Matematica 5to by Cord.Nac.Edu.IRFA

Matemática y Razonamiento Lógico 5to Semestre EMT

El tiempo, el esfuerzo, la constancia y el logro ha posibilitado que hoy, como en otras oportunida n estěs iniciando un nuevo camino de aprendizdes, materializado en este compendio de activida aje, lecturas, problemas, fórmulas, teorías, gráﬁcosdes, en general, situaciones que buscan promover y, ti el aprendizaje de conocimiento matemátic en físico, como medio para la compresión de tu o y contexto personal, social y universal. Sin embargo, este inicio lo haces con un morral de sabiduría, lleno de todo ese aprendizaje que traes, luego de haber participado en otros procesos de nuestro sistema IRFA. El estar aquí demuestra tus fortalezas y es, a la vez, un incentivo para seguir la marcha que, aunque no siempre es fácil, nos deja la satisfacción de haber alcanzado las metas que generalmente nos hacemos al inicio de cada semestre. En este módulo se pretende que continúes ese proceso de ampliar la visión que hasta ahora tienes de la Matemática y, a partir de ahora, incorporamos la Física, entendiendolas como ciencias producto de la evolución humana y una muestra de la capacidad creativa del hombre por conseguir explicación y solución a aquellas situaciones o fenómenos de su entorno que le inquietan o le interesan... ¡como también tú lo estás haciendo! Nos centraremos particularmente en el estudio y comprensión de las magnitudes escalares y vectoriales, la escritura y lectura de cantidades en notación científica, la representación y resolución

Presentación de sistemas de ecuaciones lineales y de inecuaciones en los números reales. Todo esto desde su utilidad y aplicación a la compresión de los fenómenos físicos, de los cuales serán objeto de estudio en este módulo la cinemática, entendiéndola desde los movimientos rectilíneos, parabólicos y circulares. Nuestro deseo es que lo escrito aquí resulte interesante y que, al igual que en experiencias de aprendizaje anteriores, puedas incrementar tu caudal de conocimientos, a favor de tu desarrollo personal y transformación humana. ¡Adelante! El 11er semestre está servido. ¡Éxitos!

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Orientaciones generales Orientaciones generales sobre el IRFA sobre el IRFA

Semana 1

¡Comienzas un nuevo semestre! Te damos una calurosa bienvenida, esperando alcanzar y superar tus expectativas. Una actitud asertiva, constancia y el deseo de adquirir nuevos conocimientos serán la clave de tu progreso en este periodo. Esta semana estudiaremos el sistema de educación de adultos del IRFA, conociendo su metodología, objetivos y estructura y así te podrás dar cuenta que no estás solo en tu proceso educativo, sino que cuentas con una institución que te brindará las posibilidades de ayuda en el momento que lo requieras. ¡Bienvenidos todos y todas!

Hablar de IRFA es saber sobre tu propia experiencia, por esta razón es necesario que pienses detenidamente al respecto y que seas capaz de escribirlo con tus propias palabras. Comencemos planteando algunas interrogantes, para que reflexiones. Dado que hay dos posibles categorías de participantes (los que ingresan al sistema y los que continúan). Te proponemos, si perteneces al primer grupo, que te preguntes: ¿qué es para ti el IRFA?, ¿qué oportunidades ves en este sistema para haberlo seleccionado como opción de estudio? Si por el contrario, ya has cursado estudios en esta institución, reflexiona acerca de tu proceso de formación: ¿has logrado convertirte en una persona autodidacta, capaz de generar juicios críticos y adaptados a los contextos sociales en los cuales te desenvuelves?

El Instituto Radiofónico Fe y Alegría es una institución sin fines de lucro, que mediante la utilización de la radio, el material impreso y los Centros Comunitarios de Aprendizaje, hace posible la educación de jóvenes y adultos a distancia. El IRFA espera promover y elevar el nivel cultural, social y humano de la población adulta, a través de la responsabilidad personal y de la promoción de una sociedad más justa en una visión cristiana del mundo y de la historia. Actualmente, el IRFA desarrolla programas de expansión con la finalidad de ampliar la cobertura en el ámbito nacional, así como también recibe y da asesoría a otros países en cuanto al desarrollo de programas de educación radiofónica.

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Semana 1

Orientaciones generales sobre el IRFA

Saber más Conoce más acerca del IRFA, visitando la siguiente dirección web: www.radiofeyalegrianoticias.net/index.php

Realiza un mapa conceptual donde puedas estructurar datos como: año de creación, importancia, metodología, visión, objetivos y cualquier otra información que te parezca interesante sobre el IRFA.

Planificación de los aprendizajes La planificación es la previsión de las actividades y los recursos, para el logro de los objetivos que se desean alcanzar; por lo tanto, planificar es la elaboración de un plan general, debidamente organizado para obtener un fin determinado. ¿Cómo organizar el trabajo en casa? Hay que cumplir las metas propuestas y ajustarse a un horario. Estudiar sin organización es como ir y venir por caminos, sin haber decidido previamente cuál de ellos es el que nos interesa. Por eso conviene tener en cuenta las siguientes sugerencias: hacer un horario, organizar el trabajo y poner en práctica lo que hemos decidido. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.katalinerauso.org/habitoestudioc. html

• Realiza un pequeño cartel publicitario del tamaño de una hoja oficio, que muestre de manera clara lo que ofrece el sistema de estudios del IRFA. • Elabora un cuadro donde muestres la distribución de tus horas libres semanales y cuáles de ellas dedicarás al estudio, así podrás detectar si son suficientes o si debes planificarte mejor.

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Aspectos generales sobre el área

Semana 2

Esta nueva semana inicia con una breve orientación sobre lo que es el área de Matemática y Razonamiento Lógico que, en este semestre, tiene como novedad la interrelación entre contenidos físicos y matemáticos. Cada participante del IRFA se convierte en un autodidacta; sin embargo, a lo largo de este semestre, notarás que existen actividades programadas en las cuales se necesitará realizar dinámicas metodológicas grupales. Esta semana trabajaremos con los aspectos generales de la Física y sus aplicaciones en la vida cotidiana, además daremos un breve repaso de los conocimientos necesarios para tu buen desenvolvimiento durante la misma. Por otro lado, esta semana exige que seas capaz de aportar ideas y crear planes de acción en función a tu proceso de aprendizaje.

Este semestre es necesario que recuerdes temáticas tales como: operaciones con números racionales (Q), proporciones y Teorema de Pitágoras. Además, encontraras nuevos contenidos que asociarás a situaciones de tu vida cotidiana. También es necesario recordar conceptos y procedimientos geométricos, como: ubicación de un punto en el plano, funciones lineales y representaciones de vectores en el plano. Te invitamos, pues, a realizar un repaso de lo estudiado en semestres anteriores y/o consultar otras fuentes.

La Matemática es una herramienta fundamental en la Física, ambas están estrechamente ligadas. Esta semana nos centraremos en manejar contenidos matemáticos fundamentales para el estudio de la Física: operaciones con fracciones, el Teorema de Pitágoras y el estudio de figuras geométricas.

Operaciones con fracciones 1. Suma y resta de fracciones con el mismo denominador: Para sumar fracciones con un mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. c a a+c + = b b b

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Semana 2

Aspectos generales sobre el área

Por ejemplo: 1 6 5 + = 7 7 7 Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. a b

c a-c = b b

Por ejemplo: 1 5 4 = 7 7 7 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. En este caso se reducen a un mismo denominador común (m.c.d.). Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo se procede así: a) Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el denominador común de todas las fracciones. b) Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador. c a a·d+b·c + = d b b·d Por ejemplo: 1 5 15 + 2 17 + = = 6 4 12 12 El m.c.d. (4,6) es 12. Y para la sustracción: c a = d b

a·d-b·c b·d

Por ejemplo: 1 5 15 - 2 13 = = 6 4 12 12

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Semana 2

Aspectos generales sobre el área

Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y, por denominador, el producto de los denominadores. Es decir, a c · = b d

a·c b·d

Por ejemplo: 1 5 5 · = 6 4 24

División de fracciones Para dividir fracciones se multiplican de manera “cruzada” los términos de las fracciones, es decir: c a : = d b

a·d b·c

Por ejemplo: 1 5 30 : = 6 7 7 El uso de las operaciones con fracciones es fundamental en la Física, pues te facilitará la resolución de ejercicios y problemas.

Teorema de Pitágoras Uno de los teoremas fundamentales en la matemática y con más aplicaciones en la física es el Teorema de Pitágoras. A continuación haremos un breve repaso para ver sus aspectos más importantes, así como algunas aplicaciones inmediatas. Ya los egipcios en tiempos anteriores a Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C., conocían la relación que existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo cualquiera:

c a2 + b2 = c2

b “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

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Semana 2

Aspectos generales sobre el área

Por ejemplo: Calculemos la longitud de una escalera, sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1,8 m y alcanza una altura de 7 m. Si consideramos que el ángulo que forman la pared y el suelo es un ángulo recto, tenemos un triángulo rectángulo en el que conocemos sus dos catetos. C2 = (7 m)2 + (1.8 m)2 C2 = 49 m2 + 3.24 m2 C = 49 m2 + 3.24 m2 C = 7.23 m

Saber más Para conocer más acerca de las operaciones con fracciones, visita la siguiente dirección web: http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_fracc.pdf

Para resolver problemas, hay que leer bien el enunciado hasta enterarnos de lo que se nos pide.

1. Tenía ahorrados 18 Bs para comprarme un juguete, he sacado 4/9 del dinero de mi cuenta. ¿Cuánto me ha costado el juguete? Se trata aquí de calcular la fracción de un número. Necesito los 4/9 de los 18 Bs que tengo para el juguete. 4/9 de 18 = 8 Bs me ha costado el juguete. Otra forma: Calcular lo que corresponde a 1/9 y multiplicar por 4. 1/9 de 18 = 2 Bs

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2 x 4 = 8 Bs

Semana 2

Aspectos generales sobre el área

2. Entre tres hermanos deben repartirse 120 Bs. El primero se lleva 7/15 del total, el segundo 5/12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno? a) Reducimos las fracciones a común denominador: m.c.m. (15, 12) = 60 7/15 = 28/60 y 5/12 = 25/60 El tercero se llevará en fracción: 60/60 - 53/60 = 7/60 b) Calculamos la fracción del número que le corresponde a cada uno. El primero se llevará los 28/60 de 120 = 56 Bs El segundo se llevará los 25/60 de 120 = 50 Bs El tercero se llevará los 7/60 de 120 = 14 Bs c) Podemos comprobar el resultado sumando la cantidad que se lleva cada uno. Si observamos los resultados se lleva más el primero que es al que le corresponde la mayor fracción, después el segundo y, por último, el tercero, que es el que se lleva la menor fracción. Ahora, aplica el teorema de Pitágoras para resolver los siguientes problemas: 1. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.

14 cm h

2. Calcula la diagonal de un cuadrado de 9 cm de lado.

9 cm

3. Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm.

6,8 cm

6 cm

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Semana 2

Aspectos generales sobre el área

La Física es la más matematizada de las ciencias. Existen matemáticos que no saben mucha física, pero, no existen físicos que no sepan bastante matemática. No obstante, los objetos de cada una de las dos disciplinas parecen bien diferentes: la Física estudia el mundo, mientras que a la Matemática la realidad no parece preocuparle demasiado. Esto hace que físicos y matemáticos tengan visiones encontradas. El físico Chen Ning Yang, que recibiría el premio Nobel de Física por ser coautor de la teoría conocida hoy como Teoría de Yang-Mills de la fuerza fuerte, contaba un chiste que, según su opinión, describía bastante bien la relación entre los matemáticos y los físicos en la actualidad. Lo cuenta Stanislaw Ulam en su biografía: “Una tarde llegó un grupo de hombres a una ciudad. Necesitaban lavar la ropa, de manera que recorrieron las calles en busca de una lavandería. Encontraron un sitio con un cartel en la ventana: Lavamos ropa. Uno de ellos preguntó: - ¿Podemos dejar nuestra ropa para lavar? El dueño dijo: - No, aquí no lavamos ropa. - ¿Cómo es eso? -preguntó el forastero- hay un cartel en su ventana que dice que sí. La respuesta del dueño fue: “Aquí hacemos carteles.” Según Ulam, así hacen los matemáticos: fabrican carteles y esperan que sirvan para muchas contingencias. Quizás incluso esperan que sirvan para contingencias en las que ni siquiera han pensado. Otras veces, sin embargo, son los físicos e ingenieros los que crean matemáticas como herramientas que necesitan desesperadamente. En todo caso, es imposible afirmar que una teoría matemática, por abstracta que sea, no va a tener aplicaciones físicas en el futuro. Ciertamente son dos disciplinas completamente diferentes, pero muy cercanas. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://tiopetrus.blogia.com/2004/101801-la-fisica-y-la-matematica.php

1. Resuelve las siguientes operaciones:

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5 6 a) 3 + = 12 8 9

2 b) 3 : = 5 2

c) 8 2 3 + = 12 20 9

d) 8 9 2 6 · · · 5 10 6 4

5 = 2

Semana 2

Aspectos generales sobre el área e)

4 6 8 3 2 + + = 15 8 12 9 20

2 8 3 3 · · · 5 12 9 2

4 2 5 3 2 + + = 6 8 4 16 3

6 8 : = 4 5

15 = 6

2. Hoy he perdido 18 Bs, que son 3/11 de lo que tenía. ¿Cuántos bolívares tenía? 3. El 60% de los trabajadores de una empresa tiene carro. Si el número total de empleados es de 1200, ¿cuántos empleados tienen carro?

Ahora, aplica el teorema de Pitágoras para solucionar los siguientes problemas: 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: a) Los catetos b) La altura relativa a la hipotenusa. c) El área del triángulo. 2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo es 24 cm. 3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? 4. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. 5. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm. 6. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Halla el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo. 7. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

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Semana 3

Introducción a la Física

Observa muy bien todo lo que te rodea. Esta semana cambiará tu forma de visualizar el mundo en el cual estás inmerso. Será interesante conocer las leyes físicas que rigen muchos de los fenómenos que nos ocurren a diario. Igualmente, te invitamos a dar respuesta a las siguientes interrogantes: qué, por qué, para qué y cómo medimos. Al terminar esta semana estarás en capacidad de conocer y de comprender la importancia del Sistema Internacional de Medidas (SI) y podrás observar el mundo que te rodea con mayor conciencia, al punto que lograrás identificar conceptos físicos en situaciones de tu entorno. ¡Bienvenido al cambio!

Saber qué es la Física ayuda a descubrir su campo de estudio, y podremos darnos cuenta que se manifiesta en muchos ámbitos, desde lo más pequeño que se conoce como el Quark, hasta lo más grande: el universo y el espacio sideral. La Física se divide en ramas, para estudiar de forma más minuciosa todos los fenómenos ocurridos en la naturaleza. Uno de los conceptos más útiles para este fin es el de la magnitud. Por ejemplo, cuando preguntas la hora y te dicen “son las 10 de la mañana”, la magnitud involucrada es el tiempo; si te preguntan tu altura y respondes “1.65 metros” están evocando la magnitud de la distancia. Así, puedes ir encontrando que en nuestro propio lenguaje, como representación de las ideas, utilizamos la Física.

Magnitud es toda aquella propiedad que presenta un objeto o fenómeno que puede ser medida.

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Se dice que la Física es la ciencia que se encarga del estudio de los fenómenos que ocurren en la naturaleza y de las interacciones entre ellos. Al tratarse de fenómenos relacionados con el movimiento de un vehículo, de una lancha o una metra, entraremos al campo de la mecánica; cuando tratemos fenómenos asociados a la temperatura de los cuerpos, la dilatación o contracción de los cuerpos, refrigeradores y calentadores, entramos al campo de la termodinámica; cuando hablamos de rayos X, rayos infrarro-

Semana 3

Introducción a la Física

jos, laser y hasta de la luz visible, entonces entramos al campo del electromagnetismo. Como podrás ver, la mayoría de los fenómenos que te rodean a diario pueden ser asociados a determinada rama de estudio de la Física. Para fundamentar el estudio desde las distintas ramas de la Física, se requiere obtener y organizar la información y una forma de hacerlo es por medio de la medición. Desde la antigüedad la necesidad de medir es esencial; de esta manera, cada cultura, zona o imperio utilizaban su propio sistema para medir, según sus particularidades, generando una dificultad a la hora de realizar cálculos entre las medidas de diferentes culturas. Medir es determinar la longitud, el área, el volumen, el tiempo y otras cantidades y usar las herramientas adecuadas para hacerlo. Las unidades para medir incluyen: pulgadas, pies, gramos, kilos, libras, toneladas, galones, litros, etc. Ejemplo: la casa tiene una altura de 20 metros y el largo del carro son 5 metros. En estos casos, se está utilizando el patrón de metros para medir la distancia. La necesidad de unificar criterios en relación a los patrones de medidas llevó, en el año 1960, a la creación del SI (Sistema Internacional de Medidas), el cual se adoptó en la mayoría de los países, trayendo como beneficio que ahora se cuente con un mismo sistema de unidades para científicos, ingenieros y la población en general. En la tabla 1 podemos visualizarlo. Tabla 1 Magnitudes fundamentales Magnitud Longitud Tiempo Masa Corriente eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Identidad Lumino

Unidad Metro Segundo Kilogramo Amperio Kelvin Mol Candela

Abreviatura de unidades m s Kg A K mol cd

Aparte, existen otros sistemas, como el inglés (ver tabla 2). Tabla 2 Sistema Inglés Magnitud Longitud Tiempo Masa

Unidad Pie Segundo Slug

Símbolo p s slug

Saber más Para ampliar tus conocimientos sobre los sistemas de medidas, puedes consultar la siguiente dirección web: www.quimicabasica.cl/tema_04.pdf

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Semana 3

Introducción a la Física

Realiza la observación de algún espacio de tu entorno, puede ser de tu trabajo, el aula, tu casa, un parque, etc., tratando de identificar diferentes fenómenos que tengan que ver con ramas de la Física. Anota todos los detalles y discute tu informe con el resto de los compañeros en el CCA.

El crecimiento de la población mundial Desde 1950, la población mundial se ha duplicado y en la actualidad el número de habitantes ronda los 6.000 millones. En este sentido, el crecimiento poblacional es motivo de preocupación mundial. Sin embargo, este crecimiento no es homogéneo: se observan períodos de disminución y/o aumento, lo cual a su vez, también ha variado de unos espacios geográficos a otros. La evolución demográfica se puede dividir en dos etapas: 1. Desde la aparición del hombre hasta 1750: caracterizada por un crecimiento demográfico muy lento, ascendente, paralelo a la expansión de los recursos económicos. Este período fue dominado por el descubrimiento, desarrollo y perfeccionamiento de las herramientas, el desarrollo de la agricultura y la domesticación de animales, es decir, estuvo marcado por las primeras innovaciones económicas. 2. Desde 1750 hasta la actualidad: determinada por una gran expansión demográfica, producto de los cambios ocurridos a partir de la segunda mitad del siglo XVIII, a causa de las revoluciones agraria, industrial y tecnológica, las cuales permitieron la obtención de excedentes alimenticios, con lo que disminuyó el hambre y se liberó mano de obra de las actividades agrarias. Este excedente de fuerza de trabajo en las actividades primarias comenzó a ocuparse en actividades industriales y terciarias. Las causas del acelerado crecimiento de la población son múltiples, siendo la primordial la disminución de la mortalidad. Este descenso se ha producido como consecuencia de los avances sanitarios, económicos y tecnológicos que posibilitaron la desaparición de epidemias y la difusión de nuevas técnicas industriales. La expansión de este progreso en los países en desarrollo se produjo con celeridad, paralelo a la existencia de tasas de natalidad altas, dando lugar al fenómeno de la explosión demográfica.

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Semana 3

Introducción a la Física

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.portalplanetasedna.com.ar/poblacion01.htm Completa la tabla 3, tomando ejemplos de tu entorno y asociando distintas situaciones con cada una de las ramas de la Física. Tabla 3 Rama de la Física

Fenómenos físicos observados

Mecánica Dinámica Estática Hidráulica Acústica Termodinámica Eléctrica Magnetismo Electromagnetismo Óptica Relatividad Física Cuántica

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Notación científica Notación científi ca y proporcionalidad

Semana 4

y proporcionalidad

La invención humana ha favorecido el desarrollo de nuevas tecnologías y de artefactos especializados que permiten medir magnitudes, cuya expresión numérica se representa por cantidades exageradamente pequeñas, relacionadas con el mundo subatómico, o muy grandes, que se pueden asociar al macromundo. Tales cantidades son de lectura difícil y engorrosa para realizar cálculos matemáticos. Para superar esta dificultad, los científicos idearon una nueva forma de escribirlas y de leerlas, la cual recibe el nombre de notación científica. Durante esta semana pretendemos estudiar los fundamentos y procedimientos de la notación científica e intentaremos establecer algunas relaciones entre magnitudes por medio de la proporcionalidad. ¡Prepárate entonces para que juntos asumamos esta nueva aventura de aprendizaje!

Para esta semana es necesario refrescar todos los conocimientos referentes a las propiedades de la potenciación, operaciones con números decimales y las aplicaciones de la regla de tres. Recuerda que, con una buena base, el camino será muy fácil. A menudo se nos presentan situaciones en las que tenemos que manejar cantidades muy grandes, por ejemplo, la masa de la luna es de 73490000000000000000000 kg. También existen cantidades muy pequeñas, por ejemplo, la masa de un electrón es aproximadamente 0,000000000000000000000000000091 kg. Para esto se ideó la notación científica, que no es más que una forma de enunciar estas cantidades en expresiones más fáciles de manejar. Observa esta situación y trata de dar una respuesta: un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos Peso en kg

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1 20

2 40

3 60

... ...

26 520

... ...

Semana 4

Notación científica y proporcionalidad

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20. Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20. En estos casos podemos hablar de una proporcionalidad directa, o podemos decir que las magnitudes son directamente proporcionales. Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. Ahora, veamos otro ejemplo: si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso, si el número de trabajadores se duplica, el trabajo durará la mitad; si se triplica, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (o indirectamente proporcionales). Hombres Días

3 24

6 12

9 8

... ...

18 ?

Vemos que los productos 3x24; 6x12 y 9x8, dan todos como resultado 72. Por tanto, 18 por x = 72. Es decir, los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo. Notarás que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Antes que te adelantes en pensar sobre notación científica es necesario que recordemos sobre lo que es la potenciación de números naturales; para ello, intenta comprender estos ejemplos: a) 32 = 3x3 = 9

b) 53 = 5x5x5 = 125

c) 24 = 2x2x2x2 = 16

d) 102 = 10x10 = 100

e) 105 = 10x10x10x10x10 = 100000

f ) 106 = 10x10x10x10x10x10 = 1000000

En los primeros tres casos se puede observar la multiplicación de la base tantas veces lo indica el exponente y da como resultado un número (potencia). En los últimos tres casos te puedes dar cuenta que cada vez que la base es diez y ésta se eleva a un exponente entero positivo, la potencia resultante es la unidad seguida de tantos ceros como lo indica el exponente. Ahora, revisemos la multiplicación de un número por potencias de 10. a) 34x10 = 340

b) 54x1000 = 54000

c) 2x10000000 = 20000000

d) 213x10000000000000 = 2130000000000000

De las dos situaciones anteriores podemos llegar a formular un concepto y el procedimiento que se sigue para expresar cantidades en notación científica.

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Semana 4

Notación científica y proporcionalidad

Notación científica es una técnica matemática, empleada para simplificar la escritura de números muy grandes o muy pequeños, en cantidades que no superen el orden de la unidad y se utiliza para ello la multiplicación de potencias de base diez.

Como ves, durante esta semana estamos abordando dos aspectos de las magnitudes: su escritura en notación científica y la relación de proporción entre dos magnitudes. Los ejemplos de la sección de Conocimientos previos seguramente te ayudaron a ver que cuando comparamos dos magnitudes, se pueden dar dos casos de proporcionalidad: • Directa: dos magnitudes se dicen que son directamente proporcionales cuando el aumento o disminución de una de ellas le corresponde, respectivamente, a un aumento o disminución proporcional de la otra. Como pudimos observar en el caso del número de sacos y los kilos de papas: Número de sacos Peso en kg

1 20

2 40

3 60

... ...

26 520

... ...

A mayor número de sacos, mayor número de kilos y viceversa; en este caso, podemos decir que estas magnitudes (número de sacos y kilos de papas) son directamente proporcionales, ya que, si el número de sacos aumenta, también se incrementará el número de kilos; si los sacos disminuyen, los kilos también. • Inversa: dadas dos magnitudes, se dice que son inversamente proporcionales cuando el aumento de la primera genera una disminución de la segunda y viceversa, en respectiva correspondencia a una razón de proporción, como ocurre con el caso del número de trabajadores y la relación que existe con las horas de trabajo, donde se observa claramente que, a mayor número de trabajadores, menor número de horas, o, lo que es lo mismo, a medida que aumenta el número de trabajadores, disminuyen las horas en las que se realiza el trabajo. Hombres Días

3 24

6 12

9 8

... ...

18 ?

Saber más Para saber más sobre notación científica, te recomendamos visitar la siguiente dirección web: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA19/ NotacionCientifica.html

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Si deseas profundizar más sobre el tema de proporcionalidad, haz clic en: http:// platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htm

Notación científica y proporcionalidad

Semana 4

Pasos para transformar un número en notación científica Ejemplos. Escribe en nota23400000000000000 0,00000000789 ción científica el número: 1. Dado el número, se coloca 2,34 7,89 la coma en la primera cifra, comenzando de izquierda a derecha, que corresponda a valores entre 1 y 9 (cifra significativa). Esto quiere decir, que se respeta el orden de posición de las unidades, no excede a las decenas. 2. Luego se multiplica el nue2,34x10 7,89x10 vo número por una potencia de base diez. 3. El exponente de esta po23400000000000000, 0,00000000789 tencia de base diez será positivo, si la coma inicial estaba a la derecha de la primera cifra significativa, y negativo, La coma se corrió 16 La coma se corrió 9 espacios espacios en caso contrario. 16 El resultado 7,89x10-9 El resultado 2,34x10 4. Por último, el valor del exponente de la base diez es el número de espacios que corrió la coma.

Si el número dado tiene, por ejemplo, esta forma: 3,45345600000000000, no se le aplica la transformación a notación científica, porque ya la coma se encuentra entre 1 y 9, sino que se redondea a la cantidad que requieras. Por ejemplo, el resultado es 3,45 si se redondea a la centésima.

Magnitudes bajo proporción directa Si un automóvil recorre 100 km en 3 hrs, ¿cuántos km recorre en 10 hrs?

100 km = x km

3h 10 h

100 km · 10 h 3h

x = 333.33 km 165

Semana 4

Notación científica y proporcionalidad

Magnitudes bajo proporción inversa Un carro que circula a 70 km/h invierte 3 horas en cubrir la distancia que separa dos ciudades. Si vuelve a realizar el viaje y emplea 7 horas, ¿a qué velocidad circula en el segundo viaje? Velocidad Tiempo de recorrido

70 km/h 3h

? 7h

Del cuadro extraemos los valores de la siguiente forma: 70 km/h 7h = x 3h Por ser de proporcionalidad inversa invertimos el segundo miembro de la ecuación o cuaterna. Despejamos la x porque es la incógnita que queremos hallar. x=

70 km/h x 3h 7h

x = 30 km/h

En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos: • Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: “este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado”. • Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo, ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: éxito y trabajo. • También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: “proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante”. El hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 T. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella, un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla. También se cometen errores: • Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante, pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró. 166

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://centros4.pntic.mec.es/ies.maria.zambrano/proporcionalidad/index.htm

Notación científica y proporcionalidad

Semana 4

1. Un microscopio eléctrico sólo puede medir longitudes cerca de los 100 nm, y se presenta en un portaobjetos un cultivo de virus donde su diámetro celular es de 0,00000000098 m. ¿Podrá el microscopio dar la medida exacta? 2. El diámetro de una estrella es de 198000000000000 m. Si se triplica este diámetro y suponemos que esta nueva estrella es totalmente esférica, ¿cuál sería su volumen, expresado en notación científica? 3. Una persona que va hacer el mercado compra 5 pollos semanales para 8 personas que viven en casa. Si esta semana llegaron sus 3 primos de visita, se pregunta: ¿cuántos pollos se deben comprar para seguir manteniendo la misma cantidad de pollo que se consumía habitualmente? 4. En una finca 50 vacas se comen en 4 días todo el pasto del corral donde se encuentran cercadas. El dueño compra 10 vacas más y las traslada al nuevo corral. ¿En cuánto tiempo se comerán todo el pasto, sabiendo que este corral tiene las mismas dimensiones del anterior? 5. Un vehículo que circula a velocidad constante recorre 80 km en 5 horas. Si se sabe que ha empleado 8 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B, ¿qué distancia separa las ciudades? 6. Dos grifos que vierten agua de forma constante, llenan un depósito en 6 horas. Si usamos 12 grifos para llenar ese depósito, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? 7. En una cadena de montaje, 14 obreros, trabajando 10 horas diarias, han fabricado 1500 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 4200 piezas trabajando 8 horas?

167

Semana 5

Gráficos en el plano

Semana 5

Gráficos en el plano

Vivimos rodeados de mucha información; gran parte de ella nos llega de manera impresa o digital y se expresa comúnmente a través de dibujos y gráficos. Durante esta semana pretendemos que adquieras herramientas que te permitan leer, interpretar y hasta elaborar gráficos, particularmente aquellos representados en ejes cartesianos y que involucran funciones lineales. Esperamos que los conocimientos que adquieras esta semana te proporcionen una nueva manera de relacionarte con la información que te brinda el entorno y seas capaz de utilizarla en tu desenvolvimiento diario.

Recuerda que no estamos partiendo de cero: durante el semestre pasado (semanas 8, 9 y 10) estudiamos los sistemas de coordenadas, los conceptos de funciones y la función lineal. Conceptos como par ordenado, plano cartesiano, abscisas y ordenadas, variables dependientes e independientes, entre otros, sería ideal que repasaras, para un buen desenvolvimiento. Par ordenado

Y (+ )

Segundo factor

(-)

(a,b)

(+ )

1 0

Primer factor

(-)

168

En el plano cartesiano se pueden representar funciones y una gran variedad de gráficos, lo cual resulta muy útil para el estudio de la Geometría, la Física y la Matemática.

Semana 5

Gráficos en el plano

Con la ayuda de estos gráficos podemos estudiar mejor el movimiento de los cuerpos en Física, hacer un estudio más profundo de las figuras geométricas y realizar un buen análisis de las funciones de variable real. Los gráficos son utilizados actualmente en muchas ciencias, entre ellas la Física, donde se puede presentar gran cantidad de información sobre algún acontecimiento o fenómeno, ofreciendo una visión global de lo ocurrido. A continuación veremos una serie de aplicaciones de los gráficos en la Física, que es nuestro tema a tratar.

Aplicación de los gráficos velocidad contra tiempo 1. En base al gráfico 1, calcula: a) La distancia total recorrida. b) El desplazamiento total. c) La aceleración en el periodo de 10 a 15 segundos. d) La aceleración en el periodo de 25 a 30 segundos. Gráfico 1

Velocidad (m/s)

velocidad (m/s) vs. tiempo 60 40 20 0 0 -20 -40 -60

Tiempo (s)

Solución:

a) Área 1 = (B + b / 2) h = (15 + 5/2) 40 = 400 m. Área 2 = b x h / 2 = 10 x 40/2 = 200 m.

Para calcular la distancia se suman todas las áreas, por lo cual, el resultado en este gráfico es de: 400 + 200 = 600 m. Gráfico 2

Velocidad (m/s)

velocidad (m/s) vs. tiempo 60 40 20 0 0 -20 -40 -60

Area 1 5

Tiempo (s)

25 30 Area 2 169

Semana 5

Gráficos en el plano

b) Para calcular el desplazamiento, se suman las áreas positivas (las de arriba) y se restan las negativas (las de abajo). En este caso: 400 - 200 = 200 m c) En este tipo de gráficos la pendiente nos da la aceleración con la siguiente fórmula: 0 - 40 V2 - V1 a= = = - 8 m/s 2 15 - 10 t2 - t1

d) a =

0 - (-40) V2 - V1 = = 8 m/s 2 30 - 25 t2 - t1

1. Cada uno de los gráficos siguientes (3, 4, 5 y 6) representa una función. Luego de observarlas, responde: a) ¿Cuáles son funciones lineales? b) ¿Cuáles son las variables dependientes y cuáles las variables independientes? c) Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(2,3); B(-1,3); C(4,-6); D(-3,-4); E(3,0); F(0,5). Gráfico 3

Gráfico 4

Gráfico 5

Gráfico 6

s 170

1/V

Semana 5

Gráficos en el plano

René Descartes, gran filósofo y matemático francés, nació en 1596. Entre sus principales aportes a la filosofía está su famoso “Discurso del método”, obra en la cual busca exponer reglas para “descubrir verdades”. Descartes afirmó que los orígenes de esta obra filosófica estaban en la lógica, la geometría y el álgebra. Por otra parte, este ilustre pensador hizo una importante contribución a las Matemáticas. Al “Discurso del Método” le añadió un “anexo” titulado “Geometría”, en el cual propuso un sistema nuevo para estudiar esta disciplina. Gracias al “sistema de coordenadas cartesianas” creado por Descartes y denominado así en su honor, diversas áreas de las matemáticas tuvieron un rápido desarrollo en los años posteriores. Este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica inequívocamente. Así, cualquier figura geométrica puede ser identificada con un conjunto de parejas de números reales, y eso permite, entre otras cosas, estudiar la geometría a través del álgebra. Además, Descartes introdujo parte de los símbolos que actualmente se usan en las ecuaciones algebraicas, facilitando enormemente el estudio de las ecuaciones y sus soluciones. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/ Matematica/TEMA22/PlanoCartesiano.html

1. De acuerdo al gráfico 7, resuelve:

Velocidad (m/s)

Gráfico 7 velocidad (m/s) vs. tiempo 40 30 20 10 00 -10 -20 -30

Tiempo (s) a) La distancia total. b) El desplazamiento total. c) La velocidad en el primer segundo. d) La velocidad en el periodo entre 3 y 4 segundos. e) ¿Qué periodo(s) de tiempo tiene(n) velocidad cero?

171

Semana 6

Magnitudes vectoriales

Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características de un vector para diferenciarlos de un escalar, así como identificar sus componentes, representarlo gráficamente y operar con ellos.

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

En el gráfico 8, notamos que el movimiento de las bolas de billar implica también una dirección y sentido, en posiciones iniciales y trayectorias. Repasando lo visto en semanas anteriores, recordaremos que medir una magnitud física consiste en asignarle un valor numérico. Sin embargo, hay magnitudes a las cuales, a parte de este valor, es necesario darles otras características para poder especificarlas completamente.

Como en el caso del juego de billar, existen magnitudes en las que no nos interesa únicamente su valor o módulo, con lo cual quedaría determinada una magnitud escalar, sino que tenemos que saber también la dirección y el sentido, por lo que estaríamos hablando de magnitudes vectoriales. El módulo no es más que la longitud o tamaño del vector, vinculado siempre a un número real positivo. Para hallarlo es preciso conocer el origen y el extremo del vector; la dirección viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene y el sentido se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige.

172

Los vectores se representan gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas y, numéricamente, por dos números (en el plano) y por tres (en el espacio). Estos pares o ternas se denominan coordenadas cartesianas del vector.

Semana 6

Magnitudes vectoriales Gráfico 9 Y

r=(x,y) P

y r

Vector de posición del punto P en el plano Un vector es un segmento orientado, la longitud del cual representa su módulo, y el que la dirección y sentido se pueden determinar tanto matemáticamente como geométricamente. Para simbolizar magnitudes vectoriales dibujaremos una flecha sobre el símbolo que representa a la magnitud: v velocidad, a aceleración. En general, cuando se escribe una magnitud vectorial sin flecha, se está haciendo referencia a su módulo. El módulo del vector a se expresa | a |. Así, por ejemplo, podemos escribir | a | = 3, | b | = 4 y | c | = 5 para indicar que a, b y c tienen módulo 3, 4 y 5, respectivamente. Gráfico 10 |u|=

u12 + u22 u1 |v|= v1

v2 t

v12 + v22

s t1 |t|=

s1 |s|=

t12 + t22

s12 + s22

Conociendo las componentes de un vector v = (v1,v2), podemos calcular su módulo | v | aplicando el teorema de Pitágoras: |v|=

v12 + v22

Este procedimiento para calcular el módulo se puede aplicar tanto si las componentes de v son positivas (ver caso del gráfico 10), como si son negativas. 173

Semana 6

Magnitudes vectoriales

Operaciones con vectores Si tenemos una caja sobre una mesa y se le aplica una fuerza horizontal (F1), nuestra intuicion o experiencia nos dirá que la caja se moverá en la misma dirección y sentido en el que apliquemos la fuerza (figura 1). Si se aplica una fuerza vertical (F2) suficiente sobre la caja, entonces esta se moverá verticalmente hacia arriba (figura 2).

Figura 1 F2 Figura 2 F1

Figura 3 Ahora, ¿qué pasará si aplicamos al mismo tiempo ambas fuerzas F1 y F2?, ¿hacia dónde se moverá el objeto?, ¿será posible representar ambas fuerzas por una única, un vector único que sustituya a F1 y F2? (ver figura 3). El vector que sustituye a los dos vectores dados se llama vector resultante. Una de las formas de conseguirlo es por medio de la adición de vectores. Por ejemplo, si dos personas empujan un objeto al mismo lugar, la fuerza resultante será la suma del módulo de las dos fuerzas; pero si estas fuerzas (vectores) forman un ángulo, entonces el módulo de la suma no será la suma de sus magnitudes. La solución a este problema se encuentra de varias formas, como se presenta a continuación.

Suma de vectores Para sumar dos vectores libres se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro.

Método del paralelogramo

174

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores, de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores en el extremo del otro (ver gráfico 11). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Semana 6

Magnitudes vectoriales

Método del triángulo Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del segundo. Gráfico 12 a

a+b

Método analítico para la suma y diferencia de vectores Gráfico 13 Y

B Si se quiere sumar los vectores: representarlos.

V+W

w = (-2, 5)

y v = ( 1, 1) procedemos a

Gráfico 14 Y 6 5

V -2 -1

Según la regla del paralelogramo, se cumplió que: v + w = ( 1 + (-2), 1 + 5) = ( - 1, 6)

175

Semana 6

Magnitudes vectoriales

Podemos generalizar diciendo que, dados dos vectores libres: a = (ax , ay , az) b = (bx , by , bz) El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma: a + b = (ax , ay , az) + (bx , by , bz) a - b = (ax , ay , az) - (bx , by , bz) Y ordenando los componentes: a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz) a - b = (ax - bx , ay - by , az - bz)

Producto de un vector por un escalar Si v = (-2, 3) y h = 2 , entonces hv = 2 (-2, 3) = (-4 , 6). Veámoslo gráficamente (gráfico 15). Gráfico 15 Y 2V 6

-4

-2

El producto de un vector por un escalar es otro vector, cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, y su dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo. Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección, tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar. Sean p un escalar y a un vector, el producto de p por a se representa pa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es, 176

pa = pax i + pay j + paz k

Semana 6

Magnitudes vectoriales

Saber más Para profundizar más sobre los vectores, visita la siguiente dirección web: http:// www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/matematica/tema3/Tema3a.html Si te interesan las operaciones, te recomendamos hacer clic en: http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-vectores.htm

Dados los siguientes pares ordenados A = (-2,4); B = (3,1); C = (-4,-2) y D = (2,-3), determinar el vector asociado, su módulo. De entrada, es necesario conocer que, para representar vectores en el plano se debe contar con los pares coordenados, los cuales, aparte de ser sus componentes, permiten graficar los vectores; para ello, el vector presenta su origen en el punto (0, 0) y su extremo o punta de flecha en los pares ordenados. Gráfico 16 Cuadrante II

Cuadrante I

(-2 , 4) (3 , 1) x (-4 , -2) (2 , -3) Cuadrante III

Cuadrante IV

Para este ejercicio tomaremos un par (-2,4) y el resto quedan asignados para practicar. Los componentes del vector son: para el eje X = -2 y para el eje Y = 4 (ver gráfico 16). Ahora calculamos el módulo o tamaño del vector. Para conocer el módulo de un vector procedemos de la siguiente manera: u = ( u1 , u2 ) u = ( u1 , u2 ) | u | = ( u1 , u2 ) u = (3, 4) En nuestro caso: | a | =

|u|= (-2)2 + 42 = 4,47

32 + 42 = 25 =5 177

Semana 6

Magnitudes vectoriales

Diagramas de cuerpo libre y vectores Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas, como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://es.wikipedia. org/wiki/Diagrama_de_cuerpo_libre

1. Representa en el plano cartesiano: a) Los vectores U = (3,1); V = (1,5); W = (4,0). b) Los vectores de posición de los puntos A(1,3); B(5,3); C(6,2).

2. Dados los vectores U = (4,3); V = (-1,4) y W = (5,0), calcula las siguientes sumas: a) U + V b) W + V c) U + W + V

3. Halla las coordenadas de los vectores AB y CD determinados por los puntos A(1,2); B(3,8); C(-3,5) y D(-1,15). ¿Cómo son estos vectores? 4. El vector AB tiene por coordenadas (4,0) y las coordenadas del punto B son (1,2). Halla las coordenadas de A.

178

Semana 7

Método gráfico de resolución

Semana 7

Durante las semanas anteriores has podido observar diferentes tipos de ecuaciones: unas sencillas, otras en las funciones lineales y otras simplemente para resolver algún ejercicio; pero, esta semana complementaremos lo antes visto para formar sistemas de ecuaciones. El objetivo de esta semana es representar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Esto es muy importante, ya que son muy utilizados en la resolución de problemas matemáticos y físicos, con innumerables aplicaciones en economía, administración y transporte.

Para saber qué es un sistema de ecuaciones lineales es necesario recordar lo que es una ecuación, la cual podemos decir que es una igualdad formada por dos miembros que, a su vez, están constituidos por operaciones entre una o más incógnitas y parámetros cuya función es determinar el valor numérico que debe tomar la o las incógnitas para satisfacer la igualdad. Otro aspecto que debe tomarse en cuenta son las representaciones en el plano, las cuales nos permitirán interpretar las soluciones de los sistemas. Para ello es necesario recordar la estructura de las ecuaciones lineales, ya que estas representan las estructuras algebraicas más simples. También es importante estudiar la posibilidad de hacer que las ecuaciones del sistema se parezcan a ecuaciones de funciones lineales, para poder realizar el análisis más rápido y preciso.

Pendiente

Y = mX+b Variable Dependiente

Punto de corte de la gráfica con el eje Y

Variable Independiente

179

Semana 7

Método gráfico de resolución

Entre Ana y Sergio tienen 600 Bs, pero, Sergio tiene el doble de dinero que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Llamemos x al número de Bs de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 Bs, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de dinero que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: x + y = 600 2x – y = 0 Para resolver el sistema por el método gráfico, despejamos la incógnita en ambas ecuaciones y tendremos: y = -x + 600 y = 2x Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores (tabla 4): Tabla 4 y = -x + 600 x y 200 400 600 0

y = 2x x 100 200

y 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente (ver gráfico 17). Gráfico 17 800 600 400 200 -200 180

200 -200

400

600

Semana 7

Método gráfico de resolución

Como se observa en el gráfico 17, la solución que satisface la condición es x = 200 e y = 400, indicado por el punto de intersección de ambas rectas. Entonces, Ana tiene 200Bs y Sergio 400Bs. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases: 1. Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondiente. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. En este último paso hay tres posibilidades: a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Esto se conoce como sistema compatible determinado. b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta. Se conoce como sistema compatible indeterminado. c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Se le llama entonces sistema incompatible.

Saber más Si quieres profundizar más sobre este tema, visita las siguientes direcciones web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sist_ ecu_jacm/sist_ecuac.htm#grafico http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA25/SistemasLineales. html

1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: y = 2x - 2 2x = 6 - y El paso uno (1) es convertir las ecuaciones del sistema en funciones lineales para facilitar la representación gráfica. y = 2x - 2 y = -2 + 6

181

Semana 7

Método gráfico de resolución

El paso dos (2) es realizar cada uno de los gráficos en un mismo plano. Gráfico 18

2x -

(2 , 2) 1

62x El paso tres (3) es verificar cuántos puntos de corte tienen cada uno de estos gráficos; si sólo tienen uno, como el gráfico 18, el sistema es compatible determinado. 2. Dados los gráficos de estos dos sistemas de ecuaciones (gráficos 19 y 20), determina qué tipo de sistemas son, de acuerdo con su solución gráfica. Gráfico 19 Y

6 -2 2 x

y= 3x Gráfico 20 Y

-x

182

Método gráfico de resolución

Semana 7

Matemática y Biología: la pareja esencial La matemática, aplicada a la exploración de sistemas biológicos, me gusta compararla con un microscopio. Existen microscopios de muchos tipos, desde los más sencillos, que sirven para capturar características morfológicas en escalas de milímetros, hasta aquellos que permiten observar micro y ultraestructuras a escalas de medida sumamente pequeñas. Es claro que no cualquier microscopio sirve para cualquier fin. Si me interesa simplemente determinar la familia de una colección de artrópodos, uso un tipo de microscopio adecuado y no uno electrónico. El microscopio es entonces una herramienta experimental que permite conocer aspectos de la naturaleza. Es obvio pero importante mencionar que aunque el microscopio es fundamental para cierto tipo de problemas biológicos, no lo es para todos y en algunos ni siquiera se usa. Así es con la matemática. La matemática es un microscopio metodológico que nos permite describir, explicar o predecir fenómenos. La variedad de métodos y técnicas matemáticas que se han desarrollado a lo largo de los siglos proporciona una gama considerable de herramientas para resolver muchos tipos de problemas biológicos. Pero no todo problema biológico requiere del uso intensivo o extensivo de técnicas matemáticas o, alternativamente, no existe una única manera de modelar un proceso. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.sectormatematica.cl/ ciencias%20naturales/biologia%20matematica.pdf

Resuelve los siguientes problemas, usando el método gráfico: 1. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 2. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 80 Bs. y otros a 120 Bs. con lo que han obtenido 1920 Bs. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio? 3. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tiene cada uno?

183

Semana 8

Métodos analíticos Métodos analíticos de resolución de resolución

La semana anterior descubrimos cómo resolver sistemas de ecuaciones de forma gráfica. Esta semana se estudiarán tres métodos analíticos para la resolución de sistemas de ecuaciones, con los cuales podrás resolver cualquier sistema de dos variables. Lo primordial es que vayas adquiriendo nuevas herramientas procedimentales para el abordaje de problemas más complejos; siempre es oportuno contar con variadas formas de resolución de problemas. Te invitamos a que continúes con nosotros en esta aventura de aprendizaje.

En las actividades de la semana anterior se dejaron propuestos ejercicios como este: En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50; si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? Llamando x al número de gallinas e y al número de conejos, nos quedó algo como esto: x + y = 50, ya que las gallinas y conejos tienen ambos 1 cabeza. 2x + 4y = 134, ya que las gallinas tienen 2 patas y los conejos tienen 4 y ambas suman 134. De esta manera, vemos como podemos expresar de manera algebraica una situación para darle una solución. Resuelve el sistema de ecuaciones y verifica los resultados obtenidos. Un concepto que debemos tener claro es el de Ecuación lineal con dos incógnitas, referida a toda expresión del tipo ax + by = c siendo a, b y c números tales que a y b son diferentes de 0 y x e y son las incógnitas. Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones.

Resolveremos el problema de las gallinas y conejos usando los tres métodos clásicos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 184

Semana 8

Métodos analíticos de resolución

Resolución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución Este método consiste en operar matemáticamente una ecuación para hallar la expresión-valor de una incógnita y sustituir dicha expresión-valor, en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su valor; luego, se halla el valor de la incógnita inicial. Tomamos las ecuaciones del problema de las gallinas y los conejos y las planteamos en forma de sistema de ecuaciones: x + y = 50 2x + 4y = 134

Se suele llamar despeje a la aplicación ordenada de operaciones matemáticas a una ecuación a fin de aislar, en un miembro de la ecuación, a una variable.

Paso 1: En una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas (se despeja una de las dos incógnitas o variables). Hallemos la y en la primera ecuación; resultando y = 50 - x Paso 2: Sustituimos en la otra ecuación el valor hallado, es decir, el valor de la incógnita despejada. 2x + 4y = 134

2x +4 (50 - x) = 134

2x + 200 -4x = 134

Paso 3: Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita, y la resolvemos así: 2x - 4x = 134 - 200 -2x = -66 2x = 66 x = 66/2 x = 33 Paso 4: Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos en el paso 1. y = 50-x y = 50 - 33 y = 17 Obteniendo así la solución al sistema de ecuaciones propuesto: x = 33 e y = 17.

185

Semana 8

Métodos analíticos de resolución

Resolución de un sistema de ecuaciones por el método de igualación Este método consiste en despejar en cada una de las ecuaciones la misma incógnita e igualar los segundos miembros de ellas para obtener una ecuación con una sola incógnita, hallar su valor y luego el de la otra incógnita. Continuemos con el ejemplo del problema planteado al inicio. x + y = 50 2x + 4y = 134 Paso 1: Se selecciona una de las incógnitas y se busca en ambas ecuaciones su valor, es decir, despejamos la misma incógnita o variable en ambas ecuaciones. x = 50 x = 67 - 2y Paso 2: Igualamos ambas ecuaciones y hallamos el valor de la incógnita. 50 - y = 67 - 2y -y + 2y = 67 - 50 y = 17 Paso 3: El valor obtenido lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones del paso 1. x = 50 - y x = 50 - 17 x = 33 Nuevamente obtenemos la misma solución al sistema de ecuaciones propuesto: x = 33 e y = 17.

Resolución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción Este método consiste en multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo, de modo que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos; luego se suman las ecuaciones obtenidas para eliminar esa incógnita y hallar el valor de la otra. x + y = 50 2x + 4y = 134 Paso 1: En este caso, podemos multiplicar la primera ecuación por (-2) o podemos multiplicarla por (-4) o también podríamos multiplicar la segunda ecuación por (-1/2). Son varias las posibilidades, de ti depende escoger la que más te convenga a la hora de realizar los cálculos, esto lo sabrás a medida que practiques y resuelvas varios problemas.

186

Métodos analíticos de resolución

Semana 8

Si multiplicamos la segunda ecuación por (-1/2), el sistema nos quedaría de la siguiente forma: x + y = 50 -x -2y = -67 Ahora sumamos estas ecuaciones: x + y = 50 -x - 2y = - 67 -y = - 17 y = 17 Paso 2: Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema y obtenemos: x + y = 50 x = 50 - y x = 50 - 17 x = 33 Verificamos la misma solución al sistema de ecuaciones propuesto: x = 33 e y = 17, obtenida por los dos métodos anteriores.

Saber más Si quieres profundizar más o conseguir otros ejemplos, visita las siguientes direcciones web: http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/reso.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/reso_1.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/reso_2.html

Con los pasos explicados, realiza los siguientes sistemas por los tres métodos. x + y = 11 x+y=-3

3x - 4y = - 6 2x + 4y = 16

187

Semana 8

Métodos analíticos de resolución

Matemática aplicada al medio ambiente “El medio ambiente es un proceso complejo que requiere de una gran cantidad de especialistas de distintas áreas, hay geógrafos, físicos etc., pero creo que el matemático ocupa un lugar central. En el estudio de estos procesos, las matemáticas son las herramientas para modelar dichos procesos, se trabaja con ecuaciones diferenciales que resultan ser muy importantes”, comenta el Dr. Toro. Según él, lo más atractivo de la Matemática aplicada es que tiene la posibilidad de prever, aunque tiene una capacidad limitada que se debe enriquecer con la observación. El pronóstico del tiempo, por ejemplo, es posible preverlo con cierta confiabilidad, no así un tsunami, porque las causas pueden ser varias y difíciles de identificar. En este caso, lo que sí permite es ver las posibles consecuencias: “nos podemos poner en escenarios hipotéticos y ver cuáles serían las zonas inundadas, se estudia un rango de posibles escenarios y consecuencias. Sobre esta base se puede planificar dónde se van a hacer construcciones o qué zonas están sujetas a evacuación, se pueden tomar medidas de precaución”, afirma. Finalmente, añade que para superar los problemas climáticos, lo que se requiere es voluntad por parte de gobiernos y Estados, puesto que el conocimiento interdisciplinario está. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://noticias.universia.cl/vida-universitaria/ noticia/2007/11/21/316084/exponen-matematica-aplicada-medio-ambiente-universidad-santiago.html

1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, aplica uno de los métodos para resolverlo, grafica el sistema e identifica qué tipo de sistema es según su solución. 4x - 5y = 2 5x + 3y = 21 2. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 14 cm. 3. Entre Rosa y Beatriz tienen 124 discos compactos. Si Rosa le diera a Beatriz 3 discos, entonces Rosa tendría el triple de discos que Beatriz. ¿Cuántos discos tiene cada una?

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Inecuaciones los reales Inecuaciones en losen números números reales

Semana 9

En las dos semanas anteriores aprendimos mucho sobre las ecuaciones, sus elementos y los sistemas que forman dichas estructuras algebraicas. Esta semana podrás determinar nuevas relaciones diferentes a la igualdad, en este caso cuando utilizamos desigualdades: menor que (<), mayor que (>), menor o igual a (≤) y mayor o igual a (≥). Estamos así entrando en el estudio de las inecuaciones.

Un pequeño ejemplo servirá como introducción: cuando dos amigos (llamémoslo A y B), apuestan en función de quién tiene más dinero en el bolsillo, solamente existen tres relaciones posibles: 1. Que el sujeto A tenga la misma cantidad de dinero que el sujeto B, es decir A = B. 2. Que el sujeto A tenga más dinero que B. 3. Que el sujeto A tenga menos dinero que B. De estas tres relaciones, aprenderás esta semana, cómo se escriben, cómo se representan sus soluciones, cuál es su utilidad y cómo resolver problemas.

Para hablar de inecuaciones es necesario determinar la simbología que se emplea matemáticamente para representarlas y diferenciarlas de las ecuaciones. Simbología de relación utilizada en inecuaciones > Mayor que < Menor que ≥ Mayor o Igual que ≤ Menor o Igual que 189

Semana 9

Inecuaciones en los números reales

Revisemos ahora la definición de desigualdad. Diremos que una desigualdad es una estructura matemática en la que, a diferencia de la ecuación, los signos empleados para separar los miembros son: < y >, < y >. Ejemplo: 3 > 1. Por otro lado, una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo: x + 8 < 16. La estructura de las inecuaciones es la siguiente: consta de dos miembros, un signo de desigualdad y de una o más variables. I Miembro

II Miembro

3x + 2 ≤ 7 >, <, ≤ y ≥ A diferencia de las ecuaciones, cuyas incógnitas tienen un único resultado, las inecuaciones presentan un intervalo de solución.

Luego de saber la definición de inecuación y su estructura, es necesario establecer sus propiedades: • Una inecuación no cambia el sentido de su signo cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro. Ejemplos: 5x > 3

-2 + 2x > -6

5x + 2 > 3 + 2

-2 + 2x -3 > -6 -3

5x + 2 > 5

-5 + 2x > -9

• Una inecuación no cambia el sentido de su signo cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. Ejemplos:

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6x > 4

4x > -20

6x • 3 > 4 • 3

4x ÷ 2 >(-20) ÷ 2

18x > 12

2x > -10

Semana 9

Inecuaciones en los números reales

• Una inecuación cambia el sentido de su signo cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo. Ejemplos: 3x > -1

6x < 48

3x (-4) < (-1)(-4)

6x ÷ (-3) > 48 ÷ (-3)

-12x < 4

-2x > -16

Entendemos por cambio de sentido del signo cuando de mayor que (o mayor o igual que) se pasa a menor que (o menor o igual que), o viceversa.

En las inecuaciones, luego que se determinan los resultados, se procede a definir el intervalo donde dicha expresión tiene validez, como se muestra en los siguientes ejemplos: Representación de las inecuaciones x > 2 Sol. (2, +∞)

Para estos dos signos

x < 6 Sol. (-∞, 6)

se emplean paréntesis

x ≥ -2 Sol. [-2, +∞)

Para estos dos signos

x ≤ 7 Sol. (-∞, 7]

se emplean corchetes

En los intervalos, siempre se comienza a escribir por el número menor, y luego se coloca el mayor, pero siempre siguiendo un orden de lectura que va de izquierda a derecha.

Saber más Para ahondar en este tema, te recomendamos consultar las siguientes direcciones web: http://cremc.ponce.inter.edu/topicos/desigualdades.htm http://www.galeon.com/student_star/desigual.html http://www.fundacionempresaspolar.org/matematica2/fasciculo13.pdf http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t3-inecuaciones/inecuaciones-julioetall/node5.html

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Semana 9

Inecuaciones en los números reales

Analicemos la siguiente situación para ver la aplicación y uso de las inecuaciones en distintos campos: un grupo de economistas hizo un estudio en una empresa que vende pollos y descubrió que la cantidad de estos animales que se venden t meses después del mes de enero está dada por la relación Q = 410 + 295t. ¿En qué mes aumentará la venta de pollos a más de 1000 unidades? Solución: Según la condición del problema, se tiene que Q > 1000. Luego, 410 + 295t > 1000. Al restar 410 en ambos miembros se obtiene 295t > 590, y al dividirlos entre 295 se observa que t > 2. O sea, 3 meses después de enero aumentará la venta de pollos en esa cantidad. Resolvamos ahora un ejercicio para consolidar nuestras destrezas en el manejo de expresiones matemáticas: 2x - 6 > 2. Para resolver esta inecuación es necesario ir eliminando los términos que acompañan a la variable x. Se comienza con el 6 que está restando al término 2x. Para ello se suma a ambos miembros 6, generando el siguiente resultado: 2x - 6 + 6 > 2 + 6 resultando 2x > 8. Ahora bien, el número 2 está multiplicando a la variable x; por tal motivo, si se quiere eliminar, es necesario dividir ambos miembros por 2: 2x ÷ 2 > 8 ÷ 2. x > 4 Solución: (4, + ∞)

Las matemáticas, útiles para el medio ambiente El medio ambiente se puede beneficiar de las matemáticas de muchas formas: contribuyen a comprender los fenómenos, a cuantificar los resultados, a conocer las causas y los efectos y a tomar decisiones. Estas son palabras de Juan Grau, investigador del grupo GASC de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), cuyo trabajo matemático posibilita en la actualidad el descubrimiento de propiedades del suelo, las plantas, los mares y el universo, o el desarrollo de un sistema para gestionar de forma objetiva y óptima los recursos hídricos nacionales y supranacionales. Las matemáticas no se quedan en lo abstracto, como demuestra Grau con casos de aplicaciones a cuestiones medioambientales en todo el mundo: la ley de bosques en Argentina, las técnicas de remediación de la contaminación en Doñana, y en mar con los vertidos; la elección de alternativas en el trazado de los trenes de alta velocidad, las técnicas de prevención de la contaminación en Guanajuato (México), los planes de adaptación al cambio climático en áreas sensibles de Iberoamérica, y un largo etcétera. Las investigaciones y aplicaciones prácticas son cada vez más diversas, y no sólo en un plano internacional. España cuenta con un gran surtido de investigadores de primera línea que trabajan en todo tipo de proyectos. 192

Inecuaciones en los números reales

Semana 9

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.consumer.es/web/es/medio_ambiente/energia_y_ciencia/2010/06/10/193639.php

1. Resuelve, aplicando la teoría estudiada durante esta semana: a) - 4 x - 7 ≥ 5 b) - 4 + 2x < - 8 c) 3 x - 7 ≥ 5 d) 8 - 5x < 16 + 2x e) 5 (x - 3) + 8x ≥ 6x + 5 + x 2. Resuelve los siguientes problemas: a) En un depósito cada tanque de leche tiene capacidad de 200 litros. Calcula cuál es la cantidad máxima de tanques que puede cargar un camión cuya capacidad es de 50000 litros de leche. b) La cantidad de objetos que una empresa vende cada t años está dada por la relación C = 5t + 22. ¿Al cabo de cuánto tiempo se han vendido al menos 50 objetos? 3. Realiza un cuadro comparativo entre la definición y características de ecuación e inecuación. 4. Luis no puede lanzar una pelota de baloncesto más allá de los 30m. ¿Cómo puede expresarse matemáticamente este hecho?

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Semana 10

Cinemática de los cuerpos

Durante este semestre hemos ido vinculando la Matemática con la Física, entendiendo que muchos fenómenos físicos son modelados o encuentran explicaciones con la incorporación de conceptos y procedimientos matemáticos. El trabajo de esta semana propone mostrar cómo la cinemática se encuentra estructurada por definiciones o conceptos fundamentales, siendo algunos de ellos: el movimiento, posición de un cuerpo, desplazamiento, trayectorias y velocidad, e igualmente se mostrarán los tipos de movimiento en función a la velocidad, como es el caso del movimiento rectilíneo uniforme.

Para el estudio de la cinemática, es necesario recordar definiciones fundamentales, como, por ejemplo, ¿qué es la Física? La Física es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones. Ella posee uniones considerables con las otras Ciencias Naturales, con las Ciencias de Ingeniería y con la Matemática; de acuerdo a los fenómenos que observamos e incluso los no observables, podemos clasificar la física en varias ramas. Esta semana centraremos nuestro estudio en una parte de la mecánica clásica: la cinemática. Esta palabra proviene del griego κινεω kineo, que significa movimiento y se define como la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

Observemos y analicemos la siguiente situación: un automóvil inicia un viaje de 495 km a las 8:30 de la mañana con una velocidad media de 90 km/h. ¿A qué hora llegará a su destino? En este problema hay varias magnitudes; identifiquémoslas: Hay una distancia: 495 km Hay una velocidad: 90 km/h 194

Hay un tiempo: ? (este lo tenemos que calcular).

Semana 10

Cinemática de los cuerpos

El coche tendrá que desplazarse una distancia de 495 km. Para hacerlo tendrá que seguir una ruta o trayectoria; el tiempo que este coche tarde en hacer el recorrido dependerá de su velocidad; como vemos, hay muchos conceptos que es mejor definir. Estos conceptos son básicos para el estudio de la cinemática: • La posición de una partícula o cuerpo se refiere a la localización en el espaciotiempo de ésta. • El movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición en el espacio que experimentan los cuerpos de un sistema con respecto a ellos mismos o a otro cuerpo que se toma como referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. • El desplazamiento, en mecánica, se refiere al vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen o con respecto a una posición previa. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición actual. • La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se representa como v. Sus dimensiones son [Longitud] / [Tiempo]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s (metros sobre segundos).

La velocidad determina varios tipos de movimiento. Comenzaremos por definir y dar las características del movimiento rectilíneo uniforme, que es aquel cuya velocidad es constante durante toda su trayectoria o para cualquier instante de tiempo. Sus características son las siguientes: • Su trayectoria es una línea recta. • Su velocidad es constante durante todo el movimiento. • Su aceleración es igual a cero. • Y sus ecuaciones matemáticas.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.) Vo = V X = Xo + Vt a=0

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Semana 10

Cinemática de los cuerpos

Saber más Profundiza en el tema estudiado, visitando las siguientes direcciones web: es.wikipedia.org/wiki/Cinemática es.wikipedia.org/wiki/Desplazamiento_(vector) www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_cinematica.php

Veamos cómo se soluciona el problema que dio inicio a la sección anterior. En primer lugar, extraemos los datos que nos ofrece el problema: Un coche inicia un viaje de 495 km a las 8:30 de la mañana con una velocidad media de 90 km/h ¿A qué hora llegará a su destino? Datos: Distancia X = 495 km Velocidad V = 90 km/h Tiempo T = ?

Si observamos, las unidades de la velocidad son distancia/ tiempo (km/h), o sea que la podemos escribir de la siguiente forma: v = x/t y si despejamos el tiempo que es lo que nos piden hallar, nos quedaría así: t = x/v Luego sustituimos esos datos en la expresión para el tiempo y obtenemos: t = 495 km / 90 km/h Luego t = 5.5 horas Es decir, llegará a las 2 pm, ya que salió a las 8:30 am.

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Te invitamos a resolver el siguiente problema, siguiendo el modelo del anterior u otro que hayas manejado antes: un deportista sale de su casa en bicicleta a las 6 de la mañana. Al llegar a cierto lugar, se le estropea la bicicleta y ha de volver caminando. Calcula a qué distancia ocurrió el percance sabiendo que las velocidades de desplazamiento han sido de 30 km/h en bicicleta y 6 km/h caminando y que llegó a su casa a la 1 del mediodía.

Cinemática de los cuerpos

Semana 10

La Física no solo es una ciencia natural, sino que es el estudio de la materia y su movimiento a través del espacio-tiempo y todo lo que se deriva de estos, tales como la energía y vigor. En términos más amplios, es el análisis general de la naturaleza, llevada a cabo con el fin de entender cómo el mundo y el universo se comportan. La Física se conforma como una de las más añejas disciplinas de estudio, o tal vez una de las más añejas, si tomamos en cuenta que en ella se alberga la astronomía (observación del cielo en sus inicios). En los últimos 2000 años, la Física ha sido tomada en cuenta como sinónimo de la Filosofía, Química, Matemática y Biología, pero ha sido durante el siglo XVI, mientras sucedía la revolución en la ciencia, que la Física surgió para convertirse en una de las ciencias modernas, con características únicas y derechos adquiridos. Sin embargo y como toda ciencia que estudia los fenómenos que suceden en el mundo y fuera de él, su vinculación con otras ciencias es ineludible, por lo que sus límites en ciertas áreas esta algo difuso. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://fisica.laguia2000. com/uncategorized/ramas-de-la-fisica

Analiza los siguientes planteamientos, responde basándote en los conocimientos adquiridos y discute tus respuestas con tus compañeros y con el facilitador en el CCA. 1. En general, ¿qué es de mayor medida: la distancia recorrida por un móvil o el desplazamiento realizado? Plantea alguna situación que respalde tu razonamiento. 2. Cuando dos automóviles van en una carretera y la distancia de separación entre ellos se mantiene constante, ¿cuál automóvil va más rápido: el que va adelante o el que va atrás, o van a la misma velocidad? 3. ¿Por qué el “velocímetro” de un vehículo no debería llamarse así?, ¿cómo debería llamarse? 4. En las indicaciones que tiene un bus hay un aviso que dice “Este bus no supera la velocidad de 90 km/h”. Estrictamente hablando ¿qué debería decir? Resuelve los siguientes problemas, lleva por escrito los procedimientos empleados y las soluciones para compartirlos con tus compañeros y facilitador en el CCA. 1. Una rueda se desliza por un camino horizontal. Si se mueve a razón de 8 m/s, ¿cuánto tardará en recorrer 100 m?

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Semana 10

Cinemática de los cuerpos

2. Oscar desea saber la rapidez de un automóvil y se pone 700 m delante de donde parte. Cuando pasa junto a él activa un cronómetro y lo detiene cuando el auto está a 1500 m de su punto de partida. Si el cronómetro marcó 40 s., ¿cuál era la rapidez del automóvil? 3. Un atleta recorre 100 m en 10 s. ¿Con qué rapidez se desplaza?, ¿qué distancia recorrería en una hora? (si pudiera mantener esa rapidez). 4. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. ¿Cuánto tarda un espectador de un partido de fútbol en escuchar el ruido de un “chute” que se lanza a 127,5 m de distancia de él?

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Semana 11

Movimiento uniforme variado

Semana 11

Movimiento uniforme variado

¡Bienvenidos nuevamente! Esperamos que el tema de la semana anterior haya logrado darte insumos para comprender una de las situaciones más cotidianas que ocurren en nuestras vidas, como es el movimiento. Esta semana te animamos a que profundices este estudio, situando ahora el punto de vista en dos nuevos conceptos: la aceleración y la gravedad, los cuales nos darán entrada a dos tipos de movimientos, también presentes en nuestro día a día.

Un vehículo se mueve, porque tiene un motor que trabaja con combustible que le genera la fuerza para permitir el movimiento. Los cuerpos que se mueven reciben el nombre de móviles; por ejemplo, la persona que camina, un ave que vuela, un carro que anda, una pelota que salta. Pero si un cuerpo está quieto, no se mueve, se denomina estático, o está en estado de reposo. Un movimiento puede ser constante o variado. Esta semana estudiaremos los movimientos variados, específicamente los horizontales y la caída libre.

Supongamos que una moto se mueve con velocidad constante de 10 m/s. t=0 s

v=10 m/s

10 m/s

05 s

10 m/s

Si representamos los datos en una gráfica (velocidad-tiempo), obtenemos una recta horizontal cuya pendiente es cero.

Velocidad (m/s)

Gráfico 21 +10 0 -10

4 5 Tiempo (s) 199

Semana 11

Movimiento uniforme variado

Supongamos ahora que la moto se mueve aumentando su velocidad y que hemos tomado los datos de su velocidad en distintos tiempos: t (s)=

v (m/s )=

Representando estos valores gráficamente obtenemos una recta ascendente, es decir, de pendiente ascendente y positiva. Gráfico 22

Velocidad (m/s)

50 40 30 20 10 0 0

4 5 Tiempo (s)

Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad de un móvil no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, a = cte. sino que depende de una tercera vat=2s t=2s t=2s riable, la aceleración. Siempre que la velocidad de un cuerpo varía al transv = 55 m/s currir el tiempo, ya sea porque cam- v = 10 m/s v = 25 m/s v = 40 m/s bia su magnitud, su dirección o su v = 15 m/s v = 15 m/s v = 15 m/s sentido, se puede afirmar que existe aceleración. Sus unidades son m/s2 o km/h2 Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando En esta clase de movimiento, el móvil efectúa vacumple las siguientes condiciones: riaciones de velocidad iguales en tiempos iguales. a) La trayectoria que recorre es una línea recta. b) La velocidad cambia, permaneciendo constante el valor de la aceleración. a = (+)

Observaciones:

v = 20 m/s

1. Si la velocidad del móvil aumenta (movimiento acelerado): - La velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido. 200

- El signo de la aceleración es positivo.

v = 50 m/s

Semana 11

Movimiento uniforme variado 2. Si la velocidad del móvil disminuye (movimiento retardado): a = (-) - La velocidad y la aceleración tienen sentidos contrarios.

v = 20 m/s

v = 50 m/s

- El signo de la aceleración es negativo.

Ecuaciones para el movimiento variado Nº

Fórmula

Observ.

En estas fórmulas:

1º

V f = Vo + a . t

No hay d

Vo: Velocidad inicial (m/s)

2º

1 d = Vo . t + a . t2 2

No hay Vf

3º

d = Vf . t -

1 a . t2 2

No hay Vo

Vf: Velocidad final (m/s)

4º

Vf2 = Vo2 + 2a . t

a: Aceleración (m/s2) t: Intervalo de tiempo (s) d: Distancia (m), también suele notarse con la variable x.

No hay t

Hay varios tipos de aceleración. Estudiaremos la que se Vo + Vf 5º d=( ).t No hay a conoce como aceleración de 2 gravedad. El fenómeno de la caída de un cuerpo se produce debido a la fuerza de gravedad, que es la fuerza con la cual el planeta tierra atrae a los cuerpos cercanos a su superficie. Al ser la gravedad un tipo de aceleración, sus unidades se expresan en metros sobre segundos al cuadrado (m/s2) y su valor aproximado es de 9,81m/s2. La presencia de gravedad da origen al movimiento denominado caída libre de los cuerpos. • Caída libre y velocidad: un objeto al dejarse caer comienza su caída muy lentamente, pero aumenta su velocidad constantemente, acelera con el tiempo. Su velocidad aumenta a una razón constante. Al comienzo -- 0 (cero) Después de 1 segundo -- g (m/s) Después de 2 segundos -- 2.g (m/s) Después de 3 segundos -- 3.g (m/s) Después de t segundos -- t.g = g.t (m/s) Generalizando, obtenemos: v = g.t

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Semana 11

Movimiento uniforme variado

Otros análisis con la distancia recorrida en la caída o altura, nos llevarán a obtener esta expresión para la distancia: y=

g . t2 2

El estudio detallado del fenómeno de la caída libre permite establecer algunas conclusiones importantes: • Todo cuerpo que cae libremente tiene una trayectoria vertical. • La caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado. • Todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Ecuaciones para la caída libre g . t2 V = Vo + g . t

Y = Vo . t +

V 2= Vo2 + 2g . Y

1 (Vo + V) . t 2

Los símbolos en la ecuación tienen un significado específico:

Es el desplazamiento del objeto.

Es el tiempo durante el cual el objeto se movió.

La aceleración del objeto. Aceleración de la gravedad.

Velocidad inicial del objeto.

Velocidad final del objeto.

Saber más Para profundizar más sobre caída libre y el movimiento variado puedes visitar las siguientes direcciones web: http://www.educaplus.org/movi/4_2caidalibre.html http://www.resueltoscbc.com.ar/teoricos/biofisica/pdf/T1-3.pdf http://raulcaroy.iespana.es/FISICA/14%20cinematica%20caida%20libre.pdf 202

http://www.mailxmail.com/curso-iniciacion-fisica/movimiento-variado

Semana 11

Movimiento uniforme variado

Observa cómo se resuelve el siguiente problema aplicando los conocimientos vistos anteriormente: 1. Un automóvil se desplaza inicialmente a 50 km/h y acelera a razón de 4 m/s2 durante 3 segundos ¿Cuál es su velocidad final? Datos Vo = 50 km/h a = 4 m/s2 t=3s

Fórmula Vf = Vo + at

Conversión de km/h a m/s. Vf = 50 km/h x 1000 m/1 km x 1h/ 3600s = 13.88 m/s. Sustitución y resultado: Vf = 13.88 m/seg + 4 m/s2 x 3 seg Vf = 25.88 m/s 2. Se deja caer un objeto desde la parte superior de una ventana que está a una altura de 8,52 m. Determina el tiempo requerido para que el objeto toque el piso. Solución: Primer paso: Construir un diagrama informativo de la situación física. Segundo paso: Identificar la información conocida en forma de variable. En el ejemplo solamente hay un dato explícito: 8,52 m; el resto de información debe ser extraída de acuerdo al entendimiento de los principios de la caída libre. La distancia o altura (y) es -8,52 m. El signo negativo (-) indica que el desplazamiento del objeto es hacia abajo. La velocidad inicial (Vo) puede deducirse como 0 m/s. La aceleración de la gravedad (g) se puede tomar como -9,8 m/s2. Tercer paso: Identificar la variable desconocida. Gráfico 23

Vi = 0 m/s

8.52 m

a = -9.8 m/s/s

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Semana 11

Movimiento uniforme variado

Datos Vo = 0 m/seg y = -8,52 m a = g = -9,8 m/seg 2 t=? Cuarto paso: Determinar la ecuación que nos permite encontrar la cantidad o magnitud desconocida. g . t2 Y = Vo . t + 2 Quinto paso: Sustituir los valores conocidos. Se resuelve la ecuación utilizando propiedades algebraicas para encontrar el resultado final. -8,52 m = (0 m/s) . (t) + 0.5 . (-9,8 m/seg2) . (t)2 -8,52 m = (0 m) . (t) + (-4,9 m/seg2) . (t)2 -8,52 m = (-4,9 m/seg2) . (t)2 (-8.52 m)/(-4,9 m/seg2) = t2 1,739 seg2 = t2 t = 1,32 seg = 1,3 seg

El movimiento de los cuerpos es diverso 1. Los movimientos de acuerdo a la trayectoria, pueden ser: Movimiento rectilíneo: cuando la trayectoria del móvil es recta, se mueve en línea recta. Por ejemplo, un avión recorriendo la pista al aterrizar.

Movimiento curvilíneo: si el móvil describe una curva al moverse. Por ejemplo, cuando un carro da una curva, o un niño gira alrededor de un parque en su bicicleta.

Movimiento pendular: cuando el móvil sostenido por una cuerda oscila, es decir, va y viene. Por ejemplo, el péndulo de un reloj, un columpio. 204

Movimiento uniforme variado

Semana 11

Movimiento ondulatorio: el movimiento se propaga en ondas. Por ejemplo, cuando cae una piedra en un tanque de agua, se generan ondas.

2. De acuerdo a la velocidad o rapidez, los movimientos pueden ser: Movimiento uniforme: es el movimiento en el cual el móvil experimenta desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales, recorriendo la misma distancia durante el mismo tiempo. Movimiento uniformemente variado: la velocidad del móvil varía durante el trayecto. Puede ser: • Acelerado: si la velocidad aumenta a cada instante. Por ejemplo, cuando un carro arranca y aumenta su velocidad. • Retardado: si la velocidad disminuye a cada instante. Por ejemplo, cuando un carro va frenando hasta que se detiene. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.rena.edu.ve/SegundaEtapa/tecnologia/elmovimiento.html

Resuelve los siguientes problemas de caída libre y movimiento uniformemente variado: 1. Un cuerpo que se deja caer libremente desde cierta altura y tarda 10 segundos en llegar al suelo. ¿Desde qué altura se dejó caer?, ¿cuál es su velocidad cuando llega al suelo? 2. Se deja caer una pelota desde una altura de 20m. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?, ¿con qué velocidad llega? 3. La velocidad de un camión se incrementa uniformemente de 15 km/h hasta 60 km/h en 20 segundos. Determina la aceleración y el espacio recorrido en esos 20 segundos.

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Semana 12

Movimientos en el plano

Bienvenidos a nuestra décima segunda semana de aprendizaje. Antes de entrar en materia, es bueno recordar que hemos estudiado dos tipos de movimiento que son muy comunes en nuestro día a día: el movimiento horizontal y la caída libre de los cuerpos; pero, en nuestra realidad, el movimiento muchas veces está condicionado por factores externos. Por ejemplo, un nadador que intente cruzar un río, estará bajo la influencia de la corriente; de igual manera, la trayectoria de un avión se verá afectada por la resistencia del aire y los fuertes vientos. Es por ello que requerimos ampliar nuestro campo de estudio, para una mejor comprensión del movimiento en el plano.

Nadadores, botes, barcas, lanchas, canoas que atraviesan un río, o aviones que deben enfrentar vientos laterales, transversales o frontales, son algunos casos prácticos de aplicación para comprender la importancia del movimiento en el plano y señalar la relación entre la velocidad de un objeto determinado por un observador fijo y la velocidad del mismo objeto, pero indicada por otro observador que se mueve respecto al primero. Te invitamos a indagar en textos o internet sobre las características de estos movimientos, sus causas y condicionantes. Este será un buen insumo para estudiar con más criterio esta semana.

Por lo general el estudio del movimiento de los cuerpos en el espacio suele hacerse más fácilmente en el plano, como es el caso de los lanzamientos de proyectiles, movimientos de satélites y de partículas en campos eléctricos o magnéticos. Los proyectiles y cuerpos que son lanzados describen una trayectoria semiparabólica o parabólica, por lo que podemos decir que su movimiento es parabólico. Mientras que los satélites y partículas en campos describen movimientos circulares.

206

Semana 12

Movimientos en el plano

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de un punto fijo (foco), y una línea fija (directriz).

Lanzamiento horizontal Supongamos que dejamos rodar una pelota sobre una mesa; al llegar al borde y caer, observamos que esta describe un movimiento semiparabólico (ver figura 4). Figura 4

Si no existiera la fuerza de gravedad, la pelota se desplazaría de forma horizontal con un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) (ver figura 5). Figura 5

M.R.U.

Si no tuviese velocidad inicial, al momento de llegar al borde, la pelota caería por efecto de la gravedad con un movimiento uniformemente acelerado (M.R.U.A.) (ver figura 6). Figura 6 M.R.A.

207

Semana 12

Movimientos en el plano

Lo que realmente ocurre es que el cuerpo se desplaza por efecto de dos movimientos que actúan simultáneamente sobre él. El primero, lo desplaza horizontalmente (M.R.U.), y el segundo, lo desplaza verticalmente (M.R.U.A.) (ver figura 7). Figura 7 M.R.U.

M.R.A. La velocidad está dada por la suma de los vectores; uno horizontal que permanece constante y uno vertical que aumenta a medida que pasa el tiempo, es decir:

Entonces: v =

v2x + v2y

Lanzamiento inclinado El lanzamiento inclinado describe por ejemplo, los lanzamientos de proyectiles. Qué crees que ocurrirá si, en vez de lanzar un objeto desde cierta altura, lo lanzamos desde el suelo, con cierto ángulo de inclinación. Observa la figura 8. El móvil sale con una velocidad inicial, la cual va cambiando constantemente de módulo, dirección y sentido, hasta que llega nuevamente al suelo. Se observa también que este movimiento es parabólico.

Figura 8 Vy= 0 Vx0

0 V0 Vy0

Vx0

0 V

Vx0

Vx0 Vy0

Por otra parte el objeto sube hasta una altura máxima y luego desciende. Cuando sube, este describe un movimiento uniformemente retardado y mientras baja es uniformemente acelerado. En este caso, la velocidad en cualquier instante estará dada por: 208

v2x + v2y

Semana 12

Movimientos en el plano

Movimiento circular Hasta ahora hemos estudiado movimientos lineales y parabólicos, pero ¿qué ocurrirá con el movimiento de las ruedas de las bicicletas y automóviles? Estos movimientos describen trayectorias circulares (ver figura 9). Figura 9

Se define como movimiento circular aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj, las ruedas de una motocicleta, etc. A veces el movimiento circular no es completo; por ejemplo, cuando un vehículo toma una curva, realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360º de la circunferencia. La experiencia nos dice que todo aquello que da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (M.C.U.). La Tierra es un caso, pues da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. También gira alrededor del Sol y da una vuelta cada 365 días. Pero no debemos olvidar que existen objetos que giran con movimiento circular variado, ya sea acelerado o desacelerado. El estudio de estos requiere de la revisión de algunos aspectos de la geometría y la definición de nuevos conceptos, ya que no nos alcanza con los estudiados en la cinemática del movimiento rectilíneo. No obstante, la profundización de estos aspectos será objeto de estudio de la semana siguiente.

Saber más Para profundizar más sobre este tema, visita las siguientes direcciones web: http://www.monografias.com/trabajos16/fisica-movimiento/fisica-movimiento.shtml http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContFisica/Resumen_Ec_ Fisica.htm

209

Semana 12

Movimientos en el plano

Observa las siguientes figuras (10, 11, 12 y 13), describe la trayectoria de su movimiento y marca con una equis (x) en la opci贸n que corresponda. Movimiento parab贸lico Figura 10

Figura 11

Figura 12 g

500km

Figura 13 Fv

210

Movimiento semiparab贸lico

Movimiento circular

Movimientos en el plano

Semana 12

Diversos movimientos del planeta Tierra La Tierra está en continuo movimiento y esto, en mayor o menor medida, tiene alguna incidencia en nuestra vida. Se desplaza, con el resto de planetas y cuerpos del Sistema Solar, girando alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. El movimiento que efectúa describiendo su órbita alrededor del Sol determina el año y el cambio de estaciones. La rotación de la Tierra alrededor de su propio eje provoca el día y la noche, que determina nuestros horarios y biorritmos y que, en definitiva, forma parte inexcusable de nuestras vidas. Movimiento de traslación: el año Por el movimiento de traslación, la Tierra se mueve alrededor del Sol, impulsada por la gravitación, en 365 días, 5 horas y 57 minutos, lo que equivale a 365,2422 días, que es la duración del año. Nuestro planeta describe una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una distancia media del Sol de 150 millones de kilómetros. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. La distancia media Sol-Tierra es 1 U.A. (Unidad Astronómica), que equivale a 149.675.000 km. Como resultado de ese larguísimo camino, la Tierra viaja a una velocidad de 29,5 kilómetros por segundo, recorriendo en una hora 106.000 kilómetros, o 2.544.000 kilómetros al día. Movimiento de rotación: el día Cada 24 horas (cada 23h 56 minutos), la Tierra da una vuelta completa alrededor de un eje ideal que pasa por los polos. Gira en dirección oeste-este, en sentido directo (contrario al de las agujas del reloj), produciendo la impresión de que es el cielo el que gira alrededor de nuestro planeta. A este movimiento, denominado rotación, se debe la sucesión de días y noches, siendo de día el tiempo en que nuestro horizonte aparece iluminado por el Sol, y de noche cuando el horizonte permanece oculto a los rayos solares. La mitad del globo terrestre quedará iluminada, en dicha mitad es de día, mientras que en el lado oscuro es de noche. En su movimiento de rotación, los distintos continentes pasan del día a la noche y de la noche al día. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://www.astromia.com/tierraluna/movtierra. htm

211

Semana 12

Movimientos en el plano

1. Completa la tabla 5, con tu propia descripción de las características de los movimientos propuestos. Tabla 5 Movimiento

Características principales

Semiparabólico

Parabólico

Circular

2. Da 5 ejemplos de situaciones en la vida cotidiana donde hayas observado movimientos parabólicos, semiparabólicos y circulares.

212

Lanzamiento de proyectiles Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

Semana 13

y movimiento circular

¡Bienvenido a una nueva semana! Hemos profundizado un poco en el tema del movimiento desde el punto de vista de la cinemática; ahora te invitamos a seguir este interesante camino, estudiando el lanzamiento de proyectiles y el movimiento circular, ambos de suma importancia y los más comunes en nuestro ámbito.

1. A partir del movimiento de la bala de cañón (ver figura 14): a) Describe su trayectoria b) ¿Qué pasaría si la velocidad inicial es cero? c) ¿Qué pasa si g (gravedad) es igual a cero? Figura 14 si g fuera cero

si la velocidad fuera cero

2. Describe la trayectoria de la pelota sujetada a la cuerda (ver figura 15). a) ¿Crees que su velocidad cambiará en algún momento? b) Nombra 3 situaciones de la vida cotidiana donde se observe este tipo de movimiento c) La Tierra, al moverse alrededor del Sol, ¿experimenta algún tipo de aceleración? Figura 15 Fv

213

Semana 13

Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

Si observamos la trayectoria de un proyectil, nos damos cuenta que es un movimiento en dos dimensiones (movimiento parabólico) (figura 16). Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal con velocidad constante (M.R.U.) y otro vertical con aceleración constante (M.R.U.A.). Figura 16

El lanzamiento de proyectiles puede ser horizontal o inclinado. Empecemos por un caso simple: una bomba que se deja caer desde un avión. En la figura 16 podemos contemplar la trayectoria de una bomba, soltada desde un avión que vuela a 1000 m de altura, con una velocidad de 600 km/h. Figura 17 altura 1000 800 600 400 200 distancia 500

1000

1500

2000

Los movimientos horizontal y vertical del proyectil se pueden estudiar separadamente; así es más sencillo.

214

Semana 13

Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

Parte horizontal del movimiento Supongamos que una vez soltado, el proyectil tiende a seguir llevando la misma velocidad (v) que llevaba el avión y en la misma dirección: x = v.t

Movimiento vertical g . t2

El movimiento vertical se convierte en una simple caída libre de un objeto: y = 2 y su velocidad en cualquier instante será: v = g.t

Ejemplo: Vamos a empezar por calcular la distancia a la que impacta el proyectil. Esto ocurre cuando el proyectil haya caído los 1000 metros desde los que fue lanzado, es decir: 1000 =

1 2

· 10 · t2

1000 = 5 · t2

t2 = 200

200

t = 14s

Si sustituimos en la expresión de distancia horizontal: x = 167 · 14 = 2338m. Donde 167 m/s es la velocidad del avión (600 km/h), obtenemos la distancia buscada. Nos preguntamos ahora con qué velocidad impacta el proyectil en el suelo. Aquí se nos presenta el problema de que tenemos una rapidez horizontal que sigue siendo de 167 m/s y una rapidez vertical que se calcula como: v = g · t = 10 · 14 = 140 m/s La velocidad resultante será: 1672 + 1402 = 218 m/s

velocidad =

Veamos ahora el caso del movimiento circular. Este está presente en la vida cotidiana en múltiples elementos que giran: motores, manecillas del reloj, engranajes, looping de las montañas rusas, ruedas, etc. Las características principales del movimiento circular son: • Período: es el tiempo que tarda un cuerpo con movimiento circular en dar una vuelta. El período se representa por medio de la letra T mayúscula. T=

1 vuelta tiempo

• Frecuencia: corresponde al número de vueltas por unidad de tiempo o número de revoluciones por unidad de tiempo. La frecuencia se representa por medio de la letra f minúscula, y se da en unidades de vueltas sobre unidad de tiempo (vueltas/minuto, vueltas/segundos), revoluciones por minuto o segundo.

número de vuelta tiempo

215

Semana 13

Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

Relación entre f y T De la definición de frecuencia aplicada al período se tiene: f=

número de vuelta tiempo

1 T

Es decir, la frecuencia y el periodo son inversamente proporcionales. • Velocidad tangencial: la velocidad correspondiente al arco recorrido (s) en unidad de tiempo, se le llama tangencial, porque siempre forma un ángulo recto (90°) con el radio y siempre será tangente a la trayectoria. v=

arco tiempo

• Velocidad angular: para definir la velocidad angular se realiza una analogía con la velocidad del movimiento rectilíneo, la que se define como desplazamiento sobre tiempo. En el caso del movimiento circular, el desplazamiento es el ángulo barrido en el giro y el tiempo se conserva. De acuerdo con esto, la velocidad angular queda definida como el ángulo de giro sobre el tiempo en que se demoró tal giro.

ω=

En radianes:

ω=

2π T

• Posición angular: cuando una partícula describe un movimiento circular, obviamente cambia de posición, pues recorre un arco correspondiente a un ángulo barrido q, como se observa en el gráfico 24; relacionándolo con el radio se obtiene: Gráfico 24

θ θ= R

216

arco radio

θ t

Semana 13

Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

• Aceleración centrípeta: la magnitud de la velocidad no cambia, lo que cambia es el sentido; por tanto, se puede justificar algún tipo de aceleración. Para encontrar una expresión de aceleración, se analiza el gráfico 25. Gráfico 25 Va

B S

r θ

Saber más Para profundizar, te recomendamos visitar las siguientes direcciones web: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/parabolico.htm http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/movimiento7.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm

1. La Luna gira alrededor de la Tierra, efectuando una revolución completa en 28 días. Supóngase que la órbita sea circular y que tiene una distancia a la Tierra de 3,85X108 m. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad tangencial (m/seg)? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración Centrípeta (m/seg2)? Solución a) El tiempo que tarda en dar una revolución completa se llama período y es T= 28 días = 2419200 seg.

2 · 3,14 · 3,85x108

2π . R V=

241,92x104 seg

= 996,82 m/seg 217

Semana 13

Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

b) La aceleración centrípeta es: V2

ae =

(996,82 m/seg)2

= 2,58x10-3 m/seg2

3,85x108 m

2. La República Bolivariana de Venezuela puede considerarse situada en la zona ecuatorial de la Tierra (radio de la Tierra de 6370 km). a) ¿Cuál es la rapidez angular de una persona en Venezuela en relación al movimiento rotatorio de la Tierra? b) ¿Cuál es el módulo de la velocidad tangencial o lineal? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta que experimenta cualquier cuerpo situado en Venezuela?

Solución a) La Tierra da una vuelta completa en un tiempo de 24 horas describiendo, por lo tanto, un ángulo de 2π radianes. ω = 2π = 2· 3,14 Rad = 2,26 rad/h T

24h

2 3 2 b) V = ω·R = 1,66X103 Km/h = 463m/seg c) ae = V = (1,66X10 Km/h) = 432,6 Km/h2 R 3,37x103 Km

Ejemplo: Calcular la velocidad angular de la Tierra sobre su eje, aplicando la expresión anterior: ω = 2π = T

2(3.1416)

= 7,27 x 10-5 rad/s

86400 El período es igual a un día, luego: T = 1 día = 24 horas = 1 440 minutos = 86 400 s

Galileo y los proyectiles El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y experimentaba con tiros parabólicos. Recuerda las destrezas de David frente a Goliat. Pero las bases de este conocimiento se sentaron cuando Galileo explicó las leyes que rigen los movimientos. Este conocimiento fue el que permitió poner una nave, lanzada desde la Tierra (planeta en movimiento), en órbita con Marte, que no ha parado de moverse y que permite predecir donde estará mañana un objeto, sabiendo donde está hoy. 218

Lanzamiento de proyectiles y movimiento circular

Semana 13

Galileo estudió la caída de graves y, basándose en su estudio experimental, pudo contradecir la creencia de los aristotélicos que afirmaban “que un cuerpo de 10 veces más pesado que otro tardaba en caer 10 veces menos”. Utilizó su pulso para medir el tiempo de caída y también relojes de agua (clepsidras) que le proporcionaban poca precisión. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://usuarios.multimania.es/pefeco/movcomb/ Movi_proy_Teor.htm

1. Desde un acantilado de 5 m de alto se lanza horizontalmente una piedra con velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado choca la piedra? 2. Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de alto. Choca contra el piso a 80 m de distancia de la base del barranco. ¿A qué velocidad fue lanzada? 3. Un tigre salta en dirección horizontal desde una roca de 2 m de altura, con una rapidez de 5.5 m/s. ¿A qué distancia de la base de la roca llegará al suelo? 4. Un clavadista corre a 1.8 m/s y se arroja horizontalmente desde la orilla de un barranco y llega al agua 3 s después. a) ¿Qué altura tenía el barranco? b) ¿A qué distancia de su base llega el clavadista al agua? 5. Calcular la rapidez angular, la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta para la traslación de la Tierra en torno al Sol, sabiendo que la traslación de la Tierra en torno al Sol se completa en un año (365 días) y la distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente de 150 x 106 km = 1,5 x 1011 m.

219

Consolidación de Consolidación de los aprendizajes

Semana 14

los aprendizajes

Nos da alegría que estés leyendo estas líneas, pues eso significa que has cumplido con una de tus metas. La constancia enmarca el éxito y con tu constancia cumplirás todos tus objetivos. Te invitamos a no detenerte aquí, ¡sigue adelante! En esta semana te presentaremos un resumen de los ejercicios propuestos durante todo el semestre, con lo cual tendrás la oportunidad de autoevaluarte.

Resuelve la siguiente sopa de letras: A

Científica - Cinemática - Educación - Física - Gráfica - Inecuación - Magnitud - Medida - Movimiento - Notación - Sistema - Unidades - Vector 220

Semana 14

Consolidación de los aprendizajes

Intenta dar respuesta a los siguientes problemas con los conocimientos adquiridos durante el semestre. 1. Un microscopio eléctrico sólo puede medir longitudes cerca de los 100 nm, y se presenta en un porta objetos un cultivo de virus donde su diámetro celular es de 0,00000000098 m ¿podrá el microscopio dar la medida exacta? 2. El diámetro de una estrella es de 198000000000000 m. Si se triplica este diámetro y suponemos que esta nueva estrella es totalmente esférica; ¿cuál sería su volumen, expresado en notación científica? 3. Una persona compra 5 pollos semanales para 8 personas que viven en casa. Si esta semana llegaron sus 3 primos de visita, ¿cuántos pollos se deben comprar para seguir manteniendo la misma cantidad que se consumía habitualmente? 4. En una finca, 50 vacas se comen en 4 días todo el pasto del corral donde se encuentran cercadas. El dueño compra 10 vacas más y las traslada al nuevo corral. Sabiendo que este corral tiene las mismas dimensiones del anterior, ¿en cuánto tiempo se comerán todo el pasto? 5. Un vehículo que circula a velocidad constante recorre 80 km en 5 horas. Si se sabe que ha empleado 8 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B, ¿qué distancia separa las ciudades? 6. Dos grifos vierten agua de forma constante llenando un depósito en 6 horas. Si usamos 12 grifos para llenar ese depósito, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarlo? 7. En una cadena de montaje, 14 obreros trabajando 10 horas diarias han fabricado 1500 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 4200 piezas, trabajando 8 horas? 8. De acuerdo al gráfico 26, calcula: a) La distancia total. b) El desplazamiento total. c) La velocidad en el primer segundo. d) La velocidad en el periodo entre 5 y 15 segundos e) ¿Qué periodo(s) de tiempo tiene(n) velocidad cero? Gráfico 26

Velocidad (m/s)

Gráfico velocidad vs. tiempo 40 30 20 10 00 -10 -20 -30

Tiempo (s)

45 221

Semana 14

Consolidación de los aprendizajes

9. Representa en el plano cartesiano: Los vectores U = (3,1); V = (1,5); W = (4,0). Los vectores de posición de los puntos A(1,3); B(5,3); C(6,2). 10.Dados los vectores U = (4,3); V = (-1,4) y W = (5,0), calcula las siguientes sumas: U+V W+V U+W+V 11.Halla las coordenadas de los vectores AB y CD, determinados por los puntos A(1,-2); B(3,8); C(-3,5) y D(-1,15). ¿Cómo son estos vectores? 12.El vector AB tiene por coordenadas (4,0) y las coordenadas del punto B son (1,2). Halla las coordenadas de A. 13.En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50; si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 14.En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 80 Bs. y otros a 120 Bs., con lo que han obtenido 1920 Bs. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio? 15.Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno? 16.En un depósito cada tanque de leche tiene capacidad de 200 litros. ¿Cuál es la cantidad máxima de tanques que puede cargar un camión cuya capacidad es de 50000 litros? 17.La cantidad de objetos que una empresa vende cada t años está dada por la relación C=5t+22. ¿Al cabo de cuánto tiempo se han vendido al menos 50 objetos? 18.Un cuerpo que se deja caer libremente desde cierta altura y tarda 10 segundos en llegar al suelo. ¿Desde qué altura se dejó caer?, ¿cuál es su velocidad cuando llega al suelo? 19.Se deja caer una pelota desde una altura de 20 m. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?, ¿con qué velocidad llega? 20.La Luna gira alrededor de la Tierra, efectuando una revolución completa en 28 días. Supóngase que la órbita sea circular y que tiene una distancia a la Tierra de 3,85X108 m. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad tangencial (m/seg)? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta (m/seg2)?

222

Semana 14

Consolidación de los aprendizajes 21. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 (x + 1) - 3 (x - 2) < x + 6

(

x +1 2x -3 3 1 >3 x 8 16 4 4

)( )

3 8

(3x - 2)

22. Una manguera lanza agua horizontalmente a una velocidad de 10 m/s desde una ventana situada a 15 m de altura. ¿A qué distancia de la pared de la casa llegará el chorro de agua al suelo?

Saber más Para divertirte y aprender, encontrarás varias aplicaciones interactivas en la siguiente dirección web: http://www.educaplus.org/games. php?cat=29&page=1&mcid=2

1. En grupos de tres, compartan y discutan las respuestas a los problemas y ejercicios, así como las dificultades que tuvieron al tratar de realizarlas. 2. Realiza una autoevaluación de las actividades y entrega un informe al facilitador.

La autoevaluación La autoevaluación se produce cuando un sujeto evalúa sus propias actuaciones. Es un tipo de evaluación que toda persona realiza de forma permanente a lo largo de su vida. Por ejemplo, frecuentemente tomamos decisiones en función de la valoración positiva o negativa de un trabajo realizado, de la manera como establecemos nuestras relaciones, etc. Mediante la autoevaluación los estudiantes pueden reflexionar y tomar conciencia acerca de sus propios aprendizajes y de los factores que en ellos intervienen. En la autoevaluación se contrasta el nivel de aprendizaje con los logros esperados en los diferentes criterios señalados en el currículo, detectando los avances y dificultades y tomando acciones para corregirlos. Esto hace que el alumno aprenda a valorar su desempeño con responsabilidad. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://evaluaciondelosaprendizajes1.blogspot. com/2007/08/autoevaluacion.html 223

Semana 14

Consolidación de los aprendizajes

¿Lograste resolver los problemas y ejercicios que intentaste resolver? Entonces llego el momento de autoevaluarte. Piensa y analiza: ¿qué aprendí?, ¿debo mejorar en algún tema en particular?, ¿en qué puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

224

Referencias Bibliográficas Amelii, Rita (2005). Física 1. Caracas, Salesiana. Durán, Darío (2006). Matemática 8. Miranda, Santillana. Bueche, Frederick (2007). Física General. México, Mc Graw Hill.

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