Análisis Estadístico en MatLab by Cristian Gil

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Autores:

CRISTIAN GERARDO GIL SANCHEZ MILLER GIOVANNY FRANCO LEMUS Director Unidad Informática:

Henry Martínez Sarmiento

Tutor Investigación:

Álvaro Enrique Palacios

Coordinadores:

Maria Alejandra Enríquez Leydi Diana Rincón

Coordinador Servicios Web:

Daniel Alejandro Ardila

Analista de Infraestructura y Comunicaciones:

Adelaida Amaya

Analista de Sistemas de Información:

Álvaro Palacios Villamil

Líder de Gestión de Recurso Humano:

Islena del Pilar González

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES BOGOTÁ D.C. FEBRERO 2005

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Director Unidad Informática:

Henry Martínez Sarmiento

Tutor Investigación: Maria Alejandra Enríquez G.

Auxiliares de Investigación: Adriana Lucia Castelblanco Alexis de Jesús Moros Andrés Ricardo Romero Brayan Ricardo Rojas Carlos Hernán Porras Catherine Cruz Pinzón Cristian Gerardo Gil Daniel Alejandro Melo Diana Patricia García Diego Fernando Rubio Edwin Montaño German David Riveros Guillermo Alberto Ariza Héctor Javier Cortés Leydy Johana Poveda

Liliana Paola Rincón Luis Alfonso Nieto Luz Karina Ramos Maria Teresa Mayorga Martha Rubiela Guevara Miller Giovanny Franco Nubia Yolima Cucarian Rafael Leonardo Saavedra Sandra Liliana Barrios Sandra Milena Cardenas Sandra Mónica Bautista Sonia Janeth Ramírez Yaneth Adriana Cañón Juan Felipe Rincón Leidy Viviana Avilés

Este trabajo es resultado del esfuerzo de todo el equipo perteneciente a la Unidad de Informática.

Se prohíbe la reproducción parcial o total de este documento, por cualquier tipo de método fotomecánico y/o electrónico, sin previa autorización de la Universidad Nacional de Colombia. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES BOGOTÁ D.C. DICIEMBRE 2005

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO ................................................................................................................ 3 1.

RESUMEN ................................................................................................................................ 5

ABSTRACT .............................................................................................................................. 5

INTRODUCCIÓN.................................................................................................................. 7

Objetivo ............................................................................................................................................... 7 Justificación .......................................................................................................................................... 7 4.

STATISTICS TOOLBOX ................................................................................................... 8

Estructura de funciones .................................................................................................................... 9 5.

MANEJO DEL TOOLBOX ESTADISTICO ............................................................. 11

Estadística Descriptiva ................................................................................................................... 11

5.1.1.

Medidas de localización ............................................................................ 11

5.1.2.

Medidas de dispersión ............................................................................... 17

5.1.3.

Grupos de datos ............................................................................................ 29

GRÁFICAS EN TOOLBOX ESTADÍSTICO........................................................... 38

Introducción ..................................................................................................................................... 38 Principales Funciones Utilizadas En Matlab Para Gráficas ...................................................... 38 7.

PROBABILIDAD ................................................................................................................ 63

Distribuciones De Probabilidad Discretas................................................................................. 63 7.1.1.

Distribución Binomial ................................................................................. 63

7.1.2.

Distribución Poisson.................................................................................... 68

7.1.3.

Distribución Hipergeometrica ............................................................... 74

Distribuciones De Probabilidad Continuas ............................................................................... 80 7.1.4.

Distribución Normal .................................................................................... 80 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 3

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB 7.1.5.

Distribución Exponencial ......................................................................... 95

7.1.6.

Distribución Gamma ................................................................................. 103

7.1.7.

Distribución Chi-Cuadrado

7.1.8.

Distribución Beta ........................................................................................ 117

  ...................................................... 111 2

ANEXO 1 .......................................................................................................................................... 120 INNOVACIONES DE MATLAB 7 ................................................................................................ 120 NUEVAS CARACTERISTICAS .................................................................................................. 120 EDITOR AND DEBUGGER ....................................................................................................... 124 GRÁFICAS ...................................................................................................................................... 126

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB 1. RESUMEN

Matlab es un software aplicativo que permite su utilización en diferentes áreas del conocimiento, además permite la posibilidad de utilizar Toolbox

especializados

que

facilitan

trabajo

aumentan

funcionalidad del programa, tal como es el caso del Toolbox estadístico en el cual enfocamos este trabajo de investigación.

En el presente trabajo se pretenden dar a conocer algunas de las funciones básicas manejadas en el Toolbox estadístico, con el propósito de utilizar en la mayor medida posible, las herramientas proporcionadas por el software y adecuarlas a las necesidades presentes en el área estadística, complementando de esta forma las características básicas del Software, con las presentadas en investigaciones anteriores, la presente investigación y las posibles investigaciones futuras en el programa.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

2. ABSTRACT

Matlab is applicative software that allows using in different areas of the knowledge, in addition allows the possibility of using specialized Toolbox that they facilitate the work and they increase the functionality of the program, it is the case of the statistical Toolbox in which we focused this work of investigation. This work tried to present some basic functions handled in the statistical Toolbox, in order to use in the greater possible measurement, the tools provided by software and to adapt them to the present necessities in the statistical area, complementing the Software‟s basic characteristics, with the presented ones in previous investigations, the present investigation and the future investigations possible in the program.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

3. INTRODUCCIÓN

Objetivo Este trabajo se desarrolla con el objeto de continuar la investigación que se viene realizando en la UIFCE con miras a ampliar el campo de aplicación del programa MATLAB a las ciencias económicas, en este caso con un énfasis estadístico, disponible en un paquete específico Statistics

Toolbox-

Teniendo

cuenta

mencionado

con

anterioridad, se considera de gran importancia avanzar en este sentido para llegar a consolidar un nivel adecuado en la aplicación de este software que garantice la óptima utilidad del mismo. De esta forma se busca desarrollar con esta investigación un manual relacionado con el uso específico del paquete estadístico de MATLAB, de tal manera que el mismo se encuentre disponible para los usuarios de la UIFCE con conocimientos estadísticos básicos que quieran encontrar una aplicabilidad suficiente del software.

Justificación

Durante el desarrollo de las carreras de la facultad de ciencias económicas

destaca

gran

importancia

del

manejo

procesamiento de datos de tal forma que nos permitan establecer conclusiones fiables que se acerquen en gran medida a las situaciones reales, es por esta razón que se considera de gran UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 7

importancia

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB establecer

uso

adecuado

software,

como

MATLAB

específicamente del Statistics Toolbox, que facilite este proceso de análisis de datos y además

permita complementar un proceso de

conocimiento en el área de la estadística. 4. STATISTICS TOOLBOX

El paquete estadístico de MATLAB ha sido desarrollado para proveer ayuda a cualquier tipo de área, desde las finanzas hasta la ingeniería, con herramientas interactivas capaces de establecer análisis detallados de datos, además viene acompañado de una completa serie de funciones

para

desarrollar

desde

las

más

básicas

aplicaciones

estadísticas hasta un completo diseño y proceso de cualquier análisis estadístico. Este paquete provee dos completas categorías para este uso: -

Una estructura de funciones.

Herramientas de diseño interactivo.

Este paquete es de gran funcionalidad puesto que permite combinar poderosas funciones estadísticas con interfaces gráficas interactivas, que han de generar un ambiente ideal para un completo montaje estadístico.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Estructura de funciones MATLAB acompaña cada paquete de funciones con una completa guía de ayuda disponible en diferentes temas específicos, que se muestran a continuación. Las funciones que MATLAB incluye en este paquete las agrupa dentro de las siguientes áreas:

Estadística descriptiva

Control de procesos estadísticos

Estadística multivariada

Regresión no Lineal

Gráficos estadísticos

Diseño de Experimentos

Distribuciones de probabilidad

138 Técnicas de árbol de decisión

Pruebas de distribución

Pruebas No Paramétricas

Modelos Lineales

Modelos Hidden Harkov

Importar/exportar archivos

Demostraciones

Pruebas de hipótesis

Utilidades

Es importante destacar como en MATLAB es posible acceder al código fuente de las funciones predeterminadas (*.m), y amplia este capacidad hasta el punto en el cual se puede crear y/o personalizar cualquier tipo de función, ajustándolas a necesidades especificas. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 9

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Diseño interactivo - Interfaz Grafica de Usuario Además de la posibilidad de diseñar cualquier interfaz para un análisis especifico, MATLAB viene acompañado de opciones predefinidas muy útiles, una de estas es “The Distribution Fitting Tool” (Herramienta apropiada para las distribuciones) una herramienta de gran utilidad que permite

observar

comportamiento

diferentes

tipos

distribuciones de probabilidad con la opción de combinar distintas condiciones para cada una de ellas.

INVESTIGACIÓN Se ha planeado la investigación de tal manera que su resultado pueda acompañar un proceso académico, en el cual se establezca una interrelación entre la estadística y las ciencias económicas, es de esta manera como sin olvidar la gran funcionalidad de este paquete de herramientas, la investigación se va a enfocar en tres ejes temáticos, que se consideran de primera importancia para iniciar un estudio tan extenso.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

5. MANEJO DEL TOOLBOX ESTADISTICO

En esta sección se explicará el uso de las funciones de más utilidad del toolbox estadístico, con ejemplos básicos y útiles donde se destaquen la aplicabilidad de cada una de ellas.

Estadística Descriptiva

5.1.1.

Medidas de localización

Mean ()

Descripción

Calcula la media aritmética de determinados valores.

Sintaxis

mean (a) -

Si a es un vector, calcula la media de los valores. Si a es una matriz, calcula la media de cada

columna. mean (a, dim) -

Ejemplo

Devuelve los valores medios de la dimensión especificada de la matriz a. La dimensión predefinida es 1.

a = [1:10] Media = mean (a) Media = 5.5000 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 11

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1]

m_columnas = mean (b) m_columnas =

[5.0000

% media por columnas 5.2500

4.0000]

m_filas = mean (b, 2) % media por filas m_filas = [2 6 5 6] Nota

nanmean()

Calcula la media ignorando aquellos datos perdidos.

Descripción

Geomean ()

Descripción

Calcula la media geométrica de determinados valores.

Sintaxis

geomean (a) -

Al igual que la función anterior, si a es un vector, calcula la media de los valores. Si a es una matriz, calcula la media de cada

columna. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 12

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Ejemplo

a = [1:10] m_geometrica = geomean (a)

m_geometrica = 4.5287 Media aritmética > Media geométrica

Nota

mean (x) > geomean(x)

Harmmean ()

Descripción

Calcula la media armónica de determinados valores, en este caso representada por H, es igual al recíproco de una cantidad finita de números, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números

Sintaxis

harmmean (a) - Su parámetro funciona de la misma manera que para la media geométrica (mean).

Ejemplo

a = [1:10] m_armonica = harmmean (a)

m_armonica = 3.4142

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Trimmean () Calcula la media ajustada de una muestra determinada, es decir excluye los y/2 percentiles mas bajos como los mas altos, muy útil cuando encontramos datos atípicos en la muestra.

Descripción

Sintaxis

trimmean (a, y) -

Ejemplo

El parámetro a funciona de la misma manera que las funciones anteriores, donde a es la muestra. Mientras y representa el numero de percentiles que se quieren obviar en los extremos.

a = [1:10]

%a = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

y = 20 m_ajustada = trimmean (a, y) %Por el parámetro “y” la muestra que se calcula es a = [2 3 4 5 6 7 8 9] m_ajustada = 5.5000 %En este caso la media ajustada es igual a la media aritmética por las características de la muestra.

b = [1 2 3 7 5 6 4 5 6 8 9 1] z = 10 m_ajustada = trimmean (b, z) m_ajustada = 5.5000 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 14

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Max (); Min ()

Descripción

Devuelve los valores extremos de una determinada muestra.

Sintaxis

max(a); min(a) -

Si a es un vector, retorna el valor máximo/mínimo. Si a es una matriz, retorna máximo/mínimo de cada columna.

max(a,[],dim); min(a[],2) -

Ejemplo

Si a es una matriz, retorna máximo/mínimo según dim ya especificada, cuando dim = 2 devuelve los valores extremos para las filas.

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] %Devuelve los valores extremos por cada columna. mx = max(b) mx = [8

mi = min(b) 6]

mi = [1

%Devuelve los valores extremos por cada fila. mxf = max(b,[],2)

mif = min(b,[],2)

mxf = [

mif = [

3 7

9 Nota

]

nanmax() ; nanmin () UNIVERSIDAD NACIONAL Devuelve los valores extremos deCOLOMBIA una determinada FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS muestra ignorando aquellos datos perdidos. UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 15

Descripción

]

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Median ()

Descripción

Calcula la mediana de una muestra (matriz) especifica.

Sintaxis

median (a) -

Si a es un vector, retorna la mediana de los valores. Si a es una matriz, retorna la mediana de cada

columna.

median (a, dim) -

Ejemplo

Devuelve los valores medios de la dimensión especificada. La dimensión predefinida es 1.

a = [1:10] Mediana = median (a)

Mediana = 5.5000

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1]

mediana_col = median (b) mediana_col =

[

5.5000

% mediana por columnas 5.0000

4.5000]

mediana_fil = median (b, 2) % mediana por filas UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 16

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB mediana_fil = [2 6 5 8]

Nota

nanmedian()

5.1.2.

Descripción

Calcula la mediana ignorando aquellos datos perdidos.

Medidas de dispersión

Std ()

Descripción

Devuelve la desviación estándar de una matriz o muestra específica.

Desviación estándar Corregida

Sintaxis

Desviación estándar sin Corregir

std (a) -

Si a es un vector, retorna la desviación estándar corregida de los valores. - Si a es una matriz, retorna la desviación estándar corregida de los valores por columnas. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 17

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

std (a, flag) -

Cuando flag = 0, std (a,0) se comporta de la misma manera como std (a)

Cuando flag = 1, std (a, 1) devuelve la desviación estándar sin corregir, y el segundo momento de la muestra

std (a, flag, dim) -

Ejemplo

obtenemos la desviación estándar de la dimensión determinada. Cuando dim = 0 obtenemos la desviación estándar de las columnas. Si dim = 1 se genera la desviación estándar de las filas.

a = [1:10] Des_std = std (a) % desviación estándar corregida Des_std = 3.0277

Dstd = std (a, 1)% desviación estándar sin corregir Dstd = 2.8723

% segundo momento

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1]

dstd_col= std (b)% desviación estándar por columnas UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 18

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB dstd_col =

[

3.1623

2.8723

2.4495]

dstd_fil = std (b,0,2)% desviación estándar por

filas

dstd_fil = [1.0000 1.0000 1.0000 4.3589 ] Nota

nanstd() perdidos.

Calcula

Descripción

la desviación estándar ignorando aquellos datos

Var () Descripción

Calcula la varianza de una muestra específica, es igual al cuadro de la desviación estándar corregida.

Sintaxis

var (a) -

Si a es un vector, retorna la varianza corregida de los valores. Si a es una matriz, retorna la varianza corregida de cada columna.

var (a,1) -

Ejemplo

Si a es un vector, retorna la varianza sin corregir de los valores, mientras si a es una matriz, retorna la varianza sin corregir de cada columna.

a = [1:10] Varz = var (a) % desviación estándar corregida Varz = 9.1667 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 19

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Recordemos que: std(a) = 3.0277. [ std(x) ]2= (3.0277) 2 = 9.167

var(x)

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1]

varc = var(b) % varianza por columnas varc = [ 10.0000

8.2500

6.0000 ]

varf = var(b,1) % varianza por filas varf = [ 7.5000

6.1875

Varianza corregida:

Nota

Varianza sin corregir:

nanvar()

Descripción

4.5000 ] [ std(x) ] 2= var(x)

[ std(x,1) ] 2 = var(x,1)

Calcula la varianza ignorando aquellos datos perdidos.

Range ()

Descripción

Devuelve el rango de una determinada serie de datos, es decir calcula la diferencia entre el dato máximo y el dato mínimo.

Sintaxis

range (a) -

Si a es un vector, calcula el rango del mismo.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Si a es una matriz, calcula el rango de cada columna.

Ejemplo

a = [1:10] rango = range (a)

rango = 9

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] ran = range (b) ran = [ 7

Iqr () Calcula el rango intercuartil de una muestra especifica, es decir, la diferencia entre el percentil 75 y el 25.

Descripción

Sintaxis

iqr (a) -

Ejemplo

Si a es un vector, calcula el rango intercuartil del mismo. Si a es una matriz, calcula el rango intercuartil de cada columna.

a = [1:10] R_ intercuartil = iqr (a)

R_ intercuartil = 5

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 21

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB R_ intercuartil = iqr (a) R_ intercuartil = [ 5.0000

3.5000

4.0000 ]

Prctile ()

Descripción

Calcula el valor de un percentil determinado en el intervalo de [0 100] en una muestra especifica.

Sintaxis

prctile (a, p) -

“p”, corresponde al percentil que se busca, puede

ser un vector o escalar “a”, es la muestra que se analiza, puede ser vector o matriz.

Prctile (a , p)

Vector

Escalar

Calcula el percentil “p” de la muestra “a”.

Matriz

Escalar

Genera un vector con los percentiles “p” por cada columna de la matriz “a”.

Vector

Genera un vector con los percentiles que contiene “p” de la muestra “a”.

Matriz

Vector

Genera una matriz en la cual cada columna corresponde a los percentiles especificados en “p” de cada columna de la matriz “a”

Nota

Percentil 50 = Mediana

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Ejemplo

a = [1:10] b = [25 50 75] percentiles = prctile (a,b) percentiles = [ 3.0000

5.5000

8.0000 ]

c = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] d = [25 50 75] percent = prctile (c,d) percent = [ 2.5000 5.5000 7.5000

3.5000 5.0000 7.0000

2.0000 4.5000 6.0000 ]

Quantile ()

Descripción

Calcula el valor de un quantiles de una muestra especifica, aunque su resultado es muy similar al de la función anterior – prctile() - .

Sintaxis

quantile (a, p, dim) -

“p”, corresponde al quantil que se busca, puede ser un vector o escalar y se encuentra entre el rango [0 1] . “a”, es la muestra que se analiza, puede ser vector o matriz. Su comportamiento hasta este punto es igual a la función prctile().

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Sin embargo el parámetro dim es muy útil ya que nos permite buscar quantiles en otras dimensione. dim=1, por columnas, dim=2, por filas

Nota

Ejemplo

Prctile( x , 50) = quantile (x, .50) = mediana

a = [1:10] Q5 = quantile(a, .5) %Igual a la mediana Q5 = 5.5000 Resume = quantile(a,[.025 .25 .50 .75 .975]

)

Resume = [1.0000 3.0000 5.5000 8.0000 10.0000 ] b = magic(3) b = [8

MedianaC = quantile(b,.5,1) %Mediana por columnas MedianaC = [ 4

MedianaF = quantile(b,.5,1) %Mediana por filas MedianaF = [

6 5 4

]

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Skewness ()

Descripción

Calcula la oblicuidad de una determinada muestra,

Sintaxis

skewness (a) -

Si a es un vector, calcula la oblicuidad de los valores. Si a es una matriz, calcula la oblicuidad de cada columna.

Ejemplo

X = randn([5 4]) %genera una matriz aleatoria con distribución normal X = [ 0.2944

0.8580

-0.3999

0.6686

-1.3362

1.2540

0.6900

1.1908

0.7143

-1.5937

0.8156

-1.2025

1.6236

-1.4410

0.7119

-0.0198

-0.6918

0.5711

1.2902

-0.1567 ]

obl = skewness (X) %En este caso la oblicuidad se acerca a cero obl = [ -0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652 ] Nota

La oblicuidad (obl.) es una medida de asimetría de las muestras con distribución normal, se mide a partir de la media. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD CIENCIAS ECONÓMICAS Si obl. < 0, entonces la mayoría de los DE datos se encuentran a la izquierda de la media; UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES Si obl.> 0, entonces la mayoría de los datos se 25 encuentran a la derecha de la media; y Si obl. = 0, entonces la muestra corresponde a una distribución normal con perfecta simetría.

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

kurtosis ()

Descripción

Calcula la curtosis, removiendo los valores perdidos.

Sintaxis

kurtosis (a) -

Cuando a es un vector, calcula la curtosis de los elementos del mismo. Cuando a es una matriz, calcula la curtosis para cada columna.

kurtosis (a, flag) - Especifica si se quiere corregir la diagonal (flag = 0) o no (flag = 1, por defecto).

Ejemplo

a = [1 5 9; 2 6 10; 3 7 11; 4 8 12] k=kurtosis (a) k= [1.6400

1.6400

1.6400]

tabulate () UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 26

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Descripción

Devuelve una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de una muestra.

Sintaxis

tabulate (a) -

Ejemplo

El parámetro a representa la muestra, y solo puede ser un vector.

a = [4 1 4 4 2 3 4 3 1 2] tabla = tabulate (a)

tabla = Value

Count

Percent

20.00%

40.00%

mad ()

Descripción

Desviación absoluta media o mediana de una muestra.

Sintaxis

mad (a,flag,dim) Si flag = 0 : -

Si a es un vector, calcula la desviación absoluta media de los valores. Si a es una matriz, calcula la desviación absoluta media de cada columna.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Si flag = 1: -

Si a es un vector, calcula la desviación absoluta mediana de los valores. Si a es una matriz, calcula la desviación absoluta medina de cada columna.

- dim se usa para determinar la dimensión en la cual se quiere calcular.(dim = 0, por defecto, columnas, dim=1 por filas)

Ejemplo

a = [1:10] DesvAbs = mad(a) DesvAbs = 2.5000

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] dac = mad(b)

% desviación media por columnas

dac =[ 2.5000

1.8750

2.0000 ]

daf = mad(b,0,1)% desviación media por filas daf =[ *

Nota

Para una distribución normal 'mad ()' es menos eficiente que la desviación estándar 'std()' como medida de dispersión.

moment () UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 28

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Descripción

Devuelve los momentos centrales de cualquier orden (k).

Sintaxis

moment(a, order, dim) -

Ejemplo

Calcula el momento central de a según el entero positivo order. SI a es un vector, calcula el momento central por cada columna. dim especifica la dimensión con la cual se calcularan los momentos centrales.

a = [1:10] DesvAbs = mad(a) DesvAbs = 2.5000

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] dac = mad(b)

% desviación media por columnas

dac =[ 2.5000

1.8750

2.0000 ]

daf = mad(b,0,1)% desviación media por filas daf =[ *

5.1.3.

Grupos de datos

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

cov()

Descripción

Devuelve una matriz de covarianza.

Sintaxis

cov (a) -

Proceso

Cuando a es un vector, devuelve un valor con la varianza del mismo. Cuando a es una matriz, cada columna es una observación y cada columna una variable.

El algoritmo para cov () es:

[n,p] = size(X); X = X - ones(n,1) * mean(X); Y = X'*X/(n-1);

Ejemplo

a = [1:10] Covarianza = cov(a) Covarianza = 9.1667

b = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6] Covarianza = cov (b) Covarianza =[ 9.0000

4.5000

3.0000

4.5000

3.0000

3.0000 ]

corr() UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 30

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Descripción

Devuelve una matriz de correlación linear.

Sintaxis

RHO = corr(a) -

a debe ser una matriz, y devuelve un matriz de correlacion entre columnas.

RHO = corr(a,b) -

Genera una matriz de correlación entre las dos matrices, las dimensiones iguales a las de b.

deben

ser

RHO = corr(...,'param1', val1, 'param2',val2,...) -

Especifica mas parámetros para determinar la Correlación.

Parámetros

Valores

Descripción

'type'

'Pearson'

● Calcula el coeficiente de correlación lineal de 'Pearson'.

(por defecto)

● Para los valores-P usa la distribución T-Student

'rows'

'Kendall'

● Calcula “Kendall's tau”, otra medida de correlación.

'Spearman'

● Calcula la correlación de 'Spearman'.

'all'

● Calcula usando todas las filas así contengas valores perdidos.

(por defecto)

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

'tail'

'complete'

● Calcula las filas que no tengan valores perdidos.

'pairwise'

● Calcula RHO[i,j] usando las filas que no tengan valores perdidos en las columnas j e i .

'ne'

● Correlación no es cero

(por defecto) 'gt'

● Correlación es mayor que cero

'lt'

● Correlación es menor que cero (Cola – La hipótesis alternativa contraria a la que deseamos comprobar.)

Ejemplo

a = [1 2 3; 7 5 6; 4 5 6; 8 9 1] Rho = corr(a) Rho =[

1.0000

0.8808

-0.1291

0.8808

1.0000

-0.4264

-0.1291

-0.4264

1.0000 ]

b=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12] RHO = corr(a) RHO = [ 1 1 1 111 111]

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

corrcoef()

Descripción

Sintaxis

Devuelve una matriz con los coeficientes de correlación, en el cual las filas son observaciones y las columnas son variables .

R = corrcoef (a) -

a debe ser una matriz.

[R,P]= corrcoef (a) - Devuelve además una matriz con los valores p usados en las pruebas de hipótesis.

[R,P,RLO,RUP]=corrcoef(...) - Además devuelve RLO y RUP que son los límites de determinado intervalo a 95% de confianza. [...]=corrcoef(...,'param1',val1,'param2',val2,...) -Parámetros adicionales Parámetros Descripción 'alpha'

Un numero entre 0 y 1 usado para especificar el nivel de confianza de 100*(1-alpha)% Ejemplo. Cuando alpha es 0.05, el intervalo de confianza esta a 95%

'rows'

Los valores se determinan de la misma manera que para corr(). UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 33

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

crosstab()

Descripción

Genera una matriz con tabulación-cruzada entre diferentes vectores.

Sintaxis

crosstab (col1 ,col2) -

Se genera una matriz donde el elemento (i,j) corresponde a la cuenta de todas las observaciones donde col1=i y col2 =j.

Ejemplo

a=[1

10 ]

%Código de diez estudiantes b=[2

3.5 2.5 3

%Nota para los diez estudiantes respectivamente tabla = crosstab(a,b) tabla =

[

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB 0

]

Puede interpretarse como:

Nota

2.5

3.5

Alumno

grpstats ()

Descripción

Devuelve un resumen estadístico por grupo.

Sintaxis

grpstats (a, group) -

Genera la media de cada columna de a por grupo, el vector group define como se agruparan los datos.

grpstats (a, group, alpha) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 35

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Genera un diagrama de las medias frente a un índice 100(1 - alpha) % de intervalo de confianza por cada media.

grpstats (a, group, whichstats) -

En este caso whichstats corresponde a otros estadísticos que podemos calcular dentro de los siguientes:

'mean'

Promedio

'sem'

Error estándar

'numel'

Cuenta, del número de elementos.

'gname'

Nombre del grupo

'std'

Desviación Estándar

'var'

Varianza

'meanci'

Intervalo de confianza al 95%

'predci'

Intervalo de predicción a un 95% para una nueva observación

bootstr ()

Descripción

Permite efectuar características.

Bootstrap

con

Nota

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determinadas

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB El Bootstrap es una metodología estadística que a tenido gran aplicación en los últimos años, y consiste en obtener nuevas muestras con características similares a una primera muestra real (raíz), y partir de los estadísticos de todas las muestras generadas establecer conclusiones mas precisas.

Sintaxis

bootstr (nboot, fboot,d1,d2,…) -

Ejemplo

nboot, es el numero de muestras que queremos generar. fboot, es la función que se quiere aplicar a las muestras. d1, d2, …. , son las muestras raíz.

X = [1:5] %Muestra raíz B1 = bootstr(3,‟size‟,a) B1 = [

]

B2 = bootstr(3,‟mean‟,a) B2 = [

2.6000 2.2000 3.8000

]

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

6. GRÁFICAS EN TOOLBOX ESTADÍSTICO

Introducción El Toolbox estadístico de MATLAB, proporciona grandes facilidades en lo relacionado con gráficas, situación que permite automatizar y agilizar el manejo y procesamiento de las mismas. Para ello dispone de una serie de funciones que permiten modificar dentro de la figura los parámetros que afectan el resultado de la misma. En el presente informe se pretende dar a conocer algunas de estas ventajas con una ayuda que permita una fácil utilización las funciones predefinidas para el programa.

Las gráficas estadísticas en las que basaremos el presente trabajo serán algunas en las cuales se manejen las funciones de distribución básicas, de tal manera que se adecue a las necesidades de los estudiantes de la facultad de ciencias económicas, dando principal énfasis en funciones de distribución como la T, Chi-cuadrado, F, Binomial, Poisson, entre otras.

Principales Funciones Utilizadas En Matlab Para Gráficas Existen una serie de criterios generales para seleccionar gráficas de tipo estadístico, criterios que corresponden a las posibilidades y características que poseen las gráficas en el TOOLOBOX ESTADISTICO. Algunas de las características de mayor importancia se encuentran relacionadas con el entendimiento de las gráficas, como bien es expresado en la siguiente frase “toda grafica debe explicarse por si misma, por tanto debe llevar un titulo claro, la fuente de donde fueron obtenidos los datos, rangos de escalas y leyendas o notas explicatorios”1. Las gráficas en matlab permiten la posibilidad de adecuarlas de tal forma que sean completamente entendibles para los usuarios, por medio de las diferentes posibilidades existentes para insertar en las graficas.

En el menú insertar, Matlab permite la posibilidad de agregar a la

Ciro Martínez Bencardino, ESTADISTICA

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB gráfica etiquetas de diferentes tipos, de igual forma es posible colocar al interior de la misma formas y cuadros, estas opciones proporcionadas por el programa permiten responder a las características básicas para graficas, y además colocar algunos elementos adicionales que dan un toque personal y mejor entendimiento de las mismas.

Para conocer algunas de las posibilidades de las gráficas en el Toolbox, presentaremos algunas de las funciones relacionadas con graficas de tipo estadístico en el programa. Las siguientes son las funciones básicas de mayor importancia, relacionadas con los estudios de tipo estadístico:

RANDTOOL Esta función permite generar de forma interactiva números al azar mostrando los resultados gráficos por medio de un histograma. Instala un interfaz gráfico que permite indagar los efectos al realizar cambios en los parámetros que afectan la función que se desee graficar. Algunas características de la interfaz (VER FIGURA 1)

La interfaz que se abre con la función, permite fijar valores de parámetro para la distribución y para cambiar sus límites superiores e inferiores en la generación de datos aleatorios. Permite dibujar otra muestra con la misma distribución, con el mismo tamaño y los parámetros, al igual que generar la grafica de otro tipo de distribución con los parámetros seleccionados en primera instancia. Permite exportar la muestra actual al workspace, para ello proporciona la opción exportar la cual permite ver los datos aleatorios que generaron la grafica y en general trabajar con estos como si hubiesen sido creados en el command window. Trae una barra de menús completa que permite realizar modificaciones a las características de la grafica, compuesta por bastantes opciones que permitirán adecuar la grafica a nuestros requerimientos y de igual forma obtener todo tipo de información relacionado con la grafica UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 39

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB generada con datos aleatorios.

Barra de menús

TAMAÑO DE LA MUESTRA

FUNCIONES DISTRIBUCION

Limite superior e inferior de los datos generados.

Valor parámetro

del

Exportar datos al workspace FIGURA 1

DISTTOOL Esta función permite generar de forma interactiva diagramas de diferentes distribuciones de probabilidad. La interfaz generada por esta función permite escoger entre dos tipos de diagramas, el de cdf (genera una función distribución acumulativa elegida) o el de pdf (Función de densidad de probabilidad para una distribución especificada) y al igual que la función presentada con anterioridad permite realizar UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 40

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB modificaciones a los parámetros relacionados con las características de la misma interfaz generada.

Algunas características de la interfaz (VER FIGURA 2)  La interfaz que se abre con la función, permite fijar valores de parámetro para la distribución y para cambiar sus límites superiores e inferiores en la generación de datos aleatorios.  En la interfaz se tiene la posibilidad de conocer los valores de X correspondientes a un nivel de probabilidad, o viceversa. Estos valores pueden ser modificados de acuerdo a nuestras necesidades y varían automáticamente en la interfaz generada con esta función.  Permite la posibilidad de generar un sin numero de gráficos, teniendo en cuenta los 20 tipos de distribución existentes, y las dos posibilidades de funciones que se pueden generar para cada tipo de distribución.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

TIPO DE FUNCION

FUNCIONES DISTRIBUCION

FUNCION CDF O PDF VALOR DE LA FUNCION

VALOR DE X

Limite superior e inferior de los datos generados.

FIGURA 2

Valor del parámetro

Lsline Descripción

Esta función genera la línea de ajuste de los mínimos cuadrados de una función predeterminada. Sintaxis

lsline x = lsline Ejemplo

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TIPO

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Se puede generar un vector x con cualquier tipo de características (en este caso un vector que contiene 20 datos aleatorios con distribución normal), en este caso utilizamos la función randn; X = randn (20,1) Graficamos la función y pedimos que nos señale los valores al interior de la gráfica. plot (X,‟+‟)

Por último utilizamos la función lsline para que nos genere la línea de tendencia de los valores graficados. lsline (ver FIGURA 3).

2 1.5 1

Línea de tendencia 0.5

Generada por la función 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

FIGURA 3

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Cdfplot Descripción

Este comando permite ver la gráfica de una función de distribución acumulativa empírica para datos en un solo vector X. El cdf empírico se define como la proporción de valores de X menor o igual a x. Este diagrama, al igual que los generados por hist y normplot, es útil para examinar la distribución de una muestra de datos. Sintaxis

cdfplot (X) h = cdfplot(X) [h, stats] = cdfplot(X) Ejemplo

En primer lugar generaremos un vector con media: 0, desviación estándar: 1; con dimensiones m: 20 y n: 1. Para ello utilizaremos la función normrnd estableciendo los parámetros anteriormente mencionados, así: x = normrnd (0,1,50,1); Posteriormente utilizamos la función objetivo del ejemplo de la siguiente forma: cdfplot (x) (VER FIGURA 4) Y por ultimo le pedimos que nos muestre el h y los estadísticos básicos [h,stats] = cdfplot(X), así:

stats

values

min:

-1.7613

max:

2.7922

mean:

-0.1579

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB median:

-0.3096

std:

0.9138

Empirical CDF 1 0.9 0.8 0.7

F(x)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

FIGURA 4

Boxplot Descripción

Diagrama de caja de una muestra de los datos

Sintaxis

- Boxplot(X): produce un diagrama de caja y de “bigotes” para cada columna de la matriz X. La caja tiene líneas en el cuartíl superior, en el punto medio, y en el cuartíl inferior de la caja. Los “bigotes” son líneas que extienden de cada extremo de la caja para mostrar la extensión de los datos que se encuentran fuera de los limites de la caja. Los “mas” (+) son datos con valores más allá de los extremos de los “bigotes”. Si no hay datos fuera de los “bigotes”, un punto se coloca en el “bigote” inferior -

boxplot (X,G): produce un diagrama de caja y bigotes para un vector UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 45

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB X, agrupado por G. G es un grupo de variables definidas por un vector, una matriz o un conjunto de celdas variables. G también puede ser un conjunto de variables (tales como {G1 G2 G3} agrupando los valores en X por cada combinación de grupo de variables. -

boxplot (...,'Param1', val1, 'Param2', val2,...): parámetros opcionales específicos, tales como los descritos en el siguiente cuadro:

Parameter Name

Parameter Values

'notch'

'on' para incluir los cortes en la caja (por defecto es 'off')

'symbol'

Símbolo para usar fuera del limite del grafico (por defecto es r+')

'orientation'

Orientación del diagrama 'vertical' (por defecto) o 'horizontal'

'whisker'

Máxima extensión de los “bigotes” en unidades de rango de intercuartíl (por defecto 1.5)

'labels'

Etiquetas para la secuencia de columnas (se usa solamente cuando X es una matriz, y la etiqueta por defecto es el numero de la columna).

En un boxplot con cortes, dichos cortes representan un buen estimador de la incertidumbre, en la comparación de las medianas de cada caja graficada. Cuando los cortes no se traslapan indican que las medianas de los dos grupos difieren con un 5 por ciento de nivel de significancia.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Ejemplo



Los siguientes comandos generan un diagrama de boxplot usando una base de datos existente en el programa y que permite su utilización para la explicación de varias funciones. Los siguientes comandos crean un boxplot de la aceleración relacionada con el año de fabricación de los carros.

load carsmall boxplot (Acceleration, Model_Year)

Boxplot Acelaracion VS Modelo del carro 24 22 20

Values

18 16 14 12 10 8 70

En este ejemplo podemos ver un diagrama de caja para la aceleración de los vehículos de acuerdo con el año de fabricación, y podemos evaluar algunas de las características que evidencia la figura, tales como la diferencia entre medianas y los datos que se encuentra fuera de los límites del diagrama de caja. 

Este ejemplo produce los diagramas de la caja para los datos de la muestra, y acepta el defecto 1,5 * IQR para la longitud de las barbas. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 47

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB X1 = normrnd(6,1,60,1); % normrnd genera datos aleatorios con distribución normal X2 = normrnd(4,2,60,1); x = [X1 X2]; boxplot(x, 1) Boxplot para dos funciones con Dn normal 9 8 7

Values

6 5 4 3 2 1 0 1

2 Column Number

La diferencia entre los puntos medios de las dos columnas de x es aproximadamente 1. Puesto que los cortes en el boxplot no se traslapan, se puede concluir, con un nivel de significancia del 95%, que las medianas de las dos muestras difieren. Este diagrama tiene varios elementos gráficos: 

Las líneas más bajas y superiores de la "caja" son el 25 y 75 por ciento de la muestra. La distancia entre la tapa y fondo de la caja es el rango de interquartile.



La línea en el centro de la caja es el punto medio de la muestra. Si el punto medio no se centra en la caja, ésa es una indicación de la oblicuidad.



Las " barbas" son líneas que extienden sobre y debajo de la caja. Demuestran el grado del resto de la muestra (a menos que hay afloramientos). No si se asume que ningún afloramiento, el máximo de la muestra es la tapa de la barba superior. El mínimo de la muestra es el fondo de la barba más baja. Por defecto, los datos que se encuentran por fuera de los bigotes son más de 1,5 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 48

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB veces la gama interquartile que se encuentran fuera de los límites de la caja. 

El signo de más en la tapa del diagrama es una indicación de un afloramiento en los datos. Este punto pudo ser el resultado de un error de la entrada de datos, de una medida pobre, o de un cambio en el sistema que generó datos de forma errónea.



Las cortes en la caja son un intervalo gráfico de la confianza sobre el punto medio de una muestra. Los diagramas de la caja no tienen cortes por defecto.

Qqplot Descripción

Un diagrama del quantile-quantile es útil para determinarse si dos muestras vienen de la misma distribución (si está distribuido normalmente o no).

Sintaxis

qqplot(X) muestra una grafica de quantil-quantil para una muestra de datos de X en relación a una distribución teórica normal. Si la distribución de X es normal, la grafica será lineal.

- qqplot(X, Y) muestra una grafica de quantil-quantil para dos muestras de datos si las muestra vienen de la misma distribución, la gráfica será lineal. Para una matriz X y Y, qqplot muestra líneas separadas para cada pareja de columnas, además la gráfica contiene la muestra de datos mostrando los mismos por medio de signos (+). - qqplot () este tipo de gráfico es usado para especificar los cuartiles en el vector pvec. Ejemplos

El ejemplo demuestra un diagrama del quantile-quantile-quantile de dos muestras de una distribución de Poisson.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB x = poissrnd (15, 140,1); y = poissrnd (10, 80,1); qqplot(x, y););

QQPLOT para comparar dos dstribuciones Poisson 20 18 16

Y Quantiles

14 12 10 8 6 4 2 0

16 18 X Quantiles

Aunque los parámetros y los tamaños de muestra son diferentes, la relación de línea recta demuestra que las dos muestras vienen de una misma distribución. 2. El ejemplo debajo de demostraciones qué sucede cuando las distribuciones subyacentes no son iguales. x = normrnd(10,1,50,1); y = weibrnd(4,0.5,50,1); qqplot(x, y); QQPLT Para distribuciones diferentes 0.8 0.7 0.6

Y Quantiles

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2

7.5

8.5

9.5 10 X Quantiles

10.5

11.5

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Estas muestras no son claramente de la misma distribución. Para determinar la validez de un procedimiento estadístico que dependa de que las dos muestras vienen de la misma distribución (ej. ANOVA), un diagrama linear del quantile-quantile-quantile debe ser suficiente.

Gname Descripción

Etiqueta los puntos trazados con el respectivo nombre o número, según el caso. Los datos que se ingresan para utilizar a función deben ser datos que se encuentren relacionados con un nombre específico, es decir que cada punto al interior de la grafica corresponda a un nombre en especial. Si se pulsa una vez un punto al interior de la gráfica, automáticamente el grafico muestra el nombre al que corresponde el punto seleccionado. De forma alternativa si se desea conocer el nombre de diferentes puntos se puede arrastrar el Mouse creando un rectángulo que mostrara el nombre de cada uno de los puntos que se encuentran al interior del mismo. Con el botón derecho del Mouse se puede quitar la etiqueta colocada sobre la gráfica. el gname sin discusiones etiqueta cada caja con su número del caso. Se puede utilizar el gname para etiquetar diagramas creados por funciones tales como plot, Scatter, gscatter, plotmatrix, entre otras.

Sintaxis

gname() permite conocer la procedencia de los datos con solo presionar el botón derecho del Mouse para gráficas realizadas de forma previa. h = gname(cases, line_handle)

Ejemplo

Este ejemplo utiliza información de ciudades estadounidenses con el objetivo de revisar la relación entre gastos e ingresos, y utilizando el comando gname para verificar a que ciudad corresponde cada punto. Load cities gastos = ratings(:,1); ingresos= ratings (:,4); UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 51

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB plot(Gastos, Ingresos,'+') gname(names) 4

x 10

3 Los Angeles, Long Beach, CA 2

Philadelphia, PA-NJ

0 1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Para ver la procedencia de cualquier punto del grafico basta con dar clic sobre alguno de ellos.

Refline Descripción

Agregue una línea de referencia a la gráfica actual.

Sintaxis

refline(slope, intercept) - agrega una línea de referencia con la pendiente y a intercepción teniendo en cuenta las condiciones actuales refline(slope) - agrega la línea de referencia al gráfico, y utilizando únicamente la pendiente. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 52

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB h = refline(slope, intercept)

Ejemplo

Para este ejemplo creamos un vector Y, creando diferentes líneas de referencia en la grafica de acuerdo a condiciones especificas. 

Y = [1.2 5.2 1.9 4.5 4.0 3.2 3.9 1.9 2.6 2.4 2.8]';



plot (y,'+')



refline(1,3)



refline(0.5,3)



refline(2,3)



refline(0,2) REFLINE 14

2 1

Gscatter Diagrama de la dispersión del grupo Sintaxis

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB gscatter(x,y,g) gscatter(x,y,g,'clr','sym',siz) gscatter(x,y,g,'clr','sym',siz,'doleg') gscatter(x,y,g,'clr','sym',siz,'doleg','xnam','ynam') h = gscatter(...) Descripción - gscatter(x, y, g)

Crea un diagrama de la dispersión de x y y, en el cual X y Y son los vectores con el mismo tamaño y g es un grupo de variables definidas por un vector, una matriz o un conjunto de celdas variables. G también puede ser un conjunto de variables (tales como {G1 G2 G3} agrupando los valores en X por cada combinación de grupo de variables. Los puntos con el mismo valor de g se colocan en el mismo grupo, y aparecen en el gráfico con el mismo marcador y color. - gscatter(x, y, g, ' clr ', ' sym ', siz) Esta función permite crear el diagrama de dispersión y especificar el color, el tipo del marcador, y el tamaño para cada grupo. ' clr ' es un conjunto de colores reconocidos por la función plot.’sym ' son una serie de símbolos reconocidos por el comando plot, con el símbolo por defecto de '.'. siz es un vector de tamaños, con el defecto determinado por ' defaultlinemarkersize ' característico. Si no se especifican las características deseadas, gscatter establece los valores necesarios para el entendimiento de la gráfica. - gscatter(x, y, g, ' clr ', ' sym ', siz, ' doleg ') controla si la leyenda es mostrada en el gráfico ('doleg' = 'on', por defecto) o no ('doleg' = 'off'). - gscatter(x, y, g, ' clr ', ' sym ', siz, ' doleg ', 'xnam', 'ynam ') especifica el nombre para utilizar en las etiquetas del eje X y el eje Y. Si las etiquetas par x y Y son omitidas, por defecto se coloca en el gráfico el nombre de las variables.

Ejemplo

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB El siguiente ejercicio consistirá en realizar un diagrama de dispersión para dos grupos el de salud y el de condiciones económicas agrupándolas por medio de la información de la columna group. Para ello se deben ingresar los siguientes comandos: Load discrim % carga tablas con información predefinida que se encuentra en el programa scatter(ratings(:,3),ratings(:,9),group,'rk','.*') DIAGRAMA DE DISPERSION 10000 1 2

CONDICION ECONOMICA

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

1000

2000

3000

4000 SALUD

5000

6000

7000

8000

Hist Descripción

Grafico de histograma

Sintaxis

- hist(y) Grafica un histograma con diez barras para los valores contenidos en el vector y. las barras están igualmente espaciados entre el valor mínimo y máximo que toma la variable. - hist(y, nb) Las letras nb representan el número de barras que queremos sean colocados en el gráfico final. - hist(y, x) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 55

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Grafica un histograma usando el numero de barras que contiene el vector x. - [n,x] = hist(y...) no realiza el gráfico de histograma, pero retorna los vectores n y x, que contienen la frecuencia y la localización de las barras de tal forma que bar(x,n) grafica el histograma. Ejemplos

1. Con los siguientes comandos se genera un histograma con diez divisiones. y = normrnd(0,0.5,500,1) genera datos aleatorios.

%la

función

normrnd

Hist (y) HISTOGRAMA 150

100

0 -1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2. Los siguientes comandos generan un histograma, en el cual se utiliza una variable x, para elegir el número de barras contenidas en el gráfico y elegir los valores del eje x. y= normrnd(0,1,1500,1); x= -4.5:0.7:4.5; hist(y,x)

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB HISTOGRAMA 2 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -5

-4

-3

-2

-1

Errorbar Descripción

Sintaxis

Grafica las barras de error a lo largo de una curva.

- errorbar(X,Y,L,U,symbol) Grafica X versus Y con un largo especifico de las barras de errores determinado por L(i)+U(i) que representan los puntos superiores e inferiores del gráfico. X, Y, L, y U deben ser de la misma longitud. Si X, Y, L, y U son matrices, cada columna produce una línea por separado. Las barras de error están graficadas a distancia de U(i) en la parte superior y L(i) en la parte inferior de los puntos en (X,Y). El símbolo (symbol) es una forma de controlar el tipo de línea, el símbolo del gráfico y el color de las barras de error. - errorbar(X,Y,L) Grafica X versus Y con barras de errores simétricas en relación a Y - errorbar(Y,L) Grafica Y con barras de error [Y-L Y+L].

Nota

La función errorbar hace parte del lenguaje estándar de MATLAB UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 57

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Ejemplo

Con los comandos siguientes genere los vectores necesarios para realizar la grafica de errorbar. X =[1 2 3;6 5 4 ; 9 8 7]; Y =[5 4 9; 5 4 8 ; 1 8 6]; U =[3 6 7; 7 9 1; 8 9 2]; L =[2 8 6;7 9 5; 3 4 6] errorbar (X, Y, L, U,'s') ERRORBAR 20

-5

Ecdfhist Propósito

Crea el histograma de salida de una distribución ecdf Sintaxis

- n = ecdfhist (f, x) Toma un vector f, de valores una distribución acumulativa (cdf) y un evaluación de los puntos de la devuelve un vector n que contiene altos del histograma para 10 barras UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 58

función de vector de función, y los puntos igualmente

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB espaciadas. La función computa las barras de mayor altura desde el incremento en la función empírica (cdf), y las normaliza de tal forma que el área del histograma sea igual a 1. A diferencia el comando hist genera barras que representan la frecuencia en la muestra. - n = ecdfhist(f, x, m) En este caso m es un número escalar y representa el numero de barras que deseamos aparezcan en el gráfico. n = ecdfhist(f, x, c) - n = ecdfhist(f, x, c) En este caso c es un vector, que permite centrar las barras específicamente en c. - [n, c] = ecdfhist(...) Devuelve la posición de las barras centradas en c. - ecdfhist(...) Sin argumentos produce un histograma de barras de los resultados. Ejemplo

El código siguiente genera tiempos de error aleatorios y tiempos censurados , comparando la empírica pdf con una pdf que se conoce que es verdadera. “y = exprnd(10,50,1); % random failure times d = exprnd(20,50,1); % drop-out times t = min(y,d); % observe the minimum of these times censored = (y>d); % observe whether the subject failed % Calculate the empirical cdf and plot a histogram from it [f,x] = ecdf(t,'censoring',censored); ecdfhist(f,x); % Superimpose a plot of the known true pdf hold on; UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 59

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB xx = 0:.1:max(t); yy = exp(-xx/10)/10; plot(xx,yy,'g'); hold off;”2 ECDFHIST 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

GPLOTMATRIX Descripción

Matriz diagramas de dispersión por grupo.

Sintaxis

-gplotmatrix(x,y,g) Esta función crea una matriz de gráficos de dispersión. Cada conjunto de ejes en la figura del resultado contiene un diagrama de dispersión de una columna de x contra una de y. Todos los gráficos están agrupados por la variable g. X y Y son matrices con el mismo número de filas. Si x tiene p columnas y q filas la figura contiene una matriz p * q de diagramas de dispersión. G es una variable para agrupar que puede ser vector, una matriz o un conjunto de celdas variables. G debe tener la misma cantidad de filas que X y Y.

Tomado de MATLAB \ ESTATISTICS Toolbox\ HELP \ ecdfhist

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

- gplotmatrix(x,y,g,'clr','sym',siz) Permite especificar el color, el tipo del marcador, y el tamaño para cada grupo. ' clr ' es un conjunto de colores reconocidos por la función plot.’sym ' son una serie de símbolos reconocidos por el comando plot, con el símbolo por defecto de '.'. siz es un vector de tamaños, con el defecto determinado por ' defaultlinemarkersize ' característico. Si no se especifican las características deseadas, gscatter establece los valores necesarios para el entendimiento de la gráfica. - gplotmatrix(x,y,g,'clr','sym',siz,'doleg') Permite controlar si una leyenda está exhibida en el gráfico (' doleg '=' on 'el defecto) o no (' doleg '=' off ') -gplotmatrix(x,y,g,'clr' 'sym',siz,'doleg','dispopt') Controla que aparezca alo largo de la diagonal del gráfico de la matriz de x versus x permitiendo a los valores nulos salir en la diagonal en blanco, 'hist'(por defecto) en la gráfica de histogramas, o 'variable' para graficar los nombres de las variables. - gplotmatrix(x,y,g,'clr','sym',siz,... 'doleg','dispopt','xnam','ynam') Especifica los nombres en las columnas en X y Y. Estos nombres son usados para etiquetar los ejes. 'xnam' y 'ynam ' deben ser celdas contenidas por caracteres, con una fila para cada columna de X y Y, respectivamente.

Ejemplo

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Con los comandos siguientes es posible realizar diagramas de dispersión de las diferentes categorías que aparecen al cargar los datos que aparecen en discrim. Los datos se pueden agrupar por el código del tamaño de la ciudad.

load discrim gplotmatrix(ratings(:, 2:5), ratings(:, 6:), group) % en este caso lo que hacemos es seleccionar los datos que deseemos sean graficados de acuerdo a la información contenida en la matriz ratings.

transportation

8000

education

gplotmatrix(ratings(:,2:4),ratings(:,5:8),group, 'rk','.*' , [] , 'on' , '',categories(2:4,:) ,categories(5:8,:)) %para mayor entendimiento Colocamos en el gráfico marcadores, colores y lo necesario para dar mas comprensibilidad

3500 3000 2500 2000 x 104

1 2

6000

arts

4000 2000

4 2

recreation

0 4000 2000 0.5

1.5 housing

0 4

x 10

2000 4000 6000 8000500 10001500 20002500 health crime

El gráfico generado por esta función genera la posibilidad de combinar UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 62

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB diferentes análisis en un solo gráfico, lo que puede ahorrar tiempo y dar mayor orden las diferentes gráficas de dispersión que muestra.

7. PROBABILIDAD

Distribuciones De Probabilidad Discretas 7.1.1.

Distribución Binomial

Recordemos como la distribución binomial responde a una muestra de n eventos independientes, en los cuales solo es posible obtener dos resultados.

Para este caso la función de densidad de probabilidad es:

 n  x 1 x  y  f x n, p     p q , x  0,1, ,...n x Donde: x = [0 n] ,

p = [0 1] , q = 1- p

n! n    x  x!n  x !

Binofit ()

Descripción

Estimación del parámetro (x) o intervalos de confianza UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 63

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB para datos de tipo binomial. (Solo dos posibilidades)

Sintaxis

p = binofit (a, n) -

Devuelve la máxima probabilidad estimada para a suceso en n oportunidades. a es una vector, entonces se devuelve un p(i) por cada a(i). Cuando n también es un vector de la misma dimensión que a se calcula un p(i) para cada a(i) según n(i).

[p, nc] = binofit (a, n, alpha) -

Ejemplo

Devuelve la máxima probabilidad estimada para a suceso en n oportunidades a un nivel de confianza de 100(1-alpha)%. Por defecto el nivel de confianza es 95%, por ejemplo si queremos un nivel de confianza de 90% el valor de alpha debe ser 0.1.

p = binofit (2,5)

%Probabilidad de 2/5

p = 0.4000

a = [2 4 6 8]

%Probabilidad de a/8

p1 = binofit (a, 8) p1 = [0.2500

0.5000

a = [2 4 6 8]

0.7500

1.0000]

%Probabilidad de a/n

n = [4 8 12 16] p1 = binofit (a, n) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 64

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB p1 = [0.5000

0.5000

0.5000]

Binocdf ()

Descripción

Función binomial de distribución acumulada.

n y  F x n, p      p i q 1i  , i  0,1, ,...n i 0  x  x

Sintaxis

p = binocdf (x, n, p) -

Ejemplo

Devuelve el valor de la función binomial de distribución acumulada para estos parámetros. x, n y p, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales.

p = binocdf (3, 4 ,0.6) p = 0.8704

Binopdf ()

Descripción

Función binomial de densidad de probabilidad.

n y  f x n, p     p x q 1 x  , x  0,1, ,...n  x Sintaxis

p = binopdf (x, n, p) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 65

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Ejemplo

Devuelve el valor de la función binomial de densidad de probabilidad para estos parámetros. x, n y p, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales.

p = binopdf (3, 4 ,0.6) p = 0.3456

Binoinv ()

Descripción

Función binomial de densidad de probabilidad inversa. (Es la inversa de binocdf)

Sintaxis

x = binoinv (y, n, p) -

Ejemplo

Devuelve el valor de la función binomial inversa para estos parámetros. y, n y p, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales.

p = binopdf (2, 4 ,0.6) p = 0.3456

x = binoinv (0.3456, 4 ,0.6) x=2

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Si la probabilidad de lanzar una moneda y obtener cara frente a obtener sello es de 50-50, ¿Cual seria un rango razonable de éxitos (cara) en 120 intentos?

Rango = [0.05 0.95] Intentos = 120 P_Exito = 0.5

%Probabilidad exito

exitos = binoinv(Rango, Intentos, P_Exito) exitos = [

69 ]

Binornd ()

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una función binomial y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = binornd (n, p) -

Ejemplo

n y p, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales

n = [10 20 30] x = binornd (n ,0.6) x = [ 8 8 17 ]

%Primera serie obtenida

x = [ 6 11 16

]

%Segunda serie obtenida

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 67

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Binostat ()

Descripción

Sintaxis

Calcula la media y la varianza para una seria con distribución binomial.

[m , v] = binostat (n, p) -

Ejemplo

n y p, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales

[m , v] = binostat (4 , 0.6) m = 2.4000 v = 0.9600

%Media %Varianza

Nota

Para una distribución binomial:

7.1.2.

- La media es:

med = np

- La varianza es:

var = npq , q=1–p

Distribución Poisson

La distribución Poisson es adecuada para eventos que involucren una cantidad determinada de casos en un tiempo, distancia o área determinada, solo es necesario un parámetro  que sea entero nonegativo, y el cual se considera como la media.

Para este caso la función de densidad de probabilidad es: UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 68

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

y  f x   

x x!

e  , x  0,1,...

poissfit ()

Descripción

Estimación del parámetro (x) o intervalos de confianza para datos que se acomoden a las condiciones de una Poisson. n

1 ˆ   xi n i1 Sintaxis

[lambda, linter] = poissfit (x, alpha) Genera el parámetro lambda ( ˆ ) a partir de la muestra x. linter, muestra un intervalo con 100(1 - alpha)% de confianza, sino se especifica este parámetro el intervalo por defecto es de 95%.

Ejemplo

c = magic(3) c=[8

2 ]

[d , intervalo ] = poissfit(c) %Parámetro e intervalo al 90% d=[5

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 69

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB intervalo = [ 2.7985 8.2467

2.7985

8.2467

8.2467 ]

a = [1:10 ; 2:2:20] a = [1 2

2 6

3 8

4 10

12 14

7 16

10 20 ]

b = poissfit (a) b = [1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0]

Poisscdf ()

Descripción

Función de distribución poisson acumulada.

p  F x    e

Sintaxis



floor( x )

i

i 0



p = poisscdf (x, lambda) -

Calcula el valor de la sumatoria de los valores Poisson para los respectivos parámetros, donde x puede ser un vector o una matriz, sin embargo lambda debe ser positivo.

Ejemplo

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 70

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB ● Supongamos que en cierta área el número X de tornados observados durante un año, tiene una distribución de Poisson con ˆ = 8, entonces cual es la probabilidad de obtener: a. A lo mucho 5 tornados? P(X≤5) entonces a = poisscdf(5 , 8) = 0.1912 b. Entre 6 y 9 tornados? P(6≤X≤9) entonces b

= poisscdf(9 ,8)- poisscdf(6 ,8) = 0.7166 - 0.3134 = 0.4032

Poisspdf ()

Descripción

Función Poisson de densidad de probabilidad.

y  f x   

Sintaxis

x x!

e  , x  0,1,...

p = poisspdf (x, lambda) -

Calcula el valor de densidad Poisson para un punto respectivo, donde x puede ser un vector o una matriz, sin embargo lambda debe ser positivo.

Ejemplo

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 71

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Supongamos que en cierta área el número X de tornados observados durante un año, tiene una distribución de Poisson con ˆ = 8, entonces cual es la probabilidad de obtener: a. exactamente 5 tornados ? P(X=5) entonces a = poisspdf (5 , 8) = 0.0916

Poissinv ()

Descripción

Función Poisson de densidad de probabilidad inversa. (Es la inversa de poisscdf)

Sintaxis

x = poissinv (p, lambda) -

Devuelve el valor de la función Poisson inversa mas aproximado para estos parámetros. p, y lambda, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales.

Ejemplo

Supongamos que en cierta área el número X de tornados observados durante un año, tiene una distribución de Poisson con ˆ = 8; La afirmación de es falsa o verdadera : a. La probabilidad de obtener a lo mas 5 tornados es 0.1912. P(X≤5) = 0.1912 ? X = poissinv (0.1912 , 8) = 5 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 72

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Entonces la afirmación es verdadera. b. La probabilidad de obtener a lo mas 9 tornados es 0.812. P(X≤9) = 0.812 ? X = poissinv (0.812 , 8) = 10 La afirmación es falsa, porque la probabilidad de 0.812 es de esperar 10 tornados

Poissrnd ()

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una función Poisson y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = poissrnd (lambda, n, p) -

Ejemplo

Genera X con media aproximada a lambda, puede ser un vector o una matriz según las dimensiones del parámetro. n y p, Serán las dimensiones de x.

x = poissrnd (5 , 6 ,1) x = [2 7 8 3 5 4] UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 73

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Media = mean (x) Media = 4.8333

Poisstat ()

Descripción

Sintaxis

Calcula la media y la varianza para una seria con distribución Poisson.

[m , v] = poisstat (lambda) -

Ejemplo

n y p, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales

[m , v] = binostat (8) m = 8.0000 v = 8.0000

%Media %Varianza

Nota

Para una distribución Poisson:

7.1.3.

- La media es:

med = ˆ

- La varianza es:

var = ˆ

Distribución Hipergeometrica

distribución

hipergeométrica

adecuada

para

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 74

determinar

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB probabilidad de que ocurra en un evento en las siguientes condiciones: la cantidad total de la población (M) y de la cual escogemos una muestra determinada (n) de donde se conoce un numero determinado de fracasos y exitos.

Para este caso la función de densidad de probabilidad es:

 K  M  K     x  n  x   y  f x M , K , n   M    n hygecdf ()

Descripción

Función de distribución hipergeométrica acumulada.

y  f x M , K , n    x

i 0

Sintaxis

 K  M  K      i  n  i  M    n

h = hygecdf (x,M,n,K) -

Calcula el valor de la sumatoria de los valores para la distribución hipergeométrica para los respectivos parámetros, donde x,M,n,k pueden ser un vector o una matriz.

Ejemplo

Se tienen 100 microchips, y se sabe que 20 de estos están dañados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar entre 0 y 3 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 75

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB microchips dañados de una microchips que escogemos?

muestra

aleatoria

p = hygecdf(3,100,20,10) p = 0.8904

Hygepdf ()

Descripción

Función hipergeométrica de densidad de probabilidad.

 K  M  K     x  n  x   y  f x M , K , n   M    n Sintaxis

p = hygepdf (x,M,n,K) -

Calcula el valor para la distribución hipergeométrica para los respectivos parámetros, donde x,M,n,k pueden ser un vector o una matriz. Donde M,n,k deben ser enteros positivos.

Ejemplo

Se tienen 100 microchips, y se sabe que 20 de estos están dañados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar entre 0 y 5 microchips respectivamente dañados de una muestra aleatoria de 10 microchips que escogemos?

p2 = hygepdf(0:3,100,20,10) p2 = [

0.0951

0.2679

0.3182

0.2092 ]

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 76

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB suma = sum(p2) suma =

0.8904

% Como se ve la suma de las probabilidades individuales corresponde a la probabilidad acumulad calculada en el ejemplo anterior (p = 0.8904)

Hygeinv ()

Descripción

Función Hipergeométrica de densidad inversa. (Es la inversa de hygecdf)

Sintaxis

X = hygeinv (P,M,K,N)

probabilidad

- Devuelve el valor de la función Hipergeométrica inversa mas aproximado para estos parámetros. - p puede ser observada como la probabilidad al evaluar la función hipergeométrica con los parámetros x, m, k, n.

Ejemplo

Se tienen 100 microchips, y se sabe que 20 de estos están dañados. Obtengo una muestra aleatoria de 10 microchips de los cuales se desea saber ¿cual es el número máximo de microchips dañados cuando se aceptan el 90% de error? UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 77

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

y = hygeinv(0.9,100,20,10) y=4

Si embargo si retomamos el primer ejemplo de esta sección obtendremos que:

p = hygecdf(3,100,20,10) p = 0.8904

x = hygeinv(p,100,20,10) = hygeinv(0.8904,100,20,10) x=3

Hygernd ()

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una función hipergeométrica y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = hygernd (M,K,N, f,c) -

Genera valores que se aproximen a una distribución hipergeométrica con parámetros M, K y N, pueden ser un vector o una matriz sin embargo de las misma dimensiones. Los parámetros f y c son opcionales y permiten generan un matriz aleatoria de dimensiones (ffilas, c - columnas) con las especificaciones previas.

x = hygernd (M,K,N,v) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 78

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Ejemplo

Genera valores aleatorios en una matriz con dimensiones v x v.

x = hygernd(1000,40,50) x=2

x = hygernd(1000,40,50,2,3) X=[3

2 3]

hygestat ()

Descripción

Sintaxis

Calcula la media y la varianza para una seria con distribución Hipergeometrica.

[m , v] = hygestat (M,K,N) -

Ejemplo

M, K y N, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales, y determinan los parámetros de la distribución que se usa.

[m , v] = hygestat (8) [m,v] = hygestat(10,1,9) m = [ 0.9000 ]

%Media

v = [ 0.0900 ]

%Varianza

[m,v] = hygestat(10,3,9) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 79

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB m = [ 2.7000 ]

%Media

v = [ 0.2100 ]

%Varianza

Nota

Para una distribución Hipergeometrica: - La media es:

med =

NK M

 K  M  K  M  N  var = N      M  M  M  1 

- La varianza es:

Distribuciones De Probabilidad Continuas

7.1.4.

Distribución Normal

La distribución Gaussiana o comúnmente conocida como Normal por que la mayoría de las variables continúas se ajustan a este tipo de distribución, esta en función de dos parámetros: la media y la desviación estándar.



X ~ N  , 2



La función de densidad de probabilidad para la normal es:

y  f x  ,   

1 e  2

  x   2 2 2

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 80

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB La distribución normal estándar tiene una media

(   0) y la desviación estándar. (  1)

normcdf ()

Descripción

Función de distribución normal acumulada.  t   2

1 y  f x  ,     2 Sintaxis

e

2 2



p = normcdf (x,mu,sigma) -

Calcula el valor de la integral para la distribución normal con los respectivos parámetros, donde x,mu,sigma pueden ser un vector o una matriz. sigma debe ser positivo.

[p, plo, pup] = normcdf (x,mu,sigma,pcov, alpha) -

Calcula el valor de un intervalo de confianza con los parámetros estimados, donde pcov es la covarianza estimada, y alpha especifica la confianza 100(1-alpha)%. Plo (PLow) Especifica el limite inferior. Pup (PUp) Especifica el limite superior.

Ejemplo

La función normcdf puede ser usada de la misma manera que una tabla de distribución normal estándar en la cual especificamos la media y la desviación estándar como: UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 81

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

 0

  1.

mu = 0; sigma=1; X = normcdf(0, mu, sigma) X = 0.5000 Y = normcdf(-1, mu, sigma) Y = 0.1587 Z = normcdf(1, mu, sigma) Z = 0.8413

Podemos generar una completa tabla de la distribución normal estándar usando el siguiente código:

mu = 0; sigma=1;z=(-3:0.1:3); X = normcdf(z, mu, sigma); Tabla = [z ; X]

Normpdf ()

Descripción

Función normal de densidad de probabilidad.

y  f x  ,   

Sintaxis

1 e  2

  x   2 2 2

p = normpdf (x,mu,sigma) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 82

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Calcula el valor de la función para la distribución normal con los respectivos parámetros, donde x,mu,sigma pueden ser un vector o una matriz. sigma debe ser positivo.

Ejemplo

a = [-3:0.01:3]; p = normpdf(a,0,1);

% Función para una normal estándar

plot(a ,p)

% Grafica la probabilidad para cada punto de la función normal estándar

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3

-2

-1

norminv ()

Descripción

Función Normal de densidad de probabilidad inversa. (Es inversa de normcdf)

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 83

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Sintaxis

X = norminv(P, mu, sigma) - Devuelve el valor de la función Normal inversa mas aproximado para estos parámetros. - P es interpretada como la probabilidad al evaluar la función normal con los parámetros mu y sigma (debe ser positivo). - Como P es una probabilidad debe estar dentro del intervalo [0 1].

Ejemplo

Encuentre un intervalo que contenga el 95% de los valores de una distribución normal estándar.

x = norminv([0.025 0.975],0,1)

% Intervalo para 95%

x=[

% Mas Compacto y simétrico.

-1.9600

1.9600 ]

Nótese que el intervalo anterior no es el único que contiene el 95% de los elementos de una distribución de este tipo, por ejemplo:

xx = norminv([0.01 0.96],0,1) xx = [

-2.3263

% Intervalo para 95%

1.7507 ]

Este intervalo también contiene el 95% de los datos de una distribución normal estándar sin embargo no es tan compacto.

A partir de la información anterior, los intervalos para 90% y 99% serian: UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 84

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

X1 = norminv([0.05 0.95],0,1) X1 = [ -1.6449

1.6449 ]

X2 = norminv([0.005 0.995],0,1) X2 = [ -2.5758

% Intervalo para 90%

% Intervalo para 99%

2.5758 ]

Normrnd ()

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una función normal y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = normrnd (mu, sigma , f, c) -

Genera valores que se aproximen a una distribución normal con parámetros mu y sigma, pueden ser un vector o una matriz sin embargo de las misma dimensiones. Los parámetros f y c son opcionales y permiten generan un matriz aleatoria de dimensiones (ffilas, c - columnas) con las especificaciones previas.

x = normrnd (mu, sigma,v) -

Ejemplo

Genera valores aleatorios en una matriz con dimensiones v x v.

x = normrnd(0,1,3) % Con una distribución normal estándar x = [ 0.1326

-1.5804

-1.0246

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB 1.5929

-0.0787

1.0184

-0.6817

-1.2344 0.2888 ]

x = normrnd(0,1,2,5) % Con una distribución normal estándar x = [ 1.0378 -0.3898

-1.3813

0.3155

1.5532

0.7079

1.9574

0.5045

1.8645

-0.3398 ]

x = normrnd(5,0.5,1,5) % Con una distribución normal de media igual a 5 y desviación estándar igual a 0.5 x = [ 4.7535

5.2310

4.8395

5.6183

4.6844 ]

Normstat ()

Descripción

Sintaxis

Calcula la media y la varianza para una seria con distribución Normal.

[m , v] = normstat (mu, sigma) -

Mu y sigma, pueden ser un vector o una matriz, sin embargo deben tener las dimensiones iguales, y determinan los parámetro de la distribución que se usa.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB [m , v] = normstat (0,1)

Ejemplo

m=[0] v=[1]

n = 1:3

m= [ 1 2 ; 3 4]

n = [1 2 3]

m=[1

4 ]

[m,v] = normstat(n , n) m= [1 v= [1

2 4

3 ]

[m,v] = normstat(m, m)

9 ]

m=[1

v=[1 9

4 16 ]

Nota

Para una distribución Normal:

- La media es:

med = 

- La varianza es:

var =  2

Normfit ()

Descripción

Devuelve una estimación de los parámetros e intervalos de confianza para una muestra con distribución normal.

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Sintaxis

[mu , sigma] = normfit (muestra) -

Retorna la estimación de la media (  ) y la desviación estándar (  ) para muestra, la cual puede es una matriz.

[mu,sigma,muint,sigmaint] = normfit(muestra, alpha) -

Retorna la estimación de la media (  ) y la desviación estándar (  ) para muestra, la cual puede es una matriz. Además de generar intervalos a un nivel de confianza alpha para cada parámetro. muint y sigmaint, son matrices en las cuales la primera fila corresponde al intervalo del limite inferior y la segunda fila corresponde a un intervalo para el limite superior de la estimación del parámetro respectivo. Si no se incluye el argumento alpha en la función se toma el nivel alpha por defecto que es 0.05, es decir un nivel de confianza de 95%. Pero si lo incluimos alpha, el nivel de confianza será 100(1 alpha) %.

Ejemplo

En este ejemplo tenemos una muestra aleatoria con 10 elementos, con media (µ)= 15 y desviación estándar (  ) = 2. muestra = normrnd(15,2,10,1) muestra =

15.9710 14.9900 14.4476

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB 17.5529 18.7268 13.9549 15.2068 13.3847 16.3609 10.2708

[mu,sigma,muint,sigmaint] = normfit(muestra)

mu =

15.0866

sigma =

2.3462

muint =

13.4083 16.7650

sigmaint = 1.6138 4.2832

En este caso los valores mu y sigma corresponden a la media y la desviación estándar de la muestra, sin embargo nótese que los valores reales se encuentran dentro de los intervalo respectivos.

Normplot()

Descripción

Genera un grafico de distribución normal para una prueba grafica. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 89

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Sintaxis

normplot (muestra) -

Devuelve el grafico de la muestra ubicando cada elemento como „+‟, junto con una línea que representa el primer y el tercer cuartil, útil para identificar la linealidad de la muestra. Entre mas normal se comporte la muestra mas lineal debe ser, sobreponiéndose sobre la línea de referencia.

Ejemplo

muestra = normrnd(0,1,10,2) muestra =

0.8115

-0.6547

0.6363

-1.0807

1.3101

-0.0477

0.3271

0.3793

-0.6730

-0.3304

-0.1493

-0.4999

-2.4490

-0.0360

0.4733

-0.1748

0.1169

-0.9573

-0.5911

1.2925

normplot(muestra)

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Normal Probability Plot

0.95

0.90

Probability

0.75

0.50

0.25

0.10

0.05

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 Data

0.5

x = normrnd(0,1,50,1); Normal Probability Plot 0.99 0.98 0.95 0.90

Probability

0.75

0.50

0.25

0.10 0.05 0.02 0.01 -2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Data

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

normspec()

Descripción

Sintaxis

Genera un grafico de densidad para una distribución normal.

p = normspec (limites, mu, sigma) -

Devuelve el grafico junto con la probabilidad p, correspondiente al área de interés, es decir, la ubicada dentro de los limites definidos en el vector que lleva el mismo nombre. Dentro del vector limites al menos uno de los valores debe ser real, no se acepta que el intervalo vaya desde infinito a infinito. Error: limites = [-Inf Inf]

Mu y sigma, corresponden a los parámetros propios de cada muestra.

Ejemplo

Tenemos una distribución normal estándar, deseamos saber cuanta probabilidad existe: a. antes de 0.5 a = normspec([-Inf 0.5],0,1) a = 0.6915

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Probability Less than Upper Bound is 0.69146 0.4

0.35

0.3

Density

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -4

-3

-2

-1

0 Critical Value

a. después de - 0.3 b = normspec([-0.3 Inf],0,1) b= 0.6179

Probability Greater than Lower Bound is 0.61791 0.4

0.35

0.3

Density

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -4

-3

-2

-1

0 Critical Value

b. entre - 0.3 y 0.5 c = normspec([-0.3 0.5],0,1) c = 0.3094

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Probability Between Limits is 0.30937 0.4 0.35 0.3

Density

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4

-3

-2

-1

0 Critical Value

Suponga que un productor de cereal desea saber: ¿ cual es el porcentaje de cajas de cereal con más de 10 onzas ?. Suponemos que el contenido de las cajas tiene una distribución normal con media en 11.5 onzas y una desviación estándar de 1.25 onzas.

P = normspec([10 Inf],11.5,1.25) P = 0.89849

Probability Greater than Lower Bound is 0.88493 0.35

0.3

0.25

Density

0.2

0.15

0.1

0.05

11 12 Critical Value

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

7.1.5.

Distribución Exponencial

La distribución Exponencial es un caso específico de la distribución gamma (con a=1), y es la siguiente: x

1 1 y  f x a, b   a x a 1e b  e b b ( a ) b Donde

.

es la función Gamma.

La distribución exponencial es especial para modelar recurrentes durante un intervalo de tiempo determinado.

La distribución exponencial acumulada es:

y  f x   



e  , donde µ es la media observada.

Expcdf ()

Descripción

Función de distribución exponencial acumulada. t x

y  F x     0



e dt 1  e 

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eventos

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Sintaxis

p = expcdf (x,mu) -

Calcula el valor de la integral para la distribución exponencial con los respectivos parámetros, donde x,mu pueden ser un vector o una matriz. mu debe ser positivo. P será el resultado correspondiente a una probabilidad de que una observación de una distribución exponencial se ubicara dentro del intervalo [0 x].

[p, plo, pup] = normcdf (x,mu,sigma,pcov, alpha) -

Calcula el valor de un intervalo de confianza con los parámetros estimados, donde pcov es la varianza del estimado mu, y alpha especifica la confianza 100(1-alpha)%. Plo (PLow) Especifica el limite inferior. Pup (PUp) Especifica el limite superior.

Ejemplo

En una línea de atención al cliente el tiempo de espera(X) entre la llamada y la atención de la misma tiene una distribución exponencial con un tiempo esperado de 5 segundos. ¿ Cual es la probabilidad de que el tiempo de espera: a. sea a lo sumo 10 segundos? P(X≤10) ››

p = expcdf(10,5)

p = 0.8647 b. sea Mayor de 10 segundos? P(X>10) = 1 - P(X≤10) ››

p = 1 – expcdf(10,5)

p = 0.1353 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 96

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB c. Se encuentre entre 5 y 10 segundos? P(5>X>10) = P(X≤10) - P(X≤5) ›› P= expcdf(10,5) - expcdf(5,5) p = 0.8647 - 0.6321 p = 0.2325

Exppdf ()

Descripción

Función exponencial de densidad de probabilidad.

y  f x    Sintaxis



e

p = exppdf (x,mu) -

Calcula el valor de la función para la distribución normal con los respectivos parámetros, donde x,mu pueden ser un vector o una matriz. mu debe ser positivo.

Ejemplo

Retomando el ejemplo anterior tenemos que: En una línea de atención al cliente el tiempo de espera(X) entre la llamada y la atención de la misma tiene una distribución exponencial con un tiempo esperado de 5 segundos. ¿ Cual es la probabilidad de que el tiempo de UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 97

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB espera: a. sea 10 segundos? P(X=10) ›› p = exppdf (10,5) = 0.0271 b. sea 5 segundos? P(X=5) ›› p = exppdf(5,5) = 0.0736 c. sea 3 segundos? P(X=3) ›› p = exppdf(3,5) = 0.1098

Si deseamos ver la grafica completa de nuestra distribución exponencial tenemos que: a = [0:0.01:30]; y = exppdf(a,5); plot (a,y)

Y se generará una grafica como la siguiente: 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

Expinv () UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 98

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Descripción

Función Exponencial de densidad de probabilidad inversa. (Es la inversa de expcdf)

Sintaxis

X = expinv(P, mu) - Devuelve el valor de la función Exponencial inversa mas aproximado para estos parámetros. - Como P es una probabilidad debe estar dentro del intervalo [0 1]. mu debe ser positivo.

Ejemplo

Retomando, en una línea de atención al cliente el tiempo de espera(X) entre la llamada y la atención de la misma tiene una distribución exponencial con un tiempo esperado de 5 segundos. ¿ Con una probabilidad P, a cuantas llamadas se aproxima? a. P = 0.9 X = expinv(0.9, 5) =

11.5129

b. P = 0.8 X = expinv(0.8, 5) =

8.0472

c. P = 0.5 X = expinv(0.5, 5) =

3.4657

d. P = 0.8647 %Como en el ejemplo anterior vimos que esta era la probabilidad para a lo sumo recibir 10 llamadas. X = expinv(0.8647, 5) =

10.0013

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

exprnd ()

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una distribución exponencial y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = exprnd (mu, f, c) -

Genera valores que se aproximen a una distribución exponencial con parámetros mu Los parámetros f y c son opcionales y permiten generan un matriz aleatoria de dimensiones (ffilas, c - columnas) con las especificaciones previas.

x = normrnd (mu, v) -

Genera valores aleatorios en una matriz con dimensiones v x v.

Ejemplo

x = exprnd(2.5,1,5) % Muestra aleatoria de 1 fila y 5 columnas a partir de distribución exponencial de µ = 2.5 x = 2.0259

1.2136

0.5832

0.2035

0.7588

x = exprnd(3,3) % Muestra aleatoria de 3x3 a partir de distribución exponencial de µ = 3 x=

[0.3373 8.5476

0.6205

4.7871

13.8574

4.8475

3.1250 5.9222 1.5136 ] UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 100

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Expstat ()

Descripción

Sintaxis

Calcula la media y la varianza para una serie con distribución Exponencial.

[m , v] = expstat (mu)

- Mu, puede ser un vector o una matriz, sin embargo debe ser positivo.

Ejemplo

[m , v] = expstat ([1:5]) m=[1 2 3 v=[1 4 9

5 ]

16 25 ]

Nota

Para una distribución Exponencial:

- La media es:

med = 

- La varianza es:

var =  2

expfit ()

Descripción

Devuelve una estimación de los parámetros e intervalos de confianza para una muestra con distribución exponencial. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 101

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Sintaxis

[mu] = normfit (muestra) -

Retorna la estimación del parámetro (  -media – valor esperado) para muestra, la cual puede es una matriz.

[mu,muint] = normfit(muestra, alpha) -

Retorna la estimación de la media (  ) para muestra, la cual puede es una matriz. Además de generar intervalos a un nivel de confianza alpha para cada parámetro. muint, es un vector en el cual la primera fila corresponde al limite inferior y la segunda fila corresponde al limite superior de un intervalo de estimación del parámetro respectivo. Si no se incluye el argumento alpha en la función se toma el nivel alpha por defecto que es 0.05, es decir un nivel de confianza de 95%. Pero si lo incluimos alpha, el nivel de confianza será 100(1 alpha) %.

Ejemplo

En este ejemplo tenemos una muestra aleatoria con 10 elementos, con media (µ)= 5. muestra = exprnd(5,10,1) muestra = 2.4272 1.1664 0.4071 1.5177 UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 102

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB 8.6788 4.5106 0.3335 0.4338 4.4547 0.5622

[mu,muint] = expfit(muestra)

mu = 2.4492 muint =

1.4335 5.1074

En este caso el valor mu y corresponde a la media de la muestra, sin embargo, aunque dista mucho del parámetro original este se encuentre en el intervalo.

7.1.6.

Distribución Gamma

La distribución Gamma es una familia de curvas que dependen de dos parámetros, a partir de esta obtenemos otras distribuciones como la exponencial o la Chi-cuadrado. La función de densidad gamma esta definida como: x

1 y  f x a, b   a x a 1e b b ( a )

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 103

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB Donde

.

es la función Gamma.

gamcdf ()

Descripción

Función de distribución gamma acumulada.

p  f x a, b  

Sintaxis

t b

1 a 1 t e dt a  b ( a ) 0

p = gamcdf (x,a,b) -

Calcula el valor de la integral para la distribución normal con los respectivos parámetros, donde x,a,b pueden ser un vector o una matriz. a y b deben ser positivos.

Ejemplo

P1 = gamcdf(10,1,5)= 0.8647 %Como vemos la gamma con a = 1, P2 = expcdf(10,5)= 0.8647

es la exponencial.

Suponga que el tiempo de supervivencia en minutos de un ratón de laboratorio, que ha ingerido cierta clase de veneno tiene una distribución gamma con a = 5 y b = 7.¿ Cual es la probabilidad de que el ratón sobreviva:

a. menos de 30 minutos? UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 104

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB P(X≤30) ›› P = gamcdf(30,5,7) = 0.4268 b. mas de 60 minutos? P(X>60) = 1 – P(X≤60) ›› P = 1 - gamcdf(60,5,7) = 1 - 0.9287 = 0.0713 c. entre 30 y 60 minutos? P(30<X<60) = P(X≤60) - P(X≤30) ›› P = gamcdf(60,5,7) - gamcdf(30,5,7)= 0.9287 0.4268 = 0.5019

gampdf ()

Descripción

Función gamma de densidad de probabilidad. x

1 y  f x a, b   a x a 1e b b ( a ) Sintaxis

p = gampdf (x,a,b) -

Calcula el valor para la distribución gamma con los respectivos parámetros, donde x,a,b pueden ser un vector o una matriz. a y b deben ser positivos, mientras x debe estar en el intervalo [0  ].

Ejemplo

Vamos a graficar la función completa para cada punto del UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 105

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB ejemplo anterior. Suponga que el tiempo de supervivencia en minutos de un ratón de laboratorio, que ha ingerido cierta clase de veneno tiene una distribución gamma con a = 5 y b = 7.

X =[0:0.1:100]; P = gampdf(X,5,7); plot(X,P) 0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

100

gaminv ()

Descripción

Función Gamma de densidad de probabilidad inversa. (Es inversa de gamcdf)

Sintaxis

X = gaminv(P, mu, sigma) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 106

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB - Devuelve el valor de la función Gamma inversa mas aproximado para estos parámetros. - P es interpretada como la probabilidad al evaluar la función gamma con los parámetros a y b (deben ser positivo). - Como P es una probabilidad debe estar dentro del intervalo [0 1].

Ejemplo

Suponga que el tiempo de supervivencia en minutos de un ratón de laboratorio, que ha ingerido cierta clase de veneno tiene una distribución gamma con a = 5 y b = 7.¿Con una probabilidad de P cuantos minutos aproximadamente pueden sobrevivir: a. P = 0.3? X = gaminv(0.3,5,7) = 25.4353 b. P = 0.5? X = gaminv(0.5,5,7) = 32.6964 c. P = 0.9? X = gaminv(0.9,5,7) = 55.9551 d. P = 0.4268? %Comprobamos la respuesta obtenida en el ejemplo de gamcdf. X = gaminv(0.4268,5,7) = 30

gamrnd () UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 107

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una función gamma y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = gamrnd (a, b , f, c) -

Genera valores que se aproximen a una distribución gamma con parámetros a y b, pueden ser un vector o una matriz sin embargo de las misma dimensiones. Los parámetros f y c son opcionales y permiten generan un matriz aleatoria de dimensiones (ffilas, c - columnas) con las especificaciones previas.

x = gamrnd (a, b ,v) -

Ejemplo

Genera valores aleatorios en una matriz con dimensiones v x v.

x = gamrnd(5,7,3) % Genera una matriz de 3x3 con a=5 y b=7. x = [26.5524

37.2128

54.1503

13.3987

18.2161

32.1009

34.5988

54.1874

37.8700]

x = gamrnd(3,2,2,4) % Genera una matriz de 2x4 con a=3 y b=2. x = [ 5.0270 3.0506

6.3538 2.0514

8.0230

12.5873

3.3780 8.6550]

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Gamstat ()

Descripción

Calcula la media y la varianza para una seria con distribución gamma.

[m , v] = gamstat (a,b)

Sintaxis

Ejemplo

a y b, pueden ser un vector o una matriz y determinan los parámetros de la distribución que se usa.

[m , v] = gamstat (3, 2) m=[6] v = [ 12 ]

[m,v]= gamstat([3 5 8 9],2) m=[6

18 ]

v = [ 12

36 ]

Nota

Para una distribución Gamma: - La media es: - La varianza es:

med = ab var = ab2

Gamfit () UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 109

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

Descripción

Sintaxis

Devuelve una estimación de los parámetros e intervalos de confianza para una muestra con distribución gamma.

[parámetros] = gamfit (muestra) -

Retorna la estimación de los parámetros(a y b) para esta distribución según muestra, la cual puede es una matriz.

[parámetros, intervalos] = gamfit(muestra, alpha) -

Retorna la estimación de la media (  ) y la desviación estándar (  ) para muestra, la cual puede es una matriz. Además de generar intervalos a un nivel de confianza alpha para cada parámetro. intervalos, es una matriz en las cuales la primera fila corresponde al limite inferior y la segunda fila corresponde a al limite superior de la estimación del parámetro respectivo. Si no se incluye el argumento alpha en la función se toma el nivel alpha por defecto que es 0.05, es decir un nivel de confianza de 95%. Pero si lo incluimos alpha, el nivel de confianza será 100(1 alpha) %.

Ejemplo

En este ejemplo tenemos una muestra aleatoria con 10 elementos, con a = 3 y b = 5.

muestra = gamrnd(3,5,10,1) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 110

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB muestra =

6.4338 28.5470 7.7809 18.1332 15.2054 7.1337 2.3030 12.8559 6.6668 19.0060

[parámetros, intervalos] = gamfit(muestra) parámetros = [ 2.5314 intervalos = [ 1.1090 5.7782

4.9010 ] 1.9676

12.2078 ]

En este caso los valores a y b corresponden a una estimación a partir de la muestra, sin embargo nótese que los valores reales se encuentran dentro de los intervalo respectivos.

7.1.7.

Distribución Chi-Cuadrado

  2

La distribución Chi-Cuadrado es un caso específico de la distribución gamma (con b=2), y es la siguiente: UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 111

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

1 1 y  f x a, b   a x a 1e b  a x a 1e 2 b ( a ) 2 ( a ) Donde

.

es la función Gamma y se incluye v que representa los





grados de libertad. a  2 .Entonces tenemos que la distribución ChiCuadrado acumulada es: v

 v 2 

x 2 e x2 y  f x v   v 2 2 ( v 2 ) chi2cdf ()

Descripción

Función de distribución Chi-Cuadrado acumulada.

 v 2 

t 2 e t 2 y  F x v    v dt 2 v 0 2 ( 2 ) Sintaxis

p = chi2cdf (x,v) -

Calcula el valor de la integral para la distribución Chi-cuadrado con los respectivos parámetros, donde x,v pueden ser un vector o una matriz. v son los grados de libertad y junto con x deben ser positivo. P será el resultado correspondiente a una probabilidad de que una observación de una

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 112

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB distribución exponencial se ubicara dentro del intervalo [0 x]. Ejemplo

P1 = chi2cdf (10,8) 0.7350

%Como vemos la distribución Chi se P1 = comporta de la misma manera que

P2 = gamcdf (10,4,2) 0.7350

una gamma con parámetros a=v/2 es decir 4 y b=2.

p2 =

chi2pdf ()

Descripción

Función Chi-cuadrado de densidad de probabilidad.  v 2 

x 2 e x2 y  f x v   v 2 2 ( v 2 ) Sintaxis

p = exppdf (x,v) -

Calcula el valor de la función para la distribución normal con los respectivos parámetros, donde x,mu pueden ser un vector o una matriz. v son los grados de libertad y junto con x deben ser positivo.

Ejemplo

x = (0:0.1:50);

%Parámetros

v1 = 4; v2 = 8; v3 = 16;v4 = 32; %Grados de libertad p1 = chi2pdf(x,v1);

%Primera Función – Color AZUL

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB p2 = chi2pdf(x,v2);

%Segunda Función – Color VERDE

p3 = chi2pdf(x,v3);

%Tercera Función – Color ROJA

p4 = chi2pdf(x,v4);

%Cuarta Función – Color CYAN

plot(x,p1, x,p2, x,p3,x,p4)

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

chi2inv ()

Descripción

Función chi-cuadrado de densidad de probabilidad inversa. (Es la inversa de chi2cdf)

Sintaxis

X = chi2inv(P, v) - Devuelve el valor de la función chi-cuadrado inversa mas aproximado para estos parámetros. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 114

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Como P es una probabilidad debe estar dentro del intervalo [0 1]. v debe ser positivo.

Ejemplo

● Con esta función podemos comprobar el resultado obtenido en el ejemplo de chi2cdf. ( P1 = chi2cdf (10,8)=0.7350 ) Entonces:

X1=chi2inv(0.735,8) X1=10.0004

● Supongamos que tenemos una muestra con distribución Chi-cuadrado y 5 grados de libertad. ¿Qué valor excedería al 90% de la muestra?

x = chi2inv(0.95,5) x = 11.0705

Entonces solo se observaran oportunidad del 5%.

valores

mayores

con

chi2rnd ()

Descripción

Genera una seria de números aleatorios a partir de una distribución Chi-cuadrado y unos parámetros definidos.

Sintaxis

x = chi2rnd (v, f, c) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 115

una

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB -

Genera valores que se aproximen a una distribución exponencial con parámetro v. Los parámetros f y c son opcionales y permiten generan un matriz aleatoria de dimensiones (ffilas, c - columnas) con las especificaciones previas.

x = normrnd (mu, v) -

Genera valores aleatorios en una matriz con dimensiones v x v.

Ejemplo

x = chi2rnd(10,4,2) % Muestra aleatoria de 4 fila y 2 columnas a partir de distribución Chicuadrado de v = 10 x=[

10.1084

22.3001

8.5497

8.7564

12.8334

9.8343

7.0153

14.7426 ]

x = chi2rnd(10,3) % Muestra aleatoria de 3x3 a partir de distribución Chi-cuadrado de v = 10

x = [ 7.5864

10.6322

3.8282

5.2046

9.8854

15.4715 9.1717

15.4821

10.8200

]

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

chi2stat ()

Descripción

Sintaxis

Calcula la media y la varianza para una serie con distribución Chi-cuadrado.

[m , v] = chi2stat (V)

- v, puede ser un vector o una matriz, sin embargo debe ser positivo.

Ejemplo

[m,v] = chi2stat([1:5])

m=[1 2 3 4 5] v = [ 2 4 6 8 10]

Nota

Para una distribución Chi-cuadrado:

7.1.8.

- La media es:

med = v

- La varianza es:

var = 2v

Distribución Beta

La distribución Beta es una familia de curvas que se encuentran dentro del intervalo (0 1], esta función de densidad beta esta definida como: UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 117

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

y  f x a, b  

1 b 1 x a 1 1  x  I 0,1 x  B(a, b)

I ( 0,1) x  significa que el valor de x se ubicara dentro del intervalo (0 1). Donde

B.

es la función Beta.

Ba, b    t a 1 1  t  dt  b 1

Donde

.

a b  a  b 

es la función Gamma.

betacdf ()

Descripción

Función de distribución beta acumulada. x

1 b 1 a 1     y  f x a, b  t 1  t dt B(a, b) 0 Sintaxis

p = betacdf (x,a,b) -

Calcula el valor de la integral para la distribución normal con los respectivos parámetros, donde x,a,b pueden ser un vector o una matriz. a y b deben ser positivos, mientras x debe estar en el intervalo [0 1].

Ejemplo

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

x = [0:0.1:1]; p=betacdf(x,5,4)

0 0.0004 0.0104 0.0580 0.9437 0.9950 1.0000

0.1737

0.3633

0.5941 0.8059

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

ANEXO 1 INNOVACIONES DE MATLAB 7

MATLAB es un software muy utilizado en diferentes áreas en las que resulta aplicable el lenguaje matemático, debido a este importante factor y a que es necesario innovar y mejorar las condiciones de trabajo, el software ha tenido una serie de modificaciones que permiten trabajar en un escenario que se adecua a las necesidades para este tipo de programas. Teniendo en cuenta lo anterior es de vital importancia tener conocimiento de estas nuevas características; para ello hemos tomado algunas de ellas con el objetivo que los usuarios del presente informe, al igual que nosotros como sus creadores, tengamos la posibilidad de conocer las facilidades presentadas por el programa y encontremos la mejor forma de aplicarlas a las labores especificas que realizamos.

NUEVAS CARACTERISTICAS

1. El desktop en MATLAB 7 ha sido rediseñado para tener una mayor funcionalidad y sensibilidad que facilite el entendimiento y agilidad para llevar a cabo diferentes operaciones. Las nuevas características del desktop permiten trabajar en diferentes documentos al interior de MATLAB de forma simultánea, además UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 120

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB de la posibilidad de guardar customs layout y definir shortcuts que facilitan el uso de los comandos.

2. En MATLAB 7 podemos crear algunas variables de de diferentes características simplemente llamando las mismas con la función create, cuando presionamos Tab después de escribir el comando se despliega una lista de todos los posibles comandos y funciones y variables que comienzan con caracteres de este tipo (create).

3. Una de las grandes ventajas del MATLAB 7 es que permite la realización de gráficos desde la ventana del workspace, en la cual con un simple click en el icono (

) que aparece esta ventana

podemos escoger el tipo de gráfica que deseamos realizar con la variable seleccionada.

4. Permite la posibilidad de ver las gráficas realizadas al interior del desktop y no en una ventana aparte como lo realiza por defecto, para ello basta con presionar en la parte superior derecha de la ventana de figuras en la flecha dirigida hacia la parte de abajo( ), esta nueva característica aplica para otras ventanas, por ejemplo la ventana del Editor.

5. Se tiene la posibilidad de

trabajar con diferentes documentos

como arrays, m-files, figuras y otros,

en una misma ventana,

para ello debemos guardar y aplicar la opción desktop layouts que UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 121

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB se encuentra dentro del desktop de la barra de menús, en la cual utilizando la opción de large documents Windows (gráfica 1).

GRAFICA 1

6. Después de habilitar la opción mencionada con anterioridad, el programa permite además manipular la forma en la cual se muestran los archivos, funciones o demás en la respectiva ventana, es decir la cantidad de archivos que queremos que nos muestre en la misma (ver gráfica 2). Esta nueva característica de MATLAB 7 facilita el trabajo, dándonos la oportunidad de un mejor entorno de trabajo que agilice el trabajo en el programa. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 122

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

GRAFICA 2

7. Es posible en este modo abrir y editar cell arrays y estructuras desde

workspace,

para

diferentes

tipos

información

almacenada, desde la ventana del array editor es posible modificar los datos, al igual que graficar la totalidad o parte de los datos a parte de ellos con un simple clic en el icono (

8. Otras de las grandes ventajas que presenta MATLAB 7 es la relacionada con la creación de shortcuts, que permiten usar de manera cómoda y ágil algunos de los comandos ejecutados en el programa, para ello basta con seleccionar en el desktop la opción de shortcuts toolbar y arrastrar con el Mouse hasta

la parte

superior derecha en frente de los shortcuts que aparecen por UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 123

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB defecto

algún

comando

existente

Comand History,

automáticamente nos pide una etiqueta y después de guardar el mismo comando que llevamos se ejecuta de forma ágil dando un solo clic sobre el nombre que le hallamos colocado

EDITOR AND DEBUGGER 9. Para revisar los M-files MATLAB 7 ofrece gran facilidad, basta con abrir el archivo desde el current directory y dirigirse a la opción cell de la barra de menús y habilitar el cell mode; en el editor las celdas aparecen separadas por doble comentario (%%), además es posible ejecutar y avanzar a la otra celda con un solo clic en el icono (

), lo que realiza este botón es ejecutar las

celdas y avanzar a la siguiente que encuentre basándose en los dos %%, esta nueva característica agiliza el trabajo y la revisión de los M-files que en ocasiones pueden llegar a ser muy extensos.

10.

En MATLAB 7 es posible de forma automática pasar o

publicar el M-code a formato HTML, WORD,

u otros formatos a

documentos de trabajo o a partes de los mismos, con un solo clic (

11.

El editor ahora identifica otros lenguajes importantes como

c/ c++, html, and Java Code. Basta únicamente con dirigirse al

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 124

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB curren directory que ya reconoce este tipo de archivos y al dar clic derecho, escoger la opción de abrir texto.

12.

Condicional breakpoints: En primer lugar se debe escoger la

opción disable cell mode en el menú cell (ver gráfica 3), después de esto es posible colocar breakpoints dando clic en el icono que posee el programa para desarrollar esta tarea (

). Esta

posibilidad nos permite trabajar y evaluar nuestros M-files hasta el punto de quiebre definido lo que facilita la detección de posibles errores, y el establecimiento de condiciones que debe cumplir el archivos en este punto.

GRAFICA 3

13.

Otra de las nuevas ventajas de MATLAB 7 es la de colocar

bloques completos de comentarios, para ello basta

es posible

colocar bloques de comentarios colocando simplemente el símbolo porcentaje (%), acompañado de un corchete abierto; el bloque de comentarios se cierra de la misma forma como se abrió y cerrando el corchete correspondiente. Esta nueva característica agiliza el trabajo en el programa y permite la posibilidad de escribir grandes UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 125

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB cantidades de ayudas en el M-file que pueden orientar mejor la posterior revisión de los mismos.

GRÁFICAS

14.

MATLAB 7 tiene bastantes innovaciones en este aspecto, y

en su mayoría son enfocadas a incrementar el manejo de las gráficas por medio de iconos y disminuir en alguna medida la programación necesaria para la realización, y principalmente la modificación de las mismas. Cuando abrimos un archivo tenemos la posibilidad de valuar puntos específicos simplemente dando clic en

icono

data

automáticamente

cursor

(

valor

las

cursos

variables

nos

indica

punto

seleccionado dentro de la gráfica. Si queremos que nos muestre en una ventana aparte el valor de las variables en el punto especifico simplemente damos clic derecho y escogemos la opción Display Style y en esta damos clic en Window Incide Figure. (ver gráfica 4)

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 126

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

FIGURA 4

15.

Otra de las innovaciones presentadas por MATLAB 7 es la

posibilidad de realizar anotaciones al interior de las gráficas, para ello basta con pulsar en la flecha que aparece en la barra de herramientas del dibujo (

), y seleccionando la opción

Insert

Text Arrow (ver gráfica 5) podemos colocar al interior del grafico la

flecha

que

deseamos,

programa

por

defecto

coloca

anotaciones correspondientes a la gráfica en general y no al punto que se esta señalando.

16.

También es posible agregar otros pequeños gráficos como

rectángulos, elipses, cuadros de texto simplemente escogiendo la opción insertar y seleccionando lo que deseamos insertar en la gráfica. Existe también la posibilidad de modificar las propiedades UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 127

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB de las imágenes realizadas simplemente dando doble clic en el objeto que deseamos modificar; automáticamente el programa nos muestra en cuadro en el cual aparecen las propiedades del objeto seleccionado y en el cual podemos modificar a nuestro parecer.(ver gráfica 5)

GRAFICA 5

17.

Es posible crear y modificar gráficas interactivamente con un

solo clic en el icono show plot tools (

), esta opción

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ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB automáticamente permite modificar algunas de las propiedades de la

gráfica,

además

trabajar

interactivamente

con

otras

variables o gráficas ya creadas, de una manera sencilla y práctica. Para esto debemos

arrastrar las mismas hacia la gráfica ya

creada, o cuadrante vacío. De esta forma tenemos la posibilidad de comparar las gráficas y cambiar propiedades de las gráficas al mismo tiempo. Para

agregar

gráficas

otros

cuadrantes

trabajar

simultáneamente en varias gráficas nos a la ventana de Figure Palette (figura 5) y creamos la cantidad de cuadrantes que queremos que nos muestre en la ventana, automáticamente nos aparece en la ventana el numero de cuadrantes que hallamos seleccionado (por ejemplo en una fila y dos columnas).

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 129

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB

GRAFICA 6

18.

Desde el panel mencionado en el punto anterior es posible

acceder a las anotaciones del mismo, para ello nos dirigimos al icono(

) que aparece

en la barra de herramientas, cuando

habilitamos esta opción se genera la posibilidad de generar el código-M que dio origen a las gráficas creada de una manera rápida, para ello vamos a la barra de menús y en File escogemos la opción Genérate M-File, y de forma automática nos muestra en el Editor los comandos que se deberían utilizar para la creación de esta gráfica, la cual es posible de almacenar como cualquier otro archivo-M.

Después de revisar algunas de las nuevas características del UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 130

ANALISIS ESTADISTICO EN MATLAB programa en esta versión, hemos encontrado que las ventajas e innovaciones en lo relacionado con las gráficas son en las que mas se trabaja, y que las mismas permiten trabajar en una forma mucho más rápida que permite agilizar y optimizar las actividades en el programa. van

Sin embargo todas las innovaciones realizadas

encaminadas

mejorar

entorno

del

contribuyen a la optimización de tareas en el mismo.

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 131

programa