Точки ветвления

Точки ветвления систем обыкновенных автономных дифференциальных уравнений Е.Г. Якубовский НМСУГ e-mail yakubovski@rambler.ru Решение

системы

обыкновенных

дифференциальных

нелинейных

автономных уравнений первого порядка при численном счете может стремиться к бесконечности. Причиной этого является наличие точки ветвления у системы нелинейных дифференциальных уравнений, т.е. решение имеет вид xl (t ) = α l + βl (t − t0 )α + ...,0 < α < 1 , при которой первая производная стремится к бесконечности. Выяснения условий этой ситуации и посвящена предлагаемая статья. Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений, правая часть которой обращается в некоторых точках в бесконечность и в ноль. Построим

решение

такой

системы

нелинейных

дифференциальных

уравнений. Итак, имеем систему нелинейных уравнений dxl = Fl ( x1 ,..., x N ) . dt

При

этом

осуществим

линейное

преобразование,

чтобы

k

дифференциальное преобразование зависело от переменной xk . Причем эта система нелинейных уравнений имеет однократные положения равновесия и точки, в которых

полюса правой части дифференциального уравнения.

Fl ( a1s ,..., a Ns ) = 0, l =1,.., N ; s =1,..., S 1 / Fl (b1k ,..., bNk ) = 0, l =1,.., N ; k =1,..., K

виде

и

уравнения

. Тогда l уравнение можно записать в

2 S

dxl = exp{Gl [ x1 (t ),..., x N (t )]} dt

∏

( xl − als )

∏

( xl − alk

s =1 K

k =1

;

K

exp{Gl [ x1 (t ),..., x N (t )]} =

Fl [ x1 (t ),..., x N (t )]∏ k =1

S

∏ s =1

)

. ( xl − alk

)

( xl − als )

Причем величина exp{Gl [ x1 (t ),..., x N (t )]} , не обращающаяся ни в ноль, ни в бесконечность функция в точках положениях равновесия и в полюсах правой части дифференциального уравнения. Значение этой функции в нуле и в полюсе правой части дифференциального уравнения можно вычислить с помощью правила Лопиталя. Тогда вводя новую независимую переменную

t

Hl t)( − Hl(t0) = ∫ exp{Gl[x1(t),. ,xN (t)]}dt

, получим дифференциальное уравнение, которое и будем

t0

решать S

dxl = dH l (t )

∏

( xl − als )

∏

alk )

s =1 K

k =1

( xl −

.

(1)

Это дифференциальное уравнение и будем исследовать. В случае, если перед старшей производной системы нелинейных дифференциальных уравнений стоит матрица, определитель которой может равняться нулю, то система нелинейных уравнений может иметь точку ветвления. В случае зависимости решения от параметра, решение может зависеть от этого параметра в дробной или иррациональной степени см. [1]. Возможно построение решения в виде ряда, имеющего действительную

3

отрицательную степень аргумента дифференциального уравнения с помощью свойства Пенлеве. Но решение имеет отрицательные степени аргумента, т.е. особенности.

Оказывается,

что

система

обыкновенных,

нормальных,

нелинейных автономных дифференциальных уравнений может иметь точку ветвления

xl (t ) = α l + β l (t − t 0 )α + ...,0 < α < 1 ,

типа

где

α

определяемое

рациональное число.

S

В случае уравнения

∏ s =1 P

∏

(x − bs ) s

(x − a )

dx dt

= 1, где все множители сокращены, имеем

s =1

x = b k + β k (t − t 0 )α + ...

решение

k −1

∏

(b k − b s )

s =1

K

∏

∏

k

имеем

точку

ветвления

(b k − b s )

s=k + p S

и

( β k ) p α (t − t 0 ) pα −1{1 + 0[(t − t 0 )α ]} = 1,

s

(b − a )

откуда

получаем

s =1

α =1 / p

и имеем p значений S

βk =

∏ p

k −1

(b k − b s )

s =1

α ∏ (b k − b s ) s =1

K

∏

(b k − b s )

,

s= k + p

определяющих p решений. При этом можно продолжать строить решение вне особой точки. Если величина βk комплексная, то

в результате получится

комплексное решение, которое будет огибать остальные точки

bs

ветвления.

Координату t 0 можно определить, зная решение до точки t 0 . Допустим решение в окрестности точки t 0 равно x1 в момент времени t1 . Тогда координата t 0 определится из уравнения x1 = b k + β k (t1 − t 0 )1/ p . Откуда имеем значение t0 = t1 − [( x1 − b k ) / β k ] p . При величине βk комплексной, начиная с точки x1 (t1 ) , решение будет комплексным. Попробуем получить глобальное решение этой системы нелинейных уравнений. Для этого распишем зависимость от x

4 S

∏

(x − bs )

s =1 P

∏

s

(x − a )

dx dt

= 1.

s =1

Воспользуемся формулой (2), так как корни P

1 P

∏

(x − as )

=∑

k =1

s =1

однократные

as

λk 1 , λ = k d P x − ak . ( x − a s ) | x = ak ∏ dx s=1

(2)

Получим формулу S

∏

P

∑

(x − bs ) x−a

k =1

dx

λk

s =1

k

dt

=1.

Распишем левую часть выражения перед производной S

P

∑

∏

(x − bs )

s =1

x − ak

k =1

S

P

Где выражение ∑

∏ s =1

k =1

S

∏

P

λk = ∑ [ s =1

S

( x − b s ) − ∏ (a k − b s ) s =1

x − ak

k =1

S

+

∏

(a k − b s )

s =1

x − ak

]λk .

S

( x − b s ) − ∏ (a k − b s ) s =1

x − ak

λk = QS −1 ( x)

это целый полином

степени S −1 . Интегрируем эту систему нелинейного уравнения, получим x

∫

x0

P

QS −1 ( x )dx + ∑ k =1

S

∏ s =1

(a k − b s )λs ln

x − ak = t − t0 . x0 − a k

Первый член это полином степени S , который имеет S корней решений нелинейного уравнения. Но корни этого уравнения непрерывно зависят от предыдущего значения, и это выбирает ветвь решения. Когда достигается точка ветвления нелинейного уравнения, происходит ветвление решения. Причем эта точка ветвления соответствует координатам

x = bk ,

так как именно в этой точке

начинается ветвление, а до нее имеется монотонность во времени координаты x на общих отрезках

[a k , a k +1 ],[b s , b s +1 ] .

Причем достижение

границы a k , означает плюс, минус бесконечность t − t 0 , возможно не доходя до точки ветвления. Ветвление решения сохраняет силу при комплексных

5

координатах положения равновесия и полюсов, только необходимо, чтобы

x дошла до точки ветвления, т.е. существование точки

координата

ветвления зависит от начальных условий, возможно комплексных. Каков же физический смысл комплексного решения. Действительная часть комплексного решения соответствует среднему по начальным данным решения, а квадрат мнимой части соответствует дисперсии решения при усреднении по начальным данным ∞

<x (t ) >= ∫ x[t , x 0 (1 +α)] exp( −α2 / 2σ2 ) dα/

2π =<Re x (t ) ±i Im x (t ) >=Re x (t )

−∞

При этом мнимая часть решение соответствует математическому отклонению

< | x(t )− < x(t ) > |2 =< [Im x(t )]2 > При этом образуется двумерное комплексное пространство. Выясним схему образования двумерного пространства. В одномерном случае трехмерного вращательного движения потока жидкости возникает дополнительная координата колебания, причем чтобы отличить ее от поступательной координаты скорости частицы, надо считать ее ортогональной действительной части, т.е. мнимой. Докажем это. Для чего введем систему координат, в которой норма, определяется по закону

xl (t ) =

t +T / 2

∫

xl2 (u )du / T = < xl2 (t ) > , l = 1,...,3 ,

если

период

больше

T

t −T / 2

характерного

времени

изменения

скорости,

происходит

усреднение

координаты. Если же период T меньше характерного времени изменения координаты,

то

получаем

обычное,

декартово

пространство.

В

противоположном случае получаем, что в этой системе координат, пульсирующие координаты складываются по закону

< [ xl + ∆ xl (t )]2 > = xl2 + < 2 xl ∆ xl (t ) + [∆ xl (t )]2 > = xl2 + < [∆ xl (t )]2 > = < | xl + i∆ xl (t ) |2 > Значит, пульсирующая координата ортогональна направлению пульсации, т.к. величины xl , ∆xl (t ) образуют катеты с гипотенузой, равной среднему квадрату, т.е. пульсирующая координата ∆xl (t ) ортогональна декартовой

6

координате xl , и образует мнимую часть координаты тела. Таким образом, полученное в результате усреднения во времени декартово пространство с колебательной скоростью высокой частоты (период колебания меньше времени измерения) становится комплексным пространством. При этом пространство мнимое, при отклонении от произвольной траектории, т.е. имеется мнимое пространство при всех изменениях параметров. При этом не обязательно, чтобы решение было колеблющимся. Иногда в роли колебания выступает шероховатость поверхности, т.е. любая случайная величина, которую характеризуем дисперсией. Так в случае температуры тела, мнимая часть температуры, это отклонение от среднеквадратичного значения

скорости частиц.

В

случае

давления,

мнимая

часть

это

среднеквадратичное отклонение от среднего значения. Термодинамическая энтропия может оказаться комплексной из-за возможной комплексности температуры, давления и скорости. Энтропия, вычисленная по формуле s = k (ln W + 2πin) ,

где W , количество состояний, реализующих данный

процесс, тоже может оказаться комплексной в силу комплексного значения логарифма. Причем в результате решения нелинейной задачи,

которыми

являются уравнение гидродинамики и тепловое уравнение, может получиться комплексное значение температуры, энтропии и давления при больших значениях параметров, т.е. в существенно нелинейном режиме, который в гидродинамике называют турбулентным режимом. Эта норма аналог среднеквадратичной нормы ряда Фурье. Только норма берется в момент времени t , и является функцией t , а не одним числом, как в случае нормы ряда Фурье. В случае, если функция периодическая с периодом T , зависимость нормы от времени t исчезает и получается обычное определение нормы. Функция, описывающая это решение, может оказаться в общем случае дискретной и комплексной величиной. Функция окажется комплексной величиной, так как значение ряда Фурье в общем случае является комплексное

x (t ) =

∞

∑ am exp(2πimt / T ) . Функция величины

m =−∞

7

t окажется дискретной величиной, если функция периодическая, и если коэффициенты ряда Фурье этой функции, убывают на бесконечности индекса, как величина 1 / m . В случае интеграла Фурье дискретное решения получается, если спектр убывает на бесконечности как величина

a (ω) = a / ω .

Т.е. имеем уравнение ∞

∫

∞

−∞

a (ω) exp(iωt ) dω = ∫ A(u ) sgn[t −t −(u )] sgn[t + (u ) − t ]du .

0

Умножаем на величину

exp(−iΩt )

и интегрируем по времени, получаем

∞

2πa (Ω) = ∫ A(u ){exp[ −iΩt −(u )] − exp[−iΩt + (u )]} /( −iΩ) du .

0

Где

Ω∈[ −∞, ∞] ,

и величина

a(Ω) →

b + b1 / Ω + ... ,Ω → ∞ Ω

определится комплексная величина t −(u ), t +(u ) ,

A(u )

комплексная. Откуда

и действительные величины

так как на бесконечности Ω эта величина сокращается.

Примером этого дискретного режима является турбулентный режим жидкости, когда скорость частиц жидкости дискретна. В микромире происходят колебания элементарных частиц с частотой ω=

mc 2 

, и при измерении с меньшей частотой пространство является

комплексным.

Недаром

квазистационарная

энергия

частиц

является

комплексной, что означает комплексность координат. Поступательная часть мнимого числа Рейнольдса соответствует корню из мнимой части, описывающей колебательные степени свободы. При этом в силу безразмерности числа Рейнольдса такое вычисление не зависит от выбранной системы единиц. Литература 1. М.М. Вайнберг, В.А. Треногин Точки ветвления решения нелинейных уравнений М.: «Наука». 1969г., 529с.