidiámetro mayor: 4; menor: 3. 0; centro: (0; 0); vértices: (2; 0), y (0; –4); semidiámetro mayor: 4; menor: 2.

x2 y2 + =1 41 4 4 x2 y2 + =1 b. 20 16

9 a.

10 Tiene una altura de

51 m (unos 7,14 m).

11 La distancia entre los focos es de 7,42 cm).

55 cm (unos

12 Corresponden a elipses las fórmulas de los ítems b. y c., pero no la de a. ni la de d.. Gráficos a cargo del alumno. x2 y2 + =1 36 100 x2 y2 + =1 b. 41 16 2 2 x y c. + =1 64 28

13 a.

14 La distancia del centro a la tronera es de (alrededor de 1,30 m).

6 a. Verdadera; si los focos coinciden, se forma una circunferencia. b. Verdadera; todas las elipses con focos sobre el eje y que contienen a A = (2; 0) contienen también a (–2; 0), en particular, aquellas cuyos focos equidistan de A. c. Falsa; se necesita una indicación más, como puede ser el otro foco. 7

(

(

a. Se va formando una elipse.

(

)

3 3 m 4

c2 a2 − b 2 b2 = = 1 − . Como b ) a (y ambos a2 a2 a2 son positivos), resulta que 0 ) e2 < 1. Luego, 0 ) e < 1 (porque no puede ser negativo). b. Si la excentricidad es 0, queda una circunferencia. x2 y2 c. + =1 144 80

15 a. e2 =

16 a. A cargo del alumno. b. Una hipérbola. c. Las hipérbolas tienen dos focos, F1 y F2, que en este caso son M y el centro de la circunferencia. Además, el punto medio entre los focos es el cen-

135

tro de la hipÊrbola y la recta que los contiene es el eje focal. Los puntos de la hipÊrbola que estån sobre el eje focal son vÊrtices (2a es la distancia entre ellos). La distancia entre los focos es la distancia focal (2c). Ademås, hay dos rectas que son asíntotas de la hipÊrbola. d. A cargo del alumno. 17 a. Puede ubicarse en cualquier parte de la recta, excepto entre F y F’. b. Forman una hipÊrbola. c. Con los puntos así ubicados se forma una hipÊrbola, mientras que si F queda entre O y A se forma una elipse. 18 a. 8 b. La ordenada del punto Q no es 6,5 (es 6, 6 ). PodÊs darte cuenta calculando el módulo de la diferencia de cada punto a los focos (si el punto estå en la hipÊrbola, el resultado debe ser 8).

(

)

7 7 x ; y = − x . Focos: 9 9

(

130; 0

)

y − 130; 0 . Eje focal: y = 0. b. AsĂ­ntotas: y = 3x; y = –3x. Focos: 0; 2 10 y

(0; − 2

)

10 . Eje focal: x = 0.

(

)

(

)

(

20 A cargo del alumno. y2 =1 3 y2 x2 − =1 b. 9 7 x2 y2 − =1 c. 64 36 Representaciones a cargo del alumno.

AsĂ­ntotas: y = x; y = –x. x2 y2 − =1 16 20 y2 x2 b. − =1 20 16 c. Tienen las mismas asĂ­ntotas y distintos focos. Son conjugadas.

23 a.

(

136

)

2

24 x 2 − y 2 = 2 2 + 2 â‹… 1018 25 a. x 2 − y 2 = 1 b. No es suficiente. PodrĂ­a darse un vĂŠrtice. c. No es suficiente. PodrĂ­a darse un punto de la hipĂŠrbola. x2 y2 d. − =1 4 5 e. No corresponde a una hipĂŠrbola, sino a una elipse. x2 y2 f. − =1 9 36

)

27

x2 y2 − =1 6, 25 18, 75

2 28 a. Es una funciĂłn homogrĂĄfica. Su fĂłrmula es f ( x ) . b. SĂ­, porque las asĂ­ntotas son perpendiculares. x c. El eje focal es y = x.

d. Los vĂŠrtices son

(

) (

)

2; 2 y − 2; − 2 .

3 l Dom = (0; +∞). Es una funciĂłn de proporcionalidad inversa. A cargo del alumno. Las asĂ­ntotas son las rectas y = 0 y x = 0; el

29 a. a(l) b. c. d. e.

21 a. x 2 −

y2 x2 22 a. − =1 . 49 15 4 4 7 7 x; y=− x. AsĂ­ntotas: y 15 15 2 2 y x − =1 b. 4 21 2 21 2 21 AsĂ­ntotas: y x; y=− x. 21 21 x2 y2 − =1 c. 5 1 4

y2 x2 − =1 16 16

26 SĂ­.

⎛ 5 ⎞ ; 0 âŽ&#x;âŽ&#x; y c. AsĂ­ntotas: y = 2x; y = –2x. Focos: ⎜⎜ 2 âŽ? ⎠⎛ ⎞ 5 ; 0 âŽ&#x;âŽ&#x; . Eje focal: y = 0. ⎜⎜ − âŽ? 2 ⎠d. AsĂ­ntotas: y = 2,5 x; y = –2,5 x. Focos: 0; 29 y 0; − 29 . Eje focal: x = 0.

d.

5 5 x; y=− x. 2 2

vĂŠrtice es

(

)

3; 3 .

30 No, porque para algunos valores de x hay dos de y. x2 y2 + =1 2 9 x2 + y2 = 1 b. 16 x2 y2 c. + =1 6, 25 2, 25

31 a.

32

x2 y2 + =1 12 3

33 Aproximadamente 11,18 cm.

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19 a. AsĂ­ntotas: y

AsĂ­ntotas: y

x2 y2 + =1 4 1, 75 x2 y2 b. + =1 9 13 x2 y2 + =1 c. 16 25 Los focos estån en (0; –3) y (0; 3).

34 a.

35 a. Verdadera. b. Falsa; la excentricidad de la elipse es mayor o igual que 0, pero menor que 1. c. Verdadera. 36 a. La diferencia es de unos 21.604 km. b. El perihelio y el afelio se encuentran en los vĂŠrtices correspondienes al eje mayor. c. La menor distancia de la Tierra al Sol es 146.958.500 km y la mayor, 152.041.500 km. 37 R y S no son puntos de la elipse porque la suma de la distancia a los focos no es la misma que para los otros tres puntos. 38 GrĂĄficos a cargo del alumno. Las ecuaciones de las asĂ­ntotas son: a. y = 4x e y = –4x 5 5 b. y x e y = − x 3 3 6 6 c. y x e y=− x 3 3 d. y = x e y = –x x2 y2 − =1 51, 2 12, 8 x2 y2 − =1 b. 16 16

39 a.

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40 a. HipĂŠrbola. b. ParĂĄbola. c. Elipse. d. Elipse. De estas, la Ăşnica que puede representar una funciĂłn es la parĂĄbola.

CapĂ­tulo 8 Para empezar y A cargo del alumno. y Si la razĂłn entre las medidas reales y las de la maqueta es r, la razĂłn entre el ĂĄrea del piso del aula y el ĂĄrea del piso de la maqueta es r2. 1

10 m.

2 A cargo del alumno. 3 Son semejantes el rectĂĄngulo verde claro y el verde oscuro; la razĂłn de semejanza es 2 y la razĂłn entre las ĂĄreas es 4. TambiĂŠn son semejantes el trapecio azul oscuro y el azul claro; la razĂłn de semejanza tambiĂŠn es 2 y la razĂłn entre las ĂĄreas, 4. 4 a. SĂ­, porque los ĂĄngulos son todos congruentes y la razĂłn de los lados correspondientes es constante. b. La razĂłn de semejanza es 2. c. La razĂłn entre las ĂĄreas es 4. 5 25 , y entre las ĂĄreas es . 3 9 b. No, porque ademĂĄs de tener los ĂĄngulos congruentes, los lados correspondientes deben ser proporcionales.

5 a. Entre las diagonales es

6 a. Verdadero. Puede demostrarse que si en los triĂĄngulos semejantes se trazan las alturas de los lados correspondientes, se determinan triĂĄngulos rectĂĄngulos tambiĂŠn semejantes; por lo que la razĂłn entre las alturas es igual a la razĂłn entre los lados. b. Falso. Uno de los triĂĄngulos podrĂ­a ser un rectĂĄngulo con un cateto de 4 (o base) y el otro de 3 (altura) y el otro podrĂ­a ser un acutĂĄngulo de base 2 y altura 1,5. c. Verdadero. Usando la propiedad del Ă­tem a., resulta que si k es la razĂłn de semejanza entre los triĂĄngulos T1 y T2, con B1 = k ¡ B2 (bases) y H1 = k ¡ H2 (alturas), entonces: Ă rea T1 0, 5 â‹… B1 â‹… H1 0, 5 â‹… k â‹… B2 â‹… k â‹… H2 = = = k 2. Ă rea T2 0, 5 â‹… B2 â‹… H2 0, 5 â‹… B2 â‹… H2 7

5 3 cm.

8 a. 3; 4,5; 6; 7,5; 9. b. Miden 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm y 12 cm. RepresentaciĂłn a cargo del alumno. 9 Ninguna; todos los pentĂĄgonos regulares son semejantes entre ellos.

137

10 a. 1:160 b. No, pues no queda un rectángulo semejante.

22 a. 133,33 cm.

b.

8 3

23 Mide 4,95 m. 11 Área del triangulo EBF = 4,44 cm2. Área del trapecio AEFC = 35,56 cm2. 12 a. No, porque la relación entre el ancho y el alto no es igual en los dos televisores. b. Dimensiones aproximadas en centímetros: 21”clásico o 42,67 × 32 42”widescreen o 92,96 × 52,30 c. 99,62 × 56,03. Área (aprox.) 5.582 cm2. 1 1 2 13 a. Entre A y B es , entre A y C es , entre B y C es . 2 3 3 b. Es el cuadrado de la razón de semejanza. c. Es el cubo de la razón de semejanza. d. Sí, ya que, al ser cuerpos regulares, las medidas de sus ángulos son iguales, y por tener las aristas congruentes mantienen con los otros cuerpos la razón de semejanza. 3

26 a. 12 cm. b. No, porque si la altura es fija, no respeta la razón entre los lados de la base.

2

15 a. En ambos casos la razón entre la más chica y la 1 más grande es . 3 1 b. Si, la razón es . 9 26 . c. 27 16 No; si bien las bases son semejantes, las alturas pueden no guardar la misma relación. 17 El hotel es una pirámide de base cuadrada de 167,24 m de lado (aprox.) y 106 m de altura. 18 No es posible, pues sus ángulos son siempre congruentes y, al tener cada uno todas sus aristas congruentes, forman siempre la misma razón. (Cambian de tamaño, pero no de forma). 19 a. El área aumenta un 44%. b. Si la altura se mantiene constante, las mesas no son semejantes. 20 a. Sí, la razón entre las circunferencias máximas es 1,25. b. El área se incrementó en un 56,25%. c. 1,25 21 a. d1 = 12,43 cm; d2 = 17,57 cm. b. El volumen encerrado entre el primero y el segundo es 5.818 cm3; entre el segundo y el tercero, 16.455,84 cm3 (aprox.).

138

25 El violeta y el rojo son semejantes y la razón entre las áreas es 36.

27 a. No, porque la razón entre los volúmenes es el cubo de la razón de semejanza. b. Aproximadamente 2,25 dm3. 28 a. Aproximadamente 2 cm. b. 2.119,5 cm3. 29 No; la fracción indica la relación, no las medidas. 30 a. No, porque la maqueta mediría 2 m de alto. b. Como mínimo 17 cartulinas, si se pudiesen emplear todos los recortes y si en la maqueta se incluye el piso del edificio. 31 Disminuye en un 11,53%. 32 La razón entre el paquete y la manga es 0,035.

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14

24 a. Verdadera. b. Falsa: dos rombos con estas características pueden tener ángulos distintos y por lo tanto no ser semejantes. c. Falsa: uno isósceles y uno escaleno no lo son. d. Falsa: los ángulos del nuevo trapecio no miden lo mismo que los del original. e. Verdadera. f. Falsa: la razón de semejanza no es igual a la razón de los volúmenes. g. Verdadera.

c. El rango es 16 segundos. Indica la mĂĄxima diferencia que se puede encontrar entre dos corredores de esta muestra.

CapĂ­tulo 9 Para empezar DiagnĂłstico

5 Los valores que faltan son: 5 - 12 - 20 Cantidad de pacientes 120 135 110 100 35 500

Porcentaje

Lo que afirma el mĂŠdico es cierto, son 255 pacientes.

6 a. Como se trata de una variable discreta, los parĂĄmetros se presentan aproximados al entero. x 2 (el valor obtenido es 2,48). Moda = 3 Mediana = 3 b. x 3 (el valor obtenido es 3,4). Moda = 3 Mediana = 3 En este caso, solo la media sufriĂł cambios.

1

7

Gripe NeumonĂ­a Angina Varicela RubĂŠola Total

24 27 22 20 7 100

a. La poblaciĂłn son todos los alumnos de la escuela, y la muestra, los 30 estudiantes encuestados. b. El lugar de estudio es una variable cualitativa. c. El tiempo de estudio es una variable cuantitativa continua y la cantidad de evaluaciones aprobadas es discreta.

2 a. 25 chicos. b. Solo dos veces 6, o sea, el 24%. c. 0 1 2 3 4 5 T

fa

fr

2 4 6 7 5 1 25

0,08 0,16 0,24 0,28 0,20 0,04 1

Porc. fa acum. fr acum. 8 16 24 28 20 4 100

2 6 12 19 24 25 ----

0,08 0,24 0,48 0,76 0,96 1 ----

Porc. acum. 8 24 48 76 96 100 ----

3 a.

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Tiempo [30; 40) [40; 50) [50; 60]

Frec.Abs. 12 24 4 40

Frec. rel. 0,3 0,6 0,1 1

b. A cargo del alumno. c. [40; 50) 4 a. P: hubo 4 corredores que tardaron hasta 16 segundos. Q: hubo 16 corredores que tardaron hasta 20 segundos. b. Intervalo Frec. Abs. [12; 16) 4 [16; 20) 12 [20; 24) 2 [24; 28) 6

a. El tiempo medio es de 43 segundos. b. [40; 50) c. Las frecuencias acumuladas son 12; 36; 40. El grĂĄfico queda a cargo del alumno. d. Mediana = 43 e. No es cierto, porque hay solo doce que tardan hasta 40 seg (y la mitad es veinte).

8 a. b = 6 b. x 50, 3 ; b = 6,18. c. Para el primer grupo, CV1 0,14 y para el segundo, CV2 0,12. En consecuencia, la dispersiĂłn es mayor en el primer grupo porque el coeficiente de variaciĂłn es mayor. 9 Grupo A: 0,9; grupo B: 1,7; grupo C: 1,4. El primer grĂĄfico es el que presenta una mayor concentraciĂłn de datos en los valores centrales, por lo tanto serĂĄ el que tiene menor desviaciĂłn. El segundo grĂĄfico presenta una mayor concentraciĂłn de datos en los valores mĂĄs alejados del centro, por lo tanto es el que tiene el mayor desvĂ­o. 10 a. Es falso, porque el C3 = 8 y esto indica que las 3 parte de la muestra obtuvo una nota de hasta 4 8 puntos, mientras la media es 6. b. El rango intercuartĂ­lico es 4; lo que significa que si elegimos a 2 alumnos del 50% central de la muestra sus notas, como mĂĄximo, podrĂĄn diferir en 4 puntos. 11 a. C1 41 y C3 49 b. El 25% de la muestra come en menos de 41 minutos, mientras que el 75% de la muestra tarda alrededor de 49 minutos. c. Como D3 = 42, el descuento serĂĄ para los clientes que tarden en comer hasta 42 minutos. 12 A partir del grĂĄfico puede decirse que los individuos de alto rendimiento tendrĂĄn una puntuaciĂłn mĂ­nima de 152, aproximadamente.

139

13 Pedro y ValentĂ­n son considerados bebĂŠs en situaciĂłn de riesgo. 14 a. La muestra son los 30 empleados encuestados y la poblaciĂłn, todos los empleados de la empresa. La variable es el tiempo que tardan en llegar a su lugar de trabajo; en consecuencia, es cuantitativa y continua. b. La muestra son las 100 chicas encuestadas y la poblaciĂłn, todas las chicas de la ciudad de CĂłrdoba. La variable es el color de ropa que prefieren y por eso es cualitativa. c. La muestra son los 200 pasajeros encuestados y la poblaciĂłn, todos los pasajeros de esa lĂ­nea de subterrĂĄneos. La variable es el puntaje que se otorga al servicio; en este caso, la variable es cuantitativa y discreta. 15 85,5 kg. 16 a. El promedio para las dos es 155 mg/dl. b. Para Mirta el desvĂ­o es bM 29,88 y para Elisa, bE 60,18. El CVM 0,19 y el CVE 0,39. 17 a. El CV1 = 0,26 y el CV2 0,30. b. El segundo grupo de gatitos es mĂĄs disperso, pues el CV es mayor. 18 a. Se encuestaron 520 chicos. b. Hay 221 familias con cinco integrantes. 19 a. Del grupo A, 20 deportistas, y del B, 23. b. A cargo del alumno. c. x A 17, 5 y x B 17 En ambos grupos el intervalo modal es [14; 18). d. bA 3,34 y bB 3,87. CVA 0,19 y CVB 0,23. e. El grupo B es mĂĄs disperso que el A. 20 a. A cargo del alumno. b. Aproximadamente 3,19. c. A partir de 4,3 litros diarios.

140

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21 Hasta $ 6.642,86 (aproximadamente).

Soluciones de las autoevaluaciones

2 a. Raíces: –2 y 1; ordenada al origen: –2.

Capítulo 1 1

C+ = (1; +∞); C– = (–∞; –2) U (–2; 1).

A=

D=^

B = [2; 4]

E = (1; 5)

C = (1; 5)

F = (1; 5)

C, E y F corresponden a la solución de la inecuación. 2 Mariel y Ariel tienen razón. Lucas está equivocado porque, por ejemplo, 1 log = −1. 10 Lucía también está equivocada; en el ejemplo anterior 1 el argumento, , es menor que 1. 10 3 a. x = e

10

b. Raíces: –1,5; –1 y 1; ordenada al origen: –3. C+ = (–1,5; –1) U (1; +∞) C– = (–∞; –1,5) U (–1; 1). 3

f (x) =

1 4 x ( x − 5)2 24

4 a. De 0:00 a 8:00. b. Las raíces representan las horas en las cuales la temperatura fue 0 °C. La ordenada al origen representa la temperatura a las 0:00. c. El menor grado que puede tener es 3, porque la función tiene 3 raíces. 1 Podría ser T (t ) = ( x − 1)( x − 5)( x − 8) . 5

b. x = 3

Capítulo 2 1

Capítulo 4

a. 3; 4; 10; 18; 38. No es geométrica ni aritmética. b. 4; 9; 14; 19; 24. Es aritmética. c. 1; 5; 25; 125; 625. Es geométrica.

2 a. Tiene 30 pisos. b. En total se usaron 1.830 latas. 3 S10 364,49 4 a. A cargo del alumno. b. Tiende a 4. c. Está acotada. El ínfimo es 4 y el supremo, 5. d. Es decreciente.

1

a. Falso; f(a) debería ser la mitad de f(b). b. Falso; hay funciones decrecientes que no son de proporcionalidad inversa (por ejemplo, las lineales de pendiente negativa). c. Falso; no importa qué relación hay entre a y b, porque debería ser a · f(a) = b · f(b). 1 (para cada δ sustancia se reemplaza la densidad por su valor). Por ejemplo, un kilogramo de mercurio ocupa 0,0000736 m3, aproximadamente, o sea, unos 73,6 cm3, y un kilogramo de hielo ocupa alrededor de 0,001020 m3, es decir, 1,02 dm3.

2 En todos los casos la fórmula es V =

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Gráfico a cargo del alumno.

Capítulo 3 1

La función es discontinua. Dom f = [– 2; 5]; Im f = (–1; 4). C+ = [–2; –1) U (1; 5]; C– = (–1; 1). Las raíces son –1 y 1; f(–2) = 3 y f(2) = 3,5. La función no puede ser polinómica porque es discontinua.

3 Dom f = ^ – {2}; Im f = ^ – {4}. Además, la raíz es 9 9 y la ordenada al origen, . Sus asíntotas son 4 2 x = 2 (vertical) e y = 4 (horizontal). x2 − 4 tiene una disconx −2 tinuidad evitable, pero no una asíntota.

4 a. No. Por ejemplo, f ( x ) =

b. No; el dominio es el mismo. c. Sí. Por ejemplo, la función mencionada en a.

141

Capítulo 5 1

Capítulo 7

A cargo del alumno.

1

2 a. No es par ni impar; por ejemplo, f(1) = 14 y f(–1) = 38 (no son iguales ni opuestos). b. No es par ni impar; por ejemplo, g(1) = 1 y g(–1) = 3 (no son iguales ni opuestos). 3 a. f no es inyectiva ni sobreyectiva; se podría restringir el dominio de f al intervalo [3; +∞) y el codominio, al intervalo [6; +∞). g es biyectiva. x −6 + 3 . (Si se 2 hubiese restringido el dominio al intervalo (–∞; 3], en la fórmula aparecería un signo menos delante de la raíz).

x2 y2 + =1 100 36 b. Focos: (–8; 0) y (8; 0). a.

c. A cargo del alumno. 2 Aproximadamente 6,98 m. 3 a.

x2 y2 − =1 4 32

b.

x2 y2 − =1 9 16

4 a.

x2 y2 − =1 16 9

b. f–1: [3; +∞) o [6; +∞)/ f–1(x) =

g–1: ^ o ^/ g–1(x) =

3

b. Sí, su conjugada:

−x + 2 .

y2 x2 − =1. 9 16

4 A cargo del alumno. No puede ser inyectiva porque 3 tiene cuatro preimágenes. Puede ser sobeyectiva.

Capítulo 8

<x3 < x2 < 1

5

1

Capítulo 6

2 dm. 3

3

2 416,67 cm2. 3 Aumenta un 7,64%, aproximadamente.

1 Asíntota Dom

Im

Ord.

Cero

^

(–4; ∞)

–3

–3,89

^

(8; ∞)

9

No

b. La razón entre la más grande y la más chica es 3 4.

^

0,36

–1

c. El radio de la base del cono resultante es 19,05 cm.

f

Decrec.

y = –4

g

Crec.

y=8

h

Crec.

x = –2 (–2; ∞)

4 a. A 31,75 cm de la cúspide, aproximadamente.

2 a. a = 3; k = 2. Entonces f(x) = log3 (x – 2).

c.

x 2,1.

3 a. Habrá 293 monos. b. Deberán pasar 21 años.

142

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b. Dom f = (2; +∞); Im f = ^. El cero es 3; la asíntota vertical es la recta x = 2.

CapĂ­tulo 9 1

a. I. x 2, 55 ; b 1,14

II. x 4, 24 ; b 1,12

b. I. CV 0,45

II. CV 0,26.

El primer grupo es mĂĄs disperso. 2 a. Intervalo

f abs.

fr

f acum.

[50; 100)

20

0,10

20

[100; 150)

50

0,25

70

[150; 200)

60

0,30

130

[200; 250)

40

0,20

170

[250; 300]

30

0,15

200

b. El grĂĄfico queda a cargo del alumno. Mediana = 175. El 50% de la muestra analizada gasta en telefonĂ­a celular hasta $ 175 mensuales.

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c. DeberĂ­a gastar mĂĄs de $ 225.

143

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