Repaso Sistemas de Coordenadas

V Seminario de Topografía: “Una mirada a la Legalidad de la profesión”, Valledupar, septiembre 12 de 2014.

William A. Martínez Díaz Consejo Profesional Nacional de Topografía

info@cpnt.org

Repaso sobre sistemas de coordenadas Coordenadas Gauss - Krüger Coordenadas planas cartesianas o Plano Topográfico Local Ejemplo

Comentario final

• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos (convenciones) que permiten determinar unívocamente la posición de cualquier punto (P) de un espacio ( 1D, 2D, 3D, 4D).

• Para definir un sistema de coordenadas (en R3) se deben especificar: • i) Ubicación del origen (o) • ii) Orientación de los tres ejes • iii) Parámetros (cartesianos, curvilíneos, etc.) que definen la posición de un punto con respecto al sistema de coordenadas.

• Sistema de coordenadas cartesianas espaciales X,Y,Z, fijo en la Tierra (rota con ella).

• El origen es el centro de masas del planeta (geocentro), incluyendo la atmósfera y la hidrosfera.

• El eje Z apunta hacia el polo convencional terrestre medio y coincide con el eje de rotación.

• El plano ecuatorial medio es perpendicular a Z y contiene los ejes X y Y. • No dependen de la figura del elipsoide y son las empleadas inicialmente por los GNSS.

Plano ecuatorial medio

Plano convencional medio de Greenwich

• El plano XZ es generado por el plano convencional medio de Greenwich, el cual está comprendido por el eje medio de rotación y el meridiano cero de Greenwich, al

 r

cual se refiere el Tiempo Universal (UT).

• Los ejes X y Z se realizan indirectamente mediante las coordenadas de estaciones fiduciarias.

• El eje Y está orientado de manera que forma un sistema de mano derecha con X y Z. • Las unidades de X, Y y Z corresponden con el Sistema Internacional (SI): metros.

X     r  Y   Z 

Plano ecuatorial medio

Newton propuso un elipsoide de revoluci贸n como una figura en equilibrio para una Tierra homog茅nea, fluida y giratoria.

http://merciacoins.co.uk/wpcontent/uploads/2013/09/newton-pound-note.jpg

Isaac Newton 1643 -1727

http://www.ajaloomuuseum.ut.ee/vvebook/pages/8_1.html

El concepto (modelo) de elipsoide de nivel se introdujo para satisfacer las siguientes consideraciones:

Z P

• Contar con una referencia para la superficie real y el campo de gravedad externo de la Tierra.

• Lograr un ajuste adecuado con respecto al geoide (superficie formada por puntos con igual potencial de la gravedad, coincidente con el nivel medio del mar) dentro de ± 100 m.

X

• Linealizar problemas no lineales.

• Permitir cálculos a partir de fórmulas cerradas.

φp

o λp

• El elipsoide de revolución se genera a partir de la rotación de la elipse meridiana sobre su eje menor.

Z

• La forma del elipsoide se define a partir del semieje mayor a y el semieje menor b.

P

• Los parámetros geométricos principales del elipsoide son (a,e), (a,b) y (a,f).

•

•

•

Aplanamiento polar:

Primera excentricidad:

Segunda excentricidad:

a b f  a e

2

X

a 2  b2  a2

2 2 a  b e´2  b2

b

• Usualmente, b es reemplazado por la cantidad que describe el aplanamiento polar f (flattening).

φp

a λp

Y

• El sistema elipsoidal de superficie se extiende al espacio mediante la inclusión de la altura h (elipsoidal o geométrica) del punto P sobre el elipsoide, medida a lo largo de la normal. La proyección de P sobre el elipsoide corresponde al punto Q.

Z P

Zp

• La terna de coordenadas (φ,λ,h) se conocen como coordenadas curvilíneas.

φp λp

 X  ( N  h) cos  cos        r  Y   ( N  h) cos sen   Z  ((1  e 2 ) N  h) sen 

X

Donde:

N

Yp

a (1  e 2 sen 2 )1/ 2

Y

Los elipsoides GRS80 y WGS84 son prĂĄcticamente idĂŠnticos en cuanto a: - Semieje mayor (a) - Origen

- Aplanamiento: Diferencia inferior a 1 mm.

• El elipsoide asociado al Datum BOGOTÁ es el Internacional de 1924 o de Hayford, mientras que

Elipsoide asociado: Internacional de 1924 (Hayford)

para MAGNA-SIRGAS es el GRS80.

Helmut Moritz 1933 -

Elipsoide asociado: GRS80

John F. Hayford 1925 - 1968

(ITRS: International Terrestrial Reference System) http://www.iers.org/IERS/EN/DataProducts/ITRS/itrs.html Su origen de coordenadas coincide con el centro de masas terrestre

Su eje Z coincide con el eje de rotación terrestre Su eje X está oriéntado hacía el meridiano de Greenwich

Su eje Y forma un sistema de mano derecha Su elipsoide asociado tiene la misma masa terrestre y gira sobre su eje menor con la misma velocidad angular de rotación que la Tierra

The International Terrestrial Reference System (ITRS) constitutes a set of prescriptions and conventions together with the modelling required to define origin, scale, orientation and time evolution of a Conventional Terrestrial Reference System (CTRS). The ITRS is an ideal reference system, as defined by the IUGG resolution No. 2 adopted in Vienna, 1991.

Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855

“Lo que llamamos la superficie de la Tierra en el sentido geométrico no es más que aquella superficie que intercepta en todas partes la dirección de la gravedad en ángulos rectos y parte de la cual coincide con la superficie de los océanos” (Torge, Geodesy, 2nd.

Edition).

• El geoide es la superficie de un océano global ideal en ausencia de mareas y corrientes, cuya forma obedece al campo de gravedad terrestre.

• Es una superficie crucial para medir la circulación oceánica, el cambio en el nivel del mar, la dinámica del hielo y alturas precisas; todos ellos afectados por el cambio global.

spaceinimages.esa.int/Images/2010/06/GOCE_first_global_gravity_model

http://www.astrowatch.net/2013/09/supermodel-goce-satellite-to-fall-to.html http://blogs.esa.int/rocketscience/files/2013/11/GOCE_entry_swath_final_esa.png

Normal al elipsoide

Vertical local normal al geoide

Nivel medio del mar Deflexión de la vertical Superficie topográfica

Altura ortométrica (H) Geoide Elipsoide

H1

H2

Superficie topográfica

Elipsoide Geoide



https://www.e-education.psu.edu/natureofgeoinfo/c2_p22.html

• Clasificación • Aspecto Transversal de la Proyección Mercator • Cilíndrico • Conforme • Gratícula • El meridiano central y el paralelo origen son líneas rectas. Los demás meridianos y paralelos son curvas complejas, cóncavas hacia el meridiano central y el polo más cercano, respectivamente.

• Polos: Puntos a lo largo del meridiano central.

• Simetría: Alrededor de cualquier meridiano recto o el ecuador. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/MercTranSph.png

• Escala

• Verdadera a lo largo del meridiano central.

• Constante a lo largo de cualquier línea paralela al meridiano central. (aproximadamente rectas en el caso

elipsoidal).

• Crece con la distancia a partir del meridiano central.

• Se hace infinita a 90º con respecto al meridiano central.

• Distorsión • Las indicatrices aparecen como círculos, indicando conformidad, pero creciendo a partir del meridiano central con gran distorsión al 90° del mismo.

• Construcción • Proyectado en un cilindro envuelto alrededor del elipsoide y tangente al meridiano central o secante a lo largo de dos círculos menores, equidistantes del meridiano central.

• Las líneas de rumbo (loxodrómicas), generalmente, no son rectas.

• Uso • Mapas topográficos de escalas medias a pequeñas.

• Es la base del sistema Universal Transversal de Mercator (UTM).

• Recomendable para la representación conforme de territorios con extensión predominantemente norte –sur.

• Origen • Presentado por Johann Heinrich Lambert (Alsacia) en 1772.

• Fórmulas elipsoidales desarrolladas por Carl Friedrich Gauss (Alemania) en 1822 y por L. Krüger (Alemania) 1912.

• Otros nombres • Conforme de Gauss (en la forma elipsoidal) / Transversal de Mercator / Transversal cilíndrica ortomórfica.

Escalas usuales:

1 : 3 000 000 1 : 1 500 000 1 : 500 000 1 : 250 000 1 : 50 000 1 : 25 000 1 : 10 000

 Mapas nacionales

 Mapas departamentales  hojas topográficas

83° 04’ 39,028 5”

WI

C

E

José celestino Mutis 1732 - 1808

Agostino Codazzi Bartoloti 1793 - 1859

Francisco José de Caldas y Tenorio 1768 - 1816

Julo Gravito Armero 1865 - 1920 Friedrich Heinrich Alexander Barón de Humboldt 1769 - 1859

Distancia 12 en superficie 2

1

PTL Altura del Plano de proyección o PTL

Distancia 12 en plano de proyección cartesiano o Plano Topográfico local (PTL) Distancia 12 en plano de Gauss

Distancia 12 Gauss  Distancia 12 en superficie  Distancia 12 PTL

• Como una forma de solucionar la discrepancia existente entre mediciones en terreno y la cartografía sobre un plano de proyección, se suele utilizar una proyección LTM (Local Transversal de Mercator) tal que el plano de proyección sea coincidente con el terreno.

• Para esto, se debe considerar un cilindro que pase por el terreno topográfico constituyendo así un Plano Topográfico

Local (PTL) (Fuentes, 2006).

• El sistema de proyección cartesiana equivale a una representación conforme del elipsoide sobre un plano paralelo al tangente (al elipsoide) en el punto de origen.

• La proyección cartesiana es utilizada para la elaboración de planos de ciudades, obras de ingeniería o proyectos específicos.

• Esta proyección presenta relaciones geométricas que permiten la conversión mediante formulaciones matemáticas rigurosas.

• Las coordenadas planas cartesianas dependen del elipsoide de referencia

utilizado.

Escalas usuales:

1 : 10 000 1 : 5 000 1 : 2 000 1 : 1 000 1 : 500

planos de ciudades urbanizaciones planos catastrales Servicios públicos obras de ingeniería

1 2

4

 = 04° 35’ 49” N  = 74° 04’ 27” W

3

 = 74° 04’ 21” W

 = 04° 35’ 43” N

PLANAS GAUSS (PG) metros N 1 2 3 4 1

E

delta N

delta E

DISTANCIA

1000082,277 1000370,758 -0,001

-184,939

184,939

184,303

-0,002

184,303

0,001

184,94

184,94

184,303

-0,001

184,303

1000082,278 1000555,697 999897,975 1000555,699 999897,974 1000370,759 1000082,277 1000370,758

7,40

PLANAS CARTESIANAS (PC) metros N 1

100079,485

E

delta N

2

100079,504

100559,657

3

99895,127

100559,676

1

99895,108 100079,485

DISTANCIA

7,40

100374,644 -0,019

4

delta E -185,013

185,013001

7,40 184,377

-0,019

184,377001

0,019

185,014

185,014001

184,377

-0,018

184,3770009

100374,662 100374,644

Diferencia PC – PG (cm) 7,40

1 media = 04° 35’ 46” N

2

4

Rh K oL  R

h  2 550 m

a (1  e 2 ) R  MN  1  e 2 sen 2 R  6 486 905,54

3 KoL  1,000 3931 DISTANCIA Gauss (DG)

PG*KoL

PC

Diferencia (m)

184,939

185,0117

185,013001

-0,00130145

184,303

184,37545

184,377001

-0,00155146

184,94

185,0127

185,014001

-0,00130106

184,303

184,37545

184,377001

-0,00155137

http://www.sirgas.org/index.php?id=231

http://www.publicartinla.com/USCArt/surveying.html