Un modelo de base racional para describir el comportamiento viscoelástico de mezclas asfálticas

Versión abreviada del artículo de igual título y autores presentado en el XXI Congreso Ibero Latinoamericano del Asfalto y que fuera galardonado con el Primer Accésit del Premio Fundadores.

Resumen

Las mezclas asfálticas son materiales viscoelásticos cuyo comportamiento depende fundamentalmente de la temperatura y la frecuencia de carga. A los efectos de describir la influencia de estos factores se utilizan curvas maestras que muestran la variación de las propiedades reológicas en función de la frecuencia para una determinada temperatura de referencia, según el principio de superposición frecuencia-temperatura. Estas curvas maestras permiten obtener, para condiciones particulares, valores usados como datos de entrada en los procedimientos de diseño de pavimentos asfálticos basados en principios mecanísticos y relacionados con el desempeño del pavimento en servicio. Este trabajo propone la aplicación de las relaciones de Kronig-Kramers (K-K) para caracterizar a las propiedades reológicas de las mezclas asfálticas utilizando un enfoque racional de base matemática. Estas relaciones K-K establecen que el módulo dinámico y el ángulo de fase están interrelacionados y no son independientes. Teóricamente, si se conoce el modelo matemático de la curva maestra del módulo dinámico, es posible derivar una forma funcional para la curva maestra del ángulo de fase. Debido a la complejidad en la integración exacta de las relaciones K-K, se ha utilizado una solución aproximada para desarrollar un modelo que posibilita construir las curvas maestras del Módulo Dinámico |E*| y el Ángulo de Fase Φ. Este modelo fue validado utilizando los resultados experimentales de mezclas asfálticas diferentes con distintas características y evaluado mediante parámetros que califican la bondad de ajuste del mismo. Se concluye que el modelo es suficientemente preciso y podría ser un enfoque efectivo para construir las curvas maestras de las propiedades viscoelásticas de las mezclas asfálticas en un amplio rango de temperaturas y frecuencias.

Palabras claves: Mezclas asfálticas, viscoelasticidad, modelo racional.

1. Introducción

La determinación precisa de las propiedades mecánicas de las mezclas asfálticas juega un papel vital en el análisis de la respuesta estructural del pavimento y la predicción del desempeño del mismo con base en principios mecanicistas. Para las mezclas asfálticas, la relación entre la tensión dinámica aplicada y la deformación dinámica resultante depende de la frecuencia de carga y la temperatura y puede describirse completamente utilizando el módulo dinámico |E*|, que describe la rigidez, y el ángulo de fase Φ, que describe el magnitud del comportamiento viscoso o elástico del material. La determinación experimental de |E*| y  se realiza comúnmente a diferentes combinaciones de temperatura y frecuencia utilizando muy variadas normas de ensayo.

Las mezclas asfálticas se modelan con fines prácticos como materiales termorreológicos simples que satisfacen los requerimientos de la viscoelasticidad lineal y, entonces, el principio de superposición de tiempo y temperatura (TTSP) se puede emplear para construir curvas maestras mediante la aplicación de un factor de traslación tiempo-temperatura aT.

Se han propuesto varias funciones matemáticas para modelar la curva maestra del módulo dinámico |E*| para ser utilizada en procedimientos de diseño de pavimentos, aunque la función sigmoidal logística simétrica es la más utilizada [1, 2, 3]. También para el factor de traslación tiempo-temperatura aT se han propuesto varias funciones que describen la dependencia de la temperatura de este parámetro. Estas curvas maestras generalmente se construyen ajustando la función matemática seleccionada a los datos medidos a varias temperaturas y frecuencias y los coeficientes que definen la función y el factor de traslación tiempo-temperatura aT se resuelven simultáneamente mediante la realización de un algoritmo de minimización no lineal. La mayoría de las construcciones prácticas de la curva maestra del módulo dinámico |E*| se realizan utilizando un modelo matemático con una ecuación de factor de traslación aT, sin construir la curva maestra de Φ; en otros casos, las curvas maestras de |E*| y Φ se realizan utilizando dos modelos matemáticos distintos e independientes entre sí con diferentes parámetros o ecuaciones del factor de traslación.

Un requisito importante para la validez de las condiciones de viscoelasticidad lineal es satisfacer la relación de Kronig-Kramers (K-K), para garantizar que varias funciones que describen este comportamiento sean equivalentes y que el modelo sea causal [4, 5]. Si se ignora este requisito, los parámetros de los modelos o el factor de cambio de tiempo-temperatura aT para varias funciones viscoelásticas lineales podrían ser diferentes, lo que no es consistente con la teoría empleada. Dado que la causalidad física induce relaciones entre |E*| y Φ, estas dos propiedades reológicas están interrelacionadas matemáticamente para cualquier frecuencia o temperatura y deben compartir la misma ecuación para el factor de traslación y con los mismos parámetros, que deben determinarse en función de los datos experimentales.

Este artículo propone un Modelo de Base Racional (MBR) para construir las curvas maestras de |E*| y Φ considerando la solución aproximada de las relaciones K-K y la función sigmoidal que satisfacen la teoría de la viscoelasticidad lineal. Para validar este modelo propuesto se consideraron los resultados experimentales del módulo dinámico y los ángulos de fase de cuatro mezclas bituminosas distintas, con diferentes características tanto en su composición como en el tipo de ligante asfáltico utilizado.

2. Desarrollo teórico

Las relaciones de Kronig-Kramers (K-K) para los parámetros viscoelásticos son presentadas como un par de ecuaciones (1), como se muestra a continuación, cuya derivación detallada puede ser encontrada en la literatura [6].

donde |E*(ω)| y Φ(ω) son el módulo dinámico y el ángulo de fase en función de la frecuencia angular ω y u es una variable auxiliar ficticia.

Debido a las dificultades que representa la resolución exacta de esas integrales se ha propuesto una solución aproximada [7] que, aplicada a la curva maestra sigmoidal de |E*| y el factor de traslación aT, conducen a las ecuaciones (2):

Las mismas definen el Modelo de Base Racional (MBR) que propone este trabajo y que satisface las relaciones K-K por cuanto la curva maestra de Φ ha sido derivada directamente de la curva maestra de |E*| y con el mismo factor de traslación aT.

3. Desarrollo experimental

Para la validación del Modelo de Base Racional se han considerado cuatro mezclas asfálticas de diferentes características, tanto en su composición como en el tipo de ligante asfáltico utilizado: la primera es una mezcla del tipo CAC-D-19, identificada como CAC-CA30, preparada con un ligante asfáltico convencional CA30; la segunda, identificada como CAC-AM3, es producida con un ligante asfáltico modificado AM3; la tercera, identificada como CAC-SBE2%, con un ligante asfáltico CA20 y un 2 % en peso de plástico reciclado; y la cuarta mezcla asfáltica, identificada como SMA19, es una SMA con asfalto AM3 y adición de fibras celulósicas. Los ensayos de módulo dinámico se llevaron a cabo experimentalmente siguiendo un procedimiento similar al establecido en la norma EN 12697-26:2019

Mezclas bituminosas. Métodos de ensayo para mezclas bituminosas en caliente. Parte 26: Rigidez.

Anexo F: Ensayo aplicando tracción indirecta cíclica sobre probetas cilíndricas (CIT-CY), como se muestra en la Figura 1.

4. Resultados obtenidos y validación del Modelo de Base Racional propuesto

La Figura 2 muestra en el espacio de Black (|E*|Φ ) la variación del ángulo de fase en función del módulo dinámico para las cuatro mezclas asfálticas determinado experimentalmente. Se observa en todos los casos que el ángulo de fase Φ se incrementa a medida que disminuye el valor de |E*| hasta un valor entre los 1000 y 5000 MPa para luego decrecer, siendo ésta una variación habitual para este tipo de materiales.

Los seis parámetros del modelo considerados en las ecuaciones (2) ( Cf, K) se determinaron simultáneamente realizando una minimización no lineal de la función de error, resultando los valores que se muestran en la Tabla 1. Se observa que para las cuatro mezclas el coeficiente Cf es cercano a 1, lo que muestra que la solución aproximada propuesta por Booij y Thoone [7] en la ecuación (2) es una muy buena alternativa para solucionar la dificultad matemática de la integración exacta del modelo teórico. A los efectos de evaluar el desempeño general del Modelo de Base Racional, se compararon los valores medidos y los resultantes de la aplicación del mismo. Las Figuras 3 y 4 muestran la dispersión de los valo res de |E*| y largo de la línea de igualdad en escalas aritméticas.

Se observa que la mayoría los puntos de |E*| y Φ se ubican ajustadamente alrededor de la línea de igualdad. En el caso de |E*|, el 81 % de los valores presentan errores relativos menores que el 25 % en tanto que para Φ, el 99 % de los valores satisfacen este criterio.

Por otra parte, se ha valorado la capacidad del modelo para representar el fenómeno físico usando criterios de bondad de ajuste de acuerdo a una valoración subjetiva establecida previamente [8].

Esta valoración considera el coeficiente de correlación (R2) y la relación entre el error estándar de los valores resultantes del modelo y la deviación estándar de los valores medidos (Se/Sy), como se presenta en la Tabla 2, que muestra estos estadísticos calculados para las cuatro mezclas asfálticas y las evaluaciones resultantes.

La evaluación del modelo de acuerdo al criterio propuesto resulta entre excelente y buena en todos los casos para el módulo dinámico |E*| y para el ángulo de fase Φ.

5. Conclusiones

Se ha propuesto un Modelo de Base Racional (MBR) para establecer las curvas maestras de las propiedades viscoelásticas |E*| y Φ de mezclas asfálticas usando las relaciones aproximadas de Kronig-Kramers y la función sigmoidal con el mismo factor de traslación frecuencia-temperatura y parámetros de ajuste.

La evaluación del modelo usando parámetros estadísticos permite concluir que el mismo es entre excelente y bueno para modelar el módulo dinámico |E*| y el ángulo de fase, siendo capaz de capturar adecuadamente el diferente comportamiento reológico de las distintas mezclas. Finalmente, el modelo MBR propuesto es lo suficientemente preciso y podría ser un enfoque efectivo para predecir matemáticamente las curvas maestras de las propiedades viscoelásticas de las mezclas asfálticas en un amplio rango de temperaturas y frecuencias.

Referencias Bibliogr Ficas

[1] Mohammad, L. N., Wu, Z., Myres, L., Cooper, S., and Abadie, C. (2005). A practical look at simple performance tests: Louisiana’s experience. Journal of Association of Asphalt Paving Technologists, Volume 74, pp. 557–600.

[2] Pellinen, T. K., and Witczak, M. W. (2002). Stress dependent master curve construction for dynamic (complex) modulus, Journal of Association of Asphalt Paving Technologists, Volume 71, pp. 281–309.

[3] Bonaquist, R., and Christensen, D. W. (2005). Practical procedure for developing dynamic modulus master curves for pavement structural design. Transportation Research Record, Number 1929.

[4] Gross, B. (1968). Mathematical structure and the theories of viscoelasticity, Hermann et Cie, Paris.

[5] Lakes, R.S., 2004. Viscoelastic measurement techniques. The Review of Scientific Instruments Number 75(4), pp. 797810. DOI: 10.1063/1.1651639.

[6] Rouleau, L., Deü, J. F. Legay, A. and Le Lay, F. (2013). Application of Kramers–Kronig relations to time–temperature superposition for viscoelastic materials. Mechanics of Materials. Number 65, pp. 66–75. DOI: 10.1016/j.mechmat.2013.06.001.

[7] Booij, H. C. and Thoone, G. P. J. M. (1982). Generalization of Kramers-Kronig transforms and some approximations of relations between viscoelastic quantities. Rheologica Acta. Volume 21, pp. 15–24. DOI: 10.1007/BF01520701.

[8] Witczak, M.W., Pellinen T. and El-Basyouny M. (2002). Pursuit of the simple performance test for asphalt concrete fracture/cracking. Journal of the Association of Asphalt Paving Technologists, Volume 71, pp. 767-778.

EL BUEN ARTE EN EL ASFALT0