Travaux géométriques – Apprendre à résoudre des problèmes au cycle 3 by Canopé, académie de Lille

TABLE

DES MATIÈRES Pages

Préface

Avant-propos

Introduction

Première partie

: Apprendre à résoudre des problèmes liés à la connaissance des figures géométriques de base

Introduction

15 17

Situation 1

: Axe(s) de symétrie d'une figure

Fil rouge n° 1

: Le carré caché

Situation 2

: La pièce manquante

Situation 3

: Le solide à retrouver

Situation 4

: Désigner un polygone par le nom de ses sommets

Fil rouge n° 2

: Le rectangle caché (1)

Situation 5

: À la recherche des douze pentaminos

Deuxième partie : Apprendre à résoudre des problèmes liés aux reproductions de figures géométriques planes Introduction

55 57

Situation 6

: Atout carreau

Fil rouge n° 3

: Construire un rectangle

Situation 7

: Les carrés emboîtés

Fil rouge n° 4

: L'enveloppe

Situation 8

: La mosaïque

Fil rouge n° 5

: Le rectangle caché (2)

Situation 9

: Une frise

Situation 10

: Le petit vitrail

Fil rouge n° 6

: Le carré en pièces

173

TRAVAUX

GÉOMÉTRIQUES AU CYCLE

Pages

Troisième partie

: Apprendre à résoudre des problèmes liés aux constructions de figures géométriques planes

Introduction

Situation 11

: Compléter un rectangle

Situation 12

: Compléter un rectangle de centre O avec deux développements

Situation 13

: Compléter un losange

107

Situation 14

: Quatre sur sept

114

Fil rouge n° 7

: Le disque en pièces

117

Situation 15

: Le puzzle en carré

118

Situation 16

: Les quatre cercles désorientés

122

Fil rouge n° 8

: Le grand vitrail

124

Situation 17

: Tracer un carré à partir de ses diagonales

126

Situation 18

: Apprendre à lire un programme de construction

129

Situation 19

: Apprendre à rédiger un programme de construction

134

Fil rouge n° 9

: Un autre puzzle carré

137

Quatrième partie : Apprendre à résoudre des problèmes liés à des objets à trois dimensions Introduction Situation 20

174

139 141

: Construire un patron de cube

142

Fil rouge n° 10 : Le cube peint

148

Situation 21

: Le solide caché

150

Situation 22

: Construire une petite boîte-cadeau

157

Tableaux des compétences géométriques

168

Tableau des compétences transversales

170

Bibliographie

171

PRÉFACE Voici deux ans que l'équipe d'enseignants du groupe « École primaire » de l'IREM de Lille a entamé un travail de production avec le CRDP du Nord - Pas-de-Calais et c'est le fruit de deux ans de travaux qu'ils nous livrent aujourd'hui. La richesse de leur ouvrage tient à la diversité des horizons de ces enseignants : formateurs à l'IUFM du Nord - Pas-de-Calais, enseignants du Centre Expérimental Lecture, Écriture et Mathématiques de Roubaix, Conseillers pédagogiques de circonscription et animateurs de l'IREM de Lille. Elle tient aussi au constant va et vient entre la réflexion de l'équipe et la prise en compte des réactions des élèves. Cet ajustement que les auteurs ont recherché le plus fidèlement possible devrait entrer en résonance avec les observations des enseignants du cycle des approfondissements auxquels le livre est destiné.

Travaux géométriques – Apprendre à résoudre des problèmes au cycle des approfondissements renoue avec une ancienne tradition de production commune à l'IREM de Lille et au CRDP du Nord - Pas-de-Calais. Cette collaboration s’imposait particulièrement dans le domaine de la géométrie, traditionnellement au coeur des recherches à l'IREM de Lille. Mais cette publication est aussi un événement : il s'agit du premier titre de la nouvelle collection nationale destinée au premier degré : « Outils pour les cycles ». Les auteurs de cet ouvrage souhaitent recueillir les avis de leurs lecteurs, instituteurs, professeurs des écoles, d'IUFM, de collège. Toute critique sera la bienvenue de la part des collègues qui voudront contribuer à améliorer les éditions suivantes. Valerio Vassallo

Jacques Hollebecque

Directeur de l'IREM de Lille

Directeur du CRDP de l'Académie de Lille

AVANT-PROPOS Ce travail est issu de la réflexion du groupe IREM-École Primaire de Lille menée depuis 1998, sur l’enseignement de la géométrie à l’école sans jamais perdre de vue le passage des élèves au collège. Sur les propositions communes de Jacques Hollebecque, Directeur du CRDP du Nord Pas-de-Calais et de Valério Vassallo, Directeur de l’IREM de Lille, cette réflexion, nourrie aussi par les travaux des autres groupes de l’IREM, s’est orientée vers la résolution de problèmes dans le domaine géométrique. Nous tenons ici à remercier Marie Oudar, responsable d’édition au CRDP du Nord - Pas-de-Calais, de nous avoir accompagnés tout au long de notre travail. Les travaux proposés sont des situations d’apprentissage, c’est-à-dire des situations qui visent à la fois la transformation qualitative de l’état de connaissance des élèves et, à terme, le transfert de la connaissance ainsi élaborée à la résolution de nouveaux problèmes. Destiné aux enseignants de l’école, cet ouvrage regroupe sous quatre grandes rubriques des situations toutes expérimentées dans les classes du cycle III (dont une en REP) dans la visée d’apprendre à résoudre des problèmes liés : 1. à la connaissance des figures géométriques de base 2. aux reproductions de figures géométriques planes 3. aux constructions de figures géométriques planes 4. aux constructions de patrons de solides. Les intentions de notre équipe sont claires : promouvoir de véritables activités géométriques, faire en sorte que les tâches proposées aux élèves soient bien perçues par eux comme des problèmes à résoudre, c’est-à-dire des situations dans lesquelles ils doivent chercher, faire des hypothèses, des essais, accepter de ne pas trouver tout de suite, risquer de se tromper, devoir revenir en arrière. C’est ainsi que les démarches pédagogiques mises en œuvre dans cet ouvrage sont centrées sur les apprentissages spécifiques à la résolution de problèmes du domaine géométrique ; elles visent à la fois l’appropriation de connaissances géométriques, le développement du raisonnement, de l’esprit d’analyse et de l’esprit de synthèse. Ces démarches sont marquées par les médiations du maître et les interactions entre élèves ; en effet, une grande part des travaux proposés, comme les reproductions, les constructions ou les représentations de solides, amorce le passage progressif de la seule perception visuelle à l’analyse géométrique, laquelle s’épanouira au collège. Le rôle du médiateur y est déterminant : cadrer l’activité, faire naître le questionnement, faire vivre les questions posées et non les stériliser par une aide qui donnerait directement les réponses, faire adopter un langage géométrique spécifique rendu nécessaire en situation. En classe, bien souvent les situations d’apprentissage que nous avons proposées n’ont pris du sens aux yeux des élèves, et donc les ont engagés dans une recherche active, qu’au cours d’une analyse

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GÉOMÉTRIQUES AU CYCLE

collective faite d’échanges et de médiations ou dans le déroulement d’un travail déjà mis en chantier avec des moyens précaires. Nous voulions en rendre compte. C’est ainsi que la plupart des situations sont présentées sous forme de développements et que d’autres bénéficient de propositions détaillées de mise en œuvre sous forme d’un tableau de déroulement. La présentation de ces situations est toujours faite sur le même mode : – Présentation de la situation – Notions mathématiques en jeu – Compétences visées relativement aux Instructions Officielles – Objectifs – Analyse de la tâche – Déroulement plus ou moins développé, soit sous forme d’un texte continu, soit sous forme d’un tableau détaillé. En annexe de chacune de ces situations figurent les documents destinés aux élèves.

Dix autres situations présentées sous forme de fiches constituent ce que, entre nous, nous avons appelé le « fil rouge ». Réparties tout au long de l’ouvrage, ces situations ne sont pas commentées. Bien qu’une consigne soit proposée, il convient de les utiliser dans un cadre qu’il appartient à chaque utilisateur de définir. Ces situations « fil rouge » peuvent être utilisées : – dans le cadre d’une évaluation diagnostique – dans le cadre d’un réinvestissement – dans le cadre d’une évaluation – dans le cadre d’une incitation à un transfert de connaissances – dans le cadre de la différenciation pédagogique.

INTRODUCTION Cette introduction explicite les bases de la réflexion du groupe.

Le cadre Nous nous sommes placés dans le cadre de référence de la note de service « Articulation écolecollège » parue dans le Bulletin Officiel de l’Éducation Nationale du 5 décembre 1996.

« Pour la géométrie, …le travail réalisé à l’école primaire peut être résumé selon trois axes principaux : – il s’agit d’abord d’une géométrie expérimentale organisée autour de quatre types d’activités sur les objets géométriques (figures planes ou solides) : reproduire, décrire, représenter, construire ; visant à favoriser la construction d’images mentales et la mise en évidence de quelques propriétés (côtés de même longueur, angles droits, parallélisme, axes de symétrie) ; – il s’agit ensuite, pour les élèves, d’acquérir des compétences pour ce qui concerne le choix et le maniement (compétences techniques) de certains instruments du dessin et de mesure (gabarit, papier calque, réseaux pointés, quadrillages, règle non graduée et graduée, équerre, compas tant comme traceur que comme reporteur des distances notamment) ; en particulier pour le tracé de parallèles et de perpendiculaires (à l’aide de la règle et de l’équerre) ; – il s’agit enfin de mettre en place un vocabulaire minimum, précis mais limité, et des notations introduites en fonction de leur utilité au cours du traitement d’une question (face, arête, sommet, côté, ligne droite, segment, milieu d’un segment, angle, perpendiculaires, parallèles). Les élèves savent reconnaître et construire, à l’aide des instruments mentionnés, quelques figures planes : carré, rectangle, cercle, disque (le parallélogramme n’est plus mentionné dans les quadrilatères à étudier à l’école primaire). Ils ont eu à décrire ou à réaliser quelques solides, en particulier le cube, le parallélépipède rectangle (dont ils ont réalisé les patrons) et la sphère. Le travail sur les angles est très limité à l’école primaire. Les élèves ont pu comparer ou reproduire des angles en utilisant des gabarits, mais aucune mesure des angles n’a été envisagée. En particulier le rapporteur n’a pas été utilisé. À l’école primaire, le travail concernant les transformations géométriques est maintenant très réduit. Les activités concernant la translation ne sont plus évoquées. Les élèves ont eu à reconnaître des axes de symétrie ou à compléter des figures par symétrie axiale (par pliage, sur quadrillage ou à l’aide des instruments du dessin sur papier blanc). Des premières expériences d’agrandissement ou de réduction de figures leur ont été proposées, notamment en relation avec la proportionnalité. »

TRAVAUX

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Cette note de service a pour objet de préciser, pour les enseignants du cycle des approfondissements de l’école primaire et pour ceux du premier cycle des collèges, les aspects les plus significatifs à prendre en compte pour parvenir à une bonne articulation école-collège pour ce qui concerne les mathématiques.

Les problèmes et leur résolution dans le domaine de la géométrie « La plupart des notions, dans les domaines numérique, géométrique ou encore dans celui de la mesure, peuvent être abordées par les élèves comme outils pertinents pour résoudre des problèmes nouveaux, avant d’être étudiées pour elles-mêmes et réinvesties dans d’autres situations. Il ne faut jamais perdre de vue que toute nouvelle notion ou technique se construit sur des acquisitions antérieures et sur les expériences dont disposent les élèves. Par ailleurs des activités sont proposées pour mettre en place et développer des compétences spécifiques, d’ordre méthodologique, utiles pour résoudre des problèmes. » Extraits IO École Primaire Cycle des approfondissements,1995.

En géométrie comme dans les autres domaines des mathématiques, les problèmes occupent à l’école une place centrale à la fois dans l’appropriation des connaissances et dans le développement des capacités spécifiques, d’ordre méthodologique, mises en œuvre dans leur résolution. Ainsi dans cet ouvrage, nous nous sommes plus particulièrement intéressés à la mise en place de situations menant au développement des capacités à chercher, abstraire, raisonner, contrôler dans le domaine spécifique de la géométrie. Dans le contexte d’une « géométrie instrumentée » qui est celui de l’école, nous nous sommes attachés plus particulièrement au développement des capacités d’analyse et de synthèse : analyse des figures-modèles, construction et production d’images mentales, analyse de textes décrivant chronologiquement une construction, mise en évidence de propriétés géométriques, organisation d’une démarche, production de textes fixant les étapes de tracés. La nature des travaux proposés figure dans les deux tableaux ci dessous :

a) géométrie plane Données

Nature des tâches

Productions

Figure

Reproduction à l’identique (Prélèvement d’informations sur un modèle donné pour le reproduire).

Figure

a) Description en termes géométriques. b) Production d’un programme de tracé destiné à autrui.

Texte

Construction Mobilisation d’images mentales. Analyser un texte pour en prélever les éléments nécessaires à la construction.

Figure

Reconnaissance des axes de symétrie d’une figure. Compléter une figure par symétrie axiale.

Figure

b) Géométrie de l’espace 1. Description et production de textes décrivant les propriétés géométriques d’un solide pour l’identifier dans un lot. 2. Lecture de représentations en perspective de solides pour identifier l’un d’eux. 3. Tracé et reconnaissance de patrons.

INTRODUCTION

Dans certaines situations de reproduction ou de construction comme « Atout carreau », nous avons mis l’accent au départ sur l’analyse soit du modèle, soit du texte en vue de mettre en évidence certaines propriétés géométriques. Nous avons alors suivi la démarche suivante : ◆ Première phase : Recherche individuelle : appropriation du problème par les élèves Premières tentatives de construction des élèves. Cette phase vise à l’élaboration d’un questionnement qui sera examiné dans la phase 3 et non l’obtention d’un produit fini à savoir la reproduction ou la construction demandée. L’enseignant règle la durée de cette phase suivant les premiers résultats obtenus. Les élèves sont prévenus : l’objectif est de clarifier, de faire des remarques sur la manière dont on pourrait procéder de façon à éviter tout tracé au simple jugé. Ces remarques peuvent s’accompagner de dessins. Cette phase offre à l’enseignant un moment privilégié pour l’observation des comportements des élèves pendant leurs tentatives de réalisation, il en tiendra compte pendant la mise en commun des résultats. Exemple : la situation suivante se prêterait tout à fait à cette démarche.

Figure 1 La figure 1 se compose de deux carrés. Le sommet O du petit carré est aussi le centre du grand carré. Reproduis la figure 1. Tu ne peux utiliser que la règle graduée.

◆ Deuxième phase : Arrêt : temps de réflexion Les élèves sont encore dans l’action, il faut leur laisser le temps d’évoquer ce qu’ils viennent de faire. ◆ Troisième phase : Mise en commun : analyse collective Vers l’attribution de significations géométriques aux éléments de la figure dans la visée de l’utilisation raisonnée des instruments du dessin et de mesure (On apprend à analyser dans un but précis). Problématisation en vue de la réalisation personnelle qui va suivre : la construction ou la reproduction n’est pas réalisée collectivement, on ne fait que déterminer les éléments facilement constructibles du modèle.

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Figure 2 : issue de l’analyse collective.

◆ Quatrième phase : Réalisation individuelle. Auto-contrôle Examen des erreurs (intervention de l’enseignant, comparaison de travaux entre élèves, etc.). ◆ Cinquième phase : Mise en commun : Rédaction d’un programme de construction : dictée au maître (On apprend à rédiger) (vocabulaire adapté, syntaxe, logique, chronologie des constructions). Les élèves n’ayant pas réussi ou qui n’ont pas utilisé la même procédure exécutent les tracés au fur et à mesure de la confection du programme, les autres sont plus attentifs à la rédaction du programme.

Le langage géométrique Le vocabulaire géométrique sert à la transmission et à la compréhension des informations ; il aide à la conceptualisation. Le passage des activités aux concepts géométriques se construit progressivement dans des situations où la communication est requise, qu’il s’agisse des médiations du maître ou des interactions entre les élèves. Nous avons fait en sorte que le langage géométrique accompagne l’action des élèves dans des situations fonctionnelles comme : – Décrire en mots une figure géométrique pour qu’elle puisse être identifiée dans un lot, – Écrire le programme de tracé d’une figure géométrique pour faire reconstruire celle-ci par autrui, – Tracer une figure dont on donne le programme de tracé, – Tracer une figure dont on donne la seule description, – Exprimer de façons différentes, en jouant sur les systèmes de signifiants, la même relation entre éléments d’une figure, à savoir changer de point de vue. Tous ces travaux ont pour but de faire envisager aux élèves la figure géométrique derrière le dessin qu’ils ont sous les yeux. L’instauration d’un contrat précis dans des situations de communication (les interactions sociales au sein d’un groupe d’élèves) peut conduire les élèves à être confrontés à une multiplicité de points de vue sur un même problème et à apprendre à changer de point de vue. Nous nous sommes inspirés ici des travaux de Gérard Vergnaud (CNRS).

INTRODUCTION

À propos de l’expression « image mentale » Différentes situations caractérisées par l’absence d’un modèle, comme les compléments de figures ou les constructions géométriques, ont été inspirées par les travaux de Nicolas Rouche (Université de Louvain-la-Neuve) et par ceux de Jean-François Richard (Université de Paris VIII). Le texte qui suit consigne les éléments essentiels de notre réflexion. Au sens piagétien, la représentation mentale signifie indistinctement et, selon le contexte, pensée ou image. La représentation peut s’entendre en deux sens : – au sens large, elle se « confond avec la pensée, c’est-à-dire avec toute l’intelligence ne s’appuyant plus seulement sur les perceptions et les mouvements, mais sur un système de concepts ou de schémas mentaux » – au sens étroit, « elle se réduit à l’image mentale ou au souvenir-image, c’est-à-dire à l’évocation symbolique des réalités absentes ». (in Jean Piaget, La formation du symbole chez l’enfant, p. 78). Pour J. Piaget, la pensée de l’enfant de deux à sept ans est dominée par la représentation imagée de caractère symbolique : l’enfant traite les images comme de véritables substituts de l’objet et pense en effectuant des relations entre images. Il peut même représenter graphiquement ces images en dessinant mais on n’a pas de mal à se convaincre que cette représentation externe n’est pas une réplique exacte des images mentales. Parler d’« image mentale » est une commodité de langage : une image mentale n’est pas vraiment une image. C’est un complexe qui associe un ensemble de connaissances, de mots, d’évocations de toutes sortes y compris affectives. Et l’image mentale est aussi associée à des matériaux verbaux (sous forme de liste de mots).

D’un autre point de vue, J-F. Richard, dans « Les activités mentales » (Ed. Armand Colin, 1991) souligne l’ambiguïté du terme « représentation » qui, selon les auteurs, renvoie à des concepts différents. Il définit et utilise le terme de « représentations » comme « des constructions circonstancielles faites dans un contexte particulier et à des fins spécifiques : dans une situation donnée et pour faire face aux exigences de la tâche en cours, un texte qu’on lit, une consigne qu’on écoute, un problème qu’on doit résoudre. La construction de la représentation est finalisée par la tâche et la nature des décisions à prendre ». Il distingue ainsi les représentations des connaissances ou des croyances : « les connaissances sont aussi des constructions mais elles ne sont pas entièrement dépendantes de la tâche à réaliser, elles sont stockées dans la mémoire à long terme et tant qu’elles n’ont pas été modifiées, elles sont supposées se maintenir sous la même forme ».

« Les représentations sont des contenus de pensée auxquels se réfère le verbe comprendre. Ce sont des constructions mentales qui constituent l’ensemble des informations prises en compte par le système cognitif dans la réalisation d’une tâche. Elles jouent donc un rôle central dans l’élaboration des décisions puisque ce sont les seules informations concernant la situation et la tâche à partir desquelles sont élaborées les décisions d’action. Les informations à partir desquelles sont faites les représentations sont, d’une part, des éléments de nature matérielle et/ou symbolique (notamment textuelle) provenant de la situation qui est l’objet de la représentation, et, d’autre part, des inférences qui produisent les informations manquantes pour construire ces représentations. Ces attributions de signification, comme ces inférences, font appel à des connaissances. La construction des interprétations vise à établir une cohérence entre les différents éléments d’information, ceux qui proviennent de la situation et ceux qui sont inférés, et à assurer la compatibilité avec les informations contenues dans la mémoire ».

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On voit l’importance de ces apports de la psychologie pour ce qui concerne les résolutions de problèmes de mathématiques, en particulier pour l’interprétation des énoncés par les enfants. Autre chose pour J-F. Richard, dans le même ouvrage, est d’étudier la nature des « codes imagés ». Après le rappel de la mise en évidence de l’existence de codes imagés, il les différencie des codes verbaux.

Une des situations typiques est celle de la sériation mentale illustrée par l’exemple suivant : « Edith a les cheveux plus foncés que Lili, Edith a les cheveux plus clairs que Suzanne. Qui a les cheveux les plus foncés ? ». Pour répondre à la question, tout se passe comme si certains construisaient mentalement un axe orienté sur lequel ils placent les « objets » au fur et à mesure des informations reçues, et que, pour répondre, ils se contentent d’inspecter les positions de ces objets sur l’axe ; d’autres font un codage verbal. En fait il apparaît peu discutable qu’il existe un double codage et que le code imagé a des propriétés différentes du code verbal. La question est de savoir si ce code conserve ou non toutes les propriétés de la perception et si l’image mentale est comme un tableau que l’on regarde et que l’on explore (Remarque d’Alain, reprise par Sartre : « On peut bien former l’image du Parthénon mais non pas en compter les colonnes »). De nombreux travaux en psychologie montrent qu’à la différence d’une image graphique présente, un code imagé (mental) n’est pas décomposable en parties. Les codes imagés sont des représentations beaucoup plus abstraites que les images physiques (en l’occurrence des dessins), ils conservent des images physiques les formes, les propriétés de nature topologique et, sous certaines conditions, les distances. Ce qui apparaît c’est qu’on ne peut recoder une image mentale d’une façon différente de celle où elle a été codée au moment de la représentation de l’image physique (le dessin). Cela différencie l’image mentale de l’image physique, cette dernière peut être réanalysée et recodée d’une autre façon que la première fois. Pourtant des parties sont reconnues dans l’image mentale si elles ont été dénommées lors de la présentation de l’image physique.

Vu l’importance donnée aux reproductions de figures, aux constructions et aux représentations géométriques dans les apprentissages à l’école, ces travaux de la psychologie cognitive nous interrogent et constituent un autre départ de notre réflexion. Ce qui nous intéresse, c’est d’amener les élèves à élaborer en situation des notions proches de l’expérience commune et qui sont néanmoins de bons outils d’organisation d’un champ de phénomènes élémentaires (ce que Nicolas Rouche, reprenant Hans Freudenthal, appelle des « objets mentaux »). L’idée est d’ouvrir à l’imagination, par le raisonnement, un accès à l’infinité des figures d’un type donné : « ce que l’expérience immédiate peut vérifier sur quelques figures particulières, l’argumentation déductive, si elle est éclairante, le montre jusqu’à un certain point sur toutes les figures possibles », le terme « éclairante » étant pris ici au sens d’explicative.

Exemple donné par Nicolas Rouche : Si on a deux triangles en carton exactement superposés et qu’on retourne l’un d’eux, souvent on ne peut plus les superposer. Comment doivent être ces triangles pour qu’ils se superposent après retournement de l’un d’eux ? Louis Roye