L贸gica Formal
Introducción • El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática
es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios.
• Hay varios sistemas lógicos formales que son capaces de formalizar cualquier razonamiento válido.
• Un sistema lógico formal se puede ver como un
sistema formal deductivo universal, en el mismo sentido que las máquinas de Turing universales.
Esbozo histórico • En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó los distintos tipos de razonamiento.
• En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron la importancia de estudiar las ideas asociadas a cada afirmación lógica (su interpretación).
• También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitz destacaron los aspectos algebraicos de la manipulación formal de las fórmulas lógicas.
Esbozo histórico, II • En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización de
variables y cuantificadores para representar fórmulas lógicas; Peano dio la primera axiomatización de la aritmética, y Peirce introdujo la lógica de segundo orden. • A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso un programa para demostrar la consistencia de las Matemáticas en base a una axiomatización de ellas. Posteriormente, Gödel demostró que esto era imposible.
Esbozo histórico, III • A lo largo del siglo XX se han desarrollado particularmente lógicas especiales (modal, temporal, etc) y lógicas relacionadas con la teoría de la computación (Cálculo λ con tipos, lenguajes de programación lógicos, etc)
Lógica proposicional • Sistema formal deductivo que genera fórmulas proposicionales basadas en afirmaciones atómicas que pueden ser verdaderas o falsas.
• Alfabeto: • Atomos: P, Q , R, P’, Q’, R’, P’’, … • Operaciones lógicas: ^, v, ⇒, ~ • Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadores
especiales y obligatorios, < y >, para desambiguar la gramática]
• Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P, ~Q ⇒ (Q ⇒ P)
Operadores lógicos X
Y
X^Y
XvY
X⇒ Y
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
F
F
F
T
Operadores lógicos: Significado de X⇒Y • En principio, el significado de X⇒Y es “si X es cierto, entonces Y también es cierto”.
• Por lo tanto su tabla de verdad será como sigue: X
Y
T
T
X⇒Y T
T
F
T
F
T
?
F
F
?
Operadores lógicos: Significado de X⇒Y, II • Ejemplos con cuantificador universal: • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es par
∀x,(impar(x) ⇒ par(x+1))
• Para todos los números x, si x es impar, entonces x+x es par
∀x,(impar(x) ⇒ par(x+x))
• Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es impar
∀x,(impar(x) ⇒ impar(x+x))
Operadores lógicos: Significado de X⇒Y, III X
i(x)
p(x+1)
p(x+x)
i(x+x)
i(x)⇒p(x+1)
i(x)⇒p(x+x)
i(x)⇒i(x+x)
0
F
F
T
F
?
?
?
1
T
T
T
F
T
T
F
2
F
F
T
F
?
?
?
3
T
T
T
F
T
T
F
4
F
F
T
F
?
?
?
5
T
T
T
F
T
T
F
Operadores lógicos: Significado de X⇒Y, IV • Para que los ejemplos anteriores tengan contestaciones
razonables hay que interpretar que la implicación X⇒Y es cierta si “Si X es cierto, entonces Y también. Si X no es cierto, da lo mismo que se verifique Y o no”.
• (X ^ Y) v ~X • Esta definición es consistente en general con la definición de implicaciones en la Lógica de Predicados.
Lógica proposicional: Interpretaciones • Una interpretación I de una fórmula F es una
asignación de un valor lógico PI (True o False) a cada átomo P de F. La interpretación asigna un valor lógico a la fórmula utilizando las tablas de los distintos operadores. • Una fórmula es cierta en una interpretación si le corresponde el valor True mediante ella. • La tabla asociada a una fórmula tiene una interpretación en cada fila.