Matematica 7mo by Cord.Nac.Edu.IRFA

Matemática y Razonamiento Lógico 7mo. Semestre Educación Media Técnica

En este semestre seguiremos contribuyendo al logro de las competencias matemáticas que nos hemos planteado a lo largo de la formación del sistema IRFA, mediante una serie de capacidades habilidades y actitudes que tendrás que desarroll , ar con las actividades propuestas.

Te invitamos a ser el protagonista de tus estudios, es decir, que asumas las “riendas” de este proceso de formación. Recuerda que este sistema exige dedicación, disciplina y constancia. De tu voluntad y disposición depende que generes verdaderos aprendizajes. La mayoría de las temáticas del área de Matemáticas son abordadas por medio de situaciones que buscan, por un lado, relacionar los conocimientos previos con la nueva información y, por otro, mostrar que los contenidos matemáticos surgen de la necesidad de dar respuestas a situaciones del entorno o propias de los contextos matemáticos.

Semana 1

Un breve repaso…

Con respecto al área de la Física, ha sido enfocada hacia el análisis y comprensión de los fenómenos físicos, dado que estamos seguros de que entender las teorías precede a la ejercitación de algoritmos. Asimismo queda de tú parte seguir profundizando en estos temas que son tan relevantes en la sociedad actual. Durante este semestre desarrollaras las siguientes competencias: • Serás capaz de identificar, interpretar y expresar de manera verbal, simbólica y/o gráfica una relación funcional entre dos magnitudes relacionadas con fenómenos científicos, del contexto y matemáticos, teniendo en cuenta las características generales de las funciones que las definen. • Serás capaz de explorar, describir e interpretar las formas y relaciones espaciales presentes en el entorno físico, aplicando y descubriendo distintas formas de razonamiento geométrico y de argumentación de sus ideas. • Serás capaz de explorar, describir, analizar e interpretar fenómenos de la naturaleza y tecnológicos (el movimiento, la electricidad, óptica), haciendo uso de modelos físicos y matemáticos, la experimentación y formulación de hipótesis para predecir e intervenir en el desarrollo y avance de nuestras sociedades. Este material fue diseñado con el firme propósito de ayudarte en el proceso de formación ¡aprovéchalo!

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Un breve repaso… Semana 1 Un breve repaso…

Semana 1

¡Empecemos! Apreciados participantes, nos encontramos nuevamente para asumir grandes retos. Esta semana damos inicio a otro semestre y cada vez estamos más cerca de llegar a la meta. Esta sesión la dedicaremos a evaluar las competencias que has adquirido en el semestre anterior y a mostrar las unidades de aprendizaje que abordaremos en éste. Desde ahora te invitamos a mantener una actitud positiva hacia el aprendizaje de la matemática y el razonamiento lógico, por ello debes asumir la responsabilidad y compromiso que amerita este tipo de sistema semipresencial, donde tú eres el protagonista, tú decides el tiempo de dedicación a esta área en función de tu dinámica de trabajo, de tus capacidades y habilidades para la misma. ¡Éxitos en este viaje que te toca emprender!

¿Qué sabes de...? En esta sección indagaremos lo que conoces del sistema semipresencial IRFA y las impresiones que has tenido en él. Si apenas vas ingresando, podrías plantearte ¿cuáles son tus expectativas?, ¿cuál ha sido tu experiencia hasta el momento en el sistema IRFA? (puedes hacer una valoración de los encuentros en el CCA, la atención brindada por los facilitadores y coordinadores, entre otros), ¿cuántas menciones se ofertan en este sistema?, ¿cuáles son los elementos educomunicativos que se manejan en este sistema?, ¿cuáles sueles utilizar?, ¿qué elementos sugerirías tomar en cuenta por este sistema para seguir mejorando? Comenta tus respuestas al facilitador.

El reto es... Los siguientes problemas y ejercicios tienen como propósito evocar los conocimientos previos que te ayudarán a resolver las situaciones que se presentarán en este semestre.

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Semana 1

Un breve repaso…

1. A un juego amistoso de fútbol asistieron18.000 personas. Si las entradas en la tribuna cuestan 60 Bs y en las gradas 20 Bs y se recaudaron 600.000 Bs. ¿cuántas personas se sentaron en la tribuna y cuántas en las gradas? 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de forma gráfica e indica cuál de éstos son consistentes. a) x+y=9

b) x+y=4

c) y=3x

x+y= -4

3x+3y=27

y= -3x+2

3. Un auto sale de Maracaibo a una velocidad de 70km/h. Una hora más tarde, otro auto sale siguiendo la misma vía a 100km/h. ¿A qué distancia de Maracaibo van a encontrase los autos? 4. Ana va a construir unas cajitas decoradas para obsequiarlas en su fiesta de cumpleaños, su base es cuadrada y la altura es de 3cm. De acuerdo a esto, responde: a) ¿Cuántos mililitros de gelatina puede colocar en cada cajita (es decir, su volumen) cuando la medida del lado de la base es de 10 cm?, ¿y si mide 20 cm?, ¿y si mide 30cm?Recuerda que 1 mililitro (ml) = 1 centímetro cúbico (cc o cm3). b) Busca la función que relaciona el lado de la base con el volumen de la caja. ¿Cómo se llama esta función? 5. Dos gráficos, distancia–tiempo y velocidad–tiempo incluidos a continuación, son los que representan un mismo movimiento rectilíneo: (1)

d (m)

(2)

2.0

5.0 (3)

t (s)

1.0 (4)

d (m)

t (s)

v (m/s)

2.0

5.0 174

v (m/s)

t (s)

Figura 1. Gráfico distancia-tiempo y velocidad-tiempo a) 1 y 2

b) 1 y 4

c) 3 y 2

d) 3 y 4

Semana 1

Un breve repaso… 6. Detalla la figura 2:

Señala el punto más alto que alcanza el chorro de agua. ¿Cómo se llama ese punto?

Figura 2

Describe el comportamiento del chorro de agua antes de llegar a ese punto y, después de ese punto, ¿cómo es el movimiento que describe la trayectoria del agua?

Vamos al grano A continuación se presenta a modo de información los módulos que trabajaremos en este semestre. En esta oportunidad abordaremos los siguientes: En el primero, Aritmética y álgebra, donde trabajaremos la competencia de resolver problemas mediante los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. El segundo módulo corresponde a Funciones y gráficas, donde estudiaremos las características y propiedades de la función exponencial a través de su expresión simbólica y representación gráfica. Seguimos con el módulo de Geometría y espacialidad, en el cual iniciamos una nueva unidad de aprendizaje, la Trigonometría, específicamente estudiaremos lo concerniente con ángulos y las razones trigonométricas. Finalmente, dedicaremos un espacio al módulo de Fenómenos físicos, donde continuaremos estudiando otros tipos de movimientos y se introduce, mediante situaciones cotidianas, los fenómenos electrostáticos.

Para saber más… Te recomendamos que revises el DVD del presente semestre para que te vayas familiarizando con el material. Así mismo puedes disfrutar de una variedad de problemas en la siguiente dirección web: http://platea.pntic.mec.es/jescuder/construc.htmo Intenta hacer los problemas antes de ver las soluciones.

Aplica tus saberes Complementemos los ejercicios y/o problemas anteriores con un listado de enigmas y juegos matemáticos que permiten estimular la imaginación y desarrollar la facultad de razonar.

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Semana 1

Un breve repaso…

1. ¿Suicidio o asesinato? En una habitación en la que no hay muebles ni ningún otro objeto, aparecen un hombre ahorcado y un charco de agua exactamente bajo sus pies. ¿Cómo ha conseguido este hombre suicidarse? 2. Dificultades para el jardinero. ¿Cómo se plantarán 10 árboles en 5 filas de 4 árboles cada una? 3. Un problema de madres e hijas. Dos madres y dos hijas salen a pasear diariamente con tres sombreros. Cada una lleva un sombrero. Ninguna se queda sin ningún sombrero. ¿Cómo es posible? 4. Quitando tres palillos (ver figura 3), arma una forma que tenga solamente tres cuadrados.

Figura 3

5. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 4?

Figura 4

Comprobemos y demostremos que… En equipo, en el CCA te invitamos a compartir la solución de estos problemas.

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Para empezar un gran proyecto, hace falta valentía. Para terminar un gran proyecto hace falta perseverancia. Anónimo

Semana 1 Un breve repaso… Semana 2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas ¡Empecemos! Bienvenidos y bienvenidas a otro encuentro con el conocimiento de la matemática. Recordemos que existen problemas en los que se plantea la necesidad de determinar los valores de dos o más cantidades que satisfacen varias condiciones: nos referimos a los sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales nos permiten plantear a través de diversas representaciones (algébrica, gráfica, aritmética y verbal) situaciones del entorno científico (en la economía, biología, física) y cotidiano. En esta oportunidad mostraremos que los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) con tres incógnitas pueden resolverse a través de los métodos estudiados en el 6to semestre. Durante la lectura del material ejercitarás la traducción de situaciones reales en las que intervienen varias incógnitas para ser expresadas a través de sistemas de ecuaciones lineales y la resolución de estas a través de los métodos conocidos.

¿Qué sabes de...? a) Recordemos unos conceptos que son importantes para la comprensión de esta temática. ¿Qué es una ecuación?, ¿qué es un sistema de ecuaciones?, ¿qué significa la solución de un sistema de ecuaciones lineales?, ¿a qué llamamos sistema de ecuaciones equivalentes? b) Con el siguiente problema se pretende que apliques los conceptos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, estudiado en el 6to semestre. Se desea saber el peso de los círculos y los cuadrados; se sabe que el triángulo pesa 13 kg y el cilindro pesa 25 kg. Realízalo aplicando uno de los métodos analíticos abordados en semestres anteriores.

25 177

Figura 5

Semana 2

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

El reto es... Una fábrica de ropa elabora tres estilos de camisas. Cada uno de estos estilos requiere el servicio de los tres departamentos, observa la lista de la tabla 1. Los departamentos de corte, confección y empaque tienen disponibles como máximo 280, 380 y 130 horas de trabajo por mes respectivamente. ¿Qué cantidad de camisas de cada estilo debe ser producida para que la planta opere al máximo de su capacidad? Tabla 1. Horas empleadas por departamento para la producción de camisas Estilo A

Estilo B

Estilo C

Departamentos de corte

0.2 h

0.4 h

0.3 h

Departamentos de confección

0.3 h

0.5 h

0.4 h

Departamentos de empaque

0.1 h

0.2 h

0.1 h

De la tabla 1 puede leerse que cada camisa de estilo A es cortada en 0.2h, una camisa de estilo B es cortada en 0.4h… Observa además que las 280h que emplea el Departamento de corte es la suma de los tiempos empleados para cortar cierta cantidad de camisas de cada estilo. Para resolver este problema puedes optar por plantear un sistema de ecuaciones (estudiado en semestres anteriores) u otro método, por ejemplo tanteo, sólo que esta vez tienes tres ecuaciones y tres incógnitas. ¿Ya sabes cuáles son las incógnitas? Antes de avanzar con la lectura del material, tómate tu tiempo para dar esta respuesta.

Vamos al grano Planteemos el sistema de ecuaciones de la situación inicial. En la información suministrada por el problema nos dan la cantidad de horas invertidas en cada Departamento; así, por ejemplo, en el Departamento de confección se dispone de 380h para los tres estilos de camisa. En este problema, los valores que desconocemos (las incógnitas) son: 178

x: Cantidad de camisa estilo A.

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Semana 2

y: Cantidad de camisa estilo B. z: Cantidad de camisa estilo C. Al hacer uso de nuestros conocimientos del álgebra, obtenemos un SEL como el siguiente. 0.2x+0.4y+0.3z= 280 … (1) 0.3x+0.5y+0.4z= 380 … (2) 0.1x+0.2y+0.1z= 130 … (3)

Para resolver este sistema de ecuaciones es importante recordar las operaciones que producen sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas equivalentes de ecuaciones son aquellos que tienen exactamente el mismo conjunto de solución. Usaremos el método de eliminación o reducción trabajado en resolución de sistemas SEL de dos incógnitas, sólo que esta vez tenemos tres incógnitas; aunque no es la única forma y el método puede variar de acuerdo a las características de estos sistemas. 2x+4y+3z= 2800 … (1) 3x+5y+4z= 3800 … (2) 1x+2y+1z= 1300 …(3) La idea es ir eliminando las variables hasta obtener sistemas equivalentes más simples. Podemos multiplicar por un valor distinto de cero y luego, sumar las ecuaciones. • Eliminemos la variable x (podría ser cualquier otra) de las ecuaciones (1) y (2). Primero multiplicamos por -2 la ecuación (3) y obtenemos -2x-4y-2z= -2600 … (4)

2x+4y+3z= 2800 … (1) - 2x-4y-2z =- 2600 … (4) z = 200

Sumamos la ecuación (1) y (4)

• Consideremos ahora la ecuación (2) (la que no se había utilizado) y la ecuación (3). Eliminamos de estas dos ecuaciones la misma variable eliminada en el paso anterior.

179

Semana 2

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Multiplicamos por -3 la ecuación (3) y obtenemos: -30x-60y-30z= -3900… (5) 3x+5y+4z= 3800… (2) -3x-6y-3z= -3900… (5) -y+z=-100 … (6)

Sumamos la ecuación (2) y (5)

Sustituimos z=200 en la ecuación (6) y obtenemos y=300 ¿Qué significan esos valores en nuestro problema?, ¿qué debes hacer para hallar el otro valor? Sustituye esos valores en cualquiera de las ecuaciones originales y despeja la incógnita x. Así la solución de este sistema está dada por la terna (500, 300, 200) x

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas En general los sistemas de la forma(*), representan sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. a1x+b1y+c1z=k1 a2x+b2y+c2z=k2 a3x+b3y+c3z=k3

(*)

donde a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, k1, k2 y k3 son constantes. El conjunto solución de este sistema es el conjunto de todas las ternas (una tripleta ordenada) tales que, al sustituirlas en cada ecuación, se cumple la veracidad del sistema (en este caso, las tres ecuaciones).

Para saber más… • Los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables gráficamente representan la intersección o no de rectas, mientras que en los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables representan planos del espacio tridimensional.

180

• Para traducir aquellas situaciones cotidianas que puedan representarse a través del sistema de ecuaciones lineales, tienes que tener buen dominio en el lenguaje algebraico. Después de haber planteado el SEL puedes resolverlo por el método que consideres que mejor se adapte a la situación. Observa el siguiente ejemplo. A un partido de beisbol asistieron 800 personas entre hombres, mujeres y niños; el número de hombres es igual al doble de mujeres más el triple de niños y el número

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Semana 2

de mujeres es 4 veces el de los niños. Determina cuántos de cada uno de ellos asistieron. Tienes que asignarles variables: x: número de hombres que asistieron; y: número de mujeres que asistieron y z: número de niños que asistieron. La suma de los tres da 800, x+y+z=800, x=2y+3z (el número de hombres es igual al doble de mujeres más el triple de niños). Culmina el ejemplo.

Aplica tus saberes Plantea un sistema de ecuaciones lineales y resuélvelo. 1. Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas A, B y C. Se sabe que el volumen de A es el doble de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan a la mitad. ¿Cuál es el volumen de cada medida? 2. Wilmer ha pagado un total de 368 Bs. en el supermercado por 4 paquetes de café, 2 kg de jamón de pavo y 3 kg de carne. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 1 kg de carne cuesta el triple que un paquete de café y que 1 kg de jamón cuesta igual que 1kg de carne más dos veces el precio de un paquete de café. 3. Supongamos que las tres balanzas, A, B y C que se muestran en la figura 6, se encuentran en equilibrio y se quiere hallar el peso de cada uno de los objetos.

Figura 6

181

Semana 2

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Comprobemos y demostremos que… 1. Entrega a tu facilitador los problemas de la sección “Aplica tus saberes”. 2. Autoevalúate con los siguientes indicadores: Indicadores

Nunca

Pocas veces

Planteas el SEL con tres incógnitas de la situación dada. Resuelves por cualquier método los SEL con tres incógnitas. Contextualizas el resultado obtenido. Compruebas la veracidad de los resultados obtenidos. Revisas la información contenida en el DVD. Las oportunidades no son producto de la casualidad, más bien son el resultado de un trabajo. Tonatihu

182

Frecuentemente

Siempre

Semana 2

Sistemas de Semana 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas Matrices

¡Empecemos! Apreciado participante, la actitud que asumas ante las situaciones que se presentan día a día será la clave para resolverlas eficientemente. Por ello te sugerimos mantener disposición y apertura hacia el aprendizaje de las matemáticas. En esta oportunidad abordaremos el concepto matemático de matriz. Las matrices son una herramienta muy importante para organizar la información que aparece, por ejemplo, en los negocios en los que es necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Agruparlos nos proporciona facilidad y claridad en el manejo de estos. En el campo de la matemática la utilidad de las matrices va aunada a que éstas permiten tener otra representación de los sistemas de ecuaciones lineales, brindando métodos para la resolución de los mismos.

¿Qué sabes de...? Habrás visto en los periódicos el juego del sudoku, donde se deben seguir unas condiciones para jugar: en los recuadros resaltados de 3 filas y 3 columnas (escribimos 3x3) estos deben contener los números del 1 al 9, sin repetirlos. ¡A completar el sudoku! 6 8

6 2

8 3

1 5

5 2 1

7 8

5 3

6 183

Semana 3

Matrices

El reto es... En la sección deportiva del periódico ¡Un nuevo día! Aparece información de la clasificación de los equipos de beisbol en la temporada 2008-2009. Tabla 2 Equipos

Leones

Cardenales

Águilas

Tigres

Tiburones

Caribes

Bravos

Navegantes

Juegos

JJ: Juegos jugados. JG: Juegos ganados. JP: Juegos perdidos. Responde lo siguiente, con base en la tabla 2. 1. ¿Qué significado tiene en la tabla el N° 23? 2. ¿Cuántos juegos han jugado los Tiburones de La Guaira? Ubica la posición de ese valor. 3. ¿Cuál equipo ha perdido más juegos en esta temporada? Menciona en qué fila se encuentra y nombra los valores.

A los elementos de las líneas horizontales los llamaremos filas y a los de las líneas verticales los llamaremos columnas.

184

Semana 3

Matrices

Vamos al grano De la lectura que realizaste de la tabla 2, observa que cada valor tiene una posición; por ejemplo, si nos ubicamos en la fila 3 y columna 2, el valor donde se interceptan éstas dos es 22, que significa los juegos ganados por el equipo de las Águilas del Zulia. Detalla además que, si inviertes el orden de filas y columnas, el valor obtenido es distinto. Este tipo de tabla de dos entradas en el área de las matemáticas la podemos asociar con el término de matrices. Veamos la definición de una matriz. Puedes notar que el ejemplo del sudoku también representa una matriz.

Definición de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Estos números los llamaremos elementos de la matriz. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. Se le delimita con paréntesis. Normalmente designamos a una matriz con letras negritas mayúsculas como A, B y así sucesivamente. Así en nuestro caso particular podemos expresar P =

41 44 43 39 42 43 40 44

26 25 22 20 21 19 17 18

15 19 21 19 21 24 23 26

De forma general tenemos que una matriz puede representarse así:

...

a11 a12 a13 ...a1n a 21 a 22 a 23 ...a 2n a31 a32 a33 ...a3n ...

Este elemento se encuentra en la fila 2 y en la columna 1.

... ...

am1 am2 am3

m filas

amn

N columnas

Nos referiremos al elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j como el elemento aij de A.

185

Semana 3

Matrices

Orden de una matriz El orden de una matriz se define como: número de filas por números de columnas; por tanto, una matriz de m filas y n columnas es de orden mxn. Así, en el ejemplo anterior es de dimensión 8x3, tiene 8 filas y 3 columnas, es decir, tiene 24 elementos. Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama matriz cuadrada de orden n. 1 3 Ejemplos: A= D= 2/5 -6

1 3 0

6 -1 -4

1/8 2 7

Los números 1 y -6 en la matriz A de orden o dimensión 2 (o 2x2) se conocen como los elementos de la diagonal principal. La diagonal principal la hallamos en las matrices cuadradas. Así también los números 1,-1 y 7en la matriz D de dimensión 3 son elementos de la diagonal principal.

Para saber más… Revisa diferentes tipos de matrices en la siguiente dirección web: http:// www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.htmlllos.

Aplica tus saberes 1. Para esta actividad anexa tu boleta de calificaciones y responde lo siguiente: • ¿Cuál es el orden de la matriz?, ¿es cuadrada o rectangular? • Ubica la posición de la calificación más alta, del tercer lapso. • ¿En qué fila se encuentran las calificaciones de matemática? Nombra esos elementos. • Extrae de tu boletín una matriz fila y una matriz columna, señala el orden de cada una. 2. Para cada matriz, señala el orden y el tipo: C = -3 -2 1/6 0 -7 186

4 6 D = E = 5 -5

3 0 0

-4 6 0

-4 5 -9/7

Semana 3

Matrices F =

6 -2 -5

1 0 0 G = 3 0 0 6 7 0 9 1 -2

-1 3 H = -2 7 6 0

1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1

Comprobemos y demostremos que… Comparte con tus compañeros del CCA la solución de los ejercicios anteriores.

Nuestra gloria más grande no consiste en no habernos caído nunca, sino en haberse levantado después de cada caída. Confucio

187

Semana 44 Función exponencial (parte 1) Semana Función exponencial (parte 1) ¡Empecemos! Apreciado participante, en este semestre analizarás las funciones exponenciales, las cuales aparecen en algunos modelos sociales, económicos y físicos. Por ejemplo, puedes explicar fenómenos como el crecimiento de la población (tanto de personas, animales y bacterias), el crecimiento económico, la desintegración radioactiva (crecimiento negativo…) y además con ellas puedes hacer estimaciones o proyecciones en el tiempo para dicho fenómeno. Durante la lectura del material interpretarás las situaciones y/o fenómenos del contexto que se le asocian, así como identificarás las características y propiedades de las funciones exponenciales a través de su expresión simbólica.

¿Qué sabes de...? Para avanzar satisfactoriamente en este concepto matemático necesitas tener nociones básicas de porcentaje y propiedades de la potencia. Prueba resolviendo los siguientes ejercicios: a) 53= b) 2-3 = c) 2-5 · 28 = d) Halla el 25% de 5000. e) Halla el 4% de 560. f ) ¿Cuánto es el 15% de 100?, ¿por qué?

El reto es...

188

Juana tiene unos ahorros en el banco, que invertirá en un negocio de impresiones y recarga de cartuchos. Ella tenía un monto de 10000 Bs y recibía un 36% anual; si su dinero tiene un tiempo de 6 meses, determina cuánto invertirá al final de ese período si los intereses se acumulan mensualmente.

Semana 4

Función exponencial (parte 1)

Tómate tu tiempo para darle respuesta, realízalo valiéndote de tus conocimientos en porcentaje; puedes hacer una tabla con dos columnas: una donde coloques el mes y en la otra el capital más intereses generados para ese mes. El 36% es el interés anual, al dividirlo entre 12 da el interés recibido por mes, 3% mensual. Luego trata de encontrar un patrón (fórmula) que te permita hallar el interés para cualquier tiempo. No avances con la lectura del material hasta que hayas intentado solucionar este reto.

Vamos al grano Una función exponencial es una función de la forma f (x)= ax donde a representa un número real positivo y a = 1. Se excluye el valor de la base a=1 puesto que en este caso se trata de una función constante f(x)= 1x=1¿Por qué también se excluyen los valores negativos de la base? Veamos a través del siguiente ejemplo cómo establecer la expresión simbólica de la función exponencial. 0 min 1min 2 min Crecimiento de bacterias 0 1 2 Las bacterias de un recipiente de 4 li- 2 = 1 2 = 2 2 = 4 tros se duplican cada minuto. Después Figura 7 de 60 minutos el recipiente está lleno. ¿Cuántas bacterias hay en los 2 litros del recipiente?

3 min 23 = 8

Vamos a calcular el número de bacterias a los 60 minutos, en ese instante el recipiente de 4 litros está lleno. Dividiendo entre dos esa cantidad, nos dará exactamente el número de bacterias que ocuparán la mitad del recipiente. La figura 7 nos muestra esquemáticamente el crecimiento de las bacterias a medida que transcurre el tiempo. ¡Haz uso de tus conocimientos de potencia! Observa que al siguiente minuto cada una de estas se duplican nuevamente. No tenemos que hacer todos los cálculos para saber la cantidad de bacterias en el minuto 60, pues la lista sería larga: a través de una fórmula podemos simplificarlos. Fíjate que la base (2) aparece como constante y el exponente varía (el tiempo); en resumidas cuentas, tenemos:

f(t) = 2t

Número de bacterias Tiempo

189

Semana 4

Función exponencial (parte 1)

Se dice que una cantidad aumenta (o disminuye) exponencialmente cuando aumenta (o disminuye) en un factor fijo por unidad de tiempo. Si ese factor fijo es a (en el caso anterior 2), esta definición se traduce en la función exponencial. Usamos la calculadora científica para evaluar 260 x Teclear:

Exhibición:

60 2

= 60

1,1529215... x1018

El esquema de arriba es válido para hallar cualquier potencia. Práctica con otros valores. La función es creciente a medida que aumenta (o disminuyen) los valores del tiempo; el número de bacterias también aumenta (o disminuye).

Para saber más… La dirección web http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?Tema Clave=1066 hace referencia a una presentación interactiva de las funciones exponenciales para que profundices más en esta temática.

Aplica tus saberes Retomemos el problema inicial. En la tabla 3 aparecen algunos cálculos, compáralos con los que acabas de realizar. Tabla 3. Capital e intereses acumulados Meses

190

Capital + Intereses

10000 Capital

10000+10000.3%=10000+10000.3/100=1000+300=10300

10300+10300.3%=10300+10300. 3/100=10300+309=10609

Observa que en el 2do mes se halla el 3% del monto anterior y no de la cantidad inicial. Imagina que tengas que hallar los resultados de 18 meses. Puedes culminar la tabla 3, pero, mediante la función exponencial del interés compuesto de un determinado capital en cualquier tiempo, C= C0.(1+r)n, donde C es ca-

Semana 4

Función exponencial (parte 1)

pital; Co es capital inicial; r es el interés en porcentaje y n el número de meses. En el CCA comparte la solución obtenida por medio de esta expresión.

Resuelve… ¿Cuáles de las siguientes expresiones no definen una función exponencial? x c) y = ( 2 )

1 3x Halla la función exponencial que mejor describa los siguientes fenómenos: a) y = 3x b) y = x

d) y = xx

e) y = (2,5)x

f) y =

1. Supongamos ahora, que una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias completas. Si se empieza con una colonia de 50 bacterias, expresa a través de una función exponencial cuántas bacterias habrá después de t horas. Una sugerencia: utiliza la tabla 4 para obtener algunos valores y partir de allí para hallar la fórmula. Tabla 4. Relación tiempo y cantidad de bacterias Tiempo (t)

Número de bacterias f(t) o y

Tiempo (t)

t=0

t=60min o 1h

t=30min o ½ h

t=90min o 1,5h

Número de bacterias f(t) o y

Recuerda que las funciones exponenciales tienen una base fija y un exponente variable.

2. Una pelota de goma se deja caer desde una altura de 1m. Cada vez que rebota contra el piso pierde un 10% de altura. ¿Cuántos rebotes son necesarios para que esté a 20 cm del suelo? Generaliza los resultados a través de una función exponencial. 3. Si inviertes Bs.12000 al 42% anual con intereses acumulativos, calcula el capital que tendrás transcurridos: a) un mes b) 4 meses y c) generaliza los resultados.

191

Semana 4

Función exponencial (parte 1)

4. Presenta en el CCA un breve escrito sobre la presentación interactiva sugerida en la sección “Para saber más”, donde resaltes las características de las funciones exponenciales creciente y decreciente.

Comprobemos y demostremos que… 1. Socializa los resultados de los ejercicios anteriores con tus compañeros del CCA y facilitador. 2. ¿Qué lograste? ¡Autoevalúate! Indicadores

Realicé las consultas sugeridas en la sección “Para saber más”. Leí el material impreso previo al encuentro en el CCA. Dedico tiempo suficiente para hacer las actividades. Comparto dudas y aciertos con los compañeros del CCA y mi facilitador.

Cuando pierdas, no te fijes en lo que has perdido, sino en lo que te queda por ganar. Anónimo

192

A veces

Semana 4

Función exponencial (parte 1) Semana 5 Función exponencial (parte 2)

¡Empecemos! Estimado participante, te invitamos a seguir perseverando y confiando en tus capacidades para resolver problemas. Recordemos que en la semana anterior estudiamos la expresión simbólica (fórmula) de las funciones exponenciales; en esta ocasión abordaremos otra de sus representaciones: las gráficas. Al final de la lectura podrás construirlas a partir de los valores de su expresión simbólica e identificarás las características y propiedades de éstas.

¿Qué sabes de...? Estas preguntas sugieren elementos necesarios para abordar satisfactoriamente esta unidad: ¿Cómo obtienes la gráfica de las funciones?, ¿qué representa la gráfica de una función?, ¿cómo compruebas si un par ordenado es solución de la expresión simbólica de una función?

El reto es... A Omar le encanta la física y quería saber cómo varía la presión a medida que se escala una montaña. Indagando en un libro encontró lo siguiente: La presión atmosférica P medida en milímetros de mercurio (mm Hg), está relacionada con la altura h (en kilómetros) sobre el nivel del mar, como lo muestra la figura 8.

Presión (mm Hg)

800 600 400 200 0 0

Altura (Km)

Figura 8. Gráfico Altura contra Presión atmosférica

193

Semana 5

Función exponencial (parte 2)

Ayúdalo a interpretar este fenómeno. Observando la gráfica responde: ¿Cómo influye la altura en el comportamiento de la presión?, ¿es una función creciente o decreciente? Explica. Encuentra la presión atmosférica a una altura de 2000 metros. ¿Qué valor tiene a una altura de 10 kilómetros?, ¿cuál es la presión atmosférica al nivel del mar (kilómetro 0)? A una altura de 5 km en cuánto se reduce la presión atmosférica (aproximadamente) respecto al valor de la presión al nivel del mar. ¿A qué altura la presión atmosférica es, aproximadamente, la cuarta parte de la presión atmosférica al nivel del mar?

Vamos al grano Gráfica de la función exponencial La gráfica anterior representa una función exponencial. • Grafiquemos la función exponencial f(x)= 2x o y= 2x, obtenida en el ejemplo de las bacterias. El dominio de f(x)= 2x consiste en todos los números reales; para cada valor de x siempre es posible tener un valor para y. Observa las características de esta función a través de su gráfica (ver figura 9). 18 16 14 12 Eje y

10 8 6 4 2 -2

-1

Eje x

Figura 9. Gráfico tiempo-número de bacterias En el caso de las bacterias tendríamos que a los tres minutos se tienen 8 bacterias, o que el recipiente contiene 16 bacterias a los 4 minutos. ¿Por qué no tendría sentido usar valores negativos en el dominio, para el ejemplo de las bacterias? Del gráfico y de la expresión simbólica de la función exponencial anterior se tiene:

Características de las funciones del tipo f(x)= ax(cuya base a 1) ).

8 8

El dominio de la función son todos los números reales (- , 194

Semana 5

Función exponencial (parte 2) 8

El rango de la función son los números reales positivos (0, ). Sus gráficas se encuentran arriba del eje x. La función es creciente; a medida que aumenta (o disminuyen) los valores de x los valores de y también aumentan (o disminuyen). La gráfica pasa por el punto (0,1) y a partir de allí crece rápidamente cuando x toma valores muy grandes (x tiende a infinito) y cuando x toma valores menores (x tiende a menos infinito) los valores de y se aproximan a cero (eje x). • Grafiquemos la función exponencial y= 2-x Observa que en este caso el exponente está precedido del signo negativo y, de acuerdo a la propiedad de los exponentes negativos, se busca el inverso de la base y el exponente cambia a signo positivo. Así que la expresión simbólica de la función exponencial y = 2-x , puede reescribirse de la siguiente manera: 1 2-x= (2-1) x = 2

1 X

1 = 2

1 2

, por tanto y = 2-x =

Puedes usar cualquiera de las dos formas equivalentes para hallar la tabla de valores. X

-3

-2

-1

-0,8

-0,6

0,2

0,4

1,74

1,52

0,87

0,76

0,5

0,25

Veamos cómo obtener algunos valores mediante la expresión y= 2-x Si x = -3

y = 2-(-3)

Si x = 2

1 y=2 = 2

y = 23 = 8 2

-2

1 12 = 0,25 2 = 2 4

¡Comprueba con el resto de los valores! Uniendo los puntos con una curva, obtienes la siguiente gráfica (ver figura 10). 9 8 7 6 Eje y

5 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

Eje x

Figura 10. Gráfica de la función exponencial

195

Semana 5

Función exponencial (parte 2)

La gráfica anterior es típica de todas las funciones exponenciales que tienen una base entre 0 y 1, esto es 0 a 1; en nuestro ejemplo a=1/2=0,5 así 0 0,5 1. Dichas funciones son decrecientes a medida que los valores de x aumentan (o disminuyen) los valores de y disminuyen (o aumentan).

Para saber más… En el DVD multimedia debes realizar la actividad interactiva de asociar la fórmula con su respectiva gráfica, apoyándote para ello en la forma de la gráfica si es creciente o decreciente y cuál es el intercepto con el eje de las y.

Aplica tus saberes 1. Grafica las siguientes funciones exponenciales: a) y =3x; b) y=2-x+4; c) y=3x-2 2. La expresión y = 50 · 2t/30, representa el número de bacterias, para t=120min, 150 min y 240min… Halla la gráfica asociada a esta expresión. 3. Investiga en la web la aplicación de las funciones exponenciales y realiza un escrito ilustrado de dos hojas. Recuerda utilizar las escalas adecuadas en los ejes de coordenados al momento de graficar las funciones exponenciales.

Comprobemos y demostremos que… 1. Entrega a tu facilitador las gráficas (en papel milimetrado o usando el programa Excel); socializa los resultados. 2. Recuerda que es importante evaluarnos para reflexionar sobre las acciones que llevamos a cabo al momento de iniciar nuestro auto aprendizaje y afianzar cuáles de ellas están dando resultados y cuáles debemos corregir. ¿Has logrado realizar los ejercicios propuestos?, ¿cómo ha sido tu participación en el CCA?, ¿consideras que la información suministrada en el material brinda las herramientas suficientes para hacer las situaciones planteadas? 196

La educación es esencial en el proceso de liberación del ser humano. Hostos Freire

Semana 5

Función exponencial (parte 2) Semana 6 Ángulos: Grados y radianes

¡Empecemos! Estimado participante, desde este semestre hasta el 9no trabajarás una temática importante dentro de la geometría: la trigonometría (medida de los triángulos). En este semestre iremos “abonando” los elementos que van a permitirte la comprensión de ésta. Recordarás que en semestres anteriores se recalcó que la unidad para medir ángulos es el grado; por cierto ¿con qué instrumento se miden los ángulos? Pero en trigonometría vas a necesitar otra unidad para medir ángulos: el radián. Específicamente en esta semana nos dedicaremos a establecer la relación entre grados y radianes, para realizar conversiones entre ambos.

¿Qué sabes de...? 1. Completa la tabla 5, apoyándote en tus conocimientos sobre ángulos. Consideremos en cada caso, ángulos centrados en el punto O y cuyos lados son M y P; lo expresamos así, el ángulo MOP, MOP. Tabla 5 Clasificación

Nombre

Descripción

Gráfico

Su abertura mide más de 90° pero menos de 180° Según su abertura

Representación simbólica

90<MOP<180

Agudo O

MOP=90°

197

Semana 6

Ángulos: Grados y radianes

2. Observa el gráfico y responde: ¿qué ángulo forman las manecillas de cada reloj?

Figura 11

El reto es... Establecer la equivalencia entre los ángulos en radianes (color azul) y los ángulos medidos en grados. Completa los ángulos en º que faltan (rojos). π/2

2/3π 3/4π

180º

π/3

150º 5/6π

45º π/4 π/6

0π, π2 0º, 360º 11/6π

7/6π 5/4π 4/3π 225º

3/2π

7/4π 5/3π

Figura 12 Observa la figura 12 y responde: ¿A cuánto equivale π radianes en grados?, ¿cuántos radianes son 90°?

Vamos al grano En términos simples, llamamos ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un origen común. Los elementos de un ángulo son dos lados y un vértice.

a Vértice

Lado

Figura 13 198

Hasta ahora hemos medido los ángulos utilizando sólo los grados sexagesimales (°); otra medida de gran utilidad para expresar ángulos es el radián, del cual hablaremos a continuación.

Semana 6

Ángulos: Grados y radianes Un radian es la medida de un ángulo con el vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. De tal manera que si S es la longitud del arco, y r es el radio, es posible definir: S/r=θ

Longitud = r

diá

Figura 14

Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa ¿Cuál es la medida, en radianes de un ángulo de rotación completa (360º)? La longitud del arco L subtendido por un ángulo de rotación completa es la L = π L = 2πr, longitud de la circunferencia (su perímetro), como sabemos, d el radio r equivale a un radian, por tanto la longitud de la circunferencia= 2π radianes y se entiende que forma un ángulo de 360º. 360º = 2π radianes Despejando 1 radian =

180º = π radianes 180º π

, 1 radian equivale aproximadamente 57,3º

Conviene recordar la relación 180º = π radianes porque puede obtenerse a partir de esta la medida de muchos ángulos especiales. Veamos algunos ejemplos: 90º = 180 = π rad 2 2

Si se divide 180 entre 2, también se divide π entre 2

45º = 180 = π rad 4 4

La cuarta parte de 180º es 45º

30º = 180 = π rad 6 6

Si se divide 180 entre 6, también se divide π entre 6

60º = 180 = π rad 3 3

La tercera parte de 180º es 60º

270º = 3 · 180 = 3π rad 2 2

Si se multiplica 180º por 3/2, también se multiplica π por 3/2

199

Semana 6

Ángulos: Grados y radianes

En general para convertir grados en radianes y viceversa puede usarse la relación anterior: a) Convertir 225º a radianes 180º = π radianes 225º = x

225º · π rad 5π rad = 180º 4

225º =

5π rad 4

b) Convertir 5π/7 rad 180º = π radianes

180º · 4π/9 rad = 80º π rad

x = 4π/9 rad

4π/9 rad = 80º

Los ejes del sistema de coordenadas dividen la circunferencia trigonométrica en cuatro cuadrantes, como puedes ver en la figura 15. 90º

+ Segundo Cuadrante

270º

Primer Cuadrante

Tercer Cuadrante

0º, 360º

Cuarto Cuadrante

180º Figura 15

Ángulos en posición estándar o normal Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x (ver figura 16a y 16b). Si el lado terminal de un ángulo coincide con un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal (ver figura 16c). Lado terminal

y Lado terminal Lado inicial x

Vértice Lado inicial 200

Origen (0,0)

Figura 16a y 16b. Ángulos en posición normal

Figura 16c. Ángulo cuadrantal

Semana 6

Ángulos: Grados y radianes

El ángulo de la figura 16a está en el primer cuadrante y el de la figura 16b está en el segundo cuadrante. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando gira favor de las agujas del reloj. Positivo s 0

Negativo s

-α

Para saber más… En la siguiente dirección web encontrarás un video donde se resalta la manera de hallar los ángulos que forman las agujas y manecillas de un reloj: http://www.youtube.com/watch?v=z4wzbc4fAKkhttp://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?TemaClave=1173&est=0

Aplica tus saberes 1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos: a) 210º

b) 160º

c) 135º

d) 200º

e) 25º

2. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes: a)

π 5

5π 3

7 π 6

11 π 4

3π 2

3. ¿Cuáles son las condiciones para que el ángulo pertenezca al primero, segundo, tercer o cuarto cuadrante?

201

Semana 6

Ángulos: Grados y radianes

4. Indica si el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ángulo cuadrangular. Sugerencia: En algunos, puede ayudar un dibujo del ángulo en el sistema de coordenadas. 2π -3π a) 135° b) -200° c) d) e) 187° f ) 60° 3 4

Q 140º

P -

π 3

M Figura 17 En el gráfico el ángulo de 140° pertenece al II cuadrante y el ángulo π - (-60°) pertenece al cuadrante IV. 3

Comprobemos y demostremos que… 1. Entrega a tu facilitador los ejercicios de la sección anterior. 2. Autoevalúate Indicador Convertí los grados a radianes. Convertí radianes a grados. Realicé las consultas sugeridas. Dibujé los ángulos. 202

Regular

Bueno

Excelente

Semana 6

Ángulos: Grados y radianes Semana 7 Razones trigonométricas

¡Empecemos! Continuamos en el estudio de la trigonometría. Esta semana nos dedicaremos a conocer y hallar las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente, así como sus inversas. Entre las aplicaciones de la trigonometría a los triángulos se tiene que pueden ser útiles en la navegación, agrimensura, astronomía, arquitectura (sobre todo cuando se deben medir alturas o hacer diseños en planos), entre otras. Ponle mucha atención a esta sesión para que puedas avanzar satisfactoriamente. La trigonometría estudia las relaciones existentes entre los lados y ángulos de un triángulo.

¿Qué sabes de...? Revisa lo trabajado en la semana anterior (ángulos en posición estándar y ángulos cuadrangulares), además del teorema de Pitágoras, para que puedas establecer conexiones entre los conceptos matemáticos.

El reto es... A los obreros de mi edificio les encantan las matemáticas, de hecho, cuando trabajan las aplican. Esta mañana el señor Jorge le propuso a su compañero de trabajo, Neptilio, lo siguiente: se necesita para reparar la lámpara que está en la pared, una escalera de 6m de longitud y que su extremo inferior esté a 1,5m de la pared. Determina a qué altura está la lámpara de la pared y cuál es el ángulo de inclinación de la escalera en relación con el piso. ¡No vayas a utilizar instrumentos de medidas! Ayuda a Neptilio a encontrar la solución. Sugerencia: has un gráfico de la situación.

203

Semana 7

Razones trigonométricas

Es muy probable que le des respuesta a una de las preguntas planteadas porque ya has tenido la oportunidad de realizar problemas similares; a la otra le darás respuesta a medida que avances con la lectura del material.

Vamos al grano Razones trigonométricas de un ángulo Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo, primero se coloca éste en posición estándar y después se selecciona un punto P(x,y) sobre el lado terminal de α, denotamos la distancia OP como r (ver figura 18). Observa además que si se traza una perpendicular al punto P, se forma un triángulo. ¿Qué tipo de triángulo es? P(x,y) r α

Vértice

Lado terminal

Lado inicial

α x

Figura 18

en ot

90º

Cateto opuesto

Cateto adyacente

Figura 19

Observa en la figura 19, que el ángulo agudo α está formado por un cateto y la hipotenusa. El cateto que forma al ángulo α, junto a la hipotenusa se llama cateto adyacente y el cateto restante es el cateto opuesto a dicho ángulo α. Como ya sabes, una función es una relación directa entre cantidades, en este caso, entre los lados del triángulo. Si tomamos como referencia el triángulo rectángulo obtenemos: El coseno de α se define como la razón del cateto adyacente sobre la hipotenusa.

cos α =

x r

El seno de α se define como la razón del cateto opuesto sobre la hipotenusa.

sen α =

y r

La tangente de α es la razón del cateto opuesto sobre el adyacente. 204

tan α =

y x

Semana 7

Razones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas Pueden obtenerse otras razones trigonométricas, con sólo invertirse las componentes de las razones mostradas; éstas funciones son recíprocas a las anteriores. La secante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto adyacente. sec α =

r x

La cosecante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto opuesto. csc α =

r y

La cotangente de α es la división entre el cateto adyacente y el opuesto. cot α = x y

Las razones trigonométricas coseno y secante del mismo ángulo son inversas entre sí, al igual que el seno y la cosecante, la tangente y la cotangente. Veamos algunos ejemplos que nos aclaren como utilizar las razones trigonométricas: 1. Determina las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, 3 cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y la tan β = (ver 4 figura 19). cateto opuesto al ángulo β cateto adyacente al ángulo β

Por lo anterior sabes que tan β =

Entonces, el opuesto es 3 y el adyacente es 4. Como está en el segundo cuadrante el signo de cualquier par ordenado será (-,+), podemos asociar el coseno con la componente x y el seno con la componente y. Así que el cateto opuesto 3 lo ubicamos en el eje y positivo y el adyacente 4 en el eje x negativo. Observa la gráfica que ilustra este ángulo (ver figura 20). 6 5 4

(-4, 3)

3 2

θ 6

2 -4 Figura 20

0 205

Semana 7

Razones trigonométricas

Para hallar todas las razones trigonométricas, necesitas las tres medidas de los lados del triángulo rectángulo y sólo tenemos dos. ¿Cuál nos falta?, ¿qué se te ocurre para hallar el tercer valor? ¡Exacto! Aplicando Pitágoras, tenemos r =

x2 + y2 =

32 + (-4)2 = 25 = 5

Ahora podemos calcular las razones trigonométricas: cos β =

-4 = - 0,8 5

sen β =

3 5

tan β =

3 -4

sec β =

5 -4

= - 1,25

= 0,6

csc β =

5 3

= - 1,666...

= - 0,75

cot β =

-4 3

= - 1,33...

Para saber más… Retomando el problema inicial, ilustramos la situación a través de un gráfico (ver figura 21).

r=6m y=? β Figura 21

x = 1,5 m

Como podrás observar en la figura 21 se forma un triángulo rectángulo. En este problema se nos pide la altura y el ángulo de inclinación. Es muy probable que hayas calculado la altura aplicando el teorema de Pitágoras; qué longitud vas a calcular ¿la de una hipotenusa o un cateto? Sin embargo, la altura de la pared puede hallarse sin necesidad de aplicar Pitágoras, solamente usando razones trigonométricas. ¿Qué razón trigonométrica usarías para hallar la altura? Puedes usar senβ o tanβ pero necesitarás el valor del ángulo β . 206

Semana 7

Razones trigonométricas

Necesariamente tienes que usar cos β = 0,25 para despejar el valor de β, debemos eliminar el coseno; para ello podemos usar la función inversa llamada arcoCoseno la cual podemos escribir como: arcCos (β); en la calculadora esta función aparece como cos-1. Al aplicar el arcoCoseno, tenemos = cos-1 (cos β) = cos-1 (0,25)

β = cos-1 (0,25)

β = 75,5°

Para obtener el valor de β hacemos uso de la calculadora. Sigue estos pasos: COS-1 SHIFT COS 0,25 = 75,522... Aparece en la pantalla este valor y Finalmente, para hallar la altura usaremos tan 75,5º = 1,5 (¡hazlo usando la otra razón trigonométrica!). Despejando y, tenemos y = tan 75,5º · 1,5m = 3,87 · 1,5m = 5,8m aprox. La inversa del seno β, el arcsen (β ) lo puedes hallar al presionar en la calculadora la tecla sen-1, y la inversa de la tangente, es el arcotangente (β) la obtienes al presionar tan-1. De acuerdo a los datos del problema descubre cuál razón trigonométrica aplicar y si es necesario usar el teorema de Pitágoras.

Aplica tus saberes 1. En los ejercicios del 1 al 6, usa la figura 22 ABC para hallar las razones trigonométricas. 12 A B β α

a) sen β

b) tan β

c) cos β

d) cos α

e) sen α

f ) tan α

Figura 22

-3 2. Calcula las funciones trigonométricas de α si cos α = 5 II cuadrante.

α , está en el 207

Semana 7

Razones trigonométricas

3. Pedro está con un grupo de amigos jugando con el volantín. Si la cuerda de éste forma un ángulo de 70° con el piso y tiene un largo de 20m (ver figura 23) ¿qué tan alto puede volar su volantín? ¿es posible que el volantín de otro compañero, con la misma cantidad de cuerda que el anterior vuele más alto o más bajo?, ¿de qué depende? Suponemos que los volantines tienen la misma forma y que la influencia del viento es igual para ambos.

20 m A

Figura 23 4. Un cable de tensión se adhiere a un poste de 25m de largo, formando un ángulo de 60º con el suelo. Encuentra la distancia x y la longitud del cable tensor (Ver figura 24).

25 m 60º x

Figura 24

5. En la rampa de la figura 25, la tangente del ángulo de inclinación A es 2/3 y la altura 2m. Halla la distancia horizontal y la longitud de la rampa (ver Figura 25).

A 208

Figura 25

Semana 7

Razones trigonométricas

Comprobemos y demostremos que… 1. Realiza los problemas propuestos en la sección anterior y forma un pequeño grupo para poner en común los resultados. Tu facilitador te orientará en caso de dudas. Entreguen un trabajo por grupo. 2. Tu facilitador los organizará para que cada uno evalué el desempeño (con la guía de coevaluación) de algún compañero del grupo. Posteriormente deben socializar sus opiniones.

Guía de coevaluación

Nombre del evaluado:_____________________________ Indicador

Regular

Bueno

Excelente

Realizó los ejercicios propuestos. Disposición al trabajo en equipo.

Respetó las decisiones del equipo.

Domina las razones trigonométricas.

209

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Semana Semana 88 (parte 1) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1) ¡Empecemos! A diferencia del MRU cuya velocidad es constante, en nuestra vida diaria observamos otro tipo de movimiento en el que hay cambios de velocidad. Este tipo de movimiento es muy común, por ejemplo, cuando vas en el autobús o en el carro tendrás que frenar, aumentar o disminuir la velocidad producto de las paradas, de las carreteras en mal estado (huecos, baches), de los semáforos o sencillamente por la afluencia de los vehículos; todo lo cual implica un cambio de velocidad. En el caso en que la velocidad varíe uniformemente y el vehículo se desplace en una trayectoria recta, lo llamaremos Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Este es el movimiento que trabajaremos en esta sesión.

¿Qué sabes de...? 1. ¿Cuándo decimos que un móvil tiene un movimiento rectilíneo uniforme?, ¿cuál es su característica principal? 2. Indica cuáles de los siguientes movimientos son rectilíneos uniforme: a) Un automóvil en una carrera. b) Un autobús en una avenida congestionada de la capital. c) Un mango que cae de un árbol. d) El metro de Maracaibo moviéndose en un tramo recto. 3. Mariana sale a visitar a su amiga Ana y se quedó un rato hablando con ella, posteriormente se dirige a su escuela empleando para ello 2h. La figura 26, distancia y tiempo, nos indica cuánto se movió Mariana a lo largo del tiempo. Responde: a) ¿Cuál era la posición de Mariana al principio del movimiento (t=0)? b) ¿Cuál era en el instante t=1h?, ¿qué velocidad desarrolló en esta primera hora de viaje? c) ¿En qué posición y por cuánto tiempo permaneció en casa de Ana? 210

d) ¿Cuál es su velocidad en el viaje de regreso a la escuela?

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Semana 8

d Casa de Ana (km) Casa de Mariana 120

Escuela 50

1.0

2.0

3.0

4.0

t(h)

Figura 26. Gráfico distancia tiempo que representa el movimiento de Mariana.

El reto es... Lectura de gráficos Observa las gráficas (figuras 27 y 28). v (m/s)

x (m)

2 4 6 t(s) 2 4 6 t(s) Figura 27. Gráfico velocidad Figura 28. Gráfico distancia tiempo Para el gráfico de la figura 27, ¿qué tipo de funciones representa cada uno de los tramos?, ¿en qué intervalo de tiempo la función es constante?, ¿qué significa que sea constante en ese tramo?, ¿el móvil estuvo detenido en el intervalo de tiempo de 3s a 6s?, ¿en qué intervalo de tiempo puedes asegurar que la velocidad varía?, ¿cómo calcularías la distancia recorrida por el móvil en este tramo? Para el gráfico de la figura 28, ¿cómo se llama el tipo de función en cada tramo? ¡Haz uso de tus conocimientos de las gráficas estudiadas en semestres anteriores! ¿En qué intervalo de tiempo el móvil está regresando?, ¿qué tipo de movimiento sugiere la parábola en esta gráfica?

211

Semana 8

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Vamos al grano Aceleración Ese cambio de velocidad por unidad de tiempo, que expresamos en la introducción, se conoce como aceleración. Matemáticamente se expresa así: vf - vo cambio de velocidad α = = tf - to intervalo de tiempo Observa que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad, es decir, qué tan rápido cambia la velocidad. La diferencia vf - vo , puede representarse con el símbolo ∆ v = vf -vo , que significa variación o cambio. Pueden presentarse las siguientes situaciones: • si vf > vo , la aceleración es positiva, aumenta la velocidad, el móvil va más de prisa. • si vf < vo , la aceleración es negativa, disminuye la velocidad, el móvil frena. • si vf = vo , la aceleración es nula y, por tanto, la velocidad se mantiene constante. De acuerdo con esta última afirmación, vale la pena preguntarse: ¿puede moverse un objeto cuando su aceleración es cero? ¡Piénsalo!

Decimos que hay aceleración cuando hay una variación en la velocidad.

La unidad de la aceleración está en función de las unidades de velocidad y tiempo, es decir, relaciona unidades de longitud con unidades de tiempo. En el Sistema Internacional, la aceleración se mide : m s = m2 = m/s 2 s s 212

Sin embargo, pueden tenerse diferentes combinaciones de unidades de velocidad y tiempo: cm/h2, m/min2, km/h2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Semana 8

Por ejemplo, la aceleración en un movimiento de 5m/s2, significa que el móvil aumenta su velocidad 5m/s cada segundo y si el móvil tiene una aceleración de -10 km/h2 significa que el móvil disminuye su velocidad 10km/h cada hora. También puede decirse que cuando un móvil disminuye su velocidad uniformemente está desacelerando, lo cual significa que su aceleración es negativa.

La aceleración es una magnitud vectorial La velocidad es una magnitud vectorial, por lo tanto la aceleración también es una magnitud vectorial. En este punto sería bueno preguntarte: ¿cómo se puede cambiar la velocidad? ¡Muy bien! Un movimiento es acelerado cuando cambia el módulo (rapidez) y/o dirección del vector velocidad. Reforcemos tus ideas con las ilustraciones (ver figura 29). 40 km/h 40 km/h 80km/h

0km/h

40 km/h

Figura 29. Cambios en la velocidad de un cuerpo Es muy común en nuestro lenguaje cotidiano que asociemos la aceleración con un aumento de velocidad. Sin embargo, desde el punto de vista científico, este término se aplica tanto a disminuciones como a aumentos de velocidad.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Observa la figura 30 y nota que la velocidad está variando, por tanto ha de haber una aceleración. Fíjate además que ésta es constante ¿Qué tan rápido está cambiando la velocidad?

Figura 30. Cambios en la velocidad, en iguales intervalos de tiempo. Estamos interesados en estudiar el movimiento en el cual la aceleración se mantiene constante, es decir, aquel cuya velocidad aumenta o disminuye uniformemente. 213

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Semana 8

Si la aceleración de un móvil es la misma (constante) durante todo el movimiento y la trayectoria es una línea recta, éste recibe el nombre de movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). La figura 31 ilustra los tres posibles tipos de movimiento; en este caso hablamos de aceleración constante. Una constante puede ser positiva, negativa o cero; si es cero hablamos de un MRU; si es distinta de cero, hablamos de un MRUV. Cuando es distinta de cero, puede ser positiva o negativa: si es positiva, MRUA y, en caso de ser negativa, MRUR. v[m·s-1]

v0 o

t3 t(s)

Figura 31. Gráfico velocidad contra tiempo Tabla 6 Descripción del movimiento en cada intervalo de tiempo Intervalos de tiempo

Tipo de movimiento

0 - t1

v1 > vo o v1- vo > 0

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a > 0

t1 - t2

∆ v = 0 o v = constante

Movimiento rectilíneo uniforme a=0

t3 - t2

214

Variación de velocidad

vf < vo

Movimiento rectilíneo uniformemente retardado con a < 0

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Semana 8

Para saber más… Gráficas temporales del MRUV Tabla 7. Tipos de gráficas temporales en un MRUV Variables relacionadas Distancia tiempo (x- t)

Velocidad tiempo (v- t)

Aceleración tiempo (a- t)

Características - El gráfico es una parábola. - Si la parábola es cóncava hacia arriba el movimiento es acelerado y si es cóncava hacia abajo será retardado.

Gráfico

x t

Figura 32a. Gráfica distancia tiempo

- El gráfico es una recta que no es paralela al eje del tiempo. - Su pendiente nos da el valor de la aceleración. - La distancia (espacio recorrido) puede obtenerse calculando el área bajo la recta v-t El gráfico es una línea recta paralela al eje del tiempo, indicando así que es constante. En la gráfica (ver figura 32c) la aceleración es de 2m/s2

v v v0

Figura 32b. Gráfica velocidad tiempo 4 2 A

Aceleración constante

0 0

Figura 32c. Gráfica aceleración tiempo

Vamos a considerar la gráfica de la figura 32b, velocidad tiempo. Hallando el área bajo la recta obtenemos el espacio recorrido, es decir, la distancia recorrida por el móvil. Para calcular el área bajo la línea recta, se puede hallar el área de cada una de las figuras que se forman: 215

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Semana 8

Área

= Área

+ Área

v = (base) (altura) +

v (v-vo ) vo 0

vo t

= t · vo + = vo · t +

(base) (altura) = 2

t · (v - vo ) donde v - vo = a · t 2 a · t2 2

Figura 33. Determinación de la distancia a partir de una gráfica velocidad tiempo Dado que el área total representa la distancia recorrida por el móvil, se tiene que: x = vo · t +

a · t2 2

Esta ecuación es válida si el móvil partió desde el origen del sistema de referencia, es decir xo = 0; de no ser así la ecuación podríamos reescribirla como:

x = xo + vo · t +

a · t2 2

Cabe agregar que si el movimiento es retardado, la fórmula para hallar la distancia es la misma, salvo que, al momento de sustituir los valores, debes considerar la aceleración con signo negativo. Como has visto, la aceleración está dada por la fórmula α = Podemos hacer que t = tf - to , asi que α =

vf - vo t

vf - vo tf - to

De ésta puedes despejar las otras variables: tiempo, velocidad inicial y final, que se reflejan en la tabla 8.

216

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

Semana 8

Ecuaciones del MRUV Tabla 8. Ecuaciones que rigen un MRUV a: aceleración

α=

t: tiempo v: velocidad en un determinado tiempo vo: velocidad inicial x: distancia

vf - vo t

x = xo + vo · t +

vf - vo α

t= α · t2 2

vf = vo + at Despeja velocidad inicial Despeja distancia

*vf 2 = vo2 + 2 · a · (x - xo)

Aplica tus saberes 1. Usualmente, el pedal o cuchara de un auto se conoce como acelerador. Si alguien afirma que el volante y los frenos son también aceleradores, ¿estará en lo cierto? 2. ¿Un auto está acelerado mientras frena?, ¿por qué? 3. ¿Cuál es la aceleración de un motociclista que se mueve con velocidad constante de 50Km/h durante 10s? Explica tu respuesta. 4. Un auto se mueve con una velocidad de 16m/s. Cuando el conductor aplica los frenos, el movimiento pasa a ser uniformemente retardado, haciendo que el auto se detenga totalmente en 4s. a) Calcula la desaceleración que los frenos imprimen al carro. b) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo durante el frenado. 5. Un automóvil, al desplazarse en línea recta, desarrolla una velocidad que varía con el tiempo, como se registra en la tabla 9. Tabla 9 t (s)

v(m/s)

a) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento del auto muestra una aceleración?

217

Semana 8

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

b) ¿En qué intervalo es nula la aceleración? c) ¿En qué intervalo es negativa? d) ¿En cuál es uniformemente acelerado (con aceleración positiva)?

Comprobemos y demostremos que… 1. Discute en grupo las situaciones propuestas en la sección anterior. 2. Autoevalúate Indicador

A veces

Leí el material previo a la sesión en el CCA. Realicé los ejercicios solicitados. Expresé las dudas o inquietudes respecto a la temática desarrollada. Participe en la implementación de todas las actividades.

El cerebro no es un vaso por llenar sino una lámpara por encender. Plutarco

218

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Semana Semana 8 (parte 1) 9 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2) ¡Empecemos! Apreciado participante, necesitamos que tengas una actitud de éxito y disposición de llegar hasta el final, aún en medio de las dificultades, por ello ¡persevera siempre! Y es que precisamente la perseverancia te invita a no desistir en la búsqueda de la solución a los problemas que se pueden presentar en tu vida académica y personal. Durante esta semana nos dedicaremos a resolver problemas del MRUV. Verás que las fórmulas son útiles para resolverlos, pero lo más importante es comprenderlos, antes de aplicarlas. La idea es que justifiques las acciones asumidas en la resolución de problemas, mediante argumentos convincentes, es decir, fundamentados en el conocimiento científico.

¿Qué sabes de...? Exploremos las ideas previas, justifica tus respuestas. ¿Qué significa que la aceleración de un cuerpo sea de -3m/s2? Da un ejemplo de algo que se mueva con una rapidez constante y, al mismo tiempo, tenga una velocidad variable.

El reto es... Alejandro es un estudiante universitario. Se dirige a la parada a tomar el autobús de la universidad; sin embargo, va un poco tarde, y observa desde lo lejos que el autobús está detenido, por lo cual comienza a correr a una velocidad constante de 6 m/s, a fin de alcanzarlo. Cuando Alejandro se encuentra a 25m del autobús, éste inicia la marcha con una aceleración constante de 1 m/s². En estas condiciones ¿alcanzará Alejandro el autobús?

219

Semana 9

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Vamos al grano Reforcemos el concepto de aceleración mediante los siguientes ejemplos. 1. Un ciclista parte del reposo (v=0m/s) y posee una aceleración de 3m/s2. ¿Qué velocidad alcanzará al cabo de 4s? Si su aceleración es de 3m/s2 esto indica que su velocidad va a aumentar 3m/s cada segundo y como parte del reposo, se tiene que: En 1s, su velocidad es 0+3m/s =3m/s; a los 2s, su velocidad es de 3m/ s+3m/s=6m/s; a los 3s su velocidad es 9m/s y finalmente en 4s su velocidad es de 12m/s. ¿Qué harías para hallar la velocidad a los 5s? Como has podido observar, la velocidad final se puede obtener multiplicando la aceleración por el tiempo: v=a.t. Si la velocidad con la cual se inicia el movimiento es diferente de cero habrá que sumarla a esta fórmula. Por ejemplo, si la velocidad inicial es de 10m/s, ¿cuál será su velocidad al cabo de 4s? 2. Un automóvil tarda 10s en pasar de v=0m/s a v=50 m/s con una aceleración constante. ¿Cuál es el valor de ésta? Si tarda 10s en obtener una velocidad de 50m/s, partiendo del reposo, significa que en cada segundo aumentaba su velocidad 5m/s, esto es la aceleración, a=5m/s2 3. Qué tiene mayor aceleración ¿un avión que cambia su velocidad de 980km/h a 990km/h en 10s o una bicicleta que pasa de 0 a 10km/h en un segundo? Piensa bien la respuesta… Es importante que diferencies velocidad y aceleración. Generalmente asumimos que si un cuerpo tiene mayor velocidad que otro, también debe tener una mayor aceleración. Puedes ver que ambos aumentan su rapidez en 10km/h. Sin embargo, la bicicleta emplea 1s para ese aumento, mientras que el avión emplea 10 veces ese tiempo; en consecuencia, la aceleración es menor en el avión, por ser de 1km/h cada segundo; mientras que en la bicicleta es de 10km/h cada segundo.

Resolución de problemas de MRUV 1. ¿Qué distancia recorrerá un auto que avanza con una velocidad de 40m/s si desacelera a 4m/s2 hasta detenerse? Datos:

220

La vo=40m/s, como el auto se detendrá v=0, y como desacelera a= - 4m/ s2 (¿Por qué este valor es negativo?). a · t2 Para calcular la distancia usamos x = vo · t + 2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Semana 9

Observa que nos falta calcular el tiempo. Y puedes hacerlo empleando las fórmulas mostradas en el cuadro de la semana anterior pero, en este caso, es bien sencillito calcularlo sin fórmula. Sabemos que su velocidad inicial es de 40m/s y su velocidad disminuye 4m/s cada segundo hasta detenerse; esto le tomará exactamente 10s. Halla el tiempo empleando la fórmula para que te asegures de que los resultados son iguales. Una vez calculado el tiempo que tarda en detenerse, sustituimos los datos en la ecuación de la distancia: x = vo · t +

a·t 2

3m 3m - 2 2 s s 30m = 100s2 = · 10s + · (10s)2 = 300m 2 2 s -

300m = 300m - = 150m 2 Ahora veremos problemas donde intervienen dos móviles. Algunas recomendaciones que pueden facilitarte el trabajo son las siguientes: ü Realiza una ilustración de la situación, ésta ayudará a organizar las ideas. ü Identifica datos y condiciones; puedes preguntarte si las magnitudes que intervienen (tiempo, distancia…) son iguales o diferentes para ambos móviles. ü Indica el tipo de movimiento de cada uno y escribe las ecuaciones correspondientes. 2. Un automóvil en una carretera lleva una velocidad de 120km/h (33,3m/s) y rebasa a un camión cuando aparece en sentido contrario otro automóvil a 100km/h (27,8m/s). Los dos conductores frenan simultáneamente y frenan ambos autos con una aceleración constante de 5m/s2. ¿Cuál debe ser la distancia mínima entre los autos, al inicio de la frenada, para que no choquen entre sí? Auto 1

Auto 2

Figura 34. Problemas de autos 221

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Semana 9

Puedes observar en la ilustración que la distancia mínima corresponde a la distancia x. Dado que cada uno debe recorrer una distancia mientras están desacelerando, la distancia mínima estará dada por la suma de cada una de esas distancias.

Datos Auto 1

Auto 2

vo1 = 120 km/h (33,3m/s)

vo2 = 100 km/h (27,8m/s)

a = -5m/s2

v =0 (va a detenerse)

x1 = ?

x2 = ?

Las velocidades son distintas y el tiempo que transcurre hasta que se detienen es el mismo, por tanto, la distancia es diferente para cada automóvil. en este problema no es recomendable utilizarla, La fórmula x = vo · t + a ·2t puesto que tendríamos dos incógnitas. Puedes usar la fórmula vf 2 = vo 2 + 2·a·x Observa que tienes todos los valores a excepción de la distancia, que es precisamente lo que debes despejar; tenemos así: 2

vf 2 - vo 2 vf2 - vo2 = 2·a·x Al despejar x se tiene: x = (justifica cada paso) 2a Auto 1

vf2 - vo2 2a

33,3m 0 s = 5m 2 - s2

m2 -1108,9 s2 = = 110,89m -10m s2

Auto 2.

vf2 - vo2 2a

27,8m 0 s = 5m 2 - s2 2

772,8m2 0 s2 = m -10 2 s 2

= 77,28m

Así que debe haber entre ellos una distancia mínima de xa+xb= 188,2 m para evitar el choque. 222

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

El auto 1 se va a detener a 110,89m

Semana 9

El auto 2 se va a detener a 77,2m

Figura 35 3. Un conductor pasa frente a un inspector de tránsito, quien decide seguirlo porque el límite de velocidad era de 60km/h (16,7m/s) y el auto iba a 72km/h (20m/s). El inspector, partiendo del reposo, inicia la persecución 10s después que pasó el auto, a una aceleración constante. Se sabe que el inspector alcanza al conductor a 3000m de donde partió. Determine la velocidad del inspector de tránsito en ese momento. El movimiento que realiza el conductor es un MRU, con velocidad constante de 72km/h (su aceleración es cero), mientras que el inspector desarrolla un movimiento uniformemente acelerado. Además, el inspector lleva una desventaja de 10s, es decir él tiene 10s menos que el otro para recorrer la misma distancia, así que él debe desarrollar una velocidad mayor que la del conductor para poder alcanzarlo.

Datos Conductor (MRU)

Inspector (MRUV)

vcte = 20 m/s

v0 = 0

t1= ?

t2 = t1 -10s

x = 3000m

x =3000m vf = ?

ü La distancia recorrida por el conductor: x = v · t, despejamos el tiempo x 3000m t= = t = 150s v 20s Luego el tiempo que empleará el inspector de tránsito será 150s-10s=140s ü La distancia recorrida por el inspector de tránsito: 2 a · (150 - 10s)2 = 3000m x = a · (t - 10s) á (140s)2 = 6000m 2 2 a = 6000m2 19600s

= 0.31m s2

Ahora para determinar la velocidad del motociclista, usamos la fórmula: 0.31m v = vo + at = 0 + 2 s

· 140s = 43,4m/s

223

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Semana 9

Para saber más… Considerando nuestro problema inicial, tenemos que Alejandro debe alcanzar al autobús con una velocidad constante de 6m/s. Así que si el estudiante pretende alcanzarlo deberá recorrer los 25m que el autobús lleva de ventaja más lo que éste avance con un movimiento con aceleración constante. üDistancia recorrida por el estudiante (MRU): x1 = 6 · t

1· t2 t2 = 25 + 2 2 Para que Alejandro alcance el autobús, las distancias recorridas tanto por él como por el autobús, deben ser iguales, es por ello que podemos igualar x1 = x2. En este caso, obtendremos una ecuación de segundo grado: üDistancia recorrida por el autobús (MRUV): x2 = 25 +

6t = 25 +

t2 2

12t = t2 +50

t2 - 12t + 50 = 0

Se obtiene una ecuación cuadrática ¿cómo vas hallar su solución? Usamos para ello la fórmula general para la resolución de ecuaciones de 2do grado: -b ± b2 - 4ac 2a Sin embargo, recordarás que primero vemos si esta ecuación tiene solución real, esto lo hacemos empleando el discriminante: b2 - 4 · a · c

(-12)2 - 4 · 1 · 50 =

144 - 200

-56 < 0

En este caso no hay soluciones reales. La ecuación anterior también puede analizarse mediante el gráfico de la función cuadrática f(t) = t2 - 12 t + 50 Como vemos no corta al eje x, por lo cual no tiene solución real. Función Distancia Vs. Tiempo 300 250 Distancia (m)

200 150 100 50

-15

224

-10

-5

0 5 Tiempo (s)

Figura 36. Gráfico distancia contra tiempo

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Semana 9

¿Qué gráfico te sugieren las ecuaciones de distancia recorridas por Alejandro y por el autobús? Como puedes ver, Alejandro lleva un MRU, por lo cual la distancia que recorre es una función lineal del tiempo, mientras que el autobús acelera a 1m/s2, por lo cual su movimiento es MRUV; en este tipo de movimiento la distancia es una función cuadrática de tiempo. Cuando trabajamos con problemas de dos móviles y podemos establecer la distancia como una función del tiempo, los gráficos de dichas funciones pueden interceptarse o no, indicando si los autos se encontrarán en algún lugar o sencillamente si uno nunca alcanzará al otro. Las ecuaciones distancia-tiempo para el autobús y para Alejandro, se muestran en la figura 37. Como puede apreciarse, no tienen puntos en común, por lo cual en ningún momento las distancias se igualarán, así que, tal como mencionamos antes, Alejandro nunca alcanzará el autobús. Gráfico que describe el movimiento del autobús y el movimiento de Alejandro 350 300

Distancias recorridas (m)

Gráfica distancia tiempo para el autobús 250 200 150 100 50 Gráfica distancia tiempo para Alejandro 0 0

Tiempo (s)

Figura 37. Gráfico distancia contra tiempo Revisa el DVD y encontrarás una serie de ejercicios y/o problemas resueltos para que complementes tus aprendizajes.

225

Semana 9

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Aplica tus saberes Resuelve los siguientes problemas: 1. Se tienen dos cuerpos, uno cambia su velocidad de 25 km/h a 30 km/h y el otro de 96 km/h a 100 km/h. Si los dos cambios suceden durante el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál tendrá mayor aceleración? 2. Un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desarrolla en el instante t=0 una velocidad inicial vo=5m/s y su aceleración es de a=1,5m/s2 a) Calcula el aumento de la velocidad del cuerpo en el intervalo de 0 a 8s. b) Halla la velocidad del cuerpo a los 8s. c) Traza el diagrama v-t para el intervalo de tiempo considerado. 3. Un avión cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20m/s2 y necesita 100m para detenerse. Calcular: a) ¿Con qué velocidad toca la pista? b) ¿Qué tiempo demoró en detenerse el avión? 4. Un automóvil está parado en un semáforo. En el momento en que la luz se enciende, arranca con una aceleración constante de 2m/s2. En ese momento, un autobús, que avanza a una velocidad constante de 60km/h, lo adelanta. Calcula: a) ¿A qué distancia del semáforo el auto alcanza al autobús? b) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que el auto alcanza al autobús? c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? 5. Dos autos circulan por el mismo carril, pero, en sentidos contrarios, con velocidades de 90 km/h y 108 km/h. Cuando se divisan uno al otro están a 100 m de distancia y los dos comienzan a frenar con una aceleración de 5 m/s2. a) ¿Llegarán a chocar?, b) Si lo hacen, ¿en qué posición tendrá lugar el impacto?

226

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Semana 9

Comprobemos y demostremos que… 1. Formen pequeños grupos para socializar los problemas que previamente has intentado resolver. 2. Selecciona con una x en el recuadro las acciones que te ayudaron a consolidar los temas tratados en esta semana: Realicé las consultas sugeridas en la sección “Para saber más”. He realizado la mayoría de los ejercicios y problemas propuestos. Consulto mis dudas e inquietudes con los facilitadores. He comparado mis resultados con los otros compañeros del grupo. Otros:_________________________________________________

El trabajo del pensamiento se parece a la perforación de un pozo: el agua es turbia al principio, mas luego se clarifica. Proverbio chino

227

Semana 10 10 Semana Caída libre (parte 1)

Caída libre (parte 1)

¡Empecemos! Has visto cuando lanzas cualquier objeto o ves caer frutos de los árboles, que éstos son atraídos hacia la superficie de la tierra ¿Te has preguntado qué tipo de movimiento desarrollan estos cuerpos? Esta semana seguiremos estudiando el MRUV pero en dirección vertical; este tipo de movimiento se llama “Caída libre” y se caracteriza por ser un descenso libre de toda restricción de rozamiento, sin fricción con el aire, sólo bajo la influencia de la gravedad. Verás que el desarrollo de esta temática amerita un trabajo experimental de tu parte que nos permitirá construir la teoría, de allí que el éxito del aprendizaje será resultado del empeño que hayas puesto en realizar cada una de las actividades guiadas.

¿Qué sabes de...? Es importante que tengas claridad en las características del MRUV: ¿qué es lo que varía?, ¿qué se mantiene constante? Define con tus propias palabras qué es aceleración. Revisa las semanas anteriores, en caso de ser necesario.

El reto es... El reto es que logres determinar experimentalmente el valor aproximado de la aceleración debido a la gravedad, utilizando materiales disponibles en tu entorno. ¿Qué necesitas? Una metra, cronómetro (la mayoría de los celulares tienen cronómetro), cinta métrica de la que utilizan los albañiles.

228

Cinta métrica Esfera

Figura 38

¿Cómo hacerlo? Desde el primero, segundo y tercer piso de un edificio deja caer una metra. Para cada una las respectivas alturas registra el tiempo 4 veces (o más) para disminuir los errores de medida debidos al experimentador. Recoge la información en la tabla 10.

Semana 10

Caída libre (parte 1) Tabla 10 Altura 1er piso

Altura 2do piso

Altura 3er piso

Tiempos (en segundos) Tiempo 1=

Tiempo 1=

Tiempo 2=

Tiempo 3=

Tiempo 4=

Promedio=

Necesitas apoyo de un compañero o compañera para hacer la actividad. Recuerda: El promedio lo hallas al sumar los tiempos, en este caso los 4 valores, y dividir entre el número de valores. ¿Qué predicciones puedes hacer?, ¿crees que un cuerpo tendrá mayor aceleración cuanto más alto se deje caer? Si cambiaras el balín por un objeto más masivo (una esfera de plomo de mayor radio, una pelotica de goma…), ¿consideras que el cuerpo más pesado adquiere mayor aceleración que el ligero?, ¿ambos adquieren la misma aceleración? Si ambos son lanzados desde una misma altura ¿cuál de los dos tocará primero el suelo? ¡Argumenta tus respuestas! Luego de leer la teoría, compara tus ideas evaluando si estabas en lo cierto o no. Mientras avances en la lectura, adquirirás nuevos elementos que van a permitirte determinar el valor de la aceleración de gravedad.

Vamos al grano En este momento debes haber realizado las medidas correspondientes ¿cierto? Bien, para continuar con esta experiencia debes saber que el tipo de movimiento que realiza la metra al caer se conoce como caída libre.

¿Qué significa que un objeto esté en caída libre? Empecemos por aclarar las ideas que han girado en torno a este movimiento. Aristóteles (filósofo griego) creía que al dejar caer dos cuerpos con diferentes pe-

229 Figura 39

Semana 10

Caída libre (parte 1)

sos, cae primero aquel que tiene mayor peso y, sus ideas eran muy bien aceptadas por aquella sociedad. Sin embargo, Galileo Galilei, físico italiano, comprobó que al dejar caer dos objetos con distinto peso desde la misma altura (se comenta que este experimento fue realizado en la Torre de Pisa, en Italia), ambos llegan al suelo en el mismo instante. Contrario a las ideas aristotélicas, Galileo llegó a la conclusión siguiente: Si se dejan caer dos cuerpos, uno ligero y otro pesado, simultáneamente desde la misma altura, ambos llegarán al suelo en el mismo instante; esto ocurre porque ambos caerán con la misma aceleración. Puedes observar este hecho en el experimento del tubo al vacío, realizado por Newton; allí se coloca una pluma y una moneda, se observa que ambos caen al mismo tiempo. En uno de los videos que te sugerimos en la sección “Para saber más” puedes ver este maravilloso experimento. ¡No dejes de verlo! Esto sucede cuando el cuerpo únicamente está influenciado por la fuerza de gravedad, es decir, la fuerza de roce o empuje (ocasionadas por el aire) se consideran nulas o despreciables. Sin embargo, si dejas caer desde una cierta altura ambos objetos, llega primero la moneda ¿a qué se debe esto?, ¿contradice esto las ideas de Galileo? Un cuerpo que cae en la superficie terrestre, cuando se desprecia la resistencia del aire, desarrolla una aceleración constante. Dicho movimiento se denomina caída libre.

Ecuaciones de caída libre En la introducción manifestamos que este movimiento es MRUV, por lo tanto se aplican las mismas ecuaciones. Con la salvedad de que por ser un movimiento vertical, a la distancia se le llama altura de la caída, la denotaremos con la letra Y. Por otra parte, la aceleración de gravedad también es una magnitud vectorial dirigida hacia abajo, por lo cual conviene denotarla como –g. Cuando la velocidad tiene la misma dirección de la gravedad (hacia abajo), se asume que tiene signo negativo; si está en sentido contrario a la gravedad (hacia arriba) tendrá signo positivo. Tabla 11 Correspondencia de ecuaciones: movimiento horizontal y vertical MRUV Movimiento horizontal

v = vo - gt - g: aceleración de gravedad

v = vo + at x = xo + vo · t + 230

Movimiento vertical (caída libre)

a · t2 2

v2 = vo2 + 2 · a · (x - xo )

Y = Yo + vo · t -

g · t2 2

v2 = vo2 - 2 · g · (Y - Yo )

Y: altura

Semana 10

Caída libre (parte 1)

Si consideramos el caso más sencillo de caída libre, cuando el objeto cae desde el reposo, vo=0, las fórmulas de la columna derecha se simplifican aún más. Por ejemplo, la velocidad adquirida por el cuerpo después de un tiempo t, se puede expresar así: v = -gt Es decir, la velocidad o rapidez se obtiene multiplicando la aceleración por el tiempo t. En nuestro experimento, la metra cae desde el reposo. Tenemos que hallar el valor de la aceleración de gravedad, teniendo los valores de la distancia y el tiempo. ¿Cuál fórmula utilizarías para hallarla? ¡Muy bien!, usamos la fórmula g · t2 de la altura: Y = Yo + vo 2 Si tomamos como referencia el punto del lanzamiento, Yo = 0 y como vo = 0 g · t2 2Y 2Y se tiene Y = - , despejamos g, Y = g · t2 - 2 =g g = - 2 t 2 t El signo negativo indica que las alturas se miden hacia abajo. Supongamos que realizamos el experimento inicial desde una altura de 1,5m. Los resultados se muestran en la tabla 12. Tabla 12 Altura 1,5 m Tiempos (en centésimas de segundo) Tiempo 1 = 56 Tiempo 2 = 61 Tiempo 3 = 59 Tiempo 4 = 52 Promedio = 57 Promedio en segundos = 0,57 s Sustituyendo los respectivos valores en g =

2Y t2

-2Y -21,5 m -3 m m g = = = = -9,233... 2 2 2 2 (0,57s) 0,3249s 0,3249s s Al calcular g con las otras alturas, tus valores oscilarán entre 9,201 y 9,525 (incluso pueden estar fuera de este rango). El valor de la aceleración de gravedad que se acepta como promedio es 9,8m/s2. Los valores que obtuvimos tienen cierto margen de error, debido a que es difícil mantener precisión en tantas medidas.

231

Semana 10

Caída libre (parte 1)

El valor de la aceleración de la gravedad es el mismo para todos los cuerpos en caída libre que caen desde lugares cercanos a la Tierra y su valor es aproximadamente constante. Esto significa que la Tierra acelera a los cuerpos hacia su centro con la misma aceleración. En otras palabras, un cuerpo en caída libre aumenta su rapidez 9,8m/s cada segundo. Este valor suele usarse cuando se requiere un trabajo riguroso y exacto. A veces se opta por trabajar con g=10m/s2 dado que este valor facilita los cálculos y permite establecer relaciones más rápidas que el valor con decimal. Observa en la tabla 13 cómo aumenta (aproximadamente) la rapidez de un cuerpo que cae desde el reposo a medida que transcurre el tiempo. Calcula la altura en cada instante de tiempo. Tabla 13 Tiempo

Rapidez

10 m/s

20 m/s

30 m/s

40 m/s

50 m/s

60 m/s

70 m/s

Distancia Aceleración

Constante = 10 m/s2

El término caída libre aplica tanto a los objetos que se dejan caer como a aquellos que son lanzados verticalmente hacia arriba. Examinemos lo que ocurre con la rapidez de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, por ejemplo, una pelota. En el sistema de referencia que manejamos, la gravedad siempre se considera negativa, no importa si el cuerpo sube o baja; sin embargo, la velocidad puede cambiar de signo (positiva si sube o negativa si baja). ü Cuando la pelota sube, la velocidad es hacia arriba (positiva) y la aceleración hacia abajo (negativa), por lo tanto, como velocidad y aceleración van en sentido contrario, se trata de un movimiento retardado. 232

Semana 10

Caída libre (parte 1)

3s velocidad = 0 ü Cuando el cuerpo alcanza su máxima altura, la gravedad (hacia abajo) ha anulado 2s 4s por completo la velocidad. Es en ese punv = 10 m/s v = -10 m/s to donde se hace cero la velocidad, y el cuerpo comienza a descender (ganando 1s 5s velocidad), ahora con velocidad negativa v = 20 m/s v = -20 m/s (hacia abajo). ü Cuando la pelota baja, la velocidad es negativa y la aceleración también; velocidad y aceleración van en el mismo sentido (hacia abajo); por lo tanto, se suman y se trata de un MRUA (el signo negativo indica simplemente que está descendiendo).

0s v = 30 m/s

6s v = -30 m/s

Figura 40

Para saber más… Consulta las siguientes direcciones web, donde podrás obtener información interesante sobre la caída libre, con imágenes interactivas. http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/fisica/Tema1b.html http://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-es http://www.youtube.com/watch?v=xGErI2_Xc1c

Aplica tus saberes 1. Para un objeto en caída libre, que parte del reposo, ¿cuál es la aceleración al terminar el quinto segundo de caída?, ¿y al terminar el décimo segundo? Defiende tus respuestas. 2. Dos cuerpos, uno de los cuales es más pesado que el otro, descienden en caída libre en las proximidades de la superficie de la Tierra. a) ¿Cuál es el valor de la aceleración de caída para el cuerpo más pesado?, ¿y para el más ligero? b) ¿Cómo se denomina y cómo se representa esta aceleración de la caída de los cuerpos? 3. Cuando un cuerpo desciende en caída libre, a) ¿Qué sucede al valor de la velocidad en cada segundo? b) ¿Y si el cuerpo fuera lanzado verticalmente hacia arriba?

233

Semana 10

Caída libre (parte 1)

4. Elabora un mapa conceptual y/o mental con los diferentes movimientos estudiados hasta el momento; resalta sus características.

Actividad para realizar en el CCA 5. ¡Medir el tiempo de reacción de tus compañeros! • Mantén una regla (de 30cm) sostenida verticalmente, tomándola entre tus dedos por el extremo superior, de modo que el cero de la regla esté en el extremo inferior.

• Pide a algún compañero que coloque los dedos de su mano cerca del cero de la regla, sin tocarla, pero preparado para tenerla cuando vea que sueltas la regla, dejándola caer. • Sin aviso, suelta la regla. Tu compañero debe tratar de detenerla lo más rápido posible. Si observas la posición donde logró sujetarla, tendrás la distancia (en cm) que ésta recorrió durante la caída. Figura 41 • La distancia que ha caído la regla depende de su tiempo de reacción, 2 2Y usando: Y = g · t , despejando el tiempo t = g que corresponde 2 al tiempo de reacción de tu compañero. Compara el resultado con los tiempos de reacción de otros compañeros.

Comprobemos y demostremos que…

Autoevaluación

Al final de cada sesión siempre es recomendable autoevaluarnos para visualizar qué tanto estamos poniendo de nuestra parte. ¿En qué aspectos del tema has tenido dificultad?, ¿has realizado las consultas sugeridas?, ¿cuál ha sido tu nivel de participación?

El trabajo hecho con gusto y con amor, siempre es una creación original y única. Roberto Sapriza

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Caída libre (parte 1) Semana 11 Caída libre (parte 2)

Semana 10

¡Empecemos! La semana anterior estudiamos que los cuerpos sometidos a la acción de la tierra desarrollan un movimiento acelerado. La aceleración de un objeto que cae lo hace con una aceleración de 9,8m/s2; en realidad no se cumple exactamente así, debido a la fuerza de roce con el aire. Ahora veremos cómo influye la fuerza de roce en un objeto que cae. También se presenta en esta semana la resolución de algunos problemas que pueden resolverse empleando las ecuaciones de caída libre.

¿Qué sabes de...? Para que avances satisfactoriamente en la lectura de este material, necesitas tener claridad en los conceptos de caída libre, sus ecuaciones y tener dominio en el despeje. Por ello, repasa nuevamente lo visto en la semana anterior.

El reto es... Realiza las siguientes experiencias: 1. Deja caer simultáneamente, de una misma altura, dos hojas iguales (puede ser tipo carta), si son recicladas ¡nuestro planeta Tierra estará muy agradecido! Observa que, en la caída, oscilan levemente debido a la resistencia del aire. ¿Llegan, aproximadamente, juntas al suelo? 2. Arruga una de las hojas hasta que formes una bola. ¿Cambia este procedimiento el peso de la hoja? Deja caer simultáneamente la bola (hecha con la hoja) y la hoja lisa (sin arrugar), desde una misma altura. ¿Llegan juntas al suelo? ¿Cómo es posible que en la experiencia 2 las hojas no lleguen al suelo en el mismo instante, si ambas tienen el mismo peso?, ¿qué factor influye en que un cuerpo caiga primero que otro?, ¿podrías decir a qué se debe que las caídas en los ejemplos 1 y 2 sean diferentes?

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Semana 11

Caída libre (parte 2)

Vamos al grano Resolución de problemas de caída libre 1. Para saber la profundidad de un pozo, una persona dejó caer una piedra y 3s después oyó el ruido del choque contra el fondo del pozo. Se sabe que la velocidad del sonido en el aire vale 340m/s. a) Calcula el tiempo que la piedra necesitó para llegar al fondo del pozo. b) Determina la profundidad del pozo. ¿Qué tipo de movimiento desarrolla la piedra y el sonido? Cuando la persona oye el ruido del choque de la piedra han transcurrido 3s, distribuidos entre el tiempo que la piedra recorrió la profundidad que tiene el pozo (tp) más el tiempo que necesita el sonido para llegar al oído de la persona (ts), la velocidad del sonido es constante, por lo cual tenemos que, mientras la piedra realiza un movimiento en caída libre, el sonido tendrá un MRU. Así que el tiempo se distribuye en tp + ts =3s. Por otro lado, las alturas que recorrerán, tanto la piedra como el sonido, son iguales, es decir, la profundidad del pozo. La profundidad (altura) recorrida por la piedra será: Y=-

g · (tp)2 10 · (tp)2 = = -5 · (tp)2 2 2 Y = -5 · (tp)2 (1)

La distancia que recorre el sonido vendrá dada por: Y = v · ts = 340 · ts (2) Pero el tiempo del sonido (ts), podemos escribirlo en términos del tiempo de la piedra como ts = 3 - tp y al sustituirlo en la ecuación (2) tenemos: Y = 340 · ( 3 - tp ) = 1020 - 340 tp Y = 1020 - 340 tp (3) Igualamos la ecuación (1) con la ecuación (3). ¿Por qué? 5 · ( tp )2 = 1020 - 340 tp

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5 · ( tp )2 + 340 tp - 1020 = 0

¡Resuelve la ecuación de segundo grado! Tendrás dos valores, uno positivo y uno negativo, recuerda que los tiempos no pueden ser negativos. Así que la solución positiva es tp=2,88s. Luego el tiempo que emplea la piedra para llegar al fondo del pozo es de 2,88s. El resto del tiempo 0,12s es lo que tardó el sonido en viajar desde el fondo del pozo hasta llegar al oído de la persona.

Semana 11

Caída libre (parte 2)

Como en el inciso b) nos piden determinar la altura, podemos obtenerla al sustituir el tiempo en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2. Considerando la ecuación 1, nos queda Y = -5 · ( 2,88 )2 = - 41,47 m, aproximadamente. La profundidad del pozo es de 41,47m. 2. El siguiente problema es muy interesante. Está referido a las aventuras de Superman. Luisa, la joven enamorada de Superman en esta historieta, está en peligro, ella es arrojada desde lo alto de un edificio de 180m de altura y desciende en caída libre (con v0=0). Superman llega a lo alto del edificio 4s después del inicio de la caída de Luisa y se lanza a salvarla con velocidad constante. ¿Cuál es el mínimo valor de la velocidad que deberá desarrollar este superhéroe para alcanzar a su admiradora antes que choque contra el suelo? Usa el valor de g=10m/s2 Debes preguntarte qué tipo de movimiento desarrolla cada uno, esto te permitirá establecer las respectivas ecuaciones y gráficos. Podrías plantearte ¿cuánto tiempo emplea Luisa en su caída?, ¿con cuánto tiempo cuenta Superman para salvar a Luisa? La altura Y, que recorrerá Luisa, también la debe recorrer Superman, por tanto, las distancias que ambos recorren son iguales. Luisa desarrolla un MRUA, mientras que Superman MRU. En el problema se nos pide hallar la velocidad mínima que debe desarrollar Superman, para esto tienes que saber cuánto tiempo emplea él en salvarla. Ciertamente el tiempo empleado por Superman, ts, Figura 42 tiene que ser menor que el de Luisa, tL, exactamente 4s menos, para poder evitarle un trágico final. Si sabemos el tiempo que ella emplea en su caída, podremos determinar cuánto tiempo le queda al superhéroe para salvarla. En la tabla 14 se reflejan las condiciones mostradas en el problema. No significa que los problemas tienes que hacerlos así, pues esta es una de las maneras de organizar la información. Tabla 14 Descripción de los movimientos realizados por Luisa y Superman Luisa (MRUA) Tiempo

Altura recorrida

10 · (t)2 g · (t)2 = = 5 tL2 Y =5 tL2 2 2

Sustituyendo Y= 180m, se obtiene (1) 180 = 5 tL2

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Semana 11

Caída libre (parte 2) Superman (MRU)

Tiempo

(2) ts = tL - 4s

Altura recorrida

Y = v · ts, sustituyendo Y = 180, se tiene, 180 = v · ts Se despeja velocidad que se busca (3) v = 180 ts

180 De la ecuación 1, despejamos el tiempo, tL = 5

36 = 6s

De ahí tenemos el tiempo que tardaría Luisa en llegar al suelo, es decir lo que tarda en recorrer los 180m. Para hallar el tiempo que Superman tiene parar salvarla, sustituimos tL=6s en la ecuación 2, nos da 2s. Finalmente, al sustituir el valor de 180m y el tiempo en la ecuación 3 obtendremos el valor de la velocidad mínima, 90m/s, que Superman requiere para salvar a Luisa ¿Qué le sucederá a nuestra amiga si el superhéroe desarrolla una velocidad menor a la mencionada? Grafica en el mismo plano cartesiano la gráfica distancia-tiempo de cada movimiento.

Como sabes, nuestro hogar, La Tierra, está rodeada de una capa de gas (dióxido de carbono, nitrógeno, oxigeno…) que se llama atmósfera. Ésta envuelve la Tierra y evita que el aire salga, creando así un inmenso océano de aire.

Gravedad

Factores que influyen en la caída de los cuerpos Fuerza de roce del aire

El aire es un fluido (porque fluye); la fricción en el aire se conoce como resistencia y es una fuerza que se opone a la Figura 43 de la gravedad. Esta siempre actúa hacia abajo, si la resistencia del aire se opone al movimiento del objeto, nos indica que va a actuar en sentido contrario, en este caso, hacia arriba. La fuerza de resistencia del aire que actúa en un objeto que cae depende de dos factores: de la rapidez y del área de contacto. En el ejemplo de las hojas de papel, el peso es el mismo para ambas, lo que determina que una llegue primero que la otra es el área de superficie: la hoja extendida tiene mayor área de superficie que la otra, lo que aumenta considerablemente la resistencia al aire, retardando así el movimiento.

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Para entender cómo se relacionan la rapidez del objeto en caída libre y la resistencia en el aire, tenemos que percatarnos de que, a medida que aumenta la rapidez del objeto, la resistencia del aire también se incrementará. Por

Semana 11

Caída libre (parte 2)

ejemplo, un ciclista que se desplace a 25km/h encontrará mayor resistencia que otro que se desplace a 5km/h. En el ejemplo de un cuerpo que cae, a mayor rapidez de caída habrá mayor resistencia del aire en sentido conAcelerado trario a la caída; la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra P=R sobre el objeto es contrarrestada en forma creciente por la fuerza de roce del aire, en el momento que esas fuerzas Movimiento están en desequilibrio (una es mayor que la otra) el cueruniforme po que cae tiene aceleración hasta que ambas fuerzas se equilibran y cuando esto ocurre (en algunas situaciones Figura 44 no llega a ocurrir) el cuerpo continúa descendiendo con velocidad constante hasta el final de su viaje; a esta última se le conoce como velocidad terminal. Donde P es la fuerza de gravedad y R la resistencia del aire. Ahora bien, con esto podemos entender porque la hoja arrugada cae primero que la lisa (o porque la moneda cae primero que la pluma). La hoja lisa, al tener mayor superficie de contacto frontal con el aire, ofrece mayor resistencia, es decir la fuerza de roce se incrementará mucho más rápido que en un objeto que tiene superficie menor, hasta que se anule con la fuerza de gravedad. A partir de allí, la hoja lisa iniciará un movimiento con velocidad constante, mientras que el otro objeto aún tiene aceleración, sigue con un movimiento acelerado, llegando primero éste último al suelo.

Para saber más… La aceleración de gravedad no es igual en todos los planetas. En La Tierra, como sabes, es de aproximadamente 9,8m/s2, pero en Marte, por ejemplo, es de 3,72 m/s2. A través del siguiente ejercicio (sólo necesitas saber despejar y sustituir), calcula el valor de la aceleración de gravedad lunar. Un astronauta en la luna arrojó una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 8m/s y tardó 5s para alcanzar el punto más alto de la trayectoria (esto significa que la velocidad en ese punto es 0). Revisa las ecuaciones vistas anteriormente. Bien, como te has dado cuenta el valor de la luna es aproximadamente 1,6m/s2, la aceleración de la gravedad en la Tierra es aproximadamente 6 veces mayor que la gravedad lunar. Si un objeto se deja caer (vo=0) desde una misma altura en la Tierra y en la luna, ¿cuál de ellos llegará primero? ¡Exacto! El objeto en la Tierra llega primero, debido a que la aceleración es mayor, es decir, el cuerpo incrementa su velocidad 9,8m/s cada segundo, mientras que en la luna su velocidad aumenta 1,6m/s2 cada segundo. Ahora puedes entender porqué en el video de la semana anterior los objetos en la luna “parecen flotar”, es decir, su caída es muy lenta, comparándola con la de los cuerpos que caen en la Tierra.

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Semana 11

Caída libre (parte 2)

Aplica tus saberes 1. Si no fuera por la resistencia del aire, ¿sería peligroso salir a la intemperie en días lluviosos? 2. El astronauta Scott, de la nave Apolo 15 que llegó a la superficie de la luna, dejó caer desde una misma altura, una pluma y un martillo, y al comprobar que los objetos llegaron juntos al suelo exclamó ¡Vaya que Galileo tenía razón! ¿Cómo explicarías el hecho de que ambos objetos cayeran simultáneamente?, ¿por qué, por lo general, en la Tierra una pluma cae con más lentitud que un martillo? Resuelve los siguientes problemas y ejercicios. 1. Desde lo alto de un edificio, accidentalmente se deja caer una pinza para ropa. Si la pinza tarda en llegar al piso 15 segundos: a) ¿Cuál es la altura del edificio? b) ¿Con qué velocidad choca contra el piso? 2. Si no hubiese resistencia al aire ¿con qué rapidez caerían las gotas que se formarían en una nube a 1km sobre la superficie del suelo? (¡por suerte esas gotas sienten la resistencia del aire cuando caen!) 3. Un niño, en un puente existente sobre la calle, deja caer una piedra exactamente en el momento en que un camión comienza a pasar por abajo. El camión mide 10m de longitud y la piedra se dejó caer desde una posición de 5m arriba del vehículo. ¿Cuál debe ser la mínima velocidad del camión para que la piedra no lo golpee?

Nadie puede hacer el bien en un espacio de su vida, mientras hace daño en otro. La vida es un todo indivisible. Mahatma Gandhi

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Caída libre (parte 2) Semana 12 Fenómenos electrostáticos

Semana 11

¡Empecemos! Es muy probable que hayas observado al peinarte cómo tu cabello se eriza o posiblemente después de arrastrar tus pies sobre una alfombra y tocar una manilla metálica hayas sentido una pequeña chispa en tu dedo. Estos fenómenos se han de explicar a través de cargas eléctricas en reposo. Por esta razón, este estudio recibe el nombre de electrostática. La electricidad estática suele ocasionar repulsión y atracción entre dos cuerpos. Esta semana nos dedicaremos a analizar los fenómenos asociadas a ésta, así como las diferentes formas de cargar un cuerpo.

¿Qué sabes de...? Da una explicación de los siguientes fenómenos: • Un peine se electriza cuando se frota con el cabello y luego puede atraer a éste (puedes probar con el cabello seco, péinalo y acércalo a unos papelitos). Explica por qué sucede esto. • Frota un pitillo con un trozo de tela de seda y luego acércalo a un chorro fino de agua, sin hacer contacto. Explica lo sucedido.

El reto es... Realiza esta experiencia antes de la reunión en el CCA. El péndulo electrostático Materiales: Base soporte, esferas de poliestireno (bolita de anime), barra de plástico (puede ser una regla o un pitillo), barra de madera o pinza de madera, hilo, aguja, paño de seda y paño de lana. Descripción: Prepara varias esferas de poliestireno y atraviésalas con una aguja para pasarles un hilo que permita colgarlas de una barra aislante de

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Semana 12

Fenómenos electrostáticos

madera suspendida en lo alto de un soporte. Así has construido un péndulo electrostático (ver figura 45a)

Figura 45a

Figura 45b

1. Acerca la barra de vidrio a la esfera. ¿Qué ocurre? Frota a continuación la barra de vidrio con un paño de seda y acércala a la esfera. ¿Qué sucede? Toca la esfera con la mano para descargarla. ¿Por qué crees que se descarga con la mano? (Ver figura 45b). Repite la experiencia anterior usando la barra de plástico y frotando con el paño de lana. 2. Cuelga del soporte aislante dos esferas, a la misma altura y separadas 1cm. Frota con el paño de seda la barra de vidrio y acércala por debajo de las dos esferas, de forma que toque a ambas simultáneamente. Retira la barra de vidrio y observa la interacción de las dos esferas. Descarga las esferas tocándolas con la mano. Repite la experiencia con la barra de plástico y el paño de lana. ¿Las esferas se atraen o se repelen (se separan)? Descarga con la mano ambas esferas. Frota la barra de plástico con lana al mismo tiempo que otro compañero frota la de vidrio con seda. Acerca ambas barras simultáneamente hasta tocar cada una de las esferas. Retira la barra y observa lo que sucede.

Figura 45c

¿Las esferas se atraen o se repelen (se separan)? (Ver figura 45c).

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Anota tus observaciones y compártelas con tus compañeros del CCA. Debes hacer la lectura de este material.

Semana 12

Fenómenos electrostáticos

Vamos al grano Carga eléctrica Para comprender lo que ocurre en el interior de los cuerpos cuando son frotados, tenemos que recurrir al término carga eléctrica. En la naturaleza la carga eléctrica es inherente a la materia. Sin embargo, no toda la materia expresa fenómenos electrostáticos. La materia que nos rodea a su vez está formada por átomos que constan de neutrones, protones y electrones. Los protones y electrones tienen una propiedad que se conoce con el nombre de carga eléctrica. Esta carga eléctrica puede ser de dos tipos, los protones tienen carga eléctrica positiva, mientras que los electrones tienen carga eléctrica negativa. En la figura 46 se muestra el modelo de un átomo, en él puedes observar que los neutrones (no tienen carga eléctrica), los protones se encuentran en el núcleo del átomo y los electrones se encuentran en las órbitas. Los electrones son partículas mucho más ligeras que los protones. La carga de un electrón es igual en magnitud, aunque de signo contrario, a la de un protón. Electrones Neutrones

Protones

Núcleo

Figura 46. Estructura del átomo Si frotas un bolígrafo con un trozo de tela de lana (puedes probar con un pitillo previamente frotado con servilleta), verás que este es capaz de atraer pequeños trozos de papel. En este caso, decimos que el bolígrafo se ha electrizado. El bolígrafo queda cargado negativamente y el trozo de lana tiene carga positiva (ver figura 47).

243 Figura 47

Semana 12

Fenómenos electrostáticos

El proceso de electrización consiste en la transferencia de cargas eléctricas entre los cuerpos que se frotan. Cuando frotamos dos cuerpos entre sí hay una transferencia de electrones de un cuerpo hacia otro. Un cuerpo en su estado normal, no electrizado, posee el mismo número de electrones que de protones. Si ese cuerpo pierde electrones, tendrá un exceso de protones, es decir, quedará electrizado positivamente. Si recibe electrones, poseerá un exceso de estos y estará electrizado negativamente.

¿Por qué se electriza un cuerpo? Como se sabe, los protones y los neutrones se encuentran en el núcleo de los átomos y sus posiciones no se pueden cambiar por simple frotamiento, en cambio, como los electrones se encuentran en las órbitas exteriores del átomo mediante la fricción adquieren energía adicional para liberarse de él y transferirse de un cuerpo a otro. Por esta razón, en la electrización de los cuerpos por frotamiento sólo se llega a intercambiar electrones entre los dos cuerpos.

Formas de cargar un cuerpo Retomemos el experimento que has realizado, al acercar la barra de plástico o la regla a la esfera, no sucede nada porque el cuerpo está en estado neutro. Luego, al frotar la barra de plástico con un trozo de lana, la barra queda electrizada (electrización por frotamiento); al acercarla a la esfera del péndulo observa que es atraída por la barra de plástico electrizada y después del contacto (electrización por contacto) es repelida, esto se debe a que han adquirido el mismo tipo de carga. Has lo mismo, pero, con la barra de vidrio. ¿Qué observas? Se ha comprobado que el vidrio, cuando es frotado con seda, adquiere carga positiva y, por ende, la seda adquiere carga negativa; la barra de plástico queda electrizada negativamente y el trozo de lana positivamente. De la experiencia 2 puedes concluir lo siguiente: a) Los cuerpos cargados con carga del mismo signo, se repelen. b) Los cuerpos cargados con carga de distinto signo, se atraen.

+ 244

Figura 48

Semana 12

Fenómenos electrostáticos

Con el simple hecho de acercar un objeto electrizado a un cuerpo conductor (por ejemplo, una esfera metálica), la parte que está cerca del inductor (el objeto cargado) atrae cargas de signo contrario a éste, distribuyendo así las cargas en el conductor (que aún se encuentra en estado neutro). Es decir, se produce una separación de las cargas. Observa a través de la figura 49 cómo puede cargarse un cuerpo mediante la inducción. C

C A

I Si se acerca un inductor I, con carga positiva, a un conductor C en estado neutro, aparecen las cargas inducidas A y B.

Manteniendo el inductor I fijo, se efectúa una conexión a tierra. (Esto se puede hacer tocando a C).

I Hay, así un flujo de electrones libres hacia C que anula la carga positiva inducida y produce un exceso de carga negativa.

Figura 49. Procedimiento para electrizar un cuerpo por inducción Finalmente al retirar la conexión a tierra, el cuerpo queda electrizado negativamente. Esta forma de cargar un cuerpo se llama inducción. La inducción también ocurre entre un cuerpo cargado y un material no conductor.

La inducción se presentó cuando acercaste la barra de plástico a la esfera de anime (ésta estaba en estado neutro).

Para saber más… Para que puedas dar respuesta satisfactoria a la sección “El reto es…” te sugerimos revisar la siguiente dirección web, en la que podrás profundizar en las formas más sencillas de electrizar un cuerpo: http://www. etitudela.com/Electrotecnia/principiosdelaelectricidad/cargaycampoelectricos/contenidos/01d56993080930f36.html.

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Semana 12

Fenómenos electrostáticos

En el DVD encontrarás un excelente video que te permitirá ampliar los conocimientos en cuanto al surgimiento de la electrostática, la explicación de fenómenos electrostáticos y otras cosas más ¡No dejes de consultarlo!

Aplica tus saberes Analiza las siguientes preguntas: 1. Si se carga un globo negativamente por frotamiento y a continuación se pega en una pared. ¿Esto significa que la pared tiene carga positiva?, ¿por qué llega un momento en que el globo se cae? 2. Explica ¿cómo cargarías negativamente un objeto, únicamente con la ayuda de otro objeto con carga positiva? 3. Cuando te peinas sacas electrones de tu cabello, que se quedan en tu peine. Entonces, ¿queda tu cabello con carga negativa o positiva?, ¿y el peine? 4. Elabora en una lámina de papel bond un cuadro ilustrativo de las formas de electrizar un cuerpo (frotamiento, contacto, inducción y polarización). Puedes orientarte con preguntas como ¿en qué consiste cada una?, ¿la carga que adquieren los objetos después de cargarse por las formas citadas, son iguales o diferentes?, ¿qué diferencia hay entre el proceso de electrización por inducción y el de polarización? 5. A partir del video, comenta: ¿quién fue el primero en hacer experimentos electrostáticos?, ¿qué significa la palabra ámbar?, ¿qué concluyó el científico francés Francois Du Fay de sus experimentos?, ¿en qué consiste el pararrayo inventado por Benjamín Franklin? Explica sus ventajas.

Comprobemos y demostremos que… 1. En el CCA, formen pequeños grupos para comentar los resultados del experimento y el video. Si en el CCA tienen disponible un computador y un video beam, pueden disfrutar de éste nuevamente. 2. Entrégale al facilitador las respuestas a las preguntas propuestas en la sección anterior. En el CCA elabora la ilustración de las formas de cargar un cuerpo. 246

Una educación para los pobres no puede ser una pobre educación. José María Velaz

Semana 12

Fenómenos Semana 13electrostáticos Ley de Coulomb

¡Empecemos! Esperamos que esta semana sea de gran provecho para ti. De tu disposición y compromiso depende la calidad del trabajo. En esta ocasión cuantificaremos la intensidad de la fuerza electrostática, que surge cuando dos cuerpos se atraen o se repelen entre sí. Mediante gráficos estableceremos la ley de Coulomb, ésta permitirá dar respuesta a las siguientes preguntas: ¿con cuánta fuerza se repelen dos cargas?, ¿cuántas veces aumenta la magnitud de la fuerza cuando disminuye la distancia entre las cargas? entre otras interrogantes. Durante el desarrollo de esta semana, comprenderás la ley de Coulomb y resolverás problemas de cargas eléctricas empleando tus conocimientos de proporcionalidad directa e inversa.

¿Qué sabes de...? Si acercas una barra electrizada como la que se observa en la figura 50, responde, en función a los conocimientos adquiridos en la semana anterior.

Figura 50 a) ¿Hacia dónde se desplazan los electrones libres de este objeto metálico? b) ¿Cuál es el signo de la carga que aparece en el extremo de A y B, respectivamente? c) ¿Cómo se denomina el proceso de separación de cargas que ocurrió en el objeto metálico?

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Semana 13

Ley de Coulomb

El reto es... Apóyate en tus conocimientos sobre vectores para dar respuesta a las preguntas que se plantean. La idea es que establezcas tus conclusiones para posteriormente contrastarlas con la teoría que verás en la siguiente sección. Situación N°1. La fuerza eléctrica es proporcional a la carga. Observa cuidadosamente cómo varía la magnitud del vector fuerza a medida que se modifica el valor de la carga: q1 + 2q1 + q1 + 2q1 +

3q2

d Figura 51 De acuerdo con la figura 51 puedes responder a estas preguntas: ¿qué ocurre con la magnitud de la fuerza cuando se duplica o triplica el valor de una carga?, ¿qué ocurre con el valor de la fuerza cuando se incrementa el valor de ambas cargas? El valor de la fuerza es más intensa ¿cuándo aumenta el valor de una carga o de ambas?, ¿qué ocurre con la magnitud de la fuerza a medida que se incrementa el valor de las cargas?, ¿qué relación existe entre las fuerzas y las cargas? Situación N°2. La fuerza eléctrica depende de la distancia entre las cargas. Observa cuidadosamente los gráficos y responde:

F q1 + 9

q1 + F 4 q1 +

r 2r 3r Figura 52

q2 F 4

F 9

Cuando se duplicó, triplicó el valor de la distancia ¿qué le ocurrió a la magnitud de la fuerza?, ¿en cuánto disminuyó el valor de la fuerza en cada caso?, ¿qué le ocurre a la fuerza a medida que aumenta la distancia entre las cargas?, ¿qué relación existe entre la fuerza y la distancia entre las cargas? 248

No avances en la lectura del material, sin haber intentado dar respuesta a estas situaciones.

Semana 13

Ley de Coulomb

Vamos al grano Ley de Coulomb En la semana anterior se estableció de forma cualitativa que entre los cuerpos que tienen cargas eléctricas se producen fuerzas de atracción y de repulsión. F

Repulsión

Atracción

Figura 53 Para estudiar cuantitativamente con qué fuerza se atraen o se repelen las cargas, se utiliza la ley de Coulomb, deducida por Charles Coulomb (17361806). En su experimento con la balanza de torsión encontró que la intensidad (magnitud) de la fuerza electrostática depende de la distancia, la magnitud de las cargas y el coeficiente de k que es la constante de proporcionalidad. Al darle respuesta a la situación 1, se tiene que, si el valor de la carga se duplicará (2q1), triplicará (3q2), cuadriplicará, etc., el valor de la fuerza entre las cargas se duplicaría (2F), triplicaría (3F)… Coulomb concluyó que el valor de la fuerza F es proporcional a q1. Podemos escribir F q1, el símbolo se lee “es proporcional a”. De igual manera, si el valor de q1 no se altera, pero si se duplicará (triplicará, o cuadriplicará) el valor de q2, la fuerza también se duplicaría (triplicará, o cuadriplicará), podemos escribir F q2 Luego como F, es proporcional a q1 y q2, tenemos F q1 · q2 , es decir, La fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales es proporcional al producto de dichas cargas. En la situación 2, la fuerza ejercida entre dos cuerpos electrizados disminuye al aumentar la distancia entre ellos (o aumenta al disminuir la distancia); así Coulomb observó que cuando la distancia d es multiplicada por un número, la fuerza entre las cargas queda dividida por el cuadrado de ese número. Al combinar esas conclusiones y considerando el valor de la constante k, la ley de Coulomb expresa: Dos cargas eléctricas se atraen o se repelen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

249

Semana 13

Ley de Coulomb

A través de una fórmula matemática, esto se puede expresar así:

k q1 q2 d2

Donde: *F representa la fuerza electrostática entre las cargas. Su unidad en el sistema internacional es el Newton (N). *d es la distancia entre las partículas cargadas (medida en m, cm, mm…). *q1 y q2 representa la cantidad de carga. La unidad de la carga se simboliza con la letra C, que representa un coulomb; ejemplo: cuando el valor de la carga es q1= 13 C, se lee 13 coulomb. *k es la constante de proporcionalidad, cuyo valor es k=9x109 N.m2/C2

Para saber más… Profundicemos en la comprensión de esta ley, a través de la resolución de unos ejercicios. 1. Dos cargas eléctricas puntuales (puntuales porque se consideran de pequeñas dimensiones) están separadas por una distancia de 4x10-2 m y se repelen con una fuerza de 27x10-4 N. Piensa que la distancia entre ellas se aumenta a 12x10-2 m.

1 +q

2 +q

r Figura 54 a) ¿Cuántas veces se incrementó la distancia entre las cargas? b) ¿La fuerza entre las cargas aumentó o disminuyó?, ¿cuántas veces? c) Entonces ¿cuál es el nuevo valor de la fuerza de repulsión entre las cargas? d) La distancia incrementó 3 veces su valor: 12x10-2m=3. 4x10-2m. e) De acuerdo a lo estudiado, si aumenta la distancia entre las cargas la fuerza disminuye en un factor de 32=9, la fuerza será 9 veces más pequeña. 250

f ) La fuerza entre las cargas queda dividida entre el cuadrado del número 3, es decir 9, 27x10-4 N/9=3x10-4 N

Ley de Coulomb

Semana 13

2. Un átomo de hidrógeno está compuesto por un protón en su núcleo y éste atrae al electrón que gira alrededor de él. El electrón ¿atrae al protón con la misma fuerza o con más fuerza? Una fuerza es una interacción entre dos cosas, el protón y el electrón están interactuando. Las fuerzas en este caso son de origen eléctrico, de acuerdo a la ley de acción y reacción (tercera ley de Newton), siempre que un cuerpo A (protón) ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B (electrón), éste ejerce también una fuerza de igual magnitud y sentido contrario sobre el primero (protón). Es decir, la magnitud de las fuerzas con que interactúan es igual, aun cuando el valor de las cargas sea diferente.

Las fuerzas sobre las dos cargas son iguales. Por ejemplo, si la carga q1 ejerce una fuerza de 10N, sobre la carga q2, ésta ejercerá una fuerza de la misma magnitud.

Complementa la resolución de problemas de la ley de Coulomb, en el DVD o en la siguiente dirección web, donde se muestran unos ejercicios en los que se aplica la fórmula; consulta detalladamente sólo los dos primeros de este documento: http://issuu.com/ernestoyanezrivera/docs/problemas_de_ley_de_coulomb

Aplica tus saberes Resuelve los siguientes problemas. 1. Dos cargas puntuales están a 6cm de distancia. La fuerza de atracción entre ella es de 20N. Calcula la fuerza entre ellas cuando estén a 12cm de distancia. ¿Por qué puedes resolver el problema sin saber el valor de las cargas? 2. Dos cargas eléctricas puntuales están separadas por una distancia de 15cm. La distancia entre ellas se altera hasta que la fuerza eléctrica se vuelve 25 veces mayor. Si las cargas que se atraen entre sí en el problema anterior, tienen igual magnitud. ¿Cuál es la magnitud de cada una de ellas? 3. Dos cargas iguales ejercen fuerzas iguales entre sí. Y si una carga tiene el doble de magnitud que la otra, ¿cómo se comparan las fuerzas que ejercen entre sí?

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Semana 13

Ley de Coulomb

Comprobemos y demostremos que… 1. Realiza los ejercicios en tu casa y posteriormente en el CCA formen pequeños grupos y compartan los resultados. Entrégalos al facilitador. 2. Realiza un breve escrito donde evalúes tu participación en esta semana. Guíate mediante las siguientes preguntas: ¿he realizado la lectura del material antes de mi encuentro en el CCA?, ¿realicé las consultas sugeridas?, ¿cuáles son mis aprendizajes esta semana?, ¿en qué debo seguir mejorando?

Las mentes creativas son conocidas por ser capaces de sobrevivir a cualquier clase de mal entrenamiento. Anna Freud

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Ley de Coulomb Semana 14 Consolidando aprendizajes

Semana 13

¡Empecemos! Hemos llegado al final de otro semestre. Y es bueno saber que tú has logrado superarte día tras día, cumplir con todos los compromisos asignados, demostrando así que con voluntad y perseverancia todo es posible. Todo el equipo IRFA desea que el resto de camino lo recorras junto a nosotros, tú eres una persona valiosa. Recuerda tener siempre una actitud triunfadora. ¡Éxitos! Es muy probable que cuando finalizas un semestre, un trabajo, un proyecto, o incluso después de organizar y disfrutar de una fiesta, digas “si lo hubiese hecho de esta manera, seguro que…” . Cuando te expresas así estás evaluando, estás pensando en posibles mejoras. Por eso esta semana nos dedicamos a profundizar sobre nuestra actuación en los estudios del CCA, es un tiempo para reflexionar sobre las cosas que dejamos de hacer, aquellas que hicimos y cómo podemos mejorarlas. También se incluye en esta sesión unos ejercicios y problemas del área que permiten poner en práctica la mayoría de los conocimientos que se han adquirido durante todo el semestre.

¿Qué sabes de...? Analiza las siguientes frases: ü La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein ü Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano. Isaac Newton ü Una caminata de mil millas comienza con un pequeño paso. Lao-tse ü En todo logro extraordinario la perseverancia es un ingrediente necesario. El que persevera alcanza. Matthew Andrew

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Semana 14

Consolidando aprendizajes

El reto es... Revisa tu participación y desempeño en el CCA y evalúa qué tanto has aprendido del área

Vamos al grano De tu experiencia como participante, qué mejorarías y qué puedes sugerir para que el sistema IRFA también mejore. Con las siguientes preguntas orientadoras, se quiere que generes tales respuestas. ¿Cuál ha sido mi nivel de compromiso?, ¿asisto a los encuentros del CCA?, ¿dedico el tiempo suficiente para realizar las lecturas de los materiales y las actividades asignadas?, ¿le pido al facilitador que aclare mis dudas?, ¿qué rol, por lo general, ocupo cuando trabajo en grupos? Tus respuestas a las siguientes preguntas debes entregárselas al facilitador, pues éstas van a permitir que mejoremos los materiales en cada semestre. ¿Cuáles son tus impresiones respecto al material impreso y multimedia (calidad del texto, imágenes, temáticas tratadas)?, ¿el desarrollo de las temáticas se aborda de forma amena?, ¿las temáticas trabajadas en este material están en coherencia con las abordadas en otros semestres?, ¿en este material se abordan aspectos de mi realidad y/o cotidianidad?, las formas en que se han tratado los temas ¿son adecuadas para el área de matemática y razonamiento lógico?

Para saber más… Te recomendamos analizar el maravilloso video titulado “Lección de perseverancia, reflexión para la vida”, disponible en http://www.youtube.com/watch?v=AoM-69RQflM&feature=related

Aplica tus saberes A continuación se muestran algunos problemas de las semanas trabajadas en este semestre, a los que debes darle solución.

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1. La luz viaja en línea recta con velocidad constante de 300.000km/s. ¿Cuál es su aceleración?

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2. Un topógrafo necesita hallar el ancho de un cañón. Para ello se ubica en el punto x frente a un árbol situado en la orilla opuesta, camina 20m hacia la derecha y en ese lugar el ángulo entre la orilla del cañón y la línea de visibilidad hacia el árbol es de 55°, ¿cuál es el ancho del cañón? (Puedes apoyarte en la figura 55).

Figura 55 3. Completa la tabla 15, con las características de los movimientos estudiados. Tabla 15 Tipo de movimiento MRU

Características Posición

Velocidad

Aceleración

Es una función lineal del tiempo.

MRUV Es constante y positiva MRUR Es igual a la gravedad

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4. En la tabla 16 se muestran varios valores de la velocidad de un móvil que se desplaza en línea recta. Tabla 16 t(s)

v(m/s)

a) ¿Qué tipo de movimiento es? b) ¿Cuál es el valor de su aceleración? c) ¿Cuál es la velocidad inicial del móvil, en el instante t=0? d) ¿Cuál es la distancia que recorre el cuerpo desde t=0 hasta t=4s? Recuerda: debes hallar el área bajo la curva). Sugerencia: haz una gráfica. 5. Menciona un ejemplo de algo que se cargue por fricción, por contacto y por inducción. 6. ¿Qué función tiene el pararrayos? 7. En la tienda “Ilusión compartida” tienen unas ofertas de bombones por el día de la amistad. Éstos vienen en tres presentaciones: cajas pequeñas (250g), cajas medianas (500g) y 1kg. En un día vendieron 50 cajas en total (pequeñas, medianas y grandes), habiendo 10 cajas más de tamaño pequeño que mediano. Si el precio de cada kilo es de 36 Bs y la venta de ese día en bombones fue de 1080 Bs, determina ¿cuántas cajas se vendieron de cada tipo? 8. María dejó caer desde lo alto de un edificio una pelota (es decir, parte del reposo) y tarda 4s en llegar al suelo. Considera despreciable la resistencia del aire y g=10m/s2. ¿Cuál es la altura del edificio?, ¿con qué velocidad llega el cuerpo al piso? 9. La radiación es un proceso mediante el cual ciertas sustancias se desintegran liberando energía. Este proceso puede producirse de forma natural, en centrales eléctricas nucleares o en la producción de armas atómicas. Las mediciones indican que los materiales radioactivos se desintegran en un porcentaje fijo por unidad de tiempo.

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Por ejemplo, el argón radioactivo 39, tiene una vida media de 4 minutos, esto significa que en 4 minutos la mitad de una cantidad cualquiera de argón 39 se transforma (se desintegrará un 50% cada 4 minutos) en otra sustancia debido a la desintegración radioactiva. La función exponencial que permita conocer la cantidad que queda después de t minutos está dada por: f(t) = 200 ·

1 2

t 4

, donde la cantidad inicial es de 200 miligramos de argón.

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Completa la tabla 17 haciendo uso de la expresión anterior y grafica la función. ¿Es una función creciente o decreciente? Tabla 17 Tiempo (s)

Miligramos de argón

Tiempo (s)

t =0

200

t =12

t =4

100

t =16

t =8

t =20

Miligramos de argón

Comprobemos y demostremos que… 1. Recoge el análisis y reflexión que has realizado durante esta sesión en el siguiente cuadro. La idea es que te hagas consciente de cuáles son esos avances y dificultades, para que sepas en cuáles aspectos debes trabajar, para más ser exitoso cada día. Si quieres puedes compartirlo con tus compañeros del CCA. Avances y/o logros de este semestre

Debilidades

Propuestas de mejoras para seguir adelante…

Piensa en grande y tus hechos crecerán, piensa en pequeño y quedarás atrás, piensa que puedes y podrás, todo está en el estado mental. Napoleón Hill

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Referencias Bibliográficas Alvarenga, Beatriz y Ribeiro, Antonio (2001). Física General. Con experimentos sencillos. Oxford University Press. México. Barnett, Raymond (1995). Precálculo: Algebra, Geometría Analítica y Trigonometría. Editorial limusa, S.A. Grupo Noriega Editores. México, D.F. Carrasco, Patricia y Torres, Gerardo (2006). Matemáticas II. Geometría y trigonometría. Thomson. México. Hewit, Paul G. (2004). Física conceptual 9na edición. Pearson Educación. México. Jouette, André (2008). El secreto de los números. Swing ciencia. Madrid. La enciclopedia del estudiante: Tomo 7: Física y química (2006), 1era ed. Santillana. Buenos Aires. Sullivan, Michael (1997). Trigonometría y geometría analítica, 4a. Ed. PrenticeHall, México.

Electrónicas Caída libre. Consultado el 01 de junio de 2012, en http://es.scribd.com/ doc/21581794/Caida-Libre La física con Félix. Consultado el 05 de mayo de 2012, en http://rpalomino7. wordpress.com/2011/06/08/electrostatica/ Matemáticos 1234. Consultado el 20 de mayo de 2012, en http://merges10. blogspot.com/ Matrices. Consultado el 30 de abril de 2012, en http://facultad.bayamon.inter. edu/ntoro/matrizw.htm Problemas de construcciones. Consultado el 10 de mayo de 2012, en http:// platea.pntic.mec.es/jescuder/construc.htm Sistemas de ecuaciones. Consultado el 17 de abril de 2012, en http://fresno.pntic.mec.es/amaa0011/BH2/Pdf/Sistemas/Sistemas%20LITERALES%20 SOLO.pdf

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