LÓGICA PROPOSICIONAL
¿QUÉ ES LA LÓGICA? Es una disciplina que mediante reglas y técnicas estudia la forma del razonamiento. En matemática se emplea para demostrar teoremas; en computación, para validar un programa; en física, para dar conclusiones de experimentos y, en la vida cotidiana, para cualquier trabajo que se realiza ya que tiene un procedimiento lógico. Gracias a ella, el ser humano distingue la realidad de la percepción y defiende sus puntos de vista con argumentos basados en hechos y datos. Esto lo logra utilizando su inteligencia y con la ayuda de los conocimientos adquiridos.
¿Qué es una proposición? Es un enunciado coherente que se posee un valor de verdad: verdadero (v) o falso (f), sin ambigüedades y en determinado contexto. •Ejm : • (2+3 )² = 4 + 9 (falso) • Lima es una ciudad de la costa del Perú. (verdadero) •Se simboliza con letras minúsculas (p; q; r; etc.)
EJEMPLIFICANDO
• Identifica las expresiones que son proposiciones: c •
Sofía Mulanovich fue campeona mundial de tabla en el 2004.
•
Tal vez compre un obsequio.
•
Formuló una pregunta difícil de responder.
•
3+2=5.
•
Dos números enteros distintos pueden sumar cero.
•
¡Ojalá tomen lo que he estudiado!
c
c c
¿Cuáles son los tipos de proposiciones?
Simples: Son aquellas que tienen una única idea, es
decir una sola afirmación, siempre en positivo. Ejem. -6 es un número entero Los universitarios tienen carnet de medio pasaje.
Compuestas: Son aquellas que tienen dos o más
proposiciones . Ejem. Cusco está en el Perú y el Perú está en Sudamérica Si x² =4 → x=2 o x=-2
EJERCITÁNDONOS • Identifica si la proposición es compuesta (C) o simple (S). •
Pablo es culto.
•
Tres no es mayor que 5.
•
Los cuadriláteros tienen cuatro lados.
•
Ana y José son esposos.
•
Rosa tiene 20 años.
•
Ana y José están casados.
•
No es cierto que 34 sea igual a 243.
S C C S S C C
CONECTORES LÓGICOS
Llamados también operadores lógicos , son palabras que sirven para enlazar proposiciones simples o cambiar el valor de verdad de una proposición.
CONECTORES LÓGICOS CONECTOR
SÍMBOLO
ESQUEMA
SIGNIFICADO
VALOR DE VERDAD
CONJUNCIÓN
∧
p∧q
pyq
V si ambas proposiciones son V
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
∨
p∨q
poq
F solo si ambas proposiciones son F
opoq
F si ambas proposiciones tienen igual valor de verdad F solo si la primera proposición es V y la segunda es F Lo opuesto al valor de la proposición
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
∆
p ∆q
CONDICIONAL
→
p→q
si p, entonces q
NEGACIÓN
∼
∼p
no p
CONECTORES LÓGICOS
CONECTOR
EXPRESIONES EQUIVALENTES
CONJUNCIÓN
Sin embargo, aunque, también, pero, además, a la vez, no obstante, etc.
CONDICIONAL
Por consiguiente, puesto que, porque, ya que, etc.
NEGACIÓN
No es cierto que, es falso que, no es el caso que, etc.
EJEMPLIFICANDO • Determina el valor de verdad de las siguientes expresiones, si sabes que: •
(V)
p: María es doctora.
•
(F)
q: María es casada.
•
(V)
r: María vive con sus padres.
•
(F)
s: María viajará a España.
(q → ∼r) ∧ s (p ∧ r) ∨ (p ∧ q) (F → F) ∧ F (V ∧ V) ∨ (V ∧ F) V ∧F V∨ F F V
EJEMPLIFICANDO Dadas las siguientes proposiciones: •
p : Estudio sistemáticamente
•
q : Obtendré buenas calificaciones en Álgebra
•
r : Voy a bailar todos los fines de semana
•
s : Me sentiré feliz
Escriba con palabras la siguiente proposición: (~ p ∧ r ) → ~ q Si no estudio sistemáticamente y voy a bailar todos los fines de semana entonces no obtendré buenas calificaciones en álgebra.
EJEMPLIFICANDO Dadas las siguientes proposiciones: •
p : a es un número par
•
q : 2a es un número par
•
r : a es un múltiplo de 6
•
s : a < 10
Escribe con símbolos la siguiente proposición: Si a es un número par y múltiplo de 6, entonces 2a es par o a es menor que 10 p ∧ r→ q∨ s