Variaciones líneales

APRENDIZAJE ESPERADO Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.

2° SECUNDARIA

BLOQUE V

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

TEMA: PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

Elaborado por: Daniela Sánchez Manjarrez

VARIACIONES LÍNEALES ¿Cuándo una relación entre dos variables es una variación lineal?

Dos variables están relacionadas por una variación lineal si su gráfica es una línea recta que no parte del punto (0 , 0) , es decir el punto de partida de una relación que es una variación lineal es el punto (0 , b).

Si (y) es la variable dependiente y (x) la variable independiente entonces (y) y (x) están relacionadas con una variación lineal si se cumple que y = mx + b dónde “m” representa la constante de variación lineal que en geometría analítica es conocida como la pendiente de la recta y (b) representa la ordenada desde la que parte la recta.

Debemos decir que como la variación lineal es gráficamente una línea recta la constante m se calcula con una fórmula similar a esta:

Donde P1 (y1, x1) representa un punto de los datos y P2 (y2, x2) representa otro punto de los datos que se analizan.

VARIACIONES LÍNEALES En el magnífico escenario de la ciencia física existen variados ejemplos que aplican el concepto de la variación lineal como es la velocidad final de un objeto en función del tiempo que tiene una aceleración constante cuando este objeto parte desde un punto con una velocidad inicial diferente de cero (v0) .

Donde la constante m = a y b = v0

Otro ejemplo es cuándo un resorte se pone en posición vertical y se le aplica un estiramiento, la fuerza neta que actúa sobre el resorte es la suma de la fuerza restauradora del resorte y el peso de un objeto de masa m conectado a el resorte.

La constante m = -k y la constante b = mg

VARIACIONES LÍNEALES

Gráfica de una relación que representa una variación lineal La gráfica que representa una variación lineal es una línea recta que parte del punto ( 0 , b)

Ejemplos I) Dados los datos de la tabla halle. a) La constante m y la constante b b) La ecuación matemática de estos datos c) La gráfica v(m/s) 1m/s 3m/s 5m/s 7m/s t(s)

0s

1s

2s

3s

VARIACIONES LÍNEALES

PENDIENTE a) Para investigar cuál es la constante m aplicamos la fórmula que se utiliza para obtener la pendiente de una recta y sustituimos dos puntos cualesquiera de la tabla de datos en la fórmula.

La constante m es igual a 2m/s2 La constante b es muy fácil de averiguar ya que (b) es el valor cuando la variable independiente (t) es cero entonces la constante b es 1m/s b) Después que conocemos la constante m y la constante b es bien sencillo obtener la ecuación matemática sustituyendo esos valores en la fórmula modelo de una variación lineal y = mx + b si sustituimos (y) por (v) y (x) por (t) m por 2m/s2 y b por 1m/s la ecuación matemática será.

VARIACIONES LÍNEALES v = (2m/s2)·t + (1m/s)

c) La gráfica es entonces

II) Dados los datos de la tabla halle. a) La constante m y la constante b b) La ecuación matemática de estos datos c) La gráfica F(N)

6N

4N

2N

0N

x(m)

0m

1m

2m

3m

PENDIENTE a) Una vez más para investigar cuál es la constante m aplicamos la fórmula que se utiliza para obtener la pendiente de una recta y sustituimos dos puntos cualesquiera de la tabla de datos en la fórmula.

VARIACIONES LÍNEALES

La constante m es igual a -2N/m La constante b es muy fácil de averiguar ya que (b) es el valor cuando la variable independiente (x) es cero entonces la constante b es 6N b) Después que conocemos la constante m y la constante b es muy fácil obtener la ecuación matemática sustituyendo esos valores en la fórmula modelo de una variación lineal y = mx + b si sustituimos (y) por (F) y m por -2N/m y b por 6N la ecuación matemática será.

F = (-2N/m)·x + (6N) c) La gráfica es

PENDIENTE La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de

VARIACIONES LÍNEALES

EJERCICIOS Si con $168.00 compro 6kg de frijol, ¿cuántos kilos puedo comprar con $364.00? Como el costo y el número de kilogramos son directamente proporcionales se tiene la proporción directa.

Un ciclista recorrió un circuito de 12 km 3½ veces. ¿Cuántos kilómetros recorrió?.

VARIACIONES LÍNEALES Harry le debe dinero al banco. Para liquidar su deuda, le paga $150 al banco cada mes. Después de 10 meses, el adeudo restante era de $6900. ¿Cuánto debía Harry originalmente? ¿Cuánto tardó Harry en pagar la deuda completa?

Un grifo vierte agua a un depósito dejando caer cada minuto 25 litros. Formar una tabla de valores apropiada para representar la función "capacidad" en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar una piscina de 50 m3?

(Solución: 33 h 20 min) Representar las siguientes rectas (mismos ejes de coordenadas en cada apartado) obteniendo únicamente 2 puntos (preferentemente los de corte con los ejes). Comprobar, además, su pendiente y su ordenada en el origen: a) 

y = 3x + 4



y = 3x 2



y = 2x + 5



y = 2x 3



y=x+6



y = 3x



y = 5x +1 2 x

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1,-2).

Comprobar la solución. (Solución: y=5x+3) Hallar la ecuación de la recta paralela a y=2x+5 que pasa por el punto P (2,1). ¿Cuál es su pendiente? (Solución: y=2x-3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-2) y (3,4). b) Hallar también una recta paralela a la anterior y que pase por el punto (-2,3) (Solución: y=3x-5; y=3x+9)