APELLIDOS:
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CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 1: Cálculo diferencial en varias variables FECHA: 30/03/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Sea la función f(x,y) definida de la siguiente forma en todo (x,y) de IR2:
(
)
(
{
a) Calcule para cualquier (x,y) de IR2 las expresiones de
(
)
(
)
(
)
)y
(
)
(
)
(
t
b) Calcule para qué direcciones v = (v1,v2) existen las derivadas direccionales
).
RESULTADOS a)
Si (x,y)(0,0) entonces, (
)
(
)
;
(
;
(
)
(
)
Si (x,y)=(0,0) entonces, (
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
b) Sea v = (v1,v2)t, tal que ||v||=1, entonces, si (x,y)=(0,0) como punto en el que puede haber problemas para su cálculo:
(
)
((
)
)
(
( )
)
(
)
(
(
)
)
(
)
Si (x,y)=(0,0) entonces, siempre que v20, se podrá calcular la derivada direccional. Cuando (x,y)(0,0) entonces, (
)
(
)
(
)
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes _______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Fulanito de los Palotes Página 1 de 1
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CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 1A: Cálculo diferencial en varias variables FECHA: 30/03/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Sea la función f(x,y) definida de la siguiente forma en todo (x,y) de IR2:
(
)
(
{
)
(
(
)
)
(
)
a) Dibuje el conjunto de puntos (x,y) del plano donde f no esta definida. b) Calcule para el punto (0,0) de IR2 las expresiones de ( )y ( ).
(0.5 ptos) (1.0 ptos)
c) Analice la continuidad de f(x,y) en el origen (utilice la trayectoria y = x + x2).
(1.0 ptos)
ESCRIBA AQUÍ LOS RESULTADOS a)
La función no esta definida en aquellos puntos que anulan el denominador: {
b) Si (x,y)=(0,0) entonces, ( c)
(
)
)
(
)
(
;
)
(
)
(
)
El límite sobre la trayectoria sugerida:
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
Para comprobar la continuidad bastará comparar este límite con otra trayectoria, por ejemplo, radial y=mx, exceptuando las trayectorias con m=1 y m=-2, sobre las que la función no esta definida (apartado a):
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
Por lo que la función no es continua en el origen.
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes _______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Carlos Paredes Página 1 de 1
ESA 1 30 de marzo de 2012 1. a) Desarrollar según la fórmula de Taylor de 2º grado en el entorno del punto (1,0) la función y=f(x,z) definida implícitamente por y3 x y 2 z 2 0 con f(1,0)=1 (2 puntos) b) Cuál sería la aproximación lineal en el punto (x,z)=(.95, .1) (0,25 puntos) c) Aproximación cuadrática en el punto (x,z)=(.95, .1) (0.25 puntos) Solución: a)
T2 ( x, z )
T2 ( x, z ) 1
1 (1)( x 1) 0 z 1 2( x 1)2 0( x 1) z 2 z 2 x 2 3x z 2 3 1! 2!
b) Aproxlinea l (0.95,0.1) 1.05 c) Aproximacióncuadrática(0.95,0.1) 1.0425
2. Sea la siguiente superficie definida en forma implícita: F ( x, y, z) xyz Ln( xyz ) z 1
a) Obtener el plano tangente en el punto P tal que x=1 e y=1 (1.25 puntos) b) Considerando z como función de x e y, encontrar la derivada direccional de z en P según la dirección del vector v(2, 1) (1.25 puntos) Solución: a)
x 1; y 1 F ( x, y, z ) xyz Ln( xyz ) z 1 P(1,1, e) F (1,1, z ) z Ln( z ) z 1 ln( z ) 1 z e yz 1 1 1 Fx' yz ; Fx' xz ; Fx' xy 1 Fx' (1,1, e) e 1; Fy' (1,1, e) e 1; Fz' (1,1, e) xyz y z e
Plano tangente en P(1,1,e): 1 (e 1)( x 1) (e 1)( y 1) ( z e) 0 e b)
' Fx' e(e 1) z x Fz' v 2 1 ; vector unitario u , z f ( x, y ) ' v 5 5 F y z ' e ( e 1 ) y ' Fz
Derivada direccional en P según la dirección u: Du f ( x, y) z ( P) u ( z x' ( P), z 'y ( P) u e(e 1)
2 5
(e)(e 1)
1 5
3 5
e(e 1)
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CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 2: Introducción a la Optimización FECHA: 30/03/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO
Calcula y clasifica los puntos críticos de f ( x, y ) x 3 2y 2 2y 4 3x 2 y RESULTADOS
f 0
Puntos críticos:
fy 4y 8y 3 x 0 fx 3 x 6 xy 0 2
3
2
3x( x 2y ) 0 x 0 ; x 2y
x 0 ; 4 y (1 2y 2 ) 0 y 0 y 0 ; x 0 Para 1 2 x 2y ; 4 y (2y 3 y 1) 0 y 2 ; x 1 y 1; x 2 Test de las derivadas segundas: 1 1 P2 1, : H 1, fxx 6 x 6 y 2 2 fxy 6 x 6 P3 -2,1 : H -2,1 fyy 4 24 y 2 12 En el caso P1(0,0) :
H (0,0)
0
0
0 4
3
6
6 10 12 28
Puntos: P1(0,0) ; P2 1,
1 ; P3 ( 2,1) 2
6 0 Punto Silla
24 0 ; fxx ( 2,1) 6 Máximo
0 DUDA .
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Forma de resolver la duda Se estudia la función en puntos próximos al (0,0). f (h,0) h3 En el plano y 0 en un sentido la función es positiva y en el otro sentido la función es negativa y se comporta como una inflexión en el origen, pero en el plano x 0 , f (0, k ) 2k 2 2k 4 siempre es negativa, por tanto se trata de un punto SILLA.
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Tema 20: Introducción a la Optimización FECHA: 30/03/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Dada la función f ( x, y, z ) x y z sujeta a la restricción x y z 81 . Analiza la existencia de extremos absolutos. Estudia, mediante Multiplicadores de Lagrange, en qué punto se alcanza el valor MÁXIMO y cuál es dicho valor máximo. 3
3
3
RESULTADOS Extremos absolutos: Se aplica el Teorema del valor extremo
El conjunto D ( x, y, z )
3
/ x3 y3 z 3 81 de los puntos que satisfacen la ecuación de ligadura es un conjunto
cerrado y acotado (compacto) y dado que f ( x, y, z ) xyz es continua en él se puede asegurar que existe un máximo y un mínimo absoluto en algún punto de D . Multiplicadores de Lagrange
f ( x, y, z ) x y z
Sean
f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) g ( x, y , z ) k
Evaluar x, y, z y tal que
g ( x, y, z ) x y z 81 f x yz 3 x 2 f y xz 3 y 2 y 3 x3 yz xz xy 3 2 2 2 3 (1) Siendo x 0, y 0, z 0 3 x y z f z xy 3 z 2 z x x3 y 3 z 3 81 3
3
3
Obtención del punto que da valor máximo Sustituyendo (1) en la ecuación de ligadura x3 y3 z 3 81 , resulta:
3x3 81 x3 27 x 3 . Por tanto x y z 3 P(3,3,3) Máximo 3
9 1 1 9 3
f (3,3,3) 27
Observaciones 1 1. Las funciones f y g son de clase C además el punto P(3,3,3) es un punto regular ya que
g rg i x j
3x 2 27 2 r (número de ecuaciones de ligadura) rg 3 y rg 27 1 P 3z 2 27 P
Lo que garantiza, según el teorema de Lagrange, La existencia de .
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Tema 3: Funciones Vectoriales FECHA: 30/03/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Considere la curva dada por la intersección de las dos superficies: y 1. 2. 3. 4. 5.
Escriba la curva en paramétricas. Use la cabeza y utilice unas ecuaciones paramétricas “razonables”. (0.5 puntos) Calcule la longitud de la curva. (0.5 puntos) Calcule el vector normal principal y el plano osculador en el punto (0, 1, 0). (0.5 puntos) Calcule curvatura y torsión de la curva en el punto (0, 1, 0). (0.5 puntos) Calcule el círculo osculador a la curva en el punto (0, 1, 0). (0.5 puntos) RESULTADOS
1.
( )
,
( )
,
( )
2.
3.
,
4.
5.
,
(
)
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen de los cálculos correspondientes _______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
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Ver EJERCICIO RESUELTO 6 del Capítulo 13 del LIBRO DE TEXTO y+z-1=0
3
2
z
1
0
-1
-2 2 1 0 -1 -2
2
y
x
1)
2)
-2
-1
0
1
La curva intersección de un cilindro con un plano es una elipse. Se pueden elegir para ella infinitas formas de ecuaciones paramétricas. Sin embargo, las ecuaciones más lógicas resultan de tener en cuenta que, en la ecuación del cilindro, tenemos una suma de cuadrados igual a la unidad. Con esta observación lo más lógico es poner: ( ) ( ) Calculamos la velocidad, y con ella, la longitud: ( ) ∫
(
) √
| ( )|
√ ∫
√
√ ⁄
donde aparece una integral elíptica sin primitiva, cuyo valor puede aproximarse excelentemente mediante un método numérico construido mediante una suma de Riemann con un solo intervalo (definición de integral en Cálculo I), por ejemplo: ( )
√
∫
⁄
( )
( )
√
Con lo que: 3)
(
√ √ De forma trivial, la Normal Principal en (0,1,0) es: (
)
√
) (
)
y el Plano Osculador, en todos sus puntos, es el plano de la curva: 4)
Dado que la elipse intersección del cilindro y del plano tiene “centro” el origen y semiejes √ (en el plano (en el plano ), la curvatura en el punto propuesto es: (
)
)y1
√
( ) Por su parte, la torsión es nula en todos los puntos al tratarse de una curva plana (su plano osculador es el mismo para todos los puntos): 5)
Como la circunferencia osculatriz (frontera del circulo osculador) tiene su centro en la recta definida por la normal principal a partir del punto (0, 1, 0) y radio el radio de curvatura en ese punto, el centro de la circunferencia es: ( ) ( ) ( ) ( ) Y, por tanto, la ecuación de la circunferencia buscada se escribe: ( )
NOTA: El estudiante que sepa qué son las cosas no necesita hacer apenas cálculos. Obviamente, el estudiante que solo conozca cómo se calculan, puede perfectamente aplicar las fórmulas de clase y del Libro de Texto para obtener, mediante el cálculo ciego, los mismos resultados.
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CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 3: Funciones Vectoriales FECHA: 30/03/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Considere la curva dada por la intersección de las dos superficies: y 1. 2.
Escriba la curva en paramétricas. Use la cabeza y utilice unas ecuaciones paramétricas “razonables”. (0.5 puntos) Calcule la longitud de la curva. (0.5 puntos)
3.
Calcule el vector normal principal y el plano osculador en el punto
4.
Calcule curvatura y torsión de la curva en el punto
5.
Calcule el círculo osculador a la curva en el punto
√ √
√ √
√
√
. (0.5 puntos)
. (0.5 puntos) . (0.5 puntos)
RESULTADOS
1.
,
,
2.
3.
4.
,
,
5.
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes _______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
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DNI:
x-1=0 x = 1, y = cos(t)3, z = sin(t)3
1
1
0.5
0
z
z
0.5
0
-0.5 -0.5
-1 1 0.5
3
y
2 1.5
0.5
1
-0.5
1)
-1 1
2
0
0
0 -1
1 0.5
-0.5
-1
-1
x
0
y
x
Figuras para La curva es la intersección de un cilindro de sección astroide con un plano perpendicular a él. Por tanto, es una astroide en el plano . Se pueden elegir para ella infinitas formas de ecuaciones paramétricas. Sin embargo, las ecuaciones más lógicas resultan de tener en cuenta que tenemos una suma de cuadrados igual a la unidad. En efecto, la ecuación del cilindro puede ponerse: (
)
(
)
Con esta observación lo más lógico es utilizar las ecuaciones paramétricas:
2)
Calculamos la velocidad, y con ella, la longitud: | [
∫
3)
De forma trivial, la Normal Principal en
√
|
√
]
es: √
y el Plano Osculador, en todos sus puntos, es el plano de la curva:
4)
Para calcular la curvatura utilizamos: |
|
| |
| |
Como: |
|
|
|
resulta que:
Como para el punto
√
√
se tiene
, la curvatura en el punto propuesto es: ( )
( )
Por su parte, la torsión es nula en todos los puntos al tratarse de una curva plana (su plano osculador es el mismo para todos los puntos):
5)
Como la circunferencia osculatriz (frontera del circulo osculador) tiene su centro en la recta definida por la normal principal a partir del punto y radio el radio de curvatura en ese punto, el centro de la circunferencia es: √
√
( √
√
)
y, por tanto, la ecuación de la circunferencia buscada se escribe: (
√
)
(
√
)
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_________________________________________________________________________________________________
Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje 1 Cálculo II. Graduado en Ingeniería. Grupo GTM2 y GTM4. 6 ECTS, 2º Semestre, 1er Curso
_______________________________________________________________________________29 de marzo de 2011 1. Dada la siguiente función: ⎧ 3 xy si ( x, y ) ≠ (0, 0) ⎪ 2 2 ⎪ x +y f ( x, y ) = ⎨ ⎪ ⎪ 0 si ( x, y ) = (0, 0) ⎩
Se pide: A) Calcular la continuidad de dicha función f(x,y) en el punto (0,0) (0,5 puntos)
lim
xy
( x , y ) →(0,0)
x2 + y 2
Coordenadas polares:
lim ρ →0
x = ρ cos θ ; y = ρ senθ
ρ 2 cos θ senθ ρ 2 ( cos 2 θ + sen 2θ )
= lim
ρ 2 cos θ senθ ρ2
ρ →0
= lim ρ cos θ senθ = 0 ρ →0
Por lo tanto, existe el límite doble en (0,0), luego la función es continua en (0,0).
B) Obtener las derivadas parciales en (0,0) utilizando la definición de la derivada (0,5 puntos) 0 −0 2 0 ∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) h (0, 0) = lim = lim = lim =0 0 0 0 h → h → h → ∂x h h h h2
∂f (0, 0) = 0 (por simetría) ∂y Por lo tanto, existen las derivadas parciales en (0,0).
C) Estimar si la función es o no diferenciable en (0,0) (1 punto) Dado que las derivadas parciales existen y son iguales a 0, si existe el diferencial, df(h1,h2), debe ser:
⎛h ⎞ ⎛ ∂f ⎞⎛ h ⎞ ∂f df ( h1 , h2 ) = ⎜ ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ( 0 0 ) ⎜ 1 ⎟ = 0 ∂y ⎝ ∂x ⎠⎝ h2 ⎠ ⎝ h2 ⎠ Para calcular el límite pasamos a coordenadas polares:
x = ρ cos θ ; y = ρ senθ :
xy lim
( x , y ) →(0,0)
f ( x, y ) − f (0, 0) − df (h1 , h2 ) ( x, y ) − (0, 0)
=
lim
( x , y ) →(0,0)
x2 + y 2
−0−0
x +y 2
2
=
lim
( x , y ) →(0,0)
xy x + y2 2
xy ρ 2 cos θ senθ lim = = lim cos θ senθ ρ →0 ρ →0 ( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2 ρ2 lim
que no existe al depender del valor de
θ .Luego la función NO es diferenciable en (0,0).
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________ 2. Sea la función f ( x, y ) = − x 3 + axy − 2 y 2 + 1 +
a4 x , donde a ∈ R, a ≠ 0 4
Se pide: A) Puntos críticos y extremos relativos de la función según valores de a (1,5 puntos) ⎫ a4 ⎫ ⎧ ∂f ( x, y ) a4 2 − a 3 a3 = −3 x 2 + ay + = 0 ⎪ ⎪ay = 3 x − = = y ; y ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ 1 12 2 16 ∂x 4 ⎬ ⎨ ⎬ 2 3 2 2 ∂f ( x, y ) ⎪ ⎪ax = 4 ⎛ 3 x − a ⎞ → 12 x 2 − a 2 x − a 4 = 0 ⎪ x = a ; x = − a = ax − 4 y = 0 ⎜ ⎟ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ 1 3 2 ∂y 4 ⎠ 4 ⎝ a
⎧ ⎨1) ⎩
⎛ a 2 a3 ⎞ ⎛ − a 2 − a3 ⎞ ⎜⎜ , ⎟⎟ ; 2) ⎜⎜ ⎟ , 16 ⎟⎠ ⎝ 3 12 ⎠ ⎝ 4
⎛ − 6x a ⎞ ⎟ − 4 ⎟⎠ ⎝ a
Matriz Hessiana, H ( x, y ) = ⎜⎜
Particularizamos en los puntos críticos
2 ⎛ − a 2 − a 3 ⎞ 3a ⎟= 2 1) H ⎜⎜ , 16 ⎟⎠ ⎝ 4 a
⎛ a 2 a3 ⎞
2) H ⎜⎜ , ⎟⎟ = ⎝ 3 12 ⎠ (
− 2a 2 a
2 3 a = −7 a 2 < 0 f alcanza en ( − a , − a ) un punto silla 4 16 −4
⎛ a2 a3 ⎞ ∂ 2 f ⎜⎜ , ⎟⎟ a ⎝ 3 12 ⎠ < 0 → f alcanza en = 7a 2 > 0 → y ∂2x −4
a2 a3 a 2 a3 a6 a6 a6 a6 + − +1+ , ) un máximo relativo estricto de valor f ( , ) = − 3 12 3 12 27 36 72 12
B) Determinar el valor de a para el cual el polinomio de Taylor de grado 2 en el origen de la función f(x,y) tome el valor 0,92 en el punto (0.1, ‐0.2) (1,5 puntos) Punto p(0,0) 2 2 1⎡ ∂f ( p ) ∂f ( p ) ⎤ 1 ⎡ ∂ 2 f ( p) ⎤ 2 ∂ f ( p) 2 ∂ f ( p) T2 ( x, y ) = f ( p ) + ⎢ ( x − 0) ( x 0) ( y 0) 2( x 0)( y 0) + ( y − 0) + − + − + − − 1! ⎣ ∂x ∂y ⎥⎦ 2! ⎢⎣ ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ⎥⎦ f ( p ) = 1;
∂f ( p ) a 4 ∂f ( p ) ∂2 f ( p ) ∂2 f ( p ) ∂2 f ( p ) = ; = 0; = 0; = − 4; = a ∂x 4 ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
T2 ( x, y ) = 1 +
a4 x + axy − 2 y 2 4
Particularizando en el punto (0.1, ‐0.2):
⎧ a = 0, no puede ser ⎪ T2 (0.1, −0.2) = 1 + 0.025a − 0.02a − 0.08 = 0.92 , de donde, a ( 0.025a − 0.02 ) = 0 ⎨ ⎛ 0.02 ⎞1/3 ⎛ 4 ⎞1/3 ⎪a = ⎜ 0.025 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 4
3
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________
3. Maximizar mediante el método de los multiplicadores de Lagrange f ( x, y ) = 2 y − x , sujeta a la restricción y = senx , con 0 ≤ x ≤ 2π (1,5 puntos) 1 π ⎧ f x = λ g x ⇒ −1 = λ (− cos x) ⎫ cos x = ⇒ x = ( x ∈ [ 0, 2π ]) f ( x, y ) = 2 y − x; ⎫ 2 3 ⎪ ⎪ fy = λgy ⇒ 2 = λ ⎬ ∇ f = λ ∇g ⎨ ⎬ g ( x, y ) ≡ y − senx = 0 ⎭ 3 ⎪ g ( x, y ) = 0 ⇒ y − senx = 0 ⎪ y = sen (π / 3) = ⎭ ⎩ 2 ⎛π 3 ⎞ ⎛π 3 ⎞ f alcanza el máximo en ⎜⎜ , ⎟⎟ y su valor es f ⎜⎜ , ⎟⎟ 3 2 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(x 2 + y 2 − 2ax) = 4a2 (x 2 + y2 ) 4. La ecuación implícita cartesiana del Cardioide es . Su expresión en coordenadas polares viene dada por ., a>0 ρ = a (1 + cos θ ) Calcular su longitud teniendo en cuenta la figura. (2 puntos) 2
2 2 ρ (θ ) = a (1 + cos θ ) ⇒ ( ρ (θ ) ) = a 2 (1 + 2 cos θ + cos 2 θ ) ⎫⎪ ( ρ (θ ) ) + ( ρ '(θ ) ) = 2a (1 + cos θ ) ⎬ ⎛θ ⎞ 2 = 4a 2 cos 2 ⎜ ⎟ ρ '(θ ) = −asenθ ⇒ ( ρ '(θ ) ) = a 2 sen 2θ ⎪⎭ 2
2
⎝2⎠
L(γ ) =
θ2
∫
θ1
π
π π θ⎤ 2 2 ⎛θ ⎞ ⎡ 2 2 ⎛θ ⎞ ρ θ ρ θ θ θ ( ) '( ) d 2 4 a cos d 2 2a cos ⎜ ⎟dθ = 8a ⎢ sen ⎥ = 8a + = = ( ) ( ) ⎜ ⎟ ∫ ∫ 2 2 2
⎝ ⎠
0
0
⎝ ⎠
⎣
⎦0
5. La función f ( x , y ) = 2 x + 2 y − 16 ln( x ) : 2
a. b. c. d.
2
Tiene dos puntos críticos: P1(2,0) y P2(‐2,0) Alcanza un mínimo en el punto (2,0) Alcanza un mínimo en el punto (‐2,0) Alcanza un máximo en (2,0) y un mínimo en (‐2,0)
Indicar y razonar cuál es la solución correcta (1,5 puntos) La solución correcta es la b). Se debe tener en cuenta que x>0 para que el ln(x) esté definido
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
SOLUCIONES ESA 1 (1/04/2011) 1.- Trace el dominio para el que la función f: f (x, y) ln( x 2 y4 4) se encuentra definida si f: IR2 IR SOLUCION:
={(x,y)IR2; x 2 y4 4 0 } 2.- Evaluar la existencia de límite en el punto (0,0) IR2 de la función f: x2 y f ( x , y) y SOLUCION: x2 y x 2 kx 2 1 k , no existe límite lim lim 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x 0 y kx k 2 ykx
3.- Considerando la definición de derivada parcial evalúe la existencia de xf y yf en el punto (0,0) IR2 de la función f: yx2 y3 ; ( x, y) (0,0) f ( x , y) x 2 y 2 0; ( x, y) (0,0) SOLUCION: la existencia de xf:
la existencia de yf:
4.- Determinar los valores de z/x y z/y en el punto (1,1,1) para la superficie z(x,y): z3 xy yz y3 2 0 SOLUCION: Sea F(x, y, z) z3 xy yz y3 2 F y x F Luego: y z 3y 2 y F 3z 2 y z z F / x y z 2 (1,1,1) 1 / 4 x F / z 3z y x z F / y x z 3y 2 z (1,1,1) 3 / 4 2 y F / z 3z y y
5.- Determinar la ecuación normal del plano tangente y la ecuación paramétrica de la recta normal a la superficie cos x x 2 y exz yz 4 en el punto (0,1,2) SOLUCION: f (x, y, z) senx 2xy zexz ,x 2 z, xe xz y f (0,1,2) 2,2,1 Plano tangente: 2(x-0)+2(y-1)+1(z-2)=0 2x + 2y + z =4
x 2 t Recta normal: y 1 2 t z 2 t
6.- Determinar y clasificar todos los puntos críticos locales de la función: f (x, y) 6x 2 2x 3 3y2 6xy SOLUCION: 2 x f 12x 6x 6 y 0 Soluciones: (0,0), (1,-1) f ( x, y) 0 y f 6 y 6x 0 Caso (0,0): 2f (0,0) 12 0 2 x mínimo local det H f (0,0) 36 0 Caso (1,-1): 2f (1,1) 0 2 x punto ensilladura det H f (0,0) 36 0 7.- Determinar el punto sobre la recta x + 3y = 10 en el que la función: f (x, y) 6x 2 2x 3 3y2 6xy alcanza su valor máximo. SOLUCION: 10 x 2 y( x ) 10 x 10 x 2 3 f ( x , y ( x )) 6 x 2 x 3 3 6x 3 3 2 3 2 f ( x, y) 6x 2x 3y 6xy 13 40 100 26 40 26 f ( x ) x 2 2x 3 x f ' ( x ) 6x 2 x f ' ' ( x ) 12x 3 3 3 3 3 3 Se resuelve f’(x) = 0: 1 1 x1 (13 889 ), x 2 (13 889 ) 18 18 La función f tiene dos extremos locales sobre la recta en el (x1, (10 x1 ) / 3) y el (x 2 , (10 x 2 ) / 3) , siendo el signo: f ' ' (x1, (10 x1 ) / 3) 0 mínimo local y f ' ' (x 2 , (10 x 2 ) / 3) 0 máximo local 8.- Determine la distancia recorrida por una partícula que describe una trayectoria: r(t ) 6t 3i 2t 3 j 3t 3k desde el instante t = 1 hasta llegar al punto (48,-16,-24) y la velocidad |v| en este punto. SOLUCION: 6t 3 48 Instante sobre (48,-16,-24): 2t 3 16 t 2 3t 3 24
r ( t ) 6t 3i 2t 3 j 3t 3k v( t ) 18t 2i 6t 2 j 9t 2k v( t ) (18t 2 )2 (6t 2 )2 (9t 2 )2 441t 4 21t 2 v(2) 84
2
2
1
1
Longitud recorrida: L v( t ) dt 21t 2dt 49 9.- 10.- Determine el triedro de Frenet-Serret, la curvatura y la torsión de una partícula que describe la trayectoria: r(t ) sen(t )i 2 cos(t ) j sen(t )k para el instante t SOLUCION:
_________________________________________________________________________________________________
Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje 2 Cálculo II. Graduado en Ingeniería. Grupo GTM2 y GTM4. 6 ECTS, 2º Semestre, 1er Curso
24 de mayo de 2011 _________________________________ NOTA: las calificaciones se harán públicas el 1 de junio
1. Calcular ∫∫∫ (4 zx 2 + 4 zy 2 )dxdydz , siendo E el volumen exterior a la hoja superior del cono z2= x2 + y2 e E
interior al cilindro x2+y2 = 1, con z ≥ 0. (2 puntos) _____________________________________ 2. Calcular ∫∫ 6 xydxdy sobre el recinto D acotado por las rectas siguientes: D
x − 2 y = 0 ; x − 2 y = −4 ; x + y = 1 ; x + y = 4 ,
considerando el cambio de variable x =
1 (2u + v) ) e y = 1 (u − v ) que transforma D en el recinto D’. 3 3
(2 puntos)
_____________________________________
3. Hallar el flujo saliente del campo vectorial F ( x, y, z ) = ( x, y,2 z ) a través de la superficie cerrada S que limita el sólido V={(x,y,z)/ 0 ≤ z ≤ 4‐2x2‐2y2}, a) directamente, b) por el teorema de la divergencia (3 puntos) _____________________________________ 4. Hallar la integral curvilínea ∫ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y )dz en la que γ es una parametrización de γ
la curva dada por las ecuaciones x2+4y2=1, z=x2 +y2, a) directamente, b) mediante el T. de Stokes. (3 puntos)
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 1 (El resultado correcto, según el enunciado del ESA 2, va multiplicado por 2; es decir: 2π/3)
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 2 (El resultado correcto, según el enunciado del ESA2, va multiplicado por 2; es decir, 328/9)
3.‐ Calcular
∫∫ 3xydxdy sobre el recinto D acotado por las rectas siguientes D
x − 2 y = 0 ; x − 2 y = −4 ; x + y = 1 ; x + y = 4
considerando el cambio de variable x =
1 (2u + v) ) e y = 1 (u − v ) que transforma D en el recinto D’. (4 3 3
puntos) Solución: A través del cambio de variable el recinto D se convierte en el recinto D’.
x+y=4
x‐2y=‐4
y
v
x‐2y=0 D
u=1
u=4 v=0
x+y=1
x
u D’
v=‐4
∂x ∂ ( x, y ) ∂u El jacobiano de la transformación viene dado por: J (u , v) = = ∂ (u , v) ∂y ∂u Luego,
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (u, v) J (u, v) dudv D
∂x ∂v = 2 / 3 1 / 3 = − 1 ; J (u , v) = 1 ∂y 1 / 3 − 1 / 3 3 3 ∂v
D'
(
)
1 1 ⎡1 ⎤1 f (u , v) J (u , v) dudv = ∫∫ 3⎢ (2u + v ) (u − v )⎥ dudv = ∫ du ∫ 2u 2 − uv − v 2 dv = 3 3 9 ⎦3 D' ⎣ −4 1 4
∫∫ D'
0
1 ⎛ 2 64 ⎞ 164 ⎜ 8u + 8u − ⎟du = ∫ 9 1⎝ 3 ⎠ 9 4
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 3
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________ a)
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 4
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________ Cálculo II.
SOLUCIONES ESA 2 (27/05/2011) 1.- .- El espacio ocupado por el edificio de contención de un reactor nuclear puede aproximarse mediante la región del espacio limitado: lateralmente por la superficie x2 + y2 = 5 superiormente por z2 = 9 – x2 –y2 inferiormente por z = 0 Determinar el volumen del edificio SOLUCION:
2.- Un sólido se encuentra definido en la región del espacio limitada por las superficies: y=0 z=0 z = 4 – x2 x = y2 Su densidad se distribuye según (x,y,z) = kxy, siendo k una constante. a) Calcular la masa del sólido b) Calcular su centro de masa SOLUCION:
3.- Calcular el trabajo realizado por una partícula que se encuentra sometida a un campo de fuerza F = 2xy3i + 4x2y2j, que se desplaza, en sentido contrario a las agujas del reloj, sobre la curva C formada por la frontera de la región situada en el primer cuadrante y encerrada por las curvas y = 0, x = 1, y = x3. SOLUCION:
4.- Determina la circulación del campo F = x2i + 2xj + z2k aplicando el Teorema de Stokes alrededor de la curva 4x2 + y2 = 4 situada en el plano OXY y en la dirección contraria a las agujas del reloj. SOLUCION:
5.- Sea n el vector normal unitario que orienta la superficie 4x2 + y + z2 = 4 con y 0. Sea el campo: 1 1 1 F z i (tan y )j x k 2 x 4z Determinar el valor de:
F·nd S
SOLUCION:
6.- Determinar el flujo saliente del campo: F = (6x2 + 2xy)i + (2y + x2z)j + 4x2y3k a través de la pared del cilindro x2 + y2 = 4 limitada al primer octante y con z 3. SOLUCION:
Soluciones del 1º ESA. Grupo GIE2. Curso 2010-11
SOLUCIONES DEL ESA-1. GRUPO GIE-2 CÁLCULO II GRADUADO EN INGENIERÍA DE LA ENERGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y MÉTODOS INFORMÁTICOS E.T.S.I. MINAS (Universidad Politécnica de Madrid)
Primer ejercicio
3x 3 y 3 , f(x,y) x 2 y 2 0,
si (x,y) (0,0) si (x,y) (0,0)
a) Continuidad de f: En puntos diferentes al (0,0) la función es continua, pues se trata del cociente de dos funciones continuas (pues los polinomios lo son) en que el denominador no se anula para ningún punto. El punto conflictivo será, por lo tanto, el (0,0). Para determinar si la función es o no continua en dicho punto calculamos el límite cuando (x,y)(0,0):
lim
( x,y)(0,0)
f(x,y)
3x3 y3 0 ( x,y)(0,0) x 2 y 2 0 lim
Resolvemos la indeterminación haciendo el cambio a polares:
lim
( x,y)(0,0)
3 (3cos3 sen3 ) 3cos3 sen3 lim 0 0 2 (cos2 sen2 ) 0 cos2 sen2
f(x,y) lim
Dado que
lim
( x,y)(0,0)
f(x,y) 0 f(0,0) la función es f(x,y) es continua también en
(0,0). Así pues, f(x,y) será continua en todo punto de R2. b) Derivadas parciales y direccionales en (0,0): El cálculo de las derivadas parciales en (0,0), dado que en ese punto no tenemos una expresión para la función, lo hacemos aplicando la definición de derivadas parciales: 1
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3h3 03 0 2 2 f f(0 h,0) f(0,0) h 0 (0,0) lim lim lim3 3 h 0 h 0 h 0 x h h 3(0)3 h3 0 2 2 f f(0,0 h) f(0,0) 0 h (0,0) lim lim lim1 1 h 0 h 0 h 0 y h h
Análogamente, para las derivadas direccionales, tendremos: f((0,0) h(u1,u2 )) f(0,0) f(hu1 hu2 ) 0 lim h 0 h h 3u 3 u23 h 12 u1 u22 3u 3 u23 lim 12 h 0 h u1 u22
Du f(0,0) lim h 0
Dado que el vector u es unitario: u12 u22 =1, resultando finalmente:
Du f(0,0) 3u13 u23 c) Derivadas parciales y direccionales en el punto (2,1) en la dirección /4: Las derivadas parciales de f(x,y) para puntos diferentes al (0,0) son:
x 3 x 3 9 xy 2 2 y 3 f (x,y) 2 x x2 y2
y 3 yx 2 y 3 6 x 3 f (x,y) 2 y x2 y2
Particularizamos las dos derivadas en el punto (2,1) resultando:
f 16 f 7 (2,1) ; (2,1) x 5 y 5 En cuanto a las derivadas direccionales, tenemos en cuenta que en puntos distintos al (0,0) las derivadas parciales son continuas (por ser cociente de dos polinomios), por lo que de acuerdo con el teorema de condición necesaria y suficiente para que una función sea diferenciable, la función f(x,y) será diferenciable en puntos diferentes al (0,0), en particular lo será en el punto (2,1). Por ello, podemos aplicar: 2
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Du f(2,1)
f f (2,1)u1 (2,1)u2 x y
siendo:
2 u1 cos 2 4 2 u2 sen 2 4 Por lo tanto: Du f(2,1)
f f (2,1)u1 (2,1)u2 x y
16 2 7 2 5 2 5 2
Operando, resulta: Du f(2,1)
9 2 10
d) Derivada direccional máxima en (2,1): La derivada direccional máxima en un punto es el módulo del vector gradiente en dicho punto: 2
2
2
2
305 f f 16 7 DMAX f(2,1) (2,1) (2,1) 5 x y 5 5
e) Ecuación del plano tangente a f(x,y) en el punto (2,1): La ecuación del plano tangente será:
z 5
f f (2,1)(x 2) (2,1)(y 1) x y
Sustituimos los valores de las derivadas parciales en la expresión anterior:
z 5
16 7 (x 2) (y 1) 5 5
Operando, se obtiene finalmente:
3
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z
16 7 x y 5 5
Segundo ejercicio
f(x,y) x 4 y 4 8x2 8y2 20 a) Extremos relativos: Comenzamos calculando los puntos críticos: f(x,y) x 0 f(x,y) 0 y
El sistema anterior da lugar a: 4x3 16x 0 x(4x 2 16) 0 4y3 16y 0 y(4y 2 16) 0
De la primera de las ecuaciones obtenemos: x=0, x=2, x=-2. De la segunda de las ecuaciones obtenemos: y=0, y=2i, y=-2i. Consideramos únicamente los puntos en el campo real, de manera que los puntos críticos serán: (0,0), (-2,0) y (2,0) Analizamos ahora su carácter empleando la matriz Hessiana:
12x 2 16 0 Hf (x,y) , 2 0 12y 16 y particularizándola en cada punto crítico: 16 0 Hf (0,0) , | Hf (0,0) | 0 , por lo que (0,0) es un punto de silla. 0 16 32 0 Hf (2,0) , | Hf (2,0) | 0 , por lo que (2,0) es un mínimo relativo. 0 16 32 0 Hf ( 2,0) , | Hf ( 2,0) | 0 , por lo que (-2,0) es un mínimo relativo. 0 16 4
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Por lo tanto la función f(x,y) presenta dos extremos relativos (mínimos) en los puntos (-2,0) y (2,0). El valor que toma la función en esos puntos es: f(2,0) 4 ;
f( 2,0) 4
b) Extremos absolutos de f(x,y) en el conjunto D dado por x4+y436 Aplicamos multiplicadores de Lagrange: g(x,y) f(x,y) x x g(x,y) f(x,y) y y 4 4 x y 36
donde g(x,y)=x4 +y4. 4x 3 16x 4 x 3 x 3 4x x 3 x(x 2 x 2 4) 0 3 3 3 3 2 2 4y 16y 4 y y 4y y y(y y 4) 0 4 4 x y 36
Si x=0 entonces y= 6 . Además: f(0, 6) 104 Si y=0 entonces x= 6 . Además: f( 6,0) 8 Si x≠0 e y≠0:
x2 x2 4 0 y2 y2 4 0 Sumamos ahora ambas igualdades resultando:
(1 )(x2 y2 ) 0 donde si 1 se llega a un absurdo: -4=0, 4=0, por lo que 1 y entonces no se obtienen más soluciones. En resumen el valor mínimo absoluto de f en D se alcanza en los puntos (-2,0) y (2,0), siendo el valor mínimo de f en D = 4.
5
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El valor máximo absoluto se alcanza en los puntos f(0, 6) , siendo ese valor =104. Tercer ejercicio Se considera la curva en paramétricas 5 t t t,2sen , 2cos 3 3 3
(t) y el punto P
5 ,0,2 se pide:
a) Comprobar que t es el parámetro arco y calcular la longitud de la curva desde t=0 hasta t=2. Para comprobar que es parámetro arco:
5 2 5 4 t 2 t t t , cos , sen '(t) cos2 sen2 1. 9 9 3 3 3 3 3 3 3
'(t)
Luego, efectivamente t es el parámetro arco. Calculamos ahora la longitud pedida: 2
L
0
2
'(t) dt 1dt 2 0
b) Triedro de Frenet en el punto P Comenzamos calculando el vector tangente a la curva: 5 2 5 2 2 t 2 t t t T(t) '(t) , cos , sen i cos j sen k 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Dado que el módulo del vector tangente es:
T(t)
5 4 1 9 9
el vector que hemos obtenido es unitario. Calculamos ahora el vector normal:
6
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2 2 2 t 2 t t t N(t) T '(t) 0, sen , cos sen j cos k 9 9 9 3 9 3 3 3
cuyo módulo es: N(t)
2 , por lo que el vector unitario normal será: 9 t t N(t) sen j cos k 3 3
Y, por último, el vector binormal:
i B(t) T(t) N(t)
1 5 3 0
j
k
t t 2cos 2sen 3 3 t t sen cos 3 3
2 5 5 t t i cos j sen 3 3 3 3 3
cuyo módulo es: B(t) 1 por lo que el vector obtenido es unitario.
El punto P tiene por expresión paramétrica: t 3 t 2cos 2 3
5 t 5 3 t 2sen 0 3
Por lo tanto, el triedro de Frenet en el punto P será:
T(3 )
5 2 2 5 2 i cos j sen k i cos 3 3 3 3 3
N(3 ) sen j cos k k 7
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B(3 )
2 5 5 2 5 i cos j sen i j 3 3 3 3 3
c) Ecuación del plano osculador en el punto P El plano osculador es el formado por el punto P y los vectores tangente y normal. Así pues, el vector característico de dicho plano será el binormal. La ecuación del plano será, por lo tanto: 2 5 (x 5 ) (y 0) 0(z 2) 0 2x 5y 2 5 3 3
d) Curvatura en el punto P Dado que t es el parámetro arco, podemos emplear la fórmula para la curvatura:
|| ''(t) || Como
'(t)
5 i 3
2 t cos j 3 3 ''(t)
2 t sen k resulta: 3 3 2 t sen j 9 3
2 t cos k 9 3
Finalmente, la curvatura será: || ''(t) ||
8
2 9
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI: Calificación:
CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 4A: Integración Doble FECHA: 28/05/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Halle el área total encerrada por la curva: (
)
(
)(
)
Nota: Se recomienda realizar un dibujo-esquema del área pedida. RESULTADOS
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
Ejemplo 3 (pp. 1024-1025) del Cap. 15 del Libro de Texto Dado que en la curva aparecen términos del tipo
, lo más juicioso es pasarla a polares, obteniéndose:
El área pedida viene dada por: ∫
∫
∫
∫
(
)
[
]
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 2 de 2
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI: Calificación:
CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 4A: Integración Doble FECHA: 28/05/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Hallar, mediante integración doble, el volumen del sólido definido por las superficies:
y el cilindro cuya sección es una circunferencia de radio unidad y cuyo eje es la recta
.
Nota: Se recomienda realizar un dibujo-esquema del dominio de integración y del volumen pedido. RESULTADOS
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
Ejemplo 4 (p. 1025) del Capítulo 15 del Libro de Texto Las superficies que limitan el volumen pedido son el plano
y el cilindro (
, el paraboloide
)
.
El dominio de integración es la proyección sobre el plano del cilindro, es decir el círculo limitado por la circunferencia ) y ( . Dada la geometría del dominio de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la ecuación de la circunferencia queda:
Entonces, el volumen pedido viene dado por: ∬ (
)
∫
∫ [ ]
∫ ∫
(
)
∫
(
∫
(
∫
))
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 2 de 2
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI: Calificación:
CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje 2
Tema 4b: Integrales Triples
FECHA: 28/05/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO
Calcula la integral triple
z dV
siendo E la cuña situada en el primer octante que resulta
E 2
de cortar el cilindro y z 1 por los planos y x y x 0 . 2
RESULTADOS El sólido está limitado en su parte posterior por el plano x = 0 y al frente por el plano y = x. Sea R la proyección sobre el plano xy. Se integra primero sobre z. La integración sobre R se puede hacer primero sobre x y
E ( x, y, z ) / 0 y 1, 0 x y, 0 z 1 y 2
luego sobre y.
z dV
1
0
y
0
1 y 2
0
z dz dx dy
1
0
0
E
z2 2 0
1 y 2
dx dy
1
0
y
0
1 y2 dx dy 2
y 1 1 1 1 1 2 1 y x dy y y 3 dy 0 0 0 2 2 8
También se puede proyectar sobre yz. 1
z dV 0
E
y
0
1 y 2
y
0
E ( x, y, z ) / 0 y 1, 0 z 1 y 2 , 0 x y
z dx dz dy
1
0
0
1 y 2
yz 2 zx 0 dz dy 0 2 0 y
1
1 y 2
dy
1 1 1 y 1 y 2 dy 2 0 8
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 1
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI: Calificación:
CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje 2
Tema 4b: Integrales Triples FECHA: 28/05/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO
Mediante integral triple calcula el volumen del tetraedro acotado por los planos
x 0,
y 0, z 0, 2 x y z 4
RESULTADOS Fórmula:
b
g2 ( x )
a
g1 ( x )
dV E
Volumen
2
0
42 x
0
42 x y
0 42 x
2
0
y2 4 y 2 xy 2 0
u2 ( x , y )
u1 ( x , y )
E ( x, y, z ) ( x, y, z ) / 0 x 2, 0 y 4 2 x, 0 z 4 2 x y
dzdxdy
dzdxdy
2
0
4 2 x
0
4 2 x
z 042 x y dydx 0 0 2
(4 2 x y )dydx 2
2 x3 16 dx 8 8 x 2 x dx 8 x 4 x 2 0 3 0 3 2
2
z 4 2 x y y por encima de
También se hubiese podido calcular como integral doble: Volumen bajo la gráfica de
D ( x, y ) / 0 x 2, 0 y 4 2 x V f ( x, y ) dA V (4 2 x y )dydx
2
0
D
0
D
xA 1 Finalmente de forma geométrica: V yA 6 zA
42 x
xB
xC
yB
yC
zB
zC
42 x
(4 2 x y )dydx
2
0
y2 4 y 2 xy 2 0
dx
16 3
2 0 0 1 32 16 V 0 4 0 6 6 3 0 0 4
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 1
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI: Calificación:
CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 5A: Análisis vectorial FECHA: 28/05/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO:
ENUNCIADO
1.- Dado el campo de fuerzas F ( x, y) y 1,3xy 2 1 3
a) ¿Es F conservativo? Hallar la función potencial U del campo vectorial F (1 punto) b) Hallar el trabajo realizado al mover un objeto desde el punto (0,0) al punto (2,0) a lo largo de la semicircunferencia x 1 y 2 1 con y 0 (1 punto) 2
c) Hallar el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la circunferencia completa (0,5 puntos) RESULTADOS
Solución: a) Al ser F conservativo la integral
F1 F 3 y 2 2 . Luego F es conservativo. Al ser conservativo la integral no y x depende del camino recorrido. Por tanto, se puede calcular la función potencial U a partir de F U F es de clase C1, R2 es estrellado y
U F1 y 3 1 U y 3 1dx xy 3 x h( y ) x h´( y ) 1 h( y ) y C U 2 2 U 2 3 xy h ´( y ) 3 xy 1 F 2 F2 3xy 1 y y Luego, U x, y xy 3 x y C (0,0)
(2,0)
b) Al ser el campo F conservativo el trabajo no dependerá del camino seguido sino únicamente del punto inicial y final.
W F1dx F2 dy C
(2,0)
F1dx F2 dy U 2, 0 U 0, 0 2 0 2
(0,0)
c) Por ser F conservativo, por tratarse de una curva cerrada, el trabajo será nulo.
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de 1
APELLIDOS:
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Calificación: CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje
Tema 5A: Análisis vectorial FECHA: 28/05/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO 1.- Se considera el campo vectorial F ( x, y) (3x y xy 2 , x3 yx 2 y) . Calcular la circulación de F sobre la curva C de la figura, que va del punto (0,0) al punto (2,3), por dos métodos diferentes: (2,5 puntos) 2
RESULTADOS
Solución:
Ahora, considerando que F=grad(U), siendo U la función potencial
U x2 y 2 F1 3x 2 y xy 2 U 3x 2 y xy 2 dx x3 y h( y ) y x 2 h´( y ) y h( y ) C U U 2 F2 x3 yx 2 y x3 x 2 y h´( y ) x 3 yx 2 y F2 y y
W F1dx F2 dy C
(2,3)
(0,0)
F1dx F2 dy U 2,3 U 0, 0
3 2
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de 1
Solución del E.S.A. 2. Cálculo II. Graduado en Ingeniería de la Energía.
26 de mayo de 2011
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y MÉTODOS INFORMÁTICOS TITULACIÓN: Ingeniero de la Energía (Grupo GIE-2) ASIGNATURA: Cálculo II. E.S.A. 2 (26 de mayo de 2011; 12h. 10m.) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio 1 (4 puntos) Consideramos el campo vectorial:
F
xex y i
N(x,y) j
y la curva C formada por dos segmentos rectos y el arco de la elipse de ecuación cartesiana:
x2 a2
y2 b2
1
orientada en sentido anti-horario, que se representa en la figura.
(0,b)
(a,0)
(0,0)
1
Solución del E.S.A. 2. Cálculo II. Graduado en Ingeniería de la Energía.
26 de mayo de 2011
Se pide: a) Obtener N(x,y) de manera que el campo vectorial F sea conservativo. b) Calcular la circulación del campo F , obtenido en el apartado a), desde el punto (a,0) hasta el punto (0,b). c) Evaluar, aplicando el Teorema de Green, la integral
G dr , siendo C
G
2
2
2
x y j.
xy i
Solución: Apartado a) Para que el campo vectorial sea conservativo se debe cumplir:
N(x,y)
x
xex
y
y
xex y .
Por lo tanto:
x
xe x
N(x,y)
N(x,y)
y
(x 1)e x
xe x y dx
N(x,y)
y
g(y)
g(y)
K
Hemos obtenido una familia de funciones N(x,y), dependientes de g(y) y de la constante K. Escogeremos una función concreta de esa familia haciendo, por ejemplo g(y)=0, K=0, resultando que el campo vectorial conervativo tendrá por expresión:
xex
F
y
i
(x 1)ex
y
j
xex y ,(x 1)ex
y
.
Apartado b) Puesto que el campo es conservativo, la circulación entre dos puntos es independiente del camino seguido. Una forma de proceder es obtener la función potencial de la que deriva el campo vectorial y aplicar el teorema fundamental del cálculo. f(x,y)
x y
f(x,y)
xe x
y
f(x,y)
(x 1)e x
f(x,y) y
xex y ,(x 1)ex
F(x,y)
xe x y dx
(x 1)e x
(x 1)e x y dy
(x 1)e x
Por lo tanto, g(y)=h(x)=0 y la función potencial es: 2
y
y
y
g(y)
K
h(x)
K
Solución del E.S.A. 2. Cálculo II. Graduado en Ingeniería de la Energía.
26 de mayo de 2011
(x 1)ex y .
f(x,y)
Así pues, si llamamos a cualquier camino que empiece en (a,0) y termine en (0,b), la circulación del campo vectorial se puede obtener por aplicación directa del teorema fundamental del cálculo:
F dr
f(0,b)
eb
f(a,0)
(a 1)ea .
Apartado c) El campo vectorial dado es de la forma:
G
M(x,y) i
N(x,y) j ,
siendo:
xy2 , N(x,y)
M(x,y)
x2 y2 .
El teorema de Green es:
G dr C
R
N x
M y
2xy 2
2xy dxdy ,
R
siendo R el recinto encerrado por la curva C. Para resolver la integral doble empleamos un cambio de variable a coordenadas elípticas:
x y
a cos t b sent ,
| J | ab con lo que la integral la podremos escribir: /4
1
G dr C
0
2 3 ab2 cos tsen2 t
2 2 abcos tsent
abd dt
0
Operando en la expresión, se obtiene:
G dr C
(8b 15)a2b2 . 60
Ejercicio 2 (6 puntos) Se considera la superficie S definida por la ecuación: z2 Se pide:
x2
y2 .
a) Hallar el área de la superficie S limitada por los planos z=1 y z=2. 3
Solución del E.S.A. 2. Cálculo II. Graduado en Ingeniería de la Energía.
x2
b) Hallar la masa del sólido de densidad f(x,y,z) superficie S y los planos z=1 y z=2.
26 de mayo de 2011
y 2 limitado por la
c) Hallar, utilizando el Teorema de la divergencia, el flujo del campo vectorial F (x2 y,xy,z2 xy) a través de la superficie S limitada por los planos z=1 y z=2. Solución: Apartado a) La superficie del enunciado es un cono de eje vertical, que suponemos cortada por los planos z=1 y z=2, generándose así un tronco de cono.
El área de la superficie se obtendrá resolviendo la integral
A
dA , siendo dA
1 (fx )2
(fy )2 .
S
x2
La función que representa la superficie es: f(x,y)
y 2 cuyas derivadas
parciales serán: fx (x,y)
x x
2
y
2
;
fy (x,y) 4
y x
2
y2
Solución del E.S.A. 2. Cálculo II. Graduado en Ingeniería de la Energía.
26 de mayo de 2011
Por lo tanto, podemos calcular ya el elemento diferencial de área:
dA
x2
1
x2
y2 y2
x2
2(x 2 y 2 ) x2 y2
y2
2.
Para resolver la integral doble podemos hacer un cambio a coordenadas polares, es decir:
x y
r cos rsen
dxdy
,
1 r
2,
0
2
rdrd
Con este cambio el área se expresa como: 2
2
A
2
2rdrd 0
2
1
0
r 2
r2 2
3 2 2
d r 1
2
d 0
Finalmente obtenemos el área buscada:
A
3 2 .
Apartado b) Obtendremos la masa del sólido, , resolviendo la integral triple:
M
x2
f(x,y,z)dxdydz
y 2 dxdydz .
Con el fin de resolver la integral triple podemos realizar un cambio a coordenadas cilíndricas:
x y z
r cos rsen z
dxdydz
,
0
r,
0
2 ,
z
rdrd dz
Por lo tanto, se tendrá: 2
2
z
M 0
1
0
r 2rdrdzd
2 0
2 1
5
z 0
r 3 drdzd
2 0
2 1
z4 dzd 4
Solución del E.S.A. 2. Cálculo II. Graduado en Ingeniería de la Energía.
1 4
2
z5 d 5 1
2 0
26 de mayo de 2011
31 2 . 20
La masa resultante es:
31 . 10
M
Nota: Alternativamente, se podría haber resuelto la suma de las integrales:
31 , 10 donde la primera de las integrales representa la masa correspondiente al cilindro de radio mientras que la segunda es la masa correspondiente al resto del sólido. 2
1
2
M
0
0
2
r 3 dzdrd
1
0
2
1
2
r 3 dzdrd
r
Apartado c) El teorema de la divergencia (o de Ostrogradski-Gauss) relaciona la integral triple de la divergencia de una función vectorial con el flujo de dicha función a través de la superficie orientada que encierra el volumen en el que se calcula la integral triple:
divFdxdydz V
F nds , S
donde n es el vector normal a la superficie. Para el campo vectorial del
x2 y i
enunciado: F
z2 xyk su divergencia será:
xyj (x 2 y)
divF
(z 2 xy)
(xy)
2xy x y y Por lo tanto, tendremos que resolver la integral triple:
(2xy
x
x
2zxy .
2zxy)dxdydz .
V
Podemos realizar un cambio a coordenadas cilíndricas (ver apartado b) de este ejercicio). Los límites de integración serán, en este caso, los mismos que los del apartado anterior. Por tanto, se obtiene: 2 0
2 1
z
(2r 2 cos sen
r cos
0
6
2zr 2 cos sen )rdrdzd
0.
APELLIDOS:
NOMBRE: DNI: GRUPO: Calificación:
EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria
Tema 1: Cálculo Diferencial en Varias Variables
FECHA: 10/06/11
TIEMPO RECOMENDADO: 30 Minutos
Puntuación / Total: 1,5 / 10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: ENUNCIADO
Nº
PUNTUACIÓN
RESULTADO
1,5 Puntos
Dada la función f(x,y) = xy+y2, ¿en qué direcciones habrá que desplazarse desde el punto (3,2) para que no cambie la función?
1
El espacio siguiente es para que desarrolle en éste los cálculos correspondientes EJERCICIO 1 Ͳ SOLUCION
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Página 1 de 1
Ejercicio 2: Se desea construir un cilindro de volumen 1000 dm3. Las tapas superior e inferior del cilindro están realizadas con un metal que cuesta 20 euros el dm2 mientras que la superficie lateral está realizada con un material cerámico que cuesta 25 euros el dm2. Se pide determinar las dimensiones del cilindro de manera que el coste de fabricación sea mínimo.
Solución: La función objetivo es el coste de fabricación: C(x)=20.Área de las tapas + 25.Área lateral. Dichas áreas son: Área de cada tapa: πR2 Área lateral: 2πRh Siendo R el radio del cilindro y h la altura del mismo. La función a minimizar será pues: C(R,h) = 20 ⋅ 2 ⋅ πR2 + 25 ⋅ 2πRh = 40πR2 + 50πRh . La restricción que tenemos es el volumen del cilindro, que debe ser: 1000dm3, es decir: V(R,h) = πR2h − 1000 . Una forma de proceder es aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello, imponemos la condición: ∇C(R,h)=λ∇V(R,h) junto con la restricción dada, llegando al sistema de ecuaciones: ∂C(R,h) ∂V(R,h) =λ ∂R ∂R 80πR + 50πh = λ 2πRh ∂C(R,h) ∂V(R,h) 2 =λ 50πR = λπR ⇒ . ∂h ∂h πR2h = 1000 V(R,h) = πR2h − 1000 De la segunda de las ecuaciones obtenemos:
λ=
50 . R
Podemos introducir este valor en la primera ecuación para obtener la relación entre la altura y el radio del cilindro: h=
8 R. 5
Empleando ahora la restricción:
πR2h = 1000 ⇒ πR2
8 5000 5 R = 1000 ⇒ R = 3 = 53 . π 5 8π
Una vez obtenido el radio se puede obtener inmediatamente la altura, pues sabemos que: h=
8 R, 5
resultando finalmente que el cilindro cuyo coste de fabricación sea mínimo, con la restricción dada para el volumen, tendrá por dimensiones:
h = 83
5 ≈ 9 '34dm , π
R= 5 3
5 ≈ 5 '84dm π
Aunque no se pedía en el enunciado, podemos calcular finalmente el coste del cilindro: C = 40πR2 + 50πRh =12.847’48 €
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO: Calificación:
EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Extraordinaria
Tema 4: Cálculo integral en varias variables FECHA: 12/07/11
TIEMPO RECOMENDADO: 1 Hora
Puntuación / Total: 3,5 / 10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº
ENUNCIADO
PUNTUACIÓN
RESULTADO
Sea D la región delimitada por las curvas C1, C2, C3 y C4: C1 ≡ y = x 2 , C 2 ≡ y = 3 − x , C3 ≡ y = 1 y C 4 ≡ y = 0 Calcular: 1 a)
∫∫ (x
+ y dxdy (1 punto)
2
+ y 2 dydx (1 punto)
D
b)
∫∫ (x
2
2 Puntos
)
2
)
D
2
Hallar el volumen del sólido Q, exterior al hiperboloide x 2 + y 2 − z 2 = 1 e interior al cilindro x 2 + y 2 = 4 .
1,5 Puntos
¡¡ BUEN TRABAJO !! Los espacios siguientes son para que desarrolle en ellos los cálculos correspondientes
EJERCICIO 1
x3 = ∫ + y 2 x 0 3 1
3− y
y
1 y (3 − y ) 3 dy = ∫ + 3y 2 − y 3 − y − y 2 y dy = 3 3 0 1
(3 − y ) y4 2 5/2 2 7/2 16 1 2 2 81 + y3 − − y − y = − +1− − − + = − = 3 4 15 7 12 4 15 7 12 0 1207 = 210 4
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Pons
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO:
EJERCICIO 2 En cilíndricas (r, θ, z):
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Pons
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO: Calificación:
EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria
Tema 5: Cálculo Vectorial FECHA: 12/07/11
TIEMPO RECOMENDADO: 1 Hora
Puntuación/TOTAL: 3,5/10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº
ENUNCIADO
RESULTADO
PUNTUACIÓN
El morro de un transbordador espacial tiene forma de paraboloide, y debe recubrirse de plaquetas térmicas que protejan la nave de las altas temperaturas que se producen cuando ésta ingresa en la atmósfera procedente del espacio exterior. Se propone un ejercicio destinado a poder calcular la superficie de plaquetas térmicas necesarias para recubrir el morro.
1,5 Puntos
1
ܣൌ
ߨ ቀ ͷඥ ͷ െ ͳቁ
Calcule el área del trozo del paraboloide ݕൌ ͳ െ ሺ ݔଶ ݖଶ ሻ limitado por su intersección con el cono ݕ ͳ ൌ ξ ݔଶ ݖଶ .
2
Calcule el flujo normal exterior del rotacional del campo vectorial ܨԦ ൌ ݖሺ ݕ ͳሻ ଓԦ ሬԦ que atraviesa, en el sentido de las Dzݕdz positivas, el trozo del ሺ ݕ ͳሻ ଔԦ ݇ ݖ paraboloide ݕൌ ͳ െ ሺ ݔଶ ݖଶ ሻ limitado por su intersección con el cono ݕ ͳ ൌ ξ ݔଶ ݖଶ .
2 Puntos
ሬሬሬሬሬሬԦ ܨԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ൌ ߨ ඵ ݐݎ ௌ
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
APELLIDOS:
NOMBRE:
EJERCICIO 1:
Z 1
DNI:
S 1
-1
X
GRUPO:
Y
D
El área del trozo de paraboloide ܵ se obtiene mediante:
ܣൌ ඵ ݀ߪ ௌ
Utilizando la ecuación implícita del paraboloide:
ܨሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌ ݔଶ ݖଶ ݕെ ͳ ൌ Ͳ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܨൌ ʹ ݔଓԦ ଔԦ ʹ݇ ݖ ሬԦ y: se tendrá ݃݀ܽݎ
݀ߪ ൌ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܨห ห݃݀ܽݎ ξͶ ݔଶ Ͷ ݖଶ ͳ ݀ ݖ݀ ݔൌ ݀ݖ݀ ݔ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܨή ଔԦห ͳ ห݃݀ܽݎ
Por tanto, la integral sobre la superficie ܵ se reduce a una integral sobre el círculo ܦൌ ሼ ݔଶ ݖଶ ͳǡ ݕൌ Ͳሽ: ܣൌ ඵ ݀ߪ ൌ ඵ ඥͶ ݔଶ Ͷ ݖଶ ͳ ݀ ݖ݀ ݔൌ න ௌ
ଶగ
ଵ
න ඥͶ ݎଶ ͳ ߠ݀ ݎ݀ ݎൌ
donde se han utilizado las coordenadas polares definidas por ݔൌ ߠ ݎǡ ݖൌ ߠ ݊݁ݏ ݎ.
EJERCICIO 2:
Z 1
S 1
-1
X
D
El flujo del rotacional que atraviesa el paraboloide ܵ es:
ߨ ൫ͷξͷ െ ͳ൯
Y
݊ሬԦ
ሬԦ ܨ ݐݎԦ ൌ ሺ ݕ ͳሻ ଔԦ െ ݇ ݖ ܨ ݐݎԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ con ሬሬሬሬሬሬԦ ௌ ሬሬሬሬሬሬԦ
por lo que basta calcular dicha integral de superficie. En lugar de ello, resulta más fácil aplicar el teorema de Stokes dos veces y calcular una integral doble sobre el círculo ܦൌ ሼ ݔଶ ݖଶ ͳǡ ݕൌ Ͳሽ cuya frontera es la circunferencia ܥൌ ሼ ݔଶ ݖଶ ൌ ͳǡ ݕൌ Ͳሽ: ሬሬሬሬሬሬԦ ܨԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ൌ ර ܨԦ ή ݀ݎԦ ൌ ඵ ሬሬሬሬሬሬԦ ܨ ݐݎԦ ή ଔԦ ݀ ݖ݀ ݔൌ ඵ ݀ ݖ݀ ݔൌ ܽ݁ݎܣሺܦሻ ൌ ߨ ඵ ݐݎ ௌ
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 2 de 2
APEELLIDOS:
NOMBRE: DNI: GRUPO: Calificació ón: EXAM MEN de CÁLCULO II. Convoocatoria Ord dinaria
Tema 1: C Cálculo Diiferencial en Varias Variabless
FECHA: 10/06 F 6/11
TIEMPO REECOMENDAD DO: 30 Minuttos
Puntuación / Total: 1,5 / 10
ENUNCIADOS Y RESSPUESTASS A LOS EJJERCICIOSS: ENUNCIADO E O
Nº
PUNTUACIÓN N
RESULTTADO
1,5 Puntoss
n el punto (S,S S,S) referido aal sistema OXYYZ, para la fun nción que Determinar ggrad z(x,y), en verifica: sen(x+y) + + sen(y+z)+senn(x+z) = 0
1
SOLUCION
____ ________________________________ ______________________ ___________ ___________ ___________ _______________ Cálcculo II. Gradu uado en Ingeniería Página 1 de 1
Ejercicio 1. Se considera la curva r(t) = e t cos(t) i + et sen(t) j + 2e t k que pasa por el punto P( −eπ ,0, 2e π ) . Se pide: a) b) c) d) e)
Razonar si t es el parámetro arco para la curva dada. Obtener la longitud de la curva entre t=1 y t=2. Obtener el triedro de Frenet en el punto P. Obtener la curvatura en el punto P. Obtener las ecuaciones cartesianas de los planos normal y osculador.
Solución: Apartado a)
Para que t sea el parámetro arco se debe cumplir que || r '(t) ||=1. r '(t) = e t (cos(t) − sen(t)) i + et (sen(t) + cos(t)) j + 2et k ⇒ ⇒|| r '(t) ||= e2t ((cos(t) − sen(t))2 + (sen(t) + cos(t))2 ) = 2e t ≠ 1 Por lo tanto, t no es el parámetro arco. Apartado b) La longitud de la curva entre t=1 y t=2 es: 2 2 L(t) = ∫ || r '(t) ||dt = ∫ | 2e t dt = 2(e2 − e) 1
1
Apartado c) El triedro de Frenet es el formado por los vectores unitarios tangente, normal y binormal. Vector unitario tangente:
T(t) =
cos t − sent cos t + sent 2 r '(t) = , , || r '(t) || 2 2 2
Particularizamos en el punto P, cuya expresión paramétrica es t=π: 1 1 2 T( π) = − , − , 2 2 2 Vector unitario normal:
T '(t) 2 N(t) = = ( −sent − cos t,cos t − sent,0 ) 2 || T '(t) || Particularizamos en el punto P, cuya expresión paramétrica es t=π: 2 2 N( π) = ,− ,0 2 2 Vector binormal:
i 1 B( π) = T( π) × N( π) = − 2 2 2
j
k
1 2
2 1 1 2 = i+ j+ k 2 2 2 2
2 2
0
− −
Apartado d) Para obtener la curvatura aplicamos la fórmula:
|| T '(t) || 2 −t κ(t) = = e || r '(t) || 4 Particularizamos en el punto P, cuya expresión paramétrica es t=π: κ( π) =
2 −π e 4
Apartado e) Plano normal: El plano normal es el que contiene a los vectores normal y binormal. El vector normal a dicho plano es el tangente, así pues la ecuación cartesiana del plano normal será: 1 1 2 − (x + e π ) − y + (z − 2eπ ) = 0 . 2 2 2 Operando en esta expresión obtenemos: x + y − z 2 = 3e π
Plano osculador:
El plano osculador es el que contiene a los vectores tangente y normal. El vector normal a dicho plano es el binormal, así pues la ecuación cartesiana del plano normal será: 1 1 2 (x + eπ ) + y + (z − 2e π ) = 0 . 2 2 2 Operando en esta expresión obtenemos: x+y+z 2 =
1 π e 2
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO: Calificación:
EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria
Tema 4: Cálculo integral en varias variables FECHA: 10/06/11
TIEMPO RECOMENDADO: 1 Hora
Puntuación / Total: 3,5 / 10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº
ENUNCIADO
PUNTUACIÓN
RESULTADO
Sea D la región delimitada por las curvas C1, C2 y C3, en la que 0≤y≤20: C1 ≡ y = 16 x + 20 , C 2 ≡ y = −2 x + 20 y C3 ≡ y = 4x 2 Calcular: 1
2 Puntos a)
Área de D a partir de:
∫∫ dxdy
(1 punto)
D
b) Área de D a partir de:
∫∫ dydx
(1 punto)
D
2
Considérese el sólido Q limitado por las superficies z 2 = x 2 + y 2 y el plano z = 1 . a) Calcular la masa de Q sabiendo que su densidad viene dada por ρ = 2 z (1 punto) b) Calcular el volumen de Q (0,5 puntos)
1,5 Puntos
¡¡ BUEN TRABAJO !! Los espacios siguientes son para que desarrolle en ellos los cálculos correspondientes EJERCICIO 1 a) proyectando sobre el eje y
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Pons
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO:
b) proyectando sobre el eje x
Nota: en este ejercicio 1, además de esta solución, también se han considerado y valorado otras soluciones posibles con el enunciado del examen. EJERCICIO 2 a) en coordenadas rectangulares,
pasando a coordenadas cilíndricas,
b)
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Pons
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO: Calificación:
EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria
Tema 5: Cálculo Vectorial FECHA: 10/06/11
TIEMPO RECOMENDADO: 1 Hora
Puntuación / Total: 3,5 / 10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº
ENUNCIADO
PUNTUACIÓN
RESULTADO
1,5 Puntos
Ͷߨܴଶ
2 Puntos
0
Deduzca, mediante Cálculo Integral, el área de un tanque de combustible esférico de radio ܴ como los utilizados para el almacenamiento industrial de gas natural. 1
Calcule el flujo normal exterior del rotacional del campo vectorial ܨԦ ൌ ݖሺ ݕ ͳሻ ଓԦ ሬԦ que atraviesa la frontera del dominio definido por el paraboloide ሺ ݕ ͳሻ ଔԦ ݇ ݖ ଶ ݕൌ ͳ െ ሺ ݔ ݖଶ ሻ y el cono ݕ ͳ ൌ ξ ݔଶ ݖଶ .
2
Aplicación para curiosos: Una de las Ecuaciones de Maxwell que gobiernan los campos electromagnéticos es la Ley de Maxwell-Faraday que se escribe: ሬԦ ߲ܤ ߲ ሬሬሬሬԦ ൌ െ ඵ ܤ ሬԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ሬሬሬሬሬሬԦ ܧ ݐݎሬԦ ൌ ሬͲԦǡ ܾ݊݁݅ ර ܧሬԦ ή ݀ݎ ߲ݐ ߲ ݐௌ డௌ ሬԦ produce sobre un y describe que la variación de un campo de inducción magnética ܤ circuito cerrado una corriente eléctrica correspondiente al campo eléctrico ܧሬԦ y, por tanto, constituye el fundamento de la producción de electricidad mediante alternadores.
El ejercicio da una respuesta al problema de calcular cual es la variación temporal del flujo total del campo de inducción magnética que atraviesa una superficie ܵ cerrada cualquiera: ߲ ሬԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ൌ െ ݐݎ ሬሬሬሬሬሬԦ ܧሬԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ܤ ߲ ݐௌ ௌ
¡¡ BUEN TRABAJO !!
Los espacios siguientes son para que desarrolle en ellos los cálculos correspondientes _______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
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EJERCICIO 1: Situamos el centro de la esfera en el origen de coordenadas, de forma que su ecuación implícita en cartesianas es ݂ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌ ݔଶ ݕଶ ݖଶ െ ܴଶ . Su área vendrá dada por:
Z
ܵ
X
ܴ
ܣൌ ͺ ඵ ݀ߪ
Como, en implícitas, ݀ߪ ൌ
Y
ܦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦห หௗ ݀ݕ݀ ݔ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦή ሬԦ ห หௗ
ܣൌ ͺ ඵ ݀ߪ ൌ ͺ ܴ ඵ ௌ
ௌ
ൌ
ଶ ඥ௫ మ ା௬ మ ା௭ మ ଶ ௭
ͳ
ൌ
ඥܴଶ െ ሺ ݔଶ ݕଶ ሻ
ோ
ඥோ మ ିሺ௫ మ ା௬ మ ሻ
, resulta:
݀ݕ݀ ݔ
integral planteada sobre el cuarto de circunferencia ܦൌ ሼ ݔଶ ݕଶ ܴଶ ǡ ݔ Ͳǡ ݕ Ͳሽ por lo que se hace el cambio a polares: ܣൌ ͺ ܴ න
గൗ ଶ
ோ
න ሺܴଶ െ ݎଶ ሻିଵȀଶ ߠ݀ ݎ݀ ݎൌ Ͷ ߨ ܴଶ
También se puede resolver el problema en paramétricas, parametrizando la esfera con coordenadas esféricas, en las que su ecuación es ߩ ൌ ܴ. Esta es la solución adoptada en el Ejemplo 10 del Capítulo 16 del Libro de Texto (pp. 1076-1077). Otra posibilidad es trabajar en explícitas, para las que la esfera se escribe ݖൌ ඥܴ ଶ െ ሺ ݔଶ ݕଶ ሻ y aplicar la versión (9) (p. 1077) del Capítulo 16 del Libro de Texto, de nuevo con idéntico resultado. Otra posibilidad más consiste en calcular A como área de revolución. Para ello, se considera, para ݖൌ Ͳ, la circunferencia ݕൌ ݂ሺݔሻ ൌ ξܴ ଶ െ ݔଶ que hacemos girar alrededor del eje 0X para obtener la esfera. En tal caso, se tendrá (p. 1078 del Capítulo 16 del Libro de Texto): ோ
ଶ
ܣൌ ʹ ሺʹߨሻ න ݂ሺݔሻ ටͳ ൫݂ ᇱ ሺݔሻ൯ ݀ ݔൌ Ͷߨܴ ଶ
EJERCICIO 2
Z
-1
1
݊ሬԦ
1
Y
ܸ: Volumen interior al paraboloide y el cono
߲ܸ: Superficie cerrada formada por el paraboloide y el cono
݊ሬԦ
X
El Teorema de Gauss (de la divergencia) establece que para todo campo vectorial regular (de clase ܥଵ ) ߶ሬԦ sobre un dominio ܸ אԹଷ acotado y limitado por una superficie cerrada ߲ܸ regular (con normal unitaria exterior ݊ሬԦ en casi todo punto), se verifica:
Tomando ߶ሬԦ ൌ ሬሬሬሬሬሬԦ ܨ ݐݎԦ , se tendrá:
߶ሬԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ൌ ම ݀݅߶ ݒሬԦ ܸ݀ డ
ሬሬሬሬሬሬԦ ܨԦ ൯ ܸ݀ ൌ Ͳ ሬሬሬሬሬሬԦ ܨ ݐݎԦ ή ݊ሬԦ ݀ߪ ൌ ම ݀݅ݒ൫ݐݎ డ
ሬሬሬሬሬሬԦ ܨԦ ൯ ൌ Ͳ para todos los campos ܨԦ de clase ܥଶ . ya que ݀݅ݒ൫ݐݎ
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CÁLCULO II. Ejercicio de Examen Final
Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización
FECHA: 12/06/12
TIEMPO RECOMENDADO: 40 m
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO x3 y3 Se considera la función real de variables reales f ( x, y ) x 2 y 2 0
si ( x, y ) (0,0) si ( x, y ) (0,0)
1. Estudiar su continuidad. 2. Calcular las derivadas parciales en un punto genérico ( x, y ) y en particular en el punto (0,0) . Obtener f (0,0) . 3. Estudiar la diferenciabilidad de la función f ( x, y ) . En particular analizar si es diferenciable en el punto (0,0) 4. Calcular la derivada direccional Du f (0,0) , siendo u cos i sen j un vector unitario. Calcular también Dv f (1,1) siendo v i j . 5. Dado el punto P(1,1,1) de la gráfica de f ( x, y ) , hallar utilizando técnicas de optimización la mínima distancia de dicho punto al plano 2 x 2 y z 1 . Comprobar que se trata de un mínimo absoluto. NOTA: Los apartados 1, 2, 3 y 4 valen en conjunto 1,5 puntos. El apartado 5 vale 1 punto. Sólo puntúan los resultados que vayan acompañados de justificaciones teóricas. RESULTADOS 1. CONTINUIDAD La función f ( x, y ) es continua ( x, y ) (0,0) . Ya que se trata del cociente de 2 funciones continuas. Estudiemos la continuidad en el punto (0,0)
3 cos3 sen 3 x3 y3 lim lim cos3 sen 3 0 ( x , y ) (0,0) x 2 y 2 0 2 cos2 sen 2 0 lim
Acotado
La función es continua en (0,0). 2. DERIVADAS PARCIALES 3x 2 x 2 y 2 2 x x 3 y 3 x 4 3x 2 y 2 2 xy 3 f x ( x, y ) 2 2 x2 y 2 x2 y 2
f y ( x, y )
3 y 2 x 2 y 2 2 y x3 y 3
x
2
y2
2
y 4 3x 2 y 2 2 yx3
x
2
y2
2
h3 0 2 f (h,0) f (0,0) h f x (0,0) lim lim 1 h 0 h 0 h h f (0,0) i j 3 k 0 2 f (0, k ) f (0,0) k f y (0,0) lim lim 1 k 0 k 0 k k
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3. DIFERENCIABILIDAD La función f ( x, y ) es diferenciable ( x, y ) (0,0) ya que se trata del cociente dos funciones diferenciables. La función aunque es continua en (0,0) pero las derivadas parciales en (0,0) no lo son por lo que no se verifica la condición suficiente de diferenciabilidad, por tanto hay que utilizar el criterio que da la condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad.
lim
f ( x, y) f (0, 0) f x (0, 0) ( x 0) f y (0, 0) ( y 0)
( x , y ) (0,0)
lim
x2 y 2 f ( x, y ) f (0,0) f x (0,0) ( x 0) f y (0,0) ( y 0) x2 y2
( x , y ) (0,0)
lim
( x , y ) (0,0)
xy 2 yx 2
x
2
y
2 3/ 2
lim
3 cos sen2 sen cos 2
0
3
0
lim
x3 y3 x y x2 y2
( x , y ) (0,0)
x2 y2
cos sen2 sen cos 2
Como el límite no es 0 la función no es diferenciable en (0,0) . 4. DERIVADA DIRECCIONAL Al no ser diferenciable f ( x, y ) en (0,0) para calcular Du f (0,0) se debe hacer, de acuerdo con la definición, mediante límite.
Du f (0,0) lim 0
f ( cos , sen ) f (0,0)
3 cos3 sen 3 2
lim 0
cos3 sen 3
Sin embargo f ( x, y ) es diferenciable en (1,1) por lo que se puede usar Dv f (1,1) f (1,1)
v v
1 1 v 1 1 1 1 1 f (1,1) f x (1,1)i f y (1,1) j i j; Dv f (1,1) f (1,1) i j i j 2 2 v 2 2 2 2 2 5. DISTANCIA Si no se exigiese realizar el problema mediante técnicas de optimización resultaría Ax0 By0 Cz0 D 2 1 2 1 1 1 1 4 d ( P, ) 3 A2 B 2 C 2 22 22 12 Mediante optimización se exige que sea mínima la distancia de un punto genérico ( x, y, z) al punto P(1,1,1)
d ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 Al sustituir la z del plano: z 1 2 x 2 y y teniendo en cuenta que la raíz es una función creciente que tiene los mismos extremos que el radicando se obtiene como función a optimizar: h( x, y ) d 2 ( x 1)2 ( y 1)2 1 2 x 2 y 1 ( x 1)2 ( y 1) 2 4 x y 2
2
hx 2( x 1) 8( x y) 0 1 10 x 8 y 2 Punto crítico: x y hy 2( y 1) 8( x y) 0 8 x 10 y 2 9 Se comprueba que es un mínimo relativo mediante el test de las derivadas segundas hxx 10 1 1 10 8 36 0 ; hxx 10 0 MÍNIMO RELATIVO hxy 8 H , 9 9 8 10 hyy 10 Intuitivamente se observa que el mínimo relativo debe ser un mínimo absoluto ya que debe haber un punto en el plano que esté más cerca del punto P(1,1,1) de la superficie. 1 x 9 5 Sustituyendo en z f ( x, y ) se obtiene z 9 y 1 9
1 1 5 Q , , 9 9 9
2
2
2
4 1 1 5 d 1 1 1 3 9 9 9
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Calificación: CÁLCULO II. Final convocatoria ordinaria de Junio
Tema 3: Funciones vectoriales
FECHA: 12/06/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Una partícula se mueve a lo largo de una curva γ(t)=r(t) definida por: γ : R + → R3 ⎛ 2 ⎞ t → γ (t ) = ⎜ t 2 , t 3 , t ⎟ ⎝ 3 ⎠ Para el instante t=1, determinar: a) Su velocidad, rapidez y aceleración (0,5 puntos) b) Los vectores tangente, normal y binormal a la trayectoria en ese instante (1 punto) c) La curvatura y la torsión de la curva en ese punto (1 punto) RESULTADOS
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O bien, T ´(t ) T ´(1) ( −6,12, −12 ) ⎛ −1 2 −2 ⎞ ⇒ N (1) = = = ⎜ , , ⎟ , ya que: N (t ) = T '(t ) T '(1) 324 ⎝ 3 3 3 ⎠ 3 2 ⎛ t ( 8t + 16t ) t ( 8t + 16t 3 ) 8t + 16t 3 ) ⎞ ( 2 ⎜ 2 ( 2t 2 + 1) − ⎟ − 4t ( 2t + 1) − 2 2 2 ⎜ + + + ⎟ t t t 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) T ´(t ) = ⎜ , , ⎟= 2 2 2 ⎜ ( 2t 2 + 1) ( 2t 2 + 1) ( 2t 2 + 1) ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −4t − 8t 3 ⎟ 2 − 8t 4 4t + 8t 3 =⎜ , , 3 3 3 ⎜ 2t 2 + 1 2t 2 + 1) ( 2t 2 + 1) ⎟⎠ ( ) ( ⎝ 64t 8 + 128t 6 + 96t 4 + 32t 2 + 4 T '(t ) = 3 ( 2t 2 + 1) ⎛ −2 1 2 ⎞ B (t ) = T (t ) xN (t ) = ⎜ , , ⎟ ⎝ 3 3 3⎠
O bien,
k (t ) =
τ (t ) =
T ´(t ) r´(t )
⇒ k (1) =
r´(t )·( r´´(t ) × r´´´(t ) ) r´(t ) × r´´(t )
2
T ´(1) r´(1)
=
18 / 33 2 = 3 9
⇒ τ (1) =
8 2 = 36 9
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
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CÁLCULO II. Examen Final Convocatoria Ordinaria
Tema 4: Integración Múltiple FECHA: 12/06/12
TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora
Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Hállese el momento de inercia de un disco homogéneo de radio unidad con respecto a un eje perpendicular a él y pasando por su circunferencia. Nota: Se recomienda tomar el eje en el origen de coordenadas, pero no es absolutamente necesario hacerlo así. RESULTADOS
¡¡ BUEN TRABAJO !! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
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Ejemplos 4 (p.1025) y (p. 1031) del Capítulo 15 del Libro de Texto Se toma como eje de giro el situado en el origen de coordenadas y perpendicular al plano Entonces, el momento de inercia con respecto a este eje de giro es: ∬ Donde
(
(
)
(
donde se sitúa el disco (eje ).
)
) es la densidad en cada punto (constante al ser el disco homogéneo) y: (
es el cuadrado de la distancia del punto de coordenadas (
) ) al eje situado en el origen.
) El dominio plano de integración es el círculo limitado por la circunferencia ( . Dada la geometría del dominio de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la ecuación de la circunferencia queda:
Entonces, el momento de inercia pedido viene dado por: ∬ (
)
∫
∫ [ ]
∫ ∫
(
)
∫
(
∫
(
∫
))
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EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria
Tema 5: Cálculo Vectorial FECHA: 12/06/12
TIEMPO RECOMENDADO: 30 Minutos
Puntuación / Total: 2.5 / 10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº
ENUNCIADO
PUNTUACIÓN
RESULTADO
Calcule de dos formas distintas el trabajo que realiza una partícula sometida al campo de fuerzas: F(x,y,z) = (y-z)i+(z-x)j+(x-y)k 4
2,5 Puntos cuando da una vuelta sobre la trayectoria descrita por la intersección de las superficies: 2
2
x +4y =1 2 2 z=x +y
SOLUCION
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